PHYS3100 Grundkurs IIIb für Physiker Vorlesung nach
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PHYS3100 Grundkurs IIIb für Physiker Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm [email protected] Vorlesung nach Tipler, Gerthsen, Känzig, Alonso-Finn Skript: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 Übungsblätter und Lösungen: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/gk3b-2002-2003/ueb/ue# 4. Dezember 2002 Universität Ulm, Experimentelle Physik http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Kondensator mit Dielektrikum Links: Kondensator ohne und rechts: mit Dielektrikum Universität Ulm, Experimentelle Physik 1 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Kondensator mit Dielektrikum II Wir betrachten einen Kondensator, dessen Platten die konstante Ladung Q tragen. Das Feld im Inneren des Kondensators sei um den Faktor ² geringer als das Feld E0 ohne Dielektrikum E0 E= ² (1) Bei einem Plattenkondensator mit dem Abstand d ist U = Ed = Die Kapazität ist C= E0d U0 = ² ² Q Q Q = U = ² = ²C0 0 U U0 ² Universität Ulm, Experimentelle Physik (2) (3) 2 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Kondensator mit Dielektrikum III Also ist beim Plattenkondensator C = ²²0 A d (4) Die dielektrische Verschiebung ist im obigen Falle konstant D= Q A (5) Hält man die Spannung fest, wenn ein Dielektrikum in den Kondensator eingebracht wird ist, Q = ²Q0 (6) Universität Ulm, Experimentelle Physik 3 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Steigen eines Dielektrikums im Kondensator Links eine dielektrische Flüssigkeit im Kondensator ohne angelegtes Feld. Rechts mit angelegtem Feld. Universität Ulm, Experimentelle Physik 4 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Steigen eines Dielektrikums im Kondensator II Die Energiedichte im Kondensator ist wel = D · E (7) Wenn wir das obige Experiment durchführen, steigt die dielektrische Flüssigkeit. Dabei erhöht sich die im elektrischen Feld gespeicherte Energie und auch die potentielle Energie. Wie geht das? Universität Ulm, Experimentelle Physik 5 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Steigen eines Dielektrikums im Kondensator III Skizze der Änderungen beim Anlegen einer Spannung Zur Berechnung müssen wir auch die Batterie oder Spannungsquelle mit betrachten . Universität Ulm, Experimentelle Physik 6 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Steigen eines Dielektrikums im Kondensator IV 1. Mechanische Arbeit: dWmech = F dx Universität Ulm, Experimentelle Physik 7 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Steigen eines Dielektrikums im Kondensator V 2. Elektrostatische Energie im Volumen abdx: Die Spannung U wird konstant gehalten, und damit auch E = Ua Dabei nehmen wir ein homogenes Feld an µ dWel = = = Universität Ulm, Experimentelle Physik ¶ 1 1 ²²0E 2 − ²0E 2 abdx 2 2 1 U2 (² − 1) ²0 2 abdx 2 a 1 b (² − 1) ²0U 2 dx 2 a (8) 8 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Steigen eines Dielektrikums im Kondensator VI 3. Die Batterie liefert elektrische Energie, da die Ladungsmenge sich ändert. Die Kapazität ändert sich um bdx dC = ²²0 bdx a − ²0 a = (² − 1) ²0 bdx a Die Spannung U0 wird aufrecht erhalten und die Ladung dQ transportiert (Epot = qU ) Also dWBatt = U dQ (9) = U · U dC = (² − 1) ²0U 2 Universität Ulm, Experimentelle Physik bdx a 9 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Steigen eines Dielektrikums im Kondensator VII 4. Die Energiebilanz ist dWmech + dWel = dWBatt (10) 1 2b 2b F dx + (² − 1) ²0U dx = (² − 1) ²0U dx 2 a a (11) und somit F = Universität Ulm, Experimentelle Physik 1 b (² − 1) ²0 U 2 2 a (12) 10 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Elektrische Ströme I Ströme und Magnetfelder beschreiben • die Funktionsweise von Motoren, • die Funktionsweise von Fernsehröhren, • die Funktionsweise von Beschleunigern, • die Arbeitsweise von Magnetbändern und Festplatten und • die Funktionsweise von Lautsprechern Universität Ulm, Experimentelle Physik 11 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Elektrische Ströme II Kräfte auf Ladungen in einem Leiter ¯ ∆Q ¯¯ I= (13) ∆t ¯Fläche die in einer bestimmten Zeit durch eine Fläche F fliessende Ladungsmenge definiert. Universität Ulm, Experimentelle Physik 12 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Kontinuitätsgleichung Berechnung des Stromes in einem Medium Universität Ulm, Experimentelle Physik 13 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Kontinuitätsgleichung II Wir betrachten Ladungsträger mit der einheitlichen Ladung q. Die Ladungsträgerdichte nj habe die Geschwindigkeit ~vj . Der Strom δIj durch das Flächenelement df~ ist δQj δIj = dt (14) δQj = qnj | ~vj | ·dt · cos α· | d~a | (15) δIj = qnj | ~vj | cos α | d~a |= qnj~vj · d~a (16) Die Ladungsmenge ist und damit Universität Ulm, Experimentelle Physik 14 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Kontinuitätsgleichung III Der gesamte Strom der Ladungsträger q ist dann 1 X dI (d~a) = nq nj~vj · d~a n j (17) wobei n = Σnj ist. Die mittlere Geschwindigkeit der Ladungsträger ist 1X < ~v >= nq~vj n j Universität Ulm, Experimentelle Physik (18) 15 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Kontinuitätsgleichung IV Wir definieren das Vektorfeld der Stromdichte ~i = nq < ~v > (19) ~i ist abhängig vom Ort, da auch n und < ~v > ortsabhängig sind. Der Strom bezüglich d~a ist dann dI (d~a) = ~i · d~a und, integriert, (20) Z ~i · d~a I (F ) = (21) F Universität Ulm, Experimentelle Physik 16 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Kontinuitätsgleichung V Diese Gleichung besagt, dass der Strom gleich dem Fluss des Stromdichtefeldes durch eine Fläche ist. Wird der Strom durch mehrere Arten von Ladungsträgern gebildet, schreibt man X ~i = nk qk < ~vk > (22) k Universität Ulm, Experimentelle Physik 17 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Driftgeschwindigkeit • Driftgeschwindigkeit in einem Kupferdraht mit 10mm Durchmesser und I = 100A • Annahme: 1 Elektron pro Cu - Atom kg ρNA 8930 m3 · 6.02 · 1023 M1ol 1 na = = = 8.47 · 1028 3 = ne M 0.0635kg/M ol m 100A I = ≈ 1µm/s hvi = 2 1 π 28 2 −19 neA 8.47 · 10 · (0.01) m · 1.6 · 10 C m3 4 Universität Ulm, Experimentelle Physik 18 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Driftgeschwindigkeit II Mit v(t) = v0 cos(2πνt) und x(t) = R v(t)dt hat man v0 x(t) = sin(2πνt) + const 2πν Die maximale Strecke erhält man wenn der Sinus von −1 nach +1 geht. Folgerung: bei ν = 50Hz Wechselstrom zittern die Elektronen einige 1µm/s 2π·50Hz · 2 ≈ 6.4nm weit. Universität Ulm, Experimentelle Physik 19 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Stromdichtefeld Berechnung des Flusses eines Stromdichtefeldes durch ein geschlossenes Gebiet Universität Ulm, Experimentelle Physik 20 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Stromdichtefeld II Wir betrachten eine geschlossene Fläche A, die wir in zwei Teilflächen A0 und A00 aufteilen, so dass auf der Fläche A0 die Feldlinie aus der Fläche austreten und auf der Fläche A00 sie eindringen. Die Ladungserhaltung fordert: Iaus − Iein d = − Qinnen dt (23) Wir schreiben die Gleichung mit der Stromdichte um Z Z ~i · da0 − A0 A00 Universität Ulm, Experimentelle Physik ~i (−d~a00) = − d dt Z ρeldV (24) V (A) 21 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Stromdichtefeld III oder Z ~i · d~a = − d dt A Z ρeldV (25) V Dies ist die Integralform der Kontinuitätsgleichung. Mit dem Gausschen Satz bekommen wir Z Z ~ · ~idV = ∇ ~i · d~a = A Universität Ulm, Experimentelle Physik Z V ∂ ρeldV ∂t (26) V 22 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Stromdichtefeld IV Die Differentialform der Kontinuitätsgleichung lautet demnach: ~ · ~i (~x, t) = − ∂ ρel (~x, t) ∇ ∂t (27) Bei stationären Strömen hängen ~i und ρel nicht von der Zeit ab, so dass ~ · ~i = 0 ∇ (28) ist. Z ~i · d~a = 0 (29) A Universität Ulm, Experimentelle Physik 23 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Beispiel Kondensator Stromfluss in einem Kondensator Universität Ulm, Experimentelle Physik 24 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Beispiel Kondensator II Wir betrachten eine quasistationäre Änderung am Kondensator ZZ ZZ ZZ ~i · d~a = 0 ~i · d~a + ~i · d~a = A1 Mit a1 (30) a2 ZZ ZZ ~id~a folgt I1 = − ~i · d~a und I2 = a1 a2 I1 = I2 (31) d.h. es scheint, als ob der Strom durch den Kondensator hindurchfliessen würde. Universität Ulm, Experimentelle Physik 25 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Beispiel Kondensator III Wenn wir die Kontinuitätsgleichung auf A2 anwenden, bekommen wir ZZ a3 ~id~a = −I1 (t) = − dQ (t) dt oder I (t) = Universität Ulm, Experimentelle Physik dQ (t) dt (32) (33) 26 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Einheit der Stromstärke Die Einheit der Stromstärke ist Ampère [A] C 1A = 1 (34) s Universität Ulm, Experimentelle Physik 27 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Ohmsches Gesetz I Allgemein gilt für einen Leiter, dass ³ ´ ³ ´ ~ =f E ~ ~i E ~ ist. Im linearen Fall eine beliebige Funktion des angelegten Feldes E ³ ´ ~ = σE ~ ~i E (35) (36) spricht man von einem Ohmschen Leiter . σ ist die Leitfähigkeit. Ihre Einheit ist Am A [σ] = 2 = (37) m V Vm Das obige Gesetz heisst das lokale Ohmsche Gesetz. Universität Ulm, Experimentelle Physik 28 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Ohmsches Gesetz II Indem wir die differentielle Form des Ohmschen Gesetzes integrieren, erhalten wir Z Z Z ~ a = σ U da = σ F U ~id~a = I = σ Ed~ (38) d d F F F Dabei haben wir angenommen, dass ~i und σ konstant über F sind. Universität Ulm, Experimentelle Physik 29 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Ohmsches Gesetz III Das integrale Ohmsche Gesetz kann auch als I =G·U (39) geschrieben werden. G ist der Leitwert. Die Einheit ist A m2 A = [G] = Siemens = Vm m V Bekannter ist die Form 1 U = ·I =R·I G Universität Ulm, Experimentelle Physik (40) 30 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Ohmsches Gesetz IV R= 1 G ist der Widerstand. Seine Einheit ist das Ohm 1 V W [R] = Ω = = = 2 S A A Die zu R gehörende mikroskopische Grösse ist der spezifische Widerstand ρ= Die Einheit ist 1 σ (41) · ¸ 1 Vm m [ρ] = = = Ωm = σ A S Universität Ulm, Experimentelle Physik 31 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Bewegung von Ionen Wir betrachten die Bewegung von Ionen (< v >≈ 100m/s) in einer Umgebung von nicht ionisierten Molekülen Bahnkurven ohne und mit elektrischem Feld. Universität Ulm, Experimentelle Physik 32 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Bewegung von Ionen II Die Masse der Ionen sei M , ihre Ladung q und die Gesamtzahl N Die Newtonsche Bewegungsgleichung lautet d~ p ~ ~ F = qE = dt (42) ~ ∆~ p = q E∆t (43) oder wobei ∆t die freie Flugzeit ist. Universität Ulm, Experimentelle Physik 33 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Bewegung von Ionen III Der mittlere Impuls ist N i 1 Xh (k) ~ j M h~v i = M~vj + q Et N j=1 (k) h~v i ist die mittlere Driftgeschwindigkeit, ~vj letzten Stoss. (k) Sind die Geschwindigkeiten ~vj Summand zu null. Universität Ulm, Experimentelle Physik (44) die Geschwindigkeit nach dem isotrop verteilt, mittelt sich der erste 34 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Bewegung von Ionen IV Unter dieser Annahme ist X 1 ~ tj = qE hti M h~v i = q E N (45) wobei hti die mittlere Zeit zwischen den Zusammenstössen ist. Also ist und q < t >~ h~v i = E M (46) 2 q ~ ~i = n < t > E M (47) Universität Ulm, Experimentelle Physik 35 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Bewegung von Ionen V Dabei ist n die Dichte der Ladungsträger. Somit ist bei einer Mischung verschiedener Ladungsträger σ= X k nk qk2 τk Mk (48) Wir haben τ = hti gesetzt. ~ sind, Das Ohmsche Gesetz gilt, wenn τ und nk unabhängig von E Universität Ulm, Experimentelle Physik 36 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Beispiel: Metall Annahmen: me << mkern, isotrope Stösse, < ve >= 105m/s (kinetische Gastheorie) 1 e2τ = σ = ne (49) ρexp me bekommen wir me −14 τ= (50) = 3.3 · 10 s 2 ρexpnee (mit ρexp = 4.3 × 10−8Ωm und ne = 2.5 · 1028 m13 für Na-Metall) λ = hvei τ = 3.3nm (51) im Widerspruch zum Ionenabstand von 0.1nm =⇒ Lösung: Quantenmechanik Universität Ulm, Experimentelle Physik 37 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Homogener Ohmscher Leiter Bei einem homogenen Ohmschen Leiter mit einer stationären Stromverteilung ist ρ = 0 im Inneren. Dies folgt aus ~ (x, y, z) 1. Ohmsches Gesetz ~i (x, y, z) = σ E ³ ´ ~ ~i = 0, also ∇· ~ σE ~ = 0 und damit ∇· ~ E ~ =0 2. Kontinuitätsgleichung ∇· ~ ·E ~ = 3. das Gaussche Gesetz sagt ∇ ρel ²0 4. damit folgt die Behauptung, dass ρel = 0. Universität Ulm, Experimentelle Physik 38 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Homogener Ohmscher Leiter II Aus der Eigenschaft ~ = −∇ϕ ~ = −∇U ~ E (52) erhalten wir im Inneren eines Leiters ~ ·E ~ =∇ ~ · ∇ϕ ~ = ∆ϕ = 0 ∇ (53) Dies bedeutet, dass ϕ im Inneren eines homogenen Ohmschen Leiters ein Potentialfeld ist. Universität Ulm, Experimentelle Physik 39 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Homogener Ohmscher Leiter III Die Lösung von ∆ϕ = 0 (54) ist durch die Randbedingungen 1. U = const an den Elektrodenflächen 2. ~i⊥ = 0 sonst gegeben1 Mit diesen Gleichungen kann man zum Beispiel den Widerstand eines homogenen Leiters berechnen (Übungsaufgabe). 1 ~ = Im Gegensatz zum Kondensator ist hier E 6 0 in einem endlichen Gebiet. Universität Ulm, Experimentelle Physik 40 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Inhomogener Ohmscher Leiter Bei inhomogenen Leitern müssen wir das Ohmsche Gesetz in seiner Differentialform verwenden. Aus der Kontinuitätsgleichung für stationäre Stromverteilungen und dem lokalen Ohmschen Gesetz Gleichung (36) bekommen wir h i ~ · ~i = ∇ ~ · σ (x, y, z) E ~ (x, y, z) = 0 ∇ (55) ~ und erhalten Wir ersetzen nun E h i ~ · σ (x, y, z) ∇U ~ (x, y, z) = 0 ∇ (56) Bei einem homogenen Leiter könnte σ (x, y, z) vor die Divergenz gezogen werden. Universität Ulm, Experimentelle Physik 41 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Homogener Ohmscher Leiter V Berechnung des Widerstandes bei einem inhomogenen Leiter Universität Ulm, Experimentelle Physik 42 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Homogener Ohmscher Leiter VI Wir wenden die Kontinuitätsgleichung auf die Fläche F an. ZZ ZZ ~ · d~a = σE F ~ · d~a − I σE (57) f wobei f die durch F aus dem Leiter herausgeschnittene Fläche ist. Die Spannungsdifferenz ist Z ~ · d~s eE U2 − U1 = (58) s Universität Ulm, Experimentelle Physik 43 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Homogener Ohmscher Leiter VII Wenn nun φ1(x, y, z) eine Lösung von Gleichung (56) ist, dann ist aufgrund der Linearität dieser Gleichung auch U2(x, y, z) = kU1(x, y, z) (59) eine Lösung. Dabei kann k eine beliebige, auch komplexzahlige Zahl sein. ~ = −∇U ~ auch eine lineare Gleichung ist, muss also auch Da E ~ 2 = −∇U ~ 2 = −k ∇U ~ 1 = kE ~1 E (60) eine Lösung sein. Universität Ulm, Experimentelle Physik 44 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Homogener Ohmscher Leiter VIII Nach Gleichung (57) ist dann auch ZZ ZZ ~ 2 · d~a = σE I2 = f ZZ ~ 1 · d~a = k σk E f ~ · d~a = kI1 σE (61) f Damit haben wir, dass bei einem beliebigen inhomogenen Leiter U2 U1 = = const = R I2 I1 (62) ist. Die Proportionalitätskonstante ist der Widerstand R. Um den Wider~ stand eines beliebigen Leiters zu berechnen, muss man E(x, y, z) im Inneren kennen. Dies kann man erreichen, indem man die Laplacegleichung löst. Universität Ulm, Experimentelle Physik 45 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Homogener Ohmscher Leiter IX ~ Im statischen Falle ist E(x, y, z) = 0 im inneren eines Leiters. Bei einem stromdurchflossenen Leiter liefert die Batterie die notwendige Energie, um das elektrische Feld im Inneren des Leiters aufrecht zu erhalten. Universität Ulm, Experimentelle Physik 46 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Elektromotorische Kraft Ladungstransport in einem mit einem Widerstand R kurzgeschlossenen van de Graaff-Generator. Universität Ulm, Experimentelle Physik 47 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Elektromotorische Kraft II Die elektromotorische Kraft einer Stromquelle ist die Quelle der Energie (Arbeit), die einen konstanten Stromfluss in einem Stromkreis aufrecht erhält. Neben der elektromotorischen Kraft können auch magnetische Kräfte und andere Quellen einen Stromfluss in einem Leiter aufrecht erhalten. Universität Ulm, Experimentelle Physik 48 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 RC-Stromkreis I Aufladen und entladen eines Kondensators über einen Widerstand. Universität Ulm, Experimentelle Physik 49 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 RC-Stromkreis II Laden eines Kondensators 10 UC(x) UR(x) 8 U 6 Einschalten 4 2 0 -0.002 0 0.002 0.004 0.006 0.008 t Ladekurven am Kondensator. Die verwendeten Werte sind U = 10V und R · C = 0.001s. Universität Ulm, Experimentelle Physik 50 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 RC-Stromkreis III Entladen eines Kondensators 10 UC(x) UR(x) U 5 Ausschalten 0 -5 -10 -0.002 0 0.002 0.004 0.006 0.008 t Entladekurven am Kondensator Die verwendeten Werte sind U = 10V und R · C = 0.001s. Universität Ulm, Experimentelle Physik 51 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Magnetfeld und Lorentzkraft Strom in zwei parallelen Leitern. Die Leiter haben die Länge ` und sind im Abstand r. Sie sind von den Strömen I1 und I2 durchflossen. Universität Ulm, Experimentelle Physik 52 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Magentfeld und Lorentzkraft II Die Kraft FM ist nicht eine elektrostatische Kraft, da eine geerdete Metallplatte die Kraft, anders als bei der Coulomb-Kraft, nicht abschirmt. Die Kraft FM wirkt auf bewegte Ladungen! Universität Ulm, Experimentelle Physik 53 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Ladungsinvarianz bewegter Ladungen Metallischer Gastank mit Ausströmöffnung. Universität Ulm, Experimentelle Physik 54 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Relativistische Rechnung Berechnung der magnetischen Kraft. Links: im Bezugssystem S und rechts:im Bezugssystem S 0, in dem q in Ruhe ist. Beachte: wir wissen zwar nicht, wie gross der Strom I gemessen im Bezugssystem S im Bezugssystem S 0 ist. Die Ladung ist jedoch invariant. Universität Ulm, Experimentelle Physik 55 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Relativistische Felder ~ Das E-Feld hängt vom Bezugssystem ab, ist also nicht relativistisch invariant! Universität Ulm, Experimentelle Physik 56 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Relativistische Rechnung II Das elektrische Feld einer Linienladung im Abstand r ist E(r) = λ 2π²0 · r (63) 0 0 ~ 0 berechnen wir die Geschwindigkeiten v+ Um das elektrische Feld E und v− in S 0. 0 v+ = 0 v− = Universität Ulm, Experimentelle Physik v − v0 0 1 − v·v 2 c v + v0 0 1 + v·v 2 c (64) 57 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Relativistische Rechnung III Mit den üblichen Abkürzungen β ≡ v c γ = 1 p 1 − β2 (65) bekommen wir 0 β+ = 0 β− = Universität Ulm, Experimentelle Physik β0 − β 1 − β0 β β−0+β 1 + β0β (66) 58 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Relativistische Rechnung IV 0 0 0 0 0 Mit γ+ ≡ γ(v+ ) und γ− ≡ γ(v− ) und mit λ0 = λ0+/γ+ erhalten wir µ λ0+ = 0 γ+ µ 0 λ0− = γ− λ γ0 λ γ0 ¶ (67) ¶ Die Netto-Linienladung in S 0 ist dann 0 λ = λ0+ Universität Ulm, Experimentelle Physik − λ0− ¢ λ ¡ 0 0 = γ+ − γ− γ0 (68) 59 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Relativistische Rechnung V Weiter erhalten wir q = r 1 0 0 − γ− = γ+ 2 1 − β+ −q 1 ³ β0 −β 1−β0 β 1− 1 2 1 − β− p = p 1− (1 − β02) (1 − β 2) −2β0β (1 − Universität Ulm, Experimentelle Physik β02) (1 1 ³ ´2 − r 1 − β0β = (69) − β 2) −p β−0+β 1+β0 β ´2 1 + β0 β (1 − β02) (1 − β 2) = −2β0βγ0γ 60 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Relativistische Rechnung VI Also ist λ0 = −2λββ0γ = Das elektrische Feld wird also Er0 −2λvv0 γ 2 c λ0 = 2π²0r 2λv0vγ(v) 1 = − · 2 2π²0c r (70) (71) Die Kraft im Ruhesystem S 0 des Teilchens ist also Fz0 = −q · Universität Ulm, Experimentelle Physik Er0 2qλv0vγ(v) 1 = · 2π²0c2 r (72) 61 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Relativistische Rechnung VI Wir verwenden die Lorentztransformation der Impulse p0x = px µ p0y = γ(v) py − v p0z = pz E c2 ¶ (73) E 0 = γ(v) (E − v · py ) Der Vierervektor (px, py , pz , cE2 ) transformiert sich wie der Vierervektor (x, y, z, t). Universität Ulm, Experimentelle Physik 62 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Relativistische Rechnung VII Die Kraft transformiert sich also wie Fz0 dp0z dpz = 0 =p = γ(v)Fz 2 dt 1 − β · dt (74) Der Strom in S ist I = 2λv0 (75) Damit bekommen wir q·v·I 1 Fz (r) = · 2 2π²0 · c r Universität Ulm, Experimentelle Physik (76) 63 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Relativistische Rechnung VIII Multipliziert man Gleichung (76) mit der Dichte der Ladungsträger, so erhält man die zu I2 proportionale Kraft. Die magnetische Kraft Fm im Laborsystem S ist die relativistisch transformierte elektrostatische Kraft auf die Ladung q in deren Ruhesystem S 0. Die magnetische Kraft kann als relativistische Korrektur zur elektrostatischen Kraft verstanden werden. Universität Ulm, Experimentelle Physik 64 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Induktionskonstante Die Induktionskonstante 1 µ0 = ²0c2 (77) ermöglicht es zu schreiben µ0 I B(r) = · 2π r Universität Ulm, Experimentelle Physik (78) 65 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Magnetisches Feld um einen Leiter Die magnetische Induktion eines geraden, unendlich ausgedehnten Stromes bildet Feldlinien, die kreisförmig in einer Ebene senkrecht zum Strom liegen. Der Mittelpunkt der kreisförmigen Feldlinien ist der Strom. Universität Ulm, Experimentelle Physik 66 http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2002-2003 4. Dezember 2002 Drehmoment auf Leiterschlaufe Drehmoment auf eine Leiterschleife im homogenen Magnetfeld Universität Ulm, Experimentelle Physik 67