Grimmer Statistik im Versicherungs- und Finanzwe- sen

Springer Gabler PLUS
Zusatzinformationen zu Medien
von Springer Gabler
Grimmer
Statistik im Versicherungs- und Finanzwesen
Eine anwendungsorientierte Einführung
2014 | 1. Auflage
Lösungsskizzen der Übungsaufgaben zu Kapitel 6
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Aufgaben zu Abschnitt 6.3:
Aufgabe 6.3.1:
a) Da es nur um die Auswahl verschiedener Zahlen geht, spielt die Reihenfolge der gezogenen Zahlen keine Rolle, so
dass man genau „49 über 6“ Möglichkeiten hat, aus der Lottotrommel 6 verschiedene Zahlen auszuwählen, also
49
6
49!
43! 6!
49 48 47 46 45 44
1 2 3 4 5 6
13.983 .816 Möglichkeiten.
b) Analog ergeben sich hier
38
7
38!
31! 7!
38 37 36 35 34 33 32
1 2 3 4 5 6 7
12.620 .256 Möglichkeiten.
c) Jede Zahlensequenz eines Zahlenlottos ist gleich wahrscheinlich. Hinsichtlich der verschiedenen Ziehungsmöglichkeiten liegt also ein Laplace-Modell vor. Beim Zahlenlotto liegt ein Volltreffer vor, wenn eine auf dem Tippschein angekreuzte Sequenz mit der folgenden Ziehung übereinstimmt. Die Wahrscheinlichkeit hierfür entspricht dem Kehrwert der Gesamtzahl der Sequenzen, die gezogen werden können. Also bietet das Zahlenlotto „7 aus 38“ die höhere Chance auf
einen Volltreffer.
Aufgabe 6.3.2:
a) Durch Probieren kann man Lösungen bestimmen, weiß allerdings nicht, ob man dadurch alle möglichen Lösungen
gefunden hat. Die eindeutige Lösung kann aber berechnet werden:
k
2
k!
(k 2)! 2!
k (k 1)
1 2
1 2
(k k )
2
k 2 k 56
28
0
Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind
k1 / 2
1
2
1
56
4
0,5 7,5 .
Die positive Lösung k = 8 ist die gesuchte eindeutige Lösung.
b)
126
k
4
k!
(k 4)! 4!
k (k 1) (k 2) (k 3)
1 2 3 4
k (k 1) (k 2) k 3
1 2 3
4
k
3
k 3
4
84
k 3
,
4
also 126 = 21 · (k – 3), d. h. k = 9. Auch diese Lösung ist eindeutig.
Aufgabe 6.3.3:
Wir bestimmen für k = 0, 1, 2, ..., 9, 10 die Wahrscheinlichkeitsfunktion
X ~ f B ( k | n; p)
f B (k | 10; 0,4)
10
k
0,4k 0,610 k
und die Verteilungsfunktion
P(X
x)
FB ( x | n; p)
10
FB ( x | 10; 0,4)
k x
k
0,4k 0,610 k
gemäß nachstehender Tabelle:
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P(X = k)
P(X ≤ k)
0
0,0060
0,0060
1
0,0403
0,0464
2
0,1209
0,1673
3
0,2150
0,3823
4
0,2508
0,6331
5
0,2007
0,8338
6
0,1115
0,9452
7
0,0425
0,9877
8
0,0106
0,9983
9
0,0016
0,9999
10
0,0001
1,0000
X=k
E(X)
n p 10 0,4
4; Var (X)
n p q 10 0,4 0,6
2,4; σ(X)
Var (X)
2,4
1,549
Aufgabe 6.3.4:
a) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kann nicht mit Hilfe der Binomialverteilung berechnet werden, da es mehr als zwei
disjunkte Ergebnisse des Zufallsexperiments gibt. Es gibt jedoch eine Verallgemeinerung der Binomialverteilung auf Zufallsexperimente mit mehr als zwei möglichen Ergebnissen, die sogenannte Multinomialverteilung.
b) In diesem Fall ist die Binomialverteilung anwendbar, da man die beiden Ergebnisse „durchschnittlich“ und „unterdurchschnittlich“ zum Ereignis „nicht überdurchschnittlich“ mit Wahrscheinlichkeit 0,35 + 0,25 = 0,6 zusammengefasst hat. Die
gesuchte Wahrscheinlichkeit entspricht der in der vorigen Aufgabe für den Fall k = 4 berechneten.
Generell kann man ein Zufallsexperiment, das beliebige unabhängige Wiederholungen zulässt und eine disjunkte Ergebnismenge A1, A2, ..., AN besitzt, deren Ergebnisse mit Wahrscheinlichkeiten p 1, p2, ..., pN eintreten (p1 + p2 + ... + pN =
1), indem man einzelne Ereignisse zu einem Ereignis („Erfolg“), die verbleibenden Ergebnisse zum Komplementärereignis („Misserfolg“) zusammenfasst, denen jeweils die Summenwahrscheinlichkeit zugeordnet ist.
So kann man beispielsweise beim fairen Würfel das Erfolgsereignis „6“ mit Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6 und das
Misserfolgsereignis „keine 6“ zur Komplementärwahrscheinlichkeit q = 5/6 definieren, das sich aus den übrigen möglichen Wurfergebnissen „1“, „2“, „3“, „4“ und „5“ zusammensetzt.
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Aufgabe 6.3.5:
Wir definieren eine diskrete Zufallsvariable X, die die Anzahl der Erfolge beim genannten Bernoulli-Experiment angibt.
Für beide Teilaufgaben ist die Binomialverteilung anwendbar, mit Parametern n = 20 und p = 0,9.
a) Gesucht ist P(X ≤ 3), die aus den Einzelwahrscheinlichkeiten P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) berechnet
werden muss. Man berechnet also
3
3 20
f B ( k | n; p)
0,9k 0,120 k 8,466 10 15 0 .
k
k 0
k 0
Die Wahrscheinlichkeiten sind also vernachlässigbar, so dass ein tatsächlich beobachtetes Ergebnis von höchstens 3
Erfolgen sehr überraschend wäre.
b) Gesucht ist P(X ≥ 18), die aus den Einzelwahrscheinlichkeiten P(X =18) + P(X = 19) + P(X = 20) berechnet werden
muss. Man berechnet also
20
20 20
f B ( k | n ; p)
0,9k 0,120 k 0,2852 0,2702 0,1216 0,6769 .
k 18
k 18 k
Eine Mindestzahl von 18 Erfolgen ist also ein erwartbares Resultat und könnte nicht überraschen.
Aufgabe 6.3.6:
Man kann die sinnvolle Annahme treffen, dass die Wahrscheinlichkeit für die Inanspruchnahme eines Skontos für alle
Rechnungen dieselbe ist und bei einer Rechnung nicht von anderen Rechnungsvorgängen abhängt (warum?). Die Zufallsvariable X, die unter sämtlichen neun Rechnungen diejenigen mit Skonto abzählt, beschreibt also einen BernoulliVorgang mit Parametern n = 9 und p = 0,25. Somit wird
P( X
9
k)
0,25k 0,759 k .
k
a)
P( X
0)
b)
P(X
9)
9
0
9
9
0,250 0,759
0,759
0,0751
0,259 0,750
0,259
3,8 10 6
c) P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,0751 + 0,2253 + 0,3003 + 0,2336 = 0,8343
d) Hier verwendet man sinnvoll die Komplementärwahrscheinlichkeit:
P(X ≥ 2) = 1 – P(X < 2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1)] = 1 – [0,0751 + 0,2253] = 0,3004
Aufgabe 6.3.7:
a) P(X
k)
f B ( k | n; p)
n
k
n (n 1)  (n k
(k 1)  2 1
f B ( k 1 | n; p)
pk q n k
n (n 1)  (n k 1) k n k
p q
k (k 1)  2 1
2) n k 1
k
( p k 1 p)
qn k 1
q
n
n k 1 p
p k 1 q n ( k 1)
k 1
k
q
n k 1 p
k
q
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b) Die mit den Parametern n = 15 und p = 0,3 binomialverteilte Zufallsvariable X zähle die Anzahl der
Fahrzeuge, die einen Blechschaden erleiden. Unter Anwendung der Rekursion aus Teil a) füllt sich die Tabelle
der Gesamtwahrscheinlichkeiten wie folgt:
k
P(X = k)
0 = q15 = 0,715 = 0,00474756
in %
0,47
0,3
= 0,03052004
1 = P(X = 0) 15
1 0,7
3,05
14 0,3
= 0,09156011
2 = P(X = 1)
9,16
2
3
4
0,7
0,3
= P(X = 2) 13
= 0,17004021
3 0,7
0,3
= P(X = 3) 12
= 0,21862313
4 0,7
17,00
21,86
0,3
= 0,20613038
5 = P(X = 4) 11
5 0,7
20,61
0,3
= 0,14723599
6 = P(X = 7) 10
6 0,7
14,72
0,3
7 = P(X = 6) 97 0,7 = 0,08113003
8,11
0,3
8 = P(X = 7) 88 0,7 = 0,03477001
3,48
0,3
9 = P(X = 8) 79 0,7 = 0,01159000
1,16
6 0,3 = 0,00298029
10 = P(X = 9) 10
0,7
0,30
5 0,3 = 0,00058058
11 = P(X = 10) 11
0,7
0,05
4 0,3 = 0,00008294
12 = P(X = 11) 12
0,7
0
3 0,3 = 0,00000820
13 = P(X = 12) 13
0,7
0
2 0,3 = 0,00000050
14 = P(X = 13) 14
0,7
0
1 0,3 = 0,00000001
15 = P(X = 14) 15
0,7
0
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Aufgabe 6.3.8:
a) Die Zufallsvariable X gebe die Anzahl der Bürger mit einem Aktiendepot in der Stichprobe an. Die Binomialverteilung
zu den Parametern n = 10 und p = 0,7 beschreibt den Vorgang:
10
0,78 0,32
P( X
7)
P(X
7) 1 P(X
8
7)
10
9
0,79 0,3
10
10
0,710
0,233 0,121 0,028
0,382 ;
0,618
b) Die Zufallsvariable X zählt die Todesfälle unter den 50-Jährigen des Versicherungsbestandes. X ist binomialverteilt
mit den Parametern n = 8.735 und p = 0,002:
P(X
k)
f B (k | 8.735; 0,002 )
8.735
0,002 k 0,998 n k
k
P(X = 15) = fB(15 | 8.735; 0,002) = 0,0853
P(X = 16) = fB(16 | 8.735; 0,002) = 0,0932
P(X = 17) = fB(17 | 8.735; 0,002) = 0,0958
P(X = 18) = fB(18 | 8.735; 0,002) = 0,0930
P(X = 19) = fB(19 | 8.735; 0,002) = 0,0855
P(X = 20) = fB(20 | 8.735; 0,002) = 0,0746
Offensichtlich verändern sich die Wahrscheinlichkeiten in der Nähe des Erwartungswerts E(X) = n · p = 17,47 nur moderat, der Gipfel der Verteilung verläuft also recht flach. Ein Maß dafür ist die Standardabweichung σ(X)
Diese nimmt bei konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit p mit
npq
4,18 .
n zu.
Aufgabe 6.3.9:
n
n
k
k 1
n (n 1) (n 2) ... (n k 1)
k (k 1) (k 2) ... 3 2 1
n (n 1) (n 2) ... (n k 1)
k (k 1) (k 2) ... 3 2 1
n (n 1) (n 2) ... (n [k 1] 1)
(k 1) k (k 1) (k 2) ... 3 2 1
n (n 1) (n 2) ... (n k )
(k 1) k (k 1) (k 2) ... 3 2 1
n (n 1) (n 2) ... (n k 1) (k 1)
(k 1) k (k 1) (k 2) ... 3 2 1
n (n 1) (n 2) ... (n k )
(k 1) k (k 1) (k 2) ... 3 2 1
[n (n 1) ... (n k 1) (k 1)] [n (n 1) ... (n k 1) (n k )]
(k 1) k (k 1) (k 2) ... 3 2 1
| 2. Bruch vereinfacht
| Hauptnenner gebildet
| zusammengefasst
n (n 1) ... (n k 1) [( k 1) (n k )]
(k 1) k (k 1) (k 2) ... 3 2 1
| Distributivgesetz
n (n 1) ... (n k 1) [n 1]
(k 1) k (k 1) (k 2) ... 3 2 1
| zusammengefasst
(n 1) n (n 1) ... ([ n 1] [k 1] 1)
(k 1) k (k 1) (k 2) ... 3 2 1
| (n – k + 1) anders geschrieben
n 1
k 1
| Aha!
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Aufgaben zu Abschnitt 6.4:
Aufgabe 6.4.1:
Jede Person kann höchstens einmal befragt werden, so dass für die zufallsabhängige Anzahl X der mit Samstagsarbeit
einverstandenen Mitarbeiter in der befragten Stichprobe die hypergeometrische Verteilung anwendbar ist mit N = 30 (alle
Mitarbeiter), M = 5 (mit Samstagsarbeit einverstandene Mitarbeiter), n = 5 (befragte Mitarbeiter).
a) P( X
0)
5
25
0
5
30
25 24 23 22 21
30 29 28 27 26
0,3728
5
b) P( X
5
25
5
25
5
25
3
2
4
1
5
0
3)
30
30
30
5
5
5
0,0211 0,0009
0,000001
0,022
Aufgabe 6.4.2:
a) Die diskrete Zufallsvariable X der Anzahl roter Kugeln in der Auswahl von 8 der 20 Kugeln kann nur die Werte 0, 1, 2
oder 3 annehmen:
P(X
k)
3
17
k
8 k
20
8
Die konkreten Werte belaufen sich auf:
k
P(X = k)
0
1
2
3
0,1930
0,4632
0,2947
0,0491
b) X kann jetzt die ganzen Zahlen zwischen 0 und 12 annehmen:
P(X
k)
12
18
k
15 k
30
15
Die konkreten Werte belaufen sich auf:
k
P(X = k)
k
P(X = k)
k
P(X = k)
0
0,00002
5
0,2648
9
0,0130
1
0,0007
6
0,2780
10
0,0014
2
0,0084
7
0,1733
11
0,00007
3
0,0481
8
0,0632
12
0,00001
4
0,1490
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Abbildungen:
Aufgabe 6.4.3:
Die Zufallsvariable X zählt die gezogenen roten Kugeln, so dass 0 ≤ X ≤ min(n, M). Die Obergrenze ist hier nicht einfach
n, da die Anzahl natürlich nicht größer werden kann, als überhaupt rote Kugeln zur Auswahl stehen.
Die Lösungsdiagramme zeigen den Verlauf des Fehlerbetrags als Stabdiagramm (linke Skala) und die exakten
Auswahlwahrscheinlichkeiten lt. hypergeometrischer Verteilung als dünne Linie (rechte Skala). Interessant ist jeweils der
Bereich zwischen etwa 2,5 Standardabweichungen unterhalb und oberhalb des Erwartungswerts, der immer am
höchsten Punkt der Wahrscheinlichkeitskurve liegt. Denn dieser Bereich umfasst über 99% der
Wahrscheinlichkeitsmasse; so dass es sehr unwahrscheinlich ist dass X Werte außerhalb dieses Bereichs annimmt.
E(X) = 20; 2,5σ(X) = 9,5
E(X) = 10; 2,5σ(X) = 6,9
E(X) = 4; 2,5σ(X) = 4,4
E(X) = 10; 2,5σ(X) = 7,1
E(X) = 5; 2,5σ(X) = 5,2
E(X) = 4; 2,5σ(X) = 4,4
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E(X) = 5; 2,5σ(X) = 5,2
E(X) = 2,5; 2,5σ(X) = 3,8
E(X) = 1; 2,5σ(X) = 2,4
Die Fehlergröße nimmt generell in den Randbereichen der Verteilung zu, weil dort die Absolutwerte der Wahrscheinlichkeiten sehr klein werden, ein gleich hoher absoluter Approximationsfehler wie im Zentralbereich also zu einem größeren
relativen Fehler führt. Es ist schön zu sehen, dass die Fehlergrößen im zentralen Bereich mit dem Auswahlsatz abnehmen. Zudem fällt auf, dass sich die Fehlergröße bei kleiner werdendem Anteil M/N roter Kugeln nur moderat vergrößert.
Der Auswahlsatz ist also die deutlich gewichtigere Bedingung, so dass in der Praxis oft auch nur er als Approximationsbedingung Anwendung findet: n < 0,05·N.
Aufgabe 6.4.4:
Variante a) steht für das hypergeometrische, Variante b) für das Binomialverteilungsmodell. Bei kleiner Stichprobe („klein“
im Verhältnis zur Grundgesamtheit, n < 0,05 · N) kann Variante a) näherungsweise wie Variante b) behandelt werden:
Nehmen wir für die Grundgesamtheit N = 10.000 Personen an, von denen 3.000 der Aussage zustimmen. Dies bedeutet
einen Anteil p = M/N = 0,3. Bei Auswahl einer Person sind folgende Fälle möglich:
Wenn die Person der Aussage zustimmt, ändert sich der Anteil der Zustimmer auf 2.999/9.999 = 0,29993, der
Anteil der Nichtzustimmer auf 7.000/9.999 = 0,70007.
Wenn die Person der Aussage nicht zustimmt, ändert sich der Anteil der Zustimmer auf 3.000/9.999 = 0,30003,
der Anteil der Nichtzustimmer auf 6.999/9.999 = 0,69997.
In beiden Fällen bleiben also die Wahrscheinlichkeiten nahezu unverändert. Erst bei größeren Auswahlsätzen kann sich
eine spürbare Verschiebung der Mengenverhältnisse ergeben. Variante b) wird deshalb auch als unendliche Grundgesamtheit bezeichnet, weil die Wahrscheinlichkeiten sich unabhängig vom Auswahlsatz nicht ändern können. Da man
Stichprobenverfahren normalerweise zum Zweck der Aufwandsreduktion bzw. zur Vermeidung von Vollerhebungen
durchgeführt werden, ist in der Praxis die kleine Stichprobe die Regel, so dass man die Wahrscheinlichkeit, bei zufälliger
Auswahl mit Wahrscheinlichkeit p = M/N eine Person zu erwischen, die der Aussage zustimmt, als konstant annehmen
kann.
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Aufgaben zu Abschnitt 6.5:
Aufgabe 6.5.1:
Die Zufallsvariable X zählt die mediationswilligen Kunden eines Tages. Der Erwartungswert λ = 2 ist vorgegeben. Damit
wird
λ0 λ
a) P(X 0)
e
e 2 0,135 und
b)
P(X 1)
0!
21 2
e
1!
2 e 2
0,271 P(X
2)
P( X
2) 1 P(X
2)
0,323 .
Aufgabe 6.5.2:
X misst die Zahl schwerer Erdbeben in einem Jahrhundert. Pro Jahrhundert ist mit 0,75 Erdbeben zu rechnen und folglich
0,750 0,75
P(X 0)
e
0,472; P(X 1) 0,354; P(X 2) 0,133 .
0!
Aufgabe 6.5.3:
Für einzelne Werte k der binomialverteilten Zufallsvariable X werden die exakt berechnete Wahrscheinlichkeit und der
Prozentbetrag des relativen Fehlers zur Poisson-Approximation angegeben. Neben dem Erwartungswert werden k1 und
k2 betrachtet, so dass P(k1 ≤ X ≤ k2) ≈ 0,95.
In der Nähe des Erwartungswerts unterschreitet der relative Fehler ab ca. p < 0,1 die Größenordnung von 5%, in den
Randbereichen für p < 0,05. Der Einfluss der Wiederholungszahl n erscheint dagegen geringer.
n = 10
p = 0,2
λ=2
n = 10
p = 0,1
λ=1
n = 10
p = 0,05
λ = 0,5
k
P(X = k)
e [%]
k
P(X = k)
e [%]
k
P(X = k)
e [%]
0
0,107
26,0
0
0,349
5,5
0
0,599
1,3
2
0,302
-10,4
1
0,387
-5,0
1
0,315
-3,8
4
0,088
2,4
3
0,057
6,8
2
0,075
1,6
n = 30
p = 0,2
λ=6
n = 30
p = 0,1
λ=3
n = 30
p = 0,05
λ = 1,5
K
P(X = k)
e [%]
k
P(X = k)
e [%]
k
P(X = k)
e [%]
2
0,034
60,2
1
0,141
5,7
0
0,215
4,0
6
0,179
-10,5
3
0,236
-5,1
1
0,339
-1,2
10
0,035
16,4
6
0,047
6,4
2
0,259
-2,9
4
0,045
4,3
n = 100
p = 0,2
λ = 20
n = 100
p = 0,1
λ = 10
n = 100
p = 0,05
λ=5
k
P(X = k)
e [%]
k
P(X = k)
e [%]
k
P(X = k)
e [%]
13
0,022
25,6
5
0,034
11,7
2
0,081
3,7
20
0,099
-10,5
10
0,132
-5,1
5
0,180
-2,5
27
0,022
17,2
15
0,033
6,2
9
0,035
3,9
n = 500
p = 0,2
λ = 100
n = 500
p = 0,1
λ = 50
n = 500
p = 0,05
λ = 25
k
P(X = k)
e [%]
k
P(X = k)
e [%]
k
P(X = k)
e [%]
83
0,007
30,4
38
0,012
12,6
16
0,014
7,1
100
0,045
-10,6
50
0,059
-5,1
25
0,082
-2,5
117
0,007
26,3
62
0,012
10,0
34
0,015
5,2
Springer Gabler | Wiesbaden 2014
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© Grimmer | Statistik im Versicherungs- und Finanzwesen,1. Auflage 2014
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Aufgabe 6.5.4:
k
Der von k abhängige Teil der Poisson-Formel lautet λ /k!. Während für steigende k der Zähler stets um denselben
Faktor λ zunimmt, wächst der Nenner immer stärker mit steigendem k. Für k < λ wächst demnach der Zähler schneller, für k > λ hingegen der Nenner, so dass die Wahrscheinlichkeiten zunächst mit k anwachsen, bei k ≈ λ den größten Wert annehmen und für k > λ wieder sinken. Offenbar gilt nur für ganzzahlige λ und k = λ:
λλ
λ λλ 1
λλ 1
λ
λ
λ
P( X
λ)
λ!
e
λ (λ 1)!
e
(λ 1)!
e
P( X
λ 1)
Aufgabe 6.5.5:
a) P(X
k)
λk
e λ
k!
λ λk 1
e λ
k (k 1)!
λ
P(X
k
k 1)
b) Es handelt sich um ein Bernoulli-Experiment, das in der 8.735-maligen Entscheidung für einen Todesfall (p = 0,002)
oder Erlebensfall (q = 1 – p = 0,998) besteht. Die Zufallsvariable X zähle die Todesfälle eines Jahres. Mit Hilfe der Binomialverteilung können die Wahrscheinlichkeiten modell-exakt berechnet werden. Wegen der großen Zahl (n = 8.735)
von Versuchen und der niedrigen Erfolgswahrscheinlichkeit kann die Poissonverteilung zum Parameter λ = n · p = 17,47
als Näherungsverfahren eingesetzt werden. Diese Berechnung ist weniger aufwendig, da nur ein Berechnungsparameter
zu berücksichtigen ist. Es ergeben sich die Approximativwahrscheinlichkeiten
P(X 15)
P(X 17)
17,4715 17,47
17,47
e
0,08526 ; P(X 16)
P(X 15) 0,09310 ;
15!
16!
17,47
P(X 16) 0,09567 ; P(X = 18) ≈ 0,09286; P(X = 19) ≈ 0,08538 und P(X = 20) = 0,07458.
17!
Der relative Approximationsfehler liegt im Bereich von einem Promille, die Näherungsrechnung ist also ziemlich genau.
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