n = [n] = mol - physik.uzh.ch

• Druck eines idealen Gas: p = 23 ρN hEkin i
mit hEkin i ∼ 12 mhv 2 i ∼ 32 kB T
Konstanten
• Avogadro-Zahl NA = 6.022 × 1023 mol−1
• Temperatur: hEkin i = 23 kB T
• Boltzmann-Konstante kB = 1.38 × 10−23 J·K−1
• Zustandsgleichung des idealen Gas:
pV = N kB T (N : Anzahl Teilchen)
Diffusion
• Stoffmenge: n =
hN i
NA
[n] = mol
• Mittlere Teilchendichte: ρN =
hN i
V
• Mittleres Vol. um ein Teilchen: VT =
[ρN ] = m−3
1
ρN
[VT ] = m3
• Typ. Abstand von einem Teilchen zum nächsten:
1/3
dT = ρ1N
[dT ] = m
• Dichte: ρ =
hM i
V
• Konzentration: c =
[ρ] = kg·m
n
V
=
ρN
NA
• Mittlere freie Weglänge λ =
−3
[c] = mol·m−3
√
1
2ρN πd2
[λ] = m
• Varianz des Ortsvektors (bei Diffusion) hR2 i = 6Dt
(Teilchen sind diffundiert auf der Länge L wenn gilt:
hR2 i = L2 .)
2
• Diffusionskonstante D = hR6t i = 13 vλ
[D] = m2 ·s−1
(v: mittl. Teilchengeschwindigkeit, λ: mittl. freie
Weglänge)
• Diffusionsstrom (Richtung x): Ix
[Ix ] = s−1
• Diffusionsstromdichte (Richtung x, Fläche A):
Jx = IAx
[Jx ] = m−2 ·s−1
∂ρN
• 1. Ficksches Gesetz: J(x) = −D
∂x
∂J(x)
∂ρN
+
=0
• 2. Ficksches Gesetz:
∂t
∂x
∂ρN
∂ 2 ρN
• Diffusionsgleichung (1.F in 2.F):
=D
∂t
∂x2
1 π 1/2 − x2
Lösung: ρN (x, t) ∝
e 4Dt
2π Dt
Druck, Temperatur
• Druck p =
– Arbeit: dW = −pdV
(Beispiel einer Kompression, d.h. Vfin < Vinit : Von
uns verrichtete Arbeit W > 0 (wir verfügen Energie).
Vom Gas verrichtete Arbeit W < 0).
hF i
A
• Mechanischer Gleichgewicht: p1 = p2
Entropie, Energie
• Mikrozustand µ(p~1 , . . . , p~n , r~1 , . . . , r~n ), mit (~
pi , r~i ) Momentum und Ort von jedem Teilchen im System
• Makrozustand (E, V, N ) (Energie, Volumen und Anzahl
Teilchen im System)
• Anzahl Mikrozustände im Makrozustand: Ω(E, V, N )
(Multiplizität des Makrozustandes)
• Wahrscheinlichkeit eines Mikrozustandes: p(µ).
Wenn alle Mikrozustände gleich wahrscheinlich sind, gilt
1
dann p(µ) = Ω(E,V,N
) (Würfel-Beispiel!)
• Entropie
X(Informationstheorie):
p(µ) log2 (p(µ))
S=−
[S] = Bit
µ
Basisänderung: loga (x) =
ln(x)
ln(a)
• Entropie (Statistische
Physik ):
X
S = −kB
p(µ) ln(p(µ)) = −kB ln(Ω(E, V, N )) (die
µ
2. Gleichung gilt nur, wenn alle Mikrozustände gleich
wahrscheinlich sind)
[S] = J·K−1
• Thermischer Gleichgewicht: T1 = T2
Boltzmann-Faktor
• Wahrscheinlichkeit im Mikrozustand mit Energie Eµ zu
sein (Gleichgewicht mit Reservoir der Temperatur T ) :
1 − Eµ
p(µ) = e kB T
(Anwendung: siehe Aufgabe 12.3)
Z
X
R∞
Und es gilt 0 p(µ) = 1 oder
p(µ) = 1
µ
• z.B. Dichteverteilung (Erde): ρN (z) = ρN (0)e
− kmgz
T
B
• Geschwindigkeitsverteilung (in einem System mit Tem1 mv 2
3/2
−2
v 2 e kB T dv
peratur T ): p(v) = 4π 2πkmB T
– Wahrscheinlichkeit, Reine Geschwindigkeit v > v0 zu
∞
haben: p(v > v0 ) = v0 p(v)
R∞
– Mittlere Geschwindigkeit: hvi = 0 v p(v)
• Gleichverteilungssatz hEthermo i = 21 kB T pro Freiheitsgrad
(Teilchen: 23 kB T , Molekül der Art O2 , N2 : 25 kB T )
• Linearität der Entropie: S(E1 + E2 , V1 + V2 , N1 + N2 )
= S(E1 , V1 , N1 ) + S(E2 , V2 , N2 )
• Wärmekapazität: CV =
• 2. Thermo-Gesetz: Für ein isoliertes System: ∆S ≥ 0
• Typische thermischeqGeschwindigkeit:
p
BT
vthermo = hv 2 i = 3km
[vthermo ] = m·s−1
• 1. Thermo-Gesetz: ∆E = T ∆S − p∆V + µch ∆N
= ∆Q + ∆W + ∆Ech
– Temperatur:
– Druck: p = T
1
T
=
dS(E)
dE
≥0
[T ] = K
∂S
∂V
[p] = Pa
E,N const
– Chem. Potential: µch = −T
∂S
∂N E,V const
– Wärmeenergie: dQ = T dS
[p] = N·m−2 = kg·m−1 ·s−1 = Pa
• Thermodynamischer Gleichgewicht: Stot = max
– Chemische Energie: ∆Ech = µch ∆N
[µch ] = J
∂Ethermo
∂T
• Mittlere freie Weglänge: λ =
√ 1
2ρN πd2
• Streuzeit (zwischen 2 Stössen):
r
λ
1
m
√
τ=
=
2
vthermo
3k
2ρN πd
BT
• Mittlere Streuerate:
r
1 √
3kB T
2
= 2ρN πd
τ
m
[CV ] = J·K−1
[λ] = m
[τ ] = s
[ τ1 ] = s−1 = Hz