Zur Theorie des Mesotrons. II.

Zur Theorie des Mesotron.B. 11.
Zur Theorie des Mesotrons. II.
Von Tatuoki MIYAZIMA und Sin-itiro TOMONAGA;
(Eingeg~ngen
am 27. Juni' 1942.)
Das Variationsverfabren, das von einem der Verfasser fiir die Untersucbung des Verhaltens der ein ·1\~rnteilchen umgebenden Mesotronen
neulich eingefiihrt wurde, wird 'im Teil I der vorliegenden Arbeit durch
EinfUhrung der weiteren Variationsparameter verfeinert. Durch einen
Vergleich unseres Ergebnisses. mit dem Ergebnis der kiassischen BehandlUAg werden einige Uberlegungen iiber die Art und Weise der Mesotronenbindung am l{er.nteil~hen gen1acht. Als eine Anwendung wird die
Vielfacherzeugung d&r Mesotronen ~im Zus11mmenstoB des Kernteilchens
mit einem scbweren Teilcben betrachtet. Im Teil I wird ias Verfahren
so vet·allgemeinert, daB es auch die symmetrische Tbeorie umfaBt.
Beztiglich des Verhaltens der ein Kernteilchen umgebenden
Mesotronen hat einer der Verfasser neulich versucht,C') das Ergebnis
des Storungsver fahrens mit dem ,. Ergebnis des entgegengesetzten
Grenzverfahrens von Wentzel zu verbinden und auf diese Weise die
LUcke der bisherigen Untersuchungen gewissermaBen auszufiillen.
Die mathematische Methode, die dabei benutzt wurde, besteht darin,
daB man im Sinne des Ritzschen Verfahrens · die moglichst genaue
Wellenfunktion· der Mesotronen in Form des Produktes aufsucht,
dessen Faktor nur von den Koordinaten je eines Teilchens abhangt.
Die Funktionenform dieses Faktors wurde dabei durch Betrachtung
des entsprechenden Problems fUr neutrale Mesotronen nahegelegt.
Die vorliegende Arbeit soU nun als eine Erganzung der frUheren
gelten, und zwar werden in ihrem ersten Teil hauptsachlich die Fol·
gerungen der Verfeinerung besprochen, die durch Einftihrung der
weiteren Variationsp arameter in die Grundfunktion erzielt werden
kann. Im zweiten Teil werden dann die friiheren Uberlegungen sowcit
verallgemeinert, daB dabei nicht nur die geladenen (longitudinalen)
Mesotronen sondern auch die neutralen (aber ebenf~lls Iongitudinalen)
mit in Betracht gezogen werden. Diese Verallgemeinerung la.Bt sich
sofort auf den Fall der neutralen Pseudoskalarmesotronen Ubertragen.
Die allgemeineren Probleme, die das Verbal ten der geladenen Pseu1
(l) S. TOM ONAGA: Sc. Pap. 1. P. C. R., 39 (1941), .247. Diese Arbeit wird
im folgenden als I zitiert.
21
T. Mi?Jazima und S. Tomonaga:
doskaJar- oder der durch Mitberticksichtigung, des transversal en Teils
vervollstandigten Vektormesotronen betreffen, bleiben dagegen noch
ungelost und bedtirfen weiterer Untersuchungen in der Zukunft.
Teil I.
Verfeinerung der Methode. Vergleich mit der klassischen
Behandlung. · Vielfacherzeugung der Mesotronen durch
Kernteilchen beim ZusammenstoB.
1.
Einfuh1·ung der neuen Pa1·anwte1· in den Grunda'YUlatz.
Wenn wir das Schrodingerfunktional 1Jf, das den Zustand des
Gesamtsystems vom :tv.resotronenfeld und Kernteilchen darstellt, als
eine Folge von Schrodingerfunktionen ~n Konfigurationsraumen verschiedener Dimensionszahlen auffassen, etwa wie
tf.o
¢'1 (ft)
1ff
=
~2 (fi;
f1)
¢'a(~t,
U;
(1, 1).
fl}
so Iautet, wie es in der fruheren Arbeit gezeigt wurde, die Grund.:
gleichung fur diese Funktionen (vgl. I (1, 6)) :
K 0<po
= -lJ¢' 1(fi'") g (Itt) dft
(K0 -Ki)¢ 1 (fi)
= -l{g(ki)<po-J~2(ft; f1)g(k1)df1}
(Ko- Kt -K1) <f2 (fi; fi")
==
= z{u(k1)¢' 1 (ft}- ,!2J~a(ft, ft; f1)U(kt)dft}
(Ko-Kt -K!-Kt)¢' 3 (ft, U; f~) =
.
f1
= -z·l,I22J:u<Ttt> ~2(ft; fi)-
(1,2)
- v'2J9'4(ft, r;; t1, f2)u(k;-)dfi}
Zur Auflosung dieser. Gleichung haben
wir in I das Ritzsche
Zur 7'heorie des Mesotrons. II.
Variationsverfahren eingefti.hrt, indem wir folgenden Ansatz fur 'P
und ¢' zugru~delegten :
(,
!
T!ll\
= (- t>~n" u<kt>n" u<k;>
K"'! >.-1 K+>. (1.=1 K-"'
,,,
'r'n.+1
(1, 8)
1
"'n• g(kt)1I?lg(k;)
= (-l)n
K-u.
1';+
V"tn+t
•
1'-.:::1
>-=1 A1
..0.9
c2,.+t
Diese zuerst durch die Betrachtung des entsprechenden Problems
fhr neutrale Mesotronen nah~gelegte Form wollen wir nunmehr durch
Einfuhrung der neuen Variationsparameter ct und .P verfeinern. Wir
setzen namlich an Stelle von (1, 3)
C;m n· u <kt> n" u(k;>
= <_ 1>,.K'ti.L<n
KK+
tn
T !n
{
2
.p.,
-1~-+ t
= ( -1)"
(J
-ct,..=t
1L- f-1
2 ).::J
>.
c2t&+l
"n+l g(k;) n" g(k;}
(l, )
4
r.n
K-L":'l J."' ~ K+K"+1
P
1L
""' V =1
)..
2
,N
wobei K 2 bzw. L 2 die Abkiirzung
K2
-=1'J
g(/.:)2 df
(K -ct) 2
bzw. L2
=1J
g(k)
2
.
(K -{1) 2
dF
(1,6)
bedeutel Die Variationsparameter "' nnd {1 sowie die Koeffizienten
c0 , c11 c2 ,. .. ·.. bestimmen wir nach dem allgemeinen ~chema des
Ritzschen Verfahrens so, daB der Ausdruck
K (c0 , e1 , c2 , • • ·, ct, /1) =
=~of tfJ:n (Hll'ht;f!dftj! df: + ~J ¢:_+1 (H qr)2n.,I}.I dft }!dt;
(1, 6)
mit der Nebenbedingung
so klein wie moglich wird. Durch Einsetzen von (1, 4) in (1, 6)
ergibt sich der exolizite Ausdruck von K :
K=
~{n( ~ +<t)+n(~:+/3))c.!+~{ (n+l)( ~ +<t)+n(~i +11) }c:. •• 2lK~
•
--
2lL~
--K 2:1,1 n+ 1 Csnt;,.,+, --L 2Jyn+ 1 c21'1+tc~,~+:z··
2
n~o
Cl()
-
2 n=O
Hierbei sind unter K1 und L 1 die Abkiirzungen
23
(1, 8)
T. Miyazim,a und S. Tomonaga:
L
t
=a/ f u<k>"dt
y JK-;~
(1, 9)
gemeint.
Bei der Auflosung des Variatiensproblems
aK = o
{,J~Icl 2 = 0
(1, 10)
denken wir uns zuerst fX. und R fest und variieren nur die Parameter
Co; Cu c2,....... Es entsteht dann folgendes System von Gleichungen
fur c:
(JG )
lK~ _ l
(L~ t:~)
f
lL~ .- L 11 nc~,.-•+ ln Xi +fX. +n Li +1• -E1c2,.- K v1 n+1 c,,.+ 1=0
2
2
L~ +fl) -E l c2,.+ 1 K~ +fX-) +n( Li
c2,.+ l( (n+l) ( K~
K ,ln+l
- lK~
1
2
lL~ .-.--L vn+l
.
C2n+2=0.
(1, 11)
·2
Der Eigenwert E dieses Gleichungssystems enthalt nun noch zwei
Parameter fX. und j1, die wir so bestimmen miissen, daB E lGUm
Minimum wird.
Wenn wir die Gleichung (1, 11) wie in I in eine Differentialgleichung umformen, so erhalten wir
{- :;.+
l ::.+
1(~
m-! )-2(W + 1) }t(r)-
m(n;.-l) +r2 +2a(
0
m )u<r> =0
-2vrg(r)- 2w(~+
r
dr
m+ ~ )-2(.Wo+1) }u(r)-
m(~.+l) +r2 + 2a(
-2vr/(r) +2w(
:r- ~
(1, 12)
)t(r) = 0,
wobei a, v und w folgende AbkUrzungen bedeuten:
(1, 13)
24
Zur Theorie des Mesott·ons. II.
wahrend r, m, g(r) und /(r) dieselbe Bedeutung wie in I haben.
Der Eigenwert W0 dieser Gleichung ist· mit b"" gemaB
(1,_14)
verkniipft.
Da die Auflosung des Eigenwertproblems (1, 11) bzw. (1, 12) im
allgemeinen Falle recht kompliziert ist, beschranken wir uns nur auf
den Fall der starken Kopplung. In diesem Faile ist der Eingenwcrt
W 0 wie in I Ieicht anzugeben :
(1, 15)
Wir wollen nun die weiteren Parameter o: und /1 variieren und das
_Minimum von E aufsuchen. Dazu ist es zweckmaBig, E vorher in
Potenzen von ~ und ,~ zu entwkkeln. Fur die Konvergenz dieser
Potenzreihe ist die Kleinheit der dimensionslosen GroBen o:j1;, und ,9ft:,
maBgebend. DaB diese GraBen wirklich klein sind, kann aber
nachtraglich bestatigt werden. Wir fiihren also folgende Entwicklungen ein:
.
mit
I
K~ = K~ + Kict + K 3CG2 + ··· · ··
Ki = K;+2K 3ct+ ···•··
L~
= m+K~~+K 8,1 + ······
L; =
Kl = v~)Zdf,
p, 16)
2
K;+2K 3CG+ ••••••
J11 ~~ df,
2
Ki =
J0 ~~ df.
2
K3 =
(1, 17)
Aus. (1, 14) und (1, 15) erhalten wir dann
E(e~.,{1)
1
1 ·m 1 K
= --l2K1.----~
+--•mz+
2
2 R1 2l K~
3
+(Ks_ Kt_'[_K'tct-+{1_ K~ ct·-P + l2 K~K:.~( 2 +a11 2) K~ K~) Ki 2
K~m 2
4 K; CG
- : ( ~- ~i)Kl<<-+m•]. (1, 18)
\Vir finden alsdann, ·daB dieser Ausdruck bei folgendem
Minimum wird :
25
ct
und· Pzum
T. Miyazima und S. Tomonaga:
Ja
1 (
=-= l 2K 3
m
KfKt\
K: I
t1 = l2-1Ka (m +K:.Ka)·
K~ '
(1, 19)
I
und daB sein minimaler We~t. der die Energie des Systems liefert,
1 z• xs
=-2
1 f K·:
1( K3
.-2l K~+72 K~-
Kl)
xn 1 2
Kt K;J +2l2 K 3m
(1, 20)
betragt.
DaB cl sowie J9 gegeniiber ~~; klein sin~, was fi.ir die Konvergenz
der Potenzreihen (1, 16) notwendig war, ist aus (l, 19) ohne weiteres_
crsichtlicht denn K 1 , / (2 und ·/{3 in (1, 19) $ind aile von der GroBenordnung des Abschneideimpulses K, .den wir aber als groB gegen ~
annehmen wollen, wahrend l von der GroBenordnung von 1/"~ ist.
Das Resultat (1, 20) liefert den verfeinerten Ausdruck fiir die
Selbstenergie; die quadratische Abhingigkeit de~ . ~elbstcnergie
von der Ladungszahl m ist in (1, 20) ·: hn Vergleich .· mit dem
fruhercn Ausdruck (I (3, 17)) weitgehend verbessert. Wir konnen
namlich im nachsten Abschnitt zcigcn, daB die Abhangigl<eit in
(1, 20) gerade die ist, die nach der klassischen· Uberlegung zu erwarten
ist. Es ist einerseits von Oppenheimer und Schwingerc~) gezeigt
worden, daB die wesentlichen Glieder der quantentheoretis chen Selbstenergie, die nach der Wentzelschen Methode },>erechnet wird, mit den
entspr~chenden Gliedern der klassischen Selbstcnergie iibereiustimmen.
Es wird sich ferner herausstellen, daB der farameter (t. und /1, diQ
hier zuerst rein formal eingeftihrt wurden, ~uch eine physikalische
Bedeuhm5; zukommen kann, wenn wir das Ergeimis dieses Abschnittes
mit dem entsprechenden klassischen Ergebnis vergleichen.
2.
Vergleich mit de'r klassischen Behandlung cles Problems.
Wie von Oppenheimer und Schwinger doc. cit) bcmerkt wurde,
la.Bt sich das Problem auch klassisch bchandelp. Es erweist sich hier
a~s zweckmaBiger, mit Einfiihrung von zwei reellen Operatoren r
1
uttd 1: 2 gemiB
>
(.2)
J. R.
OPPENHEIMER und
J.
SCHWINGER:
26
Phys. Rev.,
60 (1941.), f50.
Zur Th6o1·ie des M esot1'(Jn8. 11.
r't = Q +Q*
lr.2 = ~(Q-Q*-)
(2, ] ).
7,
die Hamiltonsche Funktion ·folgendermaBen zu
f-iC h rei ben:
H = jK{a*(f)a(f) +b*(f)b(f)}df-
-
~ Ju(/c)({a(f) -b'l:(f)} (:- 1 +ir 2) + {a*(f) -b(f): (:- 1 -h 2)Jdl.
(2, 2)
Bekanntlich bilden die Operatoren r 1 und r- 2 mit dem dritten Opemtor r 3 die Komponenten des Ladungsspins " und sie geniigen folgenden
Vertauschungsrelationen: ·
f[rur- 2] == 2ir8 ,
l
't2
[r2;r3)
= 2i'i•
= rl· = rs2 =
(2,3)
1.
Die quantenmechanischen Bewegungsgleichungen ·fUr die Operatoren a(f), a*(f), b(f), b*(f) und .,. konnen wir dann nach dcr
bekannten Regel ermitteln :
a(f) = --ic(Ka(t)-
~g(lc) (• 1 -ir 2 )}
b(f) = -ictKb(f) +
~ g(k) (r 1 + ir 2)'}
a* (f) = ic{Ka* (f)-~ g(k) (r 1 + iT 2)}
(2, 4)
b* (f) == ic{Kb*(f) +..~ g(k) (r 1 -ir2 )}
und
.
r- 1 =
r2
=
. r·_ 1i
2clr~.\u<k>
2
l + 1i { b (f) -b~·
{ a(f) -a* (l) J
2
<fl} ~f
2clr 3Ju<k>[~ {a(f) +a*(t) }-j{b(f) +b*(f) }]dt
~ 3 =·icl Ju<k>[ {a(f)- b* (f)} (r 1 + ir2 ) - {a* (f) -b(t)} (r 1 -ir 2)
(2, 5)
]dt
Wir wollen nunmehr das ganze Problem klassisch behandeln.
· Wir verstehen namlich unter 'tt T 2 und r.a nicht mehr Operatoren
27
7'.
~liya,zirna
uucl S. Tumonaga:
sondt·rn Komponenten cines Einhcibwektors im Raum des LadungsSJ)ins und fa8scn zugleich ~i\mtlichc Fouricrkoeffiz.ienten des 1\Iesotronenfel<le~; a, a 1., b und b"" ebenso als c-Zahlcn auf. Die ullgem(•inc
Losung der Bewt·gungsgleichungen h;t trotz dicscr Vcreinfac.hung noch
kaum aufzufindcn. Der Zustand, ftir uen wir uns interessierct), gehort
jedoch zu einerri Lcsonders einfnchcn Bewcgungstypus, bei dem die
Integration dt.•r Bewcgungsgl<.·ichungcn ldcht <lurchzufiihrcn ist.
Wir versuchcn namlieh (2, 4) und (2, 5) durclt folgcndcn An~atz zu
losen:
a' (f) = d' (f) e'"''
a(O = a(()c-i"'',
{
b(f)
: 1
:::=
bY· (f) =:= /1* (f)e_.,..,,,
11(f)ci•ut,
= sin 0 cos (,Jt,
:- 2
(2, 6)
= sin f/ sin (f)t,
:-a
=-:
cos''·
Es· handclt sich hicr also lediglich um eine Pr~izts~ion dt~ Ladungs·
spins und gleichzeitige Drchung des Eigenfeldcl.:i irn Ladungsraum.
Durch Einsetzen von (2, ()) in (2, 4) finden wir
1
(I)
K--c
l g(k) sin II
2·
(2, 7)
1
1
.
{1)
K+c
2
!J(k) sino,
und es ergibt sich a us (2, 5) fur die Prazession::>frequenz
1
+- _1j d f.
~K w K
-+c
c
w = cl 2 cos () IU ( k) 2 (
J
l
(2, 8)
(I)
Wir erhalten also eine spezielle Losung der Bewegungsgleichungen
a(f)
l
c:
_l sin() g(/c) e-i•vt,
·2
K-!!!_
c
a*(f) =_!sin II fJ(O ei."''
, b(t) = _ _!_sinti g(k) e'i•·•t,
l
2
. r 1 = sinllcoswt,
K
b*(f)
<u
+ ,: =
K-~~
c
2
.
2
.
sinllsinwt,
wobei aber die Prazessionsfrequenz
28
(IJ
= __ ]_sin tJ
'•
g(k) e··l<vt (2, V)
K +~
= cosll,
c
mit dem Neigungswinkel des
Zur TIU'ot'ie des ltlcsot1·nns. II.
Ladungsspins, den wir mit 11 bezeichnf~t hnhC'u, gt:'maB (2, H) verkniiplt
sein soiL Die Energie bzw. die IJ:ulun~ des Sy~tems bt•i fJie~('m
'Bew<'gung~zustand ist nun durch
rz
. ~- . .
I
1
1
l
11 .. -4 gin'll Ju<k>2K l( K -~r + ( K +~~rJ"'c.
c
1
-2\!l(k)2f
.
+
\ K---'''
.lt~rJ
1
'"I
}\... ·t--
c
(2,
to)
('
bz\v.
12
r 1 1 2flJg(k)2
m =-sin
4
'
l(l(- ~ )2
r.
1
1
1rlf +-coso
(l( + ~c y
·
J
(2, 11)
2
gegeben.
Es ist zu beach ten, daB dieser Bewc•Jnmgstyps infolge von·(~, ll)
dann unci nut dann mc)glich ist, \Venn diese Glt>ichung bei gegebetwm m
wenigste11s eitwn reellen und nichtverschwitHkndl•n Winkel tJ znHlBt.
Wenn wir die .Abl\iirzung
c =-4t~\fl ( 'h)'·''
•
t'
.. , (
1
1
"- ( '
(/) )..
K--c
(1,
)''Jl.dt
K+-('<
~
(2, 12)
einfUhren, Iautet die Bcdingung dafii r :
C2 -- mC + 116 ;--->-0---,.{
; -1 < 2IC (
~ ±·(C2 -me+
(2, 1?.)
116 ) < 1.
FUr m = J d. h. fUr den Zustand der niedrigsten Ladung ist die f~rste
von (2, 18) stets erfiillt. Die Bedingung fUr daR Nicht v<•rf;ehwind<·n
von II reduziert sieh alsdann einfach auf
(2, 14)
Wir wollen nun unser klassisches Ergebnis mit der quantenZu diesem Zwecke
mechnnischen Hartreenaherung vergleichen.
miissen wir den Fall der starken Kopplung naher betrachten. Wh~
29
T. Miyazima. ·und S. "l'omonaga.:
c:s nachtriiglich festgestellt wird, ist in diesem Faile die Prazessions-
frequenz klein grgen ,.. c, sodaB uns die Ehtwicklung verschiedener
GroBen in Potenzen von mf ,,·c gestattet ist. Es ergibt sich also au&
(2,10) und (2,11) zuerst
und aus (2, H)
w
-
c
.•
!'I
= 2l·Ki cos II+······
(2, 16)
Es folgt dann
m
f cos II
1:
= 2l~ K~ K:1
(2, 17)
= l'mK:1 '
und untf~r Elimination von fJ und !!.!.. ergibt sich fur die Selhstenergie
c
!
1
l2 K:s.
(2, 18)
H =-2,+2VKm.
!'I
Dieser letzte Ausdruck stimmt nun tatsachlich mit der durch
(1, 20) gegebenen quantenmechanischen Hartreenahcrung iibcrein his
auf das Glied, das die Nullpunktsenergie des Mesotronenfeldes darstellt
und oft'enbar bei der klassischen Theorie fehlt. Ferner ist es aus
(2, 17) im Vergleich mit (1, 19) zu ersehen, daB die Parametern a und
-~ gerade den durch c dividierten Prazessionsfrequenzen entsprechen,
falls m geniigend groB ist, dieses letztere ist aber fur die Giiltigkeit
der klassischen Uberlegung von vornhereln zu fordern. Aus (2, 9)
erhalt~n wir ferner den klassischen Ausdru'Ck fiir die , Anzahl" der
positiven bzw. negativen Mcsotronen:
l2
g(k) 2
·lnt,(t) =-;r(K- ~).2
n.,(l)
bzw.
;r •
v g(k)
==-;r ( K +
2
30
(2, 19)
Z'ur Tlleorie de J,.fesotrons. II.
indem wir ~in tJ in (2, H) nnch dN· ersten Beziehung von (2, 17) mit
geniigender Genauigkeit einfach durrh 1 N'Heizt hnben. Fi..ir den
quantenmrchanischcn Erwartungsw()rt dieser Anzahl erhalten wit·
PinerReits aus (1, 4)
- , - 1~ {/(It) t
n9 (f) =-= .1\.:
T."s. (-K -:-) f
-c..
hzw .
I
1-~-. n-
(2, 21)
y(k)t
n., (f) = L! (K - p) t.
mit
(n-;
J
=~lrnc,!+ (n+ l)c~!~-,}/L:c~.
n::::O
bzw.
tn"'O
lu.- =~ flnc:!! +ncz!+
1 Jl
n=ll
/
i:r~.
(2, 22)
m,:;;:O
Da wir andere1·seits die ftir die starke Kopplung giJltige Beziehnng
- -
v: rx;
n =n-=4=-4-
(2,2:!)
haben (vgl. I (3, 26) ), stimmt der klnssische Ausdruck wieder mit
dem quantenmechanischen tiberein, wenn wir darin ~ uud -P mit dt\r
Prazessionsfrequenz identifizieren.
Ein wese.ntliches Ergebnis unscrer Ausei.nandersetzuu,:r ist also,
daB die Bindung der Mesotronen am Kemteilchen im Fnl1e der
starken Kopplung wesentlich klassisch ist.
Bei der f-1Chwachcn
Kopplung ist sie dagegen rein quantenmechanisch, bei der die Feldschwankung cine wichtige Rolle spielt, da sonst der Bedingtmg (2, 1!1)
bzw. (2, 14) zufolge iiberhaupt keine Bindung zu erwnrten ware. In
diesem Falle hat daher solche anschauliche Vorstcllung wie etwa die
Prazession des Ladungsspins bzw. die Drchung des Mesotronenfeldes
eigentlich keinen Sinn. Allein es konnte fUr manche Zwecke bequem
sein, auch im Quantengebiet vom , Erwartungswert des prazediercnden Feldes " zu sprechen. Man diirfte niimlich
_!.(n+ + n~) g(k) e- ./•;ttr
2m L:;. K-r~.-{1
1
'
2
_!_(n+ + n-)
2 K1
2
L2
e"o";tt,
g(k)
CG-
'i
"K+--'
2
31
(2,24)
T. Miyazima u.nd S. Tomomga:
doch als ein naheliegendes, quantenmechanisches Aualogon · zum
prazedierenden Eigenfeld einfU.hren, obgleich• sein eigentlicher Erwartungswert, ebenso wie sein klassischer Zeitmittelwert, verschwindet.
Die Gleichung (2, 24) ergibt dann gemaB
ivt~c
\ vKf
U(r) =~gradJ-k-la*(t) +b(-f) l e-'(t,'t)df
I
1
;\' ( r) =
r
J! uc
1 f
, • grad Jk v0( l a • (t) _ b (_f) ,J
2
bzw.
(2, 25)
e-•ct. ''<II
den , Erwartungs wert" des Vektorpotentials bzw. der FeldsUirke des
Yukawaschen Eigenfeldes:
11 (r) =
1 .
-~ (t)
Cli.
{
1
~(r)
= -
7
1
(2,26)
grad U 0 (r) --e-;11 (r)
mit
Uo(r) =
/_Ic_/!(n:+n:)f'(rx.-J1)2+/i;2leic ;1\t f F(k) . eter.t'df.
y 2 K'l L:! l 2·
J
)K2-(rx.-t1)2
11
H
2
·wenn wir hierin rx. und
das Potential
U (t) =
0
~
gegen
/i;
(2, 27)
vernachlassigen, so erhalten wir fur
/lc. / n- ~~ ek•;"e ( F(k) e'"'odt
rr V 2 K 2
Jk2 + ~~ .
1
(2,28)
mit
(2, 29)
das beim Weglassen des Abschneidefaktors F(k), was aber fur
ltl~
stets erlaubt ist, und citJrch Einsetzen der expliziten AusdrUcke
k
von
n (vgl. I
(3, 26)) auf das ubliche Yukawapotential reduziert:
fUr schwache Kopplung,
fUr starke Kopplung.
32
(2, 30)
Zur Tltrntic des 1Uc.'Wt1·ons. II.
Dieses Potential konnen wir naliirlich unmittelbar durch
losung der bekannten GleichungC·n
Jl! 0 -1i. 2 U0 = -4rr2 y?iC ~i. 2 Z,J(r) (r 1 +ir 2)
Auf~
(2,_31)
erhalten. . Das .Auftreten des Faktors 1/2 im Falle der schwachen
Kopplung deutet ·dabei darauf bin, daB im Gebiet der schwachen
Kopplung · der Vektor ' nicht mehr als Einheitsvektor betrachtet
werden kann, sondern vielmehr a~s Operator aufgefaBt werden muB
(der ·Zeitmittelwert vom als Operator aufgefassten lr 1 +i-: 21betriigt
1n der Tat nicht sin He!~: I sondern 1/2). Stiickelberg, M~ll<'r u1Hl
RosenfeJdC") haben aus diesem Gesichtspunkt ein Verfahren aufg~.:'Rtellt,
das der Abseparation des Eigenfeldes
e-u
U0 (r) =TrV/{C ~i. 2 l - (r 1 +ir 2 )
1'
(2, 32)
mit den als Operatoren aufgefaBten Ladungsspinkomponenten ' 1 uud
' 2 entsprich t und also im Gebiet der Schwankungsbindung
gerade den
Umstanden angemessen ist. FUr die Giiltigkeit die~es Verfahrens ist
aber ebenso wie beim Storungsverfahren die Kleinheit des Kopplungs..
paramete rs cine notwendige Voraussetzung. Mit der zunehmenden
Kopplungsstarke wird die Konvergenz dieses Verfahrens immer
schlechter, und sobald man das Gebiet der Schwankungsbindung verIaBt, so muB man allmahlich zum bier besprochenen klassischen
Gesichtspunkt Ubergehen.
Ma~ sieht nun jedenfalls, daB das Eigenfeld im Bereich ltl~
bei gegebenem l groBenordnungsmiiBig nur unwesentlich von der.
Kopplungsstarke abhangt. FUr das unendliche Anwachsen der
Mesotronet1zahl
mit. der zunehmenden Kopplungsstarke ist daher
der Beitrag aus dem Bereich lrl~
verantwortlich - -.. mit dem
,!.
n
k
zunehmenden Abschneideimpuls wachst in der Tat das Potential im
Koordinatenursprung unbegrenzt an, indem es auBer dort iiberaU
·endlich · bleibt - - . Denselben Sachverhalt sieht man· auch daran,
daB die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Mesotron im Impulsbereich
dt gefunden wird, durch
(3) Z. B. H. YUKAWA, S. SAKATA und M. TAKETA.NI~ . Proc. Phys.·matll.
Soc. Japan, 20 (1938), 319.
(4) E. STUCKELBERG: Phys. Rev., ~U (1938), 889; 0. M~LLER und L.
ROSENFELD : Det. Kgl. Dansk. Selskab. Math·fys. Medd. XVII, 8 (1940).,
33
T. Miyazima und S. Tomonaga:
fiir schwache Kopplung,
fiir starke Kopplung
(2,33)
gegeben ist, und dies beim festgehaltenen l fiir i t I ·"- /( .auch
groBenordnungsmiiBig nur unwesentlich von der Kopplungsstarke
abhangt. Die differenti.elle Wahrscheinlichkeit w (f) ist also trotz der
Divergenz der Theorie eine wohldefinierte GroBe, die anch beim
unendlichen Anwachsen des Abschneideimpulses endlich bleibt. Es
ist jedoch zu beach ten, daB man ·eine zwar groBenordnungsmaBig
unwesentlich wohl aber merkliche Abnahme dieser Wahrscheinlichkeit
--die Abnahme um · den Faktor t - - im Faile der. starken Kopplung gegeniiber dem Faile der schwachen Kopplung erwarten muB.
Hier tritt a!so mit dem zunehmenden Abschneideimpuls eine charakteristische Abweichung von der Storungstheorie auf, -und zwar
kommt dieses Versagen der Storungsrechnung fiir w(f) nicht etwa
nur fur groBes f sondern gleichmaBig. fiir aile Werte von f (If I~ K)
vor, obgleich dieses Versagen ganz von dem GroBwerden der Matrixelemente bei groBem f
(I f I~
f> verursacht ist.
Die Abweichung
von der Storungstheorie tritt bier also auch fiir solche kleine Werte
von f auf, bei denen das Matrixelement lg (k) noch so klein ist, daB
in diesem Impulsbereich die Behandlung des Problems nach der
Storungstheorie auf den ersten Blick stets zulassig zu sein scheint.
Ganz entsprechendes gilt auch fiir die 'FeldgroBen : Mit dem
zunehmenden Abschneideimpuls (aber mit festem l) nimmt das
Quadrat der FeldgroBen in der vom Kernteilchen entfernten Lage
iiberall gleichmi\Big bis an die Halfte ab. Zwar ist das Versagen
der Storungstheorie vom singular~n Verhalten des Mesotronenfeldes
in der Nahe des Koordinatenursprungs verursacht, doch werden die
FeldgroBen nicht nur in seiner Umgebung sondern auch in der
Entfernung merklich mo1ifiziert.
.
Diesetn Sachverhalt mUBte man etwa bei der Herleitung der
Kernkrafte auch Rechnung tragen. Dann wiirde man, falls die
Kopplung nicht geniigend schwach ist, bereits in derartiger Lage der
t
34
Zur Theorie de Mesotrons.. 11.
wechselwirkenden Kernteilchen, wo ihre Entfernung so groB ist, daB
die Krafte, die als das erste von Null verschiedene Glied des St<>rungsverfahrens geliefert werden,. kleiner als die KrMte hoherer Ordnung
sind, doch Abweichungen von dem Ergebnis der Storungsrechnung
finden, obgleich der zuletzt genannte Umstand die Anwendung des
Storungsverfahrens sehr nahelegt. Hier wiirde also flir die bisherige
Bestimmung der Wechselwirkungskonstante durch einen Vergleich von
Theorie und Experiment vielleicht eine Revision notig sein.
3. Tl'ielfacherzeugung de1· Mesot?"onen, die bei der pl6tzlichen
Geschwindigke1tsanderung des R.e1·rrteilchens zzt erwarten ist.
Als Anwendung unseres Verfahrens wollen wir in dicsem Ab~
schnitt untersuchen, wie die Vielfacherzeugung der Mesotronen beim
ZusammenstoB des Kernteilchens mit einem anderen schweren Teilchen
erfolgen wird. Die vorliegende Betrachtung ist aber -insofern von
provisorischem Charakter, als uns dabei die. konsequente Behandlung
der Mesotronenzustande beim Vorhandensein der , fl'eien " Mesotronen
noch nicht gelungen ist, und als der StoBprozeB einfachheit~halber
fur a.lle Eigenschwingungen der Felder plOtzlich gedac ht ist, ~vas a her
nur als ganz grobe Annaherung gtiltig sein wird.
Wir stellen uns namlich etwas schema tisch folgende Frage: Wie
groB ist die mittlere Arizahl der Mesotronen, die bei eirter plOtzlichen
Geschwindigkeitsanderung des Kernteilchens als freie Mesotronen
ausgestrahlt werden? Im Falle, daB die Kopplung zwischen Kern ..
teilchen und 1\fesotronen stark ist, sodaS die Anregung des Mesotronenfeldes beim Vorhandensein des Kernteilchens wesentlich klassisch ist,
laBt sich das Problem halbklassisch nach der Vorstellung von
Heisenberg,~"' wie er sie sich Bloch. und NordsieckC'l) anschlieBend
gemacht hat, folgendermaBen behaudeln: Jm Augenblick des StoBes
macht sich die Dift'erenz zwischen dem Eigenfeld des Kernteilchens
vor und nach dem ZusammenstoB als Wellen der freien Mesotronen
selbstandig und breitet sich als Strahlung aus. Aus deni Spektrum
dieser klassischen Wellen wird dann der Erwartungswert der Anzahl
der emittierten l\1esotronen betechnet.
Diese auf der halbklassischen Vorstellung beruhende Betrachtungs(5)
(6)
auch
w.
W.
HEISENBERG:
ZS. f. Phys., 113 (1939), 61.
F. BLOCH und A. NORDSIECK: Phys. Rev•• 52 (1937), 54. Vgl. hierzu
PAULI und M. FIERZ: Nuovo Cimento, XV, N. 3 (t938), 167
35
T. Miyazima uncl
s.
Tomonarm:
weise ist zunachst nur im 'Faile, daB die Feldschwankung gegenUber
dem Erwartungswert des Feldes selbst klein . ist, mit sicherheit anzuwenden. Als Ausgangspunkt wollen wir trotzdem auch im Quantengebiet diese kJassische Vorstellung zugrundelegcn, und zwar Wollen
wir fiir das Ei.R"er1feld des .Kernteilchens den naheliegenden Ausdruck
(2, 27) . annehmen. Das Eigenfeld eines bewcgten Kernteilchens · IaBt
sich daraus obne weiteres durch die Lorentztransforrnation ermitteln.
Wir entwickeln dann diese transformierten Felder dem Ausdruck
(2, 25) entsprechend gemaB
ll(r) =
1/
l~;cJ K( r (f)aG* (f)- r
0
0(
-f)bo(
-n Je-n''-
~ i 1/}ic"~2J ~-Lf l'r.(f>ae·~< (f)+ e,( -f) b, (_f) l e-t~r.t·)
J
.1/7( l ·
- i1~ ~r ~{ r (f)a *(f) + o,< -flbo< -n Je-'"· ''2rr
;v <rl
=
!=1,2
0
J1
- ,!1lc2J.
2rr
·e:=t,t
.
0
(3, 1)
'
~-/Kfce(f)ci/(f)
~ e,( -f) bi!( -0 le-<r.r)
l
.
J
.
.
.
im Fourierintegral, wobei e0 (f) det Einheitsvektor mit der longitudinalei). Richtung ist, wahrend cl (f) bzw. ('2 (f) den zu Co (f) und
zueinander / senkrechten Einheitsvektor bedeutet; die Hinzufiigung
dieser transversalen Teile ist deshalb ~otig, da die Longitudinalitat
der Felder im bewegten Koordinatensystem nicht mehr aufrechterhalten ist. Das Absolutquadrat von a0 (f) bzw. a~ (f) (e= 1,2) gibt
.dann die· Anzahl der Iongitudinalen bzw. transversalen Mesotronen
vom lmpuls f. Wenn man die Geschwindigkeit des · Kernteilchens
mit b bezeichnet, so haben a 71 (0 (1J=0, 1, 2) folgende Form, wie es
leicht bestatigt werden kann :
= -bo(f> =
=·~ 1
ao(t)
K2 K-(f,b)
.
c
a,(f)
{ k
VK
+-
vx
u, n> 1F(k>e-t(f.\l)t
lc
c 1
.
= -b,(f) ·
~·
=-·K2 K
(3,2)
1
itc .
h ) •
,..,
.
"X'(e,.(f),-u F(k)e-~ct.u)t
_ (f, b),;
c
c
36
Zur 'Phcone de Mesot?·ons. I I.
tnit
(3, 3)
hierin ist allerdings die Prazesswnsoewcgung des Feldes vernachHissigt
worden, da sie ftir folgende Uberlegun g unwesentlich ist.
Wenn sich nun die Geschwindigkeit des Kernteilchens im Augen·
blick des StoBes von tl auf tl' andert, so miissen die Fourierkoeffizienten
des Eigenfeldes von den durch (3, 2) gegebenen zu denj.enigen mit der
gestrichen en Geschwindigkeit diskontinuietlich iibergehen. Da aber
der Feldverla uf gemaB den Feldgleichungen stets kontinuierlich vor
sich gehen muB, so muB gleich nach dem StoB die Differenz der
heiden Eigenfeld er als sclbstandiges Strahlung sfeld vorhanden S('in.
Dieses letzterc Feld breitet sich dann mit der Zeit als ausgesandte
Wellen aus. \Vir erhalten also ftir · die Fourierkoeffizienten des
ausgestra hlten Feldes in diesem Augenblick
(tstr, 0 (f)
= -
b\StT, tJ (f) :·..=
1
===
v n[
K2
1
J
~ _ l/ K ( f, t1) ~~ ( k) _
K _ ~f, t1) h/7{
c
lc
c
(3, 4)
mit
-=
k'
(f, tl ) 2
te2--- -
(3, 3')
c2
Die , Anzahl" de·r cmittierte n Mesotronen wird nun · durch
Einsetzen von (a, 4) in
37
T. llfi!fu:-:ima
mit den UblkiH?n ALktiri'.ung(m
.
und S. Tomonaga:
/1= ctl und
1' =
1
~
c foJgendermaBen
guschrieben:
N == :::
n~( [
P(f) -l•'(l.:')f,u-
-<•~}(\(K~-¥/'(k)•+ (K~-¥('(k')'-
l>aB der Ausdruck (3, 5) nicht Lorentzinvariant ist, braucht man
nicht sonderbar zu tinden. Dies hangt namlich damit zusammen, daB
wir dem Keruteilchen durch die Einftihrung des Abschneidefaktors
eine endliche Ausdehnung zuschreiben, und daB jeder Teil des also
aus.gedehnten Kernteitcnens nach unserer Voraussetzung , gleich·,eitig" seine Gcschwindigkeit andern soli. Diese Gleichzeitigkeit ist
abrr vom Bezugssysb:m abhangig. Damit wir einen eindeutigen
SchluB aus (3, 5) ziehen konnen, mtissen wir daher dasjenige Bezugssystem festsetzen, das gerade den physikalischen Bedfngungen
angemessen i~t. Dies 1st jedoch ohne genaue Kenntnis tiber den StoBverlauf nicht moglich. Falls die Ablenkung des Kernteilchens etwa
von einem (zeitlich· konstanten) schwachen auBeren Kraftfeld hervorgerufen wird, so ist, w1~ es u ns im folgenden dxe quantentheoretische
Behandlung des Problems cinleuchtend zeigen wird, dasjenige Bezugssystem vorzuziehen, in dem ctas Kraftfeld ruht. Wir wollen also
nunmehr zur Quantentheorie tibergehen, bei der diese Festsetzung
automatisch erfolgen wird.
Die Hamiltonfunktion des Systems von den Mesotronen und
dem Kernteilchen, Iautet zunachst in Abwesenheit des auBeren Kraftfeldes:
38
Zur 1,heorie des
H = l't (f,
~f.t::;ot'rons.
II.
~~) + ~~ ,"3 +· ~ \K 1la: (f) a . (f) + b~ (f) b~ (f)
'i .fl,l,i!J
1/i
-l~ ~ J'K- ~,Kt•i\f, f)}[ {a (f) b.~ (-f) }e'"·
0
!Ill
Jl
df-
Q+
+ ra,:· (f) --lJ,, ( -- r)} e-'f. ~)\' Q*Jdt +
+ l }..; (
i~lld c, (f)' n{ flat (f) -1J~ (-f) 'J
••1,2J ,;
ei'.f, :li)
Q-
l\.
-{a/ (f)- be(- f) }e-<t. ~10 Q* ]df,
(3, 6)
wobei :H bzw. '{.\ die KoordinatPn Lzw. den Impuls des KernteilchE:n~~
und 111 sein~ lVIasse bedeutet;. wir mache11 dabei die Annahrrte, daB das
Kernteilchen der Diracgleichung gehorcht, und p1 , p3 und f stellen
wie ublich die Diracmatrizen dar. Da wir nunmehr das Kernteilchen
beweglich denken, muB die Hamiltonfunktion (3, 6) auBer den jetzt
ausdriicklich mit dem Ind~x 0 versehenen Operatoren au (t), a~/ (f)
und bu(f), b,f(f) fiir die longitudinalen Mesotronen noch ae(O, a.; (I)
und b[ (f), bt (f) (! '= 1 oder 2 je nach der Polarisationsrichtung) fUr
die transversalen l\Ie:5otroneri cnthalten. Wir fiihrcn also das Variabel r; ein,. das die drei W erte 0, 1 und 2 durchlauft und die Polarisationsrichtung deS' Ivfesotrons charakterisiert. Ferner soli als Argument
im Abschneidefaktor F an .Stelle von k jetzt
k= 1,/k'l.- (t,")
c2
2
stehen,
damit die Lorentzkontraktion des Kcrnteilchens richtig in Rechnung
gesetzt wird.
Wir ersetzen nun nach Bloch und Nordsieck (loc. cit.) die
Diracmatrizen
e3f durch' ~
und
,o 3
durch y'l- f/2• Wir fassen ferner
das Schrodingerfunktional wieder als Folge der Schrodingerfunktionen
auf:
<Po
¢'l(ft7Jt)
lfJ'
=
so~.(ttr;t;
f1r;;-)
Y'a(li'"7Jt; f;tr;t; f;--r;i.")
.............
39
(3, 7)
T. Miyazima und S. Tomonaga:
Die Schrodingerglei chung fUr
f~
~, K+A + '!,
K...::.....~ · 11· -
l A71
v-1
-
t (.
C
ll, 'V' ,)i )
cr
und ¢' lautet dann:
+Me
/1 - ,1
k
02
p -
K 0')J(/)2rr. =.
(3, 8)
. = z(.
l· ",+
A(l.+
·.,.+ )e-'·ct\,.~li~F(;:. ) " +
2-.Jn+l
'"rl"+ I '/n1·!
n·
''-lt+-1 'f ~~·
l)ln+l
+ y'n+ 1~ .~A* (k,;+.''i;+ 1)e iC~t "~lDF(k;;-+,) Cf':zn ~ 2df,,+t} ,
. 'in+ 1
wobei K./ den Eigenwert bedeutet, und A (k1j) bzw. A* (k1j) folgende
Abkiirzung ist :
fA(k~) =(}x- J(kK (f,ob) )a,,,+)~( e, (f), ~ )<1- il,,,) •
!A
(3, 9)
*(k~) =()x.- YkK (f~u>)a,,,- );_(e,(f),: )<1-D,, ,) .
Die Gleichung (3, 8) hat die LOsung von der Forni
(8, 10)
mit den Abktirzungen
40
Zu1· Theorie des Mesotrons.
II.
K-(f,t,)
K.-
c
,!1-fo2
f __ . 1
f -(K-_!_
(f, tl))~+ y'l--·!i2(r--!..<f, b)~)} (a, 11 >
fi2 c c
/12 c c
~-I'"
1
~l
f(K - (f,cb)) -
'"- f:- ~l
wenn
~"
t:p
(1 ··~2) .J
-p.
"'f,
u
und ¢', die nicht mehr r; enthalten, ihrerseits der Gleihung
(3,13)
geniigen. Der Vektor (~ bedeutet hierbei den Gesamtimpuls des
Systems, der vorlaufig noch unbestimmt ist. Da ('J fur folgende
Uberlcgung keine wesentliche Rolle spielt, woll~n wir auf seine
Bestimmung nicht eingehcn. (Aber s. u. die nachste Seite).
Die · Glcichung .(3, 12) hat nun his auf den Abschneidcfaktor
dieselbe Jform wie die Gleichung (1, 6) von· I; der Unterschied
bestcht nu.r dari'n, daB jetzt als Argument in F' nicht k sondern ·
das wegen der J.Jorcntzkontraktion des Kerntcilchens abgeanderte
Argument k steht. Wcnn wir daher annaherungsweise den Ansatz
(3,14)
mit
41
T.
~liyazirna
Y.2
2
=
2
\
v
-
/(,
-..,./.
K
und S. Ttnnonaga:
(3,15)
. . . . P(k)df
-.[{·I.
machen, so liiBt sich das Problem wieder· auf die Auflosung des
~~igenwertproblems
-lV0Co·- V y 1 Cr= 0
'-"
'-'
...........
\..1
.._..
-U
--.),J
.,...
V
-'·'
- Vy 1 c0 + (1- W 0 )c1 - V,! 2 c2 = 0
(3,16)
- v,;Tct+ (2-Wo>~2-l7 .(2c3 = o
-
.
........,
mit dem Kopplungsparameter V und .Eigenwcrt Wo:
(3,17)
zurtickzuftihren.
·Ncbenbei sei bier folgendes bemerkt: \Vegen des obengenannten
Unterschiedes zwischen (3, 12) und (I (1, 6)) besteht zwischen K~ und
K 0 keine einfache ~eziehung, was zur Folge hat, daB die Selbstenergi.e des Kernteilchens mit dem lmpuls keinen Vierervektor bildet.
Dieser Sachverhalt ist aber seit klassischer · Elektronentheorie her
bekannt: auch dort transformiert die elektromagnetische Selbstenergie
·des (endlich groB gedachten) Elektrons nicht wie die vierte Komponente eines Vektors. Dies deutet dort wie bier auf die Existenz
der inneren Spannung · innerhalb des Teilchens hin. Wenn es sich
urn Punktteilchen handelt, korpmt solch ei~e Komplikation· nicht vor,
da bier wegen des Feb lens des Abschneige.(aktors K~ = Ko gilt. Wir
erhalten also in dicsem 'F'alle fur die Selbstenergie K~ des bewegten
Teilchens nach (3, 13) den richtigen Atisdru~k:
K'
o
Me)
(Ko+T
vl-f92 ,
wenn wir 03 folgendermaBen setzen :
6} -(
.
x. + ~) \1
v'1-f12
42
c '
Zur 2"'heorie des Mcsotrons. II.
und dieses N bildet in ·der' Tat mit K 0' einen Vierervektor, "
es
der ~,all sein soli (sic sind allerdings unendlich groB).
Es ist nun fUr die spatere Uberlegung zweckmaBig, die Losun1~
dieser Gleichung wie in I mit d-er Eiufiihrung des effektiven
Kopplungsparameters Vc11 (V), der eine Funktion des KopJ:. Ltngsparameters V ist, durch das Poissonsche Gesctz zu approximieren :
-
u
Cn '""'":
j
1
.__,
- v«JJ (V)"•
.;n1
_...!_r . '-'V):a.
rf!'··
e ,,•
(3, 18)
Tragcn wir (3, 14) mit (3, 18) in (:3, 10) ein, so erhalten wir
die Eigenfunktion des Gesamtsystems fUr den Zustand, in dem das
Kernteilchen die Geschwindigkeit t1 hat, wahrend sich das Mesotronenfeld im Normalzustand - - d. h. im ·Zustand ohne freie Mesotronen
- - befindet. '\Vir fragen nun nach der Wahrscheinlichkeit, mit der
das Kerntoilchen bei der Anwesenheit von auBeren Kraft, deren
Potential U ist, vom Zustand b zum Zustand t1' Ubergeht, und zuglcich
eine Anzahl von freien Mesotronen emittiert werden. Dieses Problem
H.i.Bt sich nach der Storungstheorie behandeln, indem wir U als
kleine Storung betrachten. Da uns aber nur die Eigcnfunktionen fur
die ZusUinde ohne freie Mesotronen bekaimt sind, so stehen u11s
zunachst nur solche Matrixelemente von U zur Verftigung, die der
Ablenkung ohne Ausstrahlung zugehoren. Diese Matrixelemente
lassen sich mittels (3, 10), (3, 14) und der entspre(!henden AusdrUcke
mit der gestrichenen Geschwindigkeit folgendermaBen ausdriicken:
J
(3,19
mit
(3,20)
und
worin mit einem Strich versehene Buchstaben bedeuten. daB sie sich
43
T. Miyazima und S. 7'omonaga:
auf diP gm.;trichene Geschwindigk~it beziehen.
(~3, 1~) Pinftihren, so erhalten wir
Wenn wir hierin
wobei Vr.ff bzw. V' iff die Abkiirzung von v r.ft(V) bzw. vtff( V') ist.
Das Matrixelement besteht also aus zwei Faktoren, von denen
nur der erste vont Potential U abhangt. ·Dieser Zerlegung entsprechend konnen wir uns vorstellen, daB der StoBprozeB a us .zwei
unabhangigen Akten besteht, namlich der Ablenkung des stoBenden
Teilchens durch die auBere Kraft und der Storung des Mesotronenfeldes durch diese Geschwindigkeitsanderung. Man hatte in der
Tat den letzteren Faktor auch dadurch direkt ermitteln konnen, daB
man das Kernteilchen nicht als mechanisches Gebilde auffaBt,
sontlern die Fragestellung fo]gendermaBen forn1uliert: Wie wird
das l\iesotronenfeld gestort, wenn das Kernteilchen ~ die vorausgesetzte Bewegung durchlauft '? Die Koordinaten ~H des Kernteilchens sollen namlich nicht als dynamische Variable sondern als zeitlich
veranderliche auBere Parameter angesehcn werden, und zwar
fiir t<O,
fiir t>O.
(3,23)
Die Wahrscheinlichkeit dafiir, daB fUr t > 0 trotz dieser plOtzlichen
Geschwindigkeitsanderng keine freien Mesotronen erzeugt werden,
(fiir t< 0 ist natiirlich vorausgesetzt, daB keine freien Mesotronen
vorhanden waren), Ia.Bt sich dann Ieicht berechnen. Es zeigt sich
also, daB diese Wahrscheinlichkeit, die wir mit W 0 bezeichnen wollen,
gerade durch das Absolutquadrat des Matrixelementes (tl,OIW!u',O)
geliefert wird :
44
kr Theorie des Mesotrons. II.
(3, 24)
Die noch allgemeinere Frage nach der Wahrscheinlichkeit fur
die Erzeugung von N Mesotronen beim StoB kann leider nicht
beantwortet werden, da dazu die Eigenfunktion nicht nur fUr die
NormaJzustande des Mesotronenfeldes sondern.auch fur die angeregten
Zustande bekannt sein muBte. Wenn wir jedoch die naheliegende
Annahme einfiihren, dal3 die Emission des 1\fesot'rons bei der
gegebenen Geschwindigkeit~.iinderung statistisch unabhangig erfolgt,
und daB daher die Wahrschei_nlichkeit W.,. fiir das Auftrcten von
N Teilchen nach dem Poissonschen Gesetz folgendermaUen dargestellt
\Vird:
W ...·-
.
e-·~~
!\'
w·
N! ,
(3, 25)
so konnen wir gleich die Antwort auf diese Frage geben, denn die
Konstante w darin wird sofort durch die Bedingupg bestimmt, · d~B
W.,. fiir N = 0 mit JtV0 von (3, 24) iibereinstiminen soli. ':Vir erhalten
also fur die mittlere Anzahl der emittierten Mesotronen
N=W=
=
f_!_J!ett F (k) ~ ~ F(k') lclt-
) K
lK2
-~2L£f¥;,
K'2
1-/12
.1 K IK; (K-(!,b)y
c
j
F<k>2+_v;;,
.
1-l2
.
K;'(K--(f, 'o')Y
F<k'>2-
c
(3, 26)
was mit der halbklassischen Formel (3, 5) im groBen vnd ganzen
iibereinstimmt.
Da sich nun die halbklassische Betrachtungsweise des Problems
durch diese Ubereinstimmung doch als vertrauenswert erwiesen hat,
so wollen wir nach dieser Vorstellung iiber die spektrale Verteilung
der ausgesandten Mesotronen einige Schliisse ziehen. Die mittlerP.
45
T. Mtyazima und S. Tomonana:
Anzahl dPr Mesotron~n im llnpulsbereich dt ist namlich durch·
EinRetzen von (3, 3) in
N (f)dt
~·~,s{Atr, . (012 + }b", . ,,. (t) \21df
(3, 27)
folgendermaBen angegeb£!n :
N(f)
=
;i ~ i {F(k)
·- to:2
K
f
I(
1-/12
K -1 (f.cll)
--F(k')
r-
r (
F(k)2 +
1-p·s
K
2(1
(f,cb'
l)'
F(k')2-
(b,b'))
- (K-¥)(;•
(f,cb'))
]
Ji'(k)F(ie')} .
(3., 28)
\Venn nun k kleiner als der Abschneidehnpuls Kist, sodaB auch
k und 'k' kleiner a1s /( f;ind, so verschwindet das erste Glied von
(3, 28), da sich in diesem Faile die heiden Abschneidefaktoren
gegeneinander aufheben. Das erste Glied, das eigentlich urn den
Faktor K 2 /~ 2 groBer als das zweite ~Pin m.UBte, wenn diese Aufhebung nicht stattfande, Kommt erst dann in Frage, wenn die
Wel1enlange der betreffenden Mesotronen kleiner als die Ausdehnung
des Kernteilchens wird (dabei muB allerdings die Lorentzkontraktion
beriicksichtigt werden). In diesem ·Faile gibt das erste Glied den
Hauptbeitrag. Falls der Energieverlust des sto8enden 'feilchens bei
der AbJenkung so groB ist, daB die Ausstrahlung derartiger Mesotronen
von kleineren Wellenlangen wirklich energetisch rnoglich ist, so spielt
die endliche Ausdehnung des Kernteilchens eine Rolle, da bier das
Abschneiden des Spektrums der ausgesandten Mesotronen wesentlich
au.f diese endliche Ausdehnung zuriickzufiihren i.st. Beim StoB von
kle~nerem Energieverlust ist dagegen das Auftreten solcher Mesotronen infolge des En~rgiesatzes iiberhaupt nicht moglich. Das
Ab~chneiden des Spektrums ist diesmal ganz durch die zur Verfiigung Gteheude Energie bedingt. Bei der Integration iiber k in (3, 5)
batten wir sie daher in diesem Faile nicht von 0 bis oo ausfiihren,
sondern sie an ei.nem bestimmten Maximumimpuls k,nr.,x abbrechen
soli en. Wenn wir a1:1f diese Weise den Energiesatz ganz ungefahr
46
Zur Tkeorie des Meso.trons. II.
beriicksichtigen wollen, so erhalten wir im Falle deR kleineren
Energicverlustes, bel dem also das Abschnciden des Spcktrums in
Wirklichkeit viel frUher auftritt als das durch die cndliche Ausdehnung des Kernteilchens bedingte, ·an Stelle von (3, 5) folgenden
Ausdruck fUr die. mittlere Anzahl:
(3, 29)
N = JN(f)dt.
k<kmn.x
Df:ll nun die mittlere Energie der emittierten Mesotronen pro Teilchen
vmi der Grof5Pnordnung von llmax ist, so betragt die Gesamtenergie,
die beim StoB ausg~strahlt wird, etwa Nkuta>.• Diese Energie muB
aber nacn dem Energiesatz den1 Energieverlust des sto8enden
.Teilchens gleich sein. Wenn wir den letzteren mit .JE bezeichnen,
so muB also
(3, 30)
bestehen. Wenn wir .nun (3, 30) und (3, 28) in (3, 29) einsetzen und
dann eine ungefahre · Abschatzung des Integrals machen, so erhalten
wir fUr die n1ittlere Anzahl der ausgesandten Mesotronen
;;
N :;;;:.K2
:!
JE
~2log ,...-.
(3, 31)
N~
Die Vielfachheit wachst also im Gebiet des kleineren Energie..
verlufij;es mit ihm logarithmisch an. Dieses logarithmische Anwachsen ist .iedoch fur die Theorie, bei der das Glied von der hochsten
GroBenordnung im Ausdruck fur die differentielle Anzahl (d.· b.
bier das erste Glied in (3, 28)) verschwindet, charakteristisch,
und es wird bei anderen Theorien, z. B. bei der pseudoskalaren oder
der durch Mitberucl{sichtigung des transver,salen Teils vervollstindigten vektoriellen Theorie, sehr wohl vorkommen,. daB auch fiir
kleineren Energieverlust etas erste Glied il.icht versc.hwindet, sodaS
an Stelle von (3, 31) ein urn den Faktor
(~!)
2
starkeres Anwachsen
zu erwarten ist. Oppenheimer und Schwinger (loc. cit.) haben in
der Tat gefunden, daB. bei der pseudoskalaren Theorie N durch
(3,32)
47
T • .Miyazima und S. Tomona{Jlt:
gegeben wird, da als Wurzel der Gleichung
N~;:Uff)".
(3,33)
die durch Ersetzen des logarithmischcn Faktors durch den nachst
2
hoheren Faktor (:; ) aus (3, 31) entsteht, crhaltcn wird.
Im Falle des groBen Energieverlustes, bei den1 das Abschneiden
.des Spektrums von der · endlichen Ausdehnung des Kerntcilchens
iJ_erriihr~, ist aber die Vielfachheit auch bei sokhcn Theorien ~tcb~
'deiner als die, die man nach (3, 32) erwarten wtirde, da bier dt1r
maximale Impuls k...ax wegen dieses eher auftretendcn Absc:hneidens
nie erre1cht wird. In diesem Falle ist das etwaige An\vachsen de1•
Vielfachheit darauf zurtickzufiihren, daB im Sp'ektrum der aus ..
gc::san~ten We11en infolge der Lorentzkontraktion des stoBenden
Teilchens umso kleinere WellenHingen enthalten sind, je gi·oBer
die Geschwindigkeit des Teilchens ist. Da aber diese , Lorentzausdehnung" des Spektrums nur in eine1· Richtung, na1n1ich in der
zur Geschwindigkeit parallelen, erfolgt, so wachst tile Teilchenzahl
wieder nur schwach: man findet, daB sie wegen des A uftreten von
'1/K im Integrand in (3, 5) . nur logarithmisch anwachst.
Das Auftreten des Vielfachprozesses hangt daher schlieBlich
ganz von der GroBe des Kopplungsparameters, und nicht von der
Art der Theorien, ab, sofern wir die endliche Ausdehnung des
Kernteilchens durch den Abschneidefaktor· in die Theorie auf die
Weise einfiihren, daB das Kernteilchen mit den Mesotronenwellen
der kleineren .Wellenlangen iiberhaupt nicht in Wechselwirkung
steht. Betreffs dieses Punktes sind experimentelle Untersuchungen
sehr erwiinscht, da sie uns einen Anhalt liefern wiirden fUr die
Frage, ob der Begriff , Ausdebnung des Kernteilchens " in die
Theorie so primitiv eingefiihrt werd.en darf. Trots des zur Zeit
noch sehr rnangelhaften experimentellen Materials .scheint uns doch
das allzu starke Anwachsen der Vielfachheit mit der zunehmenden
Energie · des Kernteilchens unwahrscheinlich zu sein, da sonst das
merkwUrdige Ubereinstimmen des Spektrums der sekunrlaren Mesotronen in den Hohenstrahlungen mit dem Spektrum ihrer. primaren
Teilchen, die yermutlich Protonen sind,c7) sehr schwer ver~ta;ndlich
;
(3) T. H •. JOHNSON:
JESSE und. E. 0. WOLLAN:
Rev. Mod. Phys., 11 (1939), 208; M. SCHEIN, W. P.
Phys. Rev., 59 (1941), 615.
48
Zur Theorie des ·Mesotrons. II.
se1n wurde. Gewi8 ist die endgultige Entscheidung zur Zeit noch
verfriiht, aber die experimentelle Tatsache scheint also doch fur das
logaritlnrdscpe Anwachsen der Vielfachheit zu sprechen.
Teil II.
Verallgemeinerng auf die symmetrische longitudinalc sowie
neutrale pseudoskalarP. Mesotronentheorie.
der Hartt'eeruJ/lerung bei der
symmet1·ischen Theorie.
Eh~fuhru.ng
Teile un~er VerfahrPn ~o zu
vernllgPmcinern, daB es auch die symmetrischP Theorie umfaBt und
uns die :MitberUcksichtigung der neutralen 1\Iesotronen ermog1icht.
DaB sich diese VeraUgemeinerung auch auf die neutrnle pst~udo­
s~alare 1\IP~otronentheorie ohne formale Anderung tibertragt·n liiBt,
werden wir im letzten Abschnitt zeigen.
Die Hamiltonsche Funktion lauh\t bei der Rymmdrisehe Theorie
\\7ieder unter Weglassen des transversalen Teilr~:
\Vir ver::;uchen nun in
ll = \ K {a.~ (f)a(t)
+b
t
die~em
(f) b (f)
+c ~(f) c (f)} df-
-z.fg ( k) [ (a (f) - b* (n}Q + {a* ( n - b (f) }Q* +
+ ~{c* (f) +c(f)} raJ df,
1/ ~
(4, 1)
-
wobei sich die neu eingeftihrten Operatoren c(f) und c* (f) auf die
neutralen Mesotronen beziehen. Es ist nun iweckmaBig, die Einfi.ihrung der Hartreenaherung fUr das Eigenwertprohh!m
(H-K 0) 1f
=0
(4, 2)
nach fo)gender Vorschrift durchzusetzen, deren Aquivalenz mit der
frUheren Ieicht bewieaen Werden kann. Wir entwickeln namlich
zuerst a(f), b(f) und c(t) gemaB
1 g(k)
- + ~a~~~ .• (f)
= A00
a(f)
K2 K
·'"'I
K, K
•=I
1-b(t) = BJ:_u (k) + ~ b.• so"(f)
l
c(f) =C.l_g(k) +i;c8so.,(f),
'='
K2 K
49
(4, 3)
T. Miyazima untl S. Tomonaga:
wolwi c;· .• (01 s = 1, 2, 3, ••• , irgEmd ein System von normierten Funktionen, die mit J:_g(k) ein vollstandiges Orthogonalsystem bilden.
K2 [(
Die Entwicklungskoeffizienten A, B, C, a.• , b, und c., sind dann untereinander vertauschbare Operatoren, die je mit ihren hermitisch
konjugierten folgenden Vertauschungsrelationen s:reniigen:
(4, 4)
wahrend diP weiteren nicht aufgeschriebenen Kon1mutatoren alle
verschwinden.
Sctzt man (4, 8) in (4, l) ein, so erhalt man
H= K
Ki
(A*A+B*B-t-C*C)-
_.ll5¥.fl (A+B*)Q;JK,
(A"'+B)Q* +
1t
~(C+C*)r 3 1 +
1
2
1
+ ~'Ii"lf(_l_A*·-lQ
\a+
+(,~C*--•3 )c' l. +
K
) .~ (.l_·B*-lQ*)b
K
K
n;>
"
~
:!
$,
.
2.
+ l'H*
{(_!_A -lQ*)a * + (_!_
_l
~ .. . K
K B -lQ)b * + (_!_cKt
-./2"
2
·'
.
2
. .
$
·~ ....
"'H,,, l~a,*a,,+ b*b
,, ,, + c,*c,, )
'· ,,
I
V-'"
J
)c* l +
3
I
J
(4, ,5)
mit
H, = fu<k> cp,(f) ar
J, Ht = Jn<k>~:<r> df
l
H.,.
(4, f>)
=JKI":'(f) \",,(f) df.
Wir fiihren nun die Operatoren n+, n; bzw. n-, n; bzw. n°, n~, dere~
Eigenwerte alle ganzzahlig sind und physikalisch die Besetzungszahl~n der positiven bzw. negativen bzw. neutralen Mesotronen
bedeuten, gemaB
{
a:a~~.
A*A . n+,
B*B = n-,
= n:
b:b, = n,-
C*C = n°,
ctc, =
50
n~
(4, 7)
Zu1· Thc01·ie des
Me.~ot1·omr.
I I.
1,. als eine Funktion
ein, und fussen· das Schrodingerfunktional
d\t'Set'
Besetzungszahlen auf. Wenn wir nun das · dritte und das vierte Glied
in (4, 5) vernachlassigen, so finden wir, daB die Eigenfunktion fiir
die niedrigsten Zustande in dieser Annaherung von folgender Form
sind:
(4, 8)
wobei die zweireihige Funktion
l/J(n+, n-, n") =
f q.'(ni', n-, n")l.
l¢' {n :t, n-, n'') J
( 4, !J)
folgender Gleichung geniigt:
[<A*A+B*B+C*C)-
v{ (A+B''')Q+ (A*+B)Q*+
+ )!-cc +C')r,)- w.]IP = o.
(4. JO>
Diese Gleichung (4, 10) entspricht aber gerade der Gleichung
filr die Variationsparameter ~(n+; n-) und if'(n+; n-) in I, d. h. (I
(3, 8) ). mit (I (3, 4)), indem die von n+, n- und n/' abhangigen Funktionen f'(n+, n-, n11 ) und Y,(n+, n-, n°) gerade die Rolle von ~(n+; n-)
und ~/'(n+; n-) spielen. Es Ui.Bt sich auch beweisen, daB das Eigenfunktional. ·( 4, 8) eben in die (I (2, 5)) entsprechende Form gebracht
werden kann, wenn man es nach der Schreibweise im Konfigurationsraum darstellt. Fiir den Protonenzustand erhalt man z. B.
l"<ft, r:. ···t; fi, r;,···f;;
l
l
r:. ~.···t,)
= (-l)"'q>(n,n,n') l!n g(kt)
·
K i2"'+"'
¢' (ft, ft .... f:+l; li, f; ,···.!; ;.
~1
K+). ·
.
J[n_u(k;) n"' g(~)
1'=1
K-J.l.
1r=l
K 0v
r.,!; ,···f:,)
(4, 11)
_ (-l)"¢'(n+l, n, n') Tj-1 U(kt) Ifn g(k;) :rr"' u<ke>
K."'+111+t
.u
K+1 1'-=1 K-... '11=1 Ko11 ,
!
>-=1
wo unter f~ und ·K~ der Impuls und die Energie des JJ·ten neutral en
Mesotrons verstanden sind. Da 'f(n, n, n') und if'(n+ 1, n, n') durch
zwei Indizes n und n' gekennzeichnet werden,. so ist es zweckmaBig,
sie wie in Fig. 1 in einem zweidimensionalen Schema anzuordnen ..
Die neue Vorschrift ist insofern gegeniiber der frliheren
vorteilhaft, als sie uns erstens den ziemlich umstandlichen
51
T. Miyazirtw. und S. Tomonaga;
expliziten Gebrauch des Konfigurationsraums erspart und z weitem;
die Fehlerquelle des Verfahrens deutlich angibt, sodaB sie uns die
Moglichkeit bietet, das Ergebnis eventuell durch Beriicksichtigung
der vernachHissigten Glieder als Storung nachtraglich zu verbessern.
Es ist oft zweckmaBig, ( 4, 10) in eine Differentialgleichung un1zuformen. Wir fiihren zu diesem Zwecke gemiiB
{
A-B~=~ 1 -i~ 2 ,
A + B t = Pz -t ipl
A* -B=~1:!:_1:;l,
C"'+C:-:.- 112ea,
A·~<+
B=p 2 -ip 1
C*-C=-1',
(4, 12)
2}) 3
drei reelle und miteinander vertauschbare Operator en ; 1 , ; 2 , ; 3 . lind
ihre (durch u dividierte) kanonisch konjugierten Impulse p 1 , JJ 2 , Pa
ein. Dann wird (4, 10) in
l
"' ) JX! ;fl ( • ,.. .. )
.
1 ( .., ,..., i!: '') 3 v (,.
1
{ 2.6~ +2 ;i+~~+~; -2- ;1•1 +~z•z+ ~~-ra --'Yo{"' ;lt c;2, c;a =
()
( 4, 13)
transformiert.
Wenn wir den , Bahndrehimpuls" L gemaB
L-[e, p]
(4, 14)
einffihren, "indem wir unter ~ den Vektor mit den Kom ponenten (; 1 ,
~ 2 , e3 ) und unter p den Vektor mit den Komponenten (p 1 , p 2 , 1Ja)
verstehen, so bedeutet seine dritte Komponente L 3 die Ladung des
Mesotronenfeldes. Der , Gesamtdrehimpuls"
(4, 1.5)
dessen dritte Komponente J 3 , mit 1/2 addiert, die Gesamtladung des
Systems liefert, ist eine Konstante der Bewegung, und fur den Protonenzustand, den wir im folgenden hauptsachlich betrachten wollen,
gelten insbesondere
e:
::f+
1
)
(4, 16)
2
Dieser Protonenzustand kann nun als Uberlagerung von einem
52
Zur Theorie des Mesotrons. II.
, S "· und eir)em , P "-Zustand betrachtet werden, d.n., wcnn wit die
Polarkoordinaten 1·, tJ, p gemaB
J; =
1'
sin fl cos ¢
l~ 2 =r
sin 0 sin¢
1
~ 3 =r
(4, 17)
coso
emftihren, so laBt sil.!h t/J(;p ~ 2 , ~ 3 ) folgendermaBen ausdrUcken:
)u(r)
+( sincosO
11 e'l4
t/1=(1 ')/(1')
r
0
1'
'
(<t,l8)
wobei das erste .Glied kugelsymmetrisch ist und also einen "s ""'
Zustand darstellt, vvahrend das zweite die Kug(~lfunktionen Y'; und
enthalt, sodaB es einen , P "-Zustand darstellt. Durch Ein;-;dzen
von (4, 18) in (4, 13) und durch Abseparation der v\'inkelteile erhalten
wir ftir die Radialteile f {1·) und g (r)
Y:
fl
.
1
2
-
1 2
r
-·r
+
~
2 d1'.!.
1 d2
-2-dr2
l
(
1
3 1
(wo +-)
2 J /(r)- Vru(r) .=0
•
1
u(r)- Vrr(r) ==0.
- (Wo+.-)
+ -.,
+ -1-Y.
2 1
t""
2
.
1
1 .
3
( 4, 19)
A us (4, 19) ergibt sich ohne wei teres fUr die Se1bstenergie des
Protons im Faile der starken Kopplung
K
0
Y> 1 _ _ _!_tK~~-
2
.
I
K~
_1_ K¥
K~ + 4l2 K~
(4, 20)
und im Faile der schwachen Kopplung
3l2K31.
K 0V<l--2
(4, 21)
wir .die Koeffizienten ~ (n,'n, n') und sf' (n, n-1, n'), die fpr die
Wahrscheinlichkeit ftir das Vorhandensein der angegebenen Anzahl
von Mesotronen maBgebend sind, numerisch ausrechnen wollen, so ist
es doch zweckmaBiger, direkt mit der Gleichung (4, 10) zu .arbeiten,
als daB wir sie zuerst in (4, 13) umformen und aus ihrer Loung
f/J(~ 1 , ~ 2 , ~ 3 ) riickwa'rtG ¥'(n, n, n') und sf'(n,n-1,n') ermitteln. Ex:-~~­
plizit geschritben, ergibt ( 4, 10) fUr den Protonenzustand
~Falls
53
T. Miyaz'tma ·und S. Tomonaga:
(2n + n'- W0) cp (n, ,n, n') =
=V[vn +1 ¢'(n+1,n,1t') - 1 /1z¢'(n,n-l,n')+
+
]
1.
'7) { 11n' + 1c;'(n, n, n' + 1) + vn'~~ (n, n, u'-1)}.
1/ ...
(2n + n' + 1- W0) if' (n + 1, n, n') !:..=
(
4, 22)
= v[ ,In+ ls.t:·(n, 1l, n')- ·/n+ l~"(n+ 1, II+ 1, n')'\
,
-
.
1
- { 1n' + 1¢• (n+ 1, n, n' + 1) +
112 1
1/
-
-1
n'{' (n+ 1, 1.t, n' ~1)} _•.
n'_..
Dn in (4, 22) jedes ~ bzw. ¢' je
mit vier N achbarn verkntipft ist
(0 0) ..- ..._·~·-....·(siehe Fig. 1), so ist diese Glei1
1
chung recht kompliziert und be~
( 1 0) ~.-. ......
(n+n-)
darf noch weitgehender Verein~
(1 1J
fachung, ehe die numerische Auf(2 1)
losung der Gleichung wirklich
durchgesetzt werden kann. . Im
(2 Z)
t
t
1
1
1
- nachsten Abschnitt werden wir
zeigen, daB solch eine Reduktion
Fig. I.
Verbindungssch~ma von <p . und .P der Gleichung tatsichlich moglich
nach (4, 22). Der Punkt e bzw. • in
der Lf!.ge (n+, n~·, n1 ) stellt cp (n+, n-;n') ist, wenn wir uns das Vorhande~­
bzw. 4' (n +, n-, rt1) dar. J edes q> und .P sein von zw~i Konstanten der
auBer dem am Rand liegenden ist nach Bewegung J2 und J a zunutze rna.(4, 22) je mit vier Nachbarn verbunden.
bezeichnet. chen.
Die Verbindung ist mit
()
!
...
~
!
3
4
....,.·-·-!
Ll-.l~!~L~
Ll~l.-.l+-l~
l~l~l~l~l.-
+-)>
5.
RedUktion der Grundgleichung.
Wie sich die Gleichung · (4, 13) durch Abseparation des Winkelteils auf (4, 19) reduziert, so kann die Reduktion von. (4, 22) auch
dadurch erreicht werden, daB· wir von den Eigenschaften ·dei'
, Drehimpulsintegrale" J2 und / 3 vollen Gebrauch machen. ~ Wir
zerlegen zuerst ifJ, wie wir es bei (4, 18) getan haben, in , S "-Funk·
tion und , P "~Funktion:
oder
54
Zur Theorie des Mesot1·ons. II.
(5, 1)
D. a
und
f/J 1,
t'S
'"'
sich nun urn den Zustand J 2 =.., handelt, so mi.issen t/1,
~1
ipfolge der bekannten Bcziehung
•1
J 2 = L 2 + (L, r) + ~
4
den Glcichungen
J (L, ~) t/J.• =O
(5, 2)
l (L, 1:') f/Jp= -2i/J r>
geniigen. \V cnn wir nun die Komponenten von L nach (4, 14) n1it
Hilfe von (4, 12) durch A, B, C. A*, IJ* unci C* ausdriicl{en, so erhalten wir zuerst
( ' + iL, " - ) 2
[ (A*+ R) (G + G*)
+ (A *-B) (C --G*)]
JL.,-- iL, ,~ -- l~( (A+ B•). (C + C+)- (A.- B*) (C -· C*) ]
1
1 .
L 3 ==::.:-z{ (A*.+B) (A-1J*) + (A+B*)
(ii, 3 )
(A~*'--B)}
und folglich
(L, r) == -
/2 (AC* + B*C) Q- 1/2 (A *C + BC*) ()* + (A.* A --B*B) •a·
1
(5, 4)
Wir finden also, daB die Gleichungen (5, 2), filr den Protonenzustand explizit geschrieben, folgende Formen haben.
<Ps(n, n-1, n') = 0
(5, 6)
v.lnn' <p,(n, n, n' -1) + vfn(n' + 1) ~.(n-1, n-1, n/ + 1) =0
(5, 7)
und
if'p(n, n-l, n') - vl2nn' lf 11 (n, n, n' -1)-
n' + 1). = 0
(5, 8)
,;'2tf11 (n, n, n') -·l (n + l)n' 4f ,, (n+ 1, n, n' -1) "'-1/n(n' + 1) Y,, (n, n-1, n' + 1) =0;
(5, 9)
- ·l2n (n' + 1)
<F P (n -1, ti -1,
das identische Verschwinden von if!~ ist dabei von vornherein kJar, da
55
T. Miyazima und S. Tomonaga:
es sich hier urn den Zustand J 3 =
1
2
handelt (siehe (4, 18)). Diese
Gleichungen bestimmen nun .die sozusagen Winkelabh!:ingigkeiten von.
f/J, und t/JP. Aus (5, 7) folgt zuerst
¥'" (n-1, n-1, 1)
= qy,(n, n, 3) = qy,,(n + 1, n+l, 5) = .. ·=0
fUr n=1, 2, 3,···, (5, 10)
was das Verschwinden von qy,, fiir ungerades n' ·bedeutet, also :
qys(n, n, n')
= 0,
wenn n' unge1·ade ist.
(5, 11)
Fur die nichtverschwindenden <p, gestattet uns (5, 7) ein s-",(n, n, n-1)
durch das benachbarte qy,(n-1, n-1, n' + 1), und dies wieder durch
auszu¥-'~(n-2, n-2, n' +3) u.s.
n'-+
drucken. Bereits durch dle Be11 ·
2 • 3
0
dingung (L, r) (/)" ~ 0 allein ist ifJ,
(0 0)
also weitgehend bestimmt: · Die(1 Q)
1enigen ¥-'a' fur die n' gerade ist,
w.
3
sind alle durch Angabe von
SOs(O, n'), n' = 0, 2, 4, 6, •••• , uemd{J der Rekursionsformel (5, 7)
bestimmt, wahrend diejenigen qy"'
fur die n' ungerade ist, stets gleich
Null sind. AufJerdem verschwinund cp,
den uberha'f!-pt alle ¢', nach (5, 6).
{1 1)
o;
(2 1)
(2 2)
Fig. 2.
Verbindungsschema von tp,
nach (5, 7). Der weiBe .Punkt 0 bzw.
0 bedeutet, daB ({Ja bzw. if'" in dieser (Vgl. Fig. 2). Wie das identische
Lage nach,(5, 6) und (5, UJ verschwin- Verschwinden von ifJ, bereits bei
J edes nicht . verschwindende (4, 18) abzulesen war, so kann
det.
tp" auBer .dem am Rand liegenden ist man auf das Verschwinden von
nach (5, 7) mit zwei Nachbarn verbunden. Die Verbindung ist mit ..--+ be-· SO,(n, n, n') mit -ungeradem n' auch
dort durch Betrachtung des Spie·
zeichnet.
gelungscharakters von /(r)
r
direkt schlieBen.
Was nun f/Jp betrifft, so erhalten wir aus (5, 8) und (5, 9) unter
Ellimination vein ifJ 11 zuerst
(n+ 1) y' n' -1 { ,/1i' q;P (n+-1, n+ 1, n' -2) + y' n' -1 q;, (n, n, n')) +
+ny' n' +2{ y' n' +1 cp, (n-1, n-1, n'.+2) + y' n' +2 4f'p(n, n, n')} =0.
(5, 12)
Wenn wir darin n =0 setzen, so erhalten wir
56
Zur Theorie des MesotronB. II.
1/n' ~v(l,l,n'-2)-f.y'n'-1 ¥', (0,0,n')=0, n'=0,2,3,4, ...... , (5,13)
1
und die wiederholte Anwendung von (5, 12) ergibt daraus die Rekursionsformel
..;117 ¥'p(n+l,n+1,n'-2) + 1/
n'-1 ¥'P(n, n,n')=O,
n' =0, 2, 3, 4, · .. · · · •
(5, 14)
Als direkte Folge dieser Formel ergibt sich ¥'P (n, n, 0) =0, und durch
die wiederholte Anwendung von (5, 14) erhalten wir darauf aus- ·
gehend
so,~(n,
n, n'); -0 , wenn n' gerade ist,
(f>,15)
und vermoge (5, 8) und (5, 9)
(5, 16)
¢', (n, n-1, n') =0, wenn n' ungerade ist.
Die Rekursionsformal (5, 14) gestattet uns auPerdem siimtliche
~,, (n, n, n') mit ungeradem n' durch
¥' 1;(0, 0, n'), n = 1, 3, 5, ••• , auszudrucken. if'v (n,n-1,n')mit geraden~ n' werden dann gemiiP (5, 8)
berechnet. (Vgl. Fig. 3). Es sei
noch bemarkt, daB (5, 15) bzw.
(5, 16) auch durch B~trachtung
des Spiegelungscharakters von
yn(O "·)g(r) bzw Yt(O ~~,)g(r) er- .
1
1
''Y
r
·
''Y
r
·
mittelt werden kann.
n'-+
0
2
a.
4
(0 U)
(I 0)
(n+;-)
(l lJ
(a 1)
(2 2)
Fig. 3.
Verbindungsschema von 'Pv und •/'1,
nach (5, 14) und (5, 8). +-+ Zeigt ~ie
Verbindung nach (5, 14) und ,. -+ dteselbe nach (S, S). Durch den weiBen
Punkt o bzw. 0 dargestelltes ({J, bzw.
cf'p verschwindet nach (~, 15) bzw. (~,
Die bisherigen Ergebnisse zusammenfassend erhalten wir nun
f~r ¥' und if' folgende Rekursionsformeln :
16).
.
I 2m+2
¥'(n,n, 2m)=
m+ (/)(n-l, n--1, 2m+2)
2
1
-y
¥"(n,n,2m-l)
2m
·
=-yI 2m+l
~(n-l,n-l,2m+l)
(5, 17)
<P (n,
n-1, 2m)= 12m+ 1 (/) (n-1, n-1, 2m -¥1)
<P (n,
n-1, 2m-1) =0;
n, m = 0, 1, 2, .. ·,
57
T~
Miyazima und S. Tomonaga:
deren. wiederho1te Anwendung uns gestattet, samtliche cp und ~,,
foJgendermaBen durch 'P (0, 0, n') auszuriicken:
cp-(n, n, 2n~) = ( -1)n.l (2m+2) (2·m.+4) ... (2m+2n)
(2m+1) (2nt+3)·~·(2m+2n-1)<fl
(0 0 2n +2m\
' '
'
cp (n, n, 2m -1) =
= ( _ )" /---::2::::-m-.-:-:::(2~m---t-·2~)-...--:-:::(2=-m-+---:-2::::-n__ .-_..-:::::-:~)-,(O
n+2m-1 )
1
~ (2m + 1) (2m + 3) .. · (2m+ 2n 1) ~ ' 0' 2
¢' (n, n-1, 2m)=
= (-1) n+1 /--=-2n-(-=2_m_+_2=-)-·.-.(---,2-m=-+-.2..,-n---2..,..-.) - (0 0 2n +2m·--'])
t (2m+ 1) (2m+ 3) .. · (2m+ 2n -1) S!
'
cft(n, n-1, 2n~-1) =0.
(5, 18)
I)
Wir wollen nunrnehr die Abseparation des Winkeltdl s durcb"
fiihren. Die erste Gleichung von (4, 22) lautet nun fur n=O;
(n'- Wo) 'f (0, 0, n') =
=
v[¢- (1, 0, n') + }z( -1 n' + 1 I" (0,0, n' + 1) + y'1i'I" (0, 0, n' ~1)
n
Diese Gleichung konnen wir durch Ellimina'tion von <P (1, 0, n') n1ittel::5
(5, 17) in die Form bringen, in der ein so (0, 0, n') nur mit zwei
Nachbarn so (0, 0, n' + 1) und 4f? (0, 0, n~ -1) verbunden ist, also:
(2m- W0 ) cp(O, 0, 2m)-
f
- v r-~:~~! 1). 1"(0, 0, 2m+ 1) + ym ·1"(0, 0, 2m-1) }=o
l
(2m+ 1- W0) cp(O, 0, 2m+1) ~
(5, 19)
-v{,/2m2+ 1 ·so(0,0,2m) +·vm+lso(p,o, 2m+2) }=o.
Von der zweiten Gleichung von (4, 22) ausgehend koiinen wir auch
dieselbe Gleichung herleiten. Diese Gleichung, die wir radiale
Gleichung nennen diirften, in dem Sinne, daB bier die Reduktion
soweit ausgefiih rt worden ist, wie sie durch allgemeine Betrachtung .
dez: Invariantseigenschaft der Hamiltonschen Funktion gegeniiber
der , Drehung " moglich ist, ist nun geniigend einfach, soclaB sie
numerisch aufgelost werden kann. Die Diskussion tiber die Ergeb~
nisse dieser Rechnung wird im nachsten Abschnitt gefiihrt Werden.
Fiir den Grenzfall V 1 bzw. V 1 konnen wir die Losung
>
<
58
Zur Theorie des Mesotrons. II.
sofort analytisch angeben:
{
1
( v )'"'
1"(0,0,2m)~-/(2m)! ,!]'"
.
.
1
f!J(O, 0, 2m+ 1) ~ -1 (2m+ l)!
(
v )21rH1
v'2
fiir
V<l
,,
(5, 20)
bzw.
1 1 -1 (2m)
1 ! (V)''"
J~ (O, O, 2m)::::: 2m+;
-.;/2
l
1
~ (O, O, 2m+ 1) =:::2m+ 3
1
( V )~m+l
v' (2m+ 1)! ~
ftir V ~ 1. (5, 21)
Es seien hier noch die Formeln
.zn~=sk'f (n., n, 2m) 12 =(2M+ 1) I¥J (0, 0, 2M) \2
2:;
J fn+h-t:W+t
~
1¢' (n, n-1, 2m) 12
in+lba-h•IM+t
l
.~
2M+3
.
·
1~(0,0,2M+1)1 2
3
l~(n,n,2m-1)1 2
2 2
( ~ + 3) 1~(0, 0~ 2M+ 1)1
1
(5·, 22)
.
!¢(n,n-1,2m-1)f~=O
~t21ft.-2=1M
aufge~chrieben,
die sich als direkte Foige von (5, 18) ergeben.
6~
Diskussion.
Fur die heiden Grenzfalle erhalten wir aus (5, 20) bzw. (5, 21)
fUr die relative Wahrscheinlichkeit Po~>n' daflir,· daB keine geladenen
und n' neutralen Mesotronen vorhanden sind :
ftir
V <(: 1
(6, 1)
V ~1.
(6, 2)
bzw.
1
Poo!.m
1
(vz)2M
~ (2m+1) 2 (2m)! 2
{
Pooh+t
~
·
y 2.
1
1
(2m+3) 2 (2m+l)!(
2m+l
2)
59
fiir
T. Miyazima und S. Tomonaga:
I>i.: \\'ahrscheinlichkeitsvert eilung ist also bel der schwachen
Eopplung genau die Poissonsche. Sie kann aber auch bel der·starken
Kopplung annaherungsweise als Poissonsche betrachtet werden,
insofcrn es die mittlere Anzahl und mitt1ere Schwankung betrifft,
denn wir erhalten aus (6, 2)
,.
,.
n'
. . p()lln'
V2
n' -- - 2 -t- •..
2
,._Poon!
{ -:;
n 2=
-,.Por•n'n '2
,, .
...,Pou-r&~
V4
=4
(6,3)
•3V''..
---+· .. ~
2
e
und demzufo]ge
was ~ie charakteristische Eigenschaft der Poissonschen Verteilung,
die Gleichheit vom mittleren Schwankungsqu::tdrat und. Mittelwert,
dar~tellt. Der prazise Verlauf von p 1111n' in Abhangigkeit von n' zeigt
jedoch nach (6, 2) eine abwechselnde Ab- und Zunahme und weist
darauf hin, daB er Heber durch zwei Poissonsche Funktionen zu
approximieren ist, und zwa·r eine fiir gerades n' und eine fiir
ungerades n'. Die Kurve fiir gerades n' liegt dann hoher als die
Kurve ftir ungerades n'. Dieser sagenformige Verlauf tritt auch bei
cp (0, 0, n') von (5, 21) ebenso auf.
Ahnlich verhiUt sich auch die Wahrscheinlichkeit P_v fiir das
Vorhandensein von N Mesotronen iiberhaupt. Aus (6, 1) und (6, 2)
laBt sich namlich diese Wahrscheinlichkeit mit Hilfe von (5, 22)
folgendermaBen ermitteln:
p?.M ::::-;
lp
2 M+t
2M +1(V 2 )~N
(2M) ! 2
~
ftir
(6, 5)
fUr
(6, 6)
2M+ 3 V 2 2111 + 1
(2M +1) !(2)
und
P,,
{
~ (2M~ 1)! ( ~·r
1
Pz,-tt ::::-; (2M+ 3) (2M+ 1)!
(V2)2M+t
2
Es ergeben sich dann daraus
60
Zur Thron'e de's Mesot1·ons.
~'P vlY
---
3 l'·'+···
-32 l'r'·-2
N =---·-·-=
2'I\.
{ F~
·--1
2
I I.
fi.ir
V:!~J,
(6, 7)
+ ...
fi.ir
und
N"
w=
~·p_,.
'1
3
_:_ l':! -- ~ 1'1 ...
N!
r2
~'P.\. - V1
tur
4
(fi, S)
I F:!
\4--- 2 + ...
fi.ir
Das mittlere Schw.a.nkungsquadrat wird also
fur
(G,
~))
fiir
was aber, mit (6, 7) zusammengefaBt, besagt, daB die Verteilung in
heiden Grenz fallen annii herung!:'weise als die Poissonsche betrachtet
werden dar f. Die abweehselnde Ab- und Zunahnte tritt bier in keinem
Faile auf.
Im Faile der maBigcn Kopplung sind die Ergebnisse der numerischen Auflosur_1g von (5, 19) in Ta~ellen I und II zusatnmengefaBt.
Man sieht daraus, daB der
6
~agenformige Verlauf von
/
5
tp (0, 0, n') bereits bei
/
V = 3 deutlich auftritt.
P.v zeigt dagegen stets
//
einen glatten Verlauf.
/
/
Ferner sind in Tabelie III
I
I
I
die Winkelabhangigkeiten
/
/
von cp und ,p, d. h. der
'"
Verlauf von ~ (n, n, n')
9
8
6
3
2
und ~b(n,n__:l,n'+l) bei
fester Gesamtzahl
Fig. 4. Eigenwert Wo als Funktion von V 2•
- : Genauer Verlauf; -- ... Nach der stoN=2n+ri'
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
rungsrechnung.
nach (5, 18) angegeben.
Mit Hilfe von Tabellen I und III kann _man cp (n, n, n') und~
¢' (n, n-1, n' + 1) fiir aile WertP- von n und n' berechnen. In Fig.
61
;-
I.
TABELLE
-~~1~~-J l~~~=~=r,
T.ABELLE II.
-~
"'"~,~~~;_=:-~--~~ ---;~
'
3
1
1•00
0 ; 1·000 0! 1·000 0 11·000 0
1·000
0
1·00'
1•00
1•00
1
0·295 7 ! ~·460 5 ' 0•665' 8
2 I 0·069 8. 0·203 2j 0·5~6 2
3 I 0·013 4 0•070 8 i 0•343 0
0·849
1·106
0·921
1
2
3
0·27
0·02
0•64
0·12
0·03
1·33
0•97
0•58
4
0·002 3 0·023 1 i 0•216 0
5 I O·OOO 4 0·006 6 ; 0·113 8
O·H66
4
0•23
1
0·639
5
o·o9
I
0·001 7 ! 0•060 0
I o·ooo 4 i 0·028 o
O•.:JH9
I
I '
'
1:
I
6
7
o·~~~
i
- - - - - -
'
~
··~
.,.. ____
M~
I
··-·----.
,,...,.
~
...
..
Tabelle II. Relative Wahrscheinlich·
keit fiir das Vorhandensein \'On N
Mesotroncn: Ps.
Tabelle I~ ~(0, 0;
(nicht normie.rt)
fiir verschicdene Werte von V.
~N-=oT;_r~>-1
'r ABELLE III.
1
--····
.-,.-
-
9'(001)
-~(to~)l
1
J-/ 2
N~2
q:>(002)
4'(101)
9'(002) ·x
1
N'=3
9'(003)
¢{102)
qJ(lll) Ii </'(210)
9'(003) X
1
v2/3
"-:" ,/2/3 i! -,/8/3.
N=l
q-'(001)
X
I
9'(110) !i
I
I -:-,/2'
-
0
---~·
'-·.··-··-·---·------·-----.........
-·--·~u
N=4
q-'(004)
'/1{103)
q>(004) X
1
0
N=5
-..
__:__,._
4'(211)
0
· - - . . . . . . ._
v
qi(U3)
4'(212}
9'(006) X
1
1
4'{105)
0
----:N:; · i'~(~oi)
l
1
-,
-·
9'(221)
\f'(320)
-
9'(114)
'/1(213)
qJ(222)
-:v6/5
0.
v24/ts
i
·~--·----
0
~~
·1
I
¢(to6)·
9'(115)
'/1(214)
9'(223)
q}.(330)
'/1(321)
.... ... ·-
I
-v'l6/5
~~
¢(322)
·~ -~·
·~- ~"~·-"·
~{331)
··----·-~--·
'¢(430)
- v' 16/35 -./128/35
______
-----....------·--------Winkelabhangigkeit von 9' bzw. 4', d. h. qJ(nnn'> und t/'(n,n-1,n +1).
./2/7
---·--··--·~-~--··----------·
Tabelle Ill.
1
,/8/3
v 8/i5 .,._ v'16/5
-- I
-·
-·9'(006)
!
9'(220) I'I
...
-·--
..:.,/4/5 - J/16/15
-1V=6
____
·-------'
_________
-,/4/3
--~-
,/2/5
1
~-
···-·-··......... ·-...
9'(112)
9'{G05) '/1(104)
9'(005) X
9'(007) X
2·86
1·6:9·
Ii 0·90
7
n 1)
9'(000) X
!
0·01 · I
-3•77
-,16/7 - v'24/35 - y'24/35 -'./ 48/35
,.__,
__
.,
1
bei der festen Gesamtzahl N =2n+nl.
· ·
62
Zur Theori'e des Mesotrons. II.
4 ist der Eigenwert W0 als Funktion vom Quadrat des Kopplungsparameters bezeichnet, und in Fig. 5 die , Dissoziationswahrscheh1lichkeit" d. h. die Wahrscheinlichkeit dafiir, daB sich daR Prnl.(.tl im
Neutronenzustand befindet, gemaB
p
= .
~'lc,'' (n, n -1, n') !2
2 + ~·[..,'· (1'1, n--1, n') 1z
~·lr (n, n, n') 1
ebenfalls als Funktion
von V 2 angegeben. 'Vir
.--------··
//~·
konnen aus der Figur
/
ersehen, wie 8chlecht das
,/
Ergebnis d0r Storungs: I/
0'2
rechnutlg igt, \Vir finden
if
II I
t
ja, daB bei <.ler symmctrischen Theorie die Er0, ••
gebnisse unseres, sowie
I~
des \Ventzelschen Verfahrcns, von den, Ergeb2 -""!""3-...-4
-t"'""''- ....
nissen des Storungsverfahrens Uberall starker
Fig·. 5. Dissoziationswnhrscheinlichkcit <1<'~,
abweichen als hei der
Protons in Abhangigkeit von r~. - : N ae 11
friiheren Theorie, bei der
unserem Verfahren; -- ·· --: Nnch tlcr StOrungstheorie; -·-···: Asympt.otisch<'r \Vert von Went·
nur geladenen Mesotrozel.
nen beri.icksichtigt wor·
den sind. Die Bindungsenergie der 1\iesotronen bei der starker:
Kopplung z. B. ·wird hier um den Faktor 1/3 kl~iner als die.ien:ige
nach der Storungstheorie, wahrend der cntsprechende Faktor bei d~~r
frtiheren Theorie l/2 betrug. Bei der symmetrischen Them·if' ist
also der Unterschicd zwischen der klassischen Bindung und der
Schwankungsbindung bedeutender als bei der frilheren Theor.ie, und
dies hat zur Folge, daB die Unstimmigkeit des Storungsverfahrens,
wie sie am Ende des zweiten Abschnittes besprochen wurde, bei df~r
symmetrischen Thcorie noch auffallender wird.
I
jil
-....----..6-~:;r--'""'%8~""")9
o-o ~'
7. Fall des neutralen pseudos7calaren Mesotron.cr.
In diesem Abschnitt z;eigen 'vir, daB die ganze Uberlegung dieses
TeiJs sofort auf den Fall der neutralen pseudoskalaren 1iesotroNln
iibertragen wereen kann. .Fiir das neutrale pseudoskalare lYieRo-
6:-l
T. Miyazima und S. Tom onaga:
tronenfeld, daR mit dem Kernteilchen 1m KoordinatenurF:prung in
Wechselwirkung steht, lautet ebenfalls in Einheit 'lie
H
2 +_!_(-~7,Q(r)) 2 +~ 2 Q(r) 2 - · ~~ 114;
=J'J}:_P(r)
l2
2
2
l .' It, c /,'
(j,· .:Q(r) )'l(r) ldr,
J
(7, 1)
wobei wir das pseudoskalare Potential mit Q(r) und seinrn (d~rch J,_
dividierten)_kanonisch konjugierten Impuls mit P(r) bezeichtwn.
Wir entwickeln nun Q(r) und P(r) in Heihen nach Kugl•lfunktionen gemaB
Q (r) =
{
P ( r)
mit
.\
11
1~ J)K (a,.~ (kl + (-1) "'a(_.,, (k)) (Jt_ .... .(r)dA:
(7, 2)
= 11"2 ~ j -1 K {a.! m ( k) -
( -1)"' a,, _,, (k)} Q l m. d r) tl k
(h:r) ym. (tJ ")
Ql,m.~<. (r) = k./,+1/'J.
,lkr
; '~ '
(7, :n
wobei r, 0 und tp die Polarkoordinaten von r bedeuten, und Y;· (tJ, 'I)
die normierten Kugelfliichenfunktionen darstellen. Die Entwick1ungskoeffizienten a,,,n(k) und a.tm(k) geniigen dann den kanonischen Ver~
tauschungsrelationen
f[al,m (k), at."'' (k') ]= ol; l' om, mlt1 (k- k')
l[a,, ln (k), a,,, m' (k') ]=[at m' (k), at, m' (k') ]= 0.
(7,4)
Da beim . pseudoskalaren Mesotronenfeld nur P-Wellen n1it
dem Kernteilchen in W~chsel wirkung stehen, so brauchen wir. in der
Hamiltonscnen Funktion (7, 1) nur den Beitrag dieser Wellen getrennt ,zu betrachten. Wenn wir (7, 2) in (7, 1) eintragen und die
Glieder mit l = 1 herausnehmen, so ergtbt sich fur diesen Beitrag
H P = JK {a! (f) a+ (f)+ a~ (f) a,~ (f)
-J'rc 1:~ ! }u<k)~ {a.
(f)
+at (f) ao (f)} dk-
-a~ (f)} "·~in,+ {a! (f) -a_ (f)}""-; in.+
(7,"5)
64
Zur Theo1'ie des Mesotrons. II.
worin wir einfachheitshalb er a,,+" a 1,_ 1 und a 1,o der Reihe nach mit
a+. a ...l und a0 bezeichnet haben.
Der Gleichung (4, 3) entsprechend entwickeln wir nun a_
a_ (k) und a 0 (k) gemaB
on,
(
a+ (k)
,
"'\
1/4::-g (k) k
- K A++ 2_a+, .• «f'.,(k)
= -K
2
rl
c" (k)
J -a. -(l·~). -- 1/_K4::- qJk)
K k A -· + L~a -,$T'
II
\
~-1
2
1/
4~ 1 ( k) k
~Ao
ao (k) = K
(7, G)
oo
+ ~a0,, l/' .• (k),
2
wobei </•, (k), s = 1, 2; 3, .. · · .. , irgend ein System von normierten Funk4
.. d.1ges 0 r thogona1syst en1 b1"} c1en.
. vo 11st an
k) k e1n
.
K-:,;:' ·q ([{
t 10nen,
cl'1e nu.t 1/
Durch Einsetzen von (7, 6) in (7, 5) erhalten wir nun
x·;
H,. = Kj (A;A+ ..pA_A +AtAo)-
)
l (A A*)
) *
o+ o aeJ +
+ -.12
- n+ (A*++ A -a
\ ++ A*)
K2 ((A
- l'I\:;
a -,., +(_!_At,. J
-Il' 2 a)ao.1+
K
K + "" .'R'tf(i :? A*-l'a)a*+ . .s +(_!_A*-l'a*)
.
v
2
2
"'--
4
·t-
(7, 7)
+ 2: H;,, (at.~ a+,,,+a~ ... a_,t"+a~.s cto,,,)
'• S.t
mit
H;= ,14nJg(k)k¢'.,(k )dk,
H~*=v4nJo<k>kif't(k)dk,
(7, 8)
H~,= JK tP:(k) ¢,.(k)dk
l' == -
2 1 g 1
3 2i'Z' yTc IC '
1
t13#
(1
65
+ iafl
2
T.
llfiyaz?~rna,
und S. Tomonaga:
\Venn wir (7, 7) mit (4, 5) vergleichen, so finden,,wir eine format
vo1l~Uindige Obereinstimmung. Jecies Ergebnis der frliheren Rechp
nungen laBt sicb daher auf d~n vorlieg~nden Fall Ubertrngen, soda(~
die weiteren Rechnungt!n nunmehr tiberflilssig sind. Die Mesotronenverteilung konnen wir al,so · den ersten und dritten Tabellen entuehmen, und Fig. 4 z. B. gibt wieder uie Selbstenergie in A_bhangigkeit
von V1 an. Es bleibt hier nur noch vom Drehimpulse des pseudo·
skalaren Feldes, der durch
2= --1P(t)[t, 'V]Q(t)cl'l'
(7; 9)
definiert ist, einiges zu erkHireu. Indem wir namlich die Glieder
mit l = 1 von (7, 2) herausnehmen und sie in (7, 9) eintragen, erhalten wir den Beitrag der P~ Wellen zurn Dreltimpulse:
L.,+iL1=- ),. Jua~(k)+a+(k)) {a 0 (k) +aWe)}+
+ {a+(k) --a_ (k)} {u~(k)
4c:-iL11= L, =
·~
f[ {a!
)a J[{a.•
(k)
-a: (k) >] dk
-t-a! (k)) (a 0 (k) +at (k))
-{a+ (k) -a~ (k)} {a0 (k)
(lc) + aw (k)} {a .. (k) -·a:': (1.;)}
-
-a: (k)}] dk
(7, 10)
+
+ {a+ ·(k) +a! (/c)) (a~ (k) -a_ (k)}] llk.
Durch Einsetzen von (7, 6) ergibt sich daraus
L.+i4=
)a {(A:+A.) (A +A.t) + (A:-A_) (A -Ao*)) + ~···
. 1
L,-iLr= ,I
L.
0
0
2
=+
.·
{(A+ +A!) (Ao+Ao*)- (A+ -A!)·(Ao-Ao'i·)}
+f-1"·
{(A! +A-l (A+-A:!) +(A. +A!) <At-A_)}+~···,
(7,11)
wobei ~······ lauter Glieder enthalt, die aus a+,, a_,., a0,, und ihren
Konjugierten bestehen und, angewandt auf 1JI fiir .die niedrigsten
Zustandc, Nullresultat ergeben. Wenn n1an nun (7, 11) mit (5, 3)
vergleicht, so findet man, daB bei solchen Zustande~ aile Aussagen
im friiheren Abschnitt i.iber die mit Anfiihrungszeichen versehenen
, Drehimpulse u-d. h. die Aussagen iiber J, L und -r-jetzt auf die
66
Ztw Theotie des Mesotrons. II.
eigentlichen Drehimpulse
werden konnen.
3=2-t·-~--f,
2 und f wortlich tibertrag-en
Zum SchluB danken wir Herru Dr. Y. Nishina fur das fordernde
Interesse an dieser Arbeit. Auch Herren M. Taketani und H. Tamaki
sind wir fur zahlreiche kritische Bemerkungen zu Dank verpflichtet.
Wir sind ferner Herrn S. Nakazima fUr die numerischen Rechnungcn
sehr verhunden.
67