¨Ubungsblatt 5

Theorie der Programmierung
SS 2017
Übungsblatt 5
Rev.16849
Abgabe der Lösungen: Tutorien zwischen 08.06. und 13.06.
Präsenzaufgaben
Church-Numerale
Wir betrachten erneut die Church-Kodierung natürlicher Zahlen vom vorigen Übungsblatt:
dne := λf a. f (f (f (. . . f a))))
|
{z
}
n
mit einheitlicher Kodierung
one
two
three
four
zero = λf a . a
succ n = λf a . f (n f a)
=
=
=
=
succ
succ
succ
succ
zero
one
two
three
sowie den Operationen aus der Hausaufgabe, add und mult, mit der entsprechenden Semantik.
Notation: Von nun an schreiben wir s + t und s ∗ t anstelle von add s t und mult s t und
verwenden die βδ-Regeln
dne + dme →∗βδ dn + me
Übung 1
dne ∗ dme →∗βδ dnme.
Subtraktion
Das Dekrementieren von Church-Numeralen ist wesentlich komplizierter als die Addition, Multiplikation oder Exponentiation; angeblich benötigte Alonzo Church einige Jahre, um herauszubekommen, dass (und auf welche Weise) es möglich ist. Allerdings gab es zu dieser Zeit noch
keine Computer, so dass Church auch kein Programmierer im klassischen Sinne war.
pred n = fst (n (λp . pair (snd p) (succ (snd p))) (pair zero zero))
1. Zeigen Sie, dass pred d2e →∗βδ d1e.
2. Erläutern Sie in eigenen Worten die Funktionsweise des durch pred implementierten Algorithmus.
3. Vervollständigen Sie die folgenden Funktionsdefinitionen:
sub
eq
le
lt
n
n
n
n
m
m
m
m
=
=
=
=
...
...
...
...
//
//
//
//
n
n
n
n
−m
== m ?
≤m?
< m?
Notation: Von nun an schreiben wir s − t, s == t, s ≤ t und s < t anstelle von sub s t , eq s t ,
le s t und lt s t .
ThProg, SS 2017
Übung 2
Rekursive Definitionen
In den meisten funktionalen Programmiersprachen sind rekursive Funktionsdefinitionen zulässig,
das heißt, die definierte Funktion darf auf der rechten Seite einer solchen Funktionsdefinition vorkommen. Rekursive Funktionsdefinitionen entsprechen – wie in Übung 2, Blatt 4 – δReduktionen.
1. Wir betrachten die folgende rekursive Funktion:
fact n = if n ≤ d1e then d1e else n ∗ (fact (n − d1e))
Zeigen Sie, dass fact d4e →∗βδ d24e.
2. Schreiben Sie eine rekursive Funktion odd dne, die true als Ergebnis liefert, wenn n ungerade
ist, und false andernfalls.
3. Schreiben Sie eine rekursive Funktion halve, so dass:
(d2e ∗ halve dne) + if odd dne then d1e else d0e →∗βδ dne.
Übung 3
Typprüfung einfach getypter Terme
Wir lesen Γ ` s : α wie folgt: “Dem λ-Term s lässt sich unter der Annahme, dass eventuellen
freien Variablen von s die durch Γ gegebenen Typen zugeordnet sind, der Typ α zuweisen”.
Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen zutreffen, indem Sie jeweils eine korrekte Typinferenz
angeben.
1. x : int, add : int → int → int ` λy.add x (add x y) : int → int.
2. ` λx y . x : α → β → α, für alle Typen α und β.
Hausaufgaben
Übung 4
Wer braucht schon Rekursion?
(7 Punkte)
Rekursive Definitionen sind komfortabel, aber nicht notwendig: Bereits im reinen λ-Kalkül ist
es möglich, Fixpunkt-Kombinatoren zu definieren (wie z.B. den Y-Kombinator). Es sei fix ein
beliebiger Fixpunkt-Kombinator, d.h. es gelte fix f ↔∗βδ f (fix f).
1. Die folgende Definition entspricht der Funktion fact aus Übung 2; jedoch wurde die Rekursion durch einen Fixpunkt ersetzt:
fact ’ = fix (λmyself n . if n ≤ d1e then d1e else n ∗ (myself (n − d1e)))
Zeigen Sie, dass fact ’ d3e ↔∗βδ d6e
2. Schreiben Sie unter Verwendung von fix nun nicht-rekursive Versionen aller übrigen Definitionen aus Übung 2.
2
ThProg, SS 2017
Übung 5
Typprüfung einfach getypter Terme II
(4 Punkte)
Wir interpretieren Γ ` s : α wie in Übung 3. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen zutreffen,
indem Sie jeweils eine korrekte Typinferenz angeben.
1. length : string → int, name : person → string ` λx.length (name x) : person → int
2. ` λf x y . f y x : (int → char → string) → (char → int → string)
3. ` λf x y . f y x : (α → β → γ) → (β → α → γ), für alle Typen α, β und γ.
Übung 6
Untypisierbare Terme
(4 Punkte)
Verwenden Sie das Inversionslemma um zu zeigen, dass:
1. 0 λx.xx : α, für jeden Typ α.
2. y : char 0 λx.yx : α, für jeden Typ α.
Übung 7
η-Reduktion
(5 Bonus-Punkte)
Zusätzlich zur β-Reduktion, die das Einsetzen von Termen für gebundene Variablen in λ-Termen
beschreibt, kann man noch die Ansicht vertreten, dass ein Term t dieselbe Funktion beschreibt
wie der Term λx. tx, also eine Äquivalenz
λx. tx =η t
einführen (ähnlich wie bei α-Äquivalenz). Zugehörig ist eine Reduktionsregel
λx. tx →η t.
1. Nach einem Theorem von Böhm gibt es für zwei in Bezug auf βη-Reduktion unterschiedliche Terme ohne freie Variablen ein n ∈ N und Terme u1 , . . . , un (ebenfalls ohne freie
Variablen), sodass
s u1 . . . un x y ↔∗βη x
t u1 . . . un x y ↔∗βη y
Finden Sie ein n sowie passende ui , i = 1 . . . n, um d0e und d1e auf diesem Wege zu unterscheiden. Hinweis: η-Reduktion könnte bei der Suche nach geeigneten Termen hilfreich
sein.
2. Sei nun I = λx.x. Zeigen Sie, dass wir auch mit römischen Zahlen rechnen können:
I + I ↔∗βη d2e.
3. Gegeben seien die λ-Terme (sogenannte Kombinatoren) B = λf gx.f (gx) und C = λf xy.f yx.
Zeigen Sie, dass BCC ↔∗βη I.
3