Hochpass-Vierpole Frequenzbereich und Zeitbereich

C:\ro\Si05\Ingmath\Hochpass-Vierpole_Freq_Zeit_1.doc, S. 1/4
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Hochpass-Vierpole
Frequenzbereich und Zeitbereich
Frequenzbereich:
Im nachfolgenden Text wird für je 3 Hochpässe mit T-Struktur und je 3 Hochpässe mit PiStruktur die komplexe Übertragungsfunktion Ausgang/Eingang uA/u0 berechnet und als
Funktion der Kreisfrequenz wg aufgetragen:
Im linken Teilbild unten der Betrag von uA/u0, darüber der Phasenwinkel . Im rechten
Teilbild uA/u0 als komplexe Ortskurve (Imaginärteil als Ordinate, Realteil als Abszisse).
Die Kreismarkierung in beiden Teilbildern entspricht der „Grenz-Kreisfrequenz“ wgr, d.h.
derjenigen Kreisfrequenz, bei der der Betrag uA/u0 den Wert 0.5/sqrt(2) annimmt.
Im Titel werden die beim Aufruf verwendeten Werte (R0, L, C, wmax) und die sich
ergebende Grenz-Kreisfrequenz wgr geschrieben.
Der Wert des Widerstandes R0 wurde so gewählt, dass sich im Durchlassbereich des Filters
ein möglichst konstanter Betrag uA/u0 ergibt.
Die nachfolgende Matlab-Datei allehochpas1.m berechnet alle 6 Filter:
fall=1, 2, 3 die Filter mit 1, 2, 3 T-Gliedern, fall 11, 12, 13 die Filter mit 1, 2, 3 Pi-Gliedern
Zeitbereich:
Für jede der 6 Schaltungen wird das System der DGLn 1. Ordnung aufgestellt.
Für das Aufstellen der DGLn wird die Schaltung umgezeichnet: Jedem Kondensator C1, C2,
... wird die an ihm liegende Spannung uC1, uC2, … zugeordnet und jeder Spule L1, L2, ...
wird ihr Spulenstrom i1, i2, ... zugeordnet. Durch Anwendung des Maschensatzes und des
Knotensatzes wird für jede dieser Spannungen und Ströme je eine DGL 1. Ordnung
aufgestellt, die keine weitere zeitliche Ableitung enthält.
Zur Verdeutlichung der Schreibweise werden die zeitlichen Ableitungen unterstrichen, hier
als Beispiel für die Schaltung mit einem T-Glied:
à C1*duC1/dt = iC1; C2*duC2/dt = iC1-i1; Masche M1: u0 = R0*iC1 + uC1 + L*di1/dt
C:\ro\Si05\Ingmath\Hochpass-Vierpole_Freq_Zeit_1.doc, S. 2/4
% Datei alhochp_frzeit_1.m
%Alle Hochpass-Vierpol-Filter, 1,2,3 T-Glieder CLC; 1,2,3 Pi-Glieder LCL
format compact;
dw=wmax/10000;
w= dw: dw: wmax; s=j*w;
%++++++++++++++ zunächst die T- Vierpole +++++++++++++
R0
if fall==1, %1 T-Glied
Z1= R0+ 1./(s*C) ; Y1= 1./(s*L);
Z2= 1./(s*C); Y2= 1./R0;
Y1p= Y1+ 1./(Z2 + 1./Y2);
u0
C
C
Z1
Z2
L
H= 1./(1+ Z1 .* Y1p) ./(1+ Z2.*Y2);
S0=[', Hochpass 1 T-Glied CLC '];
end; %if fall==1
Für Zeitbereich:
R0
Y1
M1
Y2
Y1p
iC1 C1
A
uC1
u0
uA
R0
C2
i1
uC2
L
RA
uA
Masche über Alles (Mit Hilfsgröße iC1 = Strom durch C1):
u0 = R0*iC1+ uC1+uC2+RA*(iC1-i1) = (R0+RA)*iC1+uC1+uC2-RA*i1
à iC1= (u0 - uC1-uC2 + RA*i1 ) / (R0+RA)
à C1*duC1/dt = iC1; C2*duC2/dt = iC1-i1; Masche M1: u0 = R0*iC1 + uC1 + L*di1/dt
Hinweis: Zur Verdeutlichung der Schreibweise wird jede zeitlich Ableitung unterstrichen dargestellt.
if fall==2, %2 T-Glieder
Z1= R0 +1./(s*C); Y1= 1./(s*L);
Z2= 1./(s*C/2); Y2= 1./(s*L);
Z3= 1./(s*C);
Y3= 1./R0;
Y2p= Y2+ 1./(Z3 + 1./Y3);
Y1p= Y1+ 1./(Z2 + 1./Y2p);
u0
C/2
C
R0
Z3
Z2
Z1
L
L
Y1
H= 1./(1+Z1 .*Y1p) ./(1+ Z2.*Y2p)./(1+ Z3.*Y3);
S0=[', Hochpass 2 T-Glieder CLC '];
end; %if fall==2
C2
R0 iC1 C1
Für Zeitbereich:
A
i1
uC2
uC1
u0
L1
M2
M1
C
Y2
Y3
Y2p
Y1p
C3
i2
uC3
L2
Masche über Alles (Mit Hilfsgröße iC1 = Strom durch C1):
u0 = R0*iC1+ uC1+uC2 + uC3 + RA*(iC1-i1-i2)
à iC1= (u0 - uC1-uC2 –uC3 + RA*(i1+i2) ) / (R0+RA)
à C1*duC1/dt = iC1; C2*duC2/dt = iC1- i1; C3*duC3/dt = iC1- i1- i2 ;
Masche M1:
u0 = R0*iC1 + uC1 + L1*di1/dt
Maschen M1+M2: u0 = R0*iC1 + uC1 + uC2 + L2*di2/dt
RA
uA
uA
R0
C:\ro\Si05\Ingmath\Hochpass-Vierpole_Freq_Zeit_1.doc, S. 3/4
C
R0
if fall==3, %3 T-Glieder
Z1= R0 +1./(s*C); Y1= 1./(s*L);
Z2= 1./(s*C/2); Y2= 1./(s*L);
Z3= 1./(s*C/2); Y3= 1./(s*L);
Z4= 1./(s*C);
Y4= 1./R0;
Y3p= Y3+ 1./(Z4 + 1./Y4);
Y2p= Y2+ 1./(Z3 + 1./Y3p);
Y1p= Y1+ 1./(Z2 + 1./Y2p);
u0
Z1
C/2
C/2
Z2
Z3
L
Z4
L
L
Y1
C
Y2
uA
R0
Y3
Y4
Y3p
Y2p
H= 1./(1+Z1 .*Y1p) ./(1+ Z2.*Y2p)./(1+ Z3.*Y3p) ./(1+ Z4.*Y4);
S0=[', Hochpass 3 T-Glieder CLC '];
end; %if fall==3
C3
C2
R0 iC1 C1
Für Zeitbereich:
A
i2
i1
uC3
uC2
uC1
u0
L1
L2
M3
M1
M2
Y1p
C4
i3
uC4
RA
L3
Masche über Alles (Mit Hilfsgröße iC1 = Strom durch C1):
u0 = R0*iC1+ uC1+uC2 + uC3 + uC4 + RA*(iC1- i1- i2- i3)
à iC1= (u0 - uC1- uC2 –uC3 – uC4 + RA*(i1+i2+i3) ) / (R0+RA)
à C1*duC1/dt = iC1; C2*duC2/dt = iC1- i1; C3*duC3/dt = iC1-i1-i2 ; C4*duC4/dt = iC1-i1-i2-i3 ;
Masche M1:
u0 = R0*iC1 + uC1 + L1*di1/dt
Maschen M1+M2:
u0 = R0*iC1 + uC1 + uC2 + L2*di2/dt
Maschen M1+M2+M3: u0 = R0*iC1 + uC1 + uC2 + uC3+ L3*di3/dt
%++++++++++++++ anschließend die Pi- Vierpole +++++++++++++
if fall==11, % 1 Pi-Glied LCL
Z1= R0 ; Y1= 1./(s*L);
Z2= 1./(s*C); Y2= 1./R0 + 1./(s*L);
Y1p= Y1+ 1./(Z2 + 1./Y2);
H= 1./(1+Z1 .* Y1p) ./(1+ Z2.*Y2);
S0=[', Hochpass 1 Pi-Glied LCL '];
end; %if fall==11
Für Zeitbereich:
R0
iC1 C1
i1 A
uC1
u0
L1
M1
M2
R0
C
Z1
Z2
u0 L
L
Y1
Y2
Y1p
i2
L2
RA
uA
Masche über Alles (Mit Hilfsgröße iC1 = Strom durch C1):
u0 = R0*(i1+ iC1) + uC1+RA*(iC1- i2) = (R0+RA)*iC1+R0*i1+ uC1- RA*i2
à iC1= (u0 – R0* i1- uC1+ RA* i2 ) / (R0+RA)
à C1*duC1/dt = iC1; Masche M1: u0 = R0* (i1 + iC1) + L1*di1/dt
Maschen M1 + M2 : u0 = R0* (i1 + iC1) + uC1 + L2*di2/dt
R0
uA
uA
C:\ro\Si05\Ingmath\Hochpass-Vierpole_Freq_Zeit_1.doc, S. 4/4
if fall==12, % 2 Pi-Glieder LCL
Z1= R0 ; Y1= 1./(s*L);
Z2= 1./(s*C); Y2= 1./(s*L/2);
Z3= 1./(s*C);
Y3= 1./R0 + 1./(s*L);
C
R0
C
Z1
Z2
u0 L
Z3
L/2
Y2p = Y2+ 1./(Z3 + 1./Y3);
Y1p = Y1+ 1./(Z2 + 1./Y2p);
Y1
H= 1./(1+Z1 .* Y1p) ./(1+ Z2.*Y2p) ./(1+ Z3.*Y3);
S0=[', Hochpass 2 Pi-Glieder LCL '];
end; %if fall==12
Für Zeitbereich:
R0
iC1 C1
i1 A
i2
uC1
u0
L1
L2
M2
M1
L
uA
R0
Y2
Y3
Y2p
Y1p
C2
i3
uC2
uA
RA
L3
M3
Masche über Alles (Mit Hilfsgröße iC1 = Strom durch C1):
u0 = R0*(i1+ iC1) + uC1+ uC2 + RA*(iC1- i2 – i3)
à iC1= (u0 – R0* i1- uC1 – uC2 + RA* (i2 + i3 ) ) / (R0+RA)
à C1*duC1/dt = iC1; C2*duC2/dt = iC1- i2;
Masche M1:
u0 = R0* (i1 + iC1) + L1*di1/dt
Maschen M1 + M2 :
u0 = R0* (i1 + iC1) + uC1 + L2*di2/dt
Maschen M1 + M2 + M3: u0 = R0* (i1 + iC1) + uC1 +uC2 + L3*di3/dt
if fall==13, % 3 Pi-Glieder LCL
Z1= R0 ;
Y1= 1./(s*L);
Z2= 1./(s*C); Y2= 1./(s*L/2);
Z3= 1./(s*C); Y3= 1./(s*L/2);
Z4= 1./(s*C); Y4= 1./R0 + 1./(s*L);
Y3p = Y3+ 1./(Z4 + 1./Y4);
Y2p = Y2+ 1./(Z3 + 1./Y3p);
Y1p = Y1+ 1./(Z2 + 1./Y2p);
R0
C
C
C
Z1
Z2
Z3
Z4
u0 L
L/2
Y1
L
L/2
Y2
Y3
R0
uA
Y4
Y3p
Y2p
Y1p
H= 1./(1+ Z1 .* Y1p) ./(1+ Z2.*Y2p) ./(1+ Z3.* Y3p)./(1+ Z4.* Y4);
S0=[', Hochpass 3 Pi-Glieder LCL '];
end; %if fall==13
Für Zeitbereich:
C2
C3
R0
iC1 C1
A
i3
i1
i2
i4
uC2
uC3
uC1
u0
L3
L1
L2
L4
M2
M3
M4
M1
Masche über Alles (Mit Hilfsgröße iC1 = Strom durch C1):
u0 = R0*(i1+ iC1) + uC1+ uC2 + uC3 + RA*(iC1- i2 – i3 – i4)
à iC1= (u0 – R0* i1- uC1 – uC2 –uC3 + RA* (i2 + i3 + i4) )/ (R0+RA)
à C1*duC1/dt = iC1; C2*duC2/dt = iC1- i2; C3*duC3/dt = iC1- i2 - i3;
Masche M1:
u0 = R0* (i1 + iC1) + L1*di1/dt
Maschen M1+M2 :
u0 = R0* (i1 + iC1) + uC1 + L2*di2/dt
Maschen M1+M2+M3:
u0 = R0* (i1 + iC1) + uC1 + uC2 + L3*di3/dt
Maschen M1+M2+M3+M4: u0 = R0* (i1 + iC1) + uC1 + uC2 + uC3 + L4*di4/dt
RA
uA