Prüfung Höhere Mathematik I/II

Universität Stuttgart
Mathematisches Institut A
Prof. H. Walk
Prüfung Höhere Mathematik I/II
Klausur 1
autip, eat, fmt, kyb, mach, utech, verf
04.09.2000
• Bearbeitungszeit: 120 Minuten
• Zugelassene Hilfsmittel: 10 handgeschriebene DIN A4 Blätter .
• Verlangt und gewertet werden alle 4 gestellten Aufgaben. Lösungsschritte und Teilergebnisse sind ausreichend zu begründen.
• Die folgenden Sinus- und Kosinuswerte könnten hilfreich sein:
x
0
π/6
π/4
π/3 π/2
√
√
sin x 0
1/2
2/2
3/2
1
√
√
cos x 1
3/2
2/2
1/2
0
• Viel Erfolg!
Aufgabe 1
a) Gegeben seien die Geraden g1 und g2 in Parameterdarstellung:


 




2
2
−1
1
g1 : ~x =  −2  + t  3  (t ∈ R), g2 : ~x =  3  + s  −1 
2
0
−1
1
(s ∈ R).
(a) Stellen Sie die Gleichung der Ebene E auf, die g1 enthält und parallel zu g2 ist.
(b) Berechnen Sie unter Verwendung von a) den Abstand der beiden Geraden g1 und
g2 . Der Rechenweg muss klar erkennbar sein, die Verwendung einer fertigen Formel
genügt nicht.
(c) Ein Punkt P=(x, y, z) wird an der Ebene E gespiegelt. Berechnen Sie den Spiegelpunkt P∗ =(x∗ , y ∗ , z ∗ ).
 
 ∗ 
x
x
∗ 


y  gilt.
y
=A
(d) Bestimmen Sie eine Matrix A so, dass
z∗
z
 
x
(e) Was ergibt sich, allein durch geometrische Überlegungen, für A2  y  und damit
z
2
−1
für A ? Was folgt daraus für A ?
√
b) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung z 4 = −8 + 8 3 i in der Form reiϕ . Die
Lösungen gehen durch Drehung um einen Winkel α ineinander über. Ermitteln Sie α.
Diese Drehung entspricht einer Multiplikation mit einer komplexen Zahl. Geben Sie hiermit die Lösungen in der Form a + ib mit a, b ∈ R an.
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HM I/II
04.09.2000, 1. Klausur
Aufgabe 2
a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und drei zueinander orthogonale Eigenvektoren der Matrix


2 −1 −1
A = −1 2 −1 .
−1 −1 2
Geben Sie eine orthogonale Matrix B an, so dass B T AB eine Diagonalmatrix ist.
b) Ermitteln Sie unter Verwendung der Resultate aus a) den Typ der Fläche
(x − y)2 + (x − z)2 + (y − z)2 = 1.
c) Bestimmen Sie die Halbachsen der Ellipse, die man erhält, wenn man die Fläche mit der
Ebene z = 0 schneidet.
Aufgabe 3
x
a) Sei f (x) = α sin(x) + β sin( ), x ∈ R, mit Parametern α, β ∈ R gegeben. Ermitteln
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Sie für f das Taylorpolynom T4 (x) vom Grad 4 mit Entwicklungspunkt x0 = 0 und das
zugehörige Lagrangesche Restglied R4 (x).
b) Bestimmen Sie die Zahlen α und β so, dass T4 (x) = x ist. Wie lautet in diesem Fall das
Lagrangesche Restglied?
c) (Huygenssche Formel)
s
Es sei s die Länge des Kreisbogens mit Radius r und mit
dem Winkel 2x (0 < x ≤ π2 ) im Bogenmaß, d die Länge der
zugehörigen Sehne und δ die Länge der Sehne, die zum halben Bogen gehört(s. Bild). Die von Huygens vorgeschlagene
Formel für die Berechnung der Kreisbogenlänge lautet
s≈
δ
d
r
x
2
8δ − d
.
3
x
Geben Sie jeweils δ und d und dann – unter Verwendung von s = 2rx – den Fehler
4 = 8δ−d
− s als Funktion von x an. Welcher Zusammenhang besteht zwischen 4 = 4(x)
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und dem Restglied R4 (x) in b)? Bestätigen Sie damit die Abschätzung
|4(x)| ≤ r
x5
.
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d) Für welche x ∈ R konvergieren die Reihen
∞
X
n=1
∞
X
(2x − 1)n
n
xn ,
2
n +1
n=1
2
n2 + 1
?
HM I/II
04.09.2000, 1. Klausur
Aufgabe 4
a) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:
(ex − 1)2
x→0 ln(1 + x2 )
1
(b) lim (x + ex ) x
(a) lim
x→∞
b) Für welche α ∈ R konvergiert das uneigentliche Integral
Z ∞
Arctan x
dx?
xα
0
Arctan x
?
x→0
x
Hinweis: Was ist lim Arctan x und lim
x→∞
c) Zeigen Sie mit Hilfe partieller Integration und anschließender Substitution:
Z ∞
Z ∞
Arctan x
1
dx.
dx = 4
3
1 + x4
x2
0
0
Weitere Hinweise:
• Die Prüfungsergebnisse werden voraussichtlich zu Beginn der Vorlesungszeit (WS 2000/2001)
im Gebäude Pfaffenwaldring 57 im 8. Stock aushängen.
• Soweit mündliche Nachprüfungen erforderlich sein sollten, werden die nötigen Informationen zusammen mit den Prüfungsergebnissen bekanntgegeben. Eine individuelle Benachrichtigung der betreffenden Kandidatinnen und Kandidaten erfolgt nicht.
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