Mathe 1. Semester Stoffplan und Begriffe

Kunming Metallurgy College
Mathematik 1. Semester
Wintersemester (2014/15)
Stoffplan und Begriffe
Wiederholung Stoff Tino Nietsch
Autor:
Herbert Müller (herbert-mueller.info)
Quellen:
Mathematik-Aufgaben-Sammlung 1. Semester der Hochschule Anhalt (D)
Stoffplan Mathematik 1. Semester der Hochschule Anhalt (D)
Unterrichts-Material Tino Nietsch
1
Stoffplan und Begriffe
Grundrechenoperationen +, −, ·, / (oder :)
Addition:
3 + 5 → 3 plus 5 → 3 und 5 addieren (→ 3 um 5 vermehren)
3 und 5 heissen Summanden (m), 3 + 5 heisst Summe (f)
Subtraktion:
3 − 5 → 3 minus 5 → 5 von 3 subtrahieren (→ 3 um 5 vermindern)
(3 heisst Minuend (m), 5 heisst Subtrahend (m)), 3 −
5 heisst Differenz (f)
Multiplikation:
3 · 5 → 3 mal 5 → 3 und 5 multiplizieren (→ 3 um 5 vervielfachen)
3 und 5 heissen Faktoren, 3 · 5 = 15 heisst Produkt (n)
Division (= Teilung):
3 / 5 → 3 durch 5 → 3 durch 5 dividieren (= teilen)
3 heisst Dividend (m) (= Zähler (m)), 5 heisst Divisor (m) (= Nenner (m)), 3 / 5 heisst Quotient (m) (= Bruch (m)).
15 ist durch 3 ohne Rest (m) teilbar.
8/3 heisst unechter Bruch (da ≥ 1), 2/3 heisst echter Bruch (da < 1).
8/3 = 2 + 2/3 → unechter Bruch = ganze Zahl + echter Bruch.
Einige praktische Begriffe (m) :
8a+6a=14a , 3a⋅4ab=12a 2 b → vereinfachen, zusammenfassen
(...) heisst Klammer
8a+6a 2=2a (4+3a ) → 2a ausklammern
3ab+2a 21b 14=( 2+3b)( a 7) → faktorisieren
(2+3b)(a 7)=3ab+2a 21b 14 → Klammern (f) ausmultiplizieren oder auflösen
3 6
=
→ mit 2 erweitern
5 10
6 3
= → kürzen
10 5
3 9 44
+ =
→ gleichnamig machen; 30 heisst Hauptnenner (m)
10 6 30
Rechenregeln:
•
Multiplikation & Division kommt vor Addition & Subtraktion:
a·b + c = (a·b) + c ≠ a·(b + c)
•
a/b + c = (a/b) + c ≠ a/(b + c)
Distributivgsetz: a·(b + c)= a·b + a·c
2
Aussagen-Logik
A und B sind Aussagen (f), z. B. A: 4<7, B: 5<3. Eine Aussage ist wahr oder falsch. A ist wahr, B ist falsch.
Die Negation und die folgenden Aussagen-Verknüpfungen sind durch ihre Wahrheitstabelle definiert:
¬A
"nicht A" (f);
A∧ B
"A und B" (f);
A∨ B
"A oder B" (w);
A⇒B
"aus A folgt B" (f);
A⇔B
"A äquivalent B" (f).
In der Digitaltechnik wird wahr und falsch mit Strom 1 und Strom 0 realisiert, und die Negation und
Aussagen-Verknüpfungen werden mit Logikgattern realisiert.
Abkürzungen (f): ∃ x : "es gibt ein x so dass..."; ∃! x : "es gibt genau ein x so dass..."; ∀ x "für alle x ...".
Mengenlehre
A={x ∈ℕ∣x ist gerade} → Menge (f) in beschreibender Form (f) ( ℕ ist die Grundmenge (f))
A={0 , 2 , 4 , 6...} → Menge in aufzählender Form (gerade Zahlen)
̄A={1 ,3 , 5...} → A quer → Komplement (n) der Menge A in der Grundmenge (ungerade Zahlen)
2∈ A → 2 ist ein Element (n) der Menge (f) A
3∉ A → 3 ist nicht (oder: kein) Element der Menge A
A⊂ B → A ist eine Teilmenge (f) von B
∅ → leere Menge
A∪ B → A vereinigt mit B → Vereinigung (f) von A und B
A∩ B → A geschnitten mit B → Schnittmenge (f) von A und B
A ∖ B → A ohne B → Differenzmenge (f) von A und B
A ∆ B → Überschuss (m) von A und B → symmetrische Differenz (f) von A und B
A× B → A kreuz B → (kartesische) Produktmenge (f) von A und B
Oft ist ein Mengendiagramm (n) = VENN-Diagramm (n) hilfreich für das Verständnis von Mengen.
Zahlenmengen:
ℕ ist die Menge der natürlichen Zahlen (0 gehört dazu)
ℤ ist die Menge der ganzen Zahlen
ℚ ist die Menge der rationalen Zahlen
ℝ ist die Menge der reellen Zahlen
[3,5] → Intervall (n) von 3 bis 5 , 3 und 5 gehören dazu
]3,5[ → Intervall von 3 bis 5 , 3 und 5 gehören NICHT dazu
]─∞,5] , ]2,+∞] → ±∞ wird immer ausgeschlossen
3
Potenz und Logarithmus
Potenzieren
35 → "3 hoch 5"
3 heisst Basis (f), 5 heissen Exponent (m), 35 heisst Potenz (n)
√5 3 = 31/5 → 5. Wurzel (f) aus 3
Rechenregeln: b a=e a⋅ln b ; b x⋅b y =b x+ y ; b x /b y =b x
y
a
; (b x ) y =b x⋅y =( b y ) x ; b =
1
a
a a
a ; (b1⋅b 2 ) =b 1⋅b 2
b
Logarithmieren
logb a → Logarithmus (m) von a zur Basis b
log2 3 = lb 3→ Logarithmus (m) von 3 zur Basis 2 → binärer Logarithmus von 3
loge 3 = ln 3 → Logarithmus (m) von 3 zur Basis e → natürlicher Logarithmus (m) von 3
log10 3 = lg 3 → Logarithmus (m) von 3 zur Basis 10 → dekadischer Logarithmus (m) von 3
Rechenregeln: logb a=ln a /ln b=1/log a b ; logb ( x⋅y)=logb x+logb y ; logb ( x / y )=logb x log b y ;
logb x y = y⋅logb x .
Fakultät, Binomialkoeffizient, binomischer Lehrsatz, binomische Formeln
5! = 5·4·3·2·1 → 5 Fakultät (f)
()
5!
5⋅4⋅3
5 =
=10 → 5 tief 3 → Binomialkoeffizient (m)
=
3 3!(5 3)! 1⋅2⋅3
Berechnung der Binomialkoeffizienten mit dem
Pascal'schen Dreieck (n) = Yang-Hui-Dreieck (Zhu Shijie, 1303).
Binomischer Lehrsatz (m)
Binomische Formeln: a 2±2 ab+b2 =(a±b)2 , a 2 b2=(a b)(a+b)
4
Funktionen
Eine Funktion (f) ist eine Abbildung
(f) einer
Menge D: Definitionsbereich,
auf eine Menge W: Wertbereich. Im Beispiel rechts ist D={a , b , c , d } und
,
von f
heisst a ∈ D das Argument (n)
}. In der Gleichung f(a
der Funktionswert (m) von a
) aus der
Produktmenge D×W heisst Wertepaar (n). Alle Wertepaare einer Funktion
heissen Graph (m). (Oft meint man mit Graph die Zeichnung der Funktion.)
Wir beschäftigen uns nur mit Abbildungen von D=ℝ (oder ein Teil von ℝ ) auf W =ℝ (oder ein Teil
von ℝ ), z. B. f (x )=x+2 (oder y=x +2 ).
Eine Funktion f : D →W mit x 1≠x 2 ⇒ f ( x1 )≠ f ( x 2) heisst eineindeutig oder bijektiv.
Zu einer bijektiven Funktion (= Abbildung) f gibt es eine Umkehr-Funktion (= Umkehrabbildung) f−1.
Die Funktion f: {a , b , c , d } → {
,
} ist nicht bijektiv, und hat keine inverse
Funktion.
Die Funktion f ( x )=x+2 (oder y=x +2 ) ist bijektiv; die inverse Funktion lautet
f
1
( y)= y 2 (oder x= y 2 ).
* g ( x)= f ( x 6) heisst Verschiebung (f) von f um 6; g ( x)= f (6 x ) heisst Spiegelung (f) von f an x = 3.
* g ( x)= f ( x /5) heisst Streckung (f) von f um 5; g ( x)= f (5x ) heisst Stauchung (f) von f um 5.
Eine Funktion steigt monoton wenn gilt: x 1<x 2 ⇒ f ( x1 )< f ( x 2) .
Eine Funktion fällt monoton wenn gilt: x 1<x 2 ⇒ f ( x1 )> f ( x 2) .
Eine Funktion f(x) heisst periodisch wenn es Zahlen X1, X2, X3 ... gibt
mit ∀ x : f ( x± X n )= f ( x) . Die Zahl X = min{X1, X2, X3 ...} heisst
Periode von f. Analog: f(t) hat die Periode T, siehe Beispiel rechts.
Gleichungen und Ungleichungen
Eine Gleichung (f) in x sieht so aus: f (x )=g ( x) . Die x-Werte welche die Gleichung erfüllen heissen "die
Lösung (f) der Gleichung". Eine Lösung (f) der Gleichung f (x )=0 heisst auch Nullstelle (f) von f.
Eine Ungleichung in x sieht so aus: f ( x )<g ( x) od. f ( x )⩽g ( x) od. f ( x )>g ( x) od. f ( x )⩾g ( x) .
Die x-Werte welche die Unleichung erfüllen(gewöhnlich ein Intervall oder eine Vereinigung von
Intervallen) heissen "die Lösung der Ungleichung". Folgende Ungleichungen sind äquivalent:
f ( x )<g ( x) , h ∘ f (x )<h ∘ g ( x) wenn h monoton steigt (z. B. h( x)=3+x , 5x , √ x , exp( x ), ln( x) )
f ( x)> g ( x ) , h ∘ f ( x )>h ∘ g ( x) wenn h monoton fällt (z. B. h( x)=3 x , 5x , 1/ x ).
5
Polynome und rationale Funktionen
Ein Polynom (n) vom Grad n ist eine Funktion p :ℝ →ℝ mit der Form: p ( x )=a 0+a1 x+a 2 x 2+...+a n x n
(Statt Polynom sagt man auch ganz-rationale Funktion.)
p ( x )=7 → konstantes Polynom = Polynom 0. Grades
p ( x )=x+2 → lineares Polynom = Polynom 1. Grades
p ( x )=3x
2
1000x+2 → quadratisches Polynom = Polynom 2. Grades
3
2
p ( x )=3x +6x +3x 12 → kubisches Polynom = Polynom 3. Grades
Satz: Jedes reelle Polynom vom Grad ≥ 3 lässt sich als Produkt von linearen und quadratischen
Polynomen schreiben. Beispiel: p (x )=3x 3+9x 2+3x 15=3(x 1)(x 2 +4x+5)
Eine rationale Funktion ist der Quotient von zwei Polynomen, z. B. q ( x )=
4x 2 100x+2
2x 4
(Statt rationale Funktion sagt man auch gebrochen-rationale Funktion.)
Polynom-Division ergibt q ( x )=2x 46+
182
=q∞ ( x)+q0 ( x)
2x 4
Für x →±∞ gilt q ( x )→ q ∞ ( x ) , deshalb heisst q ∞ ( x )=2x 46 asymptotisches Polynom von q
(asymptotisch heisst x →±∞ ).
q ( x )=
4x
2
182
100x+2
heisst unecht gebrochen, q 0 (x )=
heisst echt gebrochen.
2x
4
2x 4
Die Nenner-Nullstelle x = 2 ist eine Definitions-Lücke (f).
q( x)=±∞ .
Eine Definitionslücke x = a heisst Pol (m) von q wenn lim
x →a
q( x)=±∞ , somit ist x = 2 ein Pol von q.
Im Beispiel ist lim
x→ 2
6
Exponential-Funktionen und Logarithmusfunktionen
Die Exponential-Funktionen zur Basis a sind y=a x . Oft ist die Basis a = 2 (binäre Exponential-Funktion),
e = 2.718... (natürliche Exponential-Funktion) oder 10 (dekadische Exponential-Funktion). Die Eulersche
Zahl e ist die natürliche Basis, weil (ex)' = ex. Umrechnung (f): a x =e x⋅ln a .
Die Umkehrfunktionen y=log a (x ) heissen Logarithmus-Funktion zur Basis a. Spezielle Basen sind 2:
log2 ( x)=lb( x) (binärer Logarithmus); e: loge (x )=ln ( x) (natürlicher Logarithmus); und 10:
log10 ( x )=lg( x) (dekadischer Logarithmus). Umrechnung: loga ( x)=ln ( x)/ln (a) .
7
Trigonometrische Funktionen
Trigonometrische Funktion = Dreiecks-Funktion (Trigon = Dreieck).
Die wichtigen trigonometrischen Funktionen sind sin, cos, tan (Sinus, Cosinus, Tangens):
Die Umkehr-Funktionen heissen arcsin, arccos, arctan (Arkus Sinus, Arkus Cosinus, Arkus Tangens)
Die Periode von sin(α) und cos(α) ist 2π, die Periode von tan(α) ist π. Die Periode von A·sin(kx−δ) und
A·cos(kx−δ) ist 2π/k, die Periode von A·tan(kx−δ) ist π/k.
sin und cos: das Argument α = kx−δ heisst Phasenwinkel; der Winkel δ heisst Phasenverschiebung; die
Zahl k heisst Wellenzahl; die Zahl A heisst Amplitude.
8
Numerische Verfahren zur Bestimmung der Nullstelle einer Funktion
Newton-Verfahren:
1. Wähle x0 nahe bei der Nullstelle
2. Berechne f(x0)
3. Lege die Tangente in (x0, f(x0)) an f.
Die Nullstelle der Tangente ist x1.
4. Berechne f(x1)
5. Lege die Tangente in (x1, f(x1)) an f.
Die Nullstelle der Tangente ist x2.
6. Und so weiter...
Regula falsi:
1. Wähle x0 links von der Nullstelle. Setze a =x0. Sei f(a) < 0.
2. Wähle x1 rechts von der Nullstelle. Setze b =x1. Es muss gelten: f(b) > 0.
3. Verbinde die Punkte (a, f(a)) und (b, f(b)). Die Nullstelle der Verbindungs-Geraden ist x2.
4. Berechne f(x2). Wenn f(x2) < 0 dann setze a = x2. Wenn f(x2) > 0 dann setze b = x2.
5. Verbinde die Punkte (a, f(a)) und (b, f(b)). Die Nullstelle der Verbindungs-Geraden ist x3.
6. Berechne f(x3). Wenn f(x3) < 0 dann setze a = x3. Wenn f(x3) > 0 dann setze b = x3.
7. Und so weiter...
Komplexe Zahlen
*Pioniere der komplexen Zahlen und ihre Bücher:
G. Cardano: Ars magna 1545
L.. Euler: Introductio in analysin infinitorum 1748
A.-L. Cauchy: Cours d’analyse 1821
C.F. Gauss: 1831
Motivation: x 2=1 ⇒ x=±1 : klar! x 2= 1⇒ x=±√ 1 : geht das??? Ja, es geht wenn man die reellen
Zahlen erweitert: statt mit einer Zahl x rechnet man mit einem Zahlenpaar (x,y). Es soll gelten:
(1,0)2 = 1, d. h. (1,0) ist die gewöhnliche 1.
(0,1)2 = −1, d. h. (0,1) ist die neue "Zahl"
√ 1.
Die "komplexe Zahl" (Gauss) z=( x , y ) schreibt man
traditionell z= x+ y i oder z= x+i y . x heisst Realteil von z, y heisst Imaginärteil von z, i= √ 1=(0 ,1)
heisst "imaginäre Einheit" (Euler). Es gilt i 2= 1 .
Geometrische Darstellung: ( x , y ) sind die
kartesischen Koordinaten des Punktes z in der
Gaussschen Zahlen-Ebene (x-Achse = reelle Achse,
9
y-Achse = imaginäre Achse). Man kann z auch mit Polar-Koordinaten (r, ϕ) (oder r ∢φ ) beschreiben.
r heisst Betrag von z, ϕ heisst Argument von z.
Kartesische Darstellung einer komplexen Zahl: z= x+ y i=x +i y
Polar-Darstellung einer komplexen Zahl: z=r ( cos(φ)+isin (φ))≡r cis(φ)=r ei φ (Erklärung folgt.)
Umrechnung kartesisch → polar: r =√ x 2+ y 2 , φ=arctan( y / x) .
Umrechnung polar → kartesisch : x=r cos( φ) , y=r sin (φ) .
̄z =r cis( φ)
̄z = x yi
Konjugation
Die Grundrechenarten werden so definiert:
z 1+ z 2=( x 1+ y 1 i)+(x 2+ y 2 i)=( x 1+x 2 )+( y1 + y 2)i
Addition
(Die Formeln in Polar-Darstellung sind unübersichtlich.)
z 1 z 2=( x 1+ y 1 i) (x 2+ y 2 i)=( x 1 x 2 )+( y1
Subtraktion
y 2)i
(Die Formeln in Polar-Darstellung sind unübersichtlich.)
z 1⋅z 2=( x 1+ y 1 i)⋅( x 2+ y 2 i)=(x 1 x 2 y 1 y 2)+(x 1 y 2+x 2 y 1)i
Multiplikation
z 1⋅z 2=r 1 cis( φ1)⋅r 2 cis(φ2 )=r 1 r 2 cis(φ1+φ2)
Beträge multiplizieren, Winkel addieren!
x 1+ y 1 i ( x 1 x 2+ y 1 y 2 )+(x 1 y 1 x 2 y 2 )i
=
x 2+ y 2 i
x 22+ y 22
Division
Mit z̄2 erweitern!
r 1 cis φ1 r 1
= cis(φ1 φ2)
r 2 cis φ2 r 2
Beträge dividieren, Winkel subtrahieren!
Aus den Grundrechenarten folgt die Eulersche Formel: ei φ=cos φ+i sin φ=cisφ
Ein Spezialfall der Eulerschen Formel ist die Eulersche Identität: ei π= 1
*Nun kann man Potenzieren und Logarithmieren definieren (reelle Basis):
x+i y
x
*Potenzieren:
a
*Logarithmieren:
loga ( x+i y)=loga √ x + y +
(Die Formeln in Polar-Darstellung sind unübersichtlich.)
=a ⋅cis( y ln a)
2
2
i
y
arctan
ln a
x
loga (r cis φ)=loga r+
iφ
ln a
Satz: Jedes komplexe Polynom vom Grad ≥ 2 lässt sich als Produkt von linearen Polynomen schreiben.
Beispiel: p ( z )=3z 3+9z 2+3z 15=3( z 1)( z+2+i )( z +2 i)
Fundamentalsatz der Algebra: Jedes komplexe Polynom vom Grad ≥ 1 besitzt mindestens eine Nullstelle.
Matrizen
Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen:
(
A= 1
3
)
5 2
ist eine 2x3-Matrix
4 0
( )
1
B= 5
2
Die 2x3-Matrix A hat 2 Zeilen, 3 Spalten und 6 Elemente.
10
3
4 ist eine 3x2-Matrix
0
Eine mxn-Matrix hat m Zeilen (waagrecht), n Spalten (senkrecht), und m∙n Elemente (die Zahlen).
Gewöhnlich ist m , n⩾2 ; sonst spricht man von einem Vektor oder einer Zahl.
()
Die 1x1-Matrix c= 9 ist eine Zahl.
Die 1x4-Matrix ⃗
v =( 2 1
7
2
1
⃗=
Die 4x1-Matrix w
heisst Spaltenvektor.
7
2
2)
heisst Zeilenvektor.
(
Eine Matrix bezeichnet man meist mit einem fetten Grossbuchstaben,
a 11 a 12
A= a 21 a 22
⋮
⋮
a m1 a m2
⃗
z. B. A oder B. Von Hand schreibt man auch A
⃗ oder ⃗
⃗
B . Die Elemente
der Matrix schreibt man a ij oder bij , wo 1⩽i ⩽m und 1⩽ j⩽n .
⋯ a 1n
⋯ a 2n
⋱ ⋮
⋯ a mn
)
i nummeriert die Zeilen, j nummeriert die Spalten.
Die Beispiel-Matrix A hat die Elemente a 11 = 1 , a 12=5 , a 13 =2 , a 21 =3 , a 22= 4 , a 23=0 .
Die Elemente a 11 , a 22 , a 33 ... bilden die Diagonale der Matrix. Spiegelt man eine Matrix A oder B an
ihrer Diagonalen, so erhält man die transponierte Matrix At oder Bt. In den Beispielen oben ist Bt = A
v und der Spaltenvektor w
und At = B , und der Zeilenvektor ⃗
⃗ sind ebenfalls zueinander transponiert.
Matrizen kann man addieren, subtrahieren, und multiplizieren. Dazu kommt skalar multiplizieren.
Addition:
Man kann nur 2 Matrizen mit gleich vielen Zeilen und gleich vielen Spalten addieren:
A+ B=(a ij )+(bij )=(a ij +bij )
Beispiel:
(
)(
1
3
5 2
4 2
+
4 0
3 2
)(
0
3
=
0
1
2
1
)
3 2
6 1
)
7
2
Subtraktion:
Man kann nur 2 Matrizen mit gleich vielen Zeilen und gleich vielen Spalten subtrahieren:
A B=(a ij ) (bij )=(a ij bij )
Beispiel:
(
1
3
5 2
4 0
)(
4 2
3 2
)(
0 = 5
1
6
Multiplikation:
Man kann 2 Matrizen A und B nur multiplizieren, wenn gilt: Spaltenzahl(A) = Zeilenzahl(B). Die Elemente
der Matrix A·B erhält man indem man jede Zeile von A mit jeder Spalte von B skalar multipliziert.
A⋅B=(a ij )⋅(b jk )=( ∑ a ij b jk )
j
Beispiel:
(
)(
4
5 2⋅
2
4 0
0
1
3
3
2
1
)(
2 0
6
1 0 =
4
3 0
Die Matrix A·B hat gleich viele Zeilen wie A, und gleich viele Spalten wie B.
Vorsicht: im Allgemeinen ist A⋅B≠ B⋅A !
Skalare Multiplikation:
λ A=λ (a ij )=(λ a ij )
(
Beispiel: 3×
1
3
11
)(
5 2 = 3
4 0
9
15 6
12 0
)
11
17
9 0
2 0
)
Quadratische Matrizen, die Determinante und die inverse Matrix
Matrizen mit "Zeilenzahl = Spaltenzahl" nennt man quadratische Matrizen. Sie kommen sehr häufig vor,
und haben einige Besonderheiten.
(
)
1 0 ⋯
Die Matrix I = 0 1 ⋯ heisst Einheitsmatrix.
⋮ ⋮ ⋱
(
(
a11 a 12
0 a 22
Die Matrix A=
⋮ ⋮
0
0
a 11 0
a 22
a
Die Matrix A= 21
⋮
⋮
a m1 a m2
⋯ a 1m
⋯ a 2m
⋱ ⋮
⋯ a mm
)
)
heisst obere Dreiecksmatrix.
⋯ 0
⋯ 0
heisst untere Dreiecksmatrix.
⋱ ⋮
⋯ a mm
Eine Matrix A mit At = A heisst symmetrisch. Beispiel:
(
)
3 8
.
8 5
Eine Matrix A mit At = A heisst anti-symmetrisch. Beispiel:
(
a 11 a 12
a
a 22
Die Determinante der mxm-Matrix A= 21
⋮
⋮
a m1 a m2
(
)
0 8
.
8 0
)
⋯ a 1m
⋯ a 2m =( a⃗ , a⃗ ,⋯, a⃗ )
1
2
m ist das Volumen des m⋱ ⋮
⋯ a mm
dimensionalen Parallelogramms das durch die Vektoren a⃗1 , a⃗2 ,⋯, a⃗m erzeugt wird.
Man benötigt die Determinante unter anderem um die inverse Matrix zu berechnen.
Zwei Matrizen A und B heissen zueinander invers wenn A⋅B=I =B⋅A . Man schreibt B= A
"B ist die zu A inverse Matrix". Ebenso: A= B
1
1
und sagt
und "A ist die zu B inverse Matrix".
Die 1x1-Matrix a hat die Determinante det(a) = a und die inverse Matrix a 1=1/a .
(
Die 2x2-Matrix A=
)
a 11 a 12
=( a⃗1 , a⃗2 ) hat die Determinante det( A)=a⃗1∧ a⃗2=a11 a 22 a 21 a12 .
a 21 a 22
1
und die inverse Matrix A =
(
1
det A
(
a 22
a 21
)
a 12
.
a11
)
a 11 a 12 a 13
Die 3x3-Matrix A= a 21 a 22 a 23 =( a⃗1 , a⃗2 , a⃗3) hat die Determinante det( A)=a⃗1 ∘( a⃗2∧ a⃗3) .
a 31 a 32 a 33
[Die explizite Formel lautet: det( A)=a 11 (a 22 a33 a32 a 23)+a 21 ( a 32 a 13 a 12 a33)+a 31 (a 12 a 23 a22 a 13 ) ]
12
Rechenregeln:
1. det( A⋅B)=det( A)⋅det (B) und det( A 1)=1/ det( A) und det( At )=det( A) .
2. Wenn die Spalten einer quadratischen Matrix linear abhängig sind, dann ist ihre Determinante 0.
3. Man kann zu einer Spalte eine Linear-Kombination der anderen Spalten addieren ohne dass sich die
Determinante ändert. Die analoge Aussage gilt für Zeilen.
4. Die Determinante von Dreiecksmatrizen ist
(
a 11 a 12
det 0 a 22
⋮ ⋮
0
0
)(
⋯ a1m
a 11 0
⋯ a 2m =det a 21 a 22
⋱ ⋮
⋮
⋮
⋯ a mm
a m1 a m2
)
⋯ 0
⋯ 0 =a ⋅a ⋅...⋅a
11
22
mm
⋱ ⋮
⋯ a mm
Reguläre und singuläre Matrizen
Eine Matrix mit Determinante ≠ 0 heisst regulär. Eine Matrix mit Determinante = 0 heisst singulär.
Zu einer regulären Matrix gibt es eine inverse Matrix, zu einer singulären Matrix nicht (Division durch 0).
Matrix-Gleichungen
Statt der trivialen linearen Gleichung a⋅x =c wollen wir die Matrix-Gleichung A⋅X =C lösen. Die
Dimensionen der 3 Matrizen seien mxm', m'xn und mxn. Wir haben also m'·n Unbekannte und m·n
Gleichungen. Wir betrachten nur den Fall "Anzahl Unbekannte = Anzahl Gleichungen", also m' = m, denn
nur dann gibt es eine eindeutige Lösung (wenn nichts schief geht). Die Dimensionen der 3 Matrizen sind
dann mxm, mxn und mxn. .
Die Auflösung der Matrix-Gleichung A⋅X =C geschieht mit dem Gauss-Jordan-Algorithmus. Zuerst
kürzt man das Gleichungssystem ab mit der zusammengesetzten Matrix ( A∣C ) . Diese Matrix kann nun
mit elementaren Zeilen-Umformungen verändert werden, ohne dass sich die Lösung der zugehörigen
Matrix-Gleichung ändert.
Rij (λ) : Zeile i ← Zeile i + λ·Zeile j
S i ( λ) : Zeile i ← λ·Zeile i
T ij : Zeile i ↔ Zeile j
Zuerst versucht man die Form (D∣C ' ) zu erreichen, wo D eine obere oder untere Dreiecksmatrix ist.
Dann versucht man die Form (I∣C ' ') zu erreichen, wo I die Einheitsmatrix ist.
Die zugehörige Matrix-Gleichung ist I⋅X =C ' ' , das heisst die Lösung ist X =C ' ' .
Wir wollen zwei Typen von Matrix-Gleichungen lösen: A ⃗x =⃗c (also n= 1) und A⋅X = I (also n= m).
a 11 x 1+a 22 x 2+⋯=c 1
Die erste Gleichung A ⃗x =⃗c beschreibt ein Gleichungs-System in ⃗x : a 21 x 1+a 22 x 2+⋯=c 2
⋯ + ⋯ +⋯=⋯
Die zweite Gleichung A⋅X = I hat als Lösung die zu A inverse Matrix.
13
2 Beispiele zum Gauss-Jordan-Algorythmus
1. Lösen Sie das Gleichungssystem
2. Berechnen Sie die inverse Matrix X von
4 x 1+3x 2+1x 3=+1
+2x 1 2x 2+4x 3= 4 !
3x1 1x 2+0x3=+2
(
4
2
3
3 1
2 4 !
1 0
)
(
4
2
3
3 1
2 4
1 0
(
4
2
3
3 1
2 4
1 0
Matrix-Schreibweise:
(
4
2
3
3 1
2 4
1 0
)( ) ( )
x1
1
x2 = 4
2
x3
)(
x 11 x 12
x 21 x 22
x 31 x 32
)( )
x13
1 0 0
x 23 = 0 1 0
0 0 1
x 33
Verkürzte Schreibweise:
(
4
2
3
3 1
2 4
1 0
∣ )
1
4
2
∣ )
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Die 0 aus der Diagonale entfernen, zum Beispiel mit T 23 .
(
4
3
2
3 1
1 0
2 4
∣ )
(
1
2
4
4
3
2
3 1
1 0
2 4
∣ )
1 0 0
0 0 1
0 1 0
Wegen a23 = 0 ist es am einfachsten, A in eine untere Dreiecksmatrix umzuformen.
3. Zeile vereinfachen: S 3 (1/2) .
(
4
3
1
3 1
1 0
1 2
∣ )
(
1
2
2
4
3
1
3 1
1 0
1 2
∣
1 0 0
0 0 1
0 1/ 2 0
)
In der 1. Zeile 1 zu 0 machen: R13 ( 1 / 2) .
(
9/ 2 7/2 0
3
1 0
1
1 2
∣ )
2
2
2
(
9/ 2 7/2 0
3
1 0
1
1 2
∣
(
15
3
1
∣
1
0
0
1
0
0
1/ 4 0
0
1
1/2 0
)
In der 1. Zeile 7/2 zu 0 machen: R12 (7/ 2) .
(
15
3
1
0 0
1 0
1 2
∣ )
9
2
2
0 0
1 0
1 2
1/ 4 7/2
0
1
1/2
0
)
Die Diagonal-Elemente zu 1 machen: S 1 ( 1 /15) , S 2 ( 1) , S 3 (1/2) .
(
1
3
1/ 2
0
0
1
0
1 /2 1
∣ )
3/ 5
2
1
(
1
3
1/ 2
0
0
1
0
1 /2 1
∣
1/15 1/ 60
0
0
0
1/ 4
(
1
0
1/2
0
0
1
0
1/2 1
∣
1/15
1/ 5
0
7/30
1
0
)
In der 2. Zeile 3 zu 0 machen: R21 ( 3) .
(
1
0
1/ 2
0
0
1
0
1 /2 1
∣ )
3/ 5
1/ 5
1
14
1/60
1/ 20
1/ 4
7/ 30
3/ 10
0
)
In der 3. Zeile 1/2 zu 0 machen: R31 ( 1 / 2) .
(
1
0
0
0
0
1
0
1/ 2 1
∣ )
3 /5
1/ 5
7/10
(
1
0
0
0
0
1
0
1/ 2 1
∣
1/15 1 /60
1/20
1/ 5
1/ 30 29/ 120
7/ 30
3/ 10
7 /60
)
In der 3. Zeile −1/2 zu 0 machen: R32 (1/ 2) .
(
1
0
0
0
0
1
0
1/ 2 1
∣ )
3 /5
1 /5
4/5
( ∣
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 /15
1 /5
2/ 15
1/60
1/ 20
13/60
7/ 30
3/ 10
1/ 30
)
Die Lösungen lauten somit:
( )
⃗x =
3 /5
1/ 5
4/5
(
X=
1 /15
1/5
2/ 15
1/ 60
1 /20
13/ 60
7/30
3/10
1/30
)
Bemerkungen:
1. Viele verschiedene Abfolgen von elementaren Zeilen-Operationen führen ans Ziel.
2. Wenn man das Gleichungs-Systems A ⃗x =⃗c über ( A∣C ) ) in die Dreiecks-Form (D∣⃗c ' ) gebracht hat,
kann man das neue Gleichungs-System D ⃗x =⃗c ' hinschreiben und die x i einen nach dem anderen
bestimmen. Dieser halbe Gauss-Jordan-Algorithmus heisst Gauss'sches Eliminations-Verfahren.
3. Wenn die Matrix A regulär ist, dann hat das Gleichungs-System A ⃗x =⃗0 nur die triviale Lösung ⃗x =⃗0 .
Wenn die Matrix A singulär ist, dann hat das Gleichungs-System A ⃗x =⃗c unendlich viele Lösungen.
4. ⃗x aus A ⃗x =⃗c und X aus A⋅X = I hängen so zusammen: ⃗x = X⋅⃗c .
5. Die Determinante der Matrix A ist det( A)=( 1)Anzahl T (i , j) /( λ1 λ 2 λ3 ⋯) . Die λ1, λ2, λ3... stammen aus
den elementaren Zeilen-Umformungen S i (λ) . Im Beispiel ist det( A)=( 1)1⋅2⋅( 15)⋅( 1)⋅2= 60 .
15
Übung zur Wortliste Mathe 1 von Tino-Nietsch
Bilden Sie Sätze (normal . , Frage ? , Imperativ Befehl ! ) mit folgenden Worten.
1. Summe 3+4 , betragen (.)
Die Summe 3+4 beträgt 7.
2. Ecken, Dreieck, bezeichnen, Buchstaben (!)
Bezeichnen Sie die Ecken eines Dreiecks mit Buchstaben !
3. zeichnen, Diagramm (!)
Zeichnen Sie ein Diagramm.
4. Dreieck
5. Wasser (H2O), bestehen aus (+ Dativ), Element (.)
Wasser besteht aus den Elementen H und O.
6.
y=3x , Beziehung, linear (.)
Die Beziehung y = 3x ist linear.
7. lösen, Gleichungssystem (!)
Lösen Sie das Gleichungssystem ... !
8. Was, Koordinatensystem (?)
Was ist ein Koordinatensystem ?
Koordinatensystem, bestehen aus, Achse (.)
Ein Koordinatensystem besteht aus den x- und y- Achsen.
9. Problem, lösen (?)
Hast Du viele Probleme gelöst ?
10. berechnen, Quadrat, Fläche, Seitenlänge 3 (!)
Berechnen Sie die Fläche von einem Quadrat mit Seitenlänge 3 !
11. Umfang, Rechteck, Fläche 9 m2, mindestens (.)
Der Umfang eines Rechtecks mit einer Fläche von 9 m2 ist mindestens 12 m.
12. bedeuten, Skalar (?)
Was bedeutet (das Wort) Skalar ?
Skalar, Zahl (.)
Ein Skalar ist eine Zahl.
13. Thema, Lektion, China.
Das Thema von der Lektion ist (nicht) China.
14. lösen, Ungleichung, drei x kleiner (als) vier (!)
Lösen Sie die Ungleichung 3x < 4.
16
15. Unterschied, Viereck, Rechteck (?)
Was ist der Unterschied zwischen einem Viereck und einem Rechteck?
16. Algorithmus
Ein Algorithmus ist eine Anleitung zur Lösung eines Problems, und besteht meistens aus
nummerierten Schritten. (1. Machen sie dies... 2. Machen sie das ... und so weiter))
17. 0.75, Bruch, schreiben (!)
(Schreiben Sie bitte den Bruch von 0.75 !)
Schreiben Sie 0.75 als Bruch !
18. Definitionsbereich, y=3/( x 2) , (?)
Was ist der Definitionsbereich von y=3/( x 2) ?
Was ist der Definitionsbereich (von) der Funktion y=3/( x 2) ?
19. 57 , Basis (.)
Fünf hoch sieben hat die Basis 5.
Die Basis von fünf hoch sieben ist 5.
20. 57 , Exponent (.)
Fünf hoch sieben hat den Exponent 7.
Der Exponent von fünf hoch sieben ist 7.
21. Graph, y=3/( x 2) (!)
Zeichnen Sie den Graph (von) der Funktion y=3/( x 2) !
22. Realteil,
3+4i (.)
23. Imaginärteil,
√ 9 (?)
24. Index, rechts unten (.)
25. Logarithmus, Umkehrfuntion, Exponentialfunktion (.)
26. Quadrant, x-y-Koordinatensystem (.)
( 3240) (?)
34
28. Spalte, Matrix (
(.)
2 0)
34
29. Rang, Matrix (
(!)
2 0)
27. Zeile, Matrix
30. Scheitelpunkt, Parabel, (?)
31. Schnittpunkt, Gerade, y= x+4 , y=3x 12 (.)
32. kaufen, Taschenrechner (!)
33. Nullpunkt, Koordinatesystem, Ursprung (.)
34. Wertebereich, y=√∣x∣+4 (!)
35. Zylinder, Radius r, Höhe h = r, Volumen 5 (.) Berechnen (!)
17
36. Aufgabe, 8 Punkte (.)
37. Darstellung, Vektor, Pfeil (.)
38. Definition, Ableitung y' (!)
39. Berechnen, Determinante 2x2-Matrix
( 3240) .
40. Berechnen, Differenzmenge, A={2,4,9}, B= {1,2,3} (!)
41. Holz, Eigenschaft (!)
42. Eulersche Zahl, betragen (.)
43. Funktion, erfüllen, y' = y (?)
44. Funktion, nennen, auch, Kurve (.)
45. 5/7, ganze Zahl (?)
46. Ganzrationale Funktion, dasselbe sein, Polynom (.)
47. Gebrochenrationale Funktion, Bruch, Polynom (.)
48. lösen, Gleichung x 2 100x=2 (!)
49. vier, Grundrechenoperation, sein (.)
50. komplexe Zahl, enthalten, reelle Zahlen (.)
51. Was, konjugiert komplexe Zahl, 4-7i (?)
52. Geben, Lösungsmenge, Ungleichung x2 > 4 (!)
53. Können, Matrix
( 3240) , invertieren (?)
54. wieviel, Element, enthalten, Menge, Schüler (?)
55. Georg Cantor, erfinden, Mengenlehre (.)
56. sein, Funktion y=x 2 x , monoton (?)
57. Nennen, natürliche Zahl, zwischen 3.9 und 5.9 (!)
58. Geben, Polynom (ganzrationale Funktion), Nullstelle, ─2 und 5 (!)
59. Parabel, können, Faktoren, zerlegen (.)
60. 81, Potenz, 3 (.)
61. Nennen, punktsymmetrisch, Funktion (!)
62. Welche, Volk, erbauen, Pyramide (?)
63. Sein, pi, rationale Zahl (?)
64. Sein, pi, reelle Zahl (?)
65. Schnittmenge, Katzen, Hunde, sein ... (.)
66. Nennen, spiegelsymmetrisch, Funktion (!)
67. Zuviel, Symmetrie, langweilig (.)
68. Nennen, drei, trigonometrische Funktion (!)
69. Geben, Vereinigung, Menge, A={2,4,9}, B= {1,2,3} (!)
18
70. Welche, Zahlen, haben, keine reelle Wurzel (?)
71. Können, Gleichung, grafisch, lösen (?)
72. Kartesisch, Koordinaten, nennen, gewöhnlich, ... (.)
73. Volumen, messen, Kubik-Meter (.)
74. logarithmieren, bedeuten, Logarithmus, bilden (.)
75. Welcher, Vektor, stehen, senkrecht, (1,0) (?)
76. Gewinn, werden, aufteilen (.)
77. Geben, Beispiel, waagrecht (!)
19
Übung zur alten Aufnahmeprüfung (Internet) von Sachsen-Anhalt
Lösen Sie die Aufgaben und beschreiben Sie dann die ausgeführten Schritte in kurzen Sätzen !
Aufgabe 1
1. Man macht gleichnamig.
GLEICHNAMIG MACHEN
Man faktorisiert den Nenner
FAKTORISIEREN, NENNER (m)
2. Man klammert den Zähler aus.
AUSKLAMMERN, ZÄHLER (m)
3. Man vereinfacht den Zähler
VEREINFACHEN
Man fasst gleiche Terme (mit gleichen Exponenten) zusammen
TERM ZUSAMMENFASSEN
4. Man kürzt den Bruch
BRUCH KÜRZEN
5. Fertig!
Aufgabe 2)
1. Man rechnet die Potenzen der Klammern aus
POTENZ (f), KLAMMER (f)
2. Man fasst gleiche Faktoren im Zähler und Nenner zusammen. FAKTOR (m)
3. Man kürzt den Bruch.
4. Fertig!
Aufgabe 3)
1. Man rechnet 1/3 hoch die Gleichung.
2. Man findet x / die Lösung der neuen Gleichung.
3. Fertig.
Aufgabe 4)
1. Man multipliziert die Ungleichung mit 3. MULTIPLIZIEREN MIT; UNGLEICHUNG
2. Man fasst gleiche Terme zusammen.
Man rechnet links und rechts (oder: die Gleichung) -x-12.
Man bringt x nach rechts und 12 nach links.
3. Man dividiert links und rechts (oder: die Gleichung) durch 2.
4. Fertig
20
DIVIDIEREN DURCH
Aufgabe 5)
1. Man löst die erste Gleichung nach y auf.
AUFLÖSEN NACH
2. Man setzt dieses y in die zweite Gleichung ein. EINSETZEN IN (+ Akkusativ)
3. Man vereinfacht den Quotient (oder Bruch).
VEREINFACHEN
4. Man löst nach x auf.
AUFLÖSEN NACH
5. Man setzt dieses x in die nach y aufgelöste 1. Gleichung ein.
6. FERTIG
Aufgabe 6)
1. Man leitet die Funktion mit der Produktregel ab.
ABLEITEN
2. Fertig
Aufgabe 7)
Machen wir nicht.
21