DAS INHOMOGENE PROBLEM IN DER GEOMETRIE DER ZAHLEN

DAS INHOMOGENE PROBLEM IN DER GEOMETRIE
DER ZAHLEN
EDMUND HLAWKA
Der Fragenkreis, über welchen ich sprechen will, wurde in den vergangenen Jahren, besonders seit dem Bericht von Prof. H. Davenport 1 ) auf dem
letzten Kongreß, in vielen Arbeiten behandelt und es wurde dabei eine Reihe
von wichtigen Ergebnissen erzielt. Es soll nun ein Überblick über die allgemeinen Begriffsbildungen und Sätze gegeben werden, ohne dabei den Anspruch auf Vollständigkeit zu erheben.
Zunächst einige Vorbemerkungen! Es sei ® ein w-dimensionales Gitter
(n ^ 1) im Vektorraum 5ßn eines euklidischen Raumes Rn von gleicher Dimension über dem Körper der reellen Zahlen, besitzt also stets Basen, gebildet von
freien Vektoren alf . . ., Ct„, so daß alle Gittervektoren g e ® ganzzahlige Linearkomposita dieser Vektoren sind. Arithmetisch gesprochen, ist ® die Wertmenge
n
von n homogenen reellen Linearformen £t- = Lz- (x) = ^ « i A mit Det (aik) ^ 0,
wenn die % , . . . , xn alle ganze Zahlen durchlaufen. Zwei Punkte p, p' im Rn
heißen zueinander äquivalent modulo ® (p = p' (mod ®)), wenn sie durch eine
Gittertranslation von © auseinander hervorgehen. Die Borelmeßbaren Fundamentalbereiche F(©) von ©, für die es zu jedem p e Rn genau einen äquivalenten Punkt in F gibt, haben alle das gleiche Maß, | Det. (av . . ., Ctn)|, (alt . . ., Ctn
Basis von ©), das Maß ra(®) von ©. Für reelles X ^ 0 ist m(Àa) = \X\nm(a),
(A® das Gitter der Xd (et e ®). Ist T eine beliebige Menge im Rn, Ta die Menge,
welche aus T durch eine Gittertranslation a e © hervorgeht, so heißt die Menge
aller Figuren Ta mit H. Hadwiger 2 ), das Figurengitter (T, ©). Ist T ein
Punkt p, so ist {j)t ®) die Menge aller zu p äquivalenten Punkte, das Punktgitter zum Vektorgitter ®, welches p enthält.
Das inhomogene Problem lautet nun so : Wann überdeckt die Vereinigungsmenge der Figuren von (T, ®), (das Innere T° von T nicht leer), den Rn, d.h.
wann gibt es zu jedem p ein p' e T mit p' = p (mod ®), symbolisch p e T
(mod ®). Es heißt dann ® Überdeckungsgitter zur Menge T, (Kurz ÜG zu T).
Es ist ® stets ÜG zu jedem Fundamentalbereich JF(®). Die Uberdeckung ist
*) Proceedings of the International Congress of Math. (1950) I, 166—174.
2
) Comment Math. Helvetici 11 (1938) 221 — 233.
20
hier einfach, denn die Figuren haben keinen Punkt gemeinsam. Ist ® kein ÜG
zu T, dann „verkleinern" wir das Gitter, d.h. wählen A 7^ 0 so klein, bis A®
ein ÜG zu T wird. Es heißt E[T, ®) = 1/inf | A \ (A e Z, die Menge 3) aller A),
(— 00 < A < 00), für die A® kein ÜG zu T ist), die Exzentrität zu (T, ®).
Es ist E(T, a ®) = oE(T, ®) (o* > 0). Lassen wir jetzt ® fest und unterwerfen
T von einem inneren Punkt z aus einer genügend großen Ähnlichkeitstransformation T -> TZ(A) (A Vergrößerungsverhältnis), solange bis ® Überdeckungsgitter von TZ(A) wird! Es sei T aus der Klasse Ex der Sternkörper S mit Mittelpunkt. Die S sind abgeschlossene Mengen mit einem Zentrum z e S°, so daß
z Mittelpunkt ist und mit jedem Punkt p von 5 alle Punkte der Verbindungsstrecke zp (höchstens p ausgenommen), innere Punkte von S sind. Also
5 C SZ(X) für alle A ^ 1. Zu S gibt es eine stetige Indikatrix f(p), so daß die
Punkte von 5° durch f(p) < 1 (/(*) = 0) und jene von SZ(A) durch 0 ^ f{p) ^ A
charakterisiert sind. Beispiele für Sternkörper S liefert jede homogene Form
F(f) = F(f lf . . ., fB) von einem Grad d[F{tÇ) = tdF(Ç)) mit der Indikatrix
/(£) = | F | 1/d . Ist ® definiert durch n homogene Linear-formen ^i=Li(xv...,
xn)
dann ist ® genau dann ÜG zu SZ(A), wenn es zu jedem n Tupel c = (cv . . ., cn)
reeller Zahlen, ein n Tupel g = (gv . . ., gn) ganzer Zahlen gibt, so daß
f(Li(g-c)
Lnte-c))fZX
(1)
ist. Da die Linearformen Li(x1—c1, . . ., xn-— cn) inhomogen in xv . . ., xn sind,
heißt der ganze Fragenkreis inhomogenes Problem, im Gegensatz zum homogenen Problem, wo nach ganzzahligen Lösungen g ^ 0 von (1) für c = 0
gefragt wird.
Ist p € Rn, dann sei E(p) = E(p, S, ®) = inf A (A e L*, die Menge aller
A > 0, für die p e SZ(À) (mod ®) ist), also gleich inf f(p') (p' = p (mod ®)) ist.
Gehört E(p) selbst zu L*, so ist es ein angenommenes Minimum für p. Es ist
E(p) = E{p') für p = p' und ist in p oberhalb stetig. Die Exzentrizität
E = E (S, ®) ist dann nichts anderes, als sup E(p) über alle p, also ist ®, für
jedes A > E} ÜG zu SZ{X). Ist dies auch für A = E der Fall, dann heißt E ein
angenommenes Minimum zu (5, ®). Es gibt dann 4 ) ein p, so daß E(p)
ein angenommenes Minimum und gleich E ist. Ist P die Menge aller p für die
E(p) =- E und ist E2 = sup E {p 4 P) kleiner als E, dann heißt E isoliert,
E = Ex das erste Minimum, E2 das zweite Minimum. Die Definition der Kette
dieser Minima kann fortgesetzt werden, bis ein nicht isoliertes Minimum auftritt.
3
) Ist T offen, dann ist das Komplement z u / i n — 00 < A < 00 offen und enthält
eine Umgebung von A = 0. Vgl. H . P . F . Swinnerton-Dyer, Proc. Camb. Phil. Soc. 50
(1954) 2 0 - 2 5 .
4
) J. Heinhold, Math. Z. 44 (1939) 6 5 9 - 8 8 .
21
Ist M die Menge aller ®, welche ÜG für 5 sind (nicht notwendig aus Ex)
und ist M* ihr Komplement, dann sei ê[S) = inf m(®)(® eikf*), 0{S) =
sup m(®)(® e M) (ê(S) = oo, wenn M* leer ist). Es heißt ® minimales bzw.
maximales Gitter, wenn ra(®) = #(S) bzw. &{S) ist. Ist S abgeschlossen und
meßbar mit einem Maß m(S) < oo, dann gibt es stets 5) maximale Gitter,
welche, wenn S beschränkt und abgeschlossen ist 6 ), (S° nicht leer), ÜG von 5
sind; im allgemeinen Fall bedeckt aber doch (S, ®) den Rn bis auf eine Menge
vom Lebesqueschen Maße 0. Es ist
0(S) = E~n{S), 0(5) = e-n(S), s{S) = inf E{S, @)/m1/w,
£ ( S ) = s u p £(S,®)/m 1/n
(® durchläuft alle Gitter mit festem Maße m)} (m beliebig). Wir nennen die
Gitter ® mit Maß m, für welche E(S, ®) angenommen und gleich s(S) ist,
dünnste ÜG des Rn durch Mengen S. Ist S abgeschlossen beschränkt, 5° nicht
leer, dann gibt es nach dem Vorhergehenden solche Gitter. D(S)=m(S)sn(S)
=
m(S)l&(S) heißt Dichte der dünnsten regulären Überdeckung des Rn durch
Mengen 5. Ist nämlich B eine beliebige abgeschlossene beschränkte konvexe
Menge mit Mittelpunkt und positivem Volumen, (die Klasse dieser Mengen
bezeichnen wir mit K), so heißt sie regulär überdeckt durch Mengen 5, wenn es
ein Gitter ® gibt, so daß B von den Figuren aus (S, ®) lückenlos überdeckt
wird und es ist d = Nm(S)/m(B) die Dichte dieser Überdeckung, wenn N die
Anzahl der Figuren ist, welche an der Uberdeckung teilhaben. D{B, 5)=min d
ist die Dichte der dünnsten regulären Überdeckung von B durch Mengen S.
Ich habe gezeigt 6 ), daß lim D(BZ(X), S) existiert (z Mittelpunkt von B) und
gleich D(S) ist. Daraus folgt, daß 0(S) ^ m(S) ist.
Ist S aus der Klasse K(z Mittelpunkt von S), dann ist bekanntlich
[An ^ 2E{S, ®) ^ n/j,n ^ n2nm{®)lm(S)/u1n-1
(2)
wo ju{ = [Âi(S, ®, z)} (i = 1, . . . n) das z'-te Minimum ist. Für beliebige Mengen
S und Punkte p ist /ii(Sl ®, p) (1 ^ i ^ n) = inf A (A > 0; dim {{p, ®) D Sp(ù))
^i). Aus (2) folgert K. Mahler 7) mit Hilfe seines Übertragungssatzes die
wichtige Abschätzung 8 ): E(S, ®) < T 1 - 1 , mit TX = JUJT, ®*, z(S)) wo T in
Bezug auf z polar zu 5 und ®* reziprok zu ® ist. Der Kroneckersche Approxi5
) R. P . B a m b a h , Journ. Ind. (1953) 4 4 7 - 5 9 .
) Für konvexe Mengen bei E. Hlawka, Monatsh. Math. 53 (1949) 81 — 131.
7
) Casopis M a t . a. Fys. 68 (1939) 9 3 - 1 0 2 .
8
) A « B soll heißen: Es gibt eine positive Konstante cn, die nur von n abhängt, daß
A <^ cn B. Analog ist A » B erklärt. Für die cn sind in allen zu besprechenden Formeln,
Abschätzungen b e k a n n t . Wir begnügen uns hier mit der qualitativen Darstellung.
6
22
mationssatz ist eine unmittelbare Folgerung. Folgende Ungleichung wurde
von mir 9) gefunden:
2 E{S, ®) ^ {2"-i(v +l)m
(8)/m(S)}
(3)
wo v(S, ®, z) die (ungerade) Anzahl der Gitterpunkte des Gitters (z, ®) im
Innern von S ist. ({%} nächst größere ganze Zahl von x). Für den klassischen
Fall m(S) = 2nm(o), v = 1 liefert sie den genauen Wert E = \. S ist dann
bekanntlich ein Polyeder, begrenzt von 2n — 1 Paaren von parallelen Seitenflächen. Ein anderes Beispiel ist folgendes. Es sei S ein Würfel W mit der
Kantenlänge L und ® ein Gitter mit den Basisvektoren alt . . ., an parallel zu
den Kanten und den Längen 2n~2(v + lJ/L"- 1 , L/(v + 1), \L, . . ., \L, (v ungerade, 2n~2(v + l)/Ln > 1). Man sieht sofort:
v{W, ®, z) = v, m{W) = Ln, m{%) = 1, 2E(W, ®) = &-*{v + l)L n
Da v und L beliebig ist, so folgt: Für jede beschränkte Menge S ist stets E(S) = oo,
also ist &{S) = 0.
Nach A. M. Macbeath 10 ), ist dies auch dann noch der Fall, wenn 5 nicht
beschränkt, aber vom endlichen Maß ist. Es genügt sogar anzunehmen, daß
es ein Paar paralleler Hyperebenen gibt, so daß nur der Teil von S außerhalb
dieses Streifens endliches Maß hat. Es ist 6) für SeK, &(S) ^ (2/n)-nAz{S)
^n~nm(S).
Nach C. A. Rogers 11 ) ist, sogar 12 ) 0 ^ 2n/3n~1A
^3~{n-^m
(AZ(S) die Mahlersche Grenzdeterminante inf m{%) über alle g, für die v(S,&,z)
= 1 ist). Wenn man von dem ausführlich studierten Fall 13 ) n = 2 absieht,
so ist im wesentlichen für n ^ 3 nur die Kugel behandelt. Der genaue Wert von
e ist für n = 3 : 3 2 / 5 ^ 5 , für n ^ 4 ist bis jetzt nur bekannt 1 5 ) 4 / 3 - e n
< D(S) < (l,15) n (sn -+ 0 für n -> oo). Diese Resultate werden mit Hilfe der
konvexen Polyeder (Wabenzellen) Z erhalten, definiert als Menge aller Punkte
9
) F ü r v = 1 bei E . H l a w k a , M a t h . A n n . 125 (1952) 183 — 207. E s k a n n (3) n o c h
verschärft w e r d e n . Vgl. a u c h E . H l a w k a , M o n a t s h . M a t h . 58 (1954) 2 8 7 — 9 1 . M. Kneser,
M a t h . Z. 61 (1954) 4 2 9 — 3 4 .
10
) Proc. Camb. Phil. Soc. 47 (1951) 6 2 7 - 2 8 .
n
) Journ. Lond. Math. Soc. 25 (1950) 3 2 8 - 3 1 .
12
) Besitzt S, n aufeinander senkrecht stehende Symmetrieebenen durch z(S), dann
ist nach R. P . Bambah und K. F . Roth, Journ. Ind. Math. Soc. 16 (1952) 7 - 1 2 , D{S)
^ jinnIS^Sn\
~ en(7il54n)%.
13
) Vgl. das schöne Buch von L. Fejes Toth, Lagerungen in der Ebene, auf der Kugel
und im Raum, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-Göttingen 1953 X, 197 S. Hinzugefügt
werde, J . Heinhold, Math. Z. (1942) 199 — 214.
14
) Neuer Beweis bei R . P . Bambah, Proc. Nat. Inst. Sciences of India 20 (1954)
25—52.
15
) R. P . Bambah and H . Davenport, Journ. Lond. Math. 27 (1952) 2 2 4 - 2 9 , H.
Davenport Rend. Palermo (2) 1 (1952) 92—107.
23
p mit \p, z\ ^ \p, g\, für alle Gitterpunkte g von (z, ©), (z Mittelpunkt der Kugel).
Es ist ©, ÜG zu Z mit D(Z) = 1, also besitzt Z höchstens 2n—1 parallele
Seitenflächenpaare und es ist E(S} &) = max |g, z\ (erstreckt über alle Eckpunkte e von Z). Ist S konvex und offen (braucht nicht beschränkt zu sein),
PQ ein Punkt e S (mod ®), so wird im allgemeinen p0 in mehreren Figuren Hegen,
aber es gibt Teilmengen T von S, so daß p e T(mod@), aber nur mehr einer
Figur angehört. Nach C. A. Rogers 16) ist dies für T = S n H(^ 0) der Fall,
wo H ein gewisser abgeschlossener Halbraum ist. Es hegt also in T genau ein zu
p0 äquivalenter Punkt p (C. A. Rogers nennt ihn äußeren Punkt zu p0 in 5
mod ©), also auch im Durchschnitt von 5 und dem Spiegelbild S+(p) an p
außer ihm kein weiterer Gitterpunkt von (p, @). Nach dem Minkowskischen
Fundamentalsatz gilt also
2nm(Q) ^ 2nAv(S H S+(p)) ^ m(S O S+(p)) = F(p)
(4)
17
(Satz von A. M. Macbeath )). Es ist &(S) genau dann oo, wenn für jedes
Q, S eine Kugel vom Radius Q enthält bzw. in keinem Streifen, begrenzt von
parallelen Hyperebenen, Hegt.
Ist 5 nicht konvex, so Hegen in der Ebene, Überdeckungssätze von L. J.
MordeU und K. Rogers für Mengen S von aUgemeineren Charakter vor 1 8 ).
Für n ^ 2 Hefert der Satz von Macbeath (4) : Ist ®, ÜG der konvexen Menge
S, dann ist es auch ÜG von der Menge F(p) <^2nm(&).
Ist S definiert durch fx ^ 0, . . ., fn ^ 0, {F(p)=2^\p1\...\pn\i p= {pv...pn))
so folgt der Satz von J. H. W. Chalk 1 9 ): Jedes ® ist ÜG von £x . . . | n ^ m{%)
fi ^ 0, . . ., fw ^ 0. Die Menge S: £ - (f« + . . . + £ ) ^ 0 führt zu dem
Satz, daß das gleiche gilt, für
0 ^ & - ( £ + .-. + £) ^ (2"-2(« + l)m(®)lcon^fn+1
(5)
{a>n-i Volumen der (n — 1)—dim. Kugel).
AUe Mengen S, welche man genauer untersucht hat, sind automorph, d.h.
1) sie besitzen eine Gruppe A = Az von Automorphismen a in Bezug auf
einen Punkt z, (der nicht zu S gehören braucht), d.h. von affinen Abbildungen
a mit z als Fixpunkt, welche 5 in sich überführen.
w
) j o u r n . London 29 (1954) 1 3 3 - 1 4 3 .
«) Annals of M a t h . (2) 56 (1952) 2 6 9 - 9 3 . Für n = 2 auch Quart. Journ. (2) 3 (1952)
268 — 81, Durch (4) ist der Inhalt dieser wichtigen Untersuchungen nicht erschöpft.
18
) Duke Math. Journ. 19 (1952) 519 — 27, K. Rogers, Journ. London 28 (1953)
394—402. Dazu gehören die Untersuchungen von E . S. Barnes, Quart. J. (2) 1 (1950)
1 9 9 - 2 1 0 , R. P. B a m b a h , Proc. Camb. Phil. Soc. 47 (1952) 4 5 7 - 6 0 , J . H . W. Chalk ebenda
48 (1952).
19
) Quart. J. M a t h . 18 (1947) 2 1 5 - 2 7 . Ein weiterer Beweis bei A. M. Macbeath,
Jour. London 23 (1948) 1 4 1 - 4 7 ; A. J . Cole, Quart. J. (2) 3 (1952) 5 6 - 6 2 zeigt dies für
fx > 0, . . ., £ n > 0, | St • - • In | ^ 1/2 « ( © ) .
24
2) Es gibt eine beschränkte Menge U{A), so daß es zu jedem p aus der Hülle
von S ein a e i gibt, so daß cape U. Wichtige Beispiele sind:
S x : | | * + . . . + g ~ (£r+12 + . . . + a i =£1 (2^r<n),
S2 : |fx . . . fn| ^ 1
S[KV . . ., Kt) (Verallgemeinerung von S2): fp . . . /** ^ 1 (nx + . . . + nt-=n)
wo fi (1 ^ i 5g 2) die Indikatrix des konvexen Körpers Kj in Räumen Lt von
der Dimension nt ist, welche den Schnittpunkt z der £ aufeinander senkrechten
Li zum Mittelpunkt hat. Ein Spezialfall mit n± — l,n2 = m: (Max (|%|,.. .|#J) 1
(Max (1^1, . . .|y m |)) m (Diophantische Approximation!) Da die Einheitskugel
Ez um z in Sv S2 und in S(Klt . . ., Kt) liegt, wenn die 1£ Kugeln sind, so erhält
man nach (2) eine Abschätzung
E{S, ©) <C m{%)\ljJr1{Ez)
< m^)^"1^)
(6)
Da mit Ez auch OLEZ in S liegt ( a e i ) , so kann in (6) fix{Ez) durch /u = sup
U{OLEZ) ersetzt werden. Je umfangreicher die Automorphismengruppe von S ist,
desto größer wird ji sein. So lieferten die Methoden von C. L. Siegel und
Tschebotarew (vgl. dazu 2°) für 21) 5 {Kv . . . , Kt) : E (S, ©) <C m{%) \^-t] (S, ©) :
(i^ Kugeln). In 5 2 ist t = n, daher ist #(S 2 ) > 0. Das gleiche zeigte für Sv
H. Blaney 22 ). Es gilt aber sogar:
E(s, ®)«^4--«W"-«(s4, ©) »(©), wos4: o<i12 +... + £ - (^+1 + ... + £)<1
Nun gibt es aber Gitter mit m{%) = 1 und beliebig kleinen fix\ Z.B. für das
Gitter: f, = *,i\r 1 / n (1 ^ f < »), fn = N1'11^
(N natürliche Zahl), ist
1
ixx = AT /*. Daher ist für n > 2, 0(5 X ) -= oo also e ^ ) = 0; d.h. es gibt für
n ^ 3 stets Überdeckungsgitter zu S1 mit beliebig großem Maß 23 ). Für n = 2
versagt der Schluß und es ist auch tatsächlich 0{S) < oo. Allgemein läßt sich
folgendes zeigen: Für S(KV K2) (KVK2 nicht notwendigerweise Kugeln) ist
0 ( S ) < V < A (S), wo V das Volumen von Max (fv f2) ^ 1 ist. Die Fälle, wo
Klt K2 Intervalle oder Kreise sind, wurden zuerst von H. Davenport x) behandelt und von J. W. S. Cassels u) bedeutend vereinfacht. H. P. F. Swinnerton-Dyer 3) ist es zuerst gelungen, ein allgemeines Kriterium dafür zu finden,
20
) Der Fall n = 2 wird genau untersucht in Proc. Camb. Phil. Soc. 47 (1952) 266—73.
) Der Exponent kann in vielen Fällen noch verschärft werden. Vgl. L. E . Clarke,
Quart. J . of Math. (Oxford) (2) 2 (1951) 3 0 8 - 1 5 ; H. Davenport ebenda (2) 3 (1952)
3 2 - 4 1 ; E. S. Barnes, Proc. Camb. Phil. Soc. 49 (1953) 360—62; H . Davenport, ebenda
110-93.
22
) Jour. London 23 (1948) 1 5 3 - 1 6 0 ; vgl. dazu C. A. Rogers, ebenda 27 (1952)
314—19, wo der oben herausgestellte Gesichtspunkt deutlich hervorgehoben ist.
23
) Für n = 3 h a t dies H. Davenport, Journ. London 23 (1948) 1 9 9 - 2 0 2 hervorgehoben und gibt eine schärfere Abschätzung für E(S, ($).
24
) Proc. Camb. Phil. Soc. 48 (1952) 72 — 86 und die dort angegebene Literatur.
Der allgemeine Fall bei E. Hlawka, Monatsh. 58 (1954) 292—305.
21
25
daß #(S), also E(S) < oo ist: Ist 5 offen, automorph in Bezug auf z und enthält
jede Gerade, welche einen Punkt von Frz(S) enthält, auch einen Punkt von 5,
dann ist &(S) > 0 und es gibt minimale Gitter. Dabei ist Frz(S) die Hülle der
äußeren Randpunkte von 5, d.h. der Randpunkte r} welche Häufungspunkte
von ZY O S sind.
Wenn S Sternkörper ist, &(S) > 0 ist und minimale Gitter ©' existieren,
dann kann &(S) isoliert sein, d.h. es kann # 2 = inf m(&) erstreckt über alle
Gitter, welche nicht Überdeckungsgitter sind, aber auch nicht von der Gestalt
A©' (©' minimal), > #(S) sein. Diese Kette kann mann bis zu einem nicht
isoliertem Minimum fortsetzen. Für n = 2 hat H. Davenport 25) und für n ^ 2
J. W. S. Cassels 26 ) gezeigt, daß S2 nicht isoliert ist, wenn die Minkowskische
Vermutung richtig ist. (Bewiesen îixrn ^ 4 ) . Höhere Minima untersuchte für
0 ^ £i - | 2 2 ^ 1, A. M. Macbeath. 27) H. P. F. Swinnerton-Dyer und E. S.
Barnes 28) haben für | f1 £2 | ^ 1 unter Benützung von Ideen J. W. S. Cassels
gezeigt, wie E(S, ©) und die weiteren Minima Ek(S, ©) (k = 2, . . .) bestimmt
werden können, wenn S automorph ist in Bezug auf eine Gruppe AZ(Q&),
welche aber auch © in sich selbst überführt. Zu jedem p gibt es dann ein pv
so daß E{p) = E(p1) und E(p1) angenommen wird, Die Wertmenge von E(p)
ist abgeschlossen.
Gibt es ein a aus Az{%) mit folgenden Eigenschaften: 1) Es besitzt keine
Eigenwerte vom Betrage 1. 2) Sind R, R* Mengen (R beschränkt), g e © so
daß für jedes p e R, entweder a.p e R* (mod g) oder 0Lp( — g) e R, 0L~xp e R \J R*
dann ist p e R Fixpunkt / von a, a/ = /g, wenn 3) OLnp e R* (mod g) für alle
ganzen n ^ 0 ist. (Lemma von Cassels). Es sei nur eine wichtige Folgerung
aus diesem Lemma hervorgehoben (wenn es a e i ( @ ) mit der Eigenschaft 1
gibt): Gibt es nur endlich viele inäquivalente p} für die E(p) = E ist, dann ist
E isoliert. Dieser Satz gilt auch für die höheren Minima. Bisher wurde nur der
Fall betrachtet, daß die Überdeckung mindestens einfach ist. Es kann auch
mehrfache Überdeckung 30) verlangt werden. In der Theorie der diophanti2ß
) Proc. Kon. Ned. Wet. Amsterdam 49 (1946) 8 1 5 - 2 1 .
) Journ. L o n d o n 27 (1952) 485 — 92. Für A(S) gilt das Gegenteil, vgl. dazu G.S.
Barnes, Proc. C a m b . Phil. Soc. 49 (1953) 5 9 - 6 2 .
27
) Proc. Camb. Phil. Soc. 47 (1951) 2 6 6 - 7 3 .
28
) Acta Math. 87 (1952) 2 5 9 - 3 2 3 ) , 88 (1952) 2 7 9 - 3 1 6 . Acta Math. 92 (1954)
199—234, E. S. B a r n e s ebenda 235—64 (Weiter Arbeiten: H. J. Godwin, Journ. London
36 (1955) 114—119, Quart. Journ. of Math. V(II)(1954) 28—46; K. Jukeri, Ann. Akad.
Feunicae, (1952) Ser. A. 136, 1—16). Ternäre quadr. Farmen E. S. Barnes Acta Math.
92 (1954) 13—33.
29
) Für | | 1 | 2 I : 3 | < 1 ist die Methode angewendet bei P . A. Samet, Proc. Cam. 50
(1954) 3 7 2 - 3 9 0 .
30
) vgl. D. B. Sawyer Proc. Cam. Phil. S. 49 (1953) 1 5 6 - 5 7 .
26
26
sehen Approximationen interessiert man sich für die unendlich oftmalige
Überdeckung. Hier hat eine Arbeit von L. J. Mordeil 31 ). Anlaß zu wichtigen
Untersuchungen gegeben. Die Ergebnisse von J. M. H. Chalk 32) und C. A.
Rogers 33) haben diesen Fragenkreis zu einem gewissen Abschluß gebracht.
31
) J . London Math. Soc. 26 (1951) 93; vgl. auch Varnavides Proc. London Math.
(3) 2 (1952), 2 3 4 - 2 4 4 .
32
) J . L o n d . M a t h . S o c . 2 5 (1950) 46, Q u a r t . J . of M a t h . (Oxford) 19 (1948) 6 7 .
33
) Journ. London (3) 4 (1954) 5 0 - 8 3 .
WIEN.
27