8. Klasse Algebra

8A
Bruchterme I
Definitionsmenge eines Bruchterms
Alle zulässigen Einsetzungen in einen Bruchterm bilden die Definitionsmenge D.
Einsetzungen, für die der Nenner Null wird, gehören nicht zur Definitionsmenge.
Beispiele:
l
x−3
x2 − 1
=
x−3
D = ⟨{−1; 1}
( x + 1)( x − 1)
x−3
l
x2 + 1
D=
Addition und Subtraktion von Bruchtermen
Gleichnamige Bruchterme werden addiert (subtrahiert), indem man ihre Zähler
addiert (subtrahiert) und den gemeinsamen Nenner beibehält.
Ungleichnamige Bruchterme werden vor dem Addieren oder Subtrahieren
gleichnamig gemacht (Hauptnenner!).
Einzelschritte:
l Die gegebenen Nenner werden so weit wie möglich faktorisiert. (GW 7A, S. 7)
l Bestimmung des Hauptnenners HN: In den Faktorzerlegungen der Nenner wird von
jedem Faktor die höchste Potenz herausgesucht. Das Produkt dieser höchsten Potenzen
ist der Hauptnenner. (GW 5, S. 8)
ƒ Bestimmung der Erweiterungsfaktoren EWF: Gesucht sind die Faktoren, die in der
Faktorzerlegung jedes einzelnen Nenners gegenüber dem HN fehlen.
„ Die Terme werden erweitert und auf einen gemeinsamen Bruchstrich geschrieben.
(GW 6, S. 1)
… Der Zähler wird so weit wie möglich vereinfacht und evtl. faktorisiert.
† Gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner werden gekürzt.
T ( x) =
Beispiel:
x−2
x −1
2 x 2 − 16 x − 2
− 2
−
3x + 6 3 x − 12
6 x 2 − 24
= 3 ⋅ (x + 2)
3 x − 12 = 3 ⋅ x 2 − 4 = 3 ⋅ (x + 2 ) ⋅ (x − 2 )
6 x 2 − 24 = 6 ⋅ x 2 − 4 = 6 ⋅ (x + 2 ) ⋅ (x − 2 )
l 3x + 6
2
(
(
)
)
⇒
l EWF:
2 ⋅ ( x − 2)
2
1
l HN: 6(x + 2 )(x − 2 )
„ ( x − 2) ⋅ 2( x − 2) − ( x − 1) ⋅ 2 − (2 x 2 − 16 x − 2) ⋅1… 2( x − 2) 2 − (2 x − 2) − 2 x 2 + 16 x + 2
T ( x) =
=
6( x + 2)( x − 2)
6(x + 2 )(x − 2 )
† 2 x 2 − 8 x + 8 − 2 x + 2 − 2 x 2 + 16 x + 2
6(x + 2 )
1
=
=
=
6(x + 2 )(x − 2 )
6(x + 2 )(x − 2 ) x − 2
Aufgaben:
1. Bestimme die Definitionsmenge in G = !
1
1
a) 2
b)
6x + 12
x + 3x
2. Vereinfache T ( x) =
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c)
x+2
2
4x + 16x + 16
1
x+2
+ 2
so weit wie möglich!
6 x + 12 4 x + 16 x + 16
Seite 1
8A
Bruchterme II
Multiplikation von Bruchtermen
Multiplikationsregel: Bruchterme werden wie gewöhnliche Brüche
miteinander multipliziert (GW 6, S. 2), indem man das
Produkt der Zähler durch das Produkt der Nenner
dividiert.
Beachte: Wenn es möglich ist, dann kürze vor dem Ausmultiplizieren (Nenner und Zähler
müssen dabei faktorisiert sein)!
x+ y z+3
⋅
4z x + y
Beispiel:
Aufgaben:
1.
=
(x + y ) ⋅ (z + 3)
4 z ⋅ (x + y )
4 x2 − 1 9 x3 − x
⋅
3 x2 − x 2 x4 − x3
=
z+3
4z
(Hinweis: Klammern setzen!!!)
=
 x y  y x
2.  +  ⋅  −  =
 y x  x y
Division von Bruchtermen
Divisionsregel: Durch einen Bruchterm wird dividiert, indem man mit seinem
Kehrbruch multipliziert. (GW 6, S. 2)
1 x +1
=
:
x x −1
Beispiel:
1 x −1
⋅
=
x x +1
x2 − y2 x − y
1.
:
5x
x+ y
Aufgaben:
x −1
x (x + 1)
=

a2  
a
2. 1 − 2  : 1 +  =
b
b  

Sonderfälle:
a⋅
Aufgabe:
b
c
(x
=
2
a⋅b
;c≠0
c
)
− y2 ⋅
4x + 3y
(x − y )
2
a
:c =
b
=
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Aufgabe:
a
b⋅c
; b, c ≠ 0
4 x2 − 9 y2
: (8 x − 12 y ) =
8x y
Seite 2
8A
Funktionen; Direkte Proportionalität
Funktion
Eine eindeutige Zuordnung zwischen Zahlen heißt Funktion.
Begriffe:
Beispiele:
Funktionsvorschrift:
xa y
Funktionsterm:
Funktionsgleichung:
Geordnetes Paar:
Definitionsmenge D:
f (x)
y = f (x)
( x y)
Menge aller Zahlen, die man für x
in die Funktion f einsetzen darf.
Menge aller Funktionswerte y
Jedes Zahlenpaar, das zur
Funktion f gehört, bestimmt
einen
Punkt
im
Koordinatensystem. Die Menge
aller dieser Punkte wird als
Graph Gf bezeichnet.
Wertemenge W:
Graph Gf :
x a x2 +1
x2 +1
y = x2 +1
(2 5)
D=
W = [1; ∞ [
5
4
3
2
1
0
-2
-1
0
1
2
Direkte Proportionalität
Eine Funktion f : x a y ist genau dann eine direkte Proportionalität, wenn sie eine der
folgenden Eigenschaften hat:
•
‚
ƒ
„
Dem n-fachen von x entspricht das n-fache von y.
Alle Wertepaare ( x y ) sind quotientengleich.
Alle Punkte des Graphen liegen auf einer Geraden durch den Ursprung.
Die Funktionsgleichung hat die Form y = m ⋅ x .
Beispiel aus der Physik:
Das Hookesche Gesetz
Im Gültigkeitsbereich des Gesetzes gilt F = D ⋅ s , wobei D die Federhärte, F die
dehnende Kraft und s die Dehnung einer Feder darstellt.
Der Quotient aus Kraft F und Dehnung s ist also eine Konstante (‚). Im s-F-Diagramm
ergibt sich eine Gerade durch den Ursprung (ƒ). 6
5
s in cm
0
3
6
9
12
15
4
F in N
0
1,2
2,4
3,6
4,8
6,0
3
n.def 0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
2
F
s
in
N
cm
1
0
0
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5
10
15
Seite 3
8A
Lineare Funktionen
Eine Funktion, deren Graph eine Gerade ist, heißt lineare Funktion.
Funktionsgleichung:
y = m⋅ x +t
m: Steigung der Geraden
t: y-Abschnitt
5
4
3
m=
vertikale Kathete
im Steigungsdreieck.
horizontale Kathete
2
1
Für m > 0 steigt die Gerade, für m < 0 fällt die Gerade.
Je größer |m| ist, desto steiler verläuft die Gerade.
0
-1
Der y-Abschnitt bewirkt eine Verschiebung der
Ursprungsgeraden um |t| Einheiten in Richtung der
positiven y-Achse für t > 0 bzw. in Richtung der
negativen y-Achse für t < 0.
Beispiele:
1
2
3
4
5
4
5
-2
-3
4
x∈
x∈
f1 : x a 23 x − 1,5 ;
f 2 : x a −1,2 x + 3
0
-1
3
f2
2
f1
1
0
-1
0
1
2
3
-1
-2
-3
Die explizite Gleichung y = m ⋅ x + t kann auf die sogenannte implizite Form ax + by + c = 0
gebracht werden und umgekehrt ( a, b, c ∈ und b ≠ 0 ).
Beispiel:
y
4y
=
=
⋅ x + 1,5
3⋅ x + 6
− 3⋅ x + 4 ⋅ y − 6
=
0
3
4
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| ⋅4
| − 3⋅ x − 6
Seite 4
8A
Bruchgleichungen
Gleichungen heißen Bruchgleichungen, wenn die Gleichungsvariable auch im Nenner
vorkommt.
Einzelschritte zum Lösen von Bruchgleichungen:
• Bestimme den Hauptnenner (GW 8A, S. 1).
‚ Bestimme die Definitionsmenge D der Gleichung (GW 8A, S. 1).
ƒ Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner (dadurch verliert die
Gleichung ihre Bruchform).
„ Löse mit Hilfe der üblichen Rechenschritten nach der Gleichungsvariablen auf.
… Stelle die Lösungsmenge auf. Überprüfe dabei, ob der berechnete Wert der
Gleichungsvariablen in der Definitionsmenge enthalten ist!
Beispiel:
x + 12
x
=
;
x
x −3
G=
• HN: x ⋅ ( x − 3)
‚ D=
ƒ
(x + 12) ⋅ x ⋅ (x − 3)
x
=
x ⋅ x ⋅ (x − 3)
x -3
„
(x + 12) ⋅ (x − 3)
=
x2
x 2 + 9 x − 36
=
x2
9x
=
36
x
=
4
…
Aufgabe:
\{0;3}
4∈ D ⇒
L = {4}
2x
x−2
x+6
− 2
= 2
x − 2x x + 2x x − 4
2
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G=
Seite 5
8A
Betragsgleichungen
Der absolute Betrag
Der absolute Betrag |a| einer Zahl a ist festgelegt durch
 a, falls a positiv ist

a =  0, falls a Null ist
− a, falls a negativ ist

Beim Lösen von Gleichungen (und Ungleichungen GW 8A, S. 9) mit Beträgen ist somit eine
Fallunterscheidung nötig:
1. Fall: Ausdruck in Betragsstrichen größer (oder gleich) Null
2. Fall: Ausdruck in Betragsstrichen kleiner Null
Lösen von Gleichungen mit Beträgen
Beispiel: (vgl. Erklärungen GW 8A, S. 9)
5 ⋅ 2 x + 5 = 29 + 8 x ; G =
1. Fall:
2x + 5 ≥ 0
x ≥ −2,5
2. Fall:
D1 = {x | x ≥ −2,5}
5 ⋅ (2 x + 5) =
10 x + 25 =
x =
29 + 8 x
29 + 8 x
2
2x + 5 < 0
x < −2,5
D2 = {x | x < −2,5}
5 ⋅ [−(2 x + 5)] =
− 10 x − 25 =
x =
L1 = {2}
29 + 8 x
29 + 8 x
−3
L2 = {−3}
L = L1 ∪ L2 = {−3; 2}
Aufgabe:
Bestimme die Lösung über der Grundmenge G = .
2 x + 3 < 3( x + 4)
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Seite 6
8A
Produktungleichungen
Lösung per Vorzeichenbetrachtung
Beispiel: (2 x − 5)(− x − 1,5) ≤ 0 ; G =
• Bestimme die Nullstellen der
einzelnen Faktoren
‚ Kennzeichne auf dem Zahlenstrahl
die Intervalle, in denen die
jeweiligen Faktoren positiv (+) bzw.
negativ (-) sind.
ƒ Bestimme mit Hilfe der
Vorzeichenregeln für die
Multiplikation (GW 7A, S. 1) die
Lösungsmenge.
Rechnerische Lösung
(2 x − 5) = 0
⇒ x = 2,5
(− x − 1,5) = 0
⇒ x = −1,5
(2 x − 5)
(−x − 1,5)
(2 x − 5)(− x − 1,5)
L = {x | x ≤ −1,5 ∨ x ≥ 2,5}
Beispiel: (2 x − 5)(− x − 1,5) ≤ 0 ; G =
• Führe eine Fallunterscheidung durch 1. Fall: (1. Faktor negativ, zweiter positiv)
nach der Regel:
2 x − 5 ≤ 0 ∧ − x − 1,5 ≥ 0
Der Wert eines Produkts mit zwei
2 x ≤ 5 ∧ − x ≥ 1,5
Faktoren ist kleiner Null, wenn die
x ≤ 2,5 ∧ x ≤ −1,5
Faktoren verschiedenes Vorzeichen
haben.
x ≤ −1,5 ⇒ L1 =] − ∞;−1,5]
Der Wert dieses Produkts ist größer
Null, wenn die Faktoren gleiches
2. Fall: (1. Faktor positiv, zweiter negativ)
Vorzeichen haben.
2 x − 5 ≥ 0 ∧ − x − 1,5 ≤ 0
Der Wert dieses Produkts ist gleich
2 x ≥ 5 ∧ − x ≤ 1,5
Null, wenn mindestens einer der
x ≥ 2,5 ∧ x ≥ −1,5
Faktoren Null ist.
Bestimme die Teillösungsmengen
x ≥ 2,5 ⇒ L2 =] 2,5 ; ∞ ]
L1 und L2 (GW 7A, S. 5).
‚ Bilde die Gesamtlösungsmenge als
L = L1 ∪ L2 =] − ∞;−1,5]∪] 2,5 ; ∞ ]
L = L1 ∪ L2
Schreibweisen für die (zusammengesetzte) Lösungsmenge:
Intervallschreibweise: L =] − ∞;−1,5]∪] 2,5 ; ∞ ] = \ ] − 1,5 ; 2,5[
Mengenschreibweise: L = {x | x ≤ −1,5 ∨ x ≥ 2,5} = \ {x | −1,5 < x < 2,5}
Aufgaben:
1.
Bestimme die Lösungsmenge mit beiden Verfahren zur Grundmenge G = .
a) ( x + 6)(3 − x) ≥ 0
b) (3 − x)( x − 23 ) ⋅ 3 < 0
2.
( x + 3)(4 x − 3)(5 − x) ≤ 0 (nur durch Vorzeichenbetrachtung!)
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Seite 7
8A
Bruchungleichungen
Lösung per Vorzeichenbetrachtung
• Bestimme die Definitionsmenge nach
der Regel:
X-Werte, für die der Nenner den Wert
Null annimmt, können nicht
eingesetzt werden.
‚ Verfahre mit Zähler und Nenner wie
mit den Faktoren einer
Produktungleichung (GW 8A, S. 7).
Beispiel:
x −2
x +3
≤0; G =
x + 3 = 0 ⇔ x = −3
D = \ {−3}
x−2=0
⇒ x=2
x+3= 0
⇒ x = −3
( x − 2)
( x + 3)
x −2
x +3
ƒ Bestimme die Lösungsmenge. Nimm
dabei die x-Werte heraus, die nicht in
der Definitionsmenge enthalten sind.
L = {x | −3 < x ≤ 2}
(weil x = -3 nicht in D ist!)
Rechnerische Lösung
Beispiel:
5
4−x
≥ 12 ; G =
• Bestimme Hauptnenner (GW 8A, S. 1)
Hauptnenner: 2 ⋅ (4 − x)
und Definitionsmenge der
Definitionsmenge: D = \ {4}
Ungleichung.
1. Fall: HN positiv
‚ Multipliziere beide Seiten mit dem
Hauptnenner. Unterscheide dabei die
2 ⋅ (4 − x) > 0 ⇔ x < 4
Fälle:
5
≥ 12
| ⋅ HN
1) Hauptnenner positiv
4− x
2) Hauptnenner negativ
| + x − 10
5⋅ 2 ≥ 4 − x
Bestimme die Teillösungsmengen L1
x ≥ −6
und L2 (GW 7A, S. 5) unter
L1 = {x | −6 ≤ x < 4}
Berücksichtigung der jeweiligen
Gültigkeitsbereiche!
2. Fall: HN negativ
2 ⋅ (4 − x) < 0 ⇔
≥
x ≤
5
4− x
x>4
1
2
−6
L2 = {}
ƒ Bilde die Gesamtlösungsmenge als
L = L1 ∪ L2
L = L1 ∪ L2 = {x | −6 ≤ x < 4}
Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge mit beiden Verfahren zur Grundmenge G = .
a) 02,−27−xx ≤ 0
b) xx+−22 < 4
c) 3x−−2x ≥ 9−23 x
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Seite 8
8A
Betragsungleichungen der Form |ax + b| c
Beispiel: x − 2 ≥ 1
Graphische Lösung
• Zeichne die Funktionen
f : x a ax + b und g : x a c
x
y = |x – 2|
0
2
1
1
2
0
3
1
4
2
‚ Kennzeichne durch senkrechte Linien
die x-Werte der Schnittpunkte der
Graphen Gf und Gg (falls es welche
gibt!)
ƒ Kombiniere folgende Bereiche zur
Lösung:
ax + b > c ð Gf verläuft über Gg
ax + b < c ð Gf verläuft unter Gg
L =] − ∞ ;1] ∪ [3 ; ∞[
ax + b = c ð Schnittpunkte
Beispiel: x − 2 ≥ 1
Rechnerische Lösung
1. Fall: x − 2 ≥ 0
x≥2
• Unterscheide zwei Fälle:
1. Fall: Betragsinhalt ≥ 0
2. Fall: Betragsinhalt < 0
‚ Bestimme für jeden Fall eine
Definitionsmenge.
ƒ Löse die gegebene Ungleichung:
!
1. Fall: Ersetze die Betragsstriche
durch Klammern.
2. Fall: Ersetze die Betragsstriche
durch Klammern, vor die du
ein Minuszeichen setzt.
„ Bestimme für jeden Fall die
Ergebnismenge.
… Bestimme für jeden Fall die
Lösungsmenge als Schnitt seiner
Definitions- mit seiner Ergebnismenge.
† Bestimme die Gesamtlösungsmenge
2. Fall: x − 2 < 0
x<2
D1 = [2 ; ∞ [
D2 = ] − ∞ ; 2 [
( x − 2) ≥ 1 |+2
x≥3
− (x − 2) ≥ 1
− x + 2 ≥ 1 | −2
− x ≥ −1 | ⋅(−1)
x ≤1
E1 = [3 ; ∞ [
E 2 =] − ∞ ;1 ]
L1 = [3 ; ∞ [
L2 =] − ∞ ;1]
als Vereinigung beider
Lösungsmengen.
L =] − ∞ ;1 ] ∪ [3 ; ∞ [
Aufgabe: Bestimme mit beiden Verfahren die Lösungsmenge zur Grundmenge G = .
a) x − 2 ≤ 1
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b) 2 x − 3 > 2
c) 2 ⋅ ( x − 3) ≤ 4
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8A
Lineare Gleichungssysteme I
Die Verknüpfung von linearen Gleichungen durch „und“ (∧) nennt man ein lineares
Gleichungssystem:
a1 x + b1 y = c1
∧ a2 x + b2 y = c2
Meist schreibt man die beiden Gleichungen untereinander, lässt das Zeichen ∧ weg und
nummeriert die Gleichungen.
Gleichungssysteme dieser Art besitzen entweder genau eine Lösung oder keine Lösung
oder unendlich viele Lösungen.
Graphisches Lösungsverfahren
Beispiel:
(I)
(II)
x + 2 y = 10
5x − 4 y = 8
⇒
⇒
y = − 12 x + 5
y = 54 x − 2
L = {(4/3)}
Rechnerische Lösungsverfahren
Die rechnerischen Lösungsverfahren zielen darauf ab, aus zwei Gleichungen mit je zwei
Variablen durch Äquivalenzumformungen zwei Gleichungen mit je einer Variablen zu
gewinnen.
a) Einsetzverfahren
Beispiel:
(I)
x + 2 y = 10
(II) 5 x − 4 y = 8
(I’)
x = 10 − 2 y
5 ⋅ (10 − 2 y ) − 4 y = 8
50 − 14 y = 8
y = 3
x = 10 − 6
x = 4
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(nach x auflösen)
(in (II) einsetzen)
(in (I’) einsetzen)
L = {( 4 / 3)}
Eine der beiden
Gleichungen wird
nach einer
Variablen
aufgelöst und
dieser
Lösungsterm wird
dann in die andere
Gleichung
Seite 10
Lineare Gleichungssysteme II
8A
b) Additionsverfahren
Beispiel 1:
(I)
x + 2 y = 10
(II) 5 x − 4 y = 8
(I’) 2 x + 4 y = 20
(II) 5 x − 4 y = 8
(I’)+(II)
7 x = 28
x = 4
Um eine Variable zu eliminieren,
werden beide Gleichungen addiert
(bzw. subtrahiert). Meist müssen
dazu vor der Addition die beiden
Gleichungen mit je einem
geeigneten Faktor multipliziert
werden.
(in (I) einsetzen)
| ⋅2
4 + 2 y = 10
y = 3
L = {(4 / 3)}
Beispiel 2:
(I)
(II)
(I’)
(II’)
12 x − 25 y = 1
18 x − 35 y = − 1
| ⋅3
| ⋅ (−2)
36 x − 75 y = 3
− 36 x + 70 y = 2
− 5y = 5
y = −1
(I’)+(II’)
(in (I) einsetzen)
12 x + 25 = 1
x = −2
L = {( −2 / − 1)}
Aufgaben:
Löse die folgenden Gleichungssysteme graphisch und rechnerisch!
1) x + 2 y = 11
x−y= 2
2) − 5x + 2 y = 6
2 x + 3y = 9
3) 2 x − 6 y = 21
8x − 3y = 0
4) 3x + 4 y = −8
5 y − 6 x = −26
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