Analysis I - TU Darmstadt/Mathematik

TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. L. Kramer
Martin Fuchssteiner
Lisa Steiner
WS 2004/05
20.12.2004
Analysis I
9. Tutorium mit Lösungshinweisen
(T 1) Offene Mengen
Lösung:
(a)
S
(b) Sind O1 , . . . , On offene Mengen und x ∈ ni=1 Oi ein Punkt in der Vereinigung, so gibt
es ein k mit x ∈ Ok . Nach Definition der Offenheit gibt es eine -Umgebung U (x),
welche ganz S
in Ok liegt: U (x) ⊂ Ok . Diese Umgebung
Sn U (x) liegt dann auch in der
n
Vereinigung i=1 Oi . Weil dies für alle Punkte x ∈ i=1 Oi gilt, ist die Vereinigung
eine offene Menge.
(c) Der Beweis ist analog zu (b).
T
(d) Sind O1 , . . . , On offene Mengen und x ∈ ni=1 Oi ein Punkt im Schnitt dieser Mengen,
so liegt der Punkt x in jeder der Mengen Oi . Weil diese offen sind, gibt es für jedes
1 ≤ i ≤ n eine -Umgebung Ui (x), welche ganz in Oi liegt: Ui (x) ⊂ Oi . Ist =
min{i | 1 ≤ ı ≤ n}, so liegt die Menge U (x) in
Tnjeder der Mengen Oi und damit auch
im Schnitt. Es gibt
T also zu jedem Punkt x ∈ i=1 Oi eine -Umgebung U (x), welche
ganz im Schnitt ni=1 Oi liegt, d.h. der Schnitt ist eine offene Menge.
(e) Der ganze Raum R ist offen, da jede -Umgebung eines Punktes wieder in R liegt. Die
leere Menge ∅ ist auch offen, da hier das gleiche gilt (Es gibt hier nämlich gar keine
Umgebungen, daher gilt für diese auch die Bedingung.)
(T 2) Stetigkeit
Lösung:
(a)
(b) Zeige, daß es zu jeder -Umgebung U (y) = {r ∈ R | r − y |< } eine δ-Umgebung
Uδ (x̂) = {r ∈ R | r − x̂ |< δ} gibt, die unter f in die Umgebung U (y) abgebildet wird,
d.h. f (Uδ (x̂)) ⊂ U (y).
(c) Nach Definition der Offenheit gibt es eine -Umgebung U (f (x̂)) um f (x̂), welche ganz
in O liegt. Nach (b) gibt es somit eine δ-Umgebung Uδ (x̂) mit f (Uδ (x̂)) ⊂ U (f (x̂)) ⊂
O. Die Umgebung Uδ (x̂) hat die geforderten Eigenschaften.
(d) Ist O eine offene Menge und x ∈ f −1 (O) ein Punkt im Urbild von O, so gibt es nach (c)
eine δ-Umgebung Uδ (x), deren Bild f (Uδ (x)) in O liegt, d.h. Uδ (x) ⊂ f −1 (O). Somit
gibt es um jeden Punkt x im Urbild f −1 (O) eine δ-Umgebung Uδ (x), welche ganz in
diesem Urbild liegt, d.h. das Urbild f −1 (O) ist offen.
(T 3) Nocheinmal Stetigkeit
Lösung:
(a) Da jede -Umgebung U (ŷ) von ŷ offen ist, ist nach Annahme auch ihr Urbild f −1 (U (ŷ))
offen. Da der Punkt x̂ in diesem Urbild liegt, gibt es nach Definition der Offenheit eine
δ-Umgebung Uδ (x̂), welche ganz in f −1 (U (ŷ)) liegt, d.h. f (Uδ (x̂)) ⊂ U (ŷ).
(b) Nach Definition der Konvergenz von folgen gibt es einen solchen Index Nδ .
(c) Wir beweisen zunaächst lim f (xn ) = ŷ = f (lim xn ). Sei U (ŷ) eine beliebige -Umgebung
von haty. Nach (a) gibt es eine δ-Umgebung Uδ (x̂) mit f (Uδ (x̂)) ⊂ U (ŷ). Nach (b)
gibt es einen Index N so daß xn ∈ Uδ (x̂) für alle n ≥ N . Insbesondere folgt somit
yn = f (xn ) ∈ f (Uδ (x̂)) ⊂ U (ŷ). Es gibt also einen Index N , so daß alle Folgeglieder yn
für n ≥ N in U (ŷ) liegen. Da beliebig war, gibt es für jedes einen Index N , so daß
alle Folgeglieder yn für n ≥ N in U (ŷ) liegen, d.h. die Folge yn = f (xn ) konvergiert
gegen ŷ:
lim yn = lim f (xn ) = ŷ = f (lim xn )
Da dies für jede konvergente Folge xn gilt, ist die Funktion f stetig.
(T 4) Abgeschlossene Mengen
Lösung:
(a) Seien Ai , 1 ≤ i ≤ n abgeschlossene Mengen. Nach Definition der Abgeschlossenheit
sind die Komplemente Oi := CAI = R \ Ai offene Mengen. Mit den deMorganschen
Regeln folgt:
n
n
n
\
\
[
Ai =
COi = C
Oi
i=1
i=1
i=1
Da die Vereinigung der offenen Mengen Oi wieder offen ist, ist ihr Komplement nach
Definition wieder abgeschlossen. Somit ist der Schnitt der Ai eine abgeschlossene Menge.
(b) Dies folgt analog zu (a).
(c) Diese Mengen sind als Komplemente der offenen Mengen R und ∅ auch abgeschlossen.
(T 5) Äquivalente Formulierungen für Stetigkeit
Lösung:
Wir nehmen an, daß Urbilder offener Mengen offen sind (d.h. f ist stetig). Ist A eine
abgeschlossene Menge, so ist ihr Komplement O = CA offen. Aus der Annahme (Stetigkeit)
folgt die Offenheit von f −1 (O). Es folgt
f −1 (A) = f −1 (CO) = Cf −1 (O),
d.h. das Urbild von A ist eine Komplement einer offenen Menge und somit abgeschlossen.
Analog folgt die Offenheit von Urbildern offener Mengen aus der Abgeschlossenheit der
Urbilder abgeschlossener Mengen, d.h. die beiden Aussagen sind äquivalent.