Übung 12 – Lösungen

Dr. J.-M. Wagner
Arbeitsgruppe „Funktionale Nanomaterialien“ (Prof. Dr. R. Adelung)
SS 2017
Übung 12 – Lösungen
Aufgabe 30: Ladungsträgerdichten von dotierten Halbleitern
a) Die Fermi-Energie eines intrinsischen Halbleiters liegt immer etwa in der Mitte der Bandlücke (siehe Abbildung). Eigenleitung liegt vor, wenn der Aufweichungsbereich der FermiVerteilung die Bandlücke abdeckt, das gilt für Temperaturen mit 4kBT ≥ EG. Bei EG = 1 eV
(Näherungswert für Silizium) ergibt sich also kBT ≥ 0,25 eV, und das ist das Zehnfache dessen,
was man bei Raumtemperatur hat; mithin beträgt die zugehörige Temperatur also mindestens
3.000 K. Dann ist Silizium aber nicht mehr fest, sondern flüssig, denn es schmilzt bei 1410 °C
= 1683 K (und verdampft erst bei 3260 °C = 3533 K). Um bei Silizium überhaupt eine
nennenswerte Leitfähigkeit zu erreichen, kommt man also nicht umhin, es zu dotieren.
b) Es handelt sich um einen n-dotierten Halbleiter, weil das zusätzlich in der Bandlücke auftretende Energieniveau knapp unterhalb der Leitungsbandkante liegt; aus Gründen der Energieerhaltung erhöht dieses Dotierniveau nur die Besetzung des Leitungsbands, nicht aber die
des Valenzbandes. Zur n-Dotierung dienende Fremdatome heißen Donatoren. Daneben gibt es
noch die p-Dotierung mit Akzeptoren.
c) Silizium hat eine effektive Zustandsdichte im Leitungs- und Valenzband von jeweils ungefähr 2 × 1019 cm–3, typische Dotierstoffdichten liegen im Bereich 1014…1019 cm–3, die effektive Zustandsdichte in den Bändern ist also um bis zu 5 Größenordnungen (100…105 cm–3)
größer als die der Dotierstoffniveaus.
d) In der Näherung mit der effektiven Zustandsdichte Neff ergibt sich die zugehörige Besetzung (Elektronendichte) einfach durch Multiplikation mit der Besetzungswahrscheinlichkeit;
diese ist im allgemeinen Fall die Fermiverteilung, meist aber kann man die BoltzmannNäherung verwenden:
 E  EF 
n( E )  N eff f ( E ; E F , T )  N eff exp 
.
 k BT 
e) Wegen
x
1
E  EF
k BT
EF  E
E  EF

genügt es zu zeigen, daß 1  f ( x)  f (  x) gilt, wobei hier
k BT
k BT
gewählt ist. Für die Fermi-Verteilung
f ( x) 
1
1 ex
hat man 1  f ( x) 
1
1  ex 1
ex
1


. Erweitern mit e  x liefert 1  f ( x)   x
 f ( x ) , q.e.d.
x
x
x
1 e
1 e
1 e
e 1
Wird ein Elektron vom Valenzband ins Leitungsband gehoben, so „entsteht“ im Valenzband
ein Loch. Also läßt sich die Besetzungswahrscheinlichkeit für die Löcher als 1 – f berechnen.
Dies führt zu einer Vertauschung von E und EF im Zähler des Exponenten der FermiVerteilung. Die Besetzungswahrscheinlichkeiten für Löcher und Elektronen sind somit spiegelsymmetrisch zur Fermi-Energie.
f) Siehe Abbildung: gepunktete rote Linie. „Geladensein“ bedeutet hier Nichtbesetzung, d. h.
der vorgegebene Wert von 1/5 bezieht sich auf 1 – f(ED), d. h. 0,2 = 1 – f(ED) bzw. f(ED) = 1 –
0,2 = 0,8. Daher gilt hier EF > ED.
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g) Siehe Abbildung: gepunktete rote Linie. Wegen der Nichtbesetzung ist hier EF < ED. Damit
sieht es zwar zunächst so aus, als wäre das Leitungsband ebenfalls nicht besetzt, aber weil dessen effektive Zustandsdichte um mehrere Zehnerpotenzen größer ist als die des Dotierniveaus,
genügt die geringe Besetzungswahrscheinlichkeit, um die entsprechende Dichte an Ladungsträgern aufzunehmen.
(Ergänzung: Quantitativ gilt hier ND ≈ Neff exp[–(EL – EF)/(kBT)], und mit den exemplarischen
Werten ND = 1016 cm–3 und Neff = 2  1019 cm–3 folgt exp[–(EL – EF)/(kBT)] ≈ 5  10–4, d. h.
bei Raumtemperatur ist EL – EF = 4  ln(5)  25 meV ≈ 160 meV. Andererseits ist in Silizium
typischerweise EL – ED ≈ 50 meV, somit ist hier EF < ED; q.e.d.)
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h) Bei Raumtemperatur sind im Silizium nahezu alle Dotieratome geladen, weil ihr Dotierniveau energetisch nah beim betreffenden Band liegt (hier: das Leitungsband). Daher beschreibt
die Situation von Aufgabenteil g) die Ladungsträgerverteilung bei Raumtemperatur. Daß alle
Dotieratome geladen sind, bedeutet hier, daß die Dichte der Majoritäten im Leitungsband
gleich der Dichte der Dotierstoffatome ist. Wenn weniger Dotieratome geladen sind, befinden
sich auch weniger Majoritäten im Leitungsband, folglich ist der Aufweichungsbereich der
Fermiverteilung kleiner und damit auch die Temperatur. Dies entspricht der Situation von Aufgabenteil f), und somit bezieht sich Aufgabenteil f) auf eine Temperatur, die niedriger ist als
Raumtemperatur.
i) Siehe Abbildung: grüne Kurven.
j) Siehe Abbildung: violette Balken (dekadisch-logar. Maßstab: Größenordnung relevant!).
k) Siehe Abbildung.
l) Die Zustandsdichten sind in der Abbildung wie folgt markiert: Die besetzten Anteile sind
gelb gekennzeichnet und die unbesetzten sind in Türkis eingezeichnet.
Aufgabe 31: pn-Übergang als (Leucht-)Diode
a) Im p-Halbleiter befinden sich viele Löcher, und zwar in guter Näherung so viele wie Dotieratome (Akzeptoren): nh(p-HL) = NA. Im n-Halbleiter befinden sich nur wenige Löcher; deren
Dichte kann bei nicht zu niedriger Temperatur wie folgt vermittels des Massenwirkungsgesetzes aus der Dichte der Dotieratome bestimmt werden: nh(n-HL) = (ni)2 / ND. Daher gibt es
einen Dichtegradienten für die Löcher, der nach dem 1. Fickschen Gesetz zu einem Diffusionsstrom der Löcher vom p- in den n-Halbleiter führt.
b) Durch den Zustrom von Löchern aus dem p-Halbleiter ist der angrenzende Bereich des nHalbleiters positiv geladen, und wegen der Ladungserhaltung ist der angrenzende Bereich des
p-Halbleiters negativ geladen (fehlende Löcher). Damit resultiert folgendes elektrisches Feld:

E
p-HL
RLZ
n-HL
 
c) Die sich entsprechend U = – E  dx einstellende Potentialdifferenz heißt Kontaktspannung
bzw. „built-in voltage“ (Ubi).
d) Die Kontaktspannung hängt über die Boltzmannverteilung mit den Löcherdichten zusammen (nh im n-HL [Minoritäten], nh,0 im p-HL [Majoritäten]): nh / nh,0 = exp[–eUbi/(kBT)].
e) Die im n-HL per „random walk“ in die RLZ gelangten Löcher werden durch das E-Feld
beschleunigt, was zu einem sogenannten Feldstrom vom n- in den p-Halbleiter führt.
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f) Das Massenwirkungsgesetz folgt aus der Boltzmann-Näherung der Fermi-Verteilung und
beschreibt daher die Ladungsträgerdichten im Fall des thermodynamischen Gleichgewichts. Die
Besetzung des Leitungsbandes mit Elektronen (und damit auch die Besetzung des Valenzbandes mit Löchern) ergibt sich im thermodynamischen Gleichgewicht allein aus der thermischen Anregung (Band-Band-Übergang), daher werden die als Feldstrom in den p-HL
gelangten Löcher durch thermische Anregung „nachgeliefert“ (generiert).
g) Im thermodynamischen Gleichgewicht kompensiert der Feldstrom der Löcher vom n- in
den p-HL den im Aufgabenteil a) behandelten Diffusionsstrom der Löcher vom p- in den n-HL.
Beide Ströme sind vorhanden, denn es sind jeweils unterschiedliche Löcher, die „loslaufen“,
und die jeweiligen „Antriebsmechanismen“ der Ströme sind unabhängig voneinander.
h) Weil die „Quelle“ des thermisch angeregten Löcherstroms vom n- in den p-HL die Minoritätsladungsträger sind, nennt man den Feldstrom auch Minoritätsstrom bzw. Generationsstrom.
Analog dazu fließen thermisch angeregte Elektronen, die per Diffusion in die RLZ gelangen,
als Feldstrom aus dem p- in den n-HL. Der Diffusionsstrom der Löcher vom p- in den n-Halbleiter ist ein Majoritätsstrom; dementsprechend fließt ein Majoritätsstrom von Elektronen vom
n- in den p-HL, der ebenfalls ein Diffusionsstrom ist (wegen der höheren Dichte der Elektronen
im n-HL).
i) Banddiagramm für Iext = 0 (d. h. es ist auch Uext = 0) inklusive der Teilströme (in der Bildunterschrift werden bereits Bezeichnungen verwendet, die zu späteren Teilaufgaben gehören):
p-HL
n-HL
RLZ
EL
1
2
EL
EF
EF
EV
3
4
EV
1
2
3
4
Durchlaßstrom (Elektronen) = Majoritäts-, Diffusions- oder Rekombinationsstrom
Sperrstrom (Elektronen) = Minoritäts-, Feld-, Drift- oder Generationsstrom
Sperrstrom (Löcher) = Minoritäts-, Feld-, Drift- oder Generationsstrom
Durchlaßstrom (Löcher) = Majoritäts-, Diffusions- oder Rekombinationsstrom
j) Für die beiden möglichen Polungsrichtungen der externen Spannung Uext fließt der Nettostrom jeweils in anderer Richtung über den pn-Übergang. Dafür kommen offenbar nur jeweils
die Ströme der Minoritäten oder der Majoritäten in Betracht; es ist also zu klären, welche
Polung der externen Spannung jeweils welche Ströme begünstigt.
Der Sperrstrom zeichnet sich durch zwei Eigenschaften aus: Es ist ein sehr kleiner Nettostrom,
und er ist praktisch unabhängig von der extern angelegten Spannung. Diese beiden Eigenschaften treffen nur auf die thermisch generierten Minoritätsströme zu: Die thermische Generationsrate ist unabhängig von der externen Spannung, und der „Antrieb“ der Minoritätsströme ist das
elektrische Feld der Raumladungszone. Letzteres kann zwar von der äußeren Spannung ver4
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stärkt oder abgeschwächt werden, aber es ist praktisch immer vorhanden. Daher ist der Sperrstrom des pn-Übergangs der thermisch generierte Minoritätsstrom. Er fließt immer, d. h. unabhängig von der Polung der angelegten Spannung. Als Nettostrom tritt er nur in Erscheinung,
wenn kein Majoritätsstrom fließt, daher klärt sich die Polungsrichtung der Spannung, die zum
Sperrstrom als Nettostrom führt, anhand der Betrachtung des Durchlaßstromes.
Der Durchlaßstrom zeichnet sich durch zwei Eigenschaften aus: Er ist ein stark von der externen Spannung abhängiger Strom, der bei der einen Polung der externen Spannung komplett
unterdrückt werden kann, bei anderer Polung aber exponentiell ansteigt. Diese beiden Eigenschaften treffen nur auf die Majoritätsströme zu: Majoritätsladungsträger sind in großer Zahl
vorhanden, und der „Antrieb“ der Majoritätsströme ist der Dichtegradient: Die Majoritätsströme sind Diffusionsströme, wobei ihre Stärke entscheidend von der Potentialbarriere abhängt,
welche ihnen aufgrund des elektrischen Feldes in der Raumladungszone entgegensteht. Deren
Höhe kann wiederum durch die äußere Spannung beeinflußt werden, denn diese ändert (je nach
Polungsrichtung) die potentielle Energie der Elektronen und Löcher: Bei Anlegen des externen
Pluspols an den n-HL wird die Energie der Elektronen abgesenkt (wie bei einem Potentialtrichter eines Atoms mit höherer Ordnungszahl im Vergleich zu einem mit niedrigerer), so daß sich
die Potentialbarriere des pn-Übergangs effektiv vergrößert. Weil dies den Diffusionsstrom
reduziert, ist dies ist die Sperrichtung. Der Minuspol am n-HL führt zu einer Erhöhung der
potentiellen Energie der Elektronen, so daß die Potentialbarriere des pn-Übergangs effektiv
abnimmt; dies begünstigt den Diffusionsstrom und ist also die Durchlaßrichtung.
Weil sich die Energie eines Elektrons bzw. Lochs durch die äußere Spannung um qUext ändert,
wird auch die Potentialbarriere um diesen Wert geändert. Weil die Höhe der Potentialbarriere
durch die Kontaktspannung Ubi beschrieben wird, bedeutet dies, daß sich die äußere Spannung
direkt auf die Höhe der effektiv am pn-Übergang abfallenden Spannung auswirkt.
(Anschaulich kann die Polungsrichtung der externen Spannung bereits so verstanden werden,
daß unter Sperrspannung die jeweiligen Majoritäten „abgesaugt“ werden; dabei stellt sich ein
stationärer Nettostrom ein, weil die abgesaugten Majoritäten durch den Feldstrom der Minoritäten „nachgefüttert“ werden. Deshalb nennt man eine Sperrspannung auch Saugspannung.
Beim Anlegen einer Spannung in Durchlaßrichtung werden dagegen zusätzliche Majoritäten
injiziert, was zu einer Verkleinerung der Raumladungszone und damit zu einem Anstieg des
Diffusionsstroms führt. – Diese Anschauung ist zwar richtig, führt aber nicht zum quantitativen
Verständnis des exponentiellen Durchlaßverhaltens einer Diode.)
k) Der Majoritätsstrom ist gegeben durch IMaj = |IMin| exp[eUext/(kBT)], wobei Uext im Exponenten positiv ist, weil die äußere Spannung in Durchlaßrichtung die Potentialbarriere des pnÜbergangs reduziert: Aus der Diskussion in j) folgt, daß Uext entgegengesetzt zu Ubi gepolt ist;
vgl. Aufgabenteil d). Weil im Gleichgewicht Uext = 0 ist und sich im Gleichgewicht die Majoritäts- und Minoritätsströme kompensieren, ist der Vorfaktor betragsmäßig gleich dem Minoritätsstrom.
l) Es ergibt sich die Diodengleichung als Summe der in j) beschriebenen Teilströme, wobei die
Polung der externen Spannung zu berücksichtigen ist, wie sie in k) diskutiert wurde, und es ist
die Richtung zu beachten: Minoritätsstrom ist Sperrstrom, daher negatives Vorzeichen:
 eU 
I Diode  I Maj  I Min  I Min exp  ext   I Min  I Min
 k BT 


 eU  
 eU  
 exp  ext   1 : I 0  exp  ext   1




 k BT  
 k BT  


(Es ist allgemein üblich, den Vorfaktor, der die Stärke des Diodenstroms bestimmt, mit I0
abzukürzen; er umfaßt sämtliche thermisch bedingten Minoritätsströme, d. h. er besteht aus
einem Beitrag der Löcher und einem der Elektronen.)
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m) Eine effizient funktionierende Leuchtdiode setzt einen direkten Halbleiter voraus, weil nur
von einem Material mit einer direkten Bandlücke effizient Licht emittiert werden kann. Die
Lichtemission geschieht bei der Rekombination von Minoritäts- und Majoritätsladungsträgern,
d. h. sie setzt die Anwesenheit von Minoritäten voraus. Deren Dichte ist aber in einem dotierten Halbleiter im thermodynamischen Gleichgewicht vernachlässigbar klein. Erst durch die zusätzlichen Ladungsträger, die per Diffusionsstrom über den pn-Übergang gelangt und dann zu
Minoritäten gewordenen sind, kann es zur Lichtemission kommen; von ihrem Rekombinationsverhalten hängt es ab, ob Licht oder Wärme frei wird.
n) Die Diodenkennlinie, die sich entsprechend der Gleichung in Aufgabenteil l) ergibt, ist in
der folgenden Abbildung gezeigt. Die absoluten Zahlenwerte orientieren sich an einer SiliziumDiode, erkennbar an der Größe der Durchlaß- bzw. Schwellenspannung.
IDiode / mAcm
-2
30
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
30
20
20
10
10
0
0
JDiode /
mAcm–2
-10
-10
-20
-20
-30
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
-30
Uext / V
o) Die Durchlaßspannung (bzw. Schwellenspannung) hängt zum einen von der Bandlücke des
HL-Materials ab: Je größer die Bandlücke, desto größer die Kontaktspannung bzw. „built-in
voltage“, weil die Fermi-Energie im n-HL und im p-HL jeweils in der Nähe der Bandkanten
liegt. Eine größere Kontaktspannung stellt eine größere Potentialbarriere für den Diffusionsstrom dar, und also ist auch die Schwellenspannung größer. Andererseits hängt der Wert der
Schwellenspannung noch von der absoluten Stromstärke ab, die bei einer gegebenen Spannung
fließt, d. h. sie hängt vom Vorfaktor I0 ab. Dies hängt mit der linearen Auftragung der Kennlinie zusammen: Die Kennlinie selbst ist exponentiell, d. h. der Strom ist nie null. Würde man
die Kennlinie logarithmiert auftragen, könnte man daran keine Schwellenspannung festmachen.
Vielmehr hängt es vom jeweiligen Anwendungsfall ab, welche Stromstärke man als Schwellenwert für das Durchschalten der Diode ansieht. In einer linearen Auftragung führt dann diese
Wahl für den Stromstärkebereich zum exponentiellen Anstieg und damit zur Ablesbarkeit eines
Wertes für die Schwellenspannung. Denn was man bei einer linearen Auftragung als „von null
verschieden“ ansieht, hängt davon ab, welche Maßeinheit man gewählt hat. Die Abhängigkeit
von der absoluten Stromstärke und damit von I0 bedeutet, daß eine größere Rekombinationsrate (kleinere Lebensdauer der Minoritäten), die zu einem größeren I0 führt (der Durchlaßstrom ist ein Rekombinationsstrom!), zu einer Verringerung der Schwellenspannung führt.
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Aufgabe 32: Stark asymmetrischer Kontakt
a) Als stationäre Ladungen der Raumladungszone eines stark asymmetrischen pn-Übergangs
gedeutet, ergibt sich anhand des Vorzeichens der Ladungen, welche Sorte Majoritäten jeweils
für die Ladungsneutralität fehlen: Auf der linken Seite ist die stationäre Ladung negativ, d. h.
es fehlen positive Ladungen, also sind dort Löcher die Majoritäten; folglich ist dies effektiv die
p-dotierte Seite. Auf der rechten Seite ist die stationäre Ladung positiv, d. h. es fehlen negative
Ladungen, also sind dort Elektronen die Majoritäten; dies ist effektiv die n-dotierte Seite.
b) Einen Spannungsabfall gibt es nur dort, wo ein elektrisches Feld vorhanden ist, denn es gilt
(vereinfachend) U = E · d. Da sich aber die negativen Ladungen praktisch alle an der Grenzfläche befinden, enden alle Feldlinien, die von den positiven Ladungen auf der rechten Seite
ausgehen, bereits an der Oberfläche. Daher kann sich auf der linken Seite kein Spannungsabfall
(= Potentialdifferenz) ergeben. Vielmehr ist zu erwarten, daß die Feldstärke abrupt von einem
endlichen Wert auf null geht.
c) Aus der Poisson-Gleichung, betrachtet nur für 0 < x < W (weil sich außerhalb davon keine
kontinuierliche Ladungsdichte befindet), folgt:

d 2
  0 ,  (0)  0
2
 0 r
dx
x


d
   0 dx   0 x  C
dx 0  0 r
 0 r

x
 

0
  ( x)     0 x  C dx  
x 2  Cx  D


2


0 r
0 r

0
mit den Integrationskonstanten C, D. Aus den Randbedingungen folgt für die Integrationskonstanten: 1.)  (0)  0  D = 0; 2.) außerhalb des Raumladungsbereiches ist der Halbleiter
feldfrei, d.h. es gibt die Randbedingung

0


(W )  0 
W C  0  C  0 W .
x
 0 r
 0 r
0 2

x  0 Wx . Das läßt
2 0  r
 0 r
0


sich schreiben als  ( x )  
( x 2  2Wx )   0 ( x  W ) 2  0 W 2 , d. h. es ist der
2 0 r
2 0 r
2 0 r
Ast einer nach unten geöffneten Parabel mit Scheitelpunkt bei x = W.
Damit ergibt sich der Potentialverlauf für 0 < x < W zu  ( x )  
d) Skizzen:
– elektrisches Feld [E = – ddx  ( x) ]
– Potentialverlauf  (x )

U
E
W
W
x
x

7
0
W
0r
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e) Für den gesamten Spannungsabfall Ubi über der Raumladungszone ergibt sich:
U bi   (W )   (0) 
0
0
W2 0
W2
2 0 r
2 0  r
f) Das Banddiagramm kann anhand der bislang ermittelten Ergebnisse nur für den Bereich der
positiven Raumladung gezeichnet werden; es läßt sich aber leicht zu einem vollständigen Banddiagramm eines Schottky-Kontaktes machen, indem man berücksichtigt, daß im thermodynamischen Gleichgewicht die Fermi-Energie durchgängig denselben Wert hat. Der in d) gezeichnete Potentialverlauf bezieht sich auf die potentielle Energie einer positiven Probeladung, das
Banddiagramm bezieht sich aber auf die Energie der Elektronen. Weil diese eine negative
Ladung tragen, ist für sie der Potentialverlauf an der x-Achse zu spiegeln (man vergleiche die
folgende Abbildung mit dem Bandverlauf des pn-Übergangs, Teil i) von Aufgabe 31, rechts):
Kontakt bei x = 0
E
EL
RLZ
quasi n-Typ
EL
EF
EF
EV
EV
W
x
Für die Löcher ist das immer noch der richtige Potentialverlauf, denn wie wir bei Aufgabe 30,
Punkt e) gesehen haben, ist die Energieachse für Löcher quasi abwärtsgerichtet; zur Kontaktfläche hin bedeutet also der hier gezeigte Verlauf eine Absenkung der Energie – wie unter d).
g) i) Das Ergebnis für Ubi von e) läßt sich umgekehrt interpretieren als Abhängigkeit der
Weite der Raumladungszone vom gesamten Spannungsabfall über der Raumladungszone,
unabhängig davon, ob es sich dabei um das Built-in-Potential oder um eine von außen
angelegte Spannung handelt: W  2 0  r U / 0 (mit der relativen Dielektrizitätskonstanten [„Permittivität“] des Halbleiters r und dem Spannungsabfall U über der Raumladungszone). Die Ladung Q der Raumladungszone ist gegeben durch Q   0 W A , mit
der Ladungsdichte 0 = eND (ND: Dotierkonzentration), der Weite W der Raumladungszone und ihrer Querschnittsfläche A. Damit ergibt sich für die statische Kapazität:
Q  W A eN D A 2  0  r U
1
.
Cstat   0

 A 2 0 r eN D
U
U
U
eN D
U
ii) Für die dynamische Kapazität ergibt sich:
dQ
d 
2 0  rU

0 A

dU dU 
0
 12 Cstat .
Cdyn 
8

  A 2 0 r eN D 1

2 U
