Formelsammlung Induktive Statistik

Formelsammlung
Induktive Statistik
Prof. Dr. Günter Hellmig
Prof. Dr. Günter Hellmig
–
Formelsammlung „Induktive Statistik“
1. Kombinatorik
1.1 Permutation
1.1.1 ohne Wiederholung
P (n) = n!
1.1.2
mit Wiederholung
P ′(n1 ,..., nk ) =
n!
n1!n2 !...nk !
1.2 Variation
1.2.1 ohne Wiederholung
V k ( n) =
1.2.2
n!
(n − k )!
mit Wiederholung
Vk′ (n) = n k
1.3 Kombination
1.3.1 ohne Wiederholung
 n
C k (n) =  
k 
1.3.2
mit Wiederholung
 n + k − 1

C k′ (n) = 
 k 
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2. Wahrscheinlichkeiten
2.1 Definition
p ( A) =
n( A)
n( I )
p ( A) = 1 − p ( A)
2.2 Additions- und Multiplikationssatz
2.2.1 Spezieller Additionssatz
p ( A ∪ B) = p ( A) + p ( B )
2.2.2 Spezieller Multiplikationssatz
p ( A ∩ B) = p ( A) ⋅ p ( B )
2.2.3 Allgemeiner Additionssatz
p ( A ∪ B) = p ( A) + p ( B) − p ( A ∩ B)
2.2.4 Allgemeiner Multiplikationssatz
p ( A ∩ B ) = p ( A) ⋅ p ( B / A)
2.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit
p(B / A) =
p( A ∩ B )
p ( A)
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3. Verteilungen
3.1 Eigenschaften (diskrete Verteilungen)
E( x ) = ∑ x j ⋅ p j = µ
Var( x ) = ∑ ( x j −µ )2 ⋅ p j = σ 2
3.2 Binomialverteilung
n
B( x / n, P) =   ⋅ P x ⋅ Q n− x mit x = 0,1,2,..., n ; Q = 1 − P
 x
E ( x) = n ⋅ P ; Var ( x) = n ⋅ P ⋅ Q
3.3 Hypergeometrische Verteilung
X  N − X 
  ⋅ 

x   n − x 
X
X

H ( x / n, X , N ) =
mit x = 0,1,2,..., n ; P =
; Q = 1−
N
N
N
 
n
E ( x) = n ⋅ P ; Var ( x) = n ⋅ P ⋅ Q ⋅
N −n
;
N −1
3.4 Poissonverteilung
P( x / µ ) =
µx
x!
⋅ e − µ mit x = 0,1,2,..., n ; µ = n ⋅ P
E (x) = µ ; Var (x) = µ
3.5 Normalverteilung (standardisiert)
1
N ( u / 0 ;1 ) =
− u2
1
x−µ
⋅ e 2 mit u =
σ
2π
E( u ) = 0 ; Var( u ) = 1
Blatt 3
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4. Stichproben und Grenzwertsätze
4.1 Ungleichung von Tschebyscheff
Pr( µ x − ε ⋅
Pr( P − ε ⋅
σx
n
< x < µx + ε ⋅
σx
n
) > 1−
lim( x − µ ) = 0
n →∞
lim( p − P ) = 0
n →∞
4.3 Zentraler Grenzwertsatz
x1 + x 2 + ... + x n → N (n ⋅ µ x ; n ⋅ σ x2 )
u=
σ2
1
( x1 + x 2 + ... + x n ) → N ( µ x ; x )
n
n
x − µx
σx
n
ε2
1
P ⋅Q
P ⋅Q
) > 1− 2
< p < P +ε ⋅
n
n
ε
4.2 Gesetz der großen Zahlen
x=
1
=
x −µ
σ
n
→ N ( 0 ;1 )
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Blatt 4
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5a. Normalverteilung als Prüfverteilung
1
N (u / 0;1) =
− u2
1
⋅e 2
2π
u
e
F (u / 0;1) =
∫
−∞
+u
z
F (u / 0;1) =
∫
−u
u
0,00
0,50
1,00
1,28
1,50
1,64
1,96
2,00
2,33
2,58
3,00
1
− u2
1
⋅ e 2 ⋅ du
2π
1
− u2
1
⋅ e 2 ⋅ du
2π
Fe
0,5000
0,6915
0,8413
0,9000
0,9332
0,9500
0,9750
0,9772
0,9900
0,9950
0,9987
Fz
0,0000
0,3829
0,6827
0,8000
0,8664
0,9000
0,9500
0,9545
0,9800
0,9900
0,9973
–
Blatt 5
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Blatt 6
5b. t-Verteilung als Prüfverteilung
Die Zufallsvariable t =
x − µx
folgt einer t-Verteilung mit ν = n − 1 Freiheitsgraden
s
ν
F0z,95
F0z,99
F0e,95
F0e,99
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
20
25
30
∞
12,71
4,30
3,18
2,78
2,57
2,45
2,36
2,31
2,26
2,23
2,13
2,09
2,06
2,04
1,96
63,66
9,92
5,84
4,60
4,03
3,71
3,50
3,36
3,25
3,17
2,95
2,85
2,79
2,75
2,58
6,31
2,92
2,35
2,13
2,02
1,94
1,89
1,86
1,83
1,81
1,75
1,72
1,71
1,70
1,64
31,82
6,96
4,54
3,75
3,36
3,14
3,00
2,90
2,82
2,76
2,60
2,53
2,49
2,46
2,33
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5c. Chi-Quadrat-Verteilung als Prüfverteilung
2
x −x
 folgt einer χ 2 -Verteilung mit ν = n − 1
Die Zufallvariable χ = ∑  i
σ
i =1 
x

Freiheitsgraden
n
2
ν
F0, 01
F0, 05
F0,95
F0,99
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
20
25
30
0,0
0,0
0,1
0,3
0,6
0,9
1,2
1,6
2,1
2,6
5,2
8,3
11,5
15,0
0,0
0,1
0,4
0,7
1,1
1,6
2,2
2,7
3,3
3,9
7,3
10,9
14,6
18,5
3,8
6,0
7,8
9,5
11,1
12,6
14,1
15,5
16,9
18,3
25,0
31,4
37,7
43,8
6,6
9,2
11,3
13,3
15,1
16,8
18,5
20,1
21,7
23,2
30,6
37,6
44,3
50,9
Blatt 7
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Blatt 8
6. Schätzverfahren
(ggf. Einseitigkeit und Korrekturfaktor 1 −
n
beachten!)
N
6.1 Zufallsstreubereich
6.1.1 Mittelwert-Schätzung
Pr( µ − u ⋅
σ
n
≤ x ≤ µ +u⋅
σ
n
) = 1−α
6.1.2 Anteilswert-Schätzung
Pr( P − u ⋅
P ⋅Q
P ⋅Q
≤ p ≤ P+u⋅
) = 1−α
n
n
6.2 Vertrauensbereich
(Anwendungsvoraussetzung sowie ggf. t-Verteilung und Freiheitsgrad
beachten!)
6.2.1
Mittelwert-Schätzung
Pr( x − u ⋅
6.2.2
s
s
≤ µ ≤ x +u⋅
) = 1−α
n
n
( wobei s ≈ σ )
Anteilswert-Schätzung
Pr( p − u ⋅
p⋅q
≤ P ≤ p+u⋅
n
p⋅q
) = 1−α
n
( wobei p ⋅ q ≈ P ⋅ Q )
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7. Testverfahren
7.1 Parametertests
(ggf. t-Verteilung bzw. Korrekturfaktor 1 −
7.1.1 Mittelwert-Test
u=
x − µ0
σx
n
7.1.2 Anteilswert-Test
u=
p − P0
P ⋅Q
n
7.2 Nichtparametrische Tests
7.2.1 Anpassungstest
(ni − nPi ) 2
χ =∑
nPi
i =1
k
2
7.2.2 Unabhängigkeitstest
k
m
χ = ∑∑
2
i =1 j =1
(nij −
ni. n. j
n
ni. n. j
n
)2
n
berücksichtigen!)
N
Blatt 9