Gesetz von Boyle

Gesetz von Boyle
• Empirisch wurde beobachtet, dass bei
konstanter Temperatur gilt:
Isothermen
• p.V = Konstant
bzw
V∝1/p
bzw
p∝1/V
Gesetz von Gay-Lussac
• Jacques Charles und Joseph-Louis Gay-Lussac
fanden dass (bei konstantem n und p)
V∝T
Verdoppelung T/K/ 300 K auf 600 K
(27°C auf 327°C ) Verdoppelung von V
Isobaren
Prinzip von Avogadro
• Bei gleicher Temperatur und gleichem
Druck beinhalten gleiche Gasvolumina die
selbe Anzahl von Teilchen, d.h. V ∝ n
• Das molare Volumen Vm= V/n ist daher für
alle Gase gleich
Zustandgleichung: Ideales Gasgesetz
Die Kombination des Gesetzes von Boyle, des
Gesetzes von Gay-Lussac und des AvogadroPrinzips ergibt
pV = nRT bzw pVm = RT
R: Gaskonstante 8.3145 [J K-1 mol-1]
R = NA kB
pV = nRT
pV = nRT
Gay-Lussac: V ∝ T
Boyle: pV=const
Gesetz von Dalton
Der Gesamtdruck ist die Summe der Partialdruckbeiträge
p = pa + pb + ...
na RT
nb RT
, pb =
mit pa =
V
V
etc
Stoffmengenanteil
na
xa =
na + nb + ...
pa = xa . p
etc
wobei
xa + xb + ... = 1
Der Molenbruch jeder Komponente
bestimmt den Beitrag zum Gesamtdruck
Die kinetische Gastheorie
Sie ermöglicht die quantitative Vorhersage der
Eigenschaften eines idealen Gases unter den
folgenden Annahmen
• Das Gas besteht aus Teilchen der Masse m und dem
Durchmesser d in dauernder unkontrollierter /
regelloser Bewegung
• Die Größe der Teilchen ist vernachlässigbar im
Verhältnis zu dem zwischen zwei Stößen
zurückgelegten Weg
• Die Teilchen üben - außer bei den Stößen - keinerlei
Wechselwirkung aufeinander aus
Kinetische Gastheorie:
Berechnung des Druckes eines Gases
Der Druck eines Gases ist ein Resultat der Stöße der Gasteilchen
gegen die Gefäßwand. Bei jedem Stoß wird der Impuls 2mvx auf
die Wand übertragen. Durch Aufsummierung erhält man:
nMc 2
p=
3V
v12 + v22 + ... + v N2
mit c =
N
c ist die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit, n die
Stoffmenge, M die molare Masse, N die Gesamtzahl der
Teilchen
Kinetische Gastheorie:
Geschwindigkeit von Molekülen
nMc 2
p=
3V
daher
nMc 2
pV =
= const
3
durch Vergleich mit dem idealen Gasgesetz pV = nRT erhält
man (M = molare Masse, n= Stoffmenge)
3RT
c=
M
Beispiel
3RT
c=
M
Berechne die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit eines
O2-Moleküle (32 g mol-1) bei 300 K
Ergebnis:
O2 (M=32 gmol-1):
483 m sec-1 = 1740 kmh-1
N2 (M=28.02 gmol-1): 515m sec-1
(Schallgeschw. In Luft = 346 ms-1 bei 25°C)
Beachte: eine Temperaturerhöhung hat den selben Effekt auf
die Geschwindigkeit wie eine Verminderung der
molekularen Masse um den selben Faktor
Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung
In einem idealen Gas ist der Anteil f der Teilchen, die eine Geschwindigkeit
zwischen v und v+dv haben, gegeben durch
 M 
f (v ) = 4π 

 2πRT 
Anteil
der
Moleküle
3/ 2
2 − Mv 2 / 2 RT
ve
hohes M/T
niederes M/T
Geschwindigkeit
dv
Ideale Gase
Reale Gase
Summe der
Teilchenvolumina klein
gegenüber Gesamtvolumen
des Gases
Keine
Wechselwirkungsenergie
zwischen Teilchen, d.h. die
Gesamtenergie des Gases
besteht nur aus kinetischer
Energie
Ekin
E pot = 0
Epot
Abstossung
Anziehung
Reale Gase
Experimentelle Isotherme
von CO2 bei verschiedenen
Temperaturen. Die
kritische Isotherme liegt
bei 31.04° C
http://de.wikipedia.org/wiki/Überkritisches_Kohlenstoffdioxid
Zustandsgleichungen realer Gase:
der Kompressionsfaktor z
Ideale Gasgleichung:
(Vm = molares Volumen)
Die Abweichung realer
Gase von der idealen
Gasgleichung wird
durch den
Kompressionsfaktor z
beschrieben
pV
pVm
=
=1
nRT
RT
pV
pVm
z=
=
nRT
RT
Kompressionsfaktor
pV
z=
nRT
van der Waals
Eigenvolumen vermindern das den Teilchen zur „freien Bewegung“
zur Verfügung stehende Volumen (abstossende WW)
nRT
p=
V − nb
Das Vorhandensein anziehender WW reduziert den vom Gas
ausgeübten Druck. Teilchen stoßen weniger häufig und mit
geringerer Wucht gegen die Gefäßwand
n
∆p = −a  
V 
2
van-der-WaalsKonstanten einiger
Gase
nRT
n
p=
− a 
V − nb
V 
2
Besonderheiten der van-der-Waals
Gleichung
• Bei hohen Temperaturen
und grossen molaren
Volumina liefert sie die
Isothermen idealer Gase
2
• Flüssigkeiten und Gase
koexistieren, wenn sich
kohäsive
(zusammenhaltende)
und dispersive
(auseinandertreibend)
Effekte die Waage halten
nRT
n
p=
− a 
V − nb  V 
Joule-Thomson Effekt: Verflüssigung von Gasen
Bei der Expansion werden die
Teilchen eines realen Gases
langsamer, da sie sich von
einander entfernen und dabei
die potentielle Energie der
Anziehung auf Kosten ihrer
kinetischen Energie
überwinden müssen.
Die Linde-Kältemaschine
Gas wird komprimiert
und vorgekühlt. Durch
die Expansion kühlt es
sich weiter ab, und
kühlt im Gegenstrom
komprimiertes Gas.
Dieser Zyklus wird
mehrere Male
wiederholt bis zur
Verflüssigung