Algebra und Diskrete Mathematik, PS3 Sommersemester 2017 3

Algebra und Diskrete Mathematik, PS3
Sommersemester 2017
3. April 2017
1) Was ist eine Polynomfunktion? Was heißt eine Polynomfunktion
in einem Element des Definitionsbereichs auswerten? Werten
Sie die Polynomfunktion
f : R −→ R, z 7−→ 2 − 3z + 3z 2 + z 5 − 27z 6
in 32 aus.
Werten Sie die Polynomfunktion
g : Z5 −→ Z5 , z 7−→ 2̄ + 3̄z + z 6 + z 2017
in 4̄ aus. Wieviele Multiplikationen sind dazu jeweils mindestens
nötig?
2) Wann sind zwei Funktionen gleich? Überprüfen Sie, ob f = g,
f = h und h = g ist.
f : Z3 −→ Z3 , z 7−→ 2̄ + z + 2̄z 2 − z 4
g : Z3 −→ Z3 , t 7−→ 2̄ + t2 + t3
h : Z3 −→ Z3 , x 7−→ 1̄ + 2̄(x − 1̄) + (x − 1̄)2 + (x − 1̄)3
Zeigen Sie, dass zwei Polynomfunktionen von Z3 nach Z3 mit
den Koeffizienten a0 , a1 , a2 und b0 , b1 , b2 genau dann gleich sind,
wenn (a0 , a1 , a2 ) = (b0 , b1 , b2 ) ist. Wieviele solche Polynomfunktionen gibt es? Zeigen Sie dann, dass jede Funktion von Z3 nach
Z3 eine Polynomfunktion ist. Wieviele Funktionen von Z3 nach
Z3 gibt es?
3) Was ist ein Modul über einem Ring R, was ist eine Basis eines Moduls? Es sei M der von (2, 0), (1, 1) und (0, 2) erzeugte
Untermodul von Z2 . Zeigen Sie, dass M ein freier Z-Modul ist
und geben Sie drei verschiedene Basen davon an. Überprüfen
Sie, ob ((2, 0), (0, 2)) eine Z-Basis von M ist. Überprüfen Sie,
ob (17, −3) ∈ M und ob (18, −3) ∈ M ist.
4) Was ist ein freier Modul ? Betrachten Sie Z4 × Z4 einmal als
Modul über Z und einmal als Modul über Z4 . Bestimmen Sie
für beide Fälle fünf Untermoduln. Ist einer dieser zwei Moduln
frei? Geben Sie in diesem Fall fünf Basen an.
5) Was ist ein Polynom? Was ist der Grad eines Polynoms? Was
ist der Leitkoeffizient eines Polynoms?
Aus: Pauer, F., Scheirer-Weindorfer, M., Simon, A.: Mathematik 1 HTL. öbv Wien 2011, 1. Auflage
Aufgabe 859c. Berechne mit möglichst wenig Rechenaufwand
den vierten Koeffizienten von p · q und von p − q.
5
4
2
5
6
1
p = x6 − x5 − x4 − x3 − x2 +
9
3
7
3
7
9
11
1
2
q = x11 − x4 + x + 1
5
9
11
Berechnen Sie den Grad und den Leitkoeffizienten von p · q und
von p − q.
6) Erläutern Sie den Satz über die Division mit Rest von Polynomen und den entsprechenden Algorithmus. Berechnen Sie den
Rest von f ∈ R[x] nach Division durch
g ∈ R[x], dabei sei
a) R = Z, f = x5 − 3x3 + x + 2, g = x2 + 3x + 1,
b) R = Z11 , f = x4 − 2̄x2 + 4̄x + 3̄, g = 4̄x2 − 3̄x + 1̄,
c) R = Q, f = x4 + 4x2 − x + 3, g = 2x2 + 3x − 4.