Mechanik III

Mechanik III
Dynamik
Das inoffizielle Skript zur Vorlesung Mechanik III
von Prof. Ch. Glocker
ETH Zürich
verfasst von Sven Zwicker
Vorwort
Version WS 02/03
Dieses Skript beruht auf der Mitschrift zur Vorlesung Mechanik III der ETH Zürich, welche im
Wintersemester 02/03 von Prof. Dr. Christoph Glocker gehalten wurde. Eventuelle Fehler im Skript
sind nicht auszuschliessen. Die meisten Grafiken stammen aus den zu Beginn der Vorlesung verteilten
Arbeitsunterlagen, andere wurden von Hand oder mit verschiedenen Computerprogrammen selbst
erstellt.
Die Formelsammlung am Ende des Skripts soll als Beispiel dienen, wie eine aussehen könnte.
Version WS 03/04
Folgende Änderungen wurden vollzogen:
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
In Kapitel I.3 fehlte bei der Definition des Dralls der Ableitungspunkt über dem Winkel ϕ.
In Kapitel II wurden einzelne kleine Änderungen vorgenommen.
In Kapitel III wurden ebenfalls einzelne kleine Änderungen vorgenommen.
In Kapitel IV war das Bild der vorgespannten Saite nicht korrekt, da die Kräfte nicht tangential
zu den Saitenenden angriffen. Ausserdem wurden kleine Ergänzungen vorgenommen.
In Kapitel V wurde teilweise ergänzt.
Kapitel VI blieb unverändert.
Kapitel VII wurde generell überarbeitet. Der Stoff blieb derselbe, allerdings wurden die
Unterkapitel umstrukturiert.
In Kapitel VIII wurde das Bild zum gleichsinnigen Parallelismus erweitert.
In Kapitel IX wurden für die Kennzeichnung der impulsiven Kräfte und Momente eigene
Symbole verwendet. Ausserdem wurde das Kapitel mit einem Beispiel in Unterkapitel 4
ergänzt.
Strukturell wurde demnach nur Kapitel VII – Kinetik des starren Körpers – verändert. Ansonsten
handelt es sich nur um kleinere mathematische, grammatikalische oder darstellerische Änderungen.
Um die Leserlichkeit zu verbessern wurden zudem alle Ableitungspunkte durch grössere ersetzt.
Inhaltsverzeichnis
I Grundlegende Konzepte
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Vorbemerkungen
Kinematik
Impuls und Drall
Berechnung von Massenträgheitsmomenten
Impuls- und Drallsatz
Kraftgesetze äusserer Kräfte
Energie
Nützliches
Anmerkungen
II Lineare Schwingungen - 1 Freiheitsgrad
1
2
3
4
Grundproblem
Diskussion der Homogenen Lösung
Diskussion der Partikulären Lösung
Diskussion der Allgemeinen Lösung
III Lineare Schwingungen - f Freiheitsgrade
1
2
3
4
5
6
7
Vorbemerkungen
Struktur linearer Differentialgleichungen in der Dynamik
Theorie zweiter und erster Ordnung
Das M-K-System
Das M-K-System mit K positiv-definit
Das M-K-System mit K positiv-definit, D nach Bequemlichkeit
Stabilität von MDGKN-Systemen
IV Die Wellengleichung
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Vorbemerkungen
Bewegungsgleichungen spezieller 1-dimensionaler Kontinua
Randbedingungen am Beispiel der Längsdynamik
Allgemeine Lösung der Wellengleichung
Bedeutung der Charakteristiken
Einfache Ortsrandbedingungen beim halbunendlichen Körper
Stehende Wellen
Randbedingungen bei stehenden Wellen
Bemerkungen
V Kinematik
1
2
3
4
5
6
7
8
Vektorraum und Koordinatensysteme
Vektor und Koordinaten
Koordinatentransformationen
Drehgeschwindigkeit zwischen 2 Koordinatensystemen
Ableitung von Vektoren in bewegten Systemen
Kinematische Grössen von Starrkörpern
Berechnung von Geschwindigkeiten
Berechnung von Beschleunigungen
Inhaltsverzeichnis
1
1
1
2
2
4
6
7
8
8
9
9
10
17
20
23
23
23
24
25
26
28
29
30
30
30
32
33
34
37
40
41
42
43
43
43
43
44
46
47
48
49
Mechanik III
VI Allgemeine Kinetik
1
2
3
4
5
Innere/ Äussere Kräfte
Das (erweiterte) Wechselwirkungsprinzip
Das Dynamische Gleichgewicht
Resultierende Kräfte/ Trägheitsterme
Bezugspunktwechsel
VII Kinetik des starren Körpers
1 Nomenklatur und Modell
2 Kinetische Energie des Starrkörpers
3 Transformationsregeln Trägheitstensor
4 Eigenschaften des Trägheitstensors und der Massenmatrix
5 Auswertung Impuls
6 Auswertung Impulsänderung
7 Auswertung Drall
8 Auswertung Dralländerung
9 Zusammenfassung
10 Vorgehen bei Handrechnung
11 Impuls- und Drallerhaltung am Starrkörper
51
51
52
53
53
55
56
56
57
58
60
62
62
63
63
64
66
68
VIII Der Kreisel
70
1
2
3
4
70
71
74
77
Einführung
Bewegung des momentenfreien Kreisels
Erzwungene Bewegung eines Kreisel
Weitere Kreiselphänomene/ Kreiselgeräte
IX Stoss starrer Körper
1
2
3
4
Einführung
Die Stossgleichungen
Kollisionen
Beispiel – Stossmittelpunkt bei einem Hammer
78
78
78
80
82
Anhang
Beispiel einer Formelsammlung
Inhaltsverzeichnis
Mechanik III
1
I Grundlegende Konzepte
Ziel
Aufstellen der Bewegungsgleichungen für ebene Systeme
starrer Körper mit diskreten Kräften/ Momenten
1. Vorbemerkungen
Vektorbezeichnung
a
Ebene Systeme
a∈
Kreuzprodukt im
◊:
2
;
a =⎜
×
2
→
2
(a , b )
Zeitableitung:
⎛ax
⎜ ay
⎝
2
⎞
⎟⎟
⎠
⎛ax
→a ◊b =⎜
⎜ ay
⎝
⎞ ⎛ bx
⎟⎟ ◊ ⎜⎜
⎠ ⎝ by
Eigenschaft:
a ◊ b = −b ◊ a
Sei a = a ( t )
t: Zeit in [s]
i
a ( t ) :=
⎞
⎟⎟ =: a x by − a y bx
⎠
d
a (t )
dt
2. Kinematik
Inertialsystem ( exI , eyI )
raumfest mit unbewegtem Ursprung O
Starrkörper
S
rOS
eyI
O
e xI
ϕ
y
x
Massenmittelpunkt S
(= Schwerpunkt, falls homogene Massenverteilung vorliegt)
Ortsvektor
r OS ( t )
[m] abs. translatorische Auslenkung
Orientierung
ϕ (t )
[rad] abs. Winkelauslenkung
Geschwindigkeiten
i
r OS ( t )
i
ϕ (t )
Beschleunigung
ii
r OS ( t )
ii
ϕ (t )
I Grundlegende Konzepte
[m/s] Geschwindigkeit von Punkt S
[rad/s] Winkelgeschwindigkeit
[m/s2] Beschleunigung von S
[rad/s2] Winkelbeschleunigung
Mechanik III
2
3. Impuls und Drall
Definition
Impuls p ∈
2
"Impuls = Masse mal Schwerpunktsgeschwindigkeit"
i
p := m ⋅ r OS
Definition
(1)
[kgm/s] = [Ns]
Drall L0 ∈
"Drall = Impulsmoment bezüglich eines ruhenden Punktes 0
plus Spin des Körpers"
i
i
L0 := m ⋅ r OS ◊ r OS + Θ S ϕ
Impulsmoment
(2)
[kgm2/s] = [Nsm]
Spin
mit ΘS : [kgm2] Massenträgheitsmoment bezüglich S
4. Berechnung von Massenträgheitsmomenten
S
a
y
x
P
Vorgehen
y
x
i)
ii)
iii)
Zeichne Körper B auf Blatt
Zeichne Koordinatensystem ein mit Ursprung P
Berechne folgendes Volumenintegral
(
)
(
)
Θ P = ∫ x 2 + y 2 dm = ∫∫∫ x 2 + y 2 ρ ( x, y )dxdydz
oder:
ii)
iii)
Zeichne Koordinatensystem im Schwerpunkt S ein
Berechne
2
2
Θ S = ∫ ⎛⎜ x + y ⎞⎟dm
⎝
⎠
Satz von Steiner
Θ P = Θ S + ma 2
! andere Integrationskonstanten
a: Abstand PS
Steiner anwenden zwischen S und anderem
Starrkörperpunkt; niemals zwischen zwei Punkten, von denen
keiner der Schwerpunkt ist!
I Grundlegende Konzepte
Mechanik III
3
I Grundlegende Konzepte
Mechanik III
4
Additivität
Massenträgheitsmomente additiv für gleichen Bezugspunkt
Beispiel
Q
=
ΘQStern
•
+ 3•
•Q
= ΘQRing + 3 • ΘQSpeiche
= m1R2 + 3 • (1/3) m2R2
= (m1 + m2) R2
5. Impuls- und Drallsatz ( Axiome der Dynamik )
i
Impulssatz
p = ∑ F Pi
FP ∈
2
[kgm/s2] = [N]
(3)
: äussere Kraft, die im Punkt P angreift
"Impulsänderung = Summer aller Kräfte"
ϕ
M
S
rSP
rOS
FP
P
rOP
Drallsatz
i
L0 = ∑ r 0 Pi ◊ F Pi + ∑ M j
i
Vorgehen
[kgm2/s2] = [Nm]
(4)
j
Mj∈
: äusseres freies Moment, das am Körper angreift
i)
Berechne p und L0 nach (1), (2)
ii)
iii)
Differenziere nach Zeit ⇒ p , L0
Werte damit Impuls- und Drallsatz (3), (4) aus
i
I Grundlegende Konzepte
i
Mechanik III
5
Satz
Impuls-, Drallerhaltung
Greifen keine äusseren Kräfte/ Momente am Körper an, so ist
der Impuls/Drall konstant.
i
Beweis
i
F P = 0, M = 0 einsetzen ⇒ p = 0, L0 = 0
⇒ p = const , L0 = const
Ausführen von (3), (4) mit (1), (2)
Für starre Körper gilt: m, ΘS konstant
Impulssatz
i
i
p = m ⋅ r OS
i
⇒
ii
p = m ⋅ r OS
ii
p = m ⋅ r OS = F P
(5)
"Masse mal Beschleunigung
= Summe der äusseren
Kräfte"
Drallsatz
i
i
i
ii
ii
i
ii
ii
L0 = Θ S ϕ + mr OS ◊ r OS
ii
i
L0 = Θ S ϕ + mr OS ◊ r OS + m r OS ◊ r OS
0
L0 = Θ S ϕ + mr OS ◊ r OS = r OP ◊ F P + M
(6)
Ist (5) erfüllt, d.h. gilt der Impulssatz, so kann (6) noch
vereinfacht werden:
ii
ii
Θ S ϕ + mr OS ◊ r OS = r OP ◊ F P + M
ii
(
)
Θ S ϕ = r OP − r OS ◊ F P + M
Spin-Satz
ii
Θ S ϕ = r SP ◊ F P + M
(7)
Dieser Satz wird in der Fachliteratur oft als Drallsatz für den
ii
Schwerpunkt bezeichnet, obwohl Θ S ϕ
die Ableitung des
Spins ist, und nicht die des Dralls.
i
Zudem wird oft der Θ S ϕ mit LS abgekürzt und als Drall für
den Schwerpunkt bezeichnet, was unsauber und falsch ist, da
S im allgemeinen bewegt ist. Damit kann LS kein Drall sein!
Wir verwenden zusammen immer (5) & (6) oder (5) & (7)
Dabei gibt es 2 Sichtweisen:
i)
ii)
I Grundlegende Konzepte
Bestimme Beschleunigungen aus Kräften
Bestimme Kräfte aus Beschleunigungen
Mechanik III
6
Satz
Greifen am Starrkörper keine äusseren Kräfte/Momente an,
so gilt:
i
- Schwerpunktsgeschwindigkeit r OS ist konstant
i
- Winkelgeschwindigkeit ϕ konstant
Für räumliche Systeme ist die Winkelgeschwindigkeit nicht
mehr konstant. Eine konstante Schwerpunktsgeschwindigkeit
bedeutet, dass die Starrkörperbewegung unbeschleunigt und
geradlinig (!) ist.
6. Kraftgesetze äusserer Kräfte
- Kraftgesetze bei starren Mehrkörpersystemen = Stoffgesetze in der Kontinuumsmechanik
- Verbinden Kräfte und kinematische Grössen
Krafttypen
- Feder/ Dämpfer
Kräfte in Abhängigkeit von Lagen/ Geschwindigkeiten
bestimmbar
- Stange
Führt auf überzählige Koordinaten im Impuls-, Drallsatz.
Unbekannte Stangenkräfte können eliminiert werden.
- Gewichtskraft
m
Erdbeschleunigung g = 9.81 m/s2
S
G = mg
- Zeitlich vorgegebene Kraftverläufe F(t), M(t)
I Grundlegende Konzepte
Mechanik III
7
7. Energie
Kinetische Energie T eines Starrkörpers (ebener Fall)
T
T=
i
⎞
1 ⎛
m ⎜ r OS ⎟
⎟
2 ⎜⎝
⎠
i2
⎛i ⎞ 1
+
Θ
r
ϕ
⎜ OS ⎟
⎜
⎟ 2 S
⎝
⎠
T=
2
i2⎞
i2
1 ⎛i
1
m ⎜ x + y ⎟ + ΘS ϕ
⎟ 2
2 ⎜⎝
⎠
Translationsanteil
Potentielle Energie einer Feder
(8) [kgm2/s2] = [Nm] = [J]
Rotationsanteil
Lineare Feder
V=
Drehfeder
1
2
c ( z − z0 )
2
V=
(9)
1
2
c (ϕ − ϕ 0 )
2
Auslenkung
Lagepotential
V = m⋅ g ⋅ z
Auslenkung
(10)
z: Höhe des Schwerpunktes über
dem gewählten Null-Niveau
Kinetische Energien und Potentiale sind addititv:
n
TGesamt = ∑T i
bei n Körpern
m
VGesamt = ∑V j
Definition
Anmerkung
Satz
bei m Einzelpotentialen
Ein System aus Starrkörpern heisst konservativ, falls alle an
den einzelnen Starrkörpern angreifenden äusseren Kräfte
Potentialkräfte sind
Kräfte aus idealen Bindungen (Typ Stange) sind konservativ
und es lässt sich tatsächlich auch ein Potential angeben.
Für konservative Systeme gilt Energieerhaltung in der Form
TGesamt + VGesamt = const.
also (TGes + VGes ) = (TGes + VGes )
t1
(11)
t2
wo t1 und t2 beliebige Zeitpunkte markieren.
Bemerkung
I Grundlegende Konzepte
In (11) also keine dissipativen Elemente (Dämpfer) und keine
externe Kraftanregung F(t), M(t) erlaubt!
Mechanik III
8
8. Nützliches
Haftreibung
→ Typ Stange (Sperren von Koordinaten)
Gleitreibung
→ Typ Dämpfer (Dissipation)
Rollen ohne Schlupf (Gleiten)
→ Typ Stange
Rollen ist Haften, da nicht Gleiten...
Rollbedingung
ϕ
i
i
y = Rϕ
⇒ y = Rϕ + const.
y
R
also:
y − Rϕ = const. =: z
9. Anmerkungen
Aufstellen der Gleichungen nach diesem Kapitel ist:
-
langwierig
fehleranfällig
unsystematisch (Struktur kann kaputt gehen)
aber richtig
Elegantere Verfahren gehen über das Prinzip der virtuellen Arbeit
(→Mehrkörpersysteme, struktur-variante Systeme).
I Grundlegende Konzepte
Mechanik III
9
II Lineare Schwingungen - 1 FG
Literatur
- Kapitel 31 im Buch Mechanik III (Sayir)
- Hagedorn, Technische Mechanik 3, Deutsch Harri (einfach)
- Wittenburg, Schwingungslehre, Springer (sehr fundiert)
1. Grundproblem
y(t)
c
Krafterregung
d
ii
F(t)
e(t)
y(t)
c
i
m y + d y + cy = F (t )
m
(*)
Anmerkung: Feder entspannt bei y = 0
Wegerregung
d
ii
i
ii
ii
m y + d y + cy = − m e(t )
m
wir setzen F (t ) := −m e(t )
Dies ist eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit
konstanten Koeffizienten.
Zustandsform
i
Wir setzen z (t ) = y (t ) als unabhängige Variable
Damit wird (*)
i
m z + dz + cy = F (t )
Zusammen in Vektorschreibweise ergibt dies
⎛i
⎜y
⎜i
⎜z
⎝
⎞ ⎛ 0
⎟ ⎜
⎟ = ⎜ −c
⎟ ⎜m
⎠ ⎝
1 ⎞
⎛0
⎞
⎟ i ⎛y ⎞ + ⎜
⎟
−d ⎟ ⎜ ⎟
F (t ) ⎟
⎜
z
⎟ ⎝ ⎠
⎜
⎟
m⎠
⎝ m ⎠
i
x = A ⋅ x + b(t )
zugehöriges System 1.Ordnung
Mechanischer Zustand
(y,z) : Lage und Geschwindigkeit!
Darstellung von (*)
m y + d y + cy = F (t )
ii
δ :=
i
d
2m
ω0 := c / m
:m
Dämpfungswert
[1/s]
Eigen(kreis)frequenz
[1/s]
(ungedämpftes System)
II Lineare Schwingungen - 1 FG
Mechanik III
10
ii
i
1
y + 2δ y + ω0 2 y = ( ) F (t )
m
τ (t ) := ω0 ⋅ t
dimensionslos machen
dimensionslose Zeit,
⇒(
dτ
)i = ( ) ' dt
=(
d
( )' = dτ
) ' ω0
⎛1 ⎞ ⎛ τ ⎞
ω02 y '' + 2δω0 y ' + ω02 y = ⎜ ⎟ F ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ m ⎠ ⎝ ω0 ⎠
D :=
δ
1
1
= d
ω0 2
mc
f (τ ) :=
1
m ω0
2
⎛ τ ⎞
⎟⎟
⎝ ω0 ⎠
F ⎜⎜
: ω02
Lehr'sche Dämpfung (dimensionslos)
normierte Erregerfunktion
y '' + 2Dy ' + y = f (τ )
Lösung von (*)
i) Die allgemeine Lösung der inhomogenen DG ist die
Superposition der allgemeinen Lösung der homogenen DG
und einer speziellen Lösung der inhomogenen DG
(partikuläre Lösung).
y(t) = yh(t) + yp(t)
ii) y(t) weiter spezifizieren mit z.B. Anfangsbedingungen für
den Zustand, also für:
- die Lage
- die Geschwindigkeit
2. Diskussion der homogenen Lösung
ii
i
Differentialgleichung
m yh + d yh + c yh = 0
Ansatz
y h = eλ t
"freier gedämpfter Schwinger"
i
y h = λ eλ t
Einsetzen in die DG ergibt:
Eigenwerte (EW)
(
ii
( mλ
y h = λ 2 eλ t
2
)
+ d λ + c eλt = 0
)
1
−d ± d 2 − 4mc
2m
Die homogene Lösung ergibt sich durch Superposition:
λ1,2 =
y h (t ) = A1e λ1t + A2e λ2t
wobei A1 und A2 noch zu bestimmende Konstante sind.
(festgelegt durch Anfangsbedingungen)
Durch Umformen und Einsetzen der Parameter erhält man
(
λ1,2 = ω0 −D ± D 2 − 1
II Lineare Schwingungen - 1 FG
)
Mechanik III
11
Diskussion des Eigenwertproblems
A Ungedämpfte Schwingung, D=0
λ1,2 = ±i ⋅ ω0
rein imaginär
(struktur-instabil bezüglich D)
y h (t ) = A1e i ω0t + A2e −i ω0t
A1 := (1/2) (B1 - i B2)
A2 := (1/2) (B1 + i B2)
⇒ y h (t ) = B1 cos(ω0t ) + B 2 sin(ω0t )
y h (t ) = A sin(ω0t + ϕ )
⎫
⎪⎪
⎬
⎪
⎪⎭
i
y h (t )
= A cos(ω0t + ϕ )
ω0
f 0 :=
T 0 :=
II Lineare Schwingungen - 1 FG
ω0
2π
1
f0
[
=
2π
ω0
y h2
1
= Hz]
s
[s]
⎛ i
y
+ ⎜⎜ h
⎜ ω0
⎝
2
⎞
⎟ = A2
⎟
⎟
⎠
Frequenz
Periode
Mechanik III
12
B Unterkritisch Gedämpfte Schwingungen, 0 < D < 1
λ1,2 = −δ ± i ⋅ ω
konjugiert komplex
mit ω 2 = ω02 − δ 2 = ω02 (1 − D 2 )
ω
f
T
Pseudokreisfrequenz
Pseudofrequenz
Pseudoperiode
y h (t ) = A1e (
−δ + i ω )t
(
+ A2e (
0<ω <∞
T0 < T < ∞
−δ − i ω )t
= e −δ t A1e i ωt + A2e −i ωt
)
= Ae −δ t cos(ωt + ϕ )
schwache Dämpfer:
starke Dämpfer:
bis D ≈ 0.2
ab D ≈ 0.3
yh(t) ist nicht periodisch aber:
y h (t )
Ae −δ t ⋅ cos(ωt + ϕ )
=
= e δT = const .
y h (t + T ) Ae −δ (t +T ) ⋅ cos(ω (t + T ) + ϕ )
→ Logarithmisches Dekrement Λ :
⎛ y h (t ) ⎞
Λ := ln ⎜
⎟ = δT
⎝ y h (t + T ) ⎠
⎛ ⎛ ω ⎞2 ⎞
= δ
= 2π ⋅ ⎜ ⎜ 0 ⎟ − 1⎟
⎜⎝ ω ⎠
⎟
ω
⎝
⎠
2π
⎛⎛ 1 ⎞ ⎞
= 2π ⋅ ⎜⎜ ⎜
− 1⎟⎟
2 ⎟
⎝⎝1 − D ⎠ ⎠
⎛ D2 ⎞
⎟
Λ = 2π ⋅ ⎜⎜
2 ⎟
⎝1− D ⎠
⎞
⎛
Λ2
⎟
D = ⎜⎜ 2
2 ⎟
⎝ Λ + 4π ⎠
→ Ausschwingversuch zur Bestimmung der Dämpfung
II Lineare Schwingungen - 1 FG
Mechanik III
13
C Kritische Dämpfung - Aperiodischer Grenzfall, D=1
λ1, 2 = −δ
doppelter Eigenwert, reell
i) 1.Lösung : e −δt
ii) 2.Lösung : Wir versuchen folgenden Ansatz ( → Jordan)
y h = te λt
i
y h = t λ eλt + eλt
ii
y h = t λ 2 eλt + 2λ eλ t
Einsetzen in (*) ergibt:
!
t (mλ2 + dλ + c) + (2mλ + d ) = 0
Dies ist erfüllt, wenn der Term (2mλ + d ) verschwindet d.h.
d
= −δ
wenn λ = −
2m
iii) Superposition der 2 gefundenen Lösungen
y h (t ) = A1e −δt + A2te −δt
Wenn wir diese diese Lösung ableiten, durch ω 0 dividieren
und anschliessend in Vektorschreibweise darstellen, erhalten
wir:
⎛ yh
⎜ i
⎜ yh
⎜⎜
⎝ ω0
II Lineare Schwingungen - 1 FG
⎞ ⎡⎛ 0
⎟ ⎢⎜
⎟ = ⎢⎜ 1
⎟⎟ ⎢⎜ ω
⎠ ⎣⎝ 0
⎞
⎛ 1
⎟ A +⎜
⎟ 2 ⎜− δ
⎟
⎜
⎠
⎝ ω0
⎤
⎞
⎟ ( A + tA ) ⎥ e−δ t
2 ⎥
⎟ 1
⎟
⎠
⎦⎥
Mechanik III
14
D Überkritische Dämpfung, D > 1
λ1, 2 = −δ ± ψ
negativ reelle Eigenwerte
mit ψ 2 := δ 2 − ω 0 2 = ω 0 2 ( D 2 − 1) ; 0 < ψ < δ
y h (t ) = A1e λ1t + A2 e λ2t
y h (t ) = A1e ( −δ +ψ )t + A2 e ( −δ −ψ )t
y h (t ) = e −δt ( A1eψt + A2 e −ψt )
Substitution:
A1 := (1/2) (B1 - i B2)
A2 := (1/2) (B1 + i B2)
1
1
y h (t ) = e −δt ( B1 (eψt + e −ψt ) + B2 (eψt − e −ψt ))
2
2
−δ t
y h (t ) = e ( B1 cosh(ψt ) + B2 sinh(ψt ))
Für Phasenkurven:
λ2 < λ1 < 0
⎛ yh ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎡⎛ 1 ⎞
⎛1 ⎞
⎛1 ⎞
⎤
⎜ i ⎟ = ⎜ ⎟ A1eλ1t + ⎜ ⎟ A2 eλ2t = ⎢⎜ ⎟ A2 e( λ2 − λ1 )t + ⎜ ⎟ A1 ⎥ eλ1t
⎜ y ⎟ ⎝ λ1 ⎠
λ
λ
λ
⎦
⎝ 2⎠
⎝ 1⎠
⎣⎝ 2 ⎠
⎝ h⎠
⎛ yh
⎜ i
⎜ yh
⎜⎜ ω
⎝ 0
II Lineare Schwingungen - 1 FG
⎞ ⎡⎛ 1
⎞
⎛1
⎞
⎟ ⎢⎜
⎤
⎟
⎜
−2ψ t
+ ⎜ δ ψ ⎟⎟ A1 ⎥ e( −δ +ψ )t
⎟ = ⎢⎜ δ ψ ⎟ A2 e
−
−
+
⎦
⎜−
⎟
⎟⎟ ⎢⎜ ω0 ω0 ⎠⎟
⎝ ω0 ω0 ⎠
⎠ ⎣⎝
Mechanik III
15
E Grenzfall, D → ∞
δ
=D
ω0
Feder-Honigtopf-Beispiel
II Lineare Schwingungen - 1 FG
ψ
D→∞
= D 2 − 1 ≈ D ⇒ ψ ⎯⎯
⎯→ δ
ω0
⎛ yh
⎜ i
⎜ yh
⎜⎜
⎝ ω0
⎞
⎟ ⎛ 1 ⎞
⎛1 ⎞
−2δ t
+ ⎜ ⎟ A1e −ε t
⎟=⎜
⎟ A2 e
D
2
−
⎠
⎝0⎠
⎟⎟ ⎝
⎠
mit:
D→∞ , δ →∞ , ε →0
Zum besseren Verständnis dieses Grenzfalles stellt man sich
eine kleine Kugel am Ende einer Feder vor, welche man in
einen Topf voller Honig taucht. Man kann sich leicht vorstellen, dass wenn man der Kugel einen Stoss versetzt, sie
sich kaum bewegt d.h. die Geschwindigkeit nimmt sprunghaft
ab.
Mechanik III
16
F Verlauf der Eigenwerte in Abhängigkeit von D
G Vergleich Einschwingverhalten
Anfangsbedingungen
stossfreies Loslassen aus der Anfangslage y0, also
yh (t = 0) = y0
II Lineare Schwingungen - 1 FG
i
y h (t = 0) = 0
Mechanik III
17
3. Diskussion der Partikulären Lösung
a) Vorbemerkungen
• Lösung durch:
- Ansatz vom Typ der rechten Seite
- Variation der Konstanten der homogenen Lösungen
• Wichtige Anregungen:
- Impulsfunktion, Sprungfunktion
→ Regelungstechnik
- Harmonische oder Periodische Anregung
(Wir werden nur die Harmonische behandeln!)
ii
• Superposition gilt:
i
m y p + d y p + cy p = F (t )
Ist F (t ) = ∑ d i Fi (t ) und y pi (t ) die partikuläre Lösung zu
Satz
i
Fi (t ) , dann ist y p (t ) = ∑ d i y pi (t ) eine partikuläre Lösung zu
i
F (t ) .
b) Die Harmonische Anregung (erzwungene Schwingung)
Vorbemerkung
i)  z ∈
, z = 0 ⇒ Re(z ) = 0 ∈
ii) z = a + ib = reiψ mit r = a 2 + b 2
Problem
ii
∧
F:
Ω:
Anmerkung
b
a
Finde ein y p (t ) , so dass
i
∧
m y p + d y p + cy p = F cos(Ωt )
Ansatz
tan(ψ ) =
∀t
(1)
Erregeramplitude
Erregerfrequenz
∧
y p (t ) = y cos(Ωt − ϕ )
(2)
∧
Bestimme y und ϕ !
Dieser Ansatz funktioniert nicht für den Fall der Resonanz
d.h. wenn d = 0 und Ω = ω 0
( → zur Behandlung braucht man zeitbeschwerte Terme!)
Nun gibt es zwei Methoden für die Lösung dieses Problems.
Die erste Methode ist:
1.
2.
3.
(2) in (1) einsetzen
mit Hilfe der Additionstheoreme umformen
Vergleichen der Sinus- und der Cosinus-Anteile
Da dies eine enorm lange Rechnung ergibt, versuchen wir die
zweite Methode:
II Lineare Schwingungen - 1 FG
Mechanik III
18
Komplexifiziere
Wegen i) wird die Lösung von (1), (2) erhalten.
ii
!
∧
i
0 = m z p + d z p + cz p − F eiΩt
∧
z p (t ) := y e i ( Ωt −ϕ )
mit
∧
∧
0 = (−mΩ 2 + diΩ + c) y ei ( Ωt −ϕ ) − F eiΩt
r ⋅eiψ wegen ii)
∧
∧
0 = y reiψ ei ( Ωt −ϕ ) − F eiΩt
⎛ ∧
⎞∧
y
0 = ⎜ ∧ rei (ψ −ϕ ) − 1 ⎟ F eiΩt
⎜
⎠
⎝F
∀t
ϕ = ψ und
Dies ist z.B. erfüllt, wenn
∧
∧
F
y=
r
(3)
Berechnung von r und ψ mit ii)
r = (c − mΩ 2 ) 2 + (dΩ) 2
r=m (
c
dΩ 2
− Ω2 )2 + (
)
m
m
r = m (ω 0 2 − Ω 2 ) 2 + (2δΩ) 2
r = mω0 2 ⋅ (1 −
Ω
ω0
:= η
Ω
ω0
2
2
) 2 + (2
δ Ω 2
)
ω0 ω0
Frequenzverhältnis
r = mω 0 2 ⋅ (1 − η 2 ) 2 + (2 Dη ) 2
(4)
δ Ω
dΩ
2
ω
dΩ
2
Ω
δ
0 ω0
tan(ψ ) =
= m = 2
=
2
2
c
c − mΩ
Ω2
− Ω 2 ω0 − Ω
1− 2
m
ω0
tan(ψ ) =
2 Dη
1−η2
(5)
Damit ist die Partikuläre Lösung (2) anhand der Gleichungen
(3) bis (5) gefunden.
II Lineare Schwingungen - 1 FG
Mechanik III
19
Man nennt:
V (η , D) :=
1
(1 − η ) + (2 Dη ) 2
2 2
⎛ 2D η ⎞
⎟
2 ⎟
⎝1 −η ⎠
Phasengang
ϕ (η , D ) := arctan ⎜⎜
Damit wird:
∧
y=
Amplitudengang
∧
F
mω 0 2
⋅ V (η , D) und
∧
y p (t ) =
F
⋅V (η , D ) ⋅ cos(Ωt − ϕ (η , D ))
m ω0 2
Amplitude und Phasenverschiebung sind abhängig vom
Frequenzverhältnis η und von der Lehr'schen Dämpfung D .
Zu Beachten
• V (η = 0, D) = 1
ϕ (η = 0, D) = 0
⇒ ganz langsame Anregung
⇒ keine Vergrösserung
• V (η → ∞, D) = 0
ϕ (η → ∞, D) = π
Als Beispiel für diesen Fall stellt man sich eine Autofahrt über
einen Kopfsteinpflasterbelag vor. Die Fahrt wird umso
ruhiger, je schneller man fährt.
II Lineare Schwingungen - 1 FG
Mechanik III
20
• ϕ (η = 1, D ≠ 0) =
π
2
• V (η → 1, D = 0) → ∞
Phasensprung bei
ϕ (η = 1, D = 0)
⇒ Resonanz: "Amplituden werden ∞ "
Anmerkungen
In der Regelungstechnik spricht man vom EingangsAusgangs-Verhalten. Wichtig ist jedoch, dass man zuerst
festlegt, was der Eingang und was der Ausgang ist!
→ Gegebenenfalls anderer Amplitudengang.
Sinnvolle Wahl
Krafterregung
Wegerregung
Eingang
Ausgang
F (t )
e(t )
y (t )
y (t ) oder ( y + e)(t )
Unsere Herleitung des Amplituden- und Phasengangs war für
den Fall der Krafterregung. Für den Fall der Wegerregung
müssten wir die ganze Herleitung wiederholen!
4. Diskussion der Allgemeinen Lösung
y (t ) = y h (t ) + y p (t )
Für die Allgemeine Lösung müssen jetzt noch die zwei freien
Konstanten mit Hilfe von z.B. Anfangsbedingungen bestimmt
werden.
D>0
System ist asymptotisch stabil ( Re(λ ); < 0)
⇒ die homogene Lösung klingt mit t ab
⇒ für t >> 1 gilt: y (t ) ≈ y p (t )
D=0
System ist grenzstabil ( Re(λ ) ; = 0 )
⇒ die homogene Lösung klingt nicht ab
II Lineare Schwingungen - 1 FG
Mechanik III
21
Beispiel
Harmonische Anregung ( η =
Ω
; ≠ 1)
ω0
y (t ) = y h (t ) + y p (t )
∧
y (t ) = B1 cos(ω 0t ) + B2 sin(ω 0t ) +
F
mω 0
2
⋅V (
Ω
ω0
,0) ⋅ cos(Ωt − ϕ (
Ω
ω0
,0))
∧
ω0 2
F
⋅
⋅ cos(Ωt )
y (t ) = B1 cos(ω0 t ) + B2 sin(ω0 t ) ±
mω0 2 ω0 2 − Ω 2
∧
F
m
y (t ) = B1 cos(ω 0t ) + B2 sin(ω 0t ) + 2
⋅ cos(Ωt )
ω0 − Ω2
∧
Anfangsbedingungen
i)
y (t = 0) = 0
ii)
y (t = 0) = 0
i
F
m
⇒ B1 = − 2
ω0 − Ω2
⇒ B2 = 0
∧
⇒
F
m
y (t ) = − 2
⋅ (cos(ω 0t ) − cos(Ωt ))
ω0 − Ω2
Diese Gleichung kann mit Hilfe der Additionstheoreme
anschaulich umgeformt werden:
∧
2F
1
1
y (t ) = 2 m 2 ⋅ sin[ (ω0 − Ω) ⋅ t ] ⋅ sin[ (ω0 + Ω) ⋅ t ]
2
2
ω0 − Ω
Schwebung
Ist jetzt ω 0 ≈ Ω (Resonanznähe), dann entsteht Schwebung,
Tz =
II Lineare Schwingungen - 1 FG
2π
Ω − ω0
Mechanik III
22
Resonanz
Ω → ω0
Tz → ∞
1
1
sin[ (ω 0 − Ω) ⋅ t ] →
(ω 0 − Ω) ⋅ t
2
2
1
sin[ (ω 0 + Ω) ⋅ t ] → sin(ω 0t )
2
∧
2F
1
y (t ) = 2 m 2 ⋅ (ω 0 − Ω) ⋅ t ⋅ sin(ω 0t )
ω0 − Ω 2
∧
F
m
y (t ) =
⋅ t ⋅ sin(ω 0t )
ω0 + Ω
⇒ Lineare Amplitudenwachstum bei Resonanz
II Lineare Schwingungen - 1 FG
Mechanik III
23
III Lineare Schwingungen - f Freiheitsgrade
Literatur
- Kapitel 33 im Buch Mechanik III (Sayir)
- Wittenburg, Schwingungslehre
1. Vorbemerkungen
Sei A ∈
A heisst:
→
eine reelle Matrix und x ∈
n,n
symmetrisch
wenn
A = AT
schiefsymmetrisch
wenn
A = − AT
positiv definit (PD)
wenn
positiv semidefinit (PSD)
wenn
→T
→
→T
→
n
reel.
(Folgerung: Diagonalelemente aii = 0 )
x Ax >0
x Ax ≥0
→
∀x ≠0
→
∀x
2. Struktur linearer Differentialgleichungen in der Dynamik
Aus der Linearisierung eines Systems mit f Freiheitsgraden
um einen Gleichgewichtspunkt erhält man:
ii
→
i
→
→
→
M y + B y + C y = f (t )
→
wobei y (t ) ∈
f
⇒ f lineare DG 2.Ordnung
den gesuchte Zeitverlauf der "Störungen"
→
y aus der Gleichgewichtslage darstellt.
→
f (t ) ∈
gegebene zeitliche Erregerfunktion
f
M , B, C ∈
f,f
reelle konstante Matrizen
Additive Zerlegungen in
symmetrische und
schiefsymmetrische Anteile
III Lineare Schwingungen - f FG
M = MT
Massenmatrix
1
D = DT := ( B + B T )
2
1
T
G = −G := ( B − B T )
2
1
K = K T := (C + C T )
2
1
T
N = − N := (C − C T )
2
Dämpfungsmatrix
Gyro-Matrix (Coriolis-Terme)
Steifigkeitsmatrix ( → Federn)
Matrix der zirkulierenden Kräfte
Mechanik III
24
ii
→
i
→
→
→
⇒ M-D-G-K-N-System
M y + ( D + G ) y + ( K + N ) y = f (t )
Zustandsraumdarstellun g
⎛i⎞
⎛ ⎞
0
E
⎞
⎞ ⎜ y⎟ ⎛0
⎜ y⎟ ⎛
=
⋅
⎜ ii ⎟ ⎜ − M −1 ( K + N ) − M −1 ( D + G ) ⎟ ⎜ i ⎟ + ⎜ M −1 f (t ) ⎟
⎠ y
⎠
⎜ y⎟ ⎝
⎝ ⎠ ⎝
⎝ ⎠
i
→
→
→
x = A i x + b (t ) ∈
2f
3. Theorie zweiter und erster Ordnung
Anmerkung
Wir behandlen hier nur Systeme, die ohne Hauptvektoren
auskommen.
Übersicht
System 2.Ordnung
→ Mechanik
Ausgangspunkt
ii
→
i
→
→
System 1.Ordnung
→ Mathematik
→
M y + B y + C y = f (t )
→
y∈
AB:
i
→
→
x = A x + b (t )
→
x∈
f
→
→
i
→
→
→
n
⎛→⎞
⎛0
⎞
⎜ y⎟ →
x = ⎜ i ⎟ b (t ) = ⎜ −1
⎟
⎝ M f (t ) ⎠
⎜ →y ⎟
⎝ ⎠
→
; n=2f
→
y (t = 0) = y 0
Zusammenhang und
Anmerkungen
→
AB: x (t = 0) = x 0
E ⎞
⎛ 0
⎟
A = ⎜⎜
−1
−1 ⎟
M
C
M
B⎠
−
−
⎝
y (t = 0) = z 0
Homogene Lösung
→
→
→
Ansatz: y = u e λt
Einsetzen:
→
Ansatz: x = v e λt
→
(M λ 2 + B λ + C ) u e λt = 0
→
(λE − A) v e λt = 0
⎛→⎞ ⎛→ ⎞
u
⎜ y⎟
x = ⎜ i ⎟ = ⎜ → ⎟ eλt
⎜
⎟
⎜ →y ⎟ ⎜⎝ λ u ⎟⎠
⎝ ⎠
→
λ : EW
→
→
v : EV
u :" EV "
Eigenwerte (n Stück)
!
!
det( Mλ2 + Bλ + C ) = 0
det(λE − A) = 0
→ Pn (λ ) = λn + an−1λn−1 + ... = 0
→ Pn (λ ) = λn + an−1λn−1 + ... = 0
Eigenvektoren
Löse bei gegebenem λn :
→
( Mλn 2 + Bλn + C ) u k = 0
→
(λE − A) v k = 0
Gleiches charakteristisches
Polynom!
⇒ gleiche Eigenwerte!
⎛→ ⎞
⎜ uk ⎟
vk = ⎜
⎟
→
⎜λ u ⎟
⎝ k k⎠
→
→
Die vk sind immer linear
unabhängig! Dies gilt
→
jedoch nicht für die u k !!
Basisfunktionen
→
→
y k = u k e λkt
III Lineare Schwingungen - f FG
→
→
x k = v k e λkt
Mechanik III
25
Homogene Lösung
→
→
→
→
→
Superpositionsprinzip
→
x h (t ) = c1 x1 + ... + cn x n
y h (t ) = c1 y1 + ... + cn y n
Partikuläre Lösung
→
→
y p (t )
x p (t )
⎛→
⎞
⎜ y p (t ) ⎟
x p (t ) = ⎜ i
⎟
⎜⎜ →
⎟⎟
⎝ y p (t ) ⎠
→
Allgemeine Lösung und Anfangswertprobleme
i
→
n
i
→
i
→
i
→
y (t ) = ∑ ci y i (t ) + y p (t )
⎛→ ⎞
⎜y ⎟
x0 = ⎜ 0⎟
→
⎜ z0⎟
⎝ ⎠
→
i =1
→
→
y 0 , z 0 bestimmen ci
Vorsicht
i
→
x (t ) = ∑ ci x i (t ) + x p (t )
i =1
→
i
→
n
x 0 bestimmen ci
i
→
→
→
Für symmetrische Matrizen A von x = A x + b (t ) stehen die
→
→
→
EV v i aufeinander senkrecht, v j T ⋅ v i = 0 .
Aber: Für mechanische Systeme ist A im allgemeinen nicht
symmetrisch!
4. Sonderfall: Das M-K-System
Ausgangspunkt
D=G=N=0
- keine Dämpfung
- keine Coriolis-Kräfte
- keine zirkulatorischen Kräfte
⇒ Systeme mit Massen und Federn
ii
→
→
→
M y + K y = f (t )
mit M = M T PD,
→T
→
i.e. z M z > 0 ∀z ≠ 0 und K = K T .
→T
→
→
Annahme
K ist PSD , i.e. y K y ≥ 0 ∀ y
⇒ Einfluss der stabilisierenden Federn/Steifigkeiten
überwiegt die destabilisierenden Zentrifugalkräfte)
Ansatz Homogene
yh = u e λ t
Einsetzen
( Mλ2 u + K u )e λt = 0
Satz
Die Eigenwerte eines M-K-Systems mit K PSD sind:
- entweder paarweise konjugiert imaginär
(Schwingungen → Kapitel II, Fall D=0)
- oder von gerader Vielfachheit Null (ungefesseltes System,
Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit)
→
→
III Lineare Schwingungen - f FG
i
→
→
→
yh = λ u e λ t
ii
→
→
yh = λ 2 u e λ t
→
Mechanik III
26
Beweis
→
Ist ein λ EW und w der zugehörige "EV", so gilt:
→T
→T
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
mit: w = u + i v , w = u − i v
0 = w M w λ2 + w K w
→
→
→
→
→
0 = ( u − i v )T M ( u + i v )λ2 + ( u − i v )T K ( u + i v )
→T
→
→T
→T
→
→
→T
→
0 = ( u M u + v M v ) λ2 + ( u K u + v K v )
=: c1 > 0 ( PD)
=: c2 ≥ 0 ( PSD )
0 = c1λ2 + c2
⇒ λ2 = −
c2
=: −ω02
c1
⇒ λ1,2 = ±i ω0 , ω0 ≥ 0
ω 0 = Eigenkreisfrequenz
Satz
Sei λ1,2 = ±i ω0 , ω0 > 0 .
→
Die zugehörigen "EV" u 1, 2 können so gewählt werden,
→
→
dass u 1 = u 2 reell ist.
→
Beweis
→
→
→
da λ2 , M , K reell, folgt u 1, 2 reell.
( Mλ2 2 + K ) u 2 = 0
→
→
→
y 1 = u 1 e iω0t
zugehörige Basisfunktion
→
da λ1 = λ2 , folgt u 1 = u 2 .
( Mλ12 + K ) u 1 = 0
→
y 2 = u 1 e −iω0t
Für (doppelte NS):
→
→
⇒ y1 = u 1
→
→
→
y 2 = t ⋅ u1
→
→
y h (t ) = u 1 ⋅ A1 sin(ω01t + ϕ1 ) + u 3 ⋅ A 3 sin(ω03t + ϕ3 ) + ...
Homogene Lösung
→
→
+ u k ⋅ (Bk + t Ck ) + u k + 2 ⋅ (Bk + 2 + t Ck + 2 ) + ...
insgesamt f Summanden
(A i , ϕi ) , (Bi , Ci ) : noch zu bestimmende Konstanten
5. Sonderfall: M-K-System mit K positiv-definit
Analog zu Unterkapitel 4, nur kommen hier keine NullEigenwerte vor ( λ 2 = −ω0 2 < 0 ).
Satz
Die Matrizen M und K werden durch die Matrix der "EV"
⎡→ → →
⎤
U := ⎢ u 1 u 3 ... u 2 f −1 ⎥ ∈ f , f diagonalisiert:
⎣
⎦
U T MU =: diag {µi }
III Lineare Schwingungen - f FG
U T KU =: diag {κ i }
Mechanik III
27
→
→
Gegeben sei der EW λi 2 mit "EV" u i und EW λ j 2 mit "EV" u j
Beweis
( i, j ∈ {1,3,5,...} )
→ T
uj
M u i λi 2 + u j K u i = 0
→
→ T
→
→T
ui
M u j λ j2 + u i K u j = 0
→
→T
→
→ T
uj
M u i (λi 2 − λ j 2 ) = 0
(*)
→
(**)
Fall 1: i ≠ j , λi 2 ≠ λ j 2
→ T
uj
(**) ⇒
→
M ui = 0
(*) ⇒
→ T
uj
→
K ui = 0
Fall 2: i = j
→T
ui
→T
ui
→
M u i =: µi > 0
λi 2 = −
(*) ⇒
→
K u i = κi > 0
κi
= −ω0i 2
µi
Der Beweis kann auch für mehrfache Eigenwerte i≠j; λi2=λj2
geführt werden.
→
→
Satz
Die f "EV" u 1 , u 3 , ... sind linear unabhängig, d.h. die Matrix U
ist invertierbar.
Beweis
Zu zeigen ist, dass aus α1 u 1 + α 3 u 3 + ... = 0 folgt, dass
α1 = α 3 = ... = 0 .
→
→
→
→
→
α1 u 1 + α 3 u 3 + ... = 0
⇒ U ⋅α = 0
→
⇒ U T MU ⋅ α = 0
→
⇒ diag {µi } ⋅ α = 0
⇒ α1µ1 = 0, α 3 µ3 = 0, ... ( µi > 0)
⇒ α1 = α 3 = ... = 0
→
Modale Koordinaten ξ ∈
f
→
Wähle ξ (t ) := U
−1
ii
→
→
ii
→
ii
→ →
y (t ) , also y (t ) = U ξ = ∑ u i ξ
ii
→
→
→
Damit wird das M-K-System M y + K y = f (t ) zu:
ii
→
→
→
U T MU ξ + U T KU ξ = U T f (t )
ii
→
→
→
diag {µi } ξ + diag {κ i } ξ = β (t )
ii
→ f entkoppelte Gleichungen µi ξ i + κ i ξ i = βi (t )
also mit λi 2 = −ω0i 2 = −
III Lineare Schwingungen - f FG
κi
µi
Mechanik III
28
ii
ξ i + w0i 2 ξ i =
β i (t )
µi
6. Sonderfall: M-K-System mit K positiv-definit und D nach Bequemlichkeit
Ausgangspunkt
M
PD, K
ii
→
i
→
PD
→
→
M y + D y + K y = f (t )
Bequemlichkeitshypothese
Da Dämpfungen meist schlecht bestimmbar sind, setzt man
oft:
D := α M + β K
α, β ∈
(oft α = 0)
Satz
Die Matrix U der "EV" des zugehörigen M-K-Systems ohne
Dämpfung diagonalisiert auch das M-K-D-System, wenn D
gemäss Bequemlichkeitshypothese gewählt wird.
Beweis
Setze y = U ξ , wobei U die Matrix der "EV" für α = β = 0 :
→
→
ii
→
i
→
→
→
U MU ξ + U (α M + β K )U ξ + U T KU ξ = U T f (t )
T
T
ii
→
i
→
→
→
diag {µi } ξ + (α diag {µi } + β diag {κ i }) ξ + diag {κ i } ξ = β (t )
⇒ f entkoppelte Gleichungen
ii
i
µi ξi + (αµi + βκ i ) ξi + κ i ξi = βi (t )
ii
i
ξi + 2δ i ξi + ω0i 2 ξi =
Begriffe
βi (t )
µi
→T
→ →
→
i) Vektoren ui , u j , für die ui M u j = 0 gilt, heissen
massenorthogonal.
ii) Die Matrix U der "EV" beim M-K-System heisst
Modalmatrix.
→
iii) Die Koordinaten ξ
→
→
(ξ = U −1 y ) heissen
Hauptkoordinaten oder modale Koordinaten.
iv) Die geometrische Schwingungsform, die über den i-ten
→
"EV" ui beschrieben wird, heisst i-te Eigenform.
III Lineare Schwingungen - f FG
Mechanik III
29
7.Stabilität MDGKN-System
i
→
→
→
Das System x = A x + b (t ) heisst:
asymptotisch stabil
→
→
→
wenn lim xh (t ) → 0 ∀AB xh (t0 ) = x0
t →∞
wenn also Re(λi ) < 0 ∀i
instabil
→
→
→
wenn lim xh (t ) → ∞ für auch nur eine AB xh (t0 ) = x0
t →∞
wenn also auch nur ein Re(λi ) > 0 , oder bei t-beschwerten
Termen und Re(λi ) = 0 wie in Unterkapitel 4.
grenzstabil
sonstige
III Lineare Schwingungen - f FG
Mechanik III
30
IV Die Wellengleichung
Literatur
- Kapitel 34 im Buch Mechanik III (Sayir)
- Wittenburg, Schwingungslehre
- Hagedorn, Techn. Schwingungslehre, Band 2
1. Vorbemerkungen
Partielle Differentialgleichungen (PDG)
-
sehr schwierig zu lösen, umfassen ein riesiges Gebiet
mathematische Grundlagen: Funktionalanalysis
analytische Lösungen sind fast nie erreichbar
Näherungslösung auf Computer durch Diskretisierung
(FEM, BEM,...)
Schreibweisen partieller Ableitungen
δu
δt
δΦ
Φξ :=
δξ
ut :=
Sei u = u ( x, t ) :
Sei Φ = Φ (ξ ,η ) :
Beispiel
δu
δx
δΦ
Φη :=
δη
u x :=
Φξη = 0
Gesucht ist die allgemeine Lösung der PDG
Integration nach ξ und η ergibt:
Φξη = 0 ⇒ Φξ = h(ξ ) ⇒ Φ = ∫ h(ξ )dξ + g (η )
⇒ Φ (ξ ,η ) = f (ξ ) + g (η )
Dies ist die allgemeine Lösung mit beliebigen Funktionen f
und g.
Welche speziellen Funktionen f und g zu nehmen sind, wird
durch Randbedingungen (RB) und Anfangsbedingungen (AB)
festgelegt!
2. Bewegungsgleichungen spezieller 1-dimensionaler Kontinua
Dynamik der vorgespannten Saite
F
F ⋅ u x ( x + dx, t )
dm
F ⋅ u x ( x, t )
→
F
u x ( x, t )
ey
→
x + dx
x
ex
u x ( x + dx, t )
→
Impulssatz in e y -Richtung:
dm ⋅ utt ( x, t ) = F ⋅ (u x ( x + dx, t ) − u x ( x, t ))
⇒ utt ( x, t ) =
⇒
IV Die Wellengleichung
F
ρA
⋅
u x ( x + dx, t ) − u x ( x, t )
dx
c 2 :=
F
ρA
utt ( x, t ) = c 2 ⋅ u xx ( x, t )
Mechanik III
31
Längsdynamik eines dünnen Stabes
x
x+dx
x
u(x,t)
u(x+dx,t)
σ(x,t)
σ(x+dx,t)
dm = ρ ⋅ A ⋅ dx
σ = E ⋅ε
ε = ux
Längskraft: N = σ ⋅ A = E ⋅ A ⋅ u x
Impulssatz in x-Richtung
dm ⋅ utt ( x, t ) = A ⋅ (σ ( x + dx, t ) − σ ( x, t ))
ρ ⋅ A ⋅ dx ⋅ utt ( x, t ) = A ⋅ E ⋅ (u x ( x + dx, t ) − u x ( x, t ))
utt ( x, t ) = c 2 ⋅ u xx ( x, t )
c 2 :=
E
ρ
⎡ m2 ⎤
⎢ 2 ⎥
⎣⎢ s ⎦⎥
Torsionsschwingung eines Stabes
z
y
ϕ (x+dx,t)
ϕ (x,t)
x
ϕx =
M(x,t)
M
G ⋅ IP
x + dx
M(x+dx,t)
x
M = G ⋅ I P ⋅ϕ x
I P = ∫ ( z 2 + y 2 )dA
A
⇒ dθ S = I P ⋅ ρ ⋅ dx
dθ S = ∫ ( z + y ) ρ ⋅ dA ⋅ dx
2
2
A
Drallsatz
dθ S ⋅ ϕtt ( x, t ) = M ( x + dx, t ) − M ( x, t )
ρ ⋅ I P ⋅ dx ⋅ ϕtt ( x, t ) = GI P (ϕ x ( x + dx, t ) − ϕ x ( x, t ))
⇒ ϕtt ( x, t ) = c 2 ⋅ ϕ xx ( x, t )
IV Die Wellengleichung
wobei
c2 =
G
ρ
⎡ m2 ⎤
⎢ 2 ⎥
⎢⎣ s ⎥⎦
Mechanik III
32
Die Wellengleichung
Die lineare PDG 2.Ordnung
utt ( x, t ) = c 2 ⋅ u xx ( x, t )
heisst Wellengleichung. Die Konstante c [m/s] heisst
Wellengeschwindigkeit.
3. Randbedingungen am Beispiel der Längsdynamik
q(t)
Ortsrandbedingungen
u1
u2
u3
x
xA
xB
xC
xD
F3
NC+
→ Freischneiden
NA+
NA-
NC-
NB+
Kinematische Randbedingungen
Feste Einspannung bei xA
F2
ND-
Kinetische Randbedingungen
u1 ( x A , t ) = 0
keine für u1x ( x A , t ) ∼ N A+
Stabkopplung bei xB
u1 ( xB , t ) = u2 ( xB , t )
N B − = N B + ⇒ E1 A1u1x ( xB , t ) = E2 A2u2 x ( xB , t )
Punktmasse bei xC
u2 ( xC , t ) = q(t ) = u3 ( xC , t )
Impulssatz für m:
N C − = F2 , F3 = N C +
ii
m q = F3 − F2 = N C + − N C −
ii
m q = E3 A3u3 x ( xC , t ) − E2 A2 u2 x ( xC , t )
Freies Ende bei xD
N D − = 0 ⇒ E3 A3u3 x ( xD , t ) = 0
keine für u3 ( xD , t )
⇒ u3 x ( xD , t ) = 0
Zeitrandbedingungen
Zeitrandbedingungen werden auch Anfangsbedingungen
genannt und werden vorgegeben.
u ( x, 0) = ...
ut ( x, 0) = ...
IV Die Wellengleichung
Mechanik III
33
4. Allgemeine Lösung der Wellengleichung
Herleitung der
d'Alembert'schen Lösung
utt ( x, t ) − c 2u xx ( x, t ) = 0
(*)
1. Transformation auf neue Variablen ξ ,η durch Substitution
ξ = ξ ( x, t )
η = η ( x, t ) ⇒ u ( x, t ) = Φ ( ξ ( x, t ),η ( x, t ) )
Damit:
ut = Φξ ξt + Φηηt
utt = Φξ ξtt + Φξξ ξt 2 + Φξη ξtηt + Φηηtt + Φηηηt 2 + Φηξ ηtξt
u x = Φξ ξ x + Φηη x
u xx = Φξ ξ xx + Φξξ ξ x 2 + Φξη ξ xη x + Φηη xx + Φηηη x 2 + Φηξ η xξ x
2. In die Wellengleichung (*) einsetzen und sortieren
Φξξ (ξt 2 − c 2ξ x 2 ) + 2Φξη (ξtηt − c 2ξ xη x ) + Φηη (ηt 2 − c 2η x 2 )
= −Φξ (ξtt − c 2ξ xx ) − Φη (ηtt − c 2η xx )
(**)
3. Finde eine Transformation auf die neuen Variablen ξ ,η so,
dass die Gleichung (**) möglichst einfach wird. Dies ist der
Fall, wenn die Terme (ξt 2 − c 2ξ x 2 ) , (ηt 2 − c 2η x 2 ) verschwinden.
d.h. Finde z ( x, t ) so, dass zt 2 − c 2 z x 2 = 0
Die Lösungen z ( x, t ) = const heissen Charakteristikenscharen.
i)
z ( x, t ) = const sind Niveaulinien x = s (t )
der Funktion ( x, t ) → z ( x, t )
ii)
Der Gradient steht senkrecht zu den Niveaulinien
T
i
⎛ zt ⎞ ⎛ 1 ⎞
z
⇒ ⎜ ⎟ ⋅⎜ i ⎟ = 0 ⇒ s = − t
⎜
⎟
z
z
x
⎝ x ⎠ ⎝s⎠
iii)
Zusammen mit der Wellengleichung erhalten wir
folgende Differentialgleichung:
2
i2
⎛z ⎞
c2 = ⎜ t ⎟ = s
⎝ zx ⎠
i
⇒ s = ±c
mit der Lösung:
s (t ) = x = ± ct + const
iv)
Damit sind die Charakteristikenscharen
z1 ( x, t ) = x − ct = const
z2 ( x, t ) = x + ct = const
IV Die Wellengleichung
Mechanik III
34
und die Koordinatentransformation
ξ = x − ct
η = x + ct
Eingesetzt in die Gleichung (**) ergibt die
Normalform der Wellengleichung:
−4c 2 ⋅ Φξη = 0
v)
Die Lösung dieser Differentialgleichung lautet
Φ (ξ ,η ) = f (ξ ) + g (η )
Die Rücktransformation führt schliesslich zur
allgemeinen Lösung der Wellengleichung. Sie wird
auch d'Alembert'sche Lösung genannt.
u ( x, t ) = f ( x − ct ) + g ( x + ct )
5. Bedeutung der Charakteristiken
u ( x, t ) = f ( x − ct ) + g ( x + ct )
=:u f ( x ,t )
=:u g ( x ,t )
c: Wellenausbreitungsgeschwindigkeit
Die allgemeine Lösung stellt eine Überlagerung zweier
gegenläufiger Wellen dar.
uf : Rechtswelle
ug : Linkswelle
Beachte
Die tatsächliche Gestalt von f und g wird erst über die
Anfangs- und die Randbedingungen festgelegt.
Charakteristikenscharen
Die Scharen
IV Die Wellengleichung
ξ = x − ct = const
η = x + ct = const
heissen Charakteristikenscharen und sind Scharen von
parallelen Geraden in der x-t-Ebene. Auf diesen Geraden
hat f (bzw. g) immer den selben Wert!
Mechanik III
35
Rechtswellen
u f ( x, t ) = f ( x − ct )
A)
Ebene t0 = const : u f ( x, t0 ) = rt0 ( x ) = f ( x − ct0 )
B)
Ebene x0 = const : u f ( x0 , t ) = s x0 (t ) = f ( x0 − ct )
Zusammenhang von rt0 ( x) und s x0 (t )
rt0 ( x)
sx0 (t )
rt0 ( x ) = f ( x − ct0 )
s x0 (t ) = f ( x0 − ct )
rt0 ( y ) = f ( x − x0 + ct − ct0 )
s x0 ( z ) = f ( x − x0 + ct − ct0 )
x
x
=
y x − x0 + ct
−ct
t
=
s x + ct − ct0
→ y = x − x0 + ct
→z=−
x
− t + t0
c
⇒ rt0 ( y ) = s x0 ( z )
x
⇒ rt0 ( x − x0 + ct ) = s x0 (−(t − t0 + ))
c
Diese Gleichung stellt eine Umrechnung von einer
Ortsfunktion auf eine Zeitfunktion dar.
IV Die Wellengleichung
Mechanik III
36
Umrechnung Spannungen-Geschwindigkeiten
u f ( x, t ) = f (ξ ( x, t )) mit ξ = x − ct
u f , x = f '(ξ ) ⋅ ξ x = f '(ξ )
u f ,t
⎫⎪
⎬
= f '(ξ ) ⋅ ξt = f '(ξ ) ⋅ (−c) ⎪⎭
u f ,t = − c ⋅ u f , x
Links- und Rechtswellen
Links- und Rechtswellen sind eine Ausbreitung von
Störungen, die zur Zeit t0 im Intervall [ x0 , x1 ] auftreten.
Beispiel: Wellenausbreitung bei einer Saite
Annahme
Die Saite soll unendlich lang sein, damit der
Einfluss der Ortsrandbedingungen
vernachlässigt werden kann.
Die Anfangsbedingungen lauten
u ( x, 0) = r0 ( x)
ut ( x, 0) = 0
Das folgende Bild zeigt die Lösung u(x,t)
IV Die Wellengleichung
Mechanik III
37
Anmerkung
Die gezeichnete Lösung u(x,t) erfüllt tatsächlich die
Anfangsbedingung ut ( x, 0) = 0 .
ut ( x, 0) = u f ,t ( x, 0) + u g ,t ( x, 0)
= −c ⋅ u f , x ( x, 0) + c ⋅ u g , x ( x, 0)
= 0 , da u f = u g
6. Einfache Ortsrandbedingungen beim halbunendlichen Körper
Vorbemerkungen
Ein halbunendlicher Körper besitzt nur einen Rand. Dies
macht es einfacher, die folgenden Fälle zu untersuchen.
Wir werden in diesem Abschnitt 2 Fälle Fälle untersuchen:
- Reflexion am freien Ende
- Reflexion am eingespannten Ende
mit den RB nach Abschnitt 3, bei xD und xA.
Beim allgemeinen Fall hat man es mit Randbedingungen bei
xB, also mit Kopplungen von Körpern, zu tun.
Für die zwei zu besprechenden Fälle brauchen wir folgende
Gleichungen:
u ( x, t ) = f ( x − ct ) + g ( x + ct )
(1)
u x ( x, t ) = f '(ξ ) ⋅ ξ x + g '(η ) ⋅η x
= f '(ξ ) + g '(η )
(2)
= f '( x − ct ) + g '( x + ct )
IV Die Wellengleichung
Mechanik III
38
A Reflexion am eingespannten Ende
Annahme
Aufgabe
Halbunendlicher Körper:
Randbedingungen:
x ∈ (−∞, 0]
u (0, t ) = 0
u x (0, t ) = keine RB
Für eine gegebene Rechtswelle f ( x − ct ) bestimme die
Linkswelle g ( x + ct ) = Γ( f ( x + ct )) und damit u ( x, t ) und
u x ( x, t ) so, dass die Randbedingung eingehalten wird.
Zuerst muss die Randbedingung erfüllt sein
!
u (0, t ) = 0 = f (−ct ) + g (ct )
⇒ g (κ ) = − f (−κ ) , g '(κ ) = f '(−κ )
κ :beliebiges
Argument
Die Auslenkung ist dann gegeben durch
(1)
⇒ u ( x, t ) = f ( x − ct ) + g ( x + ct )
= f ( x − ct ) − f (− x − ct )
Probe:
x = 0 ⇒ u (0, t ) = f (−ct ) − f (−ct ) = 0
und die Spannungsverteilung durch
(2)
⇒ u x ( x, t ) = f '( x − ct ) + g '( x + ct )
= f '( x − ct ) + f '(− x − ct )
Probe:
x = 0 ⇒ u x (0, t ) = f '(−ct ) + f '(−ct ) = 2 ⋅ f '(−ct )
Man sieht, dass an der Stelle x=0 die Auslenkungen
verschwinden und die Spannungen sich verdoppeln.
IV Die Wellengleichung
Mechanik III
39
B Reflexion am freien Ende
Annahme
Aufgabe
Halbunendlicher Körper:
Randbedingungen:
x ∈ (−∞, 0]
u (0, t ) = keine RB
u x (0, t ) = 0
Für eine gegebene Rechtswelle f ( x − ct ) bestimme die
Linkswelle g ( x + ct ) = Γ( f ( x + ct )) und damit u ( x, t ) und
u x ( x, t ) so, dass die Randbedingung eingehalten wird.
Zuerst muss die Randbedingung erfüllt sein
!
u x (0, t ) = 0 = f '(−ct ) + g '(−ct )
⇒ g '(κ ) = − f '(−κ ) , g (κ ) = f (−κ )
κ :beliebiges
Argument
Die Spannungsverteilung ist dann gegeben durch
(2)
⇒ u x ( x, t ) = f '( x − ct ) + g '( x + ct )
= f '( x − ct ) − f '(− x − ct )
Probe:
x = 0 ⇒ u x (0, t ) = f '(−ct ) − f '(−ct ) = 0
und die Auslenkungen durch
(1)
⇒ u ( x, t ) = f ( x − ct ) + g ( x + ct )
= f ( x − ct ) + f (− x − ct )
Probe:
x = 0 ⇒ u (0, t ) = f (−ct ) + f (−ct ) = 2 f (−ct )
Man sieht, dass an der Stelle x=0 die Spannungen
verschwinden und die Auslenkungen sich verdoppeln.
IV Die Wellengleichung
Mechanik III
40
7. Stehende Wellen (Schwingungen)
Definition
Man spricht von einer stehenden Welle, wenn die Lösung der
Wellengleichung die folgende Form besitzt:
u ( x, t ) = f ( x − ct ) + g ( x + ct ) = w( x) ⋅ q (t )
(S)
w( x) : Amplitudenfunktion
q (t ) : Zeitfunktion
Dabei beschreibt die Ortsfunktion w( x) die Form der
stehenden Welle und die Zeitfunktion q(t ) das zeitliche
Pulsieren.
Problemstellung
Gesucht sind diejenigen Funktionen f (ξ ), g (η ) , die die
Gleichung (S) erfüllen (zunächst ohne Randbedingungen).
Für die gesuchte Lösung machen wir einen Separationsansatz
nach Bernoullli und setzen diesen in die Wellengleichung ein
Ansatz
u ( x, t ) = w( x) ⋅ q(t )
Wellengleichung
utt = c 2 ⋅ u xx
ii
⇒
q (t )
q (t )
=
reine Zeitfunktion
c2
w ''( x)
w( x)
= −ω 2
(S*)
reine Ortsfunktion
Die Lösungen der Zeit- und der Ortsfunktion lauten somit
q(t ) = A ⋅ eiω t + B ⋅ e−iω t
w( x ) = C ⋅ e
i
ω
c
x
+ D⋅e
−i
(Z)
ω
c
x
(O)
und die allgemeine Lösung
ω
ω
⎛
i x
−i x ⎞
u ( x, t ) = w( x) ⋅ q(t ) = ⎜ C ⋅ e c + D ⋅ e c ⎟ ⋅ A ⋅ eiω t + B ⋅ e−iω t
⎜
⎟
⎝
⎠
(
)
Durch Ausmultiplizieren und Einsetzen des d'Alembert'schen
Ansatzes ξ = ( x − ct ), η = ( x + ct ) , erhalten wir
ω
ω
⎛
i ξ
−i ξ
u ( x, t ) = ⎜ CB ⋅ e c + DA ⋅ e c
⎜
⎝
ω
ω
⎞ ⎛
i η
−i η ⎞
⎟ + ⎜ CA ⋅ e c + DB ⋅ e c ⎟ (U)
⎟ ⎜
⎟
⎠ ⎝
⎠
Benutzt man nun noch die Euler'sche Formel für den Sinus
und wendet das Superpositionsprinzip an, erhält man
∼
u ( x, t ) = ∑ A j sin(
j
IV Die Wellengleichung
ωj
c
∼
ξ + ϕ j ) + B j sin(
f j (ξ )
ωj
c
η +ψ j )
g j (η )
Mechanik III
41
∼
∼
A, B, ϕ ,ψ , ω
beliebige Konstanten, welche durch Anfangsund Randbedingungen bestimmt werden
ω
k :=
Wellenzahl
c
2π
λ :=
k
Wellenlänge
8. Randbedingungen bei stehenden Wellen
Einspannbedingungen
Es sind verschiedenste Einspannbedingungen denkbar. Die
wichtigsten sind die folgenden
x=0
frei
frei
fest
x=L
frei
fest
fest
Im folgenden werden wir nur den Fall "frei-fest" behandeln.
Für jede andere Einspannung ist die nachfolgende Rechnung
analog durchzuführen.
Aus den Randbedingungen folgt
u x (0, t ) ⇒ w '(0) = 0
u ( L, t )
⇒ w( L) = 0
Nach einer kurzen Rechnung erhält man mit Hilfe dieser zwei
Gleichungen
⎛ω ⎞ !
2 D cos ⎜ L ⎟ = 0
⎝c ⎠
!
Es gibt 2 Fälle
1. D = 0
⎛ω ⎞ !
2. cos ⎜ L ⎟ = 0
⎝c ⎠
Da aus dem ersten Fall nur die triviale Lösung folgt,
interessiert uns der 2.Fall und wir erhalten
Eigenfrequenzen der Saite unter der Einspannung frei-fest
Eigenfrequenzen
ωj =
Wellenzahlen
kj =
Wellenlängen
λj =
IV Die Wellengleichung
cπ
(2 j − 1)
2L
ωj
c
=
π
2L
(2 j − 1)
2π
4L
=
k j (2 j − 1)
Mechanik III
42
Eigenform
Damit erhält man aus der Ortsfunktion und den
Randbedingungen
w j ( x ) = 2 D cos(k j x)
Der Term cos(k j x) heisst j-te Eigenform der Saite unter der
Einspannung frei-fest.
Die Gesamtlösung ergibt sich wieder durch Superposition
∞ ∧
u ( x, t ) = ∑ A j cos(k j x) ⋅ sin(ω j t + ϑ j )
j =1
Die homogene Lösung ist die Überlagerung unendlich vieler
Eigenschwingungen mit Frequenzen ω j und Eigenformen
cos(k j x) .
Interpretation
1.Eigenschwingung
2.Eigenschwingung
y
3.Eigenschwingung
y
y
1
1
1
0.5
0.5
0.8
0.6
x
x
0.2
0.4
0.2
x
0.2
ω1 =
k1 =
0.4
0.6
0.8
cπ
2L
π
2L
⎛πx⎞
w1 ( x) ∼ cos ⎜
⎟
⎝ 2L ⎠
1
0.4
0.6
0.8
0.2
1
-0.5
-0.5
-1
-1
ω2 =
k2 =
3cπ
2L
π
2
L
3
⎛ 3π x ⎞
w2 ( x) ∼ cos ⎜
⎟
⎝ 2L ⎠
ω3 =
k3 =
0.4
0.6
0.8
1
5cπ
2L
π
2
L
5
⎛ 5π x ⎞
w3 ( x) ∼ cos ⎜
⎟
⎝ 2L ⎠
9. Bemerkungen
Kontinuierliche Schwinger
Kontinuierliche Schwinger besitzen
- ∞ viele Eigenfrequenzen (und Eigenformen)
- ∞ viele Resonanzstellen
Biegeschwingungen
Diese sind wichtig in der Technik (PDG 4.Ordnung)
Weitere Probleme
2-dimensionale Wellenausbreitung
3-dimensionale Wellenausbreitung
→
IV Die Wellengleichung
Vorlesung "Wellenausbreitung in Festkörpern"
WS, Prof. Dual
Mechanik III
43
V Kinematik
1. Vektorraum und Koordinatensysteme
Darstellung der Kinematik
- im "ruhenden Raum mit Nullelement" d.h. im 3dimensionalen Euklidischen Vektorraum V
→
- Elemente c ∈ V : "Pfeile", welche von der Zeit abhängen,
→
c (t ) (diese Pfeile sind koordinatenfrei!)
Koordinatensysteme in V
- J, B, C, K
- nur rechtshändige Orthonormalsysteme
Spezielle Koordinatensysteme
- Inertialsystem I : ruhend (äquivalent zum ruhenden Raum)
- Körperfeste Koordinatensysteme K: mit dem Starrkörper
fest verbunden
- Alle Systeme B, D, K sind durch Drehung von I entstanden
2. Vektor und Koordinaten
→
→ B
ey
cy
Pfeil
c ∈V
→
→
B
B
c
0B
c∈
KB :V →
cx B
→ B
ex
→
c=
→
Koordinaten von c bezüglich B-System
3
3
→
→
c → B c Lineare Abbildung
;
→ B
→ B
→ B
cx B ⋅ e x + c y B ⋅ e y + cz B ⋅ e z
⎛→⎞
c = KB ⎜ c ⎟ ;
⎝ ⎠
→
Koordinatenabbildung
B
Beachte
→ B
B ex
⎛1 ⎞
⎜ ⎟
:= ⎜ 0 ⎟
⎜0⎟
⎝ ⎠
⎛ cx B ⎞
⎜
⎟
c := ⎜ c y B ⎟
⎜
⎟
⎜c B ⎟
z
⎝
⎠
→
B
⎛ →⎞
c = K B −1 ⎜ B c ⎟
⎝
⎠
→
→ B
B ey
⎛0⎞
⎜ ⎟
:= ⎜1 ⎟
⎜0⎟
⎝ ⎠
→ B
B ez
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
:= ⎜ 0 ⎟
⎜1 ⎟
⎝ ⎠
3. Koordinatentransformationen
→ D
ey
D
cy B
→
→ D
ex
→
cy D
⎛ →⎞
c = K D K B −1 ⎜ B c ⎟
⎝
⎠
→
→ B
ey
c
→ B
ADB : Transformationsmatrix von B nach D
→ B
→ B
c = cx B e x + c y B e y + c z B e z
⎛ →⎞
⇓ KD ⎜ c ⎟
⎝ ⎠
→ B
ex
→
D
c = cx B
D
→ B
→ B
→ B
B
B
e
+
c
e
+
c
D x
y D y
z D ez
⎛ → B
c =⎜ D ex
⎜
⎝
→
V Kinematik
→
c = ADB ⋅ B c
→
cx D
cx B
D
→ B
D ey
→ B
D ez
⎞ →
⎟⋅ B c
⎟
⎠
Mechanik III
44
Eigenschaften von ADB
T
ADB ADB
Transformationsmatrix für
Elementardrehungen
→ B
D ez
⎛ 1 0 0⎞
⎞ ⎜
⎟
⎟ = ⎜ 0 1 0⎟ = E
⎟
⎠ ⎜ 0 0 1⎟
⎝
⎠
Sei das Zielsystem D gegenüber dem Startsystem B im
mathematisch positiven Sinn um eine der 3 Achsen verdreht
Drehung um x mit α
ADB
→ B
D ey
ADBT = ADB −1 = ABD
⇒
0
⎛1
⎜
= ⎜ 0 cos α
⎜ 0 − sin α
⎝
⎛ → BT ⎞
⎜ D ex ⎟
⎜
BT ⎟ ⎛ → B
⎜ →
⎟
= ⎜ D e y ⎟ ⋅⎜ D e x
⎜
⎜ → BT ⎟ ⎝
⎜ D ez ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
Drehung um y mit β
⎛ cos β
⎜
ADB = ⎜ 0
⎜ sin β
⎝
0 ⎞
⎟
sin α ⎟
cos α ⎟⎠
Drehung um z mit
0 − sin β ⎞
⎟
0 ⎟
0 cos β ⎟⎠
⎛ cos γ
⎜
ADB = ⎜ − sin γ
⎜ 0
⎝
1
sin γ
cos γ
0
γ
0⎞
⎟
0⎟
1 ⎟⎠
A14 = A12 ⋅ A23 ⋅ A34
Hintereinanderschaltung
4. Drehgeschwindigkeit zwischen 2 Koordinatensystemen
→ →
Vorbemerkung
Sei a , b ∈
⎛ a1 ⎞
→
⎜ ⎟
a = ⎜ a2 ⎟
⎜ ⎟
⎝ a3 ⎠
mit
3
⎛ 0
∼
⎜
a := ⎜ a3
⎜
⎝ −a2
− a3
→ →
∼ →
Dann gilt:
Beachte:
i
a2 ⎞
⎛ b1 ⎞
→
⎜ ⎟
⎟
− a1 ⎟ und b = ⎜ b2 ⎟
⎜b ⎟
0 ⎠⎟
⎝ 3⎠
0
a1
a × b = a⋅ b
∼T
∼
∼
a schiefsymmetrisch, d.h. a = − a
i
Term A BD A BDT
A BD A BDT ist schiefsymmetrisch:
E = A BD A BDT
i
i
i
T
⇒ E = 0 = A BD A BDT +A BD A BD
T
T
i
i
⎛i
⎞
⇒ A BD A BDT = −A BD A BD = − ⎜ A BD A BDT ⎟
⎝
⎠
Zeitliche Änderung der Basisvektoren von D gegenüber B
iii
→ B
ey
KB
−1
⎡⎛ → D ⎞i ⎤
⎢⎜ B e x ⎟ ⎥
⎢⎜
⎟⎥
⎠ ⎦⎥
⎣⎢⎝
γ (t )
V Kinematik
→
→ B
ex
ω BD :
Winkelgeschwindigkeit von D gegenüber B
→
→
ω DB = − ω BD
Mechanik III
45
i
→
→ D
⎛ → D⎞
⎜ B e x ⎟ = B ω BD × B e x
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛ → D
⎜ B ex
⎜
⎝
→ D
B ey
i
→
→ D
⎛ → D⎞
⎜ B e y ⎟ = B ω BD × B e y
⎜
⎟
⎝
⎠
i
i
∼
⎞
⎛ → D
⎟ = B ω BD ⋅ ⎜ B e x
⎟
⎜
⎠
⎝
B
→ D
ey
B
→ D
ez
⎞
⎟
⎟
⎠
∼
⇔
ABD = B ω BD ABD
⇔
∼
B ω BD
i
→
→ D
⎛ → D⎞
⎜ B e z ⎟ = B ω BD × B e z
⎜
⎟
⎝
⎠
→ D
B ez
i
= ABD ABDT
Elementargeschwindigkeit
Drehung um x mit α
∼
B ω BD
→
B ω BD
⎛0 0
⎜
= ⎜0 0
⎜
i
⎜
⎝0 α
0 ⎞
i ⎟
−α ⎟
⎟
⎟
0 ⎠
⎛i⎞
⎜α ⎟
= ⎜0 ⎟
⎜ ⎟
⎜0 ⎟
⎝ ⎠
Drehung um y mit β
⎛
⎜ 0
=⎜ 0
⎜
⎜ i
⎝−β
∼
B ω BD
Drehung um z mit γ
i ⎞
0 β⎟
0 0⎟
⎟
⎟
0 0⎠
∼
B ω BD
⎛0 ⎞
⎜i⎟
= ⎜β ⎟
⎜ ⎟
⎜0 ⎟
⎝ ⎠
→
B ω BD
→
B ω BD
i
⎛
⎜ 0 −γ
⎜i
= ⎜γ 0
⎜
⎜0 0
⎜
⎝
⎞
0⎟
⎟
0⎟
⎟
0⎟
⎟
⎠
⎛ ⎞
⎜0 ⎟
= ⎜0 ⎟
⎜ ⎟
⎜i⎟
⎝γ ⎠
Transformation für Drehgeschwindigkeiten
i
∼
ABD = B ω BD ABD
i
ADB =
∼
D ω DB
T
⇒
⇒
ABD
i
−1
ABD = ABD
i
= ADB
ADB
T
∼
B ω BD
∼
D ω DB
T
i
und
=
∼
D ω DB
= ABDT
∼
B ω BD
= − ADB
∼
B ω BD
ADB
T
ADBT
ADBT
⇒
∼
D ω BD
∼
aus
∼
1 ω 14
∼
1 ω 14
= 1 ω 12 + 1 ω 23 + 1 ω 34
= ADB B ω BD ADBT
;
→
D ω BD
= ADB
→
B ω BD
Hintereinanderschaltung
⋅
= A14 ⋅ A14T folgt nach einer Rechnung:
∼
∼
∼
;
→
1 ω 14
→
→
→
= 1 ω 12 + 1 ω 23 + 1 ω 34
Relativwinkelgeschwindigkeiten werden also vektoriell
addiert. Koordinatenfrei geschrieben lautet die zweite
Gleichung:
⇓ K1−1
→
→
→
→
ω14 = ω12 + ω 23 + ω 34
V Kinematik
Mechanik III
46
5. Ableitung von Vektoren in bewegten Systemen
Schreibweise
→
c ∈V
Pfeil ( V ruhend)
i
→
→
c ∈V
(absolute) zeitliche Änderung von c (t )
⎛ →i ⎞
⎜ c ⎟∈
⎜ ⎟
⎜ ⎟
B⎝ ⎠
i
→
Koordinaten von c (t ) in der bewegten Basis B
3
i
⎛ →⎞
⎜B c⎟ ∈
⎝
⎠
zeitliche Ableitung der Koordinaten
3
i
→
Vereinbarung:
⎛ →i ⎞
Gesucht: ⎜⎜ c ⎟⎟
⎜ ⎟
I⎝ ⎠
⎛ →i ⎞ i I
⎜c⎟=c
x
⎜ ⎟
⎜ ⎟
I⎝ ⎠
⇒
I
→ I
ex
i I
+ cy
I
→ I
ey
B
i I
+ cz
I
⎛ →⎞
c := ⎜ B c ⎟
⎝
⎠
→
B
c
i
→ I
ez
⎛ →i ⎞
i
⎞
⎜c⎟=⎛ →
c
⎜ ⎟ ⎜I ⎟
⎠
⎜ ⎟ ⎝
I⎝ ⎠
Dies gilt nur im Inertialsystem, da die Basisvektoren dort
zeitlich konstant sind, was bei bewegten
Koordinatensystemen nicht der Fall ist.
⎛ →i ⎞
Gesucht: ⎜⎜ c ⎟⎟
⎜ ⎟
B⎝ ⎠
→
wobei sich B gegenüber dem Inertialsystem I mit ω IB dreht.
⎛ →i ⎞
⎜c⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
B⎝ ⎠
= ABI
⎛ →i ⎞
i
⎞
⎜c⎟= A ⎛ →
BI ⎜ I c ⎟ = ABI ( AIB
⎜ ⎟
⎝
⎠
⎜ ⎟
I⎝ ⎠
⎛
= ABI ⎜⎜ AIB
⎜
⎝
B
i
→
i
=
B
i
→
c + AIB
⎞
c ⎟⎟ =
⎟
⎠
i
→
→
i
B
c + ABI AIB ABI AIB
B
→
B
c )i
→
i
c + ABI AIB
B
c
→
B
c
∼
I
=
⎛ →i ⎞
⎜c⎟ =
⎜ ⎟
⎜ ⎟
B⎝ ⎠
V Kinematik
i
→
B
→
c + B ω IB x
→
B
c
i
→
→
∼
c + ABI I ω IB AIB
i
→
B
ω IB
B
c=
B
→
∼
c + B ω IB
B
c
Euler'sche Differentiationsregel
Mechanik III
47
6. Kinematische Grössen von Starrkörpern
→
r AB ∈ V
Bezeichnungen
Ortsvektor von A nach B
→
v B ∈V
(absolute) Geschwindigkeit von Punkt B
→
a B ∈V
(absolute) Beschleunigung von Punkt B
→
Ω ∈V
(absolute) Drehgeschwindigkeit des Körpers
→
Ψ ∈V
ii
→
(absolute) Drehbeschleunigung des Körpers
i
→
i
→
→
→
r AB = v B − v A = a B − a A
Zusammenhänge
Skizze
und
i
→
→
Ω=Ψ
Für die nächsten zwei Abschnitte, wo wir Geschwindigkeiten
und Beschleunigungen von Starrkörpern berechnen werden,
werden wir die folgende Skizze zur Veranschaulichung
benützen.
→
ω IB
"B"
→
Ω
→
→
vQ
Ψ
Q
→
aQ
"K"
→
r PQ
→
vP
→
aP
P
→
"I"
O
vA
→
r AP
A
→
aA
V Kinematik
Mechanik III
48
7. Berechnung von Geschwindigkeiten
Beispiel 1
→
→
→
v A , r AP , beliebige Basis B mit ω IB
Geg:
→
Ges:
vP
Lösung
→
i
→
→
v P = v A + r AP
↓ KB
→
vP =
B
→
vA
B
→
vP =
B
⎛ →i ⎞
+ ⎜⎜ r AP ⎟⎟
⎜
⎟
⎠
B⎝
i
→
→
vA +
B
→
r AP + B ω IB x
B
→
B
r AP
→
v P ist die absolute Geschwindigkeit des Punktes P
dargestellt im System B und nicht die Bewegung des Punktes
P relativ zu B!
B
Beispiel 2
Geg:
→
→
→
v P , r PQ , Ω
→
Ges: v Q , wobei P und Q Punkte des selben Starrkörpers
Lösung
Zuerst ersetzen wir in der im vorhergegangenen Beispiel
erhaltenen Formel den Punkt P durch Q und A durch P
→
B
vQ =
i
→
→
vP +
B
→
r PQ + B ω IB x
B
→
B
r PQ
Das System B soll ein körperfestes System K sein
→
K
vQ =
Es gilt
K
vQ =
→
r PQ +
K
ω IK =
K
vP +
→
K
ω IK x
Ω,
K
→
K
Ω x
→
K
r PQ
i
→
→
K
→
↓ KK
→
vP +
→
K
→
K
i
→
→
r PQ = 0
→
K
r PQ
−1
→
→
v Q = v P + Ω x r PQ
Dies ist die Starrkörperformel für Geschwindigkeiten.
V Kinematik
Mechanik III
49
8. Berechnung von Beschleunigungen
→
→
Geg: Ω , beliebige Basis B mit ω IB
Beispiel 1
→
Ψ
Ges:
Lösung
i
→
→
Ψ=Ω
↓ K B , Euler
⎛ →i
⎜Ω
BΨ =
⎜
⎜
B⎝
→
⎞
⎟=
⎟
⎟
⎠
i
→
Ψ= IΩ
I
K
Ψ=
→
B
Ω
Ω
K
→
da
i
→
→
mit Basis K:
→
→
Ω + B ω IB x
B
→
mit Basis I:
Beispiel 2
i
→
I
ω II = 0
i
→
→
K
Ψ=
→
K
Ω+
→
K
i
→
→
Ω× K Ω =
K
Ω
→
a A , r AP , beliebige Basis B mit ω IB
Geg:
→
Ges:
aP
Lösung
→
→
ii
→
a P = a A + r AP
↓ KB
ii
⎛→
⎞
⎜
aP
= B a A + ⎜ r AP ⎟⎟
⎜
⎟
⎠
B⎝
↓ 2x Euler
→
B
→
B
aP =
ii
→
→
B
a A+
B
→
i
→
r AP + B ω IB x
→
B
i
→
→
r AP + 2 ⋅ B ω IB x
B
→
→
r AP + B ω IB x ( B ω IB x
Coriolis Term
→
B
r AP )
Zentrifugal Term
Diese Formel niemals bei einer Handrechnung verwenden!
→
In der Praxis ist meist B v P vorgegeben und kann mit der
folgenden Formel gelöst werden
⎛ →i
a P = ⎜⎜ v
⎜
B⎝
→
B
V Kinematik
⎞
⎟
P⎟=
⎟
⎠
i
→
B
→
v P + B ω IB x
→
B
vP
Mechanik III
50
Beispiel 3
Geg:
Ges:
→
→
→ →
a P , r PQ , Ω, Ψ
→
aQ
Lösung
1.
Ersetze in der im vorhergegangenen Beispiel
erhaltenen langen Formel den Punkt P durch Q und A
durch P
Wähle ein körperfestes System d.h. ersetze B durck K
Berücksichtige:
2.
3.
→
•
K
•
K
→
aQ =
K
→
Ω=
→
K
aP+
↓ KK
→
ω IK =
i
→
•
K
r PQ = const.
→
K
r PQ =
→
→
ii
→
K
r PQ = 0
→
K
Ω
→
K
Ψ
→
K
⇒
i
→
Ψx
→
K
r PQ +
K
Ω x (K Ω x
→
K
r PQ )
−1
→
→
→
→
→
a Q = a P + Ψ x r PQ + Ω x (Ω x r PQ )
Starrkörperformel für Beschleunigungen
V Kinematik
Mechanik III
51
VI Allgemeine Kinetik
Ziel
Sehr kurze Einführung in die allgemeinen Sätze der Dynamik
→ kein Massenzu- und Massenabfluss
→ noch keine starren Körper
1. Innere/ Äussere Kräfte
Definition
Ein mechanisches System S ist eine Menge von Punkten
x ∈ 3 , die mit ihrer Umgebung über Kräfte/ Momente
wechselwirkt.
Bezeichnungen
d F ( x)
→
Kraftverteilung auf S
→
→
→
ξ ( x) x d F ( x) + d M ( x) Momentenverteilung auf S
→
freie Momentenverteilung
dM
→
→
→
ξ xdF
Subsysteme
durch d F induzierte
Momentenverteilung
Sei H ⊂ K ⊂ S
S
K
H
H
K Subsystem von S
H Subsystem von K und S
Ist H = K \ H , dann heisst H , H ein Paar komplementärer
Subsysteme von K .
Bezeichnung
S
Definition
Sei K ∈
: Die Menge aller Subsysteme von S, einschliesslich S
→
S
→
→
und (d F , d M ) Kraft auf K.
→
(d F , d M ) heisst
i)
äussere Kraft von K, wenn sie von der Umgebung von
K auf K wirkt
Bezeichnung:
VI Allgemeine Kinetik
→a
→a
(d F , d M )
Mechanik III
52
ii)
innere Kraft von K, wenn es ein Paar komplementärer
Subsysteme von K gibt, sodass die Kraft die Wirkung
von H auf H beschreibt
→i
Bezeichnung:
→i
(d F , d M )
2. Das (erweiterte) Wechselwirkungsprinzip
Axiom
Innere Kräfte treten paarweise auf und erfüllen das
Wechselwirkungsgesetz:
Für jedes K ∈ S und jedes Paar komplementärer
Subsysteme H , H von K gilt
→i
∫dF
→i
= −∫ d F
H
(A)
H
→
∫ξ
→i
→i
→
→i
→i
x d F + d M = −∫ ξ x d F + d M
H
(B)
H
→i
→i
d.h. die Kräfte (d F , d M ) , die H auf H ausübt, sind
→i
→i
gegengleich den Kräften (d F , d M ) ,die H auf H ausübt.
Newton III
"actio = reactio" ist voll in (A) und (B) enthalten.
Newton kennt nur Punktmassen und keine freien Momente
H = { x1} ,
H = { x2 }
Wähle K = { x1 , x2 } ,
→i
→i
dM =dM =0
→
F1
→
ξ1
→
O
→
ξ 1− ξ 2
→
ξ2
⇒
( A)
→
F1
( B)
→
→
F2
→
= −F2
→
→
→
⇒ ξ 1 x F1 = − ξ 2 x F 2
⎛→ → ⎞ →
⇒ ⎜ ξ 1 − ξ 2 ⎟ x F1 = 0
⎝
⎠
→
→
⎛
⎞ →
⇒ ⎜ ξ 1 − ξ 2 ⎟ F1
⎝
⎠
d.h. Innere Kräfte treten paarweise auf, mit gegengleicher
Grösse und gemeinsamer Wirkungslinie.
Newton III ist also ein Spezialfall.
VI Allgemeine Kinetik
Mechanik III
53
3. Das Dynamische Gleichgewicht
Definition
Wir sagen, dass ein Subsystem K ∈
Gleichungen erfüllt, wenn
ii
→
→a
∫ ξ dm − d F = 0
S
die Newton-Euler-
Impulssatz
(C)
Drallsatz
(D)
K
ii
⎛→
⎞
→a
→a
⎜
⎟−d M
ξ
x
ξ
dm
−
d
F
=0
∫ ⎜⎜
⎟
⎟
K
⎝
⎠
→
→a
→a
äussere Kräfte von K
Massenverteilung auf K
(d F , d M )
dm
ii
→
ξ
Beschleunigung von x ∈ K
→
ξ
Ortsvektor zu x von O (ruhend) aus
Der Impuls- und der Drallsatz sind Axiome der Dynamik.
Definition
Ein Subsystem K heisst im dynamischen Gleichgewicht, wenn
K und jedes seiner Subsysteme die Newton-EulerGleichungen erfüllt.
Zusammenhänge
4. Resultierende Kräfte/ Trägheitsterme
Kräfte/ Momente
i
→
ξ dm
→
ξ
→a
dF
dm
K
→a
dM
O
Resultierende äussere Kraft
→a
→a
F := ∫ d F
K
VI Allgemeine Kinetik
Mechanik III
54
Bezüglich dem Punkt O resultierendes Moment
→ a
→a
→
→a
M 0 := ∫ ξ x d F + d M
K
Definition
Der Impuls eines Systems K ist wie folgt definiert
i
→
→
p := ∫ ξ dm
K
Definition
Der Drall eines Systems K bezüglich eines ruhenden Punktes
O ist gleich dem Impulsmoment bezüglich O.
→
i
→
→
L 0 := ∫ ξ x ξ dm
K
Achtung: Der Drall erfordert einen ruhenden Bezugspunkt.
Impulsänderung
Dralländerung
⎛ →i
⎞
⎜
= ⎜ ∫ ξ dm ⎟⎟
⎜K
⎟
⎝
⎠
i
→
p
i
konstante
Masse
=
∫
ii
→
ξ dm
K
i
i
⎛ → →i
⎞
⎛ → →i ⎞
⎜
⎟
= ⎜ ∫ ξ x ξ dm ⎟ = ∫ ⎜⎜ ξ x ξ ⎟⎟ dm
⎜K
⎟ K⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
i
i
ii
⎛→ → → →⎞
= ∫ ⎜⎜ ξ x ξ + ξ x ξ ⎟⎟dm
⎟
K⎜
⎝
⎠
i
→
L0
i
→
ii
→
→
= ∫ ξ x ξ dm
L0
K
Damit Impuls- und Drallsatz in der Form
i
→
p=F
Satz
i
→
→a
,
→ a
L0 = M 0
Greifen an einem System K keine äusseren Kräfte und
→a
→ a
Momente an ( F = 0, M 0 = 0) , so ist sein Impuls und Drall
konstant.
⇒
Definition
→
p = const ,
→
L 0 = const
Die kinetische Energie eines Systems K ist gegeben durch
iT i
1 → →
T = ∫ ξ ξ dm
2K
VI Allgemeine Kinetik
Mechanik III
55
5. Bezugspunktwechsel
Skizze
dm
→
K
ξ
O
→
ζ
C
→
r CO
Es gelten folgende Beziehungen
→
→
→
i
→
i
→
i
→
→
a
ζ = r CO + ξ
i
→
ζ = r CO + ξ = ξ
Moment
a
a
a
→
→
→
→⎞
→
→
⎛→
= ∫ ζ x d F + d M = ∫ ⎜ r CO + ξ ⎟ x d F + d M
⎠
K
K⎝
MC
→a
→
→
→a
a
→a
= r CO x ∫ d F + ∫ ξ x d F + d M
K
→
a
→a
→
K
a
→
M C = r CO x F + M O
Drall
→
LC
i
→
i
→⎞ ⎛→
→⎞
⎛→
= ∫ ζ x ζ dm = ∫ ⎜ r CO + ξ ⎟ x ⎜ r CO + ξ ⎟ dm
⎠ ⎝
⎠
K
K⎝
→
i
i
i
→⎞ →
→
→
→ →
⎛→
= ∫ ⎜ r CO + ξ ⎟ x ξ dm = r CO x ∫ ξ dm + ∫ ξ x ξ dm
⎠
K⎝
K
K
→
LC
Dralländerung
VI Allgemeine Kinetik
i
→
LC
→
→
→
→
i
→
i
→
→
→
p
LO
= r CO x p + L O
= r CO x p + L O
Mechanik III
56
VII Kinetik des starren Körpers
Literatur
Kapitel 35 im Buch Mechanik 3 (Sayir)
Ziel
Kinetische Energie,Impuls- und Drallsatz für das Subsystem
Starrkörper aufstellen
Vorbemerkungen
Sei a ∈
⎛ a1 ⎞
→
⎜ ⎟
a = ⎜ a2 ⎟
⎜a ⎟
⎝ 3⎠
→
3
⎛ 0
⎜
a = ⎜ a3
⎜ −a
⎝ 2
∼
∼T
∼
− a3
0
a1
a2 ⎞
⎟
−a1 ⎟
0 ⎟⎠
∼
a = −a
⇒ a schiefsymmetrisch
⎛ a32 + a2 2
⎜
− a = − a a = a a = ⎜ − a1a2
⎜
⎜ − a1a3
⎝
∼2
− a1a3 ⎞
⎟
− a2 a3 ⎟
⎟
a12 + a2 2 ⎟
⎠
− a1a2
∼ ∼T
∼∼
a3 + a12
2
−a2 a3
∼2
Für − a gilt folgendes:
∼2
− a ist symmetrisch
i)
⎛ ∼ ∼T
⎜aa
⎜
⎝
T
∼ ∼T
⎞
⎟ = aa
⎟
⎠
∼2
− a ist PSD (positiv - semidefinit)
ii)
→T
→T ∼
∼2 →
∼T →
x (− a ) x = ( x a)(a x )
→
∼T →
→T →
mit y = a x :
→
→
= y y = y ≥0 ∀x
1. Nomenklatur und Modell
→
Ω
→a
→
→
dF
vQ
Ψ
→a
dM
→
ξ
→
ρ
K
→
→
vP
aP
O
→
P
r OP
VII Kinetik des starren Körpers
Mechanik III
57
→
→
O
inertial fest ( v O = a O = 0 )
P
beliebiger fester Starrkörperpunkt mit v P , a P
→
i
→
ξ
→
Geschwindigkeit von x ∈ K
ii
→
ξ
Beschleunigung von x ∈ K
→
→
→
i
→
→
→
→
ii
→
→
→
→
ξ = r OP + ρ
Starrkörperkinematik
ξ = vP+Ω x ρ
⎛→
→
→⎞
ξ = a P + Ψ x ρ+ Ω x ⎜Ω x ρ ⎟
⎝
Integrale
⎠
Die folgenden Integrale werden im Verlauf dieses Kapitels
mehrmals auftreten.
∫ dm
=m
K
→
→
∫ ρ dm
= m ⋅ r PS
K
→ →T
∫ρρ
= ΘP
dm
K
Θ P ist der Trägheitstensor bezüglich dem Punkt P.
2. Kinetische Energie eines Starrkörpers
→
Ω
dm
→
Ψ
→
ρ
→
ξ
K
→
→
vP
aP
O
→
P
r OP
i
→
→
i
→
⇒ξ
iT
→
⇒ξ
VII Kinetik des starren Körpers
→
→
= vP+Ω x ρ
ξ
⎛→ ⎞
∼⎞
vP ⎟
⎛
= ⎜ E − ρ ⎟ ⋅ ⎜⎜
→ ⎟
⎝
⎠ ⎜Ω
⎟
⎝
⎠
⎛→ T
=⎜ vP
⎜
⎝
→T ⎞ ⎛ E ⎞
Ω ⎟⋅⎜ ∼ ⎟
⎟ ⎜ρ⎟
⎠ ⎝ ⎠
Mechanik III
58
iT
→
i
→
1
= ∫ ξ dm ξ
2K
T
⎛→ ⎞
∼⎞
⎞ ⎛E⎞ ⎛
vP⎟
Ω ⎟ ⋅ ⎜ ∼ ⎟ dm ⎜ E − ρ ⎟ ⋅ ⎜⎜
→ ⎟
⎟ ⎜ρ⎟ ⎝
⎠ ⎜Ω
⎟
⎠ ⎝ ⎠
⎝
⎠
T
1 ⎛→
= ∫⎜vP
2 K ⎜⎝
T
1 ⎛→
= ⎜vP
2 ⎜⎝
T
1 ⎛→
= ⎜ vP
2 ⎜⎝
T
→T
∼T
⎛
⎞ →
⎞ ⎜ Edm ρ dm ⎟ ⎛⎜ v P ⎞⎟
Ω ⎟⋅ ∫ ⎜
⎟⋅⎜ → ⎟
T
⎟
⎠ K ⎜ ρ∼ dm ρ∼ ρ∼ dm ⎟ ⎜⎝ Ω ⎟⎠
⎝
⎠
→T
⎛
⎞ ⎜ mE
Ω ⎟⋅⎜
⎟
∼
⎠ ⎜ m r PS
⎝
→T
∼ T ⎞ ⎛→ ⎞
m r PS ⎟ ⎜ v P ⎟
⎟⋅⎜ → ⎟
⎜
⎟
Θ P ⎟⎠ ⎝ Ω ⎠
Massenmatrix eines
Einzelkörpers
oder ausgeschrieben:
T =
→
1
m B vP
2
T
T
→
⎛ →
vP +m D vP ⎜ DΩ x
⎝
→
B
Translations −Term
Bemerkungen
i)
ii)
⎞ 1
r PS ⎟ +
⎠ 2
→T
→
D
Koppel −Term
C
Ω
C ΘP C
→
Ω
Rotations −Term
5 mal derselbe Bezugspunkt P
Jeder der 3 Summanden ist ein Skalar und kann
deswegen für sich in einem beliebigen
Koordinatensystem ausgewertet werden.
Sonderfälle
T
T
P≡S
T
=
→
1 → → 1→
m v S v S + Ω ΘS Ω
2
2
P ≡ Fixpunkt
T
=
→
1→
Ω ΘS Ω
2
T
Zum Berechnen der kinetischen Energie eines Starrkörpers
wählt man einen günstigen Bezugspunkt. Durch die richtige
Wahl entfällt in fast jedem Fall der komplizierte Koppel-Term.
3. Transformationsregeln Trägheitstensor
KoordinatensystemWechsel
Geg: B Θ P
Ges: C Θ P
2 ⋅ TROT =
VII Kinetik des starren Körpers
→T
B
Ω
B ΘP B
→
Ω
→
B
→
Ω = ABC ⋅ C Ω
Mechanik III
59
→T
=
T
C Ω ABC B Θ P ABC
=
C
→
C
Ω
C
Ω
→T
Ω ACB B Θ P ACBT
→
C ΘP
⇒
Bezugspunktwechsel
beim Trägheitstensor
C ΘP
= ACB B Θ P ACBT
Umrechnung zwischen Θ P und Θ S
→ R
ey
S
→
ν
→
r PS
dm
→ R
ex
→
P
ρ
K
ΘP
∼ ∼T
∼
∼
∼
∼
= ∫ ρ ρ dm = ∫ (r PS + ν )(r PS + ν )T dm
K
K
∼
T
∼
∼T
∼
∼∼
T
∼ ∼T
= ∫ r PS r PS dm + ∫ r PS ν dm + ∫ ν r PS dm + ∫ ν ν dm
K
∼
K
∼
T
∼T
∼
K
∼
∼
T
∼ ∼T
∫ dm + r PS ∫ ν dm + ∫ ν dm r PS + ∫ ν ν dm
= r PS r PS
K
K
m
ΘP
K
∼
K
0
∼
K
ΘS
0
T
= Θ S + m ⋅ r PS r PS
Steiner − Anteil
Bei der Umrechnung immer über den Massenmittelpunkt
gehen!
Beispiel
Geg:
Ges:
ΘP
ΘQ
∼
∼
T
Θ S = Θ P − m ⋅ r PS r PS
∼
∼ T
⎛∼ ∼ T ∼ ∼ T
ΘQ = Θ S + m ⋅ r QS r QS = Θ P + ⎜ r QS r QS − r PS r PS
⎜
⎝
VII Kinetik des starren Körpers
⎞
⎟
⎟
⎠
Mechanik III
60
4. Eigenschaften des Trägheitstensors und der Massenmatrix
Berechnung des
Trägheitstensors
Sei R ein körperfestes Koordinatensystem und
⎛
⎜ ∫ ( y 2 + z 2 )dm
⎜K
∼2
⎜
R Θ P = − ∫ R ρ dm = ⎜ − ∫ ( yx ) dm
K
⎜ K
⎜
− ∫ ( zx )dm
⎜⎜
⎝ K
⎛ A
⎜
=: ⎜ − F
⎜ −E
⎝
A,B,C
D,E,F
Diagonalisierung des
Trägheitstensors
Rρ
= ( x, y, z )T
⎞
− ∫ ( xz )dm ⎟
⎟
K
K
⎟
2
2
∫ ( x + z )dm − ∫ ( yz )dm ⎟
⎟
K
K
⎟
2
2
− ∫ ( zy )dm
∫ ( x + y )dm ⎟⎟
K
K
⎠
− ∫ ( xy )dm
−F −E ⎞
⎟
B −D ⎟
− D C ⎟⎠
Massenträgheitsmomente bezüglich R
Massendeviationsmomente bezüglich R
Da der Trägheitstensor eine symmetrische reelle Matrix ist,
sind seine Eigenwerte reell und die Eigenvektoren orthogonal
zueinander; also auch orthonormierbar und als Rechtssystem
anordnenbar.
Damit existiert ein körperfestes Koordinatensystem K, in dem
der Trägheitstensor diagonal ist, also mit K ρ = (ξ ,η , ζ )T :
⎛
⎜ ∫ (η 2 + ζ 2 )dm
⎜K
⎜
0
K ΘP = ⎜
⎜
⎜
0
⎜
⎝
⎛ A0
⎜
=: ⎜ 0
⎜ 0
⎝
A0, B0, C0
⎞
⎟
⎟
⎟
2
2
0
⎟
∫ (ξ + ζ )dm
⎟
K
⎟
2
2
0
∫ (ξ + η )dm ⎟
K
⎠
0
0
0⎞
⎟
0⎟
C0 ⎟⎠
0
B0
0
Hauptträgheitsmomente
Man sieht dass
A0 ≥ 0 , B0 ≥ 0 , C0 ≥ 0
gilt, und deswegen
→T
→
Ω ΘP Ω ≥ 0
→
∀Ω
d.h. der Trägheitstensor ist mindestens PSD, für vernünftige
3-dimensionale Körper sogar PD.
Eine zusätzliche Eigenschaft der (Haupt-) Trägheitsmomente
stellt die Dreiecksungleichung dar
A+ B ≥ C , B +C ≥ A ,
VII Kinetik des starren Körpers
A+C ≥ B
Mechanik III
61
Durchführung der
Diagonalisierung
Gesucht ist ein körperfestes KOS K so, dass
R ΘP
= ARK K Θ P ARK T
mit
K ΘP
R Θ P ARK
R ΘP
(
= diag ( A0 , B0 , C0 ) = diag (λ1 , λ2 , λ3 )
= ARK K Θ P
K
K
K
R e1 R e 2
R e3
R Θ P R ei
K
= λi R ei
) (
=
K
K
K
R e1 R e 2
R e3
)
⎛ λ1 0
⎜
⎜ 0 λ2
⎜0 0
⎝
0⎞
⎟
0⎟
λ3 ⎟⎠
K
Dies ist ein Eigenwertproblem für R Θ P , wo die Eigenwerte
λi die Hauptträgheitsmomente sind und die orthonormierten
„rechtshändigen“ Eigenvektoren
definieren.
Vorgehen beim
Diagonalisieren
Geg:
Ges:
c
d
R ei
K
das K-System
R ΘP
K ΘS
, wobei K das Hauptachsensystem darstellt
Berechne R Θ S aus
Diagonalisiere R Θ S
R ΘP
über den Satz von Steiner
Wichtig ist, dass die Reihenfolge des Vorgehens eingehalten
wird, da sonst die Diagonalisierung wieder kaputt geht.
Schleifende Koordinatensysteme
und rotationssymmetrische Körper
Geg:
Körperfestes Koordinatensystem K
Schleifendes Referenzsystem R
⎛A 0 0⎞
⎛ cos γ
⎜
⎟
⎜
A 0 ⎟ , ARK = ⎜ − sin γ
K ΘS = ⎜ 0
⎜ 0 0 C⎟
⎜ 0
⎝
⎠
⎝
→ R
ey
sin γ
cos γ
0
0⎞
⎟
0⎟
1 ⎟⎠
→ K
ey
→ R
ex
γ
→ K
ex
Ges:
R ΘS
R ΘS
VII Kinetik des starren Körpers
= ARK
K ΘS
ARK T
Mechanik III
62
⎛ cos γ
⎜
= ⎜ − sin γ
⎜ 0
⎝
sin γ
cos γ
0
0 ⎞ ⎛ A 0 0 ⎞ ⎛ cos γ
⎟ ⎜
⎟ ⎜
0 ⎟ ⋅ ⎜ 0 A 0 ⎟ ⋅ ⎜ sin γ
1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 C ⎟⎠ ⎜⎝ 0
− sin γ
cos γ
0
0⎞
⎟
0⎟
1 ⎟⎠
⎛A 0 0⎞
⎜
⎟
=⎜0 A 0⎟
⎜ 0 0 C⎟
⎝
⎠
⇒
Massenmatrix des
Starrkörpers
R ΘS
=
K ΘS
⎛
⎜ mE
M := ⎜
∼
⎜ m r PS
⎝
∼ T ⎞
m r PS ⎟
⎟
Θ P ⎟⎠
M ist symmetrisch
M ist mindestens PSD
5. Auswertung Impuls
i
→
→
= ∫ ξ dm
p
K
→
→
→
= ∫ ( v P + Ω x ρ )dm
K
=
→
→
→
∫ v P dm + ∫ (Ω x ρ )dm
K
→
K
→
= v P ∫ dm + Ω x
K
→
→
→
∫ ρ dm
K
→
= m ⋅ v P + m ⋅ Ω x r PS
→
p
→
⎛→ → → ⎞
= m ⋅ ⎜ v P + Ω x r PS ⎟ = m ⋅ v S
⎝
⎠
6. Auswertung Impulsänderung - Impulssatz für Starrkörper
i
→
p
i
→
p
VII Kinetik des starren Körpers
→a
=F
→
→ ⎛ →
→
⎛→ → →
⎞⎞
= m ⋅ a S = m ⋅ ⎜ a P + Ψ x r PS + Ω x ⎜ Ω x r PS ⎟ ⎟
⎝
⎠⎠
⎝
Mechanik III
63
7. Auswertung Drall
→
→
i
→
= ∫ ξ x ξ dm
LO
K
i
→⎞ →
⎛→
= ∫ ⎜ r OP + ρ ⎟ x ξ dm
⎠
K⎝
i ⎞
⎛→
⎛ → →i ⎞
→
⎜
⎟
= ∫ ⎜ r OP x ξ ⎟ dm + ∫ ⎜⎜ ρ x ξ ⎟⎟ dm
⎟
⎟
K⎜
K⎜
⎝
⎠
⎝
⎠
i)
⎛→
⎜
∫ ⎜⎜ r OP x ξ
K
⎝
ii )
i ⎞
→
i)
i
→
⎟ dm = →
r
OP x ∫ ξ dm
⎟
⎟
K
⎠
→
→
= r OP x p
⎛ → →i ⎞
⎜
⎟
∫ ⎜⎜ ρ x ξ ⎟⎟ dm
K
⎝
⎠
ii)
=
→
⎛→
→
→
→⎞
→
∫ ρ x ⎜⎝ v P + Ω x ρ ⎟⎠ dm
K
=
→
K
=
⎛→
→⎞
∫ ρ x v P dm − ∫ ρ x ⎜⎝ ρ x Ω ⎟⎠dm
K
→
∼ ∼T
→
→
∫ ρ dm x v P + ∫ ρ ρ dm ⋅ Ω
K
K
→
→
→
= m ⋅ r PS x v P + Θ P ⋅ Ω
→
→
→
→
→
→
= r OP x p + Θ P Ω + m r PS x v P
LO
Wird der Punkt P so gewählt, dass P auf dem Schwerpunkt S
liegt ( P ≡ S ), dann vereinfacht sich die Formel für den Drall
wie folgt:
→
→
→
→
= r OS x p + Θ S Ω
LO
8. Auswertung Dralländerung - Drallsatz für Starrkörper
i
→
a
→
LO = M O
i
→
→
i
→
→
→
→⎞
⎛
= r OP x p + r OP x p + ⎜ Θ P Ω ⎟
⎝
⎠
→
i
→
i
i
→
+ m r PS x v P + m r PS x v P
i
→
i
→⎞
⎛
= m v P x v S + r OP x p + ⎜ Θ P Ω ⎟
⎝
⎠
→
→
⎛→ → ⎞ →
+ m ⎜ v S − v P ⎟ x v P + m r PS x a P
⎝
⎠
→
VII Kinetik des starren Körpers
→
→
Mechanik III
64
i
→
i
→
i
→⎞
→
→
⎛
L O = r OP x p + ⎜ Θ P Ω ⎟ + m r PS x a P
⎝
⎠
→⎞
⎛
Term ⎜ Θ P Ω ⎟
⎝
⎠
i
→
i
i
→⎞
→
→
⎛
⎜ Θ P Ω ⎟ = Θ P Ψ+ Θ P Ω
⎝
⎠
Man erkennt, dass der Term mit der Ableitung des
Trägheitstensors sehr unschön ist, d.h. sehr kompliziert wird.
Aus diesem Grund stellen wir die ganze Gleichung mit Hilfe
der Euler-Gleichung im körperfesten System K dar. Zwar tritt
wieder eine Ableitung des Trägheitstensors auf, da jedoch
der Trägheitstensor in einem körperfesten System konstant
ist, verschwindet diese.
i
⎛⎛
→ ⎞ ⎞ Euler ⎛
⎜ ⎜ ΘP Ω ⎟ ⎟ = ⎜ K ΘP
⎜⎝
⎠ ⎟⎠
⎝
K⎝
i
K
→⎞
Ω⎟ +
⎠
i
→
i
⎛⎛
→⎞ ⎞
⎜ ⎜ ΘP Ω ⎟ ⎟ =
⎜⎝
⎠ ⎟⎠
K⎝
K ΘP K
Ω+
i
⎛⎛
→⎞ ⎞
⎜ ⎜ ΘP Ω ⎟ ⎟ =
⎜⎝
⎠ ⎟⎠
K⎝
K ΘP K
Ψ+
⎛
→
K
ω JK x ⎜ K Θ P
K
Ω+
i
⎝
→
K
ΘP
K
→ ⎛
Ω x ⎜ K ΘP
⎝
→
K
K
→⎞
Ω⎟
⎠
→ ⎛
Ω x ⎜ K ΘP
⎝
K
K
→⎞
Ω⎟
⎠
→⎞
Ω⎟
⎠
i
→⎞
→ →
→
⎛
⇒ ⎜ Θ P Ω ⎟ = Θ P Ψ+ Ω x Θ P Ω
⎝
⎠
Drallsatz
i
→
LO
i
→
→
→
→
→
→
→
= r OP x p + Θ P Ψ+ Ω x Θ P Ω+ m r PS x a P
Wird der Punkt P so gewählt, dass P auf dem Schwerpunkt S
liegt ( P ≡ S ), dann vereinfacht sich die Formel wie folgt:
i
→
LO
i
→
→
→
→
→
= r OS x p + Θ S Ψ+ Ω x Θ S Ω
9. Zusammenfassung
A Durch Grössen im Punkt P ausgedrückt
• Impuls und Drall
→
p
→
LO
→
→
→
= m v P + mΩ x r PS
→
→
→
→
→
= r OP x p + Θ P Ω + m r PS x v P
oder in Matrixschreibweise
⎛ E
⎜∼
⎜
⎝ r PO
VII Kinetik des starren Körpers
→
0 ⎞ ⎛ p ⎞ ⎛⎜ mE
⎜
⎟
⎟⋅
⎜→ ⎟ = ⎜ ∼
⎟
E ⎠ ⎜ LO ⎟ ⎜ m r
⎝
⎠ ⎝ PS
∼ T ⎞ ⎛→ ⎞
m r PS ⎟ ⎜ v P ⎟
⎟ ⋅⎜ → ⎟
⎜
⎟
⎟
ΘP ⎠ ⎝ Ω ⎠
Mechanik III
65
• Impuls- und Drallsatz
i
→
→
→
→
→ ⎛ →
→
⎞ →
= m ⋅ a P + m ⋅ Ψ x r PS + m ⋅ Ω x ⎜ Ω x r PS ⎟ = F
⎝
⎠
p
i
→
i
→
→
→
→
→
→
→
a
a
→
= r OP x p + Θ P Ψ+ Ω x Θ P Ω+ m r PS x a P = M O
LO
i
→
→ a
Wir eliminieren nun p aus dem Drallsatz, um M P zu
erhalten
i
→
i
→
→
→
→
→
→
→
→
a
→
→a
→
L O + r PO x p = Θ P Ψ+ Ω x Θ P Ω+ m r PS x a P = M O + r PO x F = M P
Also
i
→
→
→
→
→ ⎛ →
→
⎞ →
= m ⋅ a P + m ⋅ Ψ x r PS + m ⋅ Ω x ⎜ Ω x r PS ⎟ = F
⎝
⎠
p
i
→
i
→
→
→
→
→
→
→
a
→ a
L O + r PO x p = Θ P Ψ+ Ω x Θ P Ω+ m r PS x a P = M P
oder in Matrixschreibweise
⎛ →i ⎞
T
0 ⎞ ⎜ p ⎟ ⎜⎛ mE m r∼
⎛ E
PS
⎟=
⎜∼
⎟⋅⎜
⎜ r PO E ⎟ ⎜ →i ⎟ ⎜⎜ ∼
⎝
⎠ ⎜
ΘP
⎟ ⎝ m r PS
⎝ LO ⎠
⎞ ⎛ → ⎞ ⎛ ∼ ∼ → ⎞ ⎛ →a ⎞
⎟ ⎜ a P ⎟ ⎜ m Ω Ω r PS ⎟ ⎜ F ⎟
=
⎟⋅⎜ → ⎟ + ⎜ ∼
→ ⎟ ⎜ → a⎟
⎟
⎟ ⎜⎝ Ψ ⎟⎠ ⎜⎝ Ω Θ P Ω ⎟⎠ ⎜ M
⎠
⎝ P ⎠
B Durch Schwerpunktsgrössen ausgedrückt
• Impuls und Drall
→
p
→
LO
→
= m⋅ v S
→
→
→
= r OS x p + Θ S Ω
oder in Matrixschreibweise
⎛ E
⎜∼
⎜
⎝ r SO
→
→
0 ⎞ ⎛ p ⎞ ⎛ mE 0 ⎞ ⎛ v S ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟⋅
⎜ → ⎟ = ⎜⎜ 0 Θ ⎟⎟ ⋅ ⎜ → ⎟
⎟
S⎠ ⎜
⎟
E ⎠ ⎜ LO ⎟ ⎝
⎝
⎠
⎝Ω⎠
• Impuls- und Drallsatz
i
→
p
i
→
LO
→a
→
= m⋅ aS = F
→
i
→
→
→
→
→
a
= r OS x p + Θ S Ψ+ Ω x Θ S Ω = M O
i
→
→ a
Wir eliminieren nun p aus dem Drallsatz, um M S zu
erhalten
VII Kinetik des starren Körpers
Mechanik III
a
66
i
→
i
→
→
→
→
→
a
→
→a
→
→ a
L O + r SO x p = Θ S Ψ+ Ω x Θ S Ω = M O + r SO x F = M S
Also
i
→
i
→
→a
→
= m⋅ aS = F
p
→
i
→
→
→
→
→ a
L O + r SO x p = Θ S Ψ+ Ω x Θ S Ω = M S
oder in Matrixschreibweise:
⎛ E
⎜∼
⎜ r SO
⎝
→a
⎛ →i ⎞
→
⎛ →a ⎞
0 ⎞ ⎜ p ⎟ ⎛ mE 0 ⎞ ⎛ a S ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ F ⎟
⎜
⎟
⎟=⎜
⎟ ⋅⎜
⎟⎟ ⋅ ⎜ → ⎟ + ⎜ ∼
→⎟ = ⎜
i ⎟ ⎜ 0
a⎟
⎜
⎟
⎜
Θ
S
⎜
⎟
Ω Θ S Ω ⎟⎠ ⎜ → ⎟
E⎠ →
⎝
⎠ Ψ
⎝
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝MS ⎠
⎝ LO ⎠
F
alle am Körper angreifenden äusseren Kräfte
→ a
MS
alle am Körper angreifenden äusseren, freien und
→a
durch F bezüglich dem Schwerpunkt S induzierten
Momente
10. Vorgehen bei Handrechnung
a) Bezugspunktwahl
beim Drall
i)
Allgemein
(nie verwenden!)
S
→
P
r PS
O
→
r OP
→
→
→
→
→
→
L O = r OP x p + Θ P Ω + m r PS x v P
ii)
Einfachster Fall, S ruhend
Wähle O und P so, dass diese auf S sind.
O=P=S
→
→
L S = ΘS Ω
VII Kinetik des starren Körpers
Mechanik III
67
Körper mit Fixpunkt P
iii)
Wähle O so, dass O auf P liegt.
S
→
P
→
L P = ΘP Ω
Allgemeiner Fall
iv)
Wähle P so, dass P auf S liegt.
P=S
→
→
O
→
→
L O = r OS x p + Θ S Ω
p = m B v S mit dem Impulssatz und
b)
Berechne
c)
Berechne aus b) mit Euler
⎛i⎞
⎜ p⎟ =
⎜ ⎟
B⎝ ⎠
C LO
nach a)
i
p + B ω IB × B p
B
⎛i ⎞
⎜ LO ⎟ =
⎜ ⎟
⎠
C⎝
d)
B
i
C
LO + C ω IC × C LO
Werte Impuls- und Drallsatz aus
⎛i⎞
a
⎜ p⎟ = BF
⎜ ⎟
B⎝ ⎠
⎛i ⎞
a
⎜ LO ⎟ = C M O
⎜ ⎟
⎠
C⎝
Anmerkung
Im Fall a) iv) ist eine weitere Vereinfachung möglich, wenn
der Spinsatz verwendet wird:
i
→⎞
→
⎛
Θ S Ψ+ Ω x Θ S Ω = ⎜ Θ S Ω ⎟ = M S
⎝
⎠
→
Definition Spin
→
→
a
→
N S := Θ S Ω
i
→
NS =
VII Kinetik des starren Körpers
→
→ a
MS
KC
→
⎛ →i ⎞
⎜N ⎟=
⎜ S⎟
⎜
⎟
⎠
C⎝
→ a
C
MS
Mechanik III
68
11. Impuls- und Drallerhaltung am Starrkörper
Frage
Welche Aussagen erhält man aus Impuls- und Drallsatz,
wenn keine äusseren Kräfte und Momente am Körper
angreifen?
Impuls-, Drallsatz für
den Schwerpunkt
i
→
→a
p=F
i
→
→
→ a
L0 = M 0
→
p = m vS
mit
→
→
→
→
L 0 = r OS x p + Θ S Ω
mit
Satz
Greifen am Körper keine äusseren Kräfte und Momente an,
dann ist der Impuls und der Drall des Körpers konstant.
Folgerungen
i)
→
→
Wegen p = m v S = const. und m = const. gilt
→
v S = const.
d.h. der Massenmittelpunkt bewegt sich mit
konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen
Bahn.
ii)
→
→
Wegen p = m v S = const. und
→
→
→
→
L 0 = r OS x p + Θ S Ω = const. folgt
i
→
i
→
= r OS
L0
0
i
→
→⎞
⎛
x p + r OS x p + ⎜ Θ S Ω ⎟
⎝
⎠
0
→
→
0
→
→
→⎞
⎛
= v S x m v S + ⎜ ΘS Ω ⎟
⎝
⎠
0
0
→⎞
⎛
= ⎜ ΘS Ω ⎟
⎝
⎠
i
i
i
→
⇒ Θ S Ω = const.
Dies bedeutet allerdings im allgemeinen nicht, dass
→
Ω = const. gilt!
iii)
→
Für welche Sonderfälle ist Ω konstant?
→ !
→
Ω = const.
i
→
⇒ Ψ=Ω=0
→
→
⇒ Ω x ΘS Ω = 0
→
→
d.h. Ω und Θ S Ω sind (anti-) parallel
d.h. ∃ λ so, dass
→
→
ΘS Ω = λ Ω ⇔
VII Kinetik des starren Körpers
(Θ
S
)
→
− λE Ω = 0
Mechanik III
69
Lösung:
∃ KOS so, dass Θ S diagonal ist
ƒ
ƒ
die Eigenwerte λ entsprechen den
Hauptträgheitsmomenten
ƒ
zugehörige Eigenvektoren sind
Hauptträgheitsachsen
ƒ
→
Ist Ω in Richtung der Hauptträgheitsachsen,
→
dann ist Ω = const. eine Lösung des
Eigenwertproblems
→
→
Wenn Θ S Ω = const. und Ω in Richtung der
→
Hauptträgheitsachsen, dann gilt Ω = const.
Anmerkung
VII Kinetik des starren Körpers
Seien A0 < B0 < C0 Hauptträgheitsmomente, dann gilt:
ƒ
Drehung um A0 oder C0
⇒ (grenz-)stabil
ƒ
Drehung um B0
⇒ instabil
Mechanik III
70
VIII Der Kreisel
Literatur
- Kapitel 35.4 im Buch
- Magnus, K., Kreisel. Theorie und Anwendungen
Springer Verlag, 1971 (vergriffen)
1. Einführung
Definition
Ein Kreisel ist ein starrer Körper mit Fixpunkt P und
ungehinderter Drehung.
Konsequenz an Drall
i)
Allgemein
→
→
→
→
→
→
L O = r OP x p + Θ P Ω + m r PS x v P
ii)
Kreisel (P=O)
→
→
L P = ΘP Ω
i
→
Drallsatz
→
(1)
→
→
= Θ P Ψ+ Ω x Θ P Ω = M P
T
=
T
Kinetische Energie
Auswertung
→
LP
a
(2)
T
→
1→
1→ →
Ω ΘP Ω = Ω L P
2
2
(3)
Wähle körperfestes Hauptachsensystem K im Punkt P.
Dann gelten folgende Bezeichnungen:
⎛ Lx ⎞
⎜ ⎟
L P =: ⎜ Ly ⎟ ,
⎜L ⎟
⎝ z⎠
→
K
→ a
K MP
⎛ωx ⎞
⎜ ⎟
K Ω =: ⎜ ω y ⎟ ,
⎜ω ⎟
⎝ z⎠
⎛ Mx ⎞
⎜
⎟
=: ⎜ M y ⎟ ,
⎜M ⎟
⎝ z⎠
→
⎛A 0 0⎞
⎜
⎟
B 0⎟
K Θ P =: ⎜ 0
⎜ 0 0 C⎟
⎝
⎠
⎛i ⎞
⎜ωx ⎟
i
⎛ →i ⎞
⎜ ⎟
→
→
⎜ Ω ⎟ = Ω = ⎜ ωi ⎟
K Ψ =
K
y
⎜ ⎟
⎜i ⎟
⎜ ⎟
⎜ωz ⎟
K⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎝ ⎠
In (2) eingesetzt und ausgerechnet ergibt dies die
sogenannten Eulerschen Kreiselgleichungen
i
A ω x − ( B − C )ω y ω z = M x
i
B ω y − (C − A)ω z ω x = M y
(4)
i
C ω z − ( A − B )ω xω y = M z
VIII Der Kreisel
Mechanik III
71
2. Bewegung des momentenfreien Kreisels
Ausgangslage
a
Sei M P = 0
(2)
i
⇒ L P = 0 ⇒ L P = const.
(
i
(3)
T
= Ω LP
⇒ 2T
)
i
iT
i
T
= Ω LP + Ω LP
iT
i
T
T
= Ω Θ P Ω + Ω Θ P Ω + 2Ω
(Ω x Θ Ω)
P
≡0
⎞
T ⎛
= 2Ω ⎜ Θ P Ω+ Ω x Θ P Ω ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
i
T
i
= 2Ω L P
=0
i
⇒ T
= 0
⇒ T
= const. =
1 T
Ω LP
2
Es gilt also folgendes:
a)
b)
Stabilität der Drehungen
um die Hauptachsen
i)
L P = const.
( L P raumfest)
T
Ω L P = const.
Als erstes betrachten wir eine Drehung um die 3.
Hauptachse, also
⎛ 0 ⎞
→
⎜ ⎟
K ΩO := ⎜ 0 ⎟ , Ω z = const.
⎜Ω ⎟
⎝ z⎠
→ Ist eine Lösung von (4)
Wir wissen folgendes:
ΩO = const. = Ω z ⋅ e z
K
K
e z = const.
L P = const. = C ⋅ Ω z ⋅ e z
K
LP
ΩO
ez
VIII Der Kreisel
K
Mechanik III
72
ii)
Als zweites betrachten wir eine kleine Störung dieser
Bewegung, also
⎛ ω x (t ) ⎞
→
→
⎜
⎟
ω x (t ), ω y (t ) klein
K ΩO := K ΩO + K ω = ⎜ ω y (t ) ⎟
⎜ Ω ⎟
⎝ z ⎠
Wir werten damit die Euler-Gleichungen aus:
ii
i
Aω x − ( B − C ) ω y Ω z = 0
(1x abgeleitet)
i
B ω y − (C − A)Ω z ω x = 0
⎛ i
⎞
⎜ C Ω z − ( A − B) ω ω = 0 ⎟
x
y
⎜⎜
⎟⎟
0
2.Ordnung
⎝
⎠
ii
AB ω x + (C − A)(C − B )Ω z 2ω x = 0
⇒
ii
⇒ ω x + µ 2 ⋅ ωx = 0
Fall A
mit µ 2 = Ω z 2
(C − B )(C − A)
AB
µ 2 > 0 → ω x (t ) Schwingung (stabil)
C ist das grösste oder das kleinste
Trägheitsmoment
Fall B
Nutation beim symmetrischen
Kreisel (A=B)
i)
µ 2 < 0 → expon. Aufklingen (instabil)
C ist das mittlere Trägheitsmoment
Eulergleichungen
i
A ω x − ( A − C )ω y ω z = 0
i
A ω y − (C − A)ω z ω x = 0
i
Cωz
⇒ ω z = const. := Ω
=0
Aus den ersten zwei Gleichungen ergibt sich die
folgende Differentialgleichung:
ii
⇒ ω x + µ 2 ⋅ ωx = 0
mit
µ2 =
Ω2
A
2
( A − C )2
∧
⇒ ω x (t ) = ω ⋅ sin( µ t + ϕ )
∧
ω y (t ) = ω ⋅ cos( µ t + ϕ )
Dies ist die Parameterdarstellung eines Kreises mit
∧
K
K
Radius ω in der e x − e y -Ebene.
ii)
VIII Der Kreisel
Konsequenz für die Bewegung
⎛ Aω x (t ) ⎞
⎛ ω x (t ) ⎞
→
→
⎜
⎟
⎜
⎟
K L P =: ⎜ Aω y (t ) ⎟ ,
K Ω =: ⎜ ω y (t ) ⎟ ,
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ C ⋅Ω ⎠
⎝ Ω ⎠
K ez
K
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
=: ⎜ 0 ⎟
⎜ ⎟
⎝1⎠
Mechanik III
73
Diese drei Vektoren sind linear abhängig und liegen
damit in einer Ebene d.h. sie sind komplanar.
→
K
→ K
→
L P = A ⋅ K Ω + Ω(C − A) K e z
→
Ω=
1 →
⋅ LP
A
⎛ C⎞ →
+ ⎜1 − ⎟ Ω ⋅ e z
A⎠
⎝
→
K
→
ΩN
ΩF
Beachte:
→
L P = const.
→T →
Ω L P = const.
→T → K
Ω ez
→
= const.
∧2
Ω = Ω 2 + ω = const.
L P (raumfest)
ΩN
Ω
ΩF
ez
→
ΩF
→
ΩN
VIII Der Kreisel
K
(Figurenachse)
→
Anteil von Ω , mit dem sich der Kreisel um die
Figurenachse dreht
Nutationswinkelgeschwindigkeit, mit der sich die
Figurenachse um die raumfeste Drallachse dreht
Mechanik III
74
Spurkegel
Nutationskegel
Polkegel
→ K
Der körperfeste Polkegel mit Figurenachse e z als Achse
rollt auf dem raumfesten Spurkegel mit Drallvektor als Achse
→
ab. Auf der Berührungslinie beider Kegel liegt Ω .
→ K
Figurenachse e z beschreibt die Bewegung auf dem
Nutationskegel
Betrag der Nutationsgeschwindigkeit
→
ΩN
=
→ T
K
ΩN
→
K
ΩN =
1
A
K
→ T
→
LP K LP
1
A2ω x 2 + A2ω y 2 + C 2 Ω 2
A
2
⎛ ω∧ klein
⎞
∧2
⎛C ⎞
⎜ ≈ C Ω ∼ Ω⎟
= ω + ⎜ Ω⎟
⎜⎜
⎟⎟
A
⎝A ⎠
⎝
⎠
=
Anmerkung
→
→ → K
Für unsymmetrische Kreisel ( A ≠ B ) liegen L P , Ω, e z nicht
mehr in einer Ebene. Dann haben wir es nicht mehr mit
Kreiskegeln zu tun, sondern mit elliptischen.
3. Erzwungene Bewegung eines Kreisels
In diesem Unterkapitel werden nur einige qualitative
Aussagen zu Kreiseln mit äusseren Momenten gemacht.
Satz
Satz vom "gleichsinnigen Parallelismus"
i
→
→ a
L P (t ) = M P (t )
→
⇒ L P (t + ∆t ) ≈
VIII Der Kreisel
(2)
→
→ a
L P (t ) + M P (t ) ⋅ ∆t
Mechanik III
75
a
M P (t )
a
M P (t ) ⋅ ∆t
L P (t + ∆t )
L P (t = 0)
"Drallvektor eines sich drehenden Körpers hat die Tendenz,
sich gleichsinnig in Richtung des äusseren Momentes
einzustellen."
→ a
Präzessionsbewegung
Was passiert, wenn M P nicht raumfest, sondern bewegt
ist, z.B. konstant in einem mitschleifenden Referenzsystem?
Der Drallvektor wird permanent versuchen, den sich
wegdrehenden Momentenvektor einzuholen.
Solche Bewegungen heissen Präzessionsbewegungen.
Beispiel
Präzession beim symmetrischen Kreisel, wo der
Momentenvektor senkrecht zum Drallvektor steht.
ex
R
ω pr
Ω
Ω
ez
R
M
ey
R
⎛A 0 0⎞
⎜
⎟
A 0⎟ ,
R ΘP = ⎜ 0
⎜ 0 0 C⎟
⎝
⎠
→
R
MP
a
⎛0⎞
⎜ ⎟
= ⎜M ⎟ ,
⎜0⎟
⎝ ⎠
→
R ω IR
⎛ ω pr ⎞
⎜
⎟
RΩ=⎜ 0 ⎟
⎜ Ω ⎟
⎝
⎠
→
⎛ ω pr ⎞
⎜
⎟
=⎜ 0 ⎟
⎜ 0 ⎟
⎝
⎠
⎛ Aω pr ⎞
⎜
⎟
L P = R ΘP R Ω = ⎜ 0 ⎟
⎜ CΩ ⎟
⎝
⎠
→
Drall:
R
Drallsatz:
⎛ →i ⎞
⎜L ⎟=
⎜ P⎟
⎜
⎟
⎠
R⎝
→
i
→
R
→
L P + R ω IR
→
R
L
i
⎛ Aω pr ⎞ ⎛ ω pr ⎞ ⎛ Aω pr ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
= ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 0 ⎟ x⎜ 0 ⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝ CΩ ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ CΩ ⎠
VIII Der Kreisel
Mechanik III
76
i
⎛
⎞
⎜ A ω pr ⎟ ⎛ 0 ⎞
⎜ ⎟
= ⎜⎜ −C Ωω pr ⎟⎟ = ⎜ M ⎟ =
i
⎜
⎟ ⎜0⎟
⎜ CΩ ⎟ ⎝ ⎠
⎝
⎠
→ a
R
MP
Aus diesem Resultat folgt:
i
1)
ω pr = 0 ⇒ ω pr = const
2)
ω pr = −
3)
Ω = 0 ⇒ Ω = const
M
CΩ
Präzessionsfrequenz
i
Beachte:
i)
ii)
je grösser M, desto schneller die Präzession
je kleiner Ω , desto schneller die Präzession
iii)
Merkregel
→
L P liegt in der x-z-Ebene
Die folgende Grafik illustriert eine schlampige, aber sehr
hilfreiche Merkregel zum Satz des gleichsinnigen
Parallelismus bei symmetrischen Kreiseln:
F∗
F
Ω
F
ω pr
F∗
Drehe das Kräftepaar F um 90° weiter zu F*. Dann zeigt F*
die Ausweichrichtung ω pr des Kreisels an.
VIII Der Kreisel
Mechanik III
77
4. Weitere Kreiselphänomene/ Kreiselgeräte
Kurskreisel
Richtungshalter, Gerät, um den Kurs beizubehalten
sehr grosse Genauigkeit
Diskus
grosser Drall, relativ kleine Luftkräfte
kleine Präzession, stabile Flugbahn
Bierdeckel
kleiner Drall, relativ hohe Luftkräfte
grosse Präzession, "Bierdeckel dreht sich weg"
Kreiselkompass
eine Drehung gesperrt
VIII Der Kreisel
Mechanik III
78
IX Stoss starrer Körper
Literatur
Buch Mechanik 3 (Sayir), Kapitel 35.5
Vorsicht, das Buch behandelt dieses Kapitel konzeptionell
anders (über Erhaltungssätze).
Weiterführendes
Vorlesung "Dynamik strukturvarianter Systeme"
Sommersemester, 3-stündig, Prof.Glocker
1. Einführung
Treten sehr starke Beschleunigungen im Zeitintervall ∆t auf,
dann ändern sich dort die Geschwindigkeiten sehr stark.
Grenzfall
"Unendlich grosse" Beschleunigungen verursacht durch
"unendlich grosse" Kräfte, die während einer verschwindend
kurzer Zeit wirken, führen zu Geschwindigkeitssprüngen.
Definition
Ein Stoss in der Dynamik ist ein Geschwindigkeitssprung, der
mit impulshaften Kräften einhergeht.
Notwendigkeit
Die Stosstheorie ist durch die Starrkörperannahme (z.B.
Kollisionen) begründet; auch bei Kontinua nach der
Diskretisierung.
Vorraussetzungen
i)
Stossdauer:
ii)
Alle Lagen bleiben beim Stoss unverändert,
insbesondere die Geometrie (und damit die
Massenverteilung, Kontur) der starren Körper.
iii)
Geschwindigkeiten dürfen sich sprunghaft ändern.
Bezeichnung:
Der Stoss findet zu einem Zeitpunkt t
statt. (kein Stossintervall!)
+
+
−
−
( v* , Ω )
( v* , Ω )
nach dem Stoss
vor dem Stoss
iv)
Es gibt impulshafte Kräfte zum Stosszeitpunkt.
Bezeichnung: ( F , M * )
v)
Beschleunigungen sind zum Stosszeitpunkt nicht
definiert!
2. Die Stossgleichungen
Ausgangspunkt
Impuls- und Drallsatz
i
→
i
→
→a
p = m⋅ v S = F
i
→
→
i
→
→
→
→
→
→
→
a
L O + r PO x p = Θ P Ψ+ Ω x Θ P Ω+ m r PS x a P = M P
IX Stoss starrer Körper
Mechanik III
79
Kräfteaufteilung
→a
→a
F =F
→a
endlich + F unendlich
→a
→a
⇒ F dt = F
→a
endlich dt + F unendlich dt
→a
=:d F
→ a
→ a
MP = MP
→ a
endlich + M P unendlich
→ a
→ a
⇒ M P dt = M P
→ a
endlich dt + M P unendlich dt
→ a
=:d M P
Indizes
Die Stossgleichungen
endlich
Kräfte, die definitiv endlich gross sind.
-Gewichtskraft
-Federkräfte
-Dämpferkräfte
unendlich
Kräfte, die unendlich gross werden können.
-Lagerkräfte
-Kollisionskräfte
-von aussen als unendliche vorgeg. Kräfte
Zur Herleitung der Stossgleichungen multiplizieren wir den
Impuls- und den Drallsatz mit dt und integrieren dann über
den Stoss.
→
→a
→
∫d p = ∫m⋅d v S = ∫ F
→a
endl
dt + ∫ d F
0
→
→
→
∫ d L O + r PO x d p
→
→
→
endlich
dt + ∫ d M P
→
→
= ∫ Θ P d Ω + ∫ Ω x Θ P Ω dt + m r PS x v P
→ a
= ∫MP
→
a
0
→+
→−
p −p =
→ + → −
m( v S − v S )
=F
→
⎛ →+ →− ⎞
⎛→ + → − ⎞
a
x ⎜ p − p ⎟ = ΘP ⎜ Ω −Ω ⎟ + m r PS x ⎜ v P − v P ⎟ = M P
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
Diese zwei Gleichungen werden Stossgleichungen genannt
und stellen den Impuls- und den Drallsatz für den Stoss dar.
→ + → − →
LO − LO + r PO
→a
F
[ Ns ]
→ a
FP
[ Nms ]
⎛ →+
→a
→− ⎞
äussere impulsive Kräfte
äussere impulsive Momente
Grafische Darstellung
Anmerkung
IX Stoss starrer Körper
Es funktioniert alles wie beim Impuls- und Drallsatz.
Insbesondere gelten Erhaltungssätze für Systeme bei
fehlenden äusseren Kräften
Mechanik III
80
3. Kollisionen
Wir betrachten ein System mit nur einem Kollisionspunkt C
und nur reibungsfreie Kollisionen, d.h. impulsive Kräfte nur in
Richtung von n .
Modell
n
C1
C2
Berührebene
-körperfeste Berührpunkte C1, C2
-Berührebene wohl definiert
-Einheitsnormalenvektor n
Freischneiden
vC1
F1
C2
F2
C1
vC2
Kräfte
F 1 = −n ⋅ Λ
F 2 = n⋅Λ
Λ : skalare, impulsive Kraft
Kinematik
T
γ := n
γ:
(v
C2
− vC1
)
Relativgeschwindigkeit von C2 gegenüber C1 in
Normalrichtung n
Annäherung beider Körper:
Entfernen der Körper voneinander:
γ <0
γ >0
Stossgesetz (Newton'sches)
γ + = −ε γ −
ε
IX Stoss starrer Körper
Stosskoeffizient ( 0 ≤ ε ≤ 1 )
Mechanik III
81
Beachte
Ist γ − < 0 , dann γ + ≥ 0 .
ε =1
Vollkommen elastischer Stoss.
Die Relativgeschwindigkeit wird invertiert, γ + = −γ −
ε =0
Vollkommen inelastischer Stoss
Die Körper separieren nach dem Stoss nicht, γ + = 0
Bemerkungen zum
Stossgesetz
• Das Stossgesetz ist das "Kraftgesetz" für Kollisionen
(vergleichbar mit Feder, Dämpfer, Bindung für stossfreie
Bewegung)
• Der Stosskoeffizient ist keine Materialpaarungskonstante,
sondern abhängig von Wellenausbreitungsphänomenen
• Bei der Anwendung von Stossgesetzen ist höchste Vorsicht
geboten. Die Ergebnisse sind umso zuverlässiger, je
i)
ii)
weniger Welleneffekte
dissipativer der Stoss ( ε → 0 )
• Es kann gezeigt werden:
i)
bei konservativen Systemen aus Starrkörpern und
ohne externe kinematische Erregung und ε = 1 gilt
Erhaltung der kinematischen Energie: T + = T −
ii)
Der Fall ε = 0 hat die "Eigenschaft maximaler
Dissipation". (gemäss einer Projektion in einer
abstrakteren Geometrie)
v
−
+
v (ε =1, Reflexion)
+
v (ε =0, ortho.Projektion)
IX Stoss starrer Körper
Mechanik III
82
4. Beispiel – Stossmittelpunkt bei einem Hammer
Frage
Wo muss der Hammer gehalten werden, damit es beim
Schlag nicht „zurückschlägt“?
Modell
Geg:
Ges:
m, Θ S , S , a
b so, dass F P = 0
Freischneiden:
Impuls-, Drallsatz
• allgemein bezüglich Schwerpunkt
→ +
→ −
⎛ →+
→− ⎞
→a
→
m( v S − v S ) = F
→
= F Q+F
a
→
→
P
→
→
ΘS ⎜ Ω −Ω ⎟ = M S = r SQ x F Q + r SP x F P
⎜
⎟
⎝
⎠
• hier: Impulssatz nur in x-Richtung
Drallsatz nur um z-Achse
→
+
−
→
→
→
m( v Sx − v Sx ) = − F Q − F
(
P
0
)
ΘS ω+ − ω− = −FQ ⋅ a + FP ⋅ b
0
Starrkörperformel
vSx = b ⋅ ω
Einsetzen
mb(ω + − ω − ) = − F Q
→
(
)
ΘS ω+ − ω− = −FQ ⋅ a
( mba −ΘS ) (ω+ −ω− ) = 0
⇒ b=
IX Stoss starrer Körper
ΘS
ma
"Lage des Stossmittelpunktes"
Mechanik III
Anhang
Beispiel einer
Formelsammlung