4.3 Universelles Induktionsgesetz

Universität Leipzig, Fakultät für Physik und Geowissenschaften
Vorlesung zur Experimentalphysik III
Wintersemester 2008/2009
Prof. Dr. Josef A. Käs
Vorlesungsmitschrift zur Vorlesung vom 30.10.2008
4.3
Universelles Induktionsgesetz
Abbildung 1: Um den Fluss zu ändern, kann man einen der beiden Tische bewegen oder bei
festgehaltenen Tischen den Strom langsam ändern.
Führe folgende Experimente durch:
a) Spule 1 befindet sich in Ruhe während Spule 2 sich mit der Geschwindigkeit v1 von Spule
1 entfernt. Aufgrund dieser Bewegung spürt Spule 2 ein schwächer werdendes Magnetfeld
und eine Induktionsspannung Ui wird induziert.
b) Spule 2 befindet sich in Ruhe während Spule 1 sich mit der Geschwindigkeit v2 = −v1
bewegt. Aufgrund der Lorenzinvarianz bleibt UI unverändert.
c) Beide Spulen befinden sich in Ruhe: v1 = v2 = 0. Der Strom I von Spule 1 wird so
herunterreguliert, dass die Magnetfeldänderung am Ort der zweiten Spule der von a) und
b) entspricht. Da die Induktionsspannung Ui nur von der Magnetfeldänderung abhängt,
bleibt diese weiterhin unverändert.
Z
Z
~ s=−d ·
~ A
~ = − dΦ
Ed~
Bd
dt
dt
c
A
Z
Z
~ A
~
~ s=−d ·
Ed~
Bd
dt
A→0
c→0
U=
mit:
R
rotF~ · ~n = lim
Ai →0
ci
F~ d~s
Ai
1
erhält man für obige Gleichung:
!
~
d
B
d
~ ·A
~ =A
~ −
~ · rotE
~ =−
B
A
dt
dt
~
dB
dt
gegenseitige Induktion:
~ =−
rotE
~ 1 , das auf der Fläche des
Abbildung 2: Der in dem Ring C1 fließende Stom I1 erzeugt ein Feld B
kleinen Ringes C2 annähernd homogen ist.
Z
~ A
~ = M21 I1
Bd
Φ21 =
A2
mit M21 Gegeninduktivität.
dI1
U21 = −M21 ·
dt
A
1V = 1H · 1
=⇒
s
in Mitte: B1 =
⇒
Vs
A
µ 0 I1
2R1
Φ21 = πR22
µ0 I1
µ0 π I1 R22
·
=
2R1
2
R1
µ0 π R22 dI1
·
·
2
r1 dt
Erweiterung:
U21 = −
C1
1 Henry = 1
⇒
M21 =
N1 Windungen
C2
N2 Windungen
1
· 2π 2 · 10−7 N1 N2 R22
M21 =
R1
Reziprozitäts“-Satz:
”
1
M21 = M12 =
· 2π 2 · 10−7 N1 N2 R22
R1
Selbstinduktion:
1 dΦ11
dI1
U11 = − ·
= L1 ·
C
dt
dt
L - Selbstinduktivität
2
2π 2 · 10−7 R22
R1
4.4
Stromkreis mit einer Selbstinduktivität
Abbildung 3: Einfacher Stromkreis mit einer Induktivität L und einem Widerstand R.
U0 − L ·
dI
= RI
dt
=⇒
RI + L ·
dI
− U0 = 0
dt
I (t = 0) = 0
I (t → ∞) = I0
Einschalten:
=⇒ I (t) =
R
U0 1 − e− L t
R
Ausschalten: zum Zeitpunkt t1
RI + L ·
dI
=0
dt
R
=⇒ I (t) = I0 · e− L (t−t1 )
Abbildung 4: Vollständige Wiedergabe der zeitlichen Änderung des Stromes beim Schließen des
Schalters beim Stromkreis aus Abbildung 3.
3
4.5
Energie eines Magnetfeldes
Siehe Stromkreis oben:
dW = RI 2 dt
Z
=⇒
∞
2
Z
∞
RI dt =
Eges =
2R
RI02 e− L (t−t1 ) dt
t1
t1
1
Eges = LI02
2
=⇒
gespeicherte magnetische Feldenergie
E-Feld im Kondensator:
1
E = CU 2
2
E-Feld:
E=
0 ~ 2
E dV
2
Spule:
L=
µ0 2
b
N h ln
2π
a
a: Innendurchmesser b: Aussendurchmesser h: Höhe der Spule
µ0 N I
2π r
Z
Z b
1
µ0 N I 2
µ0 2 2 b
1
1
2
B dV =
2πrhdr =
N hI ln = LI 2 = Eges
2µ0
2µ0 a 2π r
4π
a
2
B=
Allgemein:
Eges =
4.6
Z
1
2µ0
B 2 dV
ges. Feld
Elektromagnetische Felder
⇔
E - Feld
~ =
divE
Elementarladung
ρ
0
elektr. Ladung in Bewegung ⇒ Strom
Kontinuitätsgleichung:
∂ρ
div~j = −
∂t
~j stationär:
~ = µ0 I~
rotB
aber zeitabhängige Ladung, d.h.:
=⇒
∂ρ
∂t
6= 0
div~j 6= 0
4
aber:
1
~ =0
div rotB
div~j =
µ0
=⇒
~ = µ0~j + (?)
rotB
=⇒
Term fehlt
Induktion:
=⇒
verändertes Magnetfeld wird von einem elektrischen Feld begleitet:
~ =−
rotE
~
~
∂B
1 ∂(cB)
=−
∂t
c ∂t
Dies ist eine Beziehung, die das elektr. Feld und das Magnetfeld verbindet, auch im leeren Raum,
wo keine Ladungen betroffen sind.
Es muss auch gelten:
änderndes elektr. Feld führt zu einem magn. Feld:
~ =
rot(cB)
~ =
rotB
~
1 ∂E
c ∂t
~
1 ∂E
c2 ∂t
~
~ = µ0 I~ + 1 ∂ E
rotB
c2 ∂t
Verschiebungsstrom I~d :
=⇒
~ = µ0 I~ + I~d
rotB
I~d =
~
~
1 ∂E
∂E
=
0
µ0 c2 ∂t
∂t
=⇒
neue Induktionserscheinung:
Ein sich veränderndes elektr. Feld wird von einem Magnetfeld begleitet.
bisher:
~ ist bestimmt durch das Gesetz von Biot-Savart.
Magnetfeld B
Was ist mit Verschiebungsstrom I~d ?
I~d ist bei sich genügend langsam verändernden Feldern vernachlässigbar klein.
=⇒
Solche Felder bezeichnen wir als quasistatisch.
5