Zusammenfassung Lineare Algebra

Lineare Algebra I/II, Dr. Christian Nelius, Zusammenfassung von Florian Schoppmann
Das Copyright für die dieser Zusammenfassung zugrunde liegenden Vorlesungsunterlagen (Skripte, Folien, etc.) liegt beim Dozenten. Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise
verantwortlich. Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation
entstanden.
Zusammenfassung
Lineare Algebra
§0 Grundlagen und Bezeichnungen
1) Eigenschaften von + und · auf R, (R, + · ) ist
ein Körper
4) Axiome für ≤ Reflexivität, Antisymmetrie,
Transitivität, Linearität =⇒ R, (R, + · ) ist
ein angeordneter Körper
14) allgemeinrichtig: Formel hat immer Wahrheitswert wahr
24) Komplementmenge: CM (U ) := M \U (für
U ⊆ M)
12) 2 Vektoren parallel ⇔ Vektorprodukt = 0
(beide Vektoren 6= 0)
13) Spatprodukt: (~u, ~v , w)
~ = h~u × ~v , wi
~
14) 3 Vektoren linear abhängig ⇔ Spatprodukt
=0
15) Cramer’sche Regel
16) Graßmann’scher Entwicklungssatz
§5 Koordinatendarstellung von Vektoren
1) Orthonormalsystem
2) Koordinatendarstellung eines Vektors bzgl.
eines Koordinatensystems
3) Berechnung der Produkte auf §4 im Anschauungsraum mit Koordinaten
§1 Vektoren im Anschauungsraum
1) Vektoraddition
2) Skalarmultiplikation, Vektor der Länge 1
heißt normiert
3) Der Vektorraumbegriff, reeller Vektorraum mit Skalaren aus R
§2 Geraden & Ebenen
1) Parameterdarstellung einer Geraden
2) Vektoren ~a, ~b parallel (~ak~b) =⇒ ~a, ~b 6= ~0, ~a =
r · ~b, r ∈ R
3) Parameterdarstellung einer Ebenen
§3 Lineare (Un-)Abhängigkeit
3) Dimensionsaxiom
4) 3 lin. unabhängige Vektoren b1 , b2 , b3 −→ eindeutig bestimmte Koeffizienten. Jeder Vektor
~v lässt sich darstellen als ~v = a1 b~1 + a2 b~2 +
a3 b~3 mit geeig. a1 , a2 , a3 ∈ R
§6 Matrizen
1) Def.: (m, n) ist Format einer (m×n)-Matrix
4) Eigenschaften der Addition und skalaren
Multiplikation
5) Produkt aus Matrix und Spaltenvektor
8) Assoziativität der Matrizen-Multiplikation,
im Allg. keine Kommutativität für n ≥ 2,
Distributivität, Einheitsmatrix
10) Inverse Matrix (Berechnung), Einheitsmatrix
12) (A · B)−1 = B −1 · A−1 , (A−1 )−1 = A
13) transponierte Matrix, symmetrische: t A
= A, antisymmetrische: t A = -A
14) Eigenschaften von transp. Matrizen (Rechenregeln)
15) Dreiecksmatrizen
§7 lineare Gleichungssysteme
0 ··· 0 0 0 ··· 0


..


.

§4 Produktbildungen
1) Inneres Produkt (Skalarprodukt) h~v , wi
~ :=
k~v k · kwk
~ · cos ϕ
3) 2 Vektoren orhtogonal ⇔ Skalarprodukt = 0
4) v1 , . . . , vn 6= 0 ∧ h~
vi , v~k i = 0
∀i, k =
1, . . . , n,
i 6= k
5) Ein Orthogonalsystem ist linear unabhängig
8) Hesse’sche Normalform einer Ebene
9) Abstand Punkt ↔ Ebene
10) Äußeres Produkt (Vektorprodukt) k~v ×
wk
~ = k~v k · kwk
~ · sin ϕ
11) Eigenschaften: Antisymmetrie, Bilinearitöt,
Distributivität



 .
1) Basismatrizen 
 ..






0
..
.
1
0
..
.
..
.



.. 

. 





0 ··· 0 0 0 ··· 0
2) A = (aik ) ∈ Mm,n (K),
P
Pn
A= m
i=1
k=1 aik Eik
3) Elementarmatrizen:
Vertauschungsmatrix, Additionsmatrix, Multiplikationsmatrix
4) Multiplikation einer Elementarmatrix von
links → el. Zeilenumformung
5) Elementare Zeilenmatrizen sind invertierbar
1
Lineare Algebra I/II, Dr. Christian Nelius, Zusammenfassung von Florian Schoppmann
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entstanden.
6) LGS Ax = b inhomogen, wenn b 6= 0, sonst
homogen, (erweiterte) Koeffizientenmatrix
7) Lös(A, b) = Lös(BA, Bb), b ∈ GLm (R)
Einschub: Rechtfertigung des Induktionsbeweises auf Grundlage der Peano-Axiome
10) Rang einer Matrix
11) A sei quadr. Matrix: A invertierbar ⇔
rg(A) = n ⇔ T(A) = En ⇔ A ist Produkt
von Elementarmatrizen
12) Berechnung der inversen Matrix (vgl. §6.10)
14) Lös(A, b) = v0 +Lös(A, 0m )
(Lösung des
inhomogenen LGS setzt sich zusammen aus
spezieller und allgemeiner“ Lösung des zu”
gehörigen homogenen LGS)
15) Abgeschlossenheit der Lösungsmenge → Vektorraum
§8 Gruppen, Ringe & Körper
1) Gruppen (Abgeschlossenheit, Assoziativität, neutr. El., inverse El., (wenn abelsch:
Kommutativität)
Halbgruppe: Menge mit assoziativer Verknüpfung (z.B. (N, +))
3) Modulo-Restklassen
4 Untergruppe
6) Ringe: R ist Ring ⇔ (R, +) ist abelsche
Gruppe, (R, ·) Halbgruppe mit neutr. El.,
Distributiv-Gesetz
7) Rechenregeln
9) Unterring: U ist Unterring ⇔ U Untergruppe
von (R, +), U abgeschlossen bzgl. · und 1R ∈
U
10) Schiefkörper: Ring, bei dem 1 6= 0 und jedes Element 6= 0 invert. Wenn Mult. kommuativ: Körper
11) Beispiele!
12) Unterkörper: Unterring, das Inverse jedes El.
6= 0 ist wieder im Unterkörper
§9 Vektorräume
1) formale Definition
2) Beispiele: Lösungsmengen hom. LGS’e, R
über sich selbst
3) Nullteilerfreiheit
4) Unterraum: Abgeschlossenheit bzgl. Addition & skalarer Multiplikation, Nullelement
enthalten
6) Schnitt, Addition zweier Unterräume wieder
Unterraum, Vereinigung i.A. nicht
7) ,→ Erweiterung auf bel. # von Unterräumen
2
8) Linearkombination, sei E = {v1 , . . . , vn },
P
LK (E) = ni=1 Kvi
9) Die Menge aller Linearkombinationen einer
bel. Teilmenge eines Vektorraumes ist ein
Unterraum
10) LC (1) = {z · 1|z ∈ C} = C
11) LK (E) ist der kleinste Unterraum von V , der
E umfasst
LK (E) ist der Durchschnitt aller Unterräume
von V , die E umfassen
12) Erzeugendensystem E: LK (E) = V . Falls
V ein ednl. EZW besitzt, ist V endlich erzeugbar.
13) Beispiel: R ist als Q-Vektorraum nicht endl.
erzeugbar
14) vi ∈ LK (v1 , . . . , vi−1 , vi+1 , . . . , vn ) ⇔
LK (v1 , . . . , vn ) =
LK (v1 , . . . , vi−1 , vi+1 , . . . , vn )
15) Neue Definition für linear abhängig: mind.
ein Vektor lässt sich als Linearkombination
der anderen darstellen
17) Beispiele: {1, i} ist lin. abh. über C, unabh.
über R
§10 Die Dimension eines Vektorraumes
1) lin. unabh. Basis ⇔ eindeutige Darstellung
jedes Vektors darüber
2) Basis =
b lin. unabh. EZS
5) T = {v1 , . . . , vn } ⊆ V lin. unabh. ⇒ (∀v ∈
V : T ∪ {v} lin. unabh. ⇔ v ∈
/ LK (T ))
6) Basis von V =
b min. EZS von V =
b max. lin.
unabh. Teilmenge von V
7-8) Endl. erzeugbare VR’e haben endl. Basen
10) Austauschlemma
11) Austauschsatz von Steinitz
13) Alle Basen haben gleich viele Elemente
14) Dimension eines VR’s, Zeichen für unendlichDimensionalität: dim(V ) = ∞
15) Auch unendl.-dim. VR’e besitzen (undendl.)
Basen → Zorn’sches Lemma
2. Semester
16) V sei K−VR mit dimK (V ) = n
Jede lin. unabh. Teilmenge hat ≤ n Elemente, jede lin. unabh. Menge T ⊆ V mit genau
n El. ist Basis, jedes EZS E hat mind. n Elemente, jedes EZS E mit genau n El. ist eine
Basis
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17) V endl. erzeugbar ⇒ Jede lin. unabh. Teilmenge T eines VR V lässt sich durch Hinzunahme geeigneter Vekotren zu einer Basis
ergänzen.
18) Folgerung: U ⊆ V Unterraum, V endl. erzeugbarer VR ⇒ dim(U ) ≤ dim(V ), jede
Basis von U lässt sich zu einer Basis von V
ergänzen
19) Sei V endl.-dim. VR ⇒ ∀ U ⊆ V Unterraum:
∃ U 0 ⊆ V Unterraum: U + U 0 = 0 ∧
U ∩ U0 = 0
20) Direkte Summe zweier Unterräume, direkter Summand, direktes Komplement
21) V sei K-VR, U1 , U2 ⊆ V Unterräume ⇒
(V = U1 ⊕ U2 ⇔ Jeder Vektor v ∈ V
lässt sich darstellen als v = u1 + u2 mit
ui ∈ Ui (i = 1, 2))
22) Direkte Summe mehrerer Vektorräume
23) V sei endl.-dim. K-VR, U1 und U2 Unterräume ⇒ dimK (U1 + U2 ) = dimK (U1 ) +
dimK (U2 ) − dimK (U1 ∩ U2 )
Einschub: Abbildungen und Mengen
1) M und N seien Mengen: Eine Abbildung
ordnet jedem Element aus M genau ein Element aus N zu.
2) Weitere Definitionen: Definitionsbereich,
Wertemenge, Zuordnungsvorschrift, Graph
einer Abbildung (eine Relation zwischen M
und N ), linkstotal, rechtseindeutig
Eine partielle Abbildung ist nur rechtseindeutig
3) Gleichheit zweier Abbildungen ist definiert
durch Gleichheit von Wertemenge, Bildbereich und Bildwert jeder einzelnen Stelle der
Wertemenge
4) f |U : U −→ N, (f |U )(x) = f (x) ∀x ∈ U
5) Bildmenge einer Teilmenge des Wertebereichs, Bildmenge des Wertebereichs =: Bild
der Abbildung f , Urbildmenge einer Teilmenge der Wertemenge
6) g ◦ f heißt die Hintereinanderausführung von
f und g
7) ,→ es gilt das Assoziativgesetz
8) injektiv, surjektiv, bijektiv
11) f und g beide injektiv (surjektiv bzw. bijektiv) ⇒ g ◦ f injektiv (surjektiv bzw. bijektiv)
g ◦ f injektiv (surjektiv) ⇒ f injektiv (g surjektiv)
g ◦ f bijektiv ⇒ f injektiv und g surjektiv
12) f bijektiv ⇔ ∃! g : N −→ M mit g ◦ f = idM
und f ◦ g = idN
13) ,→ g = f −1 Umkehrabbildung (inverse
Abbildung)
15) M und N seien nichtleere Mengen: M
gleichmächtig zu N (M ∼ N ), wenn es eine bijektive Abb. M −→ N gibt, endliche
Mengen, die leere Menge ist endlich |∅| = 0,
unendliche Mengen (|M | = ∞)
16) N ist eine unendliche Menge, jedoch abzählbar unendlich (|N| = |N0 | = |Z| = |Q| =
ℵ0 ), R ist überabzählbar (|R| = ℵ1 )
19) M und N seien nichtleere endliche Mengen
mit |M | = |N |. Für f : M −→ N gilt: f
bijektiv ⇔ f injektiv ⇔ f surjektiv
20) ,→ für unedliche Mengen gilt dies i.A. nicht
21) Jede nichtleere endliche Menge natürlicher
Zahlen besitzt ein kleinstes und ein größtes
Element
20) Wohlordnung der geordneten Menge
(N, ≤): Jede nichtleere Teilmenge von N
besitzt ein kleinstes Element
§11 Lineare Abbildungen
1) V und W seien K-VR’e. Eine Abb. f : V −→
W heißt K-linear, wenn gilt: L1 ) f (v + v 0 ) =
f (v) + f (v 0 ) ∀ v, v 0 ∈ V und L2 ) f (av) =
a · f (v) ∀ a ∈ K, v ∈ V
HomK (V, W ) =
b Menge aller K-lin. Abb. von
V in W
3) Eigenschaften (Rechenregeln)
4) V und W seien K-VR’e
⇒HomK (V, W ) ⊆Abb(V, W ) K-Unterraum
5) f und g K-lin. ⇒ g ◦ f K-linear (sofern Definitionsbereich von g und Wertemenge von f
gleich)
6) f : V −→ W, f K-linear im Folgenden
⇒ Kern(f ) := {v|v ∈ V, f (v) = 0W } ⊆ W
7) U ⊆ V Unterraum ⇒ f (U ) ⊆ W Unterraum
X ⊆ W Unterraum ⇒ f −1 (X) ⊆ V Unterraum
8) Bild(f ) = f (V ) ist Unterraum von W ,
Kern(f ) = f −1 ({0W }) ist Unterraum von
V
9) f injektiv ⇔ Kern(f ) = 0
f surjektiv ⇔ Bild(f ) = W
10) Eine bijektive K-lin. Abb. f : V −→ W ist
K-Isomorphismus von V auf W
V heißt K-isomorph zu W (V ∼
= W ), wenn
∃ K-Isomorphismus von V nach W
3
Lineare Algebra I/II, Dr. Christian Nelius, Zusammenfassung von Florian Schoppmann
Das Copyright für die dieser Zusammenfassung zugrunde liegenden Vorlesungsunterlagen (Skripte, Folien, etc.) liegt beim Dozenten. Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise
verantwortlich. Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation
entstanden.
11) idV : V −→ V ist K-Isomorphismus
f : V −→ W K-Isomporphismus
⇒ f −1 : W −→ V K-Isomorphismus,
f : V −→ W und
g : W −→ XK-Isomorphismen
⇒ g ◦ f : V −→ XK-Isomorphismus
12) (vgl. §16.16) V ∼
= V, V ∼
= W ⇒ W ∼
= V,
∼
∼
∼
V =W ∧W =X ⇒V =X
13) Für eine K-lin. Abbildung gilt:
Die Bildmenge einer lin. unabh. Menge ist
wieder lin. unabh.
Ein EZS wird auf ein EZS des Bildes der Abb.
abgebildet
Ein EZS wird auf ein EZS der Wertemenge
abgebildet, wenn die Abb. surjektiv ist.
Ist das Bild der Abb. ein EZS der Wertemenge, so ist die Abb. surjektiv.
14) f, g : V −→ W K−lin. Abbildungen. Ist
die Bildmenge eines beliebigen EZS’s unter
f und g gleich, so folgt f = g (f |E = g|E ⇒
f = g, E bel. EZS von V ).
15) Lineare Fortsetzung Um eine lin. Abb. zu
definieren, braucht man die Zuordnungsvorschrift nur für die Elemente einer (endl.) Basis von V anzugeben. Die Abb. ist dann auf
ganz V definiert.
16) V , W endl.-dim. VR’e: V ∼
= W ⇔
dimK (V ) = dimK (W )
18) rgK (f ) := dim(Bild(f ))
21) f : V −→ W , g : W −→ X, h : X −→ Y Klineare Abbildungen. Es gilt: f surjektiv ⇒
rgK (g ◦ f ) = rgK (g), h injektiv ⇒ rgK (h ◦
g) = rgK (g), f surjektiv und h injektiv ⇒
rgK (h ◦ g ◦ f ) = rgK (g)
22) V endl.-dim. ⇒ ∃U ⊆ V Unterraum mit V =
Kern(f ) ⊕ U und U ∼
= Bild(f )
23) V endl.-dim. ⇒ rgK (f ) < ∞ und dimK (V ) =
dimK (Kern(f ))+rgK (f )
24) dimK (V ) = dimK (W ) und V und W endl.dim. ⇒ (f injektiv ⇔ f surjektiv ⇔ f bijektiv)
§12 Darstellungsmatrix einer K-lin. Abbildung K n −→ K m
1) Es gelte im Folgenden: f : K n −→ K m ,
Darstellungsmatrix von f bezeichnet mit
M(f )
3) Zu jeder Matrix A ∈Mm,n (K) gibt es eine
entspr. K-lin. Abb.
4
5) ϕ(f ) : HomK (K n , K m ) −→ Mm,n (K),
ϕ(f ) :=M(f ) ∀f ∈HomK (K n , K m ) ist ein
K-Isomorphismus
6) M(g ◦ f ) =M(g)·M(f ) (sofern hintereinander
ausführbar)
7) ,→ Beweis der Assoziativität der Matrizenmultiplikation möglich (vgl. §6.8)
8) f injektiv ⇒ Spalten von M(f ) lin. anabh.
f surjektiv ⇒ Spalten von M(f ) bilden ein
EZS von K m
f bijektiv ⇒ Spalten von M(f ) bilden eine
Basis von K m
9 f ist K-Isomprohismus ⇔ M(f ) invertierbar.
Es gilt dann M(f )−1 =M(f −1 )
10) A invert. ⇔ Spaltenvektoren von A bilden
eine Basis von K n ⇔ Spaltenvektoren von A
sind lin. unabh.
11) A invert. ⇔ ∃ C ∈Mn (K) : C · A = En ⇔
∃ D ∈ Mn (K) : A · D = En
Spaltenraum, Zeilenraum
12) Spaltenrang, Zeilenrang
14-19) Spaltenrang = Zeilenrang = Rang der Abbildung = Rang der Darstellungsmatrix
21) rg(A) = rg(B) ⇔ ∃ P ∈ GLm (K) und Q ∈
GLn (K) mit B = P · A · Q
§13 Lineare Gleichungssysteme (II)
2) Sei A ∈ Mm,n (K):
dimK (Lös(A, 0m )) =
|
{z
Anz. der frei
wählbaren Parameter
}
n
|{z}
− rg(A)
Anz. der
Unbekannten
3) Lösungsraum eines homogenen LGS
6) Entzerrungsalgorithmus
§14 Determinantenformen
1) V ist K-VR, n ∈ N und f : V n −→ K eine
Abb.
Eigenschaften: n-linear, alternierend,
schiefsymmetrisch
2) Die Menge der n-lin. (bzw. alternierenden
bzw. schiefsymm.) Abb. von V n nach K ist
ein Unterraum des K-VR’s Abb(V n , K).
3) Für eine alternierende n-lin. Abb. f : V n −→
K gilt: Die Addition eines Vielfachen eines Funktionsarguments zu einem anderen
ändert nichts am Funktionswert; f ist schiefsymmetrisch; sind die Funktionsargumente
lin. abh., so ist der Funktionswert von f =
0; dimK < n ⇒ f = 0
4) Sn ist die Menge aller Permutationen der
Zahlen 1, 2, . . . , n
Lineare Algebra I/II, Dr. Christian Nelius, Zusammenfassung von Florian Schoppmann
Das Copyright für die dieser Zusammenfassung zugrunde liegenden Vorlesungsunterlagen (Skripte, Folien, etc.) liegt beim Dozenten. Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise
verantwortlich. Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation
entstanden.
5) Sei n ∈ N: (Sn , ◦) ist symmetrische Gruppe von n Elementen; (Sn , ◦) abelsch ⇔ n ≤
2; |Sn | = n!
8) V ist K-VR der Dim. n. Eine Abbildung d :
V n −→ K heißt Determinantenform auf
V , wenn gilt: d ist n-linear und alternierend,
d 6= 0 (Nullabbildung)
9) d(v1 , . . . , vn ) 6= 0 ⇔ {v1 , . . . , vn } lin. unabh.
⇔ {v1 , . . . , vn } ist eine Basis von V
10-13) Eindeutigkeit von Determinantenformen:
∃! (d : V n −→ K) : d(v1 , . . . , vn ) = 1K
§15 Die Determinante einer Matrix
1) Sei A = (aik ) ∈Mn (K).
det(A)
:=
(
a11
(n = 1)
Pn
1+k
0
a1k · det(A1k ) (n > 1)
k=1 (−1)
2) det(A) ist eine Determinantenform auf K n
4) A ∈ Mn (K) ⇒ (A invertierbar ⇔ det(A) 6=
0K )
5) Laplace’scher Entwicklungssatz (Entwicklung nach der i-ten Zeile)
P
det(A) := nk=1 (−1)i+k aik · det(A0ik )
6) A, B ∈ Mn (K) ⇒ det(A·B) = det(A)·det(B)
7) A ∈ GLn (K) ⇒ det(A−1 ) = det(A)−1
9) A ∈ Mn (K) ⇒ det(t A) = det(A)
11) Laplace’scher Entwicklungssatz (Entwicklung nach der i-ten Spalte)
P
det(A) := ni=1 (−1)i+k aik · det(A0ik )
12) Leibniz’sche Determinantenformel
P
det(A) := π∈Sn sign(π) · aπ(1),1 · . . . · aπ(n),n ,
mit sign(π) := (−1)ν(π)
13) A = (aik ) ∈ Mn (K) (n ≥ 2). Die Matrix Aad := (αik ) ∈ Mn (K) mit αik :=
(−1)i+k det(A0ki ) heißt die zu A adjungierte
Matrix.
14) A · Aad = Aad · A = det(A) · En
16) Cramer’sche Regel: Sei A ∈ GLn (K)
mit den Spalten s1 , . . . , sn und b ∈ K n .
Dann ist die eindeutig bestimmte Lösung
t (a , . . . , a )
∈ K n des LGS’s Ax =
1
n
b gegeben durch: ai =
(det(A))−1 ·
det(s1 , . . . , si−1 , b, si+1 , . . . , sn ) (i = 1, . . . , n)
17) Eine Matrix A ∈ Mm,n (K) hat genau denn
den Rang r ≥ 1, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind: A besitzt eine
r-reihige Unterdeterminante 6= 0K und jede
(r + 1)-reihige Unterdeterminante von A ist
gleich 0K
18-20) Vandermonde’sche Determinante
21-22) Blockmatrizen:

A1

A2

det 
..

.

0
∗
At


 Qt
=
j=1 det(Aj )


Einschub: Das Vorzeichen einer Permutation
1-4)
5)
6-7)
8)
Inversion, Vorzeichen sign(π)
π, ρ ∈ Sn : sign(π ◦ ρ) = sign(π)· sign(ρ)
Transposition
An bezeichnet die Menge aller geraden Permutationen (d.h. ν(π) ist gerade)
9-10) An ist Untergruppe von Sn , (An , ◦) heißt alternierende Gruppe von n Elementen
§16 Das Normalformenproblem
a1
 .. 
κB (v) =  .  ∈ K n heißt der Koordinaan
tenvektor von v bzgl. der Basis B
Darstellungsmatrix bzgl. zweier Basen
B = {v1 . . . vn } geordnete Basis
MB
C (f ) = (κC (f (v1 )) . . . κC (f (vn )))
Rang der Darstellungsmatrix = Rang der
Abbildung
Die Abb. φB
C : HomK (V, W ), die jeder Abb.
ihre Darstellungsmatrix bzgl. B und C zuordnet, ist ein K-Isomorphismus.
dimK (HomK (V, W )) = dimK (V ) · dimK (W )
C
B
MB
D (g ◦ f ) = MD (g)· MC (f )
B
−1
MC (f ) ∈ GLn (K) mit MB
=
C (f )
C
−1
MB (f ) ⇔ f K-Isomporphismus
MB
B 0 (idV ) ist die Matrix zum Basiswechsel
−1 = MB 0 (id )
von B nach B 0 . MB
V
B
B0 0 (idV )
B
−1
f : V −→ W , MB
C 0 (f ) = P · MC (f ) · Q .
Es gibt solche P ∈ GLn (K), Q ∈ GLn (K),
wobei |B| = |B 0 | = n ∧ |C| = |C 0 | = m
0
f : V −→ V K-Endomorphismus. MB
B 0 (f ) =
−1 . Es gibt solch ein P ∈
P · MB
B (f ) · P
GLn (K).
Es gibt Basen bzgl. derer die Darstellungsmatrix einer !
K-lin. Abb. vom Rang r die Form
Er 0
hat.
0 0
Äquivalenz: M ∼ N ⇔ M und N sind beide Darst.-matr. einer (derselben) Abb. bezgl.
unterschiedlicher Basen
Äquivalenzrelation: Reflexivität, Symmetrie, Transitivität

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
16)

5
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verantwortlich. Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation
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17) Ordnungsrelation: Reflexivität, Antisymmetrie, Transitivität
19) Äquivalenzklasse
22) M/R := {[x]R |x ∈ M } heißt Quotientenmenge von M nach R; S ⊆ M vollst. Vertretersystem von M/R, wenn S aus jeder
Äquivalenzklasse von M/R genau ein Element enthält.
24) M ≈ N ⇔ ∃ P ∈ GLn (K) : M = P · N · P −1
25) M ≈ N ⇔ M ∼ N
§17 Eigenwerte und Eigenvektoren
6) Eigenraum zum Eigenwert λ: Eig(f, λ) :=
Kern(f − λ·idV )
8-9) Eine Menge von Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten ist lin. unabh.
11) Entsprechung Eigenvektor einer Mn (K)Matrix ↔ eines K-Endomorphismus
12) λ Eigenwert von M ⇔ det(M − λ · En ) = 0
dimK (Eig(M, λ)) = n−rg(M − λ · En )
13) Sei Mn ∈ Mn (K). Dann ist det(M −λ·En ) =
Pn
i
i=0 ai λ , also ein Polynom n-ten Grades.
14) ,→ Charakteristisches Polynom einer
Matrix
15) Ähnliche Matrizen haben das gleiche char.
Polynom und daher auch dieselben Eigenwerte
16) Entsprechung charakteristisches Polynom einer Matrix ↔ eines Endomorphismus
17-18) Abspalten“ von Nullstellen
”
19) µ(p, α) ≤ grad(p) bezeichnet die Vielfachheit
der Nullstelle α im Polynom p.
21) Fundamentalsatz der Algebra: Ein beliebiges Polynom p über C vom Grad ≥ 0
hat mindestens eine Nullstelle in C. D.h. p
zerfällt in Linearfaktoren.
§18 Diagonalisierbare Endomorphismen
und Matrizen
1) diagonalisierbar: Matrix: ähnlich zu Diagonalmatrix, Endomorphismus: Darstellungsmatrix zu einer geeigneten Basis ist Diagonalmatrix
4) f sei K-End. in V . Es gilt: f diagonalisierbar ⇔ Es ex. eine Eigenbasis von V ⇔
Sind v1 , . . . , vs ∈ K alle (paarw. verschiedenene) Eigenwerte von f , so gilt: V =
Ls
i=1 Eig(f, λ − i)
6
5) dimK (V ) = n. Es gilt für einen Eigenwert λ:
1 ≤ dimK (Eig(f, λ)) ≤ µ(pf , λ) ≤ n
|
{z
}
geometrische Vielfachheit
| {z }
algebraische
Vielfachheit
6) f diagonalisierbar ⇔ Das char. Polynom
pf zerfällt in K[T ] in Linearfaktoren, und
für jeden Eigenwert gilt: dimK (Eig(f, λ)) =
µ(pf , λ)
§19 Trigonalisierbare Endomorphismen
und Matrizen
1) trigonalisierbar: Matrix: ähnlich zu oberer Dreiecksmatrix, Endomorphismus: Darstellungsmatrix zu einer geeigneten Basis ist
obere Dreickecksmatrix
3) M ∈ Mn (K), es gilt: M trigonalisierbar ⇔
das char. Polynom pM von M zerfällt in K[T ]
in Linearfaktoren
4) Jeder C-Endomorphismus über einem endl.dim. C-VR ist trigonalisierbar.
6) Ein Unterraum U eines Vektorraums heißt
f -invariant, falls im End. f gilt: f (U ) ⊆ U
7) V unzerlegbar bzgl. f ⇔ V 6= 0 und V
ist nicht direkte Summe zweier f -invarianter
Unterräume 6= 0 von V .
8) f besitze einen Eigenwert λ ∈ K. V unzerlegbar bzgl. f 
⇒ Es ex. eine Basis
 B von V mit
λ 1 ··· 0

 . .
 ..
. . . . . ... 


B
MB (f ) =  .
 = Jn (λ) ∈
..

 .
.
1 
 .
0 ··· ··· λ
Mn (K)
Jn (λ) heißt Jordan-Matrix zum Eigenwert
λ von f .
9) Jordan’sche Normalform, B geeignete
Basis


Jn1 (λ1 )
0


Jn2 (λ2 )


B


MB (f ) = 
..

.


0
Jns (λs )
∈Mn (K)
Diese Matrix heißt Jordan’sche Normalform
(JNF) von f .
13) Satz von Cayley-Hamilton (für Matrizen): Einsetzen einer Matrix als Unbekannte (für T ) in ihr char. Polynom ergibt 0 (die
Nullmatrix).
14) Zu einer Matrix M ∈ Mn (K) ex. ein eindeutig bestimmtes normiertes Polynom kleinsten
Lineare Algebra I/II, Dr. Christian Nelius, Zusammenfassung von Florian Schoppmann
Das Copyright für die dieser Zusammenfassung zugrunde liegenden Vorlesungsunterlagen (Skripte, Folien, etc.) liegt beim Dozenten. Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise
verantwortlich. Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation
entstanden.
Grades qM mit qM (M ) = 0. Dieses Polynom
heißt Minimalpolynom von M .
§20 Euklidische Vektorräume
1) V sei bel. VR über R. Eine Abb. s : V ×
V −→ R heißt Skalarprodukt auf V , wenn
gilt: s bilinear, s symmetrisch, s positiv definit (d.h. s(v, v) > 0 ∀v ∈ V
{0V }).
(V, s) heißt dann
p euklidischer R-VR.
3) Norm: kvk := hv, vi
Eigenschaften: ∀v ∈ V : kvk ≥ 0 ∧ kvk =
0 ⇔ v = 0V , ∀a ∈ R ∀v ∈ V : kavk =
|a| · kvk, ∀v, w ∈ V : kv + wk ≤ kvk + kwk
(Dreiecksungleichung)
4) Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung
|hv, wi| ≤ kvk · kwk ∀v, w ∈ V
Es lässt sich ein Winkel zwischen v und w
hv,wi
definieren: cos(φ) = kvk·kwk
5) Definition Orthonormalsystem wie in §5.1
8) Zu einem n-dim. euklidischen VR (V, h, iV )
gibt es einen R-Isomoprphismus f : V −→
Rn mit der Eigenschaft:
hf (v), f (w)i = hv, wiV ∀v, w ∈ V
9) Ein R-Endomorphismus f auf V heißt
orthogornal, wenn hf (v), f (w)i =i =
hv, wi ∀v, w ∈ V ;
Eine Matrix M ∈ Mn (R) heißt orthogornal,
wenn t M · M = En gilt.
10) Eine Abbildung ist genau dann orthogonal,
wenn sie längentreu ist;
Eine Matrix ist genau dann orthogonal, wenn
ihre Spalten bzw. Zeilen ein Orthonormalsystem in Rn bilden.
11) B sei beliebige Orthonormalbasis: f orthogonal ⇔ MB
B (f ) ist orthogonale Matrix
13) Ein orthonogonaler Endomorphismus setzt
sich ausschließlich aus Spiegelungen, Drehungen oder Beibehaltung von Basisvektoren zusammen.
14) Ein Endomorphismus f auf V heißt
symmetrisch, wenn gilt: hf (v), wi =
hv, f (w)i ∀v, w ∈ V
15) Ist (V, h, i) ein n-dim. euklidischer VR, so
ist f ∈ EndR (V ) genau dann symmetrisch,
wenn MB
B (f ) bzgl. einer bel. Orthonormalbasis B von V eine symmetrische Matrix ist.
16) Spektralsatz: V sei n-dim. eukl. VR, f symmetrisch: Dann ex. eine Orthonormalbasis B
von V mit MB
B (f ) = diag(λ1 , . . . , λn ) (λi ∈
R ∀i = 1, . . . , n)
17) Eine symm. Matrix M ∈ Mn (R) besitzt n
reele Eigenwerte und ist diagonalisierbar.
§21 Unitäre Vektorräume
1) V sei ein C-VR. Eine Abb. h : V × V −→
C heißt Hermite’sche Form auf V , wenn
gilt: H ist C-linear im ersten Argument und
h(v, w) = h(w, v) ∀v, w ∈ V .
Eine Hermite’sche Form h auf V heißt positiv definit, wenn gilt: h(v, v) > 0∀v ∈ V, v 6=
0V .
Ein Skalarprodukt s auf V ist eine positiv definite Hermite’sche Form auf V . (V, s) heißt
dann ein unitärer C-VR.
Beispiel: Das kanonische Skalarprodukt
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