§2 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten, SS 2014
Montag 26.5
$Id: diff.tex,v 1.11 2014/06/03 21:47:22 hk Exp hk $
§2
Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
2.2
Mannigfaltigkeiten über Pseudogruppen
In der letzten Sitzungen haben wir Quotienten von G-Mannigfaltigkeit modulo einer
frei diskontinuierlichen Gruppenwirkung konstruiert, und wir wollen diese Sitzung mit
einer weiteren Konstruktion von Mannigfaltigkeiten über allgemeinen Pseudogruppen
beginnen. Hierfür benötigen wir eine vorbereitende Definition.
Definition 2.21 (Invariante Randpseudogruppen einer Pseudogruppe)
Sei G eine Pseudogruppe auf dem Modelraum R. Eine Pseudogruppe (S, H) heißt eine
invariante Randuntergruppe von G wenn S ⊆ R in R abgeschlossen ist und für jedes
ϕ ∈ G stets
ϕ(dom(ϕ) ∩ S) = im(ϕ) ∩ S und ϕ| dom(ϕ) ∩ S ∈ H
gilt.
Sind n ∈ N mit n ≥ 1 und q ∈ N∗ , so ist (Rn−1 , C n−1,q ) nach Aufgabe (9) eine invariante
Randuntergruppe der Pseudogruppe (H n , Hn,q ), genau dieses Beispiel soll durch die
obige Definition erfasst werden. Haben wir eine solche invariante Randuntergruppe, so
kann jeder G-Mannigfaltigkeit eine H-Mannigfaltigkeit als ihr Rand zugewiesen werden.
Satz 2.24 (Randmannigfaltigkeiten von G-Mannigfaltigkeiten)
Seien G eine Pseudogruppe mit Modelraum R und (S, H) eine invariante Randuntergruppe von G. Weiter sei (M, A) eine G-Mannigfaltigkeit. Dann ist
MS := {x ∈ M |∃(ϕ ∈ A) : x ∈ dom(ϕ) ∧ ϕ(x) ∈ S}
= {x ∈ M |∀(ϕ ∈ A) : x ∈ dom(ϕ) =⇒ ϕ(x) ∈ S}
eine abgeschlossene Teilmenge von M und
AS := {ϕ| dom(ϕ) ∩ MS : ϕ ∈ A}
ist ein H-Präatlas auf MS . Weiter ist A|M \MS ein G|R\S-Atlas auf M \MS .
Beweis: Wir beginnen mit der ersten Aussage, sei also x ∈ M gegeben. Gilt dann
ϕ(x) ∈ S für jede Karte ϕ von M mit x ∈ dom(ϕ), so ist sofort x ∈ MS da es ja immer
eine Karte ϕ von M mit x ∈ dom(ϕ) gibt. Nehne nun umgekehrt x ∈ MS an, d.h. es
gibt eine Karte ϕ von M mit x ∈ dom(ϕ) und ϕ(x) ∈ S. Sei ψ eine weitere Karte von M
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mit x ∈ dom(ψ). Dann ist θ := ψ ◦ ϕ−1 ∈ G und wegen ϕ(x) ∈ ϕ(dom(ϕ) ∩ dom(ψ)) =
dom(θ) ist
ψ(x) = θ(ϕ(x)) ∈ θ(dom(θ) ∩ S) ⊆ S.
Damit sind beide angegebenen Beschreibungen von MS tatsächlich gleichwertig. Ist
also ϕ eine Karte von M , so ist für x ∈ dom(ϕ) genau dann x ∈ MS wenn ϕ(x) ∈ S
ist, also
ϕ(dom(ϕ) ∩ MS ) = im(ϕ) ∩ S.
Wir kommen nun zu den Aussagen über M 0 := M \MS . Sei x ∈ M 0 . Wähle eine
Karte ϕ von M mit x ∈ dom(ϕ). Wegen ϕ(dom(ϕ) ∩ MS ) = im(ϕ) ∩ S gilt für die
Komplemente auch ϕ(dom(ϕ) ∩ M 0 ) = im(ϕ)\S, und da S in R abgeschlossen ist, ist
auch dom(ϕ)∩M 0 offen in dom(ϕ) und somit auch in M . Folglich ist x ein innerer Punkt
von M 0 und wir haben bewiesen das M 0 offen in M ist. Damit ist MS abgeschlossen
in M . Wie schon früher festgehalten sind offene Teilmengen von G-Mannigfaltigkeiten
wieder G-Mannigfaltigkeiten, genauer ist A|M 0 ein G-Atlas auf M 0 . Für jedes ϕ ∈ A|M 0
ist im(ϕ) ∩ S = ϕ(dom(ϕ) ∩ MS ) = ∅, also im(ϕ) ⊆ R\S und A|M 0 ist eine Menge
von Homöomorphismen offener Teilmengen von M 0 auf offene Teilmengen von R\S.
Da A|M 0 ist G-Atlas ist, ist A|M 0 auch zumindest ein G|R\S-Präatlas. Tatsächlich ist
A|M 0 sogar ein G|R\S-Atlas, denn ist B ein G|R\S-Präatlas auf M 0 mit A|M 0 ⊆ B,
so ist jedes ϕ ∈ B verträglich mit A|M 0 , also auch mit A, und nach Lemma 20.(c) ist
ϕ ∈ A und somit auch ϕ ∈ A|M 0 , d.h. es gilt B = A|M 0 . Damit ist A|M 0 ein maximaler
G|R\S-Präatlas auf M 0 , d.h. ein G|R\S-Atlas auf M 0 .
Schließlich kommen wir zu den Aussagen über AS . Für jede Karte ϕ von M ist
ϕ(dom(ϕ) ∩ MS ) = im(ϕ) ∩ S, also ist ϕ0 := ϕ| dom(ϕ) ∩ MS ein Homöomorphismus
der offenen Teilmenge dom(ϕ) ∩ MS von MS auf die offene Teilmenge im(ϕ) ∩ S von S.
Wir müssen zeigen das AS die beiden Bedingungen (PA1) und (PA2) eines H-Präatlas
erfüllt. Ist x ∈ MS so gibt es eine Karte ϕ von M mit x ∈ dom(ϕ) und damit ist
ϕ0 ∈ AS mit x ∈ dom(ϕ) ∩ MS = dom(ϕ0 ), und (PA1) ist gezeigt. Zum Nachweis von
(PA2) seien zwei Karte ϕ, ψ von M gegeben. Dann ist zunächst θ := ψ ◦ ϕ−1 ∈ G.
Weiter haben wir
dom(ψ 0 ◦ ϕ0
−1
) = ϕ0 (dom(ϕ0 ) ∩ dom(ψ 0 )) = ϕ(dom(ϕ) ∩ dom(ψ) ∩ MS )
= ϕ(dom(ϕ) ∩ dom(ψ)) ∩ S = dom(θ) ∩ S
da nach Lemma 20.(a) auch ϕ| dom(ϕ) ∩ dom(ψ) eine Karte von M ist, und somit ist
ψ 0 ◦ ϕ0 −1 = θ| dom(θ) ∩ S ∈ H. Damit ist AS tatsächlich ein H-Präatlas auf M .
Haben wir eine invariante Randuntergruppe (S, H) einer Pseudogruppe G, so können
wir also jeder G-Mannigfaltigkeit (M, A) einen S-Rand“ MS ⊆ M zuordnen. Da
”
die angegebene Menge AS nach dem Satz ein H-Präatlas auf MS haben wir nach
Satz 19 einen eindeutigen H-Atlas A∗S auf MS mit AS ⊆ A∗S und mit diesem können
wir (MS , A∗S ) als eine H-Mannigfaltigkeit auffassen. Wird MS im folgenden als HMannigfaltigkeit behandelt ohne das der zugrundeliegende Atlas explizit genannt ist, so
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ist immer die Struktur (MS , A∗S ) gemeint. Wir wollen in einem abschließenden Lemma
festhalten wie sich der S-Rand auf offene Untermannigfaltigkeiten und Quotienten
vererbt. Eine kleine Vorbemerkung ist hierbei hilfreich. Angenommen wir haben eine
Menge M , eine Pseudogruppe G und zwei Strukturen von M als G-Mannigfaltigkeit,
d.h. für i = 1, 2 seien eine Topologie τi auf der Menge M und ein G-Atlas Ai auf
dem topologischen Raum (M, τi ) gegeben. Wir behaupten das diese beiden Strukturen
genau dann gleich sind, also τ1 = τ2 und A1 = A2 , wenn die Identität
idM : ((M, τ1 ), A1 ) → ((M, τ2 ), A2 )
ein G-Diffeomorphismus ist. Dass die Identität bei gleichen Strukturen ein G-Diffeomorphismus ist gilt nach Lemma 21.(b). Nun sei die Identität umgekehrt als G-Diffeomorphismus vorausgesetzt. Nach Lemma 21.(a.2) ist idM : (M, τ1 ) → (M, τ2 ) dann
auch ein Homöomorphismus, d.h. für jedes U ∈ τ2 ist U = id−1
M (U ) ∈ τ1 und wir haben
τ2 ⊆ τ1 und analog auch τ1 ⊆ τ2 , es gilt also τ1 = τ2 . Weiter ist für jedes ψ ∈ A2 nach
Lemma 21.(a.1) auch ψ = ψ ◦ idM ∈ A1 , d.h. es gilt A2 ⊆ A1 und die Maximalität von
A2 liefert A1 = A2 . Damit können wir zu unserem Lemma kommen.
Lemma 2.25 (Erblichkeitsverhalten von Randmannigfaltigkeiten)
Seien G eine Pseudogruppe und (S, H) eine invariante Randuntergruppe von G. Weiter
sei M eine G-Mannigfaltigkeit.
(a) Ist U ⊆ M in M offen, so stimmen US und U ∩ MS als H-Mannigfaltigkeiten
überein, d.h. es sind dieselben topologischen Räume versehen mit demselben HAtlas.
(b) Seien N eine weitere G-Mannigfaltigkeit und f : M → N ein lokaler G-Diffeomorphismus. Dann ist f −1 (NS ) = MS und die Einschränkung f |MS : MS →
NS ist ein lokaler H-Diffeomorphismus. Ist f zusätzlich surjektiv, so gilt auch
f (MS ) = NS .
(c) Sei Γ eine Gruppe die frei diskontinuierlich und mit G verträglich auf M wirkt.
Dann ist MS invariant unter Γ und die induzierte Wirkung von Γ auf MS ist
wieder frei diskontinuierlich und mit H verträglich. Weiter stimmen (M/Γ)S und
MS /Γ als H-Mannigfaltigkeiten überein.
Beweis: Seien R der Modelraum der Pseudogruppe G und A der G-Atlas von M .
Weiter seien AS der H-Präatlas auf MS aus Satz 24 und A∗S der H-Atlas von MS . (a)
Die offene Untermannigfaltigkeit U trägt definitionsgemäß den G-Atlas A|U = {ϕ ∈
A| dom(ϕ) ⊆ U }. Ist also x ∈ U und wählen wir ϕ ∈ A|U ⊆ A mit x ∈ dom(ϕ) so
ist genau dann x ∈ US wenn ϕ(x) ∈ S ist und dies ist weiter gleichwertig zu x ∈ MS .
Damit sind die Mengen US = MS ∩ U gleich. Beide tragen die Topologie als Teilraum
von M . Weiter hat US den H-Präatlas
(A|U )S = {ϕ| dom(ϕ) ∩ US : ϕ ∈ A|U } = {ϕ| dom(ϕ) ∩ MS : ϕ ∈ A|U } ⊆ A∗S |U ∩ MS
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also ist A∗S |U ∩ MS der (A|U )S enthaltende H-Atlas auf U ∩ MS , d.h. sowohl US als
auch U ∩ MS haben den H-Atlas A∗S |U ∩ MS .
(b) Sei x ∈ M . Dann existieren Karten ϕ von M mit x dom(ϕ) und ψ von N mit
f (x) ∈ dom(ψ) so, dass θ := ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ∈ G ist. Wegen x ∈ dom(ϕ) ∩ f −1 (dom(ψ))
ist ϕ(x) ∈ ϕ(dom(ϕ) ∩ f −1 (dom(ψ))) = dom(θ). Weiter ist genau dann x ∈ f −1 (NS )
wenn f (x) ∈ NS ist und dies gleichwertig zu θ(ϕ(x)) = ψ(f (x)) ∈ S, also auch zu
θ(ϕ(x)) ∈ im(θ) ∩ S = θ(dom(θ) ∩ S) und da θ insbesondere injektiv ist bedeutet dies
ϕ(x) ∈ S was letztlich zu x ∈ MS äquivalent ist. Dies zeigt f −1 (NS ) = MS .
Insbeondere ist f |MS : MS → NS überhaupt eine wohldefinierte Abbildung. Sei
x ∈ MS und wähle wieder Karten ϕ von M mit x ∈ dom(ϕ) und ψ von N mit
f (x) ∈ dom(ψ) so, dass θ := ψ ◦ f ◦ ϕ ∈ G ist. Dann sind ϕ0 := ϕ| dom(ϕ) ∩ MS eine
Karte von MS mit x ∈ dom(ϕ0 ) und ψ 0 := ψ| dom(ψ) ∩ NS eine Karte von NS mit
f (x) ∈ dom(ψ 0 ). Für diese beiden Karten gilt
ψ 0 ◦ (f |MS ) ◦ ϕ0
−1
= θ| dom(θ) ∩ S ∈ H
und damit ist f |MS ein lokaler H-Diffeomorphismus. Ist f zusätzlich surjektiv, so haben
wir auch NS = f (f −1 (NS )) = f (MS ).
(c) Sei γ ∈ Γ. Da die Wirkung von Γ auf M mit G verträglich ist, ist ωγ : M → M ein
G-Diffeomorpismus, und nach (b) ist damit MSγ = ωγ (MS ) = MS und ωγ |MS : MS →
MS ist ein lokaler H-Diffeomorphismus. Da ωγ |MS auch bijektiv ist, ist ωγ |MS nach
Lemma 22.(c.2) sogar ein H-Diffeomorphismus. Damit ist MS invariant unter Γ und
die Wirkung von Γ auf MS ist mit H verträglich. Ist x ∈ MS , so gibt es eine in M
offene Menge U ⊆ M mit x ∈ U und U γ ∩ U = ∅ für alle 1 6= γ ∈ Γ, und damit ist
auch V := U ∩ MS in MS offen mit x ∈ V und V γ ∩ V ⊆ U γ ∩ U = ∅ für alle 1 6= γ ∈ Γ
d.h. Γ wirkt frei diskontinuierlich auf MS .
Die Projektion p : M → M/Γ ist ein surjektiver, lokaler G-Diffeomorphismus, also
ergibt (b) auch (M/Γ)S = p(MS ) = MS /Γ als Menge und p|MS : MS → (M/Γ)S ist ein
lokaler H-Diffeomorphismus. Weiter ist auch die Projektion q : MS → MS /Γ ein lokaler
H-Diffeomorphismus und wegen p|MS = idMS /Γ ◦ q ist idMS /Γ : MS /γ → (M/Γ)S nach
Aufgabe (22.a) ein lokaler H-Diffeomorphismus. Nach Lemma 22.(c.2) ist die Identität
damit sogar ein H-Diffeomorphismus und damit stimmen MS /Γ und (M/Γ)S als HMannigfaltigkeiten überein.
Da die G-Diffeomorphismen nach Lemma 22.(b,c.2) genau die bijektiven lokalen GDiffeomorphismen sind, gilt Aussage (b) des Lemmas entsprechend auch für G-Diffeomorphismen, d.h. ist f : M → N ein G-Diffeomorphismus, so ist f (MS ) = NS und
f |MS : MS → NS ist wieder ein G-Diffeomorphismus.
2.3
Berandete und unberandete Mannigfaltigkeiten
Eine differenzierare Mannigfaltigkeit ist im wesentlichen eine C n,∞ -Mannigfaltigkeit mit
zwei zusätzlichen topologischen Bedingungen. Es ist nicht nötig C n,q -Mannigfaltigkeiten
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für Differenzierbarkeitsordnungen q 6= ∞ zu betrachten, man kann zeigen das jeder C n,q Atlas einen C n,∞ -Atlas enthält, man muss also nur überflüssige Karten“ ignorieren und
”
hat dann nur noch C ∞ -Koordinatentransformationen.
Definition 2.22 (Berandete und unberandete differenzierbare Mannigfaltigkeiten)
Sei n ∈ N. Eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit M ist eine C n,∞ Mannigfaltigkeit deren unterliegender topologischer Raum hausdorffsch ist und das
zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Ist n ≥ 1 so ist eine berandete n-dimensionale
Mannigfaltigkeit eine Hn,q -Mannigfaltigkeit deren unterliegender topologischer Raum
wieder hausdorffsch ist und das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt.
Oft, und insbesondere an der Tafel, will man den vollständigen Namen n-dimensionale
”
differenzierbare Mannigfaltigkeit“ nicht ausschreiben und spricht einfach verkürzt von
einer Mannigfaltigkeit“. Benötigt man dann den Wert von n so wird dieser als die
”
Dimension von M bezeichnet, und gelegentlich gleich als M n“ mitnotiert. Was das
”
nicht weiter spezifizierte Wort Mannigfaltigkeit“ gerade bedeutet hängt immer vom
”
jeweiligen Kontext ab, bei uns wird es wie gesagt für differenzierbare Mannigfaltigkeit“
”
stehen, in der Riemanschen Geometrie ist meist eine Riemansche Mannigfaltigkeit“
”
gemeint und in wieder anderen Rahmen kann es sich um eine topologische Mannigfal”
tigkeit“ handeln, und so weiter. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten, ob berandet oder
unberandet, als hausdorffsch vorauszusetzen ist die übliche Konvention. Gelegentlich
ist diese Annahme etwas hinderlich da so einige Quotientenstrukturen“ ausgeschlos”
sen werden, auf der anderen Seite ist der hausdorffsche Fall angenehmer zu behandeln.
Weshalb die Existenz einer abzählbaren Basis verlangt wird, werden wir erst etwas
später in diesem Kapitel sehen. Erst einmal wollen wir jetzt festhalten wie berandete
und unberandete differenzierbare Mannigfaltigkeiten zusammenhängen, insbesondere
wollen wir einsehen das die berandeten Mannigfaltigkeiten der allgemeine Fall“ sind.
”
Satz 2.26 (Berandete und unberandete Mannigfaltigkeiten)
Sei n ∈ N mit n ≥ 1 und bezeichne H n den n-dimensionalen Halbraum.
(a) Sei M eine berandete, n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann ist
Für jede Karte ϕ von M mit x ∈ dom(ϕ)
∂M :=
x ∈ M ist ϕ(x) ∈ ∂H n = Rn−1
Es gibt eine Karte ϕ von M mit x ∈ dom(ϕ)
=
x∈M
und ϕ(x) ∈ ∂H n = Rn−1
eine abgeschlossene Teilmenge von M , genannt der Rand von M , und die Menge
A0 := {ϕ| dom(ϕ) ∩ ∂M : ϕ ist eine Karte von M }
ist ein C n−1,∞ -Präatlas von ∂M . Es gibt genau einen C n−1,∞ -Atlas A auf ∂M mit
A0 ⊆ A und (∂M, A) ist eine (n − 1)-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit.
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(b) Ist M eine n-dimensionale, berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit, so ist das
sogenannte Innere M ◦ := M \∂M von M eine offene und dichte Teilmenge von
M , d.h. es gilt M ◦ = M . Weiter existiert genau ein C n,∞ -Atlas A auf M ◦ mit
ϕ ∈ A für jedes Karte ϕ von M mit dom(ϕ) ⊆ M ◦ , und (M ◦ , A) ist eine ndimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit.
(c) Ist M eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit, so ist
A := {ϕ|ϕ ist eine Karte von M mit im(ϕ) ⊆ Hn \∂H n }
ein Hn,∞ -Atlas auf M und (M, A) ist eine n-dimensionale, berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit mit leeren Rand.
Beweis: (a,b) Sei AM der Atlas von M . Nach Satz 24 gelten die ersten beiden Aussagen
über ∂M und A0 ist ein C n−1,∞ -Präatlas von ∂M . Nach Satz 19 existiert genau ein
C n−1,∞ -Atlas auf ∂M mit A0 ⊆ A. Der Teilraum ∂M von M ist wieder hausdorffsch und
erfüllt nach Lemma 5.(a) auch das zweite Abzählbarkeitsaxiom. Damit ist (∂M, A) eine
(n − 1)-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und (a) ist vollständig bewiesen.
Weiter ist M ◦ = M \∂M offen in M und wieder nach Satz 24 ist A1 := AM |M ◦ =
{ϕ ∈ AM | dom(ϕ) ⊆ M ◦ } ein Hn,∞ |H n \∂H n -Atlas auf M ◦ . Da H n \∂H n offen im Rn
ist, ist A1 damit auch ein C n,∞ -Präatlas auf M ◦ und wieder nach Satz 19 existiert
genau ein C n,∞ -Atlas B auf M ◦ mit A1 ⊆ B. Wieder mit Lemma 5.(a) folgt das
M ◦ hausdorffsch ist und das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, d.h. (M ◦ , B) ist eine
n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Es ist nur noch M = M ◦ zu zeigen, und hierfür müssen wir ∂M ⊆ M ◦ beweisen.
Sei also x ∈ ∂M . Dann existiert eine Karte ϕ ∈ AM mit ϕ(x) ∈ Rn−1 . Da im(ϕ) offen
in H n ist existiert ein > 0 mit B (ϕ(x)) ∩ H n ⊆ im(ϕ), und somit ist
ϕ(x) ∈ B (ϕ(x)) ∩ H n \∂H n ⊆ im(ϕ) ∩ H n \∂H n
wobei der Abschluß in im(ϕ) gebildet wird. Wegen ϕ−1 (im(ϕ) ∩ H n \∂H n ) ⊆ M ◦ ergibt
die Stetigkeit von ϕ−1 : im(ϕ) → M mit Satz 6 auch
x ∈ ϕ−1 (im(ϕ) ∩ H n \∂H n ) ⊆ M ◦ .
Dies zeigt ∂M ⊆ M ◦ und damit ist auch M = M ◦ .
(c) Da A eine Teilmenge des Atlas von M ist, besteht A aus Homöomorphismen offener Teilmengen von M auf in H n \∂H n enthaltene offene Teilmengen des Rn , und
diese sind dann auch offen im Halbraum H n , und A erfüllt die Bedingung (PA2) eines Hn,∞ -Präatlas. Wir zeigen das auch (PA1) erfüllt ist. Bezeichne hierzu en den
n-ten Standardbasisvektor des Rn . Sei x ∈ M . Dann existiert eine Karte ϕ von M
mit x ∈ dom(ϕ) und weiter existiert ein > 0 mit B (ϕ(x)) ⊆ im(ϕ). Nach Lemma
20.(a,d) ist auch
ψ : ϕ−1 (B (ϕ(x))) → B (en ); y 7→ ϕ(y) − ϕ(x) + en
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eine Karte von M mit x ∈ dom(ψ) und im(ψ) = B (en ) ⊆ H n \∂H n , d.h. es ist ψ ∈ A.
Damit ist A ein Hn,∞ -Präatlas auf M . Wir behaupten das A sogar ein Hn,∞ -Atlas
auf M ist. Sei also B ein weiterer Hn,∞ -Präatlas auf M mit A ⊆ B. Sei ψ ∈ B. Sei
n,∞
x ∈ dom(ψ) und wähle ϕx ∈ A ⊆ B mit x ∈ dom(ϕx ). Dann ist ψ ◦ ϕ−1
und
x ∈ H
nach Aufgabe (9) ist
ψ(dom(ψ) ∩ dom(ϕx )) = ψ ◦ ϕ−1
x (ϕx (dom(ψ) ∩ dom(ϕx )))
−1
−1
n
n
n
n
= ψ ◦ ϕx (dom(ψ ◦ ϕx ) ∩ (H n \∂H n )) = im(ψ ◦ ϕ−1
x ) ∩ (H \∂H ) ⊆ H \∂H ,
also ψ(x) ∈ H n \∂H n und ψ ◦ ϕ−1
∈ C n,∞ . Damit ist im(ψ) ⊆ H n \∂H n und ψ ist
x
ein Homöomorphismus der offenen Teilmenge dom(ψ) von M auf die offene Teilmenge
im(ψ) des Rn . Weiter ist ψ mit dem Atlas von M verträglich, also ist ψ nach Lemma
20.(c) eine Karte von M und somit ist auch ψ ∈ A. Dies zeigt A = B und somit ist A
ein bezüglich Inklusion maximaler Hn,∞ -Präatlas auf M , also ein Hn,∞ -Atlas. Da das
Bild sämtlicher Karten von (M, A) in H n \∂H n liegt, hat die berandete differenzierbare
Mannigfaltigkeit M einen leeren Rand.
Dass für Rand und Inneres einer berandeten Mannigfaltigkeit dieselben Symbole wie
für den Rand beziehungsweise das Innere einer Teilmenge eines topologischen Raumes
verwendet werden ist üblich und birgt in der Regel keine ernsthafte Verwechslungsgefahr. Nach dem Satz können wir jede differenzierbare Mannigfaltigkeit auch als eine
berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit auffassen so, dass Satze über berandete
Mannigfaltigkeiten auch den unberandeten Fall abdecken. Die im vorigen Abschnitt
genannten Beispiele von C n,∞ - beziehungsweise Hn,∞ -Mannigfaltigkeiten sind auch Beispiele für differenzierbare, beziehungsweise berandete differenzierbare Mannigfaltigkeiten.
1. Ist n ∈ N und U eine offene Teilmenge des Rn , so definiert der Präatlas A = {idU }
auf U die Struktur einer n-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit da
U als Teilmenge des Rn insbesondere hausdorffsch mit abzählbarer Basis ist.
2. Sind n ∈ N mit n ≥ 1 und U eine offene Teilmenge des Halbraums H n , so definiert
der Präatlas A = {idU } auf U die Struktur einer n-dimensionalen berandeten
differenzierbaren Mannigfaltigkeit, wieder da U als Teilmenge des Rn hausdorffsch
mit abzählbarer Basis ist. Der Rand von U ist U ∩∂H n und das Innere ist U \∂H n .
Dabei hat U ∩ ∂H n die Karte idU |U ∩ ∂H n = idU ∩∂H n und U \∂H n die Karte
idU |U \∂H n = idU \∂H n , d.h. Rand und Inneres von U tragen die durch das vorige
Beispiel gegebene differenzierbare Struktur.
3. Sind n ∈ N und M eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit, so ist
jede offene Teilmenge von U wieder eine C n,∞ -Mannigfaltigkeit und als Teilraum
eines Hausdorffraums mit abzählbarer Basis selbst hausdorffsch mit abzählbarer
Basis, d.h. U wird wieder eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit.
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4. Sind n ∈ N mit n ≥ 1 und M eine n-dimensionale, berandete differenzierbare
Mannigfaltigkeit so ist analog zum vorigen Beispiel auch jede offene Teilmenge
von U wieder eine n-dimensionale, berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit.
5. Sind n, d ∈ N mit d ≥ 1 und n ≤ d sowie M ⊆ Rd eine eingebettete, ndimensionale C ∞ -Untermannigfaltigkeit des Rd , so wissen wir schon das der Atlas
von M im Sinne des §1 auf M die Struktur einer C n,∞ -Mannigfaltigkeit definiert
und als Teilraum des Rd ist M wieder hausdorffsch mit abzählbarer Basis, d.h.
M wird eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit.
6. Seien n ∈ N mit n ≥ 1, eine offene Menge U ⊆ Rn und eine C ∞ -Abbildung
f : U → R gegeben. Weiter sei a ∈ R und für jedes x ∈ M := f −1 (a) gelte
f 0 (x) 6= 0. Dann haben wir auf D := {x ∈ U |f (x) ≤ a} bereits die Struktur
einer Hn,∞ -Mannigfaltigkeit definiert und als Teilraum des Rn ist D hausdorffsch
und erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom, d.h. D ist eine n-dimensionale, berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit. und eine C ∞ -Abbildung f : U → R
gegeben. Weiter sei a ∈ R und für jedes x ∈ M := f −1 (a) gelte f 0 (x) 6= 0.
Dann haben wir auf D := {x ∈ U |f (x) ≤ a} bereits die Struktur einer Hn,∞ Mannigfaltigkeit definiert und als Teilraum des Rn ist D hausdorffsch und erfüllt
das zweite Abzählbarkeitsaxiom, d.h. D ist eine n-dimensionale, berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit. Der Rand von D ist M und dies ist auch gleich
dem in U gebildeten topologischen Rand von D. Weiter trägt ∂D = M auch die
Struktur von M als eingebettete Untermannigfaltigkeit. Analog gilt dies alles für
die Beispiele aus Aufgabe (20).
7. Seien K ∈ {R, C}, E ein endlichdimensionaler K-Vektorraum mit n := dim E >
1 und 1 ≤ k < n gegeben. Ist d := (dimR K) · k(n − k), so wissen wir bereits
das die Grassman-Mannigfaltigkeit Gk (E) eine C d,∞ -Mannigfaltigkeit ist. Nach
Lemma 11.(b) erfüllt Gk (E) das zweite Abzählbarkeitsaxiom und nach Satz 13 ist
Gk (E) auch hausdorffsch. Damit ist Gk (E) eine d-dimensionale differenzierbare
Mannigfaltigkeit. Insbesondere sind auch die reellen und komplexen projektiven
Räume differenzierbare Mannigfaltigkeiten.
Als Spezialfall unseres Vererbungslemma über Randmannigfaltigkeiten erhalten wir
auch ein entsprechendes Lemma über Rand und Inneres berandeter differenzierbarer
Mannigfaltigkeiten. Unter einem Diffeomorphismus beziehungsweise lokalen Diffeomorphismus n-dimensionaler differenzierbarer Mannigfaltigkeiten oder berandeter differenzierbarer Mannigfaltigkeiten verstehen wir dabei einen C n,∞ - oder Hn,∞ -Diffeomorphismus beziehungsweise einen lokalen C n,∞ - oder Hn,∞ -Diffeomorphismus.
Lemma 2.27 (Vererberungsverhalten des Randes)
Seien n ∈ N mit n ≥ 1 und M eine n-dimensionale berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit.
(a) Ist U ⊆ M in M offen so ist auch die offene Untermannigfaltigkeit U eine ndimensionale, berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand ∂U = U ∩∂M
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und U ◦ = U ∩ M ◦ als differenzierbare Mannigfaltigkeiten.
(b) Sind N eine weitere n-dimensionale, berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit
und f : M → N ein lokaler Diffeomorphismus so gelten f −1 (∂N ) = ∂M und
f −1 (N ◦ ) = M ◦ . Die Einschränkungen f |∂M : ∂M → ∂N und f |M ◦ → N ◦
sind wieder lokale Diffeomorphismen differenzierbarer Mannigfaltigkeiten. Ist f
surjektiv so sind auch ∂N = f (∂M ) und N ◦ = f (M ◦ ).
Beweis: (a) Die Aussagen über den Rand gelten nach Lemma 25.(a) und damit stimmen auch U ◦ = U ∩ M ◦ als topologische Räume überein. Die Menge U ∩ M ◦ ist offen
in M , ist also x ∈ U ∩ M ◦ so gibt es eine Karte ϕ von M mit x ∈ dom(ϕ) ⊆ U ∩ M ◦ .
Dann ist ϕ eine Karte der differenzierbaren Mannigfaltigkeit M ◦ und damit auch eine
Karte von U ∩ M ◦ und ebenso ist ϕ eine Karte von U , also auch eine Karte der differenzierbaren Mannigfaltigkeit U ◦ . Damit haben U ◦ und U ∩ M ◦ einen gemeinsamen
C n,∞ -Präatlas, sind also dieselben differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.
(b) Die Aussagen über die Ränder von M und N gelten nach Lemma 25.(b). Damit
ist weiter auch
f −1 (N ◦ ) = f −1 (N \∂N ) = M \f −1 (∂N ) = M \∂M = M ◦
und ist f surjektiv, so ist damit auch N ◦ = f (f −1 (N ◦ )) = f (M ◦ ). Es bleibt zu
zeigen das f |M ◦ : M ◦ → N ◦ ein lokaler Diffeomorphismus differenzierbarer Mannigfaltigkeiten ist. Sei x ∈ M ◦ . Dann gibt es Karten ϕ von M mit x ∈ dom(ϕ)
und ψ von N mit f (x) ∈ dom(ψ) so, dass ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ∈ Hn,∞ ist. Nach Lemma
20.(a) sind ϕ0 := ϕ| dom(ϕ) ∩ M ◦ wieder eine Karte von M mit x ∈ dom(ϕ0 ) und
ψ 0 := ψ| dom(ψ) ∩ N ◦ eine Karte von N mit f (x) ∈ dom(ψ 0 ). Damit sind ϕ0 auch eine
Karte von M ◦ und ψ 0 eine Karte von N ◦ und wir haben
ψ 0 ◦ (f |M ◦ ) ◦ ϕ0
−1
= ψ ◦ f ◦ ϕ−1 | dom(ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ) ∩ (H n \∂H n ) ∈ C n,∞ .
Damit ist auch f |M ◦ : M ◦ → N ◦ ein lokaler Diffeomorphismus.
Quotienten modulo einer Gruppenwirkung behandeln wir erst etwas später. Im Gegensatz zum allgemeinen Rahmen kann man auch direkte Produkte zweier differenzierbarer
Mannigfaltigkeiten beziehungsweise einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit mit einer
berandeten differenzierbaren Mannigfaltigkeit bilden, dies wird in Aufgabe (25) durchgeführt. Bevor wir fortfahren wollen wir noch zwei nützliche topologische Eigenschaften
berandeter und unberandeter differenzierbarer Mannigfaltigkeiten festhalten.
Lemma 2.28 (Topologische Grundeigenschaften von Mannigfaltigkeiten)
Seien n ∈ N mit n ≥ 1 und M eine n-dimensionale berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann gelten:
(a) Der topologische Raum M ist lokalkompakt.
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(b) Sind U ⊆ M in M offen und x ∈ U , so existiert eine in M offene, wegzusammenhängende Menge V ⊆ M mit x ∈ V ⊆ U .
(c) Sei U ⊆ M in M offen. Dann ist jede Zusammenhangskomponente von U wegzusammenhängend und offen in M .
Beweis: (a) Zunächt ist M überhaupt ein Hausdorffraum. Sei x ∈ M . Dann existiert eine Karte ϕ von M mit x ∈ dom(ϕ) und da im(ϕ) offen im Halbraum H n
ist, gibt es weiter ein > 0 mit B (ϕ(x)) ∩ H n ⊆ im(ϕ). Nach Lemma 12.(f) ist
C := ϕ−1 (B /2 (ϕ(x)) ∩ H n ) kompakt und da die Menge V := ϕ−1 (B/2 (ϕ(x)) ∩ H n )
offen in M mit x ∈ V ⊆ C ist, ist C auch eine Umgebung von x. Damit hat jeder
Punkt in M eine kompakte Umgebung und M ist lokalkompakt.
(b) Wähle eine Karte ϕ von M mit x ∈ dom(ϕ). Dann ist dom(ϕ) ∩ U offen in
dom(ϕ), also ist ϕ(dom(ϕ) ∩ U ) offen in im(ϕ) und damit auch im Halbraum H n .
Somit existiert ein > 0 mit B (ϕ(x)) ∩ H n ⊆ ϕ(dom(ϕ) ∩ U ). Die Menge V :=
ϕ−1 (B (ϕ(x)) ∩ H n ) ist offen in dom(ϕ), und somit auch in M , mit x ∈ V ⊆ U . Weiter
ist V wegzusammenhängend, denn B (ϕ(x)) ∩ H n ist konvex, sind also y, z ∈ V , so ist
γ : [0, 1] → V ; t 7→ ϕ−1 ((1 − t)ϕ(y) + tϕ(z))
stetig mit γ(0) = y und γ(1) = z.
(c) Für jedes x ∈ U gibt es nach (b) eine in M offene, wegzusammenhängende Menge
Vx ⊆ M mit x ∈ Vx ⊆ U . Sei jetzt C eine Zusammenhangskomponente von U . Ist
x ∈ C, so ist C∪Vx nach Lemma 15.(e,c) wieder zusammenhängend mit C ⊆ C∪Vx ⊆ U
und da C nach Lemma 17 eine maximale zusammenhängende Teilmenge von U ist, ist
C = C ∪ Vx und somit Vx ⊆ C. Damit ist x ein innerer Punkt von C. Insbesondere ist
C in M offen. Für jedes x ∈ C sei weiter
Es gibt eine stetige Abbildung
Cx := y ∈ C .
γ : [0, 1] → C mit γ(0) = x und γ(1) = y
Sei x ∈ C. Da konstante Abbildungen stetig sind, ist x ∈ Cx ⊆ C. Weiter behaupten
wir das Cx in M offen ist. Sei nämlich y ∈ Cx , d.h. es gibt eine stetige Abbildung
γ : [0, 1] → C mit γ(0) = x und γ(1) = y. Sei z ∈ Vy ⊆ C. Da Vy wegzusammenhängend
ist gibt es eine stetige Abbildung β : [0, 1] → Vy ⊆ C mit β(0) = 0 und β(1) = z. Nach
Lemma 7.(g) ist damit auch
(
γ(2t),
0 ≤ t ≤ 21 ,
η : [0, 1] → C; t 7→
β(2t − 1), 21 ≤ t ≤ 1
stetig mit η(0) = x und η(1) = z, d.h. es ist z ∈ Cx . Dies zeigt Vy ⊆ Cx und damit ist
y ein innerer Punkt von Cx . Damit ist Cx tatsächlich offen in C.
Seien nun x, y ∈ C mit Cx ∩ Cy 6= ∅. Wir behaupten das dann Cx = Cy ist. Wähle
hierzu ein z ∈ Cx ∩Cy . Sei a ∈ Cx , d.h. es gibt eine stetige Abbildung α : [0, 1] → C mit
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α(0) = x und α(1) = a. Wegen z ∈ Cx ∩Cy gibt es stetige Abbildungen β, γ : [0, 1] → C
mit β(0) = y, β(1) = z, γ(0) = x und γ(1) = z. Mit Lemma 7.(g) erhalten wir die
stetige Abbildung


0 ≤ t ≤ 31 ,
β(3t),
η : [0, 1] → C; t 7→ γ(2 − 3t), 13 ≤ t ≤ 23 ,


α(3t − 2), 32 ≤ t ≤ 1
mit η(0) = y und η(1) = a, d.h. es ist a ∈ Cy . Dies zeigt Cx ⊆ Cy und analog
folgt Cy ⊆ Cx , d.h. wir haben Cx = Cy . Damit ist Σ := {Cx |x ∈ C} eine Partition
von C in offene Teilmengen und da C zusammenhängend ist, ist |Σ| = 1 und somit
Cx = C für jedes x ∈ C. Sind also x, y ∈ C, so ist y ∈ C = Cx und es gibt eine
stetige Abbildung γ : [0, 1] → C mit γ(0) = x und γ(1) = y. Damit ist C tatsächlich
wegzusammenhängend.
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