Prävarietäten und Varietäten

Prävarietäten und Varietäten
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Topologische Vorbemerkungen
Sei X ein topologischer Raum.
Definition. X heißt irreduzibel, wenn für alle abgeschlossenen Teilmengen X 1 , X2 ⊂ X gilt:
X = X 1 ∪ X2
Bemerkung. X ist irreduzibel
⇔
⇒
X = X1
∨
X = X2
∀ U1 , U2 ⊂ X offen und nichtleer:
U1 ∩ U2 6= ∅
Bemerkung. Sei X irreduzibel und U ⊂ X offen. Dann ist U zusammenhängend.
Bemerkung. Sei Y ⊂ X eine irreduzible abgeschlossene Teilmenge und U ⊂ X offen. Dann ist U ∩ Y
irreduzibel in U .
Definition. X heißt noethersch, wenn jede absteigende Kette abgeschlossener Mengen stationär wird.
Bemerkung. Sei X noethersch und M ⊂ X. Dann ist M quasi-kompakt.
Bemerkung. Sei X noethersch und Y ⊂ X abgeschlossen. Dann existiert genau eine Menge
{Y1 , ..., Yn } irreduzibler abgeschlossener Mengen, so dass gilt:
Y = Y1 ∪ ... ∪ Yn
und
Yi 6⊂ Yj für i 6= j
Die Mengen Y1 , ..., Yn heißen die irreduziblen Komponenten von Y .
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Geringte Räume
Definition. Ein geringter Raum ist ein Paar (X, O X ) bestehend aus einem topologischen Raum X
und einer Ringgarbe OX auf X.
Es sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper.
Vereinbarung. Alle geringten Räume (X, OX ) erfüllen folgende Eigenschaft:
Für jede offene Teilmenge U ⊂ X ist OX (U ) eine K-Algebra von K-wertigen Funktionen auf U .
Definition. Seien (X, OX ) und (Y, OY ) geringte Räume. Ein Morphismus f : (X, OX ) → (Y, OY ) ist
eine stetige Abbildung f : X → Y , für die gilt:
∀U ⊂ Y offen : g ∈ OY (U ) ⇒ g ◦ f ∈ OX (f −1 (U ))
(Für allgemeine geringte Räume muss die Definition eines Morphismusses natürlich angepasst werden.)
Bemerkung. Die geringten Räume mit den oben definierten Morphismen bilden eine Kategorie.
Wir werden im folgenden die Unterkategorien der affininen Varietäten, der Prävarietäten und der
Varietäten definieren und untersuchen.
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Affine Varietäten
Wiederholung. Sei X eine irreduzible algebraische Menge, also X = V (I) ⊂ K n für I / K[T1 , ..., Tn ].
Es sei R := K[T1 , ..., Tn ]/I(X) der Koordinatenring von X.
• Topologie auf X:
A ⊂ X abgeschlossen ⇔ ∃J / R : A = V (J)
Die Mengen Xf := {x ∈ X | f (x) 6= 0} mit f ∈ R bilden eine Basis der Topologie.
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f
| f, g ∈ R, g(x) 6= 0} für x ∈ X
g
\
OX (U ) :=
Ox für U ⊂ X offen
Ox := {
x∈U
Dann ist (X, OX ) ein geringter Raum.
• Sind X und Y irreduzible algebraische Mengen, so ist f : (X, O X ) → (Y, OY ) genau dann ein
Morphismus, wenn f polynomial ist, d.h:
∃f1 , ..., fm ∈ K[T1 , ..., Tn ] : ∀x ∈ X : f (x) = (f1 (x), ..., fm (x))
Definition. Sei (X, OX ) ein geringter Raum. (X, OX ) heißt affine Varietät, wenn es eine irreduzible
algebraische Menge Y gibt, so dass gilt:
(X, OX ) ∼
= (Y, OY )
Dabei ist OY die oben definierte Garbe und der Isomorphismus ist ein Isomorphismus in der Kategorie
der geringten Räume.
Bemerkung. Sei (X, OX ) eine affine Varietät. Dann ist X noethersch und irreduzibel.
Satz. Sei (X, OX ) eine affine Varietät und Y ⊂ X eine irreduzible abgeschlossene Teilmenge. Für jede
in Y offene Teilmenge V ⊂ Y setzen wir
OY (V ) := {f : V → K | ∀x ∈ V ∃U ∈ UX (x)∃F ∈ OX (U ) : f |U ∩V = F |U ∩V }
(Dabei sei UX (x) die Menge der offenen Umgebungen von x in X.)
Dann ist (Y, OY ) eine affine Varietät.
Satz. Sei (X, OX ) eine affine Varietät und f ∈ OX (X). Dann ist (Xf , OX|Xf ) eine affine Varietät.
Bemerkung. Sei (X, OX ) eine affine Varietät und U ⊂ X offen. Dann ist (U, OX|U ) i.A. keine affine
Varietät. Bsp: A2 \ {0}
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Prävarietäten
Definition. Sei (X, OX ) ein geringter Raum. (X, OX ) heißt Prävarietät, wenn gilt:
1. X ist zusammenhängend
2. Es existieren offene Mengen U1 , ..., Un ⊂ X derart, dass gilt:
X=
n
[
Ui
und
∀i : (Ui , OX|Ui ) ist affine Varietät.
i=1
Definition. Sei (X, OX ) eine Prävarietät und U ⊂ X offen. U heißt offene affine Menge, wenn
(U, OX|U ) eine affine Varietät ist.
Bemerkung. Sei (X, OX ) eine Prävarietät. Dann bilden die offenen affinen Mengen eine Basis der
Topologie von X.
Bemerkung. Sei (X, OX ) eine Prävarietät. Dann ist X noethersch und irreduzibel.
Satz. Sei (X, OX ) eine Prävarietät und U ⊂ X offen. Dann ist (U, OX|U ) eine Prävarietät.
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X
Y offene Teilmenge V ⊂ Y setzen wir wieder
OY (V ) := {f : V → K | ∀x ∈ V ∃U ∈ UX (x)∃F ∈ OX (U ) : f |U ∩V = F |U ∩V }
Dann ist (Y, OY ) eine Prävarietät.
Satz. Projektive Varietäten sind Prävarietäten.
Definition. Sei X eine Prävarietät. Dann heißt
K(X) :=
lim
−→
OX (U )
U ⊂X offen
U 6=∅
der Körper der rationalen Funktionen auf X
Bemerkung. Sei U ⊂ X eine offene affine Menge. Dann ist K(X) = Quot(O X (U )).
Satz. Seien X und Y S
Prävarietäten und f : X → Y eine Abbildung. EsSseien {V i }i∈I offene affine
Mengen in Y mit Y = i∈I Vi und {Ui }i∈I offene Mengen in X mit X = i∈I Ui , so dass gilt:
1. f (Ui ) ⊂ Vi
2. g ∈ OY (Vi ) ⇒ g ◦ f ∈ OX (Ui )
Dann ist f ein Morphismus.
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Produkte von Prävarietäten
Satz. Es seien X und Y affine Varietäten. Dann existiert ein Produkt X × Y in der Kategorie der
Prävarietäten. Es ist eine affine Varietät mit Koordinatenring OX×Y (X × Y ) = OX (X) ⊗K OY (Y ).
P
Bemerkung. Die Mengen {(x, y) ∈ X × Y |
fi (x)gi (y) 6= 0} mit fi ∈ OX (X), gi ∈ OY (Y ) bilden
eine Basis der Topologie von X × Y .
Bemerkung. O(x,y) ist die Lokalisierung von Ox ⊗K Oy an dem maximalen Ideal mx Oy + Ox my .
Satz. Es seien X und Y Prävarietäten. Dann existiert ein Produkt X × Y .
Satz. Produkte von projektiven Varietäten sind projektive Varietäten.
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Varietäten
Definition. Sei X eine Prävarietät. X heißt Varietät, wenn gilt:
Für alle Prävarietäten Y und für alle Morphismen f, g : Y → X ist {y ∈ Y | f (y) = g(y)} eine
abgeschlossene Teilmenge in Y .
Bemerkung. Sei X eine Prävarietät. Dann ist die Abbildung
∆ : X → X × X,
x 7→ (x, x)
ein Morphismus.
Satz. Sei X eine Prävarietät. Dann gilt:
X ist Varietät
⇔
∆(X) ist abgeschlossen in X × X
Satz.
1. Sei X eine Varietät und Y ⊂ X eine Unterprävarietät. Dann ist Y eine Varietät.
2. Seien X und Y Varietäten. Dann ist X × Y eine Varietät.
3. Affine Varietäten sind Varietäten.
4. Projektive Varietäten sind Varietäten.
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