Thermodynamik

Thermodynamik
SS 2012
11 . Übung
Besprechung am 27. Juni 2012
Vorlesung:
Prof. Igor Sokolov
Übung:
Federico Camboni, Georg Heimel
Aufgabe 1: Virialentwicklung
Führt man mit ρ = N/V die Dichte von Gasmolekülen ein, so lässt sich die ideale Gasgleichung pV = nRT umschreiben als
p = ρ kB T,
was der Beobachtung Rechnung trägt, dass der Druck zunimmt, wenn man die Dichte eines
Gases erhöht. Zu einer viel allgemeineren Beschreibung für reale Gase gelangt man, wenn
man die ideale Gasgleichung als den Term erster Ordung in ρ einer Reihenentwicklung
des Drucks nach der Dichte betrachtet
!
∞
∞
X
X
Bl+1 (T )ρl
p = kB T
Bi (T )ρi = ρ kB T 1 +
i=1
l=1
Dies ist die sogenannte Virialentwicklung des Drucks nach der Dichte und die Bi (T ) heißen
dementsprechend Virialkoeffizienten mit B1 (T ) = 1 dem ersten Virialkoeffizienten, B2 (T )
dem zweiten Virialkoeffizienten usw.
a) Bringen Sie die van der Waals Zustandsgleichung
n2
p + a 2 (V − nb) = nRT
V
in die Darstellung einer Virialentwicklung und geben Sie die Virialkoeffizienten an!
b) Drücken Sie die Temperatur TB , bei der der zweite Virialkoeffizient identisch verschwindet, durch die Materialkonstanten a und b aus. Interpretieren Sie die physikalische Bedeutung dieser sogenannten Boyle-Temperatur !
c) Historisch gesehen lief der Weg andersherum: Ausgehend von einer Virialentwicklung der Zustandsgleichung realer Gase bis zur Ordung ρ2
p = ρ kB T [1 + B2 (T )ρ]
und einem enstprechenden zweiten Virialkoeffizienten
ã
,
B2 (T ) = b̃ −
kB T
den er für eine spezielle Form der Molekülwechselwirkung (Lennard-Jones Potential)
abgleitet hatte, fand Herr Johannes Diderik van der Waals (Nobelpreis Physik
1910) unter der Näherung b̃N << V die nach ihm benannte Gleichung. Können Sie
das auch? Wie hängen ã und b̃ mit a und b zusammen?
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Thermodynamik,
11 . Übung
Aufgabe 2: Ionisation von Wasserstoffatomen
Bei hohen Temperaturen dissoziieren Wasserstoffatome in Protonen und Elektronen.
H p + + e−
Wir wollen hier annehmen, dass sich alle Reaktanden wie ideale Gase verhalten und
dass die Reaktion bei konstanter Temperatur T und konstantem Druck p abläuft. Die
aufzubringende Ionisationsenergie für ein Mol Wasserstoff bezeichnen wir mit I.
a) Zeigen Sie zuächst, dass die molare freie Enthalpie eines idealen Gases durch
g(T, p) = u0 + ζ T − cp T lnT + RT lnp
gegeben ist, wobei ζ = const. die sogenannte chemische Konstante eines Stoffes ist.
Hinweis: Nützen Sie aus vorangegangenen Übungen bekannte chemische Potentiale
als Ausgangspunkt!
b) Wir setzen nun die chemischen Konstanten ζi mit i = H, p+ , e− als bekannt voraus
und erkennen in der Differenz der molaren inneren Energien von Produkten und
Edukten die molare Ionisationsenergie, also I = u0,p+ + u0,e− − u0,H . Zeigen Sie nun,
dass die Massenwirkungskonstante kp = kp (T ) unter den gegebenen Voraussetzungen die Form
kp (T ) = A T −5/2 eI/RT
mit A = const. annimmt!
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