Elektronik 1, Foliensatz 6: geschaltete Systeme

Elektronik 1, Foliensatz 6: geschaltete Systeme
G. Kemnitz
16. Januar 2017
Inhaltsverzeichnis
1 Geschaltete Systeme
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1
Sprungantwort . . . . . .
Geschaltetes RC-Glied . .
RC-Glied, Abbildung auf .
Geschaltetes RL-Glied . .
RL-Glied, Abbildung auf .
RC-Oszillator . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . .
1
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2
4
8
12
14
16
18
Geschaltete Systeme
Geschaltete Systeme
Modell für Systeme, deren Eingaben oder Arbeitsbereiche sprunghaft wechseln:
• digitale Systeme, gepulste Ausgabe,
• Wechsel zwischen linearen Kennlinienästen,
• Abschätzung der Dauer von Ausgleichsvorgängen.
Rechtecksignal: Signal, dessen Wert sich zu den Zeitpunkten ti sprunghaft ändert und sonst
konstant bleibt1 .
Einheitssprung:
σ (t) =
0
1
t<0
t≥0
Sprungantwort Reaktion eines linearen Systems auf einen Einheitssprung:
h (t) = f (σ (t))
1
C 's
Theoretisches Modell. Praktisch können sich Ströme und Spannungen wegen der immer vorhandenen
nicht sprunghaft ändern.
1
L's
und
2
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1.1
Sprungantwort
Bedeutung der Sprungantwort
• Die Systemreaktion eines geschalteten linearen Systems ist eine Linearkombination zeit-
versetzter Sprungantworten.
a) Aufspaltung der Eingabe in Sprünge
b) Zusammenfassen der Sprungantworten
+
+
+
U0 · σ(t − t1 )
−U0 · σ(t − t2 )
U0 · σ(t − t3 )
−U0 · σ(t − t4 )
+
+
+
U0 · h(t − t1 )
−U0 · h(t − t2 )
U0 · h(t − t3 )
−U0 · h(t − t4 )
=
Summe
=
Summe
t1 t2
t3
f
t4
X0 +
t1 t2
N
X
i=1
!
Xi · σ (t − ti )
= f (X0 ) +
t3
N
−1
X
i=0
t4
Xi · h (t − ti )
⇒ Erlaubt einfache Überschläge und Abschätzungen.
Messen der Sprungantwort
Signalquelle
U0 · σ(t)
System
(beliebige lineare
Schaltung)
Messsignal Sprungantwort
ia
ua
ia (U0 · σ(t))
ua (U0 · σ(t))
• Anlegen eines Eingabesprungs.
• Aufzeichnen der Systemreaktion:
f (U0 · σ (t)) = U0 · f (σ (t)) = U0 · h (t)
• Die Sprungantwort ist:
h (t) =
f (U0 · σ (t))
U0
ia
U0
ua
U0
3
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Anfangs- und Endwerte
Vor dem Sprung (t < 0):
I0 · σ(t)
⇒
U0 · σ(t)
⇒
(−)
⇒
(−)
⇒
UC
IL
• U (−) , I (−) stationäre Spannungen und Ströme vor dem Sprung.
Lange nach dem Sprung (t 0):
I0 · σ(t)
⇒ I0
U0 · σ(t)
⇒ U0
⇒
(+)
⇒
UC
(+)
IL
• U (+) , I (+) stationäre Spannungen und Ströme nach dem Sprung.
Im Moment des Sprunges (t = 0):
uC (0) =
iL (0) =
Z ∆t
1
(−)
(−)
iC (t) · d τ + UC = UC
· lim
C ∆t→0 0
Z ∆t
1
(−)
(−)
· lim
uL (τ ) · d τ + IL = IL
L ∆t→0 0
(−)
⇒
⇒
UC
(−)
IL
Anwendung auf ein Schaltungsbeispiel
Schaltung
vor dem Sprung
R1
U0 · σ(t)
L
R1
IL
R2
uC1
(−)
UC1
uC2
U1
Sprungmoment
uR1 (0)
(−)
R2
• Stationärer Zustand vor dem Sprung:
(−)
(−)
UC1 = UC2 = U1 ·
(−)
IL
=−
U1
(−)
UC2
(−)
UC1
M1
R2
IL
R1
U0
(−)
IL
R1
R1 + R2
U1
R1 + R2
uR2 (0)
U1
(−)
M2
UC2
4
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Im Sprungmoment
(−)
R1
IL
uR1 (0)
(−)
U0
R2
uR2 (0)
UC1
M1
U1
(−)
UC2
M2
(−)
uR1 (0) = U0 − UC1
(−)
uR2 (0) = −U1 + UC2
Stationärer Zustand nach dem Sprung
R1
U0
(+)
Differenzschaltung zum Zustand vor dem Sprung
IL
(+)
UC1
(+)
R1
R2
IL
(+)
UC2
U1
(+)
(+)
(+)
(−)
UC1 − UC1 = UC2 − UC2 = U0 ·
(+)
IL
1.2
(−)
UC1 − UC1
U0
(−)
(−)
− IL
(−)
− IL
=
R2
(+)
(−)
UC2 − UC2
R2
R1 + R2
U0
R1 + R2
Geschaltetes RC-Glied
Das geschaltete RC-Glied
uC
C
U0 · σ(t)
ue
R
U1
uR
i
gesucht:
(−)
UR
Anfangs- und
uR (0)
Endwerte
(+)
UR
Ausgabeverlauf uR (t)
=
=
=
=
(−)
UC
=
uC (0) =
(+)
UC
=
uC (t) =
Tafel
• Grundschaltung zur Abschätzung des dynamischen Verhaltens auch vieler anderer Schal-
tungen.
5
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Anfangs- und Endwert
lange nach dem Sprung (t ≫ 0)
vor dem Sprung (t < 0)
(−)
UC
(+)
UC
= U1
(−)
UR
R
U1
= U0 + U1
U0
=0
R
U1
I (−) = 0
Ausgleichsvorgang
(+)
UR
=0
I (+) = 0
uC (n + 1) = uC (n) +
U0
∆t
C
uR (n + 1) =
uR (n) − ∆Ct · i(n)
R
U1
· i(n)
i=
uR
R
Anfangswerte:
• Kapazität: uC (0) = U1 (behält Wert)
• Widerstand: uR (0) = U0 + U1 − uC (0) = U0 (Sprunghöhe)
Zeitdiskrete Berechnung:
mit n =
t
∆t
uC (n + 1)
=
uR (n + 1)
=
, uR (0) = U0 ,
∆t
R·C
∆t
· uR (n)
R·C
∆t
∆t
· uR (n) = uR (n) · 1 −
uR (n) −
R·C
R·C
uC (n) +
= −x und x → 0
• Spannungsverlauf Widerstand:
uR (t) = U0 · lim
∆t→0
∆t
1−
R·C
t
∆t
t
− R·C
1
t
= U0 · e− R·C
= U0 · lim (1 + x) x
x→0
• Spannungsverlauf Kapazität:
• Stromverlauf:
t
uC (t) = U0 + U1 − uR (t) = U1 + U0 · 1 − e− R·C
i (t) =
uR (t)
U0 − t
=
· e R·C
R
R
• Beide Spannungsverläufe und auch der Stromverlauf sind abklingende Exponentialfunktio-
nen mit der Zeitkonstanten:
τ =R·C
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Zusammenfassung
• Das Ausgabesignal eines geschalteten RC-Glieds, egal ob der Strom, die Spannung über R
oder die Spannung über C ist eine abklingende Exponentialfunktion vom Typ:
x (t) =
(
X (−)
t
X (+) − X (+) − x (0) · e− τ
t<0
t≥0
X (−) stationärer Wert vor dem Sprung,
X (+) stationärer Wert lange nach dem Sprung,
x (0) Wert im Moment des Sprungs.
τ = R · C Zeitkonstante.
Graphische Konstruktion der Sprungantwort
(Abschätzung der Ausgabe geschalteter RC-Glieder)
• Anstieg zum Zeitpunkt t
d x (t)
X (+) − x (t)
=
dt
τ
• Der Betrag des Anstiegs nimmt ab.
• Nach τ wird 1 − e−1 ≈ 63% des Endwerts erreicht.
τ -Element
100%
X
Zusammensetzen von Zeitverläufen
(+)
X
(+)
63%
0%
x(t)
t
t+τ
x(t)
t0
t0 + τ
t0 + 2τ
t
Ausgabe für einen einzelnen Schaltvorgang
vor dem Sprung
Sprungmoment
stationärer Wert nach dem
Sprung
i (t)
=0
i (0) = UR0
I (+) = 0
I (−)
uR (t)
(−)
UR = 0
uR (0) = U0
(+)
UR = 0
uC (t)
(−)
UC = U1
uC (0) = U1
(+)
UC = U0 + U1
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(+)
UC
= U0 + U1
uC
(−)
uC (0) = UC
= U1
0
τ
2τ
3τ
0
τ
2τ
3τ
4τ
t
uR (0) = U0
uR
(−)
UR
(+)
= UR
=0
4τ
t
Ausgabe für eine Folge von Schaltvorgängen
Konstruktionsregeln für uC :
• Anfangswert gleich Endwert im vorherigen τ -Element (Stetigkeit).
(+)
• UC
= ue
Konstruktionsregeln für uR :
• Anfangswert resultiert aus der Maschengleichung
uR + uC = ue
(+)
• UR
=0
uC
C
ue
(+)
UC
R
= U0 + U1
ue
uC
(−)
uC (0) = UC
= U1
0
τ
2τ
3τ
0
τ
2τ
3τ
4τ
t
uR (0) = U0
uR
ue
(−)
UR
(+)
= UR
=0
4τ
t
uR
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1.3
RC-Glied, Abbildung auf
Transformation in ein geschaltetes RC-Glied
Alle linearen (oder abschnittsweise linearen) Schaltungen mit einer wesentlichen Kapazität und
ohne (wesentliche) Induktivitäten lassen sich in ein funktionsgleiches RC-Glied umrechnen:
funktionsgleiches RC-Glied
C
Rest der
linearen
Schaltung
C
RErs
uErs
e
Wesentlich bedeutet hier, dass die Umladezeit für diese Kapazität viel gröÿer als für alle
anderen Kapazitäten und Induktivitäten ist.
Belastetes RC-Glied
R1
U0 · σ(t)
C
ua
R2
Tafel
• Was bewirkt der Widerstand parallel zur Kapazität?
vereinfachter
Zweipol
Zweipol
U0 · σ(t)
R1
R2
C
R1 k R2
U0 ·σ(t)·R2
R1 +R2
C
ua
Der Widerstand parallel zur Kapazität bewirkt:
• eine Verringerung der Sprunghöhe:
uErs =
U0 · R2
· σ (t)
R1 + R2
• eine Verkürzung der Zeitkonstante:
τ = (R1 k R2 ) · C
Transistor als geschaltete Stromquelle
UV
RC
UV
C
iC = I0 · σ(t) + I1
RL
RC
ua
Tafel
linearer Zweipol
C
iC = I0 · σ(t) + I1 RL
• Transistor durch lineare Ersatzschaltung ersetzen.
ua
• Den blau unterlegten Zweipol in eine Reihenschaltung aus einer geschalteten Quelle, einer
konstanten Quelle und einem Widerstand umrechnen.
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RC
UV
RC
i=0
UV
iC
iC
uErs1
ua
RL
RL
RC
RC
i=0
RErs
uErs2
RL
ua
ua
RL
ua
RErs
RC
uErs = uErs1 + uErs2
= UV − RC · (I0 · σ(t) + I1 )
RL
C
ua
Zeitkonstante:
τ = (RC + RL ) · C
Sprunghöhe von ua :
ua (0) = −I0 ·
RC · RL
= −I0 · (RC k RL )
RC + RL
Abschnittsweise Annäherung durch geschaltete RC-Glieder
Die Abbildung auf ein geschaltetes RC-Glied ist auch für einzelne Arbeitsbereiche möglich.
UQ
R2
R1
C
Ua = UC
zwei lineare Arbeitsbereiche:
• Schalter geschlossen,
• Schalter geönet.
Schalter geschlossen
UQ
(+)
Ua
R1
= UQ
UQ
(+)
Ua
R2
C
Schalter geöffnet
ua
UQ
(+)
τ1 = R 2 · C
Ua
Schalter ein
R1
R2
C
ua
τ2 = (R1 + R2 ) · C
=0
Schalter aus
ua
0
τ1
2τ1
3τ1
3τ1 + τ2
3τ1 + 2τ2
t
10
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Gesucht: Zeitkonstanten und stationäre Endwerte
R1
R2
C
UQ
R3
ua ? D
Arbeitsbereiche:
A1 Schalter geschlossen, Diode gesperrt.
A2 Schalter geschlossen, Diode leitend.
A3 Schalter geönet, Diode leitend.
A4 Schalter geönet, Diode gesperrt.
A1
R1
RErs1 = R1 k (R2 + R3 )
R2
(+)
UQ
C
ua
D
C
Ua.1
R3
(+)
Ua.1
A2
R1
=
R2 +R3
R1 +R2 +R3
C
UF
ua
Ua.2
R3
(+)
Ua.2 =
A3
R1
C
R2
R1 +R2
R2
RErs3 = R2
A4
UF
ua
Ua.3 = UF
R3
R2
R1
C
ua
ua
RErs4 = R2 + R3
(+)
C
ua
· (UQ − UF ) + UF
(+)
C
· UQ
RErs2 = R1 k R2
R2
(+)
UQ
ua
D
Ua.4 = 0
R3
C
(+)
ua
Ua.i , τi für R1 = R2 = R3 = R und UQ = 4 · UF ⇒ Tafel
Ausgabe für:
R1 = R2 = R3 = R; UQ = 4 · UF
Schalter
Diode
ua
τi
(+)
Ua.i
A1
geschlossen
gesperrt
≤
2
3
1
2
· UQ
·R·C
· UQ
2
3
A2
geschlossen
leitend
1
2
>
1
2
· UQ
·R·C
· UQ
5
8
A3
geönet
leitend
>
1
2
· UQ
R·C
· UQ
1
4
A4
geönet
gesperrt
≤
1
2
· UQ
2·R·C
0
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(+)
Ua
ua
3
4
· UQ
1
2
· UQ
1
4
· UQ
A1
A2 A3
τ1
τ2
A4
τ3
τ4
t
Glättungskondensator hinter einem Gleichrichter
D1
<
3V
D2
ue
D3
C
RL
+
ua
D4
TP
2
ue
ua
u
∆Ua
0
Ersatzschaltung
RL
C
+
−3 V
ua
0
Tafel
5
10
tE
15
tL
tE Zeit Beginn Entladevorgang (Ende Ladevorgang)
tL Zeit Beginn Ladevorgang (Ende Entladevorgang)
t−tE
L ·C
−R
Entladefunktion: ua (t) = ua (tE ) · e
Die Gröÿe des Kondensators ergibt sich aus der zulässigen Restwelligkeit:
∆Ua.rel =
Ua.max − Ua.min
Ua.max
Maximalwert: Beginn der Entladephase:
Ua.max = ua (tE )
Minimalwert: Ende der Entladephase:
−
Ua.min = ua (tE ) · e
Relative Restwelligkeit:
−
Erforderliche Kapazität:
∆Ua.rel = 1 − e
C≥−
tL −tE
RL ·C
tL −tE
RL ·C
tL − tE
RL · ln (1 − ∆Ua.rel )
20
t in ms
12
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C≥−
Worst Case: tL − tE ≤
tL − tE
RL · ln (1 − ∆Ua.rel )
TP
2
ua
betrachteter Zeitabschnitt
Ua.max
Ua.min
tE
tL
t
TP
TP /2
mit Glättungskondensator
ohne Glättungskondensator
Periodendauer
Praktische Dimensionierung:
C≥−
TP
2 · RL · ln (1 − ∆Ua.rel )
Beispiel
Wie groÿ ist der Glättungskondensator zu wählen:
• RL ≥ 100 Ω
• Wechselspannung mit einer Frequenz von 50 Hz
• maximale relative Restwelligkeit ∆Ua.rel ≤ 10%
50 Hz ⇒ Periodendauer TP = 20 ms.
C ≥−
20 ms
≈ 950 µF
2 · 100 Ω · ln (1 − 10%)
Der nächst gröÿere verfügbare Standardwert ist 1000 µF.
1.4
Geschaltetes RL-Glied
Duale Schaltung zum geschalteten RC-Glied
Vertauschen der Bedeutung von Strom und Spannung:
• Kapazität ⇔ Induktivität: i = C ·
du
dt
⇒ u=L·
di
dt
• Widerstand ⇔ Leitwert: u = R · i ⇒ i = R−1 · u
• Spannungsquelle ⇔ Stromquelle
• Reihenschaltung ⇔ Parallelschaltung
• Masche ⇔ Knoten.
⇐⇒
RC-Glied
uR
i
ue
M
C
M: uR + uC = ue
mit: uR = R · i
i = C · ddutC
uC
RL-Glied
K
iR
iL
⇐⇒
ie
⇐⇒
K: iR + iL = ie
mit: iR = R−1 · u
u = L · dditL
R
L
u
13
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Grundschaltung eines geschalteten RL-Gliedes
I0 · σ(t)
L
I1
u
R
iL
gesucht:
(−)
iR
IR
=
iR (0) =
(+)
IR
=
(−)
Anfangs- und
Endwerte
IL
iL (0)
(+)
IL
=
=
=
Ausgabeverlauf
iR (t) =
iL (t)
=
Tafel
Anfangs- und Endwert
vor dem Sprung t < 0
u=0
R
I1
lange nach dem Sprung für t ≫ 0
I0
iR = 0
iL = I1
u (t)
=0
u (0) = I0 · R
U (+) = 0
vor dem Sprung
Sprungmoment
stationärer Wert nach dem
Sprung
U (−)
I1
R
iL =
I0 + I1
u=0
iR = 0
iR (t)
(−)
IR = 0
iL (t)
(−)
IL = I1
iR (0) = I0
(+)
IR = 0
iL (0) = I1
(+)
IL = I0 + I1
Umladevorgang
u = R · iR
iL (n + 1) = iL (n) +
∆t
L
· u(n)
iR (n + 1) = iR (n) −
∆t
L
· u(n)
I0 + I1
Anfangswerte:
(−)
• Induktivität: iL (0) = IL
= I1
• Widerstand: iR (0) = I0 + I1 − iL (0) = I0
zeitdiskrete Berechnung:
iL (n + 1)
=
iR (n + 1)
=
R · ∆t
· iR (n)
L
R · ∆t
R · ∆t
iR (n) −
· iR (n) = iR (n) · 1 −
L
L
iL (n) +
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R · ∆t
iR (n + 1) = iR (n) · 1 −
L
mit n =
t
∆t
, iR (0) = I0 ,
R·∆t
L
R · ∆t
⇒ iR (n) = iR (0) · 1 −
L
n
= −x und x → 0
• Spannungsverlauf Widerstand:
iR (t)
t
− R·t
1
R · ∆t ∆t
L
= I0 · lim (1 + x) x
= I0 · lim 1 −
x→0
∆t→0
L
= I0 · e−
• Stromverlauf Induktivität:
R·t
L
R·t
iL (t) = I1 + I0 · 1 − e− L
Abklingende Exponentialfunktion mit der Zeitkonstanten:
τ=
L
R
Konstruktion der Sprungantwort
(+)
IL
= I0 + I1
iL
(−)
iL (0) = IL
= I1
0
τ
2τ
3τ
0
τ
2τ
3τ
t
4τ
iR (0) = I0
iR
(−)
IR
(+)
= IR
=0
t
4τ
(Zusammensetzen aus τ -Elementen)
1.5
RL-Glied, Abbildung auf
Transformation in ein funktionsgleiches geschaltetes RL-Glied
Alle linearen (oder abschnittsweise linearen) Schaltungen mit einer wesentlichen Induktivität und
ohne (wesentliche) Kapazität lassen sich durch ein funktionsgleiches RL-Glied annähern:
funktionsgleiches RL-Glied
L
Rest der
linearen
Schaltung
L
RErs
iErs
Wesentlich bedeutet hier, dass die Umladezeit für diese Induktivität viel gröÿer als für alle
anderen Induktivitäten und Kapazitäten ist.
15
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Ansteuerung eines Elektromagneten mit einem CMOS-Inverter
UV
RL
1
0
x
iL
x
UV
ua
L
ua
0
τ
2τ
3τ
t
Wie lauten die Parameter des funktionsgleichen RL-Gliedes?
Welchen Signalverlauf hat der Strom iL ?
Das Modell des CMOS-Inverters sei:
ua =
UV
0
für
für
x=0
x=1
Lösung
Ersatz des Inverters
funktionsgleiches RL-Glied
R L iL
UV x = 0
ua =
0 x=1
iL
iQ =
L
UV
x=0
0 x=1
RL
RL
L
UV
RL
iQ
iL
0
0
τ
2τ
3τ
t
Abschnittsweise Annäherung durch geschaltete RL-Glieder
Die Abbildung auf ein geschaltetes RL-Glied ist auch für einzelne lineare Arbeitsbereiche möglich.
Zwei lineare Arbeitsbereiche:
i
• Schalter geschlossen,
RL
• Schalter geönet.
UV
Funktionsgleiches RL-Glied für Schalter geschlossen
R L i1
UV
i1
L
UV
RL
u1
UV
RL
L
τ1 =
RL
(+)
I1
=
RL
L
u1
L
u
16
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Funktionsgleiches RL-Glied für Schalter geönet
i2
i2
RL
UV
L
RS
RS
UV
RS +RL
u2
RL
L
u2
UV
=0
RS →∞ RL + RS
L
τ2 = lim
=0
RS →∞ RL + RS
(+)
I2
Problem: Ausschaltmoment
i2 (0)
=
u2 (0)
=
= lim
UV
RL
lim ((RL + RS ) · i2 (0)) → ∞
(+)
I1
=
RS →∞
Bevor eine Spannung unendlich wird, gibt es einen dielektrischen Durchschlag (Funkenüberschlag
am Schaltkontakt).
Freilaufdiode
Ersatzschaltung Schalter geöffnet und i > 0
RL
UF
UF
RL
L
RL
L
i
L
Schalter geschlossen
D
UV
RL
RL
UV
i>0
I (+)
i
0
0
1.6
geöffnet
i=0
τ
2τ
3τ
4τ
t
RC-Oszillator
Einfacher RC-Oszillator
• Prinzip: Periodisches Umladen eines RC-Gliedes.
• Beispiel: Umladesteuerung mit einem Schwellwertschalter mit Hysterese.
uC (t)
R
Ua=1
Utrig.r
C
Utrig.f
Ua=0
ua (t)
ua (t)
uC (t)
toff
Entladefunktion:
Ladefunktion:
t
uC (t) = Ua=0 − (Ua=0 − Utrig.r ) · e− R·C
t
uC (t) = Ua=1 − (Ua=1 − Utrig.f ) · e− R·C
ton
Zeit
17
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Entladefunktion:
t
uC (t) = Ua=0 − (Ua=0 − Utrig.r ) · e− R·C
Ladefunktion:
t
uC (t) = Ua=1 − (Ua=1 − Utrig.f ) · e− R·C
Entladezeit toff , in der die Ausgangsspannung 0 ist:
toff
= Ua=0 − (Ua=0 − Utrig.r ) · e− R·C
Ua=0 − Utrig.r
= R · C · ln
Ua=0 − Utrig.f
Utrig.f
toff
Die Auadezeit ton , in der die Ausgangsspannung 1 ist:
ton
Utrig.r = Ua=1 − (Ua=1 − Utrig.f ) · e− R·C
Ua=1 − Utrig.f
ton = R · C · ln
Ua=1 − Utrig.r
Rechteckgenerator mit einstellbarer Pulsweite
Ersatzschaltung Laden
D1
D2
k·R
(1 − k) · R
M
D1
C
ua
C
Ladezeit:
ton = k · R · C · ln
ua = Ua=1 Parameter:
(+)
UC = Ua=1 − UF
k·R
u(0) = Utrig.f
UF
u(ton ) = Utrig.r
τL = k · R · C
Ua=1 − UF − Utrig.f
Ua=1 − UF − Utrig.r
Ersatzschaltung Entladen
D1
D2
k·R
(1 − k) · R
M
D2
ua
C
C
toff = (1 − k) · R · C · ln
Mit
Ua=0 + UF − Utrig.r
Ua=0 + UF − Utrig.f
ist die absolute Pulsbreite konstant:
=
ua = Ua=0 Parameter:
(+)
UC = Ua=0 + UF
(1 − k) · R
u(0) = Utrig.r
u(toff ) = Utrig.f
UF
τE = (1 − k) · R · C
Ua=0 + UF − Utrig.r
Ua=0 + UF − Utrig.f
Ua=1 − UF − Utrig.f
Ua=1 − UF − Utrig.r
TP = ton + toff = R · C · ln (konst.)
und die relative Pulsbreite gleich dem Einstellwert: ηT = k
= konst.
18
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Rechteckgenerator mit einem NE555
NE555: Standardschaltkreis für die Lade-Entlade-Steuerung eines geschalteten RC-Gliedes bestehend aus
• zwei Komparatoren und einem
• Transistor zum Entladen der Kapazität des RC-Gliedes.
UV
(8)
R1
R2
(6)
th
(2)
tr
ds
(7)
Steueralgorithmus
wenn ϕtr ≤ U3V dann x = 1
V
sonst wenn ϕth ≥ 2·U
3
dann x = 0
C
x
(3)
(1)
Anschlüsse
ϕth Ausschaltschwelle
(threshhold)
ϕtr Einschaltschwelle
(trigger)
ds Entladen (discharge)
x Ausgang
Auaden über R1 + R2
Entladen über R2
Ersatzschaltung Aufladevorgang
(Ausgang ist null)
UV
R1
R2
C
uC
UV
Parameter:
(+)
UC = UV
uC (0) = U3V
V
uC (tdr ) = 2·U
3
τoff = (R1 + R2 ) · C
uC (ton ) =
1
· UV
3
=
ton
=
Parameter:
(+)
UC = UCEX ≈ 0,2 V
V
u(0) = 2·U
3
u(tdf ) = U3V
τon = R2 · C
R1
R2
C
UCEX
uC
ton
2
UCEX − UCEX − · UV · e− R2 ·C
3
UCEX − 32 · UV
R2 · C · ln
≈ R2 · C · ln (2)
UCEX − 13 · UV
toff
1
−
= UV − UV − · UV · e (R1 +R2 )·C
3
= . . . = (R1 + R2 ) · C · ln (2)
2
uC (toff ) = · UV
3
toff
1.7
Ersatzschaltung Entladevorgang
(Ausgangs ist eins)
Aufgaben
Allgemeines geschaltetes System
uR1
U0 · σ(t)
U1
R1
C1
uL
iC1
uC1
iL
L
iC2
C2
uC2
R2
uR2
U0 = U1 = 1 V
R1 = 1 kΩ
R2 = 3 kΩ
C1 = 1 nF
C2 = 2 nF
L = 10 mH
• Schätzen Sie die Werte von uR2 für die stationären Zustände vor und nach dem Sprung
(t < 0, t 0) und im Sprungmoment t = 0.
19
Prof. G. Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I (E1H6.pdf)
Lineares System mit einer Kapazität
R1
ue
C
R2
uC
U1
3
ue in V
R1 = 2 kΩ
R2 = 1 kΩ
C = 3 nF
U1 = 1,5 V
uC (0) = 1 V
0
−3
0
2
4
6
8 t in µs
1. Rechnen Sie die Schaltung in die Grundschaltung eines geschalteten RC-Glieds um.
2. Bestimmen Sie die Zeitkonstante τ .
3. Konstruieren Sie den Spannungsverlaufs von uC .
Abschnittsweise lineares System mit einer Kapazität
UV
S0
uC
S1
C
D
R1
UR1
UR2
R2
• Welchen Arbeitsbereiche sind zu unterscheiden?
• Entwickeln Sie für jeden Arbeitsbereich die Ersatzschaltung.
• Bestimmen Sie für jeden Arbeitsbereich die Zeitkonstante.
• Bestimmen Sie den stationären Wert, gegen den uC in jedem Arbeitsbereich strebt.
Berechnung des Glättungskondensators
D ia ≤ 100 mA
+
U0 · sin(2π · f )
U0 = 12 V
∆Ua.rel ≤ 5%
f = 50 Hz
ua
C?
Wie groÿ muss der Glättungskondensator hinter der Diode sein, damit die relative Restwelligkeit
der geglätteten Spannung nicht gröÿer als 5% ist?
PWM mit Glättungsinduktivität
x
uy
L
y
uy
x
R
uR
Signalperiode
1
0
0
η · TP
TP
t
L = 100 mH
R = 100 Ω
UV = 10 V
η = 0,7
TP = 1 ms
uR (0) = 0
20
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Modell für den Inverter:
uy =
UV
0
x=0
x=1
• Transformation in ein geschaltetes RL-Glied mit demselben Strom durch die Induktivität.
• Wie groÿ ist die Zeitkonstante τ ?
• Schätzen des Spannungsverlauf über dem Widerstand für das Zeitintervall 0 ≤ t ≤ 4 ms.
Schalten induktiver Lasten
iL
L
UV = 10 V
R1 = 10 kΩ
RL = 100 Ω
L = 100 mH
RL
UV
R1
uS
• Wie groÿ ist die Spannung uS über dem Schalter im Ausschaltmoment?
Oszillator mit dem NE555
Schaltung
Soll-Verhalten
UV
R1
R2
th
Steueralgorithmus
tr
wenn ϕtr ≤
UV
3
wenn ϕth ≥
2·UV
3
ds
dann x = 1
x
1
0
uC
·UV
2
3
· UV
1
3
· UV
dann x = 0
C
10 µF
x
0
ton
1s
• Wie groÿ müssen R1 und R2 sein?
toff
3s
t