Physikalisches Grundpraktikum für Physiker/innen

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Fachrichtungen der Physik
UNIVERSITÄT
DES
SAARLANDES
Physikalisches Grundpraktikum
für Physiker/innen
Teil III
SS 2010
WWW-Adresse Grundpraktikum Physik: http://grundpraktikum.physik.uni-saarland.de/
0H
Praktikumsleiter:
PD Dr. Manfred Deicher
Zimmer: 1.11, Gebäude E 2.6
e-mail: [email protected]
Telefon: 0681/302-58198
1H
PD Dr. Patrick Huber
Zimmer: 3.23, Gebäude E2.6
e-mail: [email protected]
Telefon: 0681/302-3944
2H
Inhalt
• Supraleitung
• Raster-Tunnel-Mikroskop (RTM)
• Transistor
• Digitalelektronik
• Franck-Hertz-Versuch
• Millikan-Versuch
• Bestimmung der spezifischen Elementarladung e/m
• Kohärenz von Wellen (Newtonsche Ringe)
• Beugung von Röntgenstrahlen
• Phasenumwandlung und Kritischer Punkt
• Temperaturstrahlung
Fachrichtungen der Physik
UNIVERSITÄT
DES
SAARLANDES
Physikalisches Grundpraktikum
für Physiker/innen
Teil III
Supraleitung
WWW-Adresse Grundpraktikum Physik: http://grundpraktikum.physik.uni-saarland.de/
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Kontaktadressen der Praktikumsleiter:
Dr. Manfred Deicher
Zimmer: 1.11, Gebäude E 2.6
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1H
Dr. Patrick Huber
Zimmer: 3.23, Gebäude E2.6
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2H
Supraleitung
Version: 10.05.01, mr
Themengebiet
Supraleitung
{
{
{
{
{
{
{
Eigenschaften von Supraleitern.
Ist ein Supraleiter nur\ein idealer Leiter?
"
London'sche Gleichungen.
Thermodynamik des Supraleiters.
Supraleiter 1. und 2. Art.
BCS-Theorie und Cooper-Paare.
Hochtemperatur-Supraleitung.
Supraleitung
1
1 VORBEREITUNG
Vorbereitung
1.1
Literatur
Es ist schwierig, eine leichtverstandliche Einfuhrung in die Supraleitung anzugeben, die
nicht den Rahmen des Grundpraktikums sprengt. Die Anleitung richtet sich nach folgenden Lehrbuchern:
K. Kopitzki: Einf
uhrung in die Festk
orperphysik
Ch. Kittel: Einf
uhrung in die Festk
orperphysik
Ibach, L
uth: Festk
orperphysik
W. Buckel: Supraleitung
Gerthsen, Kneser, Vogel: Physik
1.2
Teubner Studienbucher Physiker Lehrbuch, Stuttgart.
R. Oldenbourg Verlag, Munchen.
Springer Lehrbuch, Berlin.
Wiley/VCH, Weinheim.
Springer Lehrbuch, Berlin.
Fragen:
1. Welche makroskopischen Quantenphanomene auer der Supraleitung kennen Sie?
Geben Sie eine kurze Beschreibung.
2. Geben Sie die wesentlichen Eigenschaften von Supraleitern, z.B. im Unterschied
zu idealen Normalleitern\, an.
"
3. Was versteht man unter Hochtemperatursupraleitern?
4. Was ist die London'sche Eindringtiefe? Erlautern Sie ihre physikalische Bedeutung?
5. Beschreiben Sie den Unterschied von Supraleitern 1. und 2.Art.
6. Was ist die Shubnikov-Phase?
7. Beschreiben Sie knapp den Inhalt der BCS-Theorie.
II
Supraleitung
2
Einf
uhrung in die Supraleitung
Seit der Entdeckung der Supraleitung gehort sie wohl zu den faszinierendsten physikalischen Phanomenen. In unserer von Reibung dominierten Welt ist die Vorstellung eines
elektrischen Stromes, der uber 100.000 Jahre hin nicht abklingt, ungeheuer spannend.
Es wurde den Rahmen eines Grundpraktikums sprengen, wollte man hier eine komplette Darstellung der Supraleitung geben. Wir wollen in dieser Anleitung zumindest die
elementaren Eigenschaften von Supraleitern herausarbeiten und versuchen, einfache Erklarungen zu geben.
Die Supraleitung ist noch immer ein sehr aktives Forschungsgebiet mit vielen oenen
Fragen...
2.1
2.1.1
Eigenschaften von Supraleitern
Elektrische Eigenschaften
Supraleiter haben einen verschwindenden elektrischen Widerstand. Die Frage, ob der
Widerstand wirklich null ist, oder einfach nur sehr klein, ist schwierig zu beantworten.
Ein konventionelles Messgerat kann immer nur eine obere Grenze fur den zu messenden
Widerstand angeben. Als beste Methode, sehr kleine Widerstande zu messen, benutzte schon 1914 Heike Kamerlingh Onnes (*1853 in Groningen, y1926 in Leiden, 1913
Nobelpreis), der Entdecker der Supraleitung, das Abklingen eines Stromes in einem geschlossenen supraleitenden Ring.
Abbildung 1: Durch Induktion lasst sich in einem supraleitenden Ring ein supraleitender
Strom anwerfen.
In Abbildung 1 wird in den noch normalleitenden Ring ein Magnetstab eingefuhrt. Nach
dam Abkuhlen, wenn der Ring in den supraleitenden Zustand ubergegangen ist, wird
der Magnetstab wieder herausgezogen. Dabei wird im Ring eine Induktionsspannung
erzeugt, die einen supraleitenden Strom anwirft. Die Abklingzeit diese Stromes ist ein sehr
empndliches Mass fur den elektrischen Widerstand. Mit dieser Methode lasst sich der
spezische Widerstand von Supraleitern abschatzen. Er ist nach heutigem Wissensstand
III
2 EINFU HRUNG IN DIE SUPRALEITUNG
Supraleitung
mindestens 17 Zehnerpotenzen kleiner als der von Kupfer, einem sehr guten elektrischen
Leiter.
Ein Supraleiter ist also ein idealer Leiter mit R = 0.
2.1.2
Magnetische Eigenschaften
Meissner und Ochsenfeld fanden 1933 heraus, dass bei der Abkuhlung eines Supraleiters
in einem Magnetfeld bis unter die Sprungtemperatur die Feldlinien der magnetischen
 bergang zum Supraleiter aus der Probe herausgedrangt werden (siehe
Induktion B beim U
Abbildung 2). Das Innere eines Supraleiters im supraleitenden Zustand ist also feldfrei.
Abbildung 2: Meissner-Eekt: Im supraleitenden Zustand verdrangt ein Supraleiter die
magnetischen Feldlinien aus seinem Innern.
Es bildet sich im Innern des Supraleiters eine Magnetisierung MS aus, die das von aussen
angelegte Feld Ba gerade kompensiert:
MS
= B a = ( 1) B a :
0
0
(1)
Das heisst fur das Feld im Innern des Supraleiters gerade
Bi = Ba + 0 MS
= 0:
(2)
Demonstrieren lasst sich dieser Meissner-Eekt, indem man einen Supraleiter auf einen
Permanentmagneten legt, und den Supraleiter abkuhlt. Der unter die Sprungtemperatur TC abgekuhlte Supraleiter schwebt auf dem Permanentmagneten. Der Supraleiter
verdrangt die magnetischen Feldlinien aus seinem Innern und schwebt quasi auf einem
Feldlinienpolster\, wie in Abbildung 4 gezeigt.
"
Ein Supraleiter ist also auch ein idaler Diamagnet mit = 1.
IV
2.1. Eigenschaften von Supraleitern
Supraleitung
Abbildung 3: Im supraleitenden Zustand baut sich im Supraleiter eine dem ausseren
Magnetfeld entgegengesetzte Magnetisierung auf, die das aussere Feld im Innern kompensiert.
Abbildung 4: Im supraleitenden Zustand drangt ein Supraleiter die magnetischen Feldlinien aus sich heraus, er schwebt auf einem Permanentmagneten.
Anhand des Diagrammes in Abbildung 5 kann man sich klarmachen, dass die magnetischen Eigenschaften fur die Charakterisierung eines Supraleiters genauso wichtig sind,
wie die elektrischen. Gezeigt sind hier die Abkuhlprozesse fur einen gedachten idealen
Leiter mit R = 0 (linker Teil der Abbildung 5) und einen Supraleiter (rechter Teil von
Abbildung 5), jeweils mit und ohne einem ausseren angelegten Feld Ba .
Beim Supraleiter ist der Endzustand unabhangig davon, ob ein Feld eingeschaltet ist
oder nicht. In einem idealen Leiter wurden unterhalb der kritischen Temperatur beim
Ausschalten des ausseren Feldes Dauerstrome induziert, die wiederum ein Magnetfeld
im Leiter hervorrufen. Das Innere eines idealen Leiters ware also nicht immer feldfrei,
was im Gegensatz zum echten Supraleiter steht.
Ein Supraleiter ist also ein idealer Leiter mit R = 0 und ein idealer Diamagnet
mit =
1. Beide Eigenschaften gemeinsam erst kennzeichnen den supraleitenden Zustand.
V
Supraleitung
2 EINFU HRUNG IN DIE SUPRALEITUNG
Abbildung 5: Magnetisches Verhalten eines (gedachten) idealen Leiters (links) und eines
echten Supraleiters (rechts). Verglichen werden Abkuhlvorgange mit und ohne eingeschaltetes ausseres Magnetfeld Ba .
Zeile 1: bei 300 K benden sich beide im normalleitenden Bereich, ein 
ausseres Magnetfeld (Spalten 2 und 4) durchdringt sowohl den idealen Leiter als auch den noch
normalleitenden Supraleiter.
Zeile 2: Abk
uhlvorgang.
Zeile 3: Schaltet man jetzt ein 
ausseres magnetisches Feld ein, werden Abschirmstrome
induziert und sowohl idealer Leiter als auch Supraleiter drangen das Feld aus ihrem Innern
heraus (Spalte 1 und 3). War beim Abkuhlen schon ein Feld eingeschaltet (Spalte 2 und
4), dann durchdringt das Magnetfeld jetzt den idealen Leiter, wahrend der Supraleiter
aufgrund des Meissner-Eektes das Magnetfeld aus sich herausdrangt.
Zeile 4: Schaltet man das 
aussere Feld wieder ab, verschwinden die Abschirmstrome.
Im idealen Leiter, der mit eingeschaltetem Feld abgekuhlt wurde (Spalte 2) werden jedoch beim Abschalten des Feldes Strome induziert, die zu einer Magnetisierung fuhren.
Das Innere eines idealen Leiters ist also nicht immer feldfrei. Hier wird der Unterschied
zwischen idealem Leiter und Supraleiter deutlich: ein Supraleiter wird erst durch seine
elektrischen und magnetischen Eigenschaften charakterisiert.
Abbildung 5 zeigt auch, dass der supraleitende Zustand unabhangig von der Vorgeschichte und damit ein echter thermodynamischer Zustand ist.
VI
Supraleitung
2.2. Die London'schen Gleichungen
2.2
Die London'schen Gleichungen
Einen ersten rein phanomenologischen Erklarungsversuch unternahm 1935 F. London.
Er anderte die bisher bekannten Gleichungen der Elektrodynamik
rD =
r E + B_ =
rB =
rB =
(Coulomb'sches Gesetz)
0 (Faraday'sches Induktionsgesetz)
0 (Nichtexistenz freier magnetischer Ladungen)
0 j (Ampere'sches Durchutungsgesetz)
(3)
(4)
(5)
(6)
entsprechend ab. Die Gleichungen sollten nun ein System mit den Eigenschaften R = 0
(idealer Leiter) und = 1 (idealer Diamagnet) beschreiben.
Nach dem Drude-Modell, das die Bewegung von Elektronen in Metallen unter Einuss
eines elektrischen Feldes beschreibt, gilt fur ein Elektron folgende klassische Bewegungsgleichung :
m
vD
= eE:
(7)
| {z }
Reibungsterm
(v ist die Geschwindigkeit der Elektronen, E das angelegte elektrische Feld, eine
Relaxationszeit zwischen zwei Stossen des Elektrons, vD = v vthermisch die thermische Driftgeschwindigkeit, d.h. die zusatzlich zur thermischen Geschwindigkeit vthermisch
durch das Feld erzeugte Geschwindigkeit.)
Um dem verschwindenden Widerstand R = 0 gerecht zu werden, entfernte London den
Reibungsterm aus Gleichung 7 und erhielt zusammen mit der Stromdichte jS = enS v
der supraleitenden Elektronen:
mv_ +
n e2
j_S = S E:
m
1. London'sche Gleichung.
(8)
Durch Einsetzen in das Faradaysche Induktionsgesetz (Gleichung 4) erhalt man
@ m
r jS + B = 0
@t nS e2
(9)
Bei der Integration dieser Gleichung tritt eine Integrationskonstante auf. Um der Bedingung = 1 zu genugen, wird diese Konstante gleich null gesetzt. Die Integration
liefert dann:
r jS =
nS e2
B:
m
2. London'sche Gleichung:
(10)
VII
2 EINFU HRUNG IN DIE SUPRALEITUNG
Supraleitung
Kurzt man
s
m
0 nS e2
ab, lautet das neue Gleichungssystem, das einen Supraleiter richtig (R
beschreibt, jetzt
L =
= 0; = 1)
= Lj_S
1. London'sche Gleichung
= Lr jS 2. London'sche Gleichung
= j
Ampere'sches Durchutungsgesetz.
die Konstante L , die das Gleichungssystem vereinfacht, als die
E
B
rB
Man deniert
(11)
2
2
0
. Eine physikalische Begrundung liefert Kapitel 2.2.1.
(12)
(13)
(14)
Lon-
don'sche Eindringtiefe
2.2.1
Die Londonsche Eindringtiefe
Die Supraleitungsgleichungen 12,13 und 14 lassen sich ineinander einsetzen und man
bekommt folgende Dierentialgleichungen
4B 1 B = 0
L
2
und
mit den Losungen fur B(x) und j(x)
B(x) = Ba exp
x
L
und
4jS 1 jS = 0:
L
2
j(x) =
1 B exp x :
L a
L
(15)
(16)
Diese Gleichungen zeigen, dass im Innern des Supraleitern kein gleichformiges Magnetfeld
existieren kann, da B(x) = const fur Felder ungleich null keine Losung der Dierentalgleichung sein kann. Das aussere Magnetfeld dringt in den Supraleiter ein, klingt jedoch
mit der London'schen Eindringtiefe L exponentiell ab. Die Abschirmstrome, die das Innere des Supraleiters gegen das aussere Magnetfeld abschirmen, iessen in einer dunnen
Oberachenschicht der Dicke L . Sie klingen ebenfalls exponentiell mit L ab, wie in
Abbildung 6 schematisch gezeigt ist.
Typische Werte fur die Eindringtiefe des ausseren magnetischen Feldes und die Oberachenschicht, in der die Abschirmstrome iessen, sind L 10 100 nm.
2.2.2
Die kritische Feldst
arke
BC
Um das Innere des Supraleiters feldfrei zu halten, iessen, wie wir gezeigt haben, Abschirmstrome in einer sehr kleinen Oberchenschicht der Dicke L . Um diese Abschirmstrome bei Einschalten des ausseren Magnetfeldes zu induzieren, ist Energie notwendig.
VIII
2.2. Die London'schen Gleichungen
Supraleitung
Abbildung 6: Das aussere magnetische Feld dringt in den Supraleiter ein, klingt aber
entsprechend den London'schen Gleichungen exponentiell ab.
Ab einem gewissen kritischen Magnetfeld BC ist es fur den Supraleiter gunstiger, keine
Abschirmstrome mehr zu induzieren, sondern das aussere Feld eindringen zu lassen. Der
Supraleiter geht also ab einer kritischen Feldstarke BC wieder in den normalleitenden Zustand uber. Dieses kritische Feld BC ist umso grosser, je tiefer die Temperatur ist (siehe
Abbildung 7). Der Bereich im Phasendiagramm in dem der Supraleiter das magnitsche
Feld vollstandig aus sich herausdrangt, heisst Meissner-Phase.
Abbildung 7: Verhalten der kritischen Feldstarke mit der Temperatur (fur einen Supraleiter 1.Art). Der schraÆerte Bereich ist die Meissner-Phase (vgl. Kapitel 2.3).
Abbildung 8 zeigt die Magnetisierung MS in Abhangigkeit vom angelegten Feld. Die
Magnetisierung steigt zunachst linear mit dem ausseren Feld an und bricht dann beim
kritischen Feld BC schlagartig zusammen, wenn der Supraleiter wieder normalleitend
wird.
IX
Supraleitung
2 EINFU HRUNG IN DIE SUPRALEITUNG
Abbildung 8: Abhangigkeit der Magnetisierung eines Supraleiters (1.Art) vom ausseren
angelegten Magnetfeld.
2.3
Supraleiter 1. und 2. Art
Man unterscheidet zwei Arten von Supraleitern: Supraleiter 1.Art und Supraleiter 2.Art.
Wir haben bisher streng nur uber Supraleiter 1.Art gesprochen, ohne dies explizit zu
erwahnen. Nun wollen wir auf die Unterschiede der beiden Typen eingehen.
Neben der London'schen Eindringtiefe L, gibt es noch eine zweite, davon unabhangige,
aber ebenso wichtige, charakteristische Lange fur einen Supraleiter, die Koharenzlange
. ist ein Mass fur den Bereich, in dem die quantenmechanischen Elektronenwellenfunktionen koharent uberlagern also fur die kleinste raumliche Ausdehnung der Schicht,
uber die der U bergang vom Normal- zum Supraleiter erfolgt.
Abbildung 9: Vergleich fur Koharenzlange und Eindringtiefe
1.Art.
L fur einen Supraleiter
Bei einem Supraleiter 1. Art ist die die Koharenzlange viel grosser als die Eindringtiefe
(Abbildung 9) des Magnetfeldes L . Das Innere des Supraleiters ist feldfrei. Bei Erhohen
der ausseren Feldstarke bricht die Supraleitung bei einem kritischen Feld BC zusammen
X
2.3. Supraleiter 1. und 2. Art
Supraleitung
und das Magnetfeld dringt vollstandig in den Supraleiter ein.
Ist die Koharenzlange kleiner als die Eindringtiefe (Abbildung 10) andert sich das Verhalten in einem ausseren Feld. Ein solcher Supraleiter 2.Art verdrangt das magnetische
Feld vollstandig nur bis zu einer Feldstarke BC 1 aus seinem Innern. Oberhalb dieser
Feldstarke bleibt die Probe zwar supraleitend, das magnetische Feld wird aber nur teilweise verdrangt. Der Supraleiter besteht jetzt aus normal- und supraleitenden Bereichen.
Der Stromtransport geschieht nur uber die supraleitenden Teile, die normalleitenden sind
quasi kurzgeschlossen\. Erst bei einer Feldstrarke BC 2 dringt der magnetische Fluss
"
vollstandig in die Probe ein und die Supraleitung verschwindet.
Abbildung 10: Koharenzlange und Eindringtiefe L fur einen Supraleiter 2.Art.
Abbildung 11 zeigt die Magnetisierungskurven eines Supraleiters 1. und 2.Art. Wahrend
ein Supraleiter 1.Art das magnetische Feld bis zum Zusammenbruch der Supraleitung
komplett aus seinem Innern verdrangt, dringt das magnetische Feld bei einem Supraleiter
2.Art ab einer kritischen Feldstarke BC 1 in den Supraleiter ein. Erst bei der Feldstarke
BC 2 verschwindet die Supraleitung, und das Magnetfeld durchdringt den Supraleiter
vollkommen.
Abbildung 11: Magnetisierungskurven eines Supraleiters 1. und 2.Art im Vergleich.
XI
Supraleitung
2 EINFU HRUNG IN DIE SUPRALEITUNG
Im Unterschied zur Meissner-Phase, die bei Supraleitern 1. und 2.Art auftritt und bei
der das Magnetfeld vollstandig aus dem Inneren des Supraleiters verdrangt wird, heisst
die Zwischenphase im Supraleiter 2.Art, bei der die magnetische Induktion teilweise in
den Supraleiter eindringt ohne aber den supraleitenden Zustand vollstandig zu zerstoren,
Shubnikov-Phase. Abbildung 12 zeigt die B(T)-Kurve f
ur einen Supraleiter 2.Art.
Abbildung 12: Meissner- und Shubnikov-Phase in einem Supraleiter 2.Art.
In Abbildung 13 sieht man auf die Deckache eines zylinderformigen Supraleiters 2.Art
in seiner Shubnikov-Phase. Die magnetfeldfuhrenden Flussschlauche\, die in eine su"
praleitende Umgebung eingebettet sind, sind mit kleinen ferromagnetischen Partikeln
markiert. Deutlich zu sehen ist die regelmassige Anordnung der Flussschlauche\auf ei"
nem Dreiecksgitter.
Abbildung 13: Flusslinien, die durch die Deckache eines supraleitenden Zylinders treten.
Die Flusschlauche sind mit kleinen ferromagnetischen Partikeln markiert.
Zur Charakterisierung von Supraleitern fuhrt man den Ginzburg-Landau-Parameter ein
mit
= L:
(17)
p
Ist der Ginzburg-Landau-Parameter < 1= 2, d.h. die Eindringtiefe des Magnetfeldes
ist kleiner als die Kohaprenzlange der Cooper-Paare, handelt es sich um einen Supraleiter 1.Art, ist > 1= 2, dann ist die Eindringtiefe des Magnetfeldes grosser als die
Koharenzlange und der Supraleiter gehort zu den Supraleitern 2.Art.
XII
Supraleitung
2.4. Thermodynamik des Supraleiters
Durch Verunreinigung oder Legierung kann man Supraleiter 1.Art in Supraleiter 2.Art
verwandeln. In verunreinigten Materialien und Legierungen ist die Koharenzlange kurzer
als in reinen Stoen, da die Elektronenfunktionen hier nicht ungestort uber weite Bereiche
uberlappen konnen.
Technische Anwendung nden hauptsachlich die Supraleiter 2.Art. Die kritischen Felder
der Supraleiter 1.Art sind zu klein, um von Nutzen fur die Erzeugung starker Magnetfelder
zu sein. Die kritische Feldstarke BC 2 eines Supraleiters 2.Art kann bei mehreren Tesla
liegen. Wahrend handelsubliche Elektromagnete wegen der immensen Warmeentwicklung
im Innern der Spulen bis auf Feldstarken von etwa 2 T begrenzt sind, erreichen die
starksten kommerziellen supraleitenden Magnete Felder bis hin zu 17 T(!). Bei den 1986
von Bednorz entdeckten Hochtemperatur-Supraleitern liegen die kritischen Felder BC 2
sogar in Grossenordnungen von bis zu 300 T.
2.4
2.4.1
Thermodynamik des Supraleiters
Energiegewinn des Supraleiters
Der supraleitende Zustand ist fur den Supraleiter energetisch gunstiger als der normalleitende. Wie gross der Energiegewinn ist, lasst sich abschatzen. Um sein Inneres feldfrei zu
halten, kompensiert der Supraleiter das ausssen angelegte Feld mit einer Magnetisierung
MS = ( 1) B0a .
Abbildung 14: Der Supraleiter kompensiert das aussere Magnetfeld mit einer inneren
Magnetisierung MS .
Die Energie dieser Magnetisierung MS im ausseren Feld Ba ist gerade (VS ist das Volumen des Supraleiters)
ES =
VS
=
VS
Z
BC (t)
Z
BC (t)
0
0
MS dBa
B (T )2
Ba
dBa = VS C
0
20 :
(18)
XIII
Supraleitung
2 EINFU HRUNG IN DIE SUPRALEITUNG
Die Energie dieser Magnetisierung im ausseren Feld muss gerade der Energiegewinn des
 bersteigt die Energie, die fur die Magnetisierung MS
supraleitenden Zustandes sein. U
 bergang zum Supraleiter, dann wird die Suprabenotigt wird, den Gewinn aus dem U
leitung wieder zerstort. Die Energie ES ist gerade die Energielucke des Supraleiters.
Diese Energielucke kann zum Beispiel durch ein kritisches ausseres Magnetfeld BC oder
durch einen kritischen Strom IC , den man durch den Supraleiter iessen lasst, uberwunden werden. Oberhalb dieser kritischen Grossen verschwindet die Supraleitung und der
Supraleiter geht in den normalleitenden Zustand uber.
Wodurch der Energiegewinn des Supraleiters kommt, lasst sich mit Hilfe der BCS-Theorie
beantworten. Die BCS-Theorie ist eine Quantentheorie, die 1957 von Bardeen, Cooper
und Schrieer entwickelt wurde.
2.5
BCS-Theorie und Cooper-Paare
Trager des elektrischen Stromes sind die Leitungselektronen. Es ist also naheliegend,
die Supraleitung als Ordnungsvorgang in den Leitungselektronen zu betrachten. Fruhe
Theorien gingen davon aus, dass die Coulomb-Abstossung der Leitungselektronen zu einer raumliche Ordnung der Elektronen fuhren konnte. Auch eine magnetische Wechselwirkung der Elektronen, die bei der Bewegung durch das Kristallgitter ein magnetisches
Feld erzeugen, fuhrte allerdings nicht zu einer befriedigenden Theorie.
Abbildung 15: Zwei negativ geladene Elektronen polarisieren ein Gitter aus positiv geladenen Atomrumpfen .
Bardeen, Cooper und Schrieer schlugen in ihrer Theorie eine Wechselwirkung der Leitungselektronen uber die Schwingungen des Kristallgitters, den Phononen, vor. Damit
konnten sie viele Beobachtungen quantitativ erklaren.
Vereinfacht kann man die BCS-Theorie folgendermassen verstehen: Die positiv geladenen
Atomrumpfe bilden ein Gitter, in dem sich die Leitungselektronen wie ein (Elektronen)Gas
frei bewegen. Die Atomrumpfe sind nicht starr an ihre Ruhelagen gebunden, sondern
konnen aus ihren Ruhelagen ausgelenkt werden. Bringt man nun zwei negative Ladungen
XIV
2.5. BCS-Theorie und Cooper-Paare
Supraleitung
in dieses Gitter der positiven Atomrumpfe und vernachlassigt alle ubrigen Elektronen
im System, so werden die negativen Ladungen die positiven Ladungen etwas anziehen.
Abbildung 15 zeigt, wie die beiden negativen Ladungen das Gitter polarisieren.
Es kommt also zu einer Anhaufung von positiven Ladungen um die negative Ladung
herum. Das zweite Elektron, das das Gitter ebenfalls polarisiert, spurt die Polarisation des
ersten Elektrons und wird davon angezogen. Es entsteht eine anziehende Wechselwirkung
zwischen zwei Elektronen uber die Polarisation des Gitters.
Stellt man sich das Gitter aus Atomrumpfen als elastische Membran, etwa eine Gummihaut, vor (Abbildung 16), und legt zwei Kugelchen auf diese Membran, dann werden die
beiden Kugeln die Membran durch ihr Gewicht deformieren. Diese Deformation entspricht
der Polarisation des Kristallgitters. Es ist unmittelbar einleuchtend, dass die Energie des
Gesamtsystems aus Kugeln und Membran abgesenkt werden kann, wenn beide Kugelchen
in einer Mulde liegen. Sie werden tiefer einsinken, was analog einer Abnahme der potentiellen Energie im Schwerefeld entspricht. Das Ergebnis ist ein Energiegewinn E . Die
elastische Membran fuhrt zu einer Wechselwirkung, die zu einem gebundenen Zustand
der beiden Elektronen fuhrt.
Abbildung 16: Das Gitter aus Atomrumpfen lasst sich mit einer Gummimembran vergleichen. Die beiden Kugeln (Elektronen) konnen ihre Energie im Schwerefeld minimieren,
indem sie gemeinsam in einer Mulde zu liegen kommen. Dieser Energiegewinn ist analog
zum Energiegewinn bei der Bildung von Cooper-Paaren.
Die Leitungselektronen im Kristallgitter bewegen sich mit zum Teil sehr grossen Geschwindigkeiten. Will man unser Modell dynamisieren, dann konnte man sich vorstellen,
dass die beiden Elektronen sich gemeinsam durch das Kristallgitter bewegen, wobei das
zweite Elektron in der Polarisationsspur des ersten iegt und damit seine Energie absenken kann, weil es das Gitter schon vorpolarisiert\ vorndet. Dieses Gebilde aus zwei
"
Elektronen, das man sich als ein neues Teilchen vorstellen muss, ist ein Cooper-Paar.
Cooper-Paare sind sogenannte Quasiteilchen, die durch die starke Kopplung zweier
Leitungselektronen entstehen. Sie tragen einen Spin von 1. Im Gegensatz zu den Elektronen mit Spin 12 , die der Fermi-Statistik gehorchen, unterliegen die Cooper-Paare, mit
ganzzahligem Spin, der Bose-Statistik.
Der gebundene Cooper-Paar Zustand zweier Elektronen ist energetisch gunstiger, als
der Zustand einzelner Elektronen. Ein Supraleiter kann seine Gesamtenergie also durch
 bergang in den supraleitenden Zustand absenken. Die Energiedierenz, die wir in KaU
pitel 2.4 berechnet haben, ruhrt demnach von der Bildung von Cooper-Paaren. Je tiefer
XV
Supraleitung
2 EINFU HRUNG IN DIE SUPRALEITUNG
die Temperatur unter die Sprungtemperatur des Supraleiters abgesenkt wird, um so
mehr Cooper-Paare liegen im Supraleiter vor. Die Dichte der supraleitenden Elektronen
nS steigt stetig bis T = 0 K an. Durch eine grosse Stromdichte, die kritische Stromdichte JC , oder durch ein starkes Magnetfeld, das kritische Feld BC , lassen sich die
Cooper-Paare aufbrechen, und die Supraleitung verschwindet. Nur ein sehr kleiner Teil
der Leitungselektronen liegt als Cooper-Paare vor. Der Leitungsmechanismus der normalleitenden Elektronen ist durch die supraleitenden quasi kurzgeschlossen.
2.6
Hochtemperatur-Supraleitung
Die Supraleitung ist ein makroskopisches Quantenphanomen von dem man annahm, dass
man sehr tiefe Temperaturen benotigt. So lagen die hochsten bekannten Sprungtemperaturen, bei denen die Supraleitung einsetzt, bei etwa 23 K. Im Jahre 1986 dagegen
haben J.G. Bednorz und K.A. Muller eine neue Klasse von Supraleitern entdeckt. Sie
erhielten hierfur bereits 1987 den Nobelpreis in Physik. In der oxidischen Verbindung
La1:8 Ba0:2CuO4 fanden sie Supraleitung unterhalb einer Sprungtemperatur von TC = 30
K. Ein erneuter Durchbruch kam, als zum Jahreswechsel 1986/1987 eine amerikanische
Gruppe (P. Chu) in der Verbindung YBa2 Cu3 O7 unterhalb TC = 92 K Supraleitung
fand. Damit konnte erstmals mit ussigem Sticksto (LN; 77 K) Supraleitung erreicht
werden. Die daraus resultierenden technischen Perspektiven haben weltweit eine beispiellos sturmische Entwicklung in Bewegung gesetzt. Mittlerweile gibt es eine ganze Reihe
verschiedener Klassen oxidischer Supraleiter, die man als Hochtemperatur-Supraleiter
(HTSL) bezeichnet, wobei vor allem solche von besonderem Interesse sind, deren Sprungtemperatur TC oberhalb von 77 K liegen.
Die Struktur aller HTSL ist der des Minerals Perowskit (CaTiO3) ahnlich. Eine besondere Rolle spielen CuO6 -Oktaeder, die in den Strukturen durch Sauersto-Fehlstellen zu
CuO5 -Pyramiden oder zu CuO4 -Ebenen reduziert sein konnen. Eine achenartige Vernetzung dieser Bauelemente fuhrt zur Ausbildung einer ausgepragten Anisotropie bei
der CuO2 -Ebenen einzeln, zu Zweier- oder zu Dreierschichten zusammengefasst in die
Struktur eingebettet sind. Einerseits beziehen die CuO2 -Ebenen ihre elektronischen Eigenschaften aus der Wechselwirkung mit der ubrigen Struktur, Andererseits sind gerade
die Cu-tragenden Ebenen von entscheidender Bedeutung fur die Supraleitung. Der Mechanismus, der fur die Supraleitung verantwortlich ist, ist zur Zeit noch nicht geklart. Es
sind jedoch die Phanomene, die in den Experimenten in den Praktika eine Rolle spielen
analog zu den klassischen Supraleitern zu betrachten. So konnten z.B. die BCS-Theorie
und die Existenz von Cooper-Paaren bestatigt werden. Aufgrund der Anisotropien der
HTSL ndet man unterschiedliche und sehr kleine Koharenzlangen von etwa 2-3 nm parallel zu den Cu-tragenden Ebenen und nur etwa 0.3 nm senkrecht zu den Ebenen. Dies
fuhrt bei polykristallinem Material durch Korngrenzeekte zu starken Einschrankungen
bei der kritischen Stromdichte. Dies fuhrt allgemein zu verschiedenen groen Anstrengungen, diese Probleme zu uberwinden.
XVI
2.6. Hochtemperatur-Supraleitung
Supraleitung
Abbildung 17: Schematische Kristallstruktur verschiedener BSCC-Phasen, die sich im
atomaren Aufbau unterscheiden (links die 2201-, Mitte die 2212- und rechts die 2223Phase). Deutlich zu sehen ist bei der 2201-Phase der CuO6 Oktaeder. Die 2212-Phase
verfugt uber zwei Cu-tragende Ebenen (zwei CuO5 Tetraeder). Bei der 2223-Phase ist
zusatzlich noch eine dritte Cu-tragende Ebene (CuO4 ) in der Mitte der beiden Tetraeder
eingefugt.
Bei der im Praktikumsexperiment eingesetzten Probe handelt es sich um eine Keramik
der BSCCO-Klasse (siehe Abbildung 17). Fur die chemische Zusammensetzung gilt etwa:
Bi2 Sr2 Ca2 Cu3 O10 . Je nach Zielpraparation liegt die Sprungtemperatur bei 100 K bis
120 K. Sieht man von thallium- oder quecksilberhaltigen Verbindungen ab, ist dies das
Material mit dem zur Zeit hochsten bekannten TC . Bei keramischen Proben, wie sie
im Praktikumsversuch eingesetzt werden, ist die kritische Stromdichte JC nicht allzu
gro. Zur Erhohung von JC mussen modizierte Herstellverfahren (Schmelztexturierung,
powder in tube \, Dunne Schichten) eingesetzt werden.
"
XVII
Supraleitung
3
3 EXPERIMENT
Experiment
3.1
Aufbau
Die Sprungtemperatur unseres Hochtemperatur-Supraleiters liegt bei etwa 105 K. Um
diese tiefen Temperaturen zu erreichen, wird im Experiment mit ussigem Sticksto
gekuhlt. Flussiger Sticksto hat bei Normaldruck eine Temperatur von 77 K. Die tiefste,
in unserem Aufbau zugangliche Temperatur liegt bei etwa 80 K.
Abbildung 18 zeigt schematisch den Versuchsaufbau.
Der untere Teil des Cryostaten wird in das mit ussigen Sticksto gefullten Dewar-Gefass
eingetaucht. Der Probenhalter und die felderzeugende Spule benden sich im Kaltebad.
Der Widerstand der Spulenwicklungen aus Cu verringert sich dabei so stark, dass die
bei der Erzeugung des Magnetfeldes entstehende Joule'sche Warme sehr gering ist. Das
Magnetfeld steht senkrecht auf dem Probentrager und der Probe.
Der elektrische Widerstand des Supraleiters soll in Abhangigkeit der Temperatur T , des
angelegten ausseren magnetischen Feldes Ba und des durch den Supraleiter iessenden
Stromes I bestimmt werden. Dafur ist es notig, diese Parameter messen und regeln
zu konnen. Der Supraleiter ist dafur auf einem speziellen Probenhalter befestigt (Abbildung 19). Als Thermometer verwenden wir einen Platin-Widerstand (PT1000). Der
Spannungsabfall an diesem Widerstand wird uber eine Computereinsteckkarte gemessen
und mit bekannten Eichkurven dann in die aktuelle Temperatur umgerechnet.
Auf der Ruckseite des Probenhalters ist eine Heizung aus Manganindraht aufgeklebt. Die
darin erzeugte Heizleistung wird ebenfalls durch den Computer gesteuert. Fur die Tem ber die Stromzufuhrungen kann
peraturregelung verwenden wir einen PID-Algorithmus. U
ein Strom von bis zu 10 A durch den Supraleiter geschickt werden. Die am Supraleiter
abfallende Spannung wird mit einem Keithley-Multimeter gemessen. Um den Supraleiter
bei diesen sehr hohen Stromen nicht zu beschadigen oder durch die Joule'sche Warme
der Zuleitungen zu erwarmen, wird mit einer Pulsmessung gearbeitet. Der Strom durch
den Supraleiter wird nur fur eine sehr kurze Zeit (20 ms) angeschaltet und die abfallende
Spannung gemessen. Daraus wird der Widerstand bestimmt.
3.2
Das Messprogramm
Das Messprogramm ist in Labview entwickelt worden. Alle wichtigen Funktionen wie
Temperatur, Magnetfeldstarke und verwendeter Messstrom konnen uber die Oberache
des Messprogrammes (Abbildung 20), gesteuert werden.
Das Messprogramm erlaubt, beliebige Scans zu fahren. Sie konnen damit z.B. bei konstantem Magnetfeld und konstantem Messstrom die Temperatur in denierten Schritten
von einer Start- zu einer Endtemperatur rampen\und kontinuierlich den Widerstand
"
des Supraleiters messen. Analog erlaubt das Programm, bei konstanter Temperatur und
XVIII
3.2. Das Messprogramm
Supraleitung
Abbildung 18: Schematzeichnung des Cryostaten. Der Probentrager mit dem Supraleiter ist in der Mitte der magnetfelderzeugenden Spule befestigt. Der gesamte Cryostat
wird in ein Dewar-Gefass mit ussigem Sticksto eingetaucht, um die benotigten, tiefen
Temperaturen zu erreichen. Die Feldspule hat dabei eine Temperatur von 77K, um den
elektrischen Widerstand der Cu-Leitungen und damit die entstehende Joule'sche Warme
so gering wie moglich zu halten.
XIX
Supraleitung
3 EXPERIMENT
Abbildung 19: Probenhalter mit elektrischen Kontakten und Thermometer. Der Probenhalter wird in den Cryostaten eingefuhrt. Das magnetische Feld steht senkrecht auf dem
Probenhalter.
konstantem magnetischem Feld den Messstrom zu verandern oder bei konstanter Temperatur und konstantem Messstrom das Magnetfeld kontinuierlich zu verfahren. Der
Betreuer wird Sie in die Bedienung des Programmes einweisen.
3.3
Durchf
uhrung
Evakuieren Sie den Probenraum des Cryostaten mit der Drehschieberpumpe. Fur die
Erreichung tiefer Temperaturen ist es wichtig, die Warmeankopplung des Rezipienten an
Teile des Cryostaten, die sich auf Raumtemperatur (300 K) benden, moglichst gering
zu halten. Bei Tieftemperaturexperimenten kommt daher auch immer Vakuumtechnik
zum Einsatz. Kuhlen Sie jetzt mit Hilfe Ihres Betreuers den Cryostaten ein. Dazu fuhren
Sie den unteren Teil des Cryostaten in das Dewar-Gefass ein und fullen anschliessend mit
ussigem Sticksto auf. Hat der Cryostat noch eine sehr hohe Temperatur, verdampft
dabei sehr viel Sticksto. Es ist in den ersten Minuten notwendig, standig Sticksto
nachzufullen. Der Sticksto kann leicht uberkochen. Achten Sie darauf, keine Spritzer auf
Kleidung oder Haut, besonders nicht in die Augen, zu bekommen. Kontakt mit ussigem,
tiefkalten Sticksto fuhrt zu schwersten Verbrennungen. Kontakt mit den Augen kann zur
Erblindung fuhren. Tragen Sie daher bei der Arbeit mit ussigem Sticksto undbedingt
Handschuhe und eine Schutzbrille.
XX
3.3. Durchfuhrung
Supraleitung
Abbildung 20: Die Labview-Oberache des Messprogramms.
Achtung!!!
Sie arbeiten mit ussigem Sticksto. Der Kontakt mit Haut oder gar Augen
fuhrt zu schwersten Verbrennungen.
Bei Arbeiten mit ussigen, tiefkalten Gasen unbedingt Handschuhe
und Schutzbrille tragen!
Nach etwa 20 Minuten hat der Cryostat seine Endtemperatur erreicht. Sie konnen dann
mit dem Experiment beginnen.
XXI
Supraleitung
3 EXPERIMENT
Aufgaben
U berlegen Sie als Vorbereitung, welche Experimente Sie mit dem Messplatz entsprechend der Moglichkeiten durchfuhren konnen und mochten.
Nach Rucksprache und Diskussion mit dem Betreuer bleibt Ihnen die Versuchfuhrung selbst uberlassen.
Interessante Aufgabenstellungen waren
Nehmen Sie schon beim 1. Abkuhlvorgang den Widerstand des Supraleiters als
Funktion der Temperatur auf.
Bestimmen Sie die Sprungtemperatur TC durch eine Temperaturrampe in z.B. 0.5
K-Schritten von 80-140 K genauer.
Bestimmen Sie die kritische Stromdichte JC kurz unterhalb (5 K) von TC und
zwischen 80 und 83 K.
Untersuchen Sie die magnetfeldabangigkeit der Sprungtemperatur bei funf verschiedenen Magnetfeldern im Bereich von 80-90 K.
...
XXII
Eidgenössische
Technische Hochschule
Zürich
Institut für Verhaltenswissenschaft und Departement Physik
Atome unter der Lupe
Eine Einführung in die faszinierende Welt der Raster-Tunnel-Mikroskopie
der Nanotechnologie und der Quantenmechanik für Schülerinnen und
Schüler im Schwerpunktsfach der Sekundarstufe II
Verfasst von
Dorothée Brovelli, Adrien Cornaz
Hans Peter Dreyer, Rudolf Dünki
Hans-Jörg Lohe
Herausgegeben durch Hans Peter Dreyer
Einführung
II
ETH-Leitprogramm Physik:
„Atome unter der Lupe“
Eine Einführung in die faszinierende Welt der Raster-TunnelMikroskopie und die Quantenmechanik für die Sekundarstufe II
Version 1
Juli 2002
Stufe, Schulbereich
Schwerpunktsfach Maturitätsschulen Klassen 11-13, Fachhochschulen
Fachliche Vorkenntnisse
Grundlagen der Quantenphysik, Energie-Orts-Diagramm, Austrittsarbeit bei
Metallen, Drehimpuls, Infinitesimalrechnung bis zu Differentialgleichungen
Bearbeitungsdauer
Fundamentum: 9 Lektionen
Additum 1:
4 Lektionen
Additum 2:
6 Lektionen
Adresse für Anregungen und Kritik
Dipl. Phys. H. P. Dreyer
Fachdidaktik Physik, ETH-Hönggerberg HPZ F 9.1, CH-8093 Zürich
Telefon 01 / 633 26 31 - Telefax 01 / 633 11 15
[email protected] - http://educeth.ethz.ch/physik/leitprog
Die ETH-Leitprogramme sind ein Gemeinschaftsprojekt von Karl Frey und
Angela Frey-Eiling (Initiatoren), Walter Caprez (Chemie), Hans Peter Dreyer
(Physik), Werner Hartmann (Informatik), Urs Kirchgraber (Mathematik),
Hansmartin Ryser (Biologie), Jörg Roth (Geographie), zusammen mit den
Autorinnen und Autoren.
Das Projekt ETH-Leitprogramme wurde durch die ETH Zürich finanziell
unterstützt.
Dieses Material darf nur für den Gebrauch im Unterricht kopiert werden.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Einführung
III
Vorwort
Auch dieses Leitprogramm ist durch den Einsatz vieler entstanden. Zusätzlich zu den im
Vorwort von "Kann man Atome sehen?" erwähnten möchte ich nennen: D. Brovelli, Luzern
und A. Cornaz, Wohlen. Sie haben verstanden die Grundlagen und wichtige Details der
Tunnelmikroskopie in verständlicher Weise darzustellen. Dabei war die unkomplizierte
Zusammenarbeit mit der Firma NanoSurf hilfreich. Die Einführung in die Quantentheorie
geht im Wesentlichen auf R. Dünki zurück. Herr H.-J. Lohe hat das Ganze in die Endform
gebracht und um den attraktiven Einblick in die Nanotechnologie ergänzt.
Allen Kolleginnen und Kollegen, die bei der Erprobung mitgeholfen haben, danke ich
herzlich. Für die verbliebenen Fehler entschuldige ich mich.
ETH-Hönggerberg und Kantonsschule Wattwil, Juli 2002
H.P. Dreyer
Einführung
Ist das Raster-Tunnel-Mikroskop (RTM) eine Entdeckung oder eine Erfindung? Ist das RTM
demnach ein Thema der Physik oder ein Thema der Technik? – Über diese Frage zu streiten
ist fruchtlos. Denn auch die Entdeckung des Elektrons hat technologische Voraussetzungen
und Konsequenzen und interessiert dementsprechend die Ingenieurinnen ebenso wie die
Physiker.
Mit dem vorliegenden Leitprogramm erfahren Sie, in welchem Sinne man Atome sichtbar
machen kann. Dabei schliessen Sie Bekanntschaft mit der Quantenmechanik, jener "neuen"
Physik, die nötig ist, um Eigenschaften und Verhalten von Atomen und der Materie
insgesamt zu verstehen. Im Zentrum steht die Schrödinger-Gleichung. Sie haben
möglichwerweise bereits im Chemieunterricht von ihr gehört. Natürlich lernen Sie auch das
RTM und seine Verwandten genauer kennen und kommen dabei mit einem neuen Gebiet der
Technik, der Nanotechnologie in Kontakt.
Im Additum 1 lernen Sie, wie man mit einem bestimmten RTM, dem easyScan, konkret
arbeitet. Dabei geht es ebenso um praktische Dinge, wie die Herstellung der Spitze, als um
die theoretisch richtige Interpretation der Computerbilder, wozu Sie Ihre Physikkenntnisse
brauchen.
Im Additum 2 vertiefen Sie Ihr Verständnis der Quantenmechanik so weit, dass Sie die
Elektronenpaar-Bindung verstehen.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Einführung
IV
Inhaltsverzeichnis
Titelblatt
I
Informationen, Copyright
II
Vorwort, Einführung
III
Inhaltsverzeichnis
IV
Kapitel 1
Das Raster-Tunnel-Mikroskop
1
1.1 Die Funktionsweise des Raster-Tunnel-Mikroskops
3
1.2 Der Aufbau des Raster-Tunnel-Mikroskops easyScan 9
1.3 Die Probenoberflächen
12
1.4 Ergänzungen: Verwandte des RasterTunnel-Mikroskops, Vertiefungen
15
Lösungen zu den Aufgaben
18
Kapitel 2
Die Zustandsfunktion
2.1 Präludium - Experimente mit Licht geben Rätsel auf
2.2 Differentialgleichungen - ein intuitiver Zugang
2.3 Die Schrödingergleichung bestimmt die
Zustandsfunktion
2.4 Quantisierung der Energie
2.5 Die Rolle des Drehimpulses
2.6 Elektronen im Festkörper
Lösungen zu den Aufgaben
24
25
28
Kapitel 3
Nanotechnologie
3.1 There's plenty of room at the bottom
3.2 Internet Recherche
Lösungen zu den Aufgaben
55
56
56
59
Additum 1
Atome sehen mit dem RTM
A1.1 - A1.19
Anleitung zum Arbeiten mit dem easyScan
Additum 2
Mehr Quantentheorie
Vom Atombau bis zum Sehvorgang
31
37
42
46
51
A2.1 - A2.26
Anhänge
Anhang 1
Anhang 2
Anhang 3
Anhang 4
Anhang 5
Tests und Lösungen
Mediothek für die Schülerinnen und Schüler
Experimente
Von den Autoren benützte Quellen
Hinweise für die Lehrperson
ETH-Leitprogramm Physik
Z1.1 - Z1.9
Z 2.1
Z3.1 - Z3.4
Z4.1 - Z4.3
Z5.1 - Z5.5
Atome unter der Lupe
1
Kapitel 1: Das Raster-Tunnelmikroskop
Das Raster-Tunnelmikroskop
Übersicht
Vorgehen
Lernziele von Kapitel 1
1.1
1.2
1.3
1.4
1
2
2
Die Funktionsweise des Raster-Tunnelmikroskops
Der Aufbau des Raster-Tunnelmikroskops easyScan
Probenoberflächen
Ergänzungen: Verwandte des Raster-Tunnelmikroskops, Vertiefungen
3
9
12
15
Lernkontrolle
Lösungen zu den Aufgaben
17
18
Übersicht
Sie haben in der Quantenphysik den Tunneleffekt kennengelernt. In diesem Kapitel lernen Sie
ein Gerät kennen, das den Tunneleffekt benutzt. Das Raster-Tunnelmikroskop (RTM) ist eine
völlig neue Art von Mikroskop. Es kann einzelne Atome abbilden.
Das RTM wurde Anfang der 80er Jahre am IBM-Forschungslabor in Rüschlikon erfunden. Im
Unterschied zu den konventionellen Mikroskopietechniken wird hierbei nicht mehr Strahlung
analysiert, die von der Probe reflektiert oder gestreut wurde. Man fährt vielmehr mit einer
winzigen Sonde über die Oberfläche und nutzt den Tunneleffekt aus. Die räumliche
Auflösung ist dann nicht mehr durch eine Wellenlänge begrenzt. Das Ergebnis: ein unerhörtes
Auflösungsvermögen! Man kann mit dem Tunnelmikroskop Dimensionen vom Durchmesser
eines Atoms “sehen”. In den Jahren nach der Erfindung gingen viele faszinierende Bilder
atomarer Landschaften um die Welt. Bald folgten weitere, artverwandte Mikroskopiearten,
wie zum Beispiel das Raster-Kraftmikroskop. Dessen Mikroskopspitze kann man auch als
Werkzeug benutzen, um einzelne Atome auf der Oberfläche hin und her zu schieben. Heute
sind alle dieses Techniken und ihre Anwendungen ein aktiver Forschungsgegenstand
(Stichwort: Nanotechnologie). Kein Wunder also, dass Binnig und Rohrer für ihre
bahnbrechende Erfindung 1986 den Nobelpreis erhielten. Und für uns Grund genug, uns
dieses Gerät ein bisschen genauer anzusehen...
Zu Beginn dieses Kapitels werden Sie das Prinzip dieses Gerätes kennenlernen. Interessant ist
auch, wie man die physikalischen Grundgedanken technisch verwirklichen kann. Das
erläutern wir am Beispiel eines RTM, das für Schulen geeignet ist: das easyScan von der
Firma Nanosurf. In diesem Zusammenhang erfahren Sie auch etwas über Piezoelemente und
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Kapitel 1: Das Raster-Tunnelmikroskop
2
warum man sie braucht, um Atome abtasten zu können. Dann erhalten Sie einen kurzen
Einblick in die Welt der Oberflächen, die Sie mit dem RTM untersuchen können. Im letzten
Abschnitt erhalten Sie noch einige Anregungen, wie Sie Ihr neu erworbenes Wissen vertiefen
können. Dabei lernen sie einige mit dem Tunnelmikroskop verwandten Mikroskope kennen.
Vorgehen
Am besten gehen Sie wie folgt vor: Zuerst studieren Sie die Lernziele. Dann arbeiten Sie den
Stoff durch. Er ist mit Experimenten, Aufgaben und Gruppenarbeiten aufgelockert. Am
Schluss des Kapitels finden Sie die Lösungen zu den Aufgaben.
Wenn Sie die Lernkontrollen mit eigener Anstrengung erledigt haben, gehen Sie zu Ihrem
Lehrer, Ihrer Lehrerin oder der Tutorin, dem Tutor, um einen Kapiteltest zu absolvieren.
Sollten Sie sich im Stoff aber noch unsicher fühlen, dann studieren Sie zuvor unbedingt
nochmals die entsprechenden Abschnitte.
Genug jetzt mit den organisatorischen Dingen! Blättern Sie um und begeben Sie sich auf Entdeckungsfahrt in die Quantenphysik.
Lernziele von Kapitel 1
• Sie verstehen das Funktionsprinzip der Raster-Tunnelmikroskops und wissen,
welche Rolle dabei der Tunneleffekt spielt.
• Sie können mindestens drei Probleme bei der technischen Umsetzung
nennen und wissen, wie diese gelöst wurden.
• Sie sind in der Lage, einem Mitschüler zu erklären, wie die RTM-Aufnahme
einer Graphitoberfläche zustande kommt.
•
Sie können zwei mit dem Tunnelmikroskop verwandte Mikroskope und
deren Anwendung beschreiben
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
3
Kapitel 1: Das Raster-Tunnelmikroskop
1.1 Die Funktionsweise des
Raster-Tunnelmikroskops
Beim Raster-Tunnelmikroskop wird eine feine Metallspitze sehr nahe an die
Probenoberfläche herangeführt. Meistens beträgt der Abstand etwa 1·10-9 m, also einige
Atomlagen. Für die Elektronen in der Probe und in der Spitze ist der Aufenthalt in der Zone
dazwischen eigentlich verboten. Diese Zone ist aber so dünn, dass die Elektronen einfach
hindurchtunneln können. Legt man jetzt eine kleine Spannung UT an, fliesst ein Tunnelstrom
IT, den man messen kann (Figur 1.1). Dieser Strom hängt stark vom Abstand zwischen der
Spitze und den Strukturen auf der Oberfläche ab. Jetzt fährt man mit der Spitze über die
Oberfläche und hält dabei entweder die Höhe der Spitze oder den Tunnelstrom konstant. Man
registriert dabei den Tunnelstrom bzw. die Regelparameter. Fährt man immer in parallelen
Linien über die Oberfläche, tastet man sie also ab wie ein Buch in Blindenschrift, dann erhält
man ein dreidimensionales Bild der Oberfläche.
Abtasteinrichtung
Uz
U
x
Uy
Ux Uy
Regelkreis
Probe
UT
IT
Figur 1.1: Prinzip des Raster-Tunnelmikroskops
Was hier so einfach klingt, enthält in Wirklichkeit einiges an Physik und die Lösung einer
Reihe technischer Probleme. Zuerst werden wir uns mit den physikalischen Prinzipien
genauer auseinandersetzen. Die technische Umsetzung behandeln wir weiter unten am
Beispiel des easyscan-Rastertunnelmikroskops.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
4
Kapitel 1: Das Raster-Tunnelmikroskop
Der Tunneleffekt beim Tunnelmikroskop
Regelkreis
Tunnelstrom IT
Metallspitze
Spannungsquelle
–
U
+ T
Atome
Tunnelelektronen
Probe, z.B.Graphit
Figur 1.2 a: Vereinfachtes Schema zum Tunneln beim Tunnelmikroskop
Figur 1.2 a) zeigt schematisch die Spitze, die Probenoberfläche und den Leerraum
dazwischen. Im Stromkreis zwischen Probe und Spitze wird laufend die Stromstärke
gemessen (Grössenordnung Pikoampere 10-12 A). Mit dem RTM kann man also nur leitende
Proben untersuchen. Aktiv an der Abbildung beteiligt ist eigentlich nur die Spitze der
Metallspitze, also die vordersten Atome. Je kleiner aber die Strukturen sind, die man abbilden
will, desto schärfer muss auch die verwendete Spitze sein. Zum Glück ist es recht einfach,
scharfe Spitzen herzustellen. Für eine räumliche Auflösung, die besser als der
Atomdurchmesser ist, muss jedoch ein einziges Atom auf der Spitze der Nadel sitzen. Häufig
kommt so ein Atom von der Probenoberfläche selbst. Es wird durch die hohen elektrischen
Felder aus der Oberfläche gelöst und bleibt an der Spitze hängen.
Die Leitungselektronen in einem Metall können sich im Inneren des Metalls praktisch frei
bewegen. Sie können es jedoch nicht verlassen, weil sie von den positiven Atomrümpfen
zurückgehalten werden. Wer sie trotzdem aus der Oberfläche herausholen will, muss Arbeit
verrichten, nämlich die sogenannte Austrittsarbeit. Wir kürzen sie mit dem Buchstaben Φ ab.
In einem glühenden Metall reicht dazu die kinetische Energie der Wärmebewegung aus, wie
Edison als erster beobachtet hat. Bei Zimmertemperatur dürfte jedoch nach den Gesetzen der
klassischen Physik nichts passieren. Der Aufenthalt im Gebiet zwischen Spitze und Probe ist
für das Elektron verboten. Dort ist ein zu hoher Potentialberg.
Wie Ihnen aus der Einführung in die Quantenphysik bekannt ist, ist für Quantenobjekte das
Tunneln durch Barrieren der Höhe EBarr und der Breite d unter folgender Bedingung erlaubt:
Tunnelbedingung:
ETH-Leitprogramm Physik
d ⋅ EBarr ≤ h ⋅
2
.
m
(*)
Atome unter der Lupe
5
Kapitel 1: Das Raster-Tunnelmikroskop
In einem Energie-Orts-Diagramm sieht das folgendermassen aus:
Figur 1.2b): Tunneln durch eine Potentialbarriere der Höhe EBarr und der Breite d.
Hinweis: Der Potentialberg ist hier der Einfachheit halber als eckig angenommen worden.
Aufgabe 1.1
a) Zeichnen Sie ein Energie-Orts-Diagramm für Metall und
Aussenraum beim Tunnelmikroskop analog zum Diagramm in Figur
1.2b). Zeichnen Sie darin die Austrittsarbeit Φ ein. Wie hängt Φ von
den Grössen E0 und EBarr in Figur 1.2 b) ab?
b) Denken Sie nun bitte noch einmal klassisch. Argumentieren Sie
anhand des Diagramms, warum ein Elektron bei Raumtemperatur im
Metall bleibt und ein Elektron bei sehr hohen Temperaturen das Metall
verlassen kann. Zeichnen Sie dazu die beiden Elektronen und ihre
kinetischen Energien ins Diagramm ein.
Nun bedienen wir uns wieder der Quantenphysik. Den Fall von Probe und Metallspitze haben
Sie im letzen Abschnitt schon kennengelernt: Figur 1.2 b) zeigt vereinfacht das Energiediagramm dafür. Das Elektron in der Probe wird von der Metallspitze durch eine
Potentialbarriere getrennt. Obwohl es nach der klassischen Physik eingeschlossen bliebe wie
ein zu langsamer Wagen bei der Berg- und Talfahrt, kann es nach der Quantenphysik die
Energiebarriere durchtunneln.
Die Tunnelbedingung
Jetzt können wir nachrechnen, ob die aus der Unschärferelation hergeleitete Tunnelbedingung
(*) beim Raster-Tunnelmikroskop erfüllt ist. Die Breite des Potentialberges entspricht gerade
dem Abstand d von Probe zu Spitze, also etwa 10-9m. Seine Höhe EBarr wird durch die
Austrittsarbeit bestimmt und beträgt einige eV, also etwa 10-18 J.
Es gilt also einerseits:
−9
−8
d ⋅ EBarr ≈ 10 m ⋅ 10 J ≈ 10
−18
J ⋅ s ⋅ kg
−1/ 2
Andererseits ergibt sich ebenfalls:
2
−34
30
−1
−18
−1 / 2
h⋅
≈ 7 ⋅10 J ⋅ s ⋅ 2 ⋅10 kg ≈ 10 J ⋅ s ⋅ kg
m
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
6
Kapitel 1: Das Raster-Tunnelmikroskop
Diese Abschätzung der Grössenordnung zeigt, dass wir die komplizierten Prozesse beim
Tunnelmikroskop mit der Unschärferelation verstehen können.
Der Tunnelstrom
Vielleicht werden Sie jetzt sagen, dass Elektronen nicht nur aus der Probe in die Spitze
tunneln können, sondern auch umgekehrt. Zurecht! Auch die Elektronen in der Metallspitze
können zur Probe tunneln. Man kann also in Figur 1.2b) auch ein Elektron auf der Seite der
Metallspitze zeichnen, für das die gleichen Überlegungen gelten. Im Bild ist der Einfachheit
halber angenommen worden, dass Probe und Spitze die gleiche Austrittsarbeit haben. Legen
wir nun eine kleine Spannung U an, fliesst ein Tunnelstrom. In welche Richtung der Strom
fliesst, hängt natürlich von der Polarität der angelegten Spannung ab. Er kann also entweder
von der Spitze zur Probe oder umgekehrt fliessen. Figur 1.3 verdeutlicht diesen Sachverhalt:
Im Energieschema wirkt sich eine zusätzlich angelegte Spannung so aus, als ob den
Elektronen auf einer Seite der Energiebarriere zusätzlich Energie zugeführt worden wäre.
Diese Elektronen können dann als elektrischer Strom auf die andere Seite fliessen, ähnlich
wie der Grundwasserfluss zwischen zwei benachbarten Seen auf unterschiedlicher Höhe. Das
Potentialgefälle wird durch eine schräge Potentialbarriere dargestellt.
Energie
Probe
Spitze
USpitze = 0
USpitze < 0
Ort
Tunneln zur Probe
USpitze > 0
Tunneln zur Spitze
Figur 1.3: Je nach angelegter Spannung tunneln Elektronen zur Probe oder zur Spitze
Die quantitativ ausgestaltete Quantenphysik erlaubt, abzuschätzen, wie gross dieser Tunnelstrom ist und wie er vom Abstand d zwischen Probe und Spitze abhängt. Wir müssen uns hier
damit begnügen, einen Ausdruck für den Tunnelstrom anzugeben.
Es gilt:
IT = c1 ⋅UT ⋅e − c2 Φ ⋅d
Der Tunnelstrom nimmt also exponentiell mit dem Abstand ab. Die Konstante c1 hängt dabei
von der Elektronendichte in Probe und Spitze ab. Der Exponent enthält eine weitere
Konstante c2 und die Austrittsarbeit der Metalle. Haben Spitze und Probe unterschiedliche
Austrittsarbeiten, so muss hier der Mittelwert eingesetzt werden. Typische Arbeitsparameter
sind folgende: IT = 10-9 A, UT = 100 mV, Φ = 5 eV und d = 10-9 m. Mehr zu diesem
komplexen Sachverhalt lernen Sie im Kapitel 3.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
7
Kapitel 1: Das Raster-Tunnelmikroskop
Wenn Sie sich die Gleichung für den Tunnelstrom noch einmal aufmerksam ansehen, werden
Sie vielleicht folgendes bemerken: Das Tunnelmikroskop misst nicht einfach die Höhe von
Strukturen auf der Probenoberfläche. Vielmehr hängt der Tunnelstrom neben dem Abstand d
auch von der Elektronendichte (c1) in der Probe an der untersuchten Stelle ab. Sie werden
dieser Tatsache bei der Graphitprobe wieder begegnen. Sie können sich so auch die Ringe in
der Figur auf dem Titelbild erklären. Hier sind 48 Eisenatome im Kreis auf einer
Kupferoberfläche angeordnet. Sie sehen mit dem RTM aber nicht nur diese Atome, sondern
auch ringförmige Maxima der Elektronendichte dazwischen. Eine stehende Welle der
Wahrscheinlichkeitsdichte der Elektronen!
Aufgabe 4.2
Um welchen Faktor ändert sich der Tunnelstrom, wenn man über ein
1010
Atom auf der Oberfläche fährt? Setzen Sie c2 ≈
.
eV ⋅m
Wenn Sie es ganz genau wissen wollen (fakultativ):
Unsere Vorstellung von eingeschlossenen Elektronen mit einer bestimmten Energie ist
natürlich eine Vereinfachung. In Wirklichkeit sind in Metallen Elektronen verschiedener
Energien bis zu einer Maximalenergie vorhanden. Auch kommen manche Energien häufiger
vor als andere. Eine mögliche solche Häufigkeitsverteilung in der Probe ist in Figur 1.4
dargestellt. Vorsicht! In der Zeichnung hat die x-Achse zweierlei Bedeutung. Zum einen
bezeichnet sie den Ort der Elektronen (also Spitze, Zwischenraum und Probe). Zum anderen
sind die kleinen Pfeile, die im Zwischenraum eingezeichnet sind, aber die y-Achsen der
Häufigkeitsverteilung der Elektronen. Diese Häufigkeit ist darüber eingezeichnet. Sie sagt,
wieviele Elektronen bei einer bestimmten Energie vorhanden sind. Im Metall sind nur
Elektronen mit Energien bis zu einer Maximalenergie Emax vorhanden, also im Diagramm nur
in den schraffierten Bereichen. Beim Tunneln ins andere Metall dürfen bei einer bestimmten
Energie nur so viele Elektronen dazukommen, wie von der Häufigkeitsverteilung dieses
Metalls erlaubt (unschraffierter Teil der Häufigkeitsverteilung). Das Tunneln der Elektronen
bei einer bestimmten Energie ist in der Zeichnung durch Pfeile angedeutet.
Energie
Spitze
Leerraum
Probe
ΦSpitze
Emax,Spitze
U
ΦProbe
Emax,Probe
Häufigkeit der
Elektronen
Figur 1.4: Der Tunnelstrom hängt von der Häufigkeitsverteilung der Elektronen im Metall ab
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Kapitel 1: Das Raster-Tunnelmikroskop
8
Wenn besonders viele Elektronen einer bestimmten Energie vorhanden sind und bei dieser
Energie im anderen Metall besonders viele neue Elektronen erlaubt sind, ist auch der Tunnelstrom besonders gross. Die Kontante c1 in der Gleichung für den Tunnelstrom hängt demnach
auch davon ab, wieviele Elektronen welche Energie besitzen dürfen. Wenn man die äussere
Spannung verändert, kann man Informationen über diese Häufigkeitsverteilung der
Elektronen in der Probe gewinnen. Es können Strukturen in der Elektronenhülle einzelner
Atome sichtbar gemacht werden. Und daraus erfährt man wieder eine Menge über das
untersuchte Material. Aus dieser Tatsache hat sich die Raster-Tunnelspektroskopie
entwickelt.
Was sieht man nun genau mit dem Tunnelmikroskop? (fakultativ)
Genau genommen sehen wir die Fläche konstanten Tunnelstroms. Der Tunnelstrom ist
proportional zur Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen im Festkörper und diese
wiederum wird durch die Zustandsfunktion beschrieben. Was eine Zustandsfunktion ist und
wie man diese mit Hilfe der Quantenmechanik berechnen kann, erfährst du in Kapitel 2. Der
Tunnelstrom hängt nicht nur von der Probe ab, sondern auch von der Spitze. Wir „sehen“
nicht nur die Elektronen Verteilung auf der Probe sonder unser Bild wird auch von der
elektronischen Zustandsverteilung der Spitze beeinflusst. Zur Erklärung moderner
Experimente wird sogar die genaue Zustandsfunktion der Spitze berücksichtigt.
Aufgabe 1.3 (fakultativ)
a) Wenn man die gleiche Probe mit zwei verschiedenen Spitzen misst,
unterscheiden sich die gewonnenen Tunnelaufnahmen. Wie erklären
Sie sich das?
b) Können Sie eine Bedingung für geeignetes Spitzenmaterial ableiten?
c) Im Bild 1.5 sehen sie zwei Aufnahmen einer Silizium Oberfläche.
Die linke ist bei einer Spitzen-Oberflächen Spannung von -2V, die
rechte bei +2.2V aufgenommen. Wie kann man die unterschiedlichen
Aufnahmen interpretieren ? (welche Elektronen Zustände sieht man ?)
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
9
Kapitel 1: Das Raster-Tunnelmikroskop
Figur 1.5: Tunnel Mikroskop Bilder einer Silizium-Oberfläche bei einer Spitzen-Proben
Spannung von –2 V und +2.2 V.
Zwei Betriebszustände
Prinzipiell kann ein Raster-Tunnelmikroskop in zwei Betriebszuständen laufen:
Rasterrichtung
Rasterrichtung
b)
a)
I
I
z
I
z = const.
I = const.
x
x
Figur 1.5: Rastern bei a) konstanter Höhe und b) konstantem Strom
1. Rastern bei konstanter Höhe (Figur 1.5 a): Die Spitze wird auf einer geraden Linie über die
Probe geführt. Dabei misst man den Tunnelstrom.
2. Rastern bei konstantem Strom (Figur 1.5 b): Die Spitze wird so der Oberfläche
nachgeführt, dass der Tunnelstrom konstant bleibt. Dabei registriert man, wie stark man die
Höhe der Spitze ändern muss.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
10
Kapitel 1: Das Raster-Tunnelmikroskop
Das easyScan rastert bei konstantem Strom. Es ist aber auch möglich, bei konstanter Höhe zu
rastern. Dazu muss man den Regler langsamer einstellen. Er folgt dann nur noch langsamen
Veränderungen, z. B. thermischen Ausdehnungen.
Aufgabe 1.4
Überlegen Sie sich für jeden Betriebszustand einen Vor- bzw. Nachteil
und notieren Sie diese in je ein bis zwei Sätzen.
Wir fassen zusammen:
Mit dem Raster-Tunnelmikroskop kann man die Oberflächen leitender
Proben im atomaren Bereich bildhaft darstellen. Man kann also Atome
sichtbar machen! Der Tunnelstrom hängt dabei von der
Elekronendichte und exponentiell vom Abstand zwischen Spitze und
Probe ab. Je nach angelegter Spannung tunneln die Elektronen durch
die Potentialbarriere zur Spitze oder zur Probe. Je nach Betriebsart hält
man die Höhe über der Probe oder den Tunnelstrom konstant.
1.2 Der Aufbau
easyScan
des
Raster-Tunnelmikroskops
Nachdem Sie jetzt die physikalischen Grundlagen des Raster-Tunnelmikroskops verstanden
haben, sind Sie sicher gespannt, wie so ein Gerät in der Praxis funktioniert. Wir wollen das
am Beispiel des RTM easyScan von Nanosurf erklären. Dabei werden wir experimentellen
Schwierigkeiten begegnen und sehen, wie diese gelöst wurden.
Abtasteinrichtung
Spitze
Probe
Tunnelmikroskop
Elektronik
Computer
Figur 1.6: Schematischer Aufbau des easyScan
Das easyScan besteht aus drei Teilen: dem Tunnelmikroskop selbst, der elektronischen
Ansteuerung und einem Computer (Figur 1.6). Das eigentliche RTM ist ein kleines Gerät, das
man leicht in einer Hand halten kann und das etwa ein Kilogramm wiegt. Sein Herzstück
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
11
Kapitel 1: Das Raster-Tunnelmikroskop
enthält die Spitze und die Probe auf einem kleinen Metallzylinder. Als Spitze verwendet man
ein speziell abgeschnittenes Stück eines Platiniridiumdrahtes. Den Zylinder mit der Probe
kann man zunächst von Hand in die Nähe der Spitze bringen. Wie aber kann man jetzt die
Probe so kontrolliert an die Spitze annähern, dass sie im richtigen Abstand anhält, ohne dass
die Spitze in die Probe gerammt wird?
Grobe Abstandseinstellung
Wir haben also das Problem, dass wir einen relativ grossen Weg in vielen sehr kleinen
Wegstücken zurücklegen wollen. Beim easyScan wurde das Problem folgendermassen gelöst:
Der Metallzylinder mit der Probe liegt in einer Mulde, in der er magnetisch festgehalten wird.
Dabei liegt sein hinteres Ende auf zwei Keramikpunkten, die auf einem senkrecht stehenden
Plättchen angebracht sind (siehe Figur 1.7, Die Grössenverhältnisse sind übertrieben!). Dieses
Plättchen verbiegt sich, wenn man eine Spannung anlegt (ein Piezoelement, siehe nächster
Abschnitt). Jetzt legt man eine Sägezahnspannung an. Die Spannung steigt also langsam
linear an. Dabei verbiegt sich das Plättchen und der Probenzylinder darauf wird nach vorne
geschoben. Wenn die Spannung ihren Maximalwert erreicht hat, fällt sie sehr schnell wieder
auf ihren Anfangswert zurück. Dadurch klappt des Plättchen ruckartig wieder in seine
Anfangsposition. Diese Bewegung ist aber zu schnell für den daraufliegenden
Probenzylinder. Er wird nicht wieder mit zurückbewegt, sondern bleibt ein Stückchen näher
an der Spitze liegen. Mit diesem “Reibungsmotor” kann der Probenzylinder also Mikrometer
für Mikrometer an die Spitze herangeschoben werden. Sobald die Elektronik jedoch einen
Tunnelstrom im Nanoamperebereich feststellt, wird dieser Annäherungsvorgang
abgebrochen. Spitze und Probe haben jetzt den richtigen Abstand voneinander und die
Messung kann beginnen.
Probe
Spitze
Probenhalter
Keramikpunkt
verbiegbares Plättchen
Auflage (eigentlich Mulde)
Figur 1.7: Der Reibungsmotor schiebt den Probenhalter zur Spitze
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Atome unter der Lupe
Kapitel 1: Das Raster-Tunnelmikroskop
12
Aufgabe 1.5
a) Erklären Sie, warum der Zylinder bei der langsamen, nicht aber bei
der schnellen Bewegung mitgeschoben wird. Denken Sie daran, dass
die beschleunigende Kraft von der Haftreibung aufgebracht werden
muss.
b) Verdeutlichen Sie sich den Vorgang, indem Sie einen kleinen
Gegenstand (z.B. Kugelschreiber) auf einem Blatt Papier entlang
bewegen wie den Probenzylinder auf der Unterlage. Halten Sie Ihre
Beobachtungen in drei bis vier Sätzen fest.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
13
Kapitel 1: Das Raster-Tunnelmikroskop
Piezoelemente ermöglichen atomare Auflösung
Die vielleicht schwierigste Frage bei der Entwicklung des Raster-Tunnelmikroskops war
diese: Wie ist es möglich, mit einer Spitze so über eine Oberfläche zu fahren, dass man dabei
eine Genauigkeit von weniger als 10-11 m erreicht? Mit anderen Worten: Wie bewegt man
eine makroskopische Apparatur in Schrittweiten, die kleiner als ein Atomdurchmesser sind?
Dazu kommt, dass man diese Genauigkeit in drei Dimensionen braucht! Das Werkzeug für so
feine Bewegungen sind die sogenannten Piezoelemente. Ohne leistungsfähige Piezoelemente
wäre das Raster-Tunnelmikroskop nicht möglich! Wie oft in der Physik hat eine Erfindung
eine andere erst ermöglicht.
Wir wollen an dieser Stelle kurz den piezoelektrischen Effekt erläutern, weil er die Grundlage
für die Piezoelemente ist. Wenn Sie damit schon vertraut sind, können sie diesen Absatz
getrost überspringen. Der piezoelektrische Effekt wurde 1880 von Pierre Curie entdeckt. Bei
einigen Kristallen, wie z.B. Quarz oder Bariumtitanat, kann man durch mechanische Kräfte
auf gegenüberliegende Seiten des Kristalls eine elektrische Spannung erzeugen. Druck auf
diese Flächen bewirkt nämlich eine Ladungsverschiebung im Kristall. Entgegengesetzte
Ladungen sammeln sich so an den gegenüberliegenden Kristallflächen.
++
-- -- + + -- -++
++
++ -- ++
--
++
F
-- -- + + -- -++
++
+ + -- -- + + F
–
+
Figur 1.8: Piezokristalle (z.B. Quarz: Si positiv, O negativ) erzeugen beim Anlegen einer
Spannung eine deformierende Kraft F.
Auch die Umkehrung dieses Effektes ist möglich (Figur 1.8). Ein elektrisches Feld kann einen
Piezokristall verformen, also auseinanderziehen oder zusammendrücken. Die
Längenänderung ist angenähert linear mit der angelegten Spannung. Piezoelemente
verwenden diesen inversen piezoelektrischen Effekt. Um sie zu charakterisieren, benutzt man
den Begriff der Konversion. Man bezeichnet damit das Verhältnis von angelegter Spannung
∆U 100 V
=
zu erreichter Verlängerung des Kristalls. Typische Konversionen sind
. (Beim
∆h 1 µm
easyScan sind es 24 V/µm). Die sehr geringen Längenänderungen können zur genauen
Positionierung im Raster-Tunnelmikroskop verwendet werden. Als Ergebnis ist die vertikale
Auflösung nur durch mechanische und elektrische Störungen begrenzt. Es wurden bereits
Werte von 5·10-12 m erreicht. Die horizontale Auflösung liegt für eine einatomige Spitze bei
2·10-11 m.
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Atome unter der Lupe
Kapitel 1: Das Raster-Tunnelmikroskop
14
Aufgabe 1.6
a) Ist es möglich, mit der obengenannten Konversion der
Piezoelemente eine Verschiebungsgenauigkeit von einer Atomlage zu
erreichen?
b) Wie würden Sie die minimale und maximale Spannung der Steuerelektronik bemessen, wenn Sie eine quadratische Probe von 350 nm
Seitenlänge untersuchen wollten?
Schwingungsdämpfung
Die Piezoelemente ermöglichen uns eine sehr genaue Positionierung von Probe und Spitze
und erlauben damit das Abtasten der Probe. Um diese Genauigkeit aber auch einhalten zu
können, muss man ein weiteres Problem in den Griff kriegen, nämlich die mechanischen
Erschütterungen. Durch Schritte im Gebäude oder Schall in der Luft können Spitze und Probe
viel stärker gegeneinander bewegt werden als durch die Piezoelemente. Das RTM muss
deshalb einen Mechanismus zur Dämpfung solcher Schwingungen besitzen. Die ersten
Tunnelmikroskope hatten dazu ausgeklügelte Dämpfungssysteme. Mittlerweile wurden
einfachere und trotzdem leistungsfähige Methoden entwickelt. Das easyScan ist ein gutes
Beispiel dafür. Es steht auf einer weichen Gummimatte, die auf einer zwei Kilogramm
schweren Granitplatte mit Füssen aus Schaumstoff steht. Die Gummimatte dämpft
hochfrequente Schwingungen, während die Füsse aus Schaumstoff vor niederfrequenten
Schwingungen schützen. Diese einfache Schwingungsdämpfung reicht zusammen mit der
starren Konstruktion des Scanners aus, um atomare Auflösung zu erreichen.
Wir fassen zusammen:
Nachdem ein Motor unter Ausnutzung der Reibung Probe und Spitze
angenähert hat, übernehmen Piezoelemente die Positionierung.
Piezoelemente können sich durch eine angelegte Spannung verformen.
Die vertikale Auflösung ist durch mechanische und elektrische
Störungen begrenzt, die horizontale Auflösung durch die Ausdehnung
des Spitzenatoms.
Für eine gute Auflösung des RTM ist die Dämpfung von
Schwingungen notwendig.
1.3 Probenoberflächen
“Das Volumen des Festkörpers schuf Gott, seine Oberfläche wurde vom Teufel gemacht.”
sagte einmal Wolfgang Pauli. Was hat den berühmten Physiker zu so einer Aussage
veranlasst? Im wesentlichen sind es drei Gründe, die die Oberfläche so schwierig machen:
Teilchenzahl, Sauberkeit und Anordnung der Oberflächenatome.
1. Teilchenzahl
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Kapitel 1: Das Raster-Tunnelmikroskop
15
Die Menge der Atome, die an der Oberfläche sitzen, ist sehr viel kleiner als die im Volumen.
Eine einfache Abschätzung zeigt das. Während in einem Kubikzentimeter Volumen etwa 1023
Atome (≈10-1 mol) enthalten sind, sind in einem Quadratzentimeter Oberfläche nur etwa 1015
Atome (≈10-9 mol). Daher erhält man mit vielen Analysemethoden praktisch nur
Informationen über die Teilchen im Volumen.
2. Sauberkeit
Um Oberflächen zu studieren, müssen wir sie sauber und rein halten. Bei Atmosphärendruck
treffen aber in jeder Sekunde 1023 Gasteilchen auf einen Zentimeter der Oberfläche. Jedes
Atom wird also pro Sekunde etwa 108 mal getroffen. Auch wenn nur ein kleiner Bruchteil
dieser Teilchen auf der Oberfläche haften bleibt, so ist doch die Zeitspanne, während der die
frisch gereinigte Oberfläche sauber bleibt, sehr kurz.
3. Anordnung der Atome
Ein Atom im Volumen der Festkörpers ist ganz von anderen Atomen umgeben, ein Atom an
der Oberfläche dagegen nur von anderen Oberflächenatomen und den Atomen gerade unter
der Oberfläche. Die Oberflächenatome können sich deshalb zum Teil ganz anders anordnen
als die Atome im Inneren. Die Eigenschaften der Oberfläche können sich deshalb sehr stark
von denen des Volumens des Körpers unterscheiden.
Diese Gründe sind dafür verantwortlich, dass wir viel weniger über die Oberfläche des
Festkörpers wissen, als über sein Inneres. Und das, obwohl die Oberfläche von immenser
Bedeutung ist: Die meisten chemischen Reaktionen laufen an Oberflächen ab (Denken Sie
nur an Katalyse und Korrosion!), biologische Vorgänge spielen sich oft in Bereichen mit
grosser Oberfläche ab (etwa in Gehirn, Magenschleimhaut oder Haut) und die Oberfläche ist
bei vielen technischen Anwendungen wichtig (z.B. Reibung, Verkleben, Sensoren usw.). In
den letzten Jahren wurde deshalb sehr viel auf diesem Gebiet geforscht. Wie Sie sich sicher
vorstellen können, war es ein grosser Durchbruch, als man die Oberflächenatome mit dem
Raster-Tunnelmikroskop endlich “sehen” konnte.
Proben, die man gut mit dem easyScan untersuchen kann
Bevor Sie die Proben mit dem easyScan untersuchen werden, wollen wir Sie mit ihrer
Struktur vertraut machen und überlegen, was wohl mit dem Tunnelmikroskop abgebildet
wird. Dabei beschränken wir uns auf zwei Proben, nämlich Graphit und Gold.
A) Graphit
Graphit ist – wie auch Diamant– eine der Erscheinungsformen des Kohlenstoffes. Wie Figur
1.9 zeigt, ist er aus ebenen Schichten aufgebaut, in denen regelmässige Sechsecke aus
Kohlenstoffatomen in der Art einer Bienenwabe verknüpft sind.
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16
Kapitel 1: Das Raster-Tunnelmikroskop
1.42·10-10 m
3.35·10-10 m
Figur 1.9: Schichtgitter beim Graphit
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Atome unter der Lupe
Kapitel 1: Das Raster-Tunnelmikroskop
17
Die Netzebenen sind nur locker durch eine schwächere Bindung miteinander verknüpft, was
zu einem sogenannten Schichtgitter führt. Der kürzeste Abstand zwischen Kohlenstoffatomen
aus zwei benachbarten Schichten beträgt 3.35·10-10 m, während miteinander verbundene
Atome innerhalb einer Schicht nur 1.42·10-10 m weit voneinander entfernt sind. Die
Gitterkonstante des Graphits kann zum Beispiel durch Elektronenbeugung bestimmt werden
(Kann man Atome sehen? p.37). Die lockere Bindung der Netzebenen untereinander hat einen
grossen Vorteil für uns. Sie erlaubt uns nämlich direkt vor einer RTM-Aufnahme eine
saubere, sehr ebene Oberfläche herzustellen. Dazu müssen Sie den Kristall nur zwischen zwei
Netzebenen spalten! Sie können dafür einen Klebstreifen auf die Oberfläche kleben und
zusammen mit den obersten Schichten wieder abziehen.
Schön, werden Sie sagen, dann sehen wir also mit dem Tunnelmikroskop die Kohlenstoffsechsecke in der obersten Netzebene. Leider ist es nicht ganz so einfach. Sie können nämlich
nur jedes zweite Kohlenstoffatom abbilden. Aber wo sind die fehlenden Atome? Sehen Sie
sich die Graphitoberfläche doch noch einmal genauer an, diesmal in der Draufsicht (Figur
1.10). Sie stellen fest, dass die Netzebenen leicht versetzt übereinander angeordnet sind.
Deshalb hat nur die Hälfte aller Atome einen direkten Nachbarn in der zweiten Netzebene.
Wir bezeichnen diese Atome mit A. Die andere Hälfte der Atome (B-Atome) hat gerade die
Mitte eines Kohlenstoffsechsecks unter sich. Den Punkt im Zentrum des Sechsecks in der
obersten Schicht nennen wir H.
Sie sehen also: Es sind nicht alle Atome gleich. Dadurch, dass sie sich in ihren Nachbarn
unterscheiden, haben sie auch unterschiedliche Ladungsdichten. Jetzt wird wichtig, was wir
weiter oben erwähnt haben: Der Tunnelstrom hängt von der Elektronendichte ab. Die
Ladungsdichte ist über den H-Punkten am geringsten und über B-Atomen am grössten. Bei
A-Atomen liegt sie aufgrund der Bindung zu den Atomen der zweiten Schicht dazwischen.
Daher kann man diese Atome in der RTM-Aufnahme nicht sehen.
Figur 1.10: Graphit in der Draufsicht. Leere Kreise sind Atome der obersten Netzebene,
ausgefüllte Punkte Atome der zweiten Netzebene. Der kürzeste Abstand a zwischen zwei
Atomen beträgt 1.42·10-10 m.
Wie erwähnt können sich Oberflächenatome manchmal anders anordnen als die Atome im
Inneren des Festkörpers. Beim Graphit verschiebt sich manchmal die oberste Netzebene um
einen halben Atomabstand, also in Figur 1.10 um a /2 nach oben. Das führt dann dazu, dass
das RTM-Bild leicht verzogen aussieht mit seitlich abgeplatteten Atomen.
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18
Kapitel 1: Das Raster-Tunnelmikroskop
B) Gold
Die Variationen in der Ladungsdichte sind beim Graphit besonders gross. Daher ist es
besonders einfach, Atome abzubilden. Gold hat eine viel gleichmässigere Elekronenstruktur.
Das hängt damit zusammen, dass die Leitungselektronen in einem Metall frei beweglich sind.
Dazu kommt, dass Gold nicht so einfach zu reinigen ist wie Graphit und an Luft immer
mindestens eine Atomlage Verunreinigungen auf der Oberfläche hat. Um Goldatome auflösen
zu können, macht man deshalb Tunnelmikroskopaufnahmen im Vakuum. Dafür kann man
aber am Gold verschiedene mögliche Anordnungen von Atomen an der Oberfläche studieren.
Eine ideale glatte Oberfläche wie beim Graphit ist nämlich selten. Beim Gold kommen glatte
Oberflächen nur in kleineren Bereichen vor. Diese Terrassen sind von breiten Stufen von
manchmal nur einer Atomlage Höhe getrennt. Man findet auch Eckatome an solchen Stufen.
Ausserdem treten kleinere “Fehler” an der Oberfläche auf: einzelne oder mehrere zusätzliche
Atome auf einer Terrasse, fehlende Atome und kleine Verrückungen. Beachten Sie bitte, dass
man die Goldoberfläche nicht mit einem Klebestreifen abziehen darf, da sonst die Goldprobe
zerstört wird.
C) Andere Materialien
Natürlich lassen sich auch andere Materialien mit dem Tunnelmikroskop untersuchen.
Die Firma Nanosurf bietet z.B. auch noch eine MoS2 Probe an, aber auch leere Halter um
eigene Proben zu untersuchen. Die wichtigste Einschränkung ist natürlich die Leitfähigkeit
der Probe. Um isolierende Materialien untersuchen zu können, muss man diese mit einem
elektrischleitenden Material bedampfen. Allerdings wird dadurch die Oberfläche verändert
und die genaue Untersuchung der Oberfläche ist ja der Voerteil des Tunnelmikroskops.
Wir fassen zusammen:
Beim Graphit sieht man nur diejenigen Atome mit dem RTM, die kein
Atom in der zweiten Netzebene unter sich haben. Sie können die
Goldatome an Luft nicht auflösen. Dafür sind grössere Strukturen
sichtbar, vor allem Stufen. Proben, die man mit dem Tunnelmikroskop
untersuchen will, müssen elektrisch leitend sein.
1.4 Ergänzungen: Verwandte des RasterTunnelmikroskops, Vertiefungen
Die vorhergehenden Abschnitte haben Sie darauf vorbereitet, selbst Tunnelaufnahmen zu
machen. Wir hoffen, dass wir dabei Ihr Interesse für die bildhafte Darstellung der Welt der
Atome wecken konnten. Falls dies so ist und Sie immer noch mehr über diese Thematik
wissen möchten, finden Sie hier einige Vorschläge zur Vertiefung.
Dabei möchten wir Sie ganz besonders dazu einladen, das Raster-Kraftmikroskop (Aufgabe
1.7) kennenzulernen. Während das Tunnelmikroskop auf den Tunnelstrom und damit auf
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Atome unter der Lupe
Kapitel 1: Das Raster-Tunnelmikroskop
19
leitende Proben angewiesen ist, kann das Kraftmikroskop auch Isolatoren untersuchen. Bei
diesem Mikroskop drückt die feine Spitze direkt auf die Oberfläche. Man hält also nicht den
Strom, sondern die Andruckkraft konstant. Die Auslenkungen der Spitze werden von einem
Laserstrahl registriert, der auf der Rückseite der Spitze reflektiert wird. Mit der Spitze des
Raster-Kraftmikroskops kann man sogar einzelne Moleküle auf der Oberfläche verschieben
und so molekulare Landschaften bauen. In den vorgeschlagenen Artikeln werden auch noch
andere Folgeentwicklungen des RTM erklärt.
Aufgabe 1.7: Raster-Kraftmikroskop
Das Raster-Kraftmikroskop ist eine Weiterentwicklung des RasterTunnelmikroskops.
a) Lesen Sie die drei Artikel über das Raster-Kraftmikroskop (Atomic
Force Microscope, Abstossungskraft-Mikroskop), die für Sie bereitstehen (Wickramasinghe 89 (nur S. 62 bis S.65), Neubert 88, Fricke
90). Beschreiben Sie die Funktionsweise des Raster-Kraftmikroskops
auf ein bis zwei Seiten.
b) Nennen Sie je einen Vor- und Nachteil des Raster-Kraftmikroskops
gegenüber dem Raster-Tunnelmikroskop.
Aufgabe 1.8: Nanosurf im Internet
Zusätzliche Informationen über das easyScan-RTM und einige
Tunnelaufnahmen finden Sie auf der “Website” von Nanosurf
(www.nanosurf.ch). Notieren Sie sich stichwortartig, was für Sie neu
ist.
Möchten Sie am liebsten ein Tunnelmikroskop selber bauen? Dann finden Sie eine
Bauanleitung unter: http://sxm4.uni-muenster.de/introduction-de.html
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Atome unter der Lupe
20
Kapitel 1: Das Raster-Tunnelmikroskop
Lernkontrolle
Haben Sie alles verstanden? Hier können Sie es überprüfen.
Aufgabe 1.11
Hat das Rasterprinzip mit Quantenmechanik zu tun?
Aufgabe 1.12
Was hat der Tunneleffekt mit dem Raster-Tunnelmikroskop zu tun?
Stellen Sie in etwa fünf Sätzen einen Zusammenhang her.
Aufgabe 1.13
Was bestimmt die Grenzen des Auflösungsvermögens beim RasterTunnelmikroskop?
Aufgabe 1.14
Nennen Sie drei Schwierigkeiten bei der technischen Verwirklichung
des Tunnelmikroskops. Wie wurden sie gelöst? Stichworte genügen!
Aufgabe 1.15
Was ist ein Piezoelement und wozu braucht man es beim RasterTunnelmikroskop?
Aufgabe 1.16
a) Begründen Sie in drei Sätzen, warum man bei der Tunnelaufnahme
einer Graphitoberfläche nur die Hälfte der Atome sieht.
b) Sieht die Tunnelaufnahme von Gold genauso aus? Begründung!
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Atome unter der Lupe
21
Kapitel 1: Das Raster-Tunnelmikroskop
Lösungen zu den Aufgaben
Lösung 1.1
a) Im Diagramm ist die Austrittsarbeit Φ eingzeichnet. Sie entspricht der Differenz zwischen
EBarr und E0, also Φ = EBarr − E0 .
Energie
Elektron 2
EBarr
Ekin,2
Elektron 1
Φ
Ekin,1
E0
Ort
Metall
Aussenraum
b) Das Elektron 1 in einem Metall bei Raumtemperatur besitzt eine kinetische Energie
Ekin,1<Φ , das Elektron 2 in einem glühenden Metall dagegen hat Ekin,2<Φ . Elektron 1 hat also
zu wenig Energie, um die Potentialbarriere zu überwinden, und bleibt deshalb nach den
Regeln der klassischen Physik im Metall gefangen. Elektron 2 dagegen kann einen Teil seiner
kinetischen Energie in die Austrittsarbeit umwandeln und das Metall verlassen. Nach
Verlassen des Metall beträgt seine kinetische Energie nur noch Ekin,2, nachher= Ekin,2, vorher−Φ.
Lösung 1.2
Der Radius eines Atoms ist etwa 1·10-10 m. Damit ergibt sich für das Verhältnis des
Tunnelstroms auf dem Atom (IT,1) zum Strom vor dem Atom (IT,2):
IT,1
IT,2
−c
cU e 2
= 1 T −c
c1UT e 2
Φd1
Φd 2
=e
− c2 Φ ⋅[−(d 2 −d 1 )]
≈e
1010
⋅ 5eV ⋅10 −10 m
eV ⋅m
≈e
2.2
≈9
Der Tunnelstrom ändert sich also um fast eine Grössenordnung.
Lösung 1.3
a) Der Tunnelstrom hängt auch von der Häufigkeitsverteilung der Elektronenenergien im
Spitzenmaterial ab. Unterschiedliche Spitzen können deshalb unterschiedliche Bilder
erzeugen.
b) Das Material der Spitze sollte also eine möglichst konstante Verteilung besitzen, d.h. keine
ausgeprägten Strukturen in der Atomhülle besitzen.
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22
Kapitel 1: Das Raster-Tunnelmikroskop
c) Bei einer Spannung von –2 V zwischen Spitze und Oberfläche tunneln die Elektronen von
der Oberfläche zur Spitze. Im wesentlichen sieht man dann die Besetzten Zustände der
Oberfläche. Bei einer Spannung von +2.2 V tunneln die Elektronen von der Spitze in die
Oberfläche. Der Tunnelstrom wird somit hauptsächlich durch die freien Zustände in der
Oberfläche bestimmt.
Lösung 1.4
Rastern bei konstanter Höhe hat den Vorteil, dass man sehr schnell ein Bild bekommt (eine
Sekunde oder schneller pro Bild). Um bei konstantem Strom zu rastern, muss die Spitze der
Oberfläche nachgeführt werden, was viel länger dauert (typisch: einige Minuten pro Bild).
Man kann allerdings nur bei konstanter Höhe rastern, wenn die Probe sehr eben ist. Daher
wird bei den meisten Anwendungen bei konstantem Strom gerastert, so auch beim easyScan.
Lösung 1.5
Beim langsamen Anstieg der Spannung wird die Unterlage langsam beschleunigt. Damit der
Zylinder mitbeschleunigt wird, muss die beschleunigende Kraft auf ihn von der Haftreibungskraft aufgebracht werden ( Fbeschl = mZylinder ⋅ a = FHaft ≤ µHaft ⋅ FN ).
Beim schnellen Abfall der Spannung (grosse Beschleunigung, d.h. grosse beschleunigende
Kraft) reicht die Haftreibungskraft nicht zur Beschleunigung aus. Sie erreicht nämlich
höchstens den Wert von Haftreibungskoeffizient mal Normalkraft. Die Unterlage gleitet unter
dem Zylinder durch, wobei die Gleitreibungskraft wirkt. Diese ist allerdings viel kleiner als
die Haftreibungskraft und kann den Zylinder nur wenig beschleunigen.
Lösung 1.6
Die Konversion beträgt
V
∆U 120 V
=
= 1.2 ⋅108 .
∆h 1 µm
m
-10
a) Eine Atomlage beträgt typischerweise 1·10 m.
V
8 V
= 10 −10 ⋅1.2 ⋅108 = 12 mV
Nötige Spannung: ∆U = ∆h ⋅1.2 ⋅10
m
m
Diese Spannung ist noch gut regulierbar. Die verlangte Genauigkeit kann erreicht werden.
V
= 42 mV
m
Es wird also vom Zentrum ausgehend eine Spannung von ± 21 mV benötigt.
−9
8
b) U = 350 ⋅10 m ⋅1.2 ⋅10
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Atome unter der Lupe
Kapitel 1: Das Raster-Tunnelmikroskop
23
Lösung 1.11
Das Rasterprinzip hat natürlich nichts mit Quantenmechanik zu tun. Es wird zum Beispiel
auch beim Fernsehen benützt.
Lösung 1.12
Der Leerraum zwischen Mikroskopspitze und Probe wäre klassisch verboten. Nach der
Quantenmechanik können Elektronen dieses Gebiet aber durchtunneln. Bei Anlegen einer
Spannung fliesst ein Tunnelstrom, der exponentiell vom Abstand zwischen Spitze und Probe
abhängt. Sehr kleine Abstandsänderungen (in der Grössenordnung von Teilen des
Atomdurchmessers) geben zu grossen Stromänderungen Anlass. Misst man diese Änderungen
während man die Oberfläche abrastert, dann kann man Atome bildhaft darstellen. Das ist das
Grundprinzip der RTM.
Lösung 1.13
Die vertikale Auflösung, also die Genauigkeit mit der man Höhenänderungen feststellen
kann, ist nur begrenzt durch elektrische und mechanische Störungen, wie zum Beispiel
Rauschen in der Elektronik oder Erschütterungen. Die horizontale Auflösung, also die
maximale Breite einer Struktur, die man noch sehen kann, hängt von der Ausdehnung des
Spitzeatoms, also von der Breite dieses Atoms ab.
Lösung 1.14
kontrollierte Annäherung der Spitze über relativ weite Wege in sehr kleinen Wegstückchen ->
Lösung: Reibungsmotor
Abstandsänderungen, die kleiner als der Atomdurchmesser sind -> Lösung: Piezoelemente
Beeinträchtigung der Auflösung durch Schwingungen -> Lösung: Schwingungsdämpfung,
z.B. durch Gummimatte und Füsse aus Schaumstoff am Gerät
Lösung 1.15
Ein Piezoelement ist ein Kristall, der sich durch Anlegen einer Spannung verformt, weil sich
die Ladungen im Kristall gegeneinander verschieben. Die Längenänderung ist ungefähr
proportional zur angelegten Spannung. Es sind winzige Längenänderungen (kleiner als der
Atomdurchmesser) möglich. Man verwendet die Piezoelemente zur genauen Positionierung
der Spitze des Raster-Tunnelmikroskops.
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Atome unter der Lupe
Kapitel 1: Das Raster-Tunnelmikroskop
24
Lösung 1.16
a) Die Netzebenen des Graphit sind so gegeneinander verschoben, dass nur die Hälfte der
Atome direkte Nachbarn in der nächsten Ebene hat. Diese Atome haben eine geringere
Ladungsdichte. Da der Tunnelstrom von der Elektronendichte abhängt, sieht man nur die
Atome ohne nächste Nachbarn.
b) Nein, Gold hat eine andere Struktur. An Luft sieht man mit dem RTM grössere Strukturen,
vor allem Stufen.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
24
Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
Die Zustandsfunktion
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Übersicht
Vorgehen
24
24
Präludium - Experimente mit Licht geben Rätsel auf
Lernziele von Kapitel 2
Differentialgleichungen - ein intuitiver Zugang
Die Schrödingergleichung bestimmt die Zustandsfunktion
Quantisierung der Energie
Die Rolle des Drehimpulses
Elektronen im Festkörper
25
27
28
31
37
42
46
Lösungen zu den Aufgaben
51
Übersicht
Hier werden die theoretischen Grundlagen des Tunnelmikroskops behandelt. Dieses Kapitel
ist anspruchsvoll. Dies liegt daran, dass die bis anhin diffusen Begriffe von Quantenobjekt,
Wellen und Wahrscheinlichkeiten in einen mathematisch-physikalischen Rahmen gesetzt und
dadurch klarer werden sollen: Zentral ist die Schrödingergleichung. Sie wird in 2.3 eingeführt.
Um sie zu verstehen, müssen Sie vorgängig in Abschnitt 2.2 noch ein bisschen Mathematik
hinzuzulernen oder repetieren (Stichwort Differentialgleichungen). Damit verschaffen Sie sich
Zugang zur eigentlichen Quantenmechanik (2.4 – 2.5) und knüpfen in 2.6 die Verbindung zu
Festkörpern. Im Additum 2 wird dann näher auf Atomspektren eingegangen und die
Verbindung zur Chemie hergestellt.
Vorgehen
Beginnen Sie mit den Phänomenen im experimentellen Teil. Studieren Sie dann die Lernziele.
Falls Sie einfache Differentialgleichungen schon lösen können, überfliegen Sie das Kapitel
2.2 nur kurz. Für verschiedene Aufgaben benötigen Sie einen graphikfähigen Taschenrechner
oder einen Computer, auf welchem Sie Mathematikprogramme laufen und die Resultate
zeichnen lassen können. - Viel Vergnügen!
2.1 Präludium ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
25
Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
Experimente mit Licht geben Rätsel auf
Wenn wir mit Licht einer bestimmten Wellenlänge auf eine wässrige Lösung einstrahlen, so
erwarten wir, dass das Licht mit derselben Wellenlänge wieder austritt. Es erscheint uns auf
den ersten Blick unnatürlich, wenn wir z.B. mit blauem Licht hineinstrahlen und rotes Licht
herauskommt. Trotzdem kennen Sie wahrscheinlich solche Beispiele: Vielleicht erinnern Sie
sich an einen Disco-Besuch oder an eine Zirkusvorstellung, wo mit sogenanntem
"Schwarzlicht" - das unsere Augen nicht wahrnehmen kann - phantastische Farbeffekte
hervorgezaubert werden. Das gleiche Phänomen wird auch in Mineraliensammlungen benützt:
Beleuchtet man einen Fluorit-Kristall mit UV-Licht, so leuchtet er. Das lieferte auch den
Namen "Fluoreszenz".
Dies ist eine der vielen Überraschungen, die die Natur bereithält und die Quantenphysik
erklärt. Ein kleines Experiment soll lhnen dies zeigen. Lesen Sie zuerst, worum es geht, dann
führen Sie das Experiment durch:
Experiment 2.1: Zur Fluoreszenz
Im Nebenzimmer finden Sie drei Lösungen in Reagenzgläsern.
Löschen Sie das Licht. Wenn Sie nun die Gläser unter die UV-Lampe
halten, beginnen diese Lösungen zu leuchten. - Welche Farben sehen
Sie?
Bestrahlen Sie nun die Proben mit der weissen Lampe oder mit einer
UV-Lampe einer anderer Wellenlänge und mit einer IR-Lampe. - Was
stellen Sie jetzt fest ?
In allen Fällen - ausser mit der IR-Lampe - leuchteten die bestrahlten Lösungen unabhängig
vom einfallenden Licht in der jeweils gleichen Farbe. Offenbar wird von jeder Flüssigkeit nur
Licht mit bestimmten Wellenlängen ausgesandt. Diese Wellenlängen sind von Stoff zu Stoff
verschieden. Mit der IR-Lampe nun werden die Lösungen mit langwelligem Licht bestrahlt.
Dieses scheint nicht auszureichen, um den Stoff zum Fluoreszieren anzuregen. Doch warum
leuchtet in diesem Fall die Lösung nicht einfach schwächer?
Sie wissen, dass einem Photon der Wellenlänge λ die Energie E zugeordnet wird: E = hc/λ.
Ein Photon mit einer Wellenlänge im UV-Bereich ist kurzwellig und besitzt somit eine grosse
Energie. Licht aus derartigen Photonen kann das Auge nicht wahrnehmen. Aber Sie sehen ja,
wie die Lösung unter der UV-Lampe leuchtet! Also muss doch das kurzwellige UV-Photon in
der Lösung so umgewandelt werden, dass ein Photon mit sichtbarer Wellenlänge die Lösung
verlässt. Energetisch gesprochen: Die grosse Energie E des einfallenden Photons wird durch
ein Atom oder Molekül der Lösung in einzelne Portionen umgewandelt E = E1 + E2 + E3 + ...
Diese kleineren Energien werden als neue Photonen wieder ausgesandt, wobei mindestens
eine Energieportion, z.B. E1, einem Photon mit sichtbarer Wellenlänge entspricht. Die anderen
liegen im infraroten Bereich. Da die Farbe der fluoreszierenden Lösung unabhängig von der
Energie des UV-Photons und jede Farbe einer bestimmten Energie zugehörig ist, muss also
wenigstens die Portion E1 für das sichtbare Photon in jeder Umwandlung vorhanden sein.
Mit diesen Überlegungen fällt es leicht zu erklären, weshalb einfallendes IR-Licht kein
Leuchten erzeugt: Ein IR-Photon besitzt schlichtwegs zuwenig Energie, die in Portionen
zerlegt werden könnte, von denen dann eine ein sichtbares Photon erzeugte. Doch das Rätsel
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26
Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
bleibt: Wie zerlegt ein Atom oder Molekül die Energie eines einfallenden Photons in immer
dieselben Portionen und sendet diese als neue Photonen wieder aus? Kurz:
Weshalb tritt die Energie bei atomaren Prozessen in Portionen auf?
Zur Vertiefung des Verständnisses dieser Problematik untersuchen Sie im folgenden Gase mit
einem Spektrometer. Sie wissen aus der Optik: ein Prisma zerlegt Licht in sein Farbspektrum.
Jeder Farbe entsprechen Photonen einer bestimmten Wellenlänge. Nach dem Prisma oder
Spektrometer sehen Sie also das Spektrum aller Photonen, die zusammen das einfallende Licht
bilden.
Experiment 2.2: Zum Spektrum von Gasen
Sie untersuchen mit einem Spektrometer das Licht von Gasen, welche
Sie durch Anlegen einer Hochspannung zum Leuchten bringen. Beobachten Sie:
a) Neon und Argon (wie in Leuchtreklamen)
b) Quecksilber und Natrium (von der Strassenbeleuchtung her
vertraut)
c) Wasserstoff, Stickstoff und Kohlendioxid
Die Edelgase sowie Quecksilber und Natrium weisen ein deutliches Linienspektrum auf. Diese
Gase senden somit nur Photonen bestimmter Wellenlängen aus. Wiederum stellt sich die
Frage, warum die Energie der ausgestrahlten Photonen nur diskrete Werte annehmen kann.
("Diskret" steht hier als Gegensatz zu "kontinuierlich". Diskret sind auch die natürlichen
Zahlen im Gegensatz zu den kontinuierlichen, dicht liegenden, reellen Zahlen.)
Die Moleküle unter c) zeigen ein viel dichteres Spektrum. Anscheinend gibt es für die
Moleküle wesentlich mehr Möglichkeiten, Photonen bestimmter Wellenlänge auszusenden.
Beim Kohlendioxid z.B. liegen die Energien so dicht beieinander, dass die einzelnen Linien zu
Streifen verschmelzen. (Ein Spektrometer höherer Auflösung würde dies offenbaren.) Ein
solches Spektrum wird Bandenspektrum genannt. Wie diese entstehen, wird in Additum 2
besprochen werden.
Um diese Erscheinungen im Rahmen der Quantenphysik erklären zu können, sind Ihre
Mathematikkenntnisse gefordert. Sie werden zuerst eingeführt in die Theorie der Differentialgleichungen - allerdings in einer sehr "eingängigen" und kurzgefassten Art. Der kleine mathematische Apparat stellt Ihnen Möglichkeiten zur Verfügung, in die Welt der Quantenobjekte
einzutauchen und einige phantastische Resultate zu erreichen. So entwickelt sich Ihre
Quantenphysik zu einer Quantenmechanik. Dazu streben wir folgende Lernziele an:
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Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
Lernziele von Kapitel 2
•
Sie können dem Begriff "Zustandsfunktion" eine präzise Bedeutung geben.
•
Sie kennen den Zusammenhang zwischen der Zustandsfunktion eines Quantenobjektes
und der Schrödingergleichung. In einfachen Fällen können Sie die Schrödingergleichung
lösen.
•
Sie verstehen, weshalb die Energie eines gebundenen Quantenobjekts quantisiert ist. Die
Rolle der Randbedingungen leuchtet Ihnen ein. Sie können damit das Auftreten von
Spektrallinien begründen.
•
Sie wissen, wie man Elektronen im Festkörper durch das Bändermodell beschreiben kann.
•
Mit Hilfe des Bändermodells können sie den Unterschied zwischen Leitern, Halbleitern
und Isolatoren erklären.
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Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
2.2 Diff.gleichungen - ein intuitiver Zugang
Zum Einstieg betrachten wir einen vertrauten Aufgabentypus: 3x2 + 2 = 5x, wobei x eine
reelle Zahl aus dem Intervall [0 , 0.75] sein soll. Die Gleichung und die angegebene Grundmenge bestimmen, welche Bedingungen x zu erfüllen hat. Die Lösung ist nur x = 2/3; die
andere Variante x = 1 liegt nicht in der Grundmenge. Man kontrolliert durch Einsetzen.
Bei einer Differentialgleichung ist nun die Unbekannte nicht einfach eine Zahl x, sondern eine
Funktion f(x) aus einer Grundmenge von vielen Funktionen. Neben der gesuchten Funktion
f(x) tauchen in einer Differentialgleichung aber auch noch deren Ableitungen auf. In Worten
lautet eine der einfachsten Differentialgleichungen so: "Welche Funktion ergibt einmal abgeleitet wieder dieselbe Funktion?" Dies können wir mathematisch formulieren: f '(x) = f(x).
Nun, die Lösungsfunktion ist hier f(x) = ex; denn leiten wir ex einmal nach x ab, so erhalten
wir wiederum ex.
Beispiel: "Welche Funktion aus der Menge aller ableitbaren Funktionen erfüllt die Differentialgleichung f '(x) = -3f(x) ?" Versuchen wir es mit f(x) = e-3x: Differenzieren wir einmal nach
x, so ergibt sich wegen der inneren Ableitung f '(x) = -3e-3x = -3f(x). Also ist diese Wahl, im
Mathematikerjargon: "dieser Ansatz" f(x) = e-3x richtig.
Vielleicht haben Sie oben bemängelt, dass die Lösungsfunktionen noch mit einer reellen Zahl
A multipliziert werden können und immer noch Lösungsfunktionen bleiben. Da haben Sie
recht:
f '(x) = f(x) wird durch f(x) = Aex und f'(x) = -3f(x) durch f(x) = Ae-3x gelöst. Diese Zahl A
wird als Amplitude bezeichnet.
Aufgabe 2.1: Lösungsansätze für Differentialgleichungen
Erraten Sie die Lösungen der folgenden Differentialgleichungen:
Nr. 1 f'(x) = 2.f(x)
Nr. 4 x.f'(x) = 3f(x)
Nr. 2 f'(x) = 2x.f(x)
Nr. 5 f''(x) = 9f(x)
Nr. 3 f'(x) = -x.f(x)
Nr. 6 f''(x) = -f(x)
Bei den letzten beiden Aufgaben haben Sie festgestellt, dass es je zwei Lösungen gibt:
Nr. 5
Nr. 6
f(x) = Ae3x
f(x) = Asin(x)
und
und
f(x) = Be-3x,
f(x) = Bcos(x).
Die beiden Teillösungen können je zu einer Gesamtlösung addiert werden, wobei natürlich die
beiden Amplituden A und B nicht gleich sein müssen:
Nr. 5'
Nr. 6'
f(x) = Ae3x + Be-3x,
f(x) = Asin(x) + Bcos(x). (Beachten Sie die Wirkung des Minuszeichens!)
Sie stellen fest, dass die Lösungsfunktion nicht vollständig bestimmt ist: wer legt die
konstanten Vorfaktoren A und B und damit den genauen Funktionsverlauf fest? Eine
eindeutige Lösung ist nur möglich, wenn zusätzlich zur Differentialgleichung noch andere
Bedingungen für f(x) gegeben sind: sogenannte Rand- oder Anfangsbedingungen (wenn x die
Zeit bedeutet).
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Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
Beispiel: Wir gehen von Nr. 6 aus und verlangen zusätzlich: Die Schwingungsfunktion f(x)
soll bei x = 0 beginnen, dort am Rand a) Null sein, dh. f(0) = 0, und b) eine Steigung von 2
besitzen, dh. f'(0) = 2.
Die erste Bedingung führt auf B = 0. Wir verwenden folglich nur noch f(x) = Asin(x). Diese
können wir in die zweite Bedingung einsetzen, wobei f'(x) = Acos(x) ist: f'(0) = Acos(0) = A,
dh. also A = 2. Die eindeutige Lösung der Differentialgleichung f''(x) = -f(x) mit den beiden
Bedingungen lautet somit: f(x) = 2sin(x).
Aufgabe 2.2: Berücksichtigen der Randbedingungen
a) Berechnen Sie die eindeutige Lösung der Differentialgleichung Nr. 5
f''(x) = 9.f(x) für die beiden Randbedingungen:
1) f(0) = 10 und 2) f'(0) = -24. Hinweis: Der TR zeigt die
Lösungsfunktion sehr schön für x = [0; 1.2], y = [0; 25].
b) Weisen Sie nach, dass die Lösungsfunktion Nr.6 auch in der Form
einer phasenverschobenen Cosinusfunktion geschrieben werden
kann: f(x) = C cos(x + δ). Formen Sie dazu f(x) um; setzen Sie B = C
cosδ und A = -C sinδ. Wie gross sind C und δ?
Ein physikalisches Beispiel:
Stellen Sie sich eine Atmosphärenphysikerin vor, die unbedingt wissen will, wieviel der
Luftdruck p(x) in nicht allzu grosser Höhe x über dem Erdboden beträgt. Sie stellt drei
Überlegungen an:
1. Die Luft ist ein Gas. Deshalb gilt die Zustandsgleichung für ideale Gase pV = NkT. In der
Höhe x ist also p(x) = n(x)kT, wobei n(x) die Teilchendichte in der Höhe x darstellt. Die
Temperatur wird dabei als konstant angenommen, was nicht realistisch ist.
2. Zwischen den einzelnen Luftschichten herrscht ein Kräftegleichgewicht. Sie betrachtet ein
kleines Volumen ∆V = A∆x in der Höhe x. Auf die Fläche A wirkt von unten die "Trag"kraft Fu
= p(x)A - von oben wirkt einerseits das Gewicht FG = mLuftgn(x)A∆x und andererseits die
Druckkraft auf die Oberseite Fo = p(x+∆x)A (Siehe Fig.1; mLuft = Masse eines "Luftteilchens").
Es gilt also Fu = FG + Fo. Diese Gleichung kann umgeformt werden zu:
p( x + ∆x) − p( x)
= −mLuft g ⋅ n( x)
∆x
A
Höhe
∆x
x
Fu
Figur 2.1
3. Linkerhand entsteht für ein infinitesimal kleines ∆x ein Differentialquotient. Zudem kann
man p(x) durch n(x)kT ersetzen. Die Differentialgleichung lautet dann:
m Luft g
d
n(x) = −
n(x) = n' (x)
(2.1)
dx
kT
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Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
Die Lösung kennen Sie bereits: es ist eine Exponentialfunktion. Mit der Randbedingung, dass
die Teilchendichte am Erdboden gleich der Zahl no sei, dh für die Bedingung n(0) = A = no,
ergibt sich:
p(x) = n(x) ⋅kT ⇒
p(x) = n0 kT ⋅e
−
mg
x
kT
Barometerformel
Bei T = 273.15 K erhält man mit mLuft = 4.82.10-26 kg den Druck auf Meereshöhe:
p(0) = no kT = 1016 hPa = 1 atm (Normdruck);
bei gleicher Temperatur in 1000 m Höhe wird: p(1000) = 880 hPa (mLuftg/kT = 1.25.10-4 m-1).
Sie haben gesehen: Physikalische Überlegungen haben auf die Differentialgleichung (A1.1)
geführt. Deren Lösung n(x) ist ganz einfach. Die Amplitude A wird durch eine Bedingung am
Rand bei x = 0 ebenfalls aufgrund einer physikalischen Betrachtung festgelegt. Das ist im
folgenden unsere Methode!
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Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
31
2.3 Die Schrödingergleichung bestimmt die
Zustandsfunktion
Im Unterricht haben Sie gelernt, dass mit den Quantenobjekten eine Funktion ψ auftritt. Ihr
Quadrat ψ2 gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte P dafür an, ein Teilchen in einem kleinen
Volumenelement dV anzutreffen:
dP
2
dP = ψ dV ⇔
ψ2 =
dV
Das ψ2 kann in Experimenten gemessen werden: Beim Doppelspaltexperiment etwa ergibt sich
die typische Intensitätsverteilung wie beim Experiment mit Lichtwellen. Doch wieso besitzt
die Grösse ψ Welleneigenschaften? Was bedeutet dieses ψ? Wodurch wird es bestimmt? Und
wie kann dieses ψ berechnet werden? - Wir wollen zuerst die Terminologie erläutern und
anschliessend diesen Fragen in fünf Schritten nachgehen.
In verschiedenen Büchern werden Sie verschiedene Bezeichnungen für das finden, was wir
hier "Zustandsfunktion" nennen. Mancherorts spricht man von "Zustandsvektoren" und macht
damit klar, dass diese mathematischen Objekte wie Vektoren zusammengefügt werden
können. Oft liest man auch den Terminus "Wellenfunktion". Dies ist oft sinnvoll. Effektiv
können Zustandsfunktionen wie Wasserwellen interferieren. Und zudem hat die
Zustandsfunktion freier Quantenobjekte die mathematische Form einer Welle. Aber
Elektronen etwa, die den "Leim" einer chemischen Bindung ausmachen, sind in einem
Zustand, der mit der üblichen Vorstellung einer Welle wenig gemeinsam hat. Da ist die
Benennung "ψ-Funktion" neutraler. Doch gibt sie möglicherweise zu psychedelischen ψAssoziationen Anlass ...
1. Schritt: An die Stelle der Ortsfunktion s(t), aus der man v(t) und andere Grössen klassischer
Teilchen berechnen kann, tritt in der Quantenmechanik die Zustandsfunktion ψ. Sie wissen
schon, dass in der Quantenphysik nur noch Wahrscheinlichkeitsangaben möglich sind. Mit der
Grösse ψ(x), deren Wert sich von Ort zu Ort ändert, können nun alle Grössen, die den Zustand
eines Quantenobjekts charakterisieren, ausgerechnet werden:
•
•
•
Die Wahrscheinlichkeitsdichte, ein Teilchen im infinitesimal kleinen Volumenelement dV
an der Stelle x zu finden, ist also dP(x) = ψ(x)2dV. Die Orbitale, die Sie aus dem
Chemieunterricht kennen, sind Bilder dieser Wahrscheinlichkeitsdichte.
Die Zustandsfunktion ψ(x) ermöglicht, die Energie eines Quantenobjekts zu berechnen.
Wie das vor sich geht, lernen Sie im nächsten Abschnitt.
Mit ψ(x) kann man auch den Impuls und weitere Grössen ausrechnen. Doch die dafür
nötigen Prozeduren werden Sie erst an der Hochschule kennenlernen. Das ψ(x) ist so
ausgelegt, dass die Unschärferelation immer erfüllt bleibt.
Wie man die Funktion ψ(x) berechnet und wie sie aussieht, möchten Sie wohl gerne wissen.
2. Schritt: In 2.2. haben Sie gelernt, was Sie brauchen, um ganze Funktionen berechnen zu
können: Differentialgleichungen. Sind die Differentialgleichung und die Randbedingungen für
die Zustandsfunktion gegeben, ist alles berechenbar! Doch woher kommt die entsprechende
Differentialgleichung? Am Beispiel der Barometerformel haben Sie gesehen, wie physikalische Überlegungen auf die Differentialgleichung des Atmosphärendrucks führten. Dies versuchen wir hier ebenso: Gesucht sind alle physikalischen Einflüsse auf die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens. Wir beginnen mit einem einfachen Spezialfall und
analysieren ihn vorerst mit den Begriffen der klassischen Physik:
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Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
32
3. Schritt: Denken Sie an ein Elektron, das sich auf einer Bahn mit grossem Abstand x auf ein
Proton zubewegt. Zwischen den beiden punktförmig angenommenen Teilchen wirkt die
Coulombkraft F = (1/4πεο).qQ/x2. Die dazugehörige potentielle Energie Epot ist Epot = -(1/4πεο).qQ/x.
Die potentielle Energie V hängt nur vom Abstand x der beiden Teilchen ab: Epot + V(x). Nun
besitzt das Elektron aber auch eine kinetische Energie Ekin = mv2/2 = p2/2m. Mit der totalen Energie E = Ekin + Epot berechnet sich Ekin demnach als Ekin = p2/2m = E - V(x). Umgeformt heisst es
dann: p2 = 2m[E - V(x)].
Nun wechseln Sie von der klassischen zur Quantenphysik und ändern Ihre Betrachtungsweise!
Fassen Sie mit de Broglie das Elektron als eine Welle mit Impuls p = h/λ auf. Es gilt dann
auch: p/h = 1/λ. Quadriert man und setzt dann den klassischen Impulswert von oben ein, ergibt
sich die folgende "halbklassische" Beziehung:
1 2m
h2
p 2 = 2 m[ E − V ( x )] = 2 ⇒
=
[ E − V ( x )]
(2.2)
λ
λ 2 h2
Die "Bahn" des Elektrons, hier noch ausgedrückt durch die Grössen x und λ, wird wesentlich
bestimmt durch die totale Energie E und durch das Potential V(x), in dessen "Kraftfeld" es sich
bewegt. Wir gehen davon aus, dass V(x) sich im Verlaufe der Zeit nicht ändert.
4. Schritt: Im dritten Schritt wurde leider die klassische Voraussetzung gemacht, das Elektron
befinde sich genau am Bahnort x mit dem exakten Impuls p = h/λ. Diese Annahme ist, wie Sie
wissen, unhaltbar. Die Unbestimmtheit von Ort und Impuls eines Quantenobjektes wird durch
die Heisenbergsche Unschärferelation quantitativ beschrieben. Um diesem Wesenszug der
Natur gerecht zu werden, ist es notwendig, vom klassischen Ortsbegriff Abschied zu nehmen
und die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in die Gleichung (A1.2) einzubauen. Wir benötigen die
Zustandsfunktion ψ(x). Doch wie soll die Verknüpfung geschehen? Am besten wohl über die
de Broglie-Wellenlänge λ! Bei einem freien Teilchen muss sie in der Zustandsfunktion
stecken, beispielsweise in der Form: ψ(x) = cos(2πx/λ). Eine verhältnismässig einfache
Beziehung zwischen λ und ψ(x) erhalten Sie, wenn Sie ψ(x) zweimal nach x ableiten:
d2/dx2 ψ(x) = -(2π/λ)2.cos(2πx/λ) = -(2π/λ)2 ψ(x)
Die Grösse λ2 kann also umgerechnet werden in ψ(x)''. Dies ist wichtig, wenn wir nun daran
gehen, die Gleichung (2.2) nach dem Vorschlag von Erwin Schrödinger so zu verändern, dass
die Zustandsfunktion ψ(x) in ihr auftaucht.
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Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
Erwin Schrödinger: Er war 1926 Professor an der Universität Zürich
5. Schritt: Die quantenmechanische Version der Gleichung (2.2) hat Erwin Schrödinger 1926
entwickelt. Man würde ihm unrecht tun, schriebe man "erraten". Und doch war damals viel
Intuition dabei. Schrödinger ergänzte die klassische Mechanik durch seine
Differentialgleichung in einer Weise, die der Ergänzung der Strahlenoptik zur Wellenoptik
entspricht. In vielen Fällen kommt die Strahlenoptik zu den gleichen Ergebnissen wie die
Wellenoptik. Wenn aber das Licht durch sehr kleine Öffnungen und feine Strukturen strömt,
dann kann nur die Wellenoptik die Beobachtungen korrekt beschreiben. Ebenso genügt die
klassische Mechanik beispielsweise bei der Berechnung der Bewegung der Elektronen durch
eine TV-Röhre. Wenn jedoch diese Elektronen mit den Atomen in der Floureszenzschicht
wechselwirken, dann braucht es die Quantenmechanik.
Es gibt keinen Beweis für die Richtigkeit der Schrödingergleichung - ebensowenig wie für die
klassische Bewegungsgleichung (F = ma)! In vielen Experimenten bestätigt sie die Natur.
Schrödingers Gleichung ist die gesuchte Differentialgleichung für die Zustandsfunktion ψ(x).
Alle physikalischen Bedingungen, welche die Aufenthaltswahrscheinlichkeit und andere
Wesenszüge eines Teilchens beeinflussen, gehen in die Schrödingergleichung ein.
Die folgenden Rechnungen wollen den Übergang von der klassischen Mechanik zur Quantenmechanik andeuten. Schrödinger postuliert folgende Ersetzungen in der Gleichung (2.2):
1
1 d2
QM



→
−
ψ ( x)
λ2
(2 π )2 dx 2
und
QM
[E − V (x)] 
→ [E − V(x)]ψ (x)
Damit erhalten Sie die sogenannte zeitunabhängige Schrödingergleichung für ein Teilchen,
das sich im Potential V(x) befindet:
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34
Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
2m
d2
2 [V(x) − E ]ψ (x)
2 ψ (x) =
dx
(h 2π )
(2.3)
Zu dieser fundamentalen Entdeckung des 20. Jahrhunderts einige Bemerkungen:
•
•
•
Wir geben zu, dass wir die Variable t absichtlich aus der ganzen Problematik heraushalten.
Natürlich hängt eine Welle von den Variablen x und t ab; sie ist allgemein eine Funktion
f(kx-ωt). Stellen Sie sich hier einfach eine Momentaufnahme vor: Dann ist t fix und fällt
weg! Wollten wir t auch in die Zustandsfunktion hineinbringen, dann wären komplexe
Zahlen nötig. Diese zusätzliche Problematik ersparen wir uns. Damit verlieren wir allerdings die Möglichkeit, Prozesse zu betrachten, bei denen sich beispielsweise die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ändert. Wir müssen uns mit Anfangs- und Endsituation eines
solchen Prozesses zufrieden geben.
Wir beschränken uns einstweilen auf die Schrödingergleichung für ein einzelnes Quantenobjekt. Schon das einfachste Molekül, das H2, stellt uns dann vor neue Probleme.
Auch die Schrödingergleichung ist nicht der Weisheit letzter Schluss. Die Natur ist vielfältiger. Unter anderem müssten auch die Wesenszüge der Relativitätstheorie hier einfliessen. Dabei würde der Spin auftauchen.
Vielleicht möchten Sie sich ein genaueres Bild von der Entstehung der Quantenmechanik
machen. Vorschlag: Kuhn W.: Physik Band II, Oberstufe, 2. Teil Klasse 12/13. Braunschweig
1990. (Westermann). Die Seiten 428 bis 432 sind der Wellenmechanik gewidmet, die
vorwiegend auf de Broglie und Schrödinger zurückgeht. Aber eine ganze Reihe weiterer
Physiker: Bohr, Born, Heisenberg, Pauli usw. haben in den "goldenen Zwanzigerjahren"
andere, hier nicht erwähnte Beiträge zur neuen Grundlage der Physik geliefert.
Aufgabe 2.3: Bild der Zustandsfunktion
a) Machen Sie sich anhand einer kleinen Skizze vertraut mit der
Schreibweise cos(kx) = cos(2πx/λ) und der Wellenzahl k = 2π/λ !
b) Lassen Sie sich die quantenmechanische Ersetzung nochmals durch
den Kopf gehen und rechnen Sie die einzelnen Schritte nach, bis
Sie die Schrödingergleichung erhalten!
c) Berechnen Sie die Zustandsfunktion ψ eines freien Teilchens, dh.
lösen Sie (2.3) für V(x) = 0 !
Der Tunneleffekt
Wir illustrieren die Schrödingergleichung zuerst an einem Ihnen vertrauten Beispiel: am
Tunneleffekt! Sie wissen, dass der Tunnelstrom mit zunehmendem Abstand zwischen der
Probenoberfläche und der Wolframspitze exponentiell abnimmt. Die folgende Figur zeigt die
Situation:
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Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
(2) Aussenraum
V
E
(3)
Metallspitze
(1)
Probe
0
0
d
0
d
x
ψ
x
Figur 2.2: Potential und Zustandsfunktion bei einer Barriere
Die Energie E des Elektrons ist kleiner als die Barrierenhöhe V. Das Potential V(x) selber sei
im Aussenraum, dh. zwischen 0 und d, konstant V(x) = V.
Die Schrödingergleichung ist nun für die folgenden drei Bereiche zu lösen:
(1) in der Probe x < 0, (2) im Aussenraum 0 < x < d, (3) im Bereich der Metallspitze d < x.
(1) Innerhalb der Probe wirken keine Kräfte: das Potential ist also Null. Die Lösung ist somit
diejenige eines freien Teilchens: ψi(x) = Aicos(kx+δ) mit k2 = 2mE/(h/2π)2.
(2) Die Schrödingergleichung im Aussenraum lautet:
Oder mit der Abkürzung κ2 = 2m/(h/2π)2.[V-E] einfach
Ihre Lösung kennen Sie aus Aufgabe A1.1 Nr.5:
ψ''(x) = 2m/(h/2π)2.[V-E]ψ(x)
ψ''(x) = κ2 ψ(x).
ψa(x) = Aa eκx + Ba e-κx.
Aufgabe 2.4: Zur Eindeutigkeit der Lösung
Überlegen Sie sich, warum beim Tunneleffekt Aa = 0 und Ba ≠ 0 sein
muss! Stellen Sie sich vor, die Metallspitze sei noch weit entfernt.
(3) In der Metallspitze ist das Potential ebenfalls = 0. Die Lösung der Schrödingergleichung
ist wiederum die des freien Teilchens. Es hat dieselbe Energie wie in der Probe, dh. die
Wellenlänge λ und die Wellenzahl k der Zustandsfunktion bleiben gleich.
Insgesamt erhalten wir:
(1)
Probe: ψi(x) = Aicos(kx+δ)
(2)
Aussenraum: ψa(x) = Ba e-κx
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Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
(3)
Metallspitze: ψM(x) = AMcos(kx+δM)
Sicher finden Sie nun selbst heraus, wie die Zustandsfunktion aussieht (Aufgabe 2.5):
Aufgabe 2.5: Die Zustandsfunktion zeichnen
a) Zeichnen Sie den Verlauf der Zustandsfunktion in der Figur A1.2 im
vorgesehenen Diagramm ein.
Die Aufgaben b) und c) sind fakultativ.
b) Berechnen Sie für Ai = 3 die Phasenverschiebung δ und die Amplitude
Ba für die Zustandsfunktion im Aussenraum! Überlegen Sie sich
dabei, dass ψi(0) = ψa(0) und die ersten Ableitungen bei x = 0 ebenfalls
identisch sind (kein Knick in der Zustandsfunktion). Die Lösung soll
nur V und E enthalten. In einem zweiten Schritt bestimmen Sie die
Zustandsfunktion in der Metallspitze: ψM(x) = AMcos(kx+δM). Dies gelingt Ihnen mit derselben Idee wie vorhin, indem Sie die Randbedingungen bei x = d aufschreiben. Die Lösungen enthalten neben V und
E noch k, κ und d.
c) Schreiben Sie ein kleines Programm, welches für den Bereich -5.5 ≤
x ≤ 7.0 die gesamte Zustandsfunktion des tunnelnden Elektrons
zeichnet. Sie sollen in das Programm V, E und d eingeben können
(z.B. V = 4, E = 3, d = 1.5). Setzen Sie dabei 2m/(h/2π)2 = 1; die
Masseinheiten sind für den qualitativen Verlauf der Funktion nicht
weiter interessant.
Wir fassen zusammen:
Wir verstehen den idealisierten Tunneleffekt quantitativ:
(1) In der Probe sind die Elektronen praktisch frei. Ihre Zustandsfunktion ist wellenförmig. Die Wellenlänge hängt von der Bewegungsenergie ab.
(2) Im Aussenraum nimmt die Amplitude von ψ exponentiell ab.
Damit sinkt auch die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron zu finden.
(3) In der Metallspitze sind die Elektronen wieder praktisch frei. Die
Zustandsfunktion ist ψ wieder wellenförmig. Die Amplitude ist kleiner
und die Phasenlage ist anders, aber die Wellenlänge ist gleich wie in
der Probe.
Soweit so gut. Wenn man aber vorhersagen will, wie gross der Tunnelstrom ist, wieviele
Elektronen sich verschieben, dann muss man die Elektronendichte in der Probenoberfläche
kennen. Die Elektronen dort sind jedoch nicht frei, sondern an ihre Atomkerne gebunden. Wir
müssen demnach die Schrödingergleichung für gebundene Quantenobjekte untersuchen.
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37
Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
2.4 Die Quantisierung der Energie
Beim Spektrallinienexperiment haben Sie gesehen, dass die vom Gas abgestrahlten Photonen
nur bestimmte Energien besitzen. Die sogenannte Quantisierung der Energie ist typisch für
gebundene Quantenobjekte. In solchen Fällen treten zur Schrödingergleichung Randbedingungen hinzu, die die Menge der Lösungen drastisch reduzieren.
Am übersichtlichsten ist die Situation bei folgendem Extremfall: das Quantenobjekt ist in
einem Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden eingesperrt.
E
Wand
Innenraum
Innenraum
Innen
raum
0
0
d
x
Figur 2.3: Unendlich hoher Potentialtopf
Wie ist es in den Potentialwänden? Sie sehen: Mit V(x) = ∞ erlaubt die Gleichung 2.3 für die
Zustandsfunktion dort nur die Lösung ψ(x) = 0. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in der Wand
ist also null. Als Folge davon gelten für die Zustandsfunktion die folgenden Randbedingungen: ψ(0) = ψ(d) = 0. Mathematisch ist vieles ähnlich wie beim Tunneleffekt:
Aufgabe 2.6: Potentialtopf selber bearbeiten
a) Stellen Sie die Schrödingergleichung für ein Quantenobjekt mit der
Energie E im Innenraum des Potentialtopfs auf!
b) Lösen Sie die Schrödingergleichung unter der Berücksichtigung der
Bedingung ψ(0) = 0! (Die Amplitude A bleibt unbestimmt.)
c) Die zweite Randbedingung lautet ψ(d) = 0. Was bedeutet das für k,
respektive für die Wellenlänge? Geben Sie die Abhängigkeit von
der Potentialtopfbreite d an!
d) Was für eine Konsequenz haben die Randbedingungen somit für die
Energie?
Was haben Sie in Aufgabe 2.6. gelernt? Die Lösungen der Schrödingergleichung im Innenraum des unendlich hohen Potentialtopfs sind Zustandsfunktionen mit ganz bestimmten
Wellenlängen, weil die Randbedingungen das fordern. Solche Zustandsfunktionen werden oft
als Eigenfunktionen bezeichnet. Die dazugehörenden Energien sind quantisiert und
proportional zu n2 (n = N). Dieses n nennt man Energie-Quantenzahl.
En =
h2 2
n
8md 2
(n = 1,2,3...)
Ein mechanisches Analogon zum Potentialtopf ist die beidseitig eingespannte Saite. Die
Schwingungen der Saite sind stehende Wellen. Zu jeder Wellenlänge λ gehört wegen f = c/λ
eine bestimmte Tonhöhe. So eine Saite kann nur in eigener Weise schwingen: n = 1 gibt den
Grundton, n = 2 den ersten Oberton, die Oktave zum Grundton usw. Die Energie-Quantenzahlen n bedeuten anschaulich auch "Anzahl der Schwingungsknoten plus 1".
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Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
38
Angenommen, die Zustandsfunktion ψ(x) beschreibe ein derart eingesperrtes Elektron. Dieses
Elektron kann also nur bestimmte Energien besitzen. Es hat jedoch die Möglichkeit, von selbst
von einem höheren Energieniveau n in ein tieferes zu springen und dabei Energie abzugeben.
(Wie wahrscheinlich dieser Prozess ist, muss hier offen bleiben. Das ist ein Problem für die
Hochschule.) Die beim Sprung frei werdende Energie wird als Photon abgestrahlt. Es besitzt
bestimmte Energie, Frequenz und Wellenlänge:
EPhoton
h2
2
2
= Er − Es =
2 (r − s ) = hfrs = hc / λ rs
8md
Die Absorption von Strahlung durch ein System mit gebundenen Zuständen verläuft in jeder
Hinsicht umgekehrt.
Aufgabe 2.7: Energieniveaux-Schema
Zeichnen Sie die Energieniveaux des unendlichen Potentialtopfs für n =
1 bis n = 6 auf einer senkrechten Achse ein, und tragen Sie alle
Elektronensprünge auf n = 2 ein!
Natürlich ist Ihr Einwand richtig, es handle sich hier um ein ausgefallenes Potential. In der
Natur sei ja alles endlich. Die folgende Aufgabe zeigt Ihnen jedoch, dass Sie damit doch
schon realistische Fragestellungen bearbeiten können:
Aufgabe 2.8: Farbzentren
Alkalihalogenidkristalle (NaCl, KBr, CsJ usw.) besitzen eine kubische
Symmetrie. Sie enthalten verschiedenartige Störstellen, unter anderem
fehlende Halogenid-Ionen. Durch Erwärmen kann man die Anzahl
dieser würfelförmigen Kastenpotentiale erhöhen. Ein auf etwa 650 °C
erhitzter KCl-Kristall kann dann dadurch violett verfärbt werden, dass
man ihm von einer Stromquelle Elektronen zuführt. Diese füllen
nämlich die Potentialtöpfe und absorbieren Licht einer bestimmten
Wellenlänge: gelb beim KCl. Der Kristall erscheint in der
Komplementärfarbe violett.
Farbzentren sind natürlich endliche, dreidimensionale Potentialtöpfe.
Weil das Geschehen in den drei Dimensionen als unabhängig betrachtet
werden darf, können Sie doch schon qualitativ richtige Vorhersagen
liefern:
Überlegen Sie sich anhand des eindimensionalen Potentialtopfs, wie
die Energieniveaux der Elektronen von der Kastengrösse abhängen
könnten. Schliessen Sie sodann auf die Energie der Quanten, welche
die Übergänge zwischen den Niveaux freisetzen. Und sagen Sie zum
Schluss voraus, welche Farbe NaCl annehmen müsste, wenn bekannt
ist, dass die Kästen im NaCl kleiner sind als im KCl.
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Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
39
Wir könnten jetzt den Potentialtopf mit endlichen Wänden studieren. Er ist grundsätzlich das
Gegenstück zur Potentialstufe, die wir beim Tunneleffekt angetroffen haben. Ausser zusätzlicher Mathematik würden wir wenig Neues lernen.
Als zweites Beispiel untersuchen wir deshalb den harmonischen Oszillator, ein System, das
man in ganz verschiedenen physikalischen Situationen antrifft. Indem wir das Problem in der
Manier der Quantenmechaniker anpacken, erreichen wir den Gipfel der mathematischen
Komplexität dieses Leitprogramms. Dieses Beispiel ist fakultativ; in den Kapiteln über
Atombau und die chemische Bindung benützen wir jedoch die hier erarbeiteten Ergebnisse.
Der harmonische Oszillator (fakultativ)
Ein konkretes Beispiel für einen harmonischen Oszillator ist das Federpendel. Es ist das
einfachste gebundene System der klassischen Mechanik. Bei jedem Oszillator zwingt eine
rücktreibende Kraft F die schwingende Masse m immer wieder zur Gleichgewichtslage x = 0
zurück. Wenn eine Hooke'sche Feder oder eine andere Ursache dabei das lineare Kraftgesetz
F(x) = -kx erfüllt, dann haben wir einen harmonischen Oszillator. Die Bewegungsgleichung
liefert für ihn die Differentialgleichung mx'' = -kx. Diese hat die Struktur der Nr. 6 von
Aufgabe 2.1. Die Lösung, das Weg-Zeit-Gesetz, ist eine Sinus- respektive eine Cosinusfunktion. Für die Schwingungsdauer T und die entsprechende Kreisfrequenz ω gilt:
2π / T = ω = k / m
Verwechseln Sie in diesem Abschnitt die Richtgrösse (= Federkonstante) k nicht mit der
Wellenzahl k., die bei freien Teilchen eine Rolle spielt!
Die im Federpendel steckende Gesamtenergie, wird laufend zwischen der Bewegungsenergie
mv2/2 und der Federenergie kx2/2 hin- und hergeschoben. Die Federenergie, allgemein die
potentielle Energie des Oszillators, liefert direkt das Potential V(x) = kx2/2 , das für jedes
lineare Kraftgesetz gilt.
Zur quantenmechanischen Analyse des harmonischen Oszillators setzen wir die Potentialfunktion V(x) = kx2/2 in die Schrödingergleichung A1.3 ein und erhalten:
d2
2m  1 2
kx − E  ψ (x)
2
2 ψ (x) =

dx
(h 2π ) 2
Diesen Typus von Differentialgleichung finden Sie nicht unter den einfachen Fällen von A
1.1. Schwierigkeiten verursachen das x2 und die additive Konstante -E. Doch leuchtet ein, dass
die Zustandsfunktion für den Grundzustand so sein muss, dass die Masse m am wahrscheinlichsten bei x = 0 anzutreffen ist. Der Lösungsansatz geht also von einer Wahrscheinlichkeitsfunktion aus:
2
ψ ( x ) = Ae− ax
Unsere, respektive Ihre Aufgabe besteht aus verschiedenen Teilen:
•
•
•
•
•
Überprüfen, ob die Funktion die Differentialgleichung erfüllt. Wenn "ja" ...
den Wert von a durch die Grössen m, k und h/2π ausdrücken,
die Energie E des Grundzustands bestimmen und
Überlegungen zum Wert von A anstellen.
Ist dies alles erfolgreich bewältigt, dann müssen Sie sich auf die Suche nach weiteren
Zustandsfunktionen machen.
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40
Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
Aufgabe 2.9: Quantenmechanischer Oszillator (fakultativ)
a) Setzen Sie die vorgeschlagene Funktion in die Schrödingergleichung
ein und zeigen Sie, dass es eine Lösungsfunktion ist.
b) Suchen Sie nach Bedingungen, mit denen Sie a und E ausrechnen
können.
Wenn Sie 2.9 a) durchrechnen, stossen Sie auf eine Gleichung, die Sie beidseits durch ψ teilen
können. Damit ist a) erledigt. Sie erhalten dann folgende Gleichung:
−2a + 4a2 x 2 =
−2mE
mk
2
2 +
2 x
(h 2 π) (h 2 π)
Sie kann nur für alle x gelten, wenn die Glieder mit den Konstanten unter sich gleich sind und
wenn die Glieder mit den x2 gleich sind. Damit erhalten wir zwei Gleichungen für a und E:
−2a =
−2mE
2
(h 2 π )
4a 2 x 2 =
und
Mit ein wenig Geduld und Konzentration und der Abkürzung ω
a =
mω
2(h 2 π )
E =
und
mk
2
2 x
(h 2 π)
=
k / m finden Sie:
1
(h 2 π)ω
2
Zur Amplitude A haben wir bisher keine Information erhalten. Weil der harmonische "Potentialtopf" keine bestimmte Ausdehnung hat, gibt es keine Randbedingungen. Die Grösse A
muss in einem konkreten Fall so festgelegt werden, dass die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte über den ganzen Raum aufsummiert die vorhandene Anzahl Quantenobjekte - meist 1 liefert.
Wir haben damit den Grundzustand des harmonischen Oszillators vollständig erfasst. Dass es
sich um den Grundzustand handelt, davon können Sie sich selber überzeugen, wenn Sie das
gleiche Prozedere mit den beiden Funktionen ψ2 und ψ3 durchführen:
angeregte Zustände ψ 2 (x) = Bxe− bx
Als Nebenprodukte erhalten Sie alle Energien:
1
3
E1 = (h 2 π )ω und E2 = (h 2π )ω und
2
2
2
E3 =
und ψ 3 (x) = C(1− k)x 2 e −cx
2
5
1
(h 2 π)ω ... En = (n − )(h 2 π )ω
2
2
Auch hier führt die Schrödingergleichung eines gebundenen Systems auf die Energiequantisierung und die Energiequnatenzahl n. Interessanterweise haben hier alle Energiestufen den
gleichen Wert ∆E = Er - Es = (h/2π)ω = hf => die Quanten von Einstein und Planck!
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Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
41
Wir fassen zusammen:
Sie haben anhand von zwei Beispielen gesehen, dass ein
Quantenobjekt, welches in einem Potential (d.h. Kräftefeld) gebunden
ist, nur ganz bestimmte Energien aufweisen kann. Die Quantisierung
der Energie ergibt sich als Folge der Tatsache, dass nur eine begrenzte
Anzahl von Funktionen, die Eigenfunktionen, sowohl die
Schrödingergleichung als auch die Randbedingungen des Problems
erfüllen.
Eine wichtige Charakterisierung der Zustandsfunktion eines Quantenobjekts in einem Potentialtopf ist die Energie-Quantenzahl n.
Sie haben auch eine Erklärung für das Linienspektrum gefunden: Weil
die gebundenen Elektronen nur diskrete Energien besitzen, wird beim
Quantensprung von einem höheren auf ein tieferes Niveau immer eine
bestimmte Energie frei: die Energiedifferenz der beiden Niveaux. Diese
Energiedifferenz trägt das Photon davon. Emitierte und absorbierte
Photonen besitzen also nur gewisse Wellenlängen λ = hc/∆E, was im
Spektrometer sofort sichtbar ist.
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Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
2.5 Die Rolle des Drehimpulses
Jetzt ist es an der Zeit, eine der ältesten Erfindungen der Menschheit - das Rad quantenmechanisch in drei Dimensionen zu untersuchen.
Experiment 2.3: Zum Drehimpuls
Wiederholen Sie das folgende klassische Experiment: Halten Sie ein
Velorad an den Achsenenden mit beiden Händen fest. Die Achse liegt
dabei horizontal. Versetzen Sie das Rad in Rotation. Versuchen Sie
nun, die Achse in horizontaler Richtung zu drehen, indem Sie mit der
rechten Hand drücken, mit der linken ziehen. - In welche Richtung
weicht die Achse aus?
z
y
∆L
F
-r
L
r
x
F
Figur 2.5: Drehmoment und Drehimpuls
Sollten Sie keine Ahnung von den Begriffen "Drehmoment M" und "Drehimpuls L" (mehr)
haben, können Sie beispielsweise im Metzler-Physik nachschlagen (Grehn J.: Physik. Stuttgart
1988 (Metzler). 66-75). Wie Sie (wieder) wissen, ändert bei diesem Experiment der Drehimpuls L zwar nicht seinen Betrag, doch seine Richtung gemäss dem wirkenden Drehmoment:
∆Lz = ∆tM. Das Drehmoment ist M = r x F. Dabei wird die Achse mit der Kraft F um ein kleines
Stückchen ∆y gedreht. Die verrichtete Arbeit beträgt F∆y = ∆E. Wenn wir voraussetzen, dass ∆y
kleiner als der Umfang ist, also ∆y ≤ 2πr, so können wir folgende Ungleichung aufstellen:
∆Lz = M∆t = rF∆t =
r
r
1
∆yF∆t =
∆E∆t ≥
∆E∆t
2π
∆y
∆y
Das Rad soll jetzt schrumpfen! Es werde so klein, dass die Unschärferelation wichtig wird!
Erinnern Sie sich an die Unschärferelation für die Energie ∆E∆t ε h? Mit ihr wird:
∆Lz ≥
1
h
∆E∆t ≥
2π
2π
Die kleinstmögliche Änderung des Drehimpulses in eine Raumrichtung (hier die z-Richtung)
ist also ∆Lz = h/2π. Der Drehimpuls L ändert sich also nur sprunghaft. Der Grund dafür liegt in
der Tatsache, dass die Wechselwirkung ∆E∆t zwischen dem Quantenobjekt und der die Kraft
ausübenden Umwelt nicht kleiner als das Wirkungsquantum h werden kann.
Ist es möglich, diese neue Form der Unschärferelation aus der Schrödingergleichung herzuleiten? - Im Prinzip ja, aber für uns wird der mathematische Aufwand zu zeitraubend.
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Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
Eine Drehbewegung benötigt zumindest zwei Dimensionen. Wir müssten also zuerst formal
die Schrödingergleichung auf zwei Dimensionen ausbauen. Interessant würde es dann beim
Aufstellen der Randbedingungen.
Wenn die physikalische Situation rotationssymmetrisch ist, müssen die Zustandsfunktionen
nach einer Umdrehung wieder den Anfangswert erreichen. Der Astronom, Physiker und
Mathematiker Friedrich Wilhelm Bessel hat solche Funktionen schon anfangs des letzten
Jahrhunderts entdeckt. Wie sie aussehen können, zeigt das
Experiment 2.4: Zu 2-dimensionalen Schwingungen
Füllen Sie eine 2-Liter Mineralwasserflasche aus Plastik dreiviertel voll
mit Wasser und regen Sie mit einem kleinen Schlag Oberflächenwellen
an.
Gleichartige stehende Wellen können Sie auch auf einer Kesselpauke oder einem simplen
Eisenblech beobachten, wenn Sie nach dem Vorschlag von Chladni feinen Sand darauf
streuen. Aus der unendlich grossen Zahl von Zustandsfunktionen, welche die geforderten
Randbedingungen erfüllen, sind in Figur 2.6 vier einfache Fälle ausgewählt:
a)
c)
b)
d)
Figur 2.6: 2-dimensionale Eigenschwingungen
Sie sehen, dass die Figuren a), b) und d) vollständige Rotationssymmetrie besitzen. Das
bedeutet, anschaulich offensichtlich, aber wir können es hier nicht beweisen: Der Drehimpuls
ist null. Die drei Zustandsfunktionen unterscheiden sich jedoch in der Anzahl der
kreisförmigen Knotenlinien! Haben Sie eine Idee, wie dies zu interpretieren ist?
Richtig! Sie haben beim eindimensionalen, endlichen Potentialtopf gelernt, dass die Energie
mit zunehmender Knotenzahl wächst. Benennen wir folglich auch hier die Zahl der radialen,
kreisförmigen Knoten einer Welle mit nr und zählen dabei die Knotenlinie am Rand mit. Figur
a) stellt offensichtlich den Grundzustand n = nr = 1 dar; in den Figuren b) und d) sind die
Zustände mit den Energieniveaux n = 2 und n = 3 gezeichnet.
Vergleichen wir nun die Figuren b) und c). Beide besitzen je eine innere Knotenlinie und eine
am Rand. Deshalb dürfen wir annehmen, dass sie durch die gleiche Zahl n = 2 charakterisiert
werden. Die Asymmetrie von c) kommt durch den zusätzlichen Drehimpuls L zustande. Er hat
den minimalen Wert L = h/2π. Die Anzahl Drehimpulsportionen, die eine Zustandsfunktion
mit sich bringt, wird durch eine zweite Quantenzahl l gekennzeichnet. Sie heisst DrehimpulsQuantenzahl l. a) n = 1 und l = 0, b) n = 2 und l = 0, c) n = 2 und l = 1 usw.
Übrigens: Mit dem Drehimpuls wächst auch die Gesamtenergie eines Systems, denn es
kommt noch die Rotationsenergie hinzu. Sie lautet klassisch: E = L2/(2mr2). Man muss sie beim
Formulieren der Schrödingergleichung auch berücksichtigen. Das gibt zusätzlichen RechenETH-Leitprogramm Physik
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Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
44
aufwand. Doch die in Figur 2.6 sichtbare Symmetrie der Zustandsfunktion bleibt. Und am
wichtigsten ist der Nachweis, dass es solche zweidimensionalen Zustandsfunktionen in der
Natur wirklich gibt. Sie finden ihn in Figur 2.7:
Figur 2.7: RTM-Aufnahme eines "Quantenpferchs"
Mit Hilfe des RTM gelang es einer Forschergruppe 1993, auf einer extrem sauberen Kupferoberfläche 48 Eisenatome zu einem Ring anzuordnen. Dieser Ring stellt für die OberflächenElektronen des Kupfers einen kreisförmigen Potentialtopf dar. Die Wahrscheinlichkeitsdichte
der Elektronen in Innern sieht offensichtlich so aus, wie wir vorhergesagt haben. Ihre Struktur
stimmt mit derjenigen einer stehenden Welle auf einer Membran überein.
Der Drehimpuls der Elektronen im Quantenpferch ist null. Woher sollten sie auch den Kick
bekommen? Sie wissen aber aus der Elektrodynamik, dass Elektronen, die senkrecht in ein
Magnetfeld geschossen werden, zu kreisen anfangen, weil sie der Lorentzkraft unterworfen
sind. Dieser Effekt wird nicht nur in der TV-Röhre und im CERN ausgenützt. Auch in den
HALL-Sonden zur Magnetfeldmessung spielt er eine Rolle. Lesen Sie kurz im Metzler-Physik
nach, wenn Ihnen dieses Stichwort nichts (mehr) sagt: (Grehn 92, 228-230). Zwingt man die
Elektronen in eine eindimensionale Schicht (Metall-Oxid-Silizium-Struktur), dann sind
wiederum die Voraussetzungen unserer Theorie erfüllt. Die kreisenden Elektronen dürfen
dann aber nur die erwähnten Drehimpuls-Portionen besitzen. So entsteht der Quanten-HallEffekt, den Klaus von Klitzing 1980 entdeckt hat. Er erlaubt heute die direkte Verknüpfung
der "antiken" Masseinheit "Ohm" mit den Naturkonstanten e und h!
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Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
45
Wir fassen zusammen:
Die Randbedingungen bei Rotationssymmetrie führen mit der Schrödingergleichung auf die Quantisierung des Drehimpulses. Jede
Zustandsfunktion gebundener Quantenobjekte besitzt deshalb auch
einen bestimmten Drehimpuls. Im Minimum ist er 0.
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46
Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
2.6 Elektronen im Festkörper
Im Chemieunterricht haben sie schon das Schalenmodell für den Aufbau der Atome
kennengelernt. Die Elektronen besitzen verschiedene Energien, die einer sogenannten Schale
zugeordnet werden. Wie diese Schalen zustandekommen, werden wir in Additum 2
besprechen. Das chemische Verhalten der Atome wird durch die Elektronen in der äussersten
von Elektronen besetzen Schale bestimmt. Dadurch erhält man das Periodensystem mit in den
Gruppen angeordneten Atomen mit ähnlichen Eigenschaften.
Ein Festköper ist eine räumlich feste, periodische Anordnung von Atomen. Die elektrischen
Eigenschaften des Festköpers werden wiederum durch die Elektronen in der äussersten
besetzten Schale der Atome bestimmt.
Aufgabe 2.10: Periodensystem und Leitfähigkeit
Kann man die Leitfähigkeit der Festkörper einer Gruppe bzw.
mehreren Gruppen im Periodensystem zuordnen?
Im folgenden stellen wir ein Modell vor, mit dem sich die Unterschiede von elektrischleitenden, halbleitenden und isolierenden Festkörpern, wie Kupfer, Silizium und Diamant
erklären lassen. Dazu verwenden wir die Schrödingergleichung. Das Modell vereinfacht den
dreidimensionalen Festkörper zu einer Dimension. Trotzdem erklärt es die wesentlichen
Eigenschaften der Elektronen in einem Festkörper.
In Abschnitt 2.4 führte der Potentialtopf zu diskreten Energie Niveaus. Im Kronig-Penney
Modell wird der Festköper durch eine Aneinanderreihung von Potentialtöpfen beschrieben
(Figur 2.8).
E
b
E0
0
a
x
Figur 2.8: Das Potential im eindimensionalen Festköper
Die Elektronen können sich in diesem Potential bewegen. Um dieses Modell zu berechnen,
braucht man komplexe Zahlen. Damit wir hier keine Zeit mit Mathematik verlieren, wird der
für die Quantenmechanik typische Lösungsweg nur skizziert.
Um die Schrödingergleichung zu lösen unterteilen wir die x-Achse in Gebiete mit E = E0 und
mit E = 0.
Die Lösung für den Fall E = 0 kennen wir schon vom Tunneleffekt:
ψi(x) = Acos(kx+δ)
mit
k2 = 2mE/(h/2π)2
Die Energie der im Festkörper gebundenen Elektronen ist kleiner als E0.
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Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
Die ψ-Funktion für die Gebiete mit E = E0 ist uns aber auch schon aus dem Tunnelproblem
bekannt:
ψa(x) = B eκx + C e-κx
mit
κ2 = 2m(E0-E)/(h/2π)2
Nun müssen wir die Randbedingungen bei den Potentialsprüngen betrachten. Zusätzlich muss
die ψ-Funktion periodisch in x sein. Um die Rechnung zu vereinfachen greifen wir zu einem
mathematischen Trick. Wir lassen a gegen 0 gehen und E0 gegen unendlich. Gleich- zeitig
bleibt das Produkt aus a und E0 konstant. Dies bedeutet, dass wir unendlich hohe unendlich
dünne Potentialwände betrachten.
Die Rechnungen sind länglich und kompliziert ohne zum Verständnis beizutragen. Man erhält
ein Gleichungssystem für A, B, C und δ. Dies lässt sich lösen, wenn folgende Gleichung
erfüllt ist:
P
cos(ω a) = sin(ka) + cos(ka) = S (ka)
ka
m ( a + b)
mit
P=
aEo
(h / 2π ) 2
und
ω > 0.
Die linke Seite der oberen Gleichung nimmt Werte zwischen –1 und 1 an. Wenn der Betrag
der rechten Seite grösser als 1 ist, kann die Schrödingergleichung nicht gelöst werden.
Man muss aber gar nicht die ψ-Funktion berechnen. Die Gleichung für S erlaubt schon
Aussagen über die erlaubten Elektronenenergien des Modell-Festkörpers. Dies ist eine
typischer Fall im Bereich der Quantenmechanik. Ohne die genaue ψ-Funktion zu kennen
kann man schon Aussagen über Eigenschaften des untersuchten Objektes machen.
In Figur 2.9 wird die rechte Seite der Gleichung als Funktion von ka und somit als Funktion
der Energie für P = 6 dargestellt. P ist ein Parameter des Modells, den man an Messdaten
anpassen muss.
Deutlich erkennt man die sogenannten Verbotenen Zonen in den Bereichen von ka=4 und
ka=7. Im Festkörper kann es keine Elektronen geben, die die entsprechende Energie besitzen.
Dazwischen sind die sogenannten Bänder erlaubter Energien. Es gibt nicht mehr nur diskrete
Werte von Energien, die ein Elektron besitzen kann sondern ein kontinuierliches Band.
In der Realität ist natürlich alles ein wenig komplizierter. Wenn man die Bänder in drei
Dimensionen mit realistischen Potentialen für die einzelnen Atome berechnen will, so muss
man das Problem mit leistungsfähigen Computern numerisch berechnen. Als Beispiel zeigt
Figur 2.10 die Bandstruktur des bekanntesten Halbleiters, Silizium. Im dreidimensionalen
Raum entstehen nicht nur Kurven, sondern Energie-Ebenen. Die Figur zeigt zwei
aneinandergelegte Schnitte durch solche Ebenen. Dargestellt ist die Energie erlaubter
Zustände entlang zweier verschiedener Richtungen im Festkörper. Deshalb ist das Bild
unsymmetrisch. Die Erklärung der speziellen Art der Darstellung von Impuls p gegen Energie
müssen wir der Hochschule überlassen. Die durchgezogenen Linien entsprechen den Bändern.
Hier kann man ablesen welche Energien im Silizium erlaubt sind. Man erkennt mehrere
Bänder erlaubter Energien, die sich auch teilweise überschneiden. Deutlich sieht man eine
Bandlücke, d.h. einen Energiebereich, wo kein Band an keinem Ort im Silizium hineinragt.
Das unterste mit Elektronen voll besetzte Band nennt man Valenzband, das nächst höhere
Band Leitungsband. Die elektrische Leitfähigkeit wird durch die Elektronen im Leitungsband
hervorgerufen.
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Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
S
x
Verbotene Zone
Verbotene Z.
Energie
Fig 2.9: Die Lösung des Kronig-Penney Model
Wir erkennen aber auch, wie gut das Kronig-Penney Modell schon trotz unrealistischer
Vereinfachungen die wesentlichen Merkmale darstellt.
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Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
Energie
E
Leitungsband
Verbotene Zone
Valenzband
x
p
Fig.2.10 Die Bandstruktur von Silizium
(Quelle: Basic Properties of semiconductors Vol.1, ed.:-T.S. Moss)
Aufgabe 2.11: Energiebänder aus Energieniveaus
Besuchen Sie im Internet die Homepage:
http://phys.educ.ksu.edu/vqm/html/eband.html
Hier finden Sie einen Energiebandberechner.
a) Benutzen Sie die Standardeinstellungen für die Tiefe, Breite
und den Abstand der Potentialtöpfe. Berechnen Sie die
Energien für 1, 2, 5 und 10 Töpfe. Was Beobachten Sie?
Bestehen die Energiebänder wirklich aus Bändern?
b) Welchen Einfluss hat die Tiefe der Potentialtöpfe? Wo entsteht
das „Band“ bei tiefen Potentialtöpfen. Welche Bedeutung hat
das im Festköper?
Wie kann man nun mit diesem Modell den Unterschied zwischen Leiter, Halbleiter und
Isolator erklären?
Dazu kommt es nicht nur auf die Bänder an, sondern auch auf die Verteilung der Elektronen
in den Bändern. Wenn ein Band komplett mit Elektronen gefüllt ist, so können diese
Elektronen sich in dem Band nicht bewegen, weil keine freien Plätze zur Verfügung stehen.
Dies nennt man dann einen Isolator. Ist ein Band nur teilweise gefüllt so können sich die
Elektronen in diesem Band bewegen und ein elektrischer Strom kann fliessen. Es entsteht ein
Leiter. Bei einem Hableiter ist eigentlich auch ein Isolator. Das oberste Band ist vollständig
mit Elektronen gefüllt. Allerdings ist das nächst höhere Band so dicht bei diesem gefüllten
Band, das die Wärmeenergie der Elektronen bei Zimmertemperatur ausreicht, um die
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50
Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
Elektronen in das höhere Band zu befördern. Aber auch Lichtenergie kann benutzt werden,
um ein Elektron in das höhere Band zu befördern. Diesen Effekt nutzt man bei Solarzellen
aus. Figur 2.10 fast den unterschied der Bandstruktur zusammen.
Energie
Isolator
Leiter
teilgefülltes
Band
Leiter
überlappende
Bänder
Halbleiter
Leitungsband
Anregungsenergie
durch Wärme oder
Licht
Emax
Valenzband
Weiteres gefülltes
Band
x
Fig 2.10 Bändermodell für Isolator Leiter und Halbleiter. Emax ist die Energie bis zu der
Elektronen im Festkörper existieren.
Jetzt verstehen wir die Figur 1.4 aus Kapitel 1 besser. Dargestellt ist das Leitungsband der
Spitze und Probe. Emax ist die Energie, bis zu der die Leitungsbänder gefüllt sind. Die
Elektronen tunneln nur in einen nicht besetzten Zustand des Leitungsbandes der Probe.
Energie
Spitze
Leerraum
Probe
ΦSpitze
Emax,Spitze
U
ΦProbe
Emax,Probe
Häufigkeit der
Elektronen
Figur 1.4: Der Tunnelstrom hängt von der Häufigkeitsverteilung der Elektronen im Metall ab
Wir fassen zusammen:
Die Schrödingergleichung bestimmt die Energieverteilung der
Elektronen in einem Festkörper. Es gibt Energien die kein Elektron im
Festkörper besitzen kann. Diese Energiebereiche nennt man verbotene
Zone. Je nach Vorhandensein oder grösser der verbotenen Zone, ist der
Festskörper ein Leiter, Halbleiter oder Isolator.
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Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
Lösungen zu den Aufgaben
Aufgabe 2.1: Lösungsansätze für Differentialgleichungen
Nr.1. f ( x ) = Ae(2x )
Nr.4. f ( x ) = Ax3
2
Nr.5. f ( x ) = Ae(3 x )
Nr.2. f ( x ) = Ae( x )
2
Nr.6. f (x) = Asin x
Nr.3. f ( x ) = Ae( − x / 2)
f ( x ) = Be( −3 x )
f (x) = Bcos x
und
und
Aufgabe 2.2: Berücksichtigen der Randbedingungen
a) A = 1 und B = 9 ; f(x) = e3x + 9e-3x
b) C = A 2 + B2 ; tanδ = -A/B
Aufgabe 2.3: Bild der Zustandsfunktion
a) Cosinus-Kurve mit x-Achse in der Abszisse und der Wellenzahl k.
b) Lesen Sie wenn nötig im Text nach. Beachten Sie, dass hier für das Potential gilt: V(x) = 0.
c)
d2
2m
Vgl. Aufg. A 1.1 Nr. 6
2 [− E ]ψ ( x )
2 ψ( x) =
dx
(h 2π )
d2
2m
ψ ( x ) = −k 2 ψ ( x ) Mit der Abkürzung k =
2 [E ]
2
h
(
2π )
dx
⇒ ψ ( x ) = A sin( kx) + B cos( kx)
A und B sind unbestimmt.
Aufgabe 2.4: Zur Eindeutigkeit der Lösung
Für grosse x überwiegt die erste Teillösung, d.h. ψ(x) = Aeκx. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ψ2 wächst exponentiell an und würde in der Metallspitze riesig. Praktisch alle
Elektronen müssten sich dort befinden.
Aufgabe 2.5: Zustandsfunktion zeichnen
Fig 2.11: Zustandsfunktion für eine Potentialbarriere
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Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
b) Die drei Zustandsfunktionen im Innern der Probe, im Aussenraum und in der Metall-spitze:
ψ i (x) = 3cos(kx + δ ) ψ a (x) = Ba e− κx ψ M (x) = AM cos(kx + δ M )
Beachten Sie, dass die beiden cos-Funktionen nicht in Phase sind.
Die physikalischen Randbedingungen führen nun zu folgenden mathematischen Forderungen:
•
An der Stelle x = 0 ergibt sich ein Gleichungssystem für die Amplitude Ba und für δ:
δ = arctan
3cos(δ ) = Ba

 ⇒
− 3k sin(δ ) = − κ Ba 
Ba = 3
( )= arctan (
κ
k
k
κ 2 + k2
=3
E
V
V− E
E
<3
)
•
An der Stelle x = d ergibt können Sie ebenso Am und δm bestimmen:
AM = 3e −κd

3 VE e −κd = AM cos(kd + δ M )
 ⇒ δ = arctan  V − E 
− kd
−3κ EV e − κd = −kAM sin(kd + δ M ) 
M

E 
c)
Das Programm besitzt die folgende Struktur:
1.
Input V, E und d
(Parameterbesetzung)
k=
E
2.
FROM xmin TO 0
y = 3cos(kx+δ)
Point (x,y)
κ = V−E
FROM 0 TO d
δ = arctan(κ/k)
y = Bae-κd
δM = arctan(κ/k)-kd
AM = 3e-κd
Ba = 3 E / V
Point (x,y)
FROM d TO xmax
y = AMcos(kx+δM)
Point (x,y)
Aufgabe 2.6: Potentialtopf selber bearbeiten
a) Vergleichen Sie mit A1.3 c). Die Schrödingergleichung lautet auch hier:
d2
2m
d2
2
ψ
(
x
)
=
[
−
E
]
ψ
(
x
)
⇔
k=
2
2
2 ψ ( x ) = −k ψ ( x )
dx
dx
(h 2π )
2m
( h 2π ) 2
[ E]
b) Die allgemeine Lösung lautet analog zu A1.1 Nr. 6
ψ (x) = Asin(kx) + Bcos(kx ) mit ψ (0) = 0 ⇒ B = 0
Somit: ψ (x) = Asin(kx). Für die Wellenzahl k gilt der Wert aus A1.6 a).
c) Die Bedingung am rechten Rand liefert Asin(kd) = 0. Nicht mehr jedes k und jedes λ
ist möglich. Das Produktkd muss ein ganzahliges Vielfaches von π sein:
λ
2π
2d
kd = nπ
⇒
d = nπ ⇒ λ n =
bzw. d = n n
λ
2
n
Zwischen 0 und d befindet sich ein ganzzahliges Vielfaches der halben
Wellenlänge.
d) Aus obiger Gleichung folgt sofort eine Bedingung für die quantiserte Energie:
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Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
kd = nπ
⇒ k 2 d 2 = n2 π 2
⇒
2m
2
2 2
2 Ed = n π
(h / 2 π )
⇒
En =
h2 2
n
8md 2
Aufgabe 2.7: Energieniveaux-Schema
E
n=6
30
n=5
20
n=4
10
n=3
0
n=2
n=1
Aufgabe 2.8: Farbzentren
Wenn im Kristall kein sichtbares Licht absorbiert wird, ist er durchsichtig. Absorbieren die
Farbzentren vorwiegend im orange-gelben Bereich des Spektrums, dann erscheint der Kristall
in der Komplementärfarbe violett. Das ist beim KCl der Fall.
Beim NaCl sind die Gitterabstände d kleiner als beim KCl, denn das Na-Atom hat weniger
Elektronen und ist deshalb kleiner. Der Raum, der dem Elektron im Farbzentrum zur
Verfügung steht, ist nun kleiner: ein engerer Potentialtopf. Nach unserer
quantenmechanischen Rechnung steigt die Energie des eingeschlossenen Elektrons mit 1/d2.
Die für die Absorption wesentlichen Energiedifferenzen steigen im gleichen Ausmass. Die
Absorption beim NaCl wird also bei kürzeren Wellenlängen stattfinden, im blau-violetten
Bereich. Die Komplementärfarbe entspricht dem beobachteten Gelbton des NaCl.
Aufgabe 2.9: Harmonischer Oszillator (quantenmechanisch)
a) ψ (x) = Ae− ax ⇒ ψ ' (x) = −2axAe− ax ⇒ ψ ' ' (x) = −2aAe− ax + 4a 2 x 2 Ae − ax
2
2
2
2
Alles eingesetzt liefert:
- 2aψ + 4a2 x 2 ψ =
−2mE
mk
2
2 ψ +
2 x ψ
(h / 2 π )
(h / 2 π )
Sie können diese Gleichung durch die Funktion ψ (x) teilen. ψ (x) ist also eine Lösung,
wenn die zusätzlichen Bedingungen für a und E erfüllt sind.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
54
Kapitel 2: Die Zustandsfunktion
b) Teilen Sie die letzte Gleichung durch die Funktion ψ! Die weiteren Schritte sind im
Text nach der Aufgabenstellung 2.9 angegeben.
Aufgabe 2.10: Energiebänder aus Energieniveaus
a) Bei einem Topf gibt es 2 Niveaus. Bei 2 Atomen erkennt man noch 2 dicht beieinander
liegende obere Niveaus und 2 sich fast überlappende unter Niveaus (Lupe). Bei 5/10
Töpfen gibt es 2 „dicke“ Niveaus. Mit Hilfe der Vergrösserung erkennt man, dass
diese jeweils aus 5/10 Niveaus zusammen gesetzt sind.
b) Bei sehr tiefen Potentialtöpfen entsteht das Energieband nur in den höheren Energien.
Im Festkörper heisst das, dass die Elektronen mit den tiefen Energien in den
Potentialtöpfen gebunden sind und nicht zur elektrischen Leitfähigkeit beitragen
können. Je tiefer die Energieniveaus in den Töpfen liegen, desto kleiner ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die Elektronen in die benachbarten Töpfe tunneln können.
Der Wert der ψ-Funtkion fällt zwischen den Töpfen sehr schnell auf null. Eigentlich
dürfte das Energieniveaus in den unteren Niveaus nicht durchgängig gezeichnet sein!
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
55
Kapitel 3: Nanotechnologie
Nanotechnologie
3.1
3.2
Übersicht
Vorgehen
Lernziele von Kapitel 3
55
55
55
There’s plenty of room at the bottom
Internet Recherche
56
56
Lösungen zu den Aufgaben
59
Übersicht
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit Anwendungen des Raster-Mikroskops. Die
Rastermikroskopie war der erste Schritt in eine neue faszinierende Welt – die
Nanotechnologie.
Sicherlich haben Sie das Wort „Nanotechnologie“ schon irgendwo gelesen oder gehört.
Leider gibt es keine kurze Definition für Nanotechnologie. Je nachdem, wen Sie fragen,
erhalten Sie unterschiedliche Antworten. Damit ist auch schon etwas wesentliches gesagt.
Nanotechnologie ist vielseitig. Im folgenden Kapitel werden Sie einige Facetten dieser
Vielseitigkeit kennen lernen und je nach eigenem Interesse vertiefen.
Dieses Kapitel ist kurz. Im ersten Teil lernen Sie ein visionäre Rede aus dem Jahre 1959
kennen und im zweiten Teil werden Sie aufgefordert selber nach Anwendungen der
Nanotechnologie im Internet zu suchen.
Vorgehen
Zuerst machen Sie sich mit den Lernzielen vertraut. Danach bearbeiten Sie den ersten
Abschnitt. Im Zweiten Abschnitt werden Sie aufgefordert eine Internet Recherche zu
erstellen. Die „Lösungen“ zu den gestellten Aufgaben können natürlich nicht komplett sein.
Wir sind gespannt was Sie alles finden werden.
Lernziele von Kapitel 3
• Sie sind in der Lage, den Begriff „Nanotechnologie“ ihrem Musiklehrer zu
erklären.
• Sie
kennen
mindestens
Nanotechnologie.
ETH-Leitprogram Physik
zwei
technische
Anwendungen
der
Atome unter der Lupe
Kapitel 3: Nanotechnologie
56
3.1 There’s plenty of room at the bottom
Mit diesem Titel “There’s plenty of room at the bottom” hat einer der berühmtesten Physiker
des letzten Jahrhunderts Richard Feynman im Jahre 1959 eine visionäre Rede gehalten. Den
Originaltext findet man unter: http://www.zyvex.com/nanotech/feynman.html.
Wörtlich übersetzt heisst der Titel: Es gibt sehr viel Platz am unteren Ende.
Mit „unterem Ende“ meinte Feynman die Längenskala. Es geht um kleine Dinge, um wirklich
kleine Dinge. Kann man die 24 Bände der Encyclopedia Brittanica auf eine Stecknadelkopf
schreiben ? Dazu müsst man die Seiten der Encyclopedia Brittanica um das 25000-fache
verkleinern. Wenn wir einen Punkt diese Textes um das 25000-fache verkleinern so erhalten
wir einen Punkt der immer noch aus 1000 Atomen besteht.
Nach allem was Sie in den vorangegangenen Kapiteln gelernt haben, ist das in der heutigen
Zeit kein Problem mehr.
Aber 1959? Feynman war überzeugt, dass dies möglich sein sollte, weil kein bis dahin
bekanntes physikalisches Gesetz dagegen sprach. Er war sogar überzeugt davon, das man in
nicht allzu ferner Zukunft einzelne Atome gezielt positionieren kann.
„ ... But I am not afraid to consider the final question as to whether, ultimately—in the great
future—we can arrange the atoms the way we want; the very atoms, all the way down! …”
Wie wir heute wissen, hat er recht behalten.
Am Schluss der Rede stiftete Feynman zwei Preise. Jeweils 1000 US$ für den, der es fertig
bringt, eine Buchseite um das 25000-fache zu verkleinern und für den, der einen Motor baut,
der nur 0.256 cm3 gross ist.
Aufgabe 3.1: Feynman Preise
a) Suchen Sie im Internet, ob die beiden „Feynman-Preise“ schon
vergeben wurden.
b) Die neueste Datenspeicher-Entwicklung von IBM heisst
„Millipede“. Sammeln Sie Informationen über diese
Entwicklung im Internet. Wie gross wäre ein Millipede das die
Informationen aller relevanten Bücher dieser Welt (nach
Feynman 24 Millionen Bücher ~1015 bits), speichert? Wäre
damit der Anspruch auf den ersten Preis von Feynman erfüllt?
3.2 Internet Recherche
Was verbirgt sich nun alles hinter dem Begriff „Nanotechnologie”?
Nano ist griechisch und bedeutet Zwerg. Wir beschäftigen uns also mit ZwergenTechnologie. Allerdings sind das sehr kleine Zwerge. Nano wird auch als Vorsatz bei
Einheiten verwendet und steht hier für 10-9. Alles was sich mit der Herstellung und/oder
Charakterisierung von Objekten beschäftigt, die hundert bis einige 10-9 m ( Nanometer) gross
(bzw. klein) sind, kann man so als Nanotechnologie bezeichnen. Einen guten Überblick was
das bedeutet und wie diese Masseinheit einzuordnen ist, gibt Figur3.1.
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Atome unter der Lupe
57
Kapitel 3: Nanotechnologie
1m
0.1m
Katze: ~0.3m
1cm
Biene: ~15mm
1mm
0.1mm
10µm
Haar: ~50µm
Blutkörperchen: ~2µm
Nanotechnologie
1µm
Maximale
Auflösung eines
Lichtmikroskops
100nm
10nm
1nm
DNA: ~2nm breit
0.1nm
Figur 3.1: Längenskala mit Beispielen aus der Biologie
ETH-Leitprogram Physik
Atome unter der Lupe
Kapitel 3: Nanotechnologie
58
Wo aber wird die Nanotechnologie eingesetzt und wie klein sind die entwickelten Dinge
wirklich?
Aufgabe 3.2: Internetrecherche Nanotechnologie
a) Suchen Sie drei Anwendungen der Nanotechnologie und beschreiben
Sie sie in wenigen Sätzen. Als Ausgangspunkt können entweder die
Suchmaschine http://www.google.ch dienen oder die Webseite
http://www.nanoscience.ch/ (Achtung Englisch!)
b) Was wird alles möglich sein? Welchen ethischen Fragen sind Sie bei
ihrer Recherche begegnet?
Zum Abschluss kommen wir noch mal auf das Rastermikroskop zurück. Es war sozusagen
der Wegbereiter in die Nanotechnologie.
Aufgabe 3.3: Anwendungen Rastermikroskop
a) Finden Sie zwei bis drei Bereiche, in denen das RasterTunnelmikroskop oder das Raster-Kraftmikroskop eingesetzt wird bzw.
damit geforscht wird. Suchen Sie dafür auf dem Internet (evtl. auch auf
Englisch: Scanning Tunneling Microscope, STM bzw. Atomic Force
Microscope, AFM), in den “Physikalischen Blättern” oder im
“Spektrum der Wissenschaft”. Beschreiben Sie jede Anwendung in
wenigen Sätzen.
b) Welche zusätzlichen “Hilfsmittel” werden in diesen Anwendungen
benötigt?
ETH-Leitprogram Physik
Atome unter der Lupe
Kapitel 3: Nanotechnologie
59
Lösungen zu den Aufgaben
Aufgabe 3.1:
a) Unter http://www.seas.upenn.edu/~triangle/mems.html findet man einen Artikel, der
den Preisträger des zweiten Preises erwähnt. Schon 1960 ist es William McLellan
gelungen einen Motor dieser Grösser zu bauen. Den Preisträger des ersten Preises
haben wir nicht gefunden. Vielleicht wissen Sie ja mehr. Allerdings gibt es einen
jährliche Richard Feynman Preis des Foresight Instituts (http://www.foresight.org/)
für Fortschritte in der Nanotechnologie.
b) Auf der Homepage von IBM findet man eine realisierte Datendichte von 200 Gbit pro
inch2. Teilt man die 1015 bit durch die 2 • 1011 bit/inch2, so erhalten wir eine Fläche
von 5000 inch2. Umgerechnet sind das 32,258 m2. Nehmen wir 100 Seiten pro Buch
so haben wir 2,4 Milliarden Seiten. Bei einer Fläche von 310 cm2 (DIN A5) pro Seite
erhalten wir eine Fläche von 744*105 m2. Der Verkleinerungsfaktor ist also
744*105/32,258~2.3 Milliarden. Der Feynman Preis ist den Forschern von IBM
sicher.
Aufgabe 3.2:
a) Anwendungen
• Beschichtungen mit Lotus Effekt
Durch neuartige Beschichtungen mit Nanopartikeln werden Oberflächen
selbstreinigend, wie die Blütenblätter der Lotus-Blume. Kommerziell
angeboten werden schon Fenster, die man nicht mehr putzen muss, oder
Farben an denen kein Graphity mehr hält.
• Verbindung Computer-Nerven
Die Verbindung von Nervenzellen mit Halbleiterbausteinen hat verschieden
Anwendungsmöglichkeiten. Auf der einen Seite lassen sich so die
Rechenleistung künstlich gezüchteter Gehrine mit normalen Computern
verbinden. Auf der anderen Seite können menschliche Sinne vielleicht ersetzt
oder verbessert werden. Blinden kann man künstliche Augen aus Halbleitern
direkt über Nervenzellen mit dem Gehirn verbinden. Aber man kann auch
Soldaten mit einem dritten Nachsichtauge „ausstatten“.
• Quantendot Laser
Durch die Anordnung von aus wenigen Atomen bestehenden sogenannten
Quantenpunkten in einem Halbleiterlaser, kann man sehr effiziente
Lichtquellen in allen möglichen Farben erzeugen. Diese könnten im Laser-TV
für den Heim-Bereich als Lichtquelle eingesetzt werden.
b) Ethische Fragen treten vor allem bei Biologischen Anwendungen auf wie MenschMaschine Verbindungen und bei Eingriffen in die Erbsubstanz. Wenn man
wirklich Atome beliebig anordnen kann, so lassen sich auch künstliche DNAMoleküle herstellen. Durch die hohe Selbstorganisation der biologischen
Moleküle, kann man so vielleicht neue Tier- und Pflanzen-Arten erschaffen. Dann
wird auch die eierlegende Wollmilchsau kein Problem mehr sein. Aber wird der
Mensch diese Entwicklung wirklich beherrschen? Oder entwickeln die neuen
Arten eine Eigendynamik, die die Menschheit ausrotten wird?
ETH-Leitprogram Physik
Atome unter der Lupe
60
Kapitel 3: Nanotechnologie
Aufgabe 3.3:
a) Anwendungen
• Das Rastertunnelmikroskop wird bei der Analyse von chemischen
Bindungen verwendet. Durch einen gezielten Stromstoss durch die Spitze
kann z.B. die Verbindung des Sauerstoffmoleküls aufgetrennt werden. Die
Trennung tritt erst ab einer gewissen Stromstärker auf, die Rückschlüsse
auf die Stärke der chemischen Bindung zulässt.
• Die Rasterkraftmikroskopie wird bei biologischen Proben verwendet, da
man auch nichtleitende Substanzen untersuchen kann. Es können aber auch
elektrische oder magnetische Felder in leitenden Substanzen, bzw an deren
Oberflächen, untersucht werden.
b) Hilfsmittel: Vakuumkammern,
Schwingungdämpfung
ETH-Leitprogram Physik
Laser
und
Photodioden,
Tische
mit
Atome unter der Lupe
Additum 1 : Atome sehen mit dem RTM
A1.1
Atome sehen mit dem Raster-Tunnel Mikroskop
Anleitung zum Arbeiten mit dem easyScan
A1.1
A1.2
A1.3
A1.4
A1.5
Beschreibung der Apparatur
Das RTM betriebsklar machen
Messen mit dem RTM easyScan
Überlegungen zum Bild der Graphitoberfläche
Goldoberfläche mit dem RTM beobachten
A1.3
A1.9
A1.12
A1.15
Beenden der Messung
Lösung der Aufgaben
Literatur
Lernziele von Additum1
•
•
•
Nach dem Studium dieser Anleitung können Sie eine Aufnahme der
atomaren Struktur von Graphit mit dem Raster-Tunnel-Mikroskop (RTM)
easyScan selbständig durchführen
Sie verstehen die Funktionsweise und den Aufbau des RTMs.
Sie können die Aufnahme der Graphitoberfläche richtig interpretieren.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Additum 1 : Atome sehen mit dem RTM
A1.2
A1.1 Beschreibung der Apparatur
Bevor sie die Aufnahmen machen lernen Sie hier die Apparatur kennen. Die Funktionsweise
der einzelnen Teile des RTMs werden erklärt.
(2)
(1)
(3)
Figur A1.1: Das RTM besteht aus dem Messkopf (1), der Elektronik (2) und dem Computer.
Unter dem Messkopf ist die Gummimatte (schwarz) zu sehen. Die Steinplatte ist auf vier
Gummifüsse (3) gestellt.
Das RTM kann grob in 3 Teile gegliedert werden (Figur 1):
1. Der Messkopf
2. Die Messelektronik
3. Der Computer (PC bzw. MAC)
Der Messkopf
Der Messkopf (Figur 2) ist das Herzstück des RTMs: hier wird die Oberfläche der Probe mit
der Messspitze abgetastet. Zwischen der Spitze und der Probe fliesst der Tunnelstrom. Dieser
sehr kleine Strom wird im Messkopf mit einem höchst empfindlichen Vorverstärker
(Operationsverstärker) in eine Spannung umgewandelt. Die Spannung wird der
Messelektronik weitergegeben und stellt das Messsignal dar.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Additum 1 : Atome sehen mit dem RTM
A1.3
Figur A1.2 Der Messkopf: In der Mitte (bei der Spitze der Pinzette) befindet sich die
Messspitze. Rechts davon sind die zwei Führungsschienen zu sehen. Im rechten Teil des
Messkopfs befinden sich die zwei beweglichen weissen Keramikplättchen des
Reibungsmotors.
Um Atome sichtbar zu machen, muss die Spitze genauer als ein Atomdurchmesser (rund
10 −10 m) positioniert werden. Schwingungen des Untergrundes würden die Messung
verunmöglichen, deshalb ist der Messkopf schwingungsfrei auf einer Steinplatte gelagert.
Schwingungsdämpfung:
Die Erdoberfläche ist bekanntlich nicht ruhig: neben den eher seltenen Erdbeben, gibt es
kleinere durch die Natur (Wind, Meeresbrandung, Erdschwingungen (Mikroseismik), etc.)
und durch die Menschen (Verkehr, gehen im Schulzimmer etc.) verursachte Schwingungen.
Wäre der Messkopf direkt d.h. ohne Dämpfung mit dem Boden verbunden, könnte man keine
Messung mit atomarer Auflösung machen. Die Messspitze würde die Oberfläche so unruhig
und unpräzise abtasten, wie wenn ein Rodeo-Reiter versuchen würde, einen Brief auf dem
Rücken einer wilden Kuh zu schreiben.
Die Steinplatte ist mit vier Füssen aus Weichgummi mit dem Tisch verbunden und hat eine
grosse Masse (Figur 1 (4)). Die Gummifüsse wirken wie eine Feder mit kleiner
Federkonstanten. Wegen der grossen Masse und der kleinen Federkonstanten findet die
Eigenschwingung des Systems Steinplatte-Gummifüsse bei einer tiefen Frequenz statt. Die
Gummifüsse haben weiter die Eigenschaft, dass eventuelle Schwingungen durch Reibung
effizient gedämpft werden. Die durch die Lagerung sehr ruhige Steinplatte trägt den runden
Messkopf, auch hier ist eine Gummimatte dazwischen geschoben. Die Übertragung der
Schwingungen von der Steinplatte auf den Messkopf ist ebenfalls sehr klein. Diese zwei
Dämpfungssysteme sind so aufeinander abgestimmt, dass Schwingungen des Tisches
praktisch keine Störung auf die Messung verursachen.
Figur A1.3 Die drei Piezoelemente sind so miteinander befestigt, dass die Spitze in x-, y- und
z-Richtung bewegt werden kann. Die Blattfeder hält die Messspitze in der Kerbe einer
Keramikplatte.
Messspitze:
Die Messspitze ist ein Stück eines Pt-Ir Drahtes, Länge 5 bis 10 mm, Durchmesser 0.1 mm.
Die Spitze wird mit einer kleinen vergoldeten Blattfeder in die Kerbe einer Keramikplatte
gedrückt (siehe Figur A1.3). Die Keramikplatte (Aluminum-Oxid) ist direkt auf einem der
drei Piezoelementen für die 3-dimensionale Positionierung der Spitze geklebt. Die Blattfeder
hat zwei Funktionen: sie hält die Spitze und macht mit ihr elektrischen Kontakt.
Probenhalter:
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Additum 1 : Atome sehen mit dem RTM
A1.4
Der Probenhalter ist ein poliertes Stück Eisen mit Zylinderform. Eisen ist bekanntlich
ferromagnetisch. Diese Eigenschaft ist für die Funktionsweise des Reibungsmotors
entscheidend. Der Reibungsmotor verschiebt auf eine elegante Weise den Probenhalter mit
höchster Präzision (nm Genauigkeit).
Figur A1.4. Schematische Sicht des Probenhalters und des Reibungsmotors. Der
Probenhalter liegt vorne auf zwei Punkten auf den Führungsschienen. Hinten wird
er von zwei in längsrichtung beweglichen Punkten gehalten. Diese können mit
einem Piezoelement hin und her bewegt werden.
Der Probenhalter wird durch 4 Punkte in Position gehalten, (siehe Figur A1.4):
1. Der Zylinder berührt vorne zwei Führungsschienen. In Figur A1.4 sind sie
schematisch als vordere Berührungspunkte bezeichnet.
2. Hinten wird der Zylinder an zwei Berührungspunkten (weisse, runde
Keramikplättchen) gehalten. In Figur A1.4 sind sie als hintere Berührungspunkte
bezeichnet. Die Keramikplättchen sind direkt mit dem Piezoelement verbunden, das
die Bewegung des Probenhalters ermöglicht.
Die Gewichtskraft (Normalkraft), mit welcher der Probenhalter auf die 4 Berührungspunkte
drückt, wird mit einem Magneten im Messkopf (in der Nähe der zwei hinteren
Berührungspunkte) verstärkt. Durch die Platzierung des Magneten wird die Normalkraft
dieser zwei Berührungspunkte mehr verstärkt als die der anderen zwei. Die vergrösserte
Normalkraft verstärkt die Reibung: Der Reibungsmotor kann dadurch mit höherer Frequenz
betrieben werden, was für die Positionierung eine grössere Geschwindigkeit (in nm/sec!) des
Probenhalters zur Folge hat.
Aufgabe A1.1:
Der Probenhalter mit der Masse m wird symmetrisch vorne und hinten
unterstützt. Die Normalkraft ist also vorne und hinten gleich. Nehmen
Sie als Vereinfachung, dass die Haftreibungskoeffizienten vorne und
hinten gleich sind.
Wie gross ist die Reibungskraft der vorderen Berührungspunkte? Mit
welcher Kraft können die hinteren Berührungspunkte den Probenhalter
verschieben? Was schliessen Sie daraus für die Beschleunigung und
damit für die Bewegung des Probenhalters?
.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Additum 1 : Atome sehen mit dem RTM
A1.5
Aufgabe A1.2:
Die Berührungskraft (Normalkraft) wird hinten mit einem Magneten
verstärkt. Die Normalkraft sei dadurch hinten doppelt so gross wie
vorne. Wie gross ist die maximale Beschleunigung des Probenhalters in
dieser Anordnung?
Im Probenhalter ist vorne ein zweiter kleiner Magnet montiert; dieser hat mit dem
Reibungsmotor nichts zu tun. Er hält die Probe, welche auf einer Eisen-Platte geklebt ist, fest.
Proben:
Mit dem RTM können wegen des Tunnelstromes nur elektrisch leitende Proben untersucht
werden. Die Proben müssen mit dem Probenhalter und dem Messkopf elektrisch leitend
montiert sein. Da unser RTM an Luft und nicht in Vakuum betrieben wird, ist die Auswahl
der möglichen Proben beschränkt. Für uns sind Graphit- und Goldproben geeignet.
Die Proben sind auf einer kleinen Eisen-Platte befestigt. Eisen ist elektrisch leitend
(Tunnelstrom) und ferromagnetisch (Probenhalter). Die Proben sind mit Leitsilber (elektrisch
leitender Klebstoff) auf der Eisenplatte fixiert.
Graphit: Das kristalline Graphit ist parallel zur Halterungsplatte geschichtet. Die Messspitze
tastet die Oberfläche von Graphit entlang dieser Schicht ab.
Gold: Die Goldschicht ist nur wenige 100 nm dick, sie wurde unter Vakuum auf eine
Glasplatte aufgedampft. Die Goldschicht ist polykristallin: die Goldatome sind in sehr kleinen
Kristallen angeordnet, welche untereinander alle Ausrichtungen annehmen. Die elektrisch
leitende Goldschicht ist, wie Graphit, mit Leitsilber mit der Eisenplatte verbunden.
Die Messelektronik
Die Elektronik regelt den Tunnelstrom und stellt die Spannung der einzelnen
Piezoelementente für die Positionierung (x,y,z) der Messspitze ein. Die Regelung wird durch
einen 8-bit Mikroprozessor digital überwacht. Das zuständige Programm ist auf dem
Computer gespeichert und wird bei beim Einschalten der Messelektronik dem
Mikroprozessor übermittelt.
Das Computer-Messprogramm easyScan versucht mit der Messelektronik via RS-232Schnittstelle (serielle Schnittstelle) Kontakt aufzunehmen. Stellt easyScan fest, dass die
Messelektronik nicht reagiert, schickt easyScan automatisch das Programm zum
Mikroprozessor.
Der Computer
Der Computer überwacht mit Hilfe des Programms easyScan die Funktionen, welche vom
Mikroprozessor ausgeführt werden. Der Computer dient auch als Schnittstelle zwischen
Mensch und RTM. Weitere Details zu den einzelnen Funktionen des Programms entnehmen
Sie der Programmanleitung zu easyScan.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Additum 1 : Atome sehen mit dem RTM
A1.6
Aufgabe A1.3:
Wie ist der RTM easyScan aufgebaut?
Aufgabe A1.4:
Wie schützt sich der RTM gegen Schwingungen?
Aufgabe A1.5:
Erklären Sie mit einer Skizze wie der Reibungsmotor funktioniert.
Sie kennen nun die einzelnen Teile der Apparatur und ihre Funktionsweise. Sie haben eine
kleine Verschnaufpause verdient. Es geht im folgenden um das praktische Zusammenbauen
des RTMs.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Additum 1 : Atome sehen mit dem RTM
A1.7
A1.2. Das RTM betriebsklar machen:
In diesem Arbeitsschritt geht es um das Aufstellen und Verkabeln des RTMs sowie um die
Präparierung der Probe und der Messspitze. Die Justierung und die eigentliche Messung wird
im nächsten Kapitel beschrieben.
Aufstellen des RTMs
Bevor Sie mit der Verkabelung beginnen, müssen Sie drei Faktoren für das Aufstellen der
Apparatur berücksichtigen:
1. Der Tisch auf dem Sie das RTM aufstellen, muss stabil sein! Sie dürfen nicht
gleichzeitig darauf arbeiten oder daran stossen.
2. Der RTM darf nicht in der Sonne oder in unmittelbarer Nähe eines Heizkörpers
stehen (thermische Effekte).
3. Luftzug muss vermieden werden. Am besten schliessen Sie Türen und Fenster
(thermische Effekte, ev. Schwingungen durch Turbulenzen).
Haben Sie diese Punkte berücksichtigt, können Sie das RTM übersichtlich aufstellen. Der
Messkopf soll zuerst ohne Probenhalter sein. Falls der Probenhalter noch im Messkopf ist,
entfernen Sie diesen sorgfältig. Achtung: Gehen Sie vorsichtig mit der Probe um!
Stellen Sie zuerst den Computer auf. Testen Sie ihn, indem Sie ihn einschalten. Ist alles in
Ordnung, können sie den Computer wieder abstellen. Die Verkabelung des RTMs sollte keine
Schwierigkeiten bereiten, die Stecker sind alle eindeutig. Beachten Sie jedoch die
Reihenfolge der Verbindungen, damit vermeiden Sie Schäden an der Elektronik:
1. Die Messelektronik wird mit dem Computer durch das serielle Kabel verbunden ev.
Übergangsstück 9-25 Pins verwenden.
2. Die Messelektronik wird mit dem Messkopf verbunden.
3. Der Netzteil wird mit der Messelektronik verbunden.
Wenn alle Verbindungen hergestellt sind, können Sie Computer und Messelektronik
einschalten.
Einschalten des Programms easyScan
Auf dem Computer starten Sie das Messprogramm EasyScan. Das Programm startet mit
eingestellten Parametern im Simulationsmodus (Figur 5). Für eine detaillierte Beschreibung
der Funktionsweise des Programms ist auf die Programmanleitung verwiesen.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Additum 1 : Atome sehen mit dem RTM
A1.8
Figur A1.5 Programm easyScan im Simulationsmodus. Links ist die Darstellung der aktuellen
Linie, welche soeben gemessen worden ist. Rechts 2-dim. Bild der Oberfläche. Mit Hilfe der
Parameter im unteren Teil kann die Messung optimiert werden.
Drücken Sie auf die Taste Start, eine simulierte Messung wird gestartet. Verändern Sie die
Steigung X slope bis das Messsignal im linken Fenster horizontal ist. Drehen Sie die
Messrichtung um 900, indem Sie den Wert Rotation auf 900 stellen. Verändern sie die
Steigung Y slope bis das Messsignal im linken Fenster horizontal ist.
Die Höhenempfindlichkeit wird mit Z Range verändert. Die Grösse des Bildes wird mit Scan
size beeinflusst. Verändern Sie beide Grössen, um zu sehen, welchen Effekt sie auf die
Messung haben.
Damit Sie eine echte und nicht nur simulierte Messung machen können, müssen Sie zuerst im
Menü Options die Schaltfläche
beim Menupunkt Simulate microscope ausschalten. Der
Computer sendet dann automatisch via serieller Schnittstelle das Programm zum
Mikroprozessor der Messelektronik; dieser Vorgang wird in einem Fenster kurz angezeigt.
Vorbereitung der Graphit-Probe
Für eine Messung mit atomarer Auflösung muss die Graphitoberfläche absolut sauber sein.
Graphit lässt sich wegen seiner kristallinen Struktur sehr leicht reinigen. Der Kristall wird
entlang einer Ebene gespalten. Nach längerer Zeit (Wochen) lagern sich Fremdatome aus der
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Additum 1 : Atome sehen mit dem RTM
A1.9
Luft auf der Graphitoberfläche ab. Um wieder eine saubere Oberfläche zu erhalten, brauchen
Sie:
1.
2.
3.
4.
den Probenhalter,
die Probe,
ein Stück Klebstreifen sowie
eine kleine Pinzette.
Für die Reinigungsprozedur beachten Sie folgende Punkte:
1. Nehmen Sie die Graphit-Probe sorgfältig aus der Plastikdose mit der Pinzette und
stellen Sie sie auf die Stirnfläche des Probenhalters. Achtung: nur den Probenhalter
und nicht die Probe berühren!
2. Kleben Sie den Klebstreifen gleichmässig auf die Graphitoberfläche. Durch den
Klebstreifen sehen Sie, an welchen Stellen die Oberfläche mit dem Klebstreifen
Kontakt macht (dunkel). Mit der Pinzette können Sie den Klebstreifen homogen
aufkleben (nicht zu viel Druck!).
3. Sie entfernen den Streifen sorgfältig und beobachten dabei, dass die oberste Schicht
des Graphits auf dem Klebstreifen haften bleibt.
Die Graphitoberfläche ist nun atomar sauber. Achten Sie darauf, dass sie auch sauber bleibt!
Die Goldprobe kann nicht gereinigt werden. Sie können sie direkt messen.
Vorbereitung der Messspitze
Wie auf der Probe lagern sich auch auf der Messspitze Fremdatome an, welche die Messung
stören. Die Messspitze kann mehrmals nachgespitzt werden. Sie ist erst dann zu kurz, wenn
sie nicht mehr stabil in der Halterung des Messkopfes montiert werden kann (Länge<5 mm).
Für das Spitzen brauchen Sie:
1.
2.
3.
4.
5.
Pt-Ir Draht oder eine alte Messspitze (aus dem Messkopf entnehmen),
einen kleinen scharfen, sauberen Seitenschneider,
zwei kleine Pinzetten, eine Flachzange
sauberen Aethylalkohol,
Wattestäbchen für die Reinigung.
.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Additum 1 : Atome sehen mit dem RTM
A1.10
Figur A1.6. Links: Abschneiden der Messspitze mit einem Seitenschneider.
Rechts: Vorgehen beim Montieren der Messspitze.
Bevor Sie anfangen, müssen alle Werkzeuge mit Aethylalkohol vom Fett gereinigt werden.
Das Spitzen des Pt-Ir-Drahtes erfordert eine gute Beleuchtung und sehr ruhige Hände. Die
Spitze wird folgendermassen hergestellt (Figur A1.6):
1. Halten Sie mit einer Pinzette oder Flachzange die alte Spitze oder das Ende des
neuen Drahtes.
2. Mit dem Seitenschneider schneiden Sie die Spitze in einem stumpfen Winkel (20°45°). Gleichzeitig ziehen Sie mit einer kleinen Kraft den Seitenschneider und die
Messspitze leicht voneinander.
Die auf das Drahtstück ausgeübte Kraft zieht beim Schneiden die Schnittstelle auseinander.
Die scharfe Messsonde mit einem Atom an deren Spitze kann so einfacher entstehen. Als
Vergleich können Sie sich Glas vorstellen: Eine Glasstange können Sie auseinander brechen,
wobei die Schnittstelle stumpf wird. Wenn Sie aber das Glas durch Erhitzen weich machen
und gleichzeitig die Schnittstelle auseinanderziehen, entsteht eine scharfe Spitze. Diese
Methode ist unbedingt zu befolgen (siehe Punkt 2), sonst entsteht keine saubere Spitze, was
eine Messung verunmöglicht.
Das Resultat eines Pt-Ir Drahtes geschnitten mit der oben beschriebenen Methode zeigt die
Figur A1.7. Sie erkennen deutlich im unteren Bereich die Quetschspuren des Seitenschneiders
als verschmierte Flächen. An der Spitze ist die Reissstelle zu sehen, welche entsteht, wenn Sie
beim Schneiden noch gleichzeitig die Schnittstelle auseinanderziehen. Da der Tunnelstrom
exponentiell mit dem Abstand abnimmt (siehe Theorieteil), fliesst er nur über das vorderste
Atom der Spitze.
Nach dem Schärfen der Messspitze wird diese sorgfältig zwischen Keramik und Blattfeder im
Messkopf mit Hilfe der zwei Pinzetten eingespannt (Figur A1.6 rechts). Achten Sie darauf,
dass die Messspitze richtig eingesetzt wird: neue Spitze gegen die Probe. Der kleine Draht ist
nicht leicht in die Halterung einzuführen, eine kleine falsche Bewegung genügt, damit die
Messspitze wegspickt und verloren geht!
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Additum 1 : Atome sehen mit dem RTM
A1.11
Figur A1.7. Messspitze aus Pt-Ir ca. 200-fach vergrössert.
Aufgabe A1.6:
Haben Sie die Anleitung gut befolgt? Ihr Erfolg im nächsten Kapitel
hängt direkt davon ab
Der Weg zu den Atomen ist lang und muss verdient werden! Jetzt haben Sie alles vorbereitet:
die eigentliche Messung kann bald beginnen!
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Additum 1 : Atome sehen mit dem RTM
A1.12
A1.3. Messen mit dem RTM easyScan
Die Messung mit dem RTM verlangt, dass die Messspitze und die Probe nur durch einen sehr
kleinen Abstand voneinander getrennt sind (Abstand rund ein Atomdurchmesser!) Erst wenn
dieser Abstand erreicht wird, kann die Messung beginnen.
Proben-Platzierung und Annäherung zur Messspitze
Zuerst müssen Sie den Probenhalter samt Probe im Messkopf platzieren. Mit Hilfe einer Lupe
und einer guten Lampe verschieben Sie zuerst von Hand und dann mit dem Reibungsmotor
die Probe gegen die Spitze (Figur A1.8).
Figur A1.8. Sorgfältige Platzierung und Verschiebung des Probenhalters.
Achten Sie darauf, dass die Probe die Messspitze nicht berührt. Eine Berührung könnte zur
Folge haben, dass die Spitze neu zu formen wäre, und dass die Oberfläche beschädigt wäre.
Für die Kontrolle der Bewegung schauen Sie am besten auf das Spiegelbild der Spitze auf der
Graphitoberfläche. Von Hand schieben Sie bis auf rund einen Millimeter Abstand.
Um Luftturbulenzen bei der Messspitze zu vermeiden, stülpen Sie die zylindrische Glasschale
über den Messkopf.
Mit dem Schnellgang des Reibungsmotors (Mit der linken Maustaste auf
im Fenster
Approach Panel drücken), können Sie die Probe noch näher zur Spitze bewegen. Verfolgen
Sie die Bewegung unbedingt mit der Lupe und einer guten Lichtquelle. Der LED auf dem
Messkopf gibt folgende Informationen:
orange: der Strom ist Null, d.h. kein Kontakt,
grün: Tunnelstrom ist OK,
rot:
zu hoher Strom (=Kurzschluss)
(=Zusammenstoss).
bzw.
mechanischer
Kontakt
Die Probe darf die Spitze nicht berühren. Die grobe Annäherung haben sie erreicht, wenn der
Abstand 0.2 bis 1 mm beträgt. Nach der Handjustierung stellen Sie das Licht aus, damit keine
thermische Störeffekte entstehen.
Die Messspitze ist jetzt in der Nähe der Oberfläche. Die Messpitze ist noch zu weit von der
Probenoberfläche um einen Tunnelstrom entstehen zu lassen (LED=orange).
Die endgültige Annäherung (Tunnelstrom fliesst) erfolgt mit Hilfe des Mikroprozessors:
im Fenster Approach Panel. Der Reibungsmotor
Drücken Sie auf die Taste
bewegt die Probe sehr langsam gegen die Spitze und misst ständig, ob ein Strom zwischen der
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Additum 1 : Atome sehen mit dem RTM
A1.13
Messspitze und der Probe fliesst. Sobald ein kleiner Strom (Tunnelstrom) beobachtet wird,
stoppt der Mikroprozessor die Bewegung.
Justierung der Bewegung der Messspitze gegenüber der Proben-Oberfläche
Die Messung kann beginnen! Drücken Sie die Schaltfläche Start im Fenster View Panel. Die
Proben-Oberfläche (x, y) und das Koordinatensystem der Messspitze (x, y, z) sind im
Allgemeinen nicht parallel und müssen vorher justiert werden (Figur 9).
Figur A1.9. Die Probenoberfläche muss mit der Bewegungsrichtung (x,y) der Messspitze
parallel sein.
Die Justierung soll die Bewegung der Messspitze in x- und y- bzw. z-Richtung parallel bzw.
senkrecht zur reellen Oberfläche ausrichten. Die Justierung erfolgt nach folgendem Vorgehen,
die Bedienungsfelder sind alle im Fenster Scan Panel (Figur A1.5):
1. Sichtfeld (x und y Dimensionen) einstellen: Scan size = 400 nm.
2. Höhenbereich (z-Messbereich) einstellen: Z Range = 200 nm.
3. Erscheint die Linie im linken Sichtfeld (LineView) nicht horizontal, verändern Sie
den Winkel X slope so weit bis die Linie horizontal ist.
4. Stellen Sie die Rotation auf 90° ein, um auch die y-Richtung parallel zur
Oberfläche auszurichten.
5. Erscheint die Linie im linken Sichtfeld (LineView) nicht horizontal, verändern Sie
den Winkel Y slope so weit bis die Linie horizontal ist.
6. Die Linie im Sichtfeld Line View sollte immer in der Mitte sein. Wandert diese
Linie nach oben oder nach unten (thermische Effekte), so ist diese mit Hilfe der
Einstellung Z offset zu korrigieren.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Additum 1 : Atome sehen mit dem RTM
A1.14
Nach dieser Prozedur ist die Bewegung der Spitze parallel zur Oberfläche. Die x- und yRichtung stellen die Koordinaten der Oberfläche dar, die z-Richtung ist die Höhe
(Oberflächenstruktur).
Um Atome zu sehen, müssen Sie die Empfindlichkeit verbessern respektive die
Vergrösserung erhöhen:
Verkleinern Sie das Sichtfeld (Scan size) und den z-Messbereich (Z Range) in
kleinen Stufen, z.B. um je einen Faktor 2.
Sie beobachten eventuell Stufen auf der Oberfläche, diese sind Übergänge zwischen
verschiedenen Schichten des Graphitkristalls. Falls Sie eine regelmässige Musterung
entdecken, sehen Sie erstmals die atomare Struktur der Oberfläche. Vergrössern Sie die
Empfindlichkeit bis Sie die hexagonale Struktur von Graphit eindeutig erkennen können.
Atomare Auflösung erreichen Sie erst bei einem Bildausschnitt von rund 5 nm x 5 nm und
einer z-Höhe von rund 0.5 nm. Bei der Messung ist immer auf eine Anpassung des Wertes
von Z offset zu achten. Verlieren Sie die Übersicht, so vergrössern Sie das Sichtfeld (‘Scan
size’) und erhöhen den z-Messbereich (‘Z Range), danach gehen Sie zu Nummer 6. zurück
und versuchen erneut Atome zu sehen.
Falls Sie jetzt die Oberflächenstruktur von Graphit erkennen können, haben Sie ausgezeichnet
gearbeitet.
Falls sie noch nicht so weit sind, müssen Sie sich überlegen, welche Punkte dieser Anleitung
Sie vielleicht nicht ganz richtig befolgt haben. Finden Sie keinen Fehler, so fragen Sie Ihren
Physiklehrer oder ihre Physiklehrerin, was Sie eventuell verbessern könnten, um Atome zu
sehen.
A1.4. Überlegung zum Bild der Graphitoberfläche
Sie sind in der Lage, Bilder der atomaren Struktur der Graphitoberfläche auf dem Computer
darzusellen. Es geht darum, zu lernen, was Sie auf dem Bild sehen.
Das RTM misst ununterbrochen und stellt das Bild kontinuierlich auf dem Bildschirm dar.
Wenn das Bild besonders ruhig ist, speichern Sie das aktuelle Bild der Graphitoberfläche ab,
und drucken Sie es auf einem Printer aus.
Auf dem Bild sehen Sie weiss bzw. schwarz hohe bzw. kleine Werte von z (Höhe). Weiss
bedeutet eine Erhöhung schwarz eine Vertiefung.
Interpretation des Bildes
Um das Bild richtig zu deuten, repetieren Sie die Erkenntnisse aus dem Kapitel 1. Dazu
müssen Sie folgende Fragen richtig beantworten können:
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Additum 1 : Atome sehen mit dem RTM
A1.15
Aufgabe A1.7:
Auf welche Grösse ist der Tunnelstrom empfindlich?
Aufgabe A1.8:
Welche kristalline Struktur hat Graphit?
Aufgabe A1.9:
Welche Struktur hat die Oberfläche von Graphit?
Kontrollieren Sie selber die Antworten auf die gestellten Fragen mit Hilfe des Kapitel 1. Erst
wenn Sie sicher sind, die Theorie verstanden zu haben, beantworten Sie folgende Fragen zum
RTM-Bild von Graphit:
Aufgabe A1.10:
Welche Struktur hat das RTM-Bild der Graphitoberfläche? Welcher
Unterschied besteht zur kristallinen Oberfläche?
Aufgabe A1.11:
Erklären Sie den Unterschied, indem Sie den Tunneleffekt und die
Kristallstruktur von Graphit berücksichtigen.
Die Antworten finden Sie im Kapitel 1. Wenn Sie die obigen Fragen beantwortet haben,
können Sie das gemachte Bild vervollständigen:
Aufgabe A1.12:
Zeichnen Sie auf Ihrem RTM-Bild der Graphitoberfläche die kristalline
Graphitstruktur ein.
Aufgabe A1.13:
Geben Sie eine Längenangabe auf das Bild. Bestimmen Sie daraus die
Vergrösserung.
A1.5. Messung der Goldprobe
Falls Sie die Graphit-Probe sauber aufgenommen haben und verstanden haben, was Sie mit
dem RTM auf dem Bild sehen und noch Zeit haben, dann können Sie die Goldprobe mit dem
RTM untersuchen.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Additum 1 : Atome sehen mit dem RTM
A1.16
Probenwechsel
im ApproachPannel fahren Sie die Spitze zurück. Dabei
Mit der Taste
beobachten Sie, dass die LED von grün auf orange wechselt: der Tunnelstrom wird
unterbrochen. Mit der Taste
fahren Sie den Probenhalter noch weiter zurück in einen
sicheren Abstand zur Messspitze. Sie wechseln die Probe aus, dabei achten Sie darauf, die
Oberflächen nicht zu berühren! Sie dürfen die Goldprobe nicht reinigen, Sie würden die
Goldschicht beschädigen. Die Positionierung der Probe geht gleich wie beim Graphit.
Messung der Goldprobe
Gold hat im Gegensatz zu Graphit eine homogenere Elektronenverteilung an der Oberfläche.
Deshalb ist es mit unserer Apparatur nicht möglich, die Kristallstruktur von Gold zu
erkennen. Sie messen Gold am besten über eine grössere Fläche als Graphit Die
Empfindlichkeit der Höhe Z range ist je nach Stelle unterschiedlich.
Sichtbar sind Stufen auf der Oberfläche. Sie kommen von Unregelmässigkeiten beim
Aufdampfen der Goldschicht im Vakuum her. Eine Stufe kann bedeuten, dass dort die
Goldschicht um eine oder mehrere Monolagen (= atomare Schicht) dicker ist. Falls das Bild
flach erscheint, d.h. Sie sehen keine Stufen, ist der Wert von Z range zu gross oder Sie haben
eventuell eine Stelle mit homogener Schichtdicke erwischt. Um Stufen zu finden, genügt es,
die Spitze zurückzufahren, den Probenhalter wenig zu verdrehen und wieder heranzufahren.
A1.6. Beenden der Messung
Um eine Messung zu beenden, wird zuerst der Scan mittels der Schaltfläche stop im Fenster
View Panel angehalten. Danach wird mit
und dann mit
im Fenster
Approach Panel der Probenhalter zurückgefahren. Die Messspitze befindet sich jetzt in einem
sicheren Abstand zur Probenoberfläche. Sie können die Probe vom Probenkopf abnehmen
und wieder versorgen.
Sie beenden das Programm und stellen den Computer sowie die Messelektronik ab. Sie
versorgen sorgfältig das RTM samt Proben, sowie das benötigte Werkzeug.
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Atome unter der Lupe
Additum 1 : Atome sehen mit dem RTM
A1.17
Lösungen der Aufgaben
Aufgabe A1.1
Reibungskraft vorne: FRV = µFNV , Reibungskraft hinten: FRH = µFNH = FRV . FNV bzw. FNH
ist die Normalkraft vorne bzw. hinten, µ ist der Haftreibungskoeffizient an den
Berührungspunkten. Die Bewegung der hinteren Berührungspunkte kann höchstens eine Kraft
auf den Probenhalter einkoppeln, welche die Reibung der vorderen zwei kompensiert. Der
Probenhalter wird nicht beschleunigt, er bleibt in Ruhe.
Aufgabe A1.2
Bewegungsgleichung: m ⋅ a + FRV = FRH .
Mit FRV = µFNV = 0.5 ⋅ µ ⋅ m ⋅ g und FRH = µFNH = µ ⋅ m ⋅ g wird die Bewegungsgleichung
m ⋅ a + 0.5 ⋅ µ ⋅ m ⋅ g = µ ⋅ m ⋅ g oder wenn Sie nach a auflösen: a = 0.5 ⋅ µ ⋅ g .
Aufgabe A1.3
Vergleichen Sie Ihre Antwort mit der Beschreibung der Apparatur in diesem Kapitel.
Aufgabe A1.4
Der Messkopf ist mit einer Gummimatte von der massiven Steinplatte getrennt. Die
Steinplatte steht auf sehr weiche Gummifüsse. Diese Anordnung entspricht einer Kette: Tisch
— weiche Feder (Gummifüsse) — grosse Masse (Steinplatte) — härtere Feder (Gummimatte)
— kleine Masse (Messkopf). Dieses mechanische System überträgt sehr schlecht
Schwingungen vom Tisch zum Messkopf.
Aufgabe A1.5
Vergleichen Sie Ihre Skizze mit der Figur 4.
Aufgabe A1.6
Die Antwort bekommen Sie im Kapitel 3. Falls die Messung nicht gelingen möchte, kann es
daran liegen, dass eine Vorbereitung, welche in diesem Kapitel beschrieben wurde nicht ganz
korrekt befolgt wurde.
Aufgabe A1.7
Der Tunnelstrom misst die Elektronendichte auf der Oberfläche der Probe.
Aufgabe A1.8
Hexagonal
Aufgabe A1.9
Sechseckstruktur ohne Zentrum.
Aufgabe A1.10
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Additum 1 : Atome sehen mit dem RTM
A1.18
Sechseckstruktur mit Zentrum
Aufgabe A1.11
Jeder zweite Kohlenstoffatom auf der Oberfläche von Graphit besitzt eine elektronische
Bindung mit seinem nächsten Nachbarn auf der darunterliegenden Schicht. Die
Elektronendichte an der Oberfläche ist an diesen Stellen bedeutend kleiner als bei einem
Kohenstoffatom ohne direkten Nachbarn in der darunterliegenden Schicht. Weitere Details
entnehmen Sie dem Theorieteil.
Da der Tunnelstrom mit zunehmender Elektronendichte zunimmt, sehen Sie nur jeden
zweiten Kohlenstoffatom der Graphitoberfläche.
Die Oberfläche von Graphit wird nicht als Sechseck ohne Zentrum, sondern als Sechseck mit
Zentrum abgebildet.
Aufgabe A1.12
Figur A1.10 Graphitoberfläche aufgenommen mit dem RTM easyScan
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Additum 1 : Atome sehen mit dem RTM
A1.19
Die Figur A1.10 zeigt eine Graphitoberfläche aufgenommen mit dem easyScan. Links oben
sind die sichtbaren Kohlenstoffatome (volle Punkte) dargestellt. Die Struktur ist hexagonal
mit Zentrum. Rechts sind neben den sichtbaren auch noch die Kohlenstoffatome mit
verkleinerter Elektronendichte an der Oberfläche mit offenen Punkten dargestellt. Die
Struktur ist hexagonal ohne Zentrum, wie auch die Oberfläche von Graphit. Falls Sie kein
Bild selber machen konnten, können Sie im unteren Teil des obigen Bildes die Atome suchen!
Aufgabe A1.13
Die Gitterkonstante von Graphit ist 0.246 nm (Kantenlänge des Sechsecks auf der
Oberfläche). Die Vergrösserung dieses Bildes ist rund 28-Mio-fach.
Die Sechsecke sind nicht ganz symmetrisch;
Temperaturveränderung während der Messung sein.
der
Grund
kann
eine
kleine
Literatur
Anleitung zum Programm easyScan, sowie Updates zum Messprogramm sind via Internet
bei folgender URL erhältlich: www.nanosurf.ch
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Atome unter der Lupe
Additum 2 : Mehr Quantentheorie-Vom Atombau bis zum Sehvorgang
A2.1
Mehr Quantentheorie
Vom Atombau bis zum Sehvorgang
Übersicht
Vorgehen
Lernziele von Additum 2
A2.1 Atombau und Spektrallinien
A2.2 Was die Welt im Kleinen zusammenhält
A2.3 Quantenphysik in Lebewesen
Lösungen zu den Aufgaben
A2.1
A2.1
A2.2
A2.3
A2.10
A2.20
A2.25
Übersicht
Hier führen wir Kapitel 2 weiter. In A2.1 werden die Elektronenorbitale die Sie schon im
Chemieunterricht kennengelernt haben, mit der Quantenmechanik begründet. Danach lernen
sie die Grundlagen der chemischen Bindung von Atomen kennen. Im letzten Abschnitt
spannen wir den Bogen weiter zu Anwendungen der Quantenmechanik in der Biologie: der
Sehprozess und die Photosynthese.
Vorgehen
Erinnern Sie sich bitte noch mal an die Versuchsergebnisse von Kapiteln 2. Dann studieren Sie
die Lernziele. Nun können Sie mit dem Abschnitt A2.1 beginnen und in die Welt der Chemie
und Biologie eintauchen.
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Additum 2 : Mehr Quantentheorie-Vom Atombau bis zum Sehvorgang
A2.2
Lernziele von Additum 2
• Sie können das Wasserstoffatom quantenmechanisch diskutieren und die
Bedeutung der „Bohrschen Bahnen erläutern.
• Sie können einem Kollegen erläutern, wie die chemische Bindung mit der
Quantenmechanik verstanden werden kann.
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Atome unter der Lupe
A2.3
Additum 2 : Mehr Quantentheorie-Vom Atombau bis zum Sehvorgang
A2.1 Atombau und Spektrallinien
Ein vielversprechender Titel, werden Sie vielleicht denken. Er verspricht wohl etwas zu viel.
Wir werden nämlich nur die Grundzüge des Atombaus diskutieren. "Atombau und Spektrallinien" hiess auch das Buch von Arnold Sommerfeld, das seit 1919 in vielen, immer wieder
umgearbeiteten Auflagen erschienen ist. Umgearbeitet werden mussten nicht die spektroskopischen Grundlagen: Seit etwa 1850 wusste man mehr und mehr darüber, welche Elemente unter
welchen Bedingungen welche Lichtwellenlängen emittierten. Die theoretische Begründung
wechselte immer wieder. Sommerfeld, der übrigens die Drehimpuls-Quantenzahl eingeführt
hat, musste von seinen anschaulichen Atommodellen mit elliptischen Elektronenbahnen 1926
Abschied nehmen. Auch Sie müssen jetzt das Bohr'sche Atommodell endgültig begraben.
Bisher haben Sie in diesem Leitprogramm sehr wenig über Atome gelernt. Im Kapitel 3 haben
wir Sie damit beruhigen können, dass es Atome wirklich geben kann. Die Unschärferelation "Schrödingergleichung des armen Mannes" - verhindert bekanntlich, dass das Elektron in den
Kern stürzt. Dabei haben wir sowohl die Atomgrösse als auch die Energie des gebundenen
Elektrons einigermassen richtig abschätzen können. Nun etwas mehr!
Vorerst erinnern wir Sie daran, dass Sie sich in der Aufgabe A 1.8 über die Farbzentren bereits
mit dem Problem der Atomphysik auseinandergesetzt haben: Die Potentialtöpfe in Atomen
sind dreidimensional! Die Schrödingergleichung für den einfachsten Fall, das Elektron im
Wasserstoffatom, ist grundsätzlich nicht anders als in den bekannten Fällen. Das Elektron wird
durch die Coulomb-Kraft an den Kern gebunden. Das zugehörige Potential V(r) ist
zentralsymmetrisch und hat den Wert:
e2
V (r) = −
e = Elementarladung
4πε 0 r
Dementsprechend lautet die auf drei Dimensionen ausgebaute Schrödingergleichung:
d2
d2 
 d2
+
+
 2
ψ (x, y, z) =
dy 2 dz 2 
 dx

2m  −e 2
−
E
ψ (x, y, z)
2
(h 2 π )  4 πε 0 r 
Sie sehen, dass nun drei Ableitungen in die drei Raumrichtungen auftauchen. Doch die Atome
sind leider nicht würfelförmig. Deshalb übersteigt die vollständige Bearbeitung erneut unsere
Kapazitäten. Mit unserem Wissen über gebundene Zustände in einer und in zwei Dimensionen
können wir ohne Rechnung bereits folgende Aussagen machen:
•
•
•
Die Zustandsfunktionen des Elektrons im Coulomb-Potential des Kerns werden räumliche
Symmetrie-Eigenschaften und bevorzugte Frequenzen haben, ähnlich wie die Schallschwingungen in einem quaderförmigen Raum (Badezimmer...)
Die räumlichen Zustandsfunktionen sind durch drei Quantenzahlen charakterisiert: eine
Energiequantenzahl n und eine Drehimpulsquantenzahl l wie bisher. Zusätzlich taucht eine
dritte Quantenzahl auf.
Die dritte Quantenzahl hat damit zu tun, dass der Drehimpulsvektor im Raum
verschiedene Richtungen annehmen kann.
Die vollständige Lösung der Schrödingergleichung auf Hochschulstufe benützt die
sogenannten Kugelfunktionen ψ(r,θ,φ), die der Kugelsymmetrie des Potentials besonders
angepasst sind. ψ(r,θ,φ) sind Funktionen des Abstandes r vom Kugelzentrum, der
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Atome unter der Lupe
Additum 2 : Mehr Quantentheorie-Vom Atombau bis zum Sehvorgang
A2.4
"geographischen Breite θ" und der "geographischen Länge φ". Länge und Breite sind auf eine
z-Achse bezogen, die in Richtung "Nordpol" weist.
So wie der Kreis keinen Anfang hat, besitzt die Kugel von Natur aus keine Pole. Die erwähnte
z-Achse zeigt also vorerst in eine beliebige Richtung. Erst wenn das kugelsymmetrische Atom
in ein lineares Feld gebracht wird, gibt es eine ausgezeichnete Richtung. In Bezug auf eben
diese Richtung muss die Lage des Drehimpulsvektors festgelegt werden. Der häufigste Fall ist
ein äusseres Magnetfeld, wie beim Quanten-Hall-Effekt. Es kann aber auch ein elektrisches
Feld sein oder ein benachbartes Atom, das experimentell die z-Achse erzeugt.
Ausgehend vom Beispiel des Quanten-Hall-Effekts werden Sie vermutlich akzeptieren, dass
die neue Quantenzahl magnetische Quantenzahl ml heisst. Sie gibt an, wie viele Drehimpulseinheiten vom Betrag h/2π die z-Komponente des Drehimpulses eines bestimmten Zustands
besitzt. Beweisen können wir das nicht.
Vermutlich haben Sie bereits aus dem Chemieunterricht eine gewisse Vorstellung, welche
geometrischen Eigenschaften die verschiedenen Zustandsfunktionen des Elektrons im H-Atom
besitzen. Anstatt "Wahrscheinlichkeitsverteilung" ist in der Chemie der Begriff "Orbital" in
Gebrauch.
Aufgabe A2.1: Orbitale
Suchen Sie in Ihrem Chemiebuch nach dem Stichwort "Orbitale" oder
"Elektronenwolken" beim Wasserstoff.
Versuchen Sie auf Grund der Symmetrie bei einigen Orbital-Bildern
jeweils die Quantenzahlen n und l anzugeben.
Bei der Arbeit mit den Bildern haben Sie wohl festgestellt:
•
Die Energie- oder Haupt-Quantenzahl n beschreibt wieder Anzahl der radialen, kugelförmigen Knotenflächen inklusive derjenigen im Unendlichen: n = 1, 2, 3 ... . Die
Chemiker sprechen von den verschiedenen Elektronen-"Schalen" und bezeichnen sie aus
historischen Gründen mit den Buchstaben K, L, M usw.
•
Die Drehimpuls-Quantenzahl durchläuft die Werte l = 0, 1, 2 ... (n-1). (Diese Limite ist
nichttrivial.) Das l zeigt an, wieviele nicht-radiale Knotenflächen in der Zustandsfunktion
auftreten. Wiederum aus historischen Gründen charakterisieren die Chemiker ihre Orbitale
mit den Buchstaben s, p, d ... Genauer als bloss "s" ist die Bezeichnung 1s für den Grundzustand mit n = 1 und l = 0.
•
Für die magnetische Quantenzahl gilt folgende, einleuchtende Bedingung: ml = 0, ±1, ±2
... ±l. Denn für die Drehbewegung gibt es ja beide Umlaufssinne.
Ist Ihnen aufgefallen, dass im Grundzustand 1s der Drehimpuls = 0 ist? Das Elektron "kreist"
also weder links- noch rechtsherum; eher schon: in beiden Richtungen zugleich. Es ist sowieso
"überall und nirgends". Am wahrscheinlichsten aber ist es im Zentrum, denn es gibt keinen
Grund, weiter aussen zu verweilen. Merken Sie sich unbedingt:
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Atome unter der Lupe
A2.5
Additum 2 : Mehr Quantentheorie-Vom Atombau bis zum Sehvorgang
Das schöne, anschauliche Bild mit dem Elektron, das um den Kern kreist,
simmt mit der Natur nicht überein.
Niels Bohr hat schon 1913 gesagt, sein Modell sei bloss ein Ansatz,
um auf die richtigen Werte der Spektrallinien zu kommen.
Sie sind nun soweit vorbereitet, dass Sie sich eingehender mit dem Wasserstoffatom
beschäftigen können. Lesen Sie die folgenden Aufgabenstellungen zumindest sorgfältig durch:
Aufgabe A2.2: Dreimal Ionisationsarbeit
Historisch wichtig war, die Energie des Grundzustandes vorhersagen zu
können. Diese Energie ist gleich der experimentell messbaren Ionisationsarbeit. Das ist die Arbeit, die nötig ist, um das Elektron aus seiner
Bindung zu befreien. Zahlenmässig richtige Antworten kann man mit
verschiedenen, historisch bedeutsamen, aber aus quantenmechanischer
Sicht falschen Ansätzen bekommen:
• Man lässt ein Elektron klassisch kreisen und gibt ihm im Grundzustand eine Drehimpulseinheit.
• Man ordnet dem Elektron eine geschlossene, eindimensionale de
Broglie-Welle zu.
• Das Elektron hat als Gesamtenergie die Summe von kinetischer und
potentieller Energie: E = p2/2m - e2/4πεr. Mit den Unschärfen ∆p ≈
p und ∆r ≈ r sowie der Unschärferelation in der Form ∆r∆p ≥ h/2π
ergibt sich eine Untergrenze für die Energie E als Funktion der
radialen Ortsunschärfe ∆r. Durch Differenzieren erhalten Sie das
Minimum dieser Funktion und die zugehörige minimale radiale
Ortsunschärfe ∆rmin.
a) Kritisieren Sie die drei Ansätze aus der Sicht der Quantenmechanik.
b) Berechnen Sie auf eine der drei Arten die Ionisationsarbeit.
Vermutlich möchten Sie nach dem langen Anmarschweg doch noch etwas Präziseres über die
Energie des Grundzustands des Wasserstoffs erfahren. Und weil die Energiequantenzahl
primär vom radialen Verhalten der Zustandsfunktion abhängt, können wir Ihnen für die
Lösung des Problems folgenden Ansatz bieten:
ψ 1 (x, y,z ) ≈ ψ 1 (r, θ , φ ) = ψ1 (r) ⋅ F(θ , φ )
wobei
ψ1 (r) = Ae−r / a und r = x 2 + y2 + z2
Kümmern Sie sich nun nicht weiter um die Funktion F. Nehmen Sie, wenn Sie Lust haben, die
Funktion ψ1(r), leiten Sie mit der Kettenregel nach x, y und z ab, und setzen Sie Ihre
Ergebnisse in die Schrödingergleichung ein. Sie werden feststellen, dass ψ1(r) tatsächlich eine
Zustandsfunktion ist. Wie bei der Untersuchung des harmonischen Oszillators können wir nur
andeuten, dass ψ1(r) den Grundzustand beschreibt. Wie wir weiter oben betont haben, ist das
Elektron am wahrscheinlichsten im Zentrum zu finden. Dass sein Grundzustand den Dreh-
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Atome unter der Lupe
Additum 2 : Mehr Quantentheorie-Vom Atombau bis zum Sehvorgang
A2.6
impuls 0 besitzt, würde erst die Funktion F zeigen, bleibt also ausserhalb unserer mathematischen Reichweite.
Der erfolgreiche Ansatz ψ1(r) liefert zumindest - nach einem Prozedere wie beim
harmonischen Oszillator - die Bedingungen für a1 und für E1:
a1 =
h2 ε 0
π me2
und
E1 = −
me 4
8 ε 02h 2
E1, die Energie des Grundzustandes, ist nichts anderes als die Ionisationsarbeit für atomaren
Wasserstoff: 13.6 eV = 1.3 MJ pro mol. Die Grösse a1 = 53 pm ≈ 0.5 Å besitzt die Dimension
einer Länge, wie schon aus ihrer Rolle im Ansatz klar wird. Dies ist der sogenannte
"Bohr'sche Radius". Stellen Sie sich, wie schon erwähnt, nicht einen Bahnradius vor. Nehmen
Sie a vielmehr als das fundamentale Längenmass in atomaren Dimensionen.
Atombau
Schon der Wasserstoff sprengt unsere mathematischen Möglichkeiten! Mit zwei und mehr
Elektronen tauchen zwei grundsätzlich neue Schwierigkeiten auf:
• Weil mehrere Ladungen zusammenwirken, gibt es kein kugelsymmetrisches Potential.
• Wenn mehrere Elektronen vorhanden sind, haben wir ein quantenmechanisches Mehrteilchensystem vor uns. Wie muss man die Schrödingergleichung erweitern?
Im Fall der Alkaliatome können wir jedoch mit etwas Phantasie über die Zustandsfunktion des
äussersten Elektrons spekulieren: Das äusserste Elektron verspürt im Grossen und Ganzen ein
zentralsymmetrisches Coulomb-Potential mit der Gesamtladung +e, denn die inneren Elektronen kompensieren alle Protonen ausser einem.
Aufgabe A2.3: Alkali-Energieniveaux
Bei Atomen von höherer Ordnungszahl wird durch Elektronen aus den
unteren Schalen die elektrostatische Anziehung des Atomkerns für ein
äusseres Elektron abgeschirmt. - Was hat dies wohl für einen Einfluss
auf die möglichen Energieniveaux des äussersten Elektrons?
Die Struktur des Periodensystems physikalisch zu begründen, vermag unsere EinteilchenSchrödingergleichung nicht. Wie Sie möglicherweise im Chemieunterricht gelernt haben,
spielt zusätzlich das sogenannte Pauli-Prinzip eine zentrale Rolle. Es bezieht sich auf den Spin
von Quantenobjekten. Diese Grösse können Sie sich - bloss zur Veranschaulichung - als Drehimpuls um eine eigene Achse vorstellen. Durch den Spin werden alle Quantenobjekte in zwei
Klassen eingeteilt: Elektronen, Protonen, Neutronen usw. besitzen Spin ±1/2 (nicht
vorstellbar); die Photonen und andere Objekte besitzen den Spin ±1. Das Pauli-Prinzip bezieht
sich nur auf die erste Klasse. Es sagt, dass in der Natur jedes Spin-1/2 - Objekt in einem
separaten Quantenzustand sein muss.
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Atome unter der Lupe
A2.7
Additum 2 : Mehr Quantentheorie-Vom Atombau bis zum Sehvorgang
Wolfgang Pauli: Er war ab 1933 Professor für theoretische Physik an der ETH
Im Helium-Atom erlaubt das Pauli-Prinzip ein zweites Elektron in einem Orbital des Grundzustandes, wenn dieses einen umgekehrten Spin aufweist. Komplizierter ist die Begründung
der für die Chemie wichtigen Oktett-Regel: "Atome mit acht Elektronen im äussersten Orbital
sind chemisch besonders stabil und reaktionsträge." Man spricht in dem Fall von einer
"Edelgaskonfiguration".
Das Periodensystem entsteht primär dadurch, dass jeweils das neunte Elektron in eine ganz
andersartige Zustandsfunktion hinein muss, eine mit einer grösseren Energiequantenzahl. Die
Folge ist eine geringere Tiefe im Potentialtopf und eine grössere Wahrscheinlichkeit dafür, das
Elektron weiter vom Zentrum entfernt anzutreffen. Dies wird in Anlehnung an Bohr als "neue
Schale" bezeichnet.
Spektrallinien
Die scharfen Linien in den Spektren sind schon ab etwa 1800 beobachtet worden. Mit
zunehmender Verbesserung der Wellenlängenmessungen stellte sich die Frage nach
quantitativen Gesetzmässigkeiten. Johann Jakob Balmer, Gymnasiallehrer für Kunstfächer in
Basel und und Zahlenmystiker, fand 1885 eine erste Regel für einige Wasserstofflinien:
λn = Cn2/(n2-4).
Zuvor hatte schon W. Hartley darauf aufmerksam gemacht, dass die Betrachtung des
Kehrwertes 1/λ auf interessante Gesetzmässigkeiten führt. Die Balmer-Regel schreibt man
deshalb besser als 1/λn = R/4 - R/n2. 1900 entdeckte Paschen und später Ritz ähnliche
Gesetzmässigkeiten. Alle hatten vorerst bloss beschreibenden Wert. Verschiedene Physiker
suchten nach Atommodellen zur Erklärung der Spektral-Regeln. Niels Bohr war 1913 als
erster erfolgreich. Aber erst die Quantenmechanik lieferte die heute noch gültige Begründung.
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A2.8
Additum 2 : Mehr Quantentheorie-Vom Atombau bis zum Sehvorgang
Figur A2.1: Energieniveaux und Spektrallinien des Wasserstoffatoms.
(aus Wichmann 1975)
Die senkrechten Pfeile symbolisieren mögliche Übergänge mit Abstrahlung von elektromagnetischer Energie. Diese Übergänge wurden
in vier Serien geordnet und nach Pionieren auf dem Gebiet der
Spektroskopie benannt. Die Lyman-Serie liegt im ultravioletten
Bereich und wurde deshalb erst nach der Balmer-Serie entdeckt. Die
Paschen- und die Brackett-Serie ergeben Infrartostrahlung.
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Additum 2 : Mehr Quantentheorie-Vom Atombau bis zum Sehvorgang
A2.9
A 2.2 Was die Welt im Kleinen zusammenhält
Ihnen ist vertraut, dass Goethes Faust wissen möchte, was "die Welt im Innersten zusammenhält". In diesem Abschnitt können wir natürlich keine Antwort auf diese umfassende
Frage anbieten. Bekanntlich dominiert im Grossen, in den Sternen und Galaxien die
Gravitation. Und im Kleinen, in den Atomkernen und den Nukleonen, beherrschen die starke
Wechselwirkung und die Gluonen das Feld. Hier geht es "nur" um die mittleren Dimensionen,
um den Zusammenhalt von Molekülen und Kristallen, um die Bindungskräfte der Chemie.
Doch bereits in diesem kleinen Ausschnitt aus der Welt ist die Vielfalt noch gross genug:
In der Physik spricht man von den anziehenden Kräften:
• Adhäsion - Adhäsionsantrieb bei der Eisenbahn, Zusammenkleben von Kunststoffolien,
Flicken mit Klebstoff usw. Mit "Adhäsion" oder Haftreibung bezeichnet man allgemein
die Kraft zwischen zwei verschiedenen Körpern.
• Kohäsion - Zusammenhaften der Wassermoleküle in einem Tropfen, Zugfestigkeit eines
Metalls, Zusammenhaften der Bestandteile von Holz usw.
Solche Kräfte können als Überlagerung von sehr vielen Einzel-Kräften betrachtet werden, die
von den elektrischen Ladungen an den Grenzflächen ausgehen. Weil sehr viele Objekte
beteiligt sind, ist eine theoretische Analyse äusserst komplex. Die Grundprinzipien werden
bereits beim Studium der Verhältnisse in den reinen Stoffen der Chemie sichtbar:
In der Chemie bevorzugt man etwas Globales, die Bindungen:
• Ionenbindung - Beispiele: Kochsalz NaCl, "Katzengold" = Pyrit FeS, Kupfervitriol
CuSO4. Allgemein: Bindung zwischen Atomen dadurch, dass einzelne Elektronen vollständig vom einen zum andern Atom wechseln.
• Elektronenpaarbindung - Beispiele: Wasserstoff H2, Methan CH4, und andere "Normal"Moleküle; Diamant C und andere "Riesen"-Moleküle. Allgemein: Bindung zwischen zwei
oder mehreren Atomen durch Elektronen, die beiden oder vielen Atomen gemeinsam
angehören.
• Metallische Bindung - Beispiele: Silber Ag, Kalium K, usw. Allgemein: Bindung zwischen
vielen Atomen, bei denen einzelne (Leitungs-)Elektronen praktisch frei durch den ganzen
Kristall schwirren können.
Grundlegend ist, dass die Natur gebundene Zustände der äusseren Elektronen mit "günstiger
Geometrie" erlaubt. Solche Elektronen "gehören dann zugleich zu mehreren Atomen". Sie
"erzeugen anziehende Kräfte". Sie sorgen für einen Zustand mit einem Energieminimum. In
kovalenten Bindungen sind die Orbitale vollkommen symmetrisch. In ionischen Bindungen
sind sie extrem asymmetrisch, so dass man sich üblicherweise vorstellt, das Elektron sei
vollständig zum anderen Atom hinübergewechselt. Und in der metallischen Bindung sind die
Orbitale der Leitungselektronen über den ganzen Kristall ausgebreitet. Wer Bindungen berechnen will, muss in der Schrödingergleichung die Coulombkräfte sämtlicher Objekte
berücksichtigen. Das Finden der Lösungen wird dadurch erschwert, dass zusätzliche, hier
bisher nicht erwähnte Symmetriebedingungen erfüllt sein müssen.
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Additum 2 : Mehr Quantentheorie-Vom Atombau bis zum Sehvorgang
A2.10
Wir fassen zusammen:
•
•
Alle chemischen Bindungen beruhen letztlich auf den anziehenden
Coulomb-Kräften zwischen den negativen Elektronen und den
positiven Atomrümpfen. Die Bindungstypen werden durch unterschiedliche Geometrien der Orbitale verständlich.
Die Quantenmechanik kann Orbitale und Energien vorhersagen.
Neue Schwierigkeiten ergeben sich dadurch, dass die Wechselwirkungen mehrerer Teilchen berücksichtigt werden müssen.
Wieso ist das H2+-Molekül möglich?
Wir beginnen unser Studium der chemischen Bindung selbstverständlich mit dem einfachsten
Fall, dem H2+-Molekül-Ion. Es besteht aus zwei Protonen und einem Elektron. Es ist offenbar
stabiler, als ein neutrales H-Atom und ein einzelnes Proton. Das Experiment zeigt nämlich,
dass bei der Bildung eines H2+-Moleküls eine Energie von 2.8 eV frei wird: Dies ist
überraschend viel! Wir wollen diese Erscheinung auf drei Ebenen verstehen:
1) Es gibt Ladungsverteilungen, die netto zu anziehenden Kräften führen
In der Figur 9 sind zwei verschiedene Ladungsanordnungen skizziert, die netto zu
anziehenden Kräften zwischen den beiden Protonen führen. Skizzieren Sie doch selber eine
dritte! (Selbstverständlich ist es nicht korrekt, die drei Quantenobjekte voll lokalisiert
aufzuzeichnen. Besonders das leichte Elektron benötigt gemäss der Unschärferelation viel
Raum.)
Figur A2.2: Anziehende Kräfte auf 3 Teilchen
Figur A2.3: Pot. Energie des H2+-Moleküls
2) Es gibt Ladungsverteilungen, welche die potentielle Energie minimalisieren:
Wir untersuchen die potentielle Energie des Systems als Funktion des Abstandes r zwischen
den beiden Protonen: (Figur A2.2) Zuerst denken wir uns als eine Extremsituation ein
neutrales H-Atom und ein sehr weit davon entferntes Proton. Die Energie dieser Anordnung
mit r ∅ wählen wir als Nullniveau. Sodann denken wir ein aus einem Beschleuniger
stammendes Proton tief ins H-Atom hineingeschossen: dies führt zu einer sehr hohen
potentiellen Energie für r ∅ 0.
Zwischen den beiden Extremen gibt es Abstände mit negativer Energie, wie Sie aus der klassischen Physik wissen: Ein neutraler Wasserstrahl wird von einem geladenen Stab angezogen
unabhängig von dessen Ladungsvorzeichen. Allgemein gilt, dass polarisierbare Objekte in
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A2.11
einem inhomogenen elektrischen Feld zur Gegend maximaler Feldstärke hingezogen werden.
Hier ist das H-Atom polarisierbar, und das Proton erzeugt ein inhomogenes Feld. (Allerdings
muss erwähnt werden, dass diese klassische Anziehung nur in grossen Entfernungen dominiert
und nicht die chemische Bindung bei kleinen Abständen zu erklären vermag. Die chemische
Bindung kann letztlich nicht mit der klassischen Elektrizitätslehre erklärt werden!)
Zwischen den beiden Extremen muss ein Abstand r0 mit minimaler Energie liegen. Das ist der
Abstand der beiden Protonen im H2+-Molekül-Ion. Experimente liefern r0 = 106 pm. Selbstverständlich wird das Orbital des Elektrons in dieser Situation beide Protonen symmetrisch
umfassen.
3) Breite, flache Potentiale minimieren die Lokalisierungsenergie:
Die Unschärferelation vermittelt auch im Fall des H2+-Molekül-Ions ein tieferes Verständnis
ohne mühsame Rechnung. Steht einem Elektron mehr Raum ∆x zur Verfügung, kann seine
Impulsunschärfe ∆p und damit sein Impuls und seine kinetische Energie abnehmen. Die
beiden Protonen liefern nun dem Elektron einen Potentialtopf der Grössenordnung r0. Wenn
der zugehörige Raum ausreichend ist, liefert die aus der Vergrösserung des Orbitals
gewonnene Energie die nötige Coulomb-Arbeit zur Annäherung der Protonen. Aus dem
Atom-Orbital wird dabei ein Molekül-Orbital.
Die Elektronenpaarbindung im H2-Molekül.
Im vorangegangenen Abschnitt haben Sie Ihr Verständnis für das Auftreten von chemischen
Bindungen ausgebaut. Jedoch: Die erwähnten Zustandsfunktionen haben wir bisher nicht
rechnerisch erfassen können. Und das Wasserstoff-Molekülion ist speziell einfach. Zentral
sind in der Chemie nämlich die Elektronenpaarbindungen: Zwei Elektronen müssen
mitspielen, das Pauliprinzip ist zu berücksichtigen. Bevor wir diese Aufgabe jetzt in Angriff
nehmen, müssen wir Ihnen gestehen, dass wir weiterhin vereinfachen. Wir vernachlässigen die
magnetischen Momente von Protonen und Elektronen usw. Es ist so noch anstrengend genug.
Wir werden die Elektronenpaarbindung auf zwei Arten quantenmechanisch bearbeiten. Zuerst
werden wir voraussetzen, dass die Ladungsverteilung im gesuchten Molekül zu einem
Potentialtopf führt. Diesen dürfen wir angenähert als harmonisch betrachten und deshalb die
Kenntnisse aus dem Kapitel 2.4 anwenden. Dann aber beginnen wir an der Basis, bei der
Schrödingergleichung.
1) Das H2-Molekül als System mit einem Potentialtopf:
Wir gehen davon aus, dass es auch mit zwei Elektronen Ladungsverteilungen gibt, die netto zu
anziehenden Kräften führen. In Figur A2.3 ist ein Beispiel angegeben. Dass die vier Teilchen
nicht etwa vollständig zusammenstürzen, verhindert sebstverständlich die Unschärferelation.
Zu diesen Kräften gehört ein Potentialtopf. Er ist in Figur A2.4 eindimensional als Funktion
des Abstandes r zwischen den beiden Protonen dargestellt. Theoretische Überlegungen zu
Begründung der speziellen Form stellen wir später an. Hier gehen wir von den Ergebnissen
der Experimentatoren aus: Es gibt einen Potentialtopf. Er weist eine Tiefe von - 4.8 eV auf.
Dann haben die beiden Protonen einen Abstand von 74 pm. (Beachten Sie, dass die
Elektronenpaarbindung kürzer ist als die Einfachbindung beim H2+-Molekül-Ion. Das ist eine
Folge der grösseren Stabilität.)
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Figur A2.4: Anziehende Gesamtkraft
Figur A2.5: H2-Molekül-Potentialtopf
Der Potentialtopf ist ums Minimum herum parabelförmig, denn die Bindungskraft lässt sich
näherungsweise durch ein lineares Kraftgesetz F(r) = -k.(r - r0) erfassen. Das Wasserstoffmolekül kann demnach angenähert als harmonischen Oszillator betrachtet werden. (Sie dürfen
sich zur Veranschaulichung vorstellen, dass die beiden Protonen durch eine Feder mit der
Konstanten k im Abstand r0 zusammengehalten werden. Die beiden Elektronenmassen spielen
im Vergleich zu den zwei Protonenmassen, total 3.3.10-27 kg, keine Rolle.)
Die Modellierung des H2-Moleküls als harmonischen Oszillator erlaubt uns nicht, Aussagen
über die Elektronenorbitale zu machen. Wir können aber mit unserem Wissen über den
quantenmechanischen harmonischen Oszillator aus dem Kapitel 2.4 die Lage der niedrigsten
Energie-Niveaux bestimmen und damit unser Modell testen. Wir wissen:
Wenn
V(x) = 1/2.kx2
ist, dann wird
En = (n - 1/2)(h/2π)ω.
Wesentlich ist die Federkonstante k, die auch als Öffnungsmass der Potential-Parabel auftritt.
Die Federkonstante k beschreibt nicht nur "Kraft pro Länge", sondern auch "Bindungsenergie
pro Abstandsquadrat". Wir nehmen an, die unbekannten Grössen Bindungsenergie und
Abstand des Moleküls seien von derselben Grössenordnung wie diejenigen beim bekannten
Wasserstoffatom. Die Bindungsenergie sei etwa E1 = 13.6 eV, und die Molekülgrösse sei etwa
a1 = 53 pm. Aus der Gegenüberstellung von
k/2 = E1/a12
resultiert eine Federkonstante von k ≈ 3000 N/m. (In der Nähe der 500 N/m, die in der Chemie
als typisch angenommen werden und mit den Daten von Figur A2.4 übereinstimmen. Wir
haben die richtige Grössenordnung!) Der Energieunterschied zwischen dem Grundzustand und
dem ersten angeregten Zustand beim H2-Molekül muss demnach folgenden Wert aufweisen:
∆E = E2 - E1 = (2 - 1/2)(h/2π)ω − (1 - 1/2)(h/2π)ω = (h/2π)ω.
Dabei steckt das Spezifische im Wert von ω, denn es gilt ω = k / m . Bei der Rechnung
dürfen wir für m nur eine Protonenmasse nehmen, denn das Molekül schwingt symmetrisch
um den Schwerpunkt, den Mittelpunkt. Setzen wir die Werte ein, erhalten wir
ω = 1.3.1015 Hz und ∆E = 0.87 eV.
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Die Wellenlänge von elektromagnetischer Strahlung mit den Energiequanten, die zum
Übergang zwischen E2 und E1 gehören, liegen in der Grössenordnung von 1.5 µm, also nicht
mehr im sichtbaren Licht, sondern im Infrarotbereich. Im Experiment zeigt sich, dass ∆E einen
Wert von 0.55 eV aufweist. Dadurch, dass es uns in den richtigen Wellenlängenbereich
brachte, bestätigte sich unser Molekül-Oszillator-Modell glänzend.
Aufgabe A2.4: Rotierende Moleküle (fakultativ)
Testen Sie das Molekül-Modell noch auf andere Weise:
Unser Molekül kann um eine Achse senkrecht zur Längsachse rotieren.
Es ist ein quantenmechanischer Rotator, dessen Drehimpuls L gemäss
unseren Betrachtungen im Kapitel 1.5 nur ganzzahlige Vielfache von
h/2π annehmen kann. Dementsprechend ist auch seine Rotationsenergie
quantisiert. Der Grundzustand besitzt eine Energie von rund E1 =
L2/(2J). Dabei ist J das Trägheitsmoment, hat also hier den Wert ma2/2.
m ist eine Protonenmasse und a sei 74 pm gemäss Figur A1.12.
a) Bestimmen Sie die Energie des Rotations-Grundzustands des
Wasserstoffmoleküls.
b) Nehmen Sie an, die Energiedifferenz zum ersten angeregten Zustand
sei E1. Bestimmen Sie die Wellenlänge des zugehörigen Photons.
Vergleichen Sie mit dem experimentellen Wert: λ = 165 µm.
Exkurs: Quantenphysik am Himmel
Nicht nur das Wasserstoff- sondern auch die anderen Moleküle können Schwingungen
ausführen, die einigermassen harmonisch sind. Die Schwingungsfrequenzen hängen, wie Sie
gesehen haben, von der Bindungsstärke und den Massen der Partner ab. Sie betragen
beispielsweise für die Grundzustände von O2 4.4.1013 Hz und von CO 6.5.1013 Hz. Die
Quanten, welche von zugehörigen Übergängen stammen, sind nicht nur in der Chemie von
Bedeutung. Sie geben auch den Astronomen und den Atmosphärenphysikerinnen Aufschluss
über das Vorhandensein der betreffenden Moleküle. Dazu sind Fernrohre im
Mikrowellenbereich nötig. Auch dreiatomige Moleküle wie H2O und CO2 und kompliziertere
können schwingen, sogar in verschiedenen Schwingungsformen. Weil all diese Oszillatoren
nicht streng harmonisch sind, liegen die zugehörigen Energieniveaux nicht in genau gleichen
Abständen übereinander. Zugehörige Quanten haben dann leicht verschiedene Energien und
die entsprechende Strahlungsarten leicht unterschiedliche Wellenlängen. Die Spektroskopiker
sprechen deshalb von den "Schwingungsbanden" oder "Oszillationsbanden" der Moleküle.
Der Treibhauseffekt kommt bekanntlich dadurch zustande, dass die Atmosphäre durchsichtig
ist für das Licht, das von der Sonne kommt, und teilweise undurchsichtig ist für die Strahlung,
die die Erde abgibt. Die Spektren der dominierenden Stickstoff- und Sauerstoff-Moleküle,
aber auch der Spurengase in unserer Atmosphäre sind so, dass sichtbares Licht zwischen 0.4
µm und 0.8 µm kaum absorbiert wird. Die Strahlung, welche die Erde abgibt, liegt hingegen
zwischen 3 µm und 30 µm. Sie regt die Oszillationen der dreiatomigen Molekül H2O und CO2
stark an. Die Nutzung der fossilen Brennstoffvorräte beschert uns also via Quantenmechanik
ein Problem, das nicht so leicht zu lösen ist!
Doch jetzt wissen wir immer noch nichts Genaues über die Orbitale im Wasserstoffmolekül.
Deshalb packen wir sie nun an:
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2) Die Schrödingergleichung für das H2-Molekül:
Im Prinzip ist sie ganz einfach:
ψ '' (1,2) =

2m  −e2  1
1
1
1
1
1 
−
E
+
+
+
−
−
ψ (1,2)
2
(h 2 π )  4 πε 0  r1a r1b r2 a r2a r12 rab  
ψ(1,2) ist jetzt eine Funktion, die den Zustand für die zwei Elektronen, die mit den Nummern 1
und 2 gekennzeichnet sind, beschreibt. Wir legen uns nicht mehr auf ein bestimmtes
Koordinatensystem fest und schreiben deshalb bloss ψ'' für die zweiten Ableitungen. Wir
benennen die zwei Protonen mit a und b. Die potentielle Energie des Systems umfasst jetzt
sechs Anteile entsprechend den sechs Kräften von Figur A2.3. Die vier zwischen den
Elektronen und Protonen sind anziehend, diejenigen zwischen den beiden Elektronen und den
beiden Protonen sind abstossend. Die Grösse r1a ist eine Abkürzung für die Entfernung des
Elektrons 1 vom Proton a, Analoges bedeutet r1b usw.
Obwohl "im Prinzip ganz einfach" stellt diese Schrödingergleichung auch noch für den Profi
eine Knacknuss dar. Sie haben also ganz recht, wenn Sie im Geheimen dachten, die Gleichung
sei furchtbar komplex. Die in diesem Teil aufgeschriebene Mathematik brauchen Sie demnach
bloss der Spur nach zu verstehen.
1927 haben Walter Heitler - lange Jahre Ordinarius für theoretische Physik an der Universität
Zürich - und Fritz London erstmals die befriedigende Näherungslösung für das Wasserstoffmolekül gegeben, die hier angedeutet wird. Mit ihnen stellen wir uns auf den Standpunkt, dass
die korrekte Zustandsfunktion sich durch einem Mix von Zustandsfunktionen einzelner
Wasserstoffatome beschreiben lässt. ψ1a bedeutet einen derartigen Zustand mit dem Elektron 1
beim Proton a, ψ1b meldet Elektron 1 beim Proton b usw. Zustandsfunktionen ψ(1,2), die den
Zustand beider Elektronen beschreiben, können als Produkte von Ein-Elektron-Zuständen
dargestellt werden, beispielsweise:
ψ(1,2) = ψ1a.ψ2b
oder
ψ(1,2) = ψ1b.ψ2a
Nun kommt die Erweiterung des Pauli-Prinzips auf Mehrelektronensysteme: Elektronen sind
eigentlich ununterscheidbar. Das ist ein Kennzeichen, durch das sich alle Quantenobjekte von
klassischen Objekten, etwa den Molekülen in der kinetischen Gastheorie, unterscheiden.
Quantenobjekte sind ununterscheidbar.
Allerdings zerfallen die Quantenobjekte je nach Spin in zwei Sorten: Elektronen, Protonen
und andere Objekte mit halbzahligem Spin müssen dem Pauliprinzip gehorchen. Photonen und
andere Objekte mit ganzzahligem Spin unterliegen dem Pauliprinzip nicht. Sie können sich
deshalb scharenweise im gleichen Zustand befinden, z.B. im Laser.
Aus der Ununterscheidbarkeit ergibt sich eine zusätzliche Bedingung an die Zustandsfunktionen: Für Systeme mit Objekten von halbzahligem Spin erlaubt die Natur nur antisymmetrische
Zustandsfunktionen. Das heisst, dass sich beim Vertauschen des Elektrons 1 mit dem Elektron
2 soll das Vorzeichen der Zustandsfunktion - inklusive des Anteils vom Spin - sich umkehren.
Die beiden oben angegebenen Beispiele für ψ(1,2) erfüllen diese Bedingung jedoch noch
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nicht. Das tun erst die folgenden Mischungen, in denen symbolisch die Spinfunktion
hinzugefügt ist:
ψ+(1,2) = (ψ1a.ψ2b + ψ1b.ψ2a).Santiparallel
ψ−(1,2) = (ψ1a.ψ2b - ψ1b.ψ2a).Sparallel
Würden wir diese Funktionen in die Schrödingergleichung einsetzen, erhielten wir selbstverständlich Energiequantenzahlen und die Reihe der möglichen Energien mit der tiefsten
Energie des Grundzustandes. Heitler und London haben diese Rechnung durchgeführt und
sind auf folgende zwei Ergebnisse für den Grundzustand des Wasserstoffmoleküls gestossen:
C+A
+
E+ = 2E0 +
4πε 0 rab 1+ S2
e2
und E− = 2E0 +
e2
4 πε 0 rab
+
C−A
1 − S2
E0 ist einfach der Wert des Grundzustands der beiden weit voneinander getrennten
Wasserstoffatome. Der nächste Term stellt die Coulombabstossung zwischen den beiden
Protonen dar. Die Konstante C ist die Abkürzung von Termen für Coulombkräfte. Die Grösse
S, vom Spin bestimmt, ist sehr klein und für uns bedeutungslos.
Die beiden Energien unterscheiden sich durch das Vorzeichen des Beitrags A. Die Grösse A
heisst "Austauschintegral". In ihr sind die drei Coulombenergien der Elektronen zusammengefasst und mit einem "Gewichtungsfaktor", dem Produkt der vier Ein-Elektron-Zustandsfunktionen, multipliziert. Zu integrieren ist über die Raumvariablen beider Elektronen:
A=

 1 − 1 − 1  ψ1 a ψ 2 b ψ 1b ψ 2 a dr1 dr2
4 πε 0 ∫∫  r12 r1 b r2 a 
e2
Der Betrag von A hängt zentral davon ab, dass das Produkt der vier Ein-Elektron-Zustandsfunktionen an einem bestimmten Ort grösser als 0 ist. Das bedeutet, dass beide Elektronen,
die sich an diesem Ort befinden, zugleich zu beiden Kernen gehören. Es braucht ein
Elektronenpaar, damit diese Konsequenz der Ununterscheidbarkeit zum Vorschein kommt.
Das Austauschintegral beschreibt die nur quantenmechanisch erklärbare Tatsache, dass
die Bindungselektronen zugleich zu zwei Kernen gehören.
Der Begriff "Austauschintegral" ist übrigens problematisch, denn er suggeriert, dass ein "Austauschen der Elektronen" beobachtbar wäre. Die Elektronen sind aber ununterscheidbar.
Der tiefste Zustand, der Grundzustand, wird von der Funktion ψ+(1,2) gut angenähert. Dieser
bindende Zustand ist durch eine hohe Elektronendichte zwischen den beiden Protonen gekennzeichnet. E+ ist demnach näherungsweise die gesuchte Energie des quantenmechanisch
exakten Grundzustandes. Die Rechnung führt auf E+ = -3.1 eV bei einem Abstand rab von 89
pm. Das Experiment liefert den Wert -4.7 eV und einen Abstand von 74 pm. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit, respektive die Ladungsverteilung des Grundzustands ist in Figur A1.13
dargestellt.
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Die Funktion ψ−(1,2) beschreibt den "non-bonding state". Sie weist eine minimale Ladung
zwischen den Protonen auf, wie aus Figur A2.5 ersichtlich ist. Anschauung und Rechnung
zeigen, dass so keine Elektronenpaarbindung entstehen kann. Trotzdem spielt der antibonding
state auch in der Chemie eine gewisse Rolle: Stehen in grösseren Molekülen mehr als zwei
Elektronen für Bindungen zur Verfügung, dann dürfen nach dem Pauli-Prinzip nur die "ersten
zwei" Elektronen im bonding state sein. Die "folgenden Elektronen" müssen sich in den
(energetisch) unbequemen antibonding state fügen.
Der antibonding state ist bei Stossprozessen von Bedeutung: Schiesst man zwei Wasserstoffatome aufeinander, dann wird die Situation bei grösster Annäherung durch den antibonding
state beschrieben. (Die Figuren A2.6 und A2.7 stammen aus Tipler 1994.)
Figur A2.6: Ladungsdichte ψ+(1,2)
bonding-Zustand
Figur A2.7: Ladungsdichte ψ−(1,2)
non-bonding-Zustand
Wir fassen zusammen:
•
•
•
Die
Heitler-London-Näherung
liefert
eine
umfassende
Beschreibung der Elektronenpaarbindung.
Zentral ist die anziehende Kraft, die sich aus dem Austauschintegral
ergibt. Die quantenmechanische Forderung nach Antisymmetrie der
Zustandsfunktion
führt
zu
"gemeinsam
benutzten"
Elektronenpaaren.
Anschaulich kann man davon sprechen, dass die Quantenmechanik
eine Anhäufung von Elektronenladung zwischen den Kernen
fordert.
Hybrid-Orbitale und anderes aus der Artenvielfalt chemischer Bindungen
Sie wissen, dass der Klang einer Violinsaite stark von der Art des Strichs abhängt. Physikalisch bedeutet dies, dass eine Musikerin mit dem Bogen bestimmen kann, in welchem Umfang
die Grund- und die verschiedenen Oberschwingungen der Saite angeregt werden. Wenn die
Grundschwingung dominiert, ist der Klang weich. Viele Oberschwingungen führen zu einem
markigen Klang. Alle schwingungsfähigen Systeme, nicht nur die Saite, können zugleich
Grund- und Oberschwingungen ausführen. Hier gilt wieder das Überlagerungsprinzip. Es ist
eine Folge der Linearität der Differentialgleichung. Weil bei der Schrödingergleichung
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A2.17
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ebenfalls keine Quadrate
Überlagerungsprinzip:
der
Zustandsfunktion
auftreten,
gilt
auch
hier
das
Im Allgemeinen ist der Zustand eines Systems eine Überlagerung von mehreren Zuständen.
Besonders bei Systemen mit vielen Elektronen ergeben sich daraus interessante Mischungen.
Man bezeichnet sie als "Hybrid-Orbitale".
Aufgabe A2.5: Bilder von Hybrid-Orbitalen
Überfliegen Sie die Seiten 386 - 390 im Buch von H.R. Christen
(Christen 78). Sie treffen dort die Hybridbildung beim Kohlenstoff (C).
Sie ist von grosser Bedeutung in der organischen Chemie und der
Biochemie. Betrachten Sie die abgebildeten Hybrid-Orbitale.
Wie bereits erwähnt, ist die ionische Bindung leicht interpretierbar: Sie tritt bei zwei oder
mehr stark ungleichen Atomen auf. Die Orbitale der Bindungselektronen sind dann extrem bei
einem Partner konzentriert: Elektronen-Übertragung! Das "Spenderatom" wird zum positiven
Ion, das "Empfängeratom" wird zum negativen Ion.
Kristalle umfassen etwa 1023 Atome. Alle diese Atome wirken nun wechselseitig aufeinander.
Das hat zur Folge, dass ein einzelnes Energieniveau eines Atoms in rund 1023 Niveaux
aufgespalten wird. Diese liegen aber so nahe beieinander, dass man von Energie-Bändern
spricht, die mit den etwa 1023 Elektronen gefüllt sein können. Ob die Bänder ganz voll, halb
voll oder ganz leer sind, hängt von der Anzahl zur Verfügung stehender Elektronen und von
der Temperatur ab. Hohe Temperatur bedeutet nämlich mehr Energie.
•
•
•
In Atomkristallen wie Diamant C oder Bergkristall SiO2 ist das oberste Band, das
sogenannte Valenzband, ganz gefüllt. Die Elektronen, die dort drin sind, bleiben an ihre
Atome gebunden: Diamant isoliert.
In Metallen ist ein Band nur wenig gefüllt. Die Elektronen in diesem sogenannten
Leitungsband können sich durch den ganzen Kristall bewegen und den elektrischen oder
thermischen Strom gut leiten.
In Halbleitern sind zwei Bänder so nahe beieinander, dass bei zunehmender Temperatur
mehr und mehr Elektronen aus dem Valenzband in das bei 0 K leere Leitungsband
springen können. Deshalb leiten Halbleiter mit zunehmender Temperatur immer besser.
Wir fassen zusammen:
• Durch Hybridisierung kann man neue, bindungsfähige Zustände in
einem Atom schaffen.
• In Kristallen werden aus den Energieniveaux Energiebänder mit
unterschiedlichem Füllungsgrad.
• In Atomkristallen ist das oberste Band ganz voll.
• In Metallen liegen die relativ wenigen Leitungselektronen im
obersten Band.
• In Halbleitern hat es benachbarte, teilweise gefüllte Bänder.
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A2.18
Exkurs: Quantenphysik in der Milchstrasse und im Kochtopf
Sie wissen nun sehr viel über die Bindungen und die Informationen aus den Spektren: Die
Elektronen sind stabil an die Kerne gebunden (bis zu Hunderten von eV). Mehrere Atome
sind durch Elektronenpaarbindungen verknüpft (etwa ein eV). Die Moleküle können
schwingen und rotieren (etliche meV). Je nach dem zustand, den man nachweisen oder
anregen will, muss man demnach Röntgenstrahlen, UV, sichtbares Licht oder IR-Strahlung
benützen. Es gibt aber noch viele weitere Übergänge. Beispielsweise besteht die interstellare
Materie in unserer Milchstrasse aus etwa einem H2-Molekül pro cm3. Normalerweise sind die
Spins der beiden Elektronen im Molekül antiparallel ausgerichtet. Mit der winzigen
Energiezufuhr von 5 µeV lassen sie sich aber parallel stellen (Spin-flip). Dies führt zur
berühmten 21 cm-Linie, mit welcher die Astronomen der dunklen Materie auf den Sprung
kommen wollen.
Wird ein Molekül angeregt, so beginnt es kombiniert zu schwingen, zu rotieren und seine
Spins zu flippen. In Flüssigkeiten sind die Spektrallinien zudem dadurch verbreitert, dass etwa
1013 Zusammenstösse pro Sekunde passieren. Insgesamt resultieren Absorptions-Banden.
Genau eine derartige Bande wird vom Mikrowellenofen anvisiert, wenn es mit einer Frequenz
von 2.45 GHz, entsprechend einer Wellenlänge von 12 cm, ins Kochgut strahlt: Die Wassermoleküle schwingen, rotieren und flippen, die Milch wird heiss. Vorausgesetzt wird freilich,
dass Ihr Kochgefäss nicht aus reflektierendem Metall besteht oder aus einem Kuststoff, der
dort auch eine Absorptions-Bande aufweist ...
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A2.19
A 2.3 Quantenphysik in Lebewesen
Wenn Sie den letzten Abschnitt durchgearbeitet haben, wissen Sie es bereits: Die Quantenphysik findet zwar in mikroskopischen Bereichen statt, hat aber Konsequenzen auch für
alltägliche Erscheinungen. Wir wenden uns zum Schluss zwei Prozessen zu, die z. B. für uns
Menschen lebenswichtig sind. Beiden liegt die Absorption von Licht zugrunde. Die Energie,
die dabei auf-genommen wird, wird aber nicht einfach wieder abgestrahlt. Sie wird verwendet,
um bedeuten-de biochemische Zyklen in Gang zu setzen.
Wir können hier weder auf biochemische Zyklen noch auf Fragen, wie denn die beteiligten
Moleküle in den Zellen organisiert sind, eingehen. Wir werden bloss den primären Prozess der
Energieumwandlung beschreiben.
Chlorophyll und Photosynthese
Sie alle wissen aus der Biologie, dass Pflanzen aus Kohlendioxid (CO2) den Sauerstoff freisetzen und den Kohlenstoff für sich selbst brauchen. Deshalb werden Wälder in Stadtnähe ja
auch als "Lunge der Stadt" bezeichnet.
Unter den vielen Molekülen, die an diesem Prozess beteiligt sind, nimmt das Chlorophyll eine
besondere Stellung ein. Es ist in vielen Pflanzen verantwortlich für die Absorption des Lichts.
Man unterscheidet zwei Hauptarten a und b beim Chlorophyll mit leicht unterschiedlichen Absorptionsmustern. Chlorophyll a z.B. weist bei 430 nm (blau) und 662 nm (rot) zwei deutliche
Absorptionsmaxima auf (nicht bei grün!). Figur 15 zeigt Ihnen die Struktur von Chlorophyll a
und b.
Isoliertes Chlorophyll strahlt die aufgenommene Energie wieder ab, es fluoresziert. Chlorophyll ist ein Quantensystem. Ein Elektron wird in einen angeregten Zustand versetzt. Es verlässt diesen wieder, wobei die überschüssige Energie abgestrahlt wird.
Im Verbund mit seinen Partnern in der Zelle hat das Chlorophyll aber eine sehr originelle Lösung für das Problem gefunden, diese Energie abzugeben. Das angeregte Elektron verlässt das
Chlorophyll und geht an seinen Reaktionspartner über. Chlorophyll kehrt also als geladenes
Molekül in den Grundzustand zurück. Am Schluss einer folgenden biochemischen Reaktionskette erhält es "sein" Elektron wieder auf tieferer Energie. In dieser Kette ist nochmals ein
Prozess beteiligt, der Licht benötigt.
Solche Elektronenübergänge kennen Sie aus der Chemie. Es sind Redox-Reaktionen. Der
Reaktionspartner des Chlorophylls wird dabei reduziert und setzt seinerseits weitere
Reaktionen in Gang, wobei Energie frei wird.
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A2.20
Wir fassen zusammen:
•
•
•
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Photosynthese ist eine Form der Energieumwandlung, bei der die
Quantennatur des Lichts und die Quantisierung der Energie
gebundener Elektronen eine Rolle spielen.
Die Energie des Photons löst eine Kette von Redoxreaktionen aus,
in der aus Kohlenstoff Zucker hergestellt wird: biologische
Energiespeicherung.
Fast erscheint es etwas paradox, dass hier Sauerstoff ein Abfallprodukt ist, das von der Pflanze an die Umwelt "entsorgt" wird.
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CH2
H3 C
CH
H
C
C
C
C
-CH in Chlorophyll a
-CNO in Chlorophyll b
C
C
C N
C
CH
N C
C
C
C
C
C
C
H CH2HC
C
CH2
C
H
O
C
H C
H
CH2 CH3
N C
C N
H3 C
C
Mg
HC
A2.21
CH3
O
O
OCH3
O
H C
C
CH3
H C H
H C H
H C H
H C CH 3
H C H
H C H
H C H
H C CH 3
H C H
H C H
H C H
H C CH 3
CH3
Figur A2.8
Chemische Struktur von Chlorophyll a und b
(Quelle: Baker 82, Seite 193)
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A2.22
Additum 2 : Mehr Quantentheorie-Vom Atombau bis zum Sehvorgang
Rhodopsin ermöglicht das Sehen
Sie wissen sicher aus dem Biologie-Unterricht, dass wir es den Zäpfchenzellen der Augen verdanken, dass wir bereits in der Dämmerung sehen. Am Anfang dieses Prozesses steht wieder
die Absorption von Licht. Wie beim Chlorophyll gibt es auch hier ein Molekül, dessen
Energieniveaux eine originelle Form der Energieabgabe ermöglichen: das Rhodopsin. Es ist
ein grosses Molekül, das ein kleines - aber feines - Anhängsel hat: Das ist das sogenannte
Retinal.
Sein Absorptionsmaximum liegt im grünen Bereich. Deshalb ist die Netzhaut purpurn. Das
Retinal kann in zwei Formen vorkommen (Figur A2.9). Normalerweise ist es in der 11-cis
Form im Rhodopsin gebunden. Wird nun Energie des Lichts aufgenommen, verlässt das
Elektron seinen Zustand und gelangt in einen neuen Zustand. Dieser besitzt aber offensichtlich
eine andere Struktur als der alte. Das Retinal ist in die all-trans Form übergegangen. Dabei hat
eine Drehung um das Kohlenstoffatom Nr. 11 stattgefunden. Dieses ist in der Figur 11 speziell
gekennzeichnet.
CH3
CH3
Carbon Nr. 11
CH2
C
CH3
CH2
CH
HC = O
CH3
CH3
CH3
CH
O
CH
CH2
Carbon Nr. 11
CH2
Figur A2.9
Die beiden Zustände des Retinals. 11-cis (oben) und all-trans
(unten). Das Kohlenstoffatom Nr. 11 ist mit "Carbon Nr.11"
markiert.
(Quelle: Baker 82, Seite 389)
In diesem Fall ist die räumliche Struktur der Zustandsfunktion im angeregten Zustand also
deutlich anders als im Grundzustand. Die Zufuhr von Energie veränderte das Orbital
merklich. Im gestreckten Zustand kann nun das angeregte Molekül die Bindung zum Rest des
Rhodopsins lösen. Dieser Rest wird Opsin genannt. Das Opsin durchläuft nun seinerseits
mehrere Stationen, bis es in einer Form vorliegt, welche die Zellmembran elektrisch erregen
kann.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
A2.23
Additum 2 : Mehr Quantentheorie-Vom Atombau bis zum Sehvorgang
So liefert das angeregte Molekül ein elektrisches Signal, das schliesslich via Nerven ins
Gehirn gelangt. Etwa vier Photonen sind ausreichend, um einen Impuls auszulösen. Dieser
Prozess ist allerdings keine blosse Energieumwandlung. Im Gegenteil: Dem Sehprozess muss
Energie zugefügt werden. Etwas salopp könnte man das Rhodopsin als Photodioden eines
Photonen-Detektors bezeichnen.
Retinal und Opsin sind keine "Einwegpackungen", sie werden nicht verbraucht. Im Auge
laufen endotherme Prozesse ab, welche die beiden wieder in der ursprünglichen Form zusammenführen.
Wir fassen zusammen:
• Photosynthese und Sehprozess sind zwei Beispiele, wo die Anregung
eines Elektrons mit Licht bedeutende biochemische Prozesse in Gang
setzen kann.
• Die aufgenommene Energie wird nicht einfach wieder abgestrahlt,
sondern in chemisch nutzbare Formen umgewandelt.
Kann man Atome sehen?
Die Frage im Titel dieses Leitprogramms hat viele Aspekte: Gibt es überhaupt Atome? Wie
gross sind sie? Was bedeutet "sehen können"? Was geschieht, wenn Strahlung und Materie
miteinander in Wechselwirkung treten? Gibt es Geräte, mit denen man atomare Strukturen
auflösen kann?
Immer wieder spielte das Wirkungsquantum bei der Beantwortung eine zentrale Rolle, zuletzt
bei den bio-chemischen Prozessen, die in unseren Augen ablaufen. Wir sehen, dass es ohne
Quanten kein Sehen gäbe...
Oder - äusserst frei nach Goethe:
"Und wär' die Natur nicht quantenhaft, nie könnten Licht wir erblicken."
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
A2.24
Additum 2 : Mehr Quantentheorie-Vom Atombau bis zum Sehvorgang
Lösungen zu den Aufgaben
Aufgabe A2.1: Orbitale
Gehen Sie nötigenfalls in eine grössere Bibliothek, wenn Sie keine befriedigende
Auswahl an Bildern von Orbitalen finden.
Aufgabe A2.2: Dreimal Ionisationsarbeit
a) Kritik an den dubiosen Wegen zum richtigen Resultat:
•
Die Variante 1 geht von genau definierten Bahnen aus und verletzt damit die
Unschärferelation. Zudem zeigt die Quantenmechanik, dass der Grundzustand in
Wirklichkeit den Drehimpulswert 0 besitzt.
•
Die Variante 2 benützt eine zweidimensionale Welle für eine dreidimensionale Situation.
Zudem ist die Bedeutung der de Broglie-Welle unklar; sie ist heute überholt.
•
Variante 3 stellt einen geschickten Mix zwischen klassischen und quantenmechanischen
Gesetzen dar. Mit anderen Näherungswerten würde auch das Ergebnis vom richtigen
Resultat abweichen.
b) Variante 1:
Zentralkraft =
1 e2
mv2
=
= Coulombkraft
4πε 0 r 2
r
h
.
2π
Erweitern Sie den ersten Term mit mr 2 und setzen Sie L ein, dann erhalten Sie:
Ferner ist: L = mvr =
m 2 r2 v 2
L2
h2
1 e2
=
=
=
mr 3
mr 3 4π 2 mr 3 4πε 0 r 2
Das lösen Sie auf nach r:
r=
h 2ε 0
.
πe 2 m
1 e 2 −E pot
mv 2 2Ekin
=
=
=
r
r
r
4πε 0 r2
Daraus wird (gilt übrigens für alle Zentralkräfte): 2Ekin = −E pot
Aus dem Kräftegleichgewicht entsteht:
Demnach ist :
1
1
−1 e 2
Etotal = Ekin + E pot = − E pot + E pot = E pot =
2
2
8 πε 0 r
Setzen Sie nun hier den Wert von r ein, erhalten Sie das Schlussresultat:
Etotal =
−1 e 2 π e 2 m −me 4
= 2 2
8πε 0 h2 ε 0
8h ε 0
b) Variante 2:
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
A2.25
Additum 2 : Mehr Quantentheorie-Vom Atombau bis zum Sehvorgang
de Broglie − Welle: λ =
h
h
=
= 2 πr
p mv
⇒
mvr =
h
=L
2π
Das Übrige ist wie bei der Variante 1.
b) Variante 3:
p(r) 2
1 e2
−
2m
4 πε 0 r
Die Funktion p(r) ergibt sich aus der Unschärferelation:
h
h
≈
.
p(r) = p ≈ ∆p ≥
2π ∆r 2 π r
h2
1 e2
−2h 2
−1 e2
⇒
E ' (r) =
−
Etot (r) = 2 2 −
8 π mr
8π 2 mr 3 4 πε 0 r2
4 πε 0 r
Gesamtenergie: Etot (r ) = Ekin + Epot =
2h 2
1 e2
Minimum für Etot bei E ' (r) = 0: ⇒
=
⇒ r wie bei Var. 1.
8π 2 mr 3 4πε 0 r 2
Aufgabe A2.3: Wasserstoffähnliche Systeme
Wesentlich ist, dass anstelle von e2 neu die Grösse (Ze)2 in den Energieniveaux auftritt. Z ist
die Anzahl positiver Elementarladungen im Potentialtopf, hier also die Anzahl der Protonen.
Mit zunehmender Kernladungszahl wird die Energie grösser und das Orbital kleiner.
Zudem spielt eine Rolle, dass die Bewegung von Elektron und Kern um den gemeinsamen
Schwerpunkt abläuft. Der geometrische Abstand der beiden Partner ist grösser als die
physikalisch bedeutsame Entfernung vom Drehpunkt. Die Energie nimmt also nochmals zu
mit der Kernmasse. Die Spektroskopiker können auf diese Weise den Unterschied zwischen
dem normalen Wasserstoff und dem Deuterium mühelos nachweisen.
Interessant ist das Müonium, ein exotisches "Wasserstoffatom": Es besitzt anstelle des Protons
das etwa zehnmal leichtere Mü-Meson als positives Ladungszentrum. Elektron und Müon
"torkeln" merklich um den gemeinsamen Schwerpunkt. Die gute Übereinstimmung der
Theorie mit den beobachteten Spektrallinien bildete einen wichtigen Test für die
Quantenmechanik.
Aufgabe A2.4: Rotierende Moleküle (fakultativ)
a) Niedrigster Drehimpuls:
Trägheitsmoment:
Niedrigste Energie:
ETH-Leitprogramm Physik
h
= 1.1⋅10-34 Js.
2π
mr 2
= 4.5 ⋅10 -48 kgm 2 .
J=
2
L2
= 1.2 ⋅10-21 J = 7.6 meV.
E1 =
2J
L1 =
Atome unter der Lupe
A2.26
Additum 2 : Mehr Quantentheorie-Vom Atombau bis zum Sehvorgang
b) Wellenlänge:
λ 12 =
hc
hc
≈
= 1.6 ⋅10 -4 m = 160µ m.
∆E12 E1
Die Übereinstimmung mit dem Experiment ist sehr gut.
Aufgabe A2.5: Bilder von Hybrid-Orbitalen
Lesen und Bilder wirken lassen! Denken Sie daran, dass die gezeichneten Oberflächen keine
absoluten Grenzen der Orbitale sind. Dort sinkt bloss die Aufenthaltswahrscheinlichkeit unter
den Wert, den man dem Computer vorgegeben hat.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Z1.1
Anhang 1: Tests
Test für Kapitel 1
Test-Aufgabe 1.1
2 Punkte
Welche Messgrösse registriert das RTM? Es gibt zwei Möglichkeiten!.
Test-Aufgabe 1.2
4 Punkte
Entscheiden Sie, für welche der folgenden Situationen die Tunnelmikroskopie eine geeignete
Methode wäre:
a) Sie interessieren sich für den Aufbau einer Kohlenstoffoberfläche.
b) Sie wollen mehr über die Oberflächenstruktur eines Platinkristalls wissen.
c) Sie stellen fest, dass die Vorder- und Rückseite einer Alufolie unterschiedlich
aussehen und vermuten, dass die beiden Seiten unterschiedlich rau sind. Sie fragen
sich, ob auch in atomaren Dimensionen ein Unterschied besteht.
d) Sie möchten wissen, wie ein Elektron aussieht.
Begründen Sie jeweils ihre Antwort.
Test-Aufgabe 1.3
3 Punkte
a) Wie hängt der Tunnelstrom vom Abstand zwischen Probe und Spitze ab?
b) Wie kann man diese Tatsache nutzen, um Atome abzubilden?
c) Nennen Sie mindestens eine weitere Grösse, von der der Tunnelstrom abhängt.
Test-Aufgabe 1.4
3 Punkte
Erklären Sie kurz die folgenden Begriffe:
a) Austrittsarbeit
b) Reibungsmotor
c) Rastern
Test-Aufgabe 1.5
3 Punkte
Zeichnen Sie schematisch, welche Tunnelaufnahme Sie für die Graphitoberfläche erwarten.
Dabei sollten Bereiche mit hohem Tunnelstrom hell und solche mit niedrigem Tunnelstrom
dunkel gezeichnet werden.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Anhang 1: Tests
Z1.2
Lösungen zum Test für Kapitel 1
Test-Aufgabe 1.1
3 Punkte
(K1) Das RTM registriert den Tunnelstrom (Rastern bei konstanter Höhe) oder es misst die
Regelparameter der Piezoelemente, damit der Strom durvh die Spitze konstant bleibt (Rastern
mit konstantem Strom).
Test-Aufgabe 1.2
4 Punkte
(K3)
a) Die Tunnelmikroskopie ist nicht für die Untersuchung von Kunststoff geeignet, da sie
nur leitende Proben abbildet.
b) Platin lässt sich gut mit dem RTM untersuchen. Allerdings hat man an Luft ähnliche
Probleme wie beim Gold und kann nicht die einzelnen Atome auflösen, sondern nur
grössere Strukturen.
c) Auch die Rauhigkeit lässt sich gut mit dem RTM untersuchen. Man kann die
Höhenunterschiede über Änderungen im Tunnelstrom feststellen. Allerdings kann bei
zu grossen Höhenunterschieden möglicherweise die Spitze nicht mehr nachgeführt
werden und abbrechen.
d) Elektronen können Sie leider nicht abbilden. Das RTM registriert tunnelnde
Elektronen, um Atome abzubilden. Die Elektronen selbst sind zu klein. Man kann
aber die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen abbilden (siehe Kapitel 2).
Test-Aufgabe 1.3
3 Punkte
(K2)
a) Der Tunnelstrom hängt exponentiell vom Abstand zwischen Probe und Spitze ab.
b) Kleine Abstände führen zu grossen Stromänderungen. Der Tunnelstrom ist also sehr
empfindlich auf kleinste Abstandsänderungen, die sogar nur Bruchteile des
Atomdurchmessers betragen können. Rastert man die Oberfläche ab und registriert
dabei diese Änderung , kann man Atome abbilden.
c) Der Tunnelstrom hängt noch von der Elektronendicht in Probe und Spitze ab. Auch
die Austrittsarbeit der beiden Metalle und natürlich die angelegte Spannung
bestimmen den Tunnelstrom.
Test-Aufgabe 1.4
3 Punkte
(K2)
a) Die Austrittsarbeit ist die Arbeit, die man aufwenden muss, um ein Elektron aus
einem Stoff herauszulösen.
b) Der Reibungsmotor wird zum schrittweisen Annähern der Probe an die Spitze benutzt.
Bei einer langsam veränderlichen Spannung bewegt sich der Probenzylinder mit der
Unterlage nach vorne. Bbeim schnellen Spannungsabfall reicht die Reibungskraft
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Z1.3
Anhang 1: Tests
nicht aus, um ihn aus der Unterlage festzuhalten. Die Unterlage bewegt sich in die
Ausgangsposition zurück, während der Zylinder vorne bleibt.
c) Als Rastern bezeichnet man das punktweise Abtasten einer Oberfläche.
Test-Aufgabe 1.5
4 Punkte
(K3)
Man erhält eine Vorstellung von der Tunnelaufnahme von Graphit, wenn man in Figur 1.10
die Bereiche um dir H-Stellen dunkel zeichnet (geringe Elektronendichte, geringer
Tunnelstrom) und die B-Atome hell lässt (hohe Elektronendichte, hoher Tunnelstrom).
Dazwischen, also auch über den A-Atomen, misst man einen mittleren Strom, den man durch
graue Flächen andeuten kann. Die Zeichnung sollte schematisch etwa so aussehen:
B
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Anhang 1: Tests
Z1.4
Test für Kapitel 2
Weil Sie alle Übungsaufgaben des Kapitels 2 selber durchgerechnet haben, ist es nicht nötig,
dass Sie ihre mathematischen Fähigkeiten nochmals unter Beweis stellen.
Test-Aufgabe 2.1
3 Punkte
Schon vor über hundert Jahren konnte die Polizei eine Arsenvergiftung durch die Auswertung
des Flammenspektrums nachweisen. - Erläutern Sie stichwortartig die physikalischen
Grundlagen dieser Methode. Welche Rolle spielt hier die Quantenphysik?.
Test-Aufgabe 2.2
3 Punkte
Was bedeutet der Begriff „Zustandsfunktion“? Stichworte genügen!
Test-Aufgabe 2.3
3 Punkte
Erläutern Sie stichwortartig, eventuell anhand eines Beispiels, was eine Differentialgleichung
ist. Geben Sie anschliessend an, wie in diesem Zusammenhang Quantenzahlen auftreten.
Test-Aufgabe 2.4
4 Punkte
James Frank und Gustav Hertz führten 1913 erstmals einen Elektronenstossexperiment durch.
Unter dem Namen Frank-Hertz-Versuch finden sie eine Beschreibung in Ihrem Physikbuch.
Interpretieren Sie die Versuchsergebnisse mit Hilfe des Schalenmodells.
Test-Aufgabe 2.5
4 Punkte
Sie wissen, dass die elektrische Leitfähigkeit bei Metallen mit steigender Temperatur
abnimmt. Passiert das gleiche auch bei Halbleitern? Es wird angenommen, dass die
Temperatur unter dem Schmelzpunkt des Materials bleibt. Begründen Sie ihre Antwort!
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Anhang 1: Tests
Z1.5
Lösungen zum Test für Kapitel 2
Test-Aufgabe 2.1
3 Punkte
(K3)
Unbekannter Stoff wird erhitzt. Atome werden ionisiert. Elektronen geraten in angeregt
Zustände. Energieabgabe durch aussenden von Photonen mit einer charakteristischen Energie.
Diese Energie wird bestimmt durch den Energieabstand der Übergangsniveaus. Die
Energieniveaus werden durch den Aufbau der Atome bestimmt. Somit hat jedes Atom ein
charakteristisches Spektrum von Licht, das es aussenden kann.
Test-Aufgabe 2.2
3 Punkte
(K2)
Der Zustand eines quantenmechanischen Systems wird durch eine sogenannte
Zustandsfunktion beschrieben. Ihr Aufbau hängt von der Komplexität des Systems ab. Beim
harmonischen Oszillator etwa besitzt Sie eine Orts- und Zeitvariable.
Test-Aufgabe 2.3
3 Punkte
(K2)
Differentialgleichungen sind Bedingungen für die unbekannten Funktionen. Sie enthalten n
eben den Funktionen auch Ableitungen der Funktion. Beispiel: f’ = kf
Quantenzahlen können auf zwei Arten in Erscheinung treten:
1. beim Lösen komplizierter Gleichungen: Gewisse Funktionen sind nur für ganze
Zahlen definiert.
2. beim Berücksichtigen der Anfangs- und Randbedingungen. Sie erfassen zusätzliche
Bedingungen, etwa Symmetriebedingungen, der Problemstellung.
Test-Aufgabe 2.4
4 Punkte
(K4)
Die kinetische Energie nimmt kontinuierlich mit der Beschleunigungsspannung der
Elektronen zu. Die Atome des Gases stossen mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit mit den
Elektronen, wenn deren kinetische Energie mit der Energie eines Überganges des Atoms
übereinstimmt. Ist die kinetische Energie ein ganzzahliges vielfaches der Übergangsenergie,
so stossen die Elektronen auf dem Weg zum Gitter mehrfach mit Atomen des Gases.
Test-Aufgabe 2.5
4 Punkte
(K3)
Bei steigender Temperatur werden im Halbleiter immer mehr Elektronen in das Leitungsband
befördert. Die Leitfähigkeit nimmt zu. Wenn die thermische Energie kleiner wird als der
Abstand zwischen Leitungs- und Valenzband, so wird aus dem Halbleiter ein Isolator.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Anhang 1: Tests
Z1.6
Test für Kapitel 3
Test-Aufgabe 3.1
3 Punkte
Was hat Nanotechnologie mit Quantenmechanik zu tun? Wieso ist Nanotechnologie eine
Anwendung der Quantenmechanik? Stichworte genügen!
Test-Aufgabe 3.2
3 Punkte
Der Internet-Boom ist wieder abgeflaut und an der Börse sind viele Aktien ins Bodenlose
gefallen. Einige grössere Firmen sind Konkurs gegangen oder haben Tausende von
Mitarbeitern entlassen. Kann man von der Nanotechnologie einen ähnlichen Boom erwarten?
Was ist der wesentliche Unterschied zur Internettechnologie?
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Anhang 1: Tests
Z1.7
Lösungen zum Test für Kapitel 3
Test-Aufgabe 3.1
3 Punkte
(K3
Die räumlichen Dimensionen werden in der Nanotechnologie so klein, dass
quantenmechanische Effekte auftreten. Die Berechnungen für Nanomaschinen und Objekte
müssen mit der Schrödingergleichung durchgeführt werden.
Test-Aufgabe 3.2
3 Punkte
(K3).
In der Internet-Branche brauchte man nur einen Computer und einen Internetanschluss und
schon konnte man sich selbständig machen. Aber für die Nanotechnologie braucht man viele
und teure technische Geräte und gut ausgebildetes Personal, um die nötige Entwicklung
voranzutreiben. Dies können sich nur wenige Firmen leisten und auch die Investoren
schrecken vor den hohen Investitionen eher zurück.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Z1.8
Anhang 1: Tests
Atome unter der Lupe - Schlussprüfung
Name: ........................................................................ Klasse: ...............................
Aufgabe 1:
8 Punkte
Erläutern Sie anhand einer Skizze den Aufbau eines Raster-Tunnel-Mikroskops. Geben Sie
die Funktionsweise der wichtigsten Einzelteile an.
Aufgabe 2:
Wie gross darf der energetische Abstand des Leitungs- und Valenzbandes sein, wenn es noch
Licht der Wellenlänge 550 nm absorbieren soll?
Aufgabe 3:
8 Punkte
Kann man mit dem RTM die Zustandsfunktion eines Elektrons sichtbar machen?
Aufgabe 4:
8 Punkte
Ein Elektron trifft auf einen Energiesprung wie in Figur Z1 dargestellt.
E
Gebiet I
U2
U1
Gebiet II
x
0
FigurZ1: Potentialsprung mit den Energien U1 und U2.
Das Elektron besitze eine Energie e zwischen U1 und U2.
Berechnen sie das Amplitudenverhältnis der Lösungen in den Gebieten von U1 und U2.
Dazu lösen sie die Schrödingergleichung für die beiden Gebiete und benutzen dann die
physikalischen Randbedingungen bei x=0.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Anhang 1: Tests
Z1.9
Lösungen zur Schlussprüfung
Aufgabe 1:
8 Punkte
(K2)
Aus der/den sauberen Skizze/n müssen klar hervorgehen: Zeilenweise Abtastung der Probe,
Tunneleffekt von Elektronen zwischen der Probe und der Spitze, Höhensteuerung der Spitze
durch eine Elektronik, Bildentstehung durch die Registrierung der Position der Spitze.
Wichtig sind die Darstellung des Tunneleffektes und der piezoelektrischen Verschiebung der
Spitze, sowie die Begründung für das atomare Auflösungsvermögen.
Aufgabe 2:
4 Punkte
(K4)
Für die Photonenenergie gilt: E = hν = hc/λ =6.62606876•10-34 Js•299792458 ms-1 / 550 nm =
3.61 •10-19 J. Damit diese Licht absorbiert werden kann darf der Bandabstand nicht grösser als
3.61 •10-19 J sein, da sonst die Energie eines Photons nicht ausreicht ein Elektron in das
Leitungsband anzuheben. Ein Elektron darf nie eine Energie besitzen die nicht durch Bänder
erlaubt ist.
Aufgabe 3.
8 Punkte
(K3)
Mit dem RTM misst man den Tunnelstrom. Dieser ist proportional zur
Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen, die durch das Betragsquadrat der
Zustandfunktion berechnet werden kann. Man kann also nur das Betragsquadrat der
Zustandsfunktion und nicht die Zustandsfunktion selber messen. Durch das Quadrieren geht
Information verloren.
Aufgabe 4:
8 Punkte
K(2)
Die Lösungen für die Gebiete I und II sind von Kapitel 2 her bekannt:
I: ψI(x) = A cos(kx+δ) mit k2 = 2m(e-U1)/(h/2π)2
II: ψII(x) = B e-κx mit κ2 = 2m/(h/2π)2.[U2-e]
Für die Randbedingungen erhalten wir:
Bei x=0:
A cos(δ) = B
⇒ B / A =cos(δ)
und
A k sin(δ)= B κ
⇒ sin(δ) A/B = κ/k ⇒ sin(δ) / cos(δ)=κ/k ⇒ δ = arctan(κ/k)
e − U1
k
κ
⇒ B / A = cos(arctan( ) =
=
2
2
k
U 2 − U1
k +κ
Je grösser die Energiebarriere, desto kleiner wir B im Verhältnis zu A, d.h. desto weniger
Elektronen dringen in die Barriere ein.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Z2.1
Anhang 2: Mediothek
Mediothek für die Schüler
Bücher/Publikationen
Mit den vorangestellten Kürzeln wird im Leitprogramm auf diese Bücher/Publikationen
Bezug genommen.
(Baumann 84)
Baumann, K. und Sexl. U. R.: Die Deutungen der Quantentheorie.
Braunschweig 1984 (Vieweg).
(Binnig 85)
Binnig, G. und Rohrer, H.: Das Raster-Tunnelmikroskop. In:
Spektrum der Wissenschaften 10 (1985) 62 - 66.
(Brennan 99)
Brennan, K.F.: The physics of semiconducters, Cambridge 1999
(Cambridge University Press).
(Christen 78)
Christen, H. R.: Chemie. Frankfurt a.M./Aarau 1978 (DiesterwegSalle-Sauerländer).
(Grehn 92)
Grehn, J.: Metzler Physik, Gesamtband, 2.Auflage. Stuttgart 1992
(J. B. Metzlersche Verlagsbuchhandlung).
(Hey 90)
Hey, T. und Walters, P.: Quantenuniversum. Heidelberg 1990
(Spektrum der Wissenschaften).
(Kuhn 92)
Kuhn, W.: Physik, Band 2, 12/13. Braunschweig 1992 (Westermann).
(Schreiner 78b)
Schreiner, J.: Physik 2. Frankfurt a.M./Aarau 1978 (DiesterwegSalle-Sauerländer).
(Sexl 91)
Sexl, R. , Raab, I. und Streeruwitz, E.: Materie in Raum und Zeit,
Eine Einführung in die Physik, Band 3. Frankfurt a.M./Aarau 1991
(Diesterweg-Salle-Sauerländer).
(Sexl 92)
Sexl, R. , Kühnelt H. et al: Physik 4. Wien 1992 (Hölder-PichlerTempsky).
Edward Regis, Nano: the emerging science of nanotechnology:
remaking the world – molecule by molecule, Boston 1995 (Little
Brown)
(Regis 95)
Videofilme-VHS
Atome sehen, Spektrum der Wissenschaften, Videothek, ISBN 3-89330-968-3.
Dauer: 31 Minuten. Die letzten 10 Minuten sind zum RTM.
Das Rastertunnelmikroskop, Fernsehen DRS, Sendung MTW vom 9. 5. 1990.
Dauer: 30 Minuten
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Z3.1
Anhang 3: Experimente
Experiment 2.1: Zur Fluoreszenz
Material
• Stamm-Lösungen Fluorescein-Natriumsalz, Eosin und Rhodamin B
Konzentration jeweils zwischen 10-3 und 10-4 mol/l (Quelle: Tausch 88, Seite 16)
Lösungs-Material allenfalls vom Chemielehrer ausleihen.
Dunkel und kühl aufbewahrt, dürften die Stamm-Lösungen mehrere Jahre halten.
• 1 UV Leuchte
• 1 weisse Lampe mit grosser Lichtintensität wie z. B. eine Projektorlampe
• eventuell: IR-Lampe
Versuchsanleitung
1.
Schalten Sie die UV-Lampe ein und löschen Sie das Licht. - Welche Farben sehen Sie?
2.
Zünden Sie wieder die Zimmerbeleuchtung an und schalten Sie die UV-Lampe aus.
3.
Beleuchten Sie die Substanzen mit weissem Licht oder mit IR. - Was sehen Sie jetzt?
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter dem Mikroskop
Z3.2
Anhang 3: Experimente
Experiment 2.2: Zum Spektrum von Gasen
Material
• Gasentladungsröhren mit Neon und Argon, mit Hochspannungsgerät
• Gasentladungsröhren mit Quecksilber und Natrium, evtl. Hochdruckdampflampen, mit
Betriebsgerät
• Gasentladungsröhren mit Wasserstoff, Stickstoff und Kohlendioxid, Netzgerät
• (qualitatives) Spektroskop
!!!!!!!!!!!!!!!! Warnung !!!!!!!!!!!!!!!
Mit Hochspannungsgeräten lässt sich nicht spassen! Schalten Sie die Spannung nur an den
Hauptschaltern ein und aus. Ändern Sie an den vom Lehrer eingestellten Spannungen
nichts. Berühren Sie keinesfalls nicht-isolierte Metallteile. Isolationen, die für 230 Volt
vollkommen sind, können bei Hochspannung durchschlagen.
Versuchsanleitung
1.
Schalten Sie die Spannung für die Edelgasröhren ein. Sie werden an Leuchtreklamen
erinnert. Betrachten Sie das Licht durch das Spektroskop: Erkennen Sie deutlich
ausgeprägte Spektrallinien?
2.
Schalten Sie die Spannung für die Metalldampflampen ein. Das Licht wird Sie an
gewisse Strassenbeleuchtungen erinnern. Betrachten Sie ihr Licht durch das
Spektroskop. Welche Unterschiede stellen Sie fest?
3.
Schalten Sie die Spannung für die Röhren ein, die mit Gas aus Molekülen gefüllt sind.
Welche Veränderung im Wesen des Spektrums sehen Sie?
4.
Schalten Sie alle Spannungen aus, bevor Sie wieder an die Arbeit mit dem Text gehen.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter dem Mikroskop
Anhang 3: Experimente
Z3.3
Experiment 2.3: Zum Drehimpuls
Material
• Velorad-Kreisel, einseitig aufgehängt
Versuchsanleitung
1.
Bringen Sie den Kreisel mit horizontaler Achse auf eine möglichst hohe Tourenzahl.
2.
Versuchen Sie, die Achse in einer horizontalen Ebene nach hinten zu drücken oder nach
vorne zu ziehen: Wie Sie eventuell schon beim Velofahren oder sonstwo feststellen
mussten: Der Kreisel weicht senkrecht zur Kraft nach oben oder unten aus, je nach
Drehrichtung.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter dem Mikroskop
Z3.4
Anhang 3: Experimente
Experiment 2.4:
Zu 2-dimensionalen Schwingungen
Material
• grosse PET-flasche für Mineralwasser, ohne Kohlensäure, noch zu 3/4 voll.
•
Chladni-Experiment mit einer runden Metallplatte. Anregung über einen Lautsprecher mit
den Schwingungen eines Tongenerators angestrahlt wird.
Versuchsanleitung
1.
Stellen Sie die Flasche auf den relativ stabilen Tisch und regen Sie durch einen Schlag
auf die Tischplatte Oberflächenschwingungen an. Beobachten Sie die Symmetrie.
2.
Schalten Sie den Tongenerator ein und beobachten Sie die Chladni-Figur, die es bei der
eingestellten Anregungsfrequenz gibt. Verändern Sie bitte die Frequenz nicht. Putzen Sie
lieber den Sand zusammen...
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter dem Mikroskop
Z4.1
Anhang 4: Von den Autoren benützte Quellen
Von den Autoren benützte Quellen
(Abramowitz 68)
Abramowitz, M. und Segun, I. A.: Handbook of Mathematical
Functions. New York 1968 (Dover Publications).
(Audretsch 90)
Audretsch, J. und Mainzer, K. (Eds.): Wieviele Leben hat Schrödingers Katze? Mannheim usw. 1990 (BI Wissenschaftsverlag).
(Baker 82)
Baker, J. J. W. und Allan, G. E.: The Study of Biology. Reading
(MA) 1982 (Addison-Wesley).
(Baumann 84)
Baumann, K. und Sexl. U. R.: Die Deutungen der Quantentheorie.
Braunschweig 1984 (Vieweg).
(Binnig 85)
Binnig, G. und Rohrer, H.: Das Raster-Tunnelmikroskop. In:
Spektrum der Wissenschaften 10 (1985) 62 - 68.
(Bittcher 91)
Bittcher, M., Hänggi, G., Müller, P. und Schaffner, B.: Leitprogramm Quantenphysik. Zürich 1991 (ETH)
Brachner, A. und Fichtner, R.: Quantenmechanik für Lehrer und
Schüler. 1971.
(Brachner 71)
(Brachner 80)
Brachner, A. und Fichtner, R. (Hsg.): Materialien für die Sekundarstufe II Physik, Quantenmechanik. Hannover 1980 (Schroedel
Schulbuchverlag).
(Capra 82)
Capra, F.: Wendezeit. Bern usw. 1982 (Scherz).
(Christen 78)
Christen, H. R.: Chemie. Frankfurt a.M./Aarau 1978 (DiesterwegSalle-Sauerländer).
(Davies 88)
Davies, P. C. W. und Brown, J. R.: Der Geist im Atom. Basel 1988
(Birkhäuser) ISBN 3-7643-1944-5.
(Dorn 92)
Dorn, F. und Bader, F.: Physik in einem Band, Neubearbeitung.
Hannover 1992 (Schroedel Schulbuchverlag).
(Elbaz 95)
Edgar Elbaz, Quantique, 1995 (Ellipses)
(Fischler 92)
Fischler H. (ed): Quantenphysik in der Schule. Kiel 1992 (Institut
für Pädagogik der Naturwissenschaften).
(Gamow 79)
Gamow, G.: Mr. Tompkins' seltsame Reise durch Kosmos und Mikrokosmos. Braunschweig 1979 (Vieweg).
(Grehn 92)
Grehn, J.: Metzler Physik, Gesamtband, 2. Auflage. Stuttgart 1992
(J. B. Metzlersche Verlagsbuchhandlung).
(Greinacher 39)
Greinacher, H.: Physik in Streifzügen. Berlin 1939 (Springer).
ETH-Leitprogramm Physik
Kann man Atome sehen?
Z4.2
Anhang 4: Von den Autoren benützte Quellen
(Grimsehl 68)
Grimsehl: Physik II, Grundgesetze, Modelle und Theorien. Stuttgart
1968 (Ernst Klett Verlag).
(Gross 87)
Gross Berhag: Atome, Kerne, Quanten. Stuttgart 1987 (Klett).
(ter Haar 69)
ter Haar D.: Quantentheorie, Einführung und Originaltexte.
Braunschweig 1969 (Vieweg).
(Hey 90)
Hey, T. und Walters, P.: Quantenuniversum. Heidelberg 1990
(Spektrum der Wissenschaften).
(Känzig 78)
Känzig, W. Physik III, Quantenphysik. Zürich 1978 (Verlag der
Fachvereine an den Schweizerischen Hochschulen und Techniken).
(Kneubühl 75)
Kneubühl, F.: Repetitorium der Physik. Stuttgart 1975 (Teubner).
(Kuhn 76)
Kuhn, W.: Physik, Band IIIE, Quantenphysik. Braunschweig 1976
(Westermann).
(Kuhn 92)
Kuhn, W.: Physik, Band 2, 12/13. Braunschweig 1992 (Westermann).
(NEVA)
NEVA, Dr. K. Vatter GmbH, D-7340 Geislingen a. d. Steige o. Jz.
(Obrist 88)
Obrist, W.: Neues Bewusstsein und neue Religiosität. Olten 1988
(Walter).
(Schreiner 78a)
Schreiner, J.: Anschauliche Quantenmechanik.
a.M./Aarau 1978 (Diesterweg-Salle-Sauerländer).
(Schreiner 78b)
Schreiner, J.: Physik 2. Frankfurt a.M./Aarau 1978 (DiesterwegSalle-Sauerländer).
(Schreiner 92)
Schreiner, J.: Physik 4. Wien 1992 (Hölder-Pichler-Tempsky).
(Schwaneberg 80)
Schwaneberg, R.: Didaktik und Quantenphysik. Frankfurt am Main
1980 (Verlag Peter D. Lang).
(Selleri 83)
Selleri, F.: Die Debatte um die Quantentheorie. Braunschweig 1983
(Vieweg).
(Sexl 91)
Sexl, R. , Raab, I. und Streeruwitz, E.: Materie in Raum und Zeit,
Eine Einführung in die Physik, Band 3. Frankfurt a.M./Aarau 1991
(Diesterweg-Salle-Sauerländer).
(Sexl 92)
Sexl, R. , Kühnelt H. et al: Physik 4. Wien 1992 (Hölder-PichlerTempsky).
ETH-Leitprogramm Physik
Frankfurt
Kann man Atome sehen?
Z4.3
Anhang 4: Von den Autoren benützte Quellen
(Stiefel 73)
Stiefel, E.: Methoden der mathematischen Physik. Zürich 1973
(Verlag der Fachvereine an den Schweizerischen Hochschulen und
Techniken).
(Tausch 88)
Tausch, M. und Paterkiewicz, D.: Phosphoreszenz und Fluoreszenz.
In: Praxis der Naturwissenschaften - Chemie 1/37, (1988) 14 - 21.
(Tipler 94)
Tipler P. A.: Physik.
Akademischer Verlag).
(Tolansky 69)
Tolansky, S.: Linse, Licht und Laserstrahl. Frankfurt am Main 1969
(Umschau Verlag Breidenstein KG).
(Whichman 73)
Whichman E.H. et al: Berkeley Physik Kurs, 4 Quantenphysik.
Braunschweig 1973 (Vieweg).
Heidelberg
usw.
1994
(Spektrum
WWW
Introduction to Nanoscience, Rice University
http://nanonet.rice.edu/intronanosci/
Back to the roots Ursprung bei
http://www.zurich.ibm.com/
Schweizerische Forschung bei
http://lmn.web.psi.ch/
Forschungsförderung Deutschland
http://www.bmbf.de/618_900.html
Hersteller von easyScan
http://www.nanosurf.com/
Übersicht Schweiz
http://www.nanoscience.ch/
Einstieg Deutschland
http://www.nanoscience.de/
Alternatives RTM: Preiswert zum selber bauen:
Gute Tipps für die Spitzenpräparation!
http://sxm4.uni-muenster.de/introduction-de.html
Erklärungen RTM:
http://www.chemie.uni-dortmund.de/groups/dc1/stmwww/stmiso/stm.htm
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Kann man Atome sehen?
Anhang 5: Hinweise
Z5.1
Hinweise für die Lehrerinnen und Lehrer
Überblick
Stufe, Schulbereich: Sekundarstufe II, Schwerpunkts- und Ergänzungsfach der Maturitätsschulen Klassen 11 - 13, Fachhochschulen
Fachliche Vorkenntnisse: Grundlagen der klassischen Physik, Grundlagen der Quanten–
physik, Energie-Orts-Diagramm, Austrittsarbeit bei Metallen. Drehimpuls. Im Kapitel 2 und
im Additum 2: Infinitesimalrechnung bis zu Differentialgleichungen.
Bearbeitungsdauer: Fundamentum 9 Lektionen, Additum 1 4 Lektionen, Additum 2 6
Lektionen
Inhalt:
Kapitel 1: Funktion des Raster-Tunnel-Mikroskops
Kapitel 2: Einblick in die Quantenmechanik
Kapitel 3: Internet-Recherche zur Nanotechnologie
Additum 1: Arbeiten mit RTM easyScan
Additum 2: Vertiefung der Kenntnisse in Quantenmechanik
Das Besondere am Leitprogramm "Atome unter der Lupe"
Wie der Titel andeutet, haben naturwissenschaftliche (Atome) und technische (Lupe)
Gesichtspunkte hier gleiches Gewicht. Wir gehen von der Funktionsweise des modernen
Raster-Tunnel-Mikroskops aus und benötigen zu dessen genauerem Verständnis
grundlegende Kenntnisse der Quantenmechanik.
Allerdings sind hier die mathematischen Anforderungen höher als in den Leitprogrammen
fürs Grundlagenfach: Nach einer kleinen Einführung werden auch Differentialgleichungen
mit einer Variablen benützt. So kann die Schrödingergleichung eingeführt und in einfachen
Fällen auch gelöst werden. Anschliessend werfen wir via Internet einen Blick auf das sich
rasch entwickelnde Gebiet der Nanotechnologie.
Vom Additum 1 profitiert am meisten, wem ein RTM-Gerät easyScan der Firma Nanosurf
zur Verfügung steht: Schrittweise lernt man damit umzugehen. Andere RTM der gleichen
Preisklasse funktionieren ähnlich.
Im Additum 2 taucht man tiefer in die Quantemechanik ein: Es wird eine Reihe von praktisch
wichtigen Beispielen bis hin zu den Prozessen beim Sehvorgang im menschlichen Auge, obwohl teilweise bloss über Analogien - erschlossen.
Experimente im Fundamentum
2.1: Zur Fluoreszenz
2.2: Zum Spektrum von Gasen
2.3: Zum Drehimpuls
2.4: Zu 2-dimensionalen Schwingungen
Zum Additum 1
4 Lektionen; wenn möglich ein RTM easyScan
Vom Additum 1 profitiert am meisten, wem ein RTM-Gerät easyScan der Firma Nanosurf
zur Verfügung steht: Schrittweise lernt man damit umzugehen. Andere RTM der gleichen
Preisklasse funktionieren ähnlich.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Anhang 5: Hinweise
Z5.2
Zum Additum 2
6 Lektionen; keine Experimente
Im Additum 2 taucht man tiefer in die Quantemechanik ein: Es wird eine Reihe von praktisch
wichtigen Beispielen bis hin zu den Prozessen beim Sehvorgang im menschlichen Auge, obwohl teilweise bloss über Analogien - erschlossen.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Z5.3
Anhang 5: Hinweise
Allgemeines zum Unterrichten mit ETH-Leitprogrammen
Leitprogramme sind ...
... schriftliches Selbststudienmaterial für die einzelnen SchülerInnen,
... eingerichtet für Zeitspannen von etwa 3 bis 12 Lektionen,
... unterteilt in ein Fundamentum (= Grundstock für alle) und mehrere, unabhängige Addita
mit unterschiedlicher Thematik und anregendem Zusatzstoff für Schnelle, Interessierte,
... abwechslungsreich dadurch, dass Experimente, Videosequenzen, Lektüren in der Handbibliothek usw. eingebaut sind,
... mit der Möglichkeit zu ständiger Selbstkontrolle durch Zusammenfassungen, Fragen,
Übungs- und Kontrollaufgaben bestückt,
... mit Kontrollmöglichkeiten für die Lehrkraft durch Kapiteltests, die einzeln mündlich oder
in Gruppen schriftlich durchgeführt werden, versehen.
Leitprogramme sind nicht ...
... vorgesehen für Projektunterricht, wo die Ziele vorerst noch offen sind.
... Fallstudien. Die Fragestellungen sind in den Leitprogrammen meist abgeschlossen.
Absichten der ETH-Leitprogramme
- Sie bringen Abwechslung in den Unterrichtsstil.
- Sie reduzieren den Anteil an lehrerzentriertem Unterricht.
- Sie fördern die Eigenverantwortung der Lernenden für ihren Lernfortschritt.
- Sie bereiten auf die Universität vor (selbständiges Studium neben den Vorlesungen).
- Sie realisieren das "mastery learning": erst weiterfahren, wenn die Voraussetzungen sitzen.
- Sie liefern sorgfältige Formulierungen in kritischen Gebieten, z.B. in der Quantenphysik.
- Sie erlauben individuelles Lerntempo und individuellen Arbeitsort.
- Sie vermitteln den besonders Leistungsfähigen Anregungen durch den Stoff der Addita.
Leitprogramme aus der Sicht von Lehrerinnen und Lehrern ...
Eine erfreuliche Überraschung bei der Erprobung der ETH-Leitprogramme waren Berichte
über neue, persönliche Kontakte: Bei den mündlich durchgeführten Kapiteltests, im Zusammenhang mit den Experimenten, nach der Lektüre in der Handbibliothek oder "einfach so".
Viele Jugendliche wagten in diesen Situationen eher Fragen zu stellen. Nun hatten sie nicht
mehr das Gefühl, bei ihnen falle der Groschen viel langsamer als bei allen andern der Klasse.
... und aus der Sicht von Schülerinnen und Schülern:
Vorteil von Leitprogrammen: Man muss nur soviel arbeiten, wie man will. - Nachteil von
Leitprogrammen: Man sollte mehr arbeiten, als man will. (Rückmeldung eines Schülers)
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Anhang 5: Hinweise
Z5.4
Maturandinnen und Maturanden merken also die Absicht, dass sie mit den LPR als mündig
betrachtet werden. Sie entdecken offensichtlich auch eigene Schwächen.
Generell sind die Urteile günstig: Beinahe alle wünschen sich ein bis zwei Leitprogramme
pro Fach und Schuljahr. Negativ vermerkt wird vor allem die fehlende Kontaktperson für
Fragen.
Was macht der Lehrer, die Lehrerin, beim Arbeiten mit Leitprogrammen?
1) Vor dem Start
... gibt es eine Reihe von Vorbereitungsarbeiten:
- Vorkenntnisse abklären und nötigenfalls bereitstellen
- Experimentiermöglichkeiten abklären und ergänzen, Versuchsanleitungen anpassen
- Bücher für die Handbibliothek beschaffen
- Zeitlimiten und Notengebung bestimmen
- Arbeitsorte festlegen, allenfalls unter Mitwirkung des Rektorats (Versicherungsfrage)
- Leitprogramme, Arbeitsanweisungen usw. für SchülerInnen vervielfältigen
- Tests und Schlussprüfung vorbereiten, Räume und Zeitpunkte festlegen, eventuell einen
Tutor
oder eine Tutorin informieren
und einarbeiten
2) Während der Leitprogrammphase...
... stehen Sie zwar nicht im Rampenlicht, sind aber trotzdem ausgelastet mit:
- Tests durchführen, korrigieren und rückmelden
- Einstellungen und Reparaturen bei Video und Experimenten
- Fragen von einzenlen Schülerinnen und Schülern beantworten
3) Nach Abschluss
- Fehler und Verbesserungsmöglichkeiten im Text vermerken
- Tabellen, Bücher, Experimente und andere Medien aufdatieren
- Neue Kapiteltests und Klausuren vorbereiten, weil eine gewisse Diffusion unvermeidlich
ist.
Lehrkräfte werden also nicht überflüssig...
Vorschläge zur Notengebung
Im Gegensatz zu Projekten und Fallstudien bildet die Benotung keinerlei Schwierigkeiten.
Sie führen am Schluss der Unterrichtsphase, allenfalls nach einer Repetitionslektion, die
gewohnte Klausur durch.
Das LPR kann schwache Charaktere zum Schlendrian verführen. Sie glauben, den ganzen
Brocken erst für die Klausur sorgfältig lernen zu müssen. Dem kann man mit dem Verfahren
entgegenwirken, auch die Kapiteltests zu bewerten. Realistisch wäre: Alle Tests zusammen
zählen wie eine halbe Klausur.
Primär sind die Addita durch ihren Inhalt attraktiv. Ein Notenbonus für all diejenigen, die ein
Additum vollständig durcharbeiten, stimuliert trotzdem. Es scheint legitim zu sein, diese Zusatzleistung dadurch zu honorieren, dass die Klausurnote um eine halbe Stufe angehoben
wird.
Wieviel Leitprogramm-Unterricht?
Die Fachdidaktiker schlagen keine Revolution vor. Es gibt auch Hinweise auf Ermüdungserscheinungen. Aufgrund der Rückmeldungen scheinen ein bis zwei LPR pro Schuljahr ideal.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Anhang 5: Hinweise
Z5.5
Wichtig ist ein schrittweiser Einstieg. Mit längeren Lernaufgaben lernen die Schülerinnen
und Schüler das sorgfältige Lesen naturwissenschaftlicher Texte und das Arbeiten nach
schriftlichen Anweisungen. Mit kürzeren Leitprogrammen gewöhnen sie sich an die neue
Freiheit und die damit verbundene Verantwortung bei dieser Unterrichtsform.
ETH-Leitprogramm Physik
Atome unter der Lupe
Fachrichtungen der Physik
UNIVERSITÄT
DES
SAARLANDES
Physikalisches Grundpraktikum
für Physiker/innen
Teil III
Transistor
WWW-Adresse Grundpraktikum Physik: http://grundpraktikum.physik.uni-saarland.de/
0
Kontaktadressen der Praktikumsleiter:
Dr. Manfred Deicher
Zimmer: 1.11, Gebäude E 2.6
e-mail: [email protected]
Telefon: 0681/302-58198
1H
Dr. Patrick Huber
Zimmer: 3.23, Gebäude E2.6
e-mail: [email protected]
Telefon: 0681/302-3944
2H
TR 2
1. Literatur
/1/ U.Tietze, Ch. Schenk, Halbleiterschaltungstechnik, Springer-Verlag
/2/ Klaus Byston, Technische Elektronik, Band 1, Hanser-Verlag
/3/ Jean Pütz, Einführung in die Elektronik, Fischer-Taschenbuch
2. Stoffgebiet
Siehe Versuch Elektronik ( Grundpraktikum Teil 2)
Wirkungsweise von Transistoren
Verstärker-Schaltungen
Leistungsverstärker
Spannungsstabilisierungen
Transistor
Transistor
TR 3
3. Grundlagen
3.1. Transistorkennlinien
Der Transistor besteht aus drei sich abwechselnden p- und n-leitenden
Halbleiterschichten. Je nach Art der Abfolge der drei Schichten unterscheidet man npnund pnp-Transistoren. Wir betrachten im folgenden den meist gebräuchlichen npnTransistor. Fügt man die drei Schichten aneinander, so erhält man folgendes Bild (Abb.
1):
3H
C
E
n
p
n
C
E
B
B
-
+
-
+
Abb. 1: npn-Transistor (E:Emitter, C:Kollektor, B:Basis)
Ersatzweise kann man sich den Transistor aus zwei gegeneinander geschalteten Dioden
zusammengesetzt denken, wobei der p-Bereich sehr klein ist. Man überlege sich warum
zwei gegeneinander geschaltete Dioden nicht als Transistor funktionieren!
Für den Potentialverlauf im npn Transistor ergibt sich folgendes Bild ( Abb. 2):
4H
TR 4
Transistor
V
E
n
B
p
C
n
Abb. 2: Potentialverlauf (gestrichelt: stromloser Zustand, durchgezogen:
Betriebszustand - Spannungen gemäß Abb. 1)
Durch Anlegen einer positiven Spannung zwischen Kollektor und Emitter werden die
Elektronen im n-Gebiet zum Kollektor hingezogen, zurück bleiben positive Atomrümpfe.
Das Potential wird im Kollektorgebiet stark angehoben. Die Basis-Kollektordiode ist
gesperrt, es fließt kein Basis-Kollektorstrom.
Legt man eine positive Spannung zwischen Basis und Emitter, so wird die BasisEmitterdiode leitend und es fließt ein Basis-Emitterstrom. Die positiven Atomrümpfe der
Emitter-Schicht werden teilweise neutralisiert und das Potential sinkt wieder ab.
Durch die niedrigere Potentialbarriere beginnt ein Strom zu fließen. Ein Teil der
Elektronen rekombinieren mit den in der Basis vorhandenen Löchern. Da jedoch die
Dotierung der Basis geringer ist als die des Emitters, können nicht alle Elektronen mit
Löchern rekombinieren und diffundieren weiter in Richtung Kollektor. Ist nun die BasisSchicht dünner als die Diffusionläge der Elektronen, so diffundieren die meisten
Transistor
TR 5
Elektronen in die Kollektorschicht hinein, wo sie in den Sog des großen Basis-KollektorPotentialgefälles geraten und zum Kollektor wandern. Zur Basis fließen dann nur wenige
(ca. 1%) der Elektronen.
Wie man sieht, fließt ein Strom von der Basis zum Emitter (Basisstrom IB ) und vom
Kollektor zum Emitter, der Kollektorstrom IC ,dessen Stärke wiederum vom Basisstrom
abhängt, denn die Elektronenkonzentration im Transistor steigt mit dem Basis-EmitterStrom. Der Kollektorstrom kann also vom Basisstrom gesteuert werden (siehe auch
Versuch Elektronik). Der Kollektorstrom beträgt ein Vielfaches des Basisstromes, das
Verhältnis der beiden Ströme B=IC / IB nennt man Stromverstärkung. Diesen
Zusammenhang kann man graphisch auftragen und erhält die in Abb. 3 gezeigte Kurve.
IC
5H
IB
Abb. 3: Stromverstärkung B
Im Experiment variiert man dazu die Basis-Emitter-Spannung UBE bei fester KollektorEmitter-Spannung UCE und mißt IB und IC gemäß der in Abb. 4 gezeigten Schaltung.
6H
UCB
IC
IC
IB
IB
UCE
UBE
IE
IE
npn
pnp
Abb. 4: Strom- und Spannungsrichtungen beim Transistor
Das Verhältnis beider Werte ist die statische Stromverstärkung B=IC / IB , die Steigung
der Kurve die differentielle Stromverstärkung
⎛ ∂I ⎞
β = ⎜ C⎟
.
⎝ ∂I B ⎠ U CE =const .
Allgemein weichen β und B nur geringfügig voneinander ab, da IC recht gut
proportional zu IB ist.
Trägt man den Basistrom als Funktion der angelegten Basis-Emitter-Spannung UBE auf,
so erhält man praktisch die Kennlinie der Basis-Emitterdiode (Abb. 5). Diese Kennlinie
7H
TR 6
Transistor
nennt man die Eingangskennlinie des Transistors, da dabei die Eingangsgrößen UBE und
IB miteinander verknüpft sind.
100
80
60
IB [mA]
∂ I
B
40
∂ U
BE
20
0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
UBE [V]
Abb. 5: Eingangskennlinie des Transistors
Die Abhängigkeit von der Kollektor-Emitter-Spannung UCE ist sehr gering. Die Steigung
der Eingangskennlinie in einem Arbeitspunkt A ist der differentielle
Eingangswiderstand
⎛ ∂U ⎞
rBE = ⎜ BE ⎟
.
⎝ ∂I B ⎠ U CE =const .
Bei Kleinsignaltransistoren arbeitet man mit Basisströmen im Bereich von 100 μ A bis
100nA und die Basis-Emitter-Widerstände rBE sind typisch etwa 400 Ω bis 400k Ω . Der
differentielle Eingangswiderstand ist umgekehrt proportional zum Basisstrom.
In der Abb. 5 erkennt man, daß die Basis-Emitterdiode erst bei einer für das
Halbleitermaterial typischen Knickspannung UK zu leiten beginnt (Für Silizium ist
UK ≈ 0.7 V). Diese Tatsache ist später wichtig, wenn praktisch verwertbare
Transistorschaltungen beschrieben werden. Unterhalb von UK ist der Transistor gesperrt.
Bis auf einen kleinen Kollektor-Emitter-Reststrom, der von der Eigenleitung des
Halbleiters herrührt und temperaturunabhängig ist, fließt dann kein Strom.
8H
Betrachtet man nun die Abhängigkeit des Kollektorstroms von der angelegten
Kollektorspannung bei konstantem Basisstrom, so erhält man ein
Ausgangskennlinienfeld wie in Abb. 6 beschrieben.
9H
Transistor
TR 7
IC
IB = const.
UCE,sat
UCE
Abb. 6: Ausgangskennlinienfeld
Die IC-UBE-Kurven hängen vom Basisstrom ab, der als Parameter für die jeweiligen
Zweige angegeben ist. Oberhalb der Sättigungsspannung UCE sat ist der Kollektorstrom IC
nahezu unabhängig von der Kollektorspannung. Das ist später sehr wichtig für den
Verstärkerbetrieb. Bei UCE>UCE sat sind die Verstärkereigenschaften fast unabhängig von
der Betriebsspannung (wichtig für den Batteriebetrieb von Verstärkern !). Der verstärkte
Kollektorstrom ist praktisch nur noch eine Funktion des steuernden Basisstromes und
von der Kollektor-Emitter-Spannung UCE unabhängig.
Der Kennlinienverlauf läßt sich wie folgt erklären: Wir legen an die Basis eine positive
Spannung derart an, daß ein Basisstrom fließen kann. Es häufen sich, wie anfangs
beschrieben, Elektronen in der Basis an. Liegt nun keine Kollektor-Emitter-Spannung an
(UCE=0), so können diese Elektronen nicht vom Kollektor abgesaugt werden, da das
Basispotential höher als das Kollektorpotential liegt und die durch die Basis
hindurchdiffundierenden Elektronen noch gegen das elektrische Feld zwischen Kollektor
und Basis anlaufen müssen. Erhöhen wir UCE, so bauen wir dieses Gegenfeld langsam ab
und einige Elektronen können in den Kollektor diffundieren und werden von UCE
beschleunigt. IC ist dann proportional zu UCE . Erhöht man UCE weiter und kommt in den
Bereich, wo UCE ungefähr gleich UCE,sat ist, können noch alle vorhandenen Elektronen
abgesaugt werden. Durch Steigerung von UCE über UCE sat hinaus können keine weiteren
Elektronen mehr zum Kollektor gelangen. Denn fast alle Elektronen, die zur
Rekombination mit den Löchern des Basisgebietes benötigt werden, diffundieren durch
die Basis hindurch. Der Kollektorstrom IC bleibt konstant.
TR 8
Transistor
Der Ausgangswiderstand ist die Steigung der UCE - IC Kennlinien:
⎛ ∂U ⎞
rCE = ⎜ CE ⎟
.
⎝ ∂I C ⎠ I B =const .
Im linearen Teil nimmt rCE Werte der Größenordnung 10k Ω bis 1M Ω an. Bei
Kleinsignaltransistoren beträgt UCE,sat etwa 2V und bei Leistungstransistoren etwa 1V.
Aus dem Ausgangskennlinienfeld kann man ebenfalls die Stromverstärkung β
bestimmen. Man wählt sich im linearen Bereich einen konstanten Wert UCE , sucht sich
dazu zwei Basisstromwerte auf der Kurvenschar und liest den zugehörigen
Kollektorstrom IC ab.
Bei kleinen Strömen steigt IC etwas stärker, bei großen Strömen etwas langsamer als IB
an. für Kleinsignaltransistoren ergibt sich ein typischer Verlauf von β wie in Abb. 7.
10H
β
300
200
100
IC
1μA
100μA
10 mA
100 mA
Abb. 7: Typischer Verlauf der Stromverstärkung bei Kleinsignaltransistoren
Nun fehlt noch die Abhängigkeit der Kollektor-Emitter-Spannung UCE von der BasisEmitter-Spannung UBE , die sogenannte Spannungsrückwirkung, die jedoch äußerst
gering ist.
Fassen wir alle Abhängigkeiten zusammen, erhalten wir das in Abb. 8 gezeigte VierQuadranten-Mehrfachkennlinienfeld. Mit diesem Kennlinienfeld können wir später alle
Eigenschaften von Transistorschaltungen erklären.
1H
Transistor
TR 9
IC[mA]
40
30
20
10
IB[μA]
UCE[V]
2
80 60 40 20
4
6
0.2
0.4
0.6
UBE[V]
Abb. 8.: Das Vier-Quadranten-Mehrfachkennlinienfeld eines Transistors
Zum Schluß der allgemeinen Erörterungen sind die Betriebsbereiche des Transistors
noch einmal in Tabellenform und in einer Graphik (Abb. 9) zusammengefaßt.
12H
Betriebsbereiche
Emitterübergang
Kollektorübergang
Sperrbereich
I
Sperrzustand
UBE<UK
Sperrzustand
UCE>UBE , IBC ≈ 0
normaler aktiver Bereich
II
Durchlaßzustand
UBE>UK
Sperrzustand
UCE>UBE , IBC ≈ 0
Übersteuerungsbereich
Durchlaßzustand
III
UBE>UK
Tab. 1: Betriebsbereiche des Transistors
Durchlaßzustand
UCE<UBE , IBC ≠ 0
TR 10
Transistor
IC
Widerstandsgerade
UCB=0
Übersteuerungsbereich
Aktiver Bereich
Ia
IC,max=UB/RC
IB=0
IE=0
UB
UCE
Sperrbereich
Abb. 9: Betriebsbereiche des Transistors
3.2. Schaltungsmöglichkeiten für den Transistor
Der Transistor ist also ein stromgesteuertes Verstärungselement. Durch den Basisstrom
kann der Kollektorstrom des Transistors gesteuert werden. Um eine verstärkte Spannung
zu erhalten, muß man den Strom durch einen äußeren Widerstand fließen lassen und
erhält so nach dem Ohmschen Gesetz U = RL.IC. Dies kann man auf dreierlei Art und
Weise realisieren:
1) Basisschaltung:
Die Basis ist der gemeinsame Bezugspunkt der Ein- und Ausgangsspannung, wenn wir
die Schaltung als Vierpol betrachten (Abb. 10).
13H
+UBatterie
IE
IC
UBE
RC
UCB
RL
IB
Abb. 10: Basisschaltung
Diese Schaltung wird selten benötigt und soll auch nicht weiter diskutiert werden.
Transistor
TR 11
2) Emitterschaltung:
Legt man den Widerstand R in den Kollektorkreis, so erhält man die Emitterschaltung.
Der Emitter ist dann der gemeinsame Bezugspunkt für Ein- und Ausgangsspannung
(Abb. 11).
+UBatterie
14H
IC
RL
IB
UCE
UBE
IE
Abb. 11: Emitterschaltung
3) Kollektorschaltung:
Legt man den Widerstand in den Emitterkreis, so erhält man die Kollektorschaltung(Abb.
12). Wie später noch näher erläutert, ist der Kollektor der gemeinsame Bezugspunkt für
Ein- und Ausgansspannung, wenn man diese Schaltung als Vierpol behandelt.
15H
IC
+UBatterie
IB
IE
Ue
RE
Ua
RL
Abb. 12: Kollektorschaltung
Diese beiden letzten wichtigen Grundschaltungen werden im folgenden näher diskutiert.
Experimente zur Emitterschaltung wurden im Versuch Elektronik bereits durchgeführt,
die Grundlagen dieser Schaltung sollen hier aber noch einmal besprochen werden, da
viele Eigenschaften aus der Emitterschaltung bei anderen Schaltungen benutzt werden.
Weiterhin soll die Kollektorschaltung diskutiert werden und einige Experimente hierzu
sind Gegenstand dieses Versuchs.
TR 12
Transistor
3.3. Emitterschaltung ( Verstärkerschaltung )
Die Emitterschaltung ist gemäß Abb. 13 aufgebaut.
16H
RL
Ia
IC
+
U0
Ue
Ua
+
IE
Abb. 13:
Für den Ausgangskreis gilt nach der Maschenregel:
Ua = U0 − R L ⋅ I C .
Die Spannungsverstärkung ist:
∂U a
vE =
.
∂U e
Ersetzt man Ua durch obigen Ausdruck, und ∂U e durch rBE ∂I B , so erhält man:
1
∂I
β ⋅ RL
vE =
⋅ (− R L ⋅ C ) = −
.
rBE
rBE
∂I B
Wir erhalten somit aus der positiven Eingangsspannung Ue die verstärkte
Gleichspannung Ua .
Diesen Sachverhalt können wir uns im Ausgangskennlinienfeld veranschaulichen (Abb.
14).
IC
17H
IB = const.
B
IC(B)
A
IC(A)
UCE,sat
Ua(B) Ua(A)
Abb. 14: Ausgangskennlinienfeld
UCE
Transistor
TR 13
In das Ausgangskennlinienfeld wurde die Widerstandsgerade
U
1
IC = 0 −
⋅ UCE
RL RL
eingetragen. Der Transistor wird im Arbeitspunkt betrieben. Vergrößern wir Ue , so
ändert sich der Basisstrom, der Arbeitspunkt wandert auf der Geraden nach oben und
kommt auf eine neue Kurve der Kurvenschar in Abb. 14 zu liegen. Die
Ausgangsspannung sinkt. Negative Gleichspannungen können wir nicht verstärken, da
dann der Transistor sperrt.
Nun wollen wir sehen, wie man mit dem Transistor Wechselspannungen verstärken
kann. Legt man an die Basis eine sinusförmige Wechselspannung wie in Abb. 15 gezeigt,
18H
+Ue
t
Abb. 15:
so erhalten wir gemäß der Eingangskennlinie (Abb. 15 ) für den Kollektorstrom
folgendes Bild (Abb. 16):
19H
20H
IC
t
Abb. 16
Es fließt ein Kollektorstrom, wenn die Eingangsspannung 0.7 V übersteigt. Um nun die
Wechselspannung unverzerrt zu übertragen, müssen wir dafür Sorge tragen, daß der
Transistor nicht in den Sperrzustand übergeht und sich in einem Kennlinienbereich
befindet, der einigermaßen linear ist. Dies erreichen wir, indem wir am Eingang zu der
Wechselspannung eine genügend große Gleichspannung hinzuaddieren. Das
Eingangssignal sieht dann wie in Abb. 17 gezeigt aus.
21H
Ue
Ue0
0.7 V
t
Abb. 17
Ohne Wechselspannungssignal leitet nun der Transistor auf Grund der Vorspannung
schon. Es fließt ein Kollektorstrom IC0 und man kann die Ausgangsspannung Ua0=U0RLIC0 abgreifen. Diese Einstellung entspricht einem Arbeitspunkt wie in Abb. 14.
2H
TR 14
Transistor
Überlagert man diesem Gleichstrom einen Wechselstrom, so ergeben sich folgende
Bilder für den Kollektorstrom (Abb. 18) und die Kollektor-Emitter-Spannung(Abb.19).
23H
IC
UCE
IC0
Ua0
t
Abb. 18:
t
Abb. 19:
Diesen Sachverhalt kann man auch mit dem Vier-Quadranten-Kennlinienfeld
veranschaulichen (Abb. 20). Wir befinden uns im Arbeitspunkt A, wenn keine
Wechselspannung am Eingang anliegt.
Wir müssen den Arbeitspunkt so legen, daß die Wechselspannung unverzerrt verstärkt
wird. Vergrößern wir die Eingangsspannung, so müssen wir A ggf. verschieben. Wir
sehen auch, daß es eine Grenze für die größte Eingangsspannung gibt, die wir noch so
verstärken können, daß die Form des Ausgangssignals nicht über einen gewissen Grad
abweicht. Die größtmögliche Eingangsamplitude kann verarbeitet werden, wenn A
ungefähr in der Mitte der Arbeitsgeraden liegt. Einen größeren Aussteuerungsbereich
kann man nur noch durch Erhöhen der Betriebsspannung U0 und Erniedrigung des
Arbeitswiderstandes erreichen. Für Kleinsignaltransistoren ( Mikrofonverstärker ) wird
meist nur ein kleiner Bereich der Kennlinie ausgenutzt - um so besser ist dann auch die
Linearität des "Verstärkers". Den gewünschten Arbeitspunkt können wir durch einen
Basisspannungsteiler einstellen. Wir erhalten somit das komplette Schaltbild für einen
Wechselspannungsverstärker (Abb. 21).
24H
25H
Transistor
TR 15
IC[mA]
II
I
IB[μA]
10
200
8
150
Arbeitskennlinie
6
UCE=+4.5 V
100
4
iC
IB[μA]
π
ωt
120
80
80
A
A
60
40
20
0
2
2
40
4
6
iB
8
UCE[V]
UCE
π
π
ωt
0.1
ωt
IB[μA]
20
40
UBE
π
ωt
A
A
100
0.2
III
60
80
IV
UBE[V]
Abb. 20 : Veranschaulichung des Verstärkungsvorgangs im Kennlinienfeld,
A: Arbeitspunkt
TR 16
Transistor
+U0
RL
Ua
C
Ue
C
≈
0
Abb. 21: Wechselspannungsverstärker in Emitterschaltung
Durch den Spannungsteiler fließt ein konstanter Strom Iv zur Basis, hinzu addiert wird
ein Wechselstrom Iw aus der Eingangsspanungsquelle. Die Kondensatoren werden dazu
benützt, die Wechselspannungen an Eingang und Ausgang ein- bzw. auszukoppeln.
Nun wollen wir noch die Stabilität der Verstärkungsschaltung untersuchen. Da alle
Kennlinien sowie die Stromverstärkung temperaturabhängig sind, ist der Arbeitspunkt
nicht besonders stabil. Außerdem ist die Arbeitspunkteinstellung in Abb. 21 vom
Transistorexemplar abhängig. Deshalb baut man meist eine "Stromgegenkopplung"
ein(Abb. 22).
U0
26H
27H
RC
Ua
Ue
UE
CE
Abb. 22:
Der zusätzliche Emitterwiderstand hat folgende Wirkung: Vergrößert man Ue , so
vergrößert sich der Kollektorstrom und damit auch die Emitter-Spannung UE . Die
Änderung von UBE beträgt daher nur einen Bruchteil von Δ Ue , da Ue = UBE + UE ist.
Die auftretende Änderung der Emitterspannung wirkt der Verstärkung von Δ Ue
entgegen. Es liegt also eine Gegenkopplung vor. Die Wechselspannungsverstärkung des
Verstärkers ist kleiner als in der Grundschaltung(Abb. 21), da ein Teil des
Wechselstroms durch den Kollektor am Emitterwiderstand abfällt. Um dies zu
vermeiden, überbrückt man RE mit einem Kondensator. Für Wechselspannungen liegt
keine Gegenkopplung vor. Die Verstärkung wird wieder größer.
28H
Transistor
TR 17
3.4. Kollektorschaltung ( Spannungsfolger )
Bei der Kollektorschaltung (Abb. 23) ist der Kollektor, ohne Widerstand direkt auf dem
positiven Pol der Betriebsspannung liegend, der gemeinsame Anschluß für Eingangsund Ausgangskreis. Wechselstrommäßig muß die Spannungsquelle dabei als Kurzschluß
betrachtet werden (Abb. 24).
29H
30H
IC
IB
+
Ia
+
Ue
UBE
IB+IC
RL
U0
Ua
Abb. 23
Ue ≈
Ua ≈
Abb. 24
Die Schaltung arbeitet folgendermaßen. Legt man eine Eingangsspannung Ue > 0.6V an,
so fließt ein Kollektorstrom, der an RE einen Spannungsabfall hervorruft. Die
Ausgangsspannung steigt soweit an, daß sich eine Basis-Emitter-Spannung von etwa
0.6V einstellt. Die Ausgangsspannung ist dann : U a = U e − U BE ≈ U e − 0.6V . Es liegt
also die um 0.6V verminderte Eingangsspannung am Ausgang an. Vergrößert man Ue ,so
nimmt der Kollektorstrom zu und somit wird auch der Spannungsabfall an RE größer.
Wegen des steilen Verlaufs der Eingangskennlinie vergrößert sich UBE bei der Zunahme
des Kollektorstroms nur geringfügig. Die Ausgangsspannung steigt fast genauso an wie
ΔU a
≈ 1.
die Eingangsspannung. Daraus ergibt sich eine Spannungsverstärkung v =
ΔU e
Nun betrachten wir die Schaltung etwas genauer. Nach der Maschenregel gilt für den
Basis-Emitterkreis:
U e = U BE + U a = U BE + R E ⋅ (I C + I C )
Basis- und Kollektorstrom sind durch die Spannungsverstärkung β verknüpft:
(1)
dI C = β ⋅ dI B
Weiterhin gilt:
(2)
I E = I B + I C = I B + β ⋅ I B = I B ⋅ ( β + 1)
TR 18
Transistor
dU a = RdI E = R ⋅ ( β + 1)dI B
dU e = rBE dI B + R ⋅ ( β + 1)dI B
Man erhält dann für die Spannungsverstärkung:
dUa
R( β + 1)
v=
=
< 1.
dU e rBE + R( β + 1)
Da rBE viel kleiner ist als R ⋅ β , kann man es im Nenner meist vernachlässigen. Es wird
V ≈ 1 bei der Kollektorschaltung, wie wir aus der einfachen Überlegung anfangs sahen.
Nun betrachten wir den Eingangs- und Ausgangswiderstand der Schaltung. schließen wir
an den Emmitter einen externen Verbraucher an, so teilt sich der Emitterstrom
( ≈ Kollektorstrom) auf zwei Zweige auf: in einen Strom IR durch den Emitterwiderstand
RE und in den Strom Ia durch den Lastwiderstand RL. Die Schaltung sieht dann wie in
Abb. 25 gezeigt aus.
+U0
IC
IB
31H
IE
RG
Ia
Ue
RE
IR
RL
Ua
Abb. 25
Man erhält dann für die Stromverzweigung:
dU a
dI C = dI R + dI a =
+ dI a
(3)
RE
Im folgenden wird I C = I E = βI B gesetzt. Für die Eingangsspannung Ue erhält man:
dU e = dI B ⋅ rBE + dU a = − R G dI B
Daraus folgt
dU a
= dI B
rBE + R G
(1) und (4) in (3) eingesetzt:
dU a
β
+ dI a = − dU a
RE
rBE + R G
Aufgelöst nach Ua:
⎛ 1
β ⎞
dU a ⋅ ⎜
+
⎟ = -dI a
⎝ R E rBE + R G ⎠
(4)
−
Es ergibt sich somit folgender Ausgangswiderstand ra:
r + RG
1
dI
1
β
=− a =
+
, d.h. ra = R E || BE
.
β
ra
dU a R E rBE + R G
Für den Eingangswiderstand gilt nach (2):
Transistor
TR 19
dU e
= rBE + βR E
dI B
Arbeitet man mit Wechselspannungen, so muß man zur nötigen Arbeitspunkteinstellung
einen Basisspannungsteiler einfügen (Abb. 26).
re =
32H
+U0
RB1
Ue
Ua
RB2
RL
0
0
Damit erniedrigt sich jedoch der Eingangswiderstand zu
re = ( rBE + βR E )|| R B1 || R B2
[ /1/ S.104]
Abb. 26
Wechselstrommäßig sind also RB1 und RB2 parallel geschaltet zu ( rBE + βR E ) , da die
Spannungsquelle U0 wechselstrommäßig als Kurzschluß betrachtet werden muß. Wir
sehen also, daß der Ausgangswiderstand viel kleiner ist als der Eingangswiderstand.
Bilden wir das Verhältnis von
re dUe dI a dUe
=
⋅
=
⋅ ( β + 1) ∝ ( β + 1) ,
ra dI B dUa dUa
so erhalten wir das Ergebnis, daß der Ausgangswiderstand ungefähr um den
Stromverstärkungsfaktor β kleiner ist als der Eingangswiderstand.
Um eine maximale Wechselstromsteuerbarkeit zu erhalten, müssen wir RB1=RB2 wählen
und legen somit das Basispotential auf 1/2 U0 . Durch den Spannungsteiler wird jedoch
die Eingangsimpedanz stark erniedrigt, was oft nicht wünschenswert ist. Deshalb wählt
man für einen Wechselspannungsverstärker oft folgende Lösung mit einer positiven und
negativen Betriebsspannung. Die Basis liegt somit im Ruhezustand absolut gesehen auf
dem Nullpunkt, jedoch auf positiven Potential gegenüber dem Emitter. Der Transistor
erhält dadurch seine nötige Vorspannung. Die Anordnung (Abb. 27) benutzen wir auch,
wenn wir die Kollektorschaltung als Leistungsverstärker betreiben.
3H
+U0
IC
IB
Ue
IC
0
IV
IE
RV
RE
-U0
Abb. 27
Ua
TR 20
Transistor
Wir berechnen nun den Verbrauchswiderstand RV, bei dem die abgegebene unverzerrte
Leistung maximal ist (Leistungsspannung)[ /1/, 310f]. Steuert man den Transistor zu
negativen Spannungen hin aus, liefert RV einen Teil des Stromes durch RE. Die untere
Aussteuerungsgrenze ist erreicht, wenn der Strom durch den Transistor gleich 0 ist
(IC=0). Das ist bei der Spannung
U0 R V
U a,min = −
RE + RV
der Fall. Will man um 0V symmetrisch aussteuern, so darf die Amplitude der
Ausgangsspannung den Wert
U0 R V
U a,max =
RE + RV
nicht überschreiten.
Die an RV abgegebene Leistung beträgt dann
2
1 U a,max
PV = ⋅
.
2 RV
U 20 ⋅ R V
.
Mit (5) folgt : PV =
2(R E + R V ) 2
dPV
= 0 ( Maximum der Kurve PV=PV(RV) ) folgt, daß die Leistung für RV=RE
Aus
dR V
U 20
hat.
8R E
Die Gesamtverlustleistung der Schaltung ist dann:
mit PT Leistung am Transistor
Ptotal = PT+PE+PV
PE Leistung am Emitterwiderstand
PV Leistung am Verbraucher
maximal ist und den Wert PV,max =
Sie ist unabhängig von der sinusförmigen Eingangsspannung und der Aussteuerung.
Der zeitliche Mittelwert eines sinusförmigen Stroms ist gleich 0. Es bleibt nur noch ein
Gleichspannungsanteil, der dem Ruhestrom im Arbeitspunkt entspricht (vgl. Abb. 28).
34H
IC
IC0
Abb. 28
Der maximale Strom, den die Schaltung aufnimmt, ist gleich dem Strom, der schon ohne
Aussteuerung (Ue=0) fließt. Bei Leistungsanpassung (RE=RV) fließt dann der
Gesamtstrom:
2 U0
IC = IE + IV =
.
RE
Die Gesamtleistung ist dann:
Transistor
TR 21
U 20
.
RE
Der Wirkungsgrad, das Verhältnis der an den Verbraucher abgegebenen Leistung zu der
aufgenommenen Leistung, ist dann
U 20
P
1
8R E
η = V,max =
=
= 6.25% .
2
U 0 16
Ptotal
2
RE
Der Wirkungsgrad ist also schlecht, und ohne sinusförmige Aussteuerung wird schon ein
Großteil der Leistung in der Schaltung selbst verbraucht. Es kann über RE nur ein
begrenzter Ausgangsstrom fließen. Deshalb sucht man nach anderen Lösungen.
Ptotal = U 0 ⋅ I C = 2
3.5. Gegentakt-B-Verstärker
Größere Ausgangsleistungen kann man erzielen, wenn man RE durch einen weiteren
Emitterfolger ersetzt (Abb. 29).
+U0
35H
npn
T1
Ue
RV
0
Ua
T2
pnp
-U0
Abb. 29
Bei positiven Eingangsspannungen arbeitet T1 als Emitterfolger, bei negativen arbeitet T2
als Emitterfolger. Beide Transistoren leiten je eine halbe Periode. Die positive Halbwelle
des Eingangssignals wird von dem npn-Transistor verstärkt, die negative vom pnpTransistor. Beide Transistoren arbeiten im „Gegentakt-B-Betrieb“. Für Ue=0 sperren
beide Transistoren, es fließt kein Ruhestrom, die Leistungsaufnahme ist
dementsprechend gleich Null. Bei Aussteuerung ist der aus der Stromquelle entnommene
Strom gleich dem Ausgangsstrom. Der Wirkungsgrad ist also schon rein qualitativ besser
als beim normalen Emitterfolger. Man kann den Ausgang bei jeder Belastung zwischen
±U 0 aussteuern, da die Transistoren den Ausgangsstrom nicht begrenzen. (Beim
normalen Emitterfolger hat RE den Strom z.B. bei der negativen Halbwelle begrenzt,
auch wenn RV kleiner wurde.)
Die Ausgangsleistung ist umgekehrt proportional zu RV und hat keinen Extremwert bei
irgendeinem RV. Es gibt keine Leistungsanpassung. Die maximale Ausgangsleistung
wird nur durch die maximalen Spitzenströme und die Verlustleistung der Transistoren
bestimmt. Sie beträgt bei sinusförmiger Vollaussteuerung
U2
PV = a .
2R V
Die Verlustleistung eines Transistors ist
TR 22
Transistor
U (t)
1 T2
⋅ ∫ ( U 0 − U a ( t )) ⋅ a dt .
RV
T 0
Die Leistung des anderen Transistors ist aus Symmetriegründen gleich groß. Für
sinusförmige Aussteuerung, U a = U a ⋅ sin(ωt) ergibt sich für das obige Integral:
1 ⎛ U a U 0 U a2 ⎞
PT1 =
⋅⎜
−
⎟.
RV ⎝ π
4 ⎠
Für U a = 0 ist PT1 = 0 .
Für U a = U 0 (Vollaussteuerung) ergibt sich:
1 ⎛ U 20 U 2a ⎞ U 20
PT1 =
⋅⎜
−
⋅ 0.0685 .
⎟=
RV ⎝ π
4 ⎠ RV
PT1 =
Der Wirkungsgrad der Gesamtschaltung ist also:
PV
PV
π Ua
Ua
η=
=
= ⋅
≅ 0.785 ⋅
, bei Vollaussteuerung ( U a = U 0 ) folgt der
Ptotal 2PT1 + PV 4 U 0
U0
Wirkungsgrad η ≅ 78.5% .
Ein Nachteil dieser Schaltung ist, daß die Transistoren erst oberhalb der
Schwellspannung leitend werden. Die Ausgangsspannung ist also verzerrt und hat eine
Lücke beim Nulldurchgang der Sinusspannung. Deshalb muß man für den praktischen
Betrieb die Schaltung etwas modifizieren. Man muß den Arbeitspunkt um 0.7V anheben,
damit in dem Bereich der sinusförmigen Spannung von 0V bis 0.7V auch ein
proportionaler Strom fließen kann ( ähnlich wie im normalen Verstärkerbetrieb ).
Diese Arbeitspunkteinstellung erreicht man durch folgenden Spannungsteiler (Abb. 30)
für einen Transistor.
36H
+U0
Ue
Abb. 30
Durch die Diode fließt solch ein zusätzlicher Strom, daß an ihr eine Spannung von 0.7V
abfällt. Es ergibt sich also folgende Gesamtschaltung (Abb. 31):
37H
Transistor
TR 23
+U0
RB1
npn
T1
D1
Ue
D2
0
RV Ua
pnp
T2
RB2
-U0
Abb. 31
3.6. Konstantspannungsquelle
Eine Gleichstromanwendung der Kollektorschaltung, bei der auch die
Impedanzwandlung eine Rolle spielt, ist die Erzeugung einer von der Last und der
Eingangsspannung unabhängigen konstanten Spannungsquelle. Legt man an die Basis
der Kollektorschaltung eine konstante Spannung an, so ist die Emitterspannung
U E = U B − U BE ≈ U B − 0.7 V .
Der Vorteil dieser Spannungsquelle ist erstens, daß ihr ein großer Strom entnommen
werden kann (die Referenzspannungsquelle ZD ist meistens nicht stark belastbar), und
zweitens werden Schwankungen von Last- und Betriebsspannung ausgeregelt. Zu
beachten ist, daß ein erheblicher Teil der von der Betriebsspannungsquelle gelieferten
Leistung im Transistor verbraucht wird.
Als Referenzspannung benutzt man meist die an einer Zehnerdiode mit Vorwiderstand
abfallende Spannung (siehe Elektronik I). Dabei muß durch den Vorwiderstand der
benötigte Basisstrom fließen können. Der Ausgangsstrom ist dann IE=(B+1)IB, wegen
IE=IC+IB. Es ergibt sich folgende Schaltung (Abb. 32):
38H
+
Rvor
Ue
Uref
UBE
ZD
Ua
Ua= Uref - UBE
Abb. 32
RL
TR 24
Transistor
4. Versuchsdurchführung
Aufgabe 1 (Kollektorschaltung):
a) Man nehme die Gleichstromverstärkung B als Funktion des Emitterstroms IE auf und
zeichne diese Funktion.
Schaltung: Schaltbrett A
+U0
P
IB
UB
UBE
IE
URE
RE
0
Messung: Den benötigten Basisstrom stellt man mit dem Potentiometer P ein.
b) Man berechne den Basis- und Emitterwiderstand rBE des Transistors im optimalen
Arbeitspunkt (UB=1/2 U0) mit Hilfe des in Aufgabe 1a ermittelten B.
Mit diesem rBE berechne man den Eingangs- und Ausgangswiderstand der
Kollektorschaltung für RE=470Ohm. Potentiometer P=100kOhm.
Aufgabe 2 (Kollektorschaltung als Leistungsverstärker):
Schaltung: Schaltbrett B
+U0
vom Sinusgenerator
I
Ue
zum Oszillographen
Kanal 2
IV
Ua
IRE
zum Oszillographen
Kanal 1
RV
RE
-U0
a) Man überzeuge sich, daß die Wechselspannungsverstärkung der Kollektorschaltung
von RV unabhängig und gleich 1 ist.
Transistor
TR 25
b) Wie groß ist die Phasenverschiebung zwischen Eingangs- und
Ausgangswechselspannung? (Man versuche dazu auf dem Oszillographen beide
Spannungen zur Deckung zu bringen).
c)Man nehme die Übertragungskennlinie dynamisch auf. (Dazu lege man Ue auf die XPlatten und Ua auf die Y-Platten des Oszillographen!) Zeichnung!
d) Man bestimme die an den Verbraucher RV abgegebene Leistung PV als Funktion von
RV (Zeichnung!). Man steuere dazu den Verstärker immer voll aus!
Wann ist die an RV abgegebene Leistung maximal? Wie groß ist RE?
Man bestimme gleichzeitig die von der Schaltung insgesamt aufgenommenen Leistung
für verschiedene RV und ermittle daraus den Wirkungsgrad der Kollektorschaltung als
Leistungsverstärker. Man vergleiche diese Werte mit der Theorie!
Messung: Man messe gleichzeitig den aus der positiven Spannungsquelle
aufgenommenen Strom I mit einem Gleichstrommessgerät und die an RV abfallende
Wechselspannung mit Hilfe eines Zweistrahloszillographen. Die variable
Eingangsspannung (1000 Hz) gebe man auf den anderen Kanal.
Anmerkung: Man überlege sich, wie groß die Gesamtstromaufnahme der Schaltung ist.
Aufgabe 3 (Gegentakt-B-Verstärker):
Schaltung: Schaltbrett B
+U0
vom Sinusgenerator
Ue
npn
zum Oszillographen
Kanal 2
Ua
RV
zum Oszillographen Ue
Kanal 1
pnp
-U0
a) Man nehme die Übertragungskennlinie Ua= f (Ue) dieser Schaltung auf.
(Oszillograph im X-Y-Betrieb)
b) Man verändere Ue und betrachte Ua auf dem Oszillographen.
c) Man baue folgende, verbesserte Schaltung auf (Schaltbrett B):
TR 26
Transistor
+U0
vom Sinusgenerator
npn
Ue
zum Oszillographen
Kanal 2
Ua
RV
pnp
zum Oszillographen Ue
Kanal 1
Man bestimme den Wirkungsgrad dieser Schaltung als Funktion des Widerstandes
RV.
Man führe die Messung wie in Aufgabe 2 durch!
39H
Aufgabe 4 (Spannungsstabilisierung):
Schaltung: Schaltbrett A mit variabler Spannungsquelle Ue (0-15 Volt)
Ue
Rvor
Ue
RL
Ua
Uref
0
a) Man variiere Ue bei konstantem RL und zeichne die Kurve Ua = f (Ue).
b) Man verändere RL bei konstantem Ue = 10Volt und zeichne die Kurve Ia = f(RL).
c) Man bestimme in Aufgabe a) und b) jeweils die am Transistor und Lastwiderstand
verbrauchte Leistung und trage sie in obige Graphiken ein.
d) Wo liegen die Grenzen der Stabilisierungsschaltung in Bezug auf Spannungen und
Ströme?
e) Wie kann man die konstant zu haltende Ausgangsspannung einstellbar machen?
BEMERKUNG: Für die Daten aller Schaltungen siehe Anhang!
Transistor
TR 27
5. Anhang:
Schaltbrett A:
RE
1
2
3
RL
1
2
3
4
5
6
7
8
9
P
1000 Ohm
3900 Ohm
470 Ohm
125
65
56
47
39
33
27
22
15
Ohm
Ohm
Ohm
Ohm
Ohm
Ohm
Ohm
Ohm
Ohm
100kOhm
Schaltbrett B:
RV
1
2
3
4
5
6
7
39
50
82
100
140
220
330
Ohm
Ohm
Ohm
Ohm
Ohm
Ohm
Ohm
Fachrichtungen der Physik
UNIVERSITÄT
DES
SAARLANDES
Physikalisches Grundpraktikum
für Physiker/innen
Teil III
Digitalelektronik I, II
WWW-Adresse Grundpraktikum Physik: http://grundpraktikum.physik.uni-saarland.de/
0
Kontaktadressen der Praktikumsleiter:
Dr. Manfred Deicher
Zimmer: 1.11, Gebäude E 2.6
e-mail: [email protected]
Telefon: 0681/302-58198
1H
Dr. Patrick Huber
Zimmer: 3.23, Gebäude E2.6
e-mail: [email protected]
Telefon: 0681/302-3944
2H
Digitalelektronik I, II
DE I, II 1
Vorwort zu den Versuchen
Die Ihnen vorliegende Versuchsanleitung besteht aus mehreren Teilen :
1. die konzentrierte Zusammenfassung der durchzuführenden Aufgaben für die Versuche
„Digitale Elektronik I und II“; diese finden sie auf den letzten Seiten zusammengestellt.
2. Das eigentlich Wichtigste, nämlich die theoretischen Betrachtungen und die
physikalischen Hintergründe sind als Arbeitsgrundlage für die beiden Versuche gedacht.
Versuch II baut folgerichtig auf dem ersten auf. In den Text sind locker einige „Aufgaben“
eingestreut, die zur Überprüfung des zu erarbeitenden Stoffes dienen und die vorher zu
Hause zu beantwortenden üblichen „10 Fragen“ ersetzten. Wir haben uns bemüht, den
Stoff so weit wie möglich zu beschränken, ohne jedoch die zum Verständnis notwendigen
Dinge zu vernachlässigen, so daß Sie die Versuche allein anhand der Anleitung
durchführen können sollten. Es gibt u.E. kein Lehrbuch, in dem alle vorkommenden
Gebiete so abgehandelt werden, wie es dem Niveau eines Grundpraktikums entspricht. Für
Interessenten sind im Literaturverzeichnis einige Bücher angegeben.
Bewußt haben wir in Kauf genommen, daß z. B. Kenntnisse über Feldeffekttransistoren aus
Vorlesungen möglicherweise nicht vorliegen. Da Sie jedoch bereits über physikalische
Grundkenntnisse verfügen, dürfte Ihnen die Erarbeitung dieses neuen Teilgebiets nicht
schwerfallen.
Dieser Versuch ist neu in unserem Programm; wir sind dankbar für alle Kritiken und
Verbesserungsvorschläge; ja wir bitten sogar darum !
Viel Spaß bei der Durchführung !
Sehr wichtig !
Die Schaltkreise sind äußerst empfindlich gegen „artfremde“ Spannungen, z. B. statische
Aufladungen, Netzbrummen usw. Verbinden Sie deshalb nie Ihre Schaltung mit nicht zum
Versuch gehörenden Geräten !
Legen Sie keine logischen Pegel an Gatterausgänge und verbinden Sie keine Ausgänge
miteinander (Kurzschluß). Behandeln Sie bitte die Frontplatte und die Steckverbindungen
pfleglich und mit Sorgfalt.
DE I, II 2
Digitalelektronik I, II
Wichtig !
- VOR DER DURCHFÜHRUNG DES VERSUCHS ZU LESEN Handhabung des Versuchsbrettes :
Alle zur Durchführung des Versuches benötigten Schaltkreise sind in einem Gehäuse
untergebracht. Ein- und Ausgänge sind über Buchsen auf der Frontplatte nach außen geführt;
nach Anschluß des Netzsteckers liegen die benötigten Betriebsspannungen überall an.
Im einzelnen sind vorhanden :
Sektion Gatter (I) :
Vorhanden sind 8 verschiedene Gatter mit je zwei Eingängen und drei Gatter mit vier
Eingängen. Der logische Ausgangszustand wird durch eine Leuchtdiode (LED) angezeigt :
LED leuchtet : = 1. Der Einfachheit halber sind auf der Frontplatte nur Symbole für ANDGatter gezeichnet : diese stimmen nicht mit den tatsächlich vorhandenen überein ! (trivialer
Grund : Versuch I, Aufgabe 2)
(Ia) : Zur Messung der Übertragungskennlinien benutzen Sie die drei Inverter mit den
Bezeichnungen
, TTL, C MOS
(Ib) : Beim Aufbau der Ampelsteuerung sind drei LED's (rot, grün, gelb) mit Treiberstufe
vorhanden.
Zur Realisierung von logischen Zuständen an Gattereingängen benutzen Sie die
Sektion Schalter (II).
Sektion Zähler (III) :
Sie finden dort vier bereits hintereinandergeschaltete Flip-Flops mit den zugehörigen
Ausgängen Q und Q und Takteingang CP für das erste Flip-Flop, sowie gemeinsamen
RESET-Eingang R. Die logischen Zustände Q0 ... Q3 werden durch LED's angezeigt,
zusätzlich kann die entsprechende Binärzahl auf einem 7-segment-display kontrolliert
werden.
Sektion dynamische Schaltungen (IV) :
Zum Aufbau von mono- und astabilem Multivibrator benutzen Sie diskret veränderliche
Widerstände ( Drehschalter, 10 ... 150 kΩ) mit zugehörigem Kondensator (10 nF), sowie die
daneben befindlichen Gatter und Inverter.
Interface (V) :
Zur Verbindung mit der Außenwelt dienen BNC-Buchsen. Eine Dreieck-Spannung (0 ... 5 V)
greifen Sie an der Buchse TRIANGLE ab. An der Buchse PULSE liegt eine positive
Impulsfolge, deren Frequenz mit dem Schalter SLOW/FAST umschaltbar ist. Ein einzelner
positiver Impuls erscheint nach Betätigen des Tasters an der Buchse SINGLE STEP.
Versuchsbrett
IV
III
R
C
Ib
Ia
V
I
II
Digitalelektronik I, II
DE I, II 4
1 Grundlagen
1.1 Digitale Systeme
Grundlagen zum Erfassen digitaler Systeme ist die BOOLE’sche Algebra (G. BOOLE, Mitte
19. Jh.), mit deren Hilfe man die mathematisch exakte Analyse logischer Zusammenhänge
durchführen kann. Ein digitales System arbeitet auf „binäre“ Art und Weise, d.h. es besteht
aus Elementen, die nur zwei mögliche Zustände annehmen. Es gibt eine Menge von
verschiedenen Bezeichnungen für diese Zustände, von denen einige im folgenden aufgeführt
sind :
der eine Zustand
der andere Zustand
wahr
falsch
1
0
hoher Spannungspegel
niedriger Spannungspegel
An
Aus
spin up
spin down
Nein
Ja
Süd
Nord
L
H
Tabelle 1
1.2 Zahlendarstellung in binären Systemen (Dual- oder Binärzahlen)
Die Darstellung benutzt als Basis die Zahl 2, und die beiden binären Zustände werden
dargestellt als 1 und 0. Im Binärsystem sind die einzelnen Ziffern die Koeffizienten in einer
Potenzreihe zur Basis 2 - im Gegensatz zur dezimalen Darstellung mittels der Basis 10.
Ein Beispiel verdeutlicht dies :
Die Dezimalzahl
19
=
1 · 101 + 9 · 101
und die Binärzahl
10011
=
1 · 24 + 0 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20
stellen beide denselben Zahlenwert dar.
Eine binäre Ziffer nennt man bit (10011 besteht also aus 5 bits); eine Gruppe von bits, der
eine Bedeutung zukommt, heißt word.
Aufgabe 1 : Wieviel bits benötigt man zur binären Darstellung der Buchstaben des
Alphabets und der Zahlen 0 bis 9 ?
Digitalelektronik I, II
DE I, II 5
1.3 Logische Funktionen
Eine logische Funktion f (Schaltfunktion, BOOLE’sche Funktion) ist eine Abbildung, die n
binäre Variablen x1, ... , xn eine binäre Variable f(x1, ... , xn) zuordnet.
f
: Bn → B
:
B = {0, 1}
nE ∈ |N
,
Bn = B x B x ... x B
(n-faches direktes Produkt)
Da jede binäre Variable nur zwei Zustände annehmen kann, ist die Anzahl der möglichen
Kombinationen der Variablen aus Bn genau 2n. Eine übliche Darstellung der Funktion f erhält
man dadurch, daß man die Kombination der binären Variablen als Binärzahl auffaßt und diese
in der natürlichen Reihenfolge ordnet. Man erhält so eine Darstellung, die der bei
analytischen Funktionen gebräuchlichen Wertetabelle entspricht. Für n=3 sähe eine mögliche
Funktion z.B. aus :
zugeordnete Binärzahl
binäre Variable
Funktionswert
x1
x2
x3
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
0
1
0
0
3
0
1
1
0
4
1
0
0
1
5
1
0
1
0
6
1
1
0
1
7
1
1
1
1
Tabelle 2 : (Geordnete) Funktionstafel einer logischen Funktion
Die Rechenregeln, die uns den binären Funktionswert aus den Eingangsvariablen liefern,
enthält die BOOLE'sche Algebra (Schaltalgebra).
Anmerkung : Dies ist keine Algebra im mathematischen Sinne.
DE I, II 6
Digitalelektronik I, II
1.4 Axiome der Schaltalgebra
Gegeben sei eine Menge B und zwei Verknüpfungen :
„+“
Disjunktion, ODER-Verknüpfung
„• “
Konjunktion, UND-Verknüpfung,
B = {0, 1}
Dann gelten folgende Axiome
(A1) B ist abgeschlossen unter den Verknüpfungen + und •
(A2) Es existiert ein neutrales Element der UND-Verknüpfung :
a • 1 = a
Es existiert ein neutrales Element der ODER-Verknüpfung :
a + 0 = a
;
a∈B
(A3) Kommutativgesetze :
Für a, b ∈ B gelten
a + b = b + a
a • b = b • a
(A4) Assoziativgesetze :
( a + b ) + c
=
a + ( b + c )
( a • b ) • c
=
a • ( b • c )
a + ( b • c )
=
( a + b ) • ( a + c )
a • ( b + c )
=
( a • b ) + ( a • c )
(A5) Distributivgesetze :
(A6) Sind 1 und 0 aus (A2) eindeutig, dann existiert ein komplementäres Element a zu a.
(Negation, dargestellt durch Querstrich)
hieraus folgt sofort :
a • a =
0
a + a =
1
a
= a
( Anmerkung : das Verknüpfungssymbol • wird oft weggelassen )
Oft benötigte Hilfsmittel zur
DE MORGAN’schen Sätze :
Vereinfachung
BOOLE’scher
(M1)
A • B• C• " =
A + B+ C + . . .
(M2)
A + B+ C+ " =
A • B• C • . . .
Ausdrücke
sind
die
Digitalelektronik I, II
DE I, II 7
1.5 Analytische Darstellung von Schaltfunktionen
Eine Schaltfunktion ist eindeutig bestimmt durch die disjunktive Verknüpfung der Minterme,
bei denen die Funktion f(x1, ... , xn) den Wert 1 annimmt.
Definition :
Ein Minterm von n Variablen x1 bis xn ist eine konjunktive Verknüpfung, in der alle
Variablen genau einmal vorkommen, und zwar entweder als solche oder negiert.
In unserem Beispiel aus Tabelle 2 läßt sich f darstellen als
3H
f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x1 x 2 x 3 ) + ( x 1 x 2 x 3 ) + ( x 1 x 2 x 3 ) + ( x 1 x 2 x 3 )
Aufgabe 2 : Vereinfachen Sie den analytischen Ausdruck für f(x1,x2,x3) mittels der
Axiome der Schaltalgebra und der DE MORGAN’schen Sätze.
Eingangsvariable
Funktionen
x1
x2
AND
OR
NOT( x1 )
NAND
NOR
EXOR
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
Tabelle 3 : Funktionstafeln einiger wichtiger Schaltfunktionen (für 2 Eingangsvariable, NOTFunktion nur für eine Variable)
Reale Anordnungen, die dieses funktionale Verhalten zeigen (z.B. elektronische
Schaltungen), bezeichnet man als Gatter und stellt sie folgendermaßen dar :
NOT-Gatter
AND-Gatter
a
a
b
OR-Gatter
a
b
EXOR-Gatter
a
b
a (Inverter)
a•b
NAND-Gatter
a+b
NOR-Gatter
a
b
a
a•b
a+b
b
a b
Abbildung 1
Aufgabe 3 : Stellen Sie die Funktionstafeln für die NAND- und NOR-Funktion mit
3 Eingangsvariablen auf.
DE I, II 8
Digitalelektronik I, II
2 Physikalische Realisierung von Schaltfunktionen
Eine mögliche Darstellungsart der beiden erlaubten Zustände 0 und 1 ist die Zuordnung zu
zwei verschiedenen Spannungswerten. Falls die 1 dem positiven Spannungspegel entspricht,
gebraucht man den Begriff „positive Logik“; „negative Logik“ ordnet der 0 den positiveren
Spannungspegel zu. Die absoluten Werte sind in keiner Weise maßgebend, insbesondere muß
die 0 nicht einem Pegel von null Volt entsprechen.
Bei der physikalischen Realisierung von Gattern benutzt man üblicherweise Spannungs- und
stromgesteuerte Bauelemente, wie z.B. Dioden, Transistoren, Elektronenröhren usw. einfache Schalter täten es übrigens auch. Die Parameter einer solchen Anordnung, wie z.B.
die Dioden-Schwellspannung oder der Gleichstromverstärkungsfaktor eines Transistors, sind
von Bauteil zu Bauteil verschieden und ändern sich außerdem mit der Temperatur. Deshalb
sind Spannungspegel nur innerhalb gewisser Toleranzgrenzen definiert, beispielsweise
0 = 5 V ± 0.5 V ; 1 = -12 V ± 1 V. Je nach Art der verwendeten Bauteile („hardware“)
existieren verschiedene „Familien“ von logischen Bauelementen, von denen wir im folgenden
einige betrachten werden.
2.1 Die Übertragungskennlinie
Eine charakteristische Größe der verschiedenen Gatter ist die Übertragungskennlinie,
definiert als : Ausgangsspannung des Gatters als Funktion seiner Eingangsspannung(en).
Hierbei durchläuft die Eingangsspannung alle, d.h. die von den technischen Daten
zugelassenen Werte, nimmt also nicht nur die den beiden Zuständen 1 und 0 entsprechenden
Pegel an.
Das hat folgenden Grund : Kein elektronisches Bauteil ändert seinen Zustand sprunghaft
zwischen zwei Werten, sondern durchläuft die Differenz mehr oder minder schnell. Dabei
treten dann Spannungswerte auf, die nicht den definierten binären Zuständen entsprechen.
Der Ausgang eines Gatters kann aber an den Eingang eines anderen Gatters gelegt werden, so
daß es wichtig ist zu wissen, wie das Gatter auf nicht definierte (Spannungs-)Pegel am
Eingang reagiert.
Beispiel : Die gemessene Übertragungskennlinie eines Gatters habe folgendes Aussehen :
U out
1V
1V
US
U in
Abbildung 2
Man könnte nun folgende Zuordnung treffen :
0 = 1 V ± 0.25 V
Digitalelektronik I, II
DE I, II 9
1 = 3 V ± 0,5 V
(positive Logik)
Qualitativ sieht man, daß es sich um ein invertierendes Gatter handelt.
Definition : Der Schnittpunkt der Übertragungskennlinie mit der Winkelhalbierenden
bestimmt die Umschaltspannung Us.
2.2 Messung der Übertragungskennlinie
Dazu wird eine veränderliche Gleichspannung an den Eingang des Gatters gelegt und
gleichzeitig dem x-Verstärker des Oszilloskops zugeführt, während die GatterAusgangsspannung dem y-Verstärker zugeführt wird. Die variable Gleichspannung (0 V bis
5 V) liefert ein Dreiecksgenerator (s. Beschreibung des Arbeitsplatzes).
Gatter in Test
y
x
Generator
Abbildung 3
3 Der Transistor als binäres Element
Wir betrachten folgenden Schaltungsaufbau :
+VS
RC
Uin
Uout
RB
Abbildung 4
Aufgabe 4 : Wie verhält sich die Schaltung in Abbildung 4, wenn dem Eingang die
Spannungen + Vs ≡ 1 und 0 V ≡ 0 zugeführt werden. (s. Versuch Transistor) ?
Zeigen Sie : Dieses Gatter ist als Inverter verwendbar !
4H
DE I, II 10
Digitalelektronik I, II
3.1 DTL-Gatter
Dieses Gatter stellt eine Erweiterung der Schaltung von Abbildung 4 auf mehrere Eingänge
dar. (DTL-Gatter).
5H
+VS
x3
x2
f(x1,x2,x3 ...)
x1
Abbildung 5
Aufgabe 5 : Welcher logischen Funktion entspricht diese Schaltung ? Welche Unterschiede
ergeben sich bzgl. des Wertes der Eingangsspannung im Vergleich zu Abbildung 4.
6H
3.2 TTL-Gatter
Schaltet man mehrere Transistoren zusammen, so ergibt sich ein TTL-Gatter (TransistorTransistor-Logik). Das Kennzeichen dieser Schaltung ist ein Multi-Emitter-Transistor als
Eingangsstufe.
+ 5V
4 kΩ
1.6 kΩ
130 Ω
IN1
Out
IN2
1 kΩ
0V
Abbildung 6
Aufgabe 6 : Diskutieren Sie mit dem Versuchsbetreuer die Wirkungsweise dieses typischen
TTL-NAND-Gatters (SN 7 400).
Digitalelektronik I, II
DE I, II 11
4 Feld-Effekt-Transistoren als binäre Elemente
Der Feld-Effekt-Transistor (FET) ist ein Halbleiterbauelement, dessen Operation von der
Kontrolle eines Stromes durch ein elektrisches Feld bestimmt wird. Er unterscheidet sich vom
üblichen bipolaren Transistor u.a. dadurch, daß der Strom durch ihn nur von einer Sorte von
Ladungsträgern bestimmt wird, er ist deshalb ein unipolares Bauelement.
Wir betrachten hier nur FET’s mit isolierter Steuerelektrode, gemeinhin als MOSFET (MetalOxide-Semiconductor-FET) bezeichnet.
4.1 Der Aufbau eines MOSFET
4.1.1 n-channel-MOSFET
Source
Gate
D
Drain
JD
Al
G
Sub.
VDS
Oxide
N
N
VGS
S
p
Substrate
Abbildung 7 : Schematischer Aufbau und Schaltsymbol eines n-channel-MOSFET
Der „n-channel“-MOSFET besteht aus einem leicht positiv-dotierten Si-Substrat (s. Versuch
Transistor), in welches zwei stark n-dotierte Bereiche hineindiffundiert wurden. Der Abstand
zwischen diesen beiden - Drain (D) und Source (S) - beträgt einige 10μm. Eine dünne Lage
SiO2 (10-7m, Isolator) schließt den Kristall nach außen ab, nur über Drain und Source sind
Aussparungen, die den elektrischen Kontakt zu den aufgedampften Aluminium-Elektroden
herstellen.
Die Gate-Elektrode bildet mit der Isolationsschicht aus SiO2 und dem gegenüberliegenden
Substrat einen Plattenkondensator. Legt man eine bzgl. des Substrats positive Spannung an
das Gate, so baut sich ein elektrisches Feld senkrecht zur Oberfläche des Kristalls auf. Seine
Feldlinien „enden“ an induzierten negativen Ladungen im Substrat. Ihre Anzahl ist der
Höhe der Gate-Spannung VGS proportional. Diese negativen Ladungen bilden den negativen
Kanal („n-channel“) im sonst p-dotierten Substrat. Da nun in Drain und Source ebenfalls
negative Ladungsträger vorhanden sind, fließt ein Strom ID von Drain nach Source beim
Anlegen einer positiven Drainspannung UDS. Der n-Kanal zwischen D und S bildet
gewissermaßen einen durch UGS steuerbaren OHM’schen Widerstand. Die ID-UDSCharakteristik bei verschiedenen UGS zeigt das nächste Bild.
DE I, II 12
Digitalelektronik I, II
25 mA
UGS = 15 V
15 mA
UGS = 10 V
10 mA
I
D
/ [mA]
20 mA
UGS = 5 V
5 mA
0V
5V
10 V
15 V
20 V
UDS / [V]
Abbildung 8
Aufgabe 7 : Geben Sie eine Schaltung an, mit der die o.a. Abhängigkeit gemessen werden
kann! Warum zeigt die ID-UDS-Kurve einen Sättigungseffekt ? Wie groß ist der ohmsche
Widerstand RDS ungefähr ?
4.1.2 p-channel-MOSFET
Vertauscht man die Polarität der Dotierungen (vgl. NPN- und PNP-Transistor), d.h. ein einem
schwach n-leitenden Substrat zwei stark p-dotierte Drain- und Source-Bereiche bei sonst
gleichem Aufbau, erhält man den p-Kanal-FET.
Hier bilden sich beim Anlegen einer negativen Gate-Spannung positive Ladungsträger im „pchannel“, es fließt ein Strom von „Löchern“ zwischen Drain und Source.
D
-JD
G
-VGS
Sub.
S
Abbildung 9 : Schaltsymbol eines p-channel-MOSFET
-VDS
Digitalelektronik I, II
DE I, II 13
4.2 Inverter mit komplementären MOSFET’s (C MOS)
Schaltet man einen n-Kanal und einen p-Kanal MOSFET gemäß Abbildung 10 in Serie und
verbindet die Gate-Anschlüsse, so erhält man ein Bauelement, dessen Schaltfunktion die eines
Inverters (NOT-Gate) ist.
7H
+VDD
G
S
D
In
D
G
Out
S
-VSS
Abbildung 10
Wird eine positive Spannung (i. a. VDD) an den Eingang gelegt, „schaltet“ der n-Kanal-FET
„ein“ : der Ausgang liegt über den niederohmigen Drain-Source-Kanal an -VSS, der p-KanalFET leitet nicht, da er negative Gate-Spannung benötigt, um in den leitenden Zustand zu
gelangen.
Liegt am Eingang -VSS, sperrt der n-Kanal-FET und der Ausgang nimmt über den p-Kanal
das Potential +VDD an.
Aufgabe 8 : Wie groß ist im Idealfall bei angelegten Gate-Spannungen der Strom zwischen
Eingang des MOSFET-Inverter und -VSS bzw. +VDD ? In welcher Größenordnung liegt die
Kapazität des Gate-Substrat-Kondensators ? (εr SiO2 ≈ 12)
Aufgabe 9 : Erklären Sie die Wirkungsweise dieses CMOS-Gatters :
+VDD
In 1
In 2
Out
-VSS
Abbildung 11
DE I, II 14
Digitalelektronik I, II
5 Versuch I
A) Nehmen Sie die Übertragungsfunktionen eines Inverters der verschiedenen
Logikfamilien gemäß Abbildung 5, Abbildung 6 und Abbildung 10 auf. Benutzen Sie
jedesmal die gleiche positive Versorgungsspannung VS = VDD = + 5V, -VSS = 0V. Legen Sie
die Spannungspegel für die Zustände 0 und 1 fest (positive Logik) und bestimmen Sie die
Schaltspannungen US. Vergleichen Sie die drei Logikfamilien.
8H
9H
10H
B) Geben Sie die Funktionstafeln an für einige der (unbekannten) CMOS-Gatter auf dem
Experimentierfeld (nach Rücksprache mit dem Assistenten). Legen Sie dazu nacheinander
alle möglichen Eingangskombinationen an und bestimmen Sie den jeweiligen Wert der
Ausgangsvariablen. Ordnen Sie das Gatter bekannten Funktionen zu.
C) Aufbau eines Halbaddierers :
Ein Halbaddierer addiert zwei einstellige Binärzahlen entsprechend den Regeln der
BOOLE’schen Algebra und liefert an seinen beiden Ausgängen einmal die direkte Summe S
der Zahlen, zum anderen den Übertrag U. Beispiel : S(1,1)=0, U(1,1)=1.
Stellen Sie eine Funktionstabelle auf und geben Sie die analytische Darstellung der Funktion
S und U an.
D) Aufbau einer Ampelsteuerung :
Es soll eine Steuerung für eine Verkehrsampel aufgebaut werden, die in acht verschiedene
Phasen nacheinander abläuft. Folgende Zuordnung wird getroffen :
Phasen
Phase
Phasen
Phase
0 bis 2
3
4 bis 6
7
=
=
=
=
rot
rot + gelb
grün
gelb
Identifizieren wir die drei Farben mit den Ausgängen von Gattern (oder Kombinationen von
Gattern) und nehmen wir dir binäre Darstellung der Phasen als Eingangsvariable, so kann
man ebenfalls drei Funktionstafeln aufstellen und dir dazugehörige algebraischen Ausdrücke
angeben. Führen Sie dieses durch, nehmen Sie an, daß ein Ampelsignal aufleuchten soll,
wenn die dazugehörige Funktion 1 ist. Realisieren Sie Ihre Schaltfunktion mit den auf dem
Versuchsbrett befindlichen Gattern (es sind mehrere Möglichkeiten denkbar, suchen Sie die
einfachste aus). Hierzu können farbige Anzeige-LED’s benutzt werden.
E) Bauen Sie folgende Schaltung mit 2 C-MOS-NAND-Gattern auf.
x1
x2
Q1
Q2
Abbildung 12 : NAND-Basis-Flip-Flop
Stellen Sie eine Tabelle auf, in der Sie angeben, welche der vier möglichen Ausgangszustände
(Q1, Q2) in Abhängigkeit von den vier Eingangszuständen zeitlich stabil sind, d.h. ob sich der
Zustand (Q1, Q2), wenn die Eingangskombination (x1, x2) angelegt wird, ändert oder nicht.
Digitalelektronik I, II
DE I, II 15
Welche Zustände (Q1, Q2) können auf diese Art und Weise „gespeichert“ werden ?
6 Versuch II
Bisher (Einleitung und Versuch I) wurde davon ausgegangen, daß die logischen Funktionen,
also die Zusammenhänge zwischen Eingangs- und Ausgangsvariablen von Schaltungen,
zeitunabhängig waren. Im Teilversuch I.E trat ein neuer Aspekt hinzu : Änderungen
bestimmter Ausgangskombinationen waren abhängig vom vorhergegangenen Zustand.
Insbesondere ergab sich :
Durch Anlegen von
(0,1)
(1,0)
an die Eingänge geht der Speicherausgang auf
oder bleibt so.
(1,0)
(0,1)
Interessiert man sich jetzt nicht nur mehr für das statische Verhalten, sondern konstruiert
einem Schaltkreis, der z.B. bei jedem Übergang der Eingangsvariablen x1 von 0 auf 1 seinen
Zustand ändert, so muß man dann das dynamische (=zeitabhängige) Verhalten untersuchen.
Eine mögliche Realisierung eines solchen Schaltkreises zeigt die nächste Abbildung.
Out1
In
Out2
Abbildung 13 : Flankengesteuertes Flip-Flop
Diese Schaltung ist allerdings nur in einem eingeschränkten Frequenzbereich funktionsfähig
(warum?). Wir benutzen im folgenden industriell gefertigte Bausteine, die ebenfalls auf
Änderungen der Eingangsvariablen CP, hier Takteingang genannt, reagieren. Weiterhin
besitzt dieser „Flip-Flop“ genannte Baustein einen „RESET“-Eingang R. Falls R=1, wird der
Ausgang Q=0 unabhängig vom Takt.
Q
CP
R
Abbildung 14 : Schaltsymbol eines Flip-Flops
Q
DE I, II 16
Digitalelektronik I, II
A) Legen Sie ein Taktsignal an den Eingang CP und oszillografieren Sie Ein- und
Ausgangssignal. Das Taktsignal entnehmen Sie der Buchse „PULSE“; dies ist ein
periodisches Signal mit etwa folgendem Verlauf :
T
+5 V
(Taktfrequenz auf „FAST“)
0V
Benutzen Sie die beiden y-Eingänge des 2-Kanal-Oszillosokopes und übertragen Sie das
Ergebnis in Ihr Protokoll. In welchem Verhältnis stehen Periodendauer T des Ausgangs Q
und des Taktsignals CP zueinander
B) Auf dem Experimentierfeld sind 4 dieser Flip-Flops hintereinandergeschaltete (Ausgang
Qn an Eingang Qn+1).
Fassen Sie die Ausgänge Q3 bis Q0 als vierstellige Binärzahl auf und notieren Sie die jeweils
aufeinanderfolgenden Zustände, wenn Sie an den Takteingang der ersten Stufe ein langsames
(„SLOW“) Taktsignal oder eine Folge von Einzelimpulsen anlegen. Die Zustände werden
jeweils durch Leuchtdioden angezeigt. Wie verhält sich die Schaltung ?
Benutzen Sie den RESET-Eingang und eine geeignete Kombination von durch die Ausgänge
Q3 ... Q0 gesteuerten Gattern, um diesen Binärzähler beim Erreichen der Zahl 1010 in den
Zustand 0000 zu setzten.
Durch welchen Faktor teilt dieser Zähler die Frequenz des angelegten Taktsignals ?
Bemerkung : Binär- und Dezimalzähler werden sehr häufig in der Meßtechnik eingesetzt,
indem man die innerhalb eines gegebenen Zeitintervalls eintreffenden Impulse zählt und den
Zählerinhalt anzeigt. Anwendungen sind z.B. Frequenzmesser oder digitale
Spannungsmesser.
C) Der monostabile Multivibrator (MMV)
Wie aus Versuch I.A bekannt, wechselt ein C-MOS-Inverter beim Erreiche der
Schaltspannung US am Eingang seinen Ausgangszustand. Dies kann benutzt werden, um
bestimmte Ausgangspegel für definierte Zeiten zu erhalten, indem man an den InverterEingang die Ladespannung eines Kondensators legt, der über einen Widerstand auf- und
entladen wird.
Bauen Sie folgende Schaltung auf :
+5V
R
C
I
Abbildung 15 : Mono-Flop
II
III
IV
Digitalelektronik I, II
DE I, II 17
Sie verhält sich folgendermaßen :
Für t=t0 liegt Punkt III auf 1 = +5 V, der Inverterausgang IV und der Eingang I auf 0,
demzufolge Punkt II auf 1; der Kondensator C ist entladen. Erscheint nun bei t=t1 ein
positiver Impuls am Punkt I, ändert sich II nach 0, ebenso III; IV geht nach 1 und verbleibt so,
bis sich C auf die Schaltspannung US aufgeladen hat.
I
t0
t1
II
τ
-US
III
IV
Abbildung 16 :
Die Kondensatorspannung am Punkt III bestimmt man während des Aufladevorgangs über
den Widerstand R nach folgender Gleichung :
−t
U C = U 0 ⎡⎢1 − e RC ⎤⎥ ; Uo = + 5 V
⎣
⎦
Nach der Zeit t=τ erreicht UC die Schaltspannung US.
U s = U 0 ⎡1 − e
⎢⎣
−τ RC ⎤
⎥⎦
Bestimmen Sie die Zeit τ für verschiedene Werte von R (C=10nF), tragen Sie τ als Funktion
des Widerstandswertes auf und errechnen Sie aus dem Diagramm den Wert für US.
Vergleichen Sie den berechneten Wert mit dem in Teil I.A gemessenen.
Meßaufbau : Legen Sie an den Punkt I die schnelle Pulsfolge (s. Aufgabe A) und beobachten
Sie den Ausgang IV auf dem Oszilloskop.
Das Oszilloskop soll zur Zeitbestimmung genützt werden.
D) Der astabile Multivibrator (AMV)
Die bisher betrachteten Schaltungen besitzen stabile Zustände für beliebig lange Zeiten. Beim
Speicher-Flip-Flop waren es die Zustände 1 und 0; beim Mono-Flop war nach Ablauf einer
vorgegebenen Zeit der Zustand 0 der stabile. Wir betrachten nun eine Schaltung, die keinen
zeitlich stabilen Zustand besitzt : den astabilen Multivibrator.
DE I, II 18
Digitalelektronik I, II
Zum besseren Verständnis sehen wir und das Schaltbild an.
III
II
I
R
Abbildung 17 :
Der AMV besteht hier aus zwei Invertern mit einer externen RC-Schaltung. Die Punkte I und
II besitzen stets verschiedene Potentiale (entsprechend den logischen Zuständen 1 bzw. 0)
(warum ?); deshalb wird der Kondensator C über den Widerstand R entweder aufgeladen oder
er entlädt sich. Sobald an Punkt III die Umschaltspannung des Inverters erreicht ist, ändert
dieser seinen Ausgangszustand, dies beeinflußt wiederum den Ladevorgang. An Punkt I (oder
II) wird sich eine periodische Folge der beiden logischen Pegel einstellen, deren jeweilige
Dauer von den Werten von R und C abhängt :
1=VDD
0=VSS
t1
t0
Abbildung 18 : Zeitlicher Verlauf der Spannung an Punkt I
Die Periodendauer dieser Wechselspannung (im Sinne der Definition?) kann man berechnen :
⎡
VTR
V − VTR ⎤
T = t 1 + t 0 = − R ⋅ C ⋅ ⎢ln
+ ln DD
⎥ = k ⋅ RC
2 VDD − VTR ⎦
⎣ VDD + VTR
VTR ist die Umschaltspannung
Aufgabe : Bauen Sie die Schaltung nach Abbildung 17 auf. Bestimmen Sie für verschiedene
Werte von R (auf dem Versuchsbrett; C=10nF) die Periodendauer T, indem Sie Punkt I am
.
Oszilloskop beobachten. Tragen Sie dann T gegen R C auf und bestimmen Sie den
numerischen Wert des Faktors k. Vergleichen Sie ihn mit dem berechneten Wert.
1H
Zeichnen Sie für eine feste Frequenz den zeitlichen Verlauf der Spannungen an den Punkten
III und I (Zweikanal-Oszilloskop).
Wie erklären Sie das Auftreten von Spannungen >VDD und < VSS ?
Machen Sie sich dazu nochmals die genaue Wirkungsweise der Schaltung während der
einzelnen zeitlichen Phasen klar. Gehen Sie davon aus, daß der Kondensator für t=0 entladen
ist und nehmen Sie einen beliebigen Zustand der Inverter an. Versuchen Sie (mit Hilfe des
Versuchsbetreuer, falls nötig) die o.a. Formel für die Periodendauer herzuleiten.
Digitalelektronik I, II
DE I, II 19
7 Literatur
Schmidt, V.
Digitalelektronisches Praktikum
Teubner Studienskripten Nr. 19
Millman, J. & Halkias, C.C.
Integrated Electronics
McGraw-Hill
Frisch, H.
Elektronik (Grundlagen der Elektronik und der elektronischen Schaltungstechnik)
VDI-Verlag
weiterhin siehe Literaturangaben zum Versuch Transistor
Deesz, W. & Döbrich, M. & Rüffler, F.
Informatik 11/2
(4-bändige Unterrichtsgrundlage für den Leistungskurs der ref. Oberstufe)
Verlag H. Raueiser, Saarbrücken 1977
Fachrichtungen der Physik
UNIVERSITÄT
DES
SAARLANDES
Physikalisches Grundpraktikum
für Physiker/innen
Teil III
Franck-Hertz-Versuch
WWW-Adresse Grundpraktikum Physik: http://grundpraktikum.physik.uni-saarland.de/
0H
Kontaktadressen der Praktikumsleiter:
Dr. Manfred Deicher
Zimmer: 1.11, Gebäude E 2.6
e-mail: [email protected]
Telefon: 0681/302-58198
1H
Dr. Patrick Huber
Zimmer: 3.23, Gebäude E2.6
e-mail: [email protected]
Telefon: 0681/302-3944
2H
Version 5 (3/2009 MD)
2
1.
Franck-Hertz-Versuch
Ziel des Versuchs
Durch ein Elektronenstoß-Experiment in einer gasgefüllten Elektronenröhre soll die Existenz
diskreter Energieniveaus in Atomen ( Quecksilber und Neon) nachgewiesen werden. Aus der
Strom-Spannungs-Charakteristik der „Franck-Hertz-Röhre“ werden die Energien der durch
inelastische Elektronenstöße angeregten Übergänge in den Atomen bestimmt.
2.
Fragen
1. Welches sind die wesentlichen Aussagen des Bohrschen Atommodells? Welche Widersprüche ergeben sich zur klassischen Elektrodynamik?
2. Warum wird in der Quecksilber- und Neon-Röhre eine indirekt geheizte Kathode zur Erzeugung der Elektronen benutzt?
3. Wieso haben nicht alle Elektronen, die aus einer Kathode thermisch emittiert wurden und
die eine feste Anodenspannung durchlaufen haben, dieselbe kinetische Energie?
4. Wie groß ist die mittlere freie Weglänge λ eines Elektrons in einer mit Hg-Dampf gefüllten Röhre bei der Temperatur von 180 °C?
5. Erläutern Sie qualitativ das Zustandekommen des Kurvenverlaufs der Anodenstromkurve
beim Franck-Hertz-Versuch. Warum gibt es keine scharfen Einbrüche in der Anodenstromkurve bei ganzen Vielfachen der Anregungsenergie, sondern eine verschmierte Kurve?
6. Warum ist die erfolgreiche Durchführung des Elektronenstoßversuches von Franck-Hertzmit Hg-Atomen auf einen relativ kleinen Temperaturbereich beschränkt?
7. In der Neon-Röhre sieht man unter bestimmten Bedingungen zwischen den beiden Beschleunigungselektroden mehrere helle und dunkle Zonen. Erklären Sie deren Zustandekommen.
8. Warum werden für den Franck-Hertz-Versuch Quecksilber oder Neon benutzt und nicht
„einfache“ Gase wie Wasserstoff oder Stickstoff?
Franck-Hertz-Versuch
3.
3
Grundlagen
Rutherford hat bei Streuexperimenten den Atomkern entdeckt (die Existenz der Elektronen,
ihre Masse und Ladung waren schon bekannt) und stellte ein nach ihm benanntes Atommodell auf. In diesem Modell kreisen die negativ geladenen Elektronen auf Kreisbahnen um den
schweren, positiv geladenen Atomkern. Nach der klassischen Elektrodynamik müssten die
Elektronen in diesem Modell als beschleunigt bewegte Ladungen elektromagnetische Strahlung aussenden und dabei solange Energie verlieren, bis sie schließlich in den Atomkern stürzen.
Dieser Widerspruch zur klassischen Physik wurde durch die Quantenphysik aufgelöst. 1900
hatte Planck die Quantenhypothese aufgestellt, mit deren Hilfe es ihm möglich war, das Gesetz der elektromagnetischen Temperaturstrahlung herzuleiten. Er forderte, dass elektromagnetische Wellen der Frequenz ν nur in Quanten, d.h. in ganzzahligen Vielfachen der Energie
E = hν von Materie emittiert werden können. Dabei ist h eine fundamentale Naturkonstante,
das Plancksches Wirkungsquantum. 1905 zeigte Einstein, dass Licht tatsächlich aus Energiequanten, den Photonen, besteht.
Bohr erweiterte 1913 das Rutherfordsche Atommodell durch zwei Forderungen [3]:
1. Es sind nur Elektronenbahnen erlaubt, bei denen der Betrag des Bahndrehimpulses l ein
ganzzahliges Vielfaches des Drehimpulses h/2π ist.
2. Strahlungsübergänge sind nur zwischen zwei Elektronenzuständen möglich, deren Energien E1 und E2 zwei erlaubten Bahnen entsprechen. Die Photonenenergie E ist gegeben
durch E = hν = E2 - E1.
Eine direkte, eindeutige experimentelle Bestätigung der Bohrschen Postulate gab es bis zu
dem Experiment von James Franck und Gustav Hertz (1914) [1] nicht. Die diskreten optischen Spektren der Atome wiesen zwar auf wohldefinierte Zustände eines Atoms hin, aber es
konnte nicht ausgeschlossen werden, dass es neben den in den Spektren sichtbaren diskreten
Elektronenzuständen weitere kontinuierlich verteilten Zustände gibt. Solche Zustände würden
es erlauben, beliebige Energien auf die Atome übertragen.
Franck und Hertz endeckten in ihren Experimenten [1,2] zwei fundamentale Phänomene: Der
Energieverlust von Elektronen, die durch einen Dampf aus Quecksilberatomen fliegen, erfolgt
in diskreten Schritten von ∆E = 4,89 eV und sie beobachteten die diskrete Emission von Licht
im Ultravioletten mit einer Wellenlänge von λ = 253,7 nm. Das Franck-Hertz-Experiment ist
der erste Nachweis der Quantisierung der atomaren Zustände: Der Energieverlust von inelastisch an Atomen gestreuten Elektronen entspricht exakt der Anregung gebundener Elektronenzustände. Durch die Bestimmung des Energieverlusts der gestreuten Elektronen und der
Wellenlänge der emittierten Strahlung konnten Sie die Plancksche Konstante aus der Einsteinbeziehung E = hν bestimmen [2]. Die Übereinstimmung mit dem Wert für h, der theoretisch von Planck (Strahlung schwarzer Körper), Einstein (Photoeffekt) und Bohr (Wasserstoffatom) berechnet wurde, war eine überzeugende Bestätigung der Quantentheorie.
4.
Historisches zum Franck-Hertz-Versuch
In ihrer Originalarbeit von 1914 [1] hatten Franck und Hertz die Zielsetzung und die Erwartung, die Ionisierungsenergie von Quecksilber zu bestimmen:
„Da sich dieselbe Erscheinung (nämlich die Ionisation) jedesmal wiederholt, wenn die beschleunigende Spannung gleich einem ganzen Vielfachen der Ionisierungsspannung wird, so
haben wir eine Kurve zu erwarten, die Maxima von wachsender Größe besitzt, deren Abstand
stets gleich der Ionisierungsspannung ist.“ [1].
4
Franck-Hertz-Versuch
Abb. 1 zeigt die von Franck und Hertz in ihrer Originalarbeit veröffentliche Messkurve (Anodenstrom als Funktion der Beschleunigungsspannung) für Quecksilber.
Abb. 1: Anodenstrom als Funktion der Beschleunigungsspannung in einer
Quecksilberröhre [1].
Die beobachtete Messkurve entsprach der Erwartung von Frank und Hertz und wurde von
ihnen entsprechend interpretiert [1]:
„Die in den Kurven dargestellten Ergebnisse unserer Messungen zeigen, daß unsere Erwartungen sich durchaus bestätigt haben. Die Maxima sind außerordentlich scharf ausgeprägt
und geben daher die Möglichkeit einer sehr genauen Messung der Ionisierungsspannung. Die
Werte für den Abstand zweier benachbarter Maxima liegen sämtlich zwischen 4,8 und 5,0
Volt, so daß wir 4,9 Volt als den richtigsten Werte für die Ionisierungsspannung des Quecksilberdampfes ansehen können.“
Diese Interpretation, das die beobachteten ineleastischen Stöße zwischen Elektronen und
Quecksilberatomen zur Ionisation der Quecksilberatome führten, war nicht richtig. Tatsächlich führten die Stöße zu einer Anregung der Quecksilberatome aus ihrem Grundzustand (n =
1) zum ersten angeregten Zustand (n = 2).
Kurz nach der Veröffentlichung hat Bohr 1915 den entscheidenden Hinweis zur richtigen
Interpretation gegeben:
„Franck und Hertz nehmen an, daß 4,9 Volt der Energie entspricht, die zur Entfernung eines
Elektrons aus dem Quecksilberatom erforderlich ist, aber es scheint, daß ihre Versuche möglicherweise mit der Annahme in Einklang zu bringen sind, daß diese Spannung nur dem
Übergang vom Normalzustand zu irgend einem anderen stationären Zustand des neutralen
Atoms entspricht…“
In späteren Arbeiten (z.B. [2]) schlossen sich Franck und Hertz dieser Interpretation an:
„Als Gesamtresultat möchten wir angeben, daß die Folgerungen der Bohrschen Theorie nach
dem Verfahren des Elektronenstoßes im Hg-Dampf mit großer Schärfe bestätigt werden konn-
Franck-Hertz-Versuch
5
ten und daß dieses Verfahren uns eine in vielen Fällen brauchbare Ergänzung der spektralanalytischen Methoden darzustellen scheint.“
Zum Zeitpunkt ihrer ersten Veröffentlichung (1914) wussten James Franck und Gustav Hertz
nichts von der ein Jahr zuvor erfolgten Veröffentlichung von Bohr zu seinem Atommodel [3],
wie Franck später (1961) in einem Rückblick zugab [4]:
„It might interest you to know that when we made the experiments that we did not know
Bohr's theory. We had neither read nor heard about it. We had not read it because we were
negligent to read the literature well enough -- and you know how that happens. On the other
hand, one would think that other people would have told us about it. For instance, we had a
colloquium at that time in Berlin at which all the important papers were discussed. Nobody
discussed Bohr's theory. Why not? The reasons is that fifty years ago, one was so convinced
that nobody would, with the state of knowledge we had at that time, understand spectral line
emission, so that if somebody published a paper about it, one assumed, ‚Probably it is not
right‘. So we did not know it. But we made that experiment (and got the result that confirmed
Bohr's theory) because we hoped that if we found out where the borderline between elastic
and inelastic impact lies [...] only one line might appear. But we did not know whether that
would be so, and we did not know whether at all an emission of an atom is of such a type that
one line alone can be emitted and all the energy can be used for that purpose. The experiment
gave it to us, and we were surprised about it. But we were not surprised after we read Bohr's
paper later, after our publication.“
Damit haben Franck und Hertz 1925 den Nobelpreis für ein Experiment erhalten, das sie damals nicht wirklich verstanden hatten. Seine große Bedeutung jedoch liegt im nichtoptischen
Nachweis diskreter Anregungszustände in der Atomhülle. Die Versuchsergebnisse sind eine
wichtige Stütze für das Bohrsche Atommodell. Man findet beim Franck-Hertz-Versuch dieselben Anregungsenergien, wie sie auch optisch in Emissionsspektren oder bei der Resonanzabsorption auftreten.
5.
Franck-Hertz-Versuch mit Quecksilber
Abb. 2: Schematischer Aufbau der Quecksilberröhre im Franck-Hertz-Versuch.
In einer evakuierten Glasröhre (Abb. 2), die einen Tropfen Quecksilber enthält, werden Elektronen durch eine variable Spannung UB (= U1) von der indirekt (mit UH) geheizten Glühkathode (C) zu dem Gitter (A) hin beschleunigt, das als Anode wirkt. Nach Durchfliegen des
Gitters werden sie durch eine Gegenspannung UG (= U2), die zwischen dem Gitter und dem
6
Franck-Hertz-Versuch
Auffänger (S), wieder abgebremst. Nur solche Elektronen, deren kinetische Energie am Gitter
größer als eUG ist, treffen auf den Auffänger und können als Auffängerstrom IA nachgewiesen
werden.
Auf ihrem Weg von der Kathode zur Anode können die Elektronen mit Hg-Atomen stoßen,
wobei die Stoßwahrscheinlichkeit von der Anzahldichte der Hg-Atome abhängt. Abhängig
von der Energie der Elektronen sind diese Stöße nur elastisch oder auch unelastisch (d.h. mit
einer Anregung der Atomhülle oder gar einer Ionisierung). Bei einem elastischen Stoß ist der
Energieverlust des Elektrons sehr gering, bei einem unelastischen Stoß gibt das Elektron die
Anregungsenergie an das Atom ab und behält die Restenergie. Jenseits der Anode befindet
sich der gegenüber der Anode negative Auffänger. Ist die kinetische Energie der Elektronen,
die durch das Beschleunigungsgitter (die Anode) hindurch fliegen, groß genug zum Überwinden des Gegenfeldes, werden diese Elektronen als Strom IA in der Auffängerzuleitung nachgewiesen. Ist ihre Energie zu klein, so fließen sie nach Umkehr im Gegenfeld über die Anodenzuleitung ab.
Als Messergebnis erhält man mit steigender Beschleunigungsspannung zunächst einen steigenden Auffängerstrom. Ab einer bestimmten Spannung verflacht der Anstieg und dann sinkt
der Strom. Die Elektronenenergie hat die kleinste Anregungsenergie (bei Hg 4,89eV) überschritten und mit zunehmender Spannung wird die Zone vor der Anode, in der unelastische
möglich sind, breiter. Nach einem Stromminimum steigt der Strom wieder und nimmt ab der
doppelten kleinsten Anregungsenergie wiederum ab. Die Elektronen gewinnen nach der ersten Energieabgabe zunächst wieder genügend Energie, um das Gegenfeld zu überwinden.
Schließlich reicht ihre Energie für einen zweiten unelastischen Stoß aus. Mit weiter steigender
Spannung wiederholt sich dieser Vorgang mehrmals (s. Abb. 1).
Notwendig für die Beobachtung einer Franck-Hertz-Kurve sind Stöße zwischen den Elektronen und den Hg-Atomen. Damit diese wahrscheinlich werden, muss die mittlere freie Weglänge λ der Atome klein gegen den Abstand zwischen Kathode und Beschleunigungselektrode
sein. λ kann über den Sättigungsdampfdruck, der innerhalb der Röhre herrscht, eingestellt
werden. Die Dichte n der Hg-Atome in der Röhre ergibt sich aus dem Hg-Dampfdruck p bei
der jeweiligen Temperatur T. Die kinetische Gastheorie ergibt für den Druck
=
p
p
1
nm u 2= nk BT ⇒ =
n
k BT
3
(1)
(m: Masse Hg-Atom, <u2>: mittlere quadratische Geschwindigkeit der Atome; kB:= Boltzmann-Konstante). Der Hg-Dampfdruck ist der Sättigungsdampfdruck, da in der Röhre sich
bei den benutzten Temperaturen stets auch flüssiges Quecksilber befindet. Der Dampfdruck
als Funktion der Temperatur lässt sich für viele Stoffe gut durch
log p =
−
a
− b log T + c
T
(2)
annähern. Für Quecksilber im Bereich bis etwa 250 °C gilt die in Abb. 3 dargestellte Beziehung [10]
p = 1,32 ×1010 ×10
−
3190
T
[Pa]
(3)
Franck-Hertz-Versuch
7
Abb. 3: Dampfdruck nach Gl. (3) und mittlere freie Weglänge (Gl. (4)) für
Quecksilber als Funktion der Temperatur.
Die mittlere freie Weglänge λ eines Elektrons zwischen zwei elastischen Stößen mit den
Quecksilberatomen hängt von der Temperatur ab und ist mit Gl. (1) gegeben durch
=
λ
1 kT
= B
nσ
pσ
(4)
σ ist der Wirkungsquerschnitt der Atome für elastische Streuung. Für neutrale Atome entspricht σ = πR2 der Querschnittsfläche kugelförmiger Atome. Für Quecksilber kann der Kugelradius R aus der Dichte von flüssigem Quecksilber berechnet werden und es ergibt sich ein
Wirkungsquerschnitt σ = 8,35×10-20 m2. Abb. 3 zeigt die damit berechnete mittlere freie Weglänge. λ muss etwa um den Faktor 1000 bis 5000 kleiner als der Abstand zwischen Kathode
und Beschleunigungselektrode (etwa 1 cm) sein, damit eine ausreichende Stoßwahrscheinlichkeit gegeben ist.
Es gibt einen Dampfdruckbereich, in dem die Röhre optimal arbeitet. Wird dieser unterschritten, wächst die Wahrscheinlichkeit, dass die Elektronen ohne Wechselwirkung mit den HgAtomen von der Kathode bis zur Auffängerelektrode laufen. Bei ausreichend hoher Spannung
erreichen die Elektronen dabei Energien, die ausreichen würden, auch höhere Zustände der
Hg-Atome anzuregen. Dieser Effekt wird mit dieser Röhre nicht beobachtet, da die Stoßwahrscheinlichkeit unter diesen Bedingungen zu klein ist.
Ionisierung durch Elektronenstoß tritt auf, wenn die erreichte Elektronenenergie die Ionisierungsenergie (10,44 eV für Hg-Atome) übersteigt. Das Einsetzen der Ionisierung zeigt sich im
8
Franck-Hertz-Versuch
Experiment deutlich. In der Röhre entstehen positive Ionen. Diese reduzieren die Raumladung
in Kathodennähe und bewirken dadurch einen steilen Anstieg des Anodenstroms. Die Ionen
treten auch zwischen Anoden und Auffänger auf und bewirken einen Strom mit umgekehrten
Vorzeichens gegenüber den Elektronenstrom. Das Zünden einer Gasentladung ist von einem
Leuchten begleitet, das spektroskopisch beobachtet werden kann. Bei der Rekombination der
Ionen mit Elektronen kommen in Stufen alle möglichen Übergänge bis herab zum Grundzustand vor. Die intensivsten sichtbaren Quecksilber-Emissionslinien sind 405 nm, 408 nm, 436
nm (violett), 493 nm (blau), 546 nm (grün) und 579 nm (gelb). Die fahlblaue Farbe des mit
bloßem Auge beobachteten Leuchtens ist das Ergebnis der Farbmischung dieser Linien.
6.
Franck-Hertz-Versuch mit Neon
Für die Elektronenstoßversuche an Neon-Atomen wird eine Röhre mit vier parallel angeordneten Elektroden (Abb. 4) verwendet.
Abb. 4: Schematischer Aufbau der Neonröhre im Franck-Hertz-Versuch.
Im Unterschied zur Hg-Röhre enthält die Neon-Röhre zwei Beschleunigungselektroden (A1
und A2) zwischen denen sich, wie bei einem Plattenkondensator, ein homogenes elektrisches
Feld ausbildet. Weiterhin führt das Vorhandensein der Beschleunigungselektrode A2 dazu,
dass fast alle aus der Kathode austretenden Elektronen abgesaugt werden, so dass der Einfluss
von Raumladungseffekten auf die Gestalt der Franck-Hertz-Kurve verringert wird. Der Abstand d zwischen Kathode K und dem Gitter A2 ist groß gegenüber der mittleren freien Weglänge der Elektronen im Ne-Gas bei Betriebstemperatur (Raumtemperatur). Damit wird eine
hohe Stoßwahrscheinlichkeit erzielt, da diese proportional zu dem Quotienten d/λ ist.
Im Gegensatz zu Quecksilber erfolgt die Lichtemission nach der Anregung durch Elektronenstoß im sichtbaren Bereich zwischen 585 nm (gelb) und 703 nm (rot). Dieses Licht ist als
schwaches Glimmen beobachtbar. Wird die Beschleunigungsspannung U2 auf etwa 19 V erhöht, gewinnen die Elektronen genug Energie, um Neon-Atome anzuregen und der Anodenstrom sinkt ab. Gleichzeitig zeigt sich die Lichtemission als ein rötliches Glimmen am Gitter
A2. Wird die Beschleunigungsspannung weiter erhöht, verschiebt sich die Leuchtschicht und
der Anodenstrom steigt wieder an. Erreicht die Beschleunigungsspannung etwa 38 V, erscheint eine zweite Leuchtschicht am Gitter, während sich die erste Schicht in die Mitte zwischen A1 und A2 verschoben hat. Die Elektronen haben nun genug Energie, um Neon-Atome
in diesem Bereich der Röhre anzuregen, besitzen nach diesem inelastischen Stoß aber immer
noch genug Energie um nach der weiteren Beschleunigung direkt vor A2 nochmals Ne-Atome
Franck-Hertz-Versuch
9
anzuregen. Erhöht man die Beschleunigungsspannung weiter, kann auch eine dritte Leuchtschicht beobachtet werden.
Abb. 5: Drei Leuchtschichten beim Franck-Hertz-Versuch mit einer Neon-Röhre.
7.
Elektronenkonfigurationen von Quecksilber und Neon
Neutrales Quecksilber (Z = 80) hat 80 Elektronen in der Atomhülle. Im Grundzustand sind
die Energieniveaus bis zur N-Schale (Hauptquantenzahl n = 4) aufgefüllt. Die O-Schale (n =5)
ist mit 18 Elektronen noch nicht vollständig gefüllt, trotzdem befinden sich 2 Elektronen in
der P-Schale (n = 6). Die Spektraleigenschaften von Hg werden nur durch die Elektronenzustände der Elektronen in der P-Schale (Valenzelektronen) bedingt. Damit zerfällt das Niveausystem der Energie der beiden Valenzelektronen wie beim Helium in Singulett-Zustände und
in Triplett-Zustände. Die Singulett-Zustände sind dadurch gekennzeichnet, dass die Gesamtspinquantenzahl der Valenzelektronen den Wert S = 0 hat (Spins der Elektronen sind antiparallel). Für diese Elektronenzustände ist der Gesamtdrehimpulses J gleich dem Gesamtbahndrehimpulses L. L kann die Werte L = 0,1,2,.. usw. annehmen. Es ist üblich, die Quantenzahl
des Gesamtbahndrehimpulses L durch Großbuchstaben anzugeben: L = 0 entspricht S, L = 1
entspricht P, L = 2 entspricht D, usw.. Triplett-Zustände sind durch eine Gesamtspinquantenzahl S = 1 gekennzeichnet (Spins der Elektronen sind parallel) und der Gesamtdrehimpuls J
kann in Abhängigkeit vom Gesamtbahndrehimpuls L die Werte J = 0 (für L = 0) und J = L+1;
L; L-1 (für L > 0) annehmen. In der in Abb. 6 (links) verwendeten Termbezeichnung für die
Energiezustände der Valenzelektronen gibt der tiefgestellte Index den Gesamtdrehimpuls J an
und der hochgestellte Index die sogenannte Multiplizität, d.h. das Produkt 2S+1. Damit ist die
Termbezeichnung des Grundzustandes 61S0 (n = 6, S = 0, L = 0, J = 0).
Optisch, d.h. unter Emission oder Absorption von Licht, sind nur die durch Verbindungsstriche in Abb. 6 (links) Gekennzeichneten Übergänge möglich. Bei Anregung durch Elektronenstoß ist die Drehimpulsänderung nicht auf ∆L = ±1 beschränkt uns es können vom Grundzustand aus mit unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit alle Zustände erreicht werden. Sind bereits
genügend viele Atome angeregt, z.B. in einer Gasentladung, können auch Elektronen aus bereits angeregten Zuständen in noch höher gelegene Zustände angeregt werden. Im Praktikumsversuch können folgende Übergänge beobachtet werden:
• 61S0 → 63P0, E = 4,67 eV, optisch verboten,
• 61S0 → 63P1, E = 4,89 eV, optisch erlaubt,
• 61S0 → 63P2, E = 5,46 eV, optisch verboten,
10
Franck-Hertz-Versuch
• 61S0 → 61P1, E = 6,70 eV, optisch erlaubt.
Abb. 6: Termschemata von Quecksilber (links) und Neon (rechts) mit den wichtigsten Übergängen.
Das Edelgas Neon hat zehn Elektronen in der Schale 1s22s22p6 (Abb. 6 rechts). Wegen der
hohen Zustandsdichte und den Auswahlregeln werden durch ineleastische Stöße bevorzugt
die zehn 3p-Zustände im Bereich zwischen 18,3 eV und 18,9 eV angeregt, deren Emission im
sichtbaren Bereich liegt. Die Anregung erfolgt im wesentlichen aus dem Grundzustand und
den 3p-Zuständen 1S0 → 3P0 und 3S1). Die vier unteren 3s-Zustände zwischen 16,6 eV und
16,9 eV werden mit geringerer Wahrscheinlichkeit angeregt. Im Gegensatz zu Hg kehren die
Ne-Atome nicht direkt durch Lichtemission in den Grundzustand zurück. Die Übergänge der
3p-Zustände in den Grundzustand ist nur über die 3s-Zustände möglich. Zunächst werden
spontan etwa 2 eV abgegeben und dann erfolgen Übergänge in Zustände zwischen 16,75 eV
und 16,79 eV, wobei sichtbares Licht emittiert wird.
Franck-Hertz-Versuch
8.
Versuchsaufbau und Versuchsdurchführung
8.1
Messung mit Quecksilber
11
Aufbau:
Abb. 7 zeigt den Aufbau des Versuchs für die Quecksilberröhre, deren Aufbau in Abb. 2 dargestellt ist.
Abb. 7: Aufbau des Franck-Hertz-Versuchs für Quecksilber.
Das Franck-Hertz-Betriebsgerät erzeugt die Beschleunigungsspannung U1, die Gegenspannung U2, die Steuerspannung U3 (nur für Ne-Röhre) und die Heizspannung UH. Alle einstellbaren und messbaren Größen können mit Hilfe einer LED-Anzeige angezeigt werden. Die
Darstellung und Auswertung der Messwerte kann alternativ manuell, mit Hilfe eines Oszilloskops oder über die RS-232-Schnittstelle an einem PC mit Hilfe des Programms measure
erfolgen.
Die Hg- Röhre wird über ein 5-poliges Kabel und ein BNC-Kabel mit dem Betriebsgerät verbunden. Für den Betrieb der Hg-Röhre wird zur Temperaturkontrolle des Ofens ein Thermoelement verwendet. Die Fühlerspitze des Thermoelements wird durch die Öffnung im FranckHertz Ofen geführt und in der Höhe der Röhren-Kathode positioniert. Die Heizung des Ofens
wird über die Anschlussleitung mit der Steckdose auf der Rückseite des Betriebsgerätes zu
verbunden. Der sich seitlich am Ofen befindliche Drehknopf ist auf Maximum zu stellen. Dadurch wird gewährleistet, dass der Bimetallschalter im Ofen nicht den Ofen abschaltet und
den Regelprozess stört.
12
Franck-Hertz-Versuch
Zur Erfassung und Darstellung der Messwerte sind die Ausgänge U~U1 und U~IA mit dem
Oszilloskop und über ein RS-232-Kabel mit der seriellen Schnittstelle (COM1) des PC verbunden.
Aufgabe 1:
Verbinden Sie die die Geräte entsprechend Abb. 7 und schalten Sie die Geräte ein. Der seitlich am Ofen befindliche Drehknopf ist auf Maximum zu stellen. Hierdurch wird gewährleistet, dass der Bimetallschalter im Ofen erst bei sehr hohen Temperaturen aktiviert wird und
somit den Regelprozess durch das Franck-Hertz-Betriebsgerät nicht stört. Die Temperaturregelung erfolgt über ein Thermoelement. Die Fühlerspitze wird durch die Öffnung im FranckHertz-Ofen geführt und muss in der Höhe der Röhren-Kathode positioniert werden.
In Abhängigkeit der angeschlossenen Röhre (Hg oder Ne) sind im Gerät Vorgabewerte aktiviert. So sind u.a. die Heizungs-Spannung UH auf 6,3 V voreingestellt und der Bereich der
Beschleunigungsspannung U1 auf 60 V begrenzt. Wenn der Auffängerstrom IA zu groß wird
(beim Durchzünden der Röhre), dann wird die Messung durch das Franck-Hertz-Betriebsgerät
nach einigen Sekunden unterbrochen, um die Röhre vor Beschädigungen zu schützen.
Stellen Sie die Soll-Temperatur für den Ofen auf 180 °C und schalten sie ihn ein. Die IstTemperatur hat den Wert der Soll-Temperatur erst dann erreicht (Abweichung ca. ± 2 °C),
wenn die rote LED oberhalb des Tastschalters nicht mehr blinkt.
Typische Einstellungen der Spannungen sind:
• UH = 6 V – 8V
• U1 = 0 V – 60 V
• U2 = 2 V – 5 V
Stellen Sie am Franck-Hertz-Betriebsgerät die Betriebsart „Sägezahn“ und verbinden Sie die
Ausgänge mit dem Oszilloskop (X-Y-Betriebsmodus). Die eingestellten Spannungen U1 und
U2 werden im Sägezahn-Betrieb mit einer Frequenz von 28 Hz an die Hg-Röhre angelegt.
Starten Sie die Messung und versuchen Sie durch Veränderungen von UH und U2 möglichst
viele gut ausgeprägte Minima in der Kennlinie einzustellen. Falls die Röhre durchzündet,
muss UH verkleinert werden.
Stellen Sie nun am Franck-Hertz-Betriebsgerät die Betriebsart „PC“ ein und starten Sie das
Programm measure. Wählen Sie als Messgerät „Franck-Hertz-Versuch“. Zeichnen Sie nun
mit den oben bestimmten Parametern eine Messkurve auf. Wiederholen Sie die Messung für
zwei höhere Ofentemperaturen. Je höher die Ofentemperatur desto höher liegt die Spannung,
bei welcher die Röhre zündet.
Tragen Sie die gemessenen Werte des Auffängerstroms IA, bei denen Minima von U1 auftreten, gegen die Ordnungszahl der Minima auf. Berechnen Sie eine Ausgleichsgerade und bestimmen Sie aus deren Steigung die mittlere Anregungsenergie der Hg-Atome. Warum geht
die Ausgleichsgerade nicht durch den Nullpunkt?
Vergleichen Sie Ihr Resultat mit den in dem Termschema (Abschnitt 7) angegebenen Übergängen und geben Sie an, um welchen Elektronenübergang es sich bei der Stoßanregung der
Hg-Atome handelt. Berechnen Sie die Wellenlänge der nach der Stoßanregung emittierten
elektromagnetischen Strahlung.
Franck-Hertz-Versuch
8.2
13
Messung mit Neon
Aufbau:
Abb. 8 zeigt den Aufbau des Versuchs für die Neon-Röhre, deren Aufbau in Abb. 4 dargestellt ist.
Abb. 8: Aufbau des Franck-Hertz-Versuchs für Neon.
Das Franck-Hertz-Betriebsgerät erzeugt die Beschleunigungsspannung U1, die Gegenspannung U2, die Steuerspannung U3 (nur für Ne-Röhre) und die Heizspannung UH. Alle einstellbaren und messbaren Größen können mit Hilfe einer LED-Anzeige angezeigt werden. Die
Darstellung und Auswertung der Messwerte kann alternativ manuell, mit Hilfe eines Oszilloskops oder über die RS-232-Schnittstelle an einem PC mit Hilfe des Programms measure
erfolgen.
Die Ne- Röhre wird über ein 5-poliges Kabel und ein BNC-Kabel mit dem Betriebsgerät verbunden. Zur Erfassung und Darstellung der Messwerte sind die Ausgänge U~U1 und U~IA mit
dem Oszilloskop und über ein RS-232-Kabel mit der seriellen Schnittstelle (COM1) des PC
verbunden.
Aufgabe 2:
Verbinden Sie die die Geräte entsprechend Abb. 8 und schalten Sie die Geräte ein.
Typische Einstellungen der Spannungen sind:
•
•
•
•
UH = 5 V – 7 V
U1 = 0 V – 80 V
U2 = 0 V – 8 V
U3 = 2 V – 4 V
14
Franck-Hertz-Versuch
Falls die Röhre durchzündet, muss UH und/oder U3 verkleinert werden. Wenn der Auffängerstrom IA zu groß wird (beim Durchzünden der Röhre), dann wird die Messung durch das
Franck-Hertz-Betriebsgerät nach einigen Sekunden unterbrochen, um die Röhre vor Beschädigungen zu schützen.
Stellen Sie nun am Franck-Hertz-Betriebsgerät die Betriebsart „PC“ ein und starten Sie das
Programm measure. Wählen Sie als Messgerät „Franck-Hertz-Versuch“. Optimieren sie nun
die Spannungen UH, U1, U2, U3, bis Sie möglichst viele gut ausgeprägte Minima in der
Kennlinie sehen. Während der Kennlinienaufnahme können Sie die Bewegung der rotleuchtenden Schichten in der Röhre beobachten.
Tragen Sie die gemessenen Werte des Auffängerstroms IA, bei denen Minima von U1 auftreten, gegen die Ordnungszahl der Minima auf. Berechnen Sie eine Ausgleichsgerade und bestimmen Sie aus deren Steigung die mittlere Anregungsenergie der Hg-Atome. Warum geht
die Ausgleichsgerade nicht durch den Nullpunkt?
Vergleichen Sie Ihr Resultat mit den in dem Termschema (Abschnitt 7) angegebenen Übergängen und geben Sie an, um welchen Elektronenübergang es sich bei der Stoßanregung der
Hg-Atome handelt. Berechnen Sie die Wellenlänge der nach der Stoßanregung emittierten
elektromagnetischen Strahlung.
Franck-Hertz-Versuch
8.3
15
Optische Emissions-Spektroskopie an Neon
Aufbau:
In Abb. 9 ist das Emissions-Spektrum von Neon im sichtbaren Bereich gezeigt. Das Spektrum
wurde mit den Daten der NIST Atomic Spectra Database [11] berechnet.
Abb. 9: Simuliertes Emissions-Spektrum von Neon im sichtbaren Bereich.
Mit einem Dioden-Array-Spektrometer kann das dispergierte Spektrum über eine Diodenzeile
(CCD-Zeile) simultan aufgenommen werden. Das Spektrometer „Red Tide USB650“ hat eine
Wellenlängenauflösung von 2 nm und erfasst einen Wellenlängenbereich von IR bis UV (350
nm - 1000 nm), d.h. den vollen sichtbaren Bereich. Abb. 10 zeigt den Aufbau des Spektrometers. Das zu analysierende Licht wird über einen Lichtleiter auf einen 25 μm Eintrittsspalt und
einen Filter auf einen Spiegel geleitet, der das Licht auf das Beugungsgitter fokussiert. Über
einen weiteren Spiegel wird das Beugungsspektrum 1. Ordnung auf den CCD-Detektors abgebildet, der das optische Signal in digitale Signale umsetzt. Das Spektrometer ist zur Steuerung und Datenerfassung über USB an einen Computer angeschlossen. Die Steuerung des
Spektrometers und die Datenerfassung erfolgt mit dem Programm SpectraSuite. Die gemessenen Spektren können zur weiteren Verarbeitung mit anderen Programmen (z.B. mit Origin)
als ASCII-Datei exportiert werden.
Abb. 10: Aufbau des Spektrometers „Red Tide USB650“.
Aufgabe 3:
Stellen Sie für die Neon-Röhre die Beschleunigungsspannung U1, die Gegenspannung U2,
die Steuerspannung U3 und die Heizspannung UH so ein, dass sich 2 -3 Leuchtschichten zwischen den Gittern ausbilden.
Positionieren Sie den Lichtleiter des Spektrometers möglichst nahe an diesen Bereich und
nehmen Sie mit dem Spektrometer „Red Tide USB650“ das Emissions-Spektrum auf. Optimieren Sie in dem Programm SpectraSuite die Messparameter (Integrationszeit, Zahl der
16
Franck-Hertz-Versuch
Scans zur Mittelwertbildung) so, dass Sie ein möglichst gut aufgelöstes Spektrum mit hinreichender Intensität erhalten.
Versuchen Sie mit Hilfe der Tabelle im Anhang und Abb. 6 , die gemessenen Emissionslinien
einzelnen Übergängen des Neon-Atoms zuzuordnen. Die exakte Zuordnung der einzelnen
Linien (insbesondere ihre Intensität) ist nicht immer einfach, da bei der Anregung in der elektrischen Entladung Mehrfachanregungen auftreten können. Außerdem nimmt die Empfindlichkeit der in dem Spektrometer benutzten CCD-Zeile mit zunehmender Wellenlänge ab.
Franck-Hertz-Versuch
9.
17
Anhang
Tabelle zur Zuordnung der Neon-Linien. Die Tabelle enthält die Wellenlänge an Luft, die
relative Intensität der Linien und die Konfiguration der Übergänge [11].
Wellenlänge
in Luft (nm)
Relative
Intensität
585,24878
20000
Konfiguration
2
5 2
2
5 2
-
2s 2p ( P°1/2)4d
2
5 2
-
2s 2p ( P°1/2)3p
2
5 2
-
2s 2p ( P°3/2)4d
2
5 2
-
2s 2p ( P°1/2)3p
2
5 2
-
2s 2p ( P°1/2)4d
2
5 2
-
2s 2p ( P°1/2)3p
2
5 2
-
2s 2p ( P°1/2)3p
2
5 2
-
2s 2p ( P°1/2)5s
2
5 2
-
2s 2p ( P°3/2)3p
2
5 2
-
2s 2p ( P°1/2)3p
2
5 2
-
2s 2p ( P°1/2)5s
2
5 2
-
2s 2p ( P°1/2)3p
2
5 2
-
2s 2p ( P°3/2)3p
2
5 2
-
2s 2p ( P°3/2)4d
2
5 2
-
2s 2p ( P°1/2)3p
2
5 2
-
2s 2p ( P°3/2)3p
2
5 2
-
2s 2p ( P°1/2)3p
2
5 2
-
2s 2p ( P°3/2)4d
2
5 2
-
2s 2p ( P°1/2)5s
2
5 2
-
2s 2p ( P°3/2)3p
2
5 2
-
2s 2p ( P°1/2)5s
2
5 2
-
2s 2p ( P°3/2)5s
2
5 2
-
2s 2p ( P°3/2)3p
2
5 2
-
2s 2p ( P°1/2)5s
2
5 2
-
2s 2p ( P°3/2)3p
2
5 2
-
2s 2p ( P°1/2)5s
2
5 2
-
2s 2p ( P°3/2)3p
2
5 2
-
2s 2p ( P°3/2)3p
2
5 2
-
2s 2p ( P°3/2)3p
2
5 2
-
2s 2p ( P°1/2)3p
2
5 2
-
2s 2p ( P°3/2)3p
2
5 2
-
2s 2p ( P°1/2)3p
-
2s 2p ( P°1/2)3p
2s 2p ( P°1/2)3s
586,84165
750
2s 2p ( P°1/2)3p
588,18950
10000
2s 2p ( P°3/2)3s
591,3633
2500
2s 2p ( P°3/2)3p
594,48340
5000
2s 2p ( P°3/2)3s
596,16228
700
2s 2p ( P°1/2)3p
597,55343
6000
2s 2p ( P°3/2)3s
602,99968
10000
2s 2p ( P°3/2)3s
604,61348
500
2s 2p ( P°3/2)3p
607,43376
10000
2s 2p ( P°3/2)3s
609,61630
3000
2s 2p ( P°3/2)3s
611,80187
150
2s 2p ( P°3/2)3p
612,84498
1000
2s 2p ( P°3/2)3s
614,30627
10000
2s 2p ( P°3/2)3s
615,02985
1000
2s 2p ( P°1/2)3p
616,35937
10000
2s 2p ( P°1/2)3s
621,72812
10000
2s 2p ( P°3/2)3s
626,64952
10000
2s 2p ( P°1/2)3s
627,30141
700
2s 2p ( P°1/2)3p
629,37447
1000
2s 2p ( P°1/2)3p
630,47893
1000
2s 2p ( P°3/2)3s
632,81646
3000
2s 2p ( P°1/2)3p
633,08894
1500
2s 2p ( P°3/2)3p
633,44276
10000
2s 2p ( P°3/2)3s
635,18532
1000
2s 2p ( P°3/2)3p
638,29914
10000
2s 2p ( P°3/2)3s
640,1076
1000
2s 2p ( P°1/2)3p
640,2248
20000
2s 2p ( P°3/2)3s
650,65277
15000
2s 2p ( P°3/2)3s
653,28824
1000
2s 2p ( P°1/2)3s
659,89528
10000
2s 2p ( P°1/2)3s
665,20925
1500
2s 2p ( P°1/2)3s
667,82766
5000
2s 2p ( P°1/2)3s
671,70430
700
2s 2p ( P°1/2)3s
-
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2
5 2
2s 2p ( P°1/2)3p
2
5 2
2
5 2
-
2s 2p ( P°3/2)5s
2
5 2
-
2s 2p ( P°3/2)3p
2
5 2
-
2s 2p ( P°3/2)3p
-
2s 2p ( P°3/2)3p
672,11342
20
2s 2p ( P°1/2)3p
692,94672
100000
2s 2p ( P°1/2)3s
702,40500
34000
2s 2p ( P°1/2)3s
703,24128
85000
2s 2p ( P°3/2)3s
2
5 2
2
5 2
-
2s 2p ( P°1/2)3d
2
5 2
-
2s 2p ( P°1/2)3d
705,12922
2200
2s 2p ( P°3/2)3p
705,91079
10000
2s 2p ( P°3/2)3p
18
Franck-Hertz-Versuch
10. Literatur
[1]
J. Franck und G. Hertz, Über Zusammenstöße zwischen Elektronen und den Molekülen
des Quecksilberdampfes und die Ionisierungsspannung desselben, Verh. d. Deutschen
Phys. Ges. 16 (1914) 457
[2]
J. Franck und E. Einsporn, Über die Anregungspotentiale des Quecksilberdampfes, Z. f.
Phys. 2 (1920) 18
[3]
N. Bohr, On the Constitution of Atoms and Molecules, Philos. Mag. 26 (1913) 1
[4]
G. Holton, On the Recent Past of Physics, Am. J. Phys. 29 (1961) 805
[5]
D. Meschede, Gerthsen Physik, 23. Aufl, Springer (Heidelberg, 2006) S. 696
[6]
H. Haken und H.C Wolf, Atom- und Quantenphysik, 8. Aufl., Springer (Heidelberg,
2004) S. 116
[7]
A.C. Melissinos,and J. Napolitano, Experiments in Modern Physics, 2nd Ed., Academic
Press (New York, 2003) p. 10
[8]
G.F. Hanne, What really happens in the Franck-Hertz experiment with mercury?, Am.
J. Phys. 56 (1988) 696
[9]
G. Rapior, K. Sengstock, and V. Baev, New features of the Franck-Hertz experiment,
Am. J. Phys. 74 (2006) 423
[10] D.R. Lide (ed.),CRC Handbook of Chemistry and Physics, 85th Ed., CRC Press (Boca
Raton, 2005) p. 4-136
[11] NIST Atomic Spectra Database
(http://physics.nist.gov/PhysRefData/ASD/lines_form.html)
11. Geräteliste
•
•
•
•
•
•
•
Franck-Hertz-Röhre Quecksilber eingebaut in Heizofen (NEVA)
Franck-Hertz-Röhre Neon (NEVA)
Franck-Hertz-Betriebsgerät (PHYWE)
USB-Oszilloskop DS1M12
Spektrometer Red Tide USB650 (Ocean Optics)
Taschenspektrograph
PC
Fachrichtungen der Physik
UNIVERSITÄT
DES
SAARLANDES
Physikalisches Grundpraktikum
für Physiker/innen
Teil III
Millikan-Versuch
WWW-Adresse Grundpraktikum Physik: http://grundpraktikum.physik.uni-saarland.de/
0
Kontaktadressen der Praktikumsleiter:
Dr. Manfred Deicher
Zimmer: 1.11, Gebäude E 2.6
e-mail: [email protected]
Telefon: 0681/302-58198
1H
Dr. Patrick Huber
Zimmer: 3.23, Gebäude E2.6
e-mail: [email protected]
Telefon: 0681/302-3944
2H
Millikan-Versuch
Einleitung
In dem Millikan-Versuch wird die Quantelung der elektrischen Ladung nachgewiesen und
ein Wert für die Elementarladung e bestimmt. Dabei wird nach einem erstmals 1913 von
R.A. Millikan beschriebenen Verfahren die Bewegung geladener Öltröpfchen im elektrischen Feld eines Plattenkondensators genau beobachtet und über die Sink- und Steigegeschwindigkeiten eines Tröpfchens auf dessen Ladung geschlossen. Die gesamte Versuchsdurchführung, d.h. Beobachtung der Öltröpfchen und quantitative Analyse ihrer
Bewegung, geschieht in unserem Fall mittels PC und CCD-Kamera, für die Auswertung
der Aufnahmen steht dabei u.a. ein spezielles Labview-Programm zur Verfügung.
Im folgenden werden die physikalischen Grundlagen, die genaue Versuchsdurchführung
als auch die Auswertung besprochen. In der Anleitung sind einige Aufgaben enthalten,
die in der Vorbereitung zum Versuch bearbeitet werden müssen.
Physikalische Grundlagen
Seien ρ die Dichten der jeweils angegebenen Medien, g die Erdbeschleunigung. Bringt
man ein elektrisch geladenes Öltröpfchen der Masse m, des Volumens V und der Ladung
q in das homogene elektrische Feld der Feldstärke E eines Plattenkondensators, so wirken
darauf die folgenden Kräfte:
1. Die Gewichtskraft
G = m · g = ρÖl · V · g ,
(1)
FA = mLuft · g = ρLuft · V · g ,
(2)
2. die Auftriebskraft in Luft
die der Gewichtskraft der vom Öltröpfchen verdrängten Luftmenge entspricht,
3. die elektrische Kraft
U
,
(3)
d
wenn U die am Kondensator des Plattenabstands d anliegende Spannung ist,
FE = q · E = q
4. sowie bei einem sich bewegenden Tröpfchen eine Reibungskraft gerichtet entgegen
der Bewegungsrichtung.
Millikan-Versuch
2
Die Stokes’sche Reibungskraft
FR = 6πηrv ,
wobei
η : Viskosität der Luft,
r : Tröpfchenradius des als kugelförmig angenommenen Öltröpfchens,
v : Tröpfchengeschwindigkeit,
ist für große kugelförmige Partikel ein guter Ansatz, würde aber in unserem Fall zu
systematisch falschen Ergebnissen führen. Der Grund ist die für die Stokes’sche Reibung
gemachte Annahme von Teilchenradien r, die groß gegen die mittlere freie Weglänge λ
der die Teilchen umgebenden Luftmoleküle sind. Bei Normaldruck gilt λ = 9 · 10−8 m,
so dass diese Beschreibung der Reibung ab Teilchenradien unterhalb von etwa 1 µm
ungenau wird, so auch für unsere Öltröpfchen.
Mit der sogenannten Cunningham-Korrektur kann das Stokes’sche Gesetz aber in abgewandelter Form auch für den Fall r < λ angewendet werden:
¶
µ
A · λ −1
,
(4)
FR = 6πηrv · 1 +
r
mit der Konstanten A = 0,9 (gültig bei 23 ◦ C und 1 bar Luftdruck).
Diese Formel sollte in den Berechnungen zu unserem Versuch verwendet werden.
Bringt man die Öltröpfchen nun zwischen die horizontal angeordneten Platten eines
Plattenkondensators, sollten alle diese Kräfte entlang einer vertikalen Linie wirken. Es
können dann zwei grundlegende Fälle unterschieden werden:
Entweder ist die elektrische Kraft betragsmäßig größer oder aber kleiner als die effekive
Gewichtskraft, die aus Gewichtskraft und Auftriebskraft besteht. Im ersten Fall wird
man abhängig von der Polung der Spannung am Kondensator ein Steigen bzw. Sinken
des Tröpfchens beobachten. Ist die elektrische Kraft jedoch nicht groß genug um die
effektive Gewichtskraft zu überwinden, so wird das Öltröpfchen abhängig von der Polung der Spannung einmal langsamer und einmal schneller sinken, in keinem Fall aber
steigen. Die Bewegungen vollziehen sich dabei bis auf kurze Beschleunigungsphasen, in
denen sich die Reibung mit der Geschwindigkeit ändert, geradlinig gleichförmig, d.h.
nach einer Anpassungsphase“ der Reibungskraft an die übrigen Kräfte wird die auf
”
das Teilchen wirkende Gesamtkraft Null und es bewegt sich mit konstanter Sink- bzw.
Steigegeschwindigkeit.
−
→
−→
Stellt man für den ersten Fall, |FE | > |Geff |, die Kräftegleichgewichte für die Zustände
Sinken“ und Steigen“ auf, so hat man zwei Gleichungen, aus denen zum einen der
”
”
Tröpfchenradius r in Abhängigkeit von der Steig- und der Sinkgeschwindigkeit, unabhängig aber von der noch unbekannten Ladung q berechnet werden kann,
sµ
¶
9η
Aλ 2
Aλ
+
−
(v steig − v sink) ,
(5)
r=−
2
2
4ρges g
wobei
ρges := ρÖl − ρLuft ,
Millikan-Versuch
3
vsteig : Betrag der Tröpfchengeschwindigkeit beim Steigen,
vsink : Betrag der Tröpfchengeschwindigkeit beim Sinken,
und zum anderen die Tröpfchenladung q als Funktion der beiden Geschwindigkeiten,
|q| =
3πηrd
(v steig + v sink).
U (1 + Aλ
r )
(6)
−
→
−→
Für den Fall |FE | < |Geff | erhält man ähnliche Ausdrücke, jedoch mit einer langsamen
Sinkgeschwindikeit vl und einer schnellen Sinkgeschwindigkeit vs .
Das bedeutet, dass bei gegebenen A, U, d, g, λ, η und ρges die Ladung eines Tröpfchens
über seinen Radius alleine aus den Geschwindigkeiten seiner beiden möglichen Bewegungen bestimmt werden kann. Auf diesem Prinzip beruht der Versuch.
1. Aufgabe:
Beschreiben Sie in Worten das Zustandekommen des oben genannten Kräftegleichgewichts
für ein Teilchen, das sich anfangs in Ruhe befindet und eines, das sich anfangs in einem
beliebigen der oben genannten möglichen Bewegungszustände befindet und dann einer
Spannungsumpolung des Plattenkondensators ausgesetzt wird.
2. Aufgabe:
−
→
−→
Stellen Sie die Kräftegleichgewichte für die möglichen Bewegungszustände |FE | > |Geff |,
”
−
→
−→
−
→
−→
−
→
Steigen“, |FE | > |Geff |, Sinken“ sowie |FE | < |Geff |, langsames Sinken“ und |FE | <
”
”
”
−→
|Geff |, Schnelles Sinken“ auf und leiten damit die Gleichungen (5) und (6) sowie die ent−
→
−→
sprechenden für den Fall |FE | < |Geff |“ her.
”
Versuchsdurchführung, Programmbedienung
Der Versuch besteht darin, Filmaufnahmen von Öltröpfchen zu machen und aus diesen mittels der vorhandenen Software für möglichst viele Tröpfchen jeweils die beiden
möglichen Geschwindigkeiten zu bestimmen. Dazu muss während der Filmaufnahmen
die Spannung am Plattenkondensator umgepolt werden, damit für jedes Teilchen beide
Bewegungszustände realisiert werden. Aus den beiden Geschwindigkeiten wird wie oben
beschrieben die Ladung jedes beobachteten Partikels bestimmt und für alle erhaltenen
Ladungen schließlich ein Histogramm erstellt. Aus diesem sollte die Ladungsquantelung
ersichtlich und die Elementarladung bestimmbar sein. Zu Beginn des Versuchs müssen
einige Vorbereitungen getroffen werden.
Zunächst sind Kondensator und CCD-Kamera korrekt zu positionieren. Sie sollten zum
einen möglichst waagerecht ausgerichtet sein, zum anderen muss der Abstand des Kameraobjektivs zum Mittelpunkt des Plattenkondensators 12 cm betragen. Dann wird die
Spannungsquelle des Kondensators eingeschaltet und auf etwa 270 V geregelt.
Bevor man nun die Öltröpfchen mittels eines Zerstäubers in den Plattenkondensator
einbringt, können schon in dem Labview-Programm Millikan.vi“ die Parameter für die
”
Millikan-Versuch
4
Aufnahme wie Filmname, Bildanzahl und Zeitabstand zwischen den Bildern eingegeben werden, wobei letzterer nicht unter 80 ms liegen darf. Nach Aktivieren des Buttons
Livebild“ in dem Labiew-VI und Ausschalten der Beleuchtung im Versuchsraum wird
”
dann das Einbringen der Tröpfchen in das elektrische Feld beobachtet. Die Tröpfchen
sind dabei dank der Kondensatorbeleuchtung als kleine helle Teilchen vor schwarzem
Hintergrund zu erkennen. Sobald sie in gewünschter Anzahl vorliegen, wird die Filmaufnahme gestartet und etwa bei der Hälfte der Aufnahmedauer die Spannung am Netzgerät
des Plattenkondensators umgepolt. Der Fortschritt der Aufnahme kann dabei über die
erscheinende Anzeige Bildaufnahme Nr. ...“ verfolgt werden.
”
Anschließend hat man die Möglichkeit, den Film Bild für Bild manuell abzuspielen und
sich dabei wenn nötig geeignete Passagen herauszusuchen, die für eine Analyse, d.h.
eine Partikelverfolgung“, die den Ort-Zeit-Graphen eines verfolgten Partikels liefert,
”
geeignet sind. Dabei sollte das Hauptaugenmerk auf Teilchen liegen, die nur sinken (im
Film nur steigen, die Kamera dreht das Bild auf den Kopf). Diese tragen i.d.R. geringe Ladungen und liefern daher notwendige Werte für die Bestimmung von e aus dem
Ladungshistogramm. Außerdem sind natürlich Bildbereiche mit nicht zu hohen Teilchendichten zu bevorzugen.
Hat man sich ein Öltröpfchen ausgesucht, geschieht die Filmanalyse wie folgt.
Zunächst wird das Anfangsbild der zur Partikelverfolgung dienenden Filmpassage angezeigt, dann in diesem ein Ausschnitt markiert, der den Weg des Teilchens abdeckt und
schließlich die Option Anzeige im Ausschnitt“ aktiviert. Damit hat man der Partikeler”
kennung erlaubt, jedes einzelne Bild nur in dem angegebenen Teilbereich zu untersuchen.
Nach Angabe der Bildanzahl der zu untersuchenden Passage wird die Partikelverfolgung
mit dem zugehörigen Button gestartet und anschließend den Programmanweisungen gefolgt. Diese fordern zur Markierung der Position des zu verfolgenden Tröpfchens im
Ausgangsbild sowie zur Festlegung zweier Schwellenwerte auf, die die Partikeldetektion
beeinflussen. Letztere geben einfach den maximalen und den minimalen Graustufenwert
an, den ein Pixel im untersuchten Bild besitzen darf, um als Partikel bzw. Teil eines Partikels angesehen zu werden. Dabei hat sich herausgestellt, dass der untere Wert großzügig
gewählt werden muss, da die Tröpfchen im Laufe des Films oft an Leuchtkraft verlieren.
So wird jedes Bild anhand der Graustufenwerte aller Pixel auf Partikel untersucht und
aus allen darin gefundenen Partikeln schließlich das als das zu verfolgende identifiziert,
dessen Position am nächsten an der aus dem vorangehenden Bild gespeicherten Position
liegt.
Zu jedem Bild erhält man auf diesem Wege eine Tröpfchenposition, was zusammen mit
dem Zeitpunkt der Aufnahme des Bildes die oben erwähnte Ort-Zeit-Abhängigkeit des
verfolgten Partikels ergibt. Aus dieser werden die beiden Geschwindigkeiten graphisch
bestimmt. Dazu muss nur noch der Ort, der bis dahin in Pixel angegeben wird, mithilfe
des Maßstabs 1 mm =
ˆ 58 Pixel in eine physikalische Längeneinheit umgerechnet werden.
Millikan-Versuch
5
Anmerkung:
In der graphischen Darstellung der Ort-Zeit-Abhängigkeit in dem Labview-Programm
entspricht eine Gerade mit positiver Steigung einem steigenden Tröpfchen, eine Gerade
mit negativer Steigung einem sinkenden Tröpfchen. Genauso ist es auch der Fall bei
graphischer Darstellung der Daten in Origin. Davon abgesehen kann aber der Zustand
Sinken gegenüber dem Zustand Steigen auch an der betragsmäßig größeren Geradensteigung in dem Ort-Zeit-Graphen erkannt werden. Das entspricht der Tatsache, dass die
Sinkgeschwindigkeit eines Öltröpfchens immer größer als seine Steigegeschwindigkeit ist,
wenn das Tröpfchen diese beiden möglichen Bewegungszustände besitzt.
Neben den genannten Schwellenwerten stellt das Programm einen weiteren Kontrollparameter - den Identifikationsradius“ - bereit, der in manchen Fällen die korrekte
”
Partikelidentifikation von Bild zu Bild ermöglicht. Es handelt sich um einen Radius, der
einen Kreis um die letzte gespeicherte Partikelposition (aus dem zuletzt untersuchten
Bild) definiert, in dem die im aktuell untersuchten Bild gefundene neue Partikelposition liegen muß. Der Kontrollparameter wird als Betragsquadrat eines zweidimensionalen
Vektors vom Kreismittelpunkt (= alte Partikelposition) zum Kreisrand angegeben, wobei seine Komponenten in der Einheit Pixel“ gezählt werden. Analysiert man z.B. eine
”
Aufnahme mit hoher Tröpfchendichte, kann dieser Parameter generell klein gewählt werden (etwa 50).
Für jedes untersuchte Tröpfchen, bei dem eine Partikelverfolgung erfolgreich war, werden
die Daten gespeichert und z.B. in Origin ausgewertet. Aus ihnen ist die graphische Darstellung der Ort-Zeit-Abhängigkeit des Tröpfchens zu erstellen, daraus wiederum werden
beide Geschwindigkeiten durch lineares Fitten bestimmt. Schließlich kann wie im Abschnitt Physikalische Grundlagen“ gezeigt über den Teilchenradius die zugehörige La”
dung berechnet werden. Es sollten etwa 20 Öltröpfchen untersucht, für deren Ladungen
ein Histogramm erstellt und aus dem Teilhistogramm“ im niedrigsten Ladungsbereich
”
durch Mittelung die Elementarladung e bestimmt werden. Zusätzlich soll die eigene
Ladungsstatistik den laufenden Gesamtdaten des Semesters hinzugefügt und diese in
gleicher Weise behandelt werden.
Benötigte Konstanten:
Cunningham-Konstante
Mittlere freie Weglänge der Luftmoleküle
Dichte des Öls
Dichte von Luft
Viskosität von Luft
Abstand der Kondensatorplatten
Erdbeschleunigung
A
λ
ρÖl
ρLuft
η
d
g
=
=
=
=
=
=
=
0,9
9 ·10−8 m
kg
800,3 m
3
kg
1,2 m3
Ns
1,8 ·10−5 m
2
5,9 mm
9,81 sm2
Fachrichtungen der Physik
UNIVERSITÄT
DES
SAARLANDES
Physikalisches Grundpraktikum
für Physiker/innen
Teil III
Bestimmung der
spezifischen Elementarladung e/m
WWW-Adresse Grundpraktikum Physik: http://grundpraktikum.physik.uni-saarland.de/
0
Kontaktadressen der Praktikumsleiter:
Dr. Manfred Deicher
Zimmer: 1.11, Gebäude E 2.6
e-mail: [email protected]
Telefon: 0681/302-58198
1H
Dr. Patrick Huber
Zimmer: 3.23, Gebäude E2.6
e-mail: [email protected]
Telefon: 0681/302-3944
2H
BESTIMMUNG DER SPEZIFISCHEN
ELEKTRONENLADUNG e/m
MIT DEM FADENSTRAHLROHR
Stoffgebiet
Freie Elektronen
Elementarladung
Glühemission
Biot-Savartsches Gesetz
Magnetisches Feld
Lorentz-Kraft
Stoßionisation
e/m 2
SPEZIFISCHE ELEKTRONENLADUNG
Fragen:
1. Berechnen Sie mit Hilfe des Biot-Savartschen Gesetzes das Magnetfeld eines
Kreisstromes ( I, r ) auf der Symmetrieachse als Funktion des Abstandes x
von der Kreisebene.
2. Zwei gleiche Kreisströme ( I, r ) werden mit gleicher Symmetrieachse
(x-Achse) so aufgestellt, daß der Abstand ihrer Ebenen gleich a ist. Berechnen
Sie das Magnetfeld auf der x-Achse, und bestimmen Sie den Abstand a der
Kreisströme so, daß das Feld auf der Achse möglichst homogen wird
( ∂2 H ∂x2 = 0).
3. Geben Sie weitere Methoden zur Bestimmung von e/m an.
4. Wie wird ein freies Elektron im elektrischen Feld abgelenkt ?
5. Was versteht man unter einer magnetischen Elektronenlinse ?
6. Was versteht man unter einer Helmholtzspule ?
7. Skizzieren Sie den Aufbau eines Elektronenmikroskops.
8. Unter welchen Bedingungen kommt eine Gasentladung zustande ?
9. Wie groß ist die Massenänderung eines Elektrons, das eine Spannung von
2500 V durchlaufen hat ?
SPEZIFISCHE ELEKTRONENLADUNG
e/m 3
Eine besonders anschauliche Methode zur Messung der spezifischen Ladung
e/m (e = Ladung, m = Masse des Elektrons) der Elektronen ist die Bestimmung
aus der Ablenkung eines Fadenstrahls im homogenen Magnetfeld eines
Helmholtz-Spulenpaares.
Grundlagen:
Das Fadenstrahlrohr beruht auf dem Prinzip der Gaskonzentrationsröhre, die,
historisch gesehen, eine Zwischenstufe zwischen dem ursprünglichen
Braunschen
Rohr
und
der
heutigen
Glühkathoden-HochvakuumOszillographenröhre darstellt. Die Wirkungsweise einer Gaskonzentrationsröhre
ist etwa folgende:
Aus einem Strahlerzeugungssystem (bestehend aus der Glühkathode zur
Erzeugung freier Elektronen, der Anode zur Beschleunigung der Elektronen und
dem Wehnelt-Zylinder zur Bündelung des Elektronenstrahls), tritt ein
Elektronenbündel in einen Raum aus, in dem sich ein Edelgas unter einem
Druck der Größenordnung 10−3 - 10−2 hPa befindet. Die Elektronen stoßen mit
den Gasmolekülen zusammen und ionisieren diese. Bei der Rekombination
werden Lichtquanten emittiert, so daß der Weg des Elektronenbündels durch
leuchtende Gasmoleküle sichtbar gemacht wird. Die beim Stoß erzeugten
Sekundärelektronen fliegen aus dem Strahl heraus, während die trägen positiven
Ionen zurückbleiben und wegen ihrer großen Anzahl und ihrer geringen
Geschwindigkeit eine starke positive Raumladung bilden. Unter der Wirkung
dieser Raumladung werden auf die Elektronen radial zur Strahlenachse Kräfte
ausgeübt, die eine Fokussierung der Elektronen zur Folge haben. So kann sich
der Fadenstrahl ausbilden. Der Vorteil einer solchen Gaskonzentrationsröhre
beruht darin, daß keine sichtbehindernde Elektronenoptik zur Bündelung des
Elektronenstrahles erforderlich ist, und daß durch das Vorhandensein von
positiven Ionen die Raumladung, die sich im Hochvakuum vor der Kathode
ausbildet, kompensiert und damit der Elektronenaustritt erleichtert wird.
Als Beschleunigungsspannung wird eine Spannung von 150 - 250 Volt dem
Netzanschlußgerät entnommen.Die für den Betrieb des Rohres erforderlichen
Schutzwiderstände sind in das Rohr eingebaut. Zur Inbetriebnahme des
Fadenstrahlrohres schließt man die für Heizspannung (6.3 Volt),
Anodenspannung und Spannung am Wehneltzylinder vorgesehenen Buchsen
des Fadenstrahlrohres an das Netzgerät an. Die Regelknöpfe für Anoden- und
Wehnelt-Spannung werden vor dem Einschalten des Netzgerätes auf Null
gestellt.
Die Messung der Anodenspannung erfolgt mit Hilfe eines Universal-DrehspulMeßinstrumentes mit den Meßbereichen 300 V oder 1000 V.
e/m 4
SPEZIFISCHE ELEKTRONENLADUNG
Um den Fadenstrahl der Wirkung eines homogenen Magnetfeldes aussetzen zu
können, wird das Fadenstrahlrohr auf dem Gestell in die Mitte einer
Helmholtzspulenanordnung gebracht, die ein besonders homogenes Magnetfeld
liefert.
Die Anordnung nach Helmholtz-Gaugain zur Erzeugung homogener
Magnetfelder ist dadurch gekennzeichnet, daß zwei kreisförmige Leiterspulen
mit gleichen Durchmessern, deren Mittelpunkte auf der gemeinsamen Achse im
Abstand ihrer mittleren Spulenradien liegen, von demselben Strom durchflossen
werden. Die vorliegenden Spulen haben je 129 Windungen.
Zur Erregung des Magnetfeldes wird ein gut geglätteter Gleichstrom verwendet,
der dem NGU-Netzgerät entnommen wird. An seinem Meßgerät ist die
Stromstärke abzulesen.
Die magnetische Induktion im inneren Bereich des Helmholtz-Spulensystems
läßt sich aus dem mittleren Spulenradius R, der Windungszahl n und der
Stromstärke I errechnen.
Es ist
⎡ V ⋅ s⎤
μ ⋅ 0.715 ⋅ n
B= 0
⋅I ⎢ 2 ⎥
R
⎣m ⎦
(1)
wobei die magnetische Feldkonstante
μ0 = 1256
.
⋅ 10−6
⎡ V⋅s ⎤
⎢⎣ A ⋅ m ⎥⎦
beträgt.
Ordnet man das Fadenstrahlrohr im Magnetfeld der Helmholtz-Spulen so an,
daß der Fadenstrahl das Strahlerzeugungssystem senkrecht zur
Magnetfeldrichtung verläßt, dann wirkt auf die einzelnen Elektronen des
Strahles die Lorentzkraft mit dem Betrag:
K = e⋅v ⋅B
Diese wirkt senkrecht zur Feldrichtung und zur Bewegungsrichtung. (v =
Geschwindigkeit der Elektronen , B = magnetische Induktion).
Unter der Einwirkung dieser Kraft wird der Fadenstrahl auf einen Kreisbogen
abgelenkt und bei hinreichend starkem Magnetfeld zu einem vollen Kreis mit
dem Radius r gebogen. Die auf die Elektronen wirkende magnetische Kraft K
muß dann gleich der Zentrifugalkraft m v2 r sein:
SPEZIFISCHE ELEKTRONENLADUNG
e/m 5
e⋅v⋅B=
mv2
r
Durch Umformung dieser Gleichung erhält man für die Geschwindigkeit v der
Elektronen die Beziehung:
(2)
v=
e
⋅ B⋅ r
m
Aus dem Energiesatz m v 2 / 2 = e U (U = Beschleunigungsspannung der
Elektronen) ergibt sich, wie die Geschwindigkeit der Elektronen von der Größe
der Beschleunigungsspannung U abhängt:
(3)
v = 2⋅
e
⋅U
m
Fügt man die Beziehung (3) in Gleichung (2) ein, so ergibt sich für die
spezifische Ladung der Elektronen
(4)
e
2⋅ U
= 2 2
m r ⋅B
⎡C⎤
⎢⎣ kg ⎥⎦
⎡ V ⋅ s⎤
U: [Volt], r: [Meter], B: ⎢ 2 ⎥
⎣m ⎦
Durch Messung von U, I, R und r läßt sich die spezifische Ladung der
Elektronen ermitteln.
Messung:
Zunächst schaltet man das Magnetfeld ein. Der Spulenstrom soll etwa 1 A
betragen. Dann schaltet man die Heizspannung (6.3 V) ein. Sobald die Kathode
zum Glühen gekommen ist, schaltet man die Anodenspannung von etwa 150 V
ein, wobei der aus dem Strahlerzeugungssystem austretende Fadenstrahl sichtbar
wird. Die Bündelung des Fadenstrahles erfolgt durch die Spannung am
Wehneltzylinder. Durch Variation sowohl der Wehneltspannung als auch der
Anodenspannung, läßt sich eine optimale Schärfe und Helligkeit des Strahles
erreichen. Durch Veränderung des Magnetspulenstromes kann der Durchmesser
des Elektronenstrahl-Kreises variiert werden.
Man bestimmt durch wiederholte Messungen den Durchmesser des Vollkreises
für verschiedene feste Werte des Magnetspulenstromes und der
e/m 6
SPEZIFISCHE ELEKTRONENLADUNG
Anodenspannung und errechnet dann unter Verwendung der Formeln (1) und (4)
den Wert der spezifischen Ladung e/m.
Der Durchmesser wird auf folgende Weise bestimmt:
1) Man wählt seine Blickrichtung so, daß der obere Rand des Kreises mit
seinem, durch den hinter der Röhre liegenden Spiegel erzeugten Spiegelbild zur
Deckung kommt (Parallaxenfreiheit) und zeichnet mit dem beigegebenen
Filzstift (keinen Kugelschreiber verwenden!) einen Strich in dieser Höhe auf die
glatte Seite der vor der Röhre aufgestellten Meßplatte aus Plexiglas.
2) Man zeichnet in analoger Weise parallaxenfrei die Höhe des unteren
Kreisrandes auf der Meßplatte ein.
3) Der Abstand beider Markierungen liefert direkt den Kreisdurchmesser 2 r.
Bei der Bestimmung des Durchmessers des zum Vollkreis gebogenen
Fadenstrahles ist zu beachten, daß die Kurve, die der Fadenstrahl beschreibt, in
der Nähe des Strahlerzeugungssystems von der idealen Kreisform abweicht und,
daß die Leuchterscheinung eine endliche Breite hat.
Aufgaben
1.) Für 15 verschiedene Beschleunigungsspannungen U (0...250V) bei
konstantem Magnetfeldstrom I=1.00A, sowie
2.) für 15 verschiedene Magnetfelder ( 0.80A ≤ I ≤ 2.00A ) bei konstanter
Beschleunigungsspannung U=150V ist der Radius der Elektronenkreisbahnen zu messen und damit nach Gln. (1) und (4) e/m zu berechnen.
3.) Man bilde Mittelwert und Gaußschen Fehler und vergleiche mit dem aus
der
Fehlerfortpflanzung ermittelten Fehler.
Bemerkung:
Zur Bestimmung des Fehlers des Kreisbahndurchmessers messe man bei
gleichen Srahldurchmesser 10 mal die Lage des obersten bzw. untersten Punktes
des Bahndurchmessers und dessen Fehler.
Fachrichtungen der Physik
UNIVERSITÄT
DES
SAARLANDES
Physikalisches Grundpraktikum
für Physiker/innen
Teil III
Kohärenz von Wellen
(Newtonsche Ringe)
WWW-Adresse Grundpraktikum Physik: http://grundpraktikum.physik.uni-saarland.de/
0
Kontaktadressen der Praktikumsleiter:
Dr. Manfred Deicher
Zimmer: 1.11, Gebäude E 2.6
e-mail: [email protected]
Telefon: 0681/302-58198
1H
Dr. Patrick Huber
Zimmer: 3.23, Gebäude E2.6
e-mail: [email protected]
Telefon: 0681/302-3944
2H
KW 2
KOHÄRENZ VON WELLEN
Fragen
Literaturhinweise beziehen sich auf Bücher, die in der Fachbibliothek Physik stehen.
1. Wie kann man experimentell "Interferenz gleicher Neigung" und "Interferenz
gleicher Dicke" erzeugen?
(Bergmann/Schäfer/Matossi, BSM, Band 3, Optik, S.239ff.)
2. Wie unterscheiden sich Aufbau, Wirkungsweise und physikalische Eigen-schaften
von Interferenzfiltern und Farbglasfiltern?
(Versuch "Optische Materialkonstanten" und BSM S.256ff.)
3. Wie sind Phasen- und Gruppengeschwindigkeit definiert?
(BSM S.161)
4. Wie hängt bei senkrechtem Lichteinfall das Reflexionsvermögen an einer ebenen
Grenzfläche mit den (absoluten) Brechungsindizes n1 und n2 der beiden Medien
zusammen?
5. Worin liegt die Ursache der Kontrasterniedrigung der Ringe bei Aufgabe 2 im
Vergleich zu Aufgabe 1? Welche Möglichkeiten hat man zur Kontrast-steigerung?
6. Inwiefern ist bei der Versuchsanordnung zur Erzeugung Newtonscher Ringe die
räumliche Kohärenzbedingung erfüllt?
7. Wie ändert sich Gl.(16), wenn die Linse (z.B. wegen einiger Staubpartikel oder
Kratzer) die Glasplatte nicht berührt, sondern in einem Abstand D über der Platte
liegt?
Literatur
Born und Wolf:
„Principles of Optics“: Wave packets and the group
velocity, Elements of the theory of interference and
interferometers.
Gerthsen/Kneser/Vogel:
„Physik“: Interferenz des Lichtes
Bergmann/Schäfer/Matossi: „Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 3, Optik“:
Phasen-, Gruppen- und Frontgeschwindigkeit; Interferenz und Beugung
Pohl:
„Optik und Atomphysik“: Interferenz
Frauenfelder/Huber:
„Physik II“: Interferenz und Beugung
L. Mandel, E. Wolf:
Review of modern physics 37, 231
NEWTONSCHE RINGE
KW 3
Anmerkung:
Der Laser hat sowohl auf experimentellem wie auf theoretischem Gebiet starke
Anstöße zur Weiterentwicklung der Physik geliefert (Eigenschaften
elektromagnetischer Felder, Statistik von Vielteilchensystemen, Emissions- und
Absorptionsvorgänge, nichtlineare Optik usw.). Wesentliche Eigenschaften des
Laserlichtes kann man durch seine Kohärenz erklären. Darüber hinaus spielt der
Kohärenzbegriff die entscheidende Rolle bei der Interferenz von Wellen aller Art.
I. Grundlagen
I.1 Die statistische Lichtquelle
Mit geeigneten Sendern kann man streng periodische Schall- oder Radiowellen
beliebig lange erzeugen. Ist die Sendergröße sehr viel kleiner als die Wellenlänge, so
können Kugelwellen ausgesandt werden. In großem Abstand vom Sender kann man
diese für kleine Raumwinkelbereiche durch ebene Wellen hinreichend genau nähern,
die sich durch besonders einfache mathematische Beschreibung auszeichnen.
Allgemein wird eine ebene monochromatische Welle gegeben durch die Gleichung
A(x,t) = f1(ωt-kx) + f2(ωt+kx)
(1)
Wobei A die Amplitude, ω die Kreisfrequenz, t die Zeit, x die Ausbreitungsrichtung
und k=ω/c die Wellenzahl bedeuten (c ist die Lichtgeschwindigkeit).
Anders beim Licht, das von einem Atom im Gas, in einer Flüssigkeit oder einem
Festkörper ausgesandt wird: Ein angeregtes Atom benötigt für die Rückkehr in den
Grundzustand nur 10-15 bis 10-8 s. Wann dasselbe Atom danach erneut Strahlung
aussenden wird, ist völlig unbestimmt, die Emissionsakte sind voneinander statistisch
unabhängige Vorgänge (daher "statistische" Lichtquelle). Dies gilt für die spontane
Emission, also nicht für die induzierte Emission, auf der der Laser-Effekt beruht. Die
Emissionsdauer Δt bestimmt die Länge lc des ausgesandten Wellenpaketes, es gilt:
lc=c ⋅ Δt
(2)
Nach Fourier läßt sich ein Wellenpaket durch Überlagerung von unendlich vielen
ebenen monochromatischen Wellen aus einem Frequenzintervall Δν (der sogenannten
Bandbreite) um eine mittlere Frequenz ν0 herum beschreiben, und es gilt
Δt ⋅ Δν ≈ 1
(3)
KW 4
KOHÄRENZ VON WELLEN
Die Bandbreite Δλ des Lichtes ergibt mit Gleichung (2):
(3’)
lc ≈ λ2/Δλ
I.2 Kohärenz
Definition: Wir nennen Lichtbündel zueinander kohärent, wenn man durch lineare
Superposition der Bündel zeitlich konstante (d.h. beobachtbare) Interferenzfiguren
erzeugen kann. Aus dem Kontrast der Interferenzfiguren kann man den sog.
Kohärenzgrad als ein Maß für den Betrag der Kohärenz herleiten:
(4)
I
− I min
v = max
I max + I min
wobei Imax und Imin die zeitlichen Mittelwerte der Lichtintensitäten in benachbarten
Interferenzmaxima und -minima sind. Man sieht, daß für den Kohärenzgrad gilt:
0≤v≤1
Die Theorie zeigt, daß der Kohärenzgrad im allgemeinen eine komplexe Größe ist.
Das oben definierte v ist dann der Betrag des Kohärenzgrades. Die Extremfälle v=0
und v=1 nennt man Inkohärenz bzw. vollständige Kohärenz. Die Zwischenfälle
bezeichnet man als partielle (teilweise) Kohärenz.
I.3 Kohärenzzeit und Kohärenzlänge
Sie wird durch ein Interferenzexperiment vom Michelson-Typ (z.B. Newtonscher
Versuch) untersucht. Dazu spaltet man ein Lichtbündel in zwei Teile und vereinigt
diese wieder, nachdem der eine Teil einen längeren Weg zurückgelegt hat als der
zweite. Wird die Wegdifferenz d größer als die mittlere Länge der Wellenpakete lc,
so entstehen keine zeitlich konstanten Interferenzstreifen mehr. Auf diese Weise kann
man direkt die mittlere Länge der Wellenpakete messen. Man nennt diese Länge die
Kohärenzlänge und die zugehörige Zeit Δt=lc/c die Kohärenzzeit. Kohärenz kann
man beobachten, wenn die Zeitverzögerung Δt' zwischen beiden Teilbündeln kleiner
ist als die Kohärenzzeit Δt, und mit Gl.(3) erhält man die zeitliche
Kohärenzbedingung
(5)
Δt'⋅Δν≤1
NEWTONSCHE RINGE
KW 5
I.4 Kohärenzfläche, räumliche Kohärenz
Bei Beugungsexperimenten vom Youngschen Typ (Fig.1) tritt bei ausgedehnter
Lichtquelle (Leuchtfläche FL) als weiteres Problem hinzu, daß durch die
Spaltöffnungen S1 und S2 zu jedem Punkt P in der Ebene E2 Licht von verschiedenen
Punkten der Lichtquelle gelangt. Wir wollen dabei annehmen, die Bandbreite des
Lichtes sei klein: Δν<<ν0. Damit die Interferenzfigur bei P, die von Licht des Punktes
A1 der Lichtquelle herrührt, sichtbar bleibt, dürfen sich die durch Licht anderer Orte
(z.B. A2) in P entstehenden Interferenzfiguren nur geringfügig von der ersten
unterscheiden; genauer: Entsteht von A1 in P ein Intensitätsmaximum, so darf von A2
dort kein Minimum entstehen, da der Kontrast der Gesamt-Interferenzfigur
verschwinden würde. Für die Differenz Δs der beiden Weglängenunterschiede Δ
s1=A1S1P-A1S2P und Δs2=A2S1P-A2S2P muß also gelten
Δs = Δs1-Δs2 < λ/2
(6)
Für den Spezialfall, daß A1 und P auf der Symmetrieachse der Versuchsanordnung
liegt, können wir Δs leicht berechnen (vgl. Fig.1): Es ist anschaulich klar, daß
A1S1P=A1S2P, d.h. Δs1=0 ist. Weiter gilt A 2S1 = y2 + (a + d) 2 . Im Youngschen
Experiment sind a<<y und d<<y,
daher gilt die Näherung A2S1≈y(1+(a+d)2/(2y2)). Entsprechend gilt
A2S2≈y(1+(a-d)2/(2y2)), und wir erhalten Δs2=2ad/y. Mit Gl.(6) folgt als Bedingung
für die Sichtbarkeit der gesamten Interferenzfigur in der Umgebung von P:
2ad/y < λ/2
(7)
Fig. 1
KW 6
KOHÄRENZ VON WELLEN
Nun gilt 2a/y = 2tan(α/2) ≈ sin α und 2d/y = 2tan(β/2) ≈ sin β, so daß wir Gl.(7) auch
schreiben können:
(8a)
a⋅sin β < λ/2
bzw.
(8b)
d⋅sin α < λ/2
Die Bedingung (8a) bzw. (8b) nennt man die räumliche Kohärenzbedingung. Gl.(8a)
begrenzt die für kohärente Ausleuchtung des Doppelspaltes erlaubte Größe der
Lichtquelle bei vorgegebenem Abstand y. Gl.(8b) dagegen gibt an, wie groß der
kohärent ausgeleuchtete Bereich um Q in der Spaltebene E1 ist. Wir können daraus
die kohärent ausgeleuchtete Fläche in der Spaltebene angeben. Der Einfachheit halber
werden wir sie durch ein Quadrat annähern, da ja die Gln.(8) nur eine Größenrelation
darstellen. Wir erhalten
(9)
Fkoh ≈ (y⋅sin β)2
Setzen wir für die obere Grenze in Gl.(8a) das Gleichheitszeichen, so können wir in
Gl.(9) einsetzen und erhalten
(10)
⎛ y ⋅ λ ⎞2 ( y ⋅ λ)
⎟ =
Fkoh ≈ ⎜
FL
⎝ 2a ⎠
2
wobei FL = 4a2 die Fläche der Lichtquelle sein soll. Fkoh nennt man die
Kohärenzfläche im Abstand y von der Lichtquelle um den Punkt Q in der Ebene E1.
Die beiden Spaltöffnungen S1 und S2 müssen in dieser Fläche liegen, damit man in
der Ebene E2 in der Umgebung von P Interferenzstreifen beobachten kann.
Anmerkung:
Während die Kohärenzzeit eine Eigenschaft des Wellenpaketes und damit der
Lichtquelle ist, hängt die Kohärenzfläche von der Geometrie der Versuchsanordnung
ab. Zur Verbesserung der zeitlichen Kohärenz muß man die Bandbreite herabsetzen
(z.B. durch Benutzung eines Farbfilters oder eines Monochromators), zur
Verbesserung der räumlichen Kohärenz kann man z.B. den Abstand y zwischen
Lichtquelle und Spaltebene vergrößern.
NEWTONSCHE RINGE
KW 7
I.5 Kohärenzvolumen und Elementarbündel
Wir wollen jetzt annehmen, das Lichtbündel bestehe aus fast ebenen
quasimonochromatischen Wellen. Den Zylinder mit der Kohärenzfläche Fkoh als
Grundfläche und der Kohärenzlänge lc als Höhe, wobei die Zylinderachse in
Ausbreitungsrichtung liegt, nennt man das Kohärenzvolumen
λ2 ⋅ y2 ⋅ c
Vkoh = Fkoh ⋅ lc =
=
Δν⋅ FL
y2 λ4
⋅
FL Δλ
(11)
Wenn sich alle Wellen in demselben Polarisationszustand befinden, nennt man das
Kohärenzvolumen auch Elementarbündel der fast ebenen, quasimonochromatischen
Wellen.
II. Spezialfälle
II.1 Zwei Sinuswellen gleicher Frequenz
Wählen wir nun aus einem Wellenpaket zwei Fourierkomponenten A1 und A2 aus,
deren Überlagerung wir untersuchen wollen:
A1 = a1 ⋅ sin( ω1 t − k1x1)
ω1 = ω2 = ω
A 2 = a 2 ⋅ sin( ω2 t − k 2 x 2 )
k1 = k2 = k
Mit den Additionstheoremen für den Sinus erhält man, wenn man zudem beachtet,
daß die durch Überlagerung entstehende Welle A3 wieder durch eine Sinusfunktion
beschrieben wird:
a 23 = a12 + a 22 + 2 a1 a 2 ⋅ cos( k ⋅ d ) ,
wobei k⋅d = k⋅(x2-x1) die Phasendifferenz der beiden Wellen darstellt. Da sich die
Intensität i der ebenen Welle aus den Amplituden zu i=c⋅ε⋅a2/(4π)⋅
(ε=Dielektrizitätskonstante des Ausbreitungsmediums) ergibt, erhalten wir:
i 3 = i1 + i 2 + 2 cos ( k d) i1 i 2
Für die Beobachtbarkeit von Interferenzfiguren ist der zeitliche Mittelwert der
Intensitäten I entscheidend, da das Auge oder sonstige Nachweisgeräte sehr träge sind
im Vergleich zur Schwingungsdauer des Lichtes. Ist die Phasendifferenz zeitlich
konstant, so erhalten wir
KW 8
(12)
KOHÄRENZ VON WELLEN
I 3 = I1 + I 2 + 2 cos ( k d ) I1 I 2
Nehmen wir an, die Überlagerung sei in einem Newtonschen Interferenzversuch
zustandegekommen. Dort wächst die Phasendifferenz kd monoton. Dabei ändert sich
periodisch
zwischen
I max = I1 + I 2 + 2 I1 I 2
und
die
Intensität
I3
I min = I1 + I 2 − 2 I1 I 2 . Sind speziell die Amplituden beider Wellen gleich (a1=a2),
so ist Imax = 4I1 und I min =0. Die beiden Wellen sind also vollständig kohärent
zueinander, aus Gl.(4) folgt v = 1. Wechselt dagegen die Phasen-differenz mit der
Zeit sehr rasch (d = d(t)), so wird das Zeitmittel des Inter-ferenzterms Null:
2 I1 ⋅ I 2 cos( k ⋅ d(t)) = 0
t
Als zeitlichen Mittelwert der resultierenden Intensität erhalten wir dann I3=I1+I2. Die
beiden Wellen sind also zueinander inkohärent, v = 0. Eine Zeitabhängigkeit der
Phasendifferenz entsteht bei Lichtwellen z.B. dadurch, daß die Kohärenzlänge im
Newton-Experiment überschritten wird.
II.2 Interferenz mit polychromatischem Licht
a) Zwei Spektrallinien verschiedener Frequenz
Das Licht soll aus zwei Spektrallinien verschiedener Frequenzen ω1 und ω2 bestehen,
deren Wellenpakete wir in grober Näherung als monochromatische ebene SinusWellenzüge gleicher Amplitude A beschreiben wollen:
A1 = a ⋅ sin ( ω1 t − k 1 x + ϕ1( t ) )
A 2 = a ⋅ sin ( ω 2 t − k 2 x + ϕ 2( t ) )
ϕ1(t) und ϕ2(t) sind im allgemeinen zeitabhängige Phasen"konstanten": Sie werden
für jeden einzelnen Wellenzug als konstant angenommen, können aber zwischen zwei
aufeinanderfolgenden Zügen variieren. Bei der Überlagerung beider Wellen entsteht
eine Welle, deren Amplitude sich räumlich und zeitlich ändert. Dieses Verhalten ist
die Verallgemeinerung des aus der Schwingungslehre her bekannten Begriffs der
Schwebung. Die Anwendung der Additionstheoreme liefert
B = A 1 + A 2 = 2a ⋅ sin ( Ω t − K x + Φ) cos ( ω t − k x + ϕ)
mit
(
Ω = ( ω1 + ω 2 ) 2 ,
K = ( k1 + k 2 ) 2 ,
Φ = ( ϕ1 + ϕ2 ) 2
)
ω = ω1 − ω 2 2 ,
k = ( k1 − k 2 ) 2 ,
und
ϕ = ( ϕ1 − ϕ 2 ) 2 .
NEWTONSCHE RINGE
KW 9
Die Welle B werde in einem Newtonschen Interferenzversuch in zwei Teile B1 und
B2 aufgespalten, wobei die Welle B2 einen um d längeren optischen Weg zurücklegt,
bevor die Wellen interferieren. Der Vereinfachung halber nehmen wir an, die
Aufspaltung von B erfolge in gleiche (d.h. gleichintensive) Teile. Die beiden
interferierenden Teilwellen sind dann
B1 = a sin ( Ω t − K x + Φ) ⋅ cos( ω t − k x + ϕ)
(
)
(
)
B 2 = a sin Ω t − K ( x + d ) + Φ ⋅ cos ω t − k ( x + d ) + ϕ
Der zeitliche Mittelwert der Gesamtintensität bei Überlagerung beider Teilwellen
ergibt sich wieder zu
I = const ⋅ ( B1 + B2 )
2t
(
= const ⋅ B12 + B22 + 2B1B2
= I1 + I2 + 2 ⋅ const ⋅ B1B2
)
t
(13)
t
Wie unter II.1 ergibt sich die Gesamtintensität als Summe der Einzelintensitäten I1
t
und I2 zuzüglich des Interferenzterms const'⋅B1B2 . Für die Entstehung von
beobachtbaren Interferenzfiguren ist letzterer entscheidend. Mit Hilfe der
Additionstheoreme erhält man
2B1B2 = const ⋅ 2a ⋅ cos( kd ) ⋅ cos( Kd )
t
(14)
Abb. 2⋅
Abb.2 zeigt den aus den Gln.(13) und (14) folgenden Verlauf der zeitgemittelten
Gesamtintensität als Funktion der Gangdifferenz d. Berechnet man nach Gl.(4) den
Betrag des Kohärenzgrades, so findet man
KW 10
(15)
KOHÄRENZ VON WELLEN
v = |cos(kd)|
Der Kohärenzgrad oszilliert also mit d zwischen 0 und 1, die Nullstellen liegen bei
dm = π⋅(2m+1)/(2k)= π⋅(2m+1) ⋅c/(ω1 - ω2). Dieses Kohärenzverhalten wird in
Aufgabe 3 untersucht werden.
b) Spektrum ausgedehnter Bandbreite
Die Betrachtung von II.2a kann man auch für Licht eines ausgedehnten
Spektralbereichs durchführen. Dieser Spektralbereich sei rechteckig (vgl. Abb.3). Wir
unterteilen ihn in quasimonochromatische Bereiche, die wir mit 1, 1', 2, 2', 3, 3' usw.
durchnumerieren. Jedes Paar (n, n') können wir durch Wellen vom Typ der Gl.(13)
beschreiben. Den zugehörigen Kohärenzgrad vn,n' finden wir wieder durch Gl.(15).
Man sieht, daß min(d0(n,n'))=d0(1,1'), also bestimmt das Paar der am weitesten
voneinander entfernten Linien (1,1'), d.h. die spektrale Bandbreite, den
Kohärenzbereich v≠0. Dieses Kohärenzverhalten wird in Aufgabe 4 untersucht
werden.
Abb. 3
II.3 Abschätzung der zeitlichen Kohärenz (vgl. Aufg.4)
Wir betrachten einen ungedämpften Wellenzug der Länge lc=c⋅Δt, der die folgende
Form hat
⎧⎪f ⋅ e-2π i ν t für t ≤ Δt
0
2
F(t) = ⎨
Δ
t
⎪⎩
0
für t ≥ 2
0
wobei f0=a⋅eikx.
Dieser Wellenzug ist sehr idealisiert, da von Atomen ausgesandte Wellenzüge stets
gedämpft sind. Mit dem Fourierschen Integraltheorem
NEWTONSCHE RINGE
KW 11
+∞
F(t) =
ϕ(ν) =
∫ ϕ( ν) ⋅ e-2iπνt dν
-∞
+∞
∫ F( t ) ⋅ e +2iπνt d t
-∞
folgt dann
⎡ e2iπ( ν-ν ) ⋅ t ⎤t=+ Δt 2
⎥
ϕ( ν) = f0 ∫ e2iπ( ν-ν ) ⋅ t dt = f0⎢
(
)
2i
π
ν
ν
⎢
0 ⎥⎦
- Δt 2
⎣
t=- Δt 2
+ Δt 2
0
0
⎛ e iπ( ν-ν ) ⋅ Δt − e-iπ( ν-ν ) ⋅ Δt ⎞
sin( π( ν - ν0 ) ⋅ Δt )
⎟⎟ = f0 ⋅ Δt ⋅
= f0⎜⎜
2iπ( ν - ν0 )
π( ν - ν0 ) ⋅ Δt
⎝
⎠
0
0
Für die Intensität gilt demnach
⎛ sin( π( ν - ν0 ) ⋅ Δt ) ⎞2
⎟
I ∝⎜
⎝ π( ν - ν0 ) ⋅ Δt ⎠
Die erste Nullstelle der Intensität erscheint, wenn das Argument des Sinus-Terms
gleich π ist, d.h. wenn Δν = ν − ν0 = 1 Δt gilt. Der effektive Frequenzbereich des
Fourierspektrums ist also von der Größenordnung der reziproken Emissionsdauer
eines einzelnen Wellenzuges.
III Aufgaben
Aufgabe 1:
Man bestimme den Krümmungsradius einer dünnen Konvexlinse durch Ausmessen
der Radien der Newtonschen Ringe von z = 10 bis z = 20.
Messung:
Fällt fast monochromatisches Licht der Wellenlänge λ auf eine auf einer ebenen
Glasplatte aufliegende, schwach gekrümmte Linse, so beobachtet man im
reflektierten (wie auch im durchfallenden) Licht ein System konzentrischer,
abwechselnd heller und dunkler Ringe, die sogenannten Newtonschen Ringe. Sie
entstehen durch Interferenz der Teilbündel, welche an den die Schicht mit
Brechungsindex n zwischen Linse und Glasplatte begrenzenden Oberflächen
KW 12
KOHÄRENZ VON WELLEN
reflektiert werden. Zwischen dem Radius rz des dunklen Ringes z-ter Ordnung und
dem Krümmungsradius R der Linse besteht der Zusammenhang (Herleitung in der
angegebenen Literatur nachlesen!).
(16)
rz2 =
z⋅λ⋅ R
n
Dabei ist n wie oben schon erwähnt der Brechungsindex. Diese Beziehung liefert eine
Methode, durch Messung von rz den Krümmungsradius R zu bestimmen. Zur
Beobachtung und Ausmessung der Ringe dient die Anordnung wie in Fig.4 skizziert.
Fig.4
Das monochromatische Licht einer Na-Dampflampe Q der Wellenlänge λ=5893Å
wird durch eine schräggestellte Glasplatte P umgelenkt und fällt von oben auf das
System Linse L/Glasplatte G. Die infolge der keilförmigen Schicht zwischen L und G
entstehenden Interferenzen werden mittels eines Mikroskops M beobachtet. Das
System Linse/Glasplatte liegt auf einem meßbar verschiebbaren Schlitten S, welcher
ebenso wie das Mikroskop M Bestandteil eines Komparators ist. Verschiebt man S
mittels der Komparatorspindel relativ zu M, so wandert das Ringsystem durch das
Gesichtsfeld von M. Zur Bestimmung von rz bringt man zunächst die Mitte des
Fadenkreuzes an das eine Ende eines Durchmessers des z-ten Ringes. rz ergibt sich
dann aus der Verschiebung von S, die nötig ist, um die Fadenkreuzmitte mit dem
gegenüberliegenden Ende des Durchmessers zur Deckung zu bringen. Die
Verschiebung ist an der Trommel der Mikrometerspindel unmittelbar ablesbar.Eine
Umdrehung der Mikrometerspindel bewirkt eine Verschiebung des Schlittens um
1mm. Zur Ausmessung sämtlicher rz beginne man zweckmäßigerweise mit dem Ring
größten Durchmessers (z = 20) und bestimme nacheinander die Positionen der
aufeinanderfolgenden Minima abnehmender Ordnung bis z = 10 und anschließend die
NEWTONSCHE RINGE
KW 13
Positionen der Minima der anderen Hälfte des Ringsystems von z = 10 bis z = 20.
Wegen des toten Ganges der Mikrometerspindel ist darauf zu achten, daß diese
immer in der gleichen Richtung gedreht wird. Für die Verläßlichkeit der Messung ist
entscheidend, daß die Relativbewegung der Fadenkreuzmitte entlang eines
Durchmessers des Ringsystems erfolgt. Zur Auswertung der Messung wird rz2 gegen
z graphisch aufgetragen und R aus der Steigung der resultierenden Geraden
berechnet.
Aufgabe 2:
Man bestimme den Brechungsindex n von destilliertem Wasser.
Messung:
Diese Aufgabe zeigt, daß nicht der geometrische Wegunterschied δ sondern der
optische Wegunterschied d=n⋅δ für die Interferenz wesentlich ist. Analog zur ersten
Aufgabe, bei der der Keil zwischen L und G mit Luft gefüllt war, wird nun ein
Tropfen destilliertes Wasser mit einer Spritzflasche in den Keil gebracht und die
Messung der Aufgabe 1 wiederholt. Zur Berechnung von n wird der dort ermittelte
Wert von R benutzt.
Aufgabe 3:
Man bestimme die Wellenlängendifferenz Δλ = λ1 − λ2 zweier Linien des HgSpektrums.
Messung:
Aus dem Licht einer Hg-Dampflampe werden durch ein Farbfilter zwei Linien mit
den Wellenlängen λ1 und λ2 herausgefiltert. Man mißt die Lage der
Sichtbarkeitsminima der mit den beiden Linien erzeugten dunklen Newtonschen
Ringe. Dazu zählt man die Ringe bis zum ersten, zweiten, dritten und vierten
Minimum der Sichtbarkeit der Newtonschen Ringe. Sichtbarkeitsminimum bedeutet v
= 0. Aus Gl.(15) folgt für v=0:
kd = ( 2 w − 1) ⋅
bzw.
π
2
( 2 w − 1)
⎛ Δλ ⎞
⎜ 2 ⎟⋅ d =
,
2
⎝λ ⎠
w = 1, 2, 3, 4 ist die Ordnung des entsprechenden Sichtbarkeitsminimums. Für den zten Newtonschen Ring gilt außerdem
KW 14
KOHÄRENZ VON WELLEN
d = ( 2 z + 1) ⋅
λ
2
z = 0, 1, 2, ... ist die Ordnung der Newtonschen Ringe. Es ergibt sich mit der
mittleren Wellenlänge λ = ( λ1 + λ2 ) 2 die Beziehung
Δλ ( 2 w − 1)
=
λ
( 2z + 1)
Wegen Δλ << λ1 , λ2 kann man hier λ1 ≈ λ2 ≈ λ = 561 nm setzen.
Aufgabe 4:
Man bestimme die Kohärenzlänge lc von Licht mit verschiedenen spektralen
Bandbreiten.
a) weißes Licht: Als mittlere Wellenlänge wähle man λ = 555 nm, was dem
Maximum der Farbempfindlichkeit des menschlichen Auges entspricht. Die
Bandbreite der Augenempfindlichkeit ist etwa Δλ ≈ 100 nm (Halbwertsbreite).
b) Blaufilter: λ = 470 nm, Δλ = 60 nm
c) Interferenzfilter: λ = 581 nm, Δλ = 13 nm
d) Na-Dampflampe: λ = 589.3 nm . Hier schätze man die durch die Versuchsanordnung (Linsendurchmesser) gegebene untere Grenze für lc ab.
Messung:
Man bestimme die Zahl der dunklen Ringe zmax und errechne daraus lc. Dazu zeige
man zunächst, daß l c = z max ⋅ λ . Die Ergebnisse vergleiche man mit den aus Gl.(2)
folgenden theoretischen Werten für die Kohärenzlängen.
Fachrichtungen der Physik
UNIVERSITÄT
DES
SAARLANDES
Physikalisches Grundpraktikum
für Physiker/innen
Teil III
Beugung von Röntgenstrahlen
WWW-Adresse Grundpraktikum Physik: http://grundpraktikum.physik.uni-saarland.de/
Kontaktadressen der Praktikumsleiter:
Dr. Manfred Deicher
Zimmer: 1.11, Gebäude E 2.6
e-mail: [email protected]
Telefon: 0681/302-58198
Dr. Patrick Huber
Zimmer: 3.23, Gebäude E2.6
e-mail: [email protected]
Telefon: 0681/302-3944
BR 2
Beugung von Röntgenstrahlen
Beugung von Röntgenstrahlen
Stoffgebiet
Röntgenröhre
Entstehung von Röntgenstrahlen
Nachweis von Röntgenstrahlung
Beugung elektromagnetischer Wellen
Bragg-Reflexion
Einkristallstrukturen
Literatur
Gerthsen-Kneser-Vogel: Physik
Bergmann-Schaefer Bd. 3: Optik
Haken-Wolf: Atom- und Quantenphysik
Finkelnburg: Einführung in die Atomphysik
Kittel: Einführung in die Festkörperphysik
Βeugung von Röntgenstrahlen
BR 3
Fragen:
1. Erklären Sie den Aufbau und die Wirkungsweise einer Röntgenröhre.
Welches sind die gebräuchlichsten Anodenmaterialien?
Wie unterscheiden sich die mit diesen Materialien erzeugten Röntgenstrahlen?
2. Erklären Sie das Entstehen der Bremsstrahlung sowie der charakteristischen
Röntgenstrahlung.
Hängt das Bremsstrahlungsspektrum vom Anodenmaterial ab?
3. Erläutern Sie weitere Methoden zur Erzeugung von Röntgenstrahlen.
4. Erklären Sie Methoden zum Nachweis von Röntgenstrahlung.
5. Leiten Sie die Bragg-Gleichung her.
6. Welche Bedingung muss die Wellenlänge von Photonen erfüllen, damit die
Bragg-"Reflexion" möglich ist?
7. Die drei wichtigsten Arten der Wechselwirkung von Röntgenstrahlen mit
Materie sind die Photoabsorption, der Compton-Effekt und der Paarbildungseffekt. Erklären Sie diese Prozesse.
Welches ist die Voraussetzung für Paarbildung?
8. Erläutern Sie die Methoden, das Plancksche Wirkungsquantum = zu bestimmen.
9. Welche Kristallstruktur besitzt der LiF-Kristall?
Zeichnen Sie die Elementarzelle.
Welche kristallinen Bindungskräfte bewirken den Zusammenhalt des LiFKristalls?
10. Skizzieren Sie die Methode der graphischen Konstruktion der Streurichtung
mit der Ewald-Kugel.
11. Die Intensität des gestreuten (gebeugten) Strahls ist bestimmt durch den
Atomformfaktor, den Strukturfaktor und den Debye-Waller-Faktor. Erklären
Sie diese Größen.
BR 4
Beugung von Röntgenstrahlen
Grundlagen
1. Entstehung der Röntgenstrahlung
Röntgenstrahlung entsteht, wenn energiereiche geladene Teilchen, zum Beispiel
schnelle Elektronen, auf Materie treffen. Technisch wird Röntgenstrahlung mit
Hilfe von Röntgenröhren oder von Elektronenbeschleunigern erzeugt. Bei der
Röntgenröhre werden die von der Glühkathode emittierten Elektronen durch die
Hochspannung U B in Richtung der Anode (gebräuchlichste Materialien: Cu,
Mo, W) beschleunigt und prallen auf die Anode auf. Bei der Wechselwirkung
zwischen Elektronen und Atomen des Anodenmaterials (des „Target“-Materials)
erfolgen zahlreiche elementare Prozesse, bei denen die Elektronen jeweils einen
Teil ihrer kinetischen Energie abgeben:
a) Zusammenstoß mit einem äußeren Hüllenelektron.
Dabei gibt das stoßende Elektron nur einen geringen Teil seiner kinetischen
Energie ab. Er dient zur Ionisierung oder Anregung der Target-Atome. Dieser
Wechselwirkungsprozess führt lediglich zur (unerwünschten) Erwärmung des
Anodenmaterials.
b) Zusammenstoß mit einem Hüllenelektron einer inneren Schale.
Durch Abgabe ihrer kinetischen Energie können die Elektronen die TargetAtome auch ionisieren, indem Elektronen der innersten Schale entfernt werden. Das angeregte Atom geht bevorzugt in einen tieferen Energiezustand
über, indem ein Elektron aus der nächsten oder übernächsten Schale in die innerste Schale überwechselt und dabei die Energiedifferenz als Röntgen-Quant
emittiert. Geht dabei das Elektron von der L- oder der M-Schale in die KSchale über, so erhält man die Kα - oder die K β -Linie. Die große Anzahl weiterer Linien ist wegen ihrer schwachen Intensitäten i.d.R. ohne Bedeutung.
Da die Energien der Elektronen-Niveaus eines Atoms von seiner Kernladungszahl abhängen, ist die Energiedifferenz zweier Zustände für ein bestimmtes chemisches Element charakteristisch. Dementsprechend bezeichnet
man die so erzeugte Strahlung als charakteristische Röntgenstrahlung.
c) Ablenkung und Abbremsung im elektrischen Feld des Target-Atoms.
Röntgen-Photonen, die durch diesen Prozess entstehen, bilden das kontinuierliche Spektrum der Bremsstrahlung.
Βeugung von Röntgenstrahlen
BR 5
Der plötzlichen Bremsung, also einer nichtperiodischen Beschleunigung, entspricht nach Fourier ein kontinuierliches Spektrum, d.h. bis zu beliebig hohen
Frequenzen müsste sich das Spektrum nach der klassischen Elektrodynamik
erstrecken. Jedoch kann ein Elektron nach der Quantentheorie keine Quanten
beliebig hoher Energie erzeugen. Das energiereichste Strahlungsquant entsteht, wenn das Elektron durch einen einzigen Prozess seine gesamte kinetische Energie eU B umwandelt. Es gilt dann:
(1)
e ⋅ U B = h ⋅n max = h ⋅
c
lmin`
wobei c, lmin und n max die Lichtgeschwindigkeit, die Grenzwellenlänge und
die Grenzfrequenz der emittierten Bremsstrahlung bedeuten.
Die maximale Intensität sowohl des kontinuierlichen Brems- als auch des charakteristischen Linienspektrums hängen (nichtlinear) von der Beschleunigungsspannung U B sowie vom Targetmaterial ab. (Näherungsweise liegt das Maximum der Bremsstrahlung bei 1.5 lmin .)
Durch Einsetzen der numerischen Werte
h = 6.625 ⋅ 10−34 J s
e = 1.6023 ⋅ 10−19 C
c = 2.998 ⋅ 108 m/s
in Gleichung (1) erhält man das Duane-Hunt-Gesetz:
lmin [ nm ] = 1.234 / U B [ kV ] .
Nach Gleichung (1) ist die Grenzfrequenz n max der angelegten Spannung U B direkt proportional:
Mit steigendem U B wird n max größer; man sagt, die Strahlung härtet auf.
Die lineare Beziehung zwischen U B und n max ermöglicht bei Kenntnis des Zahlenwertes von e die Bestimmung der Planck-Konstante h (vgl. Aufg. 4).
BR 6
Beugung von Röntgenstrahlen
2. Die Röntgenbeugung
Man analysiert Kristallstrukturen durch die Beugung von Photonen, Neutronen
oder Elektronen. Die Beugung hängt sowohl von der Kristallstruktur als auch
von der Wellenlänge ab. Bei optischen Wellenlängen ( l ≈ 5000 Å) ergibt sich
die kohärente Überlagerung aller Wellen, die an den einzelnen Atomen eines
Kristalls elastisch gestreut werden, die transmittierte Welle, evtl. durch optische
Brechung in ihrer Richtung verändert (Huygens). Ist jedoch, wie bei Röntgenstrahlung ( l ≈1 Å), so findet man gebeugte Strahlung in diskreten Richtungen,
die von der einfallenden Richtung gänzlich verschieden sind.
Diese Richtungen der gebeugten Strahlen sind nach W.L. Bragg aus einfachen
geometrischen Überlegungen ableitbar. Eine Aussage über die Streuintensität
lässt sich aus der Bragg-Konstruktion jedoch nicht machen.
Konstruktion der Streurichtung nach Bragg:
Die von W.L. Bragg im Jahre 1913 aufgestellte Ableitung der Streurichtung geht
von der Überlegung aus, dass die einfallenden Wellen an parallelen Ebenen aus
Kristallatomen, sogenannten „Gitterebenen“ oder „Netzebenen“ im Abstand d
voneinander, reflektiert werden (siehe Abb.1)
Abb. 1
Βeugung von Röntgenstrahlen
BR 7
Unter den Voraussetzungen, dass
a) die einfallenden Wellen an den Netzebenen spiegelnd reflektiert werden, d.h.
Einfallswinkel gleich Reflexionswinkel ist,
b) die an den Netzebenen reflektierten Wellen konstruktiv interferieren, und
c) die Wellen elastisch gestreut wurden, d.h. die Wellenlänge der Photonen erhalten bleibt,
folgt aus einfachen geometrischen Überlegungen (Abb. 1) die Bragg-Gleichung:
(2)
2 ⋅ d ⋅ sin Q = n ⋅ l
wobei Θ der Glanzwinkel, d.h. der Winkel zwischen Einfallsrichtung und Netzebene, und n die Ordnungszahl des Interferenzmaximums bedeuten. Diese Konstruktion nach Bragg verdeutlicht, dass im Gegensatz zur Reflexion (von z.B.
sichtbarem Licht) an einer Oberfläche die Braggsche Reflexion ein Effekt des
ganzen Volumens ist, an dem zahlreiche Gitterebenen beteiligt sind. Ein reflektierter Strahl entsteht - ebenfalls im Gegensatz zur optischen Reflexion - nur
für spezielle Einfallswinkel (weshalb die Benennung „Bragg-Reflexion“ etwas
irreführend ist). Der reflektierte Strahl ist im Vergleich zum Primärstrahl um den
Winkel 2Θ abgelenkt worden. Da in diese Richtung 2Θ nur Strahlung einer Wellenlänge reflektiert wird, so verhält sich der Kristall nicht nur wie ein beugendes
Objekt, sondern kann auch als ein Spektrometer (ein Monochromator) für Röntgenlicht verwendet werden.
Hinweise zum Röntgengerät:
- Das Gerät darf nur zusammen mit dem Betreuer in Betrieb genommen werden.
- Beim Öffnen des Experimentierraumes die PVC-Haube vor dem Nachobenklappen erst leicht anheben. Dabei wird automatisch die Hochspannungserzeugung der Röhre (7 bis 25 kV) und damit die Emission unterbrochen.
- Beim Schließen vorsichtig die Haube entrasten und entsprechend beim Öffnungsvorgang schließen. Dabei setzt automatisch die Röntgenstrahlung wieder
ein, falls der Netzschalter geschlossen war.
- Die Spaltflächen des zu untersuchenden Kristalls niemals berühren.
BR 8
Beugung von Röntgenstrahlen
- Das Glimmerfenster des Zählrohres niemals berühren.
Die Kunststoffkappe vor dem Fenster braucht zur Messung von Röntgen-, γund energiereicher β- Strahlung nicht abgenommen zu werden.
- Die Strahlaustrittsblende mit dem Durchmesser 2 mm bleibt für alle Messungen eingesetzt. Beim Betrieb mit dieser Blende muss das Abschirmblech nicht
vor die Haube gesetzt werden.
- Beim Einschalten der Röntgenröhre immer darauf achten, dass der eingebaute
Kühl-Ventilator anläuft. (Das Laufgeräusch ist hörbar.)
- Voltmeter zur digitalen Angabe der Röhrenspannung an die gekennzeichneten
Buchsen anschließen und im 200 V Gleichspannungsbereich betreiben. Die
Ausgangsspannung zeigt 1/1000 der Röhrenspannung an (1V = 1kV Röhrenspannung).
- Die Röntgenspannung wird nur vom Betreuer eingestellt und eingeschaltet!
- Die Röhrenspannung wird mit dem Drehknopf eingestellt.
Dabei darf der Zeiger in der darüber befindlichen Kontrollanzeige nie in
den roten Bereich (U B ≥ 25kV ) kommen!
- Einstellung des elektronischen Digitalzählers:
a) „Imp“ für manuelle Zeitvorgaben, z.B. 10 s mit Stoppuhr; oder
b) „101 f/Hz“ für automatische Messzeit 1s.
(Sonstige Tasten und Einstellungen sind uninteressant; bitte nichts verändern!)
Βeugung von Röntgenstrahlen
BR 9
Versuchsdurchführung
Aufgabe 1:
Bestimmung des Nulleffektes des Zählrohres
Das Geiger-Müller-Zählrohr ist ein selbstlöschendes Halogen-Zählrohr zum
Nachweis von α-, β- und γ- Strahlung. Das Zählrohrfenster aus Glimmerfolie
(einige μm dick) ist gegen mechanische Beanspruchung durch eine Kunststoffkappe geschützt, die für Röntgen-, γ- und energiereiche β-Strahlung durchlässig
ist. Um einen Einfluss von Spannungsschwankungen auf das Zählergebnis auszuschalten, wird die Arbeitsspannung des Zählrohres in der Mitte des Plateaus
seiner Charakteristik betrieben. Die hierfür notwendigen 500 V werden über die
BNC-Buchse des elektronischen Digitalzählers bereitgestellt.
Auch ohne eine in der Nähe befindliche Strahlungsquelle liefert das betriebsbereite Zählrohr eine gewisse Anzahl von Impulsen, die zum größten Teil von der
kosmischen Strahlung herrühren; man spricht vom „Nulleffekt“.
Bei abgeschalteter Röntgenröhre (geöffnete PVC-Haube bzw. offener Netzschalter) nehmen Sie für die Zählrohrwinkel Θz = 0D und 60D die Impulsrate für den
Nulleffekt auf (Messzeit t=60 s für jeden Winkel).
Aufgabe 2:
Der LiF-Kristall als beugendes Objekt und Monochromator
Bei fester Beschleunigungsspannung U B von 22 kV und fester Kristallstellung
(Q K = 22,5D ) ermitteln Sie die Zählrate für die Zählrohrwinkel Q z von 30° bis
60° in (1°)- Schritten, im Winkelbereich 40° ≤ Q z ≤ 50° in 0,5°-Schritten (Messzeit t = 5 s pro Winkel).
Ermitteln Sie (zum Vergleich) die Intensität des nichtgebeugten Strahls
(Q z = 0° ).
Zeichnen Sie die Zählraten-Winkel-Verteilung. Bei welchem Q z liegt das Maximum der gebeugten Strahlung? Schätzen Sie das Verhältnis der gebeugten zur
ungebeugten Intensität ab.
BR 10
Beugung von Röntgenstrahlen
Aufgabe 3:
Das Röntgenspektrum einer Cu-Röhre und die Gitterkonstante der LiFKristalls
Bei festem U B = 23 kV verwenden Sie den LiF-Kristall als Monochromator. Zur
Aufnahme des Spektrums ist der Kristallwinkel Q K zu variieren. Wegen des
Reflexionsgesetzes muss dann das Zählrohr um den doppelten Winkel, Q z = 2Q k '
gedreht werden, um den reflektierten Strahl zu treffen. Zur Erhaltung der Bedingung Q z = 2Q k lässt sich das eingebaute mechanische Getriebe verwenden. Arretieren Sie das Rändelrad für Q z = 2Q k = 60° und prüfen Sie die Zeigerstellung
Q z = 2Q k = 0°. (Einzelheiten können Sie der beiliegenden Gerätebeschreibung
entnehmen.)
Messen Sie die Impulsraten für den Winkelbereich Q z = 14° bis 60° in 0,5°Schritten (Messzeit t = 1 s pro Winkel). Zeichnen Sie das Spektrum und ordnen
Sie ihm die Linien Kα (höhere Intensität) und Kβ zu.
Bestimmen Sie aus den Q k - Werten der Linien unter Verwendung der Literaturwerte lKa =1,54 Å und lK b = 1,39 Å den Netzebenenabstand d des LiFKristalls. Die Struktur von LiF ist kubisch. Ermitteln Sie mit dem Ergebnis die
Avogadro Zahl. LiF hat die Dichte ρ = 2,64 g/cm3.
Aufgabe 4:
Bestimmung des PlanckschenWirkungsquantums h
Die lineare Beziehung zwischen der Grenzfrequenz n max und der Beschleunigungsspannung U B nach Gleichung (1) ermöglicht, wie schon erwähnt, bei
Kenntnis von e die Bestimmung h.
Stellen Sie nacheinander die festen Kristallwinkel Q K = 11°, 13°, 15°, 20° ein
und justieren Sie das Zählrohr auf den reflektierten Strahl. Variieren Sie für jedes
Q K die Anodenspannung U B zwischen 8 und 22 kV und messen Sie die zugehörigen Zählraten (Messzeit jeweils 10 s). Tragen Sie die Zählraten als Funktion
von U B mit Q K als Parameter graphisch auf. Dieser Darstellung entnehmen Sie
die Grenzwellenlänge lmin . Tragen Sie lmin gegen U B −1 auf und bestimmen Sie
die an die Messwerte angepasste Ausgleichsgerade. Aus deren Steigung können
Sie mit Hilfe von Gl. (1) die Plancksche Konstante h ermitteln.
Fachrichtungen der Physik
UNIVERSITÄT
DES
SAARLANDES
Physikalisches Grundpraktikum
für Physiker/innen
Teil III
Phasenumwandlung und
Kritischer Punkt
WWW-Adresse Grundpraktikum Physik: http://grundpraktikum.physik.uni-saarland.de/
0H
Kontaktadressen der Praktikumsleiter:
Dr. Manfred Deicher
Zimmer: 1.11, Gebäude E 2.6
e-mail: [email protected]
Telefon: 0681/302-58198
1H
Dr. Patrick Huber
Zimmer: 3.23, Gebäude E2.6
e-mail: [email protected]
Telefon: 0681/302-3944
2H
Phasenumwandlung und Kritischer Punkt
Stoffgebiet/Fragen:
Machen Sie sich, mit Hilfe der Literatur (Physikbibliothek), folgende Begriffe klar, auf
denen die Grundlagen des Versuchs beruhen, und geben Sie ihre Definition im Versuchsprotokoll an. Gegebenfalls ist der Betreuer des Versuches rechtzeitig vor der Versuchsdurchführung zu Rate zu ziehen.
Thermodynamische Zustandsgrößen
Zustandsgleichungen, Zustandsdiagramme
Virialentwicklung
Phasen (Beispiele)
Phasenumwandlungen (Beispiele)
Umwandlungswärmen
Kritischer Punkt
Verhalten der Zustandsgrößen bei der Phasenumwandlung
Phasenumwandlungen erster und zweiter Ordnung
Ordnungsparameter
Kritische Exponenten
PHASENUMWANDLUNG / KRITISCHER PUNKT
2
Beschreibung des Gerätes
In einem dicken und widerstandsfähigen Glasrohr, das mit einer Skaleneinteilung versehen ist, wird das zu untersuchende Medium mit Hilfe von Quecksilber komprimiert. Das
Glasrohr ist auf einer Druckkammer aus rostfreiem Stahl aufgeschraubt. Diese Kammer
enthält Quecksilber. Ihr Boden ist durch eine verformbare Membran vollkommen abgedichtet. Durch die Verformung der Membrane drückt man das Quecksilber in das Glasrohr
und komprimiert dabei das zu untersuchende Medium. Die Membrane wird durch einen
Kolben, der von einem Handrad bewegt wird, verformt. Über einen Stutzen läßt sich
ein Vakuum unter der verformbaren Membrane erzeugen. Die Druckkammer ist mit zwei
Ventilen ausgerüstet, die es erlauben, den Apparat zu evakuieren und ihn mit dem zu
untersuchenden Medium (i.a. Schwefelhexafluorid) zu füllen. Ein Manometer mit großer
Skala erlaubt es, den Druck in der Kammer recht genau zu messen. Um das Glasrohr ist ein
rechteckiger, durchsichtiger Behälter angeordnet, der als Thermostat für dieses Glasrohr
dient. Das Glasrohr wird von Wasser bekannter Temperatur (dazu dient ein elektronischer
Thermostatregler) umspült, um letztlich das Gas auf konstanter Temperatur zu halten.
Der Berstdruck des Glasrohrs ist höher als 110bar. Alle ausgelieferten Rohre sind bei
einem Druck von 75bar und einer Temperatur von 60◦ C geprüft. Das kleine Volumen
des Glasrohres und der mit Wasser gefüllte Thermostatbehälter verhindern gefährliche
Auswirkungen eines eventuellen Rohrbruchs. Daher muß das Thermostatgefäß stets mit
Wasser gefüllt sein, bevor man das Gas unter Druck setzt.
Jetzt ist das Gerät für die Durchführung von Versuchen bereit. Durch Drehen des Handrades unter der Druckkammer bewegt man den Kolben nach oben und dadurch auch das
Quecksilber darüber. Das Hg steigt in dem Glasrohr, vom Gesamtvolumen 4cm3 dessen
Skala in 0,05ml unterteilt ist.
Der Druck wird (nach einer angemessenen Wartezeit) auf dem Manometer abgelesen.
Die Temperatur liest man auf einem Thermometer ab, das in dem Thermostatgefäß aufgehängt ist. Man kennt also in jedem Augenblick die Werte der drei Variablen: Druck p,
Volumen V und Temperatur T.
Nach jeder Volumenänderung, die ja adiabatisch vonstatten geht, muß man eine gewisse
Zeit warten, bis sich die Temperatur wieder der Wassertemperatur angeglichen hat (in
der Regel genügen hierzu 50-60 Sekunden Wartezeit).
Da die Apparatur vollkommen dicht ist, kann man viele Versuche hintereinander durchführen.
Es empfiehlt sich, nach Beenden der Versuche, das Quecksilber nur bis zur Einteilung 4ml
abzusenken, damit das Gas stets im Glasrohr bleibt.
Daraus ergeben sich einige wichtige Verhaltensregeln:
1. Versuchen Sie nie, die beiden Ventile mit den schwarzen Handrädern zu öffnen!
2. Vergrößern Sie das Volumen nie über 4ml!
3. Erhöhen Sie den Druck nie über 45bar!
Qualitative Beobachtungen
Verschiedene statische oder dynamische Phänomene können unter dem und in der Nachbarschaft des kritischen Punktes beobachtet werden.
PHASENUMWANDLUNG / KRITISCHER PUNKT
3
1. Das Aussehen des Meniskus bei unterschiedlichen Temperaturen
In Ergänzung zu den Dichtekurven der Flüssigkeit und des Dampfes, sagt die Beobachtung der Oberfläche etwas über den Dichteunterschied zwischen beiden Phasen
aus. Die Wölbung des Meniskus vermindert sich, wenn die Temperatur erhöht wird.
In der Nachbarschaft der kritischen Temperatur ist der Meniskus absolut eben, aber
noch zu sehen, d.h. der Brechungsindex ist noch leicht verschieden für die zwei Phasen. Bei schrägem Lichteinfall erscheint der Meniskus dann wie ein Blättchen. Dann,
beim Überschreiten der kritischen Werte, verschwindet er nach und nach, indem sich
eine verwaschene Zone ausbildet, die sehr langsam verschwindet.
2. Kritische Opaleszenz
Das Vorhandensein von Dichteunterschieden inmitten eines Mediums ruft Lichtstreuung hervor. In der Nähe des kritischen Punktes manifestieren sich große Dichteschwankungen in den Flüssigkeiten. Die Intensität des gestreuten Lichtes ist eine
Funktion, die sehr stark mit der Wellenlänge abnimmt (I∝ 1/λ4 ). Daher ergibt ein
weißer einfallender Strahl ein gestreutes Lichtbündel von bläulicher Farbe (Stichwort: Rayleigh-Streuung oder Warum ist der Himmel blau?“). Das ist die kritische
”
Opaleszenz.
Beim Experimentieren läßt sich dieses Phänomen bei langsamem Abkühlen der
Flüssigkeit beobachten, die zu Beginn des Experimentes eine Temperatur leicht
oberhalb des kritischen Wertes (für SF6 also ca. 46-47◦ C) besaß. Je nach Experimentierweise kann man zwei unterschiedliche Strategien entwickeln:
(a) Wenn die Flüssigkeit vor dem Experimentieren Zeit hatte, bei einer Temperatur oberhalb der kritischen Temperatur homogen zu werden (z.B. 1 Stunde
bei 50◦ C für SF6 ), so entwickelt sich die Opaleszenz im ganzen Prüfraum. Die
Opaleszenz weicht langsam einem weißlichen Nebel. Endlich trennen sich die
Phasen und es erscheint der ebene Meniskus. Vorteil dieser Methode: Opaleszenz im gesamten Medium, aber zum Preis einer sehr langen Versuchsdauer.
(b) Beginnt man das Experiment unmittelbar nach der Temperaturerhöhung, ohne
die Homogenisierung abzuwarten, so bleibt die Opaleszenz und später der Nebel
beschränkt auf einen mitunter sehr kleinen Bereich in der Mitte des Prüfraums,
dort wo vorher der Meniskus war. Vorteil: es geht schnell, aber man sieht nicht
so viel.
3. Entspannungen
Wenn die Temperatur der Substanz sehr dicht unter der kritischen Temperatur ist
(etwa 0,2 Grad darunter), so erscheint der Meniskus wie ein sehr dünnes Blättchen.
Man entspannt jetzt die Flüssigkeit kurz (d.h. man vergrößert schnell das Volumen
um einen kleinen Betrag) und stellt die Entwicklung von Nebeln fest, die vom Meniskus nach beiden Seiten ausgeht. Um dieses Phänomen zu erklären, nehmen wir
das Diagramm nach Clapeyron (Abb.1) zu Hilfe:
In einem gegebenen Punkt des Mediums befindet man sich in der homogenen Phase
(flüssig oder gasförmig, je nach Lage bezüglich des Meniskus). Seien die Punkte M
und N auf jeweils einer anderen Seite des Meniskus. Die zugehörigen thermodynamischen Zustände eines jeden dieser Punkte auf dem Clapeyronschen Diagramm liegen
auf der Sättigungskurve an den beiden Endpunkten der Verflüssigungsgeraden, also
in m bzw. n. Bei einer adiabatischen Entspannung ist die Entwicklung der Zustände
PHASENUMWANDLUNG / KRITISCHER PUNKT
4
zunächst rein lokal und verläuft entlang der beiden Adiabaten durch m bzw. n. Man
gelangt so zu den Punkten m’ bzw. n’. Örtlich wird der Dampf übersättigt und die
Flüssigkeit unterspannt. Diese metastabilen Zustände verschwinden durch Ausbildung von Nebeltröpfchen in der Gasphase bzw. Gasblasen in der Flüssigkeit. Die
Bildung und Entwicklung dieser Nebel wird besonders begünstigt durch die Existenz
von Kondensationskeimen in der Nähe des Meniskus.
4. Kompressionen
Kurze und schwache Kompressionen rufen keine metastabilen Zustände hervor. Dennoch entwickeln sich beim langsamen Zurückkehren zur ursprünglichen Temperatur
(also zum thermodynamischen Gleichgewicht) eine leichte Opaleszenz und Nebel.
Bei starker und schneller Kompression verschwindet der Meniskus. Sie ruft im Medium Dichteschwankungen hervor, vor allem in der oberen (gasförmigen) Phase.
Anstelle des Meniskus bildet sich eine linsenartige dunkle Zone aus. Die starken
Dichteunterschiede sind nicht sichtbar für kurze (und schnelle) Kompressionen bei
Temperaturen, die wesentlich unter der kritischen liegen. Sie sind also ein qualitativer Indikator für die beträchtliche Kompressibilität in der Nähe des kritischen
Punktes.
PHASENUMWANDLUNG / KRITISCHER PUNKT
5
PHASENUMWANDLUNG / KRITISCHER PUNKT
6
Aufgabe 1:
Aufnahme des Isothermennetzes von Schwefelhexafluorid (SF6 ) im p-V-Diagramm
Messen Sie für feste Temperaturen T=25, 30, 35, 40, 45 und 52◦ C den Druck p als Funktion des Volumens V. Ändern Sie, bei V=3cm3 beginnend, das Volumen in Schritten von
0,1cm3 . Beenden Sie jede Meßreihe, wenn der Druck auf 45bar angestiegen ist. Erhöhen Sie
auf keinen Fall den Druck über diesen Wert! Wenn Sie das Volumen schnell (adiabatisch,
Kompressionswärme!) ändern, ist zu warten, bis sich das thermische Gleichgewicht wieder
eingestellt hat, und der Druck sich nicht mehr ändert. Das Volumen ist dann nochmals
abzulesen und gegebenfalls nachzujustieren.
Stellen Sie mit besonderer Sorgfalt die Endpunkte der Horizontalen im p-V-Diagramm
fest, also die Punkte, bei denen die Verflüssigung gerade einsetzt bzw. wo die gesamte
Substanz vollständig verflüssigt ist. Im Gebiet der gemischten Phasen muß der Druck bei
konstanter Temperatur und Variation des Volumens natürlich konstant bleiben (horizontale Linie im p-V-Diagramm).
Aufgabe 2:
Bestimmen Sie mit Hilfe des Zustandsdiagrammes aus Aufg.1 die kritischen Werte pkrit
und Vkrit!
Dies geschieht durch Einzeichnen der Grenzkurve, welche das Phasenkoexistenzgebiet einschließt. Das Maximum dieser Kurve bestimmt den kritischen Punkt und somit die gesuchten kritischen Parameter. Die kritische Temperatur von Schwefelhexafluorid beträgt
Tkrit=318,54K.
Afgabe 3:
Bestimmen Sie die Van-der-Waals-Konstanten a und b von SF6 durch Auswertung der
Meßreihen aus Aufg.1 im (pV)-(1/V)-Diagramm!
A.Die Van-der-Waals-Gleichung
Um der Abweichung der realen Gase von der idealen Gasgleichung Rechnung zu tragen,
schlug Van der Waals zwei Korrekturen an der Gleichung
p · Vmol = R · T
(1)
vor, ausgehend von der Vorstellung, daß
1. eine schwache Wechselwirkung zwischen den Gasteilchen besteht, die effektiv den
Gasdruck erhöht, und daß
2. die Gasteilchen ein Eigenvolumen besitzen, das für die Bewegung der Teilchen nicht
mehr zur Verfügung steht.
Das führt zur Zustandsgleichung der realen Gase, der sogen. Van-der-Waals-Gleichung:
a
· (Vmol − b) = R · T
(2)
p+ 2
Vmol
PHASENUMWANDLUNG / KRITISCHER PUNKT
7
Die VdW-Konstanten a und b sind stoffspezifische Größen. b bezeichnet man, gemäß
seiner physikalischen Bedeutung, als Eigenvolumen; der Ausdruck (a/Vmol2) entspricht
der Druckvermehrung durch Kohäsion.
Da der Versuchsraum (die Kapillare) nur den Bruchteil n eines Mols SF6 enthält, muß
man in Gl.(2) Vmol=V/n einsetzen. Nach p aufgelöst, erhält man
p (V, T ) =
a · n2
n·R·T
−
V2
V · 1 − b·n
V
b·n
p (V, T ) = n · R · T · 1 −
V
−1
·
a · n2
1
−
V
V2
(3)
(3’)
Entwickelt man für bn<<V den reziproken Klammerausdruck in (3’) in eine Taylorreihe
und vernachlässigt (bn/V)-Terme höherer Ordnung, so erhält man nach Multiplikation
mit V:
pV = nRT + n2 (RT b − a) · (1/V )
(4)
Dies ist die Linearisierung der Virialentwicklung für ein reales Van-der-Waals-Gas. Sie gilt
für ein großes Volumen (V>>bn). Aus ihr folgen sofort die beiden Relationen
lim (pV ) = nRT =: α
1/V →0
lim
1/V →0
∆ (pV )
∆ (1/V )
= n2 (RT b − a) =: β
(5)
(6)
Aus Gl.(5) kann man, bei Kenntnis der Temperatur, die Molzahl n bestimmen, Gl.(6)
stellt eine Bestimmungsgleichung für die VdW-Konstanten a und b dar.
Im folgenden sollen nun Relationen zwischen a und b und den kritischen Größen pkrit, Vkrit
und Tkrit hergeleitet werden. Dazu nützt man aus, daß im kritischen Punkt die Isotherme
p(V) für T=Tkrit einen Sattelpunkt besitzt. Kriterien für einen Sattelpunkt sind:
∂ 2 p ∂p = 0 und
=0
(7)
∂V T =Tkrit ,V =Vkrit
∂V 2 T =Tkrit ,V =Vkrit
Angewandt auf Gl.(3) ergeben sich dann
−
nRTkrit
2an2
+
= 0 bzw.
3
Vkrit
(Vkrit − bn)2
2nRTkrit
6an2
−
=0
4
Vkrit
(Vkrit − bn)3
(7’)
Bringt man die hier klammerlosen Terme auf die rechte Seite und dividiert beide Gleichungen durcheinander (strenge Mathematiker schauen mal weg...), so erhält man schließlich
Vkrit-bn=(2/3)Vkrit oder äquivalent
PHASENUMWANDLUNG / KRITISCHER PUNKT
Vkrit = 3bn
8
(8)
Weitere Relationen erhält man durch Einsetzen von Gl.(8) in (7’):
Tkrit =
8a
27Rb
(9)
pkrit =
a
27 · b2
(10)
sowie von Gl.(8) und (9) in (3):
Umgekehrt liefert die Messung der kritischen Daten eines Gases eine bequeme Methode
zur Bestimmung der VdW-Konstanten a und b:
b=
27
Vkrit
RTkrit
; a = RbTkrit ; n =
8pkrit
8
3b
(11)
B.Reduzierte Van-der-Waals-Gleichung (RVdW-Gl.)
Ein interessantes Ergebnis erhält man aus Gl.(3) und den Beziehungen (8), (9) und (10),
wenn man sog. reduzierte (d.h. auf die kritischen Parameter normierte) Größen einführt:
T∗ =
T
p
V
, p∗ =
, V∗ =
Tkrit
pkrit
Vkrit
Dann findet man (dies ist bei der Versuchsvorbereitung bitte nachzurechnen!):
3
p + ∗2
V
∗
· (3V ∗ − 1) = 8 · T ∗
Die reduzierte Form der VdW-Gleichung ist unaghängig von den Konstanten a, b und n
und daher allgemeingültig für alle Stoffe.
C.Auswertung der (pV)-(1/V)-Diagramme:
a) Grafische Methode (Bestgerade):
Durch Auswertung der Meßreihen aus Aufg.1 in der Darstellung p ·V=f(1/V) für eine feste
Temperatur erhält man nach Gl.(4) näherungsweise eine Gerade mit dem Achsenabschnitt
α und der Steigung β, wobei diese den Relationen (5) und (6) genügen. Berücksichtigt man
noch die Verknüpfung der VdW-Konstanten nach Gl.(8) und (9) (Tkrit=Literaturwert),
so erhält man schließlich
PHASENUMWANDLUNG / KRITISCHER PUNKT
α
[mol]
RT
3
cm
β
b = 2
27
mol
n R T − 8 Tkrit
bar · cm3
β
a =
8 T
mol2
n2 27
−
1
Tkrit
n =
9
(12)
(13)
(14)
(Hinweis: R=8,314J mol−1 ·K−1 =83,14bar cm3 ·mol−1 ·K−1 )
b) Rechnerisch mit Hilfe der Methode der Gaußschen kleinsten Fehlerquadrate (siehe
Anhang), angewendet auf die abgebrochene Virialentwicklung Gl.(4), wobei xi =1/Vi und
yi =pi ·Vi zu setzen sind. Geben Sie die Fehler ∆a, ∆b und ∆n an!
Aufgabe 4: Zeichnen Sie die Dampfdruckkurve p(T) von SF6 und berechnen Sie mit
Hilfe der Clausius-Clapeyronschen Gleichung die Verdampfungswärme λV (T0 ) für die im
Meßzylinder befindliche Gasmenge bei T0 =303K!
Hinweis: Im Kondensationsgebiet gehört zu jeder Temperatur T<Tkrit genau ein Druck
p, unabhängig vom Volumen (Waagerechte im p-V-Diagramm nach Aufg.1). Zeichnet
man diese Werte p=p(T) in ein p-T-Diagramm, so erhält man die sog. Dampfdruckkurve.
Sie gibt an, für welche p-T-Werte sich die flüssige und die gasförmige Phase sich im
Gleichgewicht befinden. Mit Hilfe dieser Dampfdruckkurve und der Isotherme für T0 im
Kondensationsgebiet läßt sich die Wärmemenge berechnen, die notwendig ist, um eine
bestimmte Flüssigkeitsmenge bei der gegebenen Temperatur T0 zu verdampfen. Es gilt
die Clausius-Clapeyron-Gleichung:
∂p (vD − vF l )
(15)
λV (T0 ) = T0 ·
∂T T0
wobei vD , vF l die Molvolumina am Rand des Kondensationsgebietes sind und die partielle
Ableitung des Druckes nach der Temperatur die Steigung der Dampfdruckkurve im Punkt
p(T0 ) ist.
Anhang:
Die Geradenanpassung nach der Methode der Gaußschen kleinsten Fehlerquadrate (Lineare Regression).
1.Herleitung
Es besteht häufig die Aufgabe, aus den experimentell für n verschiedene Variablenwerte
xi gemessenen Werten yi diejenige Funktion f(x) zu finden, die die Meßwerte am besten
wiedergibt. Dieses sehr allgemein gefaßte Problem soll im folgenden für den einfachen Fall
PHASENUMWANDLUNG / KRITISCHER PUNKT
10
diskutiert werden, daß die gesuchte Bestfunktion eine Gerade ist:
y=f(x)=a+bx
Dabei werde weiter angenommen, daß alle Meßwerte mit etwa den gleichen mittleren quadratischen Fehlern behaftet sind. Aufgabe ist es nun, aus den gegebenen Größen xi und
den zugehörigen Meßwerten yi die Werte der Koeffizienten a und b sowie den experimentellen Fehler ∆a und ∆b zu berechnen. Dazu betrachtet man die Abweichungen
∆yi := f (xi ) − yi = a + bxi − yi
der Meßpunkte von der Bestgeraden und verlangt, daß die Summe der Quadrate dieser
Abweichungen minimal wird, also
def
Φ (a, b) =
n
X
2
(∆yi ) =
i=1
n
X
!
(a + b · xi − yi )2 = Minimum
(A.1)
i=1
Nach den Regeln der Differentialrechnung ist eine notwendige Bedingung dafür das Verschwinden der totalen Ableitung von Φ nach den Parametern a und b. In Komponenten
schreibt sich das so:
n
X
∂Φ
=2·
(a + b · xi − yi ) = 0
(A.2)
∂a
i=1
n
X
∂Φ
=2·
[xi · (a + b · xi − yi )] = 0
∂b
i=1
(A.3)
Zur Vereinfachung der Schreibweise definiert man für festes β und gegebene Werte αi
(i=1,...,n):
n
β def X
α =
αiβ
i=1
Damit schreibt sich das obige inhomogene lineare Gleichungssystem als
n [x]
[x] [x2 ]
a
[y]
·
=
b
[xy]
(A.4)
Nach der Cramerschen Regel besitzt dieses System die Lösungen
1 2
[y] [x]
=
· x [y] − [x] [xy]
2
[xy] [x ]
∆
1
1
n [y]
· det
=
· (n [xy] − [x] [y])
[x]
[xy]
∆
∆
n [x]
det
= n x2 − [x]2
2
[x] [x ]
1
· det
a =
∆
b =
mit ∆ =
(A.5)
(A.6)
(A.7)
PHASENUMWANDLUNG / KRITISCHER PUNKT
11
Um die Fehler von a und b zu bestimmen, braucht man eine Angabe über den mittleren
quadratischen Fehler der Einzelmessung. Die wahren (absoluten) Fehler sind die ∆yi .
Damit ist der mittlere quadratische Fehler der Einzelmessung gegeben durch
n
1X
(∆y) =
(∆yi )2
Z i=1
2
wobei Z die Zahl der Freiheitsgrade ist, d.h. die Zahl n der Meßpunkte minus die Zahl
der aus diesen Meßpunkten zu bestimmenden Größen. In unserem Fall wollen wir a und
b bestimmen, daher ist Z=n-2.
Das Fehlerfortpflanzungsgesetz liefert schließlich die Standardabweichungen von a und b:
v
r
u
2
n X
u
∂a
[x2 ]
2
∆a = t(∆y) ·
= ∆y ·
∂yi
∆
i=1
v
u
r
2
n X
u
n
∂b
2
∆b = t(∆y) ·
= ∆y ·
∂yi
∆
i=1
(A.9)
(A.10)
2.Ergänzungen
2.1 Totale Ableitung
Sei Φ : <m ⊃ A → <n eine in x0 ∈ A differenzierbare Funktion, d.h. die partiellen
Ableitungen aller Komponenten von Φ nach den einzelnen Komponenten von x sollen in
x0 existieren und dort stetig sein. Dann heißt



dΦ
(x0 ) = 

dx

∂Φ1
∂x1
(x0 ) · · ·
·
·
·
∂Φn
(x0 ) · · ·
∂x1
∂Φ1
∂xm
(x0 )
·
·
·
∂Φn
(x0 )
∂xm






die Jacobi-Matrix von Φ an der Stelle x0 und ist die totale Ableitung. Übrigens erhält
man das totale Differential von Φ durch formale Multiplikation der Jacobi-Matrix an der
Stelle x mit dem Spaltenvektor-Differential dx.
Im für uns interessanten Spezialfall einer reellwertigen Funktion (n=1) erhält man so ganz
unmittelbar:
dΦ
∂Φ
∂Φ
= ∇Φ =
,··· ,
dx
∂x1
∂xm
2.2 Cramersche Regel
Gegeben sei eine quadratische Matrix A=(aij ), (i,j=1,...,n), deren Determinante ∆=det(A)
PHASENUMWANDLUNG / KRITISCHER PUNKT
12
nicht verschwindet (reguläre Matrix). Ferner sei ein n-zeiliger Vektor b6=0 gegeben, so daß
der Rang (also die Zahl der linear unabhängigen Spalten oder, was dasselbe ist, Zeilen)
der zusammengesetzten (n×(n+1))-Matrix (A,b) gleich n ist. Dann hat das inhomogene
lineare Gleichungssystem in x, das durch die Matrizengleichung
A·x=b
gegeben ist, die eindeutigen Lösungen
xi =
det (Ai )
,
∆
wobei



Ai = 


a1,1 · · · a1,i−1 b1 a1,i+1 · · · a1,n
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
an,1 · · · an,i−1 bn an,i+1 · · · an,n






die Matrix ist, die sich aus A dadurch ergibt, daß die i-te Spalte durch b ersetzt wird.
2.3 Zwischenschritte
Die folgenden Zwischenschritte dienen nur dem besseren Verständnis und sollten keinesfalls dazu verführen, die obigen Formeln nicht auch selbst herzuleiten!!!
PHASENUMWANDLUNG / KRITISCHER PUNKT
1
∆
1
=
∆
1
=
∆2
a =
∂a
∂yi
2
∂a
∂yi
n
X ∂a 2
1
=
∂yi
∆2
i=1
2
x [y] − [x] [xy]
2
x − [x] xi
2
x2 − 2 x2 [x] xi + [x]2 x2i
2
n x2 − 2 x2 [x]2 + [x]2 x2
2
[x]2
2
2
=
n
x
−
2
[x]
+
[x]
∆2
[x]2
n x2 − [x]2
=
2
∆ |
{z
}
=∆
2
=
b =
∂b
=
∂yi
2
∂b
=
∂yi
2
n X
∂b
=
∂y
i
i=1
=
=
[x]
∆
1
(n [xy] − [x] [y])
∆
1
(nxi − [x])
∆
1
2
2 2
n
x
−
2n
[x]
x
+
[x]
i
i
∆2
2
1
2
2
2
n
x
−
2n
[x]
+
n
[x]
∆2
1
n2 x2 − n [x]2
2
∆
2
n
2
n
x
−
[x]
∆2 |
{z
}
=∆
n
=
∆
13
PHASENUMWANDLUNG / KRITISCHER PUNKT
14
3.Beispiel
Als Beispiel für das oben hergeleitete Least-Square-Verfahren für Geraden diene folgende
Meßreihe:
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Summen:
xi
yi
0
62
0,5 55
1
48
1,5 46
2
42
2,5 39
3
37
3,5 36
4
35
18 400
⇒
x2i
0
0,25
1
2,25
4
6,25
9
12,25
16
51
xi yi f (xi )
0
57,40
27,5 54,17
48 50,93
69 47,70
84 44,46
97,5 41,23
111 37,99
126 34,76
140 31,52
703
(∆yi )2
21,16
0,69
8,58
2,89
6,05
4,97
0,98
1,54
12,11
58,97
Man erhält
9 · 51 − 182
∆ =
a =
b =
(∆y)2 =
(∆a)2 =
(∆b)2 =
1
· (51 · 400 − 18 · 703)
135
1
· (9 · 703 − 18 · 400)
135
1
· 58, 97 = 8, 42
9−2
51
8, 42 ·
= 3, 18
135
9
8, 42 ·
= 0, 56
135
= 135
= 57, 37̄
= −6, 46̄
= (2, 90)2
= (1, 78)2
= (0, 75)2
und damit die Bestgeradengleichung:
y = f (x) = (57, 38 ± 1, 78) + (−6, 47 ± 0, 75) · x
Fachrichtungen der Physik
UNIVERSITÄT
DES
SAARLANDES
Physikalisches Grundpraktikum
für Physiker/innen
Teil III
Temperaturstrahlung
WWW-Adresse Grundpraktikum Physik: http://grundpraktikum.physik.uni-saarland.de/
Praktikumsleiter:
PD Dr. Manfred Deicher
Zimmer: 1.11, Gebäude E 2.6
e-mail: [email protected]
Telefon: 0681/302-58198
PD Dr. Patrick Huber
Zimmer: 3.23, Gebäude E2.6
e-mail: [email protected]
Telefon: 0681/302-3944
Version 6 (6/2010)
TS 2
Temperaturstrahlung
1. Stoffgebiet
•
•
•
•
•
•
Strahlungsfelder
Strahlungsgesetze
Schwarze Strahlung
Photometrie und Strahlungsmessung
Pyrometrie
Spektroskopie von Strahlung
2. Literatur
•
D. Meschede
Gerthsen Physik
23., überarb. Aufl. 2006, Springer-Verlag
Kap. 11
•
VERORDNUNG (EG) Nr. 244/2009 DER KOMMISSION vom 18. März 2009 zur
Durchführung der Richtlinie 2005/32/EG des Europäischen Parlaments und des Rates
im Hinblick auf die Festlegung von Anforderungen an die umweltgerechte Gestaltung
von Haushaltslampen mit ungebündeltem Licht
Amtsblatt der Europäischen Union L76 v. 24.3.2009
http://eur-lex.europa.eu/LexUriServ/LexUriServ.do?uri=OJ:L:2009:076:0003:0016:DE:PDF
Temperaturstrahlung
TS 3
3. Fragen
1.
Skizzieren Sie das Spektrum der elektromagnetischen Strahlung und bezeichnen Sie
die unterschiedlichen Spektralbereiche.
2.
Geben Sie die Definitionen der folgenden Größen an:




Absorptionsvermögen (Absorptionsgrad)
Reflexionsvermögen (Reflexionsgrad)
Emissionsvermögen (Emissionsgrad)
Transmissionsvermögen (Transmissionsgrad)
3.
Wieso strahlt ein Körper elektromagnetische Wellen ab, wenn ihm Wärmeenergie
zugeführt wird?
4.
Normale Glühlampen haben Betriebstemperaturen von etwa 2300 K. Berechnen Sie
die Wellenlänge des Emissionsmaximums unter der Annahme, es handele sich um
einen Schwarzen Körper. Zeichnen Sie mit Hilfe der Planck-Funktion das zugehörige Emissionsspektrum und schätzen Sie den sichtbaren Anteil ab.
5.
Macht das EU-Verbot von normalen Glühbirnen Sinn?
6.
Wie folgen Rayleigh-Jeanssches und Wiensches Strahlungsgesetz aus dem Planckschen Strahlungsgesetz?
7.
Erläutern Sie das Prinzip der Pyrometrie.
TS 4
Temperaturstrahlung
4. Grundlagen
4.1 Strahlungsemission von Festkörpern
Freie Atome senden Licht mit charakteristischen Spektrallinien aus (Linienspektren). Durch
den Zusammenschluss mehrerer Atome zu einem Molekül werden die Linien verbreitert, und
neue Spektrallinien bzw. -gebiete kommen hinzu (Bandenspektren). Werden die Größe der
Atomaggregate und die Packungsdichte größer, so gehen die individuellen Eigenschaften der
Atome immer mehr verloren. Am Ende dieser Entwicklung steht der makroskopische Festkörper (oder die Flüssigkeit) mit typisch 1020 Atomen pro cm3. Festkörper können im Wellenlängenspektrum vom fernen Ultravioletten (UV) bis ins ferne Infrarote (IR) kontinuierlich
Strahlung emittieren. Bei Festkörpern unterscheidet man nach der Art der Anregung zwei
Strahlungsarten:
Lumineszenzstrahlung:
Unter Lumineszenzstrahlung versteht man alle Fälle von Lichtemission, die ihre Ursache
nicht bzw. nicht allein in der Temperatur des Festkörpers haben. Lumineszenz kann durch
sehr verschiedene Arten der Anregung entstehen. Beispiel sind
• Photolumineszenz-Anregung durch Licht, z.B. Bandübergänge in Halbleitern,
• Chemolumineszenz-Anregung durch chemische Reaktionsenergie,
• Tribolumineszenz-Anregung durch mechanische Einwirkung.
Temperaturstrahlung:
Liegt die Ursache der Strahlung eines Stoffes allein in seiner thermischen Energie, so spricht
man von Temperaturstrahlung, von thermischer Strahlung oder Wärmestrahlung. Im vorliegenden Versuch soll nur die Temperaturstrahlung eines Festkörpers betrachtet werden.
4.2 Strahlungsgrößen
Die Temperaturstrahlung hängt von der Temperatur des Strahlers, von der Beschaffenheit
seiner Oberfläche und seinen Materialeigenschaften ab. Das Emissionsvermögen E eines
Körpers ist die ausgestrahlte Energie pro Flächeneinheit seiner Oberfläche und pro Zeiteinheit:
E=
W W
Ft  m 2 
(1)
Das Absorptionsvermögen A ist das Verhältnis der absorbierten zur einfallenden Strahlungsenergie (bezogen auf dasselbe Zeitintervall):
A=
Wabsorbiert
Weinfallend
(2)
A ist dimensionslos und daher nicht mit E vergleichbar. Viele Metalle haben ein kleines A (A
<< 1), da der Großteil der einfallenden Strahlung reflektiert wird. Dennoch können Metalle
die ins Metall eindringende Strahlung sehr stark absorbieren. Typisch ist, dass dieser Anteil
der Strahlung bereits in extrem kleinen Schichtdicken von 50-500 nm an der Oberfläche völlig absorbiert wird.
Temperaturstrahlung
TS 5
4.3 Schwarze Strahler
Einen Strahler, dessen Absorptionsvermögen gleich dem maximal möglichen ist (A = 1), also
er lässt keine Strahlung durch und spiegelt oder streut auch nicht, bezeichnet man als Schwarzen Strahler oder absolut schwarzen Körper. Dieses Modell ist allerdings in der Natur nicht
realisiert. Es gibt keinen Stoff, dessen optische Materialeigenschaften dem Schwarzen Körper
entsprechen. Diese Bedingung wird aber von einem Hohlraumstrahler gut erfüllt. Dabei handelt es sich um einen nach außen thermisch isolierten Hohlzylinder mit einer kleinen Öffnung.
Durch eingebaute Blenden und zusätzliche Schwärzung der Innenwände wird erreicht, dass
Strahlung, die durch die Öffnung in den Hohlraum eintritt, vielfach reflektiert und gestreut
wird, und bei jeder Reflexion zugleich eine starke Absorption erfährt. Ein solcher Hohlraum
absorbiert praktisch alle einfallende Strahlung. Die Strahlung, die durch die Öffnung austritt,
wenn der Zylinder erhitzt wird, ist nur eine Funktion der Temperatur der Wände des Hohlraums und unabhängig vom Material, aus dem der Hohlraum besteht. Da A = 1 ist, folgt aus
dem Kirchhoffschen Gesetz, dass die Emission aus der Öffnung des Hohlraumes genau die
eines Schwarzen Körpers derselben Temperatur ist, die die Hohlrauminnenwände besitzen.
Daher sind die Begriffe Hohlraumstrahler und Schwarzer Strahler äquivalent.
4.4 Plancksches Strahlungsgesetz
Die emittierte Strahlung wird üblicherweise durch ihre Strahlungsdichte beschrieben, die als
der Energiestrom definiert ist, der von der Flächeneinheit in Normalenrichtung in die Raumwinkeleinheit emittiert wird Einheit: [W/m2sterad] = [W/m2], da der Raumwinkel dimensionslos ist). Bezieht man zusätzlich die Strahlung auf einen begrenzten Spektralbereich ∆λ, so
spricht man von spektraler Strahlungsdichte mit der Einheit [W/m3] (wobei m3 durch die Dimension Fläche mal Wellenlängenintervall zustande kommt).
Die abgestrahlte Intensität, d.h. die Energie pro Zeit, pro Einheitsfläche, pro Wellenlänge
(bzw. pro Frequenz) und Raumwinkel (in Steradian) ist vollständig durch die Plancksche
Strahlungsformel beschrieben:
L(λ , T )dλ = 2hc 2
1
λ
2h
L(ν , T )dν = 2 ν 3
c
1
5
e
hc
λ k BT
e
1
hν
k BT
dλ
−1
(3)
dν
−1
mit L: spektrale Strahlungsdichte, λ: Wellenlänge, T: Temperatur, kB: Boltzmann-Konstante,
h: Plancksche Konstante; c: Lichtgeschwindigkeit.
Als (messbare) Strahlungsleistung folgt daraus
P=
(λ ) L(λ ) ∆λ ∆Ω
(4)
wobei ∆λ die spektrale Bandbreite und ∆Ω der durch die Messanordnung erfasste Raumwinkel bedeuten. Bei der theoretischen Begründung von Gl. (3) hat Planck den Strahler durch ein
Modell von Resonatoren beschrieben, die im Gegensatz zur klassischen Elektrodynamik in
einem äußeren, periodisch wechselnden elektromagnetischen Feld Strahlungsenergie nicht
stetig aufnehmen oder abgeben, sondern nur in Quanten der Energie hc/λ.
Leitet man das Plancksche Strahlungsgesetz nach λ ab und setzt die Ableitung Null, so ergibt
sich für die Lage des Maximums der spektralen Verteilung der Strahlung (mit der Näherung
e x − 1 ≈ e x ) das Wiensche Verschiebungsgesetz:
TS 6
Temperaturstrahlung
λ=
const
= 2,879 × 10−3
maxT
(5)
Die Wellenlänge des Strahlungsmaximums verschiebt sich also mit wachsender Temperatur
zu immer kürzeren Wellenlängen. Beispielsweise haben der menschliche Körper und die
Sonnenoberfläche λmax = 10 µm bzw. 0,5 µm. Die gesamte Strahlungsdichte des Schwarzen
Körpers erhält man, wenn man Gl. (3) über alle Wellenlängen integriert (StefanBoltzmannsches Gesetz):
Lges
=
λ
∫ L(λ , T ) d=
σ T 4 mit =
σ 5, 7 ×10−8
W
m2K 4
(6)
Lges ist die Fläche unter der spektralen Verteilungskurve der spektralen Strahlungsdichte
L(λ,T) (Planck-Kurve).
4.5 Reale Strahler
Rel. Emissionsgrad ε
Bei dem Begriff des Schwarzen Körpers handelt es sich um eine Idealisierung, die sich technisch am besten über den Hohlraumstrahler annähern lässt. In Wirklichkeit ist kein strahlender Stoff im physikalischen Sinne schwarz. Selbst die „schwärzesten“ Körper absorbieren
zwar bis zu 99% der auftreffenden Strahlung, dies aber nur in begrenzten Spektralbereichen.
So ist normales Glas im IR schwarz, Ruß ist im IR nicht schwarz.
0.5
1600 K
2000 K
2400 K
2800 K
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.2
0.4 0.6 0.8 1
2
4
Wellenlänge (µm)
Abb. 1: Relativer Emissionsgrad von Wolfram als Funktion der Wellenlänge für
verschiedene Temperaturen.
Graue Strahler sind Strahler, bei denen das Absorptionsvermögen kleiner als 1 ist, aber, wie
beim Schwarzen Körper unabhängig von der Wellenlänge. Aus dem Kirchhoffschen Gesetz
folgt, dass auch das Gesamtemissionsvermögen des Grauen Strahlers kleiner ist als das des
Schwarzen Strahlers. Das Verhältnis der Strahlungsdichte eines Strahlers zur maximal möglichen Strahlungsdichte (d. h. der des Schwarzen Körpers) bei gegebener Temperatur wird als
relativer Emissionsgrad ε bezeichnet:
ε=
L
Lschwarz
(7)
Temperaturstrahlung
TS 7
Für Graue Strahler gilt ε < 1 und ε ≠ ε (λ ) . . Auch bei dem Begriff des Grauen Strahlers handelt es sich um eine Idealisierung. Für reale Strahler ist ε höchstens für beschränkte Wellenlängenbereiche konstant. So können z.B. der Kohlebogen oder die Wolframglühlampe im
sichtbaren Spektralbereich in Näherung als Graue Strahler gelten.
Selektive Strahler sind Strahler, deren relativer Emissionsgrad wellenlängenabhängig ist. Für
selektive Strahler gilt ε < 1 und ε = ε (λ ) .
Metalle besitzen i.A. ein großes Reflexionsvermögen und somit ein geringes Absorptionsvermögen und daher einen geringen relativen Emissionsgrad ε. Deswegen verwendet man
beispielsweise dünne Metallschichten auf Fenstern zur Abschirmung von Wärmestrahlung.
Die Abb. 1 zeigt die spektrale Abhängigkeit des relativen Emissionsgrades von Wolfram für
vier Temperaturen. Man sieht, dass ε von Wolfram im sichtbaren Bereich auf etwa 10% konstant ist, so dass Wolfram in diesem Bereich angenähert als grau betrachtet werden kann. Im
UV- und IR-Bereich ist ε stärker wellenlängenabhängig. Wolfram ist also dort ein selektiver
Strahler.
5. Versuchsaufbau
Als Strahlungsquelle wird eine Wolframbandlampe verwendet. Die Temperatur des Glühfadens kann durch Verändern des Betriebsstroms variiert werden. Das Netzgerät ist wahlweise
mit Strom- und mit Spannungsstabilisierung zu betreiben. Hier ist eine Stromstabilisierung
erforderlich (wieso?).
Lampe
A1
H3
S1
H1
A2
Detektor
P
S2
H2
Drehtrommel
Schrittmotor
Abb. 2: Aufbau des Carl-Leiss-Spiegel-Monochromators.
Bei den hier erreichbaren Glühtemperaturen hat die spektrale Strahlungsdichte im IR-Bereich
ihr Maximum, so dass zur spektralen Zerlegung ein auch den IR-Bereich erfassendes Spektrometer benötigt wird. Da optische Gläser im IR-Bereich starke Absorption zeigen, wird in
dem benutzten Spektrometer der abbildende Strahlengang durch Hohlspiegel anstelle von
Linsen erzeugt (Abb. 2). Das Prisma besteht aus Infrasil, ein wasserfreier Quarz, der zwischen
TS 8
Temperaturstrahlung
etwa 280 nm und 2600 nm zu mehr als 90% transparent ist. Den Strahlengang und den optischen Aufbau können Sie direkt beobachten, wenn Sie die Abdeckplatte des Spektrometers
abnehmen. Achten Sie darauf, dass die Platte während des Versuches wieder dicht geschlossen ist und kein Falschlicht eindringen kann.
3000
Wellenlänge λ (nm)
2500
2000
1500
1000
500
9
10
11
12
13
Prismaeinstellung (Skalenteile)
Abb. 3: Kalibrierung (Wellenlänge als Funktion der Prismastellung in Skalenteilen) für den Leiss-Monochromator.
Das Licht der Lampe wird über einen Hohlspiegel (H3) und einen Planspiegel (A1) auf den
Eintrittsspalt S1 fokussiert. Dieser Spalt befindet sich über den Planspiegel A2 im Brennpunkt
des Hohlspiegels H1. Dadurch erzeugt man ein paralleles Strahlenbündel, welches das Prisma
P durchsetzt. Die Rückseite des Prismas ist verspiegelt, so dass das Strahlenbündel das Prisma
ein zweites Mal durchläuft. Nach dem Durchgang durch das Prisma trifft es auf den Hohlspiegel H2, in dessen Brennebene sich der Austrittsspalt S2 befindet. In der Ebene des Austrittsspaltes liegt wegen der Dispersion des Prismas das nach Wellenlängen aufgefächerte
Strahlungsspektrum. Dieses wird als Ganzes über den Austrittsspalt verschoben, wenn man
das Prisma dreht, so dass Strahlung unterschiedlicher Wellenlängenbereiche durch den Spalt
austreten kann. Diese Drehung erfolgt von außen mit einem Schrittmotor über ein Schneckengewinde und wird in Skalenteilen (SKT) an der Drehtrommel abgelesen. Zur Kalibrierung ist
in Abb. 3 und Tab. 1 der Zusammenhang zwischen Skalenteilen und Durchlasswellenlänge
am Spalt S2 angegeben.
Die Breite des Austrittsspaltes bestimmt wesentlich die spektrale Reinheit (Monochromasie)
der aus dem Spektrometer austretenden Strahlung. Die Strahlungsleistung wird mit Hilfe eines Detektors (Thermosäule) gemessen. Die Thermosäule besteht aus vielen hintereinandergeschalteten Thermoelementen. Die Verbindungsstellen befinden sich abwechselnd auf einer
geschwärzten Fläche, die die gesamte auftreffende Strahlung absorbiert und in Wärme um-
Temperaturstrahlung
TS 9
Spektrometerfunktion f (Wm-3µV-1)
wandelt und auf einer von der Strahlung abgeschirmten Fläche, die kalt (d.h. Raumtemperatur) bleibt. Die entstehende Thermospannung ist ein Maß für die auftreffende Strahlungsintensität und wird mit einem Mikrovoltmeter gemessen.
6x108
5x108
4x108
3x108
2x108
1x108
500
1000
1500
2000
Wellenlänge λ (nm)
Abb. 4: Spektrometerfunktion f(λ) für den Leiss-Monochromator.
Thermosäulen haben eine hohe Empfindlichkeit, die vom IR bis zum UV nahezu unabhängig
von der Wellenlänge der einfallenden Strahlung ist. Dies liegt daran, dass die absorbierende
Schicht durch eine geeignete Mischung von Stoffen in diesem ganzen Bereich praktisch ein
Schwarzer Körper (A > 95%) ist. Mit unserer Thermosäule kann man sogar die thermische
Strahlung des Menschen messen. Dennoch ist die Anzeige für unterschiedliche Wellenlängen
noch zu korrigieren, weil das Durchlassvermögen des Spektrometers sich mit der Wellenlänge
ändert. Dies ist bedingt durch die nichtlineare Dispersion des Prismas, sowie das wellenlängenabhängige Reflexionsvermögen der Spiegel. Diese Korrekturfunktion f(λ) nennen wir die
„Spektrometerfunktion“ und ist in Abb. 4 dargestellt. Sie korrigiert zusätzlich bezüglich des
Raumwinkels ∆Ω und der Strahler- und Empfängerfläche unserer Versuchsanordnung (s. Gl.
(4)), so dass man die spektrale Strahlungsdichte L aus der am Detektor gemessenen Spannung
U erhält:
L (λ ) = U (λ ) f (λ )
(8)
TS 10
Temperaturstrahlung
Programm Planck 2.0+:
Abb. 5: Benutzeroberfläche des LabVIEW-Programms Planck 2.0+.
Die Steuerung des Spektrometers und die Erfassung der Messwerte erfolgt über ein
LabVIEW-Programm. Das Programm Planck 2.0+ (Abb. 5) erlaubt die Ansteuerung des
Schrittmotors zur Drehung des Prismas über eine RS232-Schnittstelle, sowie das Auslesen der
Daten des PREMA 5017 Digital Multimeter über den GPIB-Bus.
Im folgenden ist der Programmablauf beschrieben:
1. Initialisierung
a. Initialisierung der Systemvariablen „Offset“ (Offset (Skt))
b. Initialisierung des Schrittmotors (relative Nullposition wird auf aktuelle Position gesetzt)
c. Initialisierung des Multimeters
d. Festlegung einer Datei für die Datenspeicherung
2. Parameterbelegung
a. Überprüfung der Parameter für Startposition und Zielposition
b. Ausgabe der interpolierten Parameter
c. Warten auf „Parameter akzeptieren“
3. Messung
a.
b.
c.
d.
e.
Anfahren der Startposition
Messung
Grafische Darstellung der Daten
Speicherung der Daten (die Daten werden an die in 1d gewählte Datei angehängt)
Verfahren des Schrittmotors um die interpolierte „Schrittweite“
Temperaturstrahlung
TS 11
f. Schleife von 3d- 3e mit Möglichkeit des Abbruchs über „Abbrechen“ in jedem
Schritt. Im Falle eines Abbruchs fährt der Schrittmotor wieder auf die Nullposition
aus 1b zurück, die Daten bleiben erhalten
4. Ende der Messung
a. Anfahren der Nullposition aus 1b
b. Schließen der Schnittstellen
c. Ende des Programms
Die Nullposition wird in Schritt 1b in jedem Programmdurchlauf neu festgelegt. Ein Hinweis,
dass die Ausgangsposition des Geräts mit dem „Offset“ übereinstimmen muss, wird im
Durchlauf 1 ausgegeben. Wird dieser nicht beachtet, kann das Spektrometer beschädigt werden, da es ausschließlich einen „Software-Endschalter“ für den Verfahrweg gibt.
Ein typischer Messablauf:
1. Wolframlampe einschalten und auf den Eintrittsspalt fokussieren. Die Lampe einige Minuten zur Stabilisierung brennen lassen.
2. Programm Planck 2.0+starten (Planck.exe)
3. Überprüfung der Geräte
a. Multimeter einschalten
b. Schrittmotorsteuerung einschalten
4. Position des Spektrometers überprüfen (ein entsprechender Hinweis wird vom Programm
ausgegeben). Stimmt die Position nicht mit dem im Hinweis angegebenen Wert überein,
so ist die Schrittmotorsteuerung auszuschalten und der Motor manuell in die Korrekte Position zu bringen. Dann kann die Schrittmotorsteuerung wieder eingeschaltet werden.
5. Programm starten
6. Parameter festlegen. Paramtereingaben sind mit „Enter“ zu bestätigen. Da für den
Schrittmotor interpoliert wird, ergeben sich für Start (S) und Ende (Z) für gewöhnlich
leicht abweichende Werte. Die Abweichung lässt sich durch geschickte Wahl der Schrittanzahl minimieren. Der „Software-Endschalter“ sieht einen bestimmten Bereich für die
Start- und Zielposition vor, so dass nur bestimmte Werte für S, Z und die Schrittanzahl zulässig sind. Diese berechnet das Programm in Abhängigkeit vom Systemparameter „Offset“. Das Spektrometer kann von 0 - 14 Skalenteilen messen. Ist der Offset so gewählt
(und das Spektrometer passend vorbereitet), kann der Verfahrweg zu Beginn der Messung
minimiert werden, was Zeit spart. Die Empfehlung und Vorgabe im Programm sind 8.0
Skalenteile. Dies kann im Programm geändert werden, darf aber nur unter gleichzeitiger
Einstellung der Null am Gerät geschehen.
7. Parameter akzeptieren. Ab diesem Schritt sind keine Benutzereingaben mehr erforderlich,
die Zeit während der Messungen kann genutzt werden, um mit dem Betreuer die Theorie
zu vertiefen und die Auswertung zu besprechen.
Bitte nicht am Tisch wackeln, die Messung wird sonst verfälscht.
TS 12
Temperaturstrahlung
6. Versuch
Messen Sie das Strahlungsspektrum der Wolframbandlampe für verschiedene Temperaturen,
die durch den Lampenstroms I festgelegt sind. Starten Sie bei 8 A und erhöhen Sie den Lampenstrom in Schritten von 1 A bis zu 14 A. Im Anhang finden Sie die mit einem Pyrometer
bestimmte Temperatur der Lampe als Funktion des Lampenstroms.
Stellen Sie nach Einschalten der Stromversorgung vorsichtig den gewünschten Strom ein. Der
Strom darf 15 A nie überschreiten. Die Spaltbreiten S1 und S2 am Spektrometer sollten auf
1.5 mm eingestellt sein. Drehen Sie die Trommel am Spektrometer zu Beginn auf 9.50 SKT
und messen Sie die Thermospannung U mit mindestens 100 Schritten bis zu 12.00 SKT.
7. Auswertung
Die Daten liegen in der Form „Skalenteile - Intensität“ vor. Um sie zur Auswertung benutzen
zu können, muss von Skalenteilen in Wellenlängen umgerechnet werden. Die Umrechnungsfaktoren sind in Tab. 1 aufgelistet und auf dem Mess-PC in der Datei „Eichung.dat“ im ASCII-Format und als Origin-Worksheet „Eichung.ogw“ abgespeichert. Die Strahlungsdichte L
nach Gl. (8) kann mit Hilfe der Spektrometerfunktion aus Tab. 1 berechnet werden. Die Werte
sind auf dem Mess-PC in der Datei „Korrektur.dat“ im ASCII-Format und als OriginWorksheet „Korrektur.ogw“ abgespeichert. Benötigte Zwischenwerte der Skalenteile bzw.
Wellenlängen können mit Hilfe von Origin interpoliert werden.
Importieren Sie Ihre Messwerte und diese beiden Dateien in Origin und führen Sie die entsprechenden Korrekturen durch. Zeichnen Sie die Messkurven für die verschiedenen Lampentemperaturen entsprechend Gl. (8).
Fitten Sie (versuchen Sie es zumindest) die verschiedenen Messkurven L(λ,Ii(T)) und bestimmen die Wellenlänge des jeweiligen Maximums λmax. Stellen Sie die so ermittelten Werten λi,max und Ti bzw. Ii in Origin dar und bestimmen Sie durch einen linearen Fit die Konstante des Wienschen Verschiebungsgesetzes (Gl. (5)).
Für „kleine“ Wellenlängen gilt
e
hc
λ k BT
1
und aus dem Planckschen Strahlungsgesetz (Gl.(3)) wird das Wiensche Strahlungsgesetz
L(λ , T )dλ ≈ 2hc 2
=Z
λ
1
λ
−5
hc
e
1
hc
5
e
dλ
λ k BT
(9)
dλ
λ k BT
Damit hat man eine Gleichung mit der Struktur
=
L
C1
hc
=
mit C2
C2
kB
λ 5 e λT
Tragen Sie für λ = 600 nm und für die verschiedenen Temperaturen Ti (bzw. Ii) ln(L) gegen
1/T und bestimmen Sie aus der Steigung der Geraden m = C2/λ das Plancksche Wirkungsquantum h.
Temperaturstrahlung
TS 13
Anhang
Tab. 1: Links: Kalibrierung (Wellenlänge als Funktion der Prismastellung in
Skalenteilen) für den Leiss-Monochromator.
Rechts: Spektrometerfunktion als Funktion der Wellenlänge für den
Leiss-Monochromator.
Prismastellung
(Skalenteile)
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
10.0
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
10.9
11.0
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
11.7
11.8
11.9
12.0
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
Wellenlänge
(nm)
370
380
390
410
430
460
490
530
580
635
710
800
915
1050
1200
1360
1530
1705
1870
2035
2182
2314
2429
2526
2606
2671
2724
2765
2798
2824
2844
Wellenlänge
(nm)
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
1000
1050
1100
1150
1200
1250
1300
1350
1400
1450
1500
1550
1600
1650
1700
1750
1800
1850
1900
1950
2000
Spektrometerfunktion f
(Wm-3µV-1)
607669000
472423000
391744000
334794000
289428000
268979000
250390000
226095000
181047000
140708000
121291000
105716000
99287400
94697900
92296000
91708200
93459400
95409600
96837200
97662900
98189600
98876300
100086000
102052000
104018000
107152000
110286000
114203500
118121000
120337000
122553000
Die beiden Tabellen sind auf dem Mess-PC in den Dateien „Eichung.dat“ und „Korrektur.dat“
im ASCII-Format bzw. als Origin-Worksheets „Eichung.ogw“ und „Korrektur.ogw“ abgespeichert.
TS 14
Temperaturstrahlung
Temperatur-Eichung Wolfram-Bandlampe
(Glühfaden-Pyrometer, Netzgerät Agilent E3633A, 23.6.2010)
Temperatur (K)
2200
2000
1800
1600
1400
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Lampenstrom (A)
Abb. 6: Temperatur der Wolfram-Bandlampe als Funktion des Lampenstroms.
Tab. 2: Temperatur der Wolfram-Bandlampe als Funktion des Lampenstroms.
Strom
(A)
Temperatur
(K)
7.0
8.0
8.5
9.0
9.5
10.0
10.5
11.0
11.5
12.0
12.5
13.0
13.5
14.0
1373
1543
1613
1683
1743
1803
1858
1903
1953
2003
2053
2113
2168
2213
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