Algorithmen und Komplexität

HEINZ NIXDORF INSTITUTE
University of Paderborn
Algorithms and Complexity
Algorithmen und Komplexität
Teil 1: Grundlegende Algorithmen
WS 08/09
Friedhelm Meyer auf der Heide
Vorlesung 4, 21.10.08
Friedhelm Meyer auf der Heide
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Organisatorisches
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• Neue Übungsgruppe, Di 16-18, F2 211
• Zusätzlicher Übungsgruppenleiter: Ralf Petring
wird durch Adrian Ogiermann unterstützt
• 30% der Punkte der Ü-Blätter sind Voraussetzung
zur Zulassung zur mündlichen Prüfung.
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Greedy Algorithmen
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Greedy Algorithmen
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Greedy-Algorithmen
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Wir wissen:
Greedy-Algorithmen für z.B. Bruchteil Rucksack und Minimale
Spannbäume sind optimal.
Greedy-Algorithmen für z.B. 0-1 Rucksack ist sehr schlecht.
Greedy-Algorithmen für z.B. Bin Packing (First Fit, Best Fit)
sind 2-Approximationen, also gut, wenn auch nicht optimal.
Kann man einem Problem “ansehen”, ob der zugehörige
Greedy-Algorithmus optimal ist?
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Wann sind Greedy-Algorithmen optimal?
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Beispiele für Teilmengensysteme
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Teilmengensysteme und der kanonische
Greedy-Algorithmus
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Der kanonische G.A. für Rucksack ist sehr schlecht (haben wir gezeigt)
Der kanonische G.A. für MST ist optimal,
haben sie in DuA gezeigt: Kruskals Algorithmus
Kann man dem Teilmengensystem “ansehen”,
ob der kanonische G.A. eine optimale Lösung liefert?
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Greedy-Algorithmen und Matroide
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Bem: Alle maximalen Mengen eines Matroids sind gleich groß.
Bew: Übungsaufgabe
Das Teilmengensystem für Rucksackproblem ist kein Matroid.
Das Teilmengensystem für MST ist ein Matroid!
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Das MST-Matroid
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Satz: Das Teilmengensystem für MST ist ein Matroid.
Beweis:
(i) ∅ ∈ U (klar)
(ii) B ∈ U, A ⊆ B ⇒ A ∈ U (klar)
Wir müssen die Austauscheigenschaft nachweisen.
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Die Austauscheigenschaft des MST-Matroids
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Z.z:
Bew:
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Matroide und der
Kanonische Greedy-Algorithmus
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→ siehe Tafel
B\A
→ siehe Tafel
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Noch ein interessantes Matroid: Matching für
links-knotengewichtete bipartite Graphen
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Gegeben sei
ein bipartiter, gewichteter Graph G=(L ∪ R, K, w)
mit positiven Knotengewichten w(e) für die Knoten
aus L.
Ein Matching in G ist eine Menge von paarweise
disjunkten Kanten. Ein maximales Matching ist
eins mit maximalem Gewicht (seiner linken
Knoten.)
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Das bipartite-Matching Matroid
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Wähle E=L.
B⊆ L ist in U, falls es ein Matching mit “linker Seite”
B in G gibt.
Satz: (E,U) ist ein Matroid.
Bew:
(i) ∅ ∈ U (klar)
(ii) B ∈ U, A⊆ B ⇒ A ∈ U (klar)
Wir müssen die Austauscheigenschaft nachweisen.
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Beweis der Austauscheigenschaft
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Wähle E=L. B⊆ L ist in U, falls es ein Matching mit “linker Seite” B in G gibt.
Z.z.:
Bew: Betrachte die Kantenmengen X und Y, die zu den Matchings für A
und B gehören.
Betrachte den durch X ∪ Y induzierten Graphen H.
• H besteht aus
– isolierten Kanten, die rot, blau oder rot/blau sein können.
– disjunkten Wegen, die aus abwechselnd roten und blauen Kanten
bestehen.
• H hat mehr rote als blaue Kanten
Also: Es gibt rote isolierte Kante (mit linkem Knoten v ∈ B\A) oder
Weg der Länge > 1 mit mehr roten als blauen Kanten.
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Beweis der Austauscheigenschaft
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Also: Es gibt rote isolierte Kante (mit linkem Knoten v ∈ B\A) oder
Weg P der Länge > 1 mit mehr roten als blauen Kanten.
Im ersten Fall: A ∪ {v} ∈ U
Im zweiten Fall: P hat ungerade Länge, beginnt und endet mit
roter Kante
v ∈ B\A
A ∪ {v} ∈ U, da die roten Kanten ein Matching bilden.
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Übungsaufgabe
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Nutzen sie obige Überlegungen, um einen effizienten
Algorithmus zur Berechnung eines maximalen
Matchings in einem (links Knoten-)gewichteten
bipartiten Graphen anzugeben.
Bem: Es ist auch nicht zu schwierig, maximale Matchings
bzgl. Kantengewichten zu berechnen.
(Augmenting Paths Methode; wir kommen darauf später
zurück, wenn wir über Flussprobleme reden.)
Die zugrunde liegende Struktur ist dann der “Durchschnitt
zweier Matroide.”
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Thank you for
your attention!
Friedhelm Meyer auf der Heide
Heinz Nixdorf Institute
& Computer Science Department
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Fürstenallee 11
33102 Paderborn, Germany
Tel.: +49 (0) 52 51/60 64 80
Fax: +49 (0) 52 51/62 64 82
E-Mail: [email protected]
http://www.upb.de/cs/ag-madh
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