Grundwissen Jahrgangsstufe 9 - Gymnasiums Ernestinum Coburg

Grundwissen Jahrgangsstufe 9
GM 9.1 Quadratwurzeln und die Menge der reellen Zahlen
QUADRATWURZELN
Unter der Quadratwurzel aus einer Zahl a (kurz: Wurzel aus a, Schreibweise
a ) versteht man
diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich a ist. a ist also die nichtnegative Lösung der
Gleichung x² = a. Zum Beispiel hat die Gleichung x² = 16 die positive Lösung 4 und die negative Lösung
−4. Also ist 16 = 4. Die Zahl oder der Term unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand. Das Ermitteln
des Werts einer Quadratwurzel nennt man Wurzelziehen oder Radizieren.
Man beachte:
•
a ist nur definiert, wenn a ≥ 0.
•
a² = a, falls a ≥ 0 und
a² = −a, falls a < 0. Zusammenfassend schreibt man:
a² = |a|.
DIE MENGE DER REELLEN ZAHLEN
Jede rationale Zahl lässt sich als Bruch mit einer ganzen Zahl im Zähler und einer natürlichen Zahl im
Nenner schreiben. Die Dezimaldarstellung einer rationalen Zahl ist entweder endlich (z.B. 38 = 0,375 )
oder periodisch (z.B.
2
3
= 0, 6 ). Es gibt Zahlen, die sich nicht in der beschriebenen Art als Bruch
darstellen lassen. Ihre Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht periodisch. Solche Zahlen heißen
irrationale Zahlen. 2 ist eine irrationale Zahl, wie alle Quadratwurzeln a , wenn a nicht das
Quadrat einer rationalen Zahl ist. Die Menge der rationalen Zahlen und die Menge der irrationalen
Zahlen bilden zusammen die Menge R der reellen Zahlen.
RECHNEN MIT QUADRATWURZELN
Addieren und Subtrahieren von Quadratwurzeln
Es gilt: a c ± b c = (a ± b) c . Man kann also Wurzelterme addieren bzw. subtrahieren, wenn sie
den gleichen Radikanden besitzen.
Beispiel: 2 3 + 4 5 − 6 3 +
5 = (2 − 6 ) 3 + (4 + 1) 5 = −4 3 + 5 5
Man beachte: Wurzelterme mit verschiedenen Radikanden kann man nicht zusammenfassen.
a + b ≠ a+b!
Insbesondere ist in der Regel
Beispiel:
9 + 16 = 3 + 4 = 7 , aber
9 + 16 = 25 = 5 . Also
9 + 16 ≠ 9 + 16 .
Multiplizieren und Dividieren von Quadratwurzeln
Es gilt:
a ⋅ b = ab und
a
b
=
a
. Man kann also Wurzelterme multiplizieren bzw. dividieren,
b
indem man die Radikanden multipliziert bzw. dividiert.
Beispiel: 2 3 ⋅ 4 5 = 2 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 5 = 8 15
Man beachte:
a⋅ a =
( a)
2
= a . Im Gegensatz zu:
36
a+ a =2 a
Teilweises Radizieren
Manchmal lässt sich der Radikand so in ein Produkt zerlegen, dass man die Wurzel aus einem oder
mehreren Faktoren ziehen kann. Dies ermöglicht ein teilweises Radizieren.
Beispiele:
75 = 25 ⋅ 3 = 25 ⋅ 3 = 5 3
108 = 4 ⋅ 9 ⋅ 3 = 4 ⋅ 9 ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 6 3
48a 4 b 3c 2 = 48 ⋅ a 4 ⋅ b 3 ⋅ c 2 = 4 3 ⋅ a 2 ⋅ b b ⋅ c = 4a 2 b c 3b
•
•
a² ist nicht negativ, braucht also keine Betragsstriche.
Da b³ unter der Wurzel steht, kann b nicht negativ sein. b braucht deshalb
keine Betragsstriche.
•
c ² = c (vgl. S. 36 oben).
Brüche und Bruchterme mit Wurzeln im Nenner
Durch Erweitern eines Bruches bzw. eines Bruchterms kann man Wurzeln im Nenner beseitigen.
Ebenso können durch Kürzen Wurzeln im Nenner eines Bruchs oder Bruchterms entstehen.
Beispiele:
6 * 6 3
6 3
=
=
=2 3
3
3
3⋅ 3
2* 1
=
2
2
2
x * x x
=
2
2 x
37
* Hier wird mit
3 erweitert.
* Hier wird mit
2 gekürzt. Beachte: 2 =
* Hier wird mit
x gekürzt.
( 2)
2
GM 9.2 Die Satzgruppe des Pythagoras
In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die dem rechten Winkel
gegenüberliegende Seite Hypotenuse, die dem rechten Winkel anliegenden
Seiten werden Katheten genannt.
In jedem rechtwinkligen Dreieck besteht zwischen den Längen der
Katheten und der Länge der Hypotenuse eine besondere Beziehung, die
bereits im Altertum bekannt war, der sog.
Satz von Pythagoras:
In jedem rechtwinkligen Dreieck hat das Quadrat über der Hypotenuse
den gleichen Flächeninhalt wie die Quadrate über den beiden Katheten
zusammen.
Mit den Bezeichnungen aus der nebenstehenden Abbildung gilt: a² + b² = c²
Der Kehrsatz des Satzes von Pythagoras gilt ebenfalls: Wenn für die Längen a, b
und c der drei Seiten eines Dreiecks die Gleichung a² + b² = c² erfüllt ist, dann ist
dieses Dreieck rechtwinklig mit der Hypotenuse c.
Zur Satzgruppe des Pythagoras gehören noch zwei weitere Sätze:
Höhensatz:
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der
Hypotenusenhöhe flächengleich dem Rechteck, das die
Hypotenusenabschnitte als Seitenlängen hat.
Kurz: h² = pq
Kathetensatz:
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer
Kathete flächengleich dem Rechteck, das den dieser Kathete
anliegenden Hypotenusenabschnitt und die Hypotenuse als
Seitenlängen hat.
Kurz: a² = cp
und
b² = cq
Anwendungen des Satzes von Pythagoras
Diagonale im Quadrat
d
Höhe
im
Dreieck
gleichseitigen
a
Länge einer Strecke
Koordinatensystem
im
a
h
a
2
a
Der Ansatz
2
Der Ansatz
a² + a² = d²
liefert:
d=a 2
a
h2 +   = a2
2
liefert:
h=
a
3
2
38
Für die Länge der Strecke
[PQ] gilt:
PQ =
(x Q − x P )2 + (y Q − y P )2
GM 9.3 Quadratische Funktionen und Gleichungen
Eine Funktion der Form y = ax² + bx + c bzw. f(x) = ax² +bx + c mit a, b, c ∈ R, a ≠ 0, heißt
quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel.
y
Die einfachste quadratische Funktion ist die Funktion y = x². Ihr Graph (vgl.
7
Zeichnung rechts) ist eine sog. Normalparabel. Ihr tiefster Punkt heißt
6
Scheitel und hat die Koordinaten (0|0). Sie ist achsensymmetrisch zur
y−Achse.
5
v1.6d
Alle anderen Parabeln entstehen aus der Normalparabel durch Verschiebung
und/oder zentrische Streckung am Scheitel. Es gilt:
a > 0 Die Parabel ist nach oben geöffnet.
a < 0 Die Parabel ist nach unten geöffnet.
|a| > 1 Die Parabel ist enger als die Normalparabel.
|a| < 1 Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.
4
3
2
1
x
-3
-2
-1
1
2
3
4
3
4
5
6
Mit Hilfe der quadratischen Ergänzung kann man den Funktionsterm in
die Scheitelform überführen.
Beispiel:
Quadratische Funktion
a = 0,5 ausklammern
y = 0,5x² − 2x + 1
y = 0,5(x² − 4x + 2)
Quadratische Ergänzung
y = 0,5(x² − 4x +
Quadratischen Term bilden
Zusammenfassen
Äußere Klammer auflösen
y = 0,5((x − 2)² − 4 + 2)
y = 0,5((x − 2)² − 2)
y = 0,5(x − 2)² − 1
( 42 )2 − ( 42 )2 +2)
y
Aus der Scheitelform kann man die Koordinaten des Scheitels der
Parabel ablesen.
y = a(x − d)² + e ⇒ Die Parabel hat den Scheitel S(d|e).
Beispiel:
y = 0,5(x − 2)² − 1
Die Parabel hat den Scheitel S(2|−1). Sie ist
achsensymmetrisch zur Gerade x = 2.
Wegen a = 0,5 ist die Parabel nach oben geöffnet und
weiter als die Normalparabel. Die zugehörige
quadratische Funktion hat die Wertemenge W = [−1; ∞[.
Die Schnittstellen eines Funktionsgraphen mit der x−Achse heißen
Nullstellen. Eine Parabel kann keine, genau eine oder zwei
Nullstellen besitzen. Man bestimmt diese meist mit Hilfe der
Lösungsformel für quadratische Gleichungen.
Beispiel:
Quadratische Gleichung
ax² + bx + c = 0
Lösungsformel
x1, 2 =
0,5x² − 2x + 1 = 0
a = 0,5 b = −2 c = 1
x1, 2 =
2 ± 22 − 4 ⋅ 0,5 ⋅ 1 2 ± 2
=
2 ⋅ 0,5
1
x1 = 2 − 2
x2 = 2 + 2
39
7
6
5
urven v1.6d
4
3
2
1
x
-2
− b ± b 2 − 4ac
2a
-1
1
-1
2
Der in der Lösungsformel auftretende Radikand D = b² − 4ac heißt Diskriminante der quadratischen
Gleichung. Die Diskriminante macht eine Aussage über die Anzahl der Lösungen der zugehörigen
quadratischen Gleichung und damit über die Anzahl der Nullstellen der zugehörigen quadratischen
Funktion. Es gilt:
D > 0 Die Gleichung besitzt zwei verschiedene Lösungen.
D = 0 Die Gleichung besitzt genau eine Lösung.
D < 0 Die Gleichung besitzt keine Lösung.
Besitzt ein quadratischer Term eine oder zwei Nullstellen, so kann man ihn faktorisieren. Umgekehrt
kann man aus der faktorisierten Form des Terms seine Nullstellen ablesen.
a) Faktorisieren durch Ausklammern:
ax² + bx = 0
b
ax(x + a ) = 0
Nullstellen: x1 = 0, x2 = −
Beispiel:
b) Faktorisieren mit Hilfe der
binomischen Formeln:
b
a
Zur Erinnerung:
Ein Produkt ist Null, wenn
mindestens
einer
seiner
Faktoren Null ist!
2x² + 6x = 0
2x(x + 3) = 0
x1 = 0, x2 = −3
x² + 2dx + d² = (x + d)²
Nullstelle: x = −d
x² − 2dx + d² = (x − d)²
Nullstelle: x = d
Beispiel:
c) Faktorisieren durch Kluges Raten:
Beispiel:
d) Faktorisieren mit Hilfe der Nullstellen:
Beispiel:
x² + 6x + 9 = (x + 3)²
Nullstelle: x = −3
Manche quadratischen Terme lassen sich durch „kluges
Raten“ und Ausprobieren faktorisieren.
x² − x − 6 = (x ± …)(x ± …)
Durch Überlegen und Ausprobieren findet man:
x² − x − 6 = (x + 2)(x − 3)
Nullstellen: x1 = −2, x2 = 3
Ist bekannt, dass der Term ax² + bx + c die Nullstellen x1
und x2 besitzt, so kann man ihn in der Form
a(x − x1)(x − x2) schreiben.
Der Term 2x² +8x − 10 hat die Nullstellen x1 = −5 und
x2 = 1.
Also ist 2x² +8x − 10 = 2(x + 5)(x − 1).
40
GM 9.4 Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten
Das Lösen mancher Probleme aus der Mathematik oder ihren Anwendungen erfordert das Lösen eines
linearen Gleichungssystems mit mehr als zwei Unbekannten. In GM 8.5 sind drei Verfahren zum Lösen
linearer Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten dargestellt. Auch beim Lösen
von Gleichungssystemen mit drei Gleichungen und drei Unbekannten kann man sich unterschiedlicher
Methoden bedienen. Es genügt aber, eine dieser Methoden sicher zu beherrschen.
Beispiel:
(I)
(II)
(III)
x + y + z = 3
4x − 2y + z = 0
9x + 3y + z = −5
1. Lösungsmethode: Diese Lösungsmethode beruht darauf, das Gleichungssystems mit drei
Gleichungen und drei Unbekannten auf ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei
Unbekannten zurückzuführen. Dazu löst man eine der drei Gleichungen nach einer Variablen auf und
setzt den Term in die beiden anderen Gleichungen ein.
(I) nach z:
in (II):
in (III) :
z=3−x−y
4x − 2y + 3 − x − y = 0
9x + 3y + 3 − x − y = −5
Jetzt ist ein Gleichungssystem mit den
zwei Gleichungen (II)’ und (III)’ und den
zwei Unbekannten x und y zu lösen.
[Vgl. dazu auch GM 8.5.]
ergibt (II)’ : 3x − 3y = −3
ergibt (III)’ : 8x + 2y = −8
2(II)’ + 3(III)’: 30x = −30
x = −1
in (III)’: −8 + 2y = −8
y=0
in (I):
z = 3 − (−1) − 0 = 4
Die Lösung des Gleichungssystems ist das Zahlentripel (−1 ; 0 ; 4), die Lösungsmenge L = {(−1 ; 0 ; 4)}.
2. Lösungsmethode: Diese Lösungsmethode beruht auf dem Additionsverfahren. Ziel ist jeweils, dass
nach der „Addition zweier Gleichungen“ eine Variable wegfällt. Daher wird vor der Addition meist
(mindestens) eine der zwei verwendeten Gleichungen mit einer geeigneten Zahl multipliziert.
(I)
(II)
(III)
x + y + z = 3
4x − 2y + z = 0
9x + 3y + z = −5
| ⋅(−4)
(I)
(II)’
(III)’
x + y + z = 3
−6y − 3z = −12 | ⋅(−1)
−6y − 8z = −32
(I)
(II)’’
(III)’’
x + y + z = 3
−6y − 3z = −12
−5z = −20
(III)’’ ⇒
z=4
in (II)’: −6y − 12 = − 12
in (I) : x + 0 + 4 = 3
+
| ⋅(−9)
+
+
Das Gleichungssystem hat jetzt Dreiecksform
und kann von unten nach oben gelöst werden.
⇒ y=0
⇒ x = −1
L = {(−1 ; 0 ; 4)}
41
GM 9.5 Potenzen mit rationalen Exponenten
Die n-te Wurzel
Unter
n
a (sprich: „n-te Wurzel aus a“) versteht man für n ∈ N \ {1} und a ∈ R 0+ diejenige
nichtnegative reelle Zahl, deren n-te Potenz den Wert a hat. Für n ∈ N \ {1} und a ∈ R 0+ ist also
( )
n
a ≥0
n
n
a = a. Im Ausdruck n a heißt die Zahl bzw. der Term unter der Wurzel Radikand. n
und
bezeichnet man als Wurzelexponenten.
Beispiele:
Beachte:
3
216 = 6 , weil 63 = 216
4
0,0016 = 0,2, weil 0,24 = 0,0016
Auch wenn der Taschenrechner
definiert!
3
− 8 ausrechnen kann, ist
3
− 8 dennoch nicht
Die Gleichung xn = a
Die Gleichung xn = a kann zwei Lösungen, genau eine Lösung oder keine Lösung haben:
n gerade
a>0
Beispiele:
L = {− n a ;
L = {0}
a<0
L={}
L = {− n − a }
x = 243
L = {3}
x 6 = −64
L={}
3
x = −12
L = {n a }
L = {0}
L = − 4 10 ; 4 10
5
a}
a=0
{
x 4 = 10
n
n ungerade
{
L = − 3 12
}
}
Potenzen mit rationalen Exponenten
Wurzeln kann man auch als Potenzen schreiben:
1
n
a
für n ∈ N \ {1} und a ∈ R 0+
n
a=
n
a m = a n für n ∈ N \ {1}, m ∈ Z und a ∈ R +
m
und somit
Mit dieser Festlegung kann man die Definition von Potenzen auch auf rationale Exponenten erweitern.
3
Beispiel:
8 4 = 4 8 3 = 4 512
Für das Rechnen mit Potenzen mit rationalen Exponenten gelten die selben Gesetze wie für das
Rechnen mit Potenzen mit ganzzahligen Exponenten (vgl. GM 8.5):
1. Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert (dividiert), indem man die gemeinsame Basis
beibehält und die Exponenten addiert (subtrahiert).
2. Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert (dividiert), indem man die Basen
multipliziert (dividiert) und den gemeinsamen Exponenten beibehält.
3. Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.
42
GM 9.6 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck
Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt:
Länge der Gegenkathe te dieses Winkels
Länge der Hypotenuse
Länge der Ankathete dieses Winkels
Kosinus eines Winkels =
Länge der Hypotenuse
Länge der Gegenkathe te dieses Winkel
Tangens eines Winkels =
Länge der Ankathete dieses Winkels
Sinus eines Winkels =
b
Mit den Bezeichnungen nebenstehender Figur gilt:
sin α =
a
b
a
, cos α =
, tan α =
c
c
b
C
A
a
β
α
c
B
Beispiele:
1. Von einem rechtwinkligen Dreieck ist die Länge der Kathete a = 5 cm und die Größe des Winkels
β = 70° bekannt. Damit kann man die fehlenden Seiten und Winkel leicht berechnen.
a
5 cm
a
⇒c=
=
≈ 14,6 cm
cos β cos 70°
c
b
tan β = ⇒ b = a ⋅ tan β = 5 cm ⋅ tan 70° ≈ 13,7 cm
a
oder: a² + b² = c ² ⇒ b = c ² − a² ≈ (14,6 cm)² − (5 cm)² ≈ 13,7 cm
cos β =
2. Bei einem gleichschenkligen Dreieck ABC (vgl. Abbildung) beträgt die
Basislänge c = 8 cm, der Winkel an der Spitze γ = 30°. Berechne die
Schenkellänge, die Höhe und die Größe der Basiswinkel.
α = 21 (180° − γ ) = 75° (Winkelsumme im Dreieck)
C
γ
Die Höhe h auf die Basis zerlegt das gleichschenklige Dreieck in zwei
rechtwinklige Dreiecke.
tan α =
cos α =
oder:
h
1
c
2
1
c
2
a
⇒ h = 21 c tan α =
⇒a=
1
c
2
cos α
=
1
2
⋅ 8 cm ⋅ tan 75° ≈ 14,9 cm
a
h
4 cm
≈ 15,5 cm
cos 75°
h² + ( 21 c )² = a² ⇒ a = h² + ( 21 c )² ≈ (14,9 cm)² + ( 4 cm)² ≈ 15,4 cm
Beachte: Wenn man mit gerundeten Werten weiterrechnet, können sich
leicht abweichende Werte ergeben!
43
A
α
α
c
B
Die Steigung einer Gerade
Wir betrachten zunächst nur Geraden mit
positiver Steigung:
Die Steigung einer Gerade im Koordinatensystem
ergibt sich aus dem Steigungsdreieck. Die
dargestellte Gerade hat die Steigung
m=
y
2
2
.
3
Der Winkel α zwischen der Geraden und der (nach
rechts verlaufenden) x-Achse heißt Steigungswinkel der Geraden. Man findet ihn im Steigungsdreieck wieder. Dort gilt:
tan α =
2
.
3
α
1
α
O
Die Steigung einer Geraden ist also gleich dem
Tangens des Steigungswinkels:
m = tan α
Bemerkung: Diese Beziehung gilt auch, wenn die
Steigung der Gerade negativ und der Steigungswinkel größer als 90° ist.
Zusammenhänge zwischen Sinus, Kosinus und Tangens
Zwischen Sinus, Kosinus und Tangens bestehen folgende Zusammenhänge:
• cos α = sin(90° − α ) , sin α = cos(90° − α )
•
tan α =
•
(sin α )2
sin α
cos α
2
+ (cos α ) = 1
(Trigonometrischer Pythagoras)
44
3
1
x
GM 9.7 Zusammengesetzte Zufallsexperimente
Setzt sich ein Zufallsexperiment aus mehreren Schritten zusammen, so spricht man von einem
zusammengesetzten oder mehrstufigen Zufallsexperiment.
Zusammengesetzte Zufallsexperimente lassen sich durch Baumdiagramme veranschaulichen. Dabei
vermerkt man an jedem Zweig die zugehörige Wahrscheinlichkeit.
Der Summenwert der Wahrscheinlichkeiten auf den Zweigen, die von einem Verzweigungspunkt
ausgehen, muss dabei stets 1 betragen.
Bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten einzelner Ereignisse helfen die sog. Pfadregeln:
1. Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf den
Zweigen des Pfades, der zu diesem Ergebnis führt.
2. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der
zugehörigen Ergebnisse.
Beispiele:
1. Florian geht aufs Oktoberfest. Er möchte dort am Schießstand eine Rose schießen. Nüchtern hat er
eine Treffsicherheit von 80 %. Nach einer Maß Bier sinkt sie auf die Hälfte. Florian schießt einmal
im nüchternen Zustand und ein weiteres Mal nachdem er eine Maß Bier getrunken hat.
Baumdiagramm:
T bedeutet Florian trifft. T ist das Gegenereignis von T, bedeutet also, dass Florian nicht trifft.
0,2
0,8
T
0,4
T
0,6
T
T
0,4
T
0,6
T
Berechnung von Wahrscheinlichkeiten:
• A = Florian trifft bei beiden Schüssen.
A = {TT}
P(A) = 0,8 ⋅ 0,4 = 0,32 = 32 %
• B = Florian trifft nur beim zweiten Schuss.
•
B = { T T}
P(B) = 0,2 ⋅ 0,4 = 0,08 = 8 %
C = Florian trifft genau einmal.
•
C = {T T ; T T}
P(C) = 0,8 ⋅ 0,6 + 0,2 ⋅ 0,4 = 0,48 + 0,08 = 0,56 = 56 %
D = Florian trifft mindestens einmal.
D ist das Gegenereignis von D = Florian trifft keinmal.
P(D) = 1 – P( D ) = 1 − 0,2 ⋅ 0,6 = 1 − 0,12 = 0,88 = 88 %
2. „Mindestens einmal“-Ereignisse
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim fünfmaligen Würfeln mindestens eine 6 zu werfen?
E = Beim fünfmaligen Würfeln mindestens eine 6.
E = Beim fünfmaligen Würfeln keine 6.
Zu E gehören im Baumdiagramm 31 Äste, zu E gehört dagegen nur ein Ast. Er trägt auf allen Zweigen
die Wahrscheinlichkeit dafür, beim Würfeln keine 6 zu werfen, also 56 .
Somit ist P(E) = 1 − P( E ) = 1 − ( 56 )5 ≈ 59,8 %.
45
GM 9.8 Fortführung der Raumgeometrie
Das gerade Prisma
Ein Körper, dessen Grund- und Deckfläche zueinander parallele,
kongruente n-Ecke und dessen Seitenflächen Rechtecke sind,
heißt gerades Prisma. Der Abstand der Deckfläche von der
Grundfläche heißt Höhe h des Prismas. Die Seitenflächen bilden
zusammen den Mantel des Prismas, alle Flächen des Prismas
bilden zusammen seine Oberfläche.
Für das Volumen des Prismas gilt:
Volumen = Grundflächeninhalt ⋅ Höhe
V=G⋅h
Der gerade Kreiszylinder
Jeder gerade Kreiszylinder hat als Grund- und
Deckfläche zueinander parallele Kreisflächen mit dem
gleichen Radius r. Der Abstand der Deckfläche von der
Grundfläche heißt Höhe h des Zylinders. Schneidet
man die Mantelfläche längs einer Mantellinie auf, so
lässt sie sich zu einem Rechteck abrollen, dessen
Seitenlängen die Zylinderhöhe h und der Umfang U der
Grundfläche sind.
Für den Oberflächeninhalt gilt:
O = 2r²π + 2rπh
Für das Volumen des Zylinders gilt:
Volumen = Grundflächeninhalt ⋅ Höhe
V = G ⋅ h = r²πh
Die Pyramide
Eine Pyramide ist ein Körper, der von einem n-Eck
als Grundfläche und n Dreiecken als Seitenflächen
berandet wird. Auch hier bilden die Seitenflächen
den Mantel des Körpers. Mantelfläche und
Grundfläche zusammen bilden die Oberfläche der
Pyramide. Die Seiten der Grundfläche heißen
Grundkanten, die übrigen Seiten der Seitenflächen
heißen Seitenkanten der Pyramide. Sind alle
Seitenkanten gleich lang, so spricht man von einer
geraden Pyramide. Der Abstand der Spitze von der
Grundfläche ist die Höhe h der Pyramide.
Für das Volumen der Pyramide gilt:
Volumen =
1
⋅ Grundflächeninhalt ⋅ Höhe
3
1
V= G⋅h
3
46
Der gerade Kreiskegel
Ein gerader Kreiskegel ist ein Körper, der von einem Kreis mit der
Radiuslänge r als Grundfläche und einem Mantel berandet wird. Die
Verbindungsstrecke der Spitze S mit dem Mittelpunkt des
Grundkreises steht auf der Grundfläche senkrecht. Die Länge dieser
Verbindungsstrecke heißt Höhe h des Kegels. Grundfläche und
Mantelfläche bilden zusammen die Oberfläche des Kegels. Schneidet
man den Mantel längs einer Mantellinie (Länge s) auf, so lässt er
sich zu einem Kreissektor abrollen.
Für den Mantelflächeninhalt gilt:
M = rπs
Für den Oberflächeninhalt gilt:
O = r²π + rπs
Für das Volumen des Kegels gilt:
Volumen =
1
⋅ Grundflächeninhalt ⋅ Höhe
3
1
1
V = G⋅h = r²πh
3
3
47