1/7 Prof. Regina T. Riphahn, Ph.D. WS 04/05 Abschlussklausur zur

Prof. Regina T. Riphahn, Ph.D.
WS 04/05
Abschlussklausur zur Veranstaltung "Einführung in die Ökonometrie"
am 24. Februar 2005, 9.00-10.30 Uhr
Erlaubte Hilfsmittel: Tabelle der statistischen Verteilungen, 4 DIN A4-Seiten eigene Notizen,
Taschenrechner, Fremdwörterbuch.
Bearbeitungszeit: 90 Minuten
Die Klausur besteht aus 5 Aufgaben, in denen insgesamt 90 Punkte erworben werden können.
Die Punktzahl je Aufgabe, bzw. je Teilaufgabe, ist in eckigen Klammern angegeben und
entspricht der für die Aufgabe aufzuwendenden Zeit in Minuten.
Das Team der Abteilung Statistik und Ökonometrie wünscht Ihnen viel Erfolg!
Klausurergebnis:
Aufgabe
1
2
3
4
5
Punkte:
Aufgabe 1:
[34]
Als wissenschaftlicher Mitarbeiter eines Schlafinstituts versuchen Sie schon seit längerem,
geeignete Determinanten zu finden, die menschliches Schlafverhalten erklären können. Nach
jahrelanger Forschung und vielen schlaflosen Nächten sind Sie auf folgende Gleichung
gekommen:
SLEEP = β1 + β2 * TOTWRK + β3 * EDUC + β4 * AGE + β5 * MARR
Um Ihre Gleichung schätzen zu können, nutzen Sie amerikanische Querschnittsdaten aus dem
Jahre 1990 mit 532 Beobachtungen. Die Variablen sind wie folgt definiert:
SLEEPi
TOTWRKi
EDUCi
AGEi
MARRi
MALEi
Schlaf pro Woche einer Person i, gemessen in Minuten
Totale Arbeitszeit pro Woche der Person i , gemessen in Minuten
Ausbildung der Person i , gemessen in Anzahl der Schuljahre
Alter der Person i, gemessen in Jahren
Dummy-Variable mit Ausprägung 1, wenn Person i verheiratet, sonst 0
Dummy-Variable mit Ausprägung 1, wenn Person i männlich, sonst 0
Gesamthaft führen Sie drei Schätzungen durch. Die erste (Tabelle 1) beinhaltet sämtliche 532
Beobachtungen. Da Sie der Überzeugung sind, dass das Schlafverhalten zwischen Männern
und Frauen jedoch grundsätzlich anders ist, schätzen Sie erneut nur für Männer (Tabelle 2)
und danach nur für Frauen (Tabelle 3).
a) Interpretieren Sie den Regressionsparameter b5 der Tabelle 1 statistisch und inhaltlich.[2]
b) Testen Sie H 0 : β 2 − β3 + β 4 = 10 für Tabelle 1 auf dem 5%-Signifikanzniveau
zweiseitig. Stellen Sie die Alternativhypothese auf. Sie wissen, dass Cov(b2 , b3 ) = 0 ,
Cov(b2 , b4 ) = 0 und Cov(b3 , b4 ) = 0 . Geben Sie die korrekte Anzahl der Freiheitsgrade
an, verwenden Sie jedoch DF = ∞ .
[5]
c) Die berechnete Durbin-Watson Statistik hat den Wert 1.917767 (Tabelle 1). Testen Sie
H 0 : ρ ≥ 0 auf dem 5% Signifikanzniveau und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise
detailliert. Erläutern Sie die Alternativhypothese in Worten.
[4]
d) Sie vermuten, dass Sie entscheidende Variablen ausgelassen haben. Deshalb schätzen Sie
Abschlussklausur "Einführung in die Ökonometrie", WS 04/05
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Ihr Modell erneut, diesmal zusätzlich mit den prognostizierten Werten der abhängigen
Variablen in zweiter und dritter Potenz. Warum kann das nützlich sein? Die nun
berechnete Fehlerquadratsumme ist 85774437. Welchen Schluss können Sie daraus
ziehen? Erläutern Sie Ihr Vorgehen (verwenden Sie Tabelle 1).
[5]
e) Sie glauben weiter, dass der Einfluss der Arbeitsstunden auf das Schlafbedürfnis mit der
Ausbildung des Arbeitnehmers variiert. Wie können Sie diese Hypothese testen?
[3]
f) Führen Sie einen Chow-Test bei einem Signifikanzniveau von 5% durch, um zu prüfen,
ob es signifikante Unterschiede in den Regressionsergebnissen für Männer und Frauen
gibt. Zu welchem Ergebnis kommen Sie? Wie sieht das unrestringierte Modell formal
aus?
[8]
g) Sie befürchten, dass die Variable TOTWRK mit dem Störterm korreliert. Was hätte das für
Auswirkungen? Sie führen einen Hausman Test mit Hilfe von Instrument-Variablen
durch. Erklären Sie genau Ihre Vorgehensweise. Welche Bedingungen müssen die
Instrumente erfüllen?
[7]
Tabelle 1:
Dependent Variable: SLEEP Method: Least Squares
Sample (adjusted): 1 532: Included observations: 532 after adjustments
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
C
TOTWRK
EDUC
AGE
MARR
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
Tabelle 2:
0.113715
0.10529
407.6534
87411354
-3949.4
1.917767
138.3
0.2
7.2
1.6
41.9
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
3740.654
-0.193726
-9.834978
1.396035
56.52929
0.144577
0.129675
400.6014
46058189
-2168.657
1.800945
199.2318
0.029113
9.557494
2.299914
71.36427
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
3579.708
-0.119563
-10.32447
0.200901
70.98971
0.077318
0.057518
417.6626
40645002
-1778.375
1.950652
Abschlussklausur "Einführung in die Ökonometrie", WS 04/05
203.2932
0.030968
10.98434
2.485346
63.54732
Prob.
0
0
0.1651
0.539
0.0583
3259.466
430.9729
14.86993
14.91816
13.4977
0
t-Statistic
Prob.
18.77538
-6.654264
-1.029033
0.606994
0.792123
0
0
0.3043
0.5443
0.4289
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
Dependent Variable: SLEEP Method: Least Squares
Sample: 1 532 IF MALE=0: Included observations: 259
Variable
Coefficient
Std. Error
C
TOTWRK
EDUC
AGE
MARR
26.1012292
-0.75
-1.38888889
0.9375
1.550358
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
Dependent Variable: SLEEP Method: Least Squares
Sample: 1 532 IF MALE=1: Included observations: 273
Variable
Coefficient
Std. Error
C
TOTWRK
EDUC
AGE
MARR
Tabelle 3:
3609.8
-0.15
-10
1.5
64.96
3225.939
429.4095
14.84408
14.91944
9.70134
0
t-Statistic
Prob.
17.6086
-3.860808
-0.939926
0.080834
1.117116
0
0.0001
0.3482
0.9356
0.2651
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
3300.569
430.2185
14.93201
15.01928
3.904933
0.002033
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Aufgabe 2:
[21]
In einem einfachen Regressionsmodell yt = $1 + $2 xt + et hat die Varianz des Störterms
folgende Struktur:
Ft2 = F2 xt3
a) Welche Auswirkungen hat dies auf die Eigenschaften des Kleinstquadrateschätzers? [2]
b) Wie würden Sie vorgehen, um eine Schätzung mit homoskedastischen Fehlern zu
erhalten? Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise und zeigen Sie, dass der in Ihrem Verfahren
resultierende Störterm homoskedastisch ist.
[4]
c) Gibt es ein alternatives Verfahren, das Problem anzugehen? Erläutern Sie dieses verbal
und formal.
[4]
d) Erläutern Sie detailliert, wie man am Beispiel der oben genannten Störtermvarianz formal
auf Heteroskedastie testen kann.
[6]
e) Wie lautet Ihr Schluss am 5 Prozent Signifikanzniveau für einen einseitigen Test der
Homoskedastie als Nullhypothese, wenn die Teststatistik für den Test aus Aufgabe (d) den
Wert 2,08 annimmt und Sie mit insgesamt 26 Beobachtungen gearbeitet haben?
[2]
f) Sie erfahren nachträglich, dass die Varianz des Störterms die Form Ft2 = F2 xt2 annimmt.
Was bedeutet dies für Ihre Schätzergebnisse aus Teilaufgabe (b)?
[3]
Aufgabe 3:
[5]
Zeigen Sie, dass folgender Zusammenhang zwischen der Teststatistik des F-Tests (F) und
dem Gütemass R2 gilt:
R 2 /( k − 1)
F=
(1 − R 2 ) /(T − k )
wobei k die Anzahl der geschätzten Steigungsparameter und T die Anzahl der Beobachtungen
angibt.
Aufgabe 4:
[15]
Wahr oder Falsch? Tragen Sie für zutreffende Aussagen den Buchstaben w (für wahr),
für nicht zutreffende f (für falsch) ein.
(Für jede richtige Antwort gibt es 0,75 Punkte, für jede falsche Antwort werden 0,75 Punkte
abgezogen. Die Gesamtpunktzahl kann nicht negativ werden.)
Die Chi-Quadrat Verteilung ist eine einparametrige Verteilung.
Bei immer grösser werdenden Stichproben tendiert die Varianz der mit dem
Kleinstquadrateverfahren geschätzten Parameter gegen Null.
Das Auslassen relevanter erklärender Variablen führt in manchen, aber nicht in
allen Fällen zu verzerrten Koeffizientenschätzungen für die berücksichtigten
erklärenden Variablen.
Wenn die Standardfehler von Koeffizienten unterschätzt werden, sind die
geschätzten Konfidenzintervalle der Koeffizienten zu breit.
Bei gegebener Typ I Fehlerwahrscheinlichkeit ( α ) ist die Wahrscheinlichkeit eines
Typ II Fehlers positiv mit der Stichprobengrösse korreliert.
Regressiert man eine logarithmierte abhängige Variable (ln Y) auf eine
logarithmierte erklärende Variable (ln X), so gibt der Koeffizient an, um wieviel
Prozent sich Y ändert, wenn X um eine Einheit steigt.
Das Gauss-Markov Theorem gilt nur für kleine Stichproben.
Der Kleinstquadrateschätzer ist umso unverzerrter, je grösser die Stichprobe.
Abschlussklausur "Einführung in die Ökonometrie", WS 04/05
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Heteroskedastie führt zu ineffizienten aber unverzerrten Schätzergebnissen.
Im Rahmen des "Two stage least squares" Verfahren wird im zweiten Schritt die
abhängige Variable auf den vorhergesagten Wert einer oder mehrerer erklärender
Variablen regressiert.
Der Hausman Test vergleicht die Ergebnisse verschiedener Schätzverfahren.
Um nichtlineare Zusammenhänge zwischen erklärenden und abhängigen Variablen
abzubilden, muss mehr als eine erklärende Variable im Modell sein.
Der Jarque-Bera Test prüft, ob eine Zufallsvariable standardnormalverteilt ist.
Der k-te Moment einer Zufallsvariable (Y) entspricht dem Erwartungswert von Yk.
Der Durbin-Watson Test ist nicht geeignet, um auf Autokorrelation zu testen, wenn
der Störterm von mehr als einem seiner verzögerten Werte bestimmt wird.
Es gibt Situationen in denen der Durbin-Watson Test nicht zu einem klaren
Testergebnis führt.
Der Goldfeld-Quandt Test prüft genau wie der Chow Test, ob zwei Teilstichproben
mit dem gleichen Modell geschätzt werden sollten.
Solange im Modell eine Konstante berücksichtigt ist, werden die Koeffizienten
kategorischer erklärender Variablen hinsichtlich einer Referenzkategorie
interpretiert.
Das angepasste R2 sinkt, wenn die gleiche Erklärungsgüte mit weniger geschätzten
Parametern erzielt werden kann.
Bei Messfehlern in den erklärenden Variablen ist der Kleinstquadrateschätzer
inkonsistent.
Aufgabe 5:
[15]
Sind folgende Aussagen richtig? Erläutern Sie stichwortartig Ihre Auffassung (Bsp.:
"Stimmt, weil..." bzw. "Stimmt nicht, weil..."). Nur bei korrekter Begründung wird die
Antwort mit 1,5 Punkten pro Frage honoriert.
Durch die Berücksichtigung externer Informationen im Rahmen eines restricted
least squares Schätzers kann sich die Qualität der Schätzung verschlechtern.
Der Lagrange Multiplier Test auf Autokorrelation ist nur bei Autokorrelation
erster Ordnung anwendbar.
Monte Carlo Simulationen nutzen vorliegende Datensätze, um zu überprüfen ob
vorgegebene Beziehungen in den Daten gelten.
Abschlussklausur "Einführung in die Ökonometrie", WS 04/05
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Die Varianz des Vorhersagefehlers bei Vorhersagen auf Basis eines linearen
Modells hängt nicht von der Kovarianz zwischen geschätzter
Regressionskonstante und Steigungsparameter ab.
Der Hausman Test kann in der Form eines F-Tests durchgeführt werden.
Darstellungen der Residuen erlauben Rückschlüsse auf mögliche Autokorrelation,
aber nicht auf mögliche Heteroskedastie.
Beim RESET Test wird der vorhergesagte Wert des Störterms als zusätzlicher
Regressor im Modell verwendet.
Die Auswirkungen von Autokorrelation und Heteroskedastie auf den
Kleinstquadrateschätzer sind gleich.
Die Nullhypothese ρ ≤ 0 wird im Durbin-Watson Test verworfen, wenn die
Durbin-Watson Teststatistik grösser ist als 4 - dL , wobei dL den unteren kritischen
Wert des Durbin-Watson Tests angibt.
Der Wert der geschätzten Koeffizienten ändert sich nicht, wenn alle Variablen des
Modells (abhängige und unabhängige) durch einen Faktor 1'000 dividiert werden.
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