Einführung in die Quantenfeldtheorie Univ.

Einführung in die Quantenfeldtheorie
Univ.-Prof. Andreas Läuchli und Dr. Thomas Lang
Blatt 2
08.04.2016
Aufgabe 1: Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld
R
Die Lagrangefunktion eines geladenen Teilchens im elektromagnetischen Feld L = − 14 d3 xFµν F µν ist
durch den Feldstärketensor




0 −E 1 −E 2 −E 3
0
E1
E2
E3
E 1
−E 1
0
−B 3 B 2 
0
−B 3 B 2 
µν
 ,

 ,
(1)
F
=
Fµν = 
2
3
2
3
1
E
−E
B
0
−B 1 
B
0
−B 
E 3 −B 2 B 1
0
−E 3 −B 2 B 1
0
beschrieben. Die jeweiligen Feldkomponenten können durch die richtige Wahl der Indizes extrahiert
werden. Das elektrische Feld ist z.B. E i = −F 0i = F i0 und das Magnetfeld B i = − 12 εijk F jk . Der LeviCivita Tensor εijk ist hierbei 1 (−1) wenn ijk eine gerade (ungerade) Permutation ist. Die beiden
Felder sind mit dem Vier-Verktorpotential Aµ = (V, A) durch die Beziehungen
B=∇×A ,
und
E=−
∂A
− ∇V ,
∂t
(2)
verknüpft. V beschreibt das elektrische Potential.
(a) Zeigen Sie, dass in Abwesenheit eines elektrischen Potentials (V = 0), Fµν F µν = 2(B2 − E2 ) =
2(B2 −Ȧ2 ) und berechnen Sie mit Hilfe des konjugierten Impluses π̂ i = ∂L/∂(∂0 Ai ) die HamiltonscheDichte H = π̂ i Ȧi − L.
(b) Nutzen Sie die Euler-Lagrange Gleichung um auf die Beziehung ∂µ F µν = 0 zu kommen, welche
die freien Maxwell Gleichungen ∇ · E = 0 und ∇ × B = Ė beschreibt.
(c) Zeigen Sie explizit, dass man die freien Maxwell Gleichungen durch
∂λ Fµν + ∂µ Fνλ + ∂ν Fλµ = 0 ,
(3)
erhält.
(d) Durch Hinzufügen der Stromdichte ∂µ F µν = J ν = (ρ, J) bekommt man die anderen beiden Maxwell Gleichungen. Zeigen Sie dies wie in (b) und überlegen Sie – wie sieht nun die zugehörige
Lagrangedichte aus? Hinweis: Die Stromdichte koppelt linear an das Vektorpotential.
Aufgabe 2: Quantisierung des freien skalaren Feldes
In der Vorlesung haben Sie, ausgehend von der klassischen Lagrangedichte und dem einfachen harmonischen Oszillator, das skalare Feld und den konjugierten Impuls durch Leiteroperatoren ausgedrückt:
Z
d3 k
p
(4)
φ(x) =
ak eik·x + a†k e−ik·x ,
2(2π)3 ωk
Z
d3 k
†
(5)
ωk −ak eik·x + a†k e−ik·x .
π̂(x) = φ̇(x) = i p
2(2π)3 ωk
1
Einführung in die Quantenfeldtheorie
Univ.-Prof. Andreas Läuchli und Dr. Thomas Lang
Blatt 2
08.04.2016
Leiten Sie nun aus den kanonischen Kommutationsregeln
h
i
h
i h
i
φ(x, t), φ̇(y, t) = iδ(3) (x − y) ,
und
φ(x, t), φ(y, t) = φ̇(x, t), φ̇(y, t) = 0 .
die Kommutationsregeln mit den Leiteroperatoren her:
i
i h
h
i
h
(3)
ak , aq = a†k , a†q = 0 .
ak , a†q = δk−q ,
2
(6)
(7)