sin(x)×pÅÅÅÅÅÅÅsin(x)+

Aufgabe 1
f := x -> sin(x)*sqrt(1+sin(x)):
int(f(x), x=-PI/2..PI/2);
intlib::changevar(hold(int)(f(x), x=-PI/2..PI/2), t=sin(x));
eval(%)=float(%);
numeric::int(f(x), x=-PI/2..PI/2)
p
ZÅ ( ) pÅÅÅÅÅÅ
Å
(
)
Å
pÅÅÅ
Å
ZÅÅÅÅÅÅÅ
pÅÅÅÅ
pÅ
ÅÅÅÅÅÅ
2
sin x ×
sin x + 1 d x
-p
2
1
t+1
t×
1-t
-1
2×
2
3
2
dt
= 0.9428090414
0.9428090416
MuPAD kann das Integral nicht berechnen. Wenn man dem Integrierer aber mit der Substitution
hilft, dann findet man sowohl ein numerisches also auch ein exaktes (!) Ergebnis. Beachten Sie die
Länge der Rechenzeit
( rtime() liefert die Auswertung der Argumente in Realzeit in Millisekunden).
reset()
rtime(intlib::changevar(hold(int)(f(x), x=-PI/2..PI/2), t=sin(x)));
rtime(numeric::int(f(x), x=-PI/2..PI/2));
1437
109
Aufgabe 2
int(x/sqrt((2*a*x-x^2))^3, x);
intlib::changevar(hold(int)(1/(x^2+1)^(3/2), x), x=tan(u));
evalAt(eval(%), u=arctan(x));
int(sqrt(x^2-a^2), x);
int(1/x/sqrt(1+x^2), x);
int(x+arctan(x), x=0..1);
int(1/x, x=-2..-1);
int(exp(-a*x^2), x=0..infinity) assuming (a>0);
int(sin(x)*cos(x), x=0..PI/2)
x
a × 2 × a × x - x2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
pÅÅÅÅÅÅÅÅ
ZÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
qÅÅÅÅÅÅÅ
Å
()
ÅÅÅÅÅÅ
pÅÅÅÅÅ
1
du
2
tan u + 1
x
x2 + 1
1
x
ÅÅÅÅÅÅ
pÅÅÅÅÅ
pÅÅÅÅ
Å
¡
pÅÅÅÅ
Å
¢
ÅÅÅÅÅÅÅÅŵrÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
¶
ÅÅ
Å ÅÅÅÅ( Å) Å
()
Å
ÕÕÅ
ÅÅÅÅÅ
Å
x2 + 1
x2 - a2 - a2 × ln x + x2 - a2
2
2
x×
- arcsinh
1
x2
p - ln 2 + 1
4
2
2
- ln 2
p
2× a
1
2
Aufgabe 3
Beachten Sie, dass der Integrierer int ein komplexes Ergebnis liefert, weil x 2 + 1 über der Menge
der komplexen Zahlen faktorisierbar ist.
f := x -> (x+1)^2/((x-1)^2*(x^2+1));
int(f(x), x)
x+1 2
x®
x - 1 2 × x2 + 1
(
)
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
( ) ( Å)
( ) ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
( )
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ln 1 + x × i × i
2 - ln 1 - x × i × i
2
x-1
2
Mit der Partialbruchzerlegung erhalten wir die reelle Stammfunktion.
partfrac(f(x));int(%,x)
2
1
2 - 2
x-1
x +1
ÅÅÅÅÅÅ
( ) ÅÅÅÅÅ
( ) ÅÅÅÅ
- arctan x - x -2 1
Aufgabe 4
Wir bestimmen die Schnittpunkte der Parabeln, berechnen die Maßzahl der Fläche in Abhängigheit
des Parameters a und suchen den Parameter so, dass die Fläche extremal wird.
delete(a):
assume(a, Type::Positive):
f := x -> a*x^2-a*x:
g := x -> -a*x^2+x/a:
L := solve(f(x)=g(x), x);
h := a --> int(abs(f(x)-g(x)), x=L[1]..L[2]);
2
h := a --> int(abs(f(x)-g(x)), x=L[1]..L[2]);
a := op(solve(h'(a)=0, a));
½ ÅÅÅÅž
¯ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
¯ ³Å Å Å Å ´Å
¯
¯
( )
pÅ
2
0, a + 21
2×a
a2 + 1 ×
a®
a6
24
4
2
+ a8 + a8 +
a4 × a × a2 + 1
1
24
5
Die zweite Ableitung ist positiv, also liegt hier ein Mimimum vor.
delete(a):h''(sqrt(5))
pÅ
ÅÅÅÅÅÅ
3× 5
125
Um die Animation zu sehen, führen Sie einen Mausklick auf die Grafik aus. Die Schraffur wird
durch plot::Hatch erzeugt, sie ist animierbar.
F := plot::Function2d(f, x=L[1]..L[2], a=1..10):
G := plot::Function2d(g, x=L[1]..L[2], a=1..10):
plot(F, G, plot::Hatch(F,G), GridVisible)
y
x
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.0
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
-2.5
Die Stelle, wo das Minimum liegt ist kaum erkennbar. Warum das so ist, wird an dem Graph von h
deutlich:
plotfunc2d(h, ViewingBox=[1..4, 0..1], Scaling=Constrained,
Width=100, Height=50)
3
y 1.0
y 1.0
0.5
0.0
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
x
Aufgabe 5
Auf dem Aufgabenblatt war keine spezielle Funktion genannt. Für die Funktion f x = ex erhalten
wir die folgende Animation (bitte auf die Grafik klicken):
()
f := plot::Function2d(exp(x), x=-1..1):
plot(plot::Integral(f, n, n=1..25, IntMethod=RiemannUpper), f)
RiemannUpper: 2.45
y3
2
1
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
4