Einführung in die Theoretische Informatik

Einführung in die Theoretische Informatik
Woche 3
Harald Zankl
Institut für Informatik @ UIBK
Wintersemester 2014/2015
Zusammenfassung
Zusammenfassung der letzten LVA
Definition
Die Formeln der Aussagenlogik sind induktiv definiert:
1
Eine atomare Formel p ist eine Formel,
2
ein Wahrheitswertsymbol (True, False) ist eine Formel, und
3
wenn A und B Formeln sind, dann sind
¬A
(A ∧ B)
(A ∨ B)
(A → B)
auch Formeln
Definition
Erweiterung der Belegung v zu einem Wahrheitswert v̄ für Formeln
anhand der Wahrheitstafeln für die Junktoren
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
34/211
Zusammenfassung
Definition (Äquivalenz)
A ≡ B, wenn A |= B und B |= A
Lemma (Distributivgesetze)
A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )
A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )
Lemma (Gesetze von de Morgan)
¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B
¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
Satz
1
A, B Formeln und E , F Teilformeln von A, B
2
Gelte E ≡ F
3
B ist das Resultat der Ersetzung von E durch F in A
Dann gilt A ≡ B
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
35/211
Inhalte der Lehrveranstaltung
Inhalte der Lehrveranstaltung
Einführung in die Logik
Syntax & Semantik der Aussagenlogik, Formales Beweisen, Konjunktive und Disjunktive Normalformen
Einführung in die Algebra
Boolesche Algebra, Universelle Algebra, Logische Schaltkreise
Einführung in die Theorie der Formalen Sprachen
Grammatiken und Formale Sprachen, Reguläre Sprachen, Kontextfreie Sprachen
Einführung in die Berechenbarkeitstheorie
Algorithmisch unlösbare Probleme, Turing Maschinen, Registermaschinen
Einführung in die Programmverifikation
Prinzipien der Analyse von Programmen, Verifikation nach Hoare
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
36/211
Inhalte der Lehrveranstaltung
Inhalte der Lehrveranstaltung
Einführung in die Logik
Syntax & Semantik der Aussagenlogik, Formales Beweisen, Konjunktive und Disjunktive Normalformen
Einführung in die Algebra
Boolesche Algebra, Universelle Algebra, Logische Schaltkreise
Einführung in die Theorie der Formalen Sprachen
Grammatiken und Formale Sprachen, Reguläre Sprachen, Kontextfreie Sprachen
Einführung in die Berechenbarkeitstheorie
Algorithmisch unlösbare Probleme, Turing Maschinen, Registermaschinen
Einführung in die Programmverifikation
Prinzipien der Analyse von Programmen, Verifikation nach Hoare
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
36/211
Methode von Quine
Methode von Quine
Lemma
Sei A eine Formel und p ein Atom in A.
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
37/211
Methode von Quine
Methode von Quine
Lemma
Sei A eine Formel und p ein Atom in A.
1
A ist eine Tautologie gdw.
A{p 7→ True} ist Tautologie
HZ (IFI)
und A{p 7→ False} ist Tautologie
ETI - Woche 3
37/211
Methode von Quine
Methode von Quine
Lemma
Sei A eine Formel und p ein Atom in A.
1
A ist eine Tautologie gdw.
A{p 7→ True} ist Tautologie
2
A ist unerfüllbar gdw.
A{p 7→ True} unerfüllbar
HZ (IFI)
und A{p 7→ False} ist Tautologie
und A{p 7→ False} unerfüllbar
ETI - Woche 3
37/211
Methode von Quine
Methode von Quine
Lemma
Sei A eine Formel und p ein Atom in A.
1
A ist eine Tautologie gdw.
A{p 7→ True} ist Tautologie
2
und A{p 7→ False} ist Tautologie
A ist unerfüllbar gdw.
A{p 7→ True} unerfüllbar
und A{p 7→ False} unerfüllbar
Beispiel
Wir betrachten die Formel F
F := (p ∧ q → r) ∧ (p → q) → (p → r)
Laut der Methode von Quine ist F eine Tautologie.
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
37/211
Methode von Quine
Beispiel
Methode von Quine liefert die folgenden Anforderungen
Methode von Quine
Beispiel
Methode von Quine liefert die folgenden Anforderungen
1
(True ∧ q → r) ∧ (True → q) → (True → r) =: G ist Tautologie
Methode von Quine
Beispiel
Methode von Quine liefert die folgenden Anforderungen
1
(True ∧ q → r) ∧ (True → q) → (True → r) =: G ist Tautologie
2
(False ∧ q → r) ∧ (False → q) → (False → r) ist Tautologie
Methode von Quine
Beispiel
Methode von Quine liefert die folgenden Anforderungen
1
(True ∧ q → r) ∧ (True → q) → (True → r) =: G ist Tautologie
2
(False ∧ q → r) ∧ (False → q) → (False → r) ist Tautologie
Anforderungen in Baumform:
(p ∧ q → r) ∧ (p → q) → (p → r)
{p 7→ False}
{p 7→ True}
(False ∧ q → r) ∧ (False → q) → (False → r)
G
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
38/211
Methode von Quine
Beispiel
Methode von Quine liefert die folgenden Anforderungen
1
(True ∧ q → r) ∧ (True → q) → (True → r) =: G ist Tautologie
2
(False ∧ q → r) ∧ (False → q) → (False → r) ist Tautologie
Anforderungen in Baumform:
(p ∧ q → r) ∧ (p → q) → (p → r)
{p 7→ False}
{p 7→ True}
(False ∧ q → r) ∧ (False → q) → (False → r)
≡
(False → r) ∧ True → True
G
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
38/211
Methode von Quine
Beispiel
Methode von Quine liefert die folgenden Anforderungen
1
(True ∧ q → r) ∧ (True → q) → (True → r) =: G ist Tautologie
2
(False ∧ q → r) ∧ (False → q) → (False → r) ist Tautologie
Anforderungen in Baumform:
(p ∧ q → r) ∧ (p → q) → (p → r)
{p 7→ False}
{p 7→ True}
G
HZ (IFI)
(False ∧ q → r) ∧ (False → q) → (False → r)
≡
(False → r) ∧ True → True
≡
True → True
≡
True
ETI - Woche 3
38/211
Methode von Quine
Beispiel
Methode von Quine liefert die folgenden Anforderungen
1
(True ∧ q → r) ∧ (True → q) → (True → r) =: G ist Tautologie
2
(False ∧ q → r) ∧ (False → q) → (False → r) ist Tautologie
Anforderungen in Baumform:
(p ∧ q → r) ∧ (p → q) → (p → r)
{p 7→ False}
{p 7→ True}
G
Übrige Anforderungen
3
HZ (IFI)
(False ∧ q → r) ∧ (False → q) → (False → r)
≡
(False → r) ∧ True → True
≡
True → True
≡
True
G ist Tautologie
ETI - Woche 3
38/211
Methode von Quine
Beispiel (Fortsetzung)
G
z
}|
{
(True ∧ q → r) ∧ (True → q) → (True → r)
{q 7→ False}
{q 7→ True}
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
39/211
Methode von Quine
Beispiel (Fortsetzung)
G
z
}|
{
(True ∧ q → r) ∧ (True → q) → (True → r)
≡
(q → r) ∧ q → r
{q 7→ False}
{q 7→ True}
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
39/211
Methode von Quine
Beispiel (Fortsetzung)
G
z
}|
{
(True ∧ q → r) ∧ (True → q) → (True → r)
≡
(q → r) ∧ q → r
{q 7→ False}
{q 7→ True}
(True → r) ∧ True → r
HZ (IFI)
(False → r) ∧ False → r
ETI - Woche 3
39/211
Methode von Quine
Beispiel (Fortsetzung)
G
z
}|
{
(True ∧ q → r) ∧ (True → q) → (True → r)
≡
(q → r) ∧ q → r
{q 7→ False}
{q 7→ True}
(True → r) ∧ True → r
≡
r ∧ True → r
HZ (IFI)
(False → r) ∧ False → r
ETI - Woche 3
39/211
Methode von Quine
Beispiel (Fortsetzung)
G
z
}|
{
(True ∧ q → r) ∧ (True → q) → (True → r)
≡
(q → r) ∧ q → r
{q 7→ False}
{q 7→ True}
(True → r) ∧ True → r
≡
r ∧ True → r
≡
r→r
≡
True
HZ (IFI)
(False → r) ∧ False → r
ETI - Woche 3
39/211
Methode von Quine
Beispiel (Fortsetzung)
G
z
}|
{
(True ∧ q → r) ∧ (True → q) → (True → r)
≡
(q → r) ∧ q → r
{q 7→ False}
{q 7→ True}
(True → r) ∧ True → r
≡
r ∧ True → r
≡
r→r
≡
True
HZ (IFI)
(False → r) ∧ False → r
≡
True ∧ False → r
ETI - Woche 3
39/211
Methode von Quine
Beispiel (Fortsetzung)
G
z
}|
{
(True ∧ q → r) ∧ (True → q) → (True → r)
≡
(q → r) ∧ q → r
{q 7→ False}
{q 7→ True}
(True → r) ∧ True → r
≡
r ∧ True → r
≡
r→r
≡
True
HZ (IFI)
(False → r) ∧ False → r
≡
True ∧ False → r
≡
False → r
≡
True
ETI - Woche 3
39/211
Methode von Quine
Beispiel (Fortsetzung)
G
z
}|
{
(True ∧ q → r) ∧ (True → q) → (True → r)
≡
(q → r) ∧ q → r
{q 7→ False}
{q 7→ True}
(True → r) ∧ True → r
≡
r ∧ True → r
≡
r→r
≡
True
(False → r) ∧ False → r
≡
True ∧ False → r
≡
False → r
≡
True
Es gibt keine weiteren Anforderungen mehr, also ist F eine Tautologie
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
39/211
Formales Beweisen
Formales Beweisen
Modus Ponens
A→B
B
HZ (IFI)
A
ETI - Woche 3
MP
40/211
Formales Beweisen
Formales Beweisen
Modus Ponens
A→B
B
A
MP
Definition
Axiome für die Aussagenlogik nach Frege und Lukasiewicz
HZ (IFI)
(1)
A → (B → A)
(2)
(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
(3)
(¬A → ¬B) → (B → A)
ETI - Woche 3
40/211
Formales Beweisen
Formales Beweisen
Modus Ponens
A→B
B
A
MP
Definition
Axiome für die Aussagenlogik nach Frege und Lukasiewicz
(1)
A → (B → A)
(2)
(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
(3)
(¬A → ¬B) → (B → A)
Die Axiome sind Schemata, das heißt A, B und C können für beliebige
Formeln stehen
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
40/211
Formales Beweisen
Formaler Beweis (Ableitung, Herleitung, Deduktion)
Definition
Sei G eine endliche Menge von Formeln (Prämissen), B eine Formel
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
41/211
Formales Beweisen
Formaler Beweis (Ableitung, Herleitung, Deduktion)
Definition
Sei G eine endliche Menge von Formeln (Prämissen), B eine Formel
1
HZ (IFI)
Ein Beweis von B aus G ist eine Sequenz
B1 , . . . , B` mit B` = B
ETI - Woche 3
41/211
Formales Beweisen
Formaler Beweis (Ableitung, Herleitung, Deduktion)
Definition
Sei G eine endliche Menge von Formeln (Prämissen), B eine Formel
1
HZ (IFI)
Ein Beweis von B aus G ist eine Sequenz
B1 , . . . , B` mit B` = B
sodass für alle 1 6 i 6 ` eine der folgenden Alternativen gilt:
ETI - Woche 3
41/211
Formales Beweisen
Formaler Beweis (Ableitung, Herleitung, Deduktion)
Definition
Sei G eine endliche Menge von Formeln (Prämissen), B eine Formel
1
Ein Beweis von B aus G ist eine Sequenz
B1 , . . . , B` mit B` = B
sodass für alle 1 6 i 6 ` eine der folgenden Alternativen gilt:
• Bi ∈ G
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
41/211
Formales Beweisen
Formaler Beweis (Ableitung, Herleitung, Deduktion)
Definition
Sei G eine endliche Menge von Formeln (Prämissen), B eine Formel
1
Ein Beweis von B aus G ist eine Sequenz
B1 , . . . , B` mit B` = B
sodass für alle 1 6 i 6 ` eine der folgenden Alternativen gilt:
• Bi ∈ G
• Bi ist eine Instanz eines der Axiome
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
41/211
Formales Beweisen
Formaler Beweis (Ableitung, Herleitung, Deduktion)
Definition
Sei G eine endliche Menge von Formeln (Prämissen), B eine Formel
1
Ein Beweis von B aus G ist eine Sequenz
B1 , . . . , B` mit B` = B
sodass für alle 1 6 i 6 ` eine der folgenden Alternativen gilt:
• Bi ∈ G
• Bi ist eine Instanz eines der Axiome
• Bi folgt mit MP aus Bi1 und Bi2 , i1 , i2 < i
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
41/211
Formales Beweisen
Formaler Beweis (Ableitung, Herleitung, Deduktion)
Definition
Sei G eine endliche Menge von Formeln (Prämissen), B eine Formel
1
Ein Beweis von B aus G ist eine Sequenz
B1 , . . . , B` mit B` = B
sodass für alle 1 6 i 6 ` eine der folgenden Alternativen gilt:
• Bi ∈ G
• Bi ist eine Instanz eines der Axiome
• Bi folgt mit MP aus Bi1 und Bi2 , i1 , i2 < i
2
HZ (IFI)
B heißt beweisbar aus den Prämissen G, wenn es einen Beweis von
B aus G gibt
ETI - Woche 3
41/211
Formales Beweisen
Formaler Beweis (Ableitung, Herleitung, Deduktion)
Definition
Sei G eine endliche Menge von Formeln (Prämissen), B eine Formel
1
Ein Beweis von B aus G ist eine Sequenz
B1 , . . . , B` mit B` = B
sodass für alle 1 6 i 6 ` eine der folgenden Alternativen gilt:
• Bi ∈ G
• Bi ist eine Instanz eines der Axiome
• Bi folgt mit MP aus Bi1 und Bi2 , i1 , i2 < i
2
B heißt beweisbar aus den Prämissen G, wenn es einen Beweis von
B aus G gibt
Definition
1
Die Beweisbarkeitsrelation A1 , . . . , An ` B gilt, gdw. B aus
{A1 , . . . , An } beweisbar ist.
2
Wenn ` B, dann nennen wir B beweisbar.
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
41/211
Formales Beweisen
Beispiel
Wir suchen einen Beweis für ¬p ` p → q:
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
42/211
Formales Beweisen
Beispiel
Wir suchen einen Beweis für ¬p ` p → q:
(1)
A → (B → A)
(2)
(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
(3)
(¬A → ¬B) → (B → A)
A→B A
B
(MP)
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
42/211
Formales Beweisen
Beispiel
Wir suchen einen Beweis für ¬p ` p → q:
(1)
A → (B → A)
(2)
(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
(3)
(¬A → ¬B) → (B → A)
A→B A
B
(MP)
1
2
3
4
5
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
42/211
Formales Beweisen
Beispiel
Wir suchen einen Beweis für ¬p ` p → q:
(1)
A → (B → A)
(2)
(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
(3)
(¬A → ¬B) → (B → A)
A→B A
B
(MP)
1
2
3
4
5
HZ (IFI)
¬p
Prämisse
ETI - Woche 3
42/211
Formales Beweisen
Beispiel
Wir suchen einen Beweis für ¬p ` p → q:
(1)
A → (B → A)
(2)
(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
(3)
(¬A → ¬B) → (B → A)
A→B A
B
(MP)
1
2
3
4
5
HZ (IFI)
¬p
Prämisse
p→q
ETI - Woche 3
42/211
Formales Beweisen
Beispiel
Wir suchen einen Beweis für ¬p ` p → q:
(1)
A → (B → A)
(2)
(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
(3)
(¬A → ¬B) → (B → A)
A→B A
B
(MP)
1
2
3
4
5
HZ (IFI)
¬p
¬p → (¬q → ¬p)
Prämisse
Axiom (1)
p→q
ETI - Woche 3
42/211
Formales Beweisen
Beispiel
Wir suchen einen Beweis für ¬p ` p → q:
(1)
A → (B → A)
(2)
(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
(3)
(¬A → ¬B) → (B → A)
A→B A
B
(MP)
1
2
3
4
5
HZ (IFI)
¬p
¬p → (¬q → ¬p)
¬q → ¬p
Prämisse
Axiom (1)
1, 2, MP
p→q
ETI - Woche 3
42/211
Formales Beweisen
Beispiel
Wir suchen einen Beweis für ¬p ` p → q:
HZ (IFI)
(1)
A → (B → A)
(2)
(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
(3)
(MP)
(¬A → ¬B) → (B → A)
A→B A
B
1
2
3
4
5
¬p
¬p → (¬q → ¬p)
¬q → ¬p
(¬q → ¬p) → (p → q)
p→q
ETI - Woche 3
Prämisse
Axiom (1)
1, 2, MP
Axiom (3)
42/211
Formales Beweisen
Beispiel
Wir suchen einen Beweis für ¬p ` p → q:
HZ (IFI)
(1)
A → (B → A)
(2)
(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
(3)
(MP)
(¬A → ¬B) → (B → A)
A→B A
B
1
2
3
4
5
¬p
¬p → (¬q → ¬p)
¬q → ¬p
(¬q → ¬p) → (p → q)
p→q
ETI - Woche 3
Prämisse
Axiom (1)
1, 2, MP
Axiom (3)
3, 4, MP
42/211
Formales Beweisen
Korrektheit und Vollständigkeit
Satz
Die Axiome (1), (2), (3) mit Inferenzregel MP sind korrekt und
vollständig für die Aussagenlogik:
A1 , . . . , An |= B
HZ (IFI)
gdw. A1 , . . . , An ` B .
ETI - Woche 3
43/211
Formales Beweisen
Korrektheit und Vollständigkeit
Satz
Die Axiome (1), (2), (3) mit Inferenzregel MP sind korrekt und
vollständig für die Aussagenlogik:
A1 , . . . , An |= B
gdw. A1 , . . . , An ` B .
Satz (Deduktionstheorem)
Sei B mit Hilfe der Prämisse A beweisbar, dann existiert ein Beweis von
A → B, der A nicht als Prämisse hat.
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
43/211
Formales Beweisen
Beispiel
Wir betrachten die Tautologie ¬p → (p → q):
HZ (IFI)
p
q
¬p → (p → q)
p
q
¬p → (p → q)
T
T
T
F
T
T
F
F
T
F
T
T
ETI - Woche 3
44/211
Formales Beweisen
Beispiel
Wir betrachten die Tautologie ¬p → (p → q):
HZ (IFI)
(1)
A → (B → A)
(2)
(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
(3)
(¬A → ¬B) → (B → A)
ETI - Woche 3
44/211
Formales Beweisen
Beispiel
Wir betrachten die Tautologie ¬p → (p → q):
(1)
A → (B → A)
(2)
(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
(3)
(¬A → ¬B) → (B → A)
Nun zeigen wir die Gültigkeit mit folgenden Beweis:
6
HZ (IFI)
¬p → (p → q)
ETI - Woche 3
44/211
Formales Beweisen
Beispiel
Wir betrachten die Tautologie ¬p → (p → q):
(1)
A → (B → A)
(2)
(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
(3)
(¬A → ¬B) → (B → A)
Nun zeigen wir die Gültigkeit mit folgenden Beweis:
1
2
3
4
5
6
HZ (IFI)
¬p
Prämisse
¬p → (p → q)
ETI - Woche 3
44/211
Formales Beweisen
Beispiel
Wir betrachten die Tautologie ¬p → (p → q):
(1)
A → (B → A)
(2)
(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
(3)
(¬A → ¬B) → (B → A)
Nun zeigen wir die Gültigkeit mit folgenden Beweis:
1
2
3
4
5
6
HZ (IFI)
¬p
¬p → (¬q → ¬p)
Prämisse
Axiom (1)
¬p → (p → q)
ETI - Woche 3
44/211
Formales Beweisen
Beispiel
Wir betrachten die Tautologie ¬p → (p → q):
(1)
A → (B → A)
(2)
(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
(3)
(¬A → ¬B) → (B → A)
Nun zeigen wir die Gültigkeit mit folgenden Beweis:
1
2
3
4
5
6
HZ (IFI)
¬p
¬p → (¬q → ¬p)
¬q → ¬p
Prämisse
Axiom (1)
1, 2, MP
¬p → (p → q)
ETI - Woche 3
44/211
Formales Beweisen
Beispiel
Wir betrachten die Tautologie ¬p → (p → q):
(1)
A → (B → A)
(2)
(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
(3)
(¬A → ¬B) → (B → A)
Nun zeigen wir die Gültigkeit mit folgenden Beweis:
1
2
3
4
5
6
HZ (IFI)
¬p
¬p → (¬q → ¬p)
¬q → ¬p
(¬q → ¬p) → (p → q)
Prämisse
Axiom (1)
1, 2, MP
Axiom (3)
¬p → (p → q)
ETI - Woche 3
44/211
Formales Beweisen
Beispiel
Wir betrachten die Tautologie ¬p → (p → q):
(1)
A → (B → A)
(2)
(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
(3)
(¬A → ¬B) → (B → A)
Nun zeigen wir die Gültigkeit mit folgenden Beweis:
1
2
3
4
5
6
HZ (IFI)
¬p
¬p → (¬q → ¬p)
¬q → ¬p
(¬q → ¬p) → (p → q)
p→q
¬p → (p → q)
Prämisse
Axiom (1)
1, 2, MP
Axiom (3)
3, 4, MP
ETI - Woche 3
44/211
Formales Beweisen
Beispiel
Wir betrachten die Tautologie ¬p → (p → q):
(1)
A → (B → A)
(2)
(A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
(3)
(¬A → ¬B) → (B → A)
Nun zeigen wir die Gültigkeit mit folgenden Beweis:
1
2
3
4
5
6
HZ (IFI)
¬p
¬p → (¬q → ¬p)
¬q → ¬p
(¬q → ¬p) → (p → q)
p→q
¬p → (p → q)
Prämisse
Axiom (1)
1, 2, MP
Axiom (3)
3, 4, MP
1, 5, Deduktionstheorem
ETI - Woche 3
44/211
Formales Beweisen
Beweis des Deduktionstheorems.
Angenommen B wird mit dem Beweis
B1 , . . . , B` = B
nachgewiesen;
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
45/211
Formales Beweisen
Beweis des Deduktionstheorems.
Angenommen B wird mit dem Beweis
B1 , . . . , B` = B
nachgewiesen; oBdA. gilt B1 = A;
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
45/211
Formales Beweisen
Beweis des Deduktionstheorems.
Angenommen B wird mit dem Beweis
B1 , . . . , B` = B
nachgewiesen; oBdA. gilt B1 = A; wir zeigen die folgende Aussage mit
Induktion nach k (1 6 k 6 `):
A → Bk ist ohne die Prämisse A beweisbar
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
45/211
Formales Beweisen
Beweis des Deduktionstheorems.
Angenommen B wird mit dem Beweis
B1 , . . . , B` = B
nachgewiesen; oBdA. gilt B1 = A; wir zeigen die folgende Aussage mit
Induktion nach k (1 6 k 6 `):
A → Bk ist ohne die Prämisse A beweisbar
1
HZ (IFI)
Basis: k = 1; dann gilt B1 = Bk = A und die Behauptung, da
A → A beweisbar
ETI - Woche 3
45/211
Formales Beweisen
Beweis des Deduktionstheorems.
Angenommen B wird mit dem Beweis
B1 , . . . , B` = B
nachgewiesen; oBdA. gilt B1 = A; wir zeigen die folgende Aussage mit
Induktion nach k (1 6 k 6 `):
A → Bk ist ohne die Prämisse A beweisbar
1
Basis: k = 1; dann gilt B1 = Bk = A und die Behauptung, da
A → A beweisbar
2
Schritt: k > 1; die Induktionshypothese besagt
Für alle l < k ist A → Bl ohne die Prämisse A beweisbar
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
45/211
Formales Beweisen
Beweis des Deduktionstheorems.
Angenommen B wird mit dem Beweis
B1 , . . . , B` = B
nachgewiesen; oBdA. gilt B1 = A; wir zeigen die folgende Aussage mit
Induktion nach k (1 6 k 6 `):
A → Bk ist ohne die Prämisse A beweisbar
1
Basis: k = 1; dann gilt B1 = Bk = A und die Behauptung, da
A → A beweisbar
2
Schritt: k > 1; die Induktionshypothese besagt
Für alle l < k ist A → Bl ohne die Prämisse A beweisbar
Fallunterscheidung:
• sei Bk = A (wir argumentieren wie im Basisfall)
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
45/211
Formales Beweisen
Beweis des Deduktionstheorems.
Angenommen B wird mit dem Beweis
B1 , . . . , B` = B
nachgewiesen; oBdA. gilt B1 = A; wir zeigen die folgende Aussage mit
Induktion nach k (1 6 k 6 `):
A → Bk ist ohne die Prämisse A beweisbar
1
Basis: k = 1; dann gilt B1 = Bk = A und die Behauptung, da
A → A beweisbar
2
Schritt: k > 1; die Induktionshypothese besagt
Für alle l < k ist A → Bl ohne die Prämisse A beweisbar
Fallunterscheidung:
• sei Bk = A (wir argumentieren wie im Basisfall)
• sei Bk ein Axiom oder eine Prämisse 6= A
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
45/211
Formales Beweisen
Beweis des Deduktionstheorems.
Angenommen B wird mit dem Beweis
B1 , . . . , B` = B
nachgewiesen; oBdA. gilt B1 = A; wir zeigen die folgende Aussage mit
Induktion nach k (1 6 k 6 `):
A → Bk ist ohne die Prämisse A beweisbar
1
Basis: k = 1; dann gilt B1 = Bk = A und die Behauptung, da
A → A beweisbar
2
Schritt: k > 1; die Induktionshypothese besagt
Für alle l < k ist A → Bl ohne die Prämisse A beweisbar
Fallunterscheidung:
• sei Bk = A (wir argumentieren wie im Basisfall)
• sei Bk ein Axiom oder eine Prämisse 6= A
• Bk folgt mit MP aus Bi , Bj = (Bi → Bk )
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
45/211
Formales Beweisen
Beweis des Deduktionstheorems.
• Fall Bk ein Axiom oder eine Prämisse 6= A
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
46/211
Formales Beweisen
Beweis des Deduktionstheorems.
• Fall Bk ein Axiom oder eine Prämisse 6= A
• Fall Bk folgt mit MP aus Bi , Bj = (Bi → Bk )
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
46/211
Formales Beweisen
Beweis des Deduktionstheorems.
• Fall Bk ein Axiom oder eine Prämisse 6= A
Wir verwenden folgenden Beweis:
1
2
3
Bk
Bk → (A → Bk )
A → Bk
Axiom oder Prämisse 6= A
Axiom (1)
1, 2, MP
• Fall Bk folgt mit MP aus Bi , Bj = (Bi → Bk )
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
46/211
Formales Beweisen
Beweis des Deduktionstheorems.
• Fall Bk ein Axiom oder eine Prämisse 6= A
Wir verwenden folgenden Beweis:
1
2
3
Bk
Bk → (A → Bk )
A → Bk
Axiom oder Prämisse 6= A
Axiom (1)
1, 2, MP
• Fall Bk folgt mit MP aus Bi , Bj = (Bi → Bk )
Wir verwenden folgenden Beweis:
1
2
3
4
5
HZ (IFI)
Beweis von A → Bi
IH
Beweis von A → (Bi → Bk )
IH
(A → (Bi → Bk )) → (A → Bi ) → (A → Bk ) Axiom (2)
(A → Bi ) → (A → Bk )
2, 3, MP
A → Bk
1, 4, MP
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46/211
Formales Beweisen
Beweis des Deduktionstheorems.
• Fall Bk ein Axiom oder eine Prämisse 6= A
Wir verwenden folgenden Beweis:
1
2
3
Bk
Bk → (A → Bk )
A → Bk
Axiom oder Prämisse 6= A
Axiom (1)
1, 2, MP
• Fall Bk folgt mit MP aus Bi , Bj = (Bi → Bk )
Wir verwenden folgenden Beweis:
1
2
3
4
5
HZ (IFI)
Beweis von A → Bi
IH
Beweis von A → (Bi → Bk )
IH
(A → (Bi → Bk )) → (A → Bi ) → (A → Bk ) Axiom (2)
(A → Bi ) → (A → Bk )
2, 3, MP
A → Bk
1, 4, MP
ETI - Woche 3
46/211
Formales Beweisen
Konjunktive und Disjunktive Normalform
Definition
Eine Wahrheitsfunktion f : {T, F}n → {T, F} ist eine Funktion, die n
Wahrheitswerten einen Wahrheitswert zuordnet
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
47/211
Formales Beweisen
Konjunktive und Disjunktive Normalform
Definition
Eine Wahrheitsfunktion f : {T, F}n → {T, F} ist eine Funktion, die n
Wahrheitswerten einen Wahrheitswert zuordnet
Definition
Sei f : {T, F}n → {T, F} eine Wahrheitsfunktion; wir definieren:
TV(f ) := {(s1 , . . . , sn ) | f (s1 , . . . , sn ) = T}
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
47/211
Formales Beweisen
Konjunktive und Disjunktive Normalform
Definition
Eine Wahrheitsfunktion f : {T, F}n → {T, F} ist eine Funktion, die n
Wahrheitswerten einen Wahrheitswert zuordnet
Definition
Sei f : {T, F}n → {T, F} eine Wahrheitsfunktion; wir definieren:
TV(f ) := {(s1 , . . . , sn ) | f (s1 , . . . , sn ) = T}
Definition
1
HZ (IFI)
Ein Literal ist ein Atom p oder die Negation eines Atoms ¬p
ETI - Woche 3
47/211
Formales Beweisen
Konjunktive und Disjunktive Normalform
Definition
Eine Wahrheitsfunktion f : {T, F}n → {T, F} ist eine Funktion, die n
Wahrheitswerten einen Wahrheitswert zuordnet
Definition
Sei f : {T, F}n → {T, F} eine Wahrheitsfunktion; wir definieren:
TV(f ) := {(s1 , . . . , sn ) | f (s1 , . . . , sn ) = T}
Definition
1
Ein Literal ist ein Atom p oder die Negation eines Atoms ¬p
2
Eine Formel A ist in disjunktiver Normalform (DNF), wenn A eine
Disjunktion von Konjunktionen von Literalen ist
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
47/211
Formales Beweisen
Konjunktive und Disjunktive Normalform
Definition
Eine Wahrheitsfunktion f : {T, F}n → {T, F} ist eine Funktion, die n
Wahrheitswerten einen Wahrheitswert zuordnet
Definition
Sei f : {T, F}n → {T, F} eine Wahrheitsfunktion; wir definieren:
TV(f ) := {(s1 , . . . , sn ) | f (s1 , . . . , sn ) = T}
Definition
1
Ein Literal ist ein Atom p oder die Negation eines Atoms ¬p
2
Eine Formel A ist in disjunktiver Normalform (DNF), wenn A eine
Disjunktion von Konjunktionen von Literalen ist
3
Eine Formel A ist in konjunktiver Normalform (KNF), wenn A eine
Konjunktion von Disjunktionen von Literalen ist
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
47/211
Formales Beweisen
Lemma
• Sei f : {T, F}n → {T, F} eine Wahrheitsfunktion mit
TV(f ) 6= ∅, TV(f ) 6= {T, F}n
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
48/211
Formales Beweisen
Lemma
• Sei f : {T, F}n → {T, F} eine Wahrheitsfunktion mit
TV(f ) 6= ∅, TV(f ) 6= {T, F}n
• Seien p1 , . . . , pn atomare Formeln
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
48/211
Formales Beweisen
Lemma
• Sei f : {T, F}n → {T, F} eine Wahrheitsfunktion mit
TV(f ) 6= ∅, TV(f ) 6= {T, F}n
• Seien p1 , . . . , pn atomare Formeln
• Sei DNF D definiert als:
D :=
_
n
^
Ai
(s1 ,...,sn )∈TV(f ) i=1
wobei Ai = pi , wenn si = T und Ai = ¬pi sonst
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
48/211
Formales Beweisen
Lemma
• Sei f : {T, F}n → {T, F} eine Wahrheitsfunktion mit
TV(f ) 6= ∅, TV(f ) 6= {T, F}n
• Seien p1 , . . . , pn atomare Formeln
• Sei DNF D definiert als:
D :=
_
n
^
Ai
(s1 ,...,sn )∈TV(f ) i=1
wobei Ai = pi , wenn si = T und Ai = ¬pi sonst
• Sei KNF K definiert als:
K :=
^
n
_
Bj
(s1 ,...,sn )6∈TV(f ) j=1
wobei Bj = pj , wenn sj = F und Bj = ¬pj sonst
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
48/211
Formales Beweisen
Lemma
• Sei f : {T, F}n → {T, F} eine Wahrheitsfunktion mit
TV(f ) 6= ∅, TV(f ) 6= {T, F}n
• Seien p1 , . . . , pn atomare Formeln
• Sei DNF D definiert als:
D :=
_
n
^
Ai
(s1 ,...,sn )∈TV(f ) i=1
wobei Ai = pi , wenn si = T und Ai = ¬pi sonst
• Sei KNF K definiert als:
K :=
^
n
_
Bj
(s1 ,...,sn )6∈TV(f ) j=1
wobei Bj = pj , wenn sj = F und Bj = ¬pj sonst
• Die Wahrheitstabellen von D und K entsprechen der
Wahrheitsfunktion f
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
48/211
Formales Beweisen
Satz
1
HZ (IFI)
Jede Wahrheitsfunktion kann als DNF oder KNF ausgedrückt
werden
ETI - Woche 3
49/211
Formales Beweisen
Satz
1
Jede Wahrheitsfunktion kann als DNF oder KNF ausgedrückt
werden
2
Jede Formel mit n Atomen induziert eine Wahrheitsfunktion in n
Variablen
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
49/211
Formales Beweisen
Satz
1
Jede Wahrheitsfunktion kann als DNF oder KNF ausgedrückt
werden
2
Jede Formel mit n Atomen induziert eine Wahrheitsfunktion in n
Variablen
Beweis.
1
Es fehlen die Fälle mit trivialer Wahrheitsfunktion:
• TV(f ) = ∅
• TV(f ) = {T, F}n
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
49/211
Formales Beweisen
Satz
1
Jede Wahrheitsfunktion kann als DNF oder KNF ausgedrückt
werden
2
Jede Formel mit n Atomen induziert eine Wahrheitsfunktion in n
Variablen
Beweis.
1
Es fehlen die Fälle mit trivialer Wahrheitsfunktion:
• TV(f ) = ∅
• TV(f ) = {T, F}n
2
Setze D = K := p ∧ ¬p im ersten Fall
3
Setze D = K := p ∨ ¬p im zweiten Fall
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
49/211
Formales Beweisen
Satz
1
Jede Wahrheitsfunktion kann als DNF oder KNF ausgedrückt
werden
2
Jede Formel mit n Atomen induziert eine Wahrheitsfunktion in n
Variablen
Beweis.
1
Es fehlen die Fälle mit trivialer Wahrheitsfunktion:
• TV(f ) = ∅
• TV(f ) = {T, F}n
2
Setze D = K := p ∧ ¬p im ersten Fall
3
Setze D = K := p ∨ ¬p im zweiten Fall
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
49/211
Formales Beweisen
Satz
1
Jede Wahrheitsfunktion kann als DNF oder KNF ausgedrückt
werden
2
Jede Formel mit n Atomen induziert eine Wahrheitsfunktion in n
Variablen
Beweis.
1
Es fehlen die Fälle mit trivialer Wahrheitsfunktion:
• TV(f ) = ∅
• TV(f ) = {T, F}n
2
Setze D = K := p ∧ ¬p im ersten Fall
3
Setze D = K := p ∨ ¬p im zweiten Fall
Folgerung
Für jede Formel A existiert eine DNF D und eine KNF K , sodass
A ≡ D ≡ K gilt.
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
49/211
Formales Beweisen
Beispiel
Die folgende Operation (⊕) wird XOR genannt:
p
F
F
T
T
HZ (IFI)
q
F
T
F
T
p⊕q
F
T
T
F
ETI - Woche 3
50/211
Formales Beweisen
Beispiel
Die folgende Operation (⊕) wird XOR genannt:
p
F
F
T
T
q
F
T
F
T
p⊕q
F
T
T
F
Wir erstellen die KNF:
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
50/211
Formales Beweisen
Beispiel
Die folgende Operation (⊕) wird XOR genannt:
p
F
F
T
T
q
F
T
F
T
p⊕q
F
T
T
F
Wir erstellen die KNF:
TV(⊕) = {(F, T), (T, F)}
HZ (IFI)
ETI - Woche 3
50/211
Formales Beweisen
Beispiel
Die folgende Operation (⊕) wird XOR genannt:
p
F
F
T
T
q
F
T
F
T
p⊕q
F
T
T
F
Wir erstellen die KNF:
TV(⊕) = {(F, T), (T, F)}
p
F
T
HZ (IFI)
q
F
T
p⊕q
F
F
Disjunktion
ETI - Woche 3
50/211
Formales Beweisen
Beispiel
Die folgende Operation (⊕) wird XOR genannt:
p
F
F
T
T
q
F
T
F
T
p⊕q
F
T
T
F
Wir erstellen die KNF:
TV(⊕) = {(F, T), (T, F)}
p
F
T
HZ (IFI)
q
F
T
p⊕q
F
F
Disjunktion
p1 ∨ p2
ETI - Woche 3
50/211
Formales Beweisen
Beispiel
Die folgende Operation (⊕) wird XOR genannt:
p
F
F
T
T
q
F
T
F
T
p⊕q
F
T
T
F
Wir erstellen die KNF:
TV(⊕) = {(F, T), (T, F)}
p
F
T
HZ (IFI)
q
F
T
p⊕q
F
F
Disjunktion
p1 ∨ p2
¬p1 ∨ ¬p2
ETI - Woche 3
50/211
Formales Beweisen
Beispiel
Die folgende Operation (⊕) wird XOR genannt:
p
F
F
T
T
q
F
T
F
T
p⊕q
F
T
T
F
Wir erstellen die KNF:
TV(⊕) = {(F, T), (T, F)}
p
F
T
HZ (IFI)
q
F
T
p⊕q
F
F
Disjunktion
p1 ∨ p2
¬p1 ∨ ¬p2
ETI - Woche 3
KNF
(p1 ∨ p2 ) ∧ (¬p1 ∨ ¬p2 )
50/211