Mikroökonomik B (Bachelor)

Name: MUSTERLÖSUNG
Matrikel-Nr.:
Mikroökonomik B (Bachelor)
Probeklausur
Wichtige Hinweise:
• Sie haben 90 Minuten Zeit, um die folgenden drei Aufgaben zu insgesamt 90 Punkten zu bearbeiten. Teilen Sie sich Ihre Zeit sorgfältig
ein!
• Der Prüfungsbogen umfasst 14 Seiten einschliesslich dieses Deckblatts. Überprüfen Sie Ihr Exemplar auf Vollständigkeit!
• Benützen Sie nur die ausgeteilten Blätter für die Lösung der Aufgaben. Benützen Sie wenn nötig die Rückseiten der Blätter und vermerken Sie dies unbedingt. Entfernen Sie nicht die Heftklammer!
• Tragen Sie Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer auf diesem
Deckblatt sowie auf jeder beschriebenen Seite ein.
• Lassen Sie auf jeder Seite rechts einen Rand von ca. 3cm frei.
• Legen Sie bitte Ihren Studentenausweis zur Kontrolle bereit.
VIEL ERFOLG!
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Aufgabe 1
Σ
/30
Aufgabe 2
/5
/10
/5
Aufgabe 3
/5
/7
/8
Total
/20
/8
/12
/40
/90
1
Name: MUSTERLÖSUNG
Matrikel-Nr.:
Aufgabe 1: Multiple-Choice- und
Kurz-Fragen
(30 Punkte)
Geben Sie zu jeder der folgenden Fragen die korrekte Antwort.
Multiple-Choice-Fragen: In jedem Fall ist nur eine Antwort korrekt! Eine korrekte
Antwort gibt 3 Punkte, jede falsch oder nicht beantwortete Frage gibt 0 Punkte.
Kurz-Fragen: Geben Sie eine kurze und präzise Antwort (max. 3 Sätze!). Jede korrekt
beantwortete Frage gibt 3 Punkte.
Konsum in Periode 2
(a) Zinsanstieg: Anton konsumiert über zwei Perioden. Im folgenden Diagramm sind
eingezeichnet: seine Budgetgerade B(r), seine Geldausstattung m, sowie sein Konsumpunkt x samt Indifferenzkurve.
m
x
B(r)
Konsum in Periode 1
Nun steige der Zinssatz auf r ′ . Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
Der Zinsanstieg muss zu einer Zunahme des Konsums in Periode 2 führen.
Der Zinsanstieg muss zu einer Abnahme des Konsums in Periode 2 führen.
x
Anton muss unter r ′ Kreditgeber sein, damit sich sein Nutzen durch den
Zinsanstieg nicht verringert.
Anton muss unter r ′ Kreditnehmer sein, damit sich sein Nutzen durch den
Zinsanstieg nicht verringert.
2
Name: MUSTERLÖSUNG
Matrikel-Nr.:
(b) Sicherheitsäquivalent:
Ein VNM-Erwartungsnutzenmaximierer mit Nutzenfunk√
tion u(w) = w + 1 und einem Geldvermögen von 16 sieht sich einer Lotterie
gegenüber, welche ihn mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit um 8 reicher bzw.
ärmer macht. Wie hoch ist das Sicherheitsäquivalent ( certainty equivalent“) für
”
diese Lotterie?
√
√
x 15
[Lösung: 12 16 + 8 + 1 + 12 16 − 8 + 1 = 4 =
u(CE) ⇒ CE = 15.]
16
17
√
π
(c) Nachfolgend zwei Geldlotterien g und h mit jeweils zwei möglichen Ergebnissen:
g
h
1
/3
2
2
/3
/3
1
/3
1
0
/2
0
x
Für welchen Wert von x ist g ein ‘Mean-Preserving-Spread’ von h?
x
1
[Lösung: Eine notwendige Bedingung ist Gleichheit der Erwartungswerte: 31 · 0 + 23 · 12 = 23 · 0 + 13 x ⇒ x = 1. Dass dies
2
hier hinreichend ist, ist durch Anhängen einer Lotterie ± 12 mit
3
gleicher W’keit an Ergebnis ‘x’ ersichtlich.]
nicht möglich (also: für keinen Wert x).
(d) Bertrand-Duopol: Betrachten Sie das Modell des homogenen Bertrand-Duopols
(Firmen verkaufen ein homogenes Gut, welches jede Firma zu Grenzkosten c produziert). Erklären Sie, warum p1 , p2 < c kein Nash-Gleichgewicht sein kann.
Die Firma mit dem tieferen Preis pi hat einen Anreiz, abzuweichen: Sie macht strikt
negative Gewinne, was sie z.B. durch pi = c vermeiden kann (→ Gewinn = 0).
3
Name: MUSTERLÖSUNG
Matrikel-Nr.:
(e) Betrachten Sie folgendes Spiel:
Player 2
Player 1
L
M
R
U
1, 0
1, 2
0, 1
D
0, 3
0, 1
2, 0
Iterierte Elimination strikt dominierter Strategien führt in diesem Spiel zu folgender
Vorhersage:
(U, L)
x
(U, M)
(D, M)
Der 1. FC Köln wird nächstes Jahr Meister.
(f) Betrachten Sie das Meeting in New York“-Spiel:
”
Spieler 2
Spieler 1
Central Station
Empire State
Central Station
100, 100
0, 0
Empire State
0, 0
100, 100
Welche der folgenden Aussagen ist falsch?
Das Spiel besitzt kein eindeutiges Nash-Gleichgewicht.
Das Spiel besitzt ein Nash-Gleichgewicht in dem jeder Spieler (echt) mischt.
x
Es wäre irrational, wenn Spieler 1 Central Station“ und Spieler 2 Empire
”
”
State“ spielt.
Das Spiel besitzt ein Nash-Gleichgewicht, in welchem beide Spieler zum
Empire State gehen“.
”
4
Name: MUSTERLÖSUNG
Matrikel-Nr.:
(g) Gemischte Strategien: Erläutern Sie, warum in einem Gleichgewicht in gemischten Strategien (in Spielen in strategischer Form) Spieler indifferent sein müssen
zwischen allen Strategien, welche sie mit strikt positiver Wahrscheinlichkeit spielen
(sie müssen es nicht beweisen – geben Sie eine kurze verbale Intuition).
Falls nicht, so kann Mischen keine beste Antwort sein: Der Payoff kann durch
Erhöhung der Wahrscheinlichkeit der Strategie mit dem höheren Payoff strikt
erhöht werden.
(h) Teilspiele: Wie viele Teilspiele (inklusive dem ganzen Spiel selber) besitzt das
folgende Spiel?
1
2
l
x
L
R
L’
r
l
1
2
3
4
5
2
r
Name: MUSTERLÖSUNG
Matrikel-Nr.:
(i) Betrachten Sie folgendes Spiel in extensiver Form:
Spieler 2
l
Spieler 1
u
r
d
(1, 1)
(3, 2)
(2, 3)
Geben Sie ein Strategienprofil an, welches ein Nash-Gleichgewicht darstellt, aber
welches nicht Teilspielperfekt ist.
Spieler 1 spielt ‘d’ und Spieler 2 spielt ‘l’ (falls er zum Zug kommt).
(j) Wiederholte Spiele: Nehmen Sie an das folgende Spiel wird zwei Mal hintereinander gespielt:
Ä
Spieler 2
Ö
Ü
Ä
3, 3
1, 4
0, 0
Spieler 1 Ö
4, 1
2, 2
0, 0
Ü
0, 0
0, 0
1, 1
Wie viele mögliche (reine) Strategien hat Spieler 1?
39 = 19 683
33 =
x
27
3
10
= 59 049
3
6
=
729
6
Name: MUSTERLÖSUNG
Matrikel-Nr.:
Aufgabe 2: Entscheidung bei Unsicherheit
(20 Punkte)
Fußballfan Karl hat ein Vermögen von 12000 EUR und denkt darüber nach auf bzw.
gegen den Abstieg des 1. FC Köln aus der 1. Bundesliga zu wetten. Ein Wettanbieter
bietet ihm folgende Wetten an:
• Wette 1: Für 4 EUR das Stück kann er Lotterietickets kaufen, die jeweils 10
EUR auszahlen, falls der 1. FC Köln in der nächsten Saison absteigt und nichts
auszahlen, falls der 1. FC Köln in der 1. Bundesliga verbleibt.
• Wette 2: Für 6 EUR das Stück kann er Lotterietickets kaufen, die jeweils 10 EUR
auszahlen, falls der 1. FC Köln in der nächsten Saison in der 1. Bundesliga verbleibt
und nichts auszahlen, falls der 1. FC Köln absteigt.
Karl ist an seinem Endvermögen interessiert und bewertet ein Vermögen der Höhe w anhand der Nutzenfunktion u(w) = ln(w). Aufgrund der bewegten Geschichte des Vereins
geht er davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit eines Verbleibs in der Bundesliga bei 1/2
liegt.
(a) Geben Sie eine Formel für Karls erwarteten Nutzen, an sofern er x-Mal die 1.
Wette und y-Mal die 2. Wette eingeht.
(5 Punkte)
Karls Endvermögen bei Abstieg ist 12000 + 10x − 4x − 6y = 12000 +
6(x − y), da er 10 EUR für jedes Lotterieticket der ersten Art vom
Wettanbieter erhält, 4 EUR für jedes dieser Tickets und 6 EUR für jedes
von ihm gelöste Ticket der 2. Art zahlen muss. Karls Endvermögen
bei einem Verbleib in der ersten Liga ist 12000 + 10y − 6y − 4x =
12000 − 4(x − y). Da beide Ereignisse laut Aufgabenstellung mit der
gleichen Wahrscheinlichkeit eintreten ist Karls erwarteter Nutzen
1
1
ln[12000 + 6(x − y)] + ln[12000 − 4(x − y)].
2
2
7
Name: MUSTERLÖSUNG
Matrikel-Nr.:
(b) Bestimmen Sie den für Karl optimalen Zusammenhang zwischen x und y. Kann es
für Karl optimal sein y > 0 zu wählen? (Bemerkung: Die Bedingungen 2. Ordnung
müssen nicht überprüft werden. Konkrete Werte für x und y sind nicht gefordert,
lediglich deren optimaler Zusammenhang.)
(10 Punkte)
Die Bedingung erster Ordnung (bei Ableitung nach x; Ableitung nach
y führt zu der gleichen Bedingung) ist
6
4
−
=0
2[12000 + 6(x − y)] 2[12000 − 4(x − y)]
Auflösen ergibt dann x − y = 500. Diese Gleichung beschreibt den für
Karl optimalen Zusammenhang zwischen x und y. Es gibt es mehr als
eine Lösung. Nach dieser Formel kann es für Karl also optimal sein y > 0
zu wählen – sofern eben x = 500 + y gilt.
Bemerkung: Um optimal zu handeln, muss Karl nicht unbedingt sein
ganzes Vermögen einsetzen, entscheidend ist nur, dass x − y = 500 und
dass er nicht mehr Tickets kauft, als sein Startvermögen hergibt.
8
Name: MUSTERLÖSUNG
Matrikel-Nr.:
(c) Nehmen Sie nun an der Wettanbieter ist risikoneutral und erwartet, wie Karl,
dass der 1. FC Köln mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 absteigt. Ist es für den
Wettanbieter profitabel beide Wetten anzubieten, wenn Karl sein einziger Kunde ist? Begründen Sie Ihre Antwort mit einer Rechnung und verwenden Sie Ihr
Ergebnis aus (b).
(5 Punkte)
Der erwartete Erlös des Wettanbieters ist
1
1
[6(y − x)] + [4(x − y)] = −(x − y)
2
2
Wenn Karl der einzige Kunde des Anbieters ist wird er, gemäß (b), die
beiden Wetten so nachfragen, dass x − y = 500. Das heißt aber, dass
der Wettanbieter einen Verlust von 500 EUR zu erwarten hat und die
beiden Wetten lieber nicht anbieten sollte. Bietet der Wettanbieter nur
die zweite Wette an, würde er einen Gewinn von Null erzielen, da Karl
diese Wette alleine nicht nachfragen würde.
9
Name: MUSTERLÖSUNG
Matrikel-Nr.:
Aufgabe 3: Spiele in Normalform und deren Wiederholung
(40 Punkte)
Betrachten Sie das folgende Spiel in Normalform:
Spieler 2
L
C
R
T
3, 1
0, 0
5, 0
Spieler 1 M
2, 1
1, 3
3, 1
B
1, 4
0, 1
4, 4
(a) Bestimmen Sie alle Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien.
(5 Punkte)
(T,L) und (M,C)
(b) Finden Sie ein gemischtes Nash-Gleichgewicht, in dem Spieler 1 lediglich T und M
mit positiver Wahrscheinlichkeit spielt und Spieler 2 lediglich L und C mit positiver
Wahrscheinlichkeit spielt. Wie hoch sind die erwarteten Auszahlungen der beiden
Spieler in diesem Gleichgewicht?
(7 Punkte)
Damit Spieler 1 zwischen T und M indifferent ist, muss Spieler 2 L
und C mit jeweils 50 %-iger Wahrscheinlichkeit spielen. Damit Spieler 2
zwischen L und C indifferent ist, muss Spieler 1 mit Wahrscheinlichkeit
2/3 T spielen und mit Wahrscheinlichkeit 1/3 M spielen. Das gemischte
Nash-Gg ist in diesem Falle also ( (2/3)T + (1/3)M; (1/2)L + (1/2)C).
Die erwarteten Auszahlungen der Spieler sind 3/2 (Spieler 1) und 1
(Spieler 2)
10
Name: MUSTERLÖSUNG
Matrikel-Nr.:
(c) Gibt es neben den in (a) und (b) gefundenen Gleichgewichten noch weitere Gleichgewichte? Begründen Sie Ihre Antwort. (Bemerkung: Die Beantwortung dieser
Teilfrage ist für die Bearbeitung der Teilfrage (d) nicht notwendig.) (8 Punkte)
Nein! Zunächst sollte man sich klar machen, dass Spieler 1 (in einem
Nash-Gg) niemals mit positiver Wahrscheinlichkeit B spielen kann: Für
jede Mischung von Spieler 2 die nicht Wahrscheinlichkeit 1 auf C legt
ist es für Spieler 1 strikt besser T mit Wahrscheinlichkeit 1 zu spielen.
Wenn aber Spieler 2 mit Wahrscheinlichkeit 1 C spielt, ist es für Spieler
1 am Besten mit Wahrscheinlichkeit 1 M zu spielen.
Ein ziemlich ähnliches Argument zeigt, dass Spieler 2 niemals mit positiver Wahrscheinlichkeit R spielen kann. Diese beiden Argumente zusammen zeigen, dass es keine weiteren Gleichgewichte außer den in (a)
und (b) gefundenen geben kann.
Alternative Lösung: Für Spieler 1 ist B strikt dominiert zB durch die gemischte Strategie (2/3)T + (1/3)M. Also reicht es für die Bestimmung
von Nash Gleichgewichten aus, sich ein reduziertes Spiel anzuschauen,
in dem Spieler 1 nur die Strategien T und M zur Verfügung hat. In
diesem Spiel ist R für Spieler 2 strikt dominiert durch jede gemischte
Strategie die positive Wahrscheinlichkeit auf L und C legt.
11
Name: MUSTERLÖSUNG
Matrikel-Nr.:
Betrachten Sie nun die Situation, bei der das obige Spiel zweimal hintereinander gespielt
wird, einmal in Periode t = 1 und einmal in Periode t = 2. Beiden Spieler beobachten
das Ergebnis des Spiels in t = 1 bevor Sie ihre Aktion im Spiel der Periode t = 2 wählen.
(d) Listen Sie für beide Spieler alle möglichen ’Aktionen’ auf. Beschreiben Sie verbal,
was der Begriff der ’Strategie’ für dieses Spiel bedeutet. Geben Sie beispielhaft
eine Strategie für Spieler 1 an.
Wie viele reine Strategien hat jeder der beiden Spieler?
(8 Punkte)
Aktionen Spieler 1: T, M und B Aktionen Spieler 2: L, C, R
Eine Strategie gibt eine erste Aktion für das Spiel in t = 1 und eine
zweite Aktion für jedes mögliche Ergebnis Aktionenpaar aus t = 1 an.
Beispiel für Spieler 1:
(T ; T |(T ; L), M|(T C), B|(T R), T |(ML), M|(MC), B|(MR), T |(BL), M|(BC), B|(BR))
, dabei gibt T |(T L) an, dass Spieler 1 T spielt sofern in t = 1 (T L) gespielt wird. (Hinweis: Bei der Wahl der Notation sind Sie frei, Sie müssen
allerdings sicherstellen, dass Ihre Notation vom Prüfer verstanden wird.)
Jeder Spieler hat in t = 1 genau 3 Aktionen zur Auswahl. In t = 1 gibt es
9 verschiedene Ergebnisse und eine reine Strategie muss für jedes dieser
9 Ergebnisse eine von 3 Aktionen für t = 2 spezifizieren. Es ergeben
sich also 39 · 3 = 59049 reine Strategien für jeden Spieler.
12
Name: MUSTERLÖSUNG
Matrikel-Nr.:
(e) Eine Auszahlung von X1 in t = 1 und X2 und t = 2 wird von den Spielern mit
X1 + δX2 , δ ∈ (2/3, 1)
bewertet. Geben Sie ein teilspielperfektes Nashgleichgewicht an, in dem in t = 1
der Auszahlungsvektor (4; 4) erreicht (d.h. (B;R) gespielt) wird. Benutzen Sie Ihre
Ergebnisse aus (a) und (b).
(12 Punkte)
Im der zweiten Periode muss ein NG des Normalformspiels gespielt werden, und zwar in jedem Teilspiel. Daher bleiben nicht viele Möglichkeiten.
Wir betrachten das folgende Strategieprofil: Spieler 1 spielt in t = 1 B
und spielt in t = 2,
• T, falls in t = 1 (B;R) gespielt wurde, und
• (2/3)T + (1/3)M in jedem anderen Fall.
Spieler 2 spielt in t = 1 R und spielt in t = 2,
• L, falls in t = 1 (B;R) gespielt wurde, und
• (1/2)L + (1/2)C in jedem anderen Fall.
Falls die gerade angegebenen Strategien ein teilspielperfektes Gleichgewicht darstellen wird offenbar in t = 1 (B;R) gespielt und die Aufgabe
ist gelöst.
Die Idee hinter dem oben angegebenen Strategieprofil ist, dass Spieler
1 für ‘gutes’ Verhalten in t = 1 mit dem für ihn besten Gleichgewicht
(T;L) in t = 2 ‘belohnt’ wird. Wir müssen uns nun davon überzeugen,
dass die angegebenen Strategien wirklich ein teilspielperfektes Gleichgewicht des wiederholten Spiels darstellen.
Die angegebenen Strategien induzieren offenbar in jedem Teilspiel in
t = 2 ein Nash-Gleichgewicht: Falls (B;R) beobachtet wurde, wird das
Nash-Gleichgewicht (T;L) gespielt. Für jedes andere Aktionsprofil in
t = 1 wird das gemischte Gleichgewicht aus (b) gespielt. In t = 2 gibt
es also keinen Anreiz abzuweichen.
Nun müssen wir uns noch davon überzeugen, dass es für die beiden
Spieler in t = 1 optimal ist den angegebenen Strategien zu folgen:
• Spieler 2 hat in t = 1 keinen Anreiz abzuweichen, da er durch
eine Abweichung in t = 1 seine t = 1-Auszahlung nicht erhöhen
kann und seine Gleichgewichtsauszahlung in den beiden möglichen
Gleichgewichten in t = 2 (gegeben die Strategie von Spieler 1)
jeweils gleich 1 ist.
13
Name: MUSTERLÖSUNG
Matrikel-Nr.:
zusätzlicher Platz zur Lösung Teilaufgabe (e)
• Wegen des One-deviation-principle können wir uns auf Abweichung
beschränken welche die Aktion in t = 1 variieren, die Strategie für
t = 2 aber konstant halten.
Spieler 1 könnte in t = 1 eine maximale Auszahlung von 5 erreichen, wenn er statt B T spielt. Sofern er auf T abweicht, wird in
der zweiten Periode das gemischte NG gespielt und Spieler 1 erhält
einen Payoff von X2 = 3/2. Die Abweichung sichert also eine Auszahlung von 5 + δ · 3/2, während die ursprüngliche Strategie eine
Auszahlung von 4 + δ · 3 ergibt. Abweichen ist nicht profitabel, solange 5 + δ · 3/2 6 4 + δ · 3. Dies ist der Fall für δ > 2/3, was laut
Aufgabenstellung erfüllt ist.
14