Fakultät für Mathematik Institute IAG und IMO Prof. Dr. H. Bräsel/Dr

Fakultät für Mathematik
Institute IAG und IMO
Prof. Dr. H. Bräsel/Dr. M. Höding
Abschlußklausur zur Mathematik I
Fachrichtungen: IF, CV, CSE und WIF
5.2.2008
Aufgaben und Lösungen
1. Gegeben sind die komplexen Zahlen
z1 = 2 · (cos
Berechnen Sie z16 , z1 · z2 ,
π
π
+ i sin ), z2 = 81eiπ und z3 = i.
3
3
z2
z3
und alle Wurzeln der Gleichung z 4 = z2 .
Stellen Sie die Ergebnisse in der Form x + iy dar.
Lösung: Beachte: z2 = 81eiπ = 81(cos π + i sin π) = −81.
z16 =
=
z1 · z2 =
=
z2
=
z3
=
26 (cos 6·π
+ i · sin 6·π
)
3
3
64(cos 2π + i sin 2π) = 64
−162 · (cos π3 √+ i sin π3 )
−162 · ( 21 + i 23 )
−81
i
81i
z 4 = 81eiπ hat die Wurzeln:
iπ
z1w = 3 · e 4
3
z2w = 3 · e 4 πi
5
z3w = 3 · e 4 πi
7
z4w = 3 · e 4 πi
1
√
√
= 3 · ( 21 2 + i · 21 2)
√
√
= − 32 2 + i · 23 2
√
√
= − 32 2 − i · 23 2
√
√
= + 32 2 − i · 23 2
2. Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n ∈ N gilt:
n
X
k=0
(k + 1) · 2k = 1 + n · 2n+1 .
Lösung:
I.A. n = 1 :
1
P
(k + 1) · 2k = 1 · 20 + 2 · 21 = 1 + 1 · 22 , d.h. die Aussage gilt.
k=0
I.V. Die Formel
n
P
(k + 1) · 2k = 1 + n · 2n+1 ist gültig.
k=0
I.Beh. Dann gilt auch die Formel
n+1
P
k=0
I.Beweis:
n+1
P
k=0
(k + 1) · 2k =
n
P
(k + 1) · 2k = 1 + (n + 1) · 2n+2 .
(k + 1) · 2k + (n + 2) · 2n+1 mit I.Vor. folgt
k=0
= 1 + n · 2n+1 + (n + 2) · 2n+1
= 1 + (n + n + 2) · 2n+1
= 1 + 2(n + 1) · 2n+1
= 1 + (n + 1) · 2n+2 qed.
2
3. Gegeben sind die Vektoren ai ∈ R3 , i = 1, . . . , 4:
 
 




2
1
−1
−1
a1 =  3  a2 =  0  a3 =  0  a4 =  0 
6
3
1
5
(a) Sind die Vektoren a1 , a2 , a3 linear unabhängig?
(b) Man bestimme alle Vektoren b ∈ R3 , die orthogonal zu a3 und a4 ist.
(c) Beschreiben Sie die lineare Hülle der Vektoren a2 , a3 , a4 : [{a2 , a3 , a4 }],
bestimmen Sie die Dimension der linearen Hülle und geben Sie ein
minimales Erzeugendensystem der linearen Hülle an.
Lösung:
(a) Da
2 1 −1 1 −1 = −12 6= 0, sind a1 , a2 , a3 linear unabhängig
3 0
0 = −3 3
1
6 3
1 i j k (b) −1 0 1 = 0 · i − j(−5 + 1) + 0 · k = 4j
−1 0 5  

 0

Damit enthält die Menge  4  · t, t ∈ R alle Vektoren, die orthogonal


0
zu a3 und a4 sind.
(c)



 




1
−1
−1
 x1









x2 = λ1 0 + λ2
0 + λ3
0 , λ1 , λ2 , λ3 ∈ R
[{a2 , a3 , a4 }] =


x3
3
1
5
1 −1 −1 0
0 = 0, folgt dim[{a2 , a3 , a4 }] < 3.
Da 0
3
1
5 Da a2 , a3 linear unabhängig sind (∄λ 6= 0 so, dass a2 = λa3 gilt), folgt:
dim[{a2 , a3 , a4 }] = 2.
Minimale Erzeugendensysteme sind die Basen {a2 , a3 }, {a3 , a4 }, {a2 , a4 }.
3
4. Betrachtet wird die lineare Abbildung
der Abbildungsmatrix A, wobei α ∈ R

1 −2
 0
1
A=
 2 −4
0
2
f : R4 → R4 (f (x) = y = Ax) mit
:

3
1
4 −1 
.
α
2 
8
1
(a) Für welche α ∈ R ist die Abbildung bijektiv?
(b) Man setze α = 6 und bestimme Kern(f ), dieDimension
von Kern(f )

0
 −1 

und Bild(f ) sowie die Urbildmenge von y = 
 0 .
0


0
 −1 

(c) Sei α ∈ R. Für welche β ∈ R liegt der Vektor 
 β  in Bild(f )?
0
(d) Man weise nach, dass det(A) = 12 für den Fall α = 10 gilt und berechne det(A · AT ) und det(2 · A−1 ).
Lösung:
Gaußscher Algorithmus
x1 x2
x3 x4 b0 b
1 -2
3 1 0 0
0 1
4 -1 0 -1
2 -4
α 2 0 β
0 2
8 1 0 0
1 -2
3 1 0 0
0 1
4 -1 0 -1
0 0 α-6 0 0 β
0 0
0 3 0 2
(-2)
|
(-2)
↓
|
↓
(∗)
(a) f ist bijektiv ↔ dim Bild(f ) = 4 ⇔ Rang(A) = 4 damit: ∀ α 6= 6 ist f
bijektiv.
(b) Mit α = 6 wird Rang(A) = 3, d.h. Bild(f ) hat Dimension 3, damit
folgt: Kern(f ) hat Dimension 4 − 3 = 1.
Kern(f ) = {x ∈ R|Ax = 0}
x4 = 0, x3 = t, x2 = −4x3 + x4 = −4t, x1 + 8t + 3t = 0 x1 = −11t
4





−11
x1









−4
x
2




|t ∈ R
= t
Kern(f ) = 
1 
x3 






0
x4
(c) mit (∗) gilt:

0
 −1 

- wenn α 6= 6, folgt: alle 
 β  mit β ∈ R liegen in Bild(f ), da Ax = b
0
lösbar wegen Rang(A) = 4 = Rang(A|b).


0
 −1 

- wenn α = 6, folgt: nur 
 0  liegt in Bild(f ), da für
0
β 6= 0 ∧ α = 6 Rang(A) = 3 6= 4 = Rang(A|b) gilt, d. h. Ax = b ist nicht
lösbar.

(d)
x4 =
2
3
x3 = t x2 = −1 − 4x3 + x4
= −1 − 4t + 32 = − 31 − 4t
x1 = 2x2 − 3x3 − x4 = − 32

  4
−3
x1





x2   1
Urbild: 
 x3  =  0



2
x4
3
(e)
und
− 8t − 3t − 32 = − 34 − 11t




−11




 −4 
 |t ∈ R
+ t


1 



0
1 −2
3
1 0
1
4 −1 = 12
0
0 +4
0 0
0
0
3 det(A · AT ) = det(A) det(AT )
= det(A) · det(A) = 122 = 144
weiter:
det(2 · A−1 ) = det(2E · A−1 )
= det(2E) · det(A−1 )
= det(2E) · (det(A))−1
1
= 24 · 12
= 43
5
5. Man betrachte die Einträge der Matrix A aus Aufgabe 4 als Restklassen
modulo 2.
Für welche α ∈ Z2 ist A regulär?
Man setze α = 0 und gebe die Lösungsmenge
L(A, b) des Gleichungssy
1
 0 

stems A · x = b über Z2 mit b = 
 0  elementweise an.
1
Lösung: Betrachte A im Z2 :

1
 0
A=
 0
0
0
1
0
0
1
0
α
0

1
1 
.
0 
1
A ist regulär, wenn det(A) 6= 0, d. h. α = 1 muss erfüllt sein. Weiter gilt

1
 0

 0
0
x1
1
0
0
0
0
1
0
0
x2
0
1
0
0
1
0
α
0


1

1 
·x=

0 
1
x3
1
0
0
0
x4
1
1
0
1
b
1
0
0
1

1
0 
 mit α = 0
0 
1
y

 
x1




x2 
=
L(A, b) = 
 x3  



x4
x4
x3
x2
x1
=1
=t
= −x4 = 1
=1−t−1=t


1
0


0
1 
+ t
 1
0 
0
1
6
  
0


  

 |t ∈ {0, 1} =  1  , 


 0  


 
1






1 


1 

1 


1
6. Wahr oder falsch? Begründen Sie sorgfältig Ihre Antwort!
(a) Für die Matrix A mit Einträgen aus dem Restklassenkörper modulo 5
gibt es einen Wert a aus Z5 , so daß die Matrix B invers zu A ist.




1 0 4
2 2 4
A =  3 2 4 , B =  0 1 1 
2 4 1
1 a 4
(b) Für orthogonale Abbildungen f : Rn → Rn gilt für alle v, w ∈ Rn die
Gleichung f (v) · f (w) = 0 (besser formuliert (f (v), f (w)) = 0).
a b
(c) Es gibt reelle Zahlen a und b so, daß die Matrix A =
−a b
orthogonal ist.
(d) In der Menge der Quaternionen gilt die Gleichung i·j·k= 1.
5 4
(e) Die Matrix A =
hat die Eigenwerte 7 und 1.
3 1
Lösung:
zu (a) Falls A existiert, muß gelten: A · A−1 = E, d.h. (1, 0, 4) · (2, 1, a) = 0.
Damit folgt 2 + 0 + 4a = 0, d.h. 4a = 3 und a = 2. Prüfe A · A−1 = E:

 
 

1 0 4
2 2 4
1 0 0
 3 2 4  ·  0 1 1  =  0 1 0 .
2 4 1
1 a 4
0 0 1
Damit ist die Aussage wahr.
zu (b) Die Aussage ist falsch, denn laut Definition gilt (f (v), f (w)) = (v, w),
so daß die Aussage nur für orthogonale Vektoren v, w erfüllt ist.
zu (c) Wenn A orthogonal sein soll, muß gelten:
i) a2 + a2 = 1 → 2a2 = 1 → a = ± √12
ii) b2 + b2 = 1 → 2b2 = 1 → b = ± √12
iii) ab − ba = 0 gilt und −a2 + b2 = 0 → a2 = b2 .
"
#
Damit wird z.B. A =
√1
2
− √12
√1
2
√1
2
und es gilt A · A−1 = A · AT = E,
die Aussage ist also wahr.
7
zu (d) Die Aussage ist falsch, denn laut Definition gilt i·j=k und k2 = −1,
also i·j·k= −1.
zu (e) Wenn ein Eigenwert λ von A den Wert 7 oder 1 annehmen soll, muß
Ax = λx, d.h. (A − λE)x = 0 erfüllt
sein.
5−λ
4
) = 0 gelten.
Damit muß det(
3
1−λ
−2
4
= 0 und
Mit λ = 7 folgt: 3 −6 4 4 = 12 6= 0.
mit λ = 1 folgt: 3 0 Damit ist die Aussage falsch, denn nur 7 ist ein Eigenwert von A.
8