¨Ubungen zu Physik III — Wellen und Quanten Blatt 1

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Universität Regensburg
Institut für Experimentelle
und Angewandte Physik
Dr. Ulrich T. Schwarz
Universitätsstr. 31
D–93053 Regensburg
Telefon: (++49) 0941-943 2113
[email protected]
22. Oktober 2004
Übungen zu Physik III — Wellen und Quanten
Blatt 1
Aufgabe 1
Gegeben ist eine laufende transversale Welle
y(x, t) = 2 cm · sin(628.32 s−1 t − 0.2093 cm−1 x)
Wie groß sind für diese Welle
a) die Amplitude A,
b) die Wellenlänge λ,
c) die Frequenz ν,
d) die Phasengeschwindigkeit v?
Aufgabe 2
Die eindimensionale Wellengleichung lautet
1 ∂2
∂2
=
.
∂x2
v 2 ∂t2
Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionen diese Gleichung lösen.
a) f (x, t) = A cos
2π
λ
(x − vt)
b) f (x, t) = v 2 t2 e−kx
c) f (x, t) = F (x − vt)
d) f (x, t) = B sin kx · cos ωt
Aufgabe 3
Leiten Sie aus den Maxwell–Gleichungen im Isolator
~
~ ×E
~ = −∂B
∇
∂t
~ ×B
~ = 1 ∂E
~
∇
c2 ∂t
~ ·E
~ = 0
∇
~ ·B
~ = 0
∇
~ und E
~ her. Verwenden Sie dazu
die dreidimensionalen Wellengleichungen für die Felder B
die Beziehung
~ ×∇
~ ×Ψ
~ = −∆Ψ
~ +∇
~ (∇
~ · Ψ).
~
∇
Aufgabe 4
Gegeben seien zwei ebene Wellen fast gleicher Frequenz und Wellenänge
Ψ1 = A cos(ωt − kx)
Ψ2 = A cos(ω 0 t − k 0 x)
mit ω 0 = ω + ∆ω und k 0 = k + ∆k.
a) Überlagern Sie die beiden Wellen und diskutieren Sie qualitativ den Verlauf der resultierenden Welle.
b) Skizzieren Sie die resultierende Welle für eine feste Zeit.
c) Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich die Wellenberge der resultierenden Welle?
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26. Oktober 2004
Übungen zu Physik III — Wellen und Quanten
Blatt 2
Quickies
Aufgabe 1
Welche Aussage ist korrekt
a) Violettes und rotes Licht haben im Glas die gleiche Geschwindigkeit.
b) Violettes Licht hat im Glas die höchste, rot die niedrigste Geschwindigkeit.
c) Rotes Licht hat im Glas die höchste, violettes die niedrigste Geschwindigkeit.
d) Grünes Licht hat niedrigere Geschwindigkeit im Glas als rotes und violettes.
e) Rotes Licht hat höhere Geschwindigkeit im Glas als grünes und blaues.
f) Blaues Licht wird stärker gebrochen als rotes.
Aufgabe 2
Ein Puls eines 10 MW Rubin-Lasers hat eine Wellenlänge von 658 nm und die Dauer 1, 5 ms
a) Geben sie die Gesamtenergie eines Pulses an!
b) Wieviele Schwingungsperioden sind in einem Puls?
1
Und jetzt tief Luft holen
Aufgabe 3: Brechung & Fermatsches Prinzip
Sie gehen am Strand spazieren und bemerken plötzlich einen Ertrinkenden, dem sie natürlich
schnellstmöglich zu Hilfe eilen wollen. Da Sie selbst ein guter Schwimmer sind (hoffentlich!),
erreichen Sie im Wasser 20% der Geschwindigkeit, mit der Sie auf Sand laufen.
a) Wie gross ist der Brechungsindex“ des Wassers relativ zum Strand?
”
b) Zeigen Sie, dass der schnellste Weg dem Brechungsgesetz von Snellius genügt!
c) Skizzieren Sie den schnellsten Weg!
Aufgabe 4: Dispersion
Ist es möglich, ein Prisma herzustellen, das das Licht zwar ablenkt, aber nicht in Farben
zerlegt?
Um die Dispersion eines Stoffes quantitativ zu kennzeichen, gibt man die Brechzahl bei
verschiedenen Farben an. Für diesen Zweck werden genügend enge Spektralbereiche z.B.
durch die Fraunhoferlinien gekennzeichnet; als Grunddispersion bezeichnet man die Differenz
nF − nC der Brechungsindices bei Linien F (blau-grün) und C (rot-orange), die Linie D liegt
etwa zwischen Orange und Gelb.
In welchem Verhältnis müssen die brechenden Winkel αKr von Kronglas und αFl von Flintglas zu einander stehen, wenn man aus Prismen dieser beiden Gläser ein achromatisches
Prisma zusammensetzen will?
Kronglas (nD = 1, 51002, nF − nC = 0, 00805)
Flintglas (nD = 1, 61279, nF − nC = 0, 01659)
Aufgabe 5: Refraktion
Aufgrund der kontinuierlichen Dichte- und damit Brechungsindexänderung in der Atmosphäre verlaufen Lichtstrahlen von ausserhalb auf gekrümmten Bahnen, die Winkelabweichung nennt man Refraktion. Um die Refraktion abzuschätzen, nehmen wir an, dass der
Brechungsindex mit n(h) = 1 + ∆ · f (h), f (0) = 1, f (h → ∞) = 0 abnimmt. Berechnen Sie die Ablenkung eines Lichtrahles, der 40◦ über dem Horizont beobachtet wird für
∆n = 0, 000292.
2
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7. November 2004
Übungen zu Physik III — Wellen und Quanten
Blatt 3
Aufgabe 1
Schreiben Sie die Maxwell–Gleichungen
~
~ ×E
~ = −1 ∂ B
∇
c ∂t
(1)
~ ×H
~ = 1 ∂D
~
∇
c ∂t
(2)
~ ·D
~ = 0
∇
(3)
~ ·B
~ = 0
∇
(4)
von der differentiellen Form in die integrale Form um. Dabei ist D = E und B = µH.
Vewenden Sie die integrale Darstellung, um die Randbedingungen der Felder an der Grenzfläche zweier Medien mit unterschiedlichen relativen Dielektrizitätskonstanten 1 und 2 und
relativen Permeabilitäten µ1 und µ2 herzuleiten.
Aufgabe 2
Für eine ebene Welle hat die Amplitude des elektrischen Feldes folgende Form:
~ r , t) = E
~ sin(wt − ~k · ~r + φ) .
E(~
(5)
~ r, t) ab und vergleichen
Leiten Sie den dazugehörigen Ausdruck für das magnetische Feld H(~
Sie die Amplituden des elektrischen und magnetischen Feldes.
1
Aufgabe 3
Die Grenzfläche zwischen zwei Medien sei bei x = 0. Leiten Sie das Snelliussche Brechungsgesetz
ni sin θi = nt sin θt
für einfallenden und gebrochenen Lichtstrahl ab. Verwenden Sie dabei die Maxwell–Gleichungen
und die Ergebnisse der ersten Aufgabe.
Aufgabe 4
Der Lichtstrahle falle auf die Grenzfläche bei x = 0 zwischen zwei Medien mit der gleichen relativen Permeabilität µ1 = µ2 , aber mit unterschiedlichen relativen Dielektrizitätskonstanten
1 6= 2 . Die Richtung des Lichtstrahls sei durch den Vektor ~k = (kx , 0, kz ) gegeben. Leiten
Sie die amplituden des reflektierten und gebrochenen Lichtstrahls ab, wenn das elektrische
Feld des einfallenden Strahls durch folgenden Ausdrucke gegeben ist:
~ r , t) = E
~ sin(wt − ~k · ~r)
E(~
Betrachten Sie dabei zwei Fälle:
a) Der Vektor des elektrischen Feldes hat genau eine nicht verschwindende Komponente
~ = (0, Ey , 0).
Ey , d.h. E
b) Der Vektor des magnetischen Feldes hat genau eine nicht verschwindende Komponente
~ = (0, Hy , 0).
Hy , d.h. H
2
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23. November 2004
Übungen zu Physik III — Wellen und Quanten
Blatt 5
Aufgabe 1: Dicke Linse und Abbildungen im Matrizenformalismus
a) Berechnen Sie die Transformationsmatrix
S~c = Bbc Tb Bab S~a
(1)
für eine dicke Linse mit den Radien rab , rbc , dem Abstand d der Scheitelpunkte und
dem Brechungsindex nb , die sich in Luft (n = 1) befindet.
b) Eine Abbildung werde durch eine Transformationsmatrix MAbb beschrieben:
S~b = MAbb S~g
(2)
Zeigen Sie, daß MAbb die Bedingung MAbb
21 = 0 refüllen muß, damit eine Abbildung
erreicht wird. Geben Sie die Transversalvergrößerung |vT | für diese Abbildung an.
c) Zeigen Sie, daß jedes durch eine Transformationsmatrix beschriebene System durch
Anfügen je einer Translation TL und TL über Abstände h1 vor bzw. h2 hinter dem
System auf die Form einer dünnen Linse gebracht werden kann.
1
Aufgabe 2
Das Geheimnis hinter dem Regenbogen ist eine Bevorzugung ausgezeichnter Richtungen bei
der Lichtbrechung in Regentropfen. Die Dispersion von Licht in Wasser, d.h. die Abhängigkeit des Brechungsindexes von der Wellenlänge, verursacht die Aufspaltung der Farben im
Regenbogen.
a) Berechnen Sie den Winkel ψ = π −(α1 +α2 +α3 ) des ausfallenden Strahles als Funktion
des Abstandes h des einfallenden Strahles relativ zur optischen Achse (siehe Abbildung).
b) Berechnen Sie den maximalen Winkel ψmax für den Hauptregenbogen.
c) Berechnen Sie die Breite des Hauptregenbogens.
(Der Brechungsindex von Wasser ist nr ≈ 1.3318 für rotes Licht und nv ≈ 1.3435
für violettes Licht. Der Wellenlängenunterschied von rotem und violettem Licht ist
∆λ ≈ 300nm).
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25. November 2004
Übungen zu Physik III — Wellen und Quanten
Blatt 6
Aufgabe 1
Konstruieren Sie ein Teleskop aus einer Fresnel–Linse und einer refraktiven Linse.
a) Die diffraktive Objektiv–Linse habe eine Brennweite fOb = 1 m bei der Wellenlänge
λ = 500 nm. Welche Brennweite fOk muß das Okular haben, um eine Vergrößerung
V = 50 zu erreichen?
b) Wie groß ist der Radius der ersten und der 100. Fresnelschen Zone der diffraktiven
Linse? Wie groß ist die Breite des 100. Rings?
c) Berechnen Sie die Abhängigkeit der Brennweite von der Wellenlänge bei λ = 500 nm.
d) Vergleichen Sie das Ergebnis von 1c) mit der chromatischen Aberration einer plankonvexen Linse aus dem Glas BK7, die bei λ = 500 nm die gleiche Brennweite hat. Der
Brechungsindex von BK7 folgt der Sellmaier–Gleichung
Bλ2
n= 1+ 2
λ −C
!1
2
(1)
mit den Koeffizienten B = 1.266 und C = (9.358 × 10−3 ) µm.
Aufgabe 2
a) Leiten Sie einen Ausdruck für die Brennweite einer homogenen transparenten Kugel
mit dem Radius R her. Wo liegen die Hauptebenen?
b) Als Retroreflektoren werden oft Schichten von kleinen Glaskügelchen genommen, deren
Rückseite verspiegelt ist. Welchen Brechungsindex muß das Material der Kügelchen
haben, damit parallele Strahlen auf die Rückseite der Kugel fokusiert und in sich
selbst zurückgeworfen werden?
c) Eine kugelförmige Glasflasche mit einem Durchmesser von 20 cm soll vernachlässigbar
dünne Wände haben und mit Wasser gefüllt sein. Wie groß ist ihre Brennweite?
d) Berechnen Sie unter Beachtung der vorangegangenen Aufgaben die Transversalvergrößerung, die sich ergibt, wenn eine das Bild einer Blume, die 4 m weit entfernt vom
Mittelpunkt einer durchsichtigen Kunststoffkugel von 20 cm Durchmesser und einem
Brechungsindex von n = 1.4 steht, auf eine nahgelegene Wand geworfen wird. Beschreiben Sie das Bild im Detail.
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30. November 2004
Übungen zu Physik III — Wellen und Quanten
Blatt 7
Aufgabe 1: Lichtwellenleiter
Ein Lichtwellenleiter bestehe aus einer Glasfaser, in der der optische Brechungsindex n stufenförmig verläuft: Im inneren Kern ist n = n1 , im äußeren Mantel ist n = n2 < n1 . Dadurch
wird erreicht, daß an der inneren Mantelfläche Totalreflexion auftreten kann, und somit das
Licht über weite Strecken geführt werden kann.
a) Wie groß ist der maximal zulässige Einfallswinkel eines Lichtstrahls aus der Luft (n =
1) auf das Zentrum eines Glasfaserendes, damit noch Totalreflexion eintritt?
b) Wie groß ist in einer Faser der Länge L der Laufzeitunterschied zwischen einem senkrecht einfallenden Lichstrahl und einem Strahl, der unter dem oben ermittelten maximalen Einfallswinkel eintritt?
Zahlenwerte: n1 = 1.474, n2 = 1.453, L = 1km, Lichtgeschwindigkeit in Luft c0 = 3 · 108 ms
Aufgabe 2: Beugung an einer Rechteckblende
Betrachten sie eine Rechteckblende der Höhe h und der Breite b auf die senkrecht eben Welle
einfällt
a) Bestimmen sie die Fouriertransformierte einer Rechteckfunktion Θ(b/2−|x|) der Breite
b.
b) Benutzen sie das Ergebnis von oben um das Fernfeld nach der Blende in der Fraunhofernäherung darzustellen.
c) Bestimmen und skizzieren sie die Intensitätverteilung des Lichts auf einem Schirm
hinter der Blende für h = b und h = 10 · b
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10. Dezember 2004
Übungen zu Physik III — Wellen und Quanten
Blatt 8
Aufgabe 1: Die von einer Na–Dampflampe emittierten Spektrallinien liegen bei 589, 592 nm
und 588, 995 nm. Sie sollen das dispersive Element eines Gitterspektrometers, das in der
zweiten Beugungsordnung arbeitet, bestimmen. Der Beleuchtungsstrahlengang des Spektrometers hat einen Durchmesser von 50 mm, die Länge zwischen dem Gitter und der Beobachtungsebene beträgt 1130 mm. Berechnen Sie
a) Die benötigte Zahl der Gitterspalte, um die gewünschte Auflösung zu gewährleisten.
b) Die Gitterkonstante (Zahl der Gitterlinien pro mm), die benötigt wird, um in der Beobachtungsebene eine Separation der beiden Spektrallinien um 10 µm sicherzustellen.
c) Können Sie mit dem Gitter der berechneten Gitterkonstante ein Spektrometer mit den
gegebenen Spezifikationen bauen, oder müssen Sie weitere (triviale aber möglicherweise
zwingende) Randbedingeungen berücksichtigen? Falls ja: Was ist Ihre Lösung, und
warum?
Aufgabe 2: Zwei Sender A und B strahlen Langwellen ab (λ = 400 m); die Phase der
von A emittierten Welle eilt der Phase der von B emittierten Welle um 90◦ voraus. Ein
Detektor wird so aufgestellt, dass seine Entfernung von rA von A um 100 m größer ist als
die Entfernung rB von B. Mit welcher Phasendifferenz treffen die Wellen am Detektor ein?
Aufgabe 3: Weißes Licht falle von oben durch zwei übereinander liegende, 120 mm breite
Glasplatten. Am linken Rand berühren die Platten einander, am rechten Randsind sie durch
einen 0,048 mm dicken Draht voneinander getrennt. Die Luft zwischen den Platten wirkt als
dünne Schicht, welche Interferenzerscheinungen verursacht: Ein von oben auf die Anordnung
schauender Beobachter erkennt ein Streifenmuster.
a) Schließt das Muster links mit einem hellen oder dunklen Streifen ab?
b) Von diesem Rand aus gesehen folgen Interferenzminima, deren Lage von der Wellenlänge des Lichts abhängt. Welches Minimum liegt dem Rand näher, jenes für das
blaue oder jenes für das rote Ende des sichtbaren Spektrums?
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Universität Regensburg
Institut für Experimentelle
und Angewandte Physik
Universitätsstr. 31
D–93053 Regensburg
Telefon: (++49) 0941-943 2113
[email protected]
Dr. Ulrich T. Schwarz
13. Januar 2005
Übungen zu Physik III — Wellen und Quanten
Blatt 8
Aufgabe 1: Optische Diode
Durch ein magnetisches Feld kann die Umkehrbarkeit des Lichtweges aufgehoben werden.
Eine “Optische Diode” (oder “Optischer Isolator”) ist für Licht nur in einer Richtung
durchlässig. Die optische Diode besteht aus zwei um 45◦ gegeneinander gedrehten Polarisatoren, zwischen denen ein Faraday-Rotator sitzt.
a) Berechnen Sie die Durchlässigkeit in beide Richtungen in Abhöngigkeit vom Drehwinkel
φ der Polarisation im Faraday-Rotator.
b) Wie groß muß das magnetische Feld für optimale Isolation bei 633nm sein, wenn als
Rotator ein 6 cm langer Stab aus einem Material mit einer Verdet–Konstante von
20, 7 rad/Tm (bei 633 nm) verwendet wird?
Aufgabe 2: Polarisator
Ein Glan-Thompson-Polarisator wird hergestellt aus einem Quader aus optisch einachsigem
Kristall (z.B. Kalkspalt), mit Brechzahlen n und optischer Achse (o.A.) parallel zu einer
Kante. Er wird in einem Winkel α schräg zur Stirnfläche und parallel zur optischen Achse
durchgesägt und dann mit einem Kitt der Brechzahl nk wider zusammengeleimt. Senkrecht
auf die Stirnfläche falle je eine ebene Lichtwelle mit E-Vektor senkrecht zur optischen Achse
(Strahl 1) bzw. parallel zu ihr (Strahl 2), siehe Skizze.
a) Welchen der beiden Strahlen bezeichnet man als den “ordentlichen”, welchen als den
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“ausßerordentlichen” Strahl? Begründen Sie Ihre Antwort!
b) Wie groß muß der Schnittwinkel α (s. Skizze) mindestens sein, damit an der Kittstelle
Totalreflexion für Strahl 1 bzw. für Strahl 2 auftritt? Rechnen Sie hier mit nk = 1, 45!
Jeweils einer der beiden Strahlen soll ungebrochen durch das Prisma hindurchgehen.
c) Wie groß muß die Brechzahl nk des Kittes in diesen beiden Fällen sein? Was passiert
in beiden Fällen mit dem jeweils anderen Strahl?
d) Welche Wahl müssen Sie also für die Brechzahl nk treffen, um die Strahlen winkelmäßig
zu trennen? Begründen Sie dies!
e) Welchen Schnittwinkel α muß man mindestens wählen, damit der gebrochene Strahl
totalreflektiert wird?
f) Zeigen Sie, daß der gebrochene, totalreflektierte Strahl aus der oberen Seite des Prismas
nicht austreten kann, wenn α = 65◦ gewählt wird, da dann dort Totalreflexion auftritt!
Angabe: Für Kalkspalt gilt: nmax = n1 = 1, 66
nmin = 1, 49
Aufgabe 3: Optische Aktivität
Linear polarisiertes Licht (E-Vektor schwinge in x-Richtung) wird durch eine Quarzplatte
der Dicke d geschickt. Die Ausbreitungsrichtung z des Lichts stimmt mit der Richtung der
optischen Achse des Quarzes überein. Man zerlege das Licht in links- und rechtszirkularpolarisiertes Licht mit dem Brechungsindexunterschied ∆n = nl − nr = 7, 1 × 10−5 .
a) Berechnen Sie die Polarisation des transmittierten Lichts und zeigen Sie, daß nach der
Quarzplatte wieder linear polarisiertes Licht vorliegt.
b) Geben Sie für das gelbe Natriumlicht (λ = 589 nm) den Drehwinkel α als Funktion der
Dicke d und des Brechungsindexunterschieds ∆n an. Berechnen Sie den Drehwinkel α
nach der Quarzplatte für d = 5 mm.
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und Angewandte Physik
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Dr. Ulrich T. Schwarz
21. Januar 2005
Übungen zu Physik III — Wellen und Quanten
Blatt 11
Aufgabe 1: Reflexion an einem Kristall
Ein Kristall wird mit Licht der Wellenlänge λ unter dem Winkel ϑ angestrahlt. ϑ ist der
Winkel zwischen der Kristalloberfläche und dem Lichtstrahl.
a) Leiten sie die Bedingung für konstruktive Interferenz (Breagg–Bedingung) des reflektierten Lichts unter der Annahme, dass das Licht an Atomebenen im Abstand d reflektiert wird.
b) Nun soll statt Licht ein kollimierter Elektronenstrahl verwendet werden. Die Elektronen durchlaufen dabei die Beschleunigunsspannung U . Bestimmen Sie die de Broglie
Wellenlänge der Elektronen als Funktion der Spannung U
c) Bei welchen Spannungen beobachtet man ein Maximum unter dem Winkel ϑ = 37◦ bei
einem Nickelkristall.
Konstanten: dNi = 2, 18Å, 1Å = 10−10 m
Aufgabe 2: Polarisationszustände
Beschreiben Sie vollständig den Polaristionszustand folgender Wellen:
~ = ~ex E0 cos(kz − ωt) − ~ey E0 cos(kz − ωt)
a) E
~ = ~ex E0 sin (2π[z/λ − νt]) − ~ey E0 sin (2π[z/λ − νt])
b) E
~ = ~ex E0 sin(ωt − kz) + ~ey E0 sin(ωt − kz − π/4)
c) E
~ = ~ex E0 cos(ωt − kz) + ~ey E0 cos(ωt − kz + π/2)
d) E
Aufgabe 3: Und wieder Doppelbrechung
Sie beobachten sich selber durch ein Kalkspatkristall im Spiegel. Sehen sie dann ein Doppelbild von sich selber oder nicht?
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