Ubungen zur Theoretischen Physik Ib – Elektrodynamik

Universität Regensburg
Institut I - Theoretische Physik
Wintersemester 2015/2016
Übungen zur Theoretischen Physik Ib – Elektrodynamik
Prof. Ferdinand Evers, Dr. Richard Korytár, Dr. Jeongsu Lee,
Michael Kammermeier, Lars Milz, Christian Seiler, Felix Weiner
Blatt 0 (Diskussion: 13. und 14. Oktober 2015)
Aufgabe 0.1∗
5 Bonuspunkte
Elektrische Feldlinien
In Gaußschen Einheiten ist das zu einer Punkladung q2 gehörige elektrische Potential am Ort r
gegeben durch
q2
φ(r) =
,
(1)
|r − r2 |
wenn sich die Punktladung am Ort r2 befindet.
• Welche Symmetrien besitzt dieses Potential? (Rotation? Translation? Homogenität?)
Diskutieren Sie.
• Berechnen Sie das zugehörige elektrische Feld E. Welche Kraft wirkt auf eine Punktladung
q1 in diesem Feld, die sich an der Position r befindet? Welche Kraft übt die Ladung q1
auf q2 aus? Diskutieren Sie.
• Skizzieren Sie die Feldlinien zu E für beide Vorzeichen von q2 . Skizzieren Sie ebenfalls die
Äquipotentiallinien.
• Betrachten Sie nun das kombinierte Feld der Ladungen q1 , q2 in den Punkten r1 , r2 .
Skizzieren Sie qualitativ die elektrischen Feldlinien für den Fall q1 q2 < 0 (elektrischer
Dipol). Welche Symmetrien müssen Sie beachten? Wie sehen die Äquipotentiallinien
aus? (Ohne Rechnung.)
• Betrachten Sie nun drei Punktladungen: q1 = q sitzt in (0, 0, d), q2 = q sitzt in (0, 0, −d)
und q3 = −2q befindet sich im Ursprung. Sizzieren Sie erneut die elektrischen Feldlinien
und die Äquipotentiallinien. Welches Bild erhalten Sie im Fernfeld, d.h. wenn |r| d?
(Ohne Rechnung.)
Aufgabe 0.2∗
5 Bonuspunkte
Darstellung der Diracschen Deltafunktion
In der Vorlesung wurde die δ-Funktion als mathematische Darstellung einer Punktladung eingeführt:
Z ∞
δ(x) = 0 falls x 6= 0, aber
δ(x)dx = 1.
(2)
−∞
Wir diskutieren einige ihrer Eigenschaften anhand der Darstellung
1
θ(R − |x|),
R→0 2R
δ(x) = lim
(3)
Beachten Sie, dass δ(x) keine Funktion im eigentlichen Sinne ist. Wenn eine ihrer Darstellungen
unter einem Integral auftritt, ist streng genommen der Limes zu ziehen, nachdem das Integral
ausgewertet wurde.
• Zeigen Sie, dass die obige Darstellung der δ-Funktion die Eigenschaften in Gl. (2) erfüllt.
• Zeigen Sie, dass für jede hinreichend glatte Funktion f (x) gilt:
Z ∞
f (x)δ(x)dx = f (0).
(4)
−∞
Hinweis: Benutzen Sie eine Taylor-Entwicklung von f (x). Anmerkung: Differenzierbarkeit
ist hinreichend für die Gültigkeit von Gl. (4) aber nicht notwendig. Die Stetigkeit von
f (x) an der Stelle x = 0 reicht aus. (Beweis dann z. B. über den Mittelwertsatz der
Integralrechnung.)
• Überprüfen Sie, dass die normierte Gaußglocke,
δ(x) = lim √
R→0
1
2
e−(x/R) /2 .
2πR
(5)
eine weitere mögliche Darstellung der δ-Funktion ist, d.h. die Eigenschaften aus Gl. (2)
erfüllt.
• Wiederholen Sie den Beweis für Gl. (4) unter Benutzung der Gaußglocke als Darstellung
für die δ-Funktion.
• Zeigen Sie die Relation
Z
∞
f (x)δ(x − a)dx = f (a).
(6)
−∞
• Berechnen Sie
Z
φ(r) =
dr0
ρ(r0 )
|r − r0 |
für die Punktladung in r2 : ρ(r) = q2 δ(r−r2 ) ≡ q2 δ(x−x2 )δ(y−y2 )δ(z−z2 ) und verifizieren
Sie so Gl. (1).
Aufgabe 0.3∗
5 Bonuspunkte
Magnetische Feldlinien
Das Gesetz von Biot-Savart erlaubt es, das Magnetfeld zu berechnen, das von einem stationären
Strom mit der Dichteverteilung j(r) produziert wird:
Z
1
r − r0
B(r) =
dr0 j(r0 ) ×
,
(7)
c
|r − r0 |3
im Gaußschen Maßsystem.
• Berechnen Sie das Magnetfeld eines geraden, stromdurchflossenen Leiters mit der Stromdichte:
j(r) = Iδ(x)δ(y)ez .
Hinweis:
R
(1 + t2 )−3/2 dt = t(1 + t2 )−1/2 .
• Skizzieren Sie die magnetischen Feldlinien und diskutieren Sie Ihr Resultat.
2
(8)