BWL Statistik 2
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BWL Statistik 2 Dozent Mohamed Naji [email protected] http://iba-nuernberg.fu-academy.de Internationale Berufsakademie (IBA) der F+U Unternehmensgruppe gGmbH University of Cooperative Education Vorwort Jedes Kapitel enthält eine Vielzahl von Beispielen und Aufgaben mit Lösungen, die das Gefühl für die Beherrschung und die Anwendbarkeit des fachlichen Kernstoffes stärken sollen. In vielen Fällen werden nur die Grundideen einer Lösung vorgestellt. Die fehlende Vorführung soll ein Anreiz für die Studierenden sein, sich diese selbst zu überlegen. Studieren bedeutet ja, eigenständig (unter Anleitung) Problemlösungsideen zu verstehen, anzuwenden und weiter zu entwickeln Zuhören bzw. das Lehrbuch lesen und Verstehen ist zwar wichtig, aber der Vorlesungsstoff anhand von Aufgaben selber machen und einüben ist noch viel wichtiger. Im Vergleich: Wenn Sie die Linksdrehung beim Tangotanzen lernen wollen, brauchen Sie jemanden, der Ihnen zeigt, wie’s geht und auf was es ankommt, aber Sie werden es nur durch viel eigenes Üben lernen und mit dem Vorlesungsstoff ist es genauso. Die Vorlesung macht nur die Tür auf zum Selbststudium. An den Hausaufgaben üben Sie nicht nur Begriffe, Konstruktionen und Konzepte der Vorlesung ein, Sie trainieren auch Ihre Problemlösefähigkeiten und das Übertragen von Lösungsstrategien aus einem Problemfeld in ein anderes, vornehm ausgedrückt den Transfer. Ganz wichtig auch: Richtiges Formulieren erwirbt man nicht allein durch Zuschauen, es muss durch eigenes Versuchen gelernt werden. Deswegen sollten Sie zwar mit anderen über den Vorlesungsstoff kommunizieren (das müssen Sie Ihr ganzes Leben lang tun), aber anschliessend müssen Sie selbständig und alleine Ihre Aufgaben aufschreiben. Im Vorlesungsstoff gibt es zwischen Unverständnis und Verständnis kaum Zwischenstufen. Ein Problem verursacht entweder Panik oder ist trivial, ein von Studenten häufig benutztes Wort. In vielen Fällen führt ein gutes Beispiel, aber vor allem ein selber gelöstes Problem, plötzlich zu einem grossen Fortschritt im Verständnis. Deswegen sind Übungsaufgaben zusammen mit Hilfen zur Lösung so wichtig für das Studium. Und: Sie dürfen sich nicht daran stören, wenn die Übungsaufgaben zu einfach sind. Das zeigt doch nur, das Sie bis jetzt über den Berg sind und sich die Bemerkung trivial erlauben können. Für andere ist dasselbe Problem ein Albtraum. Seien Sie ehrlich mit sich selber und lügen Sie sich nicht an, indem Sie sich vorgaukeln, die Aufgaben vollständig verstanden zu haben, obwohl Sie einen Lösungsweg „nur“nachvollzogen haben. Sie sind aus dem Sammler– und Jäger–Zeitalter heraus. Heutzutage wird entdeckt und entwickelt. Als zukünftiger Absolvent werden Sie entwickeln müssen und nicht nur nachlesen, was andere vor Ihnen bereits herausgefunden haben. Weiter möchte ich Sie auffordern, immer dann Fragen zu stellen, wenn Sie etwas nicht mehr verstehen. Sie müssen wissen, dass nur diejenigen, die auch etwas begreifen, Fragen stellen. Ich gehe davon aus, dass die Umkehrung dieser Aussage auch zutrifft. Berechnungen und Konstruktionen werden überwiegend mit Softwarewerkzeugen durchgeführt. Dadurch steht die Vermittlung von Rechenschemata und Rechentricks heute nicht mehr im Vordergrund. Computer machen den Stoff aber nicht überflüssig, im Gegenteil: Das Kapital des Studiums liegt im Verständnis des Lehrstoffs. Das Wissen über die Modellierung und die Kenntnis unterschiedlicher Berechnungsverfahren sowie die Fähigkeit zu einer souveränen Interpretation der Ergebnisse I zeichnen einen guten Absolventen aus. „Die Gesetze der Natur sind in der Sprache der Mathematik geschrieben.“(Galileo Galilei) Um die Lesbarkeit des Textes zu verbessern, wurde die äussere Form strukturiert: Definitionen, Sätze, Beispiele, Bemerkungen, Korollare, Lemmata und Propositionen sind in jedem erststelligen Unterkapitel ohne Rücksicht auf den Typ fortlaufend durchnummeriert. So folgen in Unterkapitel 2.3 nacheinander Beispiel 2.3.1, Bemerkung 2.3.2, Definition 2.3.3 usw. Formeln, Gleichungen, Tabellen, Algorithmen und Abbildungen sind fortlaufend durchnummeriert und zwar mit Rücksicht auf deren Typ und deren Unterkapitel. Zahlen in eckigen Klammern beziehen sich auf das Literaturverzeichnis am Schluss. ferner gelten die folgenden Typografische Konventionen: Zitaten und Aussagen sind Schräggestellt. Eigennamen z.B. von Personen werden in serifenlose Schrift gekennzeichnet. Schlüsselwörter und <tags> sind fett gedruckt. Kapitälchen Schrift wird verwendet für • Klassen– und methodenNamen • Pfad–, Datei–, Tool–, Firmen– und Programmnamen • Attributen–, Domain–, Variablen– und Packetnamen, Datenbanken, Datentypen, Umgebungsvariablen, Tags und Anweisungen kursive Schrift wird verwendet für • Neue Begriffe, die definiert werden • Betonungen im Fliesstext Schreibmaschinenschrift (also tt = Teletyper = Fernschreiber) wird verwendet für • Kommandozeilen und Optionen, die wörtlich eingetippt werden sollen • Erzeugte Ausgabe einer zuvor gemachten Eingabe oder eines erstellten Programms. • Compiler--Fehler von Programmiersprachen. externe Links z.B. zu einer Website sind in dieser Farbe markiert. . Im Symbolverzeichnis im Kapitel 50 ab Seite 213 sind viele Symbole auf einen Blick aufgelistet. im Kapitel Personverzeichnis habe ich die Geburts– und Todesjahre einiger bedeutender Mathematiker, Informatiker, Physiker, Chemiker, Wirtschaftler, Statistiker und anderer Wissenschaftler aufgelistet, die Sie von Zeit zu Zeit in diesem Skriptum finden werden. Damit haben Sie die Möglichkeit, sich ein Bild von der historischen Abfolge wissenschaftlicher Entdeckungen machen zu können. Auf der sehr interessanten Seite http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/BiogIndex.html finden sich auch zahlreiche biografische Angaben zu den meisten berühmten Mathematikern. Viele Informatiker sind unter http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Kategorie:Informatiker zu finden Einige muslimische Wissenschaftler sind unter https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Muslim_scientists zu finden und noch ein Hinweis: Das Skriptum begleitet die Vorlesung, aber es soll sie nicht ersetzen. Die Hinweise vieler Leserinnen und Leser auf Fehler und Verbesserungsmöglichkeiten waren für mich sehr wertvoll. Oft existieren auch noch Schreibfehler, welche zu Verwechselungen führen können (z.B. w statt ω bzw. x1 statt x1 ). Da ich allerdings damit rechnen muss, dass trotz aller Sorgfalt der Fehlerteufel nicht untätig geblieben ist, danke ich schon jetzt allen Leserinnen und Lesern für entsprechende Korrekturhinweise, konstruktive Kritik oder Verbesserungsvorschläge, z.B. per Email ([email protected]). Als Textverarbeitung wurde eine LATEX-version (MikTex) eingesetzt. Inhaltsverzeichnis Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inhaltsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abbildungsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabellenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Listings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 diskrete Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion . . . . . . 4.3 Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Standardabweichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 faires Spiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Gesetze der Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.1 Aufgabe 4–1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.2 Lösung der Aufgabe 4–1 . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.3 Aufgabe 4–2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.4 Lösung der Aufgabe 4–2 . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.5 Aufgabe 4–3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.6 Lösung der Aufgabe 4–3 . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.7 Aufgabe 4–4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.8 Lösung der Aufgabe 4–4 . . . . . . . . . . . . . . . . 6 homogene Markow–Ketten . . . . . . . . . . . . . . 6.1 eine Einstimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Bemerkungen zur Grenzmatrix einer Übergangsmatrix 6.4 stochastische Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Aufgabe 6–1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Lösung der Aufgabe 6–1 . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.3 Aufgabe 6–2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.4 Lösung der Aufgabe 6–2 . . . . . . . . . . . . . . . . 7 absorbierende homogene Markow–Kette . . . . . . . 7.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 1. Mittelwertsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 2. Mittelwertsregel: Mittlere Wartezeiten . . . . . . . 7.4 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Aufgabe 7–1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Lösung der Aufgabe 7–1 . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.3 Aufgabe 7–2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.4 Lösung der Aufgabe 7–2 . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Diskrete Gleichverteilung . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion . . . . . . . IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III IV IX X XIII 1 1 2 4 7 8 8 9 9 10 10 10 11 11 12 12 13 13 15 15 16 21 21 23 23 23 29 29 35 35 37 40 43 43 43 48 49 55 55 56 10.3 10.4 10.5 10.6 10.6.1 10.6.2 11 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.6.1 11.6.2 12 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.5.1 12.5.2 13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.5.1 13.5.2 20 20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 20.6 20.7 20.8 20.8.1 20.8.2 20.8.3 20.8.4 20.8.5 20.8.6 22 22.1 22.2 22.3 22.4 22.5 22.6 22.6.1 22.6.2 23 Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion . . . Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 10–1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 10–1 . . . . . . . . . . . . Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion . . . Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . Ablesehilfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 11–1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 11–1 . . . . . . . . . . . . Poisson Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion . . . Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 12–1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 12–1 . . . . . . . . . . . . Die geometrische Verteilung . . . . . . . . . . . Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion . . . Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 13–1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 13–1 . . . . . . . . . . . . stetige Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion . . . Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Standardabweichung . . . . . . . . . . . . . . . lineare Transformation . . . . . . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 20–1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 20–1 . . . . . . . . . . . . Aufgabe 20–2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 20–2 . . . . . . . . . . . . Aufgabe 20–3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 20–3 . . . . . . . . . . . . Rechteckverteilung bzw. stetige Gleichverteilung Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion . . . Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 22–1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 22–1 . . . . . . . . . . . . Standardnormalverteilung . . . . . . . . . . . . V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 57 58 61 61 61 64 64 65 66 67 68 70 70 70 73 73 74 75 76 78 78 78 81 81 82 82 83 85 85 85 88 88 89 89 90 90 90 91 92 92 94 95 97 98 100 102 102 102 103 104 105 106 106 106 107 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.6.1 23.6.2 24 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 24.6 24.7 24.7.1 24.7.2 27 27.1 27.2 27.3 27.4 27.4.1 27.4.2 31 31.1 31.2 31.3 31.4 31.4.1 31.4.2 32 32.1 32.2 32.3 32.4 32.5 32.6 32.7 32.7.1 32.7.2 34 34.1 34.2 34.2.1 34.2.2 35 35.1 35.2 35.2.1 35.2.2 35.2.3 35.2.4 35.2.5 35.2.6 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion . . . . . . . . . . . . Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 23–1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 23–1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . allgemeine Normal– oder Gauss–Verteilung . . . . . . . . . . . Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion . . . . . . . . . . . . Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformation zur Standardnormalverteilung (z–Transformation) Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 24–1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 24–1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stichproben und Population . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kenngrössen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verbunden oder unverbunden? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 27.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 27.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einführung in die Hypothesenprüfung . . . . . . . . . . . . . . . rechtsseitiger Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . linksseitiger Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zweiseitiger Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 31.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 31.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chi–Quadrat–Anpassungstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diskrete Gleichverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Poisson–Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . geometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Normal– oder Gauss–Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . diskrete Wahrnscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 32–1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 32–1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test auf µ unter Normalverteilung bei bekannter Varianz . . . . . Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 34–1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 34–1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chi–Quadrat–Unabhängigkeitstest . . . . . . . . . . . . . . . . Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 35–1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 35–1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 35–2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 35–2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 35–3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösung der Aufgabe 35–3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 36.2.2 Lösung der Aufgabe 36–1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 37 Konfidenzintervall für den Erwartungswert unter Normalverteilung Bei unbekannter Varianz . . . . . . . 171 37.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 37.2 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 37.2.1 Aufgabe 37–1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 37.2.2 Lösung der Aufgabe 37–1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 38 Konfidenzintervall für die Standardabweichung unter Normalverteilung bei unbekanntem Erwartungswert 174 38.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 38.2 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 38.2.1 Aufgabe 38–1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 38.2.2 Lösung der Aufgabe 38–1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 38.2.3 Aufgabe 38–2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 38.2.4 Lösung der Aufgabe 38–2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 44 Test für einen Anteilswert p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 44.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 44.2 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 44.2.1 Aufgabe 44–1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 44.2.2 Lösung der Aufgabe 44–1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 45 Vermischte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 46 vermischte Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 46.1 Aufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 46.2 Lösung der Aufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 46.3 Aufgabe 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 46.4 Lösung der Aufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 46.5 Aufgabe 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 46.6 Lösung der Aufgabe 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 46.7 Aufgabe 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 46.8 Lösung der Aufgabe 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 46.9 Aufgabe 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 46.10 Lösung der Aufgabe 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 46.11 Aufgabe 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 46.12 Lösung der Aufgabe 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 46.13 Aufgabe 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 46.14 Lösung der Aufgabe 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 46.15 Aufgabe 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 46.16 Lösung der Aufgabe 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 46.17 Aufgabe 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 46.18 Lösung der Aufgabe 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 47 Exam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 48 Musterkla us ur 2010 Quantitative Methoden 2 für Wirtschaftswissenschaftler . . . . . . . . . . . . . . 198 49 Lösung Musterkla us ur 2010 Quantitative Methoden 2 für Wirtschaftswissenschaftler . . . . . . . . . . 203 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 50 Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Personverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 A Verteilungsfunktion der Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 B Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 C Quantile der Standardnormalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 D Verteilungsfunktion der Poissonverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 E Quantile der t–Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 F Quantile der Chiquadratverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 G Formelsammlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 VII G.1 G.2 G.3 G.4 G.5 G.6 G.7 G.8 G.9 G.10 G.11 G.12 G.13 G.14 G.15 G.16 G.17 G.18 G.19 G.20 G.21 G.22 G.23 G.24 G.24.1 G.24.2 Der Wahrscheinlichkeitsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Diskrete Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Die geometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Diskrete Gleichverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Poisson Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Stetige Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Rechteckverteilung bzw. stetige Gleichverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Allgemeine Normal– oder Gauss–Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Hypothesenprüfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Test auf µ unter Normalverteilung bei bekannter Varianz (Einstichprobe–Gauss Test) . . . . . . . . . . 264 Test auf µ unter Normalverteilung bei unbekannter Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Test für einen Anteilswert p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Konfidenzintervall für den Erwartungswert unter Normalverteilung Bei unbekannter Varianz . . . . . . . 265 Konfidenzintervall für die Standardabweichung unter Normalverteilung bei unbekanntem Erwartungswert 265 Chi Quadrat Unabhängigkeitstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 zentrale Schwankungsintervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Chi Anpassungstest für diskreten Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Chi Anpassungstest für die Wahrscheinlichkeiten einer Diskrete Gleichverteilung . . . . . . . . . . . . . 267 Chi Anpassungstest für die Wahrscheinlichkeiten einer Geometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . . 267 Chi Anpassungstest für die Wahrscheinlichkeiten einer Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Chi Anpassungstest für die Wahrscheinlichkeiten einer Poissonverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Chi Anpassungstest für die Wahrscheinlichkeiten einer Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Markow–Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 ergodische Markow–Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 absorbierende Markow–Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 VIII Abbildungsverzeichnis 4.2.0.1 4.2.0.2 4.3.0.1 4.3.0.2 Graph der Dichtefunktion . . Graph der Dichtefunktion . . Graph der Verteilungsfunktion Graph der Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.0.1 6.5.2.1 6.5.4.1 Diagramm von Markow–Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Diagramm von Markow–Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Diagramm von Markow–Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 7.1.0.1 7.4.2.1 7.4.4.1 Diagramm von Markow–Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Diagramm von Markow–Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Diagramm von Markow–Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 10.4.0.1 10.5.0.1 Graph der Dichtefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Graph der Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 11.3.0.1 11.4.0.1 Graph der Dichtefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Graph der Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 12.3.0.1 12.4.0.1 Graph der Dichtefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Graph der Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 13.3.0.1 13.4.0.1 Graph der Dichtefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Graph der Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 20.2.0.1 20.3.0.1 20.8.2.1 20.8.4.1 20.8.6.1 Graph der Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2.0.1 22.3.0.1 Graph der Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Graph der Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 23.2.0.1 23.3.0.1 Graph der Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 24.2.0.1 24.3.0.1 Graph der Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 31.1.0.1 31.2.0.1 31.3.0.1 rechtsseitiger Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 linksseitiger Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 zweiseitiger Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 49.0.0.1 49.0.0.2 Graphische Lösung von Optimierungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 G.2.0.1 Graph der Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 IX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 5 7 89 90 94 97 100 Tabellenverzeichnis 4.2.0.1 4.2.0.2 4.3.0.1 4.3.0.2 4.8.0.1 4.9.2.1 4.9.2.2 4.9.3.1 4.9.4.1 4.9.4.2 4.9.6.1 4.9.8.1 Wertetabelle der Dichtefunktion . . . Wertetabelle der Dichtefunktion . . . Wertetabelle der Verteilungsfunktion Wertetabelle der Verteilungsfunktion Durchschnittliche Jahreswerte . . . . Diskrete Dichtefunktion . . . . . . . Berechnungen . . . . . . . . . . . . Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . Diskrete Dichtefunktion . . . . . . . Berechnungen . . . . . . . . . . . . Wertetabelle der Dichtefunktion . . . Wertetabelle der Dichtefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 5 6 9 10 10 11 11 12 13 14 6.2.0.1 6.2.0.2 6.2.0.3 6.2.0.4 6.2.0.5 6.5.1.1 6.5.2.1 6.5.2.2 6.5.2.3 6.5.2.4 6.5.3.1 6.5.4.1 6.5.4.2 6.5.4.3 6.5.4.4 Übergangsmatrix U . . Berechnungen von U2 Berechnungen von U3 Berechnungen von U5 Granzmatrix G . . . . Übergangsmatrix U . . Berechnungen von U2 Berechnungen von U3 Berechnungen von U5 Grenzmatrix G . . . . Übergangsmatrix U . . Berechnungen von U2 Berechnungen von U3 Berechnungen von U5 Grenzmatrix G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 17 18 18 20 23 24 25 25 28 29 30 31 31 33 7.1.0.1 7.1.0.2 7.1.0.3 7.4.1.1 7.4.2.1 7.4.2.2 7.4.3.1 7.4.4.1 7.4.4.2 Übergangsmatrix U Matrix P . . . . . Matrix Y . . . . . Übergangsmatrix U Matrix P . . . . . Matrix Y . . . . . Übergangsmatrix U Matrix P . . . . . Matrix Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 37 37 43 44 45 49 50 51 10.4.0.1 10.5.0.1 Wertetabelle der Dichtefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Wertetabelle der Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 11.3.0.1 11.4.0.1 Wertetabelle der Dichtefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Wertetabelle der Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 12.3.0.1 Wertetabelle der Dichtefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 12.4.0.1 Wertetabelle der Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 13.3.0.1 13.4.0.1 Wertetabelle der Dichtefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Wertetabelle der Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 27.2.0.1 Kenngrössen: Stichprobe vs. Population . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 31.0.0.1 Fehler 1. Art und 2. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 32.1.0.1 32.1.0.2 32.2.0.1 32.2.0.2 32.3.0.1 32.3.0.2 32.4.0.1 32.4.0.2 32.5.0.1 32.5.0.2 32.6.0.1 32.6.0.2 32.6.0.3 32.6.0.4 32.7.1.1 32.7.2.1 Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnungen zum Chi–Quadrat–Anpassungstest auf Diskrete Gleichverteilung Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnungen zum Chi–Quadrat–Anpassungstest auf Binomialverteilung . . . . Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnungen zum Chi–Quadrat–Anpassungstest auf Poisson–Verteilung . . . . Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnungen zum Chi–Quadrat–Anpassungstest auf Geometrische Verteilung . Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnungen zum Chi–Quadrat–Anpassungstest auf Normal–Verteilung . . . . Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnungen zum Chi–Quadrat–Anpassungstest . . . . . . . . . . . . . . . . . Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnungen zum Chi–Quadrat–Anpassungstest . . . . . . . . . . . . . . . . . Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnungen zum Chi–Quadrat–Anpassungstest auf Diskrete Gleichverteilung 34.1.0.1 Test auf µ, wobei σ bekannt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 35.1.0.1 35.1.0.2 35.1.0.3 35.1.0.4 35.2.1.1 35.2.2.1 35.2.2.2 35.2.2.3 35.2.3.1 35.2.4.1 35.2.4.2 35.2.4.3 35.2.5.1 35.2.6.1 35.2.6.2 35.2.6.3 Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . absolute Häufigkeiten . . . . . . . . . . . erwartete Häufigkeiten . . . . . . . . . . . Berechnungen zur Teststatistik /Prüfgrösse Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . absolute Häufigkeiten . . . . . . . . . . . erwartete Häufigkeiten . . . . . . . . . . . Berechnungen zur Teststatistik /Prüfgrösse Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . absolute Häufigkeiten . . . . . . . . . . . erwartete Häufigkeiten . . . . . . . . . . . Berechnungen zur Teststatistik /Prüfgrösse Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . absolute Häufigkeiten . . . . . . . . . . . erwartete Häufigkeiten . . . . . . . . . . . Berechnungen zur Teststatistik /Prüfgrösse 36.1.0.1 Test auf µ, wobei σ unbekannt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 44.1.0.1 Test auf p, wobei σ bekannt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 46.1.0.1 46.2.0.1 46.2.0.2 46.4.0.1 46.4.0.2 46.5.0.1 46.6.0.1 46.6.0.2 46.7.0.1 Daten . . . . . . . . . . Diskrete Dichtefunktion Berechnungen . . . . . Diskrete Dichtefunktion Berechnungen . . . . . Daten . . . . . . . . . . Diskrete Dichtefunktion Berechnungen . . . . . Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 135 136 137 138 138 139 140 141 142 143 143 144 145 148 149 154 155 155 156 157 157 158 159 159 160 161 161 162 162 163 164 183 184 184 185 185 186 186 187 187 46.8.0.1 46.8.0.2 46.8.0.3 46.9.0.1 46.10.0.1 46.10.0.2 46.10.0.3 46.11.0.1 46.12.0.1 46.12.0.2 46.12.0.3 absolute Häufigkeiten . . . . . . . . . . . erwartete Häufigkeiten . . . . . . . . . . . Berechnungen zur Teststatistik /Prüfgrösse Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . absolute Häufigkeiten . . . . . . . . . . . erwartete Häufigkeiten . . . . . . . . . . . Berechnungen zur Teststatistik /Prüfgrösse Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . absolute Häufigkeiten . . . . . . . . . . . erwartete Häufigkeiten . . . . . . . . . . . Berechnungen zur Teststatistik /Prüfgrösse . . . . . . . . . . . 48.0.0.1 Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 49.0.0.1 49.0.0.2 49.0.0.3 absolute Häufigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 erwartete Häufigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Berechnungen zur Teststatistik /Prüfgrösse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 50.0.0.1 Notationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 A.0.0.1 Verteilungsfunktion der Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 B.0.0.1 Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 C.0.0.1 Quantile der Standardnormalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 D.0.0.1 Verteilungsfunktion der Poisson–Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 E.0.0.1 Quantile der t–Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 F.0.0.1 Quantile der χ2 –Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 XII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 189 189 189 190 191 191 192 192 193 194 Listings XIII Kapitel 4 diskrete Zufallsvariable 4.1 Einführung Beim Experiment „Werfen eines Würfels“kann man die mögliche Versuchsergebnisse durch die Zahlen 1,2,3,4,5,6 darstellen. Dabei tritt z.B. das elementarereignis {6} genau dann ein, wenn nach dem Wurf die mit sechs Punkten gekennzeichneten Seite des Würfels oben liegt. man kann also jedem Versuchsergebnis ω ∈ Ω eine reelle Zahl X(ω) zuordnen. Nach jeder Durchführung des entsprechenden Zufallsexperiments soll daher mit dem Versuchsergebnis ω auch der zugeordnete Zahlenwert X(ω) festliegen. Die Zuordnungsvorschrift X ist also eine auf Ω erklärte reellwertige Funktion. Wie die Ergebnisse ω eines Zufallsexperiments, so hängen auch die Werte der Funktion X vom Zufall ab. Daher nennt man X eine Zufallsvariable. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, mit der die Zufallsvariable X einen bestimmten Zahlenwert x annimmt, betrachten wir alle Versuchsergebnisse ω, welche durch die Funktion X auf den Zahlen wert x abgebildet werden: PrdisV (X = x) = PrdisV (A), wobei A = {ω ∈ Ω : X(ω) = x} Mit {(x, PrdisV (X = x))} bezeichnet man die Verteilung der Zufallsvariable X Eine Zufallsvariable X, deren Wertevorrat nur endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Werte enthält, heisst diskret. Die Verteilung einer diskreten Zufallsvariable X ist ((xk , PrdisV (X = xk ))|k = 1, 2, . . . ) mit xk < xk+1 Beispiel 4.1.0.1 Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der bis zum Erscheinen der ersten „6“notwendigen Würfe mit einem idealen Würfel. X kann unendlich viele verschiedene Werte annehmen, nämlich alle natürlichen Zahlen. Die Verteilung von X ist also {(k, PrdisV (X = k)) : k = 1, 2, . . . } und es gilt PrdisV (X = k) = ( b5 )k−1 · b1 für k = 1, 2, . . . Beispiel 4.1.0.2 Eine Laplace–Münze, die auf einer Seite die Zahl 0 und auf der anderen Seite die Zahl 1 trägt, wird dreimal geworfen. Die Anzahl der gefallenen Einsen sei die Zufallsvariable X Der Ereignisraum ist Ω = {000; 001; 010; 011; 100; 101; 110; 111} Eine Wertetabelle der Zufallsvariabble ist 1 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 X: Ω → {000} → 7 {001} → 7 {0, 1, 2, 3} 0 1 {010} → 7 {011} → 7 1 2 {110} → 7 {111} → 7 2 3 {100} → 7 {101} → 7 1 2 Die Verteilung von X ist {(0, 81 ), (1, 83 ), (2, 83 ), (3, 81 )} 4.2 Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion Die Verteilung einer diskreten Zufallsvariable X sei ((xk , PrdisV (X = xk ))|k = 1, 2, . . . ) mit xk < xk+1 fdisV (xk ) = PrdisV (X = xk ) mit P k fdisV (xk ) = 1 und daher |GdisV (x)| ≤ +∞ P PrdisV (X = i) = 1 i=0 fdisV (xk ) ≥ 0 Beispiel 4.2.0.1 Eine Wertetabelle der Dichtefunktion ist in der Tabelle 4.2.0.1 auf Seite 2 k xk Pr(X = xk ) 0 -1.3000 0.2000 1 2.1000 0.2800 2 4.0000 0.4000 3 6.5000 0.1200 Tabelle 4.2.0.1: Wertetabelle der Dichtefunktion Das Kurvenbild ist in der Abbildung 4.2.0.1 auf Seite 3 2 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 3 Pr(X = xk ) 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 10.00 9.00 8.00 7.00 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 -1.00 -2.00 -3.00 0.10 xk Abbildung 4.2.0.1: Graph der Dichtefunktion 1 Beispiel 4.2.0.2 Eine Wertetabelle der Dichtefunktion der diskrete Verteilung ((k, k(k+1) )|k = 1, 2, . . . ) ist in der Tabelle 4.2.0.2 auf Seite 4 k xk Pr(X = xk ) 1 1.0000 0.5000 2 2.0000 0.1667 3 3.0000 0.0833 4 4.0000 0.0500 5 5.0000 0.0333 6 6.0000 0.0238 7 7.0000 0.0179 8 8.0000 0.0139 9 9.0000 0.0111 10 10.0000 0.0091 11 11.0000 0.0076 12 12.0000 0.0064 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 13 13.0000 0.0055 14 .. . 14.0000 .. . 0.0048 .. . 4 Tabelle 4.2.0.2: Wertetabelle der Dichtefunktion Das Kurvenbild ist in der Abbildung 4.2.0.2 auf Seite 4 Pr(X = xk ) 0.50 0.40 0.30 0.20 Abbildung 4.2.0.2: Graph der Dichtefunktion 4.3 Verteilungsfunktion Die Verteilung einer diskreten Zufallsvariable X sei ((xk , PrdisV (X = xk ))|k = 1, 2, . . . ) mit xk < xk+1 FdisV (xk ) = PrdisV (X ≤ xk ) = PrdisV (X ≤ xk ) = F(xk ) P f (xi ) i≤k PrdisV (X < xk ) = F(xk−1 ) PrdisV (X ≥ xk ) = 1 − F(xk−1 ) PrdisV (X > xk ) = 1 − F(xk ) PrdisV (xi < X ≤ x j ) = F(x j ) − F(xi ) PrdisV (xi ≤ X ≤ x j ) = F(x j ) − F(xi−1 ) PrdisV (xi ≤ X < x j ) = F(x j−1 ) − F(xi−1 ) 15.00 14.00 13.00 12.00 11.00 10.00 9.00 8.00 7.00 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 0.10 xk Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 5 PrdisV (xi < X < x j ) = F(x j−1 ) − F(xi ) Beispiel 4.3.0.1 Eine Wertetabelle der Verteilungsfunktion ist in der Tabelle 4.3.0.1 auf Seite 5 Pr(X ≤ xk ) k xk 0 -1.300 1 2.100 0.4800 2 4.000 0.8800 3 6.500 1.0000 0.2000 Tabelle 4.3.0.1: Wertetabelle der Verteilungsfunktion Das Kurvenbild ist in der Abbildung 4.3.0.1 auf Seite 5 Pr(X ≤ xk ) 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 Abbildung 4.3.0.1: Graph der Verteilungsfunktion 10.00 9.00 8.00 7.00 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 -1.00 -2.00 -3.00 0.10 xk Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 6 1 )|k = 1, 2, . . . ) ist in der TabelBeispiel 4.3.0.2 Eine Wertetabelle der Verteilungsfunktion der diskrete Verteilung ((k, k(k+1) le 4.3.0.2 auf Seite 6 Pr(X ≤ xk ) k xk 1 1.000 2 2.000 0.6667 3 3.000 0.7500 4 4.000 0.8000 5 5.000 0.8333 6 6.000 0.8571 7 7.000 0.8750 8 8.000 0.8889 9 9.000 0.9000 10 .. . 10.000 .. . 0.9091 .. . 0.5000 Tabelle 4.3.0.2: Wertetabelle der Verteilungsfunktion Das Kurvenbild ist in der Abbildung 4.3.0.2 auf Seite 7 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 7 Pr(X ≤ xk ) 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 16.00 15.00 14.00 13.00 12.00 11.00 10.00 9.00 8.00 7.00 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 0.10 Abbildung 4.3.0.2: Graph der Verteilungsfunktion 4.4 Erwartungswert Die Verteilung einer diskreten Zufallsvariable X sei ((xk , PrdisV (X = xk ))|k = 1, 2, . . . ) mit xk < xk+1 Falls P xk PrdisV (X = xk ) existiert und endlich, dann E[X] = k P xk fdisV (xk ) = k P xk PrdisV (X = xk ) k Beispiel 4.4.0.1 Bei einer Lotterie enthält die Lostrommel 100 Lose. Darunter sind der Hauptgewinn von x1 = 100 CHF; 15 Gewinne von x2 = 2 CHF und 25 Gewinne von x3 = 1 CHF. Die restlich Lose tragen keinen Gewinn. Welcher mittlere Gewinn ist beim Erwerb eines Loses zu erwarten? Aus der Tabelle xk Pr(X = xk ) x0 = 0 59 100 1 100 15 100 25 100 x1 = 100 x2 = 2 x3 = 1 xk Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 folgt E[X] = 0 · 59 100 + 100 · 1 100 +2· 15 100 +1· 25 100 8 = 1.55 CHF 1 )|k = 1, 2, . . . ) ist wohl eine die diskrete Verteilung, denn Bemerkung 4.4.0.2 ((k, k(k+1) +∞ P k=1 1 k(k+1) und =1 1 k(k+1) ) ≥ 0 für alle k = 1, 2, . . . Aber hat keinen Erwartungswert, denn +∞ P k=1 1 = k k(k+1) +∞ P k=1 1 k+1 = +∞ Nimmt eine diskrete Zufallsvariable X nur einen Wert c, so gilt E[c] = c E[aX + b] = aE[X] + b E[X − E[X]] = 0, d.h. Führt man mit einer Zufallsvariable X eine Verschiebung um −E[X] durch, so ist der Erwartungswert der neuen Zufallsvariable Y = X − E[X] die Zahl 0 Ein Spiel, bei dem in jeder Runde der Erwartungswert des Gewinns gleich dem des Verlustes ist, heisst fair; eines, bei dem der erwartete Gewinn jeweils grösser ist als der erwartete Verlust, heisst vorteilhaft. Bemerkung 4.4.0.3 (n-tes Moment von X) E[X n ] = P k xnk fdisV (xk ) = P k xnk PrdisV (X = xk ) 4.5 Varianz Die Verteilung einer diskreten Zufallsvariable X sei ((xk , PrdisV (X = xk ))|k = 1, 2, . . . ) mit xk < xk+1 Var[X] = P P (xk − E[X])2 fdisV (xk ) = (xk − E[X])2 PrdisV (X = xk ) xk k Var[X] ≥ 0 Var[X] = E[X 2 ] − (E[X])2 Var[X] = E[(X − a)2 ] − (E[X] − a)2 Var[aX + b] = a2 Var[X] 4.6 Standardabweichung Die Verteilung einer diskreten Zufallsvariable X sei ((xk , PrdisV (X = xk ))|k = 1, 2, . . . ) mit xk < xk+1 σ[X] = √ Var[X] σ[aX + b] = p √ Var[aX + b] = a2 Var[X] = |a|σ[X] E[|X − E[X]|] ≤ σ[X] Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 9 Var[X] = σ2 [X] 4.7 faires Spiel Auf den Jahrmarkt wird folgendes Spiel angeboten: Gegen einen Einsatz von 7 Euro darf der Spieler zwei Würfel werden und die Summe der Augenzahlen in Euro ausgezahlt bekommen. Testen Sie, ob das Spiel fair? Berechnen Sie den Einsatz für ein faires Spiel, wenn man nicht die Summe sondern das Produkt der Augenzahlen berücksichtigt 4.8 Gesetze der Zufallsvariablen Die durchschnittliche Jahreswerte für die Temperatur in Grad Celsius (C) in einer Grossstadt sind i ci in T C Pr(C = ci ) 0 5 0.05 1 10 0.15 2 15 0.18 3 20 0.3 4 25 0.32 Tabelle 4.8.0.1: Durchschnittliche Jahreswerte Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung in Grad Celsius (C) Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung in Grad Kelvin (K = C + 273), in Grad Fahrenheit (F = 1.8C + 32) und in Grad Réaumur (R = 0.8C) und zwar einmal direkt aus den Formeln und einmal mit E[aX + b] = aE[X] + b, Var[aX + b] = a2 Var[X] und σ[aX + b] = |a|σ[X] Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 10 4.9 Übungen 4.9.1 Aufgabe 4–1 untenstehenden Werte sind 47 Klausurnoten 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.3 2.3 2.3 2.3 2.3 2.3 2.3 2.3 2.3 2.3 . 1) Geben Sie die Dichtefunktion an 2) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz 3) Berechnen Sie E[−3.0000X + 2.0000] und Var[−3.0000X + 2.0000] 4.9.2 Lösung der Aufgabe 4–1 1) i xi pi 1 1.0000 2 1.3000 11 ≈ 0.2340 + 47 3 1.7000 4 2.0000 5 2.3000 Σ 10 + 47 ≈ 0.2128 9 ≈ 0.1915 + 47 7 ≈ 0.1489 + 47 10 ≈ 0.2128 + 47 +1 ≈ 1.0000 Tabelle 4.9.2.1: Diskrete Dichtefunktion 2) i xi pi xi p i 1 1.0000 11 ≈ 0.2340 + 47 0.2340 2 1.3000 3 1.7000 4 2.0000 5 2.3000 Σ 10 + 47 9 + 47 7 + 47 10 + 47 (xi − E[X])2 pi 0.0910 ≈ 0.2128 0.2766 0.0223 ≈ 0.1915 0.3255 0.0011 ≈ 0.1489 0.2979 0.0211 ≈ 0.2128 0.4894 0.0974 E[X] = 1.6234 Var[X] = 0.2329 Tabelle 4.9.2.2: Berechnungen Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 E[X] = 1.6234 Var[X] = 0.2329 3) E[−3.0000X + 2.0000] = −3.0000E[X] + 2.0000 = −2.8702 Var[−3.0000X + 2.0000] = (−3.0000)2Var[X] = 2.0957 4.9.3 Aufgabe 4–2 folgende Tabelle gibt den Notenspiegel einer Uni–Klausur an i Note Wahrscheinlichkeit 1 1.0 + 10 37 2 1.3 5 + 37 3 1.7 5 + 37 4 2.0 5 2.3 8 + 37 Tabelle 4.9.3.1: Daten . 1) Geben Sie die fehlende Wahrscheinlichkeit 2) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz 3) Berechnen Sie E[−3.0000X + 2.0000] und Var[−3.0000X + 2.0000] 4.9.4 Lösung der Aufgabe 4–2 1) i xi pi 1 1.0000 2 1.3000 10 ≈ 0.2703 + 37 3 1.7000 4 2.0000 5 2.3000 Σ 5 + 37 ≈ 0.1351 5 ≈ 0.1351 + 37 p4 8 ≈ 0.2162 + 37 + 28 37 ≈ 0.7568 Tabelle 4.9.4.1: Diskrete Dichtefunktion 11 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 p4 = 1 − 28 37 12 9 = + 37 ≈ 0.2432 2) i xi pi xi p i 1 1.0000 10 ≈ 0.2703 + 37 0.2703 2 1.3000 3 1.7000 4 2.0000 5 2.3000 5 + 37 5 + 37 9 + 37 8 + 37 Σ (xi − E[X])2 pi 0.1175 ≈ 0.1351 0.1757 0.0175 ≈ 0.1351 0.2297 0.0002 ≈ 0.2432 0.4865 0.0282 ≈ 0.2162 0.4973 0.0887 E[X] = 1.6595 Var[X] = 0.2521 Tabelle 4.9.4.2: Berechnungen E[X] = 1.6595 Var[X] = 0.2521 3) E[−3.0000X + 2.0000] = −3.0000E[X] + 2.0000 = −2.9784 Var[−3.0000X + 2.0000] = (−3.0000)2Var[X] = 2.2693 4.9.5 Aufgabe 4–3 Zwei Würfel mit den Seiten 1, 1, 2, 2, 2, 3 bzw. 1, 2, 2, 3, 3, 3 werden geworfen und die erschienene Augenzahlen als Tupel (x1 ; x2 ) notiert. 1) Berechnen Sie den Ereignisraum Ω. 2) Geben Sie eine Wertetabelle der Zufallsvariable X = 1.2500x1 + 1.7500x2 an. 3) Geben Sie die Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion der Zufallsvariable X an 4.9.6 Lösung der Aufgabe 4–3 1) Der Ereignisraum ist Ω = { (3; 2), (3; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (1; 1), (1; 2), (1; 3), (3; 1) } 2) Die Zufallsvariabble X = 1.2500x1 + 1.7500x2 ist Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 X: Ω → 13 R (1; 1) → 7 3.0000 (1; 2) → 7 4.7500 (1; 3) → 7 6.5000 (2; 1) → 7 4.2500 (2; 2) → 7 6.0000 (2; 3) → 7 7.7500 (3; 1) → 7 5.5000 (3; 2) → 7 7.2500 (3; 3) 7→ 9.0000 3) Die Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion ist in der Tabelle 4.9.6.1 auf Seite 13 k xk 0 3.0000 1 4.2500 2 4.7500 3 5.5000 4 6.0000 5 6.5000 6 7.2500 7 7.7500 8 9.0000 Pr(X = xk ) 2 36 3 36 4 36 1 36 6 36 6 36 2 36 9 36 3 36 = 0.0556 = 0.0833 = 0.1111 = 0.0278 = 0.1667 = 0.1667 = 0.0556 = 0.2500 = 0.0833 Tabelle 4.9.6.1: Wertetabelle der Dichtefunktion . 4.9.7 Aufgabe 4–4 Zwei Würfel mit den Seiten 1, 2, 2, 2, 4, 3 bzw. 1, 2, 2, 3, 3, 3 werden geworfen und die erschienene Augenzahlen als Tupel (x1 ; x2 ) notiert. 1) Berechnen Sie den Ereignisraum Ω. 2) Geben Sie eine Wertetabelle der Zufallsvariable X = 1.7500x1 − 1.2500x2 an. 3) Geben Sie die Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion der Zufallsvariable X an 4.9.8 Lösung der Aufgabe 4–4 1) Der Ereignisraum ist Ω = { (3; 2), (3; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (4; 1), (4; 2), (1; 1), (4; 3), (1; 2), (1; 3), (3; 1) } Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 2) Die Zufallsvariabble X = 1.7500x1 − 1.2500x2 ist X: Ω → (1; 1) 7→ R 0.5000 (2; 1) → 7 (2; 2) → 7 2.2500 1.0000 (3; 2) 7→ 2.7500 (4; 2) → 7 (4; 3) → 7 4.5000 3.2500 (1; 2) 7→ −0.7500 (1; 3) 7→ −2.0000 (2; 3) 7→ −0.2500 (3; 1) 7→ 4.0000 (3; 3) → 7 (4; 1) → 7 1.5000 5.7500 3) Die Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion ist in der Tabelle 4.9.8.1 auf Seite 14 k xk 0 -2.0000 1 -0.7500 2 -0.2500 3 0.5000 4 1.0000 5 1.5000 6 2.2500 7 2.7500 8 3.2500 9 4.0000 10 4.5000 11 5.7500 Pr(X = xk ) 3 36 2 36 9 36 1 36 6 36 3 36 3 36 2 36 3 36 1 36 2 36 1 36 = 0.0833 = 0.0556 = 0.2500 = 0.0278 = 0.1667 = 0.0833 = 0.0833 = 0.0556 = 0.0833 = 0.0278 = 0.0556 = 0.0278 Tabelle 4.9.8.1: Wertetabelle der Dichtefunktion . 14 Kapitel 6 homogene Markow–Ketten 6.1 eine Einstimmung In der Wahrscheinlichkeitsrechnung versucht man oft mittels stochastischer Modelle Vorhersagen über zukünftige Entwicklungen zu treffen. Dabei kann es vorkommen, dass sich der stochastische Prozess zyklisch verhält. Eine vergleichsweise einfache Beschreibung solcher Zusammenhänge ist dem russischen Mathematiker Markow gelungen. Mit sogenannten Markow–Ketten können bestimmte stochastische Prozesse ohne grösseren Aufwand über einen längeren Zeitraum betrachtet werden, was sie für Berechnungen über zukünftige Entwicklungen sehr interessant macht. Markow–Ketten sind besondere stochastische Prozesse. Man betrachtet sie nur mit diskreten Zeitparametern und meistens ist auch der Zustandsraum diskret. Markow–Ketten in stetiger Zeit werden meistens als Markow–Prozess bezeichnet. Die Besonderheit der Markow–Kette liegt darin, dass die Wahrscheinlichkeit eines Übergangs zum Zustand nur vom vorherigen Zustand abhängt und nicht von den früheren Zuständen. Definition 6.1.0.1 Ein stochastischer Prozess (auch Zufallsprozess) ist die mathematische Beschreibung von zeitlich geordneten, zufälligen Vorgängen Definition 6.1.0.2 Eine homogene Markow–Kette ein 2–Tupel: M := (Q, δ), wobei • Q = {q0 , . . . , qn−1 } ist eine endliche Menge von Zuständen • δ : Q × Q → [0, 1] ist eine Übergangswahrscheinlichkeiten, wobei δ(qi , q j ) die Wahrscheinlichkeit angibt, dass man von Zustand qi in Zustand q j wechselt. (der Markow–Kette ist homogen, da alle δ(qi , q j ) sind konstant über die Zeit) Für jedes q ∈ Q gilt P δ(q, p) = 1 p∈Q Bei jedem Zustand ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten an abgehenden Pfeilen gleich 1 Satz 6.1.0.3 (Pfadregel) . Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist gleich dem Produkt aller Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades. . 15 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 16 6.2 Begriffe Zur Markow–Kette definierten wir eine n × n Übergangswahrscheinlichkeiten–Matrix U = (ui, j )1≤i, j≤n mit ui, j = δ(qi , q j ) Un = (u(n) i, j )1≤i, j≤n u(k) i, j : die Wahrscheinlichkeit nach k Schritte von qi nach q j π0 : Startverteilung πk = (Uk )T π0 bzw. πk = UT πk−1 Ist v eine Zustandsverteilung bei einer Beobachtung, so ist UT v die Zustandsverteilung bei der nächsten Beobachtung. Für Stationäre Verteilung s = s1 .. . sn gilt s = UT s und s + · · · + s = 1 1 n Eine Markow–Kette (Q, δ) heisst ergodisch, wenn jeder Zustand von jedem anderen Zustand erreicht werden kann Die Zeilen der n × n–Grenzmatrix G mit G = lim Uk sind die stationäre Verteilung s; d.h. gi, j = s j k→∞ 1 s1 . erwarteter Rückkehrzeitsvektor τ = .. 1 sn Beispiel 6.2.0.1 Wir betrachten das Verhalten eines Kunden, der seine Einkäufe zwischen drei Anbieter q0 , q1 und q2 wechselt und zwar wie folgend. ր q0 q1 q2 q0 7.000 E01 2.000 E01 1.000 E01 q1 3.000 E01 6.000 E01 1.000 E01 q2 2.000 E01 3.000 E01 5.000 E01 Tabelle 6.2.0.1: Übergangsmatrix U . Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 17 0.7000 0.6000 0.2000 q0 q1 0.3000 0.1000 0.2000 0.3000 0.1000 0.5000 q2 Abbildung 6.2.0.1: Diagramm von Markow–Kette 1 2) heute hat der Kunde vom Anbieter q0 seine Einkäufe getätigt; d.h. π0 = 0 0 Schauen wir uns: wie würde sich der Kunden in die Zukunft verhalten. i) Kauf–Verhalten des Kunden in 2 Tagen ր q0 q1 q2 q0 5.700 E01 2.900 E01 1.400 E01 q1 4.100 E01 4.500 E01 1.400 E01 q2 3.300 E01 3.700 E01 3.000 E01 Tabelle 6.2.0.2: Berechnungen von U2 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 . 0.5700 (U2 )T π0 = 0.2900 0.1400 ii) Kauf–Verhalten des Kunden in 3 Tagen ր q0 q1 q2 q0 5.140 E01 3.300 E01 1.560 E01 q1 4.500 E01 3.940 E01 1.560 E01 q2 4.020 E01 3.780 E01 2.200 E01 Tabelle 6.2.0.3: Berechnungen von U3 . 0.5140 (U3 )T π0 = 0.3300 0.1560 iii) Kauf–Verhalten des Kunden in 5 Tagen ր q0 q1 q2 q0 4.798 E01 3.553 E01 1.650 E01 q1 4.695 E01 3.655 E01 1.650 E01 q2 4.567 E01 3.681 E01 1.752 E01 Tabelle 6.2.0.4: Berechnungen von U5 . 18 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 0.4798 5 T (U ) π0 = 0.3553 0.1650 3) langfristiges Kauf–Verhalten des Kunden: Berechnung der stationären Verteilungs = 19 s1 .. . sn Es gilt s = UT s und s1 + · · · + sn = 1 im LGS s = UT s wird sn durch 1 − s1 − · · · − sn−1 in den ersten (n − 1) Gleichungen ersetzt; nicht aber in der letzten Gleichung. Das LGS wird nun gelöst. Lösung vom LGS . −0.5000 0.1000 0.0000 −0.1000 −0.7000 0.0000 0.1000 0.1000 −0.5000 −0.2000 a(0) 1 −0.3000 a(0) 2 (0) 0.0000 a3 1.0000 −0.2000 −0.0000 −0.1000 −0.7000 0.0000 0.1000 0.1000 −0.5000 1.0000 −0.2000 −0.0000 0.0000 −0.7200 0.0000 0.0000 0.1200 −0.5000 1.0000 −0.2000 −0.0000 −0.0000 1.0000 −0.0000 0.0000 0.1200 −0.5000 0.4000 a(1) = −2.0000a(0) 1 1 −0.3000 a(1) = a(0) 2 2 (1) 0.0000 a3 = a(0) 3 0.4000 a(2) = a(1) 1 1 (1) −0.2600 a(2) = a(1) 2 + 0.1000a1 2 (2) (1) −0.0400 a3 = a(1) 3 − 0.1000a1 0.4000 a(3) = a(2) 1 1 0.3611 a(3) = −1.3889a(2) 2 2 (3) −0.0400 a3 = a(2) 3 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 1.0000 0.0000 −0.0000 −0.0000 1.0000 −0.0000 0.0000 0.0000 −0.5000 1.0000 0.0000 −0.0000 −0.0000 1.0000 −0.0000 −0.0000 −0.0000 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000 −0.0000 1.0000 0.0000 −0.0000 −0.0000 1.0000 20 (3) 0.4722 a(4) = a(3) 1 + 0.2000a2 1 0.3611 a(4) = a(3) 2 2 (4) (3) −0.0833 a3 = a(3) 3 − 0.1200a2 0.4722 a(5) = a(4) 1 1 0.3611 a(5) = a(4) 2 2 (5) 0.1667 a3 = −2.0000a(4) 3 (5) 0.4722 a(6) = a(5) 1 + 0.0000a3 1 (5) 0.3611 a(6) = a(5) 2 + 0.0000a3 2 (6) 0.1667 a3 = a(5) 3 0.47 s = 0.36 0.17 4) die Grenzmatrix stellt das Langfristiges Verhalten auf einen Blick. jede Zeile der Grenzmatrix G enthält die stationären Verteilung s ր q0 q1 q2 q0 4.722 E01 3.611 E01 1.667 E01 q1 4.722 E01 3.611 E01 1.667 E01 q2 4.722 E01 3.611 E01 1.667 E01 Tabelle 6.2.0.5: Granzmatrix G . Es muss nicht immer eine Grenzmatrix existieren. Es gibt nur dann eine stationäre Verteilung, wenn es in irgendeiner Potenz der Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 21 Übergangsmatrix eine Spalte gibt, in der kein Element Null ist. Wenn diese Bedingung, die man als Spaltenkriterium bezeichnet, erfüllt ist, gibt es die Grenzmatrix und die Grenzverteilung ist eine ergodische Verteilung. 1 s1 . 5) Nach viele Tage kehrt der Kunde zum Anbieter zurück? Berechnung des erwarteten Rückkehrzeit τ = .. 1 sn 2.12 τ = 2.77 6.00 6.3 Bemerkungen zur Grenzmatrix einer Übergangsmatrix eine Übergangsmatrix gehört zur Klasse der stochastischen Matrizen kommt der Eigenwert 1 nur einfach vor, so konvergiert die Übergangsmatrix gegen ein Vielfaches des Eigenvektors zum Eigenwert 1. Diese Konvergenz zeigt für alle Startvektoren den gleichen Endzustand Kommt der Eigenwert 1 mehrfach vor, so ist der Grenzzustand abhängig vom Startzustand Für eine stochastische Matrix U konvergiert Un nicht in jedem Fall gegen eine Grenzmatrix. Eine mögliche Voraussetzung wäre, dass für ein k Uk lauter positive Elemente hat. U heisst dann regulär. Diese Eigenschaft ist gleichbedeutend damit, dass von jedem Zustand aus jeder andere in endlich vielen Schritten erreichbar ist (U irreduzibel oder ergodisch) und dass U kein periodisches Verhalten aufweist. Jede stochastische Matrix hat den Eigenwert 1 Jede Potenz einer stochastischen Matrix ist wieder eine stochastische Matrix, d.h. insbesondere die ggf. existierende Grenzmatrix Wenn irgendeine Potenz Un einer stochastischen Matrix U regular ist, dann existiert eine Grenzmatrix G und diese besteht aus gleichen Vektoren Nicht jede stochastische Matrix besitzt eine Grenzmatrix. 6.4 stochastische Matrizen Definition 6.4.0.1 Stochastische Matrizen sind quadratische Matrizen, deren Elemente nicht negativ sind und bei denen alle Zeilensummen gleich 1 sind. Für stochastische Matrizen gilt, dass das Produkt zweier stochastischer Matrizen wieder eine stochastische Matrix ergibt. Daraus folgt, dass jede beliebige Potenz einer Matrix wieder eine stochastische Matrix sein muss. Satz 6.4.0.2 . Für eine stochastische Matrix U = ui, j 1≤i, j≤n ist λ = 1 Eigenwert von UT Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 22 Beweis: . . Satz 6.4.0.3 . Für eine stochastische Matrix U = ui, j 1≤i, j≤n gilt |λ| ≤ 1 für alle Eigenwerte λ von U und UT Beweis: . . Satz 6.4.0.4 . Für eine stochastische Matrix U = ui, j 1≤i, j≤n ist λ = 1 der einziger Eigenwert von UT mit |λ| = 1, falls min ui,i > 0 1≤i≤n Beweis: . . Satz 6.4.0.5 . Sei U eine stochastische Matrix. Genau dann existiert lim Uk , wenn 1 der einzige Eigenwert von U mit Betrag 1 ist k→∞ Beweis: . . 0.8 0.2 hat die Matrix UT die Eigenwerte λ1 = 1 und λ2 = 0.7 Die stochastische Matrix U = 0.1 0.9 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 23 6.5 Übungen 6.5.1 Aufgabe 6–1 Eine Markow–Kette besitzt die Übergangsmatrix U: ր q0 q1 q2 q3 q0 +0 + 14 + 21 + 41 q1 +0 + 14 + 21 + 41 q2 + 41 + 14 + 41 + 41 q3 + 21 +0 +0 + 12 Tabelle 6.5.1.1: Übergangsmatrix U . 1) Erstellen Sie das dazugehörige Markow–Diagramm 2) Berechnen Sie i) U2 und (U2 )T π0 , wobei ii) U3 und (U3 )T π0 , wobei iii) U5 und (U5 )T π0 , wobei . +1 +0 , wobei die Startverteilung π0 = +0 +0 3) Berechnen Sie die stationäre Verteilung s 4) Berechnen Sie die Grenzmatrix G 5) Berechnen Sie den erwarteten Rückkehrzeitsvektor τ 6.5.2 Lösung der Aufgabe 6–1 1) Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 24 + 41 + 41 q0 + 12 q1 + 21 + 14 + 41 + 41 + 12 + 14 + 21 + 41 q3 q2 + 41 Abbildung 6.5.2.1: Diagramm von Markow–Kette 2) i) Die Berechnung zur U2 sind in der Tabelle 6.5.2.1 auf Seite 24 ր q0 q1 q2 q3 q0 q1 q2 q3 + 41 + 41 3 + 16 + 41 3 + 16 3 + 16 3 + 16 + 18 + 41 + 41 5 + 16 + 41 5 + 16 Tabelle 6.5.2.1: Berechnungen von U . 5 + 16 5 + 16 + 83 2 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 1 + 4 + 3 16 (U2 )T π0 = + 1 4 5 + 16 25 ii) Die Berechnung zur U3 sind in der Tabelle 6.5.2.2 auf Seite 25 ր q0 q1 q2 q3 q0 q1 q2 q3 7 + 32 7 + 32 15 + 64 + 41 + 11 64 + 11 64 + 11 64 5 + 32 9 + 32 9 + 32 17 + 64 + 41 21 + 64 21 + 64 21 + 64 11 + 32 Tabelle 6.5.2.2: Berechnungen von U3 . 7 + 32 + 11 64 3 T (U ) π0 = + 9 32 + 21 64 iii) Die Berechnung zur U5 sind in der Tabelle 6.5.2.3 auf Seite 25 ր q0 q1 q2 q3 q0 q1 q2 q3 119 + 512 119 + 512 239 + 1024 15 + 64 171 + 1024 171 + 1024 171 + 1024 85 + 512 137 + 512 137 + 512 273 + 1024 17 + 64 341 + 1024 Tabelle 6.5.2.3: Berechnungen von U5 . 341 + 1024 341 + 1024 171 + 512 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 119 + 512 + 171 1024 (U5 )T π0 = + 137 512 341 + 1024 3) Berechnung der stationären Verteilungs = s1 .. . sn 26 Es gilt s = UT s und s1 + · · · + sn = 1 im LGS s = UT s wird sn durch 1 − s1 − · · · − sn−1 in den ersten (n − 1) Gleichungen ersetzt; nicht aber in der letzten Gleichung. Das LGS wird nun gelöst. Lösung vom LGS . − 3 2 + 1 4 1 + 2 + 41 − 12 − 41 +0 − 34 + 41 +0 + 12 − 43 +0 + 14 + 41 − 12 +1 + 1 4 1 + 2 + 14 − 21 +0 +0 +0 + 31 + 16 +0 − 43 + 14 +0 + 21 − 34 +0 + 41 + 14 − 12 +1 + 1 3 +0 − 5 6 +0 + 31 +0 + 16 + 16 +0 5 + 24 +0 − 56 +0 5 + 24 − 12 a(0) 1 a(0) 2 a(0) 3 a(0) 4 + 31 a(1) 1 +0 a(1) 2 +0 a(1) 3 (1) +0 a4 + 13 1 − 12 − 16 1 − 12 = − 32 a(0) 1 = a(0) 2 = a(0) 3 = a(0) 4 (1) a(2) 1 = a1 (1) 1 (1) a(2) 2 = a2 − 4 a1 (1) 1 (1) a(2) 3 = a3 − 2 a1 (1) 1 (1) a(2) 4 = a4 − 4 a1 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 +1 + 1 3 +0 +1 +0 + 31 +0 + 16 + 16 +0 − 14 +0 − 56 +0 5 + 24 − 12 +1 +0 + 1 4 +0 +1 − 1 4 +0 +0 − 34 +0 +0 + 14 +1 +0 + 1 4 +0 +1 − 1 4 +0 +0 +1 +0 +0 + 14 +1 +0 +0 +0 +1 +0 +0 +0 +1 +0 +0 +0 +0 +0 +0 − 12 +0 +0 +0 − 12 +0 +0 +0 − 21 + 13 1 + 10 − 16 1 − 12 (2) a(3) 1 = a1 6 (2) a(3) 2 = − 5 a2 (2) a(3) 3 = a3 (2) a(3) 4 = a4 (4) 3 + 10 a1 1 + 10 a(4) 2 1 − 5 a(4) 3 (4) 1 a4 − 10 (5) 3 + 10 a1 1 + 10 a(5) 2 4 + 15 a(5) 3 (5) 1 a4 − 10 7 + 30 1 + 6 4 + 15 − 61 1 (3) = a(3) 1 − 3 a2 = a(3) 2 1 (3) = a(3) 3 − 3 a2 1 (3) = a(3) 4 − 6 a2 = a(4) 1 = a(4) 2 = − 34 a(4) 3 = a(4) 4 (5) 1 (5) a(6) 1 = a1 − 4 a3 (5) 1 (5) a(6) 2 = a2 + 4 a3 (5) a(6) 3 = a3 (5) 1 (5) a(6) 4 = a4 − 4 a3 27 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 +1 +0 +0 +0 +1 +0 +0 +0 +1 +0 +0 +0 +1 +0 +0 +0 +1 +0 +0 +0 +1 +0 +0 +0 7 + 30 + 1 s = 64 + 15 + 13 +0 +0 +0 +1 +0 +0 +0 +1 7 + 30 1 + 6 4 + 15 + 31 28 (6) a(7) 1 = a1 (6) a(7) 2 = a2 (6) a(7) 3 = a3 (6) a(7) 4 = −2a4 (8) 7 + 30 a1 1 + 6 a(8) 2 4 + 15 a(8) 3 (8) 1 +3 a4 (7) = a(7) 1 + 0a4 (7) = a(7) 2 + 0a4 (7) = a(7) 3 + 0a4 = a(7) 4 4) jede Zeile der Grenzmatrix G enthält die stationären Verteilung s ր q0 q1 q2 q3 q0 q1 q2 q3 7 + 30 7 + 30 7 + 30 7 + 30 + 16 + 16 + 16 + 16 4 + 15 4 + 15 4 + 15 4 + 15 + 31 Tabelle 6.5.2.4: Grenzmatrix G . 1 s1 . 5) Berechnung des erwarteten Rückkehrzeitsvektor τ = .. 1 sn 30 + 7 +6 τ = 15 + 4 +3 + 31 + 31 + 31 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 6.5.3 Aufgabe 6–2 Eine Markow–Kette besitzt die Übergangsmatrix U: ր q0 q1 q2 q0 2.500 E01 5.500 E01 2.000 E01 q1 1.900 E01 6.900 E01 1.200 E01 q2 4.700 E01 3.800 E01 1.500 E01 Tabelle 6.5.3.1: Übergangsmatrix U . 1) Erstellen Sie das dazugehörige Markow–Diagramm 2) Berechnen Sie i) U2 und (U2 )T π0 . ii) U3 und (U3 )T π0 . iii) U5 und (U5 )T π0 . 1.00 , wobei die Startverteilung π0 = 0.00 0.00 3) Berechnen Sie die stationäre Verteilung s 4) Berechnen Sie die Grenzmatrix G 5) Berechnen Sie den erwarteten Rückkehrzeitsvektor τ 6.5.4 Lösung der Aufgabe 6–2 1) 29 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 30 0.6900 q1 0.5500 0.2500 0.1900 0.1200 q0 0.3800 0.2000 0.1500 0.4700 q2 Abbildung 6.5.4.1: Diagramm von Markow–Kette 2) i) Die Berechnung zur U2 sind in der Tabelle 6.5.4.1 auf Seite 30 ր q0 q1 q2 q0 2.610 E01 5.930 E01 1.460 E01 q1 2.350 E01 6.262 E01 1.388 E01 q2 2.602 E01 5.777 E01 1.621 E01 Tabelle 6.5.4.1: Berechnungen von U2 . Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 0.2610 2 T (U ) π0 = 0.5930 0.1460 ii) Die Berechnung zur U3 sind in der Tabelle 6.5.4.2 auf Seite 31 ր q0 q1 q2 q0 2.465 E01 6.082 E01 1.453 E01 q1 2.430 E01 6.141 E01 1.430 E01 q2 2.510 E01 6.033 E01 1.457 E01 Tabelle 6.5.4.2: Berechnungen von U3 . 0.2465 3 T (U ) π0 = 0.6082 0.1453 iii) Die Berechnung zur U5 sind in der Tabelle 6.5.4.3 auf Seite 31 ր q0 q1 q2 q0 2.451 E01 6.110 E01 1.440 E01 q1 2.449 E01 6.112 E01 1.439 E01 q2 2.452 E01 6.108 E01 1.440 E01 Tabelle 6.5.4.3: Berechnungen von U5 . 31 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 0.2451 5 T (U ) π0 = 0.6110 0.1440 3) Berechnung der stationären Verteilungs = s1 .. . sn 32 Es gilt s = UT s und s1 + · · · + sn = 1 im LGS s = UT s wird sn durch 1 − s1 − · · · − sn−1 in den ersten (n − 1) Gleichungen ersetzt; nicht aber in der letzten Gleichung. Das LGS wird nun gelöst. Lösung vom LGS . −1.2200 −0.2800 0.0000 0.1700 −0.6900 0.0000 0.2000 0.1200 −0.8500 −0.4700 a(0) 1 −0.3800 a(0) 2 (0) 0.0000 a3 1.0000 0.2295 −0.0000 0.1700 −0.6900 0.0000 0.2000 0.1200 −0.8500 0.3852 a(1) = −0.8197a(0) 1 1 −0.3800 a(1) = a(0) 2 2 (1) 0.0000 a3 = a(0) 3 1.0000 0.2295 −0.0000 0.0000 −0.7290 0.0000 0.0000 0.0741 −0.8500 0.3852 a(2) = a(1) 1 1 (1) −0.4455 a(2) = a(1) 2 − 0.1700a1 2 (2) (1) −0.0770 a3 = a(1) 3 − 0.2000a1 1.0000 0.2295 −0.0000 −0.0000 1.0000 −0.0000 0.0000 0.0741 −0.8500 0.3852 a(3) = a(2) 1 1 0.6111 a(3) = −1.3717a(2) 2 2 (3) −0.0770 a3 = a(2) 3 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 1.0000 0.0000 0.0000 −0.0000 1.0000 −0.0000 0.0000 0.0000 −0.8500 1.0000 0.0000 0.0000 −0.0000 1.0000 −0.0000 −0.0000 −0.0000 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000 −0.0000 1.0000 0.0000 −0.0000 −0.0000 1.0000 (3) 0.2450 a(4) = a(3) 1 − 0.2295a2 1 0.6111 a(4) = a(3) 2 2 (4) (3) −0.1223 a3 = a(3) 3 − 0.0741a2 0.2450 a(5) = a(4) 1 1 0.6111 a(5) = a(4) 2 2 (5) 0.1439 a3 = −1.1765a(4) 3 (5) 0.2450 a(6) = a(5) 1 − 0.0000a3 1 (5) 0.6111 a(6) = a(5) 2 + 0.0000a3 2 (6) 0.1439 a3 = a(5) 3 0.24 s = 0.61 0.14 4) jede Zeile der Grenzmatrix G enthält die stationären Verteilung s ր q0 q1 q2 q0 2.450 E01 6.111 E01 1.439 E01 q1 2.450 E01 6.111 E01 1.439 E01 q2 2.450 E01 6.111 E01 1.439 E01 Tabelle 6.5.4.4: Grenzmatrix G . 33 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 1 s1 . 5) Berechnung des erwarteten Rückkehrzeitsvektor τ = .. 1 sn 4.08 τ = 1.64 6.95 34 Kapitel 7 absorbierende homogene Markow–Kette 7.1 Einführung Ein Zustand heisst absorbierend, wenn er nicht verlassen werden kann. Eine Markow–Kette heisst absorbierend, wenn sie mindestens einen absorbierenden Zustand hat und dieser von jedem transienten Zustand aus (in beliebig vielen Schritten) erreicht werden kann 1) Betrachten wir einen Käfer auf einer Figur. In den Endpunkten q3 und q4 wartet jeweils ein Vogel, der den Käfer verschlucken wird. Die Zustände q3 und q4 heissen absorbierend. In den Zuständen q0 , q1 und q2 wählt der Käfer die Richtung zum nächsten mit den gegebenen Wahrscheinlichkeiten. 35 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 36 0.1000 1.0000 0.4000 q0 q3 0.5000 0.5000 q2 0.4000 0.5000 0.4000 1.0000 0.2000 q1 q4 Abbildung 7.1.0.1: Diagramm von Markow–Kette 2) Es handelt sich um Absorbierende Markow–Kette mit m = 2 Randzuständen q4 q3 3) ր q0 q1 q2 q3 q4 q0 1.000 E01 0.000 E+00 5.000 E01 4.000 E01 0.000 E+00 q1 4.000 E01 4.000 E01 0.000 E+00 0.000 E+00 2.000 E01 q2 0.000 E+00 5.000 E01 0.000 E+00 5.000 E01 0.000 E+00 q3 0.000 E+00 0.000 E+00 0.000 E+00 1.000 E+00 0.000 E+00 q4 0.000 E+00 0.000 E+00 0.000 E+00 0.000 E+00 1.000 E+00 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 37 Tabelle 7.1.0.1: Übergangsmatrix U . Y mit E2 P Die Zerlegung der Übergangsmatrix U = 02,3 ր q0 q1 q0 1.000E01 0.000E+00 5.000E01 q1 4.000E01 4.000E01 0.000E+00 q2 0.000E+00 5.000E01 0.000E+00 q2 Tabelle 7.1.0.2: Matrix P . ր q3 q4 q0 4.000E01 0.000E+00 q1 0.000E+00 2.000E01 q2 5.000E01 0.000E+00 Tabelle 7.1.0.3: Matrix Y . 7.2 1. Mittelwertsregel Sei M := (Q = {q1 , . . . , qn−m , qn−m+1 , . . . , qn }, δ) eine absorbierende homogene Markow–Kette mit R = {qn−m+1 , . . . , qn } Menge der Randzustände R Für die Wahrscheinlichkeit ai, j von qi (mit 1 ≤ i ≤ n − m) aus in einem Randzustand q j (mit n − m + 1 ≤ j ≤ n) absorbiert zu werden, gilt ai, j = ui, j + n−m P k=1 ui,k ak, j Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 38 Für die (n − m) × m–Absorptionsmatrix A gilt A = (E − P)−1 Y Bei Markow–Kette ist man an den Wahrscheinlichkeiten interessiert, mit denen irgendwann einen Endzustand erreicht. Dies wird zunächst an einem Beispiel verdeutlicht. 4) Für unserem Käfer–Beispiel wollen wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Käfer vom Vogel auf der Platz q3 bzw. q4 verschluckt wird, wenn der Käfer in den Zuständen q0 , q1 bzw. q2 startet. Absorptionswahrscheinlichkeit (1. Mittelwertsregel) Gleichung nach der 1. Mittelwertsregel für Zustand q3 a0,3 = a1,3 = a2,3 = +0.1000a0,3 + 0.0000a1,3 + 0.5000a2,3 + 0.4000 +0.4000a0,3 + 0.4000a1,3 + 0.0000a2,3 + 0.0000 +0.0000a0,3 + 0.5000a1,3 + 0.0000a2,3 + 0.5000 Gleichung nach der 1. Mittelwertsregel für Zustand q4 a0,4 = a1,4 = a2,4 = +0.1000a0,4 + 0.0000a1,4 + 0.5000a2,4 + 0.0000 +0.4000a0,4 + 0.4000a1,4 + 0.0000a2,4 + 0.2000 +0.0000a0,4 + 0.5000a1,4 + 0.0000a2,4 + 0.0000 simultane Lösung aller LGS . −0.9000 0.0000 0.5000 0.4000 −0.6000 0.0000 0.0000 0.5000 −1.0000 1.0000 −0.0000 −0.5556 0.4000 −0.6000 0.0000 0.0000 0.5000 −1.0000 −0.4000 −0.0000 a(0) 1 −0.0000 −0.2000 a(0) 2 (0) a3 −0.5000 −0.0000 0.0000 a(1) = −1.1111a(0) 1 1 −0.0000 −0.2000 a(1) = a(0) 2 2 (1) −0.5000 −0.0000 a3 = a(0) 3 0.4444 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 1.0000 −0.0000 −0.5556 0.0000 −0.6000 0.2222 0.0000 0.5000 −1.0000 1.0000 −0.0000 −0.5556 −0.0000 1.0000 −0.3704 0.0000 0.5000 −1.0000 1.0000 0.0000 −0.5556 −0.0000 1.0000 −0.3704 0.0000 0.0000 −0.8148 1.0000 0.0000 −0.5556 −0.0000 1.0000 −0.3704 −0.0000 −0.0000 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000 −0.0000 1.0000 0.0000 −0.0000 −0.0000 1.0000 0.89 a3 = 0.59 0.80 0.11 a4 = 0.41 0.20 0.0000 a(2) = a(1) 1 1 (1) −0.1778 −0.2000 a(2) = a(1) 2 − 0.4000a1 2 (2) (1) −0.5000 −0.0000 a3 = a(1) 3 − 0.0000a1 0.4444 0.0000 a(3) = a(2) 1 1 0.2963 0.3333 a(3) = −1.6667a(2) 2 2 (3) −0.5000 −0.0000 a3 = a(2) 3 0.4444 (3) 0.0000 a(4) = a(3) 1 + 0.0000a2 1 0.2963 0.3333 a(4) = a(3) 2 2 (4) (3) −0.6481 −0.1667 a3 = a(3) 3 − 0.5000a2 0.4444 0.4444 0.0000 a(5) = a(4) 1 1 0.2963 0.3333 a(5) = a(4) 2 2 (5) 0.7955 0.2045 a3 = −1.2273a(4) 3 (5) 0.8864 0.1136 a(6) = a(5) 1 + 0.5556a3 1 (5) 0.5909 0.4091 a(6) = a(5) 2 + 0.3704a3 2 (6) 0.7955 0.2045 a3 = a(5) 3 39 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 40 Diese Vektoren sind die Spalten der Matrix (E − P)−1 Y 7.3 2. Mittelwertsregel: Mittlere Wartezeiten Sei M := (Q = {q1 , . . . , qn−m , qn−m+1 , . . . , qn }, δ) eine absorbierende homogene Markow–Kette mit R = {qn−m+1 , . . . , qn } Menge der Randzustände R Für die mittlere Anzahl der Schritte wi von qi aus bis zur Absorption in R gilt wi = 1 + n−m P ui,k wk k=1 Für die absorbierende Markow–Kette interessiert auch die „mittlere Schrittzahl“wi auf den Weg von einem inneren Zustand qi bis zur Absorption R. man nennt wi eine mittlere Wartezeit und bezeichnet die Menge aller absornierenden Zustände als Rand der Markow– Kette. Folgende Situation zeigt, wie man mittlere Wartezeiten bestimmt. Für den Vektor w gilt w = 1n−m + Pw, mit 1n−m der Einsvektor mit n − m Einsen 5) Für unserem Käfer–Beispiel wollen wissen, nach wie viel Schritten wird der Käfer einem Vogel verschluckt wird, wenn der Käfer in den Zuständen q0 , q1 bzw. q2 startet. Gleichungen nach der 2. Mittelwertsregel w0 = w1 = w2 = +0.1000w0 + 0.0000w1 + 0.5000w2 + 1.0000 +0.4000w0 + 0.4000w1 + 0.0000w2 + 1.0000 +0.0000w0 + 0.5000w1 + 0.0000w2 + 1.0000 Lösung aller LGS . −0.9000 0.0000 0.5000 0.4000 −0.6000 0.0000 0.0000 0.5000 −1.0000 1.0000 −0.0000 −0.5556 0.4000 −0.6000 0.0000 0.0000 0.5000 −1.0000 −1.0000 a(0) 1 −1.0000 a(0) 2 (0) −1.0000 a3 1.1111 a(1) = −1.1111a(0) 1 1 −1.0000 a(1) = a(0) 2 2 (1) −1.0000 a3 = a(0) 3 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 1.0000 −0.0000 −0.5556 0.0000 −0.6000 0.2222 0.0000 0.5000 −1.0000 1.0000 −0.0000 −0.5556 −0.0000 1.0000 −0.3704 0.0000 0.5000 −1.0000 1.0000 0.0000 −0.5556 −0.0000 1.0000 −0.3704 0.0000 0.0000 −0.8148 1.0000 0.0000 −0.5556 −0.0000 1.0000 −0.3704 −0.0000 −0.0000 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000 −0.0000 1.0000 0.0000 −0.0000 −0.0000 1.0000 1.1111 a(2) = a(1) 1 1 (1) −1.4444 a(2) = a(1) 2 − 0.4000a1 2 (2) (1) −1.0000 a3 = a(1) 3 − 0.0000a1 = a(2) 1.1111 a(3) 1 1 = −1.6667a(2) 2.4074 a(3) 2 2 (3) a3 = a(2) −1.0000 3 (3) = a(3) 1.1111 a(4) 1 + 0.0000a2 1 = a(3) 2.4074 a(4) 2 2 (4) (3) a3 = a(3) −2.2037 3 − 0.5000a2 1.1111 a(5) = a(4) 1 1 2.4074 a(5) = a(4) 2 2 (5) 2.7045 a3 = −1.2273a(4) 3 (5) = a(5) 2.6136 a(6) 1 + 0.5556a3 1 (5) = a(5) 3.4091 a(6) 2 + 0.3704a3 2 (6) a3 = a(5) 2.7045 3 2.61 mittlere Wartezeit (2. Mittelwertsregel) w = 3.41 2.70 41 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 Der Käfer lebt länger, wenn er in den Zuständen q1 startet. 42 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 43 7.4 Übungen 7.4.1 Aufgabe 7–1 Eine Markow–Kette besitzt die Übergangsmatrix U: ր q0 q1 q2 q3 q4 q0 0.000 E+00 5.000 E01 0.000 E+00 5.000 E01 0.000 E+00 q1 5.000 E01 0.000 E+00 5.000 E01 0.000 E+00 0.000 E+00 q2 0.000 E+00 5.000 E01 0.000 E+00 0.000 E+00 5.000 E01 q3 0.000 E+00 0.000 E+00 0.000 E+00 1.000 E+00 0.000 E+00 q4 0.000 E+00 0.000 E+00 0.000 E+00 0.000 E+00 1.000 E+00 Tabelle 7.4.1.1: Übergangsmatrix U . 1) Erstellen Sie das dazugehörige Markow–Diagramm 2) Geben Sie die Randzuständen der Markow–Kette 3) Geben Sie eine geeignete Zerlegung der Übergangsmatrix U 4) Berechnen Sie die Absorptionswahrscheinlichkeiten 5) Berechnen Sie die mittlere Wartezeit 7.4.2 Lösung der Aufgabe 7–1 1) Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 q0 1.0000 0.5000 0.5000 44 0.5000 0.5000 q1 q2 0.5000 0.5000 q3 q4 Abbildung 7.4.2.1: Diagramm von Markow–Kette 2) Es handelt sich um Absorbierende Markow–Kette mit m = 2 Randzuständen q4 q3 3) P Die Zerlegung der Übergangsmatrix U = 02,3 Y mit E2 ր q0 q0 0.000E+00 5.000E01 q1 5.000E01 q2 0.000E+00 5.000E01 q1 q2 0.000E+00 0.000E+00 5.000E01 Tabelle 7.4.2.1: Matrix P 0.000E+00 1.0000 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 . ր q3 q4 q0 5.000E01 0.000E+00 q1 0.000E+00 0.000E+00 q2 0.000E+00 5.000E01 Tabelle 7.4.2.2: Matrix Y . 4) Absorptionswahrscheinlichkeit (1. Mittelwertsregel) Gleichung nach der 1. Mittelwertsregel für Zustand q3 a0,3 = a1,3 = a2,3 = +0.0000a0,3 + 0.5000a1,3 + 0.0000a2,3 + 0.5000 +0.5000a0,3 + 0.0000a1,3 + 0.5000a2,3 + 0.0000 +0.0000a0,3 + 0.5000a1,3 + 0.0000a2,3 + 0.0000 Gleichung nach der 1. Mittelwertsregel für Zustand q4 a0,4 = a1,4 = a2,4 = +0.0000a0,4 + 0.5000a1,4 + 0.0000a2,4 + 0.0000 +0.5000a0,4 + 0.0000a1,4 + 0.5000a2,4 + 0.0000 +0.0000a0,4 + 0.5000a1,4 + 0.0000a2,4 + 0.5000 simultane Lösung aller LGS . −1.0000 0.5000 0.0000 0.5000 −1.0000 0.5000 0.0000 0.5000 −1.0000 −0.5000 −0.0000 a(0) 1 −0.0000 −0.0000 a(0) 2 (0) −0.0000 −0.5000 a3 45 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 1.0000 −0.5000 −0.0000 0.5000 −1.0000 0.5000 0.0000 0.5000 −1.0000 0.0000 a(1) = −1.0000a(0) 1 1 −0.0000 −0.0000 a(1) = a(0) 2 2 (1) −0.0000 −0.5000 a3 = a(0) 3 1.0000 −0.5000 −0.0000 0.0000 −0.7500 0.5000 0.0000 0.5000 −1.0000 0.0000 a(2) = a(1) 1 1 (1) −0.2500 −0.0000 a(2) = a(1) 2 − 0.5000a1 2 (2) (1) −0.0000 −0.5000 a3 = a(1) 3 − 0.0000a1 1.0000 −0.5000 −0.0000 −0.0000 1.0000 −0.6667 0.0000 0.5000 −1.0000 1.0000 0.0000 −0.3333 −0.0000 1.0000 −0.6667 0.0000 0.0000 −0.6667 1.0000 0.0000 −0.3333 −0.0000 1.0000 −0.6667 −0.0000 −0.0000 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000 −0.0000 1.0000 0.0000 −0.0000 −0.0000 1.0000 0.5000 0.5000 0.0000 a(3) = a(2) 1 1 0.3333 0.0000 a(3) = −1.3333a(2) 2 2 (3) −0.0000 −0.5000 a3 = a(2) 3 0.5000 (3) 0.0000 a(4) = a(3) 1 + 0.5000a2 1 0.3333 0.0000 a(4) = a(3) 2 2 (4) (3) −0.1667 −0.5000 a3 = a(3) 3 − 0.5000a2 0.6667 0.6667 0.0000 a(5) = a(4) 1 1 0.3333 0.0000 a(5) = a(4) 2 2 (5) 0.2500 0.7500 a3 = −1.5000a(4) 3 (5) 0.7500 0.2500 a(6) = a(5) 1 + 0.3333a3 1 (5) 0.5000 0.5000 a(6) = a(5) 2 + 0.6667a3 2 (6) 0.2500 0.7500 a3 = a(5) 3 46 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 0.75 a3 = 0.50 0.25 0.25 a4 = 0.50 0.75 Diese Vektoren sind die Spalten der Matrix (E − P)−1 Y 5) Gleichungen nach der 2. Mittelwertsregel w0 = w1 = w2 = +0.0000w0 + 0.5000w1 + 0.0000w2 + 1.0000 +0.5000w0 + 0.0000w1 + 0.5000w2 + 1.0000 +0.0000w0 + 0.5000w1 + 0.0000w2 + 1.0000 Lösung aller LGS . −1.0000 0.5000 0.0000 0.5000 −1.0000 0.5000 0.0000 0.5000 −1.0000 −1.0000 a(0) 1 −1.0000 a(0) 2 (0) −1.0000 a3 1.0000 −0.5000 −0.0000 0.5000 −1.0000 0.5000 0.0000 0.5000 −1.0000 = −1.0000a(0) 1.0000 a(1) 1 1 = a(0) −1.0000 a(1) 2 2 (1) a3 = a(0) −1.0000 3 1.0000 −0.5000 −0.0000 0.0000 −0.7500 0.5000 0.0000 0.5000 −1.0000 1.0000 a(2) = a(1) 1 1 (1) −1.5000 a(2) = a(1) 2 − 0.5000a1 2 (2) (1) −1.0000 a3 = a(1) 3 − 0.0000a1 47 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 1.0000 −0.5000 −0.0000 −0.0000 1.0000 −0.6667 0.0000 0.5000 −1.0000 1.0000 0.0000 −0.3333 −0.0000 1.0000 −0.6667 0.0000 0.0000 −0.6667 1.0000 0.0000 −0.3333 −0.0000 1.0000 −0.6667 −0.0000 −0.0000 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000 −0.0000 1.0000 0.0000 −0.0000 −0.0000 1.0000 48 1.0000 a(3) = a(2) 1 1 2.0000 a(3) = −1.3333a(2) 2 2 (3) −1.0000 a3 = a(2) 3 (3) 2.0000 a(4) = a(3) 1 + 0.5000a2 1 2.0000 a(4) = a(3) 2 2 (4) (3) −2.0000 a3 = a(3) 3 − 0.5000a2 2.0000 a(5) = a(4) 1 1 2.0000 a(5) = a(4) 2 2 (5) 3.0000 a3 = −1.5000a(4) 3 (5) 3.0000 a(6) = a(5) 1 + 0.3333a3 1 (5) 4.0000 a(6) = a(5) 2 + 0.6667a3 2 (6) 3.0000 a3 = a(5) 3 3.00 mittlere Wartezeit (2. Mittelwertsregel) w = 4.00 3.00 7.4.3 Aufgabe 7–2 Eine Markow–Kette besitzt die Übergangsmatrix U: ր q0 q1 q2 q3 q4 q0 +0 + 12 +0 + 21 +0 q1 + 21 +0 + 21 +0 +0 q2 +0 + 12 +0 +0 + 12 q3 +0 +0 +0 +1 +0 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 q4 +0 +0 +0 +0 Tabelle 7.4.3.1: Übergangsmatrix U . 1) Erstellen Sie das dazugehörige Markow–Diagramm 2) Geben Sie die Randzuständen der Markow–Kette 3) Geben Sie eine geeignete Zerlegung der Übergangsmatrix U 4) Berechnen Sie die Absorptionswahrscheinlichkeiten 5) Berechnen Sie die mittlere Wartezeit 7.4.4 Lösung der Aufgabe 7–2 1) 49 +1 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 q0 + 12 + 12 50 + 21 + 21 q1 + 12 +1 q2 + 21 q3 q4 Abbildung 7.4.4.1: Diagramm von Markow–Kette 2) Es handelt sich um Absorbierende Markow–Kette mit m = 2 Randzuständen q4 q3 3) P Die Zerlegung der Übergangsmatrix U = 02,3 Y mit E2 ր q0 q1 q2 q0 +0 + 21 +0 q1 + 21 +0 + 21 q2 +0 + 21 +0 Tabelle 7.4.4.1: Matrix P +1 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 . ր q3 q4 q0 + 12 +0 q1 +0 +0 q2 +0 + 21 Tabelle 7.4.4.2: Matrix Y . 4) Absorptionswahrscheinlichkeit (1. Mittelwertsregel) Gleichung nach der 1. Mittelwertsregel für Zustand q3 a0,3 = a1,3 = a2,3 = +0a0,3 + 12 a1,3 + 0a2,3 + 1 2 + 21 a0,3 + 0a1,3 + 21 a2,3 + 0 +0a0,3 + 12 a1,3 + 0a2,3 + 0 Gleichung nach der 1. Mittelwertsregel für Zustand q4 a0,4 = a1,4 = a2,4 = +0a0,4 + 12 a1,4 + 0a2,4 + 0 + 21 a0,4 + 0a1,4 + 21 a2,4 + 0 +0a0,4 + 12 a1,4 + 0a2,4 + 1 2 simultane Lösung aller LGS . −1 + 1 2 +0 + 21 +0 − 21 −1 + 21 +0 + 21 −1 +0 +1 + 1 2 +0 +0 a(0) 1 +0 a(0) 2 (0) 1 −2 a3 − 21 +0 + 21 −1 + 21 +0 + 21 −1 +0 +0 a(1) = −1a(0) 1 1 +0 a(1) = a(0) 2 2 (1) − 21 a3 = a(0) 3 51 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 +1 − 1 2 +0 − 3 4 +0 + 21 +1 − 1 2 +0 +1 +0 + 21 +0 + 12 + 21 − 14 −1 +0 +0 + 12 − 32 + 13 −1 +0 +1 +0 − 1 3 +0 +1 − 2 3 +0 +0 − 23 +1 +0 − 1 3 +0 +1 − 2 3 +0 +0 +1 +1 +0 +0 +0 +1 +0 +0 +0 +1 + 3 4 a3 = + 21 + 41 + 32 + 31 − 61 + 32 + 31 + 41 + 34 + 12 + 14 +0 a(2) = a(1) 1 1 1 (1) +0 a(2) = a(1) 2 − 2 a1 2 (2) (1) 1 a3 = a(1) −2 3 + 0a1 +0 a(3) = a(2) 1 1 +0 a(3) = − 34 a(2) 2 2 (3) a3 = a(2) − 12 3 1 (3) +0 a(4) = a(3) 1 + 2 a2 1 +0 a(4) = a(3) 2 2 (4) 1 (3) − 12 a3 = a(3) 3 − 2 a2 +0 a(5) = a(4) 1 1 +0 a(5) = a(4) 2 2 (5) + 34 a3 = − 23 a(4) 3 1 (5) = a(5) + 14 a(6) 1 + 3 a3 1 1 2 (5) + 2 a(6) = a(5) 2 + 3 a3 2 (6) 3 +4 a3 = a(5) 3 52 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 + 1 4 a4 = + 21 + 43 Diese Vektoren sind die Spalten der Matrix (E − P)−1 Y 5) Gleichungen nach der 2. Mittelwertsregel w0 = w1 = w2 = +0w0 + 21 w1 + 0w2 + 1 + 21 w0 + 0w1 + 21 w2 + 1 +0w0 + 12 w1 + 0w2 + 1 Lösung aller LGS . −1 + 1 2 +0 + 21 +0 −1 + 21 + 21 −1 +1 + 1 2 +0 −1 a(0) 1 −1 a(0) 2 (0) −1 a3 − 21 +0 −1 + 21 + 21 −1 +1 − 1 2 +0 − 3 4 +0 + 21 +1 − 1 2 +0 +1 +0 + 12 +0 + 21 −1 +0 − 32 −1 +1 a(1) = −1a(0) 1 1 −1 a(1) = a(0) 2 2 (1) −1 a3 = a(0) 3 +1 a(2) = a(1) 1 1 1 (1) − 32 a(2) = a(1) 2 − 2 a1 2 (2) (1) a3 = a(1) −1 3 + 0a1 +1 a(3) = a(2) 1 1 +2 a(3) = − 34 a(2) 2 2 (3) a3 = a(2) −1 3 53 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 +1 +0 − 1 3 +0 +1 − 2 3 +0 +0 − 32 1 (3) +2 a(4) = a(3) 1 + 2 a2 1 = a(3) +2 a(4) 2 2 (4) 1 (3) a3 = a(3) −2 3 − 2 a2 +1 +0 − 1 3 +0 +1 − 2 3 +0 +0 +1 +2 a(5) = a(4) 1 1 +2 a(5) = a(4) 2 2 (5) +3 a3 = − 23 a(4) 3 +1 +0 +0 +0 +1 +0 +0 +0 +1 1 (5) +3 a(6) = a(5) 1 + 3 a3 1 2 (5) = a(5) +4 a(6) 2 + 3 a3 2 (6) a3 = a(5) +3 3 +3 mittlere Wartezeit (2. Mittelwertsregel) w = +4 +3 54 Kapitel 10 Diskrete Gleichverteilung 10.1 Definition Eine Zufallsvariable X besitzt eine Diskrete Gleichverteilung DiG(a; d; n) mit den Parametern a, d ∈ R; d > 0 und n ∈ N, wenn fDiG(a;d;n) (xk ) = Pr DiG(a;d;n) (X = xk ) = 1 , xk = a + dk; k = 0, 1, 2, . . . , n n+1 (10.1.0.1) Rekursionsformel PrDiG(a;d;n) (X = xk+1 ) = PrDiG(a;d;n) (X = xk ) Es handelt sich wohl um eine Wahrscheinlichkeit, denn n P PrDiG(a;d;n) (X = xk ) k=0 = n P k=0 = 1 n+1 = n+1 n+1 = 1 1 n+1 n P 1 k=a Für den Erwartungswert gilt: 55 (10.1.0.2) Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 56 E[X] = n P xk PrDiG(a;d;n) (X = xk ) k=0 = n P k=0 = = a+dk n+1 1 n+1 1 n+1 = 1 n+1 = a+ n P (10.1.0.3) (a + dk) k=0 n P a+d k=0 n P k k=0 ! a(n + 1) + d n(n+1) 2 dn 2 Für die Varianz gilt: Var[X] = n P k=0 = n P k=0 = = = 1 n+1 1 n+1 x2k PrDiG(a;d;n) (X = xk ) − (E[X])2 (a+dk)2 n+1 − (a + dn 2 2 ) (10.1.0.4) n P (a + dk) − (a + dn 2 2 ) (a + dk)2 − (a + dn 2 2 ) 2 k=0 n P k=0 d 2 n(n+2) 12 10.2 Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion G DiG(a;d;n) (x) = +∞ X k=0 . xa+dk 1 n+1 (10.2.0.1) Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 57 10.3 Kennzahlen Zufallsvariable X: X ∼ DiG(a; d; n) (n + 1): Anzahl der möglichen Ausprägungen Beispiel 10.3.0.1 . 10.4 Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion Eine Wertetabelle der Dichtefunktion ist in der Tabelle 10.4.0.1 auf Seite 57 k xk Pr(X = xk ) 0 -4.0000 0.0909 1 -2.0000 0.0909 2 0.0000 0.0909 3 2.0000 0.0909 4 4.0000 0.0909 5 6.0000 0.0909 6 8.0000 0.0909 7 10.0000 0.0909 8 12.0000 0.0909 9 14.0000 0.0909 10 16.0000 0.0909 Tabelle 10.4.0.1: Wertetabelle der Dichtefunktion Das Kurvenbild ist in der Abbildung 10.4.0.1 auf Seite 57 Pr(X = xk ) 0.20 Abbildung 10.4.0.1: Graph der Dichtefunktion fDiG(a;d;n) (k) = PrDiG(a;d;n) (X = xk ) = 1 n+1 20.00 18.00 16.00 14.00 12.00 10.00 8.00 6.00 4.00 2.00 -2.00 -4.00 -6.00 -8.00 -10.00 0.10 xk Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 10.5 Verteilungsfunktion Eine Wertetabelle der Verteilungsfunktion ist in der Tabelle 10.5.0.1 auf Seite 58 Pr(X ≤ xk ) k xk 0 -4.000 1 -2.000 0.1818 2 0.000 0.2727 3 2.000 0.3636 4 4.000 0.4545 5 6.000 0.5455 6 8.000 0.6364 7 10.000 0.7273 8 12.000 0.8182 9 14.000 0.9091 10 16.000 1.0000 0.0909 Tabelle 10.5.0.1: Wertetabelle der Verteilungsfunktion Das Kurvenbild ist in der Abbildung 10.5.0.1 auf Seite 59 58 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 59 Pr(X ≤ xk ) 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 Abbildung 10.5.0.1: Graph der Verteilungsfunktion F DiG(a;d;n) (xk ) = PrDiG(a;d;n) (X ≤ xk ) = k P j=0 F DiG(a;d;n) (Rg(k)) = PrDiG(a;d;n) (Rg(X) ≤ k) = 1 n+1 k P j=0 PrDiG(a;d;n) (Rg(X) < k) = F DiG(a;d;n) (Rg(k − 1)) = xk − a + d = 1 n+1 d(n + 1) = k+1 n+1 k n+1 PrDiG(a;d;n) (Rg(X) ≥ k) = 1 − F DiG(a;d;n) (Rg(k − 1)) = 1 − PrDiG(a;d;n) (Rg(X) > k) = 1 − F DiG(a;d;n) (Rg(k)) = 1 − k n+1 k+1 n+1 PrDiG(a;d;n) (i < Rg(X) ≤ j) = F DiG(a;d;n) (Rg( j)) − F DiG(a;d;n) (Rg(i)) = j−i n+1 PrDiG(a;d;n) (i ≤ Rg(X) ≤ j) = F DiG(a;d;n) (Rg( j)) − F DiG(a;d;n) (Rg(i − 1)) = j+1−i n+1 PrDiG(a;d;n) (i ≤ Rg(X) < j) = F DiG(a;d;n) (Rg( j − 1)) − F DiG(a;d;n) (Rg(i − 1)) = j−i n+1 20.00 18.00 16.00 14.00 12.00 10.00 8.00 6.00 4.00 2.00 -2.00 -4.00 -6.00 -8.00 -10.00 0.10 xk Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 PrDiG(a;d;n) (i < Rg(X) < j) = F DiG(a;d;n) (Rg( j − 1)) − F DiG(a;d;n) (Rg(i)) = j−i−1 n+1 60 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 61 10.6 Übungen 10.6.1 Aufgabe 10–1 Für ein Skispringen wird die Reihenfolge ausgelost, in der die 80 gemeldeten Springer die Qualifikation bestreiten. Die Zufallsvariable X bezeichne die ausgeloste Startnummer des Springers Fritz Weitflug 1) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er eine Startnummer von 3 bis -1 zugelost bekommt? 2) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er eine Startnummer grösser als 3 zugelost bekommt? zu warten? 3) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er eine Startnummer kleiner als 2 zugelost bekommt? zu warten? 4) Berechnen Sie µ 5) Berechnen Sie σ 10.6.2 Lösung der Aufgabe 10–1 Die Zufallsvariable X ist DiG(a=1.0000;d=1.0000;n=79)–Verteilt. X kann die diskrete Werte xk = a + dk; k = 0, 1, 2, . . . , 79 1) PrDiG(1.0000;1.0000;79) (X > x3 ) = 1 − F DiG(1.0000;1.0000;79) (x3 ) =1− 3+1 79+1 = 1 − 0.05000000 = 0.95000000 2) PrDiG(1.0000;1.0000;79) (X ≥ x3 ) = 1 − F DiG(1.0000;1.0000;79) (x2 ) =1− 2+1 79+1 = 1 − 0.03750000 = 0.96250000 3) PrDiG(1.0000;1.0000;79) (X ≤ x2 ) = F DiG(1.0000;1.0000;79) (x2 ) = 2+1 79+1 = 0.03750000 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 4) PrDiG(1.0000;1.0000;79) (X < x2 ) = PrDiG(1.0000;1.0000;79) (X ≤ x1 ) = F DiG(1.0000;1.0000;79) (x1 ) = 1+1 79+1 = 0.02500000 5) PrDiG(1.0000;1.0000;79) (x2 < X < x5 ) = F DiG(1.0000;1.0000;79) (x4 ) − F DiG(1.0000;1.0000;79) (x2 ) = 4+1 79+1 − 2+1 79+1 = 0.06250000 − 0.03750000 = 0.02500000 6) PrDiG(1.0000;1.0000;79) (x2 < X ≤ x5 ) = F DiG(1.0000;1.0000;79) (x5 ) − F DiG(1.0000;1.0000;79) (x2 ) = 5+1 79+1 − 2+1 79+1 = 0.07500000 − 0.03750000 = 0.03750000 7) PrDiG(1.0000;1.0000;79) (x2 ≤ X < x5 ) = F DiG(1.0000;1.0000;79) (x4 ) − F DiG(1.0000;1.0000;79) (x1 ) = 4+1 79+1 − 1+1 79+1 = 0.06250000 − 0.02500000 = 0.03750000 8) PrDiG(1.0000;1.0000;79) (x2 ≤ X ≤ x5 ) = F DiG(1.0000;1.0000;79) (x5 ) − F DiG(1.0000;1.0000;79) (x1 ) = 5+1 79+1 − 1+1 79+1 = 0.07500000 − 0.02500000 = 0.05000000 62 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 9) PrDiG(1.0000;1.0000;79) (X = x2 ) = fDiG(1.0000;1.0000;79) (x2 ) = 1 79+1 = 0.01250000 = 0.01250000 10) PrDiG(1.0000;1.0000;79) (X = x3 ) = fDiG(1.0000;1.0000;79) (x3 ) = 1 79+1 = 0.01250000 = 0.01250000 (1.0000)∗79 = 40.5000 11) µ = a + dn 2 = 1.0000 + 2 q q 2 2 ∗79∗(79+2) 12) σ = d n(n+2) = (1.0000) 12 = 23.0922 12 63 Kapitel 11 Binomialverteilung 11.1 Definition Die Binomialverteilung Bin(n, p) ist eine der wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Es handelt sich dabei um eine Abfolge mehrerer (n mal), unter gleich bleibenden Bedingungen durchgeführter Bernoulli–Versuche. Ein Bernoulli–Versuch ist ein Zufallsversuch mit genau zwei möglichen Ergebnissen, die man üblicherweise als Erfolg und Misserfolg bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg sei p; dann ist die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg q = 1 − p. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man k Erfolge in n Versuche einer Binomialverteilung Bin(n, p) erhält, ist ! n k fBin(n,p) (k) = Pr (X = k) = p (1 − p)n−k Bin(n,p) k Rekursionsformel PrBin(n,p) (X = k + 1) = (n−k)p (k+1)(1−p) (11.1.0.1) PrBin(n,p) (X = k) Für n = 2 erhält man die sog. Bernoulli–Verteilung bzw. Newtonsche Verteilung Es handelt sich wohl um eine Wahrscheinlichkeit, denn n P PrBin(n,p) (X = k) k=0 = n P n k=0 k pk (1 − p)n−k (11.1.0.2) = ( p + (1 − p)) | {z } =1 = 1 Für den Erwartungswert gilt: 64 n Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 65 E[X] n P = k PrBin(n,p) (X = k) k=0 n P k nk pk (1 − p)n−k = k=0 (11.1.0.3) = np( p + (1 − p))n−1 | {z } =1 = np Für die Varianz gilt: Var[X] = n P k=0 = n P k2 PrBin(n,p) (X = k) − (E[X])2 k2 n k pk (1 − p)n−k − n2 p2 k2 n pk (1 − p)n−k − n2 p2 k=0 = n P k=1 = k (11.1.0.4) np( p + (1 − p))n−2 ((1 − p) + np) − n2 p2 | {z } =1 = = np((1 − p) + np) − n2 p2 np(1 − p) 11.2 Kennzahlen Zufallsvariable X: X ∼ Bin(n, p), wobei n: Anzahl der Wiederholungen des Zufallsexperiments p: Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Ereignisses mit der Eigenschaft A Beispiel 11.2.0.1 Eine Befragung hat ergeben, dass 90% der Studierenden über einen eigenen PC verfügen. Wie wahrscheinlich ist es dann, eine Stichprobe von n = 10 Personen zu ziehen, in der nur jeder zweite, also genau 5 Personen einen eigenen PC besitzen?. Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 66 11.3 Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion Eine Wertetabelle der Dichtefunktion ist in der Tabelle 11.3.0.1 auf Seite 66 k xk Pr(X = xk ) 0 0.0000 0.0440 1 1.0000 0.1539 2 2.0000 0.2501 3 3.0000 0.2501 4 4.0000 0.1720 5 5.0000 0.0860 6 6.0000 0.0322 7 7.0000 0.0092 8 8.0000 0.0020 9 9.0000 0.0003 10 10.0000 0.0000 11 11.0000 0.0000 12 12.0000 0.0000 13 13.0000 0.0000 14 14.0000 0.0000 Tabelle 11.3.0.1: Wertetabelle der Dichtefunktion Das Kurvenbild ist in der Abbildung 11.3.0.1 auf Seite 66 Pr(X = xk ) 0.50 0.40 0.30 0.20 Abbildung 11.3.0.1: Graph der Dichtefunktion fBin(n,p) (k) = PrBin(n,p) (X = k) = n k pk (1 − p)n−k 15.00 14.00 13.00 12.00 11.00 10.00 9.00 8.00 7.00 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 0.10 xk Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 11.4 Verteilungsfunktion Eine Wertetabelle der Verteilungsfunktion ist in der Tabelle 11.4.0.1 auf Seite 67 Pr(X ≤ xk ) k xk 0 0.000 1 1.000 0.1979 2 2.000 0.4481 3 3.000 0.6982 4 4.000 0.8702 5 5.000 0.9561 6 6.000 0.9884 7 7.000 0.9976 8 8.000 0.9996 9 9.000 1.0000 10 10.000 1.0000 11 11.000 1.0000 12 12.000 1.0000 13 13.000 1.0000 14 14.000 1.0000 0.0440 Tabelle 11.4.0.1: Wertetabelle der Verteilungsfunktion Das Kurvenbild ist in der Abbildung 11.4.0.1 auf Seite 68 67 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 68 Pr(X ≤ xk ) 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 Abbildung 11.4.0.1: Graph der Verteilungsfunktion F Bin(n,p) (k) = PrBin(n,p) (X ≤ k) = k P n j=0 j p j (1 − p)n− j 11.5 Ablesehilfe in der Literatur sind meistens Tabellen nur für p < 0.5 vorhanden. Für p > 0.5 gelten aber die Formeln PrBin(n,p) (X = k) = n k pk (1 − p)n−k = = PrBin(n,1−p) (X = n − k) n n−k (1 − p)n−k (1 − (1 − p))n−(n−k) 15.00 14.00 13.00 12.00 11.00 10.00 9.00 8.00 7.00 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 0.10 xk Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 PrBin(n,p) (X ≤ k) = k P PrBin(n,p) (X = i) i=0 = k P i=0 = = = PrBin(n,1−p) (X = n − i) 1− 1− n P i=k+1 0 P PrBin(n,1−p) (X = n − i)) PrBin(n,1−p) (X = j)) j=n−k−1 1 − PrBin(n,1−p) (X ≤ n − k − 1) PrBin(n,p) (X ≥ k) = 1 − PrBin(n,p) (X ≤ k − 1) = 1 − (1 − PrBin(n,1−p) (X ≤ n − k)) = PrBin(n,1−p) (X ≤ n − k) 69 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 70 11.6 Übungen 11.6.1 Aufgabe 11–1 An einer Tankstelle tanken ankommende Fahrzeuge mit der Wahrscheinlichkeit p = 0.7000 Dieselkraftstoff. Die Anzahl X der ankommenden Fahrzeuge sei binomialverteilt. An einem Tag registriert man 20 ankommenden Fahrzeugen. 1) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tanken genau 6 ankommenden Fahrzeugen Dieselkraftstoff? 2) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tanken mindestens 6 ankommenden Fahrzeugen Dieselkraftstoff? 3) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tanken mehr als -1 ankommenden Fahrzeugen Dieselkraftstoff? 4) Berechnen Sie µ 5) Berechnen Sie σ 11.6.2 Lösung der Aufgabe 11–1 Die Zufallsvariable X ist Bin(n = 20; p = 0.7000)–Verteilt 1) PrBin(20,0.7000) (X = 6) = F Bin(20,0.7000) (6) − F Bin(20,0.7000) (5) = (1 − F Bin(20,1−0.7000) (20 − 1 − 6)) − (1 − F Bin(20,1−0.7000) (20 − 1 − 5)) = (1 − F Bin(20,1−0.7000) (13)) − (1 − F Bin(20,1−0.7000) (14)) = F Bin(20,0.3000) (14) − F Bin(20,0.3000) (13) = 0.99995706 − 0.99973895, abgelesen aus der Tabelle A.0.0.1 ab Seite 232 am Anhang = 0.00021811 2) PrBin(20,0.7000) (X ≥ 6) = 1 − F Bin(20,0.7000) (5) = 1 − (1 − F Bin(20,1−0.7000) (20 − 1 − 5)) = 1 − (1 − F Bin(20,0.3000) (14)) = F Bin(20,0.3000) (14) = 0.99995706, abgelesen aus der Tabelle A.0.0.1 ab Seite 232 am Anhang 3) PrBin(20,0.7000) (X > 6) = 1 − F Bin(20,0.7000) (6) Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 = 1 − (1 − F Bin(20,1−0.7000) (20 − 1 − 6)) = 1 − (1 − F Bin(20,0.3000) (13)) = F Bin(20,0.3000) (13) = 0.99973895, abgelesen aus der Tabelle A.0.0.1 ab Seite 232 am Anhang 4) PrBin(20,0.7000) (X ≤ 11) = F Bin(20,0.7000) (11) = 1 − F Bin(20,1−0.7000) (20 − 1 − 11) = 1 − F Bin(20,0.3000) (8) = 1 − 0.88666854, abgelesen aus der Tabelle A.0.0.1 ab Seite 232 am Anhang = 0.11333146 5) PrBin(20,0.7000) (X < 11) = PrBin(20,0.7000) (X ≤ 10) = F Bin(20,0.7000) (10) = 1 − F Bin(20,1−0.7000) (20 − 1 − 10) = 1 − F Bin(20,0.3000) (9) = 1 − 0.95203810, abgelesen aus der Tabelle A.0.0.1 ab Seite 232 am Anhang = 0.04796190 6) PrBin(20,0.7000) (6 ≤ X < 11) = F Bin(20,0.7000) (10) − F Bin(20,0.7000) (5) = (1 − F Bin(20,1−0.7000) (20 − 1 − 10)) − (1 − F Bin(20,1−0.7000) (20 − 1 − 5)) = (1 − F Bin(20,1−0.7000) (9)) − (1 − F Bin(20,1−0.7000) (14)) = F Bin(20,0.3000) (14) − F Bin(20,0.3000) (9) = 0.99995706 − 0.95203810, abgelesen aus der Tabelle A.0.0.1 ab Seite 232 am Anhang = 0.04791896 7) PrBin(20,0.7000) (6 ≤ X ≤ 11) 71 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 = F Bin(20,0.7000) (11) − F Bin(20,0.7000) (5) = (1 − F Bin(20,1−0.7000) (20 − 1 − 11)) − (1 − F Bin(20,1−0.7000) (20 − 1 − 5)) = (1 − F Bin(20,1−0.7000) (8)) − (1 − F Bin(20,1−0.7000) (14)) = F Bin(20,0.3000) (14) − F Bin(20,0.3000) (8) = 0.99995706 − 0.88666854, abgelesen aus der Tabelle A.0.0.1 ab Seite 232 am Anhang = 0.11328852 8) PrBin(20,0.7000) (6 < X < 11) = F Bin(20,0.7000) (10) − F Bin(20,0.7000) (6) = (1 − F Bin(20,1−0.7000) (20 − 1 − 10)) − (1 − F Bin(20,1−0.7000) (20 − 1 − 5)) = (1 − F Bin(20,1−0.7000) (9)) − (1 − F Bin(20,1−0.7000) (14)) = F Bin(20,0.3000) (14) − F Bin(20,0.3000) (9) = 0.99995706 − 0.95203810, abgelesen aus der Tabelle A.0.0.1 ab Seite 232 am Anhang = 0.04791896 9) PrBin(20,0.7000) (6 < X ≤ 11) = F Bin(20,0.7000) (11) − F Bin(20,0.7000) (6) = (1 − F Bin(20,1−0.7000) (20 − 1 − 11)) − (1 − F Bin(20,1−0.7000) (20 − 1 − 6)) = (1 − F Bin(20,1−0.7000) (8)) − (1 − F Bin(20,1−0.7000) (13)) = F Bin(20,0.3000) (13) − F Bin(20,0.3000) (8) = 0.99973895 − 0.88666854, abgelesen aus der Tabelle A.0.0.1 ab Seite 232 am Anhang = 0.11307042 10) µ = np = 20 ∗ 0.7000 = 14.0000 11) σ = p np(1 − p) = √ 20 ∗ 0.7000(1 − 0.7000) = 2.0494 72 Kapitel 12 Poisson Verteilung 12.1 Definition Tritt ein Ereignis in einem bestimmten Intervall völlig zufällig mit einem bestimmten Erwartungswert ein, dann ist die Zufallsgrösse X, welche angibt, wie viel mal das Ereignis in dem selben Intervall eintritt, gerade Poisson–verteil Eine Zufallsvariable X besitzt eine Poisson–Verteilung Poi(λ) mit dem Parameter λ (λ > 0), wenn fPoi(λ) (k) = Pr (X = k) = Poi(λ) Rekursionsformel PrPoi(λ) (X = k + 1) = λ k+1 λk −λ e , wobei λ > 0 k! (12.1.0.1) PrPoi(λ) (X = k) Es handelt sich wohl um eine Wahrscheinlichkeit, denn +∞ P PrPoi(λ) (X = k) k=0 = +∞ P k=0 = e−λ λk −λ k! e +∞ P k=0 = e−λ eλ = 1 λk k! Für den Erwartungswert gilt: 73 (12.1.0.2) Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 74 E[X] = +∞ P k PrPoi(λ) (X = k) k=0 = +∞ P k=0 = e−λ k k λk! e−λ (12.1.0.3) +∞ P k=0 k k λk! = e−λ λeλ = λ Für die Varianz gilt: Var[X] = +∞ P k=0 = +∞ P k=0 = e−λ k2 PrPoi(λ) (X = k) − (E[X])2 k k2 λk! e−λ − λ2 +∞ P k=1 k k2 λk! − λ2 = e−λ (λ2 eλ + λeλ ) − λ2 = λ2 + λ − λ2 = λ (12.1.0.4) 12.2 Kennzahlen Zufallsvariable X: X ∼ Poi(λ) λ: Erwartungswert Beispiel 12.2.0.1 In 1 Liter Flüssigkeit befinden sich 300 Fremdkörper, die in der Flüssigkeit zufällig verteilt sind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich in 1 cm3 der Flüssigkeit 2 oder mehr Fremdkörper? (1 Liter hat 1000 cm3) Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 12.3 Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion k: Anzahl der Ergebnisse des Zufallsesperiments mit einer Eigenschaft A Eine Wertetabelle der Dichtefunktion ist in der Tabelle 12.3.0.1 auf Seite 75 k xk Pr(X = xk ) 0 0.0000 0.1353 1 1.0000 0.2707 2 2.0000 0.2707 3 3.0000 0.1804 4 4.0000 0.0902 5 5.0000 0.0361 6 6.0000 0.0120 7 7.0000 0.0034 8 8.0000 0.0009 9 9.0000 0.0002 10 10.0000 0.0000 11 11.0000 0.0000 12 12.0000 0.0000 13 13.0000 0.0000 14 14.0000 0.0000 15 .. . 15.0000 .. . 0.0000 .. . Tabelle 12.3.0.1: Wertetabelle der Dichtefunktion Das Kurvenbild ist in der Abbildung 12.3.0.1 auf Seite 76 75 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 76 Pr(X = xk ) 0.50 0.40 0.30 0.20 Abbildung 12.3.0.1: Graph der Dichtefunktion fPoi(λ) (k) = PrPoi(λ) (X = k) = λk −λ k! e 12.4 Verteilungsfunktion Eine Wertetabelle der Verteilungsfunktion ist in der Tabelle 12.4.0.1 auf Seite 77 Pr(X ≤ xk ) k xk 0 0.000 1 1.000 0.4060 2 2.000 0.6767 3 3.000 0.8571 4 4.000 0.9473 5 5.000 0.9834 6 6.000 0.9955 7 7.000 0.9989 8 8.000 0.9998 9 9.000 1.0000 10 10.000 1.0000 11 11.000 1.0000 12 12.000 1.0000 13 13.000 1.0000 14 14.000 1.0000 15 .. . 15.000 .. . 1.0000 .. . 0.1353 15.00 14.00 13.00 12.00 11.00 10.00 9.00 8.00 7.00 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 0.10 xk Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 77 Tabelle 12.4.0.1: Wertetabelle der Verteilungsfunktion Das Kurvenbild ist in der Abbildung 12.4.0.1 auf Seite 77 Pr(X ≤ xk ) 1.00 0.80 0.60 0.40 Abbildung 12.4.0.1: Graph der Verteilungsfunktion F Poi(λ) (k) = PrPoi(λ) (X ≤ k) = k P j=0 λ j −λ j! e 16.00 15.00 14.00 13.00 12.00 11.00 10.00 9.00 8.00 7.00 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 0.20 xk Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 78 12.5 Übungen 12.5.1 Aufgabe 12–1 Bei einem Geschäft wird die Anzahl der Kunden X pro 10–Minuten–Intervall betrachtet. Aufgrund längerer Beobachtungen weiss man, dass die Poissonverteilung mit λ = 3.00 ein geeignetes Verteilungsmodell für die Zahl der Kunden ist 1) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem 10–Minuten–Intervall, mindestens 3 aber höchstens -1 Kunden das Geschäft betreten? 2) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem 10–Minuten–Intervall, mehr als 3 Kunden das Geschäft betreten? zu warten? 3) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem 10–Minuten–Intervall, höchstens 2 Kunden das Geschäft betreten? zu warten? 4) Berechnen Sie µ 5) Berechnen Sie σ 12.5.2 Lösung der Aufgabe 12–1 Die Zufallsvariable X ist Poi(λ = 3.0000)–Verteilt 1) PrPoi(3.0000) (X > 3) = 1 − F Poi(3.0000) (3) = 1 − 0.64723189, abgelesen aus der Tabelle D.0.0.1 ab Seite 240 am Anhang = 0.35276811 2) PrPoi(3.0000) (X ≥ 3) = 1 − F Poi(3.0000) (2) = 1 − 0.42319008, abgelesen aus der Tabelle D.0.0.1 ab Seite 240 am Anhang = 0.57680992 3) PrPoi(3.0000) (X ≤ 2) = F Poi(3.0000) (2) = 0.42319008, abgelesen aus der Tabelle D.0.0.1 ab Seite 240 am Anhang Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 4) PrPoi(3.0000) (X < 2) = PrPoi(3.0000) (X ≤ 1) = F Poi(3.0000) (1) = 0.19914827, abgelesen aus der Tabelle D.0.0.1 ab Seite 240 am Anhang 5) PrPoi(3.0000) (2 < X < 5) = F Poi(3.0000) (4) − F Poi(3.0000) (2) = 0.81526324 − 0.42319008, abgelesen aus der Tabelle D.0.0.1 ab Seite 240 am Anhang = 0.39207316 6) PrPoi(3.0000) (2 < X ≤ 5) = F Poi(3.0000) (5) − F Poi(3.0000) (2) = 0.91608206 − 0.42319008, abgelesen aus der Tabelle D.0.0.1 ab Seite 240 am Anhang = 0.49289198 7) PrPoi(3.0000) (2 ≤ X < 5) = F Poi(3.0000) (4) − F Poi(3.0000) (1) = 0.81526324 − 0.19914827, abgelesen aus der Tabelle D.0.0.1 ab Seite 240 am Anhang = 0.61611497 8) PrPoi(3.0000) (2 ≤ X ≤ 5) = F Poi(3.0000) (5) − F Poi(3.0000) (1) = 0.91608206 − 0.19914827, abgelesen aus der Tabelle D.0.0.1 ab Seite 240 am Anhang = 0.71693378 9) PrPoi(3.0000) (X = 2) = F Poi(3.0000) (2) − F Poi(3.0000) (1) = 0.42319008 − 0.19914827, abgelesen aus der Tabelle D.0.0.1 ab Seite 240 am Anhang 79 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 = 0.22404181 10) PrPoi(3.0000) (X = 3) = F Poi(3.0000) (3) − F Poi(3.0000) (2) = 0.64723189 − 0.42319008, abgelesen aus der Tabelle D.0.0.1 ab Seite 240 am Anhang = 0.22404181 11) µ = λ = 3.0000 12) σ = λ = 3.0000 80 Kapitel 13 Die geometrische Verteilung 13.1 Definition Eine Zufallsvariable X besitzt eine geometrische Verteilung Geo(p) mit dem Parameter p (0 < p < 1), wenn fGeo(p) (k) = Pr (X = k) = (1 − p)k−1 p; k = 1, 2, 3, . . . Geo(p) (13.1.0.1) Rekursionsformel PrGeo(p) (X = k + 1) = (1 − p) PrGeo(p) (X = k) Es handelt sich wohl um eine Wahrscheinlichkeit, denn ∞ P PrGeo(p) (X = k) k=1 = ∞ P (1 − p)k−1 p k=1 = (13.1.0.2) ∞ P p (1 − p) k−1 k=1 = 1 p 1−(1−p) = 1 Für den Erwartungswert gilt: E[X] = ∞ P k PrGeo(p) (X = k) k=1 = ∞ P k=1 = p k(1 − p)k−1 p ∞ P k=1 (13.1.0.3) k(1 − p)k−1 = 1 p (1−(1−p)) 2 = 1 p 81 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 82 Für die Varianz gilt: Var[X] = ∞ P k=1 = ∞ P k=1 = p k2 PrGeo(p) (X = k) − (E[X])2 k2 (1 − p)k−1 p − ( 1p )2 ∞ P k=1 k2 (1 − p)k−1 − ( 1p )2 = 1+(1−p) 1 2 p (1−(1−p)) 3 − ( p) = 1+(1−p) p2 = 1−p p2 (13.1.0.4) 1 − ( (1−p) )2 13.2 Kennzahlen Zufallsvariable X: X ∼ Geo(p), wobei p: Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Ereignisses mit der Eigenschaft A Beispiel 13.2.0.1 Beim Spiel (Mensch ärgere dich nicht) mit einem idealen Würfel ist die Zufallsvariable X, welche die Anzahl der bis zum Werfen der ersten 6 notwendigen Versuchen beschreibt, geometrisch verteilt mit dem Parameter p = 61 . 13.3 Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion k: Anzahl der Wiederholungen des Zufallsexperiments bis sich erstmals ein Ergebnis mit der Eigenschaft A ergibt. Eine Wertetabelle der Dichtefunktion ist in der Tabelle 13.3.0.1 auf Seite 83 k xk Pr(X = xk ) 1 1.0000 0.2000 2 2.0000 0.1600 3 3.0000 0.1280 4 4.0000 0.1024 5 5.0000 0.0819 6 6.0000 0.0655 7 7.0000 0.0524 8 8.0000 0.0419 9 9.0000 0.0336 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 10 10.0000 0.0268 11 11.0000 0.0215 12 .. . 12.0000 .. . 0.0172 .. . 83 Tabelle 13.3.0.1: Wertetabelle der Dichtefunktion Das Kurvenbild ist in der Abbildung 13.3.0.1 auf Seite 83 Pr(X = xk ) 0.50 0.40 0.30 0.20 Abbildung 13.3.0.1: Graph der Dichtefunktion fGeo(p) (k) = PrGeo(p) (X = k) = (1 − p)k−1 p 13.4 Verteilungsfunktion Eine Wertetabelle der Verteilungsfunktion ist in der Tabelle 13.4.0.1 auf Seite 84 Pr(X ≤ xk ) k xk 1 1.000 2 2.000 0.3600 3 3.000 0.4880 4 4.000 0.5904 5 5.000 0.6723 6 6.000 0.7379 7 7.000 0.7903 0.2000 15.00 14.00 13.00 12.00 11.00 10.00 9.00 8.00 7.00 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 0.10 xk Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 8 8.000 0.8322 9 9.000 0.8658 10 10.000 0.8926 11 11.000 0.9141 12 .. . 12.000 .. . 0.9313 .. . 84 Tabelle 13.4.0.1: Wertetabelle der Verteilungsfunktion Das Kurvenbild ist in der Abbildung 13.4.0.1 auf Seite 84 Pr(X ≤ xk ) 1.00 0.80 0.60 0.40 Abbildung 13.4.0.1: Graph der Verteilungsfunktion FGeo(p) (k) = PrGeo(p) (X ≤ k) = PrGeo(p) (X ≥ k) = 1 − k−1 P j=1 k P (1 − p) j−1 p = 1 − (1 − p)k j=1 (1 − p) j−1 p = (1 − p)k−1 16.00 15.00 14.00 13.00 12.00 11.00 10.00 9.00 8.00 7.00 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 0.20 xk Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 85 13.5 Übungen 13.5.1 Aufgabe 13–1 Ein Lachs schwimmt einen Bachlauf hinauf und muss dazu einen kleinen Sturz überwinden. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er den Sturz bei einem Sprung überwindet, liege bei p = 0.40. 1) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Fisch mindestens 3–mal, aber höchstens -1–mal springen muss, um den Sturz zu überwinden? 2) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Fisch mindestens 3 mal springen muss, um den Sturz zu überwinden? 3) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Fisch höchstens 2–mal springen muss, um den Sturz zu überwinden? 4) Berechnen Sie µ 5) Berechnen Sie σ 13.5.2 Lösung der Aufgabe 13–1 Die Zufallsvariable X ist Geo(p = 0.4000)–Verteilt 1) PrGeo(0.4000) (X > 3) = 1 − FGeo(0.4000) (3) = 1 − [1 − (1 − 0.40000000)3] = 1 − 0.78400000 = 0.21600000 2) PrGeo(0.4000) (X ≥ 3) = 1 − FGeo(0.4000) (2) = 1 − [1 − (1 − 0.40000000)2] = 1 − 0.64000000 = 0.36000000 3) PrGeo(0.4000) (X ≤ 2) = FGeo(0.4000) (2) = 1 − (1 − 0.40000000)2 = 0.64000000 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 4) PrGeo(0.4000) (X < 2) = PrGeo(0.4000) (X ≤ 1) = FGeo(0.4000) (1) = 1 − (1 − 0.40000000)1 = 0.40000000 5) PrGeo(0.4000) (2 < X < 5) = FGeo(0.4000) (4) − FGeo(0.4000) (2) = [1 − (1 − 0.40000000)4] − [1 − (1 − 0.40000000)2] = 0.87040000 − 0.64000000 = 0.23040000 6) PrGeo(0.4000) (2 < X ≤ 5) = FGeo(0.4000) (5) − FGeo(0.4000) (2) = [1 − (1 − 0.40000000)5] − [1 − (1 − 0.40000000)2] = 0.92224000 − 0.64000000 = 0.28224000 7) PrGeo(0.4000) (2 ≤ X < 5) = FGeo(0.4000) (4) − FGeo(0.4000) (1) = [1 − (1 − 0.40000000)4] − [1 − (1 − 0.40000000)1] = 0.87040000 − 0.40000000 = 0.47040000 8) PrGeo(0.4000) (2 ≤ X ≤ 5) = FGeo(0.4000) (5) − FGeo(0.4000) (1) = [1 − (1 − 0.40000000)5] − [1 − (1 − 0.40000000)1] = 0.92224000 − 0.40000000 86 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 = 0.52224000 9) PrGeo(0.4000) (X = 2) = fGeo(0.4000) (2) = (1 − 0.40000000)2−1 ∗ (0.4000) = 0.24000000 10) PrGeo(0.4000) (X = 3) = fGeo(0.4000) (3) = (1 − 0.40000000)3−1 ∗ (0.4000) = 0.14400000 1 p = 1 0.4000 = 2.5000 s s 1− p 1 − 0.4000 12) σ = = = 1.9365 2 p 0.40002 11) µ = 87 Kapitel 20 stetige Zufallsvariable 20.1 Einführung Eine Zufallsvariable X heisst stetig, falls es eine integrierbare Funktion f : R → [0; +∞[ gibt, so dass für jedes Intervall t=b R [a, b] Pr steV (a ≤ X ≤ b) = f steV (t)dt gilt. Die Funktion f steV muss also nicht stetig sein, obwohl es sich um eine stetige t=a Zufallsvariable handelt. Die Funktion f steV (x) heisst Dichtefunktion (oder Wahrscheinlichkeitsdichte) von X. Bemerkung 20.1.0.1 Die Integration wird oft so schwierig, dass sie mit numerischen Verfahren am Computer durchgeführt werden muss. Nichtnegativität: f steV (x) ≥ 0 für alle x ∈ R Normierungseigenschaft: +∞ R f steV (t)dt = 1 −∞ d.h. die Gesamtfläche zwischen x–Achse und der Dichte f steV (x) ist gleich 1. 88 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 89 20.2 Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion y 0.40 0.30 0.20 9.00 8.00 7.00 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 -1.00 -2.00 -3.00 -4.00 -5.00 0.10 x Abbildung 20.2.0.1: Graph der Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion 20.3 Verteilungsfunktion Als Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariable bezeichnet man die Beziehung F steV (x) = Pr steV (X ≤ x) = t=x R f steV (t)dt −∞ Pr steV (a ≤ X ≤ b) = F steV (b) − F steV (a) Pr steV (X ≥ a) = 1 − F steV (a) Bemerkung 20.3.0.1 Pr steV (X = x) = 0 für alle x ∈ R Dies ergibt sich formal aus t=x R t=x f steV (t)dt = F steV (x) − F steV (x) = 0 Für stetige Zufallsvariable ist dementsprechend die Betrachtung der Wahrscheinlichkeit Pr steV (X = x) nutzlos. Die Chance, einen Wert exakt zu treffen, ist Null. Exakt heisst dabei, dass alle Nachkommastellen berücksichtigt werden. Zur Illustration überlegen wir uns die Wartezeit der Person Mensch auf die nächste Tram. Wohl niemand wird darauf wetten, dass die Person Mensch genau 2.718281828459. . . (= Eulersche Zahl e) oder genau 15.00000000000. . . [Min] warten wird. Dass die Wartezeit zwischen 5 und 20 Minuten beträgt, liegt aber im Bereich des Möglichen. Aus Pr steV (X = x) = 0 folgt jedoch nicht, dass der Wert x von der stetigen Zufallsvariablen X nicht angenommen werden kann. Jeder einzelne Wert besitzt zwar die Wahrscheinlichkeit 0, bei der Durchführung des zugrunde liegenden Zufallsexperiments muss jedoch einer der Werte von X angenommen werden. Wegen dieser Eigenschaft kann man bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit dafür, dass X Werte aus einem Intervall annimmt, die Intervallgrenzen hinzufügen oder weglassen, ohne dass sich die entsprechende Wahrscheinlichkeit ändert. Es gilt also für eine stetige Zufallsvariable X: Pr steV (a ≤ X ≤ b) = Pr steV (a < X ≤ b) = Pr steV (a ≤ X < b) = Pr steV (a < X < b) = F steV (b) − F steV (a) F steV (x) = Pr steV (X ≤ x) = Pr steV (X < x) Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 y 90 0.40 0.30 0.20 Abbildung 20.3.0.1: Verteilungsfunktion 20.4 Erwartungswert falls +∞ R t f steV (t)dt existiert, dann E[X] = −∞ +∞ R −∞ Beachte: Die Zufallsvariable mit f steV (x) = t f steV (t)dt 1 x2 mit x ≥ 1 hat keinen Erwartungswert E[aX + b] = aE[X] + b Bemerkung 20.4.0.1 (n-tes Moment von X) E[X n ] = +∞ R −∞ 20.5 Varianz +∞ R Var[X] = −∞ (t − E[X])2 f steV (t)dt Var[X] =≥ 0 Var[X] = +∞ R −∞ t2 f steV (t)dt − (E[X])2 = E[X 2 ] − (E[X])2 Var[aX + b] = a2 Var[X] 20.6 Standardabweichung σ[X] = √ Var[X] σ[aX + b] = p √ Var[aX + b] = a2 Var[X] = |a|σ[X] E[|X − E[X]|] ≤ σ[X] tn f steV (t)dt 9.00 8.00 7.00 6.00 5.00 x 4.00 3.00 2.00 1.00 -1.00 -2.00 -3.00 -4.00 -5.00 0.10 x Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 20.7 lineare Transformation Y = aX + b ⇒ fY (z) = z−b 1 |a| f steV ( a ) und FY (z) = F steV ( z−b a ) 91 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 92 20.8 Übungen 20.8.1 Aufgabe 20–1 Gegeben sei die Funktion . = 0, x ∈] − ∞; −4.0000] 2 2 = − 27 − 27 x, x ∈] − 4.0000; −1.0000] f (x) = 1 1 + 27 x, x ∈] − 1.0000; +5.0000] = + 27 = 0, x ∈] + 5.0000; +∞[ 1) Zeichnen Sie den Graph der Funktion, benutzen Sie dabei das folgendes Beiblatt. Beschriften Sie dabei auch die Achsen. Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 93 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 94 2) Handelt es sich um eine Wahrscheinlichkeitsfunktion? (mit Begründung). 20.8.2 Lösung der Aufgabe 20–1 1) f (x) 0.50 0.40 0.30 0.20 -0.20 -0.30 -0.40 -0.50 Abbildung 20.8.2.1: Graph 2) . +∞ R f (x)dx −∞ =+ −4.0000 R (0) dx + −∞ h 2 x− = + − 27 −1.0000 R −4.0000 i 1 2 −1.0000 27 x −4.0000 2 − 27 − 2 27 x h 1 + + 27 x+ dx + 5.0000 R −1.0000 i 1 2 5.0000 54 x −1.0000 1 + + 27 1 27 x dx + +∞ R 5.0000 (0) dx 14.00 12.00 10.00 -0.10 8.00 6.00 4.00 2.00 -2.00 -4.00 -6.00 -8.00 -10.00 -12.00 -14.00 0.10 x Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 1 2 ∗ (−1.0000) − 27 ∗ (−1.0000)2 + − 27 1 1 + 27 ∗ (−1.0000) + 54 ∗ (−1.0000)2 - 2 − 27 ∗ (−4.0000) − 1 27 ∗ (−4.0000)2 95 + 1 + 27 ∗ (5.0000) + 1 54 ∗ (5.0000)2 - =(+0.6852)-(-0.3148) f (x) ≥ 0 =+1.0000 Aus und folgt, dass es bei der gegebenen Funktion wohl um eine Wahrscheinlichkeitsfunktion sich handel. 20.8.3 Aufgabe 20–2 Gegeben sei die Funktion . = 0, x ∈] − ∞; −3.0000] 2 2 + 45 x, x ∈] − 3.0000; +2.0000] = + 15 f (x) = 1 1 = + 3 − 18 x, x ∈] + 2.0000; +6.0000] = 0, x ∈] + 6.0000; +∞[ 1) Zeichnen Sie den Graph der Funktion, benutzen Sie dabei das folgendes Beiblatt. Beschriften Sie dabei auch die Achsen. Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 96 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 97 2) Handelt es sich um eine Wahrscheinlichkeitsfunktion? (mit Begründung). 20.8.4 Lösung der Aufgabe 20–2 1) f (x) 0.50 0.40 0.30 0.20 -0.20 -0.30 -0.40 -0.50 Abbildung 20.8.4.1: Graph 2) . +∞ R f (x)dx −∞ =+ −3.0000 R (0) dx + −∞ h 2 x+ = + + 15 2.0000 R −3.0000 i 1 2 2.0000 45 x −3.0000 2 + 15 + 2 45 x h + + 31 x − dx + 6.0000 R 2.0000 i 1 2 6.0000 36 x 2.0000 + 13 − 1 18 x dx + +∞ R 6.0000 (0) dx 14.00 12.00 10.00 -0.10 8.00 6.00 4.00 2.00 -2.00 -4.00 -6.00 -8.00 -10.00 -12.00 -14.00 0.10 x Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 1 2 ∗ (2.0000) + 45 ∗ (2.0000)2 + + 15 1 + 13 ∗ (2.0000) − 36 ∗ (2.0000)2 - 2 + 15 ∗ (−3.0000) + 1 45 ∗ (−3.0000)2 98 + + 13 ∗ (6.0000) − 1 36 ∗ (6.0000)2 - =(+1.3556)-(+0.3556) f (x) ≥ 0 =+1.0000 Aus und folgt, dass es bei der gegebenen Funktion wohl um eine Wahrscheinlichkeitsfunktion sich handel. 20.8.5 Aufgabe 20–3 Gegeben sei die Funktion . = 0, x ∈] − ∞; −3.0000] 1 1 − 20 x, x ∈] − 3.0000; +2.0000] = + 10 f (x) = 1 5 = + 12 − 12 x, x ∈] + 2.0000; +5.0000] = 0, x ∈] + 5.0000; +∞[ 1) Zeichnen Sie den Graph der Funktion, benutzen Sie dabei das folgendes Beiblatt. Beschriften Sie dabei auch die Achsen. Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 99 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 100 2) Handelt es sich um eine Wahrscheinlichkeitsfunktion? (mit Begründung). 20.8.6 Lösung der Aufgabe 20–3 1) f (x) 0.50 0.40 0.30 0.20 -0.20 -0.30 -0.40 -0.50 Abbildung 20.8.6.1: Graph 2) . +∞ R f (x)dx −∞ =+ −3.0000 R (0) dx + −∞ h 1 x− = + + 10 2.0000 R −3.0000 i 1 2 2.0000 40 x −3.0000 1 + 10 − 1 20 x h 5 + + 12 x− dx + 5.0000 R 2.0000 i 1 2 5.0000 24 x 2.0000 5 − + 12 1 12 x dx + +∞ R 5.0000 (0) dx 14.00 12.00 10.00 -0.10 8.00 6.00 4.00 2.00 -2.00 -4.00 -6.00 -8.00 -10.00 -12.00 -14.00 0.10 x Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 1 1 ∗ (2.0000) − 40 ∗ (2.0000)2 + + 10 5 1 + 12 ∗ (2.0000) − 24 ∗ (2.0000)2 - 1 + 10 ∗ (−3.0000) − 1 40 ∗ (−3.0000)2 101 + 5 + 12 ∗ (5.0000) − 1 24 ∗ (5.0000)2 =(+1.1417)-(+0.1417) f (x) ≥ 0 =+1.0000 Aus und folgt, dass es bei der gegebenen Funktion wohl um eine Wahrscheinlichkeitsfunktion sich handel. - Kapitel 22 Rechteckverteilung bzw. stetige Gleichverteilung 22.1 Definition Zufallsvariable X: X ∼ S eG(a, b), wobei a < b 22.2 Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion 1 , b−a fS eG(a,b) (x) = 0, a≤x≤b sonst y a x b Abbildung 22.2.0.1: Graph der Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion Nichtnegativität: fS eG(a,b) (x) ≥ 0 für alle a ≤ x ≤ b 102 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 Normierungseigenschaft: Rb 103 fS eG(a,b) (t)dt = 1 a 22.3 Verteilungsfunktion y x Abbildung 22.3.0.1: Graph der Verteilungsfunktion Als Verteilungsfunktion einer Rechteckverteilung bezeichnet man die Beziehung FS eG(a,b) (x) = t=x R f (t)dt −∞ 1. Fall x < a FS eG(a,b) (x) = t=x R fS eG(a,b) (t)dt −∞ = t=x R 0dt −∞ =0 2. Fall a ≤ x < b FS eG(a,b) (x) = t=x R fS eG(a,b) (t)dt −∞ = t=a R −∞ fS eG(a,b) (t)dt + t=x R t=a fS eG(a,b) (t)dt Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 = t=a R −∞ = t=a t=x R 1 b−a dt 1 b−a dt t=a = t=x R 0dt + x−a b−a 3. Fall x ≥ b FS eG(a,b) (x) = t=x R fS eG(a,b) (t)dt −∞ = t=a R fS eG(a,b) (t)dt + −∞ = t=a R t=b R fS eG(a,b) (t)dt + t=a 0dt + −∞ = t=b R t=b R t=a 1 b−a dt + t=x R t=b 0dt t=b 1 b−a dt t=a =1 0, x<a x−a FS eG(a,b) (x) = , a ≤x<b b−a 1, x≥b 22.4 Erwartungswert E[X] = +∞ R t fS eG(a,b) (t)dt = −∞ E[X] = +∞ R −∞ = Rb a 1 dt t b−a t fS eG(a,b) (t)dt t=x R a+b 2 , denn fS eG(a,b) (t)dt 104 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 = 1 b−a = 1 b−a = 1 b−a = 1 b−a = b+a 2 Rb tdt a h 2 ib t 2 a · b2 2 a2 2 − b2 −a2 2 22.5 Varianz +∞ R Var[X] = (t − E[X])2 fS eG(a,b) (t)dt = −∞ Var[X] = +∞ R (t − E[X])2 fS eG(a,b) (t)dt −∞ = +∞ R −∞ = Rb a t2 fS eG(a,b) (t)dt − (E[X])2 1 2 dt − ( b+a t2 b−a 2 ) h 3 ib = 1 b−a = 1 b−a = 1 b−a = (b−a)2 12 t 3 a 2 − ( b+a 2 ) b3 −a3 3 2 − ( b+a 2 ) (b−a)(b2 +ab+a2 3 2 − ( b+a 2 ) (b−a)2 12 , denn 105 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 106 22.6 Übungen 22.6.1 Aufgabe 22–1 Eine Buslinie fahre im 3.00–Minuten-Takt. Die Wartezeit X (in Minuten) eines Studenten, der zum Bus geht, ohne den Fahrplan zu kennen, ist gleichverteilt auf dem Intervall [0; 3.00], wenn man voraussetzt, dass der Fahrplan tatsächlich eingehalten wird. 1) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 3.00 Minuten aber höchstens -1.00 Minuten zu warten? 2) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 3.00 Minuten zu warten? 3) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens -1.00 Minuten zu warten? 4) Berechnen Sie µ 5) Berechnen Sie σ 22.6.2 Lösung der Aufgabe 22–1 Die Zufallsvariable X ist S eG(−3.2000, 3.0000)–verteilt 1) PrS eG(−3.2000,3.0000) (−1.0000 ≤ X ≤ 2.0000) = PrS eG(−3.2000,3.0000) (Z ≤ 2.0000) − PrS eG(−3.2000,3.0000) (Z ≤ −1.0000) = FS eG(−3.2000,3.0000) (2.0000) − FS eG(−3.2000,3.0000) (−1.0000) = 0.48387097 2) µ = 3) σ = b+a 2 s = 3.0000−−3.2000 2 (b − a)2 = 12 s = 3.1000 (3.0000 − −3.2000)2 = 1.7898 12 Kapitel 23 Standardnormalverteilung 23.1 Definition Zufallsvariable X: X ∼ Nor(0, 1), wobei 0 = E[X] und 1 = σ[X] 23.2 Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion Die Dichte der Standardnormalverteilung ist 1 x2 fNor(0,1) (x)* := √ · e− 2 ; x ∈ R 2π Das Kurvenbild ist in der Abbildung 23.2.0.1 auf Seite 107 y x Abbildung 23.2.0.1: Graph der Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion Nichtnegativität: fNor(0,1) (x) ≥ 0 für alle x ∈ R * in der Literatur meistens mit ϕ(x) bezeichnet 107 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 Normierungseigenschaft: +∞ R 108 fNor(0,1) (t)dt = 1 −∞ 23.3 Verteilungsfunktion y x x Abbildung 23.3.0.1: Verteilungsfunktion Da sich das Integral der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion nicht auf eine elementare Stammfunktion zurückführen lässt, wurde für die Berechnung früher meist auf Tabellen bzw. auf Computer zurückgegriffen F Nor(0,1) (x)† = PrNor(0,1) (X ≤ x) = t=x R fNor(0,1) (t)dt t=−∞ F Nor(0,1) (−x) = 1 − F Nor(0,1) (x) PrNor(0,1) (−x ≤ X ≤ x) = 2F Nor(0,1) (x) − 1 PrNor(0,1) (−1 ≤ X ≤ 1) ≈ 68.3% PrNor(0,1) (−2 ≤ X ≤ 2) ≈ 95.4% PrNor(0,1) (−3 ≤ X ≤ 3) ≈ 99.7% in der Literatur findet man meistens Werte F Nor(0,1) (x) nur für x ≥ 0. Für x < 0 kann man aber die Formel F Nor(0,1) (−x) = 1 − F Nor(0,1) (x) anwenden. † in der Literatur meistens mit Φ(x) bezeichnet Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 23.4 Erwartungswert E[X] = +∞ R t fNor(0,1) (t)dt −∞ = +∞ R −∞ 1 t2 t √ · e− 2 dt 2π R 1 +∞ t2 t · e− 2 dt = √ 2π −∞ 1 − t2 +∞ −e 2 = √ −∞ 2π 1 = √ (0 − 0) 2π =0 23.5 Varianz Var[X] = +∞ R −∞ = (t − E[X])2 fNor(0,1) (t)dt +∞ R 1 t2 (t − 0)2 √ · e− 2 dt 2π −∞ R 1 +∞ t2 = √ t2 · e− 2 dt 2π −∞ R √ 1 +∞ t 2 2 2 · x2 · e−x dx, Substitution x = √ = √ 2π −∞ 2 R 1 √ +∞ 2 = √ 2 2 · x2 · e−x dx 2π −∞ +∞ R 1 √ 2 = √ 2 2 · 2 x2 · e−x dx 2π 0 1 √ = √ 2 2 · 2Γ( 2+1 2 ) 2π 1 √ = √ 2 2 · 2 · 21 Γ( 12 ) 2π =1 109 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 Das einfache Schwangungsintervall ist [µ − σ; µ + σ] Das 2–fache Schwangungsintervall ist [µ − 2σ; µ + 2σ] Das 3–fache Schwangungsintervall ist [µ − 3σ; µ + 3σ] 110 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 111 23.6 Übungen 23.6.1 Aufgabe 23–1 Der Feingoldgehalt von Goldkilobarren (X, in [g]) einer Goldschmelzerei beträgt im Mittel 1000.0000 [g]. Aus vielerlei Gründen gibt es immer Abweichungen des tatsächlichen Gewichtes an Feingold in den Barren. Bei der Goldschmelzerei wird mit einer Varianz von 25.0000 [g] gearbeitet. Erfahrungen zeigen, dass der Feingehalt als normalverteilt angesehen werden kann. 1) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Barren mindestens -Infinity [g] Feingold enthält 2) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in einem Barren mehr als 990.0000, aber weniger als Infinity [g] Feingold befinden? 3) Welche untere Grenze an Feingold wird von 25.0000% der Barren nicht eingehalten? 23.6.2 Lösung der Aufgabe 23–1 Die Zufallsvariable X ist Nor(µ, σ2 )–verteilt mit µ = 1000.0000 und σ = 5.0000 1) PrNor(µ,σ2 ) (X ≤ 1015.0000) = PrNor(0,1) (Z ≤ 1015.0000−µ ) σ = PrNor(0,1) (Z ≤ 3.0000) = 0.99865010, abgelesen aus der Tabelle B.0.0.1 ab Seite 235 am Anhang 2) PrNor(µ,σ2 ) (X ≥ 990.0000) = PrNor(0,1) (Z ≥ 990.0000−µ ) σ = PrNor(0,1) (Z ≥ −2.0000) = 1 − PrNor(0,1) (Z ≤ −2.0000) = 1 − (1 − PrNor(0,1) (Z ≤ 2.0000)) = PrNor(0,1) (Z ≤ 2.0000) = 0.97724987, abgelesen aus der Tabelle B.0.0.1 ab Seite 235 am Anhang 3) PrNor(µ,σ2 ) (X ≤ 990.0000) = PrNor(0,1) (Z ≤ 990.0000−µ ) σ = PrNor(0,1) (Z ≤ −2.0000) = 1 − PrNor(0,1) (Z ≤ 2.0000) = 1 − 0.97724987, abgelesen aus der Tabelle B.0.0.1 ab Seite 235 am Anhang Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 = 0.02275013 4) PrNor(µ,σ2 ) (X ≥ 1015.0000) = PrNor(0,1) (Z ≥ 1015.0000−µ ) σ = PrNor(0,1) (Z ≥ 3.0000) = 1 − PrNor(0,1) (Z ≤ 3.0000) = 1 − 0.99865010, abgelesen aus der Tabelle B.0.0.1 ab Seite 235 am Anhang = 0.00134990 5) PrNor(µ,σ2 ) (998.0000 ≤ X ≤ 1008.0000) ≤Z≤ = PrNor(0,1) ( 998.0000−µ σ 1008.0000−µ ) σ = PrNor(0,1) (−0.4000 ≤ Z ≤ 1.6000) = PrNor(0,1) (Z ≤ 1.6000) − PrNor(0,1) (Z ≤ −0.4000) = PrNor(0,1) (Z ≤ 1.6000) − (1 − PrNor(0,1) (Z ≤ 0.4000)) = 0.94520071 − (1 − 0.65542174), abgelesen aus der Tabelle B.0.0.1 ab Seite 235 am Anhang = 0.60062245 6) PrNor(µ,σ2 ) (X ≥ x) = 0.2500 ⇒ 1 − PrNor(µ,σ2 ) (X ≤ x) = 0.2500 ⇒ 1 − PrNor(0,1) (Z ≤ x−µ σ ) ⇒ 1 − PrNor(0,1) (Z ≤ x−1000.0000 5.0000 ) = 0.2500 = 0.2500 ⇒ PrNor(0,1) (Z ≤ x−1000.0000 5.0000 ) = 1 − 0.2500 ⇒ PrNor(0,1) (Z ≤ x−1000.0000 5.0000 ) = 0.7500 ⇒ PrNor(0,1) (Z ≤ x−1000.0000 5.0000 ) = x(Nor(0, 1), 0.7500) ⇒ x−1000.0000 5.0000 = 0.67448975, abgelesen aus der Tabelle C.0.0.1 ab Seite 238 am Anhang ⇒ x = 0.67448975 ∗ 5.0000 + 1000.0000 ⇒ x = 1003.3724 112 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 7) PrNor(µ,σ2 ) (X ≤ x) = 0.2500 ⇒ PrNor(0,1) (Z ≤ x−µ σ ) ⇒ PrNor(0,1) (Z ≤ x−1000.0000 5.0000 ) = 0.2500 ⇒ PrNor(0,1) (Z ≤ x−1000.0000 5.0000 ) = −x(Nor(0, 1), 1 − 0.2500) ⇒ PrNor(0,1) (Z ≤ x−1000.0000 5.0000 ) = −x(Nor(0, 1), 0.7500) ⇒ x−1000.0000 5.0000 = 0.2500 = −0.67448975, abgelesen aus der Tabelle C.0.0.1 ab Seite 238 am Anhang ⇒ x = −0.67448975 ∗ 5.0000 + 1000.0000 ⇒ x = 996.6276 8) PrNor(µ,σ2 ) (X ≥ x) = 0.6500 ⇒ 1 − PrNor(µ,σ2 ) (X ≤ x) = 0.6500 ⇒ 1 − PrNor(0,1) (Z ≤ x−µ σ ) ⇒ 1 − PrNor(0,1) (Z ≤ x−1000.0000 5.0000 ) = 0.6500 = 0.6500 ⇒ PrNor(0,1) (Z ≤ x−1000.0000 5.0000 ) = 1 − 0.6500 ⇒ PrNor(0,1) (Z ≤ x−1000.0000 5.0000 ) = 0.3500 ⇒ PrNor(0,1) (Z ≤ x−1000.0000 5.0000 ) = −x(Nor(0, 1), 1 − 0.3500) ⇒ PrNor(0,1) (Z ≤ x−1000.0000 5.0000 ) = −x(Nor(0, 1), 0.6500) ⇒ x−1000.0000 5.0000 = −0.38532047, abgelesen aus der Tabelle C.0.0.1 ab Seite 238 am Anhang ⇒ x = −0.38532047 ∗ 5.0000 + 1000.0000 ⇒ x = 998.0734 9) PrNor(µ,σ2 ) (X ≤ x) = 0.6500 ⇒ PrNor(0,1) (Z ≤ x−µ σ ) ⇒ PrNor(0,1) (Z ≤ x−1000.0000 5.0000 ) = 0.6500 ⇒ PrNor(0,1) (Z ≤ x−1000.0000 5.0000 ) = x(Nor(0, 1), 0.6500) ⇒ x−1000.0000 5.0000 = 0.6500 = 0.38532047, abgelesen aus der Tabelle C.0.0.1 ab Seite 238 am Anhang ⇒ x = 0.38532047 ∗ 5.0000 + 1000.0000 113 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 ⇒ x = 1001.9266 114 Kapitel 24 allgemeine Normal– oder Gauss–Verteilung 24.1 Definition Zufallsvariable X: X ∼ Nor(µ, σ2 ), wobei µ = E[X] und σ = σ[X] Die Rendite einer Aktie sei normalverteilt mit µ = 20% und σ = 10%. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Rendite weniger als 8% beträgt, ist Pr(X < 8%) = 0.1151 Die Wahrscheinlichkeit, dass die Rendite zwischen 10% und 30% liegt, ist Pr(5% < X < 25%) = 0.6826 24.2 Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion Die Dichte der Normal–Verteilung ist fNor(µ,σ2 ) (x) := 1 √ σ 2π ·e − (x − µ)2 2σ2 ; x ∈ R Das Kurvenbild ist in der Abbildung 24.2.0.1 auf Seite 115 y x Abbildung 24.2.0.1: Graph der Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion 115 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 116 Nichtnegativität: fNor(µ,σ2 ) (x) ≥ 0 für alle x ∈ R Normierungseigenschaft: +∞ R fNor(µ,σ2 ) (t)dt = 1 −∞ 24.3 Verteilungsfunktion y x x Abbildung 24.3.0.1: Verteilungsfunktion Da sich das Integral der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion nicht auf eine elementare Stammfunktion zurückführen lässt, wurde für die Berechnung früher meist auf Tabellen bzw. auf Computer zurückgegriffen F Nor(µ,σ2 ) (x) = PrNor(µ,σ2 ) (X ≤ x) = t=x R fNor(µ,σ2 ) (t)dt t=−∞ F Nor(µ,σ2 ) (−x) = 1 − F Nor(µ,σ2 ) (x) PrNor(µ,σ2 ) (−x ≤ X ≤ x) = 2F Nor(µ,σ2 ) (x) − 1 PrNor(µ,σ2 ) (µ − σ ≤ X ≤ µ + σ) ≈ 68.3% PrNor(µ,σ2 ) (µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) ≈ 95.4% PrNor(µ,σ2 ) (µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ) ≈ 99.7% Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 24.4 Transformation zur Standardnormalverteilung (z–Transformation) X ∼ Nor(µ, σ2 ) ⇒ Z = X−µ σ ∼ Nor(0, 1) PrNor(µ,σ2 ) (a ≤ X ≤ b) = PrNor(0,1) ( a−µ σ ≤Z ≤ b−µ σ ) ≤Z≤ PrNor(µ,σ2 ) (|X − a| ≤ b) = PrNor(0,1) ( a−b−µ σ a+b−µ σ ) PrNor(µ,σ2 ) (|X − a| ≥ b) = 1 − PrNor(0,1) ( a−b−µ ≤Z≤ σ F Nor(µ,σ2 ) (x) = F Nor(0,1) ( x−µ σ ) x(Nor(µ, σ2 ), π) = σ · x(Nor(0, 1), π) + µ 24.5 Erwartungswert E[X] = +∞ R t fNor(µ,σ) (t)dt = µ, denn −∞ E[X] = +∞ R t fNor(µ,σ) (t)dt −∞ = +∞ R −∞ = (t − µ)2 − 1 t √ · e 2σ2 dt σ 2π +∞ R √ √ 1 2 (xσ 2 + µ) √ · e−x σ 2dx mit x = σ 2π −∞ R R √ 1 +∞ 1 +∞ 2 2 = σ 2 √ · xe−x dx + µ √ · e−x dx π −∞ π −∞ i R √ 1 h 1 +∞ 2 +∞ 2 = σ 2 √ · −e−x −∞ + µ √ · e−x dx π π −∞ R 1 +∞ 2 = µ √ · e−x dx π −∞ =µ t−µ √ σ 2 a+b−µ σ ) 117 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 24.6 Varianz Var[X] = +∞ R −∞ Var[X] = +∞ R −∞ = +∞ R −∞ = +∞ R −∞ = (t − E[X])2 fNor(µ,σ) (t)dt = σ2 , denn (t − E[X])2 fNor(µ,σ) (t)dt t2 fNor(µ,σ) (t)dt − (E[X])2 t2 1 √ σ 2π +∞ R ·e − √ (xσ 2 + µ)2 −∞ (t − µ)2 2σ2 dt − µ2 √ 1 2 √ · e−x σ 2dx − µ2 mit x = σ 2π t−µ √ σ 2 R √ 1 +∞ 2 = √ (xσ 2 + µ)2 · e−x dx − µ2 π −∞ R √ 1 +∞ 2 (2x2 σ2 + 2xσµ 2 + µ2 ) · e−x dx − µ2 = √ π −∞ R R R √ 1 +∞ 1 +∞ 1 +∞ 2 2 2 2x2 σ2 · e−x dx + √ 2xσµ 2 · e−x dx + √ µ2 · e−x dx − µ2 = √ π −∞ π −∞ π −∞ √ R R R 2 +∞ 2σµ µ2 +∞ 2σ2 +∞ 2 2 2 x2 · e−x dx + √ x · e−x dx + √ e−x dx − µ2 = √ π −∞ π −∞ π −∞ √ R R 2σ2 +∞ 2σµ 2 h −x2 i+∞ µ2 +∞ 2 2 −x2 = √ x · e dx + √ e−x dx − µ2 + √ −e −∞ π −∞ π π −∞ R R µ2 +∞ 2σ2 +∞ 2 2 x2 · e−x dx + √ e−x dx − µ2 = √ π −∞ π −∞ R 2σ2 +∞ 2 = √ x2 · e−x dx + µ2 − µ2 π −∞ R 2σ2 +∞ 2 = √ x2 · e−x dx π −∞ R 2σ2 +∞ 2 = √ 2 x2 · e−x dx π 0 2σ2 = √ 2 12 Γ( 23 ) π = σ2 118 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 119 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 120 24.7 Übungen 24.7.1 Aufgabe 24–1 Der Feingoldgehalt von Goldkilobarren (X, in [g]) einer Goldschmelzerei beträgt im Mittel 1000.0000 [g]. Aus vielerlei Gründen gibt es immer Abweichungen des tatsächlichen Gewichtes an Feingold in den Barren. Bei der Goldschmelzerei wird mit einer Varianz von 25.0000 [g] gearbeitet. Erfahrungen zeigen, dass der Feingehalt als normalverteilt angesehen werden kann. 1) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Barren mindestens -Infinity [g] Feingold enthält 2) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in einem Barren mehr als 990.0000, aber weniger als Infinity [g] Feingold befinden? 3) Welche untere Grenze an Feingold wird von 25.0000% der Barren nicht eingehalten? 24.7.2 Lösung der Aufgabe 24–1 Die Zufallsvariable X ist Nor(µ, σ2 )–verteilt mit µ = 1000.0000 und σ = 5.0000 1) PrNor(µ,σ2 ) (X ≤ 1015.0000) = PrNor(0,1) (Z ≤ 1015.0000−µ ) σ = PrNor(0,1) (Z ≤ 3.0000) = 0.99865010, abgelesen aus der Tabelle B.0.0.1 ab Seite 235 am Anhang 2) PrNor(µ,σ2 ) (X ≥ 990.0000) = PrNor(0,1) (Z ≥ 990.0000−µ ) σ = PrNor(0,1) (Z ≥ −2.0000) = 1 − PrNor(0,1) (Z ≤ −2.0000) = 1 − (1 − PrNor(0,1) (Z ≤ 2.0000)) = PrNor(0,1) (Z ≤ 2.0000) = 0.97724987, abgelesen aus der Tabelle B.0.0.1 ab Seite 235 am Anhang 3) PrNor(µ,σ2 ) (X ≤ 990.0000) = PrNor(0,1) (Z ≤ 990.0000−µ ) σ = PrNor(0,1) (Z ≤ −2.0000) = 1 − PrNor(0,1) (Z ≤ 2.0000) = 1 − 0.97724987, abgelesen aus der Tabelle B.0.0.1 ab Seite 235 am Anhang Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 = 0.02275013 4) PrNor(µ,σ2 ) (X ≥ 1015.0000) = PrNor(0,1) (Z ≥ 1015.0000−µ ) σ = PrNor(0,1) (Z ≥ 3.0000) = 1 − PrNor(0,1) (Z ≤ 3.0000) = 1 − 0.99865010, abgelesen aus der Tabelle B.0.0.1 ab Seite 235 am Anhang = 0.00134990 5) PrNor(µ,σ2 ) (998.0000 ≤ X ≤ 1008.0000) ≤Z≤ = PrNor(0,1) ( 998.0000−µ σ 1008.0000−µ ) σ = PrNor(0,1) (−0.4000 ≤ Z ≤ 1.6000) = PrNor(0,1) (Z ≤ 1.6000) − PrNor(0,1) (Z ≤ −0.4000) = PrNor(0,1) (Z ≤ 1.6000) − (1 − PrNor(0,1) (Z ≤ 0.4000)) = 0.94520071 − (1 − 0.65542174), abgelesen aus der Tabelle B.0.0.1 ab Seite 235 am Anhang = 0.60062245 6) PrNor(µ,σ2 ) (X ≥ x) = 0.2500 ⇒ 1 − PrNor(µ,σ2 ) (X ≤ x) = 0.2500 ⇒ 1 − PrNor(0,1) (Z ≤ x−µ σ ) ⇒ 1 − PrNor(0,1) (Z ≤ x−1000.0000 5.0000 ) = 0.2500 = 0.2500 ⇒ PrNor(0,1) (Z ≤ x−1000.0000 5.0000 ) = 1 − 0.2500 ⇒ PrNor(0,1) (Z ≤ x−1000.0000 5.0000 ) = 0.7500 ⇒ PrNor(0,1) (Z ≤ x−1000.0000 5.0000 ) = x(Nor(0, 1), 0.7500) ⇒ x−1000.0000 5.0000 = 0.67448975, abgelesen aus der Tabelle C.0.0.1 ab Seite 238 am Anhang ⇒ x = 0.67448975 ∗ 5.0000 + 1000.0000 ⇒ x = 1003.3724 121 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 7) PrNor(µ,σ2 ) (X ≤ x) = 0.2500 ⇒ PrNor(0,1) (Z ≤ x−µ σ ) ⇒ PrNor(0,1) (Z ≤ x−1000.0000 5.0000 ) = 0.2500 ⇒ PrNor(0,1) (Z ≤ x−1000.0000 5.0000 ) = −x(Nor(0, 1), 1 − 0.2500) ⇒ PrNor(0,1) (Z ≤ x−1000.0000 5.0000 ) = −x(Nor(0, 1), 0.7500) ⇒ x−1000.0000 5.0000 = 0.2500 = −0.67448975, abgelesen aus der Tabelle C.0.0.1 ab Seite 238 am Anhang ⇒ x = −0.67448975 ∗ 5.0000 + 1000.0000 ⇒ x = 996.6276 8) PrNor(µ,σ2 ) (X ≥ x) = 0.6500 ⇒ 1 − PrNor(µ,σ2 ) (X ≤ x) = 0.6500 ⇒ 1 − PrNor(0,1) (Z ≤ x−µ σ ) ⇒ 1 − PrNor(0,1) (Z ≤ x−1000.0000 5.0000 ) = 0.6500 = 0.6500 ⇒ PrNor(0,1) (Z ≤ x−1000.0000 5.0000 ) = 1 − 0.6500 ⇒ PrNor(0,1) (Z ≤ x−1000.0000 5.0000 ) = 0.3500 ⇒ PrNor(0,1) (Z ≤ x−1000.0000 5.0000 ) = −x(Nor(0, 1), 1 − 0.3500) ⇒ PrNor(0,1) (Z ≤ x−1000.0000 5.0000 ) = −x(Nor(0, 1), 0.6500) ⇒ x−1000.0000 5.0000 = −0.38532047, abgelesen aus der Tabelle C.0.0.1 ab Seite 238 am Anhang ⇒ x = −0.38532047 ∗ 5.0000 + 1000.0000 ⇒ x = 998.0734 9) PrNor(µ,σ2 ) (X ≤ x) = 0.6500 ⇒ PrNor(0,1) (Z ≤ x−µ σ ) ⇒ PrNor(0,1) (Z ≤ x−1000.0000 5.0000 ) = 0.6500 ⇒ PrNor(0,1) (Z ≤ x−1000.0000 5.0000 ) = x(Nor(0, 1), 0.6500) ⇒ x−1000.0000 5.0000 = 0.6500 = 0.38532047, abgelesen aus der Tabelle C.0.0.1 ab Seite 238 am Anhang ⇒ x = 0.38532047 ∗ 5.0000 + 1000.0000 122 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 ⇒ x = 1001.9266 123 Kapitel 27 Stichproben und Population 27.1 Einführung Unsere Datenmengen wurden immer als Teilmenge einer (grossen oder unendlichen) übergeordneten Menge, der sogenannten Population oder Grundgesamtheit, betrachtet. Eine Population kann aus einer beliebigen Menge von Objekten oder Individuen bestehen, die irgendwelche gemeinsame, beobachtbare Charakteristiken, sogenannte Merkmale aufweisen. Eine Untermenge einer Population wird auch als Stichprobe oder kurz Probe bezeichnet. In der Statistik werden meistens zufällig ausgewählte Proben oder Zufallsstichproben betrachtet. Die Elemente der Population haben dabei gleiche Chance, in die Probe aufgenommen zu werden. Wenn ein ausgewähltes Element in die Population zurückgegeben wird, bevor das nächste gezogen wird, so spricht man vom Stichprobenziehen mit Zurücklegen. Der Begriff Grundgesamtheit oder Population kann sich auf die Objekte oder auch auf die Merkmale dieser selbst beziehen. Ein Element der Stichprobe wird auch als Realisation des Merkmals bezeichnet. Man unterscheidet zwischen der Verteilung der Werte der Stichprobe (der gemessenen, wirklich beobachteten oder empirischen Werte, daher empirische Verteilung) und der Verteilung der Werte der Gesamtheit (der theoretischen, aber normalerweise unbekannten und nicht beobachtbaren Verteilung). Daher ist eines der wichtigsten Probleme der Statistik, inwieweit man aus der Verteilung der Stichprobe auf die Verteilung der Grundgesamtheit schliessen kann. Eine dritte Klasse von Verteilungen wird durch die Verteilung einer Grösse, die sich aus einer möglichen Stichprobe (eines bestimmten Umfangs) aus der Population errechnet, bestimmt. Zum Beispiel, wenn wir alle möglichen Stichproben von 10 Schülern einer bestimmten Schule nehmen und jeweils die mittlere Körpergrösse aus jeder Stichprobe berechnen, bekommen wir eine grosse Anzahl von Mitteln, die eine Verteilung bestimmen, die man mit Verteilung des Mittels von Stichproben des Umfangs 10 bezeichnet (Verteilung einer Statistik). Beispiel 27.1.0.1 . Eine Studie der Körpergrössen der Männer einer Stadt wird durchgeführt. Eine Stichprobe von 200 Männern wird erhoben und die Körpergrössen werden gemessen. Die Stichprobe besteht aus den 200 (zufällig) ausgewählten Männern. Die gemessene Charakteristik (das Merkmal) ist die Körpergrösse. Wir können die (empirische) Verteilung der Körpergrösse der 200 Männer feststellen, aber die Verteilung der gesamten Population wird nicht zu bestimmen sein. Das ausgerechnete Stichprobenmittel aus den Körpergrössen der betrachteten 200 Männer könnte als Einzelbeobachtung der Mittel aller möglichen Stichproben mit dem Umfang 200 interpretiert werden. Beispiel 27.1.0.2 . Ein Forschungsprojekt zur Untersuchung der Wirkung eines bestimmten Medikamentes auf Tetanus wird durchgeführt. Eine Gruppe von Ratten, die mit Tetanus infiziert wurde, wird mit dem Medikament behandelt und der Anteil der überlebenden Ratten nach einer bestimmten Zeitperiode festgestellt. Die Population besteht aus allen Ratten, die infiziert und behandelt werden oder werden könnten. Die Stichprobe besteht aus der Gruppe der Ratten, die wirklich in diesem Projekt verwendet werden, und das Merkmal besteht (abstrakt) aus dem Überleben nach der Zeitperiode: ja oder nein. Die Population kann nicht beobachtet werden, weil man den Versuch nicht mit allen Ratten durchführen kann. 124 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 125 Beispiel 27.1.0.3 . Die Korngrössen eines dispersen Stoffes sollen analysiert werden. Eine Stichprobe (repräsentativ) einer bestimmten Grösse (Durchmesser oder Gewicht) wird genommen und die Verteilung der Korngrösse in der Probe festgestellt. Für eine festgelegte Korngrösse könnte der Anteil der kleineren Korngrössen (gemessen als relative Anzahl, in Gewichts- oder Volumseinheiten) das Merkmal sein, der festgestellte Anteil in der Stichprobe die Realisation, und für dieses Merkmal liefert die Stichprobe nur einen einzigen Wert. 27.2 Kenngrössen anzahl Mittelwert Varianz Stichprobe Population n<N n P N X= s2 = e s2 = 2 ṡ = 2 s̈ = Zentraler Moment der Ordnung k v2k e v2k = = v̇2k = v̈2k = xi i=1 n n P µ= (xi − X) 2 i=1 n P n σ2 = N P xi i=1 N N P (xi − µ)2 i=1 N (xi − X)2 i=1 n P n−1 (xi − µ)2 i=1 n P n (xi − µ)2 i=1 n P i=1 n P i=1 n P i=1 n P i=1 n−1 (xi − X)k n ρ2k = N P (xi − µ)k i=1 N (xi − X)k n−1 (xi − µ)k n (xi − µ)k n−1 Tabelle 27.2.0.1: Kenngrössen: Stichprobe vs. Population 27.3 Verbunden oder unverbunden? Was meinen Statistiker, wenn sie von verbundenen Stichproben sprechen? Verbundene (abhängige) Stichproben sind Daten, die an den gleichen Fällen/Patienten gemessen wurden. Wenn zum Beispiel ein Laborparameter an allen Patienten vor und nach der Behandlung gemessen wird, dann hat man zwei Stichproben: • eine mit Messungen vor der Behandlung und Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 126 • eine mit Messungen nach der Behandlung. Diese beiden Stichproben sind verbunden, da jede Stichprobe von jedem Patienten einen Messwert enthält. Das gleich gilt, wenn man einen Zeitverlauf mit mehr als zwei Messzeitpunkten beobachtet und zu jedem Messzeitpunkt jeden Patienten misst. Dann hat man mehr als zwei Stichproben, die alle verbunden sind. Statt verbundene Stichproben wird oft auch der Ausdruck gepaarte Stichproben verwendet. Unverbunden oder ungepaart (unabhängige) sind Stichproben, wenn sie an komplett unterschiedlichen Fällen/Patienten gemessen wurden. Also zum Beispiel, wenn der Laborparameter an Frauen und Männern gemessen wird. Man hat dann wieder zwei Stichproben: Die Frauen und die Männer. Diesmal sind sie unverbunden oder ungepaart, da die Patienten genau einer Gruppe zugeordnet werden. Für die Auswahl der richtigen statistischen Methoden müssen Sie sich klar machen, ob Sie unverbundene oder verbundene Stichproben haben. Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 27.4 Übungen 27.4.1 Aufgabe 27.1 . 27.4.2 Lösung der Aufgabe 27.1 . 127 Kapitel 31 Einführung in die Hypothesenprüfung Ein statistischer Test dient in der mathematischen Statistik dazu, anhand vorliegender Beobachtungen eine begründete Entscheidung über die Gültigkeit oder Ungültigkeit einer Hypothese zu treffen. Formal ist ein Test also eine mathematische Funktion. Da die vorhandenen Daten Realisationen von Zufallsvariablen sind, lässt sich in den meisten Fällen nicht mit Sicherheit sagen, ob eine Hypothese stimmt oder nicht. Man versucht daher, die Wahrscheinlichkeiten für Fehlentscheidungen zu kontrollieren, was einem Test zu einem vorgegebenen Signifikanzniveau entspricht. Wir sprechen daher auch von einem Hypothesentest oder auch Signifikanztest. Auch wenn es wünschenswert ist, dass der Test aufgrund der vorliegenden Daten. richtig entscheidet, besteht die Möglichkeit von Fehlentscheidungen. Im mathematischen Modell bedeutet dies, dass man bei richtiger Nullhypothese und Entscheidung fur die Alternative einen Fehler 1. Art (α–Fehler) begangen hat. Falls man die Nullhypothese bestätigt sieht, obwohl sie nicht stimmt, begeht man einen Fehler 2. Art (β–Fehler). Der Fehler 1. Art oder α-Fehler (Alpha-Fehler) bezieht sich auf eine Methode des Hypothesentests. Beim Test einer Hypothese liegt ein Fehler 1. Art vor, wenn die Nullhypothese zurückgewiesen wird, obwohl sie in Wirklichkeit wahr ist (beruhend auf falsch positiven Ergebnissen). Der Fehler 2. Art, auch als β-Fehler (Beta-Fehler) oder Falsch-negativ-Entscheidung bezieht sich auf eine spezielle Methode des Hypothesentests. Beim Test einer Hypothese bedeutet ein Fehler 2. Art, dass der Test die Nullhypothese fälschlicherweise bestätigt, obwohl die Alternativhypothese korrekt ist. Im Gegensatz zum Risiko 1. Art, die gegebene Null-Hypothese, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft, irrtümlicherweise abzulehnen, lässt sich das Risiko 2. Art, also die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art meist nicht vorab bestimmen H0 ist wahr H0 ist falsch H0 abgelehnt Fehler 1. Art. Wahrscheinlichkeit: α H0 nicht abgelehnt. Wahrscheinlichkeit: 1 − α Entscheidung richtig. Wahrscheinlichkeit: 1−β Entscheidung richtig Fehler 2. Art. Wahrscheinlichkeit: β Tabelle 31.0.0.1: Fehler 1. Art und 2. Art 128 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 129 31.1 rechtsseitiger Test π=1−α α c x Ablehnung Annahmebereich Abbildung 31.1.0.1: rechtsseitiger Test H0 : x ≤ x 0 H1 : x > x 0 Pr(x ≤ c) = π = 1 − α 31.2 linksseitiger Test π=1−α α c Ablehnung x Annahmebereich Abbildung 31.2.0.1: linksseitiger Test Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 130 H0 : x ≥ x 0 H1 : x < x 0 Pr(x < c) = α 31.3 zweiseitiger Test π=1−α α 2 c1 Ablehnung α 2 c2 Annahmebereich Abbildung 31.3.0.1: zweiseitiger Test H0 : x , x 0 H1 : x = x 0 Pr(c1 ≤ x ≤ c2 ) = π = 1 − α x Ablehnung Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 31.4 Übungen 31.4.1 Aufgabe 31.1 31.4.2 Lösung der Aufgabe 31.1 . 131 Kapitel 32 Chi–Quadrat–Anpassungstest 32.1 Diskrete Gleichverteilung Manchmal wird die Diskrete Gleichverteilung als Ursprungsverteilung der Merkmalswerte angenommen. Bevor diese Annahme getroffen werden kann, müssen die Merkmalswerte dahingehend untersucht werden, ob die Diskrete Gleichverteilung eine geeignete Verteilung ist. Eine Überprüfung der Verteilungsannahmen ausschliesslich ueber ein Histogramm reicht nicht aus, da das Aussehen des Histogramms stark von der Balken– bzw. Klassenbreite und den Klassengrenzen abhängt. Die Überprüfung der Diskrete Gleichverteilung besteht aus drei Schritten: • Grafische Überprüfung mit Wahrscheinlichkeitsnetz, Histogramm und Boxplot • Schätzung der Kennzahlen • Tests auf Diskrete Gleichverteilung mit hoher Güte, z. B. Chi–Quadrat–Anpassungstest Die historischen Lottozahlen der letzten 25 Jahren aus Deutschland zeigen das Gesetz der grossen Zahlen sehr anschaulich. Die Berechnungen sind in der Tabelle 32.1.0.1 auf Seite 133 i xi ai 1 1 187 2 2 194 3 3 194 4 4 178 5 5 176 6 6 187 7 7 175 8 8 197 9 9 201 10 10 173 11 11 175 12 12 180 13 13 157 14 14 181 132 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 15 15 172 16 16 180 17 17 190 18 18 183 19 19 191 20 20 181 21 21 200 22 22 191 23 23 186 24 24 177 25 25 196 26 26 200 27 27 180 28 28 167 29 29 186 30 30 182 31 31 199 32 32 211 33 33 189 34 34 175 35 35 183 36 36 199 37 37 175 38 38 199 39 39 199 40 40 195 41 41 183 42 42 182 43 43 189 44 44 181 45 45 188 46 46 191 47 47 175 48 48 195 49 49 207 133 Tabelle 32.1.0.1: Daten Prüfen wir, ob es sich um eine Diskrete Gleichverteilung handelt, wobei n unbekannt mit der Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.1000; α = 0.0500; α = 0.0100 n = 49 Anzahl der geschätzten Parameter m = 1 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 p= 134 1 n a = 9132.0000 H0 : Es handelt sich um eine eine Diskrete Gleichverteilung mit p = 0.0204 Die Berechnungen sind in der Tabelle 32.1.0.2 auf Seite 135 i xi ai pi unter H0 ei 1 1 187 0.0204 186.3673 2 2 194 0.0204 186.3673 3 3 194 0.0204 186.3673 4 4 178 0.0204 186.3673 5 5 176 0.0204 186.3673 6 6 187 0.0204 186.3673 7 7 175 0.0204 186.3673 8 8 197 0.0204 186.3673 9 9 201 0.0204 186.3673 10 10 173 0.0204 186.3673 11 11 175 0.0204 186.3673 12 12 180 0.0204 186.3673 13 13 157 0.0204 186.3673 14 14 181 0.0204 186.3673 15 15 172 0.0204 186.3673 16 16 180 0.0204 186.3673 17 17 190 0.0204 186.3673 18 18 183 0.0204 186.3673 19 19 191 0.0204 186.3673 20 20 181 0.0204 186.3673 21 21 200 0.0204 186.3673 22 22 191 0.0204 186.3673 23 23 186 0.0204 186.3673 24 24 177 0.0204 186.3673 25 25 196 0.0204 186.3673 26 26 200 0.0204 186.3673 27 27 180 0.0204 186.3673 28 28 167 0.0204 186.3673 29 29 186 0.0204 186.3673 30 30 182 0.0204 186.3673 31 31 199 0.0204 186.3673 32 32 211 0.0204 186.3673 33 33 189 0.0204 186.3673 34 34 175 0.0204 186.3673 35 35 183 0.0204 186.3673 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 135 36 36 199 0.0204 186.3673 37 37 175 0.0204 186.3673 38 38 199 0.0204 186.3673 39 39 199 0.0204 186.3673 40 40 195 0.0204 186.3673 41 41 183 0.0204 186.3673 42 42 182 0.0204 186.3673 43 43 189 0.0204 186.3673 44 44 181 0.0204 186.3673 45 45 188 0.0204 186.3673 46 46 191 0.0204 186.3673 47 47 175 0.0204 186.3673 48 48 195 0.0204 186.3673 49 49 207 0.0204 186.3673 Summe a = 9132 Tabelle 32.1.0.2: Berechnungen zum Chi–Quadrat–Anpassungstest auf Diskrete Gleichverteilung . Xbere = n (ai − ei )2 P = 30.2488 ei i=1 α = 0.1000 Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (47); 0.900) = 59.7742889, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang Da Xbere = 30.2487954 ≯ x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (47); 0.9000000) = 59.7742889, ist H0 auf dem 0.1000– Signifikanzniveau NICHT abzulehnen α = 0.0500 Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (47); 0.950) = 64.0011120, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang Da Xbere = 30.2487954 ≯ x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (47); 0.9500000) = 64.0011120, ist H0 auf dem 0.0500– Signifikanzniveau NICHT abzulehnen α = 0.0100 Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (47); 0.990) = 72.4433073, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang Da Xbere = 30.2487954 ≯ x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (47); 0.9900000) = 72.4433073, ist H0 auf dem 0.0100– Signifikanzniveau NICHT abzulehnen Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 136 32.2 Binomialverteilung Manchmal wird die Binomialverteilung als Ursprungsverteilung der Merkmalswerte angenommen. Bevor diese Annahme getroffen werden kann, müssen die Merkmalswerte dahingehend untersucht werden, ob die Binomialverteilung eine geeignete Verteilung ist. Eine Überprüfung der Verteilungsannahmen ausschliesslich ueber ein Histogramm reicht nicht aus, da das Aussehen des Histogramms stark von der Balken– bzw. Klassenbreite und den Klassengrenzen abhängt. Die Überprüfung der Binomialverteilung besteht aus drei Schritten: • Grafische Überprüfung mit Wahrscheinlichkeitsnetz, Histogramm und Boxplot • Schätzung der Kennzahlen • Tests auf Binomialverteilung mit hoher Güte, z. B. Chi–Quadrat–Anpassungstest Für eine diskrete Zufallsvariable X hat man die folgende Häufigkeitstabelle i ai 0 12 1 34 2 40 3 14 Tabelle 32.2.0.1: Daten p mit der Prüfen wir, ob X Binomialverteilt ist, mit dem Parameter n = 3 und einer unbekannten Wahrscheinlichkeit b Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.1000; α = 0.0500; α = 0.0100 n=4 a = 100 b p= n P iai i=0 an = 0.5200 wird geschätzt Anzahl der geschätzten Parameter m = 1, denn b p = 0.5200 wird geschätzt p = 0.5200 und n = 4 H0 : Es handelt sich um eine Binomialverteilung mit b Die Berechnungen sind in der Tabelle 32.2.0.2 auf Seite 137 i ai pi unter H0 ei 0 12 0.1106 11.0592 1 34 0.3594 35.9424 2 40 0.3894 38.9376 3 14 0.1406 14.0608 Summe a = 100 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 137 Tabelle 32.2.0.2: Berechnungen zum Chi–Quadrat–Anpassungstest auf Binomialverteilung . Xbere = n (ai − ei )2 P = 0.2143 ei i=1 α = 0.1000 Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.900) = 4.6051702, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang Da Xbere = 0.2142547 ≯ x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.9000000) = 4.6051702, ist H0 auf dem 0.1000–Signifikanzniveau NICHT abzulehnen α = 0.0500 Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.950) = 5.9914646, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang Da Xbere = 0.2142547 ≯ x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.9500000) = 5.9914646, ist H0 auf dem 0.0500–Signifikanzniveau NICHT abzulehnen α = 0.0100 Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.990) = 9.2103404, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang Da Xbere = 0.2142547 ≯ x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.9900000) = 9.2103404, ist H0 auf dem 0.0100–Signifikanzniveau NICHT abzulehnen 32.3 Poisson–Verteilung Manchmal wird die Poisson–Verteilung als Ursprungsverteilung der Merkmalswerte angenommen. Bevor diese Annahme getroffen werden kann, müssen die Merkmalswerte dahingehend untersucht werden, ob die Poisson–Verteilung eine geeignete Verteilung ist. Eine Überprüfung der Verteilungsannahmen ausschliesslich ueber ein Histogramm reicht nicht aus, da das Aussehen des Histogramms stark von der Balken– bzw. Klassenbreite und den Klassengrenzen abhängt. Die Überprüfung der Poisson–Verteilung besteht aus drei Schritten: • Grafische Überprüfung mit Wahrscheinlichkeitsnetz, Histogramm und Boxplot • Schätzung der Kennzahlen • Tests auf Poisson–Verteilung mit hoher Güte, z. B. Chi–Quadrat–Anpassungstest Für eine diskrete Zufallsvariable X hat man die folgende Häufigkeitstabelle Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 i ai 0 252 1 185 2 45 >3 138 18 Tabelle 32.3.0.1: Daten Prüfen wir, ob X Poisson–verteilt ist, wobei λ unbekannt mit der Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.1000; α = 0.0500; α = 0.0100 n=4 a = 500 λ=X= n P iai i=0 a = 0.6580 wird geschätzt Anzahl der geschätzten Parameter m = 1, denn λ = 0.6580 wird geschätzt H0 : Es handelt sich um eine Poisson–Verteilung mit λ = 0.6580 Die Berechnungen sind in der Tabelle 32.3.0.2 auf Seite 138 i ai pi unter H0 ei 0 252 0.5179 258.9430 1 185 0.3408 170.3845 2 45 0.1121 56.0565 >3 18 0.0292 14.6159 Summe a = 500 Tabelle 32.3.0.2: Berechnungen zum Chi–Quadrat–Anpassungstest auf Poisson–Verteilung . Xbere = n (ai − ei )2 P = 4.4042 ei i=0 α = 0.1000 Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.900) = 4.6051702, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang Da Xbere = 4.4041591 ≯ x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.9000000) = 4.6051702, ist H0 auf dem 0.1000–Signifikanzniveau NICHT abzulehnen α = 0.0500 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 139 Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.950) = 5.9914646, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang Da Xbere = 4.4041591 ≯ x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.9500000) = 5.9914646, ist H0 auf dem 0.0500–Signifikanzniveau NICHT abzulehnen α = 0.0100 Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.990) = 9.2103404, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang Da Xbere = 4.4041591 ≯ x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.9900000) = 9.2103404, ist H0 auf dem 0.0100–Signifikanzniveau NICHT abzulehnen 32.4 geometrische Verteilung Manchmal wird die geometrische Verteilung als Ursprungsverteilung der Merkmalswerte angenommen. Bevor diese Annahme getroffen werden kann, müssen die Merkmalswerte dahingehend untersucht werden, ob die geometrische Verteilung eine geeignete Verteilung ist. Eine Überprüfung der Verteilungsannahmen ausschliesslich ueber ein Histogramm reicht nicht aus, da das Aussehen des Histogramms stark von der Balken– bzw. Klassenbreite und den Klassengrenzen abhängt. Die Überprüfung der geometrischen Verteilung besteht aus drei Schritten: • Grafische Überprüfung mit Wahrscheinlichkeitsnetz, Histogramm und Boxplot • Schätzung der Kennzahlen • Tests auf geometrischen Verteilung mit hoher Güte, z. B. Chi–Quadrat–Anpassungstest Für eine diskrete Zufallsvariable X hat man die folgende Häufigkeitstabelle i ai 1 252 2 185 3 45 >3 18 Tabelle 32.4.0.1: Daten Prüfen wir, ob X geometrisch verteilt ist, wobei b p unbekannt mit der Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.1000; α = 0.0500; α = 0.0100 n=4 a = 500 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 b p= 1 = X a n P 140 = 0.6031 wird geschätzt (i + 1)ai i=0 Anzahl der geschätzten Parameter m = 1, denn b p = 0.6031 wird geschätzt H0 : Es handelt sich um eine Geometrische Verteilung mit b p = 0.6031 Die Berechnungen sind in der Tabelle 32.4.0.2 auf Seite 140 i ai pi unter H0 ei 1 252 0.6031 301.5682 2 185 0.2394 119.6815 3 45 0.0950 47.4972 >3 18 0.0625 31.2532 Summe a = 500 Tabelle 32.4.0.2: Berechnungen zum Chi–Quadrat–Anpassungstest auf Geometrische Verteilung . Xbere = n (ai − ei )2 P = 49.5477 ei i=0 α = 0.1000 Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.900) = 4.6051702, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang Da Xbere = 49.5477393 > x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.9000000) = 4.6051702, ist H0 auf dem 0.1000–Signifikanzniveau abzulehnen α = 0.0500 Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.950) = 5.9914646, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang Da Xbere = 49.5477393 > x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.9500000) = 5.9914646, ist H0 auf dem 0.0500–Signifikanzniveau abzulehnen α = 0.0100 Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.990) = 9.2103404, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang Da Xbere = 49.5477393 > x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.9900000) = 9.2103404, ist H0 auf dem 0.0100–Signifikanzniveau abzulehnen Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 141 32.5 Normal– oder Gauss–Verteilung Manchmal wird die Diskrete Gleichverteilung als Ursprungsverteilung der Merkmalswerte angenommen. Bevor diese Annahme getroffen werden kann, müssen die Merkmalswerte dahingehend untersucht werden, ob die Diskrete Gleichverteilung eine geeignete Verteilung ist. Eine Überprüfung der Verteilungsannahmen ausschliesslich ueber ein Histogramm reicht nicht aus, da das Aussehen des Histogramms stark von der Balken– bzw. Klassenbreite und den Klassengrenzen abhängt. Die Überprüfung der Diskrete Gleichverteilung besteht aus drei Schritten: • Grafische Überprüfung mit Wahrscheinlichkeitsnetz, Histogramm und Boxplot • Schätzung der Kennzahlen • Tests auf Diskrete Gleichverteilung mit hoher Güte, z. B. Chi–Quadrat–Anpassungstest Für eine stetige Zufallsvariable X hat man die folgende Häufigkeitstabelle i Klasse ai 1 X ≤ 150.0000 2 170.0000 < X ≤ 190.0000 265 2 3 5 150.0000 < X ≤ 170.0000 200 190.0000 < X 33 Tabelle 32.5.0.1: Daten Prüfen wir, ob X Normal–verteilt ist, wobei µ auf 170.0000 (bzw. σ auf 10.0000) geschätzt ist mit der Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.1000; α = 0.0500; α = 0.0100 n=4 µ = 170.0000 wird gegeben σ = 10.0000 wird gegeben Anzahl der geschätzten Parameter m = 0 H0 : Es handelt sich um eine Normal–Verteilung mit µ = 170.0000 und σ = 10.0000 Die Berechnungen sind in der Tabelle 32.5.0.2 auf Seite 142 i xi ai pi unter H0 ei 1 X ≤ 150.0000 2 0.0228 11.3751 200 0.4772 238.6249 170.0000 < X ≤ 190.0000 265 0.4772 238.6249 2 3 150.0000 < X ≤ 170.0000 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 4 190.0000 < X Summe 33 0.0228 142 11.3751 a = 500 Tabelle 32.5.0.2: Berechnungen zum Chi–Quadrat–Anpassungstest auf Normal–Verteilung . Xbere = n (ai − ei )2 P = 58.0047 ei i=1 α = 0.1000 Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (3); 0.900) = 6.2513886, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang Da Xbere = 58.0047164 > x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (3); 0.9000000) = 6.2513886, ist H0 auf dem 0.1000–Signifikanzniveau abzulehnen α = 0.0500 Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (3); 0.950) = 7.8147279, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang Da Xbere = 58.0047164 > x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (3); 0.9500000) = 7.8147279, ist H0 auf dem 0.0500–Signifikanzniveau abzulehnen α = 0.0100 Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (3); 0.990) = 11.3448668, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang Da Xbere = 58.0047164 > x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (3); 0.9900000) = 11.3448668, ist H0 auf dem 0.0100–Signifikanzniveau abzulehnen 32.6 diskrete Wahrnscheinlichkeiten dieses Chi–Quadrat–test setzt man ein um zu prüfen, ob Wahrscheinlichkeitsverteilung zu Versuchsergebnisse passen. Beispiel 32.6.0.1 Beim n = 351 Würfeln mit einem Würfel mit verschiedenen Flächen glaubt man, dass die Wahrscheinlichkeiten zu den Flächen proportional sind. man hat folgende Ergebnisse i Seite wie Oft Fläche in mm2 1 1 71 24.1000 2 2 48 16.4000 3 3 181 59.6000 4 4 51 14.9000 5 5 11 3.6000 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 6 6 24 143 7.9000 Tabelle 32.6.0.1: Daten Die Berechnungen sind in der Tabelle 32.6.0.2 auf Seite 143 i Seite ai yi 1 1 71 24.1000 yi y 0.1905 2 2 48 16.4000 0.1296 50.0427 3 3 181 59.6000 0.4711 181.8625 4 4 51 14.9000 0.1178 45.4656 5 5 11 3.6000 0.0285 10.9850 6 6 24 7.9000 0.0625 24.1059 a = 386 y = 126.5000 Summe pi = ei = api 73.5383 Tabelle 32.6.0.2: Berechnungen zum Chi–Quadrat–Anpassungstest . H0 : die Wahrscheinlichkeiten hängen von den Flächen ab m = 0, denn es wurde nichts abgeschätzt. n=6 a= n P ai = 386 i=1 y= n P yi = 126.5000 i=1 Xbere = n (ai − ei )2 P = 0.8493 ei i=1 α = 0.1000 Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (5); 0.900) = 9.2363569, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang. Da Xbere = 0.8492565 ≯ x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = 9.2363569, ist H0 auf dem 0.1000–Signifikanzniveau NICHT abzulehnen. α = 0.0500 Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (5); 0.950) = 11.0704977, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang. Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 144 Da Xbere = 0.8492565 ≯ x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = 11.0704977, ist H0 auf dem 0.0500–Signifikanzniveau NICHT abzulehnen. α = 0.0100 Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (5); 0.990) = 15.0862725, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang. Da Xbere = 0.8492565 ≯ x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = 15.0862725, ist H0 auf dem 0.0100–Signifikanzniveau NICHT abzulehnen. . Beispiel 32.6.0.2 In diesem Beispiel geht es darum zu zeigen, wie man mit einem Chi Quadrat Anpassungstest prüfen kann, ob ein Wuerfel unverfälscht ist oder nicht. Der zu untersuchende Würfel wurde 500 mal geworfen und es ergab sich die folgende Häufigkeitsverteilung für die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6: i Augenzahl absolute Häufigkeit 1 1 75 2 2 78 3 3 96 4 4 103 5 5 77 6 6 71 Tabelle 32.6.0.3: Daten Mit einem Chi Quadrat Anpassungstest wird für ein Signifikanzniveau von α = 1% getestet, ob die Stichprobe für oder gegen eine Gleichverteilung der sechs Augenzahlen spricht. n=6 a= n P ai = 500 i=1 H0 : alle Seiten haben die gleiche Wahrscheinlichkeit von p = 1/6 Unter der Voraussetzung, dass die Nullhypothese zutrifft, ergibt sich für jede Augenzahl xi eine hypothetische absolute Häufigkeit von ei = ap = 500/6 Xbere = n (ai − ei )2 P = 10.048493 ei i=1 α = 0.01000 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 145 Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (5); 0.990) = 15.2363569, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang. Da Xbere = 10.048493 ≯ x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = 15.2363569, ist H0 auf dem 0.0500–Signifikanzniveau NICHT abzulehnen. Beispiel 32.6.0.3 . Die Berechnungen sind in der Tabelle 32.6.0.4 auf Seite 145 i xi ai pi ei = api 1 1 20 0.2000 20.4000 2 3 15 0.1500 15.3000 3 5 31 0.3000 30.6000 4 8 26 0.2500 25.5000 5 10 10 0.1000 10.2000 Summe a = 102 a = 102 Tabelle 32.6.0.4: Berechnungen zum Chi–Quadrat–Anpassungstest . H0 : Pr(X = xi ) = pi m = 0, denn es wurde nichts abgeschätzt. n=5 a= n P ai = 102 i=1 Xbere = n (ai − ei )2 P = 0.0327 ei i=1 α = 0.1000 Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (4); 0.900) = 7.7794404, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang. Da Xbere = 0.0326797 ≯ x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = 7.7794404, ist H0 auf dem 0.1000–Signifikanzniveau NICHT abzulehnen. α = 0.0500 Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (4); 0.950) = 9.4877290, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang. Da Xbere = 0.0326797 ≯ x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = 9.4877290, ist H0 auf dem 0.0500–Signifikanzniveau NICHT abzulehnen. α = 0.0100 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 146 Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (4); 0.990) = 13.2767041, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang. Da Xbere = 0.0326797 ≯ x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = 13.2767041, ist H0 auf dem 0.0100–Signifikanzniveau NICHT abzulehnen. Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 32.7 Übungen 32.7.1 Aufgabe 32–1 Für eine diskrete Zufallsvariable X hat man die folgende Häufigkeitstabelle i xi ai 1 1 187 2 2 194 3 3 194 4 4 178 5 5 176 6 6 187 7 7 175 8 8 197 9 9 201 10 10 173 11 11 175 12 12 180 13 13 157 14 14 181 15 15 172 16 16 180 17 17 190 18 18 183 19 19 191 20 20 181 21 21 200 22 22 191 23 23 186 24 24 177 25 25 196 26 26 200 27 27 180 28 28 167 29 29 186 30 30 182 31 31 199 32 32 211 33 33 189 34 34 175 35 35 183 36 36 199 37 37 175 38 38 199 147 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 39 39 199 40 40 195 41 41 183 42 42 182 43 43 189 44 44 181 45 45 188 46 46 191 47 47 175 48 48 195 49 49 207 148 Tabelle 32.7.1.1: Daten Prüfen Sie, ob es sich um eine Diskrete Gleichverteilung handelt, wobei n unbekannt mit der Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.1000; α = 0.0500; α = 0.0100 32.7.2 Lösung der Aufgabe 32–1 n = 49 Anzahl der geschätzten Parameter m = 1 p= 1 n a = 9132.0000 H0 : Es handelt sich um eine eine Diskrete Gleichverteilung mit p = 0.0204 Die Berechnungen sind in der Tabelle 32.7.2.1 auf Seite 149 i xi ai pi unter H0 ei 1 1 187 0.0204 186.3673 2 2 194 0.0204 186.3673 3 3 194 0.0204 186.3673 4 4 178 0.0204 186.3673 5 5 176 0.0204 186.3673 6 6 187 0.0204 186.3673 7 7 175 0.0204 186.3673 8 8 197 0.0204 186.3673 9 9 201 0.0204 186.3673 10 10 173 0.0204 186.3673 11 11 175 0.0204 186.3673 12 12 180 0.0204 186.3673 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 149 13 13 157 0.0204 186.3673 14 14 181 0.0204 186.3673 15 15 172 0.0204 186.3673 16 16 180 0.0204 186.3673 17 17 190 0.0204 186.3673 18 18 183 0.0204 186.3673 19 19 191 0.0204 186.3673 20 20 181 0.0204 186.3673 21 21 200 0.0204 186.3673 22 22 191 0.0204 186.3673 23 23 186 0.0204 186.3673 24 24 177 0.0204 186.3673 25 25 196 0.0204 186.3673 26 26 200 0.0204 186.3673 27 27 180 0.0204 186.3673 28 28 167 0.0204 186.3673 29 29 186 0.0204 186.3673 30 30 182 0.0204 186.3673 31 31 199 0.0204 186.3673 32 32 211 0.0204 186.3673 33 33 189 0.0204 186.3673 34 34 175 0.0204 186.3673 35 35 183 0.0204 186.3673 36 36 199 0.0204 186.3673 37 37 175 0.0204 186.3673 38 38 199 0.0204 186.3673 39 39 199 0.0204 186.3673 40 40 195 0.0204 186.3673 41 41 183 0.0204 186.3673 42 42 182 0.0204 186.3673 43 43 189 0.0204 186.3673 44 44 181 0.0204 186.3673 45 45 188 0.0204 186.3673 46 46 191 0.0204 186.3673 47 47 175 0.0204 186.3673 48 48 195 0.0204 186.3673 49 49 207 0.0204 186.3673 Summe a = 9132 1 a = 9132 Tabelle 32.7.2.1: Berechnungen zum Chi–Quadrat–Anpassungstest auf Diskrete Gleichverteilung . Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 Xbere = 150 n (ai − ei )2 P = 30.2488 ei i=1 α = 0.1000 Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (47); 0.900) = 59.7742889, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang Da Xbere = 30.2487954 ≯ x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (47); 0.9000000) = 59.7742889, ist H0 auf dem 0.1000– Signifikanzniveau NICHT abzulehnen α = 0.0500 Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (47); 0.950) = 64.0011120, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang Da Xbere = 30.2487954 ≯ x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (47); 0.9500000) = 64.0011120, ist H0 auf dem 0.0500– Signifikanzniveau NICHT abzulehnen α = 0.0100 Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (47); 0.990) = 72.4433073, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang Da Xbere = 30.2487954 ≯ x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) = x(χ2 (47); 0.9900000) = 72.4433073, ist H0 auf dem 0.0100– Signifikanzniveau NICHT abzulehnen Kapitel 34 Test auf µ unter Normalverteilung bei bekannter Varianz 34.1 Idee Xi ∼ Nor(µ, σ2 ) für i = 1, . . . , n Modell Signifikanz niveau α Stichprobe n Werte, x1 , x2 , . . . , xn n P xi 2 i=1 X= ∼ Nor(µ0 , σn ) n Stich proben mittel wert Hypothesen H0 : µ ≤ µ0 H0 : µ = µ0 H1 : µ > µ0 H1 : µ , µ0 Teststatistik /Prüfgrösse Zbere = H0 : µ ≥ µ0 H1 : µ < µ0 X − µ0 σ √ n ∼ Nor(0, 1) x(Nor(0, 1), 1 − α) x(Nor(0, 1), 1 − α2 ) x(Nor(0, 1), 1 − α) pWert(Nor(0, 1), Zbere, R) pWert(Nor(0, 1), Zbere, 2) pWert(Nor(0, 1), Zbere, L) H0 ablehnen, wenn Zbere > x(Nor(0, 1), 1 − α) |Zbere | > x(Nor(0, 1), 1 − α2 ) Zbere < −x(Nor(0, 1), 1 − α) Alternativ: H0 ablehnen, wenn pWert(Nor(0, 1), Zbere, R) < α pWert(Nor(0, 1), Zbere, 2) < α pWert(Nor(0, 1), Zbere, L) < α Quantil Alternativ: pWert Tabelle 34.1.0.1: Test auf µ, wobei σ bekannt Computerprogramme geben im allgemeinen beim Testen den P–Wert an, so dass die Entscheidung durch einen einfachen Vergleich des P–Wertes mit dem Signifikanzniveau α getroffen werden kann. Grundsätzlich ist immer darauf zu achten, wie in einem Computerprogramm die Hypothese spezifiziert ist (zweiseitig, bzw. einseitig mit Grösser. oder Kleiner–Relation), da möglicherweise der angegebene P–Wert für die Testentscheidung gemäss der Hypothesenart entsprechend umgerechnet werden muss. 151 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 34.2 Übungen 34.2.1 Aufgabe 34–1 folgende 40 Beobachtungen vor: 9.3000; 9.3000; 11.1000; 11.1000; 11.1000; 11.1000; 11.4000; 11.9000; 11.9000; 11.9000; 12.0000; 12.0000; 12.0000; 12.0000; 12.1000; 12.1000; 12.1000; 12.1000; 12.3000; 12.3000; 12.3000; 12.3000; 12.4000; 12.4000; 12.4000; 12.4000; 12.4000; 12.6000; 12.6000; 12.6000; 12.7000; 12.7000; 12.7000; 12.7000; 13.1000; 13.1000; 13.5000; 13.5000; 13.7000; 13.7000; Testen Sie die Hypothese H0 : µ ≤ 12.0630 (α = 0.0500) Die Messwerte sind normalverteilt mit σ = 1.1000. 34.2.2 Lösung der Aufgabe 34–1 Gegebene Daten sind 9.3000 9.3000 11.1000 11.1000 11.1000 11.1000 11.4000 11.9000 11.9000 11.9000 12.0000 12.0000 12.0000 12.0000 12.1000 12.1000 12.1000 12.1000 12.3000 12.3000 12.3000 12.3000 12.4000 12.4000 12.4000 12.4000 12.4000 12.6000 12.6000 12.6000 12.7000 12.7000 12.7000 12.7000 13.1000 13.1000 13.5000 13.5000 13.7000 13.7000 Standardabweichung der Population σ = 1.1000 Umfang der Stichprobe n = 40 Mittelwert der Stichprobe X = µ0 = 12.0630 n P i=1 n xi = 12.1725 152 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 Teststatistik /Prüfgrösse Zbere = X − µ0 σ √ n 153 = 0.6296 α = 0.0500 H0 : µ ≤ 12.0630 H1 : µ > 12.0630 Quantil x(Nor(0, 1), 1 − α) = x(Nor(0, 1), 0.9500) = 1.6449, abgelesen aus der Tabelle C.0.0.1 ab Seite 238 am Anhang Zbere = 0.6296 < 1.6449 = x(Nor(0, 1), 1 − α) ⇒ H0 NICHT ablehnen Kapitel 35 Chi–Quadrat–Unabhängigkeitstest 35.1 Idee dieses Chi–Quadrat–test setzt man ein um zu prüfen, ob Wahrscheinlichkeitsverteilung von Versuchsbedingungen abhängig sind. Die Vorgehensweise soll an einem Beispiel erläutert werden. Beispiel 35.1.0.1 500 Personen (Wirtschaftsingenieure, garduierte Betriebswirte und Diplomkaufleute) haben sich bei einem Unternehmen beworben. Durch ein Eignungstest werden die Bewerber in die Katogerien „geeignet“und „nicht geeignet“eingeordnet. Die Auswertung der Antworten ergab folgenden Tabelle: Wirtschaftsingenieur garduierter Betriebswirt Diplom–Kaufmann geeignet 63 38 199 nicht geeignet 21 12 167 Tabelle 35.1.0.1: Daten . Testen Sie zum Niveau α = 0.050 die Hypothese, dass der Studienabschluss (Y) unabhängig von der Eignung (X) der Person sei. H0 : X und Y sind unabhängig H1 : X und Y sind abhängig n=2 m=3 absolute Häufigkeiten ai, j Die absolute Häufigkeiten (inkl. deren Zeilen–, Spaltensumme und Gesamtsumme) sind in der Tabelle 35.1.0.2 auf Seite 155 j=1 j=2 j=3 Y1 Y2 Y3 154 Summe Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 155 i=1 X1 a1,1 = 63 a1,2 = 38 a1,3 = 199 a1,• = 300 i=2 X2 a2,1 = 21 a2,2 = 12 a2,3 = 167 a2,• = 200 Summe a•,1 = 84 a•,2 = 50 a•,3 = 366 a•,• = 500 Tabelle 35.1.0.2: absolute Häufigkeiten . erwartete Häufigkeiten ei, j e1,1 = a1,• · a•,1 = 50.40000 > 5 a•,• e1,2 = a1,• · a•,2 = 30.00000 > 5 a•,• e1,3 = a1,• · a•,3 = 219.60000 > 5 a•,• e2,1 = a2,• · a•,1 = 33.60000 > 5 e2,2 = a2,• · a•,2 = 20.00000 > 5 e2,3 = a•,• a•,• a2,• · a•,3 = 146.40000 > 5 a•,• Die erwartete Häufigkeiten sind in der Tabelle 35.1.0.3 auf Seite 155 j=1 j=2 j=3 Y1 Y2 Y3 i=1 X1 e1,1 = 50.400 e1,2 = 30.000 e1,3 = 219.600 i=2 X2 e2,1 = 33.600 e2,2 = 20.000 e2,3 = 146.400 Tabelle 35.1.0.3: erwartete Häufigkeiten . Die Berechnungen (ai, j − ei, j )2 zur Teststatistik /Prüfgrösse sind in der Tabelle 35.1.0.4 auf Seite 156 ei, j j=1 j=2 j=3 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 156 Y1 Y2 Y3 i=1 X1 3.150 2.133 1.932 i=2 X2 4.725 3.200 2.899 Tabelle 35.1.0.4: Berechnungen zur Teststatistik /Prüfgrösse . Teststatistik /Prüfgrösse: Xbere = n P m (ai, j − ei, j )2 P = 18.03939 ei, j i=1 j=1 α = 0.050 Der kritischer Wert x(χ2 ((n − 1) · (m − 1); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.950) = 5.9914646 ist aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang abzulesen Da Xbere = 18.0393898 > x(χ2 ((n − 1) · (m − 1); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.9500000) = 5.9914646, ist H0 auf dem 0.0500– Signifikanzniveau abzulehnen, wobei der kritischer Wert x(χ2 ((n − 1) · (m − 1); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.9500000) aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang abzulesen ist. Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 157 35.2 Übungen 35.2.1 Aufgabe 35–1 300 Personen (Wirtschaftsingenieure, garduierte Betriebswirte und Diplomkaufleute) haben sich bei einem Unternehmen beworben. Durch ein Eignungstest werden die Bewerber in die Katogerien „geeignet“und „nicht geeignet“eingeordnet. Die Auswertung der Antworten ergab folgenden Tabelle: Wirtschaftsingenieur garduierter Betriebswirt Diplom–Kaufmann geeignet 46 11 12 nicht geeignet 30 48 153 Tabelle 35.2.1.1: Daten . Testen Sie zum Niveau α = 0.0500 die Hypothese, dass der Studienabschluss (Y) unabhängig von der Eignung (X) der Person sei. 35.2.2 Lösung der Aufgabe 35–1 H0 : X und Y sind unabhängig H1 : X und Y sind abhängig n=2 m=3 absolute Häufigkeiten ai, j Die absolute Häufigkeiten (inkl. deren Zeilen–, Spaltensumme und Gesamtsumme) sind in der Tabelle 35.2.2.1 auf Seite 157 j=1 j=2 j=3 Y1 Y2 Y3 Summe i=1 X1 a1,1 = 46 a1,2 = 11 a1,3 = 12 a1,• = 69 i=2 X2 a2,1 = 30 a2,2 = 48 a2,3 = 153 a2,• = 231 Summe a•,1 = 76 a•,2 = 59 a•,3 = 165 a•,• = 300 Tabelle 35.2.2.1: absolute Häufigkeiten . erwartete Häufigkeiten ei, j e1,1 = a1,• · a•,1 = 17.4800 > 5 a•,• Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 158 Voraussetzung für die Approximation erfüllt e1,2 = a1,• · a•,2 = 13.5700 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt a1,• · a•,3 = 37.9500 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e1,3 = a2,• · a•,1 = 58.5200 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e2,1 = a2,• · a•,2 = 45.4300 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e2,2 = a2,• · a•,3 = 127.0500 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e2,3 = Insgesamt sind die Voraussetzungen für alle Approximationen erfüllt Die erwartete Häufigkeiten sind in der Tabelle 35.2.2.2 auf Seite 158 j=1 j=2 j=3 Y1 Y2 Y3 i=1 X1 e1,1 = 17.4800 e1,2 = 13.5700 e1,3 = 37.9500 i=2 X2 e2,1 = 58.5200 e2,2 = 45.4300 e2,3 = 127.0500 Tabelle 35.2.2.2: erwartete Häufigkeiten . Die Berechnungen (ai, j − ei, j )2 zur Teststatistik /Prüfgrösse sind in der Tabelle 35.2.2.3 auf Seite 159 ei, j j=1 j=2 j=3 Y1 Y2 Y3 i=1 X1 46.5326 0.4867 17.7445 i=2 X2 13.8994 0.1454 5.3003 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 159 Tabelle 35.2.2.3: Berechnungen zur Teststatistik /Prüfgrösse . Teststatistik /Prüfgrösse: Xbere = n P m (ai, j − ei, j )2 P = 84.1089 ei, j i=1 j=1 α = 0.0500 Der kritischer Wert x(χ2 ((n − 1) · (m − 1); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.950) = 5.9914646 ist aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang abzulesen Da Xbere = 84.1088650 > x(χ2 ((n − 1) · (m − 1); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.9500000) = 5.9914646, ist H0 auf dem 0.0500– Signifikanzniveau abzulehnen, wobei der kritischer Wert x(χ2 ((n − 1) · (m − 1); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.9500000) aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang abzulesen ist. 35.2.3 Aufgabe 35–2 Eine Befragung von 300 dreissigjährigen Frauen und Männern nach Familienstand und Religionszugehörigkeit ergab die folgende Tabelle: ledig verheiratet geschieden evan. 41 18 15 kath. 56 31 33 sons. 16 30 60 Tabelle 35.2.3.1: Daten . Testen Sie zum Niveau α = 0.0100 die Hypothese, dass der Familienstand (Y) unabhängig von der Religionszugehörigkeit (X) der Person sei. 35.2.4 Lösung der Aufgabe 35–2 H0 : X und Y sind unabhängig H1 : X und Y sind abhängig n=3 m=3 absolute Häufigkeiten ai, j Die absolute Häufigkeiten (inkl. deren Zeilen–, Spaltensumme und Gesamtsumme) sind in der Tabelle 35.2.4.1 auf Seite 160 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 160 j=1 j=2 j=3 Y1 Y2 Y3 Summe i=1 X1 a1,1 = 41 a1,2 = 18 a1,3 = 15 a1,• = 74 i=2 X2 a2,1 = 56 a2,2 = 31 a2,3 = 33 a2,• = 120 i=3 X3 a3,1 = 16 a3,2 = 30 a3,3 = 60 a3,• = 106 Summe a•,1 = 113 a•,2 = 79 a•,3 = 108 a•,• = 300 Tabelle 35.2.4.1: absolute Häufigkeiten . erwartete Häufigkeiten ei, j a1,• · a•,1 = 27.8733 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e1,1 = a1,• · a•,2 = 19.4867 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e1,2 = a1,• · a•,3 = 26.6400 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e1,3 = a2,• · a•,1 = 45.2000 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e2,1 = a2,• · a•,2 = 31.6000 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e2,2 = a2,• · a•,3 = 43.2000 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e2,3 = a3,• · a•,1 = 39.9267 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e3,1 = a3,• · a•,2 = 27.9133 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e3,2 = Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 161 a3,• · a•,3 = 38.1600 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e3,3 = Insgesamt sind die Voraussetzungen für alle Approximationen erfüllt Die erwartete Häufigkeiten sind in der Tabelle 35.2.4.2 auf Seite 161 j=1 j=2 j=3 Y1 Y2 Y3 i=1 X1 e1,1 = 27.8733 e1,2 = 19.4867 e1,3 = 26.6400 i=2 X2 e2,1 = 45.2000 e2,2 = 31.6000 e2,3 = 43.2000 i=3 X3 e3,1 = 39.9267 e3,2 = 27.9133 e3,3 = 38.1600 Tabelle 35.2.4.2: erwartete Häufigkeiten . Die Berechnungen (ai, j − ei, j )2 ei, j zur Teststatistik /Prüfgrösse sind in der Tabelle 35.2.4.3 auf Seite 161 j=1 j=2 j=3 Y1 Y2 Y3 i=1 X1 6.1819 0.1134 5.0859 i=2 X2 2.5805 0.0114 2.4083 i=3 X3 14.3384 0.1560 12.4996 Tabelle 35.2.4.3: Berechnungen zur Teststatistik /Prüfgrösse . Teststatistik /Prüfgrösse: Xbere = n P m (ai, j − ei, j )2 P = 43.3755 ei, j i=1 j=1 α = 0.0100 Der kritischer Wert x(χ2 ((n − 1) · (m − 1); 1 − α) = x(χ2 (4); 0.990) = 13.2767041 ist aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang abzulesen Da Xbere = 43.3755280 > x(χ2 ((n − 1) · (m − 1); 1 − α) = x(χ2 (4); 0.9900000) = 13.2767041, ist H0 auf dem 0.0100– Signifikanzniveau abzulehnen, wobei der kritischer Wert x(χ2 ((n − 1) · (m − 1); 1 − α) = x(χ2 (4); 0.9900000) aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang abzulesen ist. Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 162 35.2.5 Aufgabe 35–3 Im Rahmen einer Meinungsumfrage zum Thema „Promille–Grenze im Strassenverkehr“wurden 300 Personen zufällig ausgewählt und interviewt. Die Auswertung der Antworten ergab folgenden Tabelle: verbieten nicht verbieten Unter 30 Jahre 43 26 Zwischen 30 und 50 Jahre 35 27 41 128 Über 50 Jahre Tabelle 35.2.5.1: Daten . Testen Sie zum Niveau α = 0.0100 die Hypothese, dass das Antwortverhalten (Y) unabhängig vom Alter (X) der Person sei. 35.2.6 Lösung der Aufgabe 35–3 H0 : X und Y sind unabhängig H1 : X und Y sind abhängig n=3 m=2 absolute Häufigkeiten ai, j Die absolute Häufigkeiten (inkl. deren Zeilen–, Spaltensumme und Gesamtsumme) sind in der Tabelle 35.2.6.1 auf Seite 162 j=1 j=2 Y1 Y2 Summe i=1 X1 a1,1 = 43 a1,2 = 26 a1,• = 69 i=2 X2 a2,1 = 35 a2,2 = 27 a2,• = 62 X3 a3,1 = 41 a3,2 = 128 a3,• = 169 Summe a•,1 = 119 a•,2 = 181 a•,• = 300 i=3 Tabelle 35.2.6.1: absolute Häufigkeiten . erwartete Häufigkeiten ei, j Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 163 a1,• · a•,1 = 27.3700 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e1,1 = a1,• · a•,2 = 41.6300 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e1,2 = a2,• · a•,1 = 24.5933 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e2,1 = e2,2 = a2,• · a•,2 e3,1 = a3,• · a•,1 = 37.4067 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt = 67.0367 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt a3,• · a•,2 = 101.9633 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e3,2 = Insgesamt sind die Voraussetzungen für alle Approximationen erfüllt Die erwartete Häufigkeiten sind in der Tabelle 35.2.6.2 auf Seite 163 j=1 j=2 Y1 Y2 i=1 X1 e1,1 = 27.3700 e1,2 = 41.6300 i=2 X2 e2,1 = 24.5933 e2,2 = 37.4067 i=3 X3 e3,1 = 67.0367 e3,2 = 101.9633 Tabelle 35.2.6.2: erwartete Häufigkeiten . Die Berechnungen (ai, j − ei, j )2 ei, j zur Teststatistik /Prüfgrösse sind in der Tabelle 35.2.6.3 auf Seite 164 j=1 j=2 Y1 Y2 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 164 i=1 X1 8.9257 5.8683 i=2 X2 4.4036 2.8952 i=3 X3 10.1125 6.6485 Tabelle 35.2.6.3: Berechnungen zur Teststatistik /Prüfgrösse . Teststatistik /Prüfgrösse: Xbere = n P m (ai, j − ei, j )2 P = 38.8538 ei, j i=1 j=1 α = 0.0100 Der kritischer Wert x(χ2 ((n − 1) · (m − 1); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.990) = 9.2103404 ist aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang abzulesen Da Xbere = 38.8538018 > x(χ2 ((n − 1) · (m − 1); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.9900000) = 9.2103404, ist H0 auf dem 0.0100– Signifikanzniveau abzulehnen, wobei der kritischer Wert x(χ2 ((n − 1) · (m − 1); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.9900000) aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang abzulesen ist. Kapitel 36 Test auf µ unter Normalverteilung bei unbekannter Varianz 36.1 Idee Xi ∼ Nor(µ, σ2 ) für i = 1, . . . , n Modell Signifikanz niveau α Stichprobe Hypothesen n Werte, x1 , x2 , . . . , xn n P xi i=1 X= n v u u n tP (xi − X)2 i=1 H0 : µ ≤ µ0 e s= H1 : µ > µ0 H1 : µ , µ0 n−1 H0 : µ = µ0 Teststatistik /Prüfgrösse T bere = H0 : µ ≥ µ0 H1 : µ < µ0 X − µ0 s √e n ∼ T (n − 1) H0 ablehnen, wenn x(T (n − 1), 1 − α) x(T (n − 1), 1 − α2 ) x(T (n − 1), 1 − α) T bere > x(T (n − 1), 1 − α) |T bere| > x(T (n − 1), 1 − α2 ) T bere < −x(T (n − 1), 1 − α) Alternativ: H0 ablehnen, wenn pWert(T (n − 1), T bere, R) < α pWert(T (n − 1), T bere, 2) < α pWert(T (n − 1), T bere, L) < α Quantil Tabelle 36.1.0.1: Test auf µ, wobei σ unbekannt Beispiel 36.1.0.1 . Eine Stichprobe von n=10 Plättchen liefert ein arithmetisches Mittel von 0.253cm bei einer Standardabweichung von 0.003cm. X = 0.25300 n = 10 σ unbekannt aber e s = 0.00300 165 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 166 µ0 = 0.25000 Teststatistik /Prüfgrösse T bere = α = 0.05000 X − µ0 s √e n = 3.16228 ************** Test 01 ************** H0 : µ ≤ 0.25000 H1 : µ > 0.25000 Quantil x(T (n − 1), 1 − α) = x(T (n − 1), 0.95000) = 1.83311, abgelesen aus der Tabelle E.0.0.1 ab Seite 247 am Anhang T bere = 3.16228 > 1.83311 = x(T (n − 1), 1 − α) ⇒ H0 ablehnen ************** Test 02 ************** H0 : µ = 0.25000 H1 : µ , 0.25000 Quantil x(T (n − 1), 1 − hang α 2) = x(T (n − 1), 0.97500) = 2.26216, abgelesen aus der Tabelle E.0.0.1 ab Seite 247 am An- |T bere | = 3.16228 > 2.26216 = x(T (n − 1), 1 − α2 ) ⇒ H0 ablehnen ************** Test 03 ************** H0 : µ ≥ 0.25000 H1 : µ < 0.25000 Quantil x(T (n − 1), 1 − α) = x(T (n − 1), 0.95000) = 1.83311, abgelesen aus der Tabelle E.0.0.1 ab Seite 247 am Anhang T bere = 3.16228 > −1.83311 = −x(T (n − 1), 1 − α) ⇒ H0 NICHT ablehnen α = 0.01000 ************** Test 01 ************** H0 : µ ≤ 0.25000 H1 : µ > 0.25000 Quantil x(T (n − 1), 1 − α) = x(T (n − 1), 0.99000) = 2.82144, abgelesen aus der Tabelle E.0.0.1 ab Seite 247 am Anhang T bere = 3.16228 > 2.82144 = x(T (n − 1), 1 − α) ⇒ H0 ablehnen ************** Test 02 ************** H0 : µ = 0.25000 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 167 H1 : µ , 0.25000 Quantil x(T (n − 1), 1 − hang α 2) = x(T (n − 1), 0.99500) = 3.24984, abgelesen aus der Tabelle E.0.0.1 ab Seite 247 am An- |T bere | = 3.16228 < 3.24984 = x(T (n − 1), 1 − α2 ) ⇒ H0 NICHT ablehnen ************** Test 03 ************** H0 : µ ≥ 0.25000 H1 : µ < 0.25000 Quantil x(T (n − 1), 1 − α) = x(T (n − 1), 0.99000) = 2.82144, abgelesen aus der Tabelle E.0.0.1 ab Seite 247 am Anhang T bere = 3.16228 > −2.82144 = −x(T (n − 1), 1 − α) ⇒ H0 NICHT ablehnen Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 168 36.2 Übungen 36.2.1 Aufgabe 36–1 Messwerte von 41 Daten haben einen Mittelwert von 11.0000 und eine Varianz von 4.0000. Testen Sie die Hypothese H0 : µ ≤ 12.063; H0 : µ = 12.063; H0 : µ ≥ 12.063 mit der Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.0100 ; α = 0.0500; α = 0.1000 Die Messwerte sind normalverteilt und σ ist unbekannt. 36.2.2 Lösung der Aufgabe 36–1 Es handelt sich um 1-Stichproben t-Test, denn die Daten der Stichproben sind normalverteilt. Die Varianz der Daten ist unbekannt Umfang der Stichprobe n = 41 Mittelwert der Stichprobe X = 11.0000 σ unbekannt aber e s= √ 4.0000 = 2.0000 µ0 = 12.0630 Teststatistik /Prüfgrösse Xbere = α = 0.0100 X − µ0 s √e n = −3.4033 H0 : µ ≤ 12.0630 H1 : µ > 12.0630 Quantil x(T (n − 1), 1 − α) = x(T (40), 0.9900) = 2.4233, abgelesen aus der Tabelle E.0.0.1 ab Seite 247 am Anhang Xbere = −3.4033 < 2.4233 = x(T (n − 1), 1 − α) ⇒ H0 NICHT ablehnen α = 0.0500 H0 : µ ≤ 12.0630 H1 : µ > 12.0630 Quantil x(T (n − 1), 1 − α) = x(T (40), 0.9500) = 1.6839, abgelesen aus der Tabelle E.0.0.1 ab Seite 247 am Anhang Xbere = −3.4033 < 1.6839 = x(T (n − 1), 1 − α) ⇒ H0 NICHT ablehnen α = 0.1000 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 169 H0 : µ ≤ 12.0630 H1 : µ > 12.0630 Quantil x(T (n − 1), 1 − α) = x(T (40), 0.9000) = 1.3031, abgelesen aus der Tabelle E.0.0.1 ab Seite 247 am Anhang Xbere = −3.4033 < 1.3031 = x(T (n − 1), 1 − α) ⇒ H0 NICHT ablehnen α = 0.0100 H0 : µ = 12.0630 H1 : µ , 12.0630 Quantil x(T (n − 1), 1 − α2 ) = x(T (40), 0.9950) = 2.7045, abgelesen aus der Tabelle E.0.0.1 ab Seite 247 am Anhang |Xbere | = 3.4033 > 2.7045 = x(T (n − 1), 1 − α2 ) ⇒ H0 ablehnen α = 0.0500 H0 : µ = 12.0630 H1 : µ , 12.0630 Quantil x(T (n − 1), 1 − α2 ) = x(T (40), 0.9750) = 2.0211, abgelesen aus der Tabelle E.0.0.1 ab Seite 247 am Anhang |Xbere | = 3.4033 > 2.0211 = x(T (n − 1), 1 − α2 ) ⇒ H0 ablehnen α = 0.1000 H0 : µ = 12.0630 H1 : µ , 12.0630 Quantil x(T (n − 1), 1 − α2 ) = x(T (40), 0.9500) = 1.6839, abgelesen aus der Tabelle E.0.0.1 ab Seite 247 am Anhang |Xbere | = 3.4033 > 1.6839 = x(T (n − 1), 1 − α2 ) ⇒ H0 ablehnen α = 0.0100 H0 : µ ≥ 12.0630 H1 : µ < 12.0630 Quantil x(T (n − 1), 1 − α) = x(T (n − 1), 0.9900) = 2.4233, abgelesen aus der Tabelle E.0.0.1 ab Seite 247 am Anhang Xbere = −3.4033 < −2.4233 = −x(T (n − 1), 1 − α) ⇒ H0 ablehnen α = 0.0500 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 170 H0 : µ ≥ 12.0630 H1 : µ < 12.0630 Quantil x(T (n − 1), 1 − α) = x(T (n − 1), 0.9500) = 1.6839, abgelesen aus der Tabelle E.0.0.1 ab Seite 247 am Anhang Xbere = −3.4033 < −1.6839 = −x(T (n − 1), 1 − α) ⇒ H0 ablehnen α = 0.1000 H0 : µ ≥ 12.0630 H1 : µ < 12.0630 Quantil x(T (n − 1), 1 − α) = x(T (n − 1), 0.9000) = 1.3031, abgelesen aus der Tabelle E.0.0.1 ab Seite 247 am Anhang Xbere = −3.4033 < −1.3031 = −x(T (n − 1), 1 − α) ⇒ H0 ablehnen Kapitel 37 Konfidenzintervall für den Erwartungswert unter Normalverteilung Bei unbekannter Varianz wenn • Stichprobenverteilung ungefähr hügelförmig und symmetrisch • n ≥ 30 dann • gilt das Zentrale Grenzwerttheorem • Standardabweichung der Population σ ist durch die Standardabweichung der Stichprobe e s gut approximiert: σ ≈ e s 37.1 Einführung 1 − α–Konfidenzintervall I1−α Mittelwert X = n P k=1 xk e s = X − x(T (n − 1), 1 − α2 ) · √ ; X + x(T (n − 1), 1 − α2 ) · n−1 s √e n−1 n Sicherheitswahrscheinlichkeit γ = 1 − α v u u n t P (xk − X)2 k=1 e s= n−1 e s Länge des 1 − α–Konfidenzintervalls L1−α = 2 · x(T (n − 1), 1 − α2 ) · √ n−1 Beispiel 37.1.0.1 Eine Firma ist tätig in der Herstellung von künstlichen Saphiren. Da die Steine teuer sind, will die Firma nur wenig testen. (Der Test zerstört die Steine.) In einer Versuchsreihe werden n = 12 untersucht. Der Durchschnittsgewicht, in Karaten, ist x = 6.75. Die Standardabweichung ist e s = 0.33. Annahme: Die Population der Gewichte ist normalverteilt Für ein 95%–Konfidenzintervall gilt α = 0.05 und damit x(T (11), 1 − ab Seite 247 am Anhang I1−α = [X − x(T (n − 1), 1 − α2 ) · s √e ;X n−1 + x(T (n − 1), 1 − α2 ) · s √e ] n−1 = [6.54; 6.96] 171 α 2) = 2.20099, abgelesen aus der Tabelle E.0.0.1 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 172 37.2 Übungen 37.2.1 Aufgabe 37–1 Berechnen Sie ein Konfidenzintervall (inkl. die Länge) für µ bei dem Konfidenzniveau 1 − α = 0.9900 ; 1 − α = 0.9500 ; 1 − α = 0.9000 für die gegebene 37 Daten: 9.3000 9.3000 9.3000 9.3000 11.1000 11.1000 11.1000 11.1000 11.1000 11.1000 11.4000 11.4000 11.9000 11.9000 12.0000 12.1000 12.3000 12.4000 12.4000 12.4000 12.4000 12.4000 12.6000 12.6000 12.6000 12.7000 12.7000 13.1000 13.1000 13.1000 13.1000 13.5000 13.7000 13.7000 13.7000 13.7000 13.7000 Die Messwerte sind normalverteilt und σ ist unbekannt 37.2.2 Lösung der Aufgabe 37–1 Gegebene Daten sind 9.3000 9.3000 9.3000 9.3000 11.1000 11.1000 11.1000 11.1000 11.1000 11.1000 11.4000 11.4000 11.9000 11.9000 12.0000 12.1000 12.3000 12.4000 12.4000 12.4000 12.4000 12.4000 12.6000 12.6000 12.6000 12.7000 12.7000 13.1000 13.1000 13.1000 13.1000 13.5000 13.7000 13.7000 13.7000 13.7000 13.7000 Umfang der Stichprobe n = 37 n P xi i=1 = 12.0649 Mittelwert der Stichprobe X = n v u u n tP (xi − X)2 i=1 = 1.2813 σ unbekannt aber e s= n−1 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 α = 0.0100 x(T (n − 1), 1 − α2 ) = x(T (36), 0.9950) = 2.7195, abgelesen aus der Tabelle E.0.0.1 ab Seite 247 am Anhang Das 99.0000% Konfidenzintervall ist e s x − x(T (n − 1), 1 − α2 ) · √n−1 ; x + x(T (n − 1), 1 − α2 ) · s √e n−1 =[11.4841 ; 12.6456] und hat die Länge L99.0000% = s √2e x(T (36), 0.9950) n−1 = 1.1615 α = 0.0500 x(T (n − 1), 1 − α2 ) = x(T (36), 0.9750) = 2.0281, abgelesen aus der Tabelle E.0.0.1 ab Seite 247 am Anhang Das 95.0000% Konfidenzintervall ist e s x − x(T (n − 1), 1 − α2 ) · √n−1 ; x + x(T (n − 1), 1 − α2 ) · s √e n−1 =[11.6318 ; 12.4980] und hat die Länge L95.0000% = s √2e x(T (36), 0.9750) n−1 = 0.8662 α = 0.1000 x(T (n − 1), 1 − α2 ) = x(T (36), 0.9500) = 1.6883, abgelesen aus der Tabelle E.0.0.1 ab Seite 247 am Anhang Das 90.0000% Konfidenzintervall ist e s x − x(T (n − 1), 1 − α2 ) · √n−1 ; x + x(T (n − 1), 1 − α2 ) · =[11.7043 ; 12.4254] und hat die Länge L90.0000% = s √2e x(T (36), 0.9500) n−1 s √e n−1 = 0.7211 173 Kapitel 38 Konfidenzintervall für die Standardabweichung unter Normalverteilung bei unbekanntem Erwartungswert 38.1 Einführung 1 − α–Konfidenzintervall I1−α Mittelwert X = n P = q e s · n − 1 ; q α α 2 2 x(χ (n − 1), 1 − 2 ) x(χ (n − 1), 2 ) √ e s· n−1 √ xk k=1 n Sicherheitswahrscheinlichkeit γ = 1 − α v u u n t P (xk − X)2 k=1 e s= n−1 Länge des 1 − α–Konfidenzintervalls L1−α = q e s· √ n−1 x(χ2 (n − 1), α2 ) − q e s· √ n−1 x(χ2 (n − 1), 1 − α2 ) Beispiel 38.1.0.1 n = 20 X= e s= n P xk k=1 n v u u n t P = 32.8000 (xk − X)2 k=1 n−1 = 4.4000 ************** Konfidenzintervall 01 ************** α = 0.0200 x(χ2 (n − 1), 1 − α2 ) = x(χ2 (19), 0.9900) = 36.1909, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang x(χ2 (n − 1), α2 ) = x(χ2 (19), 0.0100) = 7.6327, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang 174 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 Das 98.0000% Konfidenzintervall ist √ √ e s· n−1 e s· n−1 ; q ] [q x(χ2 (n − 1), 1 − α2 ) x(χ2 (n − 1), α2 ) =[3.1881 ; 6.9421] und hat die Länge L98.0000% = q e s· √ n−1 x(χ2 (n − 1), α2 ) − q e s· √ n−1 x(χ2 (n − 1), 1 − α2 ) = 3.7540 175 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 176 38.2 Übungen 38.2.1 Aufgabe 38–1 Berechnen Sie ein Konfidenzintervall (inkl. die Länge) für σ bei dem Konfidenzniveau 1 − α= 0.9000 der folgenden 40 Daten: 485.0000; 485.0000; 485.0000; 490.0000; 490.0000; 490.0000; 495.0000; 495.0000; 500.0000; 500.0000; 500.0000; 515.0000; 515.0000; 515.0000; 515.0000; 520.0000; 520.0000; 520.0000; 520.0000; 520.0000; 520.0000; 520.0000; 520.0000; 520.0000; 520.0000; 520.0000; 520.0000; 520.0000; 520.0000; 520.0000; 520.0000; 520.0000; 520.0000; 520.0000; 520.0000; 520.0000; 520.0000; 520.0000; 605.0000; 610.0000; aus einer normalverteilten Population mit unbekanntem Erwartungswert. 38.2.2 Lösung der Aufgabe 38–1 Gegebene Daten sind 485.0000 485.0000 485.0000 490.0000 490.0000 490.0000 495.0000 495.0000 500.0000 500.0000 500.0000 515.0000 515.0000 515.0000 515.0000 520.0000 520.0000 520.0000 520.0000 520.0000 520.0000 520.0000 520.0000 520.0000 520.0000 520.0000 520.0000 520.0000 520.0000 520.0000 520.0000 520.0000 520.0000 520.0000 520.0000 520.0000 520.0000 520.0000 605.0000 610.0000 Umfang der Stichprobe n = 40 Mittelwert der Stichprobe X = v u u n tP (xi − X)2 i=1 e s= = 24.6449 n−1 n P i=1 n xi = 516.2500 ************** Konfidenzintervall 01 ************** α = 0.1000 x(χ2 (n − 1), 1 − α2 ) = x(χ2 (39), 0.9500) = 54.5722, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang x(χ2 (n − 1), α2 ) = x(χ2 (39), 0.0500) = 25.6954, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang Das 90.0000% Konfidenzintervall ist √ √ e s · n − 1 e s· n−1 ; q q α x(χ2 (n − 1), 1 − α ) 2 x(χ (n − 1), 2 ) 2 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 177 =[20.8341 ; 30.3621] und hat die Länge L90.0000% = q e s· √ n−1 x(χ2 (n − 1), α2 ) − q e s· √ n−1 = 9.5281 x(χ2 (n − 1), 1 − α2 ) 38.2.3 Aufgabe 38–2 Aus den Daten von 40 Nettokaltmieten für 2–Zimmer–Wohnungen im Berliner Bezirk Zehlendorf ermittelt man einen Durchschnitt von 492.0000 Euro und eine Varianz von s2 = 976.5625. Berechnen Sie das 90.0000%–Konfidenzintervall (inkl. Länge) für σ aus einer normalverteilten Population mit unbekanntem Erwartungswert. 38.2.4 Lösung der Aufgabe 38–2 Umfang der Stichprobe n = 40 Mittelwert der Stichprobe X = 492.0000 e s = 31.2500 ************** Konfidenzintervall 01 ************** α = 0.1000 x(χ2 (n − 1), 1 − α2 ) = x(χ2 (39), 0.9500) = 54.5722, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang x(χ2 (n − 1), α2 ) = x(χ2 (39), 0.0500) = 25.6954, abgelesen aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang Das 90.0000% Konfidenzintervall ist √ √ e s · n − 1 e s· n−1 ; q q α x(χ2 (n − 1), 1 − α ) 2 x(χ (n − 1), 2 ) 2 =[26.4178 ; 38.4995] und hat die Länge L90.0000% = q e s· √ n−1 x(χ2 (n − 1), α2 ) − q e s· √ n−1 x(χ2 (n − 1), 1 − α2 ) = 12.0817 Kapitel 44 Test für einen Anteilswert p 44.1 Einführung Xi ∼ Nor(µ, σ2 ) für i = 1, . . . , n Modell Signifikanz niveau α Stichprobe n Werte, x1 , x2 , . . . , xn Anzahl Erfolge der k Stich proben mittel wert Hypothesen b p= ∼ Nor(p0 , σn ) q p) σ = bp(1−b n H0 : p ≤ p 0 H0 : p = p 0 H1 : p > p 0 H1 : p , p 0 Teststatistik /Prüfgrösse Zbere = 2 k n H0 : p ≥ p 0 H1 : p < p 0 b p − p0 σ √ n ∼ Nor(0, 1) x(Nor(0, 1), 1 − α) x(Nor(0, 1), 1 − α2 ) x(Nor(0, 1), 1 − α) pWert(Nor(0, 1), Zbere, R) pWert(Nor(0, 1), Zbere, 2) pWert(Nor(0, 1), Zbere, L) H0 ablehnen, wenn Zbere > x(Nor(0, 1), 1 − α) |Zbere | > x(Nor(0, 1), 1 − α2 ) Zbere < −x(Nor(0, 1), 1 − α) Alternativ: H0 ablehnen, wenn pWert(Nor(0, 1), Zbere, R) < α pWert(Nor(0, 1), Zbere, 2) < α pWert(Nor(0, 1), Zbere, L) < α Quantil Alternativ: pWert Tabelle 44.1.0.1: Test auf p, wobei σ bekannt Computerprogramme geben im allgemeinen beim Testen den P–Wert an, so dass die Entscheidung durch einen einfachen Vergleich des P–Wertes mit dem Signifikanzniveau α getroffen werden kann. Grundsätzlich ist immer darauf zu achten, wie in einem Computerprogramm die Hypothese spezifiziert ist (zweiseitig, bzw. einseitig mit Grösser. oder Kleiner–Relation), da möglicherweise der angegebene P–Wert für die Testentscheidung gemäss der Hypothesenart entsprechend umgerechnet werden muss. 178 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 179 44.2 Übungen 44.2.1 Aufgabe 44–1 Testen Sie die Hypothese H0 : p ≤ 0.6; H0 : p = 0.6; H0 : p ≥ 0.6 mit der Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.1000; α = 0.0500; α = 0.0100der folgenden 22 Daten 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, , die angeben, ob eine Person bekannt (1) oder unbekannt (0) ist. 44.2.2 Lösung der Aufgabe 44–1 n = 22 k = 11 b p= n k = 0.5000 p0 = 0.6000 b p − p0 = −0.9381 Teststatistik /Prüfgrösse Zbere = s b p(1 − b p) n α = 0.1000 ************** Test 01 ************** H0 : p ≤ 0.6000 H1 : p > 0.6000 Quantil x(Nor(0, 1), 1 − α) = x(Nor(0, 1), 0.9000) = 1.2816, abgelesen aus der Tabelle C.0.0.1 ab Seite 238 am Anhang Zbere = −0.9381 < 1.2816 = x(Nor(0, 1), 1 − α) ⇒ H0 NICHT ablehnen α = 0.0500 ************** Test 01 ************** H0 : p ≤ 0.6000 H1 : p > 0.6000 Quantil x(Nor(0, 1), 1 − α) = x(Nor(0, 1), 0.9500) = 1.6449, abgelesen aus der Tabelle C.0.0.1 ab Seite 238 am Anhang Zbere = −0.9381 < 1.6449 = x(Nor(0, 1), 1 − α) ⇒ H0 NICHT ablehnen α = 0.0100 ************** Test 01 ************** Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 180 H0 : p ≤ 0.6000 H1 : p > 0.6000 Quantil x(Nor(0, 1), 1 − α) = x(Nor(0, 1), 0.9900) = 2.3263, abgelesen aus der Tabelle C.0.0.1 ab Seite 238 am Anhang Zbere = −0.9381 < 2.3263 = x(Nor(0, 1), 1 − α) ⇒ H0 NICHT ablehnen α = 0.1000 ************** Test 02 ************** H0 : p = 0.6000 H1 : p , 0.6000 Quantil x(Nor(0, 1), 1 − hang α 2) = x(Nor(0, 1), 0.9500) = 1.6449, abgelesen aus der Tabelle C.0.0.1 ab Seite 238 am An- |Zbere | = 0.9381 < 1.6449 = x(Nor(0, 1), 1 − α2 ) ⇒ H0 NICHT ablehnen α = 0.0500 ************** Test 02 ************** H0 : p = 0.6000 H1 : p , 0.6000 Quantil x(Nor(0, 1), 1 − hang α 2) = x(Nor(0, 1), 0.9750) = 1.9600, abgelesen aus der Tabelle C.0.0.1 ab Seite 238 am An- |Zbere | = 0.9381 < 1.9600 = x(Nor(0, 1), 1 − α2 ) ⇒ H0 NICHT ablehnen α = 0.0100 ************** Test 02 ************** H0 : p = 0.6000 H1 : p , 0.6000 Quantil x(Nor(0, 1), 1 − hang α 2) = x(Nor(0, 1), 0.9950) = 2.5758, abgelesen aus der Tabelle C.0.0.1 ab Seite 238 am An- |Zbere | = 0.9381 < 2.5758 = x(Nor(0, 1), 1 − α2 ) ⇒ H0 NICHT ablehnen α = 0.1000 ************** Test 03 ************** H0 : p ≥ 0.6000 H1 : p < 0.6000 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 181 Quantil x(Nor(0, 1), 1 − α) = x(Nor(0, 1), 0.9000) = 1.2816, abgelesen aus der Tabelle C.0.0.1 ab Seite 238 am Anhang Zbere = −0.9381 > −1.2816 = −x(Nor(0, 1), 1 − α) ⇒ H0 NICHT ablehnen α = 0.0500 ************** Test 03 ************** H0 : p ≥ 0.6000 H1 : p < 0.6000 Quantil x(Nor(0, 1), 1 − α) = x(Nor(0, 1), 0.9500) = 1.6449, abgelesen aus der Tabelle C.0.0.1 ab Seite 238 am Anhang Zbere = −0.9381 > −1.6449 = −x(Nor(0, 1), 1 − α) ⇒ H0 NICHT ablehnen α = 0.0100 ************** Test 03 ************** H0 : p ≥ 0.6000 H1 : p < 0.6000 Quantil x(Nor(0, 1), 1 − α) = x(Nor(0, 1), 0.9900) = 2.3263, abgelesen aus der Tabelle C.0.0.1 ab Seite 238 am Anhang Zbere = −0.9381 > −2.3263 = −x(Nor(0, 1), 1 − α) ⇒ H0 NICHT ablehnen Kapitel 45 Vermischte 182 Kapitel 46 vermischte Übungen 46.1 Aufgabe 2 folgende Tabelle gibt den Notenspiegel einer Uni–Klausur an i Note Wahrscheinlichkeit 1 1.0 5 + 43 2 1.3 + 10 43 3 1.7 + 10 43 4 2.0 5 2.3 + 10 43 Tabelle 46.1.0.1: Daten . 1) Geben Sie die fehlende Wahrscheinlichkeit 2) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz 3) Berechnen Sie E[−1.5000X − 2.5000] und Var[−1.5000X − 2.5000] 46.2 Lösung der Aufgabe 1 1) i xi pi 1 1.0000 2 1.3000 5 + 43 ≈ 0.1163 3 1.7000 4 2.0000 5 2.3000 Σ 10 ≈ 0.2326 + 43 10 + 43 ≈ 0.2326 p4 10 + 43 ≈ 0.2326 + 35 43 ≈ 0.8140 183 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 184 Tabelle 46.2.0.1: Diskrete Dichtefunktion p4 = 1 − 35 43 8 = + 43 ≈ 0.1860 2) i xi pi xi p i 1 1.0000 5 ≈ 0.1163 + 43 0.1163 2 1.3000 3 1.7000 4 2.0000 5 2.3000 10 + 43 10 + 43 8 + 43 10 + 43 Σ (xi − E[X])2 pi 0.0604 ≈ 0.2326 0.3023 0.0412 ≈ 0.2326 0.3953 0.0001 ≈ 0.1860 0.3721 0.0145 ≈ 0.2326 0.5349 0.0780 E[X] = 1.7209 Var[X] = 0.1942 Tabelle 46.2.0.2: Berechnungen E[X] = 1.7209 Var[X] = 0.1942 3) E[−1.5000X − 2.5000] = −1.5000E[X] − 2.5000 = −5.0814 Var[−1.5000X − 2.5000] = (−1.5000)2Var[X] = 0.4370 46.3 Aufgabe 3 untenstehenden Werte sind 38 Klausurnoten 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.3 2.3 2.3 2.3 2.3 2.3 2.3 . 1) Geben Sie die Dichtefunktion an 2) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz 3) Berechnen Sie E[−1.5000X + 0.5000] und Var[−1.5000X + 0.5000] Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 185 46.4 Lösung der Aufgabe 2 1) i xi pi 1 1.0000 2 1.3000 3 + 19 ≈ 0.1579 3 1.7000 4 2.0000 5 2.3000 5 ≈ 0.1316 + 38 11 + 38 ≈ 0.2895 9 ≈ 0.2368 + 38 7 ≈ 0.1842 + 38 +1 ≈ 1.0000 Σ Tabelle 46.4.0.1: Diskrete Dichtefunktion 2) i xi pi xi p i 1 1.0000 3 + 19 ≈ 0.1579 0.1579 2 1.3000 3 1.7000 4 2.0000 5 2.3000 Σ 5 + 38 11 + 38 9 + 38 7 + 38 (xi − E[X])2 pi 0.0815 ≈ 0.1316 0.1711 0.0230 ≈ 0.2895 0.4921 0.0001 ≈ 0.2368 0.4737 0.0188 ≈ 0.1842 0.4237 0.0623 E[X] = 1.7184 Var[X] = 0.1857 Tabelle 46.4.0.2: Berechnungen E[X] = 1.7184 Var[X] = 0.1857 3) E[−1.5000X + 0.5000] = −1.5000E[X] + 0.5000 = −2.0776 Var[−1.5000X + 0.5000] = (−1.5000)2Var[X] = 0.4179 46.5 Aufgabe 4 folgende Tabelle gibt den Notenspiegel einer Uni–Klausur an Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 i Note Wahrscheinlichkeit 1 1.0 9 + 44 2 1.3 5 + 22 3 1.7 7 + 44 4 2.0 5 2.3 186 + 14 Tabelle 46.5.0.1: Daten . 1) Geben Sie die fehlende Wahrscheinlichkeit 2) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz 3) Berechnen Sie E[−1.0000X + 0.0000] und Var[−1.0000X + 0.0000] 46.6 Lösung der Aufgabe 3 1) i xi pi 1 1.0000 2 1.3000 9 ≈ 0.2045 + 44 3 1.7000 4 2.0000 5 2.3000 Σ 5 + 22 ≈ 0.2273 7 ≈ 0.1591 + 44 p4 + 41 ≈ 0.2500 + 37 44 ≈ 0.8409 Tabelle 46.6.0.1: Diskrete Dichtefunktion p4 = 1 − 37 44 7 = + 44 ≈ 0.1591 2) (xi − E[X])2 pi i xi pi xi p i 1 1.0000 0.2045 2 1.3000 9 ≈ 0.2045 + 44 0.2955 0.0301 7 ≈ 0.1591 + 44 7 + 44 ≈ 0.1591 + 41 ≈ 0.2500 0.2705 0.0002 0.3182 0.0180 0.5750 0.1012 3 1.7000 4 2.0000 5 2.3000 5 ≈ 0.2273 + 22 0.0901 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 Σ 187 E[X] = 1.6636 Var[X] = 0.2396 Tabelle 46.6.0.2: Berechnungen E[X] = 1.6636 Var[X] = 0.2396 3) E[−1.0000X + 0.0000] = −1.0000E[X] + 0.0000 = −1.6636 Var[−1.0000X + 0.0000] = (−1.0000)2Var[X] = 0.2396 46.7 Aufgabe 14 Im Rahmen einer Meinungsumfrage zum Thema „Promille–Grenze im Strassenverkehr“wurden 300 Personen zufällig ausgewählt und interviewt. Die Auswertung der Antworten ergab folgenden Tabelle: verbieten nicht verbieten Unter 30 Jahre 19 48 Zwischen 30 und 50 Jahre 40 37 Über 50 Jahre 21 135 Tabelle 46.7.0.1: Daten . Testen Sie zum Niveau α = 0.0500 die Hypothese, dass das Antwortverhalten (Y) unabhängig vom Alter (X) der Person sei. 46.8 Lösung der Aufgabe 13 H0 : X und Y sind unabhängig H1 : X und Y sind abhängig n=3 m=2 absolute Häufigkeiten ai, j Die absolute Häufigkeiten (inkl. deren Zeilen–, Spaltensumme und Gesamtsumme) sind in der Tabelle 46.8.0.1 auf Seite 188 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 188 j=1 j=2 Y1 Y2 Summe i=1 X1 a1,1 = 19 a1,2 = 48 a1,• = 67 i=2 X2 a2,1 = 40 a2,2 = 37 a2,• = 77 i=3 X3 a3,1 = 21 a3,2 = 135 a3,• = 156 Summe a•,1 = 80 a•,2 = 220 a•,• = 300 Tabelle 46.8.0.1: absolute Häufigkeiten . erwartete Häufigkeiten ei, j a1,• · a•,1 = 17.8667 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e1,1 = a1,• · a•,2 = 49.1333 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e1,2 = a2,• · a•,1 = 20.5333 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e2,1 = e2,2 = a2,• · a•,2 e3,1 = a3,• · a•,1 = 56.4667 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt = 41.6000 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt a3,• · a•,2 = 114.4000 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e3,2 = Insgesamt sind die Voraussetzungen für alle Approximationen erfüllt Die erwartete Häufigkeiten sind in der Tabelle 46.8.0.2 auf Seite 189 i=1 X1 j=1 j=2 Y1 Y2 e1,1 = 17.8667 e1,2 = 49.1333 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 189 i=2 X2 e2,1 = 20.5333 e2,2 = 56.4667 i=3 X3 e3,1 = 41.6000 e3,2 = 114.4000 Tabelle 46.8.0.2: erwartete Häufigkeiten . Die Berechnungen (ai, j − ei, j )2 zur Teststatistik /Prüfgrösse sind in der Tabelle 46.8.0.3 auf Seite 189 ei, j j=1 j=2 Y1 Y2 i=1 X1 0.0719 0.0261 i=2 X2 18.4554 6.7111 i=3 X3 10.2010 3.7094 Tabelle 46.8.0.3: Berechnungen zur Teststatistik /Prüfgrösse . Teststatistik /Prüfgrösse: Xbere = n P m (ai, j − ei, j )2 P = 39.1749 ei, j i=1 j=1 α = 0.0500 Der kritischer Wert x(χ2 ((n − 1) · (m − 1); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.950) = 5.9914646 ist aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang abzulesen Da Xbere = 39.1749046 > x(χ2 ((n − 1) · (m − 1); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.9500000) = 5.9914646, ist H0 auf dem 0.0500– Signifikanzniveau abzulehnen, wobei der kritischer Wert x(χ2 ((n − 1) · (m − 1); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.9500000) aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang abzulesen ist. 46.9 Aufgabe 15 Im Rahmen einer Meinungsumfrage zum Thema „Promille–Grenze im Strassenverkehr“wurden 300 Personen zufällig ausgewählt und interviewt. Die Auswertung der Antworten ergab folgenden Tabelle: verbieten nicht verbieten Unter 30 Jahre 26 41 Zwischen 30 und 50 Jahre 36 35 Über 50 Jahre 10 152 Tabelle 46.9.0.1: Daten Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 190 . Testen Sie zum Niveau α = 0.0500 die Hypothese, dass das Antwortverhalten (Y) unabhängig vom Alter (X) der Person sei. 46.10 Lösung der Aufgabe 14 H0 : X und Y sind unabhängig H1 : X und Y sind abhängig n=3 m=2 absolute Häufigkeiten ai, j Die absolute Häufigkeiten (inkl. deren Zeilen–, Spaltensumme und Gesamtsumme) sind in der Tabelle 46.10.0.1 auf Seite 190 j=1 j=2 Y1 Y2 Summe i=1 X1 a1,1 = 26 a1,2 = 41 a1,• = 67 i=2 X2 a2,1 = 36 a2,2 = 35 a2,• = 71 i=3 X3 a3,1 = 10 a3,2 = 152 a3,• = 162 Summe a•,1 = 72 a•,2 = 228 a•,• = 300 Tabelle 46.10.0.1: absolute Häufigkeiten . erwartete Häufigkeiten ei, j a1,• · a•,1 = 16.0800 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e1,1 = a1,• · a•,2 = 50.9200 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e1,2 = e2,1 = a2,• · a•,1 = 17.0400 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt a2,• · a•,2 = 53.9600 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e2,2 = Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 191 a3,• · a•,1 = 38.8800 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e3,1 = a3,• · a•,2 = 123.1200 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e3,2 = Insgesamt sind die Voraussetzungen für alle Approximationen erfüllt Die erwartete Häufigkeiten sind in der Tabelle 46.10.0.2 auf Seite 191 j=1 j=2 Y1 Y2 i=1 X1 e1,1 = 16.0800 e1,2 = 50.9200 i=2 X2 e2,1 = 17.0400 e2,2 = 53.9600 i=3 X3 e3,1 = 38.8800 e3,2 = 123.1200 Tabelle 46.10.0.2: erwartete Häufigkeiten . Die Berechnungen (ai, j − ei, j )2 zur Teststatistik /Prüfgrösse sind in der Tabelle 46.10.0.3 auf Seite 191 ei, j j=1 j=2 Y1 Y2 i=1 X1 6.1198 1.9326 i=2 X2 21.0963 6.6620 i=3 X3 21.4520 6.7743 Tabelle 46.10.0.3: Berechnungen zur Teststatistik /Prüfgrösse . Teststatistik /Prüfgrösse: Xbere = n P m (ai, j − ei, j )2 P = 64.0370 ei, j i=1 j=1 α = 0.0500 Der kritischer Wert x(χ2 ((n − 1) · (m − 1); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.950) = 5.9914646 ist aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang abzulesen Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 192 Da Xbere = 64.0370467 > x(χ2 ((n − 1) · (m − 1); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.9500000) = 5.9914646, ist H0 auf dem 0.0500– Signifikanzniveau abzulehnen, wobei der kritischer Wert x(χ2 ((n − 1) · (m − 1); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.9500000) aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang abzulesen ist. 46.11 Aufgabe 16 Im Rahmen einer Meinungsumfrage zum Thema „Promille–Grenze im Strassenverkehr“wurden 300 Personen zufällig ausgewählt und interviewt. Die Auswertung der Antworten ergab folgenden Tabelle: verbieten nicht verbieten Unter 30 Jahre 21 13 Zwischen 30 und 50 Jahre 19 24 20 203 Über 50 Jahre Tabelle 46.11.0.1: Daten . Testen Sie zum Niveau α = 0.0500 die Hypothese, dass das Antwortverhalten (Y) unabhängig vom Alter (X) der Person sei. 46.12 Lösung der Aufgabe 15 H0 : X und Y sind unabhängig H1 : X und Y sind abhängig n=3 m=2 absolute Häufigkeiten ai, j Die absolute Häufigkeiten (inkl. deren Zeilen–, Spaltensumme und Gesamtsumme) sind in der Tabelle 46.12.0.1 auf Seite 192 j=1 j=2 Y1 Y2 Summe i=1 X1 a1,1 = 21 a1,2 = 13 a1,• = 34 i=2 X2 a2,1 = 19 a2,2 = 24 a2,• = 43 i=3 X3 a3,1 = 20 a3,2 = 203 a3,• = 223 Summe a•,1 = 60 a•,2 = 240 a•,• = 300 Tabelle 46.12.0.1: absolute Häufigkeiten Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 193 . erwartete Häufigkeiten ei, j e1,1 = a1,• · a•,1 = 6.8000 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt a1,• · a•,2 = 27.2000 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e1,2 = a2,• · a•,1 = 8.6000 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e2,1 = a2,• · a•,2 = 34.4000 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e2,2 = e3,1 = a3,• · a•,1 e3,2 = a3,• · a•,2 = 44.6000 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt = 178.4000 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt Insgesamt sind die Voraussetzungen für alle Approximationen erfüllt Die erwartete Häufigkeiten sind in der Tabelle 46.12.0.2 auf Seite 193 j=1 j=2 Y1 Y2 i=1 X1 e1,1 = 6.8000 e1,2 = 27.2000 i=2 X2 e2,1 = 8.6000 e2,2 = 34.4000 i=3 X3 e3,1 = 44.6000 e3,2 = 178.4000 Tabelle 46.12.0.2: erwartete Häufigkeiten . Die Berechnungen (ai, j − ei, j )2 ei, j zur Teststatistik /Prüfgrösse sind in der Tabelle 46.12.0.3 auf Seite 194 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 194 j=1 j=2 Y1 Y2 i=1 X1 29.6529 7.4132 i=2 X2 12.5767 3.1442 i=3 X3 13.5686 3.3922 Tabelle 46.12.0.3: Berechnungen zur Teststatistik /Prüfgrösse . Teststatistik /Prüfgrösse: Xbere = n P m (ai, j − ei, j )2 P = 69.7479 ei, j i=1 j=1 α = 0.0500 Der kritischer Wert x(χ2 ((n − 1) · (m − 1); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.950) = 5.9914646 ist aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang abzulesen Da Xbere = 69.7478690 > x(χ2 ((n − 1) · (m − 1); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.9500000) = 5.9914646, ist H0 auf dem 0.0500– Signifikanzniveau abzulehnen, wobei der kritischer Wert x(χ2 ((n − 1) · (m − 1); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.9500000) aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang abzulesen ist. 46.13 Aufgabe 26 Berechnen Sie ein Konfidenzintervall (inkl. die Länge) für µ bei dem Konfidenzniveau 1 − α = 0.9900 für die 40 Daten mit einem Mittelwert von 100.0000 und eine Standardabweichung von 5.0000 Die Messwerte sind normalverteilt und σ ist unbekannt 46.14 Lösung der Aufgabe 25 Umfang der Stichprobe n = 40 Mittelwert der Stichprobe X = 100.0000 σ unbekannt aber e s = 5.0000 α = 0.0100 x(T (n − 1), 1 − α2 ) = x(T (39), 0.9950) = 2.7079, abgelesen aus der Tabelle E.0.0.1 ab Seite 247 am Anhang Das 99.0000% Konfidenzintervall ist e s ; x + x(T (n − 1), 1 − α2 ) · x − x(T (n − 1), 1 − α2 ) · √n−1 =[97.8319 ; 102.1681] s √e n−1 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 und hat die Länge L99.0000% = s √2e x(T (39), 0.9950) n−1 195 = 4.3361 46.15 Aufgabe 27 Berechnen Sie ein Konfidenzintervall (inkl. die Länge) für µ bei dem Konfidenzniveau 1 − α = 0.9900 für die gegebene 40 Daten: 85.0000 85.0000 90.0000 95.0000 95.0000 95.0000 95.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 105.0000 105.0000 105.0000 110.0000 110.0000 115.0000 115.0000 115.0000 115.0000 115.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 Die Messwerte sind normalverteilt und σ ist unbekannt 46.16 Lösung der Aufgabe 26 Gegebene Daten sind 85.0000 85.0000 90.0000 95.0000 95.0000 95.0000 95.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 105.0000 105.0000 105.0000 110.0000 110.0000 115.0000 115.0000 115.0000 115.0000 115.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 Umfang der Stichprobe n = 40 n P xi i=1 = 110.2500 Mittelwert der Stichprobe X = n v u u n tP (xi − X)2 i=1 = 11.3764 σ unbekannt aber e s= n−1 α = 0.0100 x(T (n − 1), 1 − α2 ) = x(T (39), 0.9950) = 2.7079, abgelesen aus der Tabelle E.0.0.1 ab Seite 247 am Anhang Das 99.0000% Konfidenzintervall ist e s ; x + x(T (n − 1), 1 − α2 ) · x − x(T (n − 1), 1 − α2 ) · √n−1 =[105.3170 ; 115.1830] s √e n−1 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 und hat die Länge L99.0000% = s √2e x(T (39), 0.9950) n−1 196 = 9.8659 46.17 Aufgabe 28 Berechnen Sie ein Konfidenzintervall (inkl. die Länge) für µ bei dem Konfidenzniveau 1 − α = 0.9900 für die 40 Daten mit einem Mittelwert von 94.0000 und eine Standardabweichung von 8.7500 Die Messwerte sind normalverteilt und σ ist unbekannt 46.18 Lösung der Aufgabe 27 Umfang der Stichprobe n = 40 Mittelwert der Stichprobe X = 94.0000 σ unbekannt aber e s = 8.7500 α = 0.0100 x(T (n − 1), 1 − α2 ) = x(T (39), 0.9950) = 2.7079, abgelesen aus der Tabelle E.0.0.1 ab Seite 247 am Anhang Das 99.0000% Konfidenzintervall ist e s x − x(T (n − 1), 1 − α2 ) · √n−1 ; x + x(T (n − 1), 1 − α2 ) · =[90.2059 ; 97.7941] und hat die Länge L99.0000% = s √2e x(T (39), 0.9950) n−1 s √e n−1 = 7.5882 Kapitel 47 Exam 197 Kapitel 48 Musterkla us ur 2010 Quantitative Methoden 2 für Wirtschaftswissenschaftler Aufgabe 1 20 Punkte Lösen Sie das lineare Gleichungssystem −2.0000x1 − 9.5000x2 + 9.5000x3 −6.5000x1 − 3.5000x2 + 0.5000x3 −9.5000x + 8.5000x − 9.0000x 1 2 3 = 67.0000 = −25.2500 = −114.7500 Aufgabe 2 20 Punkte Maximiere +16.0000x1 − 1.0000x2 − 993.0000 unter den Nebenbedingungen . −103.0000x1 + 39.0000x2 ≤ +0.0000 −40.0000x1 + 32.0000x2 ≤ +1736.0000 +143.0000x1 − 71.0000x2 ≤ +0.0000 x ,x ≥0 1 2 Wenn Sie das Optimierungsproblem graphisch lösen möchten, benutzen Sie dabei das folgendes Beiblatt. Beschriften Sie dabei auch die Achsen. 198 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 199 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 200 . Aufgabe 3 20 Punkte Gegeben sei die Funktion . = 0, x ∈] − ∞; −3.000] 2 2 = + 15 + 45 x, x ∈] − 3.000; +2.000] f (x) = 1 x, x ∈] + 2.000; +6.000] = + 31 − 18 = 0, x ∈] + 6.000; +∞[ 1 [5 Punkte]) Zeichnen Sie den Graph der Funktion, benutzen Sie dabei das folgendes Beiblatt. Beschriften Sie dabei auch die Achsen. Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 201 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 202 2 [5 Punkte]) Handelt es sich um eine Wahrscheinlichkeitsfunktion? (mit Begründung). Aufgabe 4 20 Punkte 300 Personen (Wirtschaftsingenieure, garduierte Betriebswirte und Diplomkaufleute) haben sich bei einem Unternehmen beworben. Durch ein Eignungstest werden die Bewerber in die Katogerien „geeignet“und „nicht geeignet“eingeordnet. Die Auswertung der Antworten ergab folgenden Tabelle: Wirtschaftsingenieur garduierter Betriebswirt Diplom–Kaufmann geeignet 10 30 48 nicht geeignet 12 30 170 Tabelle 48.0.0.1: Daten . Testen Sie zum Niveau α = 0.1000 die Hypothese, dass der Studienabschluss (Y) unabhängig von der Eignung (X) der Person sei. Aufgabe 5 20 Punkte Testen Sie die Hypothese H0 : µ ≥ 105.0 mit der Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.1000 der folgenden 40 Daten: 85.0000 90.0000 95.0000 95.0000 95.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 105.0000 105.0000 105.0000 105.0000 110.0000 110.0000 110.0000 110.0000 115.0000 115.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 Die Messwerte sind normalverteilt und σ ist unbekannt. Kapitel 49 Lösung Musterkla us ur 2010 Quantitative Methoden 2 für Wirtschaftswissenschaftler Lösung zur Aufgabe 1 20 Punkte Gegeben −2.0000x1 −6.5000x1 −9.5000x 1 −9.5000x2 +9.5000x3 = 67.0000 −3.5000x2 +0.5000x3 = −25.2500 +8.5000x2 −9.0000x3 = −114.7500 −2.0000 −9.5000 9.5000 −6.5000 −3.5000 0.5000 −9.5000 8.5000 −9.0000 (0) a 1 −25.2500 a(0) 2 (0) −114.7500 a3 67.0000 1.0000 4.7500 −4.7500 −6.5000 −3.5000 0.5000 −9.5000 8.5000 −9.0000 −33.5000 a(1) = −0.5000a(0) 1 1 −25.2500 a(1) = a(0) 2 2 (1) −114.7500 a3 = a(0) 3 1.0000 4.7500 −4.7500 0.0000 27.3750 −30.3750 0.0000 53.6250 −54.1250 −33.5000 a(2) = a(1) 1 1 (1) −243.0000 a(2) = a(1) 2 + 6.5000a1 2 (2) (1) −433.0000 a3 = a(1) 3 + 9.5000a1 203 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 1.0000 4.7500 −4.7500 0.0000 1.0000 −1.1096 0.0000 53.6250 −54.1250 −33.5000 a(3) = a(2) 1 1 −8.8767 a(3) = +0.0365a(2) 2 2 (3) −433.0000 a3 = a(2) 3 1.0000 0.0000 0.5205 0.0000 1.0000 −1.1096 0.0000 0.0000 5.3767 (3) 8.6644 a(4) = a(3) 1 − 4.7500a2 1 −8.8767 a(4) = a(3) 2 2 (4) (3) 43.0137 a3 = a(3) 3 − 53.6250a2 1.0000 0.0000 0.5205 0.0000 1.0000 −1.1096 0.0000 0.0000 1.0000 8.6644 a(5) = a(4) 1 1 −8.8767 a(5) = a(4) 2 2 (5) 8.0000 a3 = +0.1860a(4) 3 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 x1 4.5000 L= = x 0.0000 2 x 8.0000 3 (5) 4.5000 a(6) = a(5) 1 − 0.5205a3 1 (5) 0.0000 a(6) = a(5) 2 + 1.1096a3 2 (6) 8.0000 a3 = a(5) 3 204 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 205 Lösung zur Aufgabe 2 −103.0000x1 + 39.0000x2 ≤ +0.0000 −40.0000x1 + 32.0000x2 ≤ +1736.0000 +143.0000x1 − 71.0000x2 ≤ +0.0000 x ,x ≥0 1 2 . +16.0000x1 − 1.0000x2 − 993.0000 → max 20 Punkte Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 206 x2 160.00 150.00 bc 140.00 130.00 120.00 110.00 b 100.00 90.00 80.00 70.00 60.00 50.00 40.00 30.00 20.00 10.00 160.00 150.00 140.00 130.00 120.00 110.00 100.00 90.00 80.00 70.00 60.00 50.00 40.00 30.00 20.00 10.00 b Abbildung 49.0.0.1: Graphische Lösung von Optimierungsproblem maximaler Wert der zielfunktion ist zmax = +472.0000 bei x = +39.0000 und y = +103.0000 . Lösung zur Aufgabe 3 20 Punkte 1 [5 Punkte]) x1 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 f (x) 207 1.10 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 -0.10 -0.20 -0.30 Abbildung 49.0.0.2: Graph 2 [5 Punkte]) . +∞ R f (x)dx −∞ =+ −3.0000 R (0) dx + −∞ h 2 x+ = + + 15 2.0000 R −3.0000 i 1 2 2.0000 45 x −3.0000 2 + + 15 2 45 x h + + 31 x − dx + 6.0000 R 2.0000 i 1 2 6.0000 36 x 2.0000 + 13 − 1 18 x dx + +∞ R 6.0000 (0) dx 8.00 7.00 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 -1.00 -2.00 -3.00 -4.00 -5.00 -6.00 0.10 x Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 1 2 ∗ (2.0000) + 45 ∗ (2.0000)2 + + 15 1 ∗ (2.0000)2 + 13 ∗ (2.0000) − 36 - 2 + 15 ∗ (−3.0000) + 1 45 208 ∗ (−3.0000)2 + + 13 ∗ (6.0000) − 1 36 ∗ (6.0000)2 - =(+1.3556)-(+0.3556) f (x) ≥ 0 =+1.0000 Aus und folgt, dass es bei der gegebenen Funktion wohl um eine Wahrscheinlichkeitsfunktion sich handel. Lösung zur Aufgabe 4 20 Punkte H0 : X und Y sind unabhängig H1 : X und Y sind abhängig n=2 m=3 absolute Häufigkeiten ai, j Die absolute Häufigkeiten (inkl. deren Zeilen–, Spaltensumme und Gesamtsumme) sind in der Tabelle 49.0.0.1 auf Seite 208 j=1 j=2 j=3 Y1 Y2 Y3 Summe i=1 X1 a1,1 = 10 a1,2 = 30 a1,3 = 48 a1,• = 88 i=2 X2 a2,1 = 12 a2,2 = 30 a2,3 = 170 a2,• = 212 Summe a•,1 = 22 a•,2 = 60 a•,3 = 218 a•,• = 300 Tabelle 49.0.0.1: absolute Häufigkeiten . erwartete Häufigkeiten ei, j a1,• · a•,1 = 6.4533 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e1,1 = e1,2 = a1,• · a•,2 = 17.6000 > 5 a•,• Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 209 Voraussetzung für die Approximation erfüllt e1,3 = a1,• · a•,3 = 63.9467 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt a2,• · a•,1 = 15.5467 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e2,1 = a2,• · a•,2 = 42.4000 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e2,2 = a2,• · a•,3 = 154.0533 > 5 a•,• Voraussetzung für die Approximation erfüllt e2,3 = Insgesamt sind die Voraussetzungen für alle Approximationen erfüllt Die erwartete Häufigkeiten sind in der Tabelle 49.0.0.2 auf Seite 209 j=1 j=2 j=3 Y1 Y2 Y3 i=1 X1 e1,1 = 6.4533 e1,2 = 17.6000 e1,3 = 63.9467 i=2 X2 e2,1 = 15.5467 e2,2 = 42.4000 e2,3 = 154.0533 Tabelle 49.0.0.2: erwartete Häufigkeiten . Die Berechnungen (ai, j − ei, j )2 ei, j zur Teststatistik /Prüfgrösse sind in der Tabelle 49.0.0.3 auf Seite 209 j=1 j=2 j=3 Y1 Y2 Y3 i=1 X1 1.9492 8.7364 3.9767 i=2 X2 0.8091 3.6264 1.6507 Tabelle 49.0.0.3: Berechnungen zur Teststatistik /Prüfgrösse . Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 Teststatistik /Prüfgrösse: Xbere = 210 n P m (ai, j − ei, j )2 P = 20.7485 ei, j i=1 j=1 α = 0.1000 Der kritischer Wert x(χ2 ((n − 1) · (m − 1); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.900) = 4.6051702 ist aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang abzulesen Da Xbere = 20.7484761 > x(χ2 ((n − 1) · (m − 1); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.9000000) = 4.6051702, ist H0 auf dem 0.1000– Signifikanzniveau abzulehnen, wobei der kritischer Wert x(χ2 ((n − 1) · (m − 1); 1 − α) = x(χ2 (2); 0.9000000) aus der Tabelle F.0.0.1 ab Seite 260 am Anhang abzulesen ist. Lösung zur Aufgabe 5 20 Punkte Es handelt sich um 1-Stichproben t-Test, denn die Daten der Stichproben sind normalverteilt. Die Varianz der Daten ist unbekannt Gegebene Daten sind 85.0000 90.0000 95.0000 95.0000 95.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 105.0000 105.0000 105.0000 105.0000 110.0000 110.0000 110.0000 110.0000 115.0000 115.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 120.0000 Umfang der Stichprobe n = 40 n P xi i=1 = 111.2500 Mittelwert der Stichprobe X = n v u u n tP (xi − X)2 i=1 = 10.4850 σ unbekannt aber e s= n−1 µ0 = 105.0000 Teststatistik /Prüfgrösse Xbere = α = 0.1000 H0 : µ ≥ 105.0000 X − µ0 s √e n = 3.7700 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 211 H1 : µ < 105.0000 Quantil x(T (n − 1), 1 − α) = x(T (n − 1), 0.9000) = 1.3036, abgelesen aus der Tabelle E.0.0.1 ab Seite 247 am Anhang Xbere = 3.7700 > −1.3036 = −x(T (n − 1), 1 − α) ⇒ H0 NICHT ablehnen Literaturverzeichnis [1] Josef Bleymüller, Herbert Gülicher, and Günther Gehlert. Statistik für Wirtschaftswissenschaftler. Verlag Franz Vahlen GmbH, Wilhelmstraße 9 80801 München Deutschland, 2012. [2] Jürgen Bortz. Statistik. Springer-Verlag GmbH, Tiergartenstrasse 17 D-69121 Heidelberg Deutschland, 2005. [3] Jürgen Bortz and Christof Schuster. Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler. Springer-Verlag GmbH, Tiergartenstrasse 17 D-69121 Heidelberg Deutschland, 2010. [4] Walter Krämer. So lügt man mit Statistik. Piper Taschenbuch, Georgenstraße 4 80799 München Deutschland, 2011. [5] Kurt Scharnbacher. Statistik im Betrieb. Gabler Verlag, Wiesbaden, 2004. [6] Jochen Schwarze. Grundlagen der Statistik I: Beschreibende Verfahren. NWB Verlag GmbH und Co. KG, Eschstr. 22 44629 Herne Deutschland, 2005. [7] Peter Steinmetz and Hans Chr. Weis. Marktforschung. Kiehl verlag, Eschstr. 22 44629 Herne Deutschland, 2012. 212 Kapitel 50 Symbolverzeichnis In diesem Abschnitt stellen wir Symbolen und Notationen zusammen. Die meistens entsprechen denen aus der Literatur aber hier für die Bedürfnisse dieser Arbeit angepasst sind. Ende eines Beweises Ende einer Definition, einer Bemerkung, eines Beispieles ∃ es gibt ∄, ∃0 es gibt kein ∃1 bzw. ∃! es gibt genau ein ∀ für alle, für jeden A⇔B A und B sind gleichwertig, d.h. Die Aussage A ist äquivalent zur Aussage B a := b bzw. a :⇔ b a ist definiert als durch b bzw. E Widerspruch ✗ ✔ bzw. √ Symbol für stimmt nicht zu bzw. X Symbol für stimmt zu :⇔ ist definiert als. := ist definiert als. o. B. d. A. ohne Beschränkung der Allgemeinheit. A\B A tritt ein, aber nicht B Ω Ereignisraum A Gegenereignis, d.h. A tritt nicht ein ∅ = {} Unmögliches Ereignis A∩B A und B treten ein A⊆B Wenn A eintritt, tritt auch B ein A∪B Mindestens eines der Ereignisse A und B tritt ein Pr(A) Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A Pr(A|B) Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Bedingung des Eintreten des Ereignisses B id bzw. id M Identität (in der Menge M) 213 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 n P ai Die Summe a1 + a2 + · · · + an . ai i=1 Das Produkt a1 ∗ a2 ∗ · · · ∗ an . a[i..n] ai , ai+1 , . . . , an . i = j(a)n i = j; j + a; . . . ; i ≤ n. i=1 n Q i = j(−a)n = i = j; j − a; . . . ; i ≥ n. gleich ! = geforderte Gleichheit , ungleich ≈ Ungefähr gleich =ˆ entspricht ∝ ist proportional zu ⋖⋗ Lexikographische Ordnung S < oder ≤ oder = oder ≥ oder > kleiner, bzw. echt kleiner < ≤ kleiner oder gleich > grösser, bzw. echt grösser ≥ grösser oder gleich ≪ viel kleiner als ≫ viel grösser als ≫ sehr viel grösser als ≪ sehr viel kleiner als ∨ oder π Kreiszahl ∧ und TR ◦ Taschenrechner ′ 10 11 12 ′′ Grad/Minuten/Sekunden [rad] Radiant (Winkel) [sr] Steradiant (Raumwinkel) [B] Bel (Leistungspegel) [dB] Dezibel (der zehnte Teil eines Bel) {; } Geschweifte (geschwungene) Klammern (; ) Runde Klammern [; ] Eckige Klammern <; > Spitze Klammern „Anführungszeichen“ Anführungszeichen | Senkrechter Strich v⊗w Dyadisches Produkt zweier Vektoren v und w A∗B Hadamard Produkt zweier Matrizen A und B + plus; Addition − minus; Subtraktion ^ Potenz ∗ bzw. · mal; multiplikation 214 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 a/b Division (von Rechts); d.h. finde c, so dass b ∗ c = a z.B. 12/3=4 a\b Division von links; d.h. finde c, so dass a ∗ c = b z.B. 3/12=4 a = qb + r bzw. a : b = qRest r mit 0 ≤ r < b Euklidsche Division von a durch b div(a, b) bzw. a ÷ b Der quotient q der Euklidschen Division von a durch b, z.B. 7 ÷ 3 = 2 mod (a, b) bzw. a mod b Der Rest r der Euklidschen Division von a durch b, z.B. 7 mod 3 = 1 Schriftliche Euklidische Division − 3 5 1 : 4 3 2 3 1 2 8 − Rest → = 87 ← Quotient 3 − 3 5 3 2 3 1 2 8 − Rest → 1 Schriftliche Euklidische Division (Platzsparend) 4 87 ← Quotient 3 Horner–Schema an x0 an−1 an−2 ⊕ ⊕ an y ... ... bn−1 bn−2 ... ·(x0 ) ·(x0 ) ·(x0 ) ... ⇓ ⇓ ⇓ = an an−3 = bn−1 bn−2 = ... bn−3 ... Polynom–division − 2x2 −3x +1 2x2 − 34 x − 53 x +1 − 53 x + 10 9 − Rest → − 19 : (3x − 2) = 2 3x − 5 9 ← Quotient 215 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 216 Polynom–division (Platzsparend) − 2x2 −3x 2x2 − 34 x − 53 x2 +1 − 35 x + 10 9 − Rest → a b −1 (3x − 2) 2 3x − 5 93 ← Quotient − 19 mit b , 0 rank((a1 , a2 , . . . , ak ), [x1 , y1 ] × · · · × [xk , yk ]) unrank(n, [x1 , y1 ] × · · · × [xk , yk ]) (a1 , a2 , . . . , ak ) Bruch Rank des Tupels in [x1 , y1 ] × · · · × [xk , yk ] das Tupel (a1 , a2 , . . . , ak ) in [x1 , y1 ] × · · · × [xk , yk ] mit n = rank((a1 , a2 , . . . , ak ), [x1 , y1 ] × · · · × [xk , yk ]) geordnetes k–tupel {a1 , a2 , . . . , ak } Eine Menge △i, j Differenzenquotienten (Dividierte Differenzen) ∇i, j inverse Differenzenquotienten (inverse Dividierte Differenzen) 1.3 1.333333333 . . . g–adischc,g (x) = an an−1 . . . a1 a0 • a−1 a−2 . . . bzw. (an , an−1 , . . . , a1 , a0 , •a−1 , a−2 , . . . ) g–adische Darstellung der Zahl x in der Basis c zur Basis g g–adischc,g;n (x) = an an−1 . . . a1 a0 • a−1 a−2 . . . bzw. (an , an−1 , . . . , a1 , a0 , •a−1 , a−2 , . . . ) g–adische Darstellung der Zahl x in der Basis c zur Basis g mit genau n Bits n! n Fakultät A die Menge der algebraischen Zahlen Inversionrechts(i, A) bzw. Inversionrechts(i) rechte Inversionszahl Inversionlinks(i, A) bzw. Inversionlinks(i) linke Inversionszahl Inversion(A) Inversionszahl run(A) Runzahl a x n m xm! x k n n1 ,n2 ,...,nk Sr (n) Sr,s (n) Hr (n) a hoch n = x(x − 1) . . . (x − (m − 1)) fallende Faktorielle = x(x + 1) . . . (x + m − 1) steigende Faktorielle Binomialkoeffizient x über k Multinomialkoeffizienten n P kr k=1 n P k=1 n P k=1 kr ln s (k) 1 kr Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 217 n P Hr,s (n) r k=1 k ∞ P = ζ(2) = ζ(s) k=1 ∞ P k=1 ζ(s|2k − 1) = ⌊x⌋ ∞ 2s − 1 P 1 ζ(s) = (2k−1)s s 2 k=1 ⌈x⌉ Das Runden ⌊x⌉ bzw. ⌈x⌋ |x| 1 k2 Summe der quadrat reziproken 1 ks Summe der reziproken Potenzen ∞ ζ(s) P 1 = (2k)s Summe der reziproken Pos 2 k=1 tenzen der geraden Zahlen = ζ(s|2k) 1 ln s (n) Summe der reziproken Potenzen der ungeraden Zahlen untere Gaussklammer bzw. grösste ganze Zahl ≤ x d.h. ⌊x⌋ ≤ x < 1 + ⌊x⌋ und ⌊x⌋ ∈ Z obere Gaussklammer bzw. kleinste ganze Zahl ≥ x, ⌈x⌉ − 1 < x ≤ ⌈x⌉ und ⌈x⌉ ∈ Z ⌊x⌋, |x − ⌊x⌋| < 12 := z.B. ⌊1.1⌉ = 1; ⌈x⌉, sonst ⌊1.5⌉ = 2; ⌊1.7⌉ = 2 absoluter Betrag einer Zahl x a+ max(a, 0), a reelle Zahl a− min(a, 0), a reelle Zahl x≥0 1, Vorzeichen einer Zahl x = −1, x < 0 sign(x) p% mh φ= p 100 m also 1000 Prozent also √ 1+ 2 2 Promille ≈ 1.618 . . . Goldener Schnitt e = 2.718281828 . . . die Eulersche Zahl γ = 0.5772156649 . . . Euler Mascheroni Konstante b = 1.902160583104 . . . Brunsche Konstante ∞ Unendlich NaN not a number (Keine Zahl) δi, j Kronecker–Symbol xP Polstelle xN Nullstelle δ Die Vielfachheit einer Nullstelle x := AM(x1 , . . . , xn ) Arithmetisches Mittel x̌ := GM(x1 , . . . , xn ) Geometrisches Mittel x := HM(x1 , . . . , xn ) Harmonisches Mittel x := QM(x1 , . . . , xn ) Quadratisches Mittel [AB] Verbindungsstrecke zwischen A und B [AB) Halbgerade vom Punkt A in Richtung des Punktes B (AB) Gerade durch die Punkte A und B QI = {(x, y) : x > 0, y > 0} 1. Quadrant QII = {(x, y) : x < 0, y > 0} 2. Quadrant Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 = {(x, y) : x < 0, y < 0} 3. Quadrant QIII = {(x, y) : x > 0, y < 0} 4. Quadrant QIV fˇ optimaler Wert Kr (a) Kreis mit dem Radius r und mit dem Mittelpunkt a xH bzw. xT Hoch oder Tiefpunkt xW Wendepunkt xkrit Kritischer Punkt xC Sattelpunkt, Terrassenpunkt oder Horizontalwendepunkt xS Scheitelpunkt NP Nullpunkt HP Hochpunkt TP Tiefpunkt WP Wendepunkt CP Sattelpunkt, Terrassenpunkt oder Horizontalwendepunkt S Scheitelpunkt grafisches Symbol für Randpunkte ausgeschlossen grafisches Symbol für Ein Randpunkt ausgeschlossen, anderer eingeschlossen grafisches Symbol für (horizontale, vertikale, schiefe) Asymptote grafisches Symbol für Achsen (z.B. bei Ellipse) b grafisches Symbol für einen Punkt + grafisches Symbol für hebbare Lücke rs grafisches Symbol für Lücke * × grafisches Symbol für wesentliche Singularität grafisches Symbol für einen Polstelle r grafisches Symbol für einen Mittelpunkt 218 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 bc grafisches Symbol für eine Nullstelle bzw. Schnittpunkt q grafisches Symbol für einen Brennpunkt ut grafisches Symbol für einen Hochpunkt ut grafisches Symbol für einen Tiefpunkt l grafisches Symbol für ein Extremum (Tiefpunkt/Hochpunkt) ld grafisches Symbol für einen Wendepunkt grafisches Symbol für konvex grafisches Symbol für konkav grafisches Symbol für eine Tangente an einer Kurve grafisches Symbol für eine Normale an einer Kurve −∞ x 2−x + (x − 4)2 x |2 − x| |x − 4| 2 −∞ 4 | − || 2 2− x 4− x | − 4 x−2 4−x Vorzeichen–tabelle (Werte Ausserhalb des Definitionsbereichs werden durch eine vertikalen Doppelstrich markiert) +∞ || +∞ x−2 x−4 Term–tabelle (Werte Ausserhalb des Definitionsbereichs werden durch eine vertikalen Doppelstrich markiert) # bzw. " Funktionentransformationen 07:00 a.m. bedeutet 07:00 Uhr 07:00 p.m. bedeutet 19:00 Uhr 12:00 a.m. bedeutet 00:00 Uhr 12:00 p.m. bedeutet 12:00 Uhr ιk : Nk0 → N0 Cantorsche Paarungsfunktion 219 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 220 Kettenbruch b1 a0 + b2 + a1 bn +···+ a2 b1 =a0 + an b2 a1 + b3 a2 + .. an−1 + b1 a0 + b2 + a1 b b =a + c =a0 + b c+ c+ (unendlicher) Kettenbruch b2 a1 + a2 + a+ bn an b1 + . . . =a0 + a2 . 1 a1 b3 a3 + . . . + 1 a2 +···+ 1 periodischer Kettenbruch an b c+... 1 =a0 + 1 a1 + 1 a2 + .. an−1 + . 1 an [a0 , a1 , a2 , . . . , an ] (regulärer ) Kettenbruch FFT schnelle Fourier Transformation DFT Diskrete Fourier Transformation iFFT Inverse schnelle Fourier Transformation iDFT Inverse Diskrete Fourier Transformation b x Schätzwert (Näherungswert, berechneter Wert) für den exakten (unbekannten) Wert x κabs absolute Konditionszahl κrel relative Konditionszahl Q1 (n) die 1.te Summe der quadrierten Dezimalziffern der Zahl n Qm (n) die m.te Summe der quadrierten Dezimalziffern der Zahl Qm−1 (n) Q(x) die Quersumme der Zahl x Q1,−1 (x) alternierende Quersumme der Zahl x Qa1 ,a2 ,...,ak (x) Quersumme a1 , a2 , . . . , ak EZ Eulerzug HK die Hamiltonkreis [a, b[, ]a, b] Halboffene Intervalle in R der Zahl x bezüglich Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 221 [a, b] Abgeschlossene Intervalle in R ]a, b[ Offene Intervalle in R [a..b[, ]a..b] Halboffene Intervalle in Z [a..b] Abgeschlossene Intervalle in Z ]a..b[ Offene Intervalle in Z U (x0 ) Umgebung von x0 Uε (x0 ) ε–Umgebung von x0 • U (a) = U (a) \ {a} punktierte Umgebung von x0 • Uε (a) = Uε (a) \ {a} punktierte ε–Umgebung von x0 X Merkmal, das ist statistisch interessante Variable xi Ausprägung des Merkmals X bei Element i ai absolute Häufigkeit, Anzahl von xi ei a= P erwartete Häufigkeit Umfang einer Stichprobe (Population) ai i n bzw. N die Anzahl der verschiedenen Merkmalsausprägungen der Stichprobe (bzw. der Population) f (xi ) Häufigkeitsdichte F(xi ) Empirische Verteilungsfunktion SW Spannweite IQR Interquartilsabstand xmod Modus oder Modalwert ci Klassenmittel hi ai a ∆i Klassenbreite xi a i , Merkmalsanteil n P x ja j qi relative Häufigkeit j=1 Qi gini = 1 − Q1 h1 − d x = MAA(x) = n P i µ n P i P q j , d.h. Kumulierte Merkmalsanteile j=1 (Qi−1 + Qi )hi Gini–Koeffizient i=2 |xi − x|hi Mittlere absolute Abweichung Mittelwert der Gesamtheit x Mittelwert der Stichprobe b x der (meist: 10 %) getrimmte arithmetische Mittel s2x = MQA(x) = σ2x = σ e2x = n P (xi − x)2 hi N P (xi − µ)2 i N N P (xi − µ)2 i N−1 i Varianz der Stichprobe (mittlere quadratische Abweichung) Varianz der Gesamtheit korrigierte Varianz der Gesamtheit Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 s2x = e s2x = ṡ2x = s̈2x = ρ2k = ρek 2 = v2k = vek 2 = v̇2k = v̈2k = n P i n P i n P i n P i (xi − x)2 Varianz der Stichprobe n (xi − x)2 korrigierte Varianz der Stichprobe n−1 (xi − µ)2 Varianz der Stichprobe bei bekanntem Erwartungswert der Population n (xi − µ)2 n−1 korrigierte Varianz der Stichprobe bei bekanntem Erwartungswert der Population N Zentraler Moment der Ordnung k der Gesamtheit N P (xi − µ)k i N P (xi − µ)k i korrigierter Zentraler Moment der Ordnung k der Gesamtheit N−1 N P (xi − x)k i Zentraler Moment der Ordnung k der Stichprobe N N P (xi − x)k i korrigierter Zentraler Moment der Ordnung k der Stichprobe N−1 N P (xi − µ)k i Zentraler Moment der Ordnung k der Stichprobe bei bekanntem Erwartungswert der Population N N P (xi − µ)k i korrigierter Zentraler Moment der Ordnung k der Stichprobe bei bekanntem Erwartungswert der Population N−1 b θ cov(x, y) = Schätzwert (Näherungswert, berechneter Wert) für den exakten (unbekannten) Wert θ n P (xi − x)(yi − y)hi (empirische) Kovarianz i cov(x, y) = cg ov(x, y) = cov(x, ˙ y) = cov(x, ¨ y) = x n P i (xi − x)(yi − y) n n P (xi − x)(yi − y) i n−1 (xi − µ x )(yi − µy ) n P i n n P (xi − µ x )(yi − µy ) i n−1 (empirische) Kovarianz korrigierte Kovarianz Kovarianz bei bekannten Erwartungswerte der Populationen korrigierte Kovarianz bei bekannten Erwartungswerte der Populationen harmonischer Mittelwert 222 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 223 x̌ geometrischer Mittelwert ν[X] arithmetischer Variationskoeffizient ν[X] harmonischer Variationskoeffizient ν̌[X] geometrischer Variationskoeffizient τ3 Schiefe, Skewness τ4 Wölbung, Kyrtosis, Kurtosis x0.5 Median xπ π–Quantile α Irrtümlichwahrscheinlichkeit γ =1−α Sicherheitswahrscheinlichkeit L1−α Länge vom (1 − α)-Konfidenzintervall (1 − α)-Konfidenzintervall I1−α Bbere Teststatistik / mialverteilung Prüfgrösse bei Bino- Zbere Teststatistik / Prüfgrösse bei Normalverteilung T bere Teststatistik / Prüfgrösse bei t–Verteilung Xbere Teststatistik / Prüfgrösse bei χ2 –Verteilung Fbere Teststatistik / Prüfgrösse bei F–Verteilung H0 Nullhypothese H1 Altervativhypothese R e R Bestimmtheitsmass r = rPearson Korrelationskoeffizient (Pearsons Korrelationskoeffizient) ρ = rS pearman Spearmans Rangkorrelationskoeffizient τ = rKendell Kendells Korrelationskoeffizient QS reg Regression QS p Residual QS 0 Total nr(xi ) Rangnummer zum Wert xi rg(xi ) Rangzahl zum Wert xi η Effektstärke Di rg(xi ) − nr(yi ) Adjustiertes Bestimmtheitsmass s stationäre Verteilung (Markow–Kette) v Verteilung (Markow–Kette) τ erwarteten Rückkehrzeitsvektor (Markow– Kette) U = π0 P 0m,n−m Y Em Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten (Markow–Kette) Startverteilung (Markow–Kette) G Grenzmatrix (Markow–Kette) R Menge der Randzustände (Markow–Kette) T Periode (Markow–Kette) Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 m Anzahl der Randzustände (Markow–Kette) ai, j Wahrscheinlichkeit, dass man irgendwann von Zustand i aus, den Endzustand j erreicht. (Markow–Kette) wi mittlere Schrittzahl von Zustand i nach einem absorbierenden Zustand (Markow–Kette) M := (Q, δ) p p p ∗ n Markow–Kette q bzw. f Ein Pfad von p nach q q bzw. f Ein Pfad von p nach q q bzw. f Ein Pfad von p nach q der Länge n p→q Ein Pfad von p nach q der Länge 1 q grafisches Symbol für absorbierenden Zustand einer Markow–Kette p µ q grafisches Symbol für den Zustandsübergangswahrscheinlichkeit δ(p, q) = µ bei Markow–Kette X, Y Zufallsvariablen Z bzw. z(X) (meistens) als Standardisierte Zufallsvariable Z = X−µ σ fX (x) Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion F X (x) Verteilungsfunktion x(X, π) π–Quantil E[X], µ Erwartungswert Var[X] Varianz cov(X, Y) Kovarianz σ[X] Standardabweichung ν[X] Variationskoeffizient Gver (x) Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ϕver (x) Charakteristische Funktion 1A (ω) Indikator disV Diskrete Verteilung steV Stetige Verteilung disB Diskrete Bivariate Verteilung steB Stetige Bivariate Verteilung DiG(a; d; n) Diskrete Gleichverteilung mit den Parametern a, d, n aDG(n) allgemeine Diskrete Gleichverteilung mit dem Parameter n Hyp(r, a, n) Hypergeometrische Verteilung Ber(p) Bernoulli–Verteilung Bin(n, p) Binomialverteilung Geo(p) Die geometrische Verteilung LgV(p) Logarithmische Verteilung 224 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 225 Poi(λ) Poisson Verteilung PoZ(t, λ) Poisson–Prozess NBi(n, p) Negative Binomialverteilung Mno(n, p1, p2 , . . . , pk ) Multinomialverteilung lung) Mhy(a1 , a2 , . . . , ak , n) Multivariate hypergeometrische Verteilung S eG(a, b) Rechteckverteilung bzw. stetige Gleichverteilung Exp(λ) Exponentialverteilung Par(a, λ) Pareto–Verteilung LNo(a, b) Logarithmische Normalverteilung Cau(a, b) Cauchy–Verteilung Ray(a) Rayleigh–Verteilung Nor(0, 1) 2 (Polynomialvertei- Standardnormalverteilung Nor(µ, σ ) allgemeine Normal– oder Gauss–Verteilung Wei(a, b) Weibull–Verteilung γ(a, b) Gammaverteilung β(a, b) Betaverteilung χ2 (n) Chiquadratverteilung T (n) Die Studentsche t–Verteilung F(a, b) Die F–Verteilung Lap(µ, b) Die Doppelexponentialverteilung bzw. Laplace–Verteilung X ∼ . . . z.B. X ∼ T (n) wie X verteilt ist z.B. X ist t–verteilt fNor(0,1) (x) bzw. ϕ(x) Wahrscheinlichkeits– bzw. Dichtefunktion der Standardnormalverteilung x(Nor(0, 1), π) bzw. zπ Quantil der Standardnormalverteilung F Nor(0,1) (x) bzw. Φ(x) Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung x(χ2 (n), π) bzw. χ2n,π Quantil der χ2 –Verteilung x(T (n), π) bzw. tn,π Quantil der t–Verteilung x(F(a, b), π) bzw. Fa,b,π Quantil der F–Verteilung Pnn Vkn Anzahl der Permutation von n Elemente (n1 + n2 + · · · + nr )! = n1 !n2 ! . . . nr ! Anzahl der Variationen ohne Wiederholung Vkn Anzahl der Variationen mit Wiederholung Ckn Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung Ckn Anzahl der Kombinationen mit Wiederholung Pnn1 ,n2 ,...,nr Tabelle 50.0.0.1: Notationen Anhang A Verteilungsfunktion der Binomialverteilung Die Tabelle enthält die Werte der Verteilungsfunktion F Bin(n,p) (k), wobei die Unterteilung in Blöcke durch verschiedene n erfolgt und innerhalb eines Blockes die Spalten verschiedene p und die Zeilen unterschiedliche k darstellen. F Bin(n,p) (k) = PrBin(n,p) (X ≤ k) = F Bin(n,p) (n) = PrBin(n,p) (X ≤ n) = k P n i=0 n P i=0 i pi (1 − p)n−i n i pi (1 − p)n−i = 1 für p > 0.5 gilt F Bin(n,p) (k) = 1 − F Bin(n,1−p) (n − k − 1); für k < n PrBin(n,p) (X = k) = F Bin(n,p) (k) − F Bin(n,p) (k − 1) Bei schwarz/weiss unterlegtem Eingang gilt: 1-abgelesener Wert Näherungsformel F Bin(n,p) (k) ≈ F Nor(np, √np(1−p)) (k) für np(1 − p) > 9 n = 10 p 0.05 0 0.5987 0.3487 0.1969 0.1615 0.1074 0.0563 0.0282 0.0173 0.0135 0.0060 0.0025 0.0010 9 1 0.9139 0.7361 0.5443 0.4845 0.3758 0.2440 0.1493 0.1040 0.0860 0.0464 0.0233 0.0107 8 2 0.9885 0.9298 0.8202 0.7752 0.6778 0.5256 0.3828 0.2991 0.2616 0.1673 0.0996 0.0547 7 3 0.9990 0.9872 0.9500 0.9303 0.8791 0.7759 0.6496 0.5593 0.5138 0.3823 0.2660 0.1719 6 4 0.9999 0.9984 0.9901 0.9845 0.9672 0.9219 0.8497 0.7869 0.7515 0.6331 0.5044 0.3770 5 5 1.0000 0.9999 0.9986 0.9976 0.9936 0.9803 0.9527 0.9234 0.9051 0.8338 0.7384 0.6230 4 6 1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 0.9991 0.9965 0.9894 0.9803 0.9740 0.9452 0.8980 0.8281 3 7 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9996 0.9984 0.9966 0.9952 0.9877 0.9726 0.9453 2 8 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9996 0.9995 0.9983 0.9955 0.9893 1 9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 0.9990 0 0.90 0.15 0.85 5 6 0.20 0.80 0.25 0.30 1 3 k 0.95 0.10 1 6 0.75 0.70 2 3 0.35 0.65 0.40 0.60 0.45 0.55 0.50 0.50 p n = 20 k n = 10 p 0.10 0.15 1 6 0.20 0.25 0.30 1 3 k 0.05 0 0.3585 0.1216 0.0388 0.0261 0.0115 0.0032 0.0008 0.0003 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 19 1 0.7358 0.3917 0.1756 0.1304 0.0692 0.0243 0.0076 0.0033 0.0021 0.0005 0.0001 0.0000 18 226 0.35 0.40 0.45 0.50 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 227 2 0.9245 0.6769 0.4049 0.3287 0.2061 0.0913 0.0355 0.0176 0.0121 0.0036 0.0009 0.0002 17 3 0.9841 0.8670 0.6477 0.5665 0.4114 0.2252 0.1071 0.0604 0.0444 0.0160 0.0049 0.0013 16 4 0.9974 0.9568 0.8298 0.7687 0.6296 0.4148 0.2375 0.1515 0.1182 0.0510 0.0189 0.0059 15 5 0.9997 0.9887 0.9327 0.8982 0.8042 0.6172 0.4164 0.2972 0.2454 0.1256 0.0553 0.0207 14 6 1.0000 0.9976 0.9781 0.9629 0.9133 0.7858 0.6080 0.4793 0.4166 0.2500 0.1299 0.0577 13 7 1.0000 0.9996 0.9941 0.9887 0.9679 0.8982 0.7723 0.6615 0.6010 0.4159 0.2520 0.1316 12 8 1.0000 0.9999 0.9987 0.9972 0.9900 0.9591 0.8867 0.8095 0.7624 0.5956 0.4143 0.2517 11 9 1.0000 1.0000 0.9998 0.9994 0.9974 0.9861 0.9520 0.9081 0.8782 0.7553 0.5914 0.4119 10 10 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9994 0.9961 0.9829 0.9624 0.9468 0.8725 0.7507 0.5881 9 11 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9991 0.9949 0.9870 0.9804 0.9435 0.8692 0.7483 8 12 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9987 0.9963 0.9940 0.9790 0.9420 0.8684 7 13 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9991 0.9985 0.9935 0.9786 0.9423 6 14 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9997 0.9984 0.9936 0.9793 5 15 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9985 0.9941 4 16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9987 3 17 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 2 18 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1 19 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0.95 0.90 0.85 5 6 0.80 0.75 0.70 2 3 0.65 0.60 0.55 0.50 p n = 25 k n = 20 p 0.10 0.15 1 6 0.20 0.25 0.30 1 3 k 0.05 0.35 0.40 0.45 0.50 0 0.2774 0.0718 0.0172 0.0105 0.0038 0.0008 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 24 1 0.6424 0.2712 0.0931 0.0629 0.0274 0.0070 0.0016 0.0005 0.0003 0.0001 0.0000 0.0000 23 2 0.8729 0.5371 0.2537 0.1887 0.0982 0.0321 0.0090 0.0035 0.0021 0.0004 0.0001 0.0000 22 3 0.9659 0.7636 0.4711 0.3816 0.2340 0.0962 0.0332 0.0149 0.0097 0.0024 0.0005 0.0001 21 4 0.9928 0.9020 0.6821 0.5937 0.4207 0.2137 0.0905 0.0462 0.0320 0.0095 0.0023 0.0005 20 5 0.9988 0.9666 0.8385 0.7720 0.6167 0.3783 0.1935 0.1120 0.0826 0.0294 0.0086 0.0020 19 6 0.9998 0.9905 0.9305 0.8908 0.7800 0.5611 0.3407 0.2215 0.1734 0.0736 0.0258 0.0073 18 7 1.0000 0.9977 0.9745 0.9553 0.8909 0.7265 0.5118 0.3703 0.3061 0.1536 0.0639 0.0216 17 8 1.0000 0.9995 0.9920 0.9843 0.9532 0.8506 0.6769 0.5376 0.4668 0.2735 0.1340 0.0539 16 9 1.0000 0.9999 0.9979 0.9953 0.9827 0.9287 0.8106 0.6956 0.6303 0.4246 0.2424 0.1148 15 10 1.0000 1.0000 0.9995 0.9988 0.9944 0.9703 0.9022 0.8220 0.7712 0.5858 0.3843 0.2122 14 11 1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 0.9985 0.9893 0.9558 0.9082 0.8746 0.7323 0.5426 0.3450 13 12 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9996 0.9966 0.9825 0.9585 0.9396 0.8462 0.6937 0.5000 12 13 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9991 0.9940 0.9836 0.9745 0.9222 0.8173 0.6550 11 14 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9982 0.9944 0.9907 0.9656 0.9040 0.7878 10 15 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9995 0.9984 0.9971 0.9868 0.9560 0.8852 9 16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9996 0.9992 0.9957 0.9826 0.9461 8 17 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9988 0.9942 0.9784 7 18 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9984 0.9927 6 19 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9996 0.9980 5 20 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9995 4 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 228 21 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 3 22 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 2 23 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1 24 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0.95 0.90 0.85 5 6 0.80 0.75 0.70 2 3 0.65 0.60 0.55 0.50 p n = 40 k n = 25 p 0.10 0.15 1 6 0.20 0.25 0.30 1 3 k 0.05 0.35 0.40 0.45 0.50 0 0.1285 0.0148 0.0015 0.0007 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 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1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9995 0.9895 38 62 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9940 37 63 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9967 36 64 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9982 35 231 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 232 65 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9991 34 66 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9996 33 67 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 32 68 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 31 69 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 30 70 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 29 71 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 28 72 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 27 73 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 26 74 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 25 75 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 24 76 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 23 77 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 22 78 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 21 79 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 20 80 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 19 81 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 18 82 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 17 83 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 16 84 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 15 85 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 14 86 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 13 87 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 12 88 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 11 89 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 10 90 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 9 91 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 8 92 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 7 93 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 6 94 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 5 95 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 4 96 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 3 97 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 2 98 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1 99 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0.95 0.90 0.85 5 6 0.80 0.75 0.70 2 3 0.65 0.60 p Tabelle A.0.0.1: Verteilungsfunktion der Binomialverteilung 0.55 0.50 k n = 100 Anhang B Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung y F Nor(0,1) (x) Schraffierte Fläche x x Die Tabelle enthält die Werte der Verteilungsfunktion F Nor(0,1) (x)* F Nor(0,1) (x) = PrNor(0,1) (X ≤ x) = Rx −∞ 2 √1 e−0.5t dt 2π Lesebeispiel: Damit die Tabelle nicht zu viel Platz einnimmt, ist jeder x–Wert in zwei Teile aufgespaltet: Zeilen und Spalten. Gesucht sei die F Nor(0,1) (x) für x = 2.03. Zeile=2.0; Spalte= 0.03. In der Zeile 2.0 finden Sie in der mit 0.03 überschriebenen Spalte den gesuchten Wert F Nor(0,1) (2.03) = 0.97882 Für x < 0 gilt F Nor(0,1) (−x) = 1 − F Nor(0,1) (x) Bei fehlendes x gilt F Nor(0,1) (x) ≈ genden Werte zu x F Nor(0,1) (x2 ) − F Nor(0,1) (x1 ) (x − x1 ) + F Nor(0,1) (x1 ), wobei x1 und x2 am nächsten liex2 − x1 Beispiel zur diesen linearen Interpretation: für x = 1.6 gilt F Nor(0,1) (x) = 0.94520071 aber F Nor(0,1) (x) ≈ 0.94431367 mit x1 = 1.5 und x2 = 1.7 * in der Literatur meistens mit Φ(x) bezeichnet 233 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 234 x +0.00 +0.01 +0.02 +0.03 +0.04 +0.05 +0.06 +0.07 +0.08 +0.09 0.0 0.50000 0.50399 0.50798 0.51197 0.51595 0.51994 0.52392 0.52790 0.53188 0.53586 0.1 0.53983 0.54380 0.54776 0.55172 0.55567 0.55962 0.56356 0.56749 0.57142 0.57535 0.2 0.57926 0.58317 0.58706 0.59095 0.59483 0.59871 0.60257 0.60642 0.61026 0.61409 0.3 0.61791 0.62172 0.62552 0.62930 0.63307 0.63683 0.64058 0.64431 0.64803 0.65173 0.4 0.65542 0.65910 0.66276 0.66640 0.67003 0.67364 0.67724 0.68082 0.68439 0.68793 0.5 0.69146 0.69497 0.69847 0.70194 0.70540 0.70884 0.71226 0.71566 0.71904 0.72240 0.6 0.72575 0.72907 0.73237 0.73565 0.73891 0.74215 0.74537 0.74857 0.75175 0.75490 0.7 0.75804 0.76115 0.76424 0.76730 0.77035 0.77337 0.77637 0.77935 0.78230 0.78524 0.8 0.78814 0.79103 0.79389 0.79673 0.79955 0.80234 0.80511 0.80785 0.81057 0.81327 0.9 0.81594 0.81859 0.82121 0.82381 0.82639 0.82894 0.83147 0.83398 0.83646 0.83891 1.0 0.84134 0.84375 0.84614 0.84849 0.85083 0.85314 0.85543 0.85769 0.85993 0.86214 1.1 0.86433 0.86650 0.86864 0.87076 0.87286 0.87493 0.87698 0.87900 0.88100 0.88298 1.2 0.88493 0.88686 0.88877 0.89065 0.89251 0.89435 0.89617 0.89796 0.89973 0.90147 1.3 0.90320 0.90490 0.90658 0.90824 0.90988 0.91149 0.91309 0.91466 0.91621 0.91774 1.4 0.91924 0.92073 0.92220 0.92364 0.92507 0.92647 0.92785 0.92922 0.93056 0.93189 1.5 0.93319 0.93448 0.93574 0.93699 0.93822 0.93943 0.94062 0.94179 0.94295 0.94408 1.6 0.94520 0.94630 0.94738 0.94845 0.94950 0.95053 0.95154 0.95254 0.95352 0.95449 1.7 0.95543 0.95637 0.95728 0.95818 0.95907 0.95994 0.96080 0.96164 0.96246 0.96327 1.8 0.96407 0.96485 0.96562 0.96638 0.96712 0.96784 0.96856 0.96926 0.96995 0.97062 1.9 0.97128 0.97193 0.97257 0.97320 0.97381 0.97441 0.97500 0.97558 0.97615 0.97670 2.0 0.97725 0.97778 0.97831 0.97882 0.97932 0.97982 0.98030 0.98077 0.98124 0.98169 2.1 0.98214 0.98257 0.98300 0.98341 0.98382 0.98422 0.98461 0.98500 0.98537 0.98574 2.2 0.98610 0.98645 0.98679 0.98713 0.98745 0.98778 0.98809 0.98840 0.98870 0.98899 2.3 0.98928 0.98956 0.98983 0.99010 0.99036 0.99061 0.99086 0.99111 0.99134 0.99158 2.4 0.99180 0.99202 0.99224 0.99245 0.99266 0.99286 0.99305 0.99324 0.99343 0.99361 2.5 0.99379 0.99396 0.99413 0.99430 0.99446 0.99461 0.99477 0.99492 0.99506 0.99520 2.6 0.99534 0.99547 0.99560 0.99573 0.99585 0.99598 0.99609 0.99621 0.99632 0.99643 2.7 0.99653 0.99664 0.99674 0.99683 0.99693 0.99702 0.99711 0.99720 0.99728 0.99736 2.8 0.99744 0.99752 0.99760 0.99767 0.99774 0.99781 0.99788 0.99795 0.99801 0.99807 2.9 0.99813 0.99819 0.99825 0.99831 0.99836 0.99841 0.99846 0.99851 0.99856 0.99861 3.0 0.99865 0.99869 0.99874 0.99878 0.99882 0.99886 0.99889 0.99893 0.99896 0.99900 3.1 0.99903 0.99906 0.99910 0.99913 0.99916 0.99918 0.99921 0.99924 0.99926 0.99929 3.2 0.99931 0.99934 0.99936 0.99938 0.99940 0.99942 0.99944 0.99946 0.99948 0.99950 3.3 0.99952 0.99953 0.99955 0.99957 0.99958 0.99960 0.99961 0.99962 0.99964 0.99965 3.4 0.99966 0.99968 0.99969 0.99970 0.99971 0.99972 0.99973 0.99974 0.99975 0.99976 3.5 0.99977 0.99978 0.99978 0.99979 0.99980 0.99981 0.99981 0.99982 0.99983 0.99983 3.6 0.99984 0.99985 0.99985 0.99986 0.99986 0.99987 0.99987 0.99988 0.99988 0.99989 3.7 0.99989 0.99990 0.99990 0.99990 0.99991 0.99991 0.99992 0.99992 0.99992 0.99992 3.8 0.99993 0.99993 0.99993 0.99994 0.99994 0.99994 0.99994 0.99995 0.99995 0.99995 3.9 0.99995 0.99995 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99997 0.99997 4.0 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998 4.1 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998 0.99999 0.99999 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 235 4.2 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 4.3 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 4.4 0.99999 0.99999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 4.5 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 4.6 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 4.7 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 4.8 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 4.9 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 Tabelle B.0.0.1: Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung Anhang C Quantile der Standardnormalverteilung y π = Schraffierte Fläche x(Nor(0, 1), π) x Die Tabelle enthält die Quantile x(Nor(0, 1), π)* der Standardnormalverteilung. Es gilt π = x=x(Nor(0,1),π) R fNor(0,1) (x)dx x=−∞ Lesebeispiel: Damit die Tabelle nicht zu viel Platz einnimmt, ist jeder π–Wert in zwei Teile aufgespaltet: Zeile und Spalte. Gesucht sei die x(Nor(0, 1), π) für π = 0.558. Zeile=0.55; Spalte= 0.008. In der Spalte 0.008 finden Sie in der mit 0.55 überschriebenen Zeile den gesuchten Wert x(Nor(0, 1), 0.558) = 0.14590 Für π < 0.5 gilt x(Nor(0, 1), π) = −x(Nor(0, 1), 1 − π) Bei fehlendes π gilt x(Nor(0, 1), π) ≈ nächsten liegenden Werte zu π x(Nor(0, 1), π2) − x(Nor(0, 1), π1) (π − π1 ) + x(Nor(0, 1), π1), wobei π1 und π2 am π2 − π1 Beispiel zur diesen linearen Interpretation: für π = 0.64 gilt x(Nor(0, 1), π) = 0.35845879 aber x(Nor(0, 1), π) ≈ 0.35858691 mit π1 = 0.63 und π2 = 0.65 * in der Literatur meistens mit zπ bezeichnet 236 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 237 π +0.000 +0.001 +0.002 +0.003 +0.004 +0.005 +0.006 +0.007 +0.008 +0.009 0.50 0.00000 0.00251 0.00501 0.00752 0.01003 0.01253 0.01504 0.01755 0.02005 0.02256 0.51 0.02507 0.02758 0.03008 0.03259 0.03510 0.03761 0.04012 0.04263 0.04513 0.04764 0.52 0.05015 0.05266 0.05517 0.05768 0.06020 0.06271 0.06522 0.06773 0.07024 0.07276 0.53 0.07527 0.07778 0.08030 0.08281 0.08533 0.08784 0.09036 0.09288 0.09540 0.09791 0.54 0.10043 0.10295 0.10547 0.10799 0.11052 0.11304 0.11556 0.11809 0.12061 0.12314 0.55 0.12566 0.12819 0.13072 0.13324 0.13577 0.13830 0.14084 0.14337 0.14590 0.14843 0.56 0.15097 0.15351 0.15604 0.15858 0.16112 0.16366 0.16620 0.16874 0.17128 0.17383 0.57 0.17637 0.17892 0.18147 0.18402 0.18657 0.18912 0.19167 0.19422 0.19678 0.19934 0.58 0.20189 0.20445 0.20701 0.20957 0.21214 0.21470 0.21727 0.21983 0.22240 0.22497 0.59 0.22754 0.23012 0.23269 0.23527 0.23785 0.24043 0.24301 0.24559 0.24817 0.25076 0.60 0.25335 0.25594 0.25853 0.26112 0.26371 0.26631 0.26891 0.27151 0.27411 0.27671 0.61 0.27932 0.28193 0.28454 0.28715 0.28976 0.29237 0.29499 0.29761 0.30023 0.30286 0.62 0.30548 0.30811 0.31074 0.31337 0.31600 0.31864 0.32128 0.32392 0.32656 0.32921 0.63 0.33185 0.33450 0.33716 0.33981 0.34247 0.34513 0.34779 0.35045 0.35312 0.35579 0.64 0.35846 0.36113 0.36381 0.36649 0.36917 0.37186 0.37454 0.37723 0.37993 0.38262 0.65 0.38532 0.38802 0.39073 0.39343 0.39614 0.39886 0.40157 0.40429 0.40701 0.40974 0.66 0.41246 0.41519 0.41793 0.42066 0.42340 0.42615 0.42889 0.43164 0.43440 0.43715 0.67 0.43991 0.44268 0.44544 0.44821 0.45099 0.45376 0.45654 0.45933 0.46211 0.46490 0.68 0.46770 0.47050 0.47330 0.47610 0.47891 0.48173 0.48454 0.48736 0.49019 0.49302 0.69 0.49585 0.49869 0.50153 0.50437 0.50722 0.51007 0.51293 0.51579 0.51866 0.52153 0.70 0.52440 0.52728 0.53016 0.53305 0.53594 0.53884 0.54174 0.54464 0.54755 0.55047 0.71 0.55338 0.55631 0.55924 0.56217 0.56511 0.56805 0.57100 0.57395 0.57691 0.57987 0.72 0.58284 0.58581 0.58879 0.59178 0.59477 0.59776 0.60076 0.60376 0.60678 0.60979 0.73 0.61281 0.61584 0.61887 0.62191 0.62496 0.62801 0.63106 0.63412 0.63719 0.64027 0.74 0.64335 0.64643 0.64952 0.65262 0.65573 0.65884 0.66196 0.66508 0.66821 0.67135 0.75 0.67449 0.67764 0.68080 0.68396 0.68713 0.69031 0.69349 0.69668 0.69988 0.70309 0.76 0.70630 0.70952 0.71275 0.71599 0.71923 0.72248 0.72574 0.72900 0.73228 0.73556 0.77 0.73885 0.74214 0.74545 0.74876 0.75208 0.75542 0.75875 0.76210 0.76546 0.76882 0.78 0.77219 0.77557 0.77897 0.78237 0.78577 0.78919 0.79262 0.79606 0.79950 0.80296 0.79 0.80642 0.80990 0.81338 0.81687 0.82038 0.82389 0.82742 0.83095 0.83450 0.83805 0.80 0.84162 0.84520 0.84879 0.85239 0.85600 0.85962 0.86325 0.86689 0.87055 0.87422 0.81 0.87790 0.88159 0.88529 0.88901 0.89273 0.89647 0.90023 0.90399 0.90777 0.91156 0.82 0.91537 0.91918 0.92301 0.92686 0.93072 0.93459 0.93848 0.94238 0.94629 0.95022 0.83 0.95417 0.95812 0.96210 0.96609 0.97009 0.97411 0.97815 0.98220 0.98627 0.99036 0.84 0.99446 0.99858 1.00271 1.00686 1.01103 1.01522 1.01943 1.02365 1.02789 1.03215 0.85 1.03643 1.04073 1.04505 1.04939 1.05374 1.05812 1.06252 1.06694 1.07138 1.07584 0.86 1.08032 1.08482 1.08935 1.09390 1.09847 1.10306 1.10768 1.11232 1.11699 1.12168 0.87 1.12639 1.13113 1.13590 1.14069 1.14551 1.15035 1.15522 1.16012 1.16505 1.17000 0.88 1.17499 1.18000 1.18504 1.19012 1.19522 1.20036 1.20553 1.21073 1.21596 1.22123 0.89 1.22653 1.23186 1.23723 1.24264 1.24808 1.25357 1.25908 1.26464 1.27024 1.27587 0.90 1.28155 1.28727 1.29303 1.29884 1.30469 1.31058 1.31652 1.32251 1.32854 1.33462 0.91 1.34076 1.34694 1.35317 1.35946 1.36581 1.37220 1.37866 1.38517 1.39174 1.39838 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 238 0.92 1.40507 1.41183 1.41865 1.42554 1.43250 1.43953 1.44663 1.45381 1.46106 1.46838 0.93 1.47579 1.48328 1.49085 1.49851 1.50626 1.51410 1.52204 1.53007 1.53820 1.54643 0.94 1.55477 1.56322 1.57179 1.58047 1.58927 1.59819 1.60725 1.61644 1.62576 1.63523 0.95 1.64485 1.65463 1.66456 1.67466 1.68494 1.69540 1.70604 1.71689 1.72793 1.73920 0.96 1.75069 1.76241 1.77438 1.78661 1.79912 1.81191 1.82501 1.83842 1.85218 1.86630 0.97 1.88079 1.89570 1.91104 1.92684 1.94313 1.95996 1.97737 1.99539 2.01409 2.03352 0.98 2.05375 2.07485 2.09693 2.12007 2.14441 2.17009 2.19729 2.22621 2.25713 2.29037 0.99 2.32635 2.36562 2.40892 2.45726 2.51214 2.57583 2.65207 2.74778 2.87816 3.09023 Tabelle C.0.0.1: Quantile der Standardnormalverteilung Anhang D Verteilungsfunktion der Poissonverteilung Die Tabelle enthält die Werte der Verteilungsfunktion F Poi(λ) (k), wobei die Spalten verschiedene λ und die Zeilen unterschiedliche k darstellen. F Poi(λ) (k) = PrPoi(λ) (X ≤ k) = PrPoi(λ) (X = 0) = F Poi(λ) (0) k P i=0 i e−λ λi! PrPoi(λ) (X = k) = F Poi(λ) (k) − F Poi(λ) (k − 1) für k ≥ 1 Näherungsformel F Poi(λ) (k) ≈ F Nor(λ, √λ) (k) für λ > 10 λ k 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 0 0.36788 0.13534 0.04979 0.01832 0.00674 0.00248 0.00091 0.00034 0.00012 0.00005 1 0.73576 0.40601 0.19915 0.09158 0.04043 0.01735 0.00730 0.00302 0.00123 0.00050 2 0.91970 0.67668 0.42319 0.23810 0.12465 0.06197 0.02964 0.01375 0.00623 0.00277 3 0.98101 0.85712 0.64723 0.43347 0.26503 0.15120 0.08177 0.04238 0.02123 0.01034 4 0.99634 0.94735 0.81526 0.62884 0.44049 0.28506 0.17299 0.09963 0.05496 0.02925 5 0.99941 0.98344 0.91608 0.78513 0.61596 0.44568 0.30071 0.19124 0.11569 0.06709 6 0.99992 0.99547 0.96649 0.88933 0.76218 0.60630 0.44971 0.31337 0.20678 0.13014 7 0.99999 0.99890 0.98810 0.94887 0.86663 0.74398 0.59871 0.45296 0.32390 0.22022 8 1.00000 0.99976 0.99620 0.97864 0.93191 0.84724 0.72909 0.59255 0.45565 0.33282 9 1.00000 0.99995 0.99890 0.99187 0.96817 0.91608 0.83050 0.71662 0.58741 0.45793 10 1.00000 0.99999 0.99971 0.99716 0.98630 0.95738 0.90148 0.81589 0.70599 0.58304 11 1.00000 1.00000 0.99993 0.99908 0.99455 0.97991 0.94665 0.88808 0.80301 0.69678 12 1.00000 1.00000 0.99998 0.99973 0.99798 0.99117 0.97300 0.93620 0.87577 0.79156 13 1.00000 1.00000 1.00000 0.99992 0.99930 0.99637 0.98719 0.96582 0.92615 0.86446 14 1.00000 1.00000 1.00000 0.99998 0.99977 0.99860 0.99428 0.98274 0.95853 0.91654 15 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99993 0.99949 0.99759 0.99177 0.97796 0.95126 16 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99998 0.99983 0.99904 0.99628 0.98889 0.97296 17 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99999 0.99994 0.99964 0.99841 0.99468 0.98572 18 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99998 0.99987 0.99935 0.99757 0.99281 239 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 19 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 240 0.99999 0.99996 0.99975 0.99894 0.99655 λ k 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00 45.00 50.00 55.00 60.00 0 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 1 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 2 0.00004 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 3 0.00021 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 4 0.00086 0.00002 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 5 0.00279 0.00007 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 6 0.00763 0.00026 0.00001 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 7 0.01800 0.00078 0.00002 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 8 0.03745 0.00209 0.00008 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 9 0.06985 0.00500 0.00022 0.00001 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 10 0.11846 0.01081 0.00059 0.00002 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 11 0.18475 0.02139 0.00142 0.00006 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 12 0.26761 0.03901 0.00314 0.00017 0.00001 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 13 0.36322 0.06613 0.00647 0.00041 0.00002 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 14 0.46565 0.10486 0.01240 0.00092 0.00005 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 15 0.56809 0.15651 0.02229 0.00195 0.00012 0.00001 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 16 0.66412 0.22107 0.03775 0.00387 0.00027 0.00001 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 17 0.74886 0.29703 0.06048 0.00727 0.00059 0.00003 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 18 0.81947 0.38142 0.09204 0.01293 0.00120 0.00008 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 19 0.87522 0.47026 0.13357 0.02187 0.00232 0.00018 0.00001 0.00000 0.00000 0.00000 Tabelle D.0.0.1: Verteilungsfunktion der Poisson–Verteilung Anhang E Quantile der t–Verteilung y π = Schraffierte Fläche x x(T (n), π) Die Tabelle enthält die Quantile x(T (n), π)* der t–Verteilung mit n Freiheitsgraden. Es gilt π = t=x(T R (n),π) fT (n) (t)dt t=−∞ Für π < 0.5 gilt x(T (n), π) = −x(T (n), 1 − π) Bei fehlendes π gilt x(T (n), π) ≈ Werte zu π x(T (n), π2) − x(T (n), π1) (π − π1 ) + x(T (n), π1), wobei π1 und π2 am nächsten liegenden π2 − π1 Beispiel zur diesen linearen Interpretation: für n = 1 und π = 0.62 gilt x(T (n), π) = 0.39592801 aber x(T (n), π) ≈ 0.39638040 mit π1 = 0.61 und π2 = 0.63 Näherungsformel x(T (n), π) ≈ x(Nor(0, 1), π) für n > 30 n π * in 1 2 3 4 5 6 der Literatur meistens mit tn,π bezeichnet 241 7 8 9 10 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 242 0.51 0.03143 0.02829 0.02721 0.02667 0.02635 0.02613 0.02598 0.02586 0.02577 0.02570 0.52 0.06291 0.05661 0.05445 0.05336 0.05272 0.05228 0.05198 0.05175 0.05157 0.05142 0.53 0.09453 0.08501 0.08174 0.08011 0.07913 0.07848 0.07801 0.07767 0.07740 0.07718 0.54 0.12633 0.11350 0.10912 0.10692 0.10561 0.10473 0.10411 0.10365 0.10329 0.10300 0.55 0.15838 0.14213 0.13660 0.13383 0.13218 0.13108 0.13029 0.12971 0.12925 0.12889 0.56 0.19076 0.17094 0.16422 0.16086 0.15886 0.15752 0.15657 0.15587 0.15532 0.15488 0.57 0.22353 0.19996 0.19200 0.18804 0.18567 0.18410 0.18298 0.18214 0.18150 0.18098 0.58 0.25676 0.22923 0.21999 0.21539 0.21265 0.21083 0.20953 0.20857 0.20781 0.20722 0.59 0.29053 0.25879 0.24820 0.24294 0.23981 0.23773 0.23625 0.23515 0.23429 0.23361 0.60 0.32492 0.28868 0.27667 0.27072 0.26718 0.26483 0.26317 0.26192 0.26096 0.26018 0.61 0.36002 0.31894 0.30544 0.29876 0.29479 0.29216 0.29030 0.28890 0.28782 0.28696 0.62 0.39593 0.34963 0.33453 0.32709 0.32267 0.31975 0.31767 0.31612 0.31492 0.31396 0.63 0.43274 0.38079 0.36400 0.35574 0.35085 0.34761 0.34532 0.34360 0.34228 0.34122 0.64 0.47056 0.41248 0.39387 0.38476 0.37936 0.37579 0.37326 0.37138 0.36992 0.36875 0.65 0.50953 0.44475 0.42420 0.41416 0.40823 0.40431 0.40154 0.39947 0.39787 0.39659 0.66 0.54975 0.47767 0.45503 0.44401 0.43750 0.43321 0.43018 0.42791 0.42616 0.42477 0.67 0.59140 0.51129 0.48640 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1.19188 1.19148 1.19110 1.19074 1.19039 1.19006 1.18974 1.18944 1.18914 0.89 1.24555 1.24509 1.24465 1.24424 1.24384 1.24346 1.24309 1.24274 1.24241 1.24208 0.90 1.30254 1.30204 1.30155 1.30109 1.30065 1.30023 1.29982 1.29944 1.29907 1.29871 0.91 1.36403 1.36347 1.36293 1.36242 1.36193 1.36146 1.36101 1.36058 1.36017 1.35978 0.92 1.43103 1.43040 1.42980 1.42923 1.42868 1.42816 1.42766 1.42718 1.42673 1.42629 0.93 1.50496 1.50425 1.50358 1.50293 1.50232 1.50173 1.50117 1.50063 1.50012 1.49962 0.94 1.58786 1.58706 1.58629 1.58556 1.58487 1.58420 1.58356 1.58295 1.58237 1.58180 0.95 1.68288 1.68195 1.68107 1.68023 1.67943 1.67866 1.67793 1.67722 1.67655 1.67591 0.96 1.79517 1.79409 1.79305 1.79207 1.79113 1.79023 1.78937 1.78855 1.78776 1.78700 0.97 1.93428 1.93298 1.93173 1.93054 1.92941 1.92833 1.92729 1.92630 1.92535 1.92444 0.98 2.12117 2.11952 2.11794 2.11644 2.11500 2.11364 2.11233 2.11107 2.10987 2.10872 0.99 2.42080 2.41847 2.41625 2.41413 2.41212 2.41019 2.40835 2.40658 2.40489 2.40327 Tabelle E.0.0.1: Quantile der t–Verteilung Anhang F Quantile der Chiquadratverteilung y π = Schraffierte Fläche x x(χ2 (n), π) Die Tabelle enthält die Quantile x(χ2 (n), π)* der χ2 –Verteilung mit n Freiheitsgraden. Es gilt π = 2 x=x(χ R (n),π) fχ2 (n) (x)dx x=−∞ x(χ2 (n), π2) − x(χ2 (n), π1) (π − π1 ) + x(χ2 (n), π1), wobei π1 und π2 am nächsten liegenπ2 − π1 Bei fehlendes π gilt x(χ2 (n), π) ≈ den Werte zu π Beispiel zur diesen linearen Interpretation: für n = 1 und π = 0.73 gilt x(χ2 (n), π) = 1.21674702 aber x(χ2 (n), π) ≈ 1.21792344 mit π1 = 0.72 und π2 = 0.74 √ ( 2n − 1 + x(Nor(0, 1), π))2 2 für n > 30 Näherungsformel x(χ (n), π) ≈ 2 n π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.01 0.00016 0.02010 0.11483 0.29711 0.55430 0.87209 1.23904 1.64650 2.08790 2.55821 * in der Literatur meistens mit χ2n,π bezeichnet 248 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 249 0.02 0.00063 0.04041 0.18483 0.42940 0.75189 1.13442 1.56429 2.03248 2.53238 3.05905 0.03 0.00141 0.06092 0.24510 0.53505 0.90306 1.32961 1.80163 2.31007 2.84849 3.41207 0.04 0.00252 0.08164 0.30015 0.62715 1.03132 1.49237 1.99711 2.53665 3.10467 3.69654 0.05 0.00393 0.10259 0.35185 0.71072 1.14548 1.63538 2.16735 2.73264 3.32511 3.94030 0.06 0.00567 0.12375 0.40117 0.78837 1.24992 1.76492 2.32045 2.90796 3.52149 4.15672 0.07 0.00772 0.14514 0.44874 0.86163 1.34721 1.88460 2.46107 3.06828 3.70045 4.35339 0.08 0.01009 0.16676 0.49495 0.93149 1.43900 1.99672 2.59215 3.21715 3.86614 4.53505 0.09 0.01278 0.18862 0.54009 0.99865 1.52643 2.10286 2.71568 3.35700 4.02138 4.70489 0.10 0.01579 0.21072 0.58437 1.06362 1.61031 2.20413 2.83311 3.48954 4.16816 4.86518 0.11 0.01913 0.23307 0.62797 1.12678 1.69125 2.30139 2.94547 3.61603 4.30796 5.01759 0.12 0.02279 0.25567 0.67101 1.18843 1.76973 2.39527 3.05360 3.73746 4.44190 5.16338 0.13 0.02678 0.27852 0.71360 1.24880 1.84613 2.48628 3.15812 3.85457 4.57086 5.30355 0.14 0.03111 0.30165 0.75583 1.30810 1.92074 2.57484 3.25954 3.96799 4.69555 5.43890 0.15 0.03577 0.32504 0.79777 1.36648 1.99382 2.66127 3.35828 4.07820 4.81652 5.57006 0.16 0.04076 0.34871 0.83949 1.42408 2.06557 2.74587 3.45470 4.18562 4.93427 5.69757 0.17 0.04610 0.37266 0.88104 1.48101 2.13617 2.82886 3.54908 4.29059 5.04918 5.82187 0.18 0.05178 0.39690 0.92248 1.53738 2.20578 2.91045 3.64167 4.39341 5.16160 5.94335 0.19 0.05780 0.42144 0.96384 1.59328 2.27453 2.99081 3.73269 4.49433 5.27180 6.06233 0.20 0.06418 0.44629 1.00517 1.64878 2.34253 3.07009 3.82232 4.59357 5.38005 6.17908 0.21 0.07092 0.47144 1.04651 1.70395 2.40989 3.14843 3.91073 4.69133 5.48657 6.29386 0.22 0.07802 0.49692 1.08788 1.75886 2.47670 3.22595 3.99807 4.78777 5.59154 6.40688 0.23 0.08548 0.52273 1.12933 1.81356 2.54304 3.30276 4.08446 4.88305 5.69514 6.51833 0.24 0.09332 0.54887 1.17087 1.86811 2.60898 3.37894 4.17002 4.97730 5.79752 6.62838 0.25 0.10153 0.57536 1.21253 1.92256 2.67460 3.45460 4.25485 5.07064 5.89883 6.73720 0.26 0.11013 0.60221 1.25435 1.97694 2.73996 3.52981 4.33906 5.16319 5.99918 6.84492 0.27 0.11911 0.62942 1.29635 2.03131 2.80512 3.60464 4.42274 5.25506 6.09871 6.95167 0.28 0.12849 0.65701 1.33855 2.08570 2.87013 3.67916 4.50596 5.34632 6.19750 7.05756 0.29 0.13828 0.68498 1.38098 2.14015 2.93504 3.75345 4.58880 5.43709 6.29567 7.16271 0.30 0.14847 0.71335 1.42365 2.19470 2.99991 3.82755 4.67133 5.52742 6.39331 7.26722 0.31 0.15909 0.74213 1.46660 2.24938 3.06477 3.90153 4.75363 5.61741 6.49049 7.37118 0.32 0.17013 0.77132 1.50984 2.30422 3.12969 3.97544 4.83574 5.70712 6.58730 7.47468 0.33 0.18160 0.80096 1.55341 2.35927 3.19468 4.04933 4.91775 5.79663 6.68382 7.57780 0.34 0.19352 0.83103 1.59731 2.41455 3.25981 4.12326 4.99970 5.88600 6.78012 7.68063 0.35 0.20590 0.86157 1.64158 2.47009 3.32511 4.19727 5.08165 5.97529 6.87627 7.78324 0.36 0.21874 0.89257 1.68623 2.52592 3.39061 4.27141 5.16365 6.06456 6.97233 7.88571 0.37 0.23206 0.92407 1.73129 2.58208 3.45637 4.34572 5.24576 6.15388 7.06838 7.98809 0.38 0.24587 0.95607 1.77678 2.63860 3.52241 4.42025 5.32802 6.24329 7.16447 8.09047 0.39 0.26017 0.98859 1.82274 2.69551 3.58877 4.49505 5.41050 6.33286 7.26067 8.19291 0.40 0.27500 1.02165 1.86917 2.75284 3.65550 4.57015 5.49323 6.42265 7.35703 8.29547 0.41 0.29034 1.05527 1.91611 2.81063 3.72263 4.64561 5.57628 6.51269 7.45362 8.39822 0.42 0.30623 1.08945 1.96358 2.86889 3.79020 4.72147 5.65968 6.60306 7.55050 8.50122 0.43 0.32268 1.12424 2.01161 2.92768 3.85825 4.79777 5.74349 6.69380 7.64772 8.60453 0.44 0.33970 1.15964 2.06023 2.98702 3.92682 4.87456 5.82775 6.78498 7.74534 8.70822 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 250 0.45 0.35732 1.19567 2.10947 3.04695 3.99594 4.95188 5.91252 6.87663 7.84342 8.81235 0.46 0.37554 1.23237 2.15935 3.10750 4.06567 5.02977 5.99785 6.96882 7.94202 8.91698 0.47 0.39439 1.26976 2.20991 3.16871 4.13604 5.10830 6.08379 7.06161 8.04120 9.02218 0.48 0.41389 1.30785 2.26117 3.23062 4.20710 5.18750 6.17040 7.15505 8.14102 9.12801 0.49 0.43407 1.34669 2.31318 3.29327 4.27889 5.26742 6.25772 7.24920 8.24154 9.23453 0.50 0.45494 1.38629 2.36597 3.35669 4.35146 5.34812 6.34581 7.34412 8.34283 9.34182 0.51 0.47653 1.42670 2.41958 3.42095 4.42486 5.42965 6.43474 7.43987 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39.58470 40.52924 41.47439 42.42013 43.36644 44.31331 0.31 36.05005 36.99508 37.94078 38.88712 39.83408 40.78163 41.72976 42.67845 43.62768 44.57744 0.32 36.28474 37.23289 38.18166 39.13104 40.08101 41.03153 41.98261 42.93421 43.88632 44.83892 0.33 36.51738 37.46860 38.42042 39.37280 40.32574 41.27920 42.23317 43.18764 44.14259 45.09801 0.34 36.74820 37.70246 38.65728 39.61263 40.56849 41.52486 42.48170 43.43901 44.39677 45.35496 0.35 36.97739 37.93466 38.89245 39.85073 40.80950 41.76873 42.72841 43.68852 44.64905 45.61000 0.36 37.20516 38.16540 39.12613 40.08732 41.04895 42.01102 42.97351 43.93640 44.89968 45.86334 0.37 37.43168 38.39487 39.35851 40.32257 41.28705 42.25193 43.21720 44.18284 45.14884 46.11520 0.38 37.65713 38.62324 39.58977 40.55668 41.52398 42.49165 43.45967 44.42804 45.39674 46.36577 0.39 37.88168 38.85069 39.82007 40.78982 41.75991 42.73035 43.70110 44.67218 45.64356 46.61523 0.40 38.10549 39.07738 40.04960 41.02215 41.99502 42.96820 43.94167 44.91543 45.88947 46.86378 0.41 38.32871 39.30345 40.27850 41.25385 42.22948 43.20538 44.18155 45.15798 46.13465 47.11157 0.42 38.55150 39.52908 40.50694 41.48505 42.46343 43.44204 44.42089 45.39997 46.37928 47.35879 0.43 38.77399 39.75440 40.73505 41.71593 42.69703 43.67834 44.65986 45.64158 46.62350 47.60560 0.44 38.99635 39.97957 40.96300 41.94663 42.93044 43.91444 44.89862 45.88297 46.86748 47.85215 0.45 39.21869 40.20472 41.19092 42.17729 43.16381 44.15048 45.13731 46.12427 47.11138 48.09861 0.46 39.44118 40.43001 41.41897 42.40806 43.39728 44.38662 45.37608 46.36566 47.35534 48.34513 0.47 39.66395 40.65556 41.64727 42.63909 43.63100 44.62300 45.61509 46.60727 47.59953 48.59187 0.48 39.88713 40.88152 41.87599 42.87052 43.86511 44.85977 45.85449 46.84927 47.84410 48.83898 0.49 40.11086 41.10804 42.10525 43.10249 44.09977 45.09708 46.09442 47.09179 48.08919 49.08662 0.50 40.33529 41.33525 42.33520 43.33516 44.33512 45.33508 46.33504 47.33500 48.33497 49.33494 0.51 40.56056 41.56329 42.56599 43.56866 44.57130 45.57391 46.57650 47.57905 48.58158 49.58409 0.52 40.78681 41.79232 42.79777 43.80315 44.80847 45.81373 46.81894 47.82409 48.82919 49.83424 0.53 41.01419 42.02248 43.03067 44.03877 45.04678 46.05470 47.06253 48.07028 49.07795 50.08555 0.54 41.24284 42.25392 43.26487 44.27569 45.28639 46.29697 47.30743 48.31779 49.32803 50.33817 0.55 41.47292 42.48680 43.50051 44.51406 45.52746 46.54070 47.55381 48.56677 49.57960 50.59229 0.56 41.70459 42.72127 43.73776 44.75404 45.77015 46.78607 47.80182 48.81740 49.83282 50.84808 0.57 41.93802 42.95751 43.97678 44.99581 46.01463 47.03324 48.05165 49.06986 50.08787 51.10571 0.58 42.17337 43.19569 44.21775 45.23954 46.26109 47.28240 48.30347 49.32432 50.34495 51.36537 0.59 42.41082 43.43599 44.46085 45.48542 46.50971 47.53373 48.55749 49.58099 50.60424 51.62726 0.60 42.65056 43.67859 44.70627 45.73364 46.76069 47.78743 48.81389 49.84006 50.86595 51.89158 0.61 42.89279 43.92369 44.95422 45.98439 47.01422 48.04371 49.07288 50.10174 51.13029 52.15855 0.62 43.13771 44.17151 45.20490 46.23791 47.27053 48.30279 49.33469 50.36625 51.39748 52.42839 0.63 43.38554 44.42226 45.45854 46.49440 47.52984 48.56488 49.59955 50.63384 51.66777 52.70135 0.64 43.63652 44.67619 45.71538 46.75411 47.79239 48.83025 49.86770 50.90474 51.94139 52.97766 0.65 43.89089 44.93353 45.97566 47.01729 48.05845 49.09915 50.13940 51.17922 52.21862 53.25762 0.66 44.14891 45.19456 46.23966 47.28423 48.32829 49.37186 50.41494 51.45757 52.49975 53.54149 0.67 44.41088 45.45957 46.50767 47.55521 48.60220 49.64867 50.69463 51.74009 52.78507 53.82960 0.68 44.67710 45.72886 46.78000 47.83055 48.88051 49.92991 50.97877 52.02711 53.07494 54.12227 0.69 44.94789 46.00278 47.05700 48.11058 49.16355 50.21593 51.26773 52.31898 53.36969 54.41987 0.70 45.22363 46.28168 47.33902 48.39569 49.45171 50.50711 51.56189 52.61609 53.66972 54.72279 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 260 0.71 45.50471 46.56596 47.62647 48.68627 49.74539 50.80385 51.86166 52.91886 53.97545 55.03146 0.72 45.79154 46.85605 47.91979 48.98278 50.04504 51.10661 52.16750 53.22774 54.28734 55.34633 0.73 46.08461 47.15244 48.21945 49.28568 50.35115 51.41588 52.47990 53.54324 54.60590 55.66793 0.74 46.38444 47.45565 48.52600 49.59552 50.66425 51.73221 52.79942 53.86591 54.93170 55.99681 0.75 46.69160 47.76625 48.84001 49.91290 50.98495 52.05619 53.12666 54.19637 55.26534 56.33360 0.76 47.00673 48.08490 49.16214 50.23846 51.31391 52.38852 53.46230 54.53529 55.60752 56.67900 0.77 47.33056 48.41233 49.49312 50.57296 51.65188 52.72992 53.80711 54.88346 55.95901 57.03379 0.78 47.66389 48.74935 49.83378 50.91722 51.99970 53.08126 54.16193 55.24173 56.32069 57.39883 0.79 48.00763 49.09688 50.18505 51.27218 52.35832 53.44349 54.52773 55.61106 56.69352 57.77513 0.80 48.36283 49.45597 50.54799 51.63892 52.72881 53.81770 54.90561 55.99258 57.07863 58.16380 0.81 48.73069 49.82784 50.92381 52.01866 53.11243 54.20514 55.29683 56.38754 57.47730 58.56613 0.82 49.11258 50.21386 51.31393 52.41282 53.51058 54.60724 55.70285 56.79743 57.89101 58.98363 0.83 49.51010 50.61567 51.71997 52.82305 53.92495 55.02570 56.12535 57.22393 58.32148 59.41802 0.84 49.92514 51.03516 52.14386 53.25128 54.35748 55.46248 56.56633 57.66907 58.77072 59.87133 0.85 50.35994 51.47459 52.58787 53.69982 54.81049 55.91991 57.02814 58.13520 59.24114 60.34599 0.86 50.81717 51.93667 53.05473 54.17141 55.28675 56.40080 57.51360 58.62519 59.73561 60.84489 0.87 51.30009 52.42467 53.54776 54.66940 55.78965 56.90855 58.02615 59.14249 60.25761 61.37154 0.88 51.81270 52.94265 54.07103 55.19791 56.32333 57.44735 58.57001 59.69136 60.81143 61.93026 0.89 52.36004 53.49567 54.62967 55.76209 56.89300 58.02245 59.15047 60.27713 61.40245 62.52649 0.90 52.94851 54.09020 55.23019 56.36854 57.50530 58.64054 59.77429 60.90661 62.03754 63.16712 0.91 53.58649 54.73470 55.88113 57.02585 58.16891 59.31037 60.45028 61.58869 62.72565 63.86120 0.92 54.28522 55.44051 56.59394 57.74557 58.89547 60.04369 61.19028 62.33531 63.47881 64.62085 0.93 55.06033 56.22340 57.38452 58.54375 59.70116 60.85681 62.01075 63.16305 64.31375 65.46290 0.94 55.93447 57.10623 58.27593 59.44364 60.60943 61.77337 62.93552 64.09593 65.25465 66.41175 0.95 56.94239 58.12404 59.30351 60.48089 61.65623 62.82962 64.00111 65.17077 66.33865 67.50481 0.96 58.14151 59.33478 60.52573 61.71444 62.90100 64.08548 65.26794 66.44845 67.62707 68.80386 0.97 59.63794 60.84546 62.05050 63.25314 64.45347 65.65156 66.84749 68.04133 69.23314 70.42299 0.98 61.66538 62.89181 64.11554 65.33667 66.55527 67.77143 68.98524 70.19676 71.40608 72.61325 0.99 64.95007 66.20624 67.45935 68.70951 69.95683 71.20140 72.44331 73.68264 74.91947 76.15389 Tabelle F.0.0.1: Quantile der χ2 –Verteilung Anhang G Formelsammlung 261 Der Wahrscheinlichkeitsbegriff σ[aX+b] = Eine Zufallsvariable X ist eine Zuordnungsvorschrift, die jedem möglichen Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet X: Ω → R ω 7→ X(ω) A oder B heisst A ∪ B mit Pr(A ∪ B) = Pr(A) + Pr(B), falls A und B stochastich unabhängig A und B heisst A ∩ B mit Pr(A ∩ B) = Pr(A) ∗ Pr(B) E[|X − E[X]|] ≤ σ[X] PrdisV (X > xk ) = 1 − F(xk ) PrdisV (xi ≤ X ≤ x j ) = F(x j ) − F(xi−1 ) PrdisV (xi ≤ X < x j ) = F(x j−1 ) − F(xi−1 ) PrdisV (xi < X < x j ) = F(x j−1 ) − F(xi ) X ist mehr als x heisst X > x PrdisV (|X − a| < b) = PrdisV (a − b < X < a + b) xk fdisV (xk ) F(x0 ) P (xk − E[X])2 fdisV (xk ) Varianz Var[X] = k P (xk − E[X])2 PrdisV (X = xk ) xk = k = x E[aX + b] = aE[X] + b fdisV (xk ) = PrdisV (X = xk ) mit Abbildung G.2.0.1: Graph der Verteilungsfunktion Var[X] ≥ 0 fdisV (xk ) = 1 k Var[X] = E[X 2 ] − (E[X])2 fdisV (xk ) ≥ 0 2 Die Verteilung einer diskreten Zufallsvariable X sei ((xk , PrdisV (X = xk ))|k = 1, 2, . . . ) mit xk < xk+1 f (xi ) G.3 Var[X] = E[(X − a) ] − (E[X] − a) 2 Var[aX + b] = a Var[X] Standardabweichung σ[X] = Binomialverteilung 2 √ Var[X] Es gelten die Punkte in G.2 ab Seite 262 fBin(n,p) (k) = PrBin(n,p) (X = k) = nk pk (1 − p)n−k E[X] = np 262 PrdisV (X ≤ xk ) = F(xk ) P xn = x1 Diskrete Zufallsvariable i≤k F(x1 ) x0 Erwartungswert E[X] P xk PrdisV (X = xk ) k FdisV (xk ) = PrdisV (X ≤ xk ) = 1 PrdisV (|X − a| > b) = 1 − PrdisV (|X − a| ≤ b) Gegenereignis A mit Pr(A) = 1 − Pr(A) P F(x) PrdisV (|X − a| ≥ b) = 1 − PrdisV (|X − a| ≤ b − 1) X ist höchstens x heisst X ≤ x P a2 Var[X] = |a|σ[X] Verteilungsfunktion 0, x ≤ x0 F(x) = F(xi−1 ), xi−1 ≤ x < xi ; i = 1, . . . ; n 1, x ≥ xn PrdisV (xi < X ≤ x j ) = F(x j ) − F(xi ) X ist weniger als x heisst X < x G.2 p Var[X] = σ2 [X] PrdisV (|X − a| ≤ b) = PrdisV (a − b ≤ X ≤ a + b) X ist mindestens x heisst X ≥ x Var[aX + b] = PrdisV (X < xk ) = F(xk−1 ) PrdisV (X ≥ xk ) = 1 − F(xk−1 ) Ereignismenge Ω √ Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 G.1 F Bin(n,p) (k) = PrBin(n,p) (X ≤ k) = k P n j=0 j Var[X] =≥ 0 j p (1 − p) Es gelten die Punkte in G.2 ab Seite 262 n− j fPoi(λ) (k) = PrPoi(λ) (X = k) = k λ −λ k! e , wobei λ > 0 Die geometrische Verteilung fGeo(p) (k) = PrGeo(p) (X = k) = (1 − p) 1, 2, 3, . . . E[X] = k−1 Var[X] = λ k P j=0 p; k = j λ −λ j! e p2 Nichtnegativität: f steV (x) ≥ 0 für alle x ∈ R Normierungseigenschaft: σ[aX+b] = √ Var[aX + b] = E[|X − E[X]|] ≤ σ[X] +∞ R G.8 f steV (t)dt = 1 −∞ d.h. die Gesamtfläche zwischen x–Achse und der Dichte f steV (x) ist gleich 1. Diskrete Gleichverteilung Als Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariable bezeichnet man die Beziehung Es gelten die Punkte in G.2 ab Seite 262 fDiG(a;d;n) (xk ) = PrDiG(a;d;n) (X = xk ) = a + dk; k = 0, 1, 2, . . . , n E[X] = a + Var[X] = Var[X] p a2 Var[X] = |a|σ[X] Die Funktion f steV (x) heisst Dichtefunktion (oder Wahrscheinlichkeitsdichte) von X. 1− p FGeo(p) (k) = PrGeo(p) (X ≤ k) = 1 − (1 − p)k G.5 √ G.7 Stetige Zufallsvariable 1 p Var[X] = −∞ σ[X] = F Poi(λ) (k) = PrPoi(λ) (X ≤ k) = Es gelten die Punkte in G.2 ab Seite 262 t2 f steV (t)dt−(E[X])2 = E[X 2 ]−(E[X])2 Var[aX + b] = a2 Var[X] E[X] = λ G.4 +∞ R Var[X] = 1 n+1 , xk F steV (x) = Pr steV (X ≤ x) = t=x R f steV (t)dt −∞ Pr steV (a ≤ X ≤ b) = F steV (b) − F steV (a) dn 2 d 2 n(n+2) 12 Pr steV (X ≥ a) = 1 − F steV (a) xk − a + d F DiG(a;d;n) (xk ) = PrDiG(a;d;n) (X ≤ xk ) = d(n + 1) k+1 n+1 E[X] = +∞ R −∞ Var[X] = t f steV (t)dt +∞ R −∞ (t − E[X])2 f steV (t)dt E[aX + b] = aE[X] + b Es gelten die Punkte in G.7 ab Seite 263 1 , a≤x≤b b−a fS eG(a,b) (x) = 0, sonst 0, x<a x−a FS eG(a,b) (x) = b−a , a ≤ x < b 1, x≥b E[X] = +∞ R −∞ Var[X] = t fS eG(a,b) (t)dt = +∞ R −∞ a+b 2 (t − E[X])2 fS eG(a,b) (t)dt = (b−a)2 12 263 F DiG(a;d;n) (Rg(k)) = PrDiG(a;d;n) (Rg(X) ≤ k) = = Rechteckverteilung bzw. stetige Gleichverteilung Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 G.6 Poisson Verteilung Var[X] = np(1 − p) Allgemeine Normal– oder Gauss–Verteilung Es gelten die Punkte in G.7 ab Seite 263 Der Fehler 2. Art, auch als β-Fehler (Beta-Fehler) oder Falsch-negativ-Entscheidung bezieht sich auf eine spezielle Methode des Hypothesentests. Beim Test einer Hypothese bedeutet ein Fehler 2. Art, dass der Test die Nullhypothese fälschlicherweise bestätigt, obwohl die Alternativhypothese korrekt ist. (x − µ)2 − 1 fNor(µ,σ2 ) (x) := √ · e 2σ2 ; x ∈ R σ 2π F Nor(µ,σ2 ) (x) = PrNor(µ,σ2 ) (X ≤ x) X ∼ Nor(µ, σ2 ) ⇒ Z = X−µ σ ∼ Nor(0, 1) PrNor(µ,σ2 ) (a ≤ X ≤ b) = PrNor(0,1) ( a−µ σ ≤Z ≤ PrNor(µ,σ2 ) (|X − a| ≤ b) = a+b−µ σ ) PrNor(0,1) ( a−b−µ σ Beim Test einer Hypothese liegt ein Fehler 1. Art vor, wenn die Nullhypothese zurückgewiesen wird, obwohl sie in Wirklichkeit wahr ist (beruhend auf falsch positiven Ergebnissen). b−µ σ ) ≤ Z ≤ Im Gegensatz zum Risiko 1. Art, die gegebene Null-Hypothese, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft, irrtümlicherweise abzulehnen, lässt sich das Risiko 2. Art, also die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art meist nicht vorab bestimmen ≤ PrNor(µ,σ2 ) (|X − a| ≥ b) = 1 − PrNor(0,1) ( a−b−µ σ a+b−µ Z≤ σ ) F Nor(µ,σ2 ) (x) = F Nor(0,1) ( x−µ σ ) H0 abgelehnt x(Nor(µ, σ2 ), π) = σ · x(Nor(0, 1), π) + µ PrNor(0,1) (Z ≤ z) = π ⇒ z = x(Nor(0, 1), π) fNor(0,1) (x) wird in der Literatur meistens mit ϕ(x) bezeichnet G.11 Test auf µ unter Normalverteilung bei bekannter Varianz (Einstichprobe– Gauss Test) . H0 nicht abgelehnt. Wahrscheinlichkeit: 1−α H0 ist wahr H0 ist falsch Fehler 1. Art. Wahrscheinlichkeit: α Entscheidung richtig. Wahrscheinlichkeit: 1−β Entscheidung richtig Modell Xi ∼ Nor(µ, σ2 ) für i = 1, . . . , n Signifikanz niveau α Stichprobe n Werte, x1 , x2 , . . . , xn Stichprobenmittel wert Fehler 2. Art. Wahrscheinlichkeit: β Hypothesen Teststatistik F Nor(0,1) (x) wird in der Literatur meistens mit Φ(x) bezeichnet x(Nor(0, 1), π) wird in der Literatur meistens mit zπ bezeichnet Quantil G.10 Hypothesenprüfung H0 ablehnen, wenn i=1 n xi 2 ∼ Nor(µ0 , σn ) H0 : µ ≤ µ0 H0 : µ = µ0 H0 : µ ≥ µ0 H1 : µ > µ0 H1 : µ , µ0 H1 : µ < µ0 X − µ0 x(Nor(0, 1), 1 − α) ∼ Nor(0, 1) σ √ n x(Nor(0, 1), x(Nor(0, 1), 1 − α2 ) 1 − α) Zbere > x(Nor(0, 1), 1 − α) |Zbere | > x(Nor(0, 1), 1 − α2 ) Zbere = Zbere < −x(Nor(0, 1), 1 − α) 264 Der Fehler 1. Art oder α-Fehler (Alpha-Fehler) bezieht sich auf eine Methode des Hypothesentests. . X= n P Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 G.9 Modell Xi ∼ Nor(µ, σ2 ) für i = 1, . . . , n Signifikanz niveau α Stichprobe G.13 Test für einen Anteilswert p Hypothesen Teststatistik Quantil . H0 ablehnen, wenn X= n v u u n tP (xi − X)2 α Versuche n Erfolge k geschätztes b p= Teststatistik i=1 n−1 H0 : µ ≤ µ0 H0 : µ = µ0 H0 : µ ≥ µ0 H1 : µ > µ0 H1 : µ , µ0 H1 : µ < µ0 X − µ0 x(T (n − 1), 1 − α) ∼ T (n − 1) e s √ n x(T (n − x(T (n − 1), 1 − α2 ) 1), 1 − α) T bere > x(T (n − 1), 1 − α) |T bere | > x(T (n − 1), 1 − α2 ) T bere = Signifikanz niveau xi i=1 e s= Xi ∼ Nor(µ, σ2 ) für i = 1, . . . , n Hypothesen n Werte, x1 , x2 , . . . , xn n P Modell T bere < −x(T (n − 1), 1 − α) x(T (n), π) wird in der Literatur meistens mit tn,π bezeichnet Quantil . H0 ablehnen, wenn Signifikanz niveau: α k n Sicherheitswahrscheinlichkeit γ = 1 − α H0 : p ≤ p 0 H0 : p = p 0 H0 : p ≥ p 0 H1 : p > p 0 H1 : p , p 0 H1 : p < p 0 b p − p0 x(Nor(0, 1), 1 − α) ∼ Nor(0, 1) σ √ n x(Nor(0, 1), x(Nor(0, 1), 1 − α2 ) 1 − α) Zbere > x(Nor(0, 1), 1 − α) |Zbere | > x(Nor(0, 1), 1 − α2 ) Zbere = e s Iunten = X − x(T (n − 1), 1 − α2 ) · √ n−1 e s Ioben = X + x(T (n − 1), 1 − α2 ) · √ n−1 n P xi i=1 Mittelwert X = n v u u n tP (xi − X)2 i=1 e s= n−1 Zbere < −x(Nor(0, 1), 1 − α) G.14 Konfidenzintervall für den Erwartungswert unter Normalverteilung Bei unbekannter Varianz = G.15 Konfidenzintervall für die Standardabweichung unter Normalverteilung bei unbekanntem Erwartungswert 1 − α–Konfidenzintervall I1−α = [Iunten ; Ioben ] √ e s· n−1 Iunten = q x(χ2 (n − 1), 1 − α2 ) √ e s· n−1 Ioben = q x(χ2 (n − 1), α2 ) n P xi i=1 Mittelwert X = n Signifikanz niveau: α 265 1 − α–Konfidenzintervall I1−α = [Iunten ; Ioben ] Länge des 1 − α–Konfidenzintervalls L1−α e s 2 · x(T (n − 1), 1 − α2 ) · √ n−1 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 G.12 Test auf µ unter Normalverteilung bei unbekannter Varianz Länge √des 1 − α–Konfidenzintervalls L1−α √ e s· n−1 e s· n−1 − q q x(χ2 (n − 1), α2 ) x(χ2 (n − 1), 1 − α2 ) Der kritischer Wert x(χ2 ((n − 1) · (m − 1)); 1 − α) ist aus einem Tafelwerk abzulesen G.18 Chi Anpassungstest für diskreten Wahrscheinlichkeiten falls Xbere > x(χ2 ((n − 1) · (m − 1)); 1 − α), ist H0 auf dem α–Signifikanzniveau abzulehnen = x(χ2 (n), π) wird in der Literatur meistens mit χ2n,π bezeichnet i xi ai pi ei 1 x1 a1 p1 e1 2 .. . x2 .. . a2 .. . p2 .. . e2 .. . n−1 xn−1 an−1 pn−1 en−1 xn an pn = 1 + p1 -. . . -pn−1 en a 1 a n G.16 Chi Quadrat Unabhängigkeitstest G.17 zentrale Schwankungsintervall ... ... j=m Ym Σ Das einfache zentrale Schwankungsintervall ist [µ − σ; µ + σ] i=1 .. . X1 .. . a1,1 .. . ... .. . a1,m .. . a1,• . .. . Das zweifache zentrale Schwankungsintervall ist [µ − 2σ; µ + 2σ] i=n Xn an,1 ... an,m an,• Σ a•,1 ... a•,m a•,• Das dreifache zentrale Schwankungsintervall ist [µ − 3σ; µ + 3σ] H1 : X und Y sind abhängig absolute Häufigkeit ai, j Σ a= j=1 Y1 H0 : X und Y sind unabhängig . Bei jeder Zufallsvariable X sind wegen Pr(|X − 1 E[X]| ≥ kσ[X]) ≤ 2 k n P ai i=1 pi gegeben bzw. gerechnet absolute Häufigkeit ai erwartete Häufigkeit ei = api ei > 1 für alle i und ei > 5 für mindestens 80% alle i, sonst Nachbarklassen zusammenfassen H0 : Pr(xi ) = pi für alle i H1 : Pr(x j ) , p j für mindestens ein j • im Intervall [µ − 2σ; µ + 2σ] mindestens 75% Test-statistik: Xbere = • im Intervall [µ − 3σ; µ + 3σ] mindestens 89% α sonst α = 0.05 erwartete Häufigkeit ei, j ei, j ai,• · a•, j = a•,• Bedingung ei, j > 5 für alle i und j Test-statistik: Xbere • im Intervall [µ − 4σ; µ + 4σ] mindestens 93.75% aller xi –Werte zu erwarten n (ai − ei )2 P ei i=1 Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1); 1 − α) ist aus einem Tafelwerk abzulesen falls Xbere > x(χ2 (n − 1); 1 − α), ist H0 auf dem α–Signifikanzniveau abzulehnen 266 α sonst α = 0.05 n P m (ai, j − ei, j )2 P = ei, j i=1 j=1 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 Sicherheitswahrscheinlichkeit γ = 1 − α v u u n tP (xi − X)2 i=1 e s= n−1 i xi ai pi ei 1 x1 a1 p1 e1 2 .. . x2 .. . a2 .. . p2 .. . e2 .. . n−1 xn−1 an−1 pn−1 en−1 xn an pn en a 1 a n Σ Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) ist aus einem Tafelwerk abzulesen falls Xbere > x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α), ist H0 auf dem α–Signifikanzniveau abzulehnen H1 : Es liegt nicht eine Geometrische Verteilung vor . G.20 Chi Anpassungstest für die Wahrscheinlichkeiten einer Geometrische Verteilung ai pi ei 1 a1 p1 e1 2 .. . a2 .. . p2 .. . e2 .. . pi = b p n−1 an−1 pn−1 en−1 Anzahl der geschätzten Parameter m >n .. . an .. . pn = 1 - p1 -. . . -pn−1 .. . en .. . absolute Häufigkeit ai Σ a 1 a a= ai i=1 b p gegeben bzw. geschätzt b p= 1 n erwartete Häufigkeit ei = api a= H1 : Es liegt nicht eine Diskrete Gleichverteilung vor Test-statistik: Xbere Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) ist aus einem Tafelwerk abzulesen falls Xbere > x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α), ist H0 auf dem α–Signifikanzniveau abzulehnen . G.21 Chi Anpassungstest für die Wahrscheinlichkeiten einer Binomialverteilung pi ei 0 a0 p0 e0 1 a1 p1 e1 2 .. . a2 .. . p2 .. . e2 .. . pi = PrGeo(bp) (X = i) für i < n n−1 an−1 pn−1 en−1 n an pn = 1 - p1 -. . . -pn−1 en Anzahl der geschätzten Parameter m Σ a 1 a i=1 n P iai i=1 a b p gegeben bzw. geschätzt b p= absolute Häufigkeit ai 1 X a= n P i=0 ai . 267 α sonst α = 0.05 ai α sonst α = 0.05 n (ai − ei )2 P ei i=1 ai X= H0 : Es liegt eine Diskrete Gleichverteilung vor n P Test-statistik: Xbere = i ei > 1 für alle i und ei > 5 für mindestens 80% alle i, sonst Nachbarklassen zusammenfassen n (ai − ei )2 P = ei i=1 ei > 1 für alle i und ei > 5 für mindestens 80% alle i, sonst Nachbarklassen zusammenfassen H0 : Es liegt eine Geometrische Verteilung vor i n P erwartete Häufigkeit ei = api Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 G.19 Chi Anpassungstest für die Wahrscheinlichkeiten einer Diskrete Gleichverteilung G.22 Chi Anpassungstest für die Wahrscheinlichkeiten einer Poissonverteilung iai i=0 a b p gegeben bzw. geschätzt b p= X n ai pi ei 0 a0 p0 e0 Anzahl der geschätzten Parameter m 1 a1 p1 e1 absolute Häufigkeit ai 2 .. . a2 .. . p2 .. . e2 .. . n−1 an−1 pn−1 en−1 ei > 1 für alle i und ei > 5 für mindestens 80% alle i, sonst Nachbarklassen zusammenfassen >n .. . an .. . pn = 1 - p1 -. . . -pn−1 .. . en .. . H0 : Es liegt eine Binomialverteilung vor Σ a 1 a erwartete Häufigkeit ei = api H1 : Es liegt nicht eine Binomialverteilung vor Test-statistik: Xbere α sonst α = 0.05 n (ai − ei )2 P = ei i=0 α sonst α = 0.05 n (ai − ei )2 P ei i=0 Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) ist aus einem Tafelwerk abzulesen i pi = PrBin(n,bp) (X = i) für i < n Test-statistik: Xbere = a= X= n P falls Xbere > x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α), ist H0 auf dem α–Signifikanzniveau abzulehnen . ai i=0 n P iai i=0 a Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) ist aus einem Tafelwerk abzulesen b λ gegeben bzw. geschätzt b λ=X falls Xbere > x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α), ist H0 auf dem α–Signifikanzniveau abzulehnen Anzahl der geschätzten Parameter m pi = PrPoi(bλ) (X = i) für i < n absolute Häufigkeit ai erwartete Häufigkeit ei = api ei > 1 für alle i und ei > 5 für mindestens 80% alle i, sonst Nachbarklassen zusammenfassen G.23 Chi Anpassungstest für die Wahrscheinlichkeiten einer Normalverteilung i Klassen ai pi ei 1 ] − ∞, x1 ] a1 p1 e1 ]x1 , x2 ] .. . a2 .. . p2 .. . e2 .. . ]xn−2 , xn−1 ] an−1 pn−1 en−1 ]xn−1 , +∞[ an pn en a 1 a 2 .. . n−1 n Σ a= n P . Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 X= n P ai i=1 x1 ,i = 1 Klassenmitte ci = 0.5(xi + xi−1 ) , 1 < i < n xn−1 ,i = n n P ci a i i=1 H0 : Es liegt eine Poissonverteilung vor X= H1 : Es liegt nicht eine Poissonverteilung vor b µ gegeben bzw. geschätzt b µ=X a 268 (ci − b µ )2 a i G.24.2 absorbierende Markow–Kette i=1 b σ gegeben bzw. geschätzt b σ= a F Nor(bµ,bσ2 ) (x1 ) ,i = 1 pi = 2 2 F (x ) − F (x ) , 1 <i<n Nor(b µ,b σ ) i Nor(b µ,b σ ) i−1 1 − p1 − · · · − pn−1 ,i = n Anzahl der geschätzten Parameter m • Q = {q0 , . . . , qn−1 } ist eine endliche Menge von Zuständen • δ : Q × Q → [0, 1] ist eine Übergangswahrscheinlichkeiten, wobei δ(qi , q j ) die Wahrscheinlichkeit angibt, dass man von Zustand qi in Zustand q j wechselt. (der Markow– Kette ist homogen, da alle δ(qi , q j ) sind konstant über die Zeit) absolute Häufigkeit ai erwartete Häufigkeit ei = api n × n–Übergangswahrscheinlichkeiten–Matrix U = (ui, j )1≤i, j≤n mit ui, j = δ(qi , q j ) ei > 1 für alle i und ei > 5 für mindestens 80% alle i, sonst Nachbarklassen zusammenfassen H0 : Es liegt eine Normalverteilung vor G.24.1 ergodische Markow–Kette H1 : Es liegt nicht eine Normalverteilung vor Anfangsverteilung π0 Test-statistik: Xbere = α sonst α = 0.05 n (ai − ei )2 P ei i=1 Der kritischer Wert x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α) ist aus einem Tafelwerk abzulesen falls Xbere > x(χ2 (n − 1 − m); 1 − α), ist H0 auf dem α–Signifikanzniveau abzulehnen G.24 Markow–Kette Verteilung πi = UT πi−1 mit i > 0 Für Stationäre Verteilung s = und s1 + · · · + sn = 1 s1 .. . sn Die Zeilen der n × n–Grenzmatrix G mit G = lim Uk k→∞ 1 s1 . erwarteter Rückkehrzeitsvektor τ = .. 1 sn Eine homogene Markow–Kette ein 2–Tupel: M := (Q, δ), wobei Eine Markow–Kette heisst absorbierend, wenn sie mindestens einen absorbierenden Zustand hat und dieser von jedem transienten Zustand aus (in beliebig vielen Schritten) erreicht werden kann Sei M := (Q = {q1 , . . . , qn−m , qn−m+1 , . . . , qn }, δ) eine absorbierende homogene Markow–Kette mit R = {qn−m+1 , . . . , qn } Menge der Randzustände R Zerlegung der P Y 0m,n−m Em Übergangsmatrix U = 1. Mittelwertsregel Für die Absorptionswahrscheinlichkeit ai, j von qi (mit 1 ≤ i ≤ n − m) aus in einem Randzustand q j (mit n − m + 1 ≤ j ≤ n) absorbiert zu werden, gilt gilt s = UT s sind die stationäre Verteilung s; d.h. gi, j = s j Ein Zustand heisst absorbierend, wenn er nicht verlassen werden kann. ai, j = ui, j + n−m P ui,k ak, j k=1 Dozent Mohamed Naji http://iba-nuernberg.fu-academy.de BWL Statistik 2 v u u n tP Für die (n − m) × m–Absorptionsmatrix A gilt A = (E − P)−1 Y 2. Mittelwertsregel: Mittlere Wartezeiten Für die mittlere Anzahl der Schritte wi (mit 1 ≤ i ≤ n − m) von qi aus bis zur Absorption in R gilt wi = 1 + n−m P ui,k wk k=1 Für den Vektor w gilt w = 1n−m + Pw, mit 1n−m der Einsvektor mit n − m Einsen 269