Kein Folientitel

Physik A/B1
PHYSIK
B2
SS 2017
SS13
Zeitlich veränderliche Felder: Elektrodynamik
Die Maxwell-Gleichungen im statischen Fall
⇔ Differentialform
Integralform
 
(1)=
∫∫ E ⋅ dA
A
  ρ
⇔ ∇⋅E
∫∫∫ ρ dV =
1
ε 0 V ( A)
 
(2)=
∫∫ B ⋅ dA 0
ε0
 
=
⇔ ∇⋅B 0
Hier fehlt noch
etwas !
A
  
=
⇔ ∇× E 0
 
(3) 
0
=
⋅
E
dr
∫
∂A
(4)
 
 
µ
⋅
=
⋅
B
dr
j
dA
0
∫
∫∫
∂A
A
⇔
 

∇ × B = µ0 j
1
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SS13
Es sollen noch einmal einige Begriffe
wiederholt werden:

r2
Elektrische Spannung:
 
U=
− ∫ E ⋅ dr
Im statischen Fall gelten folgende
Abhängigkeiten:
U

E , Φ el.
I

B, Φ mag.

r1
 
Elektrischer Fluß: Φ el.= ∫∫ E ⋅ dA
A
Elektrischer Strom: =
I
Magnetischer Fluß: Φ mag.
1
µ0
 
∫ B ⋅ dr
 
= ∫∫ B ⋅ dA
A
Weiterhin sind Ladungen q die Quellen
des elektrischen Feldes. Das magnetische
Feld hat keine Quellen. Es wird durch
Ströme erzeugt.
Bei zeitabhängigen Feldern
kommen weitere hinzu:
U

E , Φ el.
I

B, Φ mag.
2
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Das Induktionsgesetz
Versuch 1: Bewegter Magnet in einer Leiterschleife
Leiterschleife
Stabmagnet
Wenn der
magnetische
Fluß durch
eine Leiterschleife
zeitlich
veränderlich
ist, dann
wird eine
Spannung
und somit ein
elektrisches
Feld erzeugt.
3
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SS13
Versuch 2: Bewegte Spule im Erdmagnetfeld
Kompaßnadel
Spule mit
vielen
Windungen
Wieder ist der
magnetische
Fluß durch die
Leiterschleife
(Spule) zeitlich
veränderlich.
Es wird ebenfalls
eine Spannung
und somit ein
elektrisches
Feld erzeugt.
Es kommt also nur
auf die zeitliche
Änderung des
magnetischen
Flusses an.
4
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Magnet
U(t)
Michael Faraday
(1791-1867)
Leiterschleife

B
Faraday entdeckte im Jahre 1831, dass eine elektrische Spannung durch
einen zeitlich veränderlichen magnetischen Fluß erzeugt werden kann.
Dieses Phänomen wird Induktion genannt.
5
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Im statischen Fall wird keine Spannung Ein zeitlich veränderliches
induziert; es ist U = 0. Experimentell
Magnetfeld erzeugt ein elektrisches
findet man:
Wirbelfeld. Da das geschlossene
Wegintegral für dieses Feld nicht
dB
U (t ) ∝
verschwindet, existiert kein Potendt
tial für dieses Wirbelfeld!
Die induzierte Spannung ist also proportional zur zeitlichen Änderung des
Magnetfeldes.
Da
=
U (t )
∫


E (t ) ⋅ dr
Schleife
gilt genauer:

 d 
E (t ) ⋅ dr ∝
B (t )

∫
dt
Schleife
6
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SS13
Durch Verschieben des Leiters wird die
Fläche einer in einem Magnetfeld
angeordneten Leiterschleife verändert.
Die Fläche der Leiterschleife ist:
A = xb
Daher kann man schreiben:
dA
U (t ) ∝
dt

B
U(t)
Der magnetische Fluß für ein Feld
B(t), welches senkrecht durch eine
Fläche A(t) tritt, ist gegeben durch:
A
x
b
v
Φ mag. (t ) =
A(t ) B(t )
Dann ergibt sich das Induktionsgesetz:
Auch durch Veränderung der Fläche der
Leiterschleife, die vom Magnetfeld durchd Φ mag.
d
setzt wird, entsteht eine Spannung. Das
U (t ) =
− ( B (t ) A(t ) ) =
−
Experiment liefert den Zusammenhang:
dt
dt
dx
U (t ) ∝ v =
dt
Das negative Vorzeichen wird im
7
nächsten Abschnitt erklärt.
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Die induzierte Spannung ist proportional zur Änderung des
elektrischen Flusses durch die Leiterschleife.
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Die Lenz‘sche Regel
Wenn durch Induktion in einer Leiterschleife eine Spannung
entsteht, dann fließt wegen dieser Potentialdifferenz ein
Strom. Dieser Strom ist wieder von einem Magnetfeld, dem
induzierten Feld, umgeben. Es soll nun die Richtung
des Stromflusses und des induzierten Feldes

B
genauer betrachtet werden.
Heinrich Friedrich
Emil Lenz
(1804-1865)

v

Binduziert
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Versuch 4: Das Waltenhofen-Pendel
Ein Pendel, an dem ein Leiter schwingt,
wird in einem Magnetfeld stark abgebremst. Der Grund dafür ist das durch
Wirbelströme verursachte Magnetfeld
im Leiter (⇒ „Wirbelstrombremse“).
Adalbert von
Waltenhofen
(1828 - 1914)
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Versuch
5: Fallender Magnet
Ein Magnet und ein unmagnetischer
Gegenstand fallen in einer Metallröhre
zu Boden.
Der Magnet kommt
deutlich später an !!
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SS13
Versuch 6:
Der Thomson‘sche Ring
Nach Einschalten des
Stromes und damit des
Magnetfeldes wird der
Aluminiumring nach oben
geschleudert. Wenn der
Ring unterbrochen ist,
dann passiert nichts.
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Versuch 6:
Der Thomson‘sche Ring
Nach Einschalten des
Stromes und damit des
Magnetfeldes wird der
Aluminiumring nach oben
geschleudert. Wenn der
Ring unterbrochen ist,
dann passiert nichts.
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Experimentell findet man folgendes:
(i) Wenn ein Magnet auf eine
Leiterschleife zu bewegt wird,
dann wird die Leiterschleife
durch das induzierte Magnetfeld abgestoßen.

v

v
(ii) Wenn hingegen die Leiterschleife
vom Magneten weg bewegt wird,
dann entsteht ein anziehendes
induziertes Magnetfeld.
Dies läßt sich allgemein zusammenfassen zu der Lenz‘schen Regel (1834):
„Der Induktionsstrom wirkt immer seiner Ursache entgegen !“
14
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B2 Diebstahlsicherung
Anwendung:
im Kaufhaus (älteres System)
Wegen der Lenz‘schen Regel schwächt das Feld
des in der Diebstahlsicherung induzierten Stroms
das Magnetfeld des Senderkreises.
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Die 3. Maxwell‘sche Gleichung
Wir hatten das Induktionsgesetz
U(t)

B (t )
d Φ mag.
d
U (t ) =
− ( B (t ) A(t ) ) =
−
dt
dt
experimentell begründet, wobei das
negative Vorzeichen der Lenz‘schen
Regel entspricht. Bisher waren wir
von einem Magnetfeld ausgegangen,
dass eine rechteckige Fläche senkrecht
durchsetzt. Dies soll jetzt stark verallgemeinert werden.
Wir betrachten eine beliebige Leiterschleife, die von einem Magnetfeld
durchsetzt wird. Dann ist der magnetische Fluß durch die Leiterschleife:
Φ mag.
 
= ∫∫ B ⋅ dA
A

dA

E (t )

dr
Die elektrische Spannung an den
Enden der Leiterschleife ergibt sich
durch Integration über das elektrische
Feld:


=
U (t )
∫
Schleife
E (t ) ⋅ dr
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Das Induktionsgesetz läßt sich also folgendermaßen
verallgemeinern:
 
 
∂
⋅
=
−
⋅
E
dr
B
dA

∫∂A
∂t ∫∫
A
Michael Faraday
(1791-1867)
Bemerkungen:
• Dies ist das sog. Faraday‘sche Induktionsgesetz. Hierbei handelt es um
die 3. Maxwell‘sche Gleichung in integraler Form.
• Die obige Gleichung bedeutet anschaulich, dass zeitlich veränderliche
magnetische Felder elektrische Wirbelfelder hervorrufen.
• Neben Ladungen können elektrische Felder also von veränderlichen
Magnetfeldern (genauer: magnetischen Flüssen) erzeugt werden.
• Das Wegintegral auf der linken Seite ist entlang der Randkurve ∂A der
Fläche A, durch die das Magnetfeld tritt, zu berechnen.
• Man kann die Induktion mit der Lorentz-Kraft begründen.
• Auf dem Induktionsgesetz basiert die Stromerzeugung mittels Turbinen.
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
Induktionsgesetz

elektrische
Energie
Generator
mechanische
Energie
Die Umkehrung eines
Generators ist ein
Elektromotor. 18
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Jetzt soll die 3. Maxwell-Gleichung Umformen liefert schließlich:

wieder in die differentielle Form

  


∂
B
überführt werden. Mit dem Stokes
∇ × E ⋅dA
=
−
⋅dA


‘schen Integralsatz läßt sich die linke
∂t 
A
A 
Seite umformen zu
Diese Gleichung soll für jede beliebige
 
  
Fläche A gelten. Dies ist nur möglich,
E ⋅ dr
=
∇ × E ⋅dA
wenn beide Integranden übereinstimA
∂A
men, also:
wobei die Randkurve der Fläche A

 
den Integrationsweg auf der linken
∂B
∇× E = −
Seite darstellt.
∫∫ (
∫∫ (
∫
A
  
 
∂
∇ × E ⋅dA = − ∫∫ B ⋅dA
∂t A
)
∫∫
)
Einsetzen ergibt:
∫∫ (
)
∂t
Dies ist die 3. Maxwell‘sche Gleichung, also das Induktionsgesetz, in
differentieller Form.
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Die Selbstinduktion einer Spule
Wir betrachten das Feld einer Spule
der Länge l mit N Windungen, die
von einem zeitabhängigen Strom
I(t) durchflossen wird.
A
l
Das Feld im Inneren der Spule ist:
N
B(t ) = µ0 I (t )
l
Da das Feld zeitlich veränderlich ist,
entsteht eine Induktionsspannung
d Φ mag.
dB(t )
U (t ) =
−
=
− NA
dt
dt
wobei A die Querschnittsfläche der
Spule ist.
Differenzieren der Gleichung oben
ergibt:

B(t )
I(t)
U(t)
dB µ0 N dI (t )
=
dt
l
dt
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SS13
Einsetzen in das Induktionsgesetz
liefert:
U (t ) = −
Die Größe
L=
µ0 AN 2 dI (t )
l
dt
µ0 AN 2
l
ist die Selbstinduktion oder Induktivität der Spule. Sie hängt nur von
geometrischen Eigenschaften wie
der Querschnittsfläche, der Länge
und der Windungszahl ab.
Die Einheit der Selbstinduktion ist:
Vs m 2
Vs
=
[ L] 1 = 1= 1H (Henry)
Am m
A
Beispiel:
Eine Spule habe die Länge l = 10 cm
und den Durchmesser D = 5 cm. Sie
hat N = 50 Windungen. Wie groß ist
die Induktivität L ?
Die Querschnittsfläche A ist dann:
2
D
2
−3
=
⋅
A π=
1.963
10
m

2
Mit µ0 = 4π⋅10-7 Vs/Am ergibt sich
dann:
µ0 AN 2
L=
l
=6.17 ⋅10−5 H =61.7μH
1 Henry ist also eine recht
große Einheit.
Joseph Henry
(1766-1844)
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I(t)
U(t)
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Ein
zeitlich variabler Strom I(t) durch die Spule bewirkt
zwischen den Spulenanschlüssen eine Spannung:
dI
U (t ) = − L
dt
t
t
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SS13
Der Begriff der Selbstinduktion läßt sich auch auf eine beliebige
Leiterschleife verallgemeinern.
Durch jeden Stromkreis
greift ein Magnetfluß,
der von seinem eigenen
Magnetfeld herrührt. Da
das Magnetfeld proportional zum Strom I(t) ist
gilt:


B(t )
U (t )

dA

Φ mag.
= ∫∫ B (t ) ⋅ dA
I (t )
= L I (t )
Hierbei ist L die Selbstinduktion der
Leiterschleife, die nur von ihrer geometrischen Beschaffenheit abhängt.
Es ergibt sich also wieder:
dI (t )
U (t ) = − L
dt
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Der RL-Kreis: Ein- und Ausschaltverhalten
Wir betrachten einen Stromkreis
bestehend aus einer Gleichspannungsquelle U0, einem Widerstand
R und einer Induktivität L.
(i) Einschaltverhalten:
Die „Maschenregel“ liefert:
U=
U0 + UL
R
dI
UR = R I UL = −L
dt
dI
⇒ R I =U 0 − L
dt
U0
dI (t ) R
⇒
+ I (t ) =
dt
L
L
R
UR
I
U0
L
UL
Dies ist eine lineare, inhomogene DGL
1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
Als Anfangsbedingung soll speziell
I(0) = 0 gewählt werden.
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SS13
Die Lösung der homogenen Gleichung
lautet:
 R 
=
I h (t ) A exp  − t 
 L 
Eine partikuläre Lösung Ip(t) ergibt
sich leicht aus der Bedingung:
U0
lim I P (=
t ) = const.
t →∞
R
Damit gilt für die Gesamtlösung:
=
I (t ) I p (t ) + I h (t )
U0
 R 
I (t ) = + A exp  − t 
R
 L 
U0
I (0) =
+ A= 0
R
U0
⇒ A=
−
R
Damit ergibt sich das gesuchte Einschaltverhalten des Stromes in einem
Stromkreis mit einer Induktivität:
U0
I (t ) =
R

 R 
1 − exp  − L t  



Der Strom baut sich erst nach einer
Zeit τ = L/R auf.
Beispiel: L = 1 mH und R = 1 kΩ
Die Konstante A ist mit der Anfangs10−3 H
Vs
−6
=
τ = 10 = 1μs
bedingung I(t) = 0 für t = 0 fest1000 Ω
A V/A
gelegt:
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Einschaltkurve des Stromes bei einer Induktivität
I(t)
U0
R
U0
I (t ) =
R

 R 
1 − exp  − L t  



t
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(ii) Ausschaltverhalten:
Jetzt ergibt die „Maschenregel“:
I
U R= 0 + U L
dI
UR = R I UL = −L
dt
dI
⇒ RI =
−L
dt
dI (t ) R
⇒
+ I (t ) =
0
dt
L
Dies ist eine lineare, homogene
DGL 1. Ordnung mit konstanten
Koeffizienten. Als Anfangsbedingung soll jetzt speziell I(0) = I0
gewählt werden.
U0
R
L
UR
UL
Als Lösung ergibt sich sofort:
 R 
=
I (t ) I 0 exp  − t 
 L 
Der Strom klingt mit der Zeitkonstanten
τ = L/R ab.
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Ausschaltkurve des Stromes bei einer Induktivität
I(t)
I0
 R 
=
I (t ) I 0 exp  − t 
 L 
I0
e
L
τ =
R
t
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Zusammenfassung der Maxwell-Gleichungen
⇔ Differentialform
  1
  ρ
(1)
ρ
E
dA
dV
E
=
⋅
=
⇔
∇
⋅
∫∫
∫∫∫
Integralform
O
ε 0 V (O )
 
(2)
=
∫∫ B ⋅ dA 0
O
(3)
 
∫ E ⋅ dr =
∂A
(4)
 
∫ B ⋅ dr=
∂A
 
VORSICHT:
=
⇔ ∇⋅B
Hier fehlt
noch etwas!
ε0
0

 
∂  
∂B
− ∫∫ B ⋅ dA ⇔ ∇ × E = −
∂t A
∂t
 

 
µ0 ∫∫ j ⋅ dA + ? ⇔ ∇ × B = µ0 j + ?
A
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I(t)
Der Verschiebungsstrom
Jetzt muß noch eine Korrektur vorgenommen werden, um Widersprüche bei
unterbrochenen Strömen zu vermeiden.
Wir hatten das Ampère‘sche Gesetz
in Abschnitt 4.4 kennengelernt:
∂A
A
U(t)
 
⇒
µ0 I
∫ B ⋅ dr =
 
 
= µ0 I
∫ B ⋅ dr= µ0 ∫∫ j ⋅ dA
∂A
B(t)
∂A
A
Dabei bezeichnet ∂A die Randkurve
der Fläche A, durch die der Strom I
fließt. Es ist zu beachten, dass eine
beliebige Fläche gewählt werden
darf !
Es wird nun der folgende einfache
Stromkreis betrachtet, bei dem ein
Kondensator aufgeladen wird:
I(t)
∂A
B(t)
A
U(t)
 
⇒
0
∫ B ⋅ dr =
∂A
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SS13
Es kommt zu Mehrdeutigkeiten des
 
Ausdruckes
∫ B ⋅ dr
∂A
Die Teilfläche dA der Kondensatorplatte hat die Kapazität:
dA
dC = ε 0
d
falls der Stromfluß unterbrochen ist.
Um diese Mehrdeutigkeit zu beheben, Die Ladung dq auf der Fläche dA ist
dann:
muß der Begriff des Stromes so verallgemeinert werden, dass durch jede
=
= dC Ed
dq UdC
Fläche immer der gleiche Strom fließt.
Damit dieser verallgemeinerte Strom Zusammengefaßt ergibt das:
 
bestimmt werden kann, muß der KondA
dq ε 0
E=
d ε 0 E dA
=
= ε 0 E ⋅ dA
densator genauer betrachtet werden:
d
d


E dA
Die Gesamtladung auf der Platte ist
somit:
 
=
q ε 0 ∫∫ E ⋅ dA
A
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I(t)
Ableiten nach der Zeit ergibt:
dq
dt
 
d
ε 0 ∫∫ E ⋅ dA
dt A
Auf der linken Seite steht eine
Zeitableitung der Ladung, also
ein Strom. Er wird durch die
zeitliche Änderung des elektrischen Flusses durch die Fläche
A verursacht. Dieser Strom ist
der sogenannte „Verschiebungsstrom“ IV:
IV
B(t)
 
d
ε 0 ∫∫ E ⋅ dA
dt A
Auch dieser Verschiebungsstrom
erzeugt nach dem Ampère‘schen
Gesetz ein Magnetfeld, also:
U(t)
E(t)
B(t)
 
B
⋅
dr
=
µ
(
I
+
I
)
0
V
∫
∂A
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Diese Überlegungen gelten ganz allgemein wie eine Betrachtung der
1. Maxwell-Gleichung zeigt:
q
=
ε0
Wenn nun das Ampère‘sche Gesetz
so interpretiert wird, dass auf der
rechten Seite alle Ströme stehen
sollen, dann ergibt sich zwangsläufig:
 
∫∫ E ⋅ dA
 
∫ B ⋅ dr= µ0 I ges= µ0 ( I + I V )
A
Die Ableitung beider Seiten nach der
Zeit ergibt:
 
dq
d
= I=
ε 0 ∫∫ E ⋅ dA
V
dt
dt A
∂A
 
 
∂
= µ0 ∫∫ j ⋅ dA + µ0ε 0 ∫∫ E ⋅ dA
∂t A
A
Die Interpretation dieser Gleichung
ist, dass eine zeitliche Ableitung des
elektrischen Flusses einem Stromfluß
äquivalent ist. Dies gilt ganz allgemein
für zeitlich veränderliche elektrische
Felder.
Es ist zu beachten, dass im Spezialfall
j = 0, also insbesondere auch im Vakuum, trotzdem ein magnetisches Feld
durch ein veränderliches elektrisches
Feld erzeugt werden kann!
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SS13
Versuch1: Magnetfeld eines Verschiebungsstromes
Kondensator
HF-Voltmeter
Der Kondensator wird durch hochfrequenten Wechselstrom geladen.
induzierte
Spannung
Toroidspule zur Vermessung
der kreisförmigen Magnetfelder
Meßanordnung
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James Clerk Maxwell
(1831-1879)
Díe 4. Maxwell‘sche Gleichung
Wir haben also die folgende Gleichung abgeleitet:
 
 
 
∂
⋅
=
⋅
+
⋅
B
dr
j
dA
E
dA
µ
µ
ε
0
0
0
∫∂A

∫∫A
∫∫
∂t A
Bemerkungen:
• Dies ist die vollständige 4. Maxwell‘sche Gleichung in integraler Form.
• Die obige Gleichung bedeutet anschaulich, dass (stationäre) Ströme oder
zeitlich veränderliche elektrische Felder magnetische Felder hervorrufen.
• Es ist zu beachten, dass das Wegintegral in der obigen Gleichung entlang
jeder beliebig geformten geschlossenen Kurve ∂A, die den Strom I und das
elektrische Feld E umschließt, berechnet werden darf.
• Man beachte die Analogie zur 3. Maxwell‘schen-Gleichung.
36
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SS13
Es soll nun wieder diese Gleichung in die differentielle Form überführt
werden. Die linke Seite der 4. Maxwell‘schen Gleichung läßt sich mit
dem Satz von Stokes umformen zu
 
∫ B ⋅ dr=
∂A
∫∫ (
  
∇ × B ⋅dA
)
A
wobei die Randkurve der Fläche A, den Integrationsweg auf der linken Seite
darstellt. Einsetzen ergibt:
∫∫ (
A

 
 
 
∂
∇× B =
⋅ dA µ0 ∫∫ j ⋅ dA + µ0ε 0 ∫∫ E ⋅ dA
∂t A
A
)
Da dies für jede Fläche A gelten soll, müssen die Integranden bereits die
Gleichung erfüllen, also:

 

∂E
∇ ×=
B µ 0 j + µ 0ε 0
∂t
Dies ist die 4. Maxwell‘sche
Gleichung in differentieller Form.
37
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SS13
4.7.4 Zusammenfassende Darstellung aller Maxwell-Gleichungen
(1)
∫∫
  1
E ⋅ dA =
∫∫∫ ρ dV
∫∫
 
0
B ⋅ dA =
O
(2)
ε0
V (O )
O
(3)
(4)
 
 
∂
− ∫∫ B ⋅ dA
∫∂A E ⋅ dr =

∂t A
 
 
 
∂
B
dr
µ
j
dA
µ
ε
E
dA
⋅
=
⋅
+
⋅
0
0
0
∫∂A
∫∫A
∫∫

∂t A
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Physik A/B1
PHYSIK
B2
SS 2017
SS13
Differentielle Form der Maxwell-Gleichungen
  ρ
(1) ∇ ⋅ E =
ε0
 
(2) ∇ ⋅ B = 0

 
∂B
(3) ∇ × E = −
∂t

 

∂E 

(4) ∇ × B = µ 0  j + ε 0

∂
t


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wenn sie
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