Datenstrukturen und Algorithmen

Hashing I
Datenstrukturen und Algorithmen
Vorlesung 12: Hashing
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Theorie Hybrider Systeme
Informatik 2
http://ths.rwth-aachen.de/teaching/ss-14/
datenstrukturen-und-algorithmen/
Diese Präsentation verwendet in Teilen Folien von Joost-Pieter Katoen.
02. Juni 2014
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
1/53
Hashing I
Übersicht
1
Direkte Adressierung
2
Grundlagen des Hashings
3
Kollisionsauflösung durch Verkettung
4
Hashfunktionen
Divisionsmethode
Multiplikationsmethode
Universelles Hashing
5
Offene Adressierung
Lineares Sondieren
Quadratisches Sondieren
Doppeltes Hashing
Effizienz der offenen Adressierung
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Datenstrukturen und Algorithmen
2/53
Hashing I
Einführung
Dictionary (Wörterbuch)
Das Dictionary (auch: Map, assoziatives Array) speichert Informationen,
die jederzeit anhand ihres Schlüssels abgerufen werden können.
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Datenstrukturen und Algorithmen
3/53
Hashing I
Einführung
Dictionary (Wörterbuch)
Das Dictionary (auch: Map, assoziatives Array) speichert Informationen,
die jederzeit anhand ihres Schlüssels abgerufen werden können. Weiterhin:
I
Die Daten sind dynamisch gespeichert.
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3/53
Hashing I
Einführung
Dictionary (Wörterbuch)
Das Dictionary (auch: Map, assoziatives Array) speichert Informationen,
die jederzeit anhand ihres Schlüssels abgerufen werden können. Weiterhin:
I
Die Daten sind dynamisch gespeichert.
I
Element dictSearch(Dict d, int k) gibt die in d zum Schlüssel k
gespeicherten Informationen zurück.
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3/53
Hashing I
Einführung
Dictionary (Wörterbuch)
Das Dictionary (auch: Map, assoziatives Array) speichert Informationen,
die jederzeit anhand ihres Schlüssels abgerufen werden können. Weiterhin:
I
Die Daten sind dynamisch gespeichert.
I
Element dictSearch(Dict d, int k) gibt die in d zum Schlüssel k
gespeicherten Informationen zurück.
I
void dictInsert(Dict d, Element e) speichert Element e unter
seinem Schlüssel e.key in d.
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3/53
Hashing I
Einführung
Dictionary (Wörterbuch)
Das Dictionary (auch: Map, assoziatives Array) speichert Informationen,
die jederzeit anhand ihres Schlüssels abgerufen werden können. Weiterhin:
I
Die Daten sind dynamisch gespeichert.
I
Element dictSearch(Dict d, int k) gibt die in d zum Schlüssel k
gespeicherten Informationen zurück.
I
void dictInsert(Dict d, Element e) speichert Element e unter
seinem Schlüssel e.key in d.
I
void dictDelete(Dict d, Element e) löscht das Element e aus d,
wobei e in d enthalten sein muss.
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3/53
Hashing I
Einführung
Dictionary (Wörterbuch)
Das Dictionary (auch: Map, assoziatives Array) speichert Informationen,
die jederzeit anhand ihres Schlüssels abgerufen werden können. Weiterhin:
I
Die Daten sind dynamisch gespeichert.
I
Element dictSearch(Dict d, int k) gibt die in d zum Schlüssel k
gespeicherten Informationen zurück.
I
void dictInsert(Dict d, Element e) speichert Element e unter
seinem Schlüssel e.key in d.
I
void dictDelete(Dict d, Element e) löscht das Element e aus d,
wobei e in d enthalten sein muss.
Beispiel
Symboltabelle eines Compilers, wobei die Schlüssel Strings (etwa
Bezeichner) sind.
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Hashing I
Einführung
Problem
Welche Datenstrukturen sind geeignet, um ein Dictionary zu
implementieren?
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Hashing I
Einführung
Problem
Welche Datenstrukturen sind geeignet, um ein Dictionary zu
implementieren?
I
Heap: Einfügen und Löschen sind effizient. Aber was ist mit Suche?
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Datenstrukturen und Algorithmen
4/53
Hashing I
Einführung
Problem
Welche Datenstrukturen sind geeignet, um ein Dictionary zu
implementieren?
I
Heap: Einfügen und Löschen sind effizient. Aber was ist mit Suche?
I
Sortiertes Array/Liste: Einfügen ist im Worst-Case linear.
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4/53
Hashing I
Einführung
Problem
Welche Datenstrukturen sind geeignet, um ein Dictionary zu
implementieren?
I
Heap: Einfügen und Löschen sind effizient. Aber was ist mit Suche?
I
Sortiertes Array/Liste: Einfügen ist im Worst-Case linear.
I
Rot-Schwarz-Baum: Alle Operationen sind im Worst-Case
logarithmisch.
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Hashing I
Einführung
Problem
Welche Datenstrukturen sind geeignet, um ein Dictionary zu
implementieren?
I
Heap: Einfügen und Löschen sind effizient. Aber was ist mit Suche?
I
Sortiertes Array/Liste: Einfügen ist im Worst-Case linear.
I
Rot-Schwarz-Baum: Alle Operationen sind im Worst-Case
logarithmisch.
Lösung
Unter realistischen Annahmen benötigt eine Hashtabelle im Durchschnitt
O(1) für die Operationen Einfügen, Löschen und Suchen.
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Hashing I
Direkte Adressierung
Übersicht
1
Direkte Adressierung
2
Grundlagen des Hashings
3
Kollisionsauflösung durch Verkettung
4
Hashfunktionen
Divisionsmethode
Multiplikationsmethode
Universelles Hashing
5
Offene Adressierung
Lineares Sondieren
Quadratisches Sondieren
Doppeltes Hashing
Effizienz der offenen Adressierung
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Hashing I
Direkte Adressierung
Direkte Adressierung
Direkte Adressierung
I
Alloziere ein Array (die Direkte-Adressierungs-Tabelle), so dass es für
jeden möglichen Schlüssel eine(1) Position gibt.
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Hashing I
Direkte Adressierung
Direkte Adressierung
Direkte Adressierung
I
I
Alloziere ein Array (die Direkte-Adressierungs-Tabelle), so dass es für
jeden möglichen Schlüssel eine(1) Position gibt.
Jedes Array-Element enthält einen Pointer auf die gespeicherte
Information.
I
Der Einfachheit halber vernachlässigen wir in der Vorlesung die zu den
Schlüsseln gehörenden Informationen.
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Hashing I
Direkte Adressierung
Direkte Adressierung
Direkte Adressierung
I
I
Alloziere ein Array (die Direkte-Adressierungs-Tabelle), so dass es für
jeden möglichen Schlüssel eine(1) Position gibt.
Jedes Array-Element enthält einen Pointer auf die gespeicherte
Information.
I
I
Der Einfachheit halber vernachlässigen wir in der Vorlesung die zu den
Schlüsseln gehörenden Informationen.
Mit Schlüsselmenge U = {0, 1, . . . , N − 1} ergibt sich:
I
Eine Direkte-Adressierungs-Tabelle T[0..N-1], wobei T[k] zu
Schlüssel k gehört.
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Hashing I
Direkte Adressierung
Direkte Adressierung
Direkte Adressierung
I
I
Alloziere ein Array (die Direkte-Adressierungs-Tabelle), so dass es für
jeden möglichen Schlüssel eine(1) Position gibt.
Jedes Array-Element enthält einen Pointer auf die gespeicherte
Information.
I
I
Der Einfachheit halber vernachlässigen wir in der Vorlesung die zu den
Schlüsseln gehörenden Informationen.
Mit Schlüsselmenge U = {0, 1, . . . , N − 1} ergibt sich:
I
I
Eine Direkte-Adressierungs-Tabelle T[0..N-1], wobei T[k] zu
Schlüssel k gehört.
datSearch(T, int k): return T[k];
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6/53
Hashing I
Direkte Adressierung
Direkte Adressierung
Direkte Adressierung
I
I
Alloziere ein Array (die Direkte-Adressierungs-Tabelle), so dass es für
jeden möglichen Schlüssel eine(1) Position gibt.
Jedes Array-Element enthält einen Pointer auf die gespeicherte
Information.
I
I
Der Einfachheit halber vernachlässigen wir in der Vorlesung die zu den
Schlüsseln gehörenden Informationen.
Mit Schlüsselmenge U = {0, 1, . . . , N − 1} ergibt sich:
I
I
I
Eine Direkte-Adressierungs-Tabelle T[0..N-1], wobei T[k] zu
Schlüssel k gehört.
datSearch(T, int k): return T[k];
datInsert(T, Element e): T[e.key] = e;
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6/53
Hashing I
Direkte Adressierung
Direkte Adressierung
Direkte Adressierung
I
I
Alloziere ein Array (die Direkte-Adressierungs-Tabelle), so dass es für
jeden möglichen Schlüssel eine(1) Position gibt.
Jedes Array-Element enthält einen Pointer auf die gespeicherte
Information.
I
I
Der Einfachheit halber vernachlässigen wir in der Vorlesung die zu den
Schlüsseln gehörenden Informationen.
Mit Schlüsselmenge U = {0, 1, . . . , N − 1} ergibt sich:
I
I
I
I
Eine Direkte-Adressierungs-Tabelle T[0..N-1], wobei T[k] zu
Schlüssel k gehört.
datSearch(T, int k): return T[k];
datInsert(T, Element e): T[e.key] = e;
datDelete(T, Element e): T[e.key] = null;
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6/53
Hashing I
Direkte Adressierung
Direkte Adressierung
Direkte Adressierung
I
I
Alloziere ein Array (die Direkte-Adressierungs-Tabelle), so dass es für
jeden möglichen Schlüssel eine(1) Position gibt.
Jedes Array-Element enthält einen Pointer auf die gespeicherte
Information.
I
I
Mit Schlüsselmenge U = {0, 1, . . . , N − 1} ergibt sich:
I
I
I
I
I
Der Einfachheit halber vernachlässigen wir in der Vorlesung die zu den
Schlüsseln gehörenden Informationen.
Eine Direkte-Adressierungs-Tabelle T[0..N-1], wobei T[k] zu
Schlüssel k gehört.
datSearch(T, int k): return T[k];
datInsert(T, Element e): T[e.key] = e;
datDelete(T, Element e): T[e.key] = null;
Die Laufzeit jeder Operation ist im Worst-Case Θ(1).
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Hashing I
Direkte Adressierung
Direkte Adressierung
Direkte-Adressierungs-Tabelle T
Schlüssel
0
U
1
0
2
4
1
6
3
K 2
4
7
5
6
3
9
5
7
8
8
9
benutzte Schlüssel
n = 10
Schlüsselmenge
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Hashing I
Direkte Adressierung
Beispielanwendungen
Beispielanwendung: Counting Sort verwendet direkte Adressierung um die
Schlüsselhäufigkeiten zu speichern.
Eine andere Anwendung: Duplikate in Linearzeit erkennen.
Gegeben seien n ganzzahlige Schlüssel zwischen 0 und m − 1 (m ∈ Θ(n))
in einem Array E .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
bool checkDuplicates(int[] E, int n, int m) {
int histogram[m] = 0; // "Direkte-Adressierungs-Tabelle"
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (histogram[E[i]] > 0) {
return true; // Duplikat gefunden
} else {
histogram[E[i]]++; // Zähle Häufigkeit
}
}
return false; // keine Duplikate
}
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Hashing I
Direkte Adressierung
Nachteile der direkten Adressierung
Hauptproblem: Übermäßiger Speicherbedarf für das Array.
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Datenstrukturen und Algorithmen
9/53
Hashing I
Direkte Adressierung
Nachteile der direkten Adressierung
Hauptproblem: Übermäßiger Speicherbedarf für das Array.
I
Zum Beispiel bei Strings mit 20 Zeichen (5 bit/Zeichen) als Schlüssel
benötigt man 25·20 = 2100 Arrayeinträge.
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9/53
Hashing I
Direkte Adressierung
Nachteile der direkten Adressierung
Hauptproblem: Übermäßiger Speicherbedarf für das Array.
I
Zum Beispiel bei Strings mit 20 Zeichen (5 bit/Zeichen) als Schlüssel
benötigt man 25·20 = 2100 Arrayeinträge.
I
Können wir diesen riesigen Speicherbedarf vermeiden und effizient
bleiben?
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9/53
Hashing I
Direkte Adressierung
Nachteile der direkten Adressierung
Hauptproblem: Übermäßiger Speicherbedarf für das Array.
I
Zum Beispiel bei Strings mit 20 Zeichen (5 bit/Zeichen) als Schlüssel
benötigt man 25·20 = 2100 Arrayeinträge.
I
Können wir diesen riesigen Speicherbedarf vermeiden und effizient
bleiben? Ja! – mit Hashing.
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9/53
Hashing I
Grundlagen des Hashings
Übersicht
1
Direkte Adressierung
2
Grundlagen des Hashings
3
Kollisionsauflösung durch Verkettung
4
Hashfunktionen
Divisionsmethode
Multiplikationsmethode
Universelles Hashing
5
Offene Adressierung
Lineares Sondieren
Quadratisches Sondieren
Doppeltes Hashing
Effizienz der offenen Adressierung
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Datenstrukturen und Algorithmen
10/53
Hashing I
Grundlagen des Hashings
Hashing
Praktisch wird nur ein kleiner Teil der Schlüssel verwendet, d. h. |K | |U|.
⇒ Bei direkter Adressierung ist der größte Teil von T verschwendet.
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Datenstrukturen und Algorithmen
11/53
Hashing I
Grundlagen des Hashings
Hashing
Praktisch wird nur ein kleiner Teil der Schlüssel verwendet, d. h. |K | |U|.
⇒ Bei direkter Adressierung ist der größte Teil von T verschwendet.
Das Ziel von Hashing ist:
I
Einen extrem großen Schlüsselraum auf einen vernünftig kleinen
Bereich von ganzen Zahlen abzubilden.
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11/53
Hashing I
Grundlagen des Hashings
Hashing
Praktisch wird nur ein kleiner Teil der Schlüssel verwendet, d. h. |K | |U|.
⇒ Bei direkter Adressierung ist der größte Teil von T verschwendet.
Das Ziel von Hashing ist:
I
Einen extrem großen Schlüsselraum auf einen vernünftig kleinen
Bereich von ganzen Zahlen abzubilden.
I
Dass zwei Schlüssel auf die selbe Zahl abgebildet werden, soll
möglichst unwahrscheinlich sein.
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11/53
Hashing I
Grundlagen des Hashings
Hashing
Praktisch wird nur ein kleiner Teil der Schlüssel verwendet, d. h. |K | |U|.
⇒ Bei direkter Adressierung ist der größte Teil von T verschwendet.
Das Ziel von Hashing ist:
I
Einen extrem großen Schlüsselraum auf einen vernünftig kleinen
Bereich von ganzen Zahlen abzubilden.
I
Dass zwei Schlüssel auf die selbe Zahl abgebildet werden, soll
möglichst unwahrscheinlich sein.
Hashfunktion, Hashtabelle, Hashkollision
Eine Hashfunktion bildet Schlüssel auf Indices der Hashtabelle T ab:
h : U −→ { 0, 1, . . . , m−1 } für Tabellengröße m.
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11/53
Hashing I
Grundlagen des Hashings
Hashing
Praktisch wird nur ein kleiner Teil der Schlüssel verwendet, d. h. |K | |U|.
⇒ Bei direkter Adressierung ist der größte Teil von T verschwendet.
Das Ziel von Hashing ist:
I
Einen extrem großen Schlüsselraum auf einen vernünftig kleinen
Bereich von ganzen Zahlen abzubilden.
I
Dass zwei Schlüssel auf die selbe Zahl abgebildet werden, soll
möglichst unwahrscheinlich sein.
Hashfunktion, Hashtabelle, Hashkollision
Eine Hashfunktion bildet Schlüssel auf Indices der Hashtabelle T ab:
h : U −→ { 0, 1, . . . , m−1 } für Tabellengröße m.
Wir sagen, dass h(k) der Hashwert des Schlüssels k ist.
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11/53
Hashing I
Grundlagen des Hashings
Hashing
Praktisch wird nur ein kleiner Teil der Schlüssel verwendet, d. h. |K | |U|.
⇒ Bei direkter Adressierung ist der größte Teil von T verschwendet.
Das Ziel von Hashing ist:
I
Einen extrem großen Schlüsselraum auf einen vernünftig kleinen
Bereich von ganzen Zahlen abzubilden.
I
Dass zwei Schlüssel auf die selbe Zahl abgebildet werden, soll
möglichst unwahrscheinlich sein.
Hashfunktion, Hashtabelle, Hashkollision
Eine Hashfunktion bildet Schlüssel auf Indices der Hashtabelle T ab:
h : U −→ { 0, 1, . . . , m−1 } für Tabellengröße m.
Wir sagen, dass h(k) der Hashwert des Schlüssels k ist.
Das Auftreten von h(k) = h(k 0 ) für k 6= k 0 nennt man eine Kollision.
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11/53
Hashing I
Grundlagen des Hashings
Hashing
Praktisch wird nur ein kleiner Teil der Schlüssel verwendet, d. h. |K | |U|.
⇒ Bei direkter Adressierung ist der größte Teil von T verschwendet.
Das Ziel von Hashing ist:
I
Einen extrem großen Schlüsselraum auf einen vernünftig kleinen
Bereich von ganzen Zahlen abzubilden.
I
Dass zwei Schlüssel auf die selbe Zahl abgebildet werden, soll
möglichst unwahrscheinlich sein.
Hashfunktion, Hashtabelle, Hashkollision
Eine Hashfunktion bildet Schlüssel auf Indices der Hashtabelle T ab:
h : U −→ { 0, 1, . . . , m−1 } für Tabellengröße m.
Wir sagen, dass h(k) der Hashwert des Schlüssels k ist.
Das Auftreten von h(k) = h(k 0 ) für k 6= k 0 nennt man eine Kollision.
Example: Bucket Sort, Klausurregistrierung mit Matrikelnummern
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11/53
Hashing I
Grundlagen des Hashings
Example: Klausurregistrierung mit Matrikelnummern
I
Identifiziere Studenten über Matrikelnummern.
I
106 mögliche Matrikelnummern.
I
In dieser Vorlesung: 600 Studenten.
I
Finde eine Funktion
h : [0, 106 − 1] −→ [0, 599] ,
die alle Matrikenummern aus [0, 106 − 1] möglichst gleichverteilt auf
Werte in [0, 599] abbildet.
I
Zum Beispiel: modulo 600.
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12/53
Hashing I
Grundlagen des Hashings
Hashing
Schlüsselmenge
Hashfunktion
0 Hashtabelle
U
K
k2
k4
h(k1 )
h(k2 ) = h(k3 )
k1
h(k5 )
k3
k5
Kollision
h(k4 )
m−1
benutzte Schlüssel
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Datenstrukturen und Algorithmen
13/53
Hashing I
Grundlagen des Hashings
Hashing
Schlüsselmenge
Hashfunktion
0 Hashtabelle
U
K
k2
k4
h(k1 )
h(k2 ) = h(k3 )
k1
h(k5 )
k3
k5
Kollision
h(k4 )
m−1
benutzte Schlüssel
I
Wie finden wir Hashfunktionen, die einfach auszurechnen sind und
Kollisionen minimieren?
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Datenstrukturen und Algorithmen
13/53
Hashing I
Grundlagen des Hashings
Hashing
Schlüsselmenge
Hashfunktion
0 Hashtabelle
U
K
k2
k4
h(k1 )
h(k2 ) = h(k3 )
k1
h(k5 )
k3
k5
Kollision
h(k4 )
m−1
benutzte Schlüssel
I
I
Wie finden wir Hashfunktionen, die einfach auszurechnen sind und
Kollisionen minimieren?
Wie behandeln wir dennoch auftretende Kollisionen?
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Datenstrukturen und Algorithmen
13/53
Hashing I
Grundlagen des Hashings
Kollisionen: Das Geburtstagsparadoxon
Unsere Hashfunktion mag noch so gut sein,
wir sollten auf Kollisionen vorbereitet sein!
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Datenstrukturen und Algorithmen
14/53
Hashing I
Grundlagen des Hashings
Kollisionen: Das Geburtstagsparadoxon
Unsere Hashfunktion mag noch so gut sein,
wir sollten auf Kollisionen vorbereitet sein!
Das liegt am
Geburtstagsparadoxon
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Datenstrukturen und Algorithmen
14/53
Hashing I
Grundlagen des Hashings
Kollisionen: Das Geburtstagsparadoxon
Unsere Hashfunktion mag noch so gut sein,
wir sollten auf Kollisionen vorbereitet sein!
Das liegt am
Geburtstagsparadoxon
I
Die Wahrscheinlichkeit, dass dein Nachbar am selben Tag wie du
1
Geburtstag hat ist 365
≈ 0,027.
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14/53
Hashing I
Grundlagen des Hashings
Kollisionen: Das Geburtstagsparadoxon
Unsere Hashfunktion mag noch so gut sein,
wir sollten auf Kollisionen vorbereitet sein!
Das liegt am
Geburtstagsparadoxon
I
Die Wahrscheinlichkeit, dass dein Nachbar am selben Tag wie du
1
Geburtstag hat ist 365
≈ 0,027.
I
Fragt man 23 Personen, wächst die Wahrscheinlichkeit auf
23
365 ≈ 0,063.
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Datenstrukturen und Algorithmen
14/53
Hashing I
Grundlagen des Hashings
Kollisionen: Das Geburtstagsparadoxon
Unsere Hashfunktion mag noch so gut sein,
wir sollten auf Kollisionen vorbereitet sein!
Das liegt am
Geburtstagsparadoxon
I
Die Wahrscheinlichkeit, dass dein Nachbar am selben Tag wie du
1
Geburtstag hat ist 365
≈ 0,027.
I
Fragt man 23 Personen, wächst die Wahrscheinlichkeit auf
23
365 ≈ 0,063.
I
Sind aber 23 Personen in einem Raum, dann haben zwei von ihnen
den selben Geburtstag mit Wahrscheinlichkeit
1−
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365 364 363
343
·
·
· ... ·
365 365 365
365
≈ 0,5
Datenstrukturen und Algorithmen
14/53
Hashing I
Grundlagen des Hashings
Kollisionen: Das Geburtstagsparadoxon
Auf Hashing angewendet bedeutet das:
I
Die Wahrscheinlichkeit keiner Kollision nach n zufälligen
Einfügevorgängen in einer m-elementigen Tabelle ist:
Y m−i
m m−1
m − n + 1 n−1
·
· ... ·
=
m
m
m
m
i=0
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15/53
Hashing I
Grundlagen des Hashings
Kollisionen: Das Geburtstagsparadoxon
Auf Hashing angewendet bedeutet das:
I
Die Wahrscheinlichkeit keiner Kollision nach n zufälligen
Einfügevorgängen in einer m-elementigen Tabelle ist:
Y m−i
m m−1
m − n + 1 n−1
·
· ... ·
=
m
m
m
m
i=0
I
Dieses Produkt geht mit wachsendem n (und m) gegen 0.
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Datenstrukturen und Algorithmen
15/53
Hashing I
Grundlagen des Hashings
Kollisionen: Das Geburtstagsparadoxon
Auf Hashing angewendet bedeutet das:
I
Die Wahrscheinlichkeit keiner Kollision nach n zufälligen
Einfügevorgängen in einer m-elementigen Tabelle ist:
Y m−i
m m−1
m − n + 1 n−1
·
· ... ·
=
m
m
m
m
i=0
I
Dieses Produkt geht mit wachsendem n (und m) gegen 0.
I
Etwa bei m = 365 ist die Wahrscheinlichkeit für n > 50 praktisch 0.
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15/53
Hashing I
Grundlagen des Hashings
Kollisionen: Das Geburtstagsparadoxon
Wahrscheinlichkeit
keiner Kollision
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
20
40
60
80
100
Anzahl Einfügungen k
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16/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Übersicht
1
Direkte Adressierung
2
Grundlagen des Hashings
3
Kollisionsauflösung durch Verkettung
4
Hashfunktionen
Divisionsmethode
Multiplikationsmethode
Universelles Hashing
5
Offene Adressierung
Lineares Sondieren
Quadratisches Sondieren
Doppeltes Hashing
Effizienz der offenen Adressierung
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17/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Idee
Alle Schlüssel, die zum gleichen Hash führen, werden in einer
verketteten Liste gespeichert.
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Datenstrukturen und Algorithmen
[Luhn 1953]
18/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Idee
Alle Schlüssel, die zum gleichen Hash führen, werden in einer
verketteten Liste gespeichert.
[Luhn 1953]
0
U
K
k2
k4
k1
k7
k3 k
6
k5
k1
k2
k3
k6
k7
k5
k4
m−1
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Datenstrukturen und Algorithmen
18/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Dictionary-Operationen bei Verkettung (informell)
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Datenstrukturen und Algorithmen
19/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Dictionary-Operationen bei Verkettung (informell)
I
hcSearch(int k): Suche nach einem Element mit Schlüssel k in der
Liste T[h(k)].
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Datenstrukturen und Algorithmen
19/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Dictionary-Operationen bei Verkettung (informell)
I
hcSearch(int k): Suche nach einem Element mit Schlüssel k in der
Liste T[h(k)].
I
hcInsert(Element e): Setze Element e an den Anfang der Liste
T[h(e.key)].
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Datenstrukturen und Algorithmen
19/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Dictionary-Operationen bei Verkettung (informell)
I
hcSearch(int k): Suche nach einem Element mit Schlüssel k in der
Liste T[h(k)].
I
hcInsert(Element e): Setze Element e an den Anfang der Liste
T[h(e.key)].
I
hcDelete(Element e): Lösche Element e aus der Liste T[h(e.key)].
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Datenstrukturen und Algorithmen
19/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Worst-Case Komplexität
Angenommen, die Berechnung von h(k) ist recht effizient, etwa Θ(1).
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Datenstrukturen und Algorithmen
20/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Worst-Case Komplexität
Angenommen, die Berechnung von h(k) ist recht effizient, etwa Θ(1).
Die Komplexität ist:
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Datenstrukturen und Algorithmen
20/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Worst-Case Komplexität
Angenommen, die Berechnung von h(k) ist recht effizient, etwa Θ(1).
Die Komplexität ist:
Suche: Proportional zur Länge der Liste T [h(k)].
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Datenstrukturen und Algorithmen
20/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Worst-Case Komplexität
Angenommen, die Berechnung von h(k) ist recht effizient, etwa Θ(1).
Die Komplexität ist:
Suche: Proportional zur Länge der Liste T [h(k)].
Einfügen: Konstant (ohne Überprüfung, ob das Element schon
vorhanden ist).
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Datenstrukturen und Algorithmen
20/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Worst-Case Komplexität
Angenommen, die Berechnung von h(k) ist recht effizient, etwa Θ(1).
Die Komplexität ist:
Suche: Proportional zur Länge der Liste T [h(k)].
Einfügen: Konstant (ohne Überprüfung, ob das Element schon
vorhanden ist).
Löschen: Proportional zur Länge der Liste T [h(k)].
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Datenstrukturen und Algorithmen
20/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Worst-Case Komplexität
Angenommen, die Berechnung von h(k) ist recht effizient, etwa Θ(1).
Die Komplexität ist:
Suche: Proportional zur Länge der Liste T [h(k)].
Einfügen: Konstant (ohne Überprüfung, ob das Element schon
vorhanden ist).
Löschen: Proportional zur Länge der Liste T [h(k)].
I
Im Worst-Case haben alle Schüssel den selben Hashwert.
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Datenstrukturen und Algorithmen
20/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Worst-Case Komplexität
Angenommen, die Berechnung von h(k) ist recht effizient, etwa Θ(1).
Die Komplexität ist:
Suche: Proportional zur Länge der Liste T [h(k)].
Einfügen: Konstant (ohne Überprüfung, ob das Element schon
vorhanden ist).
Löschen: Proportional zur Länge der Liste T [h(k)].
I
Im Worst-Case haben alle Schüssel den selben Hashwert.
I
Suche und Löschen hat dann die selbe Worst-Case Komplexität wie
Listen: Θ(n).
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Datenstrukturen und Algorithmen
20/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Worst-Case Komplexität
Angenommen, die Berechnung von h(k) ist recht effizient, etwa Θ(1).
Die Komplexität ist:
Suche: Proportional zur Länge der Liste T [h(k)].
Einfügen: Konstant (ohne Überprüfung, ob das Element schon
vorhanden ist).
Löschen: Proportional zur Länge der Liste T [h(k)].
I
Im Worst-Case haben alle Schüssel den selben Hashwert.
I
Suche und Löschen hat dann die selbe Worst-Case Komplexität wie
Listen: Θ(n).
I
Im Average-Case ist Hashing mit Verkettung aber dennoch effizient!
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Datenstrukturen und Algorithmen
20/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Average-Case-Analyse von Verkettung
Annahmen:
I
Gegeben seien n aus N möglichen Schlüsseln und m
Hashtabellenpositionen, N m.
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Datenstrukturen und Algorithmen
21/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Average-Case-Analyse von Verkettung
Annahmen:
I
Gegeben seien n aus N möglichen Schlüsseln und m
Hashtabellenpositionen, N m.
I
Gleichverteiltes Hashing: Jeder Schlüssel wird mit gleicher
Wahrscheinlichkeit und unabhängig von den anderen Schlüsseln auf
jedes der m Slots abgebildet.
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Datenstrukturen und Algorithmen
21/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Average-Case-Analyse von Verkettung
Annahmen:
I
Gegeben seien n aus N möglichen Schlüsseln und m
Hashtabellenpositionen, N m.
I
Gleichverteiltes Hashing: Jeder Schlüssel wird mit gleicher
Wahrscheinlichkeit und unabhängig von den anderen Schlüsseln auf
jedes der m Slots abgebildet.
I
Der Hashwert h(k) kann in konstanter Zeit berechnet werden.
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Datenstrukturen und Algorithmen
21/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Average-Case-Analyse von Verkettung
Annahmen:
I
Gegeben seien n aus N möglichen Schlüsseln und m
Hashtabellenpositionen, N m.
I
Gleichverteiltes Hashing: Jeder Schlüssel wird mit gleicher
Wahrscheinlichkeit und unabhängig von den anderen Schlüsseln auf
jedes der m Slots abgebildet.
I
Der Hashwert h(k) kann in konstanter Zeit berechnet werden.
O, Θ, Ω erweitert
Aus technischen Gründen erweitern wir die Definition von O, Θ und Ω auf
Funktionen mit zwei Parametern.
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Datenstrukturen und Algorithmen
21/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Average-Case-Analyse von Verkettung
Annahmen:
I
Gegeben seien n aus N möglichen Schlüsseln und m
Hashtabellenpositionen, N m.
I
Gleichverteiltes Hashing: Jeder Schlüssel wird mit gleicher
Wahrscheinlichkeit und unabhängig von den anderen Schlüsseln auf
jedes der m Slots abgebildet.
I
Der Hashwert h(k) kann in konstanter Zeit berechnet werden.
O, Θ, Ω erweitert
Aus technischen Gründen erweitern wir die Definition von O, Θ und Ω auf
Funktionen mit zwei Parametern.
I
Beispielsweise ist g ∈ O(f ) gdw.
∃c > 0, n0 , m0 mit ∀n > n0 , m > m0 : 0 6 g(n, m) 6 c · f (n, m)
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Datenstrukturen und Algorithmen
21/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Average-Case-Analyse von Verkettung
I
Der Füllgrad der Hashtabelle T ist α(n, m) =
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n
m.
Datenstrukturen und Algorithmen
22/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Average-Case-Analyse von Verkettung
I
Der Füllgrad der Hashtabelle T ist α(n, m) =
n
m.
⇒ Auch die durchschnittliche Länge der Liste T[h(k)] ist α!
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Datenstrukturen und Algorithmen
22/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Average-Case-Analyse von Verkettung
I
Der Füllgrad der Hashtabelle T ist α(n, m) =
n
m.
⇒ Auch die durchschnittliche Länge der Liste T[h(k)] ist α!
I
Wieviele Elemente aus T[h(k)] müssen nun im Schnitt untersucht
werden, um einen Schlüssel k zu finden?
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Datenstrukturen und Algorithmen
22/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Average-Case-Analyse von Verkettung
I
Der Füllgrad der Hashtabelle T ist α(n, m) =
n
m.
⇒ Auch die durchschnittliche Länge der Liste T[h(k)] ist α!
I
Wieviele Elemente aus T[h(k)] müssen nun im Schnitt untersucht
werden, um einen Schlüssel k zu finden?
⇒ Unterscheide erfolgreiche von erfolgloser Suche (wie in Vorlesung 1).
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Datenstrukturen und Algorithmen
22/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Average-Case-Analyse von Verkettung
Erfolglose Suche
Die erfolglose Suche benötigt Θ(1 + α) Zeit im Average-Case.
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Datenstrukturen und Algorithmen
23/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Average-Case-Analyse von Verkettung
Erfolglose Suche
Die erfolglose Suche benötigt Θ(1 + α) Zeit im Average-Case.
I
Die erwartete Zeit, um Schlüssel k zu finden ist gerade die Zeit, um
die Liste T[h(k)] zu durchsuchen.
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Datenstrukturen und Algorithmen
23/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Average-Case-Analyse von Verkettung
Erfolglose Suche
Die erfolglose Suche benötigt Θ(1 + α) Zeit im Average-Case.
I
Die erwartete Zeit, um Schlüssel k zu finden ist gerade die Zeit, um
die Liste T[h(k)] zu durchsuchen.
I
Die erwartete Länge dieser Liste ist α.
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Datenstrukturen und Algorithmen
23/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Average-Case-Analyse von Verkettung
Erfolglose Suche
Die erfolglose Suche benötigt Θ(1 + α) Zeit im Average-Case.
I
Die erwartete Zeit, um Schlüssel k zu finden ist gerade die Zeit, um
die Liste T[h(k)] zu durchsuchen.
I
Die erwartete Länge dieser Liste ist α.
I
Das Berechnen von h(k) benötige nur eine Zeiteinheit.
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Datenstrukturen und Algorithmen
23/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Average-Case-Analyse von Verkettung
Erfolglose Suche
Die erfolglose Suche benötigt Θ(1 + α) Zeit im Average-Case.
I
Die erwartete Zeit, um Schlüssel k zu finden ist gerade die Zeit, um
die Liste T[h(k)] zu durchsuchen.
I
Die erwartete Länge dieser Liste ist α.
I
Das Berechnen von h(k) benötige nur eine Zeiteinheit.
⇒ Insgesamt erhält man 1 + α Zeiteinheiten im Durchschnitt.
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Datenstrukturen und Algorithmen
23/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Average-Case-Analyse von Verkettung
Erfolgreiche Suche
Die erfolgreiche Suche benötigt im Average-Case auch Θ(1 + α).
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Datenstrukturen und Algorithmen
24/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Average-Case-Analyse von Verkettung
Erfolgreiche Suche
Die erfolgreiche Suche benötigt im Average-Case auch Θ(1 + α).
I
Sei ki der i-te eingefügte Schlüssel und A(ki ) die erwartete Zeit, um
ki zu finden:
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Datenstrukturen und Algorithmen
24/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Average-Case-Analyse von Verkettung
Erfolgreiche Suche
Die erfolgreiche Suche benötigt im Average-Case auch Θ(1 + α).
I
Sei ki der i-te eingefügte Schlüssel und A(ki ) die erwartete Zeit, um
ki zu finden:
A(ki ) = 1 +
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Durchschnittliche Anzahl Schlüssel,
die in T[h(k_i)] erst nach ki eingefügt wurden
Datenstrukturen und Algorithmen
24/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Average-Case-Analyse von Verkettung
Erfolgreiche Suche
Die erfolgreiche Suche benötigt im Average-Case auch Θ(1 + α).
I
Sei ki der i-te eingefügte Schlüssel und A(ki ) die erwartete Zeit, um
ki zu finden:
A(ki ) = 1 +
I
Durchschnittliche Anzahl Schlüssel,
die in T[h(k_i)] erst nach ki eingefügt wurden
Annahme von gleichverteiltem Hashing ergibt: A(ki ) = 1 +
n
X
1
j=i+1
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Datenstrukturen und Algorithmen
m
24/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Average-Case-Analyse von Verkettung
Erfolgreiche Suche
Die erfolgreiche Suche benötigt im Average-Case auch Θ(1 + α).
I
Sei ki der i-te eingefügte Schlüssel und A(ki ) die erwartete Zeit, um
ki zu finden:
A(ki ) = 1 +
I
I
Durchschnittliche Anzahl Schlüssel,
die in T[h(k_i)] erst nach ki eingefügt wurden
Annahme von gleichverteiltem Hashing ergibt: A(ki ) = 1 +
Durchschnitt über alle n Einfügungen in die Hashtabelle:
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Datenstrukturen und Algorithmen
1
n
n
X
1
j=i+1
n
X
m
A(ki )
i=1
24/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Average-Case-Analyse von Verkettung
Die erwartete Anzahl an untersuchten Elementen bei einer erfolgreichen
Suche ist:
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Datenstrukturen und Algorithmen
25/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Average-Case-Analyse von Verkettung
Die erwartete Anzahl an untersuchten Elementen bei einer erfolgreichen
Suche ist:
n
1X
n

1 +
i=1
n
X
1

m
j=i+1

Summe aufteilen
n
n X
n
1X
1 X
=
1+
1
n i=1
nm i=1 j=i+1
Vereinfachen
n
1 X
=1+
(n − i)
nm i=1
Summe 1 . . . n − 1
1 n(n − 1)
·
nm
2
n−1
α
α
=1+
=1+ −
2m
2
2n
=1+
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Vereinfachen
und damit in Θ(1 + α)
Datenstrukturen und Algorithmen
25/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Komplexität der Dictionary-Operationen mit
Verkettung
I
Vorausgesetzt die Tabellengröße m ist (wenigstens) proportional zu N,
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Datenstrukturen und Algorithmen
26/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Komplexität der Dictionary-Operationen mit
Verkettung
I
Vorausgesetzt die Tabellengröße m ist (wenigstens) proportional zu N,
I
dann ist der Füllgrad α(n, m) =
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n
m
∈
O(m)
m
= O(1).
Datenstrukturen und Algorithmen
26/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Komplexität der Dictionary-Operationen mit
Verkettung
I
Vorausgesetzt die Tabellengröße m ist (wenigstens) proportional zu N,
I
dann ist der Füllgrad α(n, m) =
I
Damit benötigen alle Operationen im Durchschnitt O(1).
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n
m
∈
O(m)
m
= O(1).
Datenstrukturen und Algorithmen
26/53
Hashing I
Kollisionsauflösung durch Verkettung
Komplexität der Dictionary-Operationen mit
Verkettung
I
Vorausgesetzt die Tabellengröße m ist (wenigstens) proportional zu N,
I
dann ist der Füllgrad α(n, m) =
I
Damit benötigen alle Operationen im Durchschnitt O(1).
I
Weil das auch Suche mit einschließt, können wir im Average-Case mit
O(n) sortieren.
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n
m
∈
O(m)
m
= O(1).
Datenstrukturen und Algorithmen
26/53
Hashing I
Hashfunktionen
Übersicht
1
Direkte Adressierung
2
Grundlagen des Hashings
3
Kollisionsauflösung durch Verkettung
4
Hashfunktionen
Divisionsmethode
Multiplikationsmethode
Universelles Hashing
5
Offene Adressierung
Lineares Sondieren
Quadratisches Sondieren
Doppeltes Hashing
Effizienz der offenen Adressierung
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Datenstrukturen und Algorithmen
27/53
Hashing I
Hashfunktionen
Hashfunktionen
Hashfunktion
I
Eine Hashfunktion bildet Schlüssel auf ganze Zahlen (d. h. Indices) ab.
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
28/53
Hashing I
Hashfunktionen
Hashfunktionen
Hashfunktion
I
Eine Hashfunktion bildet Schlüssel auf ganze Zahlen (d. h. Indices) ab.
I
Wir interpretieren Schlüssel als natürliche Zahlen (Beispiel: Strings
auf N abbilden).
Was macht eine „gute“ Hashfunktion aus?
I
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Datenstrukturen und Algorithmen
28/53
Hashing I
Hashfunktionen
Hashfunktionen
Hashfunktion
I
Eine Hashfunktion bildet Schlüssel auf ganze Zahlen (d. h. Indices) ab.
I
Wir interpretieren Schlüssel als natürliche Zahlen (Beispiel: Strings
auf N abbilden).
Was macht eine „gute“ Hashfunktion aus?
I
I
Die Hashfunktion h(k) sollte einfach zu berechnen sein,
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
28/53
Hashing I
Hashfunktionen
Hashfunktionen
Hashfunktion
I
Eine Hashfunktion bildet Schlüssel auf ganze Zahlen (d. h. Indices) ab.
I
Wir interpretieren Schlüssel als natürliche Zahlen (Beispiel: Strings
auf N abbilden).
Was macht eine „gute“ Hashfunktion aus?
I
I
I
Die Hashfunktion h(k) sollte einfach zu berechnen sein,
sie sollte surjektiv auf der Menge 0 . . . m−1 sein,
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Datenstrukturen und Algorithmen
28/53
Hashing I
Hashfunktionen
Hashfunktionen
Hashfunktion
I
Eine Hashfunktion bildet Schlüssel auf ganze Zahlen (d. h. Indices) ab.
I
Wir interpretieren Schlüssel als natürliche Zahlen (Beispiel: Strings
auf N abbilden).
Was macht eine „gute“ Hashfunktion aus?
I
I
I
I
Die Hashfunktion h(k) sollte einfach zu berechnen sein,
sie sollte surjektiv auf der Menge 0 . . . m−1 sein,
sie sollte alle Indizes mit möglichst gleicher Häufigkeit verwenden
(unabhängig von Mustern in der Schlüsselverteilung sein), und
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Datenstrukturen und Algorithmen
28/53
Hashing I
Hashfunktionen
Hashfunktionen
Hashfunktion
I
Eine Hashfunktion bildet Schlüssel auf ganze Zahlen (d. h. Indices) ab.
I
Wir interpretieren Schlüssel als natürliche Zahlen (Beispiel: Strings
auf N abbilden).
Was macht eine „gute“ Hashfunktion aus?
I
I
I
I
I
Die Hashfunktion h(k) sollte einfach zu berechnen sein,
sie sollte surjektiv auf der Menge 0 . . . m−1 sein,
sie sollte alle Indizes mit möglichst gleicher Häufigkeit verwenden
(unabhängig von Mustern in der Schlüsselverteilung sein), und
ähnliche Schlüssel möglichst breit auf die Hashtabelle verteilen.
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Datenstrukturen und Algorithmen
28/53
Hashing I
Hashfunktionen
Hashfunktionen
Hashfunktion
I
Eine Hashfunktion bildet Schlüssel auf ganze Zahlen (d. h. Indices) ab.
I
Wir interpretieren Schlüssel als natürliche Zahlen (Beispiel: Strings
auf N abbilden).
Was macht eine „gute“ Hashfunktion aus?
I
I
I
I
I
I
Die Hashfunktion h(k) sollte einfach zu berechnen sein,
sie sollte surjektiv auf der Menge 0 . . . m−1 sein,
sie sollte alle Indizes mit möglichst gleicher Häufigkeit verwenden
(unabhängig von Mustern in der Schlüsselverteilung sein), und
ähnliche Schlüssel möglichst breit auf die Hashtabelle verteilen.
Drei oft verwendete Techniken, eine „gute“ Hashfunktion zu erhalten:
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
28/53
Hashing I
Hashfunktionen
Hashfunktionen
Hashfunktion
I
Eine Hashfunktion bildet Schlüssel auf ganze Zahlen (d. h. Indices) ab.
I
Wir interpretieren Schlüssel als natürliche Zahlen (Beispiel: Strings
auf N abbilden).
Was macht eine „gute“ Hashfunktion aus?
I
I
I
I
I
I
Die Hashfunktion h(k) sollte einfach zu berechnen sein,
sie sollte surjektiv auf der Menge 0 . . . m−1 sein,
sie sollte alle Indizes mit möglichst gleicher Häufigkeit verwenden
(unabhängig von Mustern in der Schlüsselverteilung sein), und
ähnliche Schlüssel möglichst breit auf die Hashtabelle verteilen.
Drei oft verwendete Techniken, eine „gute“ Hashfunktion zu erhalten:
I
Die Divisionsmethode,
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Datenstrukturen und Algorithmen
28/53
Hashing I
Hashfunktionen
Hashfunktionen
Hashfunktion
I
Eine Hashfunktion bildet Schlüssel auf ganze Zahlen (d. h. Indices) ab.
I
Wir interpretieren Schlüssel als natürliche Zahlen (Beispiel: Strings
auf N abbilden).
Was macht eine „gute“ Hashfunktion aus?
I
I
I
I
I
I
Die Hashfunktion h(k) sollte einfach zu berechnen sein,
sie sollte surjektiv auf der Menge 0 . . . m−1 sein,
sie sollte alle Indizes mit möglichst gleicher Häufigkeit verwenden
(unabhängig von Mustern in der Schlüsselverteilung sein), und
ähnliche Schlüssel möglichst breit auf die Hashtabelle verteilen.
Drei oft verwendete Techniken, eine „gute“ Hashfunktion zu erhalten:
I
I
Die Divisionsmethode,
die Multiplikationsmethode, und
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Datenstrukturen und Algorithmen
28/53
Hashing I
Hashfunktionen
Hashfunktionen
Hashfunktion
I
Eine Hashfunktion bildet Schlüssel auf ganze Zahlen (d. h. Indices) ab.
I
Wir interpretieren Schlüssel als natürliche Zahlen (Beispiel: Strings
auf N abbilden).
Was macht eine „gute“ Hashfunktion aus?
I
I
I
I
I
I
Die Hashfunktion h(k) sollte einfach zu berechnen sein,
sie sollte surjektiv auf der Menge 0 . . . m−1 sein,
sie sollte alle Indizes mit möglichst gleicher Häufigkeit verwenden
(unabhängig von Mustern in der Schlüsselverteilung sein), und
ähnliche Schlüssel möglichst breit auf die Hashtabelle verteilen.
Drei oft verwendete Techniken, eine „gute“ Hashfunktion zu erhalten:
I
I
I
Die Divisionsmethode,
die Multiplikationsmethode, und
universelles Hashing.
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28/53
Hashing I
Hashfunktionen
Divisionsmethode
Divisionsmethode
Hashfunktion: h(k) = k mod m
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
29/53
Hashing I
Hashfunktionen
Divisionsmethode
Divisionsmethode
Hashfunktion: h(k) = k mod m
I
Bei dieser Methode muss der Wert von m sorgfältig gewählt werden.
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
29/53
Hashing I
Hashfunktionen
Divisionsmethode
Divisionsmethode
Hashfunktion: h(k) = k mod m
I
Bei dieser Methode muss der Wert von m sorgfältig gewählt werden.
I
Für m = 2p ist h(k) einfach die letzten p Bits.
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Datenstrukturen und Algorithmen
29/53
Hashing I
Hashfunktionen
Divisionsmethode
Divisionsmethode
Hashfunktion: h(k) = k mod m
I
Bei dieser Methode muss der Wert von m sorgfältig gewählt werden.
I
I
Für m = 2p ist h(k) einfach die letzten p Bits.
Besser ist es, h(k) abhängig von den Bits der Schlüsseln zu machen.
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
29/53
Hashing I
Hashfunktionen
Divisionsmethode
Divisionsmethode
Hashfunktion: h(k) = k mod m
I
Bei dieser Methode muss der Wert von m sorgfältig gewählt werden.
I
I
I
Für m = 2p ist h(k) einfach die letzten p Bits.
Besser ist es, h(k) abhängig von den Bits der Schlüsseln zu machen.
Gute Wahl ist m prim und nicht zu nah an einer Zweierpotenz.
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Datenstrukturen und Algorithmen
29/53
Hashing I
Hashfunktionen
Divisionsmethode
Divisionsmethode
Hashfunktion: h(k) = k mod m
I
Bei dieser Methode muss der Wert von m sorgfältig gewählt werden.
I
I
I
Für m = 2p ist h(k) einfach die letzten p Bits.
Besser ist es, h(k) abhängig von den Bits der Schlüsseln zu machen.
Gute Wahl ist m prim und nicht zu nah an einer Zweierpotenz.
Beispiel
I
Strings mit 2000 Zeichen als Schlüssel.
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Datenstrukturen und Algorithmen
29/53
Hashing I
Hashfunktionen
Divisionsmethode
Divisionsmethode
Hashfunktion: h(k) = k mod m
I
Bei dieser Methode muss der Wert von m sorgfältig gewählt werden.
I
I
I
Für m = 2p ist h(k) einfach die letzten p Bits.
Besser ist es, h(k) abhängig von den Bits der Schlüsseln zu machen.
Gute Wahl ist m prim und nicht zu nah an einer Zweierpotenz.
Beispiel
I
Strings mit 2000 Zeichen als Schlüssel.
I
Wir erlauben durchschnittlich 3 Schlüsseln pro Tabellenplatz.
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Datenstrukturen und Algorithmen
29/53
Hashing I
Hashfunktionen
Divisionsmethode
Divisionsmethode
Hashfunktion: h(k) = k mod m
I
Bei dieser Methode muss der Wert von m sorgfältig gewählt werden.
I
I
I
Für m = 2p ist h(k) einfach die letzten p Bits.
Besser ist es, h(k) abhängig von den Bits der Schlüsseln zu machen.
Gute Wahl ist m prim und nicht zu nah an einer Zweierpotenz.
Beispiel
I
Strings mit 2000 Zeichen als Schlüssel.
Wir erlauben durchschnittlich 3 Schlüsseln pro Tabellenplatz.
⇒ Wähle m ≈ 2000/3 −→ 701.
I
I
I
I
Nahe an 2000/3
Primzahl
Nicht in der Nähe von 2er-Potenzen
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Datenstrukturen und Algorithmen
29/53
Hashing I
Hashfunktionen
Multiplikationsmethode
Multiplikationsmethode
Hashfunktion: h(k) = bm·(k·c mod 1)c für 0 < c < 1
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Datenstrukturen und Algorithmen
30/53
Hashing I
Hashfunktionen
Multiplikationsmethode
Multiplikationsmethode
Hashfunktion: h(k) = bm·(k·c mod 1)c für 0 < c < 1
I
k·c mod 1 ist der Nachkommateil von k·c, d. h. k·c − bk·cc.
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Datenstrukturen und Algorithmen
30/53
Hashing I
Hashfunktionen
Multiplikationsmethode
Multiplikationsmethode
Hashfunktion: h(k) = bm·(k·c mod 1)c für 0 < c < 1
I
I
k·c mod 1 ist der Nachkommateil von k·c, d. h. k·c − bk·cc.
√
Knuth empfiehlt c ≈ ( 5 − 1)/2 ≈ 0,62.
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30/53
Hashing I
Hashfunktionen
Multiplikationsmethode
Multiplikationsmethode
Hashfunktion: h(k) = bm·(k·c mod 1)c für 0 < c < 1
I
I
k·c mod 1 ist der Nachkommateil von k·c, d. h. k·c − bk·cc.
√
Knuth empfiehlt c ≈ ( 5 − 1)/2 ≈ 0,62.
⇒ Der Wert von m ist hier nicht kritisch.
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Datenstrukturen und Algorithmen
30/53
Hashing I
Hashfunktionen
Multiplikationsmethode
Hashfunktion: h(k) = bm·(k·c mod 1)c.
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Datenstrukturen und Algorithmen
31/53
Hashing I
Hashfunktionen
Multiplikationsmethode
Hashfunktion: h(k) = bm·(k·c mod 1)c.
I
Das übliche Vorgehen nimmt für w -Bit-Schlüsseln m = 2p und
c = 2sw , wobei 0 < s < 2w .
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Datenstrukturen und Algorithmen
31/53
Hashing I
Hashfunktionen
Multiplikationsmethode
Hashfunktion: h(k) = bm·(k·c mod 1)c.
I
Das übliche Vorgehen nimmt für w -Bit-Schlüsseln m = 2p und
c = 2sw , wobei 0 < s < 2w . Dann ist die Implementierung einfach:
I
Berechne zunächst k·s (= k·c·2w ).
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Datenstrukturen und Algorithmen
31/53
Hashing I
Hashfunktionen
Multiplikationsmethode
Hashfunktion: h(k) = bm·(k·c mod 1)c.
I
Das übliche Vorgehen nimmt für w -Bit-Schlüsseln m = 2p und
c = 2sw , wobei 0 < s < 2w . Dann ist die Implementierung einfach:
I
I
Berechne zunächst k·s (= k·c·2w ).
Teile durch 2w , verwende nur die Nachkommastellen.
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Datenstrukturen und Algorithmen
31/53
Hashing I
Hashfunktionen
Multiplikationsmethode
Hashfunktion: h(k) = bm·(k·c mod 1)c.
I
Das übliche Vorgehen nimmt für w -Bit-Schlüsseln m = 2p und
c = 2sw , wobei 0 < s < 2w . Dann ist die Implementierung einfach:
I
I
I
Berechne zunächst k·s (= k·c·2w ).
Teile durch 2w , verwende nur die Nachkommastellen.
Multipliziere mit 2p und verwende nur den ganzzahligen Anteil.
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Datenstrukturen und Algorithmen
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Hashing I
Hashfunktionen
Multiplikationsmethode
Hashfunktion: h(k) = bm·(k·c mod 1)c.
I
Das übliche Vorgehen nimmt für w -Bit-Schlüsseln m = 2p und
c = 2sw , wobei 0 < s < 2w . Dann ist die Implementierung einfach:
I
I
I
Berechne zunächst k·s (= k·c·2w ).
Teile durch 2w , verwende nur die Nachkommastellen.
Multipliziere mit 2p und verwende nur den ganzzahligen Anteil.
w Bits
Schlüssel k
∗
c · 2w
p Bits extrahieren
h(k)
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Datenstrukturen und Algorithmen
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Hashing I
Hashfunktionen
Universelles Hashing
Das größte Problem beim Hashing ist,
I dass es immer eine ungünstige Sequenz von Schlüsseln gibt, die auf
den selben Slot abgebildet werden.
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Datenstrukturen und Algorithmen
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Hashing I
Hashfunktionen
Universelles Hashing
Das größte Problem beim Hashing ist,
I dass es immer eine ungünstige Sequenz von Schlüsseln gibt, die auf
den selben Slot abgebildet werden.
Idee
Wähle zufällig eine Hashfunktion aus einer gegebenen kleinen Menge H,
unabhängig von den verwendeten Schlüsseln.
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Datenstrukturen und Algorithmen
32/53
Hashing I
Hashfunktionen
Universelles Hashing
Das größte Problem beim Hashing ist,
I dass es immer eine ungünstige Sequenz von Schlüsseln gibt, die auf
den selben Slot abgebildet werden.
Idee
Wähle zufällig eine Hashfunktion aus einer gegebenen kleinen Menge H,
unabhängig von den verwendeten Schlüsseln.
Eine Menge Hashfunktionen ist universell, wenn
I der Anteil der Funktionen aus H, so dass k und k 0 kollidieren ist
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Datenstrukturen und Algorithmen
|H|
m .
32/53
Hashing I
Hashfunktionen
Universelles Hashing
Das größte Problem beim Hashing ist,
I dass es immer eine ungünstige Sequenz von Schlüsseln gibt, die auf
den selben Slot abgebildet werden.
Idee
Wähle zufällig eine Hashfunktion aus einer gegebenen kleinen Menge H,
unabhängig von den verwendeten Schlüsseln.
Eine Menge Hashfunktionen ist universell, wenn
I der Anteil der Funktionen aus H, so dass k und k 0 kollidieren ist
I
d. h., die W’lichkeit einer Kollision von k und k 0 ist
1
|H|
·
|H|
m
=
|H|
m .
1
m.
Für universelles Hashing ist die erwartete Länge der Liste T[k]
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Datenstrukturen und Algorithmen
32/53
Hashing I
Hashfunktionen
Universelles Hashing
Das größte Problem beim Hashing ist,
I dass es immer eine ungünstige Sequenz von Schlüsseln gibt, die auf
den selben Slot abgebildet werden.
Idee
Wähle zufällig eine Hashfunktion aus einer gegebenen kleinen Menge H,
unabhängig von den verwendeten Schlüsseln.
Eine Menge Hashfunktionen ist universell, wenn
I der Anteil der Funktionen aus H, so dass k und k 0 kollidieren ist
I
d. h., die W’lichkeit einer Kollision von k und k 0 ist
1
|H|
·
|H|
m
=
|H|
m .
1
m.
Für universelles Hashing ist die erwartete Länge der Liste T[k]
1. Gleich α, wenn k nicht in T enthalten ist.
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Datenstrukturen und Algorithmen
32/53
Hashing I
Hashfunktionen
Universelles Hashing
Das größte Problem beim Hashing ist,
I dass es immer eine ungünstige Sequenz von Schlüsseln gibt, die auf
den selben Slot abgebildet werden.
Idee
Wähle zufällig eine Hashfunktion aus einer gegebenen kleinen Menge H,
unabhängig von den verwendeten Schlüsseln.
Eine Menge Hashfunktionen ist universell, wenn
I der Anteil der Funktionen aus H, so dass k und k 0 kollidieren ist
I
d. h., die W’lichkeit einer Kollision von k und k 0 ist
1
|H|
·
|H|
m
=
|H|
m .
1
m.
Für universelles Hashing ist die erwartete Länge der Liste T[k]
1. Gleich α, wenn k nicht in T enthalten ist.
2. Gleich 1+α, wenn k in T enthalten ist.
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Datenstrukturen und Algorithmen
32/53
Hashing I
Hashfunktionen
Universelles Hashing
Beispiel
Definiere die Elemente der Klasse H von Hashfunktionen durch:
ha,b (k) = ((a · k + b) mod p) mod m
I
p sei Primzahl mit p > m und p > größter Schlüssel.
I
Die ganzen Zahlen a (1 6 a < p) und b (0 6 b < p) werden erst bei
der Ausführung gewählt.
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Datenstrukturen und Algorithmen
33/53
Hashing I
Hashfunktionen
Universelles Hashing
Beispiel
Definiere die Elemente der Klasse H von Hashfunktionen durch:
ha,b (k) = ((a · k + b) mod p) mod m
I
p sei Primzahl mit p > m und p > größter Schlüssel.
I
Die ganzen Zahlen a (1 6 a < p) und b (0 6 b < p) werden erst bei
der Ausführung gewählt.
Die Klasse der obigen Hashfunktionen ha,b ist universell.
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Datenstrukturen und Algorithmen
33/53
Hashing I
Offene Adressierung
Übersicht
1
Direkte Adressierung
2
Grundlagen des Hashings
3
Kollisionsauflösung durch Verkettung
4
Hashfunktionen
Divisionsmethode
Multiplikationsmethode
Universelles Hashing
5
Offene Adressierung
Lineares Sondieren
Quadratisches Sondieren
Doppeltes Hashing
Effizienz der offenen Adressierung
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Datenstrukturen und Algorithmen
34/53
Hashing I
Offene Adressierung
Offene Adressierung
I
Alle Elemente werden direkt in der Hashtabelle gespeichert (im
Gegensatz zur Verkettung).
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Datenstrukturen und Algorithmen
35/53
Hashing I
Offene Adressierung
Offene Adressierung
I
Alle Elemente werden direkt in der Hashtabelle gespeichert (im
Gegensatz zur Verkettung).
⇒ Höchstens m Schlüssel können gespeichert werden, d. h.
n
6 1.
α(n, m) = m
I
Man spart aber den Platz für die Pointer.
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Datenstrukturen und Algorithmen
35/53
Hashing I
Offene Adressierung
Offene Adressierung
I
Alle Elemente werden direkt in der Hashtabelle gespeichert (im
Gegensatz zur Verkettung).
⇒ Höchstens m Schlüssel können gespeichert werden, d. h.
n
6 1.
α(n, m) = m
I
Man spart aber den Platz für die Pointer.
Einfügen von Schlüssel k
I
Sondiere (überprüfe) die Positionen der Hashtabelle in einer
bestimmten Reihenfolge, bis ein leerer Slot gefunden wurde.
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Datenstrukturen und Algorithmen
35/53
Hashing I
Offene Adressierung
Offene Adressierung
I
Alle Elemente werden direkt in der Hashtabelle gespeichert (im
Gegensatz zur Verkettung).
⇒ Höchstens m Schlüssel können gespeichert werden, d. h.
n
6 1.
α(n, m) = m
I
Man spart aber den Platz für die Pointer.
Einfügen von Schlüssel k
I
Sondiere (überprüfe) die Positionen der Hashtabelle in einer
bestimmten Reihenfolge, bis ein leerer Slot gefunden wurde.
I
Die Reihenfolge der Positionen sind vom einzufügenden Schlüssel k
abgeleitet.
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Datenstrukturen und Algorithmen
35/53
Hashing I
Offene Adressierung
Offene Adressierung
I
Alle Elemente werden direkt in der Hashtabelle gespeichert (im
Gegensatz zur Verkettung).
⇒ Höchstens m Schlüssel können gespeichert werden, d. h.
n
6 1.
α(n, m) = m
I
Man spart aber den Platz für die Pointer.
Einfügen von Schlüssel k
I
Sondiere (überprüfe) die Positionen der Hashtabelle in einer
bestimmten Reihenfolge, bis ein leerer Slot gefunden wurde.
I
Die Reihenfolge der Positionen sind vom einzufügenden Schlüssel k
abgeleitet.
I
Die Hashfunktion hängt also vom Schlüssel k und der Nummer der
Sondierung ab:
h : U × { 0, 1, . . . m − 1 } −→ { 0, 1, . . . m − 1 }
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35/53
Hashing I
Offene Adressierung
Einfügen bei offener Adressierung
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
void hashInsert(int T[], int key) {
for (int i = 0; i < T.length; i++) { // Teste ganze Tabelle
int pos = h(key, i); // Berechne i-te Sondierung
if (!T[pos]) { // freier Platz
T[pos] = key;
return; // fertig
}
}
throw "Überlauf der Hashtabelle";
}
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36/53
Hashing I
Offene Adressierung
Suche bei offener Adressierung
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
int hashSearch(int T[], int key) {
for (int i = 0; i < T.length; i++) {
int pos = h(key, i); // Berechne i-te Sondierung
if (T[pos] == key) { // Schlüssel k gefunden
return T[pos];
} else if (!T[pos]) { // freier Platz, nicht gefunden
break;
}
}
return -1; // "nicht gefunden"
}
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Datenstrukturen und Algorithmen
37/53
Hashing I
Offene Adressierung
Löschen bei offener Adressierung
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Datenstrukturen und Algorithmen
38/53
Hashing I
Offene Adressierung
Löschen bei offener Adressierung
Problem
Löschen des Schlüssels k aus Slot i durch T[i] = null ist ungeeignet:
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Datenstrukturen und Algorithmen
38/53
Hashing I
Offene Adressierung
Löschen bei offener Adressierung
Problem
Löschen des Schlüssels k aus Slot i durch T[i] = null ist ungeeignet:
I
Wenn beim Einfügen von k der Slot i besetzt war, können wir k nicht
mehr abrufen.
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Datenstrukturen und Algorithmen
38/53
Hashing I
Offene Adressierung
Löschen bei offener Adressierung
Problem
Löschen des Schlüssels k aus Slot i durch T[i] = null ist ungeeignet:
I
Wenn beim Einfügen von k der Slot i besetzt war, können wir k nicht
mehr abrufen.
Lösung
Markiere T[i] mit dem speziellen Wert DELETED (oder: „veraltet“).
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Datenstrukturen und Algorithmen
38/53
Hashing I
Offene Adressierung
Löschen bei offener Adressierung
Problem
Löschen des Schlüssels k aus Slot i durch T[i] = null ist ungeeignet:
I
Wenn beim Einfügen von k der Slot i besetzt war, können wir k nicht
mehr abrufen.
Lösung
Markiere T[i] mit dem speziellen Wert DELETED (oder: „veraltet“).
I
hashInsert muss angepasst werden und solche Slots als leer
betrachten.
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Datenstrukturen und Algorithmen
38/53
Hashing I
Offene Adressierung
Löschen bei offener Adressierung
Problem
Löschen des Schlüssels k aus Slot i durch T[i] = null ist ungeeignet:
I
Wenn beim Einfügen von k der Slot i besetzt war, können wir k nicht
mehr abrufen.
Lösung
Markiere T[i] mit dem speziellen Wert DELETED (oder: „veraltet“).
I
hashInsert muss angepasst werden und solche Slots als leer
betrachten.
I
hashSearch bleibt unverändert, solche Slots werden einfach
übergangen.
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Datenstrukturen und Algorithmen
38/53
Hashing I
Offene Adressierung
Löschen bei offener Adressierung
Problem
Löschen des Schlüssels k aus Slot i durch T[i] = null ist ungeeignet:
I
Wenn beim Einfügen von k der Slot i besetzt war, können wir k nicht
mehr abrufen.
Lösung
Markiere T[i] mit dem speziellen Wert DELETED (oder: „veraltet“).
I
hashInsert muss angepasst werden und solche Slots als leer
betrachten.
I
hashSearch bleibt unverändert, solche Slots werden einfach
übergangen.
I
Die Suchzeiten sind nun nicht mehr allein vom Füllgrad α abhängig.
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Datenstrukturen und Algorithmen
38/53
Hashing I
Offene Adressierung
Löschen bei offener Adressierung
Problem
Löschen des Schlüssels k aus Slot i durch T[i] = null ist ungeeignet:
I
Wenn beim Einfügen von k der Slot i besetzt war, können wir k nicht
mehr abrufen.
Lösung
Markiere T[i] mit dem speziellen Wert DELETED (oder: „veraltet“).
I
hashInsert muss angepasst werden und solche Slots als leer
betrachten.
I
hashSearch bleibt unverändert, solche Slots werden einfach
übergangen.
Die Suchzeiten sind nun nicht mehr allein vom Füllgrad α abhängig.
⇒ Wenn Schlüssel gelöscht werden sollen wird häufiger Verkettung
verwendet.
I
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Datenstrukturen und Algorithmen
38/53
Hashing I
Offene Adressierung
Wie wählt man die nächste Sondierung?
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Datenstrukturen und Algorithmen
39/53
Hashing I
Offene Adressierung
Wie wählt man die nächste Sondierung?
Wir benötigen eine Sondierungssequenz für einen gegebenen Schlüssel k:
hh(k, 0), h(k, 1), . . . , h(k, m−1)i
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
39/53
Hashing I
Offene Adressierung
Wie wählt man die nächste Sondierung?
Wir benötigen eine Sondierungssequenz für einen gegebenen Schlüssel k:
hh(k, 0), h(k, 1), . . . , h(k, m−1)i
I
Wenn es sich dabei um eine Permutation von h0, . . . m − 1i handelt
ist garantiert, dass jeder Slot letztlich geprüft wird.
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Datenstrukturen und Algorithmen
39/53
Hashing I
Offene Adressierung
Wie wählt man die nächste Sondierung?
Wir benötigen eine Sondierungssequenz für einen gegebenen Schlüssel k:
hh(k, 0), h(k, 1), . . . , h(k, m−1)i
I
Wenn es sich dabei um eine Permutation von h0, . . . m − 1i handelt
ist garantiert, dass jeder Slot letztlich geprüft wird.
I
Gleichverteiltes Hashing wäre ideal, d. h. jede der m! Permutationen
ist als Sondierungssequenz gleich wahrscheinlich.
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Datenstrukturen und Algorithmen
39/53
Hashing I
Offene Adressierung
Wie wählt man die nächste Sondierung?
Wir benötigen eine Sondierungssequenz für einen gegebenen Schlüssel k:
hh(k, 0), h(k, 1), . . . , h(k, m−1)i
I
Wenn es sich dabei um eine Permutation von h0, . . . m − 1i handelt
ist garantiert, dass jeder Slot letztlich geprüft wird.
I
Gleichverteiltes Hashing wäre ideal, d. h. jede der m! Permutationen
ist als Sondierungssequenz gleich wahrscheinlich.
I
In der Praxis ist das aber zu aufwändig und wird approximiert.
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Datenstrukturen und Algorithmen
39/53
Hashing I
Offene Adressierung
Wie wählt man die nächste Sondierung?
Wir benötigen eine Sondierungssequenz für einen gegebenen Schlüssel k:
hh(k, 0), h(k, 1), . . . , h(k, m−1)i
I
Wenn es sich dabei um eine Permutation von h0, . . . m − 1i handelt
ist garantiert, dass jeder Slot letztlich geprüft wird.
I
Gleichverteiltes Hashing wäre ideal, d. h. jede der m! Permutationen
ist als Sondierungssequenz gleich wahrscheinlich.
I
In der Praxis ist das aber zu aufwändig und wird approximiert.
Sondierungsverfahren
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
39/53
Hashing I
Offene Adressierung
Wie wählt man die nächste Sondierung?
Wir benötigen eine Sondierungssequenz für einen gegebenen Schlüssel k:
hh(k, 0), h(k, 1), . . . , h(k, m−1)i
I
Wenn es sich dabei um eine Permutation von h0, . . . m − 1i handelt
ist garantiert, dass jeder Slot letztlich geprüft wird.
I
Gleichverteiltes Hashing wäre ideal, d. h. jede der m! Permutationen
ist als Sondierungssequenz gleich wahrscheinlich.
I
In der Praxis ist das aber zu aufwändig und wird approximiert.
Sondierungsverfahren
I
Wir behandeln Lineares Sondieren, Quadratisches Sondieren und
Doppeltes Hashing.
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
39/53
Hashing I
Offene Adressierung
Wie wählt man die nächste Sondierung?
Wir benötigen eine Sondierungssequenz für einen gegebenen Schlüssel k:
hh(k, 0), h(k, 1), . . . , h(k, m−1)i
I
Wenn es sich dabei um eine Permutation von h0, . . . m − 1i handelt
ist garantiert, dass jeder Slot letztlich geprüft wird.
I
Gleichverteiltes Hashing wäre ideal, d. h. jede der m! Permutationen
ist als Sondierungssequenz gleich wahrscheinlich.
I
In der Praxis ist das aber zu aufwändig und wird approximiert.
Sondierungsverfahren
I
Wir behandeln Lineares Sondieren, Quadratisches Sondieren und
Doppeltes Hashing.
I
Die Qualität ist durch die Anzahl der verschiedenen
Sondierungssequenzen, die jeweils erzeugt werden, bestimmt.
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Datenstrukturen und Algorithmen
39/53
Hashing I
Offene Adressierung
Lineares Sondieren
Hashfunktion beim linearen Sondieren
h(k, i) = (h0 (k) + i) mod m (für i < m).
I
k ist der Schlüssel
I
i ist der Index im Sondierungssequenz
I
h0 ist eine übliche Hashfunktion.
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
40/53
Hashing I
Offene Adressierung
Lineares Sondieren: Beispiel
22 0
1
2
3
4 4
ins(17)
15 5
1. Son28 6
dierung
7
8
31 9
10 10
22 0
1
2
3
4 4
ins(17)
15 5
2. Son28 6
dierung
7
8
31 9
10 10
h0 (k) = k mod 11
Prof. Dr. Erika Ábrahám
22 0
1
2
3
4 4
15 5
28 6
17 7
8
31 9
10 10
h(k, i) = (h0 (k) + i) mod 11
Datenstrukturen und Algorithmen
41/53
Hashing I
Offene Adressierung
Lineares Sondieren: Beispiel
22 0
1
2
3
4 4
ins(17)
15 5
1. Son28 6
dierung
7
8
31 9
10 10
22 0
1
2
3
4 4
ins(17)
15 5
2. Son28 6
dierung
7
8
31 9
10 10
h0 (k) = k mod 11
Prof. Dr. Erika Ábrahám
22 0
1
2
3
4 4
ins(59)
15 5
1. Son28 6
dierung
17 7
8
31 9
10 10
22 0
1
2
3
4 4
ins(59)
15 5
2. Son28 6
dierung
17 7
8
31 9
10 10
22 0
1
2
3
4 4
ins(59)
15 5
3. Son28 6
dierung
17 7
8
31 9
10 10
h(k, i) = (h0 (k) + i) mod 11
Datenstrukturen und Algorithmen
41/53
Hashing I
Offene Adressierung
Lineares Sondieren
Hashfunktion beim linearen Sondieren
h(k, i) = (h0 (k) + i) mod m (für i < m).
I
h0 ist eine übliche Hashfunktion.
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Datenstrukturen und Algorithmen
42/53
Hashing I
Offene Adressierung
Lineares Sondieren
Hashfunktion beim linearen Sondieren
h(k, i) = (h0 (k) + i) mod m (für i < m).
I
h0 ist eine übliche Hashfunktion.
I
Die Verschiebung der nachfolgende Sondierungen ist linear von i
abhängig.
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Datenstrukturen und Algorithmen
42/53
Hashing I
Offene Adressierung
Lineares Sondieren
Hashfunktion beim linearen Sondieren
h(k, i) = (h0 (k) + i) mod m (für i < m).
I
h0 ist eine übliche Hashfunktion.
I
Die Verschiebung der nachfolgende Sondierungen ist linear von i
abhängig.
I
Die erste Sondierung bestimmt bereits die gesamte Sequenz.
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Datenstrukturen und Algorithmen
42/53
Hashing I
Offene Adressierung
Lineares Sondieren
Hashfunktion beim linearen Sondieren
h(k, i) = (h0 (k) + i) mod m (für i < m).
I
h0 ist eine übliche Hashfunktion.
I
Die Verschiebung der nachfolgende Sondierungen ist linear von i
abhängig.
I
Die erste Sondierung bestimmt bereits die gesamte Sequenz.
⇒ m verschiedene Sequenzen können erzeugt werden.
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Datenstrukturen und Algorithmen
42/53
Hashing I
Offene Adressierung
Lineares Sondieren
Hashfunktion beim linearen Sondieren
h(k, i) = (h0 (k) + i) mod m (für i < m).
I
h0 ist eine übliche Hashfunktion.
I
Die Verschiebung der nachfolgende Sondierungen ist linear von i
abhängig.
I
Die erste Sondierung bestimmt bereits die gesamte Sequenz.
⇒ m verschiedene Sequenzen können erzeugt werden.
I Clustering, also lange Folgen von belegten Slots, führt zu Problemen:
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Datenstrukturen und Algorithmen
42/53
Hashing I
Offene Adressierung
Lineares Sondieren
Hashfunktion beim linearen Sondieren
h(k, i) = (h0 (k) + i) mod m (für i < m).
I
h0 ist eine übliche Hashfunktion.
I
Die Verschiebung der nachfolgende Sondierungen ist linear von i
abhängig.
I
Die erste Sondierung bestimmt bereits die gesamte Sequenz.
⇒ m verschiedene Sequenzen können erzeugt werden.
I Clustering, also lange Folgen von belegten Slots, führt zu Problemen:
I
h0 (k) bleibt konstant, aber der Offset wird jedes Mal um eins größer.
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Datenstrukturen und Algorithmen
42/53
Hashing I
Offene Adressierung
Lineares Sondieren
Hashfunktion beim linearen Sondieren
h(k, i) = (h0 (k) + i) mod m (für i < m).
I
h0 ist eine übliche Hashfunktion.
I
Die Verschiebung der nachfolgende Sondierungen ist linear von i
abhängig.
I
Die erste Sondierung bestimmt bereits die gesamte Sequenz.
⇒ m verschiedene Sequenzen können erzeugt werden.
I Clustering, also lange Folgen von belegten Slots, führt zu Problemen:
I
I
h0 (k) bleibt konstant, aber der Offset wird jedes Mal um eins größer.
Ein leerer Slot, dem i volle Slots vorausgehen, wird als nächstes mit
Wahrscheinlichkeit i+1
m gefüllt.
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Datenstrukturen und Algorithmen
42/53
Hashing I
Offene Adressierung
Lineares Sondieren
Hashfunktion beim linearen Sondieren
h(k, i) = (h0 (k) + i) mod m (für i < m).
I
h0 ist eine übliche Hashfunktion.
I
Die Verschiebung der nachfolgende Sondierungen ist linear von i
abhängig.
I
Die erste Sondierung bestimmt bereits die gesamte Sequenz.
⇒ m verschiedene Sequenzen können erzeugt werden.
I Clustering, also lange Folgen von belegten Slots, führt zu Problemen:
h0 (k) bleibt konstant, aber der Offset wird jedes Mal um eins größer.
I Ein leerer Slot, dem i volle Slots vorausgehen, wird als nächstes mit
Wahrscheinlichkeit i+1
m gefüllt.
⇒ Lange Folgen tendieren dazu länger zu werden.
I
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Datenstrukturen und Algorithmen
42/53
Hashing I
Offene Adressierung
Quadratisches Sondieren
Hashfunktion beim quadratischen Sondieren
h(k, i) = (h0 (k) + c1 · i + c2 · i 2 ) mod m (für i < m).
I
k ist der Schlüssel
I
i ist der Index im Sondierungssequenz
I
h0 ist eine übliche Hashfunktion, und
I
c1 ∈ N, c2 ∈ N \ {0} geeignete Konstanten.
Eine geeignete Wahl für die Konstanten c1 und c2 in Abhängigkeit von m:
m = 2n , c1 = 12 , c2 = 12
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Datenstrukturen und Algorithmen
43/53
Hashing I
Offene Adressierung
Quadratisches Sondieren: Beispiel
22 0
1
2
3
4 4
ins(17)
5
1. Son28 6
dierung
7
15 8
31 9
10 10
22 0
1
2
3
4 4
ins(17)
5
2. Son28 6
dierung
7
15 8
31 9
10 10
h0 (k) = k mod 11
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22 0
1
2
3
4 4
ins(17)
5
3. Son28 6
dierung
7
15 8
31 9
10 10
22 0
1
2
3
4 4
ins(17)
5
4. Son28 6
dierung
7
15 8
31 9
10 10
22 0
1
2
17 3
4 4
5
28 6
7
15 8
31 9
10 10
h(k, i) = (h0 (k) + i + 3i 2 ) mod 11
Datenstrukturen und Algorithmen
44/53
Hashing I
Offene Adressierung
Quadratisches Sondieren
Hashfunktion beim quadratischen Sondieren
h(k, i) = (h0 (k) + c1 · i + c2 · i 2 ) mod m (für i < m).
I
h0 ist eine übliche Hashfunktion, c1 , c2 6= 0 Konstanten.
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Datenstrukturen und Algorithmen
45/53
Hashing I
Offene Adressierung
Quadratisches Sondieren
Hashfunktion beim quadratischen Sondieren
h(k, i) = (h0 (k) + c1 · i + c2 · i 2 ) mod m (für i < m).
I
h0 ist eine übliche Hashfunktion, c1 , c2 6= 0 Konstanten.
I
Die Verschiebung der nachfolgende Sondierungen ist quadratisch
von i abhängig.
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Datenstrukturen und Algorithmen
45/53
Hashing I
Offene Adressierung
Quadratisches Sondieren
Hashfunktion beim quadratischen Sondieren
h(k, i) = (h0 (k) + c1 · i + c2 · i 2 ) mod m (für i < m).
I
h0 ist eine übliche Hashfunktion, c1 , c2 6= 0 Konstanten.
I
Die Verschiebung der nachfolgende Sondierungen ist quadratisch
von i abhängig.
I
Die erste Sondierung bestimmt bereits die gesamte Sequenz.
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Datenstrukturen und Algorithmen
45/53
Hashing I
Offene Adressierung
Quadratisches Sondieren
Hashfunktion beim quadratischen Sondieren
h(k, i) = (h0 (k) + c1 · i + c2 · i 2 ) mod m (für i < m).
I
h0 ist eine übliche Hashfunktion, c1 , c2 6= 0 Konstanten.
I
Die Verschiebung der nachfolgende Sondierungen ist quadratisch
von i abhängig.
I
Die erste Sondierung bestimmt bereits die gesamte Sequenz.
⇒ Auch hier können m verschiedene Sequenzen erzeugt werden (wenn
c1 , c2 geeignet gewählt wurden).
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Datenstrukturen und Algorithmen
45/53
Hashing I
Offene Adressierung
Quadratisches Sondieren
Hashfunktion beim quadratischen Sondieren
h(k, i) = (h0 (k) + c1 · i + c2 · i 2 ) mod m (für i < m).
I
h0 ist eine übliche Hashfunktion, c1 , c2 6= 0 Konstanten.
I
Die Verschiebung der nachfolgende Sondierungen ist quadratisch
von i abhängig.
I
Die erste Sondierung bestimmt bereits die gesamte Sequenz.
⇒ Auch hier können m verschiedene Sequenzen erzeugt werden (wenn
c1 , c2 geeignet gewählt wurden).
I
Das Clustering von linearem Sondieren wird vermieden.
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Datenstrukturen und Algorithmen
45/53
Hashing I
Offene Adressierung
Quadratisches Sondieren
Hashfunktion beim quadratischen Sondieren
h(k, i) = (h0 (k) + c1 · i + c2 · i 2 ) mod m (für i < m).
I
h0 ist eine übliche Hashfunktion, c1 , c2 6= 0 Konstanten.
I
Die Verschiebung der nachfolgende Sondierungen ist quadratisch
von i abhängig.
I
Die erste Sondierung bestimmt bereits die gesamte Sequenz.
⇒ Auch hier können m verschiedene Sequenzen erzeugt werden (wenn
c1 , c2 geeignet gewählt wurden).
I
Das Clustering von linearem Sondieren wird vermieden.
I
Jedoch tritt sekundäres Clustering immer noch auf:
h(k, 0) = h(k 0 , 0) verursacht h(k, i) = h(k 0 , i) für alle i.
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Datenstrukturen und Algorithmen
45/53
Hashing I
Offene Adressierung
Doppeltes Hashing
Hashfunktion beim doppelten Hashing
h(k, i) = (h1 (k) + i · h2 (k)) mod m (für i < m).
I
h1 , h2 sind übliche Hashfunktionen.
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Datenstrukturen und Algorithmen
46/53
Hashing I
Offene Adressierung
Doppeltes Hashing: Beispiel
22 0
1
2
15 3
4 4
ins(17)
5
1. Son28 6
dierung
7
8
31 9
10 10
22 0
1
2
15 3
4 4
ins(17)
5
2. Son28 6
dierung
7
8
31 9
10 10
h1 (k) = k mod 11
h2 (k) = 1 + k mod 10
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22 0
1
2
15 3
4 4
ins(17)
5
3. Son28 6
dierung
7
8
31 9
10 10
22 0
1
2
15 3
4 4
ins(17)
5
4. Son28 6
dierung
7
8
31 9
10 10
22 0
1
2
15 3
4 4
5
28 6
7
17 8
31 9
10 10
h(k, i) = (h1 (k) + i · h2 (k)) mod 11
Datenstrukturen und Algorithmen
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Hashing I
Offene Adressierung
Doppeltes Hashing
Hashfunktion beim doppelten Hashing
h(k, i) = (h1 (k) + i · h2 (k)) mod m (für i < m).
I
h1 , h2 sind übliche Hashfunktionen.
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Datenstrukturen und Algorithmen
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Hashing I
Offene Adressierung
Doppeltes Hashing
Hashfunktion beim doppelten Hashing
h(k, i) = (h1 (k) + i · h2 (k)) mod m (für i < m).
I
h1 , h2 sind übliche Hashfunktionen.
I
Die erste Sondierung bestimmt nicht die gesamte Sequenz.
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Datenstrukturen und Algorithmen
48/53
Hashing I
Offene Adressierung
Doppeltes Hashing
Hashfunktion beim doppelten Hashing
h(k, i) = (h1 (k) + i · h2 (k)) mod m (für i < m).
I
h1 , h2 sind übliche Hashfunktionen.
I
Die erste Sondierung bestimmt nicht die gesamte Sequenz.
I
Die Verschiebung der nachfolgende Sondierungen ist von h2 (k)
abhängig.
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
48/53
Hashing I
Offene Adressierung
Doppeltes Hashing
Hashfunktion beim doppelten Hashing
h(k, i) = (h1 (k) + i · h2 (k)) mod m (für i < m).
I
h1 , h2 sind übliche Hashfunktionen.
I
Die erste Sondierung bestimmt nicht die gesamte Sequenz.
I
Die Verschiebung der nachfolgende Sondierungen ist von h2 (k)
abhängig.
⇒ Bessere Verteilung der Schlüssel in der Hashtabelle.
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
48/53
Hashing I
Offene Adressierung
Doppeltes Hashing
Hashfunktion beim doppelten Hashing
h(k, i) = (h1 (k) + i · h2 (k)) mod m (für i < m).
I
h1 , h2 sind übliche Hashfunktionen.
I
Die erste Sondierung bestimmt nicht die gesamte Sequenz.
I
Die Verschiebung der nachfolgende Sondierungen ist von h2 (k)
abhängig.
⇒ Bessere Verteilung der Schlüssel in der Hashtabelle.
⇒ Approximiert das gleichverteilte Hashing.
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
48/53
Hashing I
Offene Adressierung
Doppeltes Hashing
Hashfunktion beim doppelten Hashing
h(k, i) = (h1 (k) + i · h2 (k)) mod m (für i < m).
I
h1 , h2 sind übliche Hashfunktionen.
I
Die erste Sondierung bestimmt nicht die gesamte Sequenz.
I
Die Verschiebung der nachfolgende Sondierungen ist von h2 (k)
abhängig.
⇒ Bessere Verteilung der Schlüssel in der Hashtabelle.
⇒ Approximiert das gleichverteilte Hashing.
I
Sind h2 (k) und m teilerfremd, wird die gesamte Hashtabelle
abgesucht.
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Datenstrukturen und Algorithmen
48/53
Hashing I
Offene Adressierung
Doppeltes Hashing
Hashfunktion beim doppelten Hashing
h(k, i) = (h1 (k) + i · h2 (k)) mod m (für i < m).
I
h1 , h2 sind übliche Hashfunktionen.
I
Die erste Sondierung bestimmt nicht die gesamte Sequenz.
I
Die Verschiebung der nachfolgende Sondierungen ist von h2 (k)
abhängig.
⇒ Bessere Verteilung der Schlüssel in der Hashtabelle.
⇒ Approximiert das gleichverteilte Hashing.
I
Sind h2 (k) und m teilerfremd, wird die gesamte Hashtabelle
abgesucht.
I
Wähle z. B. m = 2k und h2 so, dass sie nur ungerade Zahlen erzeugt.
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Datenstrukturen und Algorithmen
48/53
Hashing I
Offene Adressierung
Doppeltes Hashing
Hashfunktion beim doppelten Hashing
h(k, i) = (h1 (k) + i · h2 (k)) mod m (für i < m).
I
h1 , h2 sind übliche Hashfunktionen.
I
Die erste Sondierung bestimmt nicht die gesamte Sequenz.
I
Die Verschiebung der nachfolgende Sondierungen ist von h2 (k)
abhängig.
⇒ Bessere Verteilung der Schlüssel in der Hashtabelle.
⇒ Approximiert das gleichverteilte Hashing.
I
Sind h2 (k) und m teilerfremd, wird die gesamte Hashtabelle
abgesucht.
I
I
Wähle z. B. m = 2k und h2 so, dass sie nur ungerade Zahlen erzeugt.
Jedes mögliche Paar h1 (k) und h2 (k) erzeugt eine andere Sequenz.
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Datenstrukturen und Algorithmen
48/53
Hashing I
Offene Adressierung
Doppeltes Hashing
Hashfunktion beim doppelten Hashing
h(k, i) = (h1 (k) + i · h2 (k)) mod m (für i < m).
I
h1 , h2 sind übliche Hashfunktionen.
I
Die erste Sondierung bestimmt nicht die gesamte Sequenz.
I
Die Verschiebung der nachfolgende Sondierungen ist von h2 (k)
abhängig.
⇒ Bessere Verteilung der Schlüssel in der Hashtabelle.
⇒ Approximiert das gleichverteilte Hashing.
I
Sind h2 (k) und m teilerfremd, wird die gesamte Hashtabelle
abgesucht.
I
I
Wähle z. B. m = 2k und h2 so, dass sie nur ungerade Zahlen erzeugt.
Jedes mögliche Paar h1 (k) und h2 (k) erzeugt eine andere Sequenz.
⇒ Daher können m2 verschiedene Permutationen erzeugt werden.
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Datenstrukturen und Algorithmen
48/53
Hashing I
Offene Adressierung
Praktische Effizienz vom doppelten Hashing
I
Hashtabelle mit 538 051 Einträgen
I
Mittlere Anzahl Kollisionen η pro Einfügen in die Hashtabelle:
14
Lineares Sondieren
Quadratisches Sondieren
Doppeltes Hashing
12
10
η
8
6
4
2
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100
Füllgrad der Hashtabelle (in %)
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
49/53
Hashing I
Offene Adressierung
Effizienz der offenen Adressierung
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
50/53
Hashing I
Offene Adressierung
Effizienz der offenen Adressierung
Unter der Annahme von gleichverteiltem Hashing gilt:
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
50/53
Hashing I
Offene Adressierung
Effizienz der offenen Adressierung
Unter der Annahme von gleichverteiltem Hashing gilt:
Erfolglose Suche
Die erfolglose Suche benötigt O
Prof. Dr. Erika Ábrahám
1
1−α
Zeit im Average-Case.
Datenstrukturen und Algorithmen
50/53
Hashing I
Offene Adressierung
Effizienz der offenen Adressierung
Unter der Annahme von gleichverteiltem Hashing gilt:
Erfolglose Suche
Die erfolglose Suche benötigt O
I
1
1−α
Zeit im Average-Case.
Bei 50% Füllung sind durchschnittlich 2 Sondierungen nötig.
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
50/53
Hashing I
Offene Adressierung
Effizienz der offenen Adressierung
Unter der Annahme von gleichverteiltem Hashing gilt:
Erfolglose Suche
Die erfolglose Suche benötigt O
I
I
1
1−α
Zeit im Average-Case.
Bei 50% Füllung sind durchschnittlich 2 Sondierungen nötig.
Bei 90% Füllung sind durchschnittlich 10 Sondierungen nötig.
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
50/53
Hashing I
Offene Adressierung
Effizienz der offenen Adressierung
Unter der Annahme von gleichverteiltem Hashing gilt:
Erfolglose Suche
Die erfolglose Suche benötigt O
I
I
1
1−α
Zeit im Average-Case.
Bei 50% Füllung sind durchschnittlich 2 Sondierungen nötig.
Bei 90% Füllung sind durchschnittlich 10 Sondierungen nötig.
Erfolgreiche Suche
Die erfolgreiche Suche benötigt O
Prof. Dr. Erika Ábrahám
1
1
α · ln 1−α
im Average-Case.
Datenstrukturen und Algorithmen
50/53
Hashing I
Offene Adressierung
Effizienz der offenen Adressierung
Unter der Annahme von gleichverteiltem Hashing gilt:
Erfolglose Suche
Die erfolglose Suche benötigt O
I
I
1
1−α
Zeit im Average-Case.
Bei 50% Füllung sind durchschnittlich 2 Sondierungen nötig.
Bei 90% Füllung sind durchschnittlich 10 Sondierungen nötig.
Erfolgreiche Suche
Die erfolgreiche Suche benötigt O
I
1
1
α · ln 1−α
im Average-Case.
Bei 50% Füllung sind durchschnittlich 1,39 Sondierungen nötig.
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
50/53
Hashing I
Offene Adressierung
Effizienz der offenen Adressierung
Unter der Annahme von gleichverteiltem Hashing gilt:
Erfolglose Suche
Die erfolglose Suche benötigt O
I
I
1
1−α
Zeit im Average-Case.
Bei 50% Füllung sind durchschnittlich 2 Sondierungen nötig.
Bei 90% Füllung sind durchschnittlich 10 Sondierungen nötig.
Erfolgreiche Suche
Die erfolgreiche Suche benötigt O
I
I
1
1
α · ln 1−α
im Average-Case.
Bei 50% Füllung sind durchschnittlich 1,39 Sondierungen nötig.
Bei 90% Füllung sind durchschnittlich 2,56 Sondierungen nötig.
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
50/53
Hashing I
Offene Adressierung
Effizienz der offenen Adressierung
Unter der Annahme von gleichverteiltem Hashing gilt:
Erfolglose Suche
Die erfolglose Suche benötigt O
I
I
1
1−α
Zeit im Average-Case.
Bei 50% Füllung sind durchschnittlich 2 Sondierungen nötig.
Bei 90% Füllung sind durchschnittlich 10 Sondierungen nötig.
Erfolgreiche Suche
Die erfolgreiche Suche benötigt O
I
I
1
1
α · ln 1−α
im Average-Case.
Bei 50% Füllung sind durchschnittlich 1,39 Sondierungen nötig.
Bei 90% Füllung sind durchschnittlich 2,56 Sondierungen nötig.
Bei der Verkettung hatten wir Θ(1 + α) in beiden Fällen erhalten.
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Datenstrukturen und Algorithmen
50/53
Hashing I
Offene Adressierung
Analyse der erfolglosen Suche
Annahmen
I
Betrachte eine zufällig erzeugte Sondierungssequenz für Schlüssel k.
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
51/53
Hashing I
Offene Adressierung
Analyse der erfolglosen Suche
Annahmen
I
Betrachte eine zufällig erzeugte Sondierungssequenz für Schlüssel k.
I
Annahme: jede mögliche Sondierungssequenz hat die gleiche
1
, da es m! mögliche Permutationen von den
Wahrscheinlichkeit m!
Positionen 0, . . . , m−1 gibt.
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
51/53
Hashing I
Offene Adressierung
Analyse der erfolglosen Suche
Annahmen
I
Betrachte eine zufällig erzeugte Sondierungssequenz für Schlüssel k.
I
Annahme: jede mögliche Sondierungssequenz hat die gleiche
1
, da es m! mögliche Permutationen von den
Wahrscheinlichkeit m!
Positionen 0, . . . , m−1 gibt.
I
Bemerkung: dies ist nicht unrealistisch, da im Idealfall die
Sondierungssequenz für k möglichst unabhängig ist von der
Sondierungssequenz für k 0 , k 6= k 0 .
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
51/53
Hashing I
Offene Adressierung
Analyse der erfolglosen Suche
Annahmen
I
Betrachte eine zufällig erzeugte Sondierungssequenz für Schlüssel k.
I
Annahme: jede mögliche Sondierungssequenz hat die gleiche
1
, da es m! mögliche Permutationen von den
Wahrscheinlichkeit m!
Positionen 0, . . . , m−1 gibt.
I
Bemerkung: dies ist nicht unrealistisch, da im Idealfall die
Sondierungssequenz für k möglichst unabhängig ist von der
Sondierungssequenz für k 0 , k 6= k 0 .
I
Wir nehmen (wie vorher) an, dass die Berechung von Hashwerten in
O(1) liegt.
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
51/53
Hashing I
Offene Adressierung
Analyse der erfolglosen Suche
Erfolglose Suche
Eine Suche für k ist erfolglos wenn für i alle Slots h(k, 0), . . . , h(k, i−1)
belegt sind, jedoch unterschiedlich von k sind, und h(k, i) ist unbelegt.
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
52/53
Hashing I
Offene Adressierung
Analyse der erfolglosen Suche
Erfolglose Suche
Eine Suche für k ist erfolglos wenn für i alle Slots h(k, 0), . . . , h(k, i−1)
belegt sind, jedoch unterschiedlich von k sind, und h(k, i) ist unbelegt.
Sei X die Anzahl der belegten Positionen bis eine freie Position gefunden
wird:
X = min { i ∈ N | h(k, i) ist unbelegt } .
Sei E [X ] der Erwartungswert von X .
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
52/53
Hashing I
Offene Adressierung
Analyse der erfolglosen Suche
Erfolglose Suche
Eine Suche für k ist erfolglos wenn für i alle Slots h(k, 0), . . . , h(k, i−1)
belegt sind, jedoch unterschiedlich von k sind, und h(k, i) ist unbelegt.
Sei X die Anzahl der belegten Positionen bis eine freie Position gefunden
wird:
X = min { i ∈ N | h(k, i) ist unbelegt } .
Sei E [X ] der Erwartungswert von X .
Dann: die Average-Case Komplexität einer erfolglosen Suche ist 1 + E [X ].
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
52/53
Hashing I
Offene Adressierung
Analyse der erfolglosen Suche
Erfolglose Suche
Eine Suche für k ist erfolglos wenn für i alle Slots h(k, 0), . . . , h(k, i−1)
belegt sind, jedoch unterschiedlich von k sind, und h(k, i) ist unbelegt.
Sei X die Anzahl der belegten Positionen bis eine freie Position gefunden
wird:
X = min { i ∈ N | h(k, i) ist unbelegt } .
Sei E [X ] der Erwartungswert von X .
Dann: die Average-Case Komplexität einer erfolglosen Suche ist 1 + E [X ].
Lemma
1 + E [X ] ∈ O
1
1−α
.
Beweis: im Buch.
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Datenstrukturen und Algorithmen
52/53
Hashing I
Offene Adressierung
Analyse der erfolgreichen Suche
I
Sei Schlüssel ki der i-te eingefügte Schlüssel in der Hashtabelle.
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Datenstrukturen und Algorithmen
53/53
Hashing I
Offene Adressierung
Analyse der erfolgreichen Suche
I
Sei Schlüssel ki der i-te eingefügte Schlüssel in der Hashtabelle.
I
Sei Xi die Anzahl der Sondierungen beim Einfügen vom Schlüssel ki .
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Datenstrukturen und Algorithmen
53/53
Hashing I
Offene Adressierung
Analyse der erfolgreichen Suche
I
Sei Schlüssel ki der i-te eingefügte Schlüssel in der Hashtabelle.
I
Sei Xi die Anzahl der Sondierungen beim Einfügen vom Schlüssel ki .
I
Die Suche für ki braucht im Mittel E [Xi ] Zeiteinheiten.
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
53/53
Hashing I
Offene Adressierung
Analyse der erfolgreichen Suche
I
Sei Schlüssel ki der i-te eingefügte Schlüssel in der Hashtabelle.
I
Sei Xi die Anzahl der Sondierungen beim Einfügen vom Schlüssel ki .
I
Die Suche für ki braucht im Mittel E [Xi ] Zeiteinheiten.
I
Die Average-Case Zeitkomplexität für eine erfolgreiche Suche ist:
X
1 n−1
E [Xi+1 ].
n i=0
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
53/53
Hashing I
Offene Adressierung
Analyse der erfolgreichen Suche
I
Sei Schlüssel ki der i-te eingefügte Schlüssel in der Hashtabelle.
I
Sei Xi die Anzahl der Sondierungen beim Einfügen vom Schlüssel ki .
I
Die Suche für ki braucht im Mittel E [Xi ] Zeiteinheiten.
I
Die Average-Case Zeitkomplexität für eine erfolgreiche Suche ist:
X
1 n−1
E [Xi+1 ].
n i=0
Lemma
1
n
Pn−1
i=0
E [Xi+1 ] ∈ O
1
1
α · ln 1−α
.
Beweis: im Buch.
Prof. Dr. Erika Ábrahám
Datenstrukturen und Algorithmen
53/53