Skript zur Vorlesung Quantenmechanik im WS 95

Skript zur Vorlesung Quantenmechanik im WS 95/96,
Prof. Dr. Eberhard R. Hilf, Universitat Oldenburg
Sven Herrmann
Jens Harting
Nadorster Strae 170
Martin-Luther-Strae 42
26123 Oldenburg
26129 Oldenburg
[email protected]
[email protected]
Gerold Brink-Spalink
Nadorster Strae 170
26123 Oldenburg
[email protected]
22. April 1996
1
Inhaltsverzeichnis
1 \Hello, World" oder ein ganz normales Vorwort
2 Hinfuhrungen
3 Meprozess
3.1 U bungen, die Erste . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 U bung I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 U bung II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 U bung III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Was bedeutet der Meprozess ? . . . . . . . . . . . .
3.3 Die Hintereinander-Anwendung, bra-ket Schreibweise
3.4 Konstruktion einer Basis . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Wiederholung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Apperaturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Hintereinanderausfuhren von Messungen . . .
3.6.2 Paralleles Ausfuhren von Messungen . . . . .
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4 Dynamik und Ortszustande
6
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22
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4.1 Dynamische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Schrodinger - Gleichung
5.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Beispiel 3 . . . . . . . . . . . . . .
5.1.4 Eigenschaften der - Distribution
5.2 Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Darstellung algebraischer Objekte
7 Ort und Impuls
8 Einfache Systeme
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8.1 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.2 Wiederholung des harmonischen Oszillators . . . . . . . . . . . . 43
9 Zusammenhang zwischen der klassischen Mechanik und der
Quantenmechanik
45
10 Eichtransformationen
47
11 Pfadintegral
48
11.1 Die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel . . . . . . . . . . . . 49
12 Heisenberg-Bild $ Schrodinger-Bild
2
51
13 Pragmatische Losungsverfahren fur einfache Systeme im Ortsraum
52
13.1 Raten, Wissen, Nachschlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
13.2 Graphisch numerisches Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
14 Storungstheorie
14.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2 Storungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.1 Storungstheorie 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.2 Storungstheorie 2. Ordnung (1. Ordnung sei bereits ausgefuhrt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3 Variationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4 JWKB-Verfahren (Jordan-Wenzel-Kramers-Brillouin-Verfahren) .
54
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15 Quantenmechanik nichtraumlicher Variablen: Drehimpuls und
Spin
63
15.1 Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1.1 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1.2 Exkurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1.3 Drehimpulsalgebra in der Quantenmechanik .
15.2 Drehimpuls im R3: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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16 Wiederholung der Zeitabhangigen Schrodinger-Gleichung
17 Addition von Drehimpulsen
70
72
18 Mehrteilchen Systeme
74
17.1 Wiederholung: Verschiedene Drehimpulse . . . . . . . . . . . . . 72
17.2 Drehimpuls-Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
18.1 Mehrteilchen-Systeme, 1.Teil . . . . . . . . . .
18.2 Vertauschbare Operatoren . . . . . . . . . . . .
18.3 Operatoren, die mit H^ vertauschen . . . . . . .
18.4 Konstruktion einfacher Mehrteilchen-Zustande
18.5 N-Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.6 Einfache Streuprobleme . . . . . . . . . . . . .
18.7 Ein Teilchen, nichtrelativistisch . . . . . . . . .
18.8 N-Teilchen, nichtrelativistisch . . . . . . . . . .
18.9 Konstruktion von Mehrteilchenzustanden . . .
18.10Zwei-Teilchen-Systeme . . . . . . . . . . . . . .
18.11N-Teilchensysteme . . . . . . . . . . . . . . . .
18.12Zwei-Elektronen-System . . . . . . . . . . . . .
19 Der Rest der Mehrteilchen . . .
20 Young-Tableaux
21 Das H-Atom
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3
22 Streutheorie
22.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . .
22.1.1 Einfachster Fall . . . . . . . .
22.1.2 Gebundene Zustande . . . . .
22.1.3 Freie, ungebundene Zustande
22.2 Lippmann-Schwinger-Gleichung . . .
22.2.1 Darstellung im Ortsraum . .
22.2.2 Darstellung im Impulsraum .
22.3 Optisches Theorem (fehlt noch) . . .
22.4 Eikonal-Naherung . . . . . . . . . .
4
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Literatur
[1] U.Reinhardt.
Quantenmechanik.
http://elkom. physik. uni-oldenburg. de /rxp. http://www. physik. unioldenburg. de /docs/home/teaching/skript.ps
[2] G. Grawert. Quantenmechanik. Akademischer Verlag
[3] H. Mitter. Quantentheorie. Bibliographisches Institut
[4] W. R. Theis. Grundzuge der Quantentheorie.
[5] M. Schubert, G. Weber. Quantentheorie. Spektrum
[6] E. Fermi. notes on quantum mechanics. Phoenix
[7] A. Messiah. Quantenmechanik I/II. de Gruyter
[8] J. J. Sakurai. Quantenmechanik.
[9] H. J. Lipkin. Anwendung der Lie-Gruppen in der QM.
[10] U. Mosel. Fields, Symmetries and Quarks.
[11] J. M. Feagin. quantum mechanics with mathematica. Springer. Telos
[12] S. Ludwig. Wellenmechanik fur Lehramt.
5
1 \Hello, World" oder ein ganz normales Vorwort
Es ng ganz harmlos an: Aus dem Versuch, die mitunter recht chaotisch strukturierte Vorlesung nachzuarbeiten und das ganze auch noch mit etwas Praktischem zu verbinden, wurde die Tortur des Semesters. Eigentlich wollten wir nur
TeX lernen, aber neben verspannten Nacken (Es lebe der TeX'sche Backslash,
prima Zungenbrecher) und eckigen Augen, produzierten wir eine groe Menge
Altpapier. Ganz nebenbei entstand dann auch eine wohlgeordnete und ansehnliche Zusammenstellung der 26 Vorlesungen Quantenmechanik I des 5. Semesters.
Hierbei liegt die Betonung auf dem Wort \Zusammenstellung", denn wir wollten/konnten der Welt keineswegs ein weiteres Quantenmechanik-Werk bescheren. Vielmehr soll mit dieser Ansammlung von Vorlesungen eine Prufungsvorbereitung erleichtert und ein Einstieg anderer Studenten in die Materie ermoglicht
werden.
Diese nun vorliegende Fassung ist leider noch voll von Fehlern. Eine heie Korrekturphase ist bereits eingeleitet und schon an dieser Stelle mochten wir betonen, wie gut die Zusammenarbeit mit Ebs funktioniert. Es ist so auch eine
inhaltliche U berarbeitung moglich.
Trotzdem sind wir auf die Mitarbeit der Leser, insbesondere der Besucher der
Vorlesung im WS 95/96, angewiesen. Wir mochten daher alle aufrufen, uns Verbesserungsvorschlage und Korrekturen zukommen zu lassen.
Oldenburg, im April 1996
Jens, Gerold und Sven
6
2 Hinfuhrungen
VL 16.10.95
gesucht: Mechanik
Mechanik := Dynamik von physikalischen Systemen in der Zeit
Forderungen:
1. Kausale Theorie:
System: (t): Informationen zur Berechnung von (t0) sollten nur aus
t < t0 stammen.
Newtons Mechanik:
m x::= K (x; x;: t)
x(t0) gesucht
:
x (to)
x(t0)
Anfangsbedingungen
) x(t)t>to
x: (t0) = limt!0 x(t0+t)t,x(t0 )
Newton-Mechanik ist innitesimal (embryonal), nicht kausal.
2. Die richtigen Ergebnisse der Newton-Mechanik sollen erhalten sein:
Quantenmechanik ,! Newton-Mechanik Beispiel: fx(t)g Bahn eines Teilchens.
3. Deterministische Theorie
Ist (t) vollstandige Information zur Zeit t
) f
ur alle Zeiten t0 > t soll die vollstandige mechanische Information berechenbar sein
1.Versuch:
Die Newton-Mechanik beschreibt nicht die vollstandige mechanische InW
Zähler
nicht
Null
x(t)
p=Impuls
t<0
formation uber das System.
Newton-Mechanik ist nicht deterministisch, x(t) ist keine vollstandige mechanische Information
7
vollst. Information Projektion;Faltung;etc:
,!
Teilinformation (z. B. xNewton (t)
Bahn)
4. (a) Statistische Verteilung von Meergebnissen, bei Wiederholung des
selben Experiments zugelassen.
(b) mechanische Teilchen bleiben intakt
(a) Interferenz-Muster: Wahrscheinlichkeits-Amplituden-Dichte-Feld
(x; t) zur Zeit t: j (x; t)j2 die Wahrscheinlichkeit das Teilchen
R am
Orte x zu nden 8x, Gesamtwahrscheinlichkeit = Gewiheit, dx3 j j2 =
1
Versuch: (x; t) ist Trager der vollstandigen mech. Information
Ansatz: (x; t) skalares Feld
(b) Kornung:
Zahler sagt: Ja, das ganze Element ist eingetroen
oder: Nein, das ganze Element ist nicht eigetroen
) storungsfreie\Messung gibt es nicht !
"
Teilchen
zur Zeit t am Ort x: zur \Klickzeit" ist Teilchen mit Gewiheit im Zahler (xi ; x)
Z
(xi; x) = dx (x) p1
x
2
Die Pasterung mit Zahlern ist endlich.
e2
∆x
∆x
e1
Versuch: x ! 0
Aufwand ! 1
In der Quantenmechanik darf der limes x ! 0 unphysikalisch sein, weil
er nicht realisierbar ist.
Kornung:
kleinste mechanische Teilchen mit m 6= 0, me endlich
kleinste Ladung: Elementarladung
Beispiel: Batterie, leer oder kleinste Ladung vorhanden.
9 Experiment zur Wirkungseinheit: Ein Drehkreuz zur Personenzahlung
ist vorhanden oder aber nicht. Wre klassisch im Limes der Wirkung nicht
zu unterscheiden, jedoch zeigt das Experiment, es gibt eine kleinste Wirkungseinheit h
8
Beispiele: Schwarzkorperstrahlung:
Wien 1892
I~ν2
e-q ν / T
ν
ν0
Abbildung 1: Kurvenform: 2 ex , 2 , Tk x e,x = 0
Exponent q=T
1 eV
0,1 eV
0,01 eV
=^
=^
=^
T in K oder in eV
104K
103K
100K
Plasma
C,O,... einzelne Elemente
Siedepkt.
: Frequenz
q: 1; 054449 10,27 erg sec
h
h = 2 mit h Planck-Konstante
Wirkungskonstante h ' 2=3 10,15 eV s
Licht: 1 eV =^ ' 120m
E = h! = h
Maximum:
2
h=T 1) , 2 e,h=T !
= 0; mit = h
I ( ) ' eh=T , 1 ; I 0( ) ' 2 (e (e,h=T
T
, 1)2
2 , 2 e,x , x = 0
x = 2 (1 , e,x ); erster Fixpunkt
x1 = 1 : ! x2 = 1; 26 ::: xn = 1; 59 Iteratives Verfahren
VL 18.10.95
x = Th e2x 2(1 , ex )
Warum sind in der Physik stets alle Mewerte reell? (Einschrankung der
moglichen Theorien)
Warum sind Festkorper fest? Obgleich die gesamte Materie in allen ihren
Formen ausschlielich aus \punktformigen" Teilchen besteht (Elektronen,
Quarks)
9
Elektron
p Impuls
Intensität
Welche Wellenlange zeigt sich bei Beugung von Elektronen auf ein FestkorperGitter
~p = p = mx_ ,! p = h k , Wellenzahl: k := 2
Dimensionsanalyse: [p] Wirkung/Lange
mech. Teilchen := fBundel von endlich vielen Aussageng
Elektron:=fme ,e, ,s,s3 ; wo ist esg s3 - Komponente: Spin-Ausrichtung
Anmerkung: Der \Welle-Teilchen-Dualismus" ist kein Dualismus:
- auf jede Frage eine entsprechende Antwort aus dem Bundel von Aussagen
- verschiedene Fragen an dasselbe Objekt
Photo-Eekt
Eel
Elektronen
Licht
Na-Kristall
ν
w Austrittsarbeit
EPh = h = h!
Licht gekornt: Eel = h , W
Reexion von Neutronen an Kristall Ebenen
d
I durchgelassene
n
klass.
Erwartung
Zähler
λ 0= 2d
Compton-Eekt: Streuung von Licht an Elektronen
Impulssatz: p + pe = p0 + pe0
Energiesatz: E + Ee = E0 + Ee0
10
λ
Experimente sind quantitativ erklarbar:
pe = mx_
m = 0
Ee = 12 mx_ 2
E = h = h!
relativistisch: p = hc
E 2 = p2 c2 + m2c4
falls: m = 0 () E = pc = hkc = h 2 c = h2 = h! = h
mit: c = Zusammenfassung 1:
experimentelle Vorerfahrungen
Dynamik fur phys. Systeme (zeitliche Entwicklung)
{ kausal
{ deterministisch [Prufungsfragen: ... was bedeutet das ?]
Frage: "Wo ist es ?\
{ Kornung der Materie
{ statistische Aussagen
Beispiel: R3 -Teil der experimentell zuganglich ist, endliche Pasterung
mit Zahlern. Wahrscheinlichkeitsamplitude , Wahrscheinlichkeit zu zhlen
! = j j2, Phase wird wegen der Wiederkehr der Wellenfunktion erlaubt.
xi; Z (xi; x)
w(xi; x) x2 = Volumen des Zahlers
1 2 3 4 5
reelle Zahlen ,! rationale Zahlen
6 . . .
Zhler sind techn. notwendig endlich klein,
die Lage ist durch rationale Zahlen,
hier die Koordinaten, beschreibbar. Reelle Zahlen werden in der Dynamik nur aus
∆x
Bequemlichkeit verwendet, jedoch nicht
bentigt.
Je kleiner der Zahler, je seltener mit er! w(~xi; 2x ) 4x2
w(xi; x) ) w(xix;2 x) =: q(xi; x)
lim w(xi ; x) = q (xi )
x ! 0
q = Dichte der Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeitsamplitudendichte:
Feld. 8x : q (x; t)
falls q genugend stetig, dann kann man sich eine allzu feine Pasterung
sparen.
Honung:
Z
X
xNewton(t) = dxn x0 q(x0; t) = xi !xi
xi
R3
11
3 Meprozess
phys. Objekt
math. Symbol
Darstellungen
phys. System
Bauvorschrift, Handbuch aller Eigenschaften, ...
Zustand eines phys. Systems
j >
Tabelle, Zeichnung, math. Funktion ( (x; t))
^
Apparate zum Messen
A
siehe phys. System
^
memento 1: Zu jedem A gehort ein Bereich von Zustanden von den mittels A^
mebaren Systemen (d.h. Der Zustand mu im Denitionsbereich (HP ) von A^
liegen)
memento 2: Jeder Apparat deniert einen physikalischen Begri
Normale Messung: A^ j > = j 0 > macht aus einen Zustand einen neuen
L+ ∆L
L
Abbildung 2:
Zustand. Als Beispiele dienen verschiedene physikalische Systeme
j >; j 0 > 2 fH g
H := Menge aller denkbaren Zustande von
Sonderfall: A^ j >= const j >
falls: A j 'i >= consti j 'i > i=1,2,...
, Hilbert-Menge
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Schwingung
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WAND
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Stangen-
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zaun
Abbildung 3: Anschauung eines Pollters, Seil: , Zaun: A^
'i 2 H
j 'i > Eigenzustand zu A^ von (Zustand auf den A^ nicht anspringt), ci Eigenwerte
12
U bung: schwingbares System in 1 Dimension
j >! (x; t) = Amplitude\
"
A^ := bilde die Fourier-Transformation
Einhüllende
δk
k
λ
t
δL
p
VL 23.10.95
Licht
Zustand =^
q
L = 4 x2 , x2
x Mittelwert
erinnern an Photoeekt: Licht: N Photonen jedes Photon deniert durch f ; ~p = hk = h 2 ;
Richtung d. E-Vektors; Wahrscheinlichkeitsaussage uber Ortg
Elektronen
Apparate betrachten: - die auf die Aufenthaltswahrscheinlichkeit9wirken.
Licht: ; ~p in x-Richtung >
=^ ^
E~ ~k = 0; B~ ~k = 0
> = = phys. System
~E; B~ gehorchen Maxwell-Gl. ;
j%>
~;
%E
~p ragt aus Blattebene raus
E
x
Abbildung 4: polarisiertes Licht: transversale Welle
Menge
aller Zustande: 2-dimensional H .
^
^= (Me-)Apparatur
13
Apparate:
S^ Sortierer:
| >
B^ Blende:
| >
^
S
| >
>
|
B
^
| 0>
^
| >
die Wege von
Sortierer &
Addierer (Superponierer)
sind umkehrbar
| >
A^ Addierer:
A
>
|
Z^ Zahler:
^
Z
| >
mißt Intensität
des eintreffenden
Lichts
Die Wege von Sortierer und Addierer sind umkehrbar und gehen bei einer
^
^
S
B
=
| >
| >
^
S
|
>
^
B
..
Abbildung 5:
Umkehrung in den jeweiligen anderen Apparat uber. P^ rojektor: P^"
j">
j%> P^" P^"
was macht der ? (man lese die Gleichung von rechts nach links, ope-
j"> P^" j">
rativ )
'
P^" (P^" j">)
P^" P^" = P^"
P^" P^! j%>
'
Idempotenz von Projektoren
P^" j!>= 0
P^" P^! = 0
Orthogonalitat
Superposition + Interferenz
Amplituden: i
Intensitaten: ji j2
Wird 2j "> durch eine Blende B^ ausgeblendet, so wird aus 4 = 0 mit dieser
Blende 4 6= 0
Superponierer: (Addierer)
λa| >
| >
^
mit. j %>; j !>; j ">2 H
λ b|
S
>
14
λ1| >
λ2| >
a
^
S
λ3|
^
^
S
A
>
ohne Blende an Stelle a
mit Blende an Stelle a
:λ 4 =
λ4 | >
B
λ5 | >
Z
^
^
0
: 4= 0
λ
Abbildung 6: Amplituden-Betragsquadrat =^ Intensitat j4j2 = 0
j ;> 2 H Ergebnis ist wieder ein Lichtstrahl
S^ Verknupfung zweier Zustande 2 H zu einem neuen Zustand 2 H
(jZustand 1> +jZustand 2>) = jZustand> 2 H + Verknupfungssymbol
in H fur Apparat S^
S^(P^! j %>; P^" j %>) = S^j %> =
Versuch/Idee: P^" + P^! =?
(P^" + P^! j %> = P^" j %> + P^! j %> = "j "> + ! j !>
= j %>
P^" + P^! = 1
j %>
j %>
= P^" j %> + P^! j %> mit j %> beliebiger Zustand
= "j "> + ! j !>
Verknupfung \+": (Eigenschaften experimentell prufen!)
?
ja > + jb > = jb > + ja > kommutativ JA!
ja > + (jb > + jc >) = (ja > + jb >) +
ja > = ja > reexiv
9
Null: ja > +j0 >= ja >
j0 >
jc >
als Zustand
assoziativ
^
B
9 Inverses: ja > + ja,1 > = j0 >
) die um Phasen-Verschobenen mitnehmen
\+" bezuglich H deniert fj >g, als eine Gruppe bezuglich
\+" (kommutative, Abel'sche Gruppe). \+" addiert Wahrscheinlichkeitsamplituden. H linearer
Vektorraum der physikalischen Zustande.
anderes System: jeder Zahler xi mit Breite x
P^ (xi; x)jp > = i(p) jxi; x >
Folgerungen:
jp >
R
Irgendwo ist das Elektron immer (Gewiheit: w = dx3 j'j2 = 1), gleiche
Aussagen:
w(jp >) = 1 - vor der Messung (jp >)
P w(jp >; jx ; x >) = 1 - nach der Messung (in jx ; x >)
i
i
15
| 0>
Elektron
^
x
p, e, me , s, ...,ϕ (x)
A
x3
x2
x1
Abbildung 7: Schirm: Pasterung mit Zahlern x
Pn P^ (x ; x) = 1;
i i
jp >
i=1
Pn (p)jx ; x >
=
i=1
Hintereinander ltern:
|e
P1
P2
|e1
i
i
P3 . . . |e n
|e2
Abbildung 8: Filterung mit je > einfallend & ja > ausfallend
I1 I2 I3 In
|Ie I1 I{z2 In,1}
wa =
w(
In
Ie
Produkt der Wahrscheinlichkeiten
) reelle Zahl abhangig von Amplituden Ae ; Aa
je >; ja >
| {z }
2 Objekte aus H
Erinnerung an R3: ~a; ~b;~c; : : : 2 R3
1.Verknupfung \+": ~a + ~b = ~c 2 R3
~a := (a1; a2; a3)
~b := (b1; b2; b3)
~c := (c1; c2; c3)
ci = ai + bi i = 1; 2; 3
2.Verknupfung \": ~a ~b = relle Zahl
(~a; ~b) ! 2 Zahlenkorper (reelle Zahlen)
Forderung: bei Transf. des R3 soll invariant bleiben
~a 2 R3 ! (a1; a2; a3)
~b 2 R3 ! : : :
n n
:= P P ai bi gij
i=1 j =1
R3:
linearer Vektorraum mit Metrik g ij
~a ~b := P ai bj gij = a b g
ij
Fur euklidische VR gilt die spezielle, weil diagonale, Metrik:
0
1
1 0 0
gij = B
@ 0 1 0 CA
0 0 1
Metrik
bi !
16
3
X
j
X
g ij bj ; also dann ~a ~b = ai bi
3.1 U bungen, die Erste
VL 25.10.95
3.1.1 U bung I
>
>
>
>
^
S
Überlagerung von
Wahrscheinlichkeitsamplituden
(Superponierer)
Frage: umkehrbar ?
3.1.2 U bung II
P^i2 = P^i
P^in = P^i P^i ::: P^i
P^i P^i = 0; i 6= j
betrachetn mit Hilfe (einer Basis : fj)i >g : alle j i >2 H
j : 1 orthogonal
mit < i j j >= ij = ii =
6= j : 0
und vollst
a
ndig
:
j >2 H beliebiger Zustand des Systems
P
j >= ni=1 ci j i >
3.1.3 U bung III
Ein Experimentator hat sich 10 Zahler gekauft zur Messung eines Elektrons: x 2
[0; 1]. Der zweite Experimentator kauft sich 20 Zahler, der dritte Experimentator
30 ... der n-te kauft n 10 Zahler
Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit w das Elektron in einem dieser Zahler zu
nden. Was ist ein vernunftiger limes in diesem Falle ?
3.2 Was bedeutet der Meprozess ?
j >2 H Wahrscheinlichkeitsamplituden
man prapariert j > durch einen Apparat (Gewiheit, da j > vorliegt)
Zwischenzeit
DYNAMIK
beschreibt die zeitliche Entwicklung solange nicht gemessen
wird
Messung: Meapparat prapariert einen neuen Zustand spezisch
f A^ mit die Wahrscheinlichkeit des Vorliegens
17
"+" U berlagerung von Wahrscheinlichkeitsaussagen
^
A
Addierer
Dimmer
"" Multiplikation mit Zahl
+ : ja > + jb > = jc >2 H
kommutativ, assoziativ 9j0 >: j0 > +ja >= ja >
9ja,1 >: ja,1 > +ja >= j0 >
Gruppe bzgl. der Addition, H linearer Vektorraum
j
beliebig
aus H
|ψ>
^
A
d
> = P ci ji >
i=1
darstellen mit Basis
1; : : :; n = dimH
...
...
...
..| i >
...
..
fji
>; i =
bei Umkehrung braucht man Dimmer
Analysator
Wahrscheinlichkeit w(ja >; je >) reelle Zahl 0 =< w =< 1
Folge: Wahrscheinlichkeiten multiplizieren
|e >
^ | a 1> A
^ | a 2> A
^
A
1
2
3
.....
^
A
| a 3>
Abbildung 9: Hintereinander Ausuhrung/Anwendung
w(ja >; jan,1 >) : : : w(ja2 >; ja1 >) w(ja1 >; je >)
j' >; j
"
>2 H Skalarprodukt: s(j' >; j >)
#
j' >
< 'j
Vgl.: ~a; ~b 2 R2 Skalar invariant
2 H () HD
3
D
~
ket
bra
; Transformation:~aD 2 R2 ) ~aD b = c
18
|ϕ >
|ψ >
Skalarprodukt: < 'j >= c (Zahl)
2 Zum Vergleich:
66
(~aj~b)
66
66 (~aj 2 RD2 ; j~b) 2 R2
66
64
< 'j
j
>
3
77
j
77
j
77
~a 20R3a1 ; a2; a13
77
1 0 0
B
C
Euklid: gij = @ 0 1 0 A ) ai = ai 75
ai bi
ai = P gij a
0 0 1
3.3 Die Hintereinander-Anwendung, bra-ket Schreibweise
ja1 >
<a1 je>
Richtung Projektion von je > auf ja , 1 > := Zahl
Hinweis: Formeln von rechts nach links lesen !
ja >< aj : : :: : : ja3 >< a3 ja2 >< a2 ja1 >< a1 je >
ja >= A^n : : : A^3 A^2 A^1 je >
< aja >= 1 = A^2n : : : A^23 A^22 A^21 < eje >
2 w(ja >; je >) = A^a,e je > = <
| a{zjn >} <| njn{z, 1 >} 2 Zahl
Zahl
2
= < ajn > < njn , 1 > : : :
| {z }
:::
=1
2
2
< 1je > < 2j1 > = w(ja >; jn >) w(jn >; jn , 1 >) : : : w(j1 >; je >)
2
< ajb > = w(ja >; jb >)
P^i = ji >< ij
e1
a1 = (~a ~e1) ~a = a1~e1 + a2~e2
~a = (~a ~e1 )~e1 + (~a ~e2 )~e2
= ~e1 (~e1 ~a) + ~e2 (~e2~a)
= j|e1 ><
{z e1} ja >
=P^1
~a = P^1ja > +P^2ja >
P^1 + P^2 = 1
Die Wahrscheinlichkeiten sind reell:
2
w(je >; ja >) = < aje > =< eja >< aje >
m
2
w(ja >; je >) = < eja > =< eja >< eja >
=)< aje >=< eja >
19
2
j3 >< 3j2 >< 2j1 >< 1je > a
e2
3.4 Konstruktion einer Basis
j
>=
d
X
i=1
ci ji >
d endlich oder abzahlbar unendelich
Wie kann man eine Basis erhalten ?
Schmidt'sches Verfahren liefert:
< 1j2 >= 0
j1 >2 H
j2 >:
< 2j2 >= 1
d
X
^
i=1
P^i = ji >< ij
Pi = 1 ;
ja >= 1 ja >=
j3 >:
d
X
^
d
X
Pi ja >=
ji > < ija >
i=1
i=1
H Wir suchen eine Folge von ja1 >; ja2 >; : : : 2 H
es soll gelten:
jq
>= lim
ja >
!0 < 1j3 >= 0
< 2j3 >= 0
< 3j3 >= 1
mit Laundex = 1; 2; : : :
; 0 N :Vollstandigkeit !
k q , q0 k< In endlich dimensionalen Raumen ist dies einfach:
Pd < ija > 2
Komponentenweise Konvergenz lim !1 < ija >!< ijq >
i
a
an
Abstand
q
Die oben geforderte Folge ist separabel, falls zu jedem jq >
Abstande ! 0 :
starke Konvergenz
Komponentenweise ! 0 : schwache Konvergenz
gefordert: Mewerte in der Physik sind stets reell
j
>=
d
X
i=1
ci jai >
<
20
j=
d
X
j =1
cj < aj j
9 jq
>! jq >
A^j > Apperatur prapariert Zustand
< jA^j >= P < aj jcj ciA^jai >
ij
man wahle Basisvektoren derart, da sie Eigenvektoren zu A^ sind
A^ : A^jai >= i jai > A^ reproduziere jai > bis auf eine Zahl
< jA^ > = P cj ci < aj jA^jai >
ij
P
= ij cj ci
<
| aj{zjai >}
=
orthogonale(
i
normierte Basis ij = 10 jj =
6= i
P jc j2 i
i
i
i
i mussen reell sein, damit \Mewert" < jA^j > reell wird.
Es gibt also in der Physik nur Apperaturen mit A^i jai >= i jai >; i reell
A^i heien Hermite'sche Operatoren
3.5 Wiederholung:
VL
P 30.10.95
>
j
2 H
j' > +j >= jc >
H linearer Vektorraum
j' >; j >; jc >2 H
!
Superponieren von Zustanden
Superponieren von Wahrscheinlichkeitsamplituden
9Assoziativitat, Kommutativitat, 9j0 >; ja >: 9ja,1 >
() Beugung von Elektronen
1 j "> p1 j !>
j > = p
Beispiel: zirkular polarisiertes Licht
2
2
9 Basis:
d
X
fji >gi=1;2;:::;d 2 H
j >=
iji >
9
i=1
Metrik, Norm:
j
>; j' >2 H ,! Zahl, unabh. von Basis-Transform.
j >
< j 2 HD
,!
h
ket
bra
8wenn
j' > vorlag, wie ist dann die
>
<Wahrscheinlichkeitsamplitude,
< j' > =^ >bei einer Messung von j >; j da
>
:vorliegt.
Transformation in H =) kontragrediente Transformation in HD
21
i
P^j
| {z>} j' > =
><
| {zj' >}
j
Zahl
:=j >< j
< j >= 1 Gewiheit, normiereter H
<j>=ij
Basis ! fj >g=1;2;:::;d 2 H orthonormierte
Basis
H :
Folgen von jai > i = 1; 2; : : : im Hilbert-Raum
2 2
n; m > N : > jan > ,jam > < an jam > ! 1
Die Folge hat einen Grenzvektor ja >2 H, H ist vollstandig, 8jb >2 H
separabel
9 Folge
3.6 Apperaturen
3.6.1 Hintereinanderausfuhren von Messungen
|ψ >
^
^
|ϕ >
A
B
Das nacheinander Ausfuhren von Messungen, wird beschrieben durch das Nach|ψ >
einanderanwenden der Operatoren: B^ A^
^ A^] = Kommutator
B^ A^ , A^B^ = [B;
3.6.2 Paralleles Ausfuhren von Messungen
^
|ψ >
A
|ϕ >
^
A^ + B^ = B^ + A^
B
(A^ + B^ )j >= (A^j > +B^ j >)
Eigenwertgleichung:
A^ : gesucht A^jai >= aijai >
A^j >2 H
jai > i = 1; 2; : : :
ai = aj oder ai 6= aj
Beispiele:
Elektron: Impuls p, P^ , jp > schreiben als: P^ jp >= pjp >
22
^
B
^
A
|ϕ >
A^jai >= i jai >
Losungen der Eigenwertgleichung:
A^jai > 0ai jai >
fjai >gi=1;2;:::;d bilden vollstandige Basis
^
A =? darstellen mit Hilfe seiner Eigenzustande
>=
j
X
i
|{z}i
Komponenten
jai
>
von links mit < aj j multiplizieren liefert:
< aj j >=
X
i
falls orthonorm.
=) Basis
i < aj jai >
i
ja1 >< a1 j + ja2 >< a2 j + : : : + jad >< ad j
|ψ >
ψ 1 |a1 >
ψ 2 |a 2 >
^
A
1
2
1
2
A^ := j "><" j
j' >= p j "> + p j !>
A^j "> = j| "><
{z " }j j "> =
A^
A^2 = A^ A^
j "> <" j ">
| {z } = 1 j ">
1
A^j !>= j "> <
| " j{z!>} = 0 j ">
Null
Eigenwertspektrum
Physikalische Mewerte sind stets reell ) ai Eigenwerte mussen reell sein.
jb >: A^jai >= ai jai > < ai jb >= < ai jai > ai = ai
| {z }
1
< bjai >=< aijA^+ =< ai jA^jai >=< ai jb >= ai
A^+ adjugiert zu A^ wirkt in HD
Wenn ein Operator < ajA^jb >=< bjA^+ja > dann nennt man ihn hermitesch:
A^+ = A^ selbstadjungiert. A^ hat reelle Eigenwerte: A^ ist hermitesch. Hermitesche Operatoren haben als Eigenzustande eine vollstandige Basis.
Operator A^ darstellen mittels (Apperatur-Aufbau) eines Satzes von Zahlen.
fji >gi=1;2;:::;d 2 H
Basis
< ijj >= ij
23
d
X
i=1
ji >< ij = 1
"
#
wende A^ auf ji > an und projeziere auf < ij. Skalarprodukt.
X
X
^
A^ 1j >= A^ 1 ji >< ij >= jj > <
| j j{zAji >} <| i{zj >}
A^j >= jq >2 H
ji
1
=:Aij
,!
i
A^ fji >g Aij = Matrix bzgl. fji >g
Beispiel: Schirm mit Zahlern gepastert zum Zahlen von Elektronen
∆x
Pd jx ; x >< x ; xj = 1
fjxi ;x>g
Elektron, p
Basis
x3
x2
x1
i
i=1
i
A^j >= berechenbar Sei nun speziell A^ einer dieser Zahler
A^ = jxi; x >< xi; xj Projektions-Operator x weglassen ...
A^j >=
X
ij
jxj
><
| xj{zjxi >} <| xi{zjxi >} < xij >
1
ij
Aij =< xi jA^jxj >=< xi j|xk ><
{z xk}j xj >= Aij ij =
A^
0A
0 1 0 1 0 ::: 1
11
C
A22
=B
@
A = B@ 0. 1. : : : CA = 1ij mit: < xijxk >= ik und < xk jxj >= kj
...
.. .. . . .
0
Oft wird Aij = A(i) = A(xi ) als Notation verwendet, da mit i = j ) Abbildung
auf diskrete gewhnliche Funktion
Sei nun ein Basiswechsel durch den bergang von lateinischen auf griechische
Buchstaben angezeigt:
fji >g
fj >g
Basiswechsel
i = 1; 2; : : :; d
,!
= 1; 2; : : :; d
Es ergeben sich zwei quivalente Darstellungen fr j >:
j
j
>=
>=
X z }|P {
i
X
ji >< ij j
>=
j >< j
>=
X
i
X
i ji >
j >
Multipliziert man die obere Gleichung von links mit < j erhlt man:
X
< j >= = < ji > i
< ji >=: Ui
i
Koezienten in der neuen Basis
=
! i
X
i
24
Koezienten in der alten Basis
Ui
i
1#
< 'j >=< 'j
=
X
X
i
ji >< ij
1#
< ' j >< =
X
ij
>=
1#
j
' (i)
X
< 'ji >< ij >=
i
>=
X
ij
X
i
'(i) (i) =!
X
' () ()
< 'ji > |< i{z
j > < jj > < j j >
} | {z }
Ui
Uj
X
(j ) U| i{zUj} =) Ui Uj = ij
P
ij ;mit Die letzte Folgerung ist notwendig, damit das Skalarprodukt wirklich skalar ist!
Uj = Matrix ,! U^ Operator:
U^ + U^ = 1 U^ + = U^ ,1
unitre Operatoren =^ Basistransformationen
VL 01.11.95
Abstraktes
Objekt
Basis
Darstellung
Beispiele
Z^ji>
fji>g
i=1;2;:::;d 2 H
ji >< ij
jxi
j
,!
P ji><ij=^1
>
>=P P ji ><
ij >= ji > (i)
j
i
vollstandig
>< xij
(xi)
<ijj>=ij
orthonormiert
8ij < ijA^jj >
A =^ (Aij )
A^
fji >g
>
< j J (x0i ; xj ) ij 1
.
.. 0
A
.
.
.
0
= J (xi ) ij
Jij =< ijJ^jj >=
j < ijj >= j ij
J^ji >= iji >
j
A^(xi ; xj )
i = 1; 2; : : :; d
=@
!
fj >g
= 1; 2; : : :; d
P
P
= ji >< ij >= j >< j >
i
P
P
= ji > (i) = j > ()
i
Ui :=< ji >
Ui =< ij > <
8; iBasis
j
25
, Basis i
>=< jU + U j >= 1
U^ + U^ = ^1 ; U^ + = U^ ,1 (hermitesche Operatoren A^+ = A^)
P
Eigenschaften der U^ : Ui Uj =! ij
1 =<
1 =
=
=
=!
1.
2.
X
X
< j >< j >
() ()
XX
X
i
XX
< ji >< ij >< jj >< j j >
j
(i)U
ij
X (i)
i
PU U = i j
ij
1#
>=
j
iUj
(j )
(i) ,!
PU U = i j
ij
U^ +U^ = 1; U^ + = U^ ,1
1#
A^ ,!< i j A^ j j > = Aij =< ij
=
=
=
X
X
X
X
j >< jA^
X
j
>< jj >
< ij >< jA^j >< jj >
Ui A Uj
Ui+ a Uj
^
= U^ + A^U^
A^ und U^ + A^U^ haben dieselbe physikalische Wirkung.
Verkettung:
P U U = fjUi >g ! fj >g ! fj >g ! : : :
i
i
4 Dynamik und Ortszustande
^
^
A (A ψ = ϕ )
ψ
Präparation
Neu-Präparation
Messung
^^ ψ )
^ ϕ =B
^ (B
A
B
Neu-Präparation
dynamische
Entwicklung
dynamische
Entwicklung
26
...
Zeitliches Nacheinander, Zeit als gewohnlicher Parameter.
Basistransformation: j (t) > aus j (t0) >;
t > t0 berechnen
(t) >=: U^ (t; t0 )j (t0) >
1 =< (t)j (t) >
=< (t0) U| + (t; t0{z)U (t; t0)} j (t0) >
! U + (t; t0 ) =
U ,1 (t; t0)
unitare Operation
=! < (t0)j (t0) >
ψ (t)
j
ψ (t0 )
Σ
U^ (t0; t)U^ (t; t0 ) = ^1
U^ (t3 ; t2)U^ (t2 ; t1)U^ (t1; t0) = U^ (t3 ; t0)
U^ (t; t) = 1
Zeitransformation, eine Eigenschaft des physikalischen Zustandes !
i
,
|{z}h
explizite Konstruktion: U^ (t; t0 ) = exp(
lin:Ansatz
z }| {
(t , t0 )
Konventionen
U (t; t) = e0 = 1
H^
|{z}
nochunbekannterOperator
U^ (t0 ; t)U^ (t; t0) = e, hi (t,t0)H^ e+ hi (t,t0)H^
statt nach U^ , suche nach H^
(eA^)+ = eA^+
U + =! U ,1
e(, hi (t,t0 )H^ )+ = e(+ hi (t,t0)H^
i
= e+ h (t,t0 )H^ + !! H^ + = H^
Das gesuchte H^ ist jedenfalls hermitesch, es ist also zu zeigen, da ein physikalischer Apparat existiert, der H^ mit.
eA^ = 1 + A^ + 2!1 A^A^ + : : :
(Taylor)
U^ (t; t0) = U^ (t0 ; t0) + @tU^ (t; t0)(t , t0 )
+ 2!1 @ttU^ (t; t0 )(t , t0 )2 + : : :
27
)
= 1^ + @t U (t; t0)(t , t0 ) + : : :
= ^1 + (t , t0 ) (, hi H^ ) U|^ ({z
t; t0 )}
1
= H^ + (t , t0 ) H^ + : : : fur kleine (t , t0 ) = t
U^ (t + t; t) = 1^ , hi t H^ t klein !
i ^ )j (t) >
j (t + t) > = U (t + t; t)j (t) >= (1 , tH
h
j (t + t) > ,j (t) >
i
= , h H^ j (t) >
t
ih @tj (t) >= H^ j (t) >
H^ ist die Erzeugende einer Zeittransformation
P^ = h @
E^ = ih@
i
x
t
Analogien zur Suche nach Bedeutung von H^ :
klassische Mechanik:
z. B.: Ortstranslation: x ,! x + a (Verschiebung)
U^ (a) = ea@x
2
U^ (a)x = (1 + a @x + a2 @xx + : : :) x
= x+ a+:::
@x ist nicht hermitesch, aber 1i @x ist hermitesch
U = eia( 1i @x )
'(x; t) = ei(kx,!t)
1 @ ' = k'(x; t) ' ist Eigenzustand zu 1 @
i x
i x
1
, @t ' = !'
'
ist Eigenzustand zu 1 @t
i
i
p =^ hk Impuls
E = h! Energie
p ! P^ ; E ! E^
28
t+ δt
t
EigenwertSpektrum
E3
E2
E1
Abbildung 10: Das Eigenwert-Spektrum
4.1 Dynamische Gleichung
ih@t j >= H^ j >
Schrodinger-Gleichung
mit H^ Hamilton-Operator (dynamischer Operator)
H^ j'n > = Enj'n >
'n Eigenzustande, n = 1; 2; : : :; d
^
< 'n jH j'n > = En < 'n j'n >
falls < 'n j'm >= nm , dann
< 'n jH^ j'n > = En, reell
H^ j'n(t) >= ih@t j'n(t) >
U = e, hi (t,t0)H^
H^ U^ (t; t0)j'n (t0 ) > = ih@t U (t; t0)j'n (t0) >
= ih(, hi H^ U^ )j'n (t0 ) >
= H^ U^ j'n (t0 ) >
U^ (H^ )H^ = H^ U^ (H^ )
U^ H^ j'n(t0 ) > = H^ j'n(t0 ) >
H^ j'n(t0 ) >= Enj'n(t0 ) >
Eigenwertgleichung
j
>0
d
X
n
j'n (t0 ) >< '(t0 )j
>
Mewert von H^ bezuglich beliebiger j >
< jH^ j > = H^
j >
=< (t0)j U| +{zHU} j (t0) >
U + U =1
29
X
= < (t0)jH^ j (t0) >=
=
X
nm
Hnm (n) (m)
nm
< (t0)j'n >< 'n jH^ j'm >< 'm j (t0) >
(m) :=< 'm j >
wenn j'n > Eigenzustande zu H^ :
X < jH^ j > =
(n) Em nm (m)
nm
X 2
=
En (n) = E
n
P Erwartungswert der Energie
2
nur bei Eigenbasis: E = En (n)
n
kinetische & potentielle Energie
ein Teilchen: H^ := 2P^m2 + V^
P^ = h @ als Basis jx >
X
< jH^ j > =
nm
X
=
nm
i
x
i
Hnm (xn) (xm)
2
< xm j(, 2hm @xx + V^ )jxm > n
m
5 Schrodinger - Gleichung
Vorlesung vom 06.11.95
ih@t j >= H^ j >
H^ j
n >=
H^ : Energie-Operator
En j 'n >
P
1 := n j 'n >< 'n j
<
^j
jH
>=
Einsetzen:
X
n;m
<
j 'n
X
n;m
>< 'n j H^ j 'm >< 'm j >=
X
n;m
(n)Hn;m (m)
(n)En < 'n j 'm > (m)
< 'n j 'm >= nm
falls
fj 'n
>gn=1d :< 'n j 'm >= nm ;
30
1=
X
n
j 'n
>< 'n j
^j
jH
<
|
>}
{z
=
Erwartungswert von H^ in j >
X
|
n
En 2
| ({zn) j}
Wahrscheinlichkeit;da j > in
{z
j
j'n > vorliegt
}
Mittelwert
Erwartungswert
der Energie
H^ j '(t) >= En j 'n (t) >
Denn:
i
j 'n (t) >= U (t; t0 ) j 'n (t0) >= e(, h (t,t0 )En) j 'n (t0 ) >
U^ (t; t0 ) = e( ,hi (t,t0 )H^ )
f (H^ ) j 'n >= f (En ) j 'n > , weil H^ H^ j 'n >= En2 j 'n >; : : :
Jeder beliebige Zustand:
j
>=
X
n
(n) j 'n > mit (n) :=< 'n j >
8n
+ U j ' (t ) >
< 'n (t) j 'n (t) >= < 'n(t0) j U| {z
} n 0
)
< 'n (t) j 'n (t) >
1
zeitunabhangig
< 'n j ih@t j >=< 'njH^ j >
'
ih@t (n) =
X
m
H (n; m) (m)
Fur jede beliebige Basis
fj 'n
>gn=1;2:::d
5.1 Beispiele
5.1.1 Beispiel 1
mit dim=2. Experimentelles Phanomen (Stern-Gerlach-Versuch):
Vollstandige Basis: fj">; j#>g
H
| >
Elektron
| >
fj i >gi=1;2 ;
j 1 >=j">; j 2 >=j#>
Diese Aufspaltungen im inhomogenen Magnetfeld zeigen alle punktformigen
(echt elementaren) Teilchen, zum Beispiel Elektronen, Quarks, Muonen,
Tauonen, . . .
Spin; j >= 1 j 1 > + 2 j 2 >
31
2
X
< i j j >= ij
A^ in H2 :
i=1
j i >< i j= 1
a11 a12
a21 a22
< i j A^ j j >= Aij =
!
2x2-Matrix
Jede noch so allgemeine Apparatur lat sich mit vier Zahlen beschreiben !
Gesucht: Besonders zweckmaige vier Matrizen als 'Basis' zur Formulierung
der Matrix:
!
1
0
Aij = a0 0 1 + a1 1 + a2 2 + a33 : 1 ; 2; 3 linear unabhangig
unendlich viele Moglichkeiten.
Die Pauli-Matrizen sind eine besonders einfache Moglichkeit: Die Spur der i
sei jeweils Null.
)
0 1
1 0
1 :=
2i =1
j
0
2 :=
,i
!
1 0
0 ,1
3 :=
i 0
!
\Norm"
>:
<1j > =
<2j > =
1
2
!
!
: 3
(1) =
(2) =
1
2
!
1
2
=
1 0
0 ,1
!
!
1
2
!
=
!
1
, 2
!
direkt polarisiert
!
1 = 0
1 j 1 > = 01 10
0
1
1 entspricht einem Apparat, der in drei Richtungen den Spin umkehrt, d.h.
den Zustand j1 > in den Zustand j2 > uberfuhrt.
5.1.2 Beispiel 2
j">
und j#> \koppeln" mit raumlichen Drehungen
z
Teilchen
Metallkugel
Wir drehen eine Metallkugel, auf der sich ein punktformiges Teilchen bendet,
das mit j 1 > prapariert ist.
32
Drehimpuls: L~ = ~r p~; Li;j = ri pj , rj pi
Wende 1an : ! j 1 > ! j 2 >
Realisierung durch Richardson, de Haas, Einstein: 1 - Realisator
umklappen
von B~ um Elektron
Die Rotation des Systems beginnt beim Umklappen des Magnetfeldes. Klappt
man den Spin um, so bewirkt das einen raumlichen Drehimpuls des Wirtes.
! "Kopplung von Spin und Drehimpuls"
J~
= |{z}
S~ +
L~
|{z}
|{z}
Gesamtdrehimpuls
Spin Drehimpuls des Wirtes
Raumlich: Senkrecht stehende raumliche Vektoren um 2 drehen
Spin: Senkrecht stehende Spinvektoren im Spinraum um \raumlich" drehen
Der H2 hat die Eigenschaft, da er nach 4 in sich uber geht. Der Spin ist
kein \Eigendrehimpuls".
U = exp hi l^+ s^ Drehungen eines ausgedehnten Objekts.
Hier bricht das Beispiel ab, weil die Behandlung des Drehimpulses zu
aufwendig werden wurde. Fortsetzung: Siehe Drehimpuls
5.1.3 Beispiel 3
Der Ort eines Teilchens
X
(Xi , X)
eindimensional
i
j xi ; x >=:j xi
fj xi
>g < xi j
>
0
>= (xi) = xi = B
@
j
>=
d
X
i=1
(x1) 1
.. C
. A i=1,2. . . d
(xd)
d ist abzahlbar unendlich
(xi) j xi >
< xi j A^ j xj >= A(xi ; xj ) = d d , Matrix
33
d
X
i=1
j xi
>< xi j= 1
X^ j| x{zi >} =
|{z}
Operator
Zustand
< xi j xj >= i;j
xi
|{z}
Koordinatenwert
j xi
>
f (X^ ) j xi > = f (xi ) j xi >
x ! 0 :
(x j > =:
j x)
:=
ih@t (x; t) =
i=1
x
j x; x >
(|{z}
x ) Wahrscheinlichkeitsamplitudendichte
rell
(x j A^ j x0) = A(x; x0)
d
X
1
p
Distribution von zwei Variablen
Z
H (x; x0) (x0) =
dx0 H (x; x0) (x0) Schrodinger-Gleichung
< xi j xj >= i;j
(x j x0 ) = 1x lim < xi j xj >
X
(Xi , X)
}j
i
Im Limes x ! 0 : Zwei Eigenschaften:
1) Die Wahrscheinlichkeit, da das Teilchen an irgendeinem Ort x zu nden
ist,Rgeht gegen Null (x j x0 ) ! 0
2) dx(x j x0 ) = 1
(x j x0) ist nur durch seine Eigenschaften erklarbar
= (x0 , x) Dirac-Distribution.
5.1.4 Eigenschaften der - Distribution
(x0 , x):
1) R 0 8x
2) dx(x0 , x) = 1
Zum Rechnen setzt man in jede Formel eine Folge ein, die aus geeigneten
Funktionen besteht:
R dx f (x) = 1
1
8
R WIeWas
f1
f2
x’
dx f1 (x0 ) = 1
8WieWas
...
34
5.2 Wiederholung
08.11.95
Spin:
0110
Erst nach -Drehung
~j = ~l + ~s
U^ = e, 2ilh ^
p
s2 = 12 h
Die Dierenz zwischen " und # betragt 1 h. Deshalb wird vermutet, da sich
111111
000000
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
der Drehimpuls um mindestens h andert.
+1/2 h
- 1/2 h
6 Darstellung algebraischer Objekte
Zahl: a = e0
e0 : Basiszahl
: Koezient
Vektor: ~a = | 1~e1 + {z2~e2 + : : }:
d , Summanden
mit Basis ~ei~ej = ij
Tensor: a = 0 e0 + 1e1 + : : :
|
{z
d2 , Summanden
}
P j~e )(~e j = 1
i i
i
i = (~ai j~a)
Damit konnen wir die Pauli-Matrizen in zwei Dimensionen zum Beispiel so
schreiben:
!
!
!
!
1
0
0
1
0
i
1
0
1 = 0 1 ; 1 = 1 0 ; 2 = ,i 0 ; 3 = 0 ,1
Konsequenz:
A^ : Basis in H := fjei >gi=1;2:::d
< eijA^jej >= Aij = Tensor zweiter Stufe
Aij =
d2
X
=1
(b)ij
35
i; j = 1; 2 : : :d
7 Ort und Impuls
Klassisch (x)
Quantenmechanisch (Ortsoperator X^ )
,!
X^
|{z}
jx >
|{z}
Ortsoperator Zustand am Ort x
=
x
|{z}
Koordinatenzahl
jx)
(xj >= (x; t)
Komplexe Wellenfunktion
1 =<
j
Z
Z
>= dx < jx)(xj >= dx (x; t) (x; t)
Z
dx j (x; t)j2 = 1
Gewiheit
jx) =
1
lim
x
;
x
>
i
x!0
x
X
i
jxi
< xi jxj >= ij
>< xi j = 1
1 < x jx >
(xjx0) = lim
i j
x!0 x
d
X
n=1
Z
< xnjxj >=
d
X
n=1
1 = lim
x!0 x ij
=) dx (xjx0) = 1;
Z
nj = 1
,!
dx jx)(x0j = 1;
(xjx0) = 0; 8x;x0
(xjx0) ist durch seine Eigenschaften deniert und entspricht der
Dirac-Distribution (x , x0).
(xj >= (x)
(xjA^jx0 ) = a(x; x0)
Weiterhin:
ih@tj >= H^ j >
Z
ih@t (x) = dx0 (xjH^ jx0) (x0j >
Z
ih _ (x) = dx0 H (x; x0) (x0)
Schrodinger-Gleichung in Ortsdarstellung
36
x’
x-x’
x
(x+(x’ / 2))
Beispiel: Ein nichtrelativistisches mechanisches Teilchen.
Klassisch
Quantenmechanisch
R x(t)
x^
ih _ = dx0 , 2hm2 @xx + V (x; x0) (x0)
p(t) 2
p^
2
p
^
H = 2pm^ + V^
(xj 2p^m jx0) =?
E = 2m + V
Impulszustande:
p^ = hi @x
p^jp) = pjp);
Z
dp jp) (pj = 1
(pjp0) = (p , p0)
Daraus folgt:
Z
dp (xjp) (pjx0) = 1
Z
Z
(xj >= (x; t) = dp (xjp) (pj >= dp (p; t) (xjp)
Z
(xjx0) = dp e h p(x,x0 )
i
Hier wurde die Distribution mit Hilfe eines nicht berechenbaren Integrals uber
eine Funktion dargestellt.Integraldarstellung:
Z
Z +1
+"
dx (x , x0) = 0;
dx f (x) (x , x0 ) = f (x0)
Z ,1
,"
dx (x , x0 ) = 0;
Z +"
,"
dx (x , x0 ) = 1
f (x’)
Z +1
,1
−ε
dx f 0(x)(x,x0)
x’
+ε
Kettenregel [(x,x0) f (x)] ,Z dx f (x) @ (x , x0) = 0
1
| x {z }
=
Distribution
37
Nun folgt die Darstellung mittels jx >, jp >:
x^:
Z
Z
x^j >= dx x^jx) (xj >= dx xjx) (x)
Z
x^j >= dx xjx) (xj >
Z
x^ = dx xjx)(xj
Z
x^ = dx jx)x(xj
Analog folgt fur p^:
Z
p^ = dp jp)p(pj
Ergebnis-Darstellung:
(x0 jx^x00) =: X (x0; x00) = (x0 j
Z
Z
Z
dx jx)x(xjx00)
= dx x(x0jx)(xjx00) = dx x (x , x0) (x , x00)
= x0 (x0 , x00)
(x0 jx^jx00) = x0 (x0 , x00)
(p0jp^jp00) = p00 (p00 , p0)
Aber was ist (x0jx^jx00):
Z
(x0 jx^jx00) = dp (xjp^jp) (pjx0)
Z
Z
= dp p(xjp) (pjx = dp pe h p(x,x0)
i
Z
Z
i
i p(x,x0 )
h
h
= p^ dp e h p(x,x0 )
= i @x dp e
=)
(xjp^jx0 ) = hi @x (x , x0 )
(p0jx^jp00) = h @ (p , p0)
i
Z
p
Z
p^j >= dp p^jp) (pj >= dp pjp) (p)
Multiplikation mit (p0 j von links liefert:
Z
0 jp) (p)
(p0jp^j >= dp p (|p{z
}
(p0,p)
(p0 jp^j >= p0 (p0)
ih @t j >= H^ j >
38
Mit (xj multiplizieren ergibt:
2
ih _ = (xj 2p^m + V
!
j
>
Z
2
p
^
= dp (xj jp)(pj > + dx0 (xjV^ jx0)(x0j > dx0
2m
Z p2
Z
ipx=
h
dp 2m e
(p) + dx0 V (x; x0) (x0)
Z
Einfachster Fall:
V (x; x0) = V (x) (x , x0 )
Z
dx0 V (x; x0) (x0) =) V (x) (x)
x’
V
(x-x’)
x
(x+x’)
Z
2
ih _ (x; t) = , 2hm @xx (x) + dx0 V (x; x0) (x0)
U ber alle Orte des Wellenpaketes wird zur selben Zeit mitintegriert. =) Kraft
auf das Wellenpaket. (x; t) enthalt die gesamte Information.
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
K
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
8 Einfache Systeme
13.11.96
39
ν 100
x*x
90
80
70
E
60
En
50
40
30
20
10
0
-10
-5
0
5
10
8.1 Harmonischer Oszillator
2
2 2
H^ = 2p^m + m!2 x
Losung der klassischen Bewegungsgleichung x = ,! 2 x
Triviale Losung: x(t) = x0 sin(!t)
Wie sehen die Eigenzustande jn > und die Eigenwerte En aus ?
H^ jn > = En jn >
p^ und x^ sind hermitesche Operatoren !
r m! ip^ a^ = 2h x + m! Vernichter
r m! ip^ +
^a = 2h x , m! Erzeuger
1 (,i[^x; p^] + i[^p; x^]) = 1
[^a; ^a+ ] = 2
h
Einfuhrung des \Nummer-Operators": N^ = a^+ a^
a^+a^ =
m! 2h
x^2 +
!
p^2 + i [^x; p^] = 1 1 m!2 x^2 , 1 = H^ , 1
m2! 2 2h
h! 2
2
h! 2
Was wir zeigen wollen
N^ jn >= Enjn >= njn >
\Hilfsrechnungen":
^ ^a] = [^a+ ^a; ^a] = a^+ [^a; ^a] + [^a+ ; ^a]^a = 0 , a^
[N;
^ ^a+] = [^a+ ^a; ^a+] = ^a+ [^a; ^a+ ] + [^a+ ; ^a+ ]^a = a^+
[N;
^ ^a+] + a^+ N^ )jn >= a^+ jn > +En ^a+ n = En+1 (^a+ jn >)
N^ a^+ jn >= ([N;
^ ^a] + a^N^ ) = En,1 (^ajn >)
N^ (^a+ jn >) = ([N;
) (^
a+jn >) und (^ajn >) sind ebenfalls Eigenzustande des Operators N^ mit
den Eigenwerten En+1 und En,1 . Das heit: ^ajn >= cn,1 jn , 1 >. c kann
uber die Bedingung < njn >=< n + 1jn + 1 >= 1; < njn0 >= n;n0 bestimmt
werden.
j0 >:
40
Die Norm des Eigenzustandes mu positiv sein: jcj2 > 0.
Nun gilt:
< nja^+k N^ ^ak jn >=
k
Y
jcn,i j2
i=1
!
< n , kjEn , kjn , k >
)
En = n
Grund: Ware En 6= n , gabe es unendlich viele und nach unten unbegrenzte
Eigenzustande.
Wir haben also: H^ jn >= h! (n + 21 )jn >
1/2 hω
Nun sollen
die c's berechnet werden:
a^jn >= ppnjn , 1 >
a^+ jn >= n + 1jn + 1 > (siehe U bungsblatt 6)
Explizite Form der Eigenzustande: j0 >; j1 >; : : :; jn >; : : :
Wir wissen:
j1 >= a^+ j0 >
^a+ j1 >= (^ap+)2 j0 >
j2 >= p
2
+n 2
jn >= ^apn! j0 >
(x)
p
Wegen < njn0 >
= n;n0 gilt < n0 ja^jn >= n n0 ;n,1
p
< n0ja^+jn >= n + 1n0 ;n+1
Auerdem gilt:
s
h (^a + ^a+ ) =
2m!
s
s
h r m! (2x) = x^
2m! 2m
i m2h! (,a^ + a^+) = p^
) < n0 jx^jn >=
s
s
h (pn 0 + pn + 1 0 )
n ;n+1
n ;n+1
2m!
p
p
< n0jp^jn >= i h m!
(
, n n0 ;n,1 + n + 1 n0 ;n+1 )
2
x^; p^ sind nicht diagonal in der Darstellung mit Eigenzustanden von H^
beziehungsweise N^
Nun gilt: a^j0 >= 0
In Ortsdarstellung:
r
0 x^ + ip^
< x0ja^j0 >= m!
2h < x j m! j0 >= 0
41
) (x0 + x20
d x0 j0 > = 0
| {z 0 }
dx0 ) <
0 (x )
0 s 1
@x0 = h A
m!
1
< x0j0 >= 0(x0 ) = 1 p
4
<
0j 0 >= 1
x0
2
, 12 xx00
e
Energie / Potential
Wahrscheinlichkeit
Grundzustand
Fur die angeregten Zustande:
< a0j1 >=< x0a^+ j0 >=
1 p
x0 , x20 dxd 0 < x0 j0 >
2x
0
..
.
< x0jn >=
1
1
p
41 2nn! xn0 + 2
d n e, 12
0 dx0
x0 , x2
x0 2
x0
H^ n (x) = En n(x)
p^2 + 1 m!2 x2
,
2m 2
Z
!
n (x) = En n (x)
n (x) n0 (x) = n;n0
Die Eigenzustande lassen sich mit mit Hilfe von Hermite-Polynomen schreiben:
r
= m!
h x
1 2
n n!), 12 m! 4 e, 2 H ( )
(
x
)
=
(2
n
n
h
@ n e, 2 Hermite-Polynom
Hn ( ) = (,1)ne, 2 @
n
Die Hermite-Polynome sind orthogonale Polynome.
Z1
,1
Hn0 ( )e, 2 d = 14 2n n! n;n0
42
@ 2 H , 2 @Hn + 2nH = 0
n
@ 2 n
@
H0( )
H1( )
H2( )
H3( )
H4( )
=
=
=
=
=
1
2
4 2 , 2
8 3 , 12
16 4 , 4 2 + 12
Bemerkung: Die Eigenwerte nicht hermitescher Operatoren a^ und a^+ sind
komplex. Die Eigenzustande werden als koharente Zustande bezeichnet.
a^j > = j >
8.2 Wiederholung des harmonischen Oszillators
ih@t j >= H^ j > Schrodinger-Gleichung
Z
ih@t (x; t) = dx0 H (x; x0) (x0; t) Ortsdarstellung
Zum Beispiel speziell fur ein Teilchen:
2
H^ = 2p^m + V (x; x0)
p = hi @x einsetzen:
2
H^ = , 2hm @xx
speziell:
Dann folgt:
V (x; x0) = (x , x0 )V (x)
Harmonischer Oszillator:
Eigenwertgleichung:
!
h 2 + V (x)
,
2m
ih _ (x; t) =
(x; t)
V (x) = 12 !2 x2m
H^
n = En n
En = h!(m + 12 )
m! 14 1
, q22 e, hi En t
p
h
(
q
)
e
n = h
n
n!2n
r m!
q :=
h
43
j n j2
hn : h0 = 1; h1 = 2q ; h2 = 4q2 , 2 : : :
= zeitunabhangig - stationarer Zustand
Z1
,1
hihj e,q2 dq =<
>= i;j
ij j
prufen:
i; j = 0; 1oder i; j = 0; 2 : Schraerte Flachen heben sich auf )
unabhangige Basiszustande stehen senkrecht aufeinander.
E0 = 21 h!; Ruheenergie
E
E
halbzahlig !
9
h
2
7
h
2
ω
a+
ω
n hω
Energiequant
n = 1,2,3...
ω
ω
5
h
2
3
h
2
1
2
t=0
(ganzzahlig !)
hω
|0>
|ψn >=|n>
Absorption
h ω -Speicher
Emission
Resonator für Energiequanten
Realisierungen:
a
Elektrisch geladenes Teilchen
Stern
Quark
Quark mit Flavour
Photon
Graviton
Gluon
Bosonen
,!
,!
,!
,!
Teilchen: j n > =^ jn >
+ + +
jn >= ^a
| a^{z a^ }
n
Strahlungsfeld:
j0 >
|{z}
Grundzustand
js >= jn >
+^b+
jn >= ^b|+^b{z
}
n
j0 >
|{z}
\V akuum00
Zeitabhangige, beobachtbare Zustande bekommt man nur, wenn man mehrere
Zustande uberlagert:
1j 1 > +2j 2 >= j >
44
j j2 = jj2 < 1j n
> :::
= j1j2jh1 j2 + j2j2jh2 j2
2 h1h2 e hi (E1 ,E2 )t + 1 h1 h2 e hi (E1 ,E2 )t
+
| 1
{z 2
}
=f (x)cos((E1 ,E2 ) ht )
= E 2,hE
1
2
f(x)
X
9 Zusammenhang zwischen der klassischen
Mechanik und der Quantenmechanik
x^; j >
Erwartungswert bilden:
Z
!
x(t)
Z
< jx^j >= dx < jx^)(^xj >
= dx xj (x; t)j2 = x^ = x = Mittelwert; Erwartungswert; Zahl
Basis des Ortsoperators: x^jx) = xjx)
Dieses Schema ist vollig unempndlich gegen hohere Potenzen.
Z
< jx^ j >= dxx j (x)j2
Wenn 1 nicht die Eigenbasis ist:
Z
< jx^j >= dp <
Z
Z
dp0 j p| ) {z (p} jx^jp0)(p0j >
Impulsbasis
Z
= dp dp0 (p) (p0)X (p; p0)
Z
Z
p^ =< jp^j >= dx dx0 (x)P (x; x0) (x0)
R
P (x; x0) = (xjp^jx0 ) = dp (xjp^jp)(pjx0)
45
Z
= dp p eip(x,x0)=h = h @x (x , x0)
i
Also folgt:
Z
Z
Z
Z
p^ = dx dx0 (x)@x (x , x0 ) (x0)
= dx dx0 (x , x0 ) (x) 0(x0)
Die Ortsableitung wurde auf das gesamte Integral umgewalzt.
p^ := hi @x
2
H^ =< jH^ j >=< j 2p^m + V^ j >
Z Z
= dx dx0 (x)H (x; x0) (x)
2
H (x; x0) = , 2hm (x,x0)@xx+V (x; x0) und falls lokales Potential :V (x; x0) = V (x) (x,x0)
Z
H^ = dx
!
2
(x) , h
@ + V (x)
2m xx
x^ :=< jx^j >
d x^ :=< _ jx^j > + < jx^j _ >
dt
(x)
,!
x(t)
,!
x_ (t) = v (t)
Der Operator x^ ist explizit zeitunabhangig
Wir wissen:
ihj _ >= H^ j >
^ + =< jH^
,ih < _ j =< jH
d
i H^ x^ , x^H^ = i [H;
^
! x^ =
dt h
h x^]
d A^ = i [H;
^ ^
^
dt
h A] + @t A
explizite Zeitabhangigkeit im letzten Term
2
2
^ x^] = p^ + V (x) x^ , x^ p^ + V (x)
[H;
2m
2m
= 21m (^pp^x^ , x^p^p^)
= 21m (^p[^p; x^] + p^x^p^ , [^x; p^]^p , p^x^p^)
46
Was ist [^p; x^] ?
Z
[^p; x^] =< jp^x^ , x^p^j >
Z
= dx dx0 (x)(xjp^x^ , x^p^jx0) (x0)
Z
Z
< jp^x^j >= dx dx0 (x)(xj hi @x x^jx0) (x)
[^p; x^] = hi
h h 1
^
[H; x^] = 2m i p^ , , i p^
h p^
= 21m p^hi 2 = im
m dtd x^ = p^
d x^ = p^
dt m
()
mx_ = p
10 Eichtransformationen
VL 20.11.95
klassisch: mx = ,rV ! die Dynamik andert sich nicht, wenn zu V (x) ein
konstantes Potential hinzuaddiert wird. Gilt das auch in der QM?
Es sei: ih@t j; t; t0 >= ( 2Pm2 + V (x))j; t; t0 >
Man erhalt fur das Potential V~ = V (x) + V0 in einfacher Weise den
2
ZustandsKET j; g
t; t0 >, da j; t;2 t0 >= U (t; t0)j >= e, hi ( 2Pm +V (x))j >
denn es folgt: j; g
t; t0 > = e, hi ( 2Pm +V (x)+V0) j >= e, hi (t,t0)V0 j; t; t0 >
j
~; t; t0 >
und j; t; t0 > unterscheiden sich nurdurch einen Phasenfaktor. Die
Berechnung von Erwartungswerten wie z. B. < x(t) > andert sich nicht
E ! E + V0
Wir betrachten folgendes Experiment: V1; V2 sind unterschiedliche
V1
I
Interferenz-
|α
Region
II
V2
47
Spannungen! In den Rohren wirken keine Krafte auf die Elektronen.
Rt
0
, hi dt0 V1h(t )
I : j; t; t0 >! e
t0
t
R
0
, i dt0 V2 (t )
II : j; t; t0 >! e
h
t0
t
1Z
h
j; t; t0
>
j; t; t0
>
Phasendierenz: = 2 , 1 = h dt[V2(t) , V1(t)]
t0
Die Phasendierenz kann man als Interferenz beobachten. Das obwohl keine
klassischen Kraft ausgeubt werden. Fur h ! 0 folgt, da unendlich schnell
oszilliert (d. h. wird Null).
11 Pfadintegral
Eine alternative Formulierung, die 1942 von R. P. Feynman entwickelt wurde.
Dirac: Die U bergangswahrscheinlichkeitensamplitude zwischen zwei
lokalisierten Zustanden
< xb ; tb jxa; ta >=< xbjU (tb; ta)jxa >
hangt \irgendwie" mit der klassischen Wirkung zusammen.
Erinnerung:
^ ) ist unitar:
Der Zeitentwicklungsoperator U (t2 ; t1) = exp(, hi (t2 , t1 )H
+
U (t; t0 )U (t; t0) = 1
Der Zeitentwicklungsoperator lat sich zerlegen
U (t2; t1 )U (t1; t0 ) = U (t2 ; t0)
t1
t0
t2
Wir zerlegen U (tb ; ta) in eine groe Anzahl N + 1 von Faktoren mit
innetesimalen Zeitabschnitten:
a
" = tn , tn,1 = (tNb ,+t1)
< xb; tb jxa; ta > = < xb jU (tb; tN )U (tN ; tN , 1) : : :U (t1; ta)jxa >
48
Gitterung der Zeitachse
Einfugen von 1'en:
)< xb ; tn jxa ; tn
1=
Z1
,1
Z1 Y
N
> =
dxn jxn >< xnj
mit xb = xN +1 ; xa = x0 ;
< xn ; tnjxn,1 ; tn,1 > =
=
dxn ] NY
+1
< xn ; tN jxn,1 ; tN ,1 >
n
=1
n
=1
,1
tb = tN +1 ; ta = t0
< xn je,i"H^ (tn)=h jxn,1 >
< xn je,i"(T +V )=hjxn,1 >
[
11.1 Die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel
e,i"(T +V )=h = e,i"V=h e,i"T=h e,i"2 X 2 =h2
)< xN je,i"H=h jxn,1 > =
"
=
=
=
Z1
,1
Z1
,1
Z1
,1"
< xjP >= eiPx=h
Z1
2
< xN je,i"V=h jx >< xje," 2Pm =h jxn,1 >=
,1
#
2
2n
P
P
e jPn >= e jPn >
Z1 Pn
2
d 2 h < xje,i P2m =h >< Pn jxn,1 >
dx < xn je,i"V=hjx >
,1
Z1
dx < xn je,i"V=hjx >
,1
Z1
dx < xnje,i"V=hjx >
,1
< xn je,i"V^ (x)=hjx > =
< xn
(BCH-Formel)
P2
d 2Pnh < xjPn > e,i" 2mn =h < Pn jxn,1 >
P2
d 2Pnh e,i" 2mn =h eiPn (x,xn,1 )=h
(xn , x)e,i"V^ (x)=h
#
Z1 Pn
d 2 h eiPn (x,xn,1 )=h,i"[T +V ]=h
n,1 > =
jei"H=h jx
< xb ; tb jxa; ta >=
An =
NX
+1
n=1
,1
Z1 h Y
n
,1 n=1
i Z1 h NY+1 Pn i , i
dxn
d 2 h e h An
,1 n=1
Pn (xn , xn,1) , "H (xn; Pn; tn )
N !1 "!0
Ztb
P 2 + V (x)
2m
A[P; x] = dt[P (t)x_ (t) , H (P; x; t)]
ta
49
x
klassischer
Pfad
xb
xa
t
ta
tb
Abbildung 11: Die Wahrscheinlichkeit ist auf dem klassischen Pfad am groten
An = 0 ) e,i hi An = 1 Beitrag
AN 6= 0 ) Oszillation, kaum Beitrag wg. Ausloschung
ublicherweise verwendet man folgende Schreibweise:
lim
Z1 h Y
N
N !1
,1 n=1
xZb ;tb
ih NY+1 Pn i xZb;tb
dxn
d 2 h =
D[x(t)]
D[P (t)]
n=1
xa ;ta
xa;ta
Das Pfadintegral lat sich noch vereinfachen:
Z1 Pn i " xn ,xn,1 2
d 2h e, h 2m (Pn , " ) = p 1
(U -Aufg.)
2 hi"=m
,1
Z hY
N
i
1
p dxn e, hi AN
)< xb ; tbjxa ; ta >= p
2 h i"=m ,1 n=1 2 hi"=m
1
mit AN =
NP
+1 m xn ,xn,1 2
( ( " ) , V ) und
n=1 2
R
A = dtL(x; x;_ t)
d. h. < xb ; tb jxa; ta >=
Z
D[x(t)] =
lim
N !1
Z
D[x(t)]e,iA=h
Z1 NY+1
,1 n=1
p dxn
2 hi"=m
Hinweis: In der Literatur auf verschiedene Darstellungen achten, fur
Phasenraum, : : :
Der Feynman-Formalismus bietet eine kompakte, anschauliche, aber leider
kaum berechenbare Formulierung der Quantenmechanik!
Z
(x00; t00) = dx0 < x00; t00jx0 ; t0 > (x0; t0)
50
Z
< x00; t00; >= dx0 < x00jU (t00; t0 )jx0 >< x0 j >=< x00jU (t00; t0 )j >
mit Transformation it ! = T1 T Temperatur ) Thermodynamik; t,T
bilden imaginare Ebene
In der statistischen Physik ist das Pfadintegral von groer Bedeutung!
12 Heisenberg-Bild $ Schrodinger-Bild
27.11.1995
Um aus dem Zustand zum Zeitpunkt t0 den Zustand zum Zeitpunkt t zu
berechnen, wendet man den Zeitentwicklungsoperator U^ (t; t0) an:
j (t) >= U^ (t; t0) j (t0) >
Der Zeitentwicklungsoperator U^ (t; t0 ) wird berechnet durch:
U^ (t; t0 ) = eh(t,t0)H^
Dabei erzeugt der Energie-Messapparat H^ die Zeitdynamik und ist im
allgemeinen zeitunabhangig. Der Erwartungswert A^ kann also umgeschrieben
werden:
A^(t) =< (t) j A^ j (t) >
=< (t0) j U + A^U^ j (t0 ) >
=< (t0) j A^H j (t0) >
Der Operator A^H ist im Gegensatz zu A^ zeitabhangig. Durch diese
Umformulierung kommt man zum Heisenberg-Bild, in dem die Zustande
zeitunabhangig und die Operatoren zeitabhangig sind. Das bereits bekannte
Bild, in dem die Zustande zeitabhangig und die Operatoren zeitunabhangig
sind, nennt man Schrodinger-Bild. Wir wollen nun ein Beispiel in jedem Bild
einmal durchrechnen:
Schrodinger-Bild:
m@t X^
= m@ht < (t) j X^ j (t) >
i
:
:
= m < (t) j X^ j (t) > + < (t) j X^ j (t) >
i i
^
^
^
^
= m < (t) j h H X j (t) > + < (t) j X , h H j (t) >
= m hi < (t) j H^ X^ , X^ H^ j (t) >
h
^ X^
= m hi H;
= P^
i
51
Heisenberg-Bild:
m@tX^
= m@t < (t0) j X^H (t) j (t0) >
= m < (t0) j @t X^H (t) j (t0) >
=< (t0) j P^H (t) j (t0) >
=< (t) j P^ j (t) >
= P^
13 Pragmatische Losungsverfahren fur einfache
Systeme im Ortsraum
Es liege ein System von einem Teilchen in einer Dimension vor, das einer
dynamischen
angigkeit unterrliegt:
P Zeitabh
j (t) >=
n j 'n (t) >
H^ j 'n (t) >= En j 'n (t) >
V(x)
x
E4
E3
E2
E1
Konditionierung
der DGl:
i En (t,t0 )
h
j 'n (t) >= e
j 'n (t0 ) >
Jetzt sind 'n (x) = (x j 'n (t0 ) > und En gesucht.
^
H'
! n (x) = En'n (x)
h 2 @ + V (x) ' (x) = E ' (x)
n
n n
2m xx
2m
, @xx 'n (x) = , 2 (En , V (x)) 'n (x)
h
Wir fuhren noch eine Variablentransformation durch (l ist die
charakteristische Lange des Systems):
x ! := xl
1
@x = @
@x @ = l @
So erhalten wir die DGl:
@'n () = , 2m2 (En , V ()) l2'n ()
h
, ,
52
q
Mit der dimensionslosen Wellenzahl kn = 2hm2 (En , V (x))l kommen wir so
zur dimensionslosen Schrodinger-Gleichung:
@'n () = ,kn2 'n ji
Die Losung dieser DGl ist bekannt, falls kn unabhangig von ist:
'n () sin (kn )
Sie
noch normiert werden:
R j'muallerdings
2 d = 1
(
)
j
n
13.1 Raten, Wissen, Nachschlagen
Die Losungen werden aus anderen Bereichen der Physik ubernommen
(!Literatur); dort gibt es verschiedene orthonormierte Basissysteme.
Bekannte Losungen sind zum Beispiel vorhanden fur folgende Potentiale V (x):
13.2 Graphisch numerisches Verfahren
Man wahlt irgend eine Energie E aus und lost die dimensionslose
Schrodinger-Gleichung. Gelingt es, die so gewonnene Losung fur 'n() zu
normieren, so handelt es sich bei E um einen Energie-Eigenwert. Dabei
V(x)
x
E’’’’
E’’’
E’’
E’
E
konnen folgende Falle auftreten:
E = E0 < E :
kn = i
'n() e
Dieses 'n() ist nicht normierbar, also E keine Losung.
E = E 00 = E :
Auch diese klassische Ruheenergie ist keine Losung.
E = E 000 > E :
Dieser Wert liegt im klassisch erlaubten Bereich. Die Losungen fur 'n()
oszillieren und sind fur ganz bestimmte En normierbar, weil sie dann fur
! 1 gegen Null gehen. Dies ist hier zum Beispiel fur
E = E 0000 = E1
der Fall
53
Lat man E jetzt weiter steigen, wird die Losung wieder nicht
normierbar bis man zum zweiten Energie-Eigenwert kommt, dann hat
die Eigenfunktion '2() allerdings schon eine Nullstelle (Knotenpunkt)
Man sieht also, da die Ruheenergie E1 immer uber dem Potential V () liegt
und der Knotensatz in einer Dimension gilt:
'1() hat keinen Nulldurchgang
'2() hat einen Nulldurchgang
'n() hat (n , 1) Nulldurchgange
Bemerkung: Der Grundzustand ist stets nicht entartet. (Dies gilt in beliebigen
Dimensionen.)
14 Storungstheorie
14.1 Einleitung
Zu einem gegebenen Potential V (x) sucht man sich ein benachbartes Problem
V0(x), das bereits gelost ist. Es sind also die Energie-Eigenwerte En0 und die
Eigenfunktionen '0n() bekannt. Es gelten ferner die folgenden Beziehungen:
Oszillator
x
V(x)
(x j k >= 'k (x)
(x j ' >= '(x)
(k j ' >=P'k
j 'k >= 'k j k >
Taylor-Entwicklung der Eigenfunktionen und Eigenwerte:
j 'k >=j k > + j k(1) > +2 j k(2) > + : : :
Ek = Ek0 + Ek(1) + 2 Ek(2) + : : :
Das ist dabei kein spezieller Wert, sondern eine Flagge, die anzeigt, wie
klein ein Term ist. Dieser wird auch verwendet, bei der Formulierung des
Hamilton-Operators:
H^ = H^0 + W^
W^ ist das Storpotential, mit dem das bekannte System gestort wird, um zu
dem gesuchten System zu kommen. Aus
H^ j 'n >= En j 'n >
wird
^ also^ 0
(1)j '0 > + j '(1) >
H0 + W j 'n > + j '(1)
n > = En0 + En
n
n
54
29.11.95
14.2 Storungsverfahren
In diesem Kapitel werden praktische Rechenverfahren fur ein Teilchen in einer
Dimension behandelt.
H^ j n >= Enj n >
Ein verwandtes Problem sei bekannt und n ; En werden gesucht:
X
j
j k
X j k >= k (x)
X
jl > < lj k >
k >=
| {z }
l
k (l)
>= jk > +j k(1) > +j k(2) < + : : :
Ek = Ek(0) + Ek(1) + Ek(2) + : : :
H^ = H^ 0 + W^
W^ entspricht einer statischen, also zeitunabhangigen Storung. Das Problem
wird mit Hilfe der Methode der \ags" gelost.
< k0jW^ jk > +(Ek(0)0 , Ek(0)) < k0 j k(1) = Ek(1)k0 k
formales Ergebnis
14.2.1 Storungstheorie 1. Ordnung
Behandlung der Diagonalterme (k'=k):
Ek(1) = Wkk =< kjW^ jk >
ZL
ZL
(1)
Ek = dx 'k (x) W (x) 'k (x) = dx j'k (x)j2W (x)
0
0
Z
L
"
= L2
dx sin2 2kx
"
=
L
2
"=2
Die Korrektur ist fur alle Niveaus gleich gro:
Ek = Ek0 + 2"
Behandlung der Nichtdiagonalterme (k'6= k):
Wk0 k + Ek(0)0 < k0j
55
(1)
k >= 0
ϕ2 (x)
E 02
0
V (x)
ϕ1 (x)
E 01
111111111
000000000
000000000 ε
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000L
111111111
L/2
< k0 j
(1)
k >=
Beispiel:
X
Wk0 k = Wk0 k ; E 0 := E (0) , E (0)
kk
k
k0
(0)
Ek , Ek(0)0 Ek0 k
X 0
j k >=
jk >< k0 j k >
k0
< k0j j k >= jk > +j k(1) >
0 (1)
0
< k0j k >= <
| k{zjk >} + < k j k >
k0k =0
1(x) =
X
k0 ; k0 6=1
'k0 (x) WEk010 + '1(x)
k1
ϕ1
k’
ϕk’ (x)
11111111111
00000000000
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
'1 (x) = '1(x) + '2 (x)
XZ
X
L
W (x)
dx0 'k0 (x) '1(x) E0
k01
k0
Je groer k'-k ist, desto kleiner ist Wk0 k .
ZL
ZL
'
(
x
)
"
3
0
dx '2(x) '1(x) + E 0
dx0 '2 (x) '1(x) : : :
1(x) = '1 (x) + '2 (x) "
L=2
31 L=2
(0) = E (0) , E (0) = 22 2 , 12 2 = 3 2
E21
2
1
L2
L2
L2
2
2
2
2
(0) = E (0) , E (0) = 3 , 1 = 8 2
E31
3
1
L2
L2
L2
" L2
1(x) = '1(x) + '2 (x) 3 2 Integral31 + : : :
4
2
2
= '1 (x) + '2 (x) 9 + '3(x) , 225 + : : : ;
= 2m(h=L)2
56
14.2.2 Storungstheorie 2. Ordnung (1. Ordnung sei bereits
ausgefuhrt)
Aus den 2 -Termen fur k'=k und k'6=k folgt:
Ek = Ek(0) + Wkk +
j l
>= jk > Tk +
1
X
l=1;
1
X
Wlk2
(0)
l6=k Ekl
jl >
Rlk
l=1; l6=k
1
2
X
Wmk
Tk := 1 , 12
(0)
m=1; m6=k (Ekm )2
a0
a
0 1
X
W
Rlk := lk(0) + @
Ekl
m=1;
1
Wlm Wmk A , Wlk Wkk
(0) (0)
(Ekl(0))2
m6=k Elk Ekm
14.3 Variationsverfahren
Gesucht:
H^ = H0 + W
H^ jn >= En jn >
(xjn >= 'n (x) und En
|ψ (α)>
|ψ(αoptimal)>
| ϕ1 >
Probiere alle j > durch, dann ist j'1 > dabei.
a) Suchkriterium fur j'1 > -Suche
b) Geeignete und insbesondere endliche Untermenge des Hilbert-Raumes H
suchen, die alle Vektoren aus H enthalt.
Dazu sind mehrere Schritte notwendig:
57
-Deniere eine diskrete Untermenge von Zustanden
-Parameterraum aufspannen: | 1 ; 2;{z: : :; n} (reell)
-Testfunktion (x; ~)
Zum Beispiel x 2 [0; L]:
~
r2
x
(x; ~) = L sin L 1 + f (2 ) + : : :
Gesucht:
1
X
n=0
< (~ )jH^ j (~ ) > = ?
< (~ )jH^ jn >< nj (~ ) >=
1
X
n=0
1
X
n=0
En < (~ )jn >< nj (~ ) >
Da 1 =
= E1 < (~ )j1 >< 1j (~ ) > +
= E1
< (~ )jn >< nj (~ ) > +
< (~ )jH^ j (~ ) >= E1 +
1
X
n=0; n6=1
1
X
n=0; n6=1
1
X
n=0; n6=1
|
P jn >< nj und < njn0 >= nn0
En < (~ )jn >< nj (~ ) >
(En , E1) < (~ )jn >< nj (~ ) >
2
(|En {z
, E1) j < nj (
}|
{z~ ) > j }
0
{z
0
0
}
^
<
| (~ )jH{zj (~ ) >} E1
Variation:
Schatzwert von ~
~ < (~ )jH^ j (~ ) >= 0
(
bester Schatzwert ~ = ~ optimal
Bemerkungen:
- E1 , E1(~ ) ist unbekannt
- Fur j 1 > steht j 1(~ ) > als Schatzung zur Verfugung. Da j 2 > unbekannt
ist, ist eine Testfunktion 2 (~ ) notig.
< 2(~)jH^ j 2(~) >= 0; falls < 2(~ )j 1(~ optimal) >= 0
Im Prinzip ist es moglich, das gesamte Spektrum und alle Wellenfunktionen
zu bestimmen.
- Die groten durchfuhrbaren Rechnungen gehen bis n=5. Schon bei so kleinen
Werten hat ~ etwa 100 Parameter.
E1(~ ) =< (~ )jH^ j (~ ) > E1
(xj (~ optimial) >= ~ optimal (x); E1(~ optimal )
~ < 2(~)jH^ j 2(~) >= 0 ) E2(~optimal) < 1 j 2 >= 0
Dieses Spiel lat sich fur alle weiteren j n > fortsetzen. Da die einzelnen
j n > senkrecht aufeinander stehen m
ussen (Skalarprodunkt =0), ergeben sie
eine Basis im Hilbert-Raum.
58
|ψ2(βoptimal)>
|ψ2 (β) >
|ψ1(αoptimal)>
|ψ1(α)>
14.4 JWKB-Verfahren
(Jordan-Wenzel-Kramers-Brillouin-Verfahren)
04.12.1995
Bei diesem Verfahren handelt es sich um eine semiklassische Naherung. Zu
einem vorgegebenen Potential werden die Energieeigenwerte En und die
Eigenfunktionen n (x) gesucht. Es gilt die Schrodinger-Gleichung:
@xx + P 2 (x) = 0
P 2 = 2m (E , V (x))
Wir betrachten jetzt einen Zustand mit n >> 1, so da die Eigenfunktion sehr
viele Knotenpunkte hat, und greifen uns einen schmalen Bereich (x), der nur
zwei Knoten umfat, heraus: In diesem Bereich andert sich V (x) nur sehr
En
Wellenlänge
E
E-V(x)>>0
V(x)
x
x0
wenig, so daman es linear annahern kann:
V (x) = V (x0 ) + V 0 (x0 ) (x , x0)
Man kann sogar sagen:
V (x0) >> V 0 (x0) (x , x0 )
Im Bereich (x , x0 ) < (x) gilt also:
V 0 (x0 ) (x) << 1
V (x0 )
59
0
0
0
p
=) VV 2k = VV 2P = VV p 2 h
2m << 1
E , V (x)
h
=) V 0
<<
p
p
2m E , V (x) V
2 h
Als Losung in0. N
nehmen
wir den Ansatz:
Raxherung
i
0
0
(
x
)
exp
dx
P
(
x
)
h x0
Die Ableitungen sind:
0 = i P (x) 00 = ,h12 P 2 (x) i P 0 (x) h
h
Eingesetzt in die SG:
i
1
1
= 0
, 2 P 2 P 0 + 2 P02
h
h
h
=) P 2 (x) = P02 (x) ihP 0 (x)
Gesucht ist die Losung P (x) der nichtlinearen Dierentialgleichung fur P (x).
Gegeben ist:
P02 (x) = 2m (E , V (x))
Wir werden die Dierentialgleichung nur naherungsweise losen. Wenn P 0 = 0
gilt, so ist die Losung einfach:
P 2 (x) = P02 (x)
Andernfalls nehmen wir an, da P 0 sehr klein ist. Dann kann man ansetzen:
P1 (x) = P0 (x) + 1
=) P12 = P02 + 21 P0 + 12
Damit gilt in 1. Naherung (weil 12 sehr klein ist):
2
2
1 = P12,P P0
0
0
i
P
= 2h P
0
d ln P
P1 (x) = P0 (x) 2ih dx
0
Als Losung in 1. Naherung ergibt sich also:
(x) exp
iZx
Z
0 0 0 P0 ,x0 , 1 x dx0 P0 (x )
dx
2
h
P (x0 )
0
Zur Veranschaulichung formen wir dieses noch etwas um:
1 Rx 0 d
R
i x
e h dx0 P0 (x0) e 2 dx dx ln P0
i Rx
= e h dx0 P0 (x0 ) p 1
P0 (x)
Der erste Faktor ist der oszillierende Phasenterm und der zweite Faktor die
Amplitude. Das Betragsquadrat der Zustandsfunktion ist umgekehrt
proportional zur Geschwindigkeit:
j j2 P01(x) mv1(x) 1v
60
Amplitude
V(x)
E
Deshalb bricht das JWKB-Verfahren am klassischen Umkehrpunkt zusammen.
Um dieses Problem zuR umgehen, setzt
man die Funktion ins Komplexe fort, so
H
da man nicht mehr dx sondern dz mit z = x + iy berechnet.
An den Nullstellen von (x) kann man die Funktion linearisieren mit der
Steigung :
(x x0 ) = (x , x0 )
0=
0
= (x, x0 ) = (x,1x0 )
0
hat also Pole, wo (x) Nullstellen hat. Deshalb gilt wegen Cauchy:
H dz 0 = 2in,
wobei n die Anzahl der Nullstellen bzw. Polstellen ist. Auerdem gilt:
Zz
I
I
0
, Zz
, dz = dz dzd hi dz0P0 z 0 , 12 dz 0 dzd 0 ln P00 z 0
I
I P0
i
1
= h dzP0 (z ) , 2 dz P0
0
I
I P0
h
=) dzP0 (z ) = 2 hn + 2i dz P0
0
Betrachten wir den zweiten Summanden noch etwas genauer. Es gilt:
)
2
2P0
P
)
P0
P
I P0
h
0
)
2i dz P0
= 2m (E , V )
= 2PP 0
= ,2mV 0
= , mV2
P
= , , (m
z , zn )
= 12 (z ,1 z )
n
I
= 2hi 12 dz (z ,1 z )
n
61
= 2hi 12 2 2i
= h
So erhalten wir die BOHR-SOMMERFELD-Bedingung:
1
dzP0 (z) = 2h n + 2
mit dem klassischen Impuls: P0 (x) = 2m (e , V (x))
Dazu zwei Beispiele:
Potentialkasten: Hier gilt: P02 = 2mE
Dann mu uber folgendes Rechteck integriert werden:
I
P
x
L
I
dzP0 (z)
) En
p
= L 2 2mE
1
= 2 h n +
2
2
2
= 2hm L 2 n2 + (: : :) n + (: : :)
Man sieht also, da man nur eine Naherungslosung erhalt:
EnWKB = Enwahr + Rest; n2 >> n
Harmonischer Oszillator: Das Potential ist hier: V (x) = 21 m!2x2
Somit gilt:
p2 = 22m (E , V (x))
p + m!2 x2 = 1
) 2mE
2E
Das gesuchte Integral ist also die Flache der durch diese Gleichung
gegebenen
Ellipse:
q 2E
p
H
F = pdx = 2mE m!
2
) EnWKB = h!
Hier gilt: EnWKB = Enwahr
62
1
n+ 2
15 Quantenmechanik nichtraumlicher Variablen:
Drehimpuls und Spin
15.1 Drehimpuls
06.12.95
15.1.1 Literatur
Edmonds: Angular Momentum in Quantummechanics (Princeton University)
H.J. Lipkin: Anwendung von Lie-schen Gruppen in der Physik (BI-Verlag)
15.1.2 Exkurs
[^pi ; x^j ] = ihij
,!
^ljk := x^j p^k , x^k p^j
In der klassischen Mechanik gibt es verschiedene Variablentypen:
Skalare: m,q,: : :
Vektoren: ~x := (x01; x2; : : :; xd) 1
l11 : : : l1d
Tensoren: ljk := B
@ ... . . . ... CA mit deniertem Koordinatentransformationsverhalten
ld1 : : : ldd
A~x = ~x^ A sei Transformation im Rd
Aij xj = x^i
Arj Aik ljk = ^lri
Alternative oder koordinatenunabhangige Formulierung:
Skalare ,! Skalar / Skalarprodukt
,! 0-Formen
Vektoren ,! ~x d~x = x1 dx1 + x2 dx2 + x3 dx3
,! 1-Formen
Tensoren ,! ljk (d~x d~x) = ljk dxj dxk antisymmetrische Matrix ,! 2-Formen
Beispiele:
m
,! m
~x, ~p
,! x := xi dxi; p := pj dxj
ljk
,! l : ljk dxj dxk
Da m,x,p und l skalar bezuglich Koordinatentransformationen sind und nie als
Integranden uber Punktmengen behandelt werden konnen (Man addiert ja
Zahlen !).
b
a
L
p ist ein \Linienintegrand" und l ein \Flachenintegrand"
Zb
a
~p d~x =
63
Z
L
p
e2
a’
ϕ
a
e1
Es gibt keine n d-Form, wobei d der Dimension des Raumes entspricht.
Es werde ein Operator U^ ('; e1; e2) eingefuhrt und ' bedeute eine Drehung
von ~e1 in Richtung ~e2 (Die ubrigen Achsen werden festgehalten). Dann ist
' ! 'ij ebenfalls eine 2-Form.
'jk
,!
' := 'jk dxj dxk
U^ := e hi 'l
d Anzahl der Komponenten
0
1
2
1
3
3
4
6
\' l \ mu ein Skalar werden.
~ b := ~bdx
~
Vorubung: a := ~adx;
Daraus folgt, da \ab" dann ebenfalls skalar werden mu.
~a~b = a1b1 + a2 b2 + : : : + ad bd
in Euklidischen Raumen
a = ai dxi b = bj dxj
a b = aibj dxi dxj = a1 b2 dx1 dx2 + : : :
a := (ai dxi ) = (a1 dx1 + a2 dx2) = a1 dx2 , a2 dx1 (d = 2)
Allgemeine Denition:
} := "i1 i2:::ip ip+1:::id dxip+1 dxip+2 : : :
dxi1 dxi2 : : :dxip
{z
|
p
(1; 2; 3; : : :; d) ,! Permutation ,! (i1; i2; i3; : : :; id )
d = 2 : a = a1 |{z}
"12 dx2 + a2 |{z}
"21 dx1 = a1 dx2 , a2dx1
=,1
=1
a |{z}
b = (a1 dx1 + a2 dx2)(b1 dx2 , b2 dx1 )
d,p
| {z
}
d
= a1 b1 dx1 dx2 , a2b2 dx2 dx1 = (a1 b1 + a2 b2) dx1dx2
64
2 , Form
Der macht aus einer p-Form eine (d-p)-Form.
In d=2 gilt:
Weiterhin gilt immer:
(a b) = a1 b1 + a2 b2
(a)b = ~a ~b
Das entspricht einer 0-Form, wenn a,b 1-Formen sind.
l := (lij dxi dxj ) = lij dx1 : : :dxd "ij m3 :::md
| {z }
ohne dxi dxj
d=2:
d=3:
l := (l12dx1dx2 ) = l12"12
= l12
l := (l12dx1 dx2 + l13dx1dx3 + l23dx2dx3 )
= l12"123dx3 + l13dx2"132 + l23dx1"231
= l23dx1 + l31dx2 + l12dx3 1-Form
~ ~l = (l23; l31; l12)
= ~ldx;
l ist in d=3 im wesentlichen ein Vektor ,! l = (d-2)-Form (\axialer
Vektor")
l l = l1 l1 + l2 l2 + l3l3 (d = 3)
l1 := l23; l2 := l31 l3 := l12
l
,!
2-Form
*l ,!
(d-2)-Form
l*l ,! (d-2+2)-Form
*l*l ,!
0-Form
15.1.3 Drehimpulsalgebra in der Quantenmechanik
^lij = x^i p^j , x^j p^i
,!
^l
^l ^l = ^l2
nennt man Operator \Drehimpulsquadrat"
Nun die Algebra der \Drehgruppe" oder der \Erzeugenden":
In d=3 Komponenten von l gilt:
[^li ; ^lj ] = ih"ijk ^lk
[l^2; ^li] = 0. Der Casimir-Operator \^l2" vertauscht mit jedem \Erzeugenden" ^li.
SATZ: Jede Transformationsgruppe ist in ihren Eigenschaften durch
Angabe der Erzeugenden und deren algebraischen Eigenschaften
vollstandig festgelegt.
65
X^ i
Erzeugende
i = 1 : : :m
^
C Casimir-Operator = 1 : : :q
[C^ ; C^ ] = 0 ; [C^; X^ i] = 0; fur alle i
[X^ i ; X^ j ] = fijk X^ k ; fijk =^ Strukturkonstanten
Drehimpuls:
fijk = ih"ijk ;
q=1
C^ = ^l ^l = ^l2
)
Vorlesung vom 11.12.95
j
>! j (') >
Variable: '=^ ('ij ; i; j
8d)
[Transformation - Drehung]
Drehung um 'ij ; (i-Achse um den Wert 'ij in Richtung der j-Achse)
U^ = exp( hi | ('{z ^l)})
Skalar
Erinnerung: im R3 gilt
'=^ ('23; '31; '12) 2-Form
'=
^ ('1; '2; vp3) d-2 = 1-Form
^l=^ (l23; l31; l21)
^l=(
^ l1; l2; l3)
Algebra: (^l ^l)^
= : ^l2
= ^l1^l1 + ^l2^l2 + ^l3^l3
1 Casimir-Operator
Einschub:
Kommutator: [a; b] = [a; b], = ab , ba
Anti-Kommutator: fa; bg = [a; b]+ = ab + ba
Kommutatoren: [l^i; ^lj ], = ihijk l^k
Casimir-Operator: [^l2; ^li] = 0; 8i
(^l) (^l) = ih ^l
((l l)) l = 0
Algebra einer \Dreh"-Gruppe:
[J^i ; J^j ] = ihijk J^k
Jetzt berechnen wir das Spektrum:
66
[J^2 ; J^i ] = 0
1. J^i Erzeugende eines phys. Proz. =^ J^i ist hermitesch
J^i ja; b >= bja; b >
9 reelle Eigenwerte b
keine Vertauschung von J^i und J^k d.h. [Ji ; Jk ] 6= 0, also Entscheidung
treen, welche Erzeugende gewahlt wird: R3: J^3 ja; b >= bja; b >
2. 9J^2 - Meapperatur, ebenfalls hermitesch
J^2ja; b >= aja; b >
3. Berechnen . . .
^
^
< abjJ^32ja; b >= <
| J3 ab{zjJ3 ab >}
a>b2 0
Wir halten fest: a > b2
0
b max
b
4
b3
b
2
b1
gleiches a
b min
Abbildung 12: Multiplett-Schema
b i+1
"Erzeuger"
J := J1 iJ2
bi
Linearkombination
mogliche \Auf-" und
\Absteige-" Operatoren
aus [J^2 ; J^1] = 0 und [J^2 ; J^2] = 0 folgt [J^2 ; J^ ] = 0
^
^
Es gilt [J3; J ] = h J^ wie folgende Nebenrechnung zeigt:
J^3J^1 , J^1 J^3 J^3 J^2 iJ^2J^3 = ih J^2 J^1
J^2 = 12 (J^+ J^, + J^, J^+ ) + J^32
jetzt jeweils einsetzen von:
J^+ J^, = J^2 , J^32 + h J^3
J^, J^+ = J^2 , J^32 , h J^3
J^3 (J^ ja0b0 >) = (J^ J^3 hJ^ )ja0b0 >
= (J^ b0 h J^ )ja0b0 >= (b0 h )(J^ ja0b0 >)
J^+ heit Aufsteigeoperator
h
b0
h
67
J^2 (J^ ja0b0 >) = J^ J^2 ja0b0 >= a(J^ ja0b0 >)
keine A nderung des Eigenwertes durch den Operator J^2
Zustande: ja1; b1 >; ja2; b2 >; : : :
EW'e: : : :; b0 , 2h; b0 , h ; b0; b0 + h ; b0 + 2h; : : :
Abbruch-Bedingung: J^+ ja; bmax >= 0 J^, ja; bmin >= 0
b2 darf nicht uber a wachsen!
Mit J^, J^+ ja; bmax >= 0 , J^2 , J^32 , h J^3 ja; bmax >= 0
und dito fur die zweite Abbruch-Bedingung folgt:
(a , b2max , h bmax ) = 0
(,b2min , h bmin ) = 0
bmax = bmin + nh ) 2 Gleichungen ! a(n); bmin(n); bmax(n)
bmax = n2 h bmin = , n2 h a = n2 ( n2 + 1)h
Zweckmaiger Weise einfuhren: j = n2
b max
= j h a = j (j + 1)h
min
Quantenzahlen:
mj
=
f,j; ,j +1; : : :; +j g (2j +1) Zustande Abbildung zeigt das Spektrum bzgl. J^3 bzgl.
Multipletts zu gleichen a = j (j + 1)h
+j
...
-j+2
-j+1
-j
Anwendungen,in sehr verschiedenen Gebieten der Physik
15.2 Drehimpuls im R3:
J^3 ! ^l3
J^2 ! ^l2
jl; ml > Zustand zu deniertem ^l2 ; ^l3 Eigenzustand
(xjl; ml >=: glml (x)
+l
...
Spektrum
2l+1
ϕ
-l+1
-l
r
glml (x) = Rlml (r)lml () | lm{zl ('}) Separationsansatz
.
U^ (')jl; ml > U^ = exp( hi '3 ^l3) Drehung '12
U^ jl; ml
>=
i
exp( h '3 ml )jl; ml > aus expReihe
Eigenschaften des R3 :
' ! ' + 2
jl; ml >! jl; ml >
Einsetzen liefert: e hi 2ml h = 1 ) ml = ganzzahlig! fur raumliche Drehungen
68
Drehimpuls - Multipletts
j=0
j=1
j=2
..
.
..
.
15.3 Spin
J^2 ! S^2
Merke:
Drehimpuls Multipletts haben stets ungerade Anzahl von Zustanden
mj = 0
mj = (,1; 0; 1)
mj = (,2; ,1; 0; 1; 2)
J^3 ! S^3 zum Beispiel: Dublett (exp. aus
Stern-Gerlach-Versuch)
Ansatz: s = 12 ; ms = 12
n=1
,
j = n2 h
S^2 ) ( 12 ( 12 + 1))h
S^3 ) 12 h
abstrakter R3 oder E3: Winkeltransformation ei'3 S^3 jS; S3 >
(' + 4 ) = ('),weil ms halbzahlig!
j=0
j = 12
j=1
j = 32
mj = 0
mj = ms = (, 21 ; 12 )
:::
mj = ms = (, 23 ; , 12 ; + 32 ; + 12 )
..
..
.
.
Merke: Spin-Multipletts sind geradzahlig !
Konzept: Experiment besehen ! Algebra zuordnen ! Vorhersagen fur das
Experiment machen ! wenn Vorhersagen richtig ) das Experiment ist
quantenmechanisch verstanden
Beispiel: Das Hadron, speziell (schweres Nukleon)
m = 1236 MeV, =
3
2
3: + 32
++
+ 12 , 21
+ 0
Quartett
, 32
,
^3 ; ^2 = ^2 = ^12 + ^22 + ^32 ; i2 = ^i^i
2 j; 3 >= ( + 1)h
:= \Isospin"
Neuer Versuch: Y := Qmax + Qmin , maximale + minimale Ladung
: Y = +1
Y () = ,1
Y () = 0
Y () = 0
Y (N ) = 1
Gell - Mann - Nishijima - Relation: Q = Y2 + 3
in den 50er-Jahren Hadronen-Spektrum vorhergesagt
69
τ
-
0
Ξ0
-1
0
+1
Dublett
1/2
1197 MeV
1193 MeV
1189 MeV
1
Σ
0 Triplett
+
Λ
Singlett
1116 MeV
0
Dublett
939.6 MeV
938.3 MeV
1/2
0
n
p
+ :
τ3
= +1/2
n=N 0 :
τ3
= -1/2
p=N
1 Nukleon mit
2 Zuständen !
Abbildung 13: Multiplett mit 8 Zustanden = 72 ; 3 = (, 72 ; : : :; + 27 )
Y
n
Σ
+1
Σ
-1/2
-1
0
Λ0
-
Ξ
p
+
+1
+1/2
Ξ
-1
Σ
0
Vorlesung vom 22.01.96
16 Wiederholung der Zeitabhangigen
Schrodinger-Gleichung
2
iht (x; t) = (, 2hm + V (x; t)) (x; t)
70
τ3
Zeitentwicklungs-Operator: U (t; t0)
j; t0 ; t >= U (t; t0 )j; to >
Schrodinger-Gleichung:
ihtU (t; t0) = HU (t; t0)
1. H zeitabhangig
) Die DGL lat sich separieren, U (t; t0 ) = e,iH (t,t0 )=h
e, hi H (t,t0)j ; t0 >
X
i
= e, h H (t,t0 ( cn j'n >)
=
X
n
n
i cn (t,t0 )
,
cn (t0 )e h
j'n >
Beispiel:
H 6= H (t); H j; it0 >= j; t0 >
) U (t; t0) = e, h (t,t0 )
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
|ψ| 2
V
j
; t0 >= P cn j'n >
n
P jc
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
"freies Teilchen einsperren"
1=
n
n j2
2. H = H (t) [H (t1); H (t2)] = 0
Dir, bei welchen Systemen 2. gilt ?
kurze Nebenuberlegung:
cn =<
8t1 ;t2 2 R
nj
|ψ (t 0)| 2
(t0) >
Ausarbeitung: U berlege
2
H + :::
exp(H ) = 1 + H
+
1! 2!
exp(H1 + H2 ) 6= eH1 eH2 falls: [H1; H2] 6= 0
Rt
Ansatz: U (t; t0) = exp(, hi dt0 H (t0))
t0
t = t0 + 2t:
t0 +2
R t dt0H (t0)
'
t0
tH (t0) + tH (t0 + t)
) U (t0 + 2t; t0) = U (t0 + 2t; t0 + t)U (t0 + t; t0 )
Der exakte Beweis ist trivial
V(x,t)
Diskretisierung mit
Stufenfunktion
3. H (t1) und H (t2) kommutieren nicht:
71
Formale Losung:
tZn ,1
1 i Zt Zt1
X
n
U (t; t0) = 1 + (, h ) dt1 dt2 : : : dtnH (t1) H (t2) : : : H (tn)
n=1
t0
t0
t0
F. J. Dyson-Serie Beweis in der U bung!
17 Addition von Drehimpulsen
17.1 Wiederholung: Verschiedene Drehimpulse
1. Spin oder \Eigendrehimpuls"
Basis fj+ >; j, >g ublicherweise deniert durch EZ's von Sz
Die Operatoren
Sx = h2 fj+ >< ,j + j, >< +jg
Sy = h2 f,j+ >< ,j + j, >< +jg
Sz = h2 fj+ >< +j , j, >< ,jg
erfullen die Kommutator-Relationen fur den Drehimpuls
[Ji ; Jj ] = ih ijkJk
Ausarbeitung: Schreibe die EZ von Sy und Sx als Linearkombination der
EZ von Sz
S 2 hat nur einen EW, der 2-fach entartet ist. S 2 j >= 34 h 2 j >
Ausarbeitung: Schreibe die obigen Relationen im Pauli-Format auf
[J 2 ; Jk ] = 0
Nutzliche Operatoren:
J = Jx iJi
[J+ ; J, ] = 2hJz
[Jz ; J ] = hJ
[J 2 ; J ] = 0
J2 J ja; b > = ([Jz ; J] + JJz )ja; b >
= (b h)(J ja; b >)
[= J ja; b > +bJ ja; b >]
2. Bahndrehimpuls L = x p
Lx = yPz , zPy erfullt auch die Drehimpuls Kommutator-Relationen!
Allgemeine
EWGleichungen
d
u
r
DreJ 2 jj; m >= j (j + 1)h2 jj; m >
himpulsoperatoren,
J z jj; m >= mh jj; m >
m = ,j; ,j + 1; : : :; j ,
1; j
(j = 12 Spin-System, j ganzzahlig, ist z.B. Bahndrehimpuls)
17.2 Drehimpuls-Addition
Zustands-Ket von einem Spin 12 -Teilchen : jx; >= jx0 > j >
72
Spin-operator einerseits und orts- und Impulsoperator andererseits, wirken
auf unterschiedliche Subraume des Hilbertraumes.
) Ein beliebiger Orts- und Impuls-Operator f (x; P ) kommutiert mit
beliebigen Spin-Operator G(S ) : [F (x; P ); G(S )] = 0
)
vekL2; Lz ; S2 ; Sz
Welche Eigenschaften hat der Operator J = L + S = L 1 + 1 S ?
J ist wieder ein Drehimpulsoperator!
J 21; J 1z ; J 22 ; J 2z
1.
J12 jj1; j2; m1; m2 >
J1z jj1; m1; j2; m2 >
J22 jj1; j2; m1; m2 >
J2z jj1; m1; j2; m2 >
j1(j1 + 1)h2jj1; j2; m1; m2 >
m1hjj1; j2; m1; m2 >
j2(j2 + 1)h2jj1; j2; m1; m2 >
m2hjj1; j2; m1; m2 >
=
=
=
=
2. Eigenkets von J 21; J22 ; J 2 ; Jz
[J 2 ; J12] = [J 2 ; J22 ] = 0 [J; Jz ] = 0 bleibt zu zeigen !
) Die obigen Operatoren sind kompatibel!
jj1; j2; j; m > sind die EK von J 21 ; J22; J 2 und Jz
Die Transformation zwischen verschiedenen Basissatzen geschiet in der
ublichen Weise: (eine 1 einfugen!)
jj1j2; m1m2 jj1j2; jm > , Transformationskoezienten
Die Transformationskoezienten nennt man
Clebsch-Gordan-Koeffizienten und mussen in der Regel muhsam
berechnet werden.
Eigenschaften der CG-Koezienten:
1.
< j1; j2; m1; m2jj1; j2; jm >= 0
Jz = Jz1 + Jz2
fur m 6= m1 + m2
(Jz , Jz1 , Jz2 )jj1; j2; jm >= 0
)< j1 ; j2; m1; m2jJz , Jz1 , Jz2 jj1 ; j2; jm >= 0
, jm , m1 , m2 >< j1; j2; m1; m2jj1; j2; jm >= 0
) Behauptung
2. Clebsch-Gordan-Koeff. sind gleich Null, falls nicht gilt:
jj1 , j2 j j j1 + j2
Beweis: z.B. Gottfried 1986 S.215
73
18 Mehrteilchen Systeme
Vorlesung vom 15.01.96
H -Atom
He2-Molekul
He-Atom
1 Proton, 1 Elektron
2 He-Atome
2p, 2n, 2el.
..
.
..
.
18.1 Mehrteilchen-Systeme, 1.Teil
j
>2 H; iht j >= H^ j >
: Experimentelle Kenntnis der Zerlegbarkeit in Bausteine ist nicht eindeutig,
Beispiel: H7-Cluster
H7
H3; H2; H2
H; H; H; H; H; H; H
Z = 7 Aggregat +7 Elektronen +7 Protonen +7 Elektronen
11111
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111
räumliche
Struktur
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Methode: jeweils H^ konstruieren ! Schrodinger-Gleichung losen ! En
Gesamtenergien, j n > Gesamtwellenfunktion
H7 :
H^ = , 2Mh2H7 xx
H3 ; H2; H2:
H^ =
P2
2
2
, 2Mh H xH3 xH3 + (, 2Mh H xH2 i xH2 i) + V (xH3 ; PH3 iP1H2 ; x1H2 iP2H2 ; x2H2 )
3
2
i=1
z.B.: V = (, ( CH,3 ,H2 )6 + ( DH,3 ,H2 )12 ) +
H3
H2
H3
H2
2 C
X
H2,H2
i=1
V
rij
74
..
.
:::
7 Protonen, 7 Elektronen:
H^ =
7
X
h 2 x x x +X , h2 x x +X e2 +X e2 +X ,e2
,
i p i p i p
2me i e i e i;j jrip , rjpj i;j jrie , rje j i; jrip , rej
i=1 2mp
typische Naherungen: me mp
j
>=
(
j H7 > 1 Teilchen-Funktion
j H3;H2 ;H2 > 3 Teilchen-Funktion
(XH3 jC1XH2 jC2XH2 j >= (XH3 ;
..
.
andere Zerlegung analog
(xj >= (x)
x = Koord. des H7-Teilchens
1 XH2 2 XH2 )
18.2 Vertauschbare Operatoren
^ P^ ] = ih 1 Teilchen, 1 Diemension
[X;
[X^ ; P^ ] = ih ; ; = 1; 2; 3 mehrere Teilchen, N Stuck: i = 1; 2; : : :; N
[i X^ ; j P^ ] = ih 1 ij
18.3 Operatoren, die mit H^ vertauschen
t
gegeben. 2 Teilchen
Teilchen := f (x; t); m; s; e; s3; : : :g Liste seiner Eigenschaften, diese ist stets
endlich !
j : T1; T2 >: bei gleicher Quantenzahl-Liste heien die beiden Teilchen
identisch !
(6= klass. Physik: stets eine 1-lange Eigenschafts-Liste implizit vorrausgesetzt)
t
1111111
0000000
0000000
1111111
0000000
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000000
111111
000000
111111
000000Wechselwirkungs111111
000000gebiet
111111
Teilchen 1
Teilchen 2
Teilchen 1
Teilchen 2
wenn Teilchen 1 und Teilchen 2 identisch sind, ist keine Unterscheidu
P^ij j [1; 2; 3; : : :; i; : : :; j; : : :; N ] >= j [1; 2; : : :; j; : : :; i; : : :; N ] >
Vertauschungsoperator P^ij , N identische Teilchen
+ P^ j >
< j >=< P^ jP^ >=< j P|^{z
}
1
75
P^ 2 = 1
Eigenzustande zu P^ :
P^ j P^j'[1; : : :; N ] > 0pj'[1; : : :; N ] >= j'[1; : : :; N ] >= p2j'[1; : : :; N ] >
p = +1; p = ,1 2 Eigenwerte
H = HP =+1 HP =,1
Fragestellung in den 20er Jahren: vertauscht P^ mit H^ ?
^ H^ ] = 0; falls: j'[1; : : :; N ]; t = 0 > =) j'; t > 0 >
[P;
p = +1
p0 , 1
1. p=+1, Einstein (Paris), Bose
(a) Lichtquanten, s=1
(b) Gluonen, s=0
(c) Gravitonen, s=2
(d) Pionen
(e) He-Atome
2. p=-1, Fermi, Dirac
(a) Elektronen, s= 21
(b) Quarks, s= 12
(c) Protonen, s= 12
(d) Hadronen, s= 12 ; 23
(e) H-Atome
(f) He3-Molekule
experimentelle Erkenntnis:
1. alle bisher gemessenen Mehrteilchen-Systeme mit identischen Teilchen
haben stets scharfen Eigenwert zu P^ ; entweder zu p = +1 oder p = ,1
^ H^ ] = 0 8H^ ) es gibt keine Mehrteilchen-Systeme, die 1.) nicht
2. [P;
erfullen
Pauli: Spin-Statistik-Theorem:
identische Teilchen mit p=+1 haben stets ganzzahligen Spin
identische Teilchen mit p=-1 haben stets halbzahligen Spin
76
18.4 Konstruktion einfacher Mehrteilchen-Zustande
Einteilchen-Zustande
H^ := h^ 1 + ^h2
2
2
^h1 := , h 1 x 1x + V (1 x) h^ 2 := , h 2 x 2 x + V (2x)
2m
2m
es ist dann: j1; 2 >= j1 > j2 > Produkt zweier 1-Teilchen-Zustande
V(1 x)=V(2 x)
a
a3 4
a2
a1
h^ ji >= ai ji > Einteilchen Eigenzustande
Spektren der beiden Teilchen gleich, falls
H^ = h^1 + ^h2
E j1; 2 >= H^ j1; 2 >
E j1 > j2 >= h1 j1 > j2 > +h2 j1 > j2 >
E = a1 + a2
Summe der Einteilchen-Energien
j1; 2 >= j1 > j2 >, sondern (?) Linearkombination, soda:
P^ > 1; 2 > = j2; 1 >
1
j1; 2 >,! (1 P12)j1; 2 >
2
|
{z
Ansatz:
}
P12 ( 12 (1 P12))j1; 2 >= 12 (P12 P122 )j1; 2 >= 12 (1 P12)j1; 2 >
j1; 2 > = 12 (1 P12 )j1; 2 >= 21 (j1 > j2 > j2 > j1 >)
wahle spez. fur 10 2:
(
j1 > j1 >; falls p = +1
1
j1; 1 > = 2 (j1 > j1 > j1 > j1 >) =
0; falls p = ,1
p = ,1: 2 Teilchen konnen nicht im selben Zustand sein. Pauli-Prinzip
18.5 N-Teilchen
S^j1; 2; : : :; N >= j1; 2; : : :; N >+
X
S^ := p1
(+1)P P^( )
N ! P ( )
A^j1; 2; : : :; N >= j1; 2; : : :; N >+
X
A^ := p1
(,1)P P^( )
N ! P ( )
77
18.6 Einfache Streuprobleme
|ϕe >
11111
00000
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
0000000000
000001111111111
11111
0000000000
1111111111
begrenzte
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
|ϕ >
Reichweite
a
bekanntes Gegenbeispiel: Coulomb-Potential, V (r) ' 1r
18.7 Ein Teilchen, nichtrelativistisch
ihtj >= H^ j >= (H^ 0 + V^ (x))j >
Kausalitat: t ,! ; = 0; 1; 2; 3; : : :
H^ 0 ' , 2hm2 xx (mu linear in P sein)
18.8 N-Teilchen, nichtrelativistisch
17.01.96
Wir betrachten Mehrteilchensysteme, bei denen N Teilchen die gleiche
Eigenschaftsliste haben:
H^ (1; 2; : : :; N ); j > = j (1; 2; : : :; N ) >; p^ij j >Phys = j >Phys
[^pij ; H^ ] = 0 8 H^
Die Entdeckung, da p^ij mit allen H^ vertauscht, war in den zwanziger Jahren
eine groe U berraschung.
Warum gibt es diese Eigenschaft in der klassischen Mechanik nicht ?
Massenpunkt: fm; x(t)g (vollstandig lokalisiert)
N=2:
X 1 (t)
X 2 (t)
In der Quantenmechanik haben wir nicht lokalisierte Variablen:
x1; x2 2 VR
1(x1 ; t);
2(x2; t)
Es existieren nur zwei Klassen von physikalischen Mehrteilchensystemen:
a) Bose-Einstein-Teilchen, die alle einen ganzzahligen Spin besitzen
Eigenwert p^j >Phy = +j >Phy
b) Fermi-Dirac-Teilchen, die alle einen halbzahligen Spin besitzen
Eigenwert p^j >Phy = ,j >Phy
X P
S^j >= j >+ ; S^ = p1
(+1) P
N! X P
A^j >= j >, ; A^ = p1
(,1) P
N! 78
P0 sind Permutationen der Teilchen.
18.9 Konstruktion von Mehrteilchenzustanden
V0(x):
1-Teilchen:
En = Lh 22 2n2
'n(x) = p1 sin knx
L
kn = n
L
2
h = , 2hm @xx + V0 ; Basis : f'n(x)g
(1) >=
j
1
X
i=1
i 'i (x)
Darstellung eines allgemeinen Zustandes - andere Kurschreibweisen:
Zum Beispiel:
f1(t); 2(t); : : :g;
Nebenbedingung :
X
i
V(x)
3
2
1
V0 (x)
N=1:
Storungstheorie: V (x) = V0 (x) + W
Zum Beispiel:
>; H^ = H^ 0 + W^
H^ 0j'n >= En0 j'n >
H^ j n >= Enj n >
j
79
jij2 = 1
j 1 >=
X
i
f1; 2; : : :g; Nebenbedingung
N=2:
H^ =
i 'i (x)
:<
1j 1 >= 1 =
X
i
jij2
N
X
^
N
N
X
X
W^ +
W^ (^x ; x^; p^ ; p^)
|=1
=1
;
;
=
6
PN{z H^1 }
H0; +
=1
typischerweise W^ (j |ri ,
{z rj} j; j |pi ,{z pj} j)
r
p
W^ = W^ 0 (r)(1 , cp2); c > 0
Fermionen:
Basis:
H0j'n >= "0n j'n >
H1 j n >= "1nj n >;
j n >=
Aus 1-T-Zustanden 2-T-Zustande konstruieren:
1
X
n=1
n j'n >
W
1
H0
ε3
ε3
1
ε2
ε2
ε
1
1
ε1
Teilchen 1: j' >, Teilchen 2: j' >
A^j' >1 j' >2 = 21 (1 , p^12 )j' >1 j' >2
= 1 (j' >1 j' >2 ,j' >2 j' >1 )
2
1 j' >2 = j' (1; 2) >= S
00
= 12 jj'' >
A
\Slater , Determinante
>1 j' >2
j
2-Teilchen-Basiszustande:
(1; 2) >=
1
X
;
fS g;
p^ j (1; 2) >=
X
;
S
8;
p^ S = ,j (1; 2) >
80
N-Teilchen:
j
(1; 2; : : :; N ) >=
1
X
1 ;2 ;:::;N =1
1 :::N S1 :::N
Suche nach dem Grundzustand:
H^ j 0(1; 2) >= E0j 0(1; 2) >
X^
H1; +
X
;
!X
W (r ; r)
1 ;2
1 2 S1 2 = E0
X
12 S12
Parameterraum, in dem die Koezienten zu variieren sind:
12 ; 13; 14; : : :; 23; 24; : : :; 34; 35; : : :
Bei der Suche nach einer moglichst passenden Basis f'n (x)g ist Sorgfalt
geboten:
j (1; 2) >= 1 S12 + 2 S13 + 3 S23
Weitere Suche nach dem Grundzustand:
E0 =< S12jH^ jS12 > = < S12jH^ 1;1 + H^ 2;2 + W^ 12jS12 >
= 21 (< 1j1 < 2j2, < 1j2 < 2j1)(H^ 1;1 + H^ 1;2 + W^ 12 ) 12 (j1 >1 j2 >2 ,j1 >2 j2 >1 )
1 < 1j < 2j H^ j1 > j2 > =
1
2 1;2
1
2
4
1 ("0 + "0 + < 1j < 2j W^ j1 > j2 > , < 1j < 2j jH^ j1 > j2 >
1
2 12
1
2 |
2
1{z 1
1
2}
2 1 2
=, < 1j2 < 2j11j1 >1 j2 >2 "01
{z
}
|
0
E0 = 14 ("01 + "02 + 0 + 0+ < 1j1 < 2j2W^ 12j1 >1 j2 >2
, < 1j2
< 2j1W^ 12 j1 >1 j2 >2 + < 1j2 < 2j1H^ 1j1 >2 j2 >1 )
E0 = ("01 + "02 ) +
4
X
i=1
W , Terme (Wechselwirkungsterme)
P
Dadurch haben wir erkannt, da im allgemeinen E = i "i nicht gilt. Die
Besetzung der ungestorten Zustande ist eben nicht (1; 1; 0; 0; 0; : : :).
81
18.10 Zwei-Teilchen-Systeme
24.01.96
Wir haben:
H^ = ^h| 1 {z
+ h^ 2} +V (x1; x2) lokales Potential
H^ 0
Basis zu H^ 0 : H^ 0j n >= En j n >
2
^h1 = , h @x1 x1 + V (x1)
2m
2
^h2 = , h @x2 x2 + V (x2)
2m
Wir betrachten zwei identische Teilchen in einem Potential V(x). Die Basis
eines Ein-Teilchen-Systems (ja >,jb >,jc >) unterscheidet sich von der
Zwei-Teilchen-Basis:
ja >1 ja >2 ; ja >1 jb >2 ;
jb >1 ja >2 ; jb1 > jb >2 ;
..
.
..
.
:::
:::
...
Der Eigenzustand zu P12j > ist jedoch j >
Bosonen
Fermionen
A^(ja > jb >) = p1 (ja >1 jb >2 ,ja >2 jb >1 )
2
Eab = 12 (< aj1 < bj2, < bj1 < aj2 )(^h1 + ^h2 + h^ 12 )(ja >1 jb >2 ,jb >1 ja >2 )
^
= 12 ("a + "b ) + 12 (|< aj1 < bj2h^ 12 ja >1 jb >2 +
{z < bj1 < aj2h12jb >1 ja >2)}
00 direkte00 Wechselwirkungsterme
1 < aj < bj h^ jb > ja > + < bj < aj h^ ja > jb > )
2 12
1
2 {z
1
2 12
1
2}
2| 1
00
00
,
Austauschung
Es wird je ein Term ausgewertet: < aj1 < bj2h^ 12 ja >1 jb >2
Z
=
Z
dx0
1
Z
dx0
Z
2
Z
dx01 < aj1 < bj2x01 >< x01j)(jx02 >< x02j)^h12
Z
dx1 dx2 (jx1 >< x1j)(jx2 >< x2 j)ja >1 jb >2
dx0
2
Z
Z
dx1 dx2 a(x01 ) b(x02 ) ^h12(x01; x02; x1; x2) a(x1) b(x2)
^h12 (x01; x02; x1; x2) ist sehr oft = ^h12(x1 ; x2) (x01 , x1 ) (x02 , x2 ) + 12 (@x1 ,x0 )2h^ 12
1
82
Falls es sich bei ^h12 um ein rein lokales Potential handelt, lautet der direkte
Term:
Z
Z
dx1 dx2 ja(x1)j2 jb(x2)j2h^ 12 (x1; x2)
Sehr oft gilt:
^h12(x1 ; x2) = ^h12 (jx1 , x2 j)
| {z }
=jrj
Koordinatentransformation:
(x1; x2)
~r := x1 , x2 ; R~ := 12 (x1 + x2 )
,!
Der direkte Term lautet dann:
Z
Z
dr dR ja(r; R)j2 jb(r; R)j2 12 (r)
Im allgemeinen ist r << R. Deshalb ist eine Entwicklung nach der zweiten
Ordnung moglich, da die linearen Terme verschwinden.
Austauschterm analog:
Z
Z
dx1 dx2 a(x2 ) b(x1 ) h(x1; x2) a(x1) b(x2)
Transformieren und berechnen:
Zum Beispiel: h^ 12 (x1; x2) =
~r12
~r 6
ε0
-C + D
r6 r
W
W
Eab = ("a + "b ) + E
D + E
A
|{z}
|{z}
direkt Austausch
18.11 N-Teilchensysteme
H^ =
N
X
hi
+
X
hij
ij
|i=1{z }
{z }
|
1,Teilchen,Operator 2,Teilchen,Operator
+
X
ijk
hijk + : : : +
X
hi1 :::iN
i1 :::iN
| {z }
N,Teilchen,Operator
Gibt es N > 2 Potentiale ?
Als Beispiel soll ein Ar3-Cluster betrachtet werden. Dort hat jedes Teilchen
einen induzierten Dipol. Man unterscheidet zwischen zwei Fallen:
83
00000000000000000000000
11111111111111111111111
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1 2
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11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
1
3
r
V(r ,r )
2
- Elektrisch statischer Fall:
3
X
V (1; 2; 3) =
ij
Vij (xij )
- Diamagnetisch polarisierbarer Fall:
V (1; 2; 3) = : : : +
X
ijk
Vijk
Die Festkorperphysiker benutzen einen Trick:
Anstelle von
N
N
X
X
h(1; : : :; N ) = hi + hij + : : :
i
ij
versuchen sie, die experimentellen Groen 1 und "1 = EA mit angepassten
hi; hj zu optimieren:
h(1; : : :; N ) =
N
X
^
h1 +
i
N
X
^
ij
hij + : : :
Die sogenannte Konvergenzbeschleunigung funktioniert allerdings nur fur
einen sehr eingeschrankten Dichtebereich Materie ' Gleichgewicht
18.12 Zwei-Elektronen-System
Als Beispiel betrachten wir das Helium-Atom: Z=2, 2 Elektronen
Elektron=f'(x; t); s; msg
X3
11
00
00
11
00
11
00
11
m =S
1
2
Z=2
111
000
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
mS=
j
>=
X
m1 ;m2
1
2
111
000
000
111
000
111
Cm1 m2 < x1; ms1 ; x2; ms2 j >
84
P^12j >= ,j >
Fermionen
2 ]=0
^ S^tot
[H;
j >= (x1; x2)
(ms1 ; ms2 ) =S =1
(ms1 ; ms2 ) =S=0
Spin
p^12 = p^Ort
12 p^12
Idee:
=)
p^Spin
12 =
(
)
++
1
p2 (+, + ,+ )
,,
Eigenzustande zu S^2
Triplett
1
p (+, , ,+ )
Singlett
2
(
( h2 )2 Triplett
1 (1 + S^ S^ ) mit S^ S^ =
1
2
1
2
2
h2
( h2 )2(, 34 ) Singlett
)
9
8 1
< 2 (1 + h42 h42 ) = +1 =
=:1
4
h2
;
2 (1 + h2 (,3 4 ) = ,1
Spin
p^12j >= p^Ort
12 p^12 j >
P Spin
Ort
Antisymmetrisch P12 = , Triplett +1
Symmetrisch
P12Ort = + Singlett -1
Elektron:
(; Spin ; Isospin ) ,! j >= j > j > j >
(x1; x2) = p1 ('a(x1 ); 'b(x2 ) 'a(x2 )'b(x1)) Ortswellenfunktionsanteil
2
W (x1 ; x2) = = 12 (j'a(x1)j2j'b(x2)j2 + j'b(x1 )j2j'a(x2)j2)
|
{z
}
direkte Terme
2Re ('a(x1)'b (x2)'a(x2 )'b(x1 ) + : : :)
|
{z
}
Austauschterme
Die Austauschterme beschreiben die U berlappung der Wellenfunktion
ϕa
ϕb
X1 ,X 2
Vorlesung vom 29.01.96
85
19 Der Rest der Mehrteilchen . . .
Betrachten 2 Fermionen (z.Bsp. P
Elektronen)
s = 12 ms = 12 j >=
Cms1;ms2 < x1ms1 ; x2ms2 jd >
ms ;ms
P^12j >= ,j >
P^12 = P^12Ort P^12Spin
= (x1 ; x2) H^ hange nicht von den Spins ab (d.h. es ndet keine Wechselwirkung uber die
Spins statt).
8
>
< ++1 symmetrisch
= > p2 (+, + ,+ )
: ,, symmetrisch
0 1
1
""
j = 1 mj = B
@ 0 CA
,1
symmetrisches Triplett
oder
= f p1 (+, + ,+ )
2
"#
j = 0 mj = 0
antisymmetrisches (bzgl. P^12Spin ) Singlett
(
antisymm: ) Triplett
symm:
) Singlett
(x1 ; x2 ) = p1 ('A (x1)'B (x2) 'B (x1 )'A (x2)) + symm.,- antisymm.
2
Beispiel: He-Atom
2
2
2
^2 ^2
H^ = 2Pm1 + 2Pm2 , 2re , 2re + re = H^ 0 + H^ w
1
2
12
H^ 0 = P ^hi
i=1
ri := jxi j
r12 := jx1 , x2 j
2
1
r
Grundzustand E0 = "01 + "02
j 0 >=
S^ j'0 > j'0 >
B
A^ A
symmetrisiert oder antisymm., je nach Wellenfunktion
86
'A;B;C;::: = bekannte Wassersto-Zustande (mit n Hauptquantenz., l,
Drehimpulsquantenz. und m Magnetquantenz)
'0A = Grundzustand : jn = 1; l = 0; m = 0 >= j100 >
0
0(x1 ; x2)^= p1 B
@
2
100(x1) nlm (x2)
Singlett
Triplett
1
C
100(x2) nlm (x1)A
Im Sinne der Storungstheorie bzgl. H^ w sind dies die ungestorten
2-Teilchen-Funktionen
Betrachten jetzt den Fall, da das 2. Teilchen sich im Grundzustand bendet,
es gilt also n = 1; l = 0; m = 0 ) es ist ein Singlett-Zustand ! sonst: 6 9
Wellenfunktion
!
3 ,Z (r1 +r2 )=a0
Z
a0 = Radius des H-Atoms (Bohr-Radius)
0 = a30 e
2
H^ 0 = E00
E00 = 2|{z}
4 (, 2ea0 )
ohne H^ w 30mit H^ w in 1.Ordnung
8
Storungstheorie ergiebt sich:
E0 = E00 + E
Rechnung im Sakurai [8] S.367
E =<
0j
e2 j >
r12 0
Z
6
2
dx31 dx32 Z2 a6 e,2Z (r1 +r2 )=a0 re
12
0
r1 = jx1 j; r2 = jx2 j
Winkel :=6> (x1 ; x2 )
Ergebnis: E0 = E00 + E = ( 2ea20 ) (,8 + 52 )
= ,74; 8eV das Experiment liefert: ,78; 8ev
E =
Variationsrechnung: Z ,! Zeff variiert
(\Abschirmung") ) Zeff = 1; 69
Rechnungen fur niedrig angeregte Zustande:
E = E100 + Enlm + E 100 nlm
2
100 (x1 )j2 j nlm (x2 )j2 re12
2
(x1 ) nlm
(x2 ) re 100 (x2) nlm (x1 )
1 2 100
12
R
I := direkte Terme = dx31 dx32 j
R
J := Austauschterm = dx3 dx3 E = I
symmetrisch
antisymm.
J=
( Singlett
=^
Spin
Helium
Triplett =^ \Ortho"
+J
(1s) (2s)
(1s) 2
I
\Para"
-J
Para-Helium
Aufspaltung "" 6= #" obgleich H^ nicht vom Spin abhangt.
87
Para
Ortho
)
20 Young-Tableaux
P^12 j >= ,j >
Einteilchen Eigenschaftsliste, Elektron: j'A (x1); s; ms >
(1; 2) = Phi(x1 ; x2 )(s1 ;ms1 ; s2 ;ms2 )
man strebt an:
N = 2; 3; 4;: : : Verallgemeinerung fur mehrere Teilchen
weitere Quantenzahlen, z.B. jquark >= j'A (x1); 12 ; ms ; e; me ; f ; mf )
hier steht c fur colour (Farbe) z.B. \rot", \grun", \blau" und f fur avour (Geschmack)
Isospin: Nukleon:
n Proton
j'; s; ms ; ;m > = 12 ; m = 12 Neutron
P^12 = P12Ort
P12Spin
P12Isospin
symm.
symm.
antisymm.
FRAGE nach Zahl und Typ der moglichen
..
Gesamtwellenfunktionen, wird auch \book.
antisymm.
symm.
keeping-problem" genannt !
..
..
..
.
.
.
A. Young entwickelte im Jahre 1901 das nach ihm benannte Young-Tableaux. Im wesentlichen sind
bei der Aufstellung eines solchen Tableaux drei Regeln zu beachten:
Regel 1: Jedes Elektron wird durch ein Kastchen dargestellt, eine 1 steht fur Spin-Up, eine 2 fur
Spin-Down, Kastchen in der Horizontalen spiegeln einen symmetrischen Total-Spin wieder,
die in der Senkrechten einen antisymmetrischen.
1 Elektron:
:
1
2
Regel 2: Nach rechts mussen die Zahlen gleich bleiben oder groer werden.
2 Elektronen:
:
1 1
1 2
2 2
Regel 3: Nach unten mussen die Zahlen steigen.
Triplett: symmetrische Zustände
:
1
1
1
2
2
1
2
2
Singlett
Test mit 3 Elektronen: Andere Darstellung, z.B. fur 3 quarks:
u,d,s fur \up", \down", \strange", 3 verschieden Projektionen in einen abstrakten Raum
4
(uuu,uud,udd,ddd)
I = 32
Quartett
3
(uus, uds, dds)
I=1
P DEKUPLETT
Triplett
2
(uss,dss)
I = 12
Doublett
1
(sss)
I=0
nicht da! im Isospin-Raum!
00
P^12 0P^12Ort P^12Spin P^12u;d(\Flavour ) P^12\colour00
bei dem Quartett (uuu,.. . )
++ ; + ; 0 ; , Delta-Resonanz
experimentell ausgemessen (Grundzustand):
88
1 1 1
=
.........
= j = 3/2 ; m
= (3/2, 1/2, j
1 1 2
Quadruplett
1 2 2
2 2 2
=
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
Zustand existiert nicht !
1 1
2
=
1 2
2
Doublett
2 2
2
j = 1/2 ;
j=
mj = +/- 1/2
P12Ort (1; 2; 3) = +(1; 2; 3)
vernunftige Annahme, alle 3 quarks sitzen im selben Orbit
experimentell bestatigt
P12Spin (1; 2; 3) = +(1; 2; 3)
P12u;d (1; 2; 3) = , (1; 2; 3)
Widerspruch zur Fermi-Statistik !
) neue, Eigenschaft, neue Qunatenzahl \Farbe"
P12col: (1; 2; 3) = ,(1; 2; 3) antisymm. fur Singlett: ich brauche 3 Einstellmoglichkeiten:
\rot", \grun", \blau" =^ 1,2,3
Das ergiebt sich auch aus dem oben angesprochenen Young-Tableaux
1
2 Singlett
3
\man sieht nach auen vom Gesamtobjekt die Farbe nicht (\farblos")", alle bisher gemessenen
Objekte (Hadronen) sind farblos
1111
0000
0000
1111
00001111
1111
0000
1111
0000
0000
1111
gebunden !
Wie kommt man an die Farben ran ? Antwort: Heizen und verdampfen, T = 126MeV = 1; 2 1012 K
89
21 Das H-Atom
31.01.1996
Wir werden die Energieeigenwerte des H-Atoms berechnen. Der Hamilton-Operator lautet in diesem
Fall:
2 2
H = 2p , er
Wir rechnen in Schwerpunktskoordinaten und Relativkoordinaten,wobei die reduzierte Masse ist.
Zuvor stellen wir aber noch einige klassische Voruberlegungen an: Die Bahn des Elektrons beschreibt
eine Ellipse:
a
Perihel
b
Aphel
pa2 ,b2
Die Exzentrizitat der Bahn ist e := a . Die Energie
, E ist eine Konstante der Bewegung und
der Drehimpuls ist L~ = ~r ~p, L = 2ea2 , L2 = e2 a 1 , e2
Auerdem fuhren2 wir den Runge-Lenz-Vektor ein:
M := p L + err
Der Runge-Lenz-Vektor ist ein polarer Vektorm der immer auf das Perihel zeigt und ist eine
Konstante
der Bewegung, wegen:
:
:
M = p L + p L +2:Teil = :: : = 0
Wir kehren zuruck zur Quantenmechanik: ,Aus den Vektoren
~r, ~p, L~ werden die entsprechenden
Operatoren r^, p^, L^ . Aus M~ wird: M^ = 21 p^ L^ , L^ p^ , r ~r mit = Ze2
Dieser
ist hermitesch. Der Drehimpuls-Operator hat folgende Algebra:
L^ ; H^ Operator
^i sind die drei Erzeugenden der Drehgruppe
=
0;
L
i
L^2 ; H^ = 0; L2 = L2 + L2 + L2
1 2 3
L^2 ; L^ = 0; L^2 ist ein
Casimir-Operator
i
Eine
M;^ H^weitere
= 0 Erhaltungsgroe ist:
L^ M^ = L1,M1 + L2M2 + L3 M3 = M^ L^ = 0
M^2 = 2H^ L^2 + h2 + 2
man die Algebra der Erzeugenden der Drehgruppe
Wenn
^i ; L^j = ihijk L^k (3 Gleichungen)
L
L^2 ; L^ = 0 (3 Gleichungen)
i
und
M^i;die
Gleichungen
L^j = ihijk M^k (9 Gleichungen)
M^i; M^j = ih L^ 2H^ (3 Gleichungen)
ijk k zusammennimmt, erhalt man eine Algebra mit 18 Gleichungen, die man wie folgt umformen kann:
Zunachst betrachten wir nur einen Unterraum von V, indem wir nur die Zustande bei einem festen
En herausnehmen. Jetzt ist L^ geeignet, um die entarteten Zustande zu benennen. Der
Hamilton-Operator
wird zum Energieeigenwert En < 0, so daman M^ umschreiben kann:
p
M^ 0 = , 2En M^
Dann
die geschlossene Algebra nach Pauli:
M^ ; L^erh
a=ltihman
M
i
j
ijk
M^ ; M^ = ih L^^k
L^ i; L^ j = ih ijkL^ k
L^i2 ; L^j = 0 ijk k
i
Dies ist eine Gruppe mit den 6 Erzeugenden L^1 , L^2 , L^3 , M^1 , M^2 , M^3 . Nimmt man statt der L^i und
M^i jetzt noch die Elemente aus dem Dualraum:
90
E
Unterraum
Entartung
L^ ,! ^L; Li = rj pk , rk pj = Lkj
M^10 = L^14 ; M^20 = L^24 ; M^30 = L^34
Dann ergbt sich eine antisymmetrische Matrix mit 6 unabhangigen Komponenten. Diese Matrix ist
aus der, speziellen
orthogonalen d=4-Drehgruppe (SO4 ). Mit der Transformation:
^l := 12 L^ + M^ , k^ := 12 L^ , M^
kommt man zu einer entkoppelten Algebra:
k^l^i;;kl^^j == iihhijk lk^k^
i j ijk k
l^^li;;Hk^^j ==00
SO4 $ SO3 SU2
Also erhalt man:
l2 = i (i + 1)h2 , i = 0; 12 ; 1; 32 ; : ::
k2 = k (k + 1)h2 , k = 0; 12 ; 1; 32 ; : ::
l^2 und ,k^2 sind zwei
Casimir-Operatoren, fur die gilt:
l^2 = 41 L^ + M^ 0 2
,
k^2 = 14 L^, M^ 0 2
lk^^22;;l^ki^ == l^2k^;2k^;il^ ==00
i
i
L^ M^ 0 = 0
Zwei weitere Casimir-Operatoren
,
ergeben sich aus diesen:
c^1 := l^2 + k^2 = 21 L^2 + M^02
c^2 := l^2 , k^2 = L^M^ 0 = 0
Wirkt der Operator c^1 auf ein Element des oben denierten Unterraumes, so erhalt man den
Eigenwert:
c1q = 2q (q + 1)h2 , q = 0; 12 ; 1; 32 ; :: :
Rechnet, man c1 durch
Einsetzen
, der ,jeweiligen
, Denitionen
zuruck, so erh2alt man:
c1 = 21 L2 , 2E M 2 = 21 L2 , 2E 2E L2 + h2 + 2 = , 21 h2 + 4E
2
) 2q (q + 1) h 2 = , 12 h2 + 4E
Dabei ist q = 0; 12 ; 1; 32 ; : :: und E soll Eigenwert von H sein.
2 1
) En = , ; n = 1; 2; 3;: : :
2
2h n2
91
Auf diese Weise hat man die Eigenwerte ohne Verwendung der Schrodinger-Gleichung und ohne
Kenntnis der Wellenfunktion erhalten.
05.02.96
22 Streutheorie
22.1 Vorbemerkungen
22.1.1 Einfachster Fall
Naturlich handelt es sich bei diesem und den folgenden Beispielen um Idealisierungen. Wir
betrachten die Streuung eines nichtrelativistischen Teilchens an einem Potential V.
freies Teilchen
111111
000000
000000
111111
000000
111111
000000
111111
V(x,p)
000000
111111
000000
111111
freies Teilchen
22.1.2 Gebundene Zustande
Wir betrachten hier ein System, das sich im Grundzustand E0 bendet. Das gilt nur, wenn es mit
der Auenwelt nicht wechselwirkt. Solche Systeme gibt es in der Natur naturlich nicht. Deshalb
betrachten wir auch hier wieder eine Idealisierung.
Z.B. H-Atom: Eion = ,13; 6 eV
Selbst im Weltall: 3 K anheben, wegen der Hintergrundstrahlung (104 K = 1 eV ). Die
Wahrscheinlichkeit fur eine Ionisierung ist proportional zu e,Eion =T .
V(x)
x
E3
E2
E1
Eion = 13 = 4 105
T
3 10,4
22.1.3 Freie, ungebundene Zustande
Hier geht das Potential V(x) nicht wirklich gegen Null. Beispiele dafur sind Coulomb- oder
Gravitationskrafte. Es konnte auch sein, da noch mit weiterer Materie gestreut wird.
10
-13
11
00
00 N *
11
cm
00
11
111
000
00
11
000
111
00
11
000
111
00
11
000
111
00
11
000
111
00
11
00
11
Nukleon mit
11
00
00
11
00 3 Quarks
11
92
Streuung in angeregten Zustand
U berlagerung zu vielen Ausgangskanalen (Reaktionen)
Hier betrachten wir eine rein elastische, nichtrelativistische Streuung.
V (~x) ,! r1 ,! 0
V (~x) geht schneller gegen Null als 1r
Falls V (x; x0 ) 6= (x , x0 ) V (x) 6= 0 falls x;x0 2 Reaktionsgebiet
22.2 Lippmann-Schwinger-Gleichung
H^ = H^ 0 + V^ ; H^ 0 fur t ,! 1
H^ 0 j(k) >= E (k)j(k) >
Eigenwertgleichung fur ungebundene Zustande
In einem Kontinuum gilt: E (k) > 0
Zum Beispiel:
2 2
2
H^ 0 = h2mk ; E (k) = h2km
< xj(k) >= 13=2 eikx
(2)
ebene Welle
Schrodinger-Gleichung:
H^ j >= E j >
Die elastische Streuung bewirkt, da sich der Eigenwert nicht andert.
(H^ 0 + V )j >= E j > + (H^ 0 , E )j >
| {z }
0
(H^ 0 , E )j > +V ( ) = (H^ 0 , E )j >
Nach dem Dividieren mit (H^ 0 , E ) bleibt nur eine formale Gleichung:
^
j >= j > , ^ V j >
H0 , E
93
Fur t ! 1 wird die Gleichung eine
singulare Operator-Gleichung
formale Operator-Gleichung
implizite Operator-Gleichung oder eine
Iteration in der Nahe des Punktes
In der Nahe der Singularitat gilt:
j >= j > +
1
V^ j >
(E , H^ 0 i")
Lippmann-Schwinger-Gleichung
22.2.1 Darstellung im Ortsraum
Wir multiplizieren die Lippmann-Schwinger-Gleichung von links mit < xj und fugen eine 1 ein.
(x) = (x) +
Z
dx0
Z
dx00 < xj
|
Fur lokale Potentiale gilt:
(x) = (x) +
1
^ jx00 >
jx0 >
<
x0 jV{z
|
}
E , H^{z0 i" }
0 ;x00 ) ist oft V (x0 )(x0 ,x00 )
V
(
x
=:G (x;x0 )
Z
dx0 G (x;x0 )V (x0 ) (x0 )
Diese Gleichung sieht der Dyson-Serie ahnlich.
Ein mitbewegter Beobachter sieht ein zeitabhangiges Potential. Fur P2 ist es zeitlich kurzer, weil das
Teilchen schneller ist:
V(t)
P2
P1
t
22.2.2 Darstellung im Impulsraum
Wir multiplizieren mit < pj:
(p) = (p) +
Z
Z
1
jp0 >< p0 jV^ jp00 > (p00 )
E , H^ 0 i"
2
2
Oft ist H^ 0 = 2p^m = 2hm k2
Operator-Funktion
dp0
dp00 < pj
f (^p)jp0 >= f (p0)jp0 >
Zahlenwertige Funktion
94
(p) = (p) +
Z
dp0
Z
1
dp00
E , h22mk2
falls V (p0 ;p00 ) = V (p0)(p0 , p00 ) ist, gilt:
2
G (x;x0 ) = 2hm < xj
1
jx0 >
E , H^ 0 i"
1
dp00 < xjp0 >< p0 j
jp00 >< p00 jx0 >
E , H^ 0 i"
Z
2Z
G (x;x0 ) = 2hm dp0
2
Mit ~p = hk und H^ 0 = 2p~m gilt:
Z
(p , p00 ) V (p0; p00 ) (p00 )
1
V (~p) (~p)
E , 2p~m2 i"
G (p) ist eine sehr einfache Funktion.
(p) = (p) +
Beduetung von G (x;x0 ):
i"
2
G (x;x0 ) = 2hm
d3 k0 ,!
Z1
0
Z
dq q2
G (x;x0 ) = , 812
Z
ik0 (x,x0 )
1
(2)3=2 E , 2~pm2 i"
2
+1
eiqjx,x0 j cos #
d3 k 0 e
Z
0
d'
Z
,1
dcos# k2 , q2 i"
iqjx,x0 j ,iqjx,x0 j
dq q ijx ,1 x0 j e (q2 ,,k2e i")
p ,! k; (q2R, k2 ) = (q + k)(q , k)
nach Hauptsatz: Kompl: dy y,1y0 = 21i
ikjx,x0 j
G (x; x0 ) = , 41 e jx , x0 j
Hier gilt die Eigenschaft: (r2 + k2 ) G (x;x0 ) = (x , x0 )
Mit jx , x0 j = r0 haben wir:
ikr0
G(r0 ) = , 41 e r0
Eine -Storung an der Stelle x = x0 produziert als erlaubte Losung eine auslaufende \Kugelwelle"
Z
2m d3 x0 eikr0 V (x0) (x0 )
(x) = (x) , h2
4r0
V0
Bei V 0 handelt es sich um das Volumen des (Streu-) Wechselwirkungsgebietes. Es gilt V (x0 ) = 0, fur
alle x', die nicht in V 0 liegen. x liegt ebenfalls nicht in V 0 und jx , x0 j ist viel groer als Null. Von
nun an wird j~xj r genannt. R
Geometrische Auswertung von d3 k0 :
j~x , ~x0 j ' r , r j~~xxj
Damit kommen wir zur Auswertung:
eikj~x,~x0 j ' eikr eik0 x0
1
eikr
x (x) = (2)3=2 eik~x + r f
,ik0 x0
mit f = , 41 (2)3 2m2 d3 x0 e 3=2 V (x0 ) (x0 )
(2)
h
Z
f heit Streufunktion und ist ein reines Integral uber das Streugebiet V 0 .
Impuls-Darstellung (ohne Konstanten):
95
x
Aufpunkt
| x - x’ | = r’
r*
x’ Quellpunkte
k
<R xjV^ jx0 >= V (x)(x , x0 )
R dx < xjV^ jx0mit
>= dx V (x)(x , x0 ) = V (x)
f'
Z
dx0
Z
dx00 < k0 jx0 >< x0 jV^ jx00 >< x00 j >
f ' , 41 (2)3 2m2 < k0 jV^ j + >
h
Streufunktion in Impulsdarstellung
Oft sehen Potentiale so aus:
V (x;x0 ) = V (x)(1 , p2 + p4 )
p = hi @(~x,~x0 ) Impuls
07.02.1996
Diese Gleichung soll nun in erster Naherung gelost werden. In nullter Naherung ist die einfallende
Welle
mit der ausfallenden identisch:
(0)
+ = ji
Fur die Losung in erster Ordnung erwarten wir eine Gleichung der Form:
(1)
+ = :: : ji
Also ist die erste Naherung der Streufunktion:
, f (1) k~0 ; ~k
= , 1 (2) 23
4
= , 41 (2) 23
2m k~0 V^ ji ;
j
i = ~k
2
h Z
Z
2m dx003 dx0002 k~0 x00 i x00 V^ x000 x000 ~ki
h2
Wegen hx00 j V^ jx000 i = V (x00 ) (x00 , x000 ) vereinfacht sich das zu:
Z
, , ~0 00
= , 41 (2) 32 2m2 dx003 V x00 ei k ,k x
h
Z
,
, = c dx003 V x00 eiqx00 ;
q := k~0 , ~k
Dies ist die Fouriertransformierte bezuglich q. Speziell gilt fur spharisch symmetrische Potentiale:
, = c Z dr00r002 V ,r00 Z 2 d' Z 1 d cos eiqr00 cos f (1) k~0 ; ~k
0
,1
Z
,
1
1
iqr
= ,c 2 drrV (r) 2 iq e , e,iqr
= , 2m2 q1
h
Z
drrV (r)sin qr
96
Wir erhalten die Born-Naherung fur spharisch-symmetrische Potentiale:
f (1) (#) = , 2m2
h
Z
drr2 V (r) sinqrqr
mit q = jqj = k~0 , ~k = 2k sin #2
Dazu ein paar Bemerkungen:
1. Die Streufunktion hangt von # nur uber q ab.
2. Die Streufunktion ist reell.
3. Der Wirkungsquerschnitt dd
= jf j2 ist unabhangig vom Vorzeichen des Potentials. Es ist also
nicht entscheidend, ob das Potential anziehend oder abstoend ist.
R
4. Wird r sehr gro , so mu entweder das Integral drr2 V (r) oder q sehr klein werden.
Genauso wird das Integral klein, wenn q sehr gro ist.
22.3 Optisches Theorem (fehlt noch)
12.02.96
22.4 Eikonal-Naherung
Die Eikonal-Naherung unterscheidet sich von der Born'schen Naherung. Die Born'sche Naherung
behandelt Energien, die viel groer als Null sein mussen - das Streupotential soll also moglichst klein
sein. Man bezeichnet dieses Verfahren auch als klassische Naherung. Die Eikonal-Naherung
funktioniert bei Energien, die viel groer als das Potential V sind. Sie entspricht der semiklassischen
Naherung.
X=0
+ (x) ,! ei S(x)=h
Z
Z
t
S = t dt0 L
0 1 mx_ 2 , V (x)
=
dt
klass
h
2
,1
,1
Zx
=
,1
dx0 k(x0 ) = kx + Streuterm
S entspricht der klassischen Wirkung
L entspricht der klassischen Lagrange-Funktion
Z
S = kx + x dx0 ,k(x0 ) , k
h
,1
2 2
E,1 = h2mk = E (x) +V (x)
|{z}
h 2 k2 (x)
2m
v
k2
,V (x) =
|{z}
u
turspr
| ungliches k (vor
{z Streuung) }
k(x) = u
u
Taylor
97
= k 1 , 22m2 12 V (x) = k , m2 V (x)
h k
kh
Z
x
S = kx ,
dx0 m2 V (x0 )
h
,1 kh
Rx
+ (x) = eiS=h = eikx e,i kmh 2 ,1 dx0 V (x0 )
Potential als Integral
Wenn wir es im wesentlichen mit Vorwartsstreuung zu tun haben, gilt:
Zx
,ikx
f (k0 ;k) ' 2m2 (2)3
dx0 e ( V + (x)
4h
,1 (2) 3=2)
Bei ebenen Wellen entwickelt man wie bei Huygens nach Kugelwellen. Man entwickelt also eine
ebene Welle nach der einlaufenden Kugelwelle zum Punkt x=0.
X=0
fjk >g k , Basis ,! fjE;l; m >g Basis
1)
2)
< E jmjE 0 l0 m0 >= ll0 mm0 (E , E 0 )
X
lm
jElm >< Elmj = 1
jk >=
ZX
lm
2 2
; da E = h2mk
jElm > dE < Elmjk >
22 < kjElm >= ph h2mk , E Ylm (k)
mk
l3jlm >= mhjlm >
2
l jlm >= l(l + 1)hjlm >
Die 3-Richtung entspricht der Einstrahlrichtung
^ ^l3 ] = 0
[H;
^ ^l2 ] = 0
[H;
r (2l + 1)(l + m)!
dl,m
im' 1
4(l + m)! e sinm # d cos#l,m
p
Yl0 (#; ') = 24l+ 1 Pl (cos#)
r
l
m
< xjElm >= ih 2mk
j1 (kx)Yl (r)
Alternativ: Ortsdarstellung
l
Ylm (#;') = (,2l1)
l!
98
0 jT^jk >
f (k;k0 ) = , 2m2 (2)3 <
| k {z
}
4h
T,Matrix
< k0 jT^jk >=
XX
< k0 jElm >< ElmjT^jEl0 m0 >< El0m0 jk >
lm l0 m0
X
= , 4k
Elm
0
TElml0 m0 Ylm
0 (k0 )Ylm (k)
Spharisch symmetrisches Potential:
TElmE0 l0 m0 = (E , E 0 )ll0 mm0 Tl (E )
k’
ϑ
k
Vorwärtsrichtung
"3-Achse"
k
m
Yl (k)
Ylm (# = 0; ') ist fur m 6= 0 Null. Also ist Ylm (# = 0; ') nur ungleich Null fur m = 0.
Dann gilt (k in Vorwartsrichtung):
f (k;k0 ) =
< lmjkz >=
r
1
X
(2l + 1)Pl(cos#) Tl (E )
k
l=0
2l + 1 P (cos#)j =
#=0 m0
4 l
T (E ) =: f (k)
l
k l
+ (x) x ! 1
,!
0
1 B
B
(2)3=2 @
r
2l + 1 4 m0
zu messen !
eikx
|{z}
einlaufende freie Welle
ikr
+
f (#) e r
| {z }
1
CC
A
auslaufende Kugelwelle
eikx nach Kugelwellen entwickeln:
+ (x) =
1
1 X(2l + 1) Pl (cos#) (1 + 2ik + f (k)) eikr ,
2ik |
(2)3=2 l=0
{zl r }
e,i(kr,l)
| {zr }
auslaufende Partialwelle einlaufende Partialwelle
Die auslaufende Welle wird im Faktor (1 + 2ikfl (k)) =: Sl (k) modiziert.
Sl (k) mu die Bedingung erfullen, da der Betrag von ein- und auslaufendem Teil von eikr
r gleich ist.
(1 + 2ik + fl (k)) = 1
Unitaritatsbedingung
99
jSl (k)j = 1
Sl (k) =: e2il (k)
Die `2' ist pure Konvention!
l (k) =^ Streuphase
) , 1 = e2il (k) , 1 = eil (k) eil (k) , e,il (k) = eil (k) sin (k) 1
fl (k) = Sl (2kik
l k
2ik
2ik
X
f (k;k0 ) = f (#) = k1 (2l + 1)Pl(cos#)eil (k) sinl (k)
l=0
Z
d = jf (k;k0 )j2 ; = d d
d
d
1
X
= 4k2 (2l + 1)sin2 l (k)
l=0
1
Sonderfalle:
1) l (k) sehr klein:
= 4k2
1
X
(2l + 1)l2 (k)
l=0
1
fl (k) ' k (1 + il (k))l(k) ' k1 (l (k) + il2 (k) : : :)
,! fl (k) = k1 l (k) + : : :
Die Streufunktion wird reell.
2) Wann wird der Wirkungsquerschnitt maximal ?
Fur sin2 l (k) ' 1:
k = 1
,! = 42 (2l + 1)
p
Entspricht Plattchen mit Radius R = 2 2l + 1
0000000
1111111
1111111
0000000
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
3) Hard sphere Streuung
R2
111111
000000
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
1111111111111111
0000000000000000
000000
111111
100