Gymnasium bei St. Anna, Augsburg Seite 1 Grundwissen 6. Klasse 6.1.2 Drei Standardaufgaben mit Bruchteilen 6.1 Bruchzahlen 6.1.1 Brüche und die Menge der rationalen Zahlen Def.: 1. Zeichen der Art 1 , 1 , 3 , 3 ,..., nz nennt man Brüche. Teilt man eine 2 5 5 6 Größe in n gleiche Teile und setzt danach z solcher Teile zu einer neuen Größe zusammen, so ist nz das Verhältnis des Bruchteils zur ganzen Größe. 2. z heißt Zähler, n heißt Nenner. 3. Ist der Zähler z = 1, dann heisst 1n der Kehrbruch von n. Solche Brüche werden auch Stammbrüche genannt. Veranschaulichung der Brüche am Zahlenstrahl: Zwei der drei folgenden Angaben sind gegeben, die restliche ist gesucht: das Ganze G ein Teil T (vom Ganzen) der Bruchteil a , den der Teil bezüglich des Ganzen darstellt. b Typ 1: Gesucht ist der Teil T: 7 7 Beispiel: von 36 = ⋅ 36 = (36 : 12) ⋅ 7 = 21 12 12 Typ 2: Gesucht ist der Bruchteil a : b Beispiel: Welcher Bruchteil von 60 ist 42? a 42 7 Lösung: Der Bruchteil = = b 60 10 Typ 3: Gesucht ist das Ganze G: Beispiel: Lösung: Wichtig: 5 von G ist 20 8 1 8 von G = 20 : 5 = 4 ⇒ von G = 4 ⋅ 8 = 32 = G 8 8 „Bruchteil von etwas“ ist „Bruchteil mal etwas“. 6.1.3 Erweitern und Kürzen Def.: Für jede Bruchzahl gibt es mehrere Schreibweisen z.B.: 1 2 5 6 7 = = = = 2 4 10 12 14 Der Quotient z : n und der Bruch nz sind gleichwertig (z ∈ Z; n ∈ N). Def.: Die Menge der Bruchzahlen fassen wir in der Menge Q zusammen. Sie heißen auch rationale Zahlen. Es gilt: N ⊂ Z ⊂ Q Q + = { q∈Q | q > 0 }= Menge aller positiven Bruchzahlen Q 0+ = { q∈Q | q ≥ 0 }= Menge aller positiven Bruchzahlen einschließl. 0 Q– = { q∈Q | q < 0 }= Menge aller negativen Bruchzahlen -Q 0 = { q∈Q | q ≤ 0 }= Menge aller negativen Bruchzahlen einschließl. 0 1. Erweitern heißt, Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren. 2. Kürzen heißt, Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividieren, am besten durch den größten gemeinsamen Teiler. Beim Erweitern und Kürzen ändert sich nur die Form, nicht der Wert des Bruches! Beispiel: 7 2 14 = ; 12 24 7 3 21 = ; 12 36 Beispiel: 117 39 = = 156 3 52 13 3 4 7 12 84 = 12 144 Gymnasium bei St. Anna, Augsburg Seite 2 Grundwissen 6. Klasse ZZ 6.2 Rechengesetze für Bruchzahlen NZ ZZ : ZN = ZZ ⋅ NN Vereinfachung von Doppelbrüchen: ZN = NZ NN NZ ⋅ ZN NN 6.2.1 Addition und Subtraktion von Brüchen Brüche mit verschiedenen Nennern werden • erst auf den gleichen Nenner (Hauptnenner = kgV) gebracht, • dann wird addiert bzw. subtrahiert, indem man die Zähler addiert bzw. subtrahiert und den Nenner beibehält; • das Ergebnis wird ggfs. gekürzt. 2 4 18 20 18+ 20 38 5 2 25 4 21 7 Beispiele: + = + = = − = − = = 6 15 30 30 30 10 5 9 45 45 45 45 Def.: 1. Zahlen, die aus natürlichen Zahlen und Brüchen bestehen, heißen gemischte Zahlen. ZZ = Zähler des Zählers, NZ = Nenner des Zählers, ZN = Zähler des Nenners und NN = Nenner des Nenners. Nach der Vereinfachung stehen im Zähler ZZ mal NN, die gemischten Teile befinden sich im Nenner. Beispiel: 7 12 27 48 = 7 ⋅ 48 7 ⋅ 4 28 1 = = =1 12 ⋅ 27 1⋅ 27 27 27 6.2.3 K-, A-, D – Gesetz Diese fünf Gesetze (zwei Kommutativgesetze, zwei Assoziativgesetze und ein Distributivgesetz) aus der 5. Klasse gelten unverändert auch in der Menge aller rationalen Zahlen Q (siehe also dort). 2. Ist der Zähler größer als der Nenner, so heißt der Bruch unecht. Beispiel: 1 6.3 5 5 12 5 17 =1+ = + = 12 12 12 12 12 6.3.1 Dezimalschreibweise 6.2.2 Multiplikation und Division von Brüchen Multiplikation: Beispiel: 5 9 5 ⋅ 9 1⋅ 3 3 ⋅ = = = 6 25 6 ⋅ 25 2 ⋅ 5 10 Division: (vor dem Multiplizieren kürzen!) Durch einen Bruch nz wird dividiert, indem man mit seinem Kehrbruch nz multipliziert. Insbesondere: Bruch : Zahl Beispiel: Zähler ⋅ Zähler Nenner ⋅ Nenner Zähler ⋅ Zahl = Nenner Bruch ⋅ Bruch = Bruch ⋅ Zahl Dezimalzahlen = Zähler Nenner ⋅ Zahl 2 7 3 7 ⋅ 16 7 ⋅ 2 14 : = = = =4 8 16 8 ⋅ 3 1 ⋅ 3 3 3 1 1 1 0,01 = 0,001 = 10 100 1000 Die Anzahl der Nullen im Nenner bestimmt die Anzahl der Dezimalen. 0,1 = Wichtige Dezimalbrüche: 1 = 0,5 2 1 = 0,25 4 3 = 0,75 4 1 = 0,2 5 2 = 0,4 5 3 = 0,6 5 4 = 0,8 5 1 = 0,125 8 3 = 0,375 8 5 = 0,625 8 7 = 0,875 8 1 = 0,04 25 1 = 0,025 40 1 = 0,02 50 1 = 0,008 125 Beachte: Der Wert eines Dezimalbruchs bleibt unverändert, wenn man Endnullen anhängt (erweitert) oder Endnullen weglässt (kürzt). Die Endnullen müssen natürlich hinter dem Komma stehen! Gymnasium bei St. Anna, Augsburg 6.3.2 Zahlenstrahl und Intervalle mit Dezimalzahlen Seite 3 Grundwissen 6. Klasse Beispiele: 0,48 ⋅ 3,42 = 1,6416, weil 48 ⋅ 342 = 16416 ist. 1,24 ⋅ 2,45 = 3,0380 = 3,038, weil 124 ⋅ 245 = 30380 ist. Im Folgenden steht zuerst die Mengenschreibweise, dann die Intervallschreibweise: abgeschlossenes Intervall: I1={ x | 0,15 ≤ x ≤ 0,4 } = [0,15 ; 0,4] Beim Dividieren durch einen Dezimalbruch formen wir zunächst durch gleichsinnige Kommaverschiebung beim Dividenden und Divisor so um, dass der Divisor eine natürliche Zahl wird; danach führen wir die Division durch (Komma beachten!). Beispiel: 0,0364 : 0,08 = 3,64 : 8 = 0,455 (Zunächst Kommaverschiebung um jeweils 2 nach rechts!) 6.3.4 Zusätzliche Rundungsregeln bei Dezimalzahlen halboffenes Intervall: offenes Intervall: I2={ x | 0,1 ≤ x < 0,35 } = [ 0,1 ; 0,35[ I3={ x | 0,2 < x < 0,45 } = ] 0,2 , 0,45 [ 6.3.3 Rechnen mit Dezimalbrüchen Beim Addieren bzw. Subtrahieren von Dezimalbrüchen erweitern wir auf gleich viele Ziffern nach dem Komma, dann addieren bzw. subtrahieren wir stellenweise. Beispiele: 4,805 + 0,9 = 4,805 + 0,900 = 5,705 3 – 2,65 = 3,00 – 2,65 = 0,35 Dezimalbrüche werden multipliziert, indem man zunächst ohne Rücksicht auf das Komma die Zahlen multipliziert. Danach erhält das Ergebnis so viele Nachkommastellen, wie die Faktoren zusammen besitzen. Regel: 1. Gültige Ziffern werden bei Dezimalzahlen immer erst ab der ersten Ziffer ≠ 0 von links her berücksichtigt. 2. Bei Produkten und Quotienten mit Größen wird immer auf so viele gültige Ziffern gerundet wie die ungenaueste Angabe. 3. Bei Additionen und Subtraktionen mit Größen ist beim Runden nicht die Anzahl gültiger Ziffern entscheidend, sondern der tatsächliche Genauigkeitswert. Beispiel zu 1: Runden auf 2 gültige Ziffern: 0,002554 ≈ 0,0026 Beispiel zu 2+3: Zwei Längen wurden mit 12m und 152mm gemessen. Die Messgröße 12m liegt im Interval [11,5m ; 12,5 m[, entsprechend gilt 152 mm ∈ [151,5mm; 152,5mm[. Die Genauigkeit bei der 2. Größe bringt für das Ergebnis keine Vorteile. Das ungenaue erste Messergebnis schlägt immer durch: Produktbeispiel: Untergrenze: 151,5mm ⋅ 11,5m = 0,1515 ⋅ 11,5 m2 = 1,74225 m2 Obergrenze: 152,5mm ⋅ 12,5dm = 1,525 ⋅ 12,5 dm2 = 1,90625 m2 daher 152mm ⋅ 12m = 1,824 m2 ≈ 1,8 m2 (2 gültige Ziffern!) Additionsbeispiel: Untergrenze: 151,5mm + 11,5m = 1,515 dm + 115 dm = 116,515dm Obergrenze: 152,5mm + 12,5m = 1,525 dm + 125 dm = 125,1525dm Ergebnis: 152mm + 12m = 1,52dm + 120 dm = 121,52dm ≈ 12m (auf m gerundet, da das die Genauigkeit der ungenaueren Größe ist!) Gymnasium bei St. Anna, Augsburg Seite 4 Grundwissen 6. Klasse 6.3.5 Periodische Dezimalzahlen 1 1 1 = 1: 3 = 0,333.... = 0, 3 , = 0,111.... = 0, 1 = 0, 142857 3 9 7 Def.: 1. Dezimalzahlen, deren Nachkommastellen bis ins Unendliche gehen, heißen unendliche Dezimalzahlen, die bisherigen Zahlen heißen endliche Dezimalzahlen. 2. Zahlen, die durch eine immer wiederkehrende Zifferngruppe (= Periode) zusammengesetzt sind, heißen periodische Dezimalzahlen. 3. Periodische Dezimalzahlen, deren Periode unmittelhar hinter dem Komma beginnt, heißen reinperiodisch, die anderen gemischt periodisch. 6.4 Prozentrechnung 6.4.1 Grundlagen 1 = 0,01 100 n n Prozent = n% = 100 1 1 Promille = 1%o = = 0,001 1000 1 Prozent = 1% = 2 17 = 0,17 = 17% Beispiele: 17 m² von 100 : 17 m = 100 100m 2 4. Die Ziffern zwischen dem Komma und der ersten Periode heißt Vorperiode. 88 kg von 2 t: Regeln: Jeder Bruch nz mit z∈Z und n∈N lässt sich in eine periodische Dezimalzahl verwandeln und umkehrt ist jede periodische Dezimalzahl ein Bruch. Endliche Brüche sind Brüche, bei denen die Primfaktorenzerlegung des Nenners nur aus 2er- und 5er-Potenzen bestehen. Die Anzahl der Dezimalstellen nach dem Komma entspricht dem größten Exponenten dieser 2er- und 5er-Potenzen. 24 99 0,04 = 0, 4 : 10 = 49 :10 = 4 90 0, 024 = 24 999 = 8 333 0, 0024 = 24 9999 = 8 3333 0,024 = 24 990 = 4 165 0,0024 = 24 9900 = 2 825 Bemerkungen für besonders interessierte Schüler: Die Vorperiodenlänge hängt nur von der Primfaktorenzerlegung des Nenners ab. Sie entspricht dem größten Exponenten der 2er- und 5erPotenzen. Ist der Nenner eines Bruches eine Primzahl p ungleich 2 und 5, so ist die Periodenlänge ein Teiler von p–1. Prozentwert = Prozentsatz vom Grundwert PW = PS ⋅ GW Merke: Beispiele: Beispiele: 0, 24 = 88kg 44 = 0,044 = 44%o = 4,4% = 2000kg 1000 Prozentwert berechnen: 3% von 900 = 0,03 ⋅ 900 = 27 Grundwert berechnen: 30 12% von x = 30 ⇒ 0,12⋅x = 30 ⇒ x = = 250 0,12 Prozentsatz berechnen: 225 x von 600 ist 225 ⇒ x⋅ 600 = 225 ⇒ x = = 0,375 = 37,5% 600 6.4.2 Prozentrechnung in der Wirtschaft Skonto, Rabatt Skonto erhält man bei Bestellungen auf Rechnung, wenn man in sehr kurzer Zeit bezahlt. Der Kaufpreis ist zunächst 100%, von dem der Skontobetrag abgezogen wird. Rabatt (Preisnachlass) erhält man wegen Sonderaktionen oder wegen Qualitätsminderung. Die Berechnung ist gleichartig zum Skonto. Mehrwertsteuer Gymnasium bei St. Anna, Augsburg Wenn man in einem Geschäft Ware kauft, zahlt man automatisch Mehrwertsteuer (MWSt), die der Händler an den Staat abführen muss. Sie beträgt z.B. 16%, allerdings nicht vom Verkaufswert. Der Verkaufswert ist 116% = 100% + 16%. Bei einem Betrag ohne MWSt spricht man vom Nettobetrag, bei dem mit MWSt vom Bruttobetrag. Welcher Steueranteil wird von einem Käufer bezahlt, wenn er eine Ware von 174 € (Euro) erwirbt. Lösung: 116% entsprechen 174 € 1% sind 174 € : 116 = 1,50 € 16% entsprechen 1,50 € ⋅ 16 = 24 €. Der Händler kauft ein Gerät um 69,60 € (einschließlich Mehrwertsteuer). Er verkauft die Ware um 84 € (ohne Mehrwertsteuer) und bezahlt die Einkaufsrechnung nach 7 Tagen mit 3% Skonto. a) Nettobetrag 16% MWSt Bruttobetrag Einkaufspreis Skonto Einkaufs ursprüngl. Verkaufs abzgl. Skonto 3% preis (EK) Aufschlag -preis 58,20 1,80 60,00 24,00 84,00 9,31 0,29 9,60 3,84 13,44 67,51 2,09 27,84 97,44 69,60 b) Wieviel Prozent beträgt der tatsächliche Aufschlag des Händlers? Lösung: Der Händler hat zunächst 84 € – 60 € = 24 €, also 24 = 0,40 = 40% 60 auf seinen EK aufgeschlagen. Da sein Rohgewinn 84,00 € – 58,20 € = 25,80 € beträgt, ist der tatsächliche Aufschlag sogar 25,80 58,20 ≈ 0,443 = 44,3% . Zinssatz und Zins Wenn man Geld leiht, hat man dafür eine Gebühr (= Zins) zu zahlen. Die Angabe wird in Prozent (=Zinssatz) gemacht. Jeder Monat wird mit 30 Tagen, das ganze Jahr also mit 360 Tagen gerechnet. Jahreszins = Kapital ⋅ Zinssatz und Tageszins = Jahreszins : 360 Beispiel: Ein Kaufmann erhält von einer Bank am 5. Februar ein Darlehen von 8.000 €. und muss dafür 8% Zins zahlen. Die Rückzahlung erfolgt am 12. Dezember des gleichen Jahres. Lösung: Zins = 8000 € ⋅ 0,08 : 360 ⋅ (11 ⋅ 30 + 12 – (30 + 5)) = = 640 € : 360 ⋅ 307 = 545,78 €. Seite 5 Grundwissen 6. Klasse 6.5 Relative Häufigkeit 6.5.1 Zufallsexperimente Experimente wie z.B. das Werfen eines Spielwürfels oder einer Münze, das Drehen eines Glücksrades usw., deren Ergebnis vom Zufall abhängt, nennt man Zufallsexperimente. 6.5.2 Relative Häufigkeit Bsp.: Wirft man einen Würfel 100 mal und tritt dabei die Augenzahl fünf 13 mal ein, so sagt man die absolute Häufigkeit der Augenzahl fünf ist 13, die relative 13 Häufigkeit ist 100 . absolute Häufigkeit Gesamtzahl Re lative Häufigkeit = Empirisches Gesetz der großen Zahlen: Wird ein Zufallsexperiment sehr oft ausgeführt, dann stabilisiert sich die relative Häufigkeit eines einzelnen Ergebnisses um eine bestimmte Bruchzahl. 6.6 Zuordnungen 6.6.1 Direkte Proportionalität Direkte Proportionalität bedeutet, dass zum 2-, 3-, 4-, ..., n-fachen der einen Größe x der 2-, 3-, 4-, ..., n-fache Wert der anderen Größe y gehört. Beispiel: 4 Stück einer Ware kosten 75,60 €. Wieviel kosten 9 Stück derselben Ware? Stückzahl 4 :4 1 ⋅9 =9 Preis in € 75,60 :4 18,90 ⋅9 = 170,10 Gymnasium bei St. Anna, Augsburg Seite 6 6.6.2 Indirekte Proportionalität Indirekte Proportionalität bedeutet, dass zum 2-, 3-, 4-, ... , n-fachen Wert der einen Größe x die Hälfte, der 3. Teil, der 4. Teil, ... , n-te Teil der anderen Größe y gehört. Schreibweise: x ~ y1 Sprechweise: „x indirekt proportional zu y“ Beispiele: 2 Pumpen brauchen zum Füllen eines Beckens 9 Stunden, wie lange brauchen 5 Pumpen? Pumpenanzahl 2 :2 1 ⋅5 5 Dauer in h 9 ⋅2 18 :5 3,6 Beachte: Rechne über die Einheit 1 oder über den größten gemeinsamen Teiler! 6.8 Geometrische Grundbegriffe 6.8.1 Flächeninhalt von Parallelogramm, Dreieck und Trapez Flächeninhalt eines Parallelogramms: A = a ⋅ ha = b ⋅ hb Flächeninhalt eines Dreiecks: A = 12 ⋅ a ⋅ h a = 12 ⋅ b ⋅ h b = 12 ⋅ c ⋅ h c Grundwissen 6. Klasse Folgerung: Dreiecke und Parallelogramme, die in einer Seite und der zugehörigen Höhe übereinstimmen, sind flächengleich. Flächeninhalt eines Trapezes: A = 12 ⋅ (a + c ) ⋅ h = m ⋅ h , wobei h der Abstand der parallelen Seiten a und c ist. Bei komplizierteren Flächen muss man versuchen, die Fläche möglichst in Dreiecke, Parallelogramme und/oder Trapeze zu zerlegen. 6.8.2 Volumen Rauminhalte werden in Kubikmeter, Kubikdezimeter, usw. gemessen. Die Umrechnungszahl ist 1000, d.h. das 1000-fache einer Volumeneinheit ergibt jeweils die nächst größere Volumeneinheit: 1 m³ = 1.000 dm³ = 1.000.000 cm³ = 1.000.000.000 mm³ 1 dm³ = 1.000 cm³ = 1.000.000.mm³ 1 cm³ = 1000 mm³ (1 dm³ = 1l) Weitere Beispiele: a) 1 hl = 100 l = 100 dm³ (Hektoliter) b) 1 ml = 1 cm3 (Milliliter) c) 1 km3 = 1 000 000 000 m³ = 10 9 m3 = 1015 cm3 Der Rauminhalt von Quader und Würfel Quader mit Länge l, Breite b, Höhe h: V=l⋅b⋅h Würfel mit Kantenlänge a: V = a ⋅ a ⋅ a = a3 Umrechnungszahl für Längen: Umrechnungszahl für Flächen: Umrechnungszahl für Rauminhalte: 10 100 1000