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Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Der elektrische Dipol Beispiele : Sind zwei unterschiedliche Ladungen (i) Das HCl Molekül: in einem Abstand d angeordnet, dann + und Cl– Ion im Abstand d H liegt ein „elektrischer Dipol“ vor. +q p ed d q Man definiert das Dipolmoment: p qd Das Diplomoment ist ein Vektor, der entlang der Verbindungslinie der beiden Ladungen zeigt. (ii) Induziertes Dipolmoment: Ein äußeres Feld verschiebt den pos. und neg. Ladungsschwerpunkt, z.B. in einem Xe-Atom. E d + dE pE 1 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 (iii) Kompliziertere Ladungsverteilungen können in erster Näherung als Dipol angesehen werden: Das Potential des elektrischen Dipols folgt einfach aus dem Potential der Einzelladungen. Für eine Punktladung q war: 1 q U (r ) 4 0 r U(r) = ? r2 r p qd -q d +q r1 2 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 r2 r1 U (r ) 4 0 r1 r2 q U(r) = ? r2 r -q r1 Das Potential soll nun für einen sehr großem Abstand r von dem Dipol bestimmt werden, d.h. es gilt: r1 , r2 d Dann gilt in guter Näherung (siehe Zeichnung) d r2 r1 d cos +q und r1 r2 r Mit dem dem Superpositionsprinzip ergibt sich das Potential des Dipols zu: Also wird: U (r ) U q U q 1 q q 4 0 r1 r2 2 d cos U (r ) 4 0 r 2 q 3 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 p r cos U (r ) 3 r 4 0 1 Da p r cos p r 1 Punktladung : U (r ) r 1 Dipol : U (r ) 2 r Winkelabhängigkeit: folgt für das Potential eines Dipols p cos in großem Abstand („Fernfeld“) von U (r ) 2 r den beiden Ladungen: 1 pr U (r ) 3 4 0 r Das Potential eines Dipols nimmt mit der Entfernung wesentlich schneller ab als das einer Punktladung. Für große Entfernungen von den Ladungen gilt: y p Potential für r const. r r cos + x 4 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Das Potential eines Dipols im 3D U (r ) 1 U (r ) E ( r ) er e Raum sieht dann so aus: r r q d sin 2 d cos er e 3 3 r r 4 0 4 0 r 1 3 p er er p mit er 3 r r 4 0 q + - Das elektrische Feld des Dipols kann jetzt mit E ( r ) U ( r ) Das Dipolfeld ist kein radiales Feld! Für große Abstände r vom Dipol gilt im Vergleich zur Punktladung: Punktladung : Dipol : 1 E (r ) 2 r 1 E (r ) 3 r berechnet werden. Für das „Fernfeld“ ergibt sich dann (nach einer Das Dipolfeld fällt also schneller mit dem recht mühsamen Rechnung): 5 Abstand ab als das Feld einer Punktladung. Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Das elektrische Feld eines Dipols in zwei und drei Dimensionen: p 6 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Der Dipol im elektrischen Feld Beschränkung auf: Homogenes Feld E p F2 q E -q r2 Die resultierende Kraft auf den Dipol ist: FDipol F1 F2 qE qE 0 Der Dipol ist aber nicht in Ruhe, denn es wirkt ein Drehmoment: +q F1 q E d r1 M Dipol r1 F1 r2 F2 q r1 E q r2 E q r1 r2 E d Mit der Definition des Dipolmo ments p qd folgt für das Drehmoment: M Dipol p E 7 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 8 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Maxwell-Gleichungen für das elektrostatische Feld Wir hatten bisher die folgenden zwei wichtigen Eigenschaften des elektrostatischen Feldes kennengelernt: qges (i) E dA O 0 (ii) E ( r ) U ( r ) Insbesondere gilt für geschlossene Wege, d.h. für Wege mit gleichem Anfangs- und Endpunkt: E ( r ) dr 0 geschl. Weg Dies ist bereits die 3. Maxwell‘sche Gleichung für das elektrostatische Feld in integraler Schreibweise. Zunächst wollen wir die zweite EigenACHTUNG: Die 3. Maxwell-Gleichschaft auch in Integralform schreiben. ung ist erst in der Elektrodynamik Wir wissen bereits, dass die Existenz vollständig ! eines Potentials bedeutet, dass das Jetzt soll die differentielle SchreibLinienintegral über das Vektorfeld weise der Maxwell-Gleichungen eingenicht vom Weg zwischen dem Anführt werden. Dies erfordert ein wenig fangs- und Endpunkt abhängt. 9 Mathematik ...... Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Dafür werden zwei sog. „Integralsätze“ verwendet, die in der Zusatzstunde ausführlicher erläutert werden. Es gilt für ein beliebiges Vektorfeld E und für eine geschlossene Oberfläche O, die ein Volumen V umschließt, sowie eine Fläche A mit der Randkurve A : Satz von Gauß (Oberflächenintegral Volumenintegral): E d A O E dV V (O ) Satz von Stokes (Wegintegral Flächenintegral): E d r E d A A Carl-Friedrich Gauß (1777-1855) George Gabrial Stoke E x E y E z (1819-1903) DIVERGENZ E ( r ) x y z Definitionen: E z E y E x E z E y E x ROTATION E ( r ) y z z x x y 10 A Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Die 1. Maxwell-Gleichung lautet: qges E dA 0 Wenn nun die rechte Seite durch die Ladungsdichte ausgedrückt wird ergibt sich: 1 E dV dV Nun kann die im von der Oberfläche O 0 V (O ) V ( O ) umschlossenen Volumen V enthaltene Gesamtladung qges durch die Ladungs- Da dies für jede Oberfläche, die die dichte ausgedrückt werden: Gesamtladung qges umschließt, gelten soll, müssen die Integranden links und qges dV rechts übereinstimmen, also: O V (O ) Mit dem Gauß‘schen Satz folgt für die linke Seite der 1. Maxwell-Gleichung: E d A O E dV V (O ) E 0 Dies ist die 1. Maxwell‘sche Gleichung in differentieller Form. 11 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Wir hatten schon in der Mechanik gesehen, dass die Existenz eines Potentials gleichbedeutend ist mit der Wirbelfreiheit des Vektorfeldes. Es gilt daher für das elektrostatische Feld: E 0 Dies ist die 3. Maxwell‘sche Gleichung in differentieller Form. Für das elektrostatische Feld gilt daher zusammengefaßt: q (i) E dA E E d r 0 E 0 O (iii) A 0 0 12 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Inhalt der Vorlesung B1 4. Elektrizitätslehre, Elektrodynamik Einleitung Ladungen & Elektrostatische Felder Elektrischer Strom Magnetostatik Zeitlich veränderliche Felder - Elektrodynamik Wechselstromnetzwerke Die Maxwell‘schen Gleichungen Elektromagnetische Wellen & Strahlung Relativität der Felder 5. Optik Licht als elektromagnetische Welle Geometrische Optik Optische Abbildungen Wellenoptik 13 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Der elektrische Strom Bewegte Ladungen in Feldern Ein Teilchen mit der Ladung q erfährt im elektrischen Feld die Kraft: FE q E q, m E Dadurch wird das Teilchen beschleunigt. Nach dem 2. Newton‘schen Gesetz gilt dann: F p mr Die Beschleunigung erfolgt in die Richtung der Feldlinien. Als Bewegungsgleichung ergibt sich dann: q r E m Teilchenbahn r Feldlinie 14 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Beispiel: Die Oszillographenröhre („Braun‘sche Röhre“ 1897) Kathode Ablenkplatten Strahl Heizung Anode Ferdinand Braun (1850-1918) Leuchtschirm ( z.B. ZnS ) 15 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Elektronenstrahlröhre von J. J. Thomson (1897) 16 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Elektronenstrahl Kathode Anode e- ee- d Schirm l v e- z e- h Ep v z Ua x Up Die Ladung des Elektrons ist Qe = –e und seine Masse m = me . Als Bewegungsgleichung der Elektronen zwischen Kathode und Anode ergibt sich: U F me ae me v e Ea mit Ea a d 17 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Versuch 1: Braun‘sche Röhre Anode Kathode ohne Ablenkung Ablenkplatten mit Ablenkung Up(t) Leuchtschirm Glaskolben Zahlenwerte: e =1.602·10-19 C Ua = 100V, me = 9.1·10-31 kg v = 5.9·106 m/s Up = 5 V, l = 5 cm, h = 1 cm z = 3.1 mm 18 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Prinzip des Oszillographen: Vertikalablenkung: Es wird eine Ablenkspannung Ux(t) angelegt, die proportional zur Größe x(t) ist. Horizontalablenkung: Es wird eine periodische Ablenkspannung U(t) angelegt, die linear mit der Zeit ansteigt („Sägezahnspannung“). 19 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Modell einer der ersten Bildempfänger unter Verwendung einer Braun‘schen Röhre Braun‘sche Röhre 20 Physik A/B1 SS 2017 SS14 SS13 PHYSIK B2 RGB-Farbbildröhre 21 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Elektrische Felder um Leiter In einem idealen Leiter können sich Im Inneren eines Leiters gilt daher Ladungen frei bewegen. Da sich E dA 0 gleichnamige Ladungen abstoßen, befinden sich bei einem Leiter alle O für jede geschlossene Oberfläche O. Ladungen an seiner Oberfläche: Dies ist nur erfüllt wenn: E0 Eaußen Einnen 0 An der Grenzfläche selbst muss das elektrische Feld bestimmte Bedingungen erfüllen. Um sie zu bestimmen, teilen wir den Feldvektor in eine Komponente senkrecht E und eine Kompenente parallel E|| zur Oberfläche auf. Es wird die folgende Leiteroberfläche betrachtet: 22 Physik A/B1 PHYSIK B2 E|| SS 2017 SS14 SS13 A Zyl (a ) E Mit der 1. Maxwell-Gleichung folgt: (a) E dA E A A V V (i ) E (A) E|| AZyl 0 wegen E( i ) 0 0, Symmetrie! + + + Q + + E A + + + + + + A (i ) 1 Q E + E A + An der Grenzfläche macht die + + senkrechte Komponente des elek+ + trischen Feldes also einen Sprung + + + um mit der Flächenladungs+ + + + dichte . Die parallele KompoQ | A | nente verschwindet. (a) 0 (a) 0 0 0 23 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Versuch 2: Der Faraday‘sche Käfig In Inneren eines Leiters ist kein elektrisches Potential und somit kein 24 elektrisches Feld messbar. Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Im Inneren des Faraday‘schen Käfigs ist ein feldfreier Raum. Die leitenden Kuglen stoßen sich hier nicht ab. 25 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Beispiel 1: Verhalten bei Blitzschlag 26 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Beispiel 2: Radioempfang im Käfig 27 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Berechnung von Feldern in der Nähe von Leitern Als Beispiel soll das elektrische Feld einer Punktladung +Q, die sich vor einer ideal leitenden, unendlich großen Wand befindet, berechnet werden. Dies ist schwierig, da die Feldlinien senkrecht auf der Wand stehen müssen. Das Feld ist also nicht einfach durch das elektrische Feld einer Punktladung gegeben. b o h r +Q 28 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Auf der leitenden Wand müssen sich die Ladungen also genau so verschieben, dass die Feldlinien immer senkrecht aus der Wand austreten. Dies kann durch Einführen der sog. „Spiegelladung –Q hinter der Wand erreicht werden. Diese Spiegelladung ersetzt die Nebenbedingungen, die durch die leitende Ebene eingeführt worden sind. ' r -Q ' h b o h r +Q 29 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 leitende Wand -Q +Q Das Problem ist jetzt also äquivalent zur Berechnung des elektrischen Feldes zweier Ladungen mit unterschiedlichem Vorzeichen ( Dipol ). 30 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 EQ || E ges E -Q R h -Q r r +Q Die senkrechten Komponenten der von der Ladung +Q und der gespiegelten Ladung -Q an der Wand erzeugten elektrischen Felder sind: 1 Q E ( cos ) 2 2 4 0 h r Q cos E 2 2 31 4 0 h r 1 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Feldlinien: Punktladung vor einer leitenden, geerdeten Wand „Spiegelladung“ -Q Ladung +Q 32 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Das elektrische Feld einer Punkt- Elektrisches Feld einer Punktladung vor ladung +Q vor einer leitenden, einer leitenden, geerdeten Kugel: geerdeten Kugel läßt sich analog berechnen, wobei die Lage der Spiegelladung etwas schwieriger zu bestimmen ist. Analog zum Fall der leitenden Ebene werden auf der Kugel auch wieder Ladungen verschoben. +Q Man kann zeigen, dass die Kugel Influenz-QR/L ladung insgesamt die Ladung -QR/L erhält. Diese Ladung erhält sie aus dem „Reservoir“ der Erde. Das Phänomen, dass eine Ladung vor einem Leiter die Ladungen in diesem Leiter verschiebt, heißt Influenz. 33