1 Grundlagen

1 Grundlagen
1.1 Licht
Wir betrachten die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in einem linearen und isotropen
Medium. Es gelten die Materialgleichungen:


D   r 0 E


B  r 0 H
und
Weiterhin nehmen wir an, dass keine freien Ladungen und Ströme vorhanden sind, d.h.

j 0
  0 und
Damit werden die Maxwell-Gleichungen zu:

(II) B  0


(IV)   B   r  0  r  0 E

E  0


(III)   E   B
(I)
Wir bilden die Rotation von (III) und (IV):





  (  E )  (E )  E    B   r  0  r  0 E





  (  B)  (B)  B   r  0  r  0   E   r  0  r  0 B
(1.1.1)
(1.1.2)


Die Terme E und B sind aufgrund Gleichung (I) bzw. (II) gleich Null. Es bleibt:


E   r  0  r  0 E  0
Mit
1
 0 0
und


B   r  0  r  0 B  0
(1.1.3)
 c (Lichtgeschwindigkeit im Vakuum) und
 r  r  n (Brechungsindex des Mediums) erhält man:
2
2  

    n    E  0
2

 c  t 

und
2
2 

    n    B  0
2

 c  t 

(1.1.4)
Dies sind homogene Wellengleichungen für Wellen mit der
c
Ausbreitungsgeschwindigkeit u  .
n
Mögliche Lösungen sind ebene Wellen der Form:
  
E  E0 e i ( k r t )
und
  
B  B0 e i ( k r t )

k ist dabei der Wellenvektor und die Kreisfrequenz.
-1-
(1.1.5)
Die Lösungen für das elektrische und magnetische Feld sind nicht unabhängig, sondern durch
die Maxwellgleichungen verknüpft.

a) Einsetzen in E  0 liefert:

 
 
i (k  E0 )e i ( kr t )  0 und daraus k  E0  0


=> k und E0 stehen senkrecht zueinander
(1.1.6)

b) Einsetzen in B  0 liefert:

 
 
i (k  B0 )e i ( kr t )  0 und daraus k  B0  0


=> k und B0 stehen senkrecht zueinander
(1.1.7)


c) Einsetzen in   E   B liefert:

 

 
 
i (k  E0 )e i ( kr t )  iB0 e i ( k r t ) und daraus k  E0  B0
(1.1.8)
 1 


1
c
c
d) Einsetzen in   B   r  0  r  0 E (oder:   B  2 E mit u 

 )
u
 r 0 r 0
 r r n
liefert:

 
 
 
i   
(1.1.9)
i (k  B0 )e i ( kr t )   2 E0 e i ( k r t ) und daraus k  B0   2 E0
u
u

 
Die Vektoren E0 , B0 und k bilden daher ein orthogonales Rechtssystem (Abb. 1.1.1), wir
haben es mit einer transversalen Welle zu tun.
Abbildung 1.1.1: Orientierung von Magnetfeld, elektrischem Feld und Wellenvektor bei einer
ebenen Welle, die sich in einem isotropen Medium ausbreitet.

Wir leiten nun noch einen Zusammenhang zwischen k und  her, dazu bilden wir das

Kreuzprodukt von (1.1.9) und k :
  
  
k  (k  B0 )   2 k  E0
u
2
  
2 
  
k  (k  B0 )  k B0    B0
u
-2-
 2  c 2  2
und damit:   uk    k
n
2
(1.1.10)
Dies ist eine Dispersionsrelation (siehe Abb. 1.1.2), die die Frequenz (und damit auch die
Energie) mit dem Wellenvektor verknüpft.
Abbildung 1.1.2: Dispersionsrelation für die Ausbreitung von ebenen Wellen im Vakuum
(n=1) und in einem Medium Brechungsindex n=2.
Weiterhin gelten die Beziehungen:



 2
,   2 und k  nk 0 , wobei k 0 der Wellenvektor im Vakuum ist.
k 

1.2 Absorption und Verstärkung
Absorption
Wir betrachten ein absorbierendes Medium mit der Länge L, das von Licht mit der
anfänglichen Leistung P0 durchlaufen wird (Abb. 1.2.1). Nach Durchlaufen des Mediums ist
die Lichtleistung auf
P  P0 e L abgefallen (Lambert-Beersches Gesetz).  ist der
Absorptionskoeffizient des Mediums (Einheit: 1/Länge).
Abbildung 1.2.1: Änderung der Lichtleistung beim Durchlaufen eines absorbierenden
Mediums der Länge L.
-3-
Verstärkung
Bei einem verstärkenden Medium (wieder mit Länge L) erhöht sich die Lichtleistung beim
Durchlauf auf P  P0 e gL . g ist der Verstärkungskoeffizient (oder einfach die Verstärkung) des
Mediums.
Abbildung 1.2.2: Änderung der Lichtleistung beim Durchlaufen eines verstärkenden
Mediums der Länge L
Verstärkung und Absorption können auch durch einen komplexen Brechungsindex n  n'in' '
beschrieben werden.
Wir betrachten dazu die mittlere Energiedichte einer ebenen Welle (Herleitung z.B. in
Nolting: Grundkurs Theoretische Physik, Elektrodynamik):
 2

1
1
w   r  0 E0 
B0
2
2 r  0
2
(1.2.1)
Die Energiedichte hängt also quadratisch von den Feldstärken ab. Für eine gedämpfte ebene
Welle müssen wir also ansetzen:
 

E ( r , t )  E0 e


 kr

2 k

e i ( k r  t )
(1.2.2)



2
Unter Verwendung von k  n'k 0 und k 0 
ergibt sich:
0
 
 
 
   0 k 0 r
E ( r , t )  E 0 e 2 2  e i ( n ' k 0 r  t )
(1.2.3)
 
 
Ein Vergleich mit der ursprünglichen Form E  E0 e i ( nk 0 r t ) (jetzt mit komplexem n) liefert:
n  n'in' '  n'i
0
4
(1.2.4)
Für ein verstärkendes Medium erhält man analog:
n  n'in' '  n'i
g0
4
(1.2.5)
-4-
1.3 Einfaches Lasermodell
Abb. 1.3.1 zeigt ein einfaches Lasermodell, bestehend aus einem verstärkenden Medium
(auch aktive Zone oder aktives Material genannt) der Länge L, das an beiden Seiten von
Spiegeln einer Reflektivität von R1 bzw. R2 begrenzt ist. Die Verstärkung des Mediums muss
die Spiegelverluste (Transmission und Absorption) ausgleichen.
Abbildung 1.3.1: Einfaches Lasermodell. Das verstärkende Medium der mit der Länge L
wird an beiden Seiten von Spiegeln begrenzt.
Zur Berechnung der dafür erforderlichen Verstärkung (Schwellenverstärkung) betrachtet man
einen Umlauf des Lichts im Laserresonator. Wir starten mit der Leistung P0. Nach einem
Durchlauf beträgt die Leistung P0egL, nach der Reflexion am rechten Spiegel P0R2egL, nach
einem weiteren Durchlauf des Resonators P0R2e2gL und nach der Reflexion am linken Spiegel
P0R1R2e2gL.
Kompensiert die Verstärkung gerade die Spiegelverluste, so darf sich die Leistung bei einem
Umlauf nicht ändern, d.h. es muss gelten: P0  P0 R1 R2 e 2 gL
Daraus ergibt sich die Laserbedingung:
R1 R2 e 2 gL  1
(1.3.1)
Diese Gleichung ist allerdings nur ’fast’ richtig, da wir die spontane Emission vernachlässigt
haben. Bei jedem Umlauf des Lichts im Resonator koppelt ein kleiner Anteil (ca. 10-5-10-4)
der spontanen Emission in die Lasermode. Auf der rechten Seite von 1.3.1 müsste daher
genaugenommen keine eins, sondern ungefähr 0.99999 stehen. Für alle praktischen Zwecke
(z.B. Berechung der Laserschwelle) ist Gleichung 1.3.1 aber eine sehr gute Näherung.
Die Schwellenverstärkung berechnet sich aus Gleichung 1.3.1 zu:
g th 
1
1
log
2L
R1 R2
(1.3.2)
Das ‚th’ kommt vom englischen Wort für Schwelle (threshold).
Beispiel: Ein Halbleiterlaser mit einer Länge von 1 mm habe Spiegel mit einer Reflektivität
von R = 0.3. Die Schwellenverstärkung ist damit gth=12 cm-1.
-5-
Neben der Umlaufbedinung für die Leistung kann man auch eine Umlaufbedingung für das
elektrische Feld im Resonator aufstellen. Diese ist (analog zu 1.3.1):
r1r2 e 2ink 0 L  1
(1.3.3)
r1  R1 und r2  R2 sind die Amplitudenreflektivitäten.
Durch Zerlegen des Brechungsindex n in Real- und Imaginärteil erhält man:
r1r2 e 2in 'k0 L e 2 n ''k0 L  1
(1.3.4)
Die Laserbedingung zerfällt damit in zwei Gleichungen, die beide erfüllt sein müssen:
r1r2 e 2 n ''k0 L  1
(1.3.5)
e 2in 'k0 L  1
(1.3.6)
a) Gleichung 1.3.5 ist identisch zu Gleichung 1.3.1, wie man leicht durch Einsetzen von
g
2
zeigen kann:
n' '   0 und k 0
4
0
r1r2 e
g0 k 0 L
2
1
=>
r1r2 e gL  1
=>
R1 R2 e 2 gL  1
(1.3.7)
b) Aus 1.3.6 folgt 2in ' k0 L  2im , mit m=1, 2, 3, ….
Unter Verwendung von  
L
m
2
0
n'
ergibt sich:
(1.3.8)
Die Resonatorlänge muss also ein ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge (im
Resonator) sein, wie es in Abb. 1.3.2 schematisch für zwei Resonatormoden gezeigt ist.
Abbildung 1.3.2: Feldverteilung für zwei Lasermoden.
-6-
Gleichung 1.3.5 ist eine Bedingung für die Amplitude des Feldes, diese darf sich bei einem
Umlauf im Resonator nicht ändern. Gleichung 1.3.6 ist eine Bedingung für die Phase des
Feldes, diese darf sich beim Umlauf im Resonator nur um ganzzahlige Vielfache von 2
ändern.
Bei einem realen Laser liegt m bei ca. 103 (z.B. für L=1mm, n’=3, 0=1µm => m=6000).
Die Verstärkung im Halbleiterlaser ist breiter als der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Moden, im Spektrum eines Halbleiterlasers treten daher in der Regel mehrere,
äquidistante Moden (Fabry-Perot Moden) auf. Eine Laserstruktur mit zwei Spiegeln als
Reflektoren wird daher auch als Fabry-Perot Laser bezeichnet. Abb. 1.3.3 zeigt schematisch
das Emissionsspektrum eines solchen Lasers.
Abbildung 1.3.3: Emissionsspektrum eines Fabry-Perot Lasers mit Moden im Abstand .
Die Einhüllende des Spektrums ist durch die Verstärkungskurve des verwendeten aktiven
Materials gegeben.
Der Modenabstand eines Fabry-Perot Laser ist gegeben durch:  
2
2n g L
(1.3.9)
ng ist der Gruppenindex des Materials im Laserresonator. Hängt der Brechungsindex n nicht
von der Wellenlänge ab, so ist ng=n. In dispersiven Materialien mit (n()) ist der
Gruppenindex bei der Wellenlänge :
n g (  )  n ( )  
n( )

(1.3.10)
n( )
negativ, d.h. der Gruppenindex ist größer als der

Brechungsindex. Typische Werte für n liegen im Bereich von 3-3.5, die Werte für ng liegen
um 10-20% darüber.
In Halbleitermaterialien ist
-7-
1.4 Aufbau eines Halbleiterlasers
Abbildung 1.4.1 zeigt den Schichtaufbau eines InGaAs/GaAs/AlGaAs Quantenfilmlasers. Der
8 nm dicke In0.18Ga0.82As Quantenfilm in der Mitte der Struktur ist das verstärkende Medium.
Er ist eingebettet in einen 400 nm dicken GaAs Wellenleiter, der zusammen mit den AlGaAs
Mantelschichten (engl. Cladding) für den optischen Einschluss der Lasermode sorgt. Die
Mantelschichten sind n- bzw. p-dotiert, so dass von unten Elektronen und von oben Löcher in
den Quantenfilm injiziert werden können. Die obere 150 nm dicke GaAs Kontaktschicht ist
hoch dotiert (n=1019cm-3), um einen guten ohmschen Kontakt zu der darüberliegenden
Metallisierung (hier nicht eingezeichnet) zu ermöglichen. Der n-Kontakt erfolgt über die
Rückseite des GaAs Substrates. Die Dotierung der Claddingschichten bewegt sich im Bereich
von 1018 cm-3.
Abbildung 1.4.1: Schichtstruktur eines InGaAs/GaAs/AlGaAs Quantenfilmlasers
Der Verlauf der Bandlücke ist schematisch in Abb. 1.4.2 dargestellt. Die AlGaAs Schichten
verfügen über die größte Bandlücke, nach innen hin (GaAs Wellenleiter, InGaAs
Quantenfilm) wird die Bandlücke sukzessive kleiner. Durch die p- und n-Dotierung der
Mantelschichten bildet sich eine Raumladungszone mit einer Verbiegung der Bänder aus, die
hier nicht dargestellt ist (siehe dazu die Ergänzungen zum Skript). Elektronen und Löcher, die
von den Claddingschichten in den GaAs Wellenleiter injiziert werden relaxieren schließlich in
den Quantenfilm, wo sie strahlend rekombinieren.
Abbildung 1.4.2: Bandverlauf in einem InGaAs/GaAs/AlGaAs Quantenfilmlasers
-8-
Der Brechungsindexverlauf der Struktur ist in Abb. 1.4.3 gezeigt.
Abbildung 1.4.3: Brechungsindexverlauf in einem InGaAs/GaAs/AlGaAs Quantenfilmlasers
Der Verlauf ist umgekehrt zum Verlauf der Bandlücke, die AlGaAs Claddingschichten
verfügen über den kleinsten und der InGaAs Quantenfilm über den größten Brechungsindex.
Auf diese Weise wird ein ebener Wellenleiter realisiert, der Licht durch Totalreflexion an der
GaAs/AlGaAs Grenzfläche führen kann (Abb. 1.4.4).
Abbildung 1.4.4: Lichtleitung in einem GaAs/AlGaAs Schichtwellenleiter.
Diese Struktur wird SCH (Separate Confinement Heterostructure) genannt. Der separate
Einschluss bezieht sich dabei auf den Einschluss von Ladungsträgern und Photonen. Der
Quantenfilm sorgt für den Einschluss der Ladungstäger, die Wellenleiterstruktur für den
optischen Einschluss. Eine Variante der SCH stellt der GRINSCH (Graded Index Separate
Confinement Heterostructure) dar. Bei dieser Struktur wird der Al Gehalt der Schichten
kontinuierlich vom Quantenfilm bis zum Cladding erhöht, so dass sich der in Abb. 1.4.5
dargestellte Bandverlauf ergibt.
Abbildung 1.4.5: Bandverlauf in einem Laser mit GRINSCH.
-9-
Für ein ‚echtes’ Bauelement ist noch eine laterale Strukturierung erforderlich, um einen
Einschluss der Ladungsträger und Photonen in der Schichtebene zu ermöglichen. Eine
Möglichkeit ist der sogenannte Buried-Heterostructure (BH) Laser, der in Abb. 1.4.6.
dargestellt ist. Ausgehend von der in Abb. 1.4.1 dargestellen Schichtstruktur wird hier
zunächst eine Rippe geätzt und diese dann mit einem isolierenden Material großer Bandlücke
(in unserem Fall AlGaAs) überwachsen. Durch den Sprung von Bandlücke und
Brechungsindex vom GaAs Wellenleiterkern zum umgebenden AlGaAs wird, analog zum
vertikalen Einschluss, eine Barriere für die Ladungsträger und eine optische Wellenführung
realisiert. Am Ende des Herstellungsprozesses werden einzelne Laser mit einer Länge von
300-1000 µm aus dem Wafer herausgespalten. Die Spaltlinien verlaufen entlang der
Kristallachsen, daher ist die optische Qualität der Facetten (Vorder- und Rückseite des Lasers
in Abb. 1.4.6) sehr hoch. Aufgrund des großen Brechungsindex des Halbleitermaterials (n≈3)
liegt die Reflektivität der Facetten bei ca. 30% (Fresnel Formel), dies ist wegen der hohen
Verstärkung im Laser ausreichend.
Abbildung 1.4.6: Aufbau eines Buried-Heterostructure (BH) Lasers. Der rote Strich stellt
den InGaAs Quantenfilm dar, der umgebende hellgrüne Bereich ist der GaAs Wellenleiterkern.
Abb. 1.4.7 zeigt den Stromfluss in einem BH-Laser. Das undotierte AlGaAs Material hat
einen sehr großen Widerstand, der Stromfluss konzentriert sich daher auf die dotierten
AlGaAs Schichten unter und über dem Wellenleiterkern.
Abbildung 1.4.7: Stromfluss im BH-Laser. Der Strompfad konzentriert sich auf die dotierten
Halbleiterbereiche.
- 10 -
Der spezielle Aufbau eines Halbleiterlasers erfordert einige Änderungen am in Abschnitt 1.3
besprochenen einfachen Lasermodell.
a) Im Halbleiterlaser füllt das verstärkende Medium nicht den ganzen Resonator aus. Nur ein
Teil des im Resonator umlaufenden Lichts wechselwirkt daher mit dem verstärkenden
Medium. Man definiert den Füllfaktor  als den Bruchteil der Lasermode, der mit dem
verstärkenden Medium überlappt. Damit ergibt sich die effektive (oder auch modale)
Verstärkung als Produkt aus der Verstärkung des aktiven Mediums (Quantenfilm) und dem
Füllfaktor.
gmodal=gMaterial
(1.4.1)
b) Die Halbleiterschichten absorbieren (z.B. durch ohmsche Verluste in dotierten Schichten)
oder streuen einen Teil des Lichts. Dies führt zu zusätzlichen Verlusten, die als interne
Absorption i bezeichnet werden. Die Nettoverstärkung ist damit:
gnetto=gMaterial -i
(1.4.2)
Die Bezeichnungen ‚netto’ und ‚Material’ werden im Folgenden der Einfachheit halber
weggelassen. Die Laserbedingung 1.3.1 kann man jetzt so schreiben:
R1 R2 e 2 ( g  i ) L  1
(1.4.3)
Auch den Spiegeln kann ein (effektiver) Absorptionskoeffizient zugeordnet werden, die
Spiegelverluste m. Dazu schreibt man Gleichung 1.4.3 formal um:
R1 R2 e 2 ( g  i ) L  1
=>
e 2( g  i  m ) L  1
Daraus ergibt sich für die Spiegelverluste:
m 
1
1
log
2L
R1 R2
(1.4.4)
Die Schwellenbedingung kann man jetzt schreiben als:
g   i   m   i 
1
1
log
2L
R1 R2
(1.4.5)
Die modale Verstärkung muss also größer sein als die Summe von interner Absorption und
Spiegelverlusten.
- 11 -