Hausaufgaben - Mathe mit Karsten

Vorlesung: Allgemeine Topologie, Universität Rostock, Sommersemester 2012
Karsten Evers
Hausaufgaben
7. und 8. Serie
Hausdorff-Metrik und Vietoris-Topologie, Selbstähnlichkeit
Aufgabe 1
Sei (E, d) ein metrischer Raum und δ die Hausdorff-Metrik auf α := {A ⊆ E | 0/ 6= A ist abgeschlossen und
beschränkt}. Sei außerdem κ := {K ⊆ E | 0/ 6= K ist kompakt} und τ die Vietoris-Topologie auf {A ⊆ E | 0/ 6= A
ist abgeschlossen}.
(a) Sei ε > 0 und A ⊆ E. Dann ist Uεd (A) := {y ∈ E | d(A, y) < ε} =
A ⊆ Uεd (A). Zur Erinnerung: d(A, y) := inf{d(x, y) | x ∈ A}.
S
x∈A Kd (x, ε)
eine offene Menge mit
(b) Die Hausdorff-Metrik lässt sich auch so definieren: δ (A, B) = inf{ε | A ⊆ Uε (B) und B ⊆ Uε (A)}.
(c) Es gilt δ (A ∪ B,C ∪ D) ≤ max(δ (A,C), δ (B, D)), für alle A, B,C, D ∈ α.
(d) Sei K kompakt und U offen in (E, d) mit K ⊆ U. Dann ∃ ε > 0 mit K ⊆ Uεd (K) ⊆ U.
(e) Sei A abgeschlossen in S
E Dann ist Uεd (A) =
d
gilt ebenfalls Uε (A) = Kδ (A, ε).
S
Kδ (A, ε). Ist A kompakt und beschränken wir δ auf κ, so
(f) Sei τκ die durch τ auf dem Teilraum κ induzierte Teilraumtopologie und δκ die auf κ eingeschränkte
Hausdorff-Metrik. Es gilt dann τκ = τδκ . Wichtiger Spezialfall: Ist (E, d) selber kompakt, so wird τ von
δ induziert.
(g) Sei (E, d) kompakt. Zeige (ohne Rückgriff auf Satz 4.6.2.) (α, δ ) ist vollständig.
Lösung: (a) Unmittelbar aus der Definition für d(A, y) folgt die Gleichheit {y ∈ E | d(A, y) < ε} = x∈A Kd (x, ε).
Aus dieser folgt dann A ⊆ Uεd (A) und die Offenheit von Uεd (A).
(b) Sei h(A, B) := inf{ε | A ⊆ Uε (B) und B ⊆ Uε (A)}. Sei nun r ∈ R mit A ⊆ Ur (B) und B ⊆ Ur (A). Ist
nun a ∈ A beliebig, so folgt a ∈ Ur (B), es gibt also eine b ∈ B mit a ∈ K(b, r). Also d(a, b) < r und somit
d(a, B) < r, also auch d(a, B) ≤ h(A, B) und da a beliebig war auch supa∈A d(a, B) ≤ h(A, B). Analog natürlich
auch supb∈B d(A, b) ≤ h(A, B) und somit δ (A, B) ≤ h(A, B). Zeigen wir nun h(A, B) ≤ δ (A, B). Sei dazu ε > 0
beliebig gewählt. Es reicht dann h(A, B) ≤ δ (A, B) + ε =: r zu zeigen. Sei a ∈ A. Es folgt d(a, B) ≤ δ (A, B) < r.
Folglich gibt es ein b ∈ B mit d(a, b) < r und somit a ∈ Ur (B). Da A beliebig war folgt A ⊆ Ur (B). Analog gilt
B ⊆ Ur (A). Nach Definition von h gilt dann h(A, B) ≤ r.
(c)
δ (A ∪ B,C ∪ D) = max( sup d(x,C ∪ D), sup d(y, A ∪ B)) =
S
x∈A∪B
y∈C∪D
= max(sup d(x,C ∪ D), sup d(x,C ∪ D), sup d(y, A ∪ B), sup d(y, A ∪ B)) ≤
x∈B
x∈A
y∈C
y∈D
≤ max(sup d(a,C), sup d(c, A), sup d(b, D), sup d(d, B)) = max(δ (A,C), δ (B, D))
a∈A
c∈C
b∈B
d∈D
(d)SFür jedes x ∈ K sei εx > 0 mit K(x, 2εx ) ⊆ U. Da K kompakt, gibt es endlich viele x1 , ..., xn ∈ K mit
K ⊆ nk=1 K(xk , εxk ). Setze ε := min(εx1 , ..., εxn ). Zeigen wir Uεd (K) ⊆ U. Sei x ∈ Uεd (K), also d(x, K) < ε. Also
gibt es z ∈ K mit d(x, z) < ε. Dann gibt es aber auch ein k ∈ {1, ..., n} mit z ∈ K(xk , εxk ). Es folgt d(x, xk ) ≤
d(x, z) + d(z, xk ) < ε + εxk ≤ 2εxk , also x ∈ K(xk , 2εxk ) ⊆ U.
(e) Sei x ∈ Uεd (A), also d(x, A) < ε. Setze A0 := A ∪ {x}. Dann ist auch A0 abgeschlossen (bzw. kompakt, falls
A kompakt ist). Es ist supy∈A d(y, A0 ) = 0, da A ⊆ A0 und supz∈A0 d(z, A) = d(x, A), also
δ (A, A0 ) = max(sup d(y, A0 ), sup d(z, A)) = d(x, A) < ε und demnach x ∈ A0 ⊆
y∈A
z∈A0
1
[
Kδα (A, ε).
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Karsten Evers
Ist x ∈ Kδα (A, ε), so ∃ A0 ∈ Kδα (A, ε) mit x ∈ A0 . Also max(supy∈A d(y, A0 ), supz∈A0 d(z, A)) = δ (A, A0 ) < ε.
Insbesondere d(x, A) ≤ supz∈A0 d(z, A) < ε und somit x ∈ Uεd (A).
(f) Sei ε > 0 und K ∈ κ. Zeigen wir Kδκ (K, ε) ∈ τκ . Es genügt, wenn wir in E offene U1 , ...,Un finden mit
S
K ∈ V (U1 , ...,Un ) ∩ κ ⊆ Kδκ (K, ε). Da K kompakt ist, gibt es x1 , ..., xn ∈ K mit K ⊆ nk=1 KdE (xk , 31 ε). Setze dann
Uk := KdE (xk , 31 ε). Sei K 0 ∈ V (U1 , ...,Un )∩κ. Es folgt δ (K, K 0 ) = max(supx∈K d(x, K 0 ), supy∈K 0 d(y, K)). Schätzen
wir supx∈K d(x, K 0 ) ab. Sei x ∈ K. Dann gibt es ein k mit x ∈ Uk . Sei y ∈ Uk ∩ K 0 . Es folgt d(x, K 0 ) ≤ d(x, y) <
2 · 31 ε, also supx∈K d(x, K 0 ) ≤ 23 ε < ε. Analog bekommen wir supy∈K 0 d(y, K) < ε, also δ (K, K 0 ) < ε. Für die
Rückrichtung beweisen wir, dass die Elemente der Subbasis S := {V (U) ∩ κ | U ∈ τ \ {0}}
/ ∪ {V (X,U) ∩ κ | U ∈
τ \{0}}
/ offen bzgl. δκ sind. Sei K ∈ V (U)∩κ, für in E offenes U. Also K ⊆ U.SDann ∃ ε > 0 mit K ⊆ Uεd (K) ⊆ U
(wegen (d)). Es folgt Kδκ (K, ε) ⊆ V (U), denn K 0 ∈ Kδκ (K, ε) impliziert K 0 ⊆ Kδκ (K, ε) = Uεd (K) ⊆ U (wegen
(e)). Sei nun K ∈ V (X,U). Es folgt K ∩ U 6= 0.
/ Sei x ∈ K ∩ U und sei ε > 0 mit KdE (x, ε) ⊆ U Offenbar ist nun
κ
0
K ∈ Kδ (K, ε) ⊆ V (X,U), denn falls ∃ K ∈ Kδκ (K, ε) mit K 0 ∩ U = 0,
/ dann insbesondere K 0 ∩ KdE (x, ε) = 0.
/ Es
0
0
0
folgt supy∈K d(y, K ) ≥ d(x, K ) ≥ ε, also δκ (K, K ) ≥ ε - Widerspruch.
(g) Aus (f) folgt τ = τδ . Da E kompakt ist, folgt zusammen mit Aufgabe 2 (c) des vorigen Aufgabenzettels,
dass (α, δ ) kompakt ist. Aus Satz 4.5.5. folgt dann die Vollständigkeit.
S
Aufgabe 2
(Collage Theorem1 ) Sei (E, d) ein vollständiger Metrischer Raum, ε > 0 und L eine kompakte Teilmenge von
E. Ist nun
f : E → E, i = 1, ..., n eine Familie von Kontraktionen mit Kontraktionsfaktoren qi , i = 1, ..., n derart,
S i
ε
, wobei q := max(q1 , ..., qn ) und K die eindeutig bestimmte
dass δ ( ni=1 fi (L), L) ≤ ε ist, so gilt δ (K, L) ≤ 1−q
Sn
kompakte Teilmenge mit i=1 fi (K) = K ist.
(Bemerkung: Man muss zu gegebenen kompakten L also nur irgendwie eine Familie von Kontraktionen (ein
S
sogenanntes iteriertes Funktionensystem) ( fi : E → E)ni=1 finden, dass die „Collage“ ni=1 fi (L) der fi (L) die
Sn
Menge L besonders gut approximiert (also δ ( i=1 fi (L), L) möglichst klein ist) und dann approximiert die durch
die ( fi )ni=1 eindeutig bestimmte kompakte Menge K (IFS-Fraktal genannt) immer noch recht gut die Menge L.
Insbesondere im Rn findet man zu gegebenen L und ε solche fi (geeignete gestauchte Drehungen und Verschiebungen). Problem ist halt nur, dies auf möglichst effizientem Wege zu tun. Wir halten trotzdem nochmal fest:
Jede kompakte Menge L im Rn kann durch ein IFS-Fraktal beliebig genau angenähert werden. Denken wir uns
L bspw. als schwarz-weiß Foto, wobei die schwarzen Pixel die kompakte Teilmenge darstellen und haben wir
eine Methode geeignete Kontraktionen zu finden, so dass wir L als Collage verkleinerter Abbildungen von sich
selbst approximieren können, so könnten wir L effizient speichern, denn wir bräuchten ja nur die Kontraktionen
zu speichern. Als Bild lassen wir uns statt L nun das IFS-Fraktal ausgeben, welches wir durch eine Fixpunktiteration bekommen und dafür brauchen wir nur noch Rechenleistung. Das Collage Theorem ist somit eine wichtige
theoretische Grundlage von sogenannten fraktalen Kompressions Verfahren.)
Lösung: Die Notation knüpft an der aus dem
Kapitel Hausdorff-Metrik und Selbstähnlichkeit an. Wir bilden
S
mit der Kontraktion f : κ → κ, f (P) := ni=1 fi (P) rekursiv die Folge L0 := L und Ln+1 := f (Ln ). Mit der
qn
Abschätzung aus dem Fixpunktsatz von Banach erhalten wir dann δ (Ln , K) ≤ 1−q
d(L0 , L1 ), welche für n = 0 in
δ (L0 , K) ≤
1
1−q d(L0 , L1 )
übergeht, also δ (K, L) ≤
d(L, f (L))
1−q
=
S
δ (L, ni=1 fi (L))
1−q
≤
ε
1−q .
Aufgabe 3
Sei 0 < q1 ≤ ... ≤ qn < 1, n ≥ 1. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes d ≥ 0 mit ∑ni=1 qdi = 1.
Lösung: f : R → R, definiert durch f (x) := ∑ni=1 qxi ist differenzierbar. Offenbar ist f (0) = n. Für die Ableitung
folgt f 0 (x) = ∑ni=1 qdi ln(qi ) < 0, also ist f streng monoton fallend. Wegen limx→∞ f (x) = 0 und da f auch stetig
ist, gibt es somit genau ein d ≥ 0 mit f (d) = 1.
1 Für
eine ausführliche Darstellung siehe [1]
2
Vorlesung: Allgemeine Topologie, Universität Rostock, Sommersemester 2012
Karsten Evers
Aufgabe 4
Berechne die Hausdorff-Dimension2 folgender IFS-Fraktale:
• Einheitsintervall
• Einheitsquadrat
• Cantormenge
• Koch Kurve
• Menger Schwamm
Abbildung 1: Die Koch Kurve (Quelle: Wikipedia)
Abbildung 2: Der Menger Schwamm (Quelle: Wikipedia)
Ohne Beweis darf folgender Satz verwendet werden (siehe [2]):
Sei fi : Rm → Rm , i = 1, ..., n eine Familie von Abbildungen, mit d( fi (x), fi (y)) = qi d(x, y), wobei d die
Euklidische Metrik ist und 0 ≤ qi < 1 gilt. Sei weiter U 6= 0/ eine offene Menge, mit fi (U) ∩ f j (U) = 0,
/
für i 6= j und fi (U) ⊆ U (open set condition). Dann gilt für die Hausdorff-Dimension dH des zugehörigen
IFS-Fraktals: ∑ni=1 qdi H = 1. (Bemerkung: Erzeugen zwei verschiedene iterierte Funktionensysteme, die der
open set condition genügen, das gleiche IFS-Fraktal K, so ist das dH trotzdem eindeutig bestimmt.)
Lösung: Einheitsintervall: Das Einheitsintervall lässt sich erzeugen von den beiden Funktionen f1 (x) = x/2 und
f2 (x) = x/2 + 1/2. Die open set condition ist dann offenbar mit dem offenen Einheitsintervall bereits erfüllt und
wir bekommen ( 12 )dH + ( 21 )dH = 1, also dH = 1.
Einheitsquadrat: Das Einheitsquadrat lässt sich erzeugen von den 4 Funktionen f1 (x, y) = (x/2, y/2), f2 (x, y) =
(x/2 + 1/2, y/2), f3 (x, y) = (x/2, y/2 + 1/2) und f4 (x, y) = (x/2 + 1/2, y/2 + 1/2). Die open set condition ist
mit dem offenen Einheitsquadrat erfüllt und wir bekommen ( 12 )dH + ( 12 )dH + ( 12 )dH + ( 12 )dH = 1, also dH = 2.
Cantormenge: Die Cantormenge lässt sich erzeugen von den beiden Funktionen f (x) := 13 x und g(x) := 13 x + 23
und die open set condition ist dann offenbar mit dem offenen Einheitsintervall erfüllt, so dass wir die Gleichung
( 31 )dH + ( 13 )dH = 1 erhalten und somit auf dH = ln(2)
ln(3) kommen.
2 Der Begriff Hausdorff-Dimension wurde in der Vorlesung nicht eingeführt und wird es auch nicht. Zur Lösung
der Aufgabe ist es auch nicht erforderlich. Wer trotzdem mehr wissen möchte, belese sich. ,
3
Literatur
Koch Kurve: mit ein bischen linearer Algebra bekommt man die Drehmatrizen
√
1/2 − 3/2
1/2
√
Dπ/3 = √
und D−π/3 =
− 3/2
3/2
1/2
√
3/2
1/2
und kann durch stauchen, drehen und verschieben 4 erzeugende Funktionen der Kochkurve angeben:
f1 (x, y) := 31 · (x, y)= (x/3,
y/3)
√
√
x
1/3
1
f2 (x, y) := 3 Dπ/3 ·
+
= ( x− 63y+2 , 3x+y
6 )
y
0 √
√
√
x
1
2/3
3
f3 (x, y) := 13 D−π/3 ·
−
+
)
= ( x+ 63y+3 , − 3x+y+
6
y
0
0
y
f4 (x, y) := 13 · (x, y) + (2/3, 0) = ( x+2
3 , 3)
Offenbar gilt nun
0 0
d( f1 (x, y), f1 (x0 , y0 )) = 31 d((x, y),
0 (x , y)), 0 1
1
x
x
x
x
1
0
0
= d((x, y), (x0 , y0 )),
= 3 d( f2 (x, y), f2 (x , y )) = 3 Dπ/3
−
−
0
0
3
y y 0 y y 0 1
1
x
x
x
x
= d((x, y), (x0 , y0 )),
= d( f3 (x, y), f3 (x0 , y0 )) = 13 D−π/3
−
−
3
3
y
y
y0
y0
d( f4 (x, y), f4 (x0 , y0 )) = 13 d((x, y), (x0 , y0 )).
Außerdem erfüllt das iterierte Funktionensystem f1 , f2 , f3 , f4 mit dem offenen Einheitsquadrat die open set condition und für die Hausdorff Dimension dH der Koch Kurve gilt folglich 1 = ( 31 )dH + ( 31 )dH + ( 13 )dH + ( 31 )dH =
4( 13 )dH und somit dH =
ln(4)
ln(3) .
Menger Schwamm: Offenbar wird der Menger Schwamm durch die folgenden 20 Funktionen erzeugt:
f1 (x, y, z) := (x/3, y/3, z/3)
f2 (x, y, z) := (x/3, y/3, z/3) + (1/3, 0, 0)
f3 (x, y, z) := (x/3, y/3, z/3) + (2/3, 0, 0)
f4 (x, y, z) := (x/3, y/3, z/3) + (1/3, 1/3, 0)
..
.
f20 (x, y, z) := (x/3, y/3, z/3) + (2/3, 2/3, 2/3)
Außerdem ist mit dem offenen Einheitswürfel die open set condition erfüllt und wir erhalten für dessen Hausdorff
Dimension dH die Gleichung 20( 13 )dH = 1, also dH = ln(20)
ln(3) .
Literatur
[1] M. F. BARNSLEY: Fractals everywhere; Acadamic Press , Inc; 1993
[2] J. E. H UTCHINSON: Fractals and Self Similarity; Indiana Uni. Mathematics Journal, Vol. 30, No. 5 (1981)
4