Kapitel 6 Die Expander

Kapitel 6 Die Expander-Graphen
1
Kapitel 6 Die Expander-Graphen
6.1. Die explizite Konstruktionen
Denition 6.1.1.
Teilmenge
S
Es sei
G
ein Graph mit
S ⊆ V (G).
Wir denieren die Nachbarschaft
N (S)
einer
durch
N (S) = {x : x ∼ y ∈ S} ,
wobei
y
benachbart zu jedem
x ∈ S
ist. Wir müssen berücksichtigen, dass
S
nicht unbedingt in
N (S)
enthält.
Denition 6.1.2.
nach
m
Die explizite Konstruktion eines Graphen
Schritten abbricht, wobei
m
ein Polynom in
Beispiel 6.1.3. (Die Expander-Graphen)
n
G
mit
n
Knoten ist ein Algorithmus, der
ist.
Vereinfacht gesagt, hat in einem Expander-Graph jede
kleine Teilmenge von Knoten eine relativ groÿe Nachbarschaft.
Bemerkung 6.1.4.
Jeder zusammenhängende Graph ist ein Expander-Graph. Jeder nicht zusammen-
hängende Graph ist kein Expander-Graph, da der Randknoten einer angeschlossenen Komponente leer
ist.
6.2. Die Expander-Graphen
Denition 6.2.1.
G
mit
n-Knoten
Die typische Denition der Expander-Graphen lautet wie folgt: Ein regulärer Graph
ist ein
c-Expander,
wenn jede Menge
S
von
V (G)
die folgende Bedingung
|S|
|δ(S)| ≥ c 1 −
|S| .
n
erfüllt. Hier wird die Konstante
Bemerkung 6.2.2.
c
(1)
häug Expanderskoezient genannt.
Tatsächlich ist (1) für einen (k -)regulären Graphen äquivalent zu folgender Unglei-
chung
|S|
volS
|δ(S)| ≥ c 1 −
|S| ⇐⇒ volδ(S) ≥ c 1 −
volS,
n
volG
Denition 6.2.3.
i(G)
Eine weitere verwandte Invariante ist die isoperimetrische Nummer , welche wir als
bezeichnen und die durch
i(G) =
min
S⊂V,|S|< n
2
|{{u, v} ∈ E(G) : u ∈ S, v ∈
/ S}|
|S|
deniert ist. Die so genannte Konduktanz für einen
k -regulären
Graph
G
ist das Produkt von
1/k
und
i(G).
Li Ding
Leipzig, den 8. Juni 2015
Kapitel 6 Die Expander-Graphen
Lemma 6.2.4.
Es sei
G
2
S ⊆ V (G)
ein Graph mit
und die Randknoten
δ(S) = {x ∈
/ S : x ∼ y ∈ S}
erfüllt folgende Bedingung:
volδS
volS
≥
S̄
λ(2 − λ) vol
volG
S̄
1 − λ(2 − λ) vol
volG
≥ λ(2 − λ)
wobei
λ = 2λ1 / (λn−1 + λ1 ).
Mit anderen Worten ist
G
ein
volS̄
,
volG
λ(2 − λ)-Expander.
Beweis. Nach dem Lemma 3.4 aus Anhang ergibt sich, dass
volδS
1 − (1 − λ)2
≥
.
volS
(1 − λ)2 + volS/volS̄
Durch einfache Berechnung erhalten wir, dass, wie behauptet,
volδ(S)
volS
≥
=
=
1 − 1 − 2λ + λ2
(1 − λ)2 + volS/ (volV − volS)
λ(2 − λ)volS̄/volG
h
i
(1 − λ)2 volV − (1 − λ)2 volS + volS /volG
λ(2 − λ)volS̄/volG
1 − λ(2 − λ)volS̄/volG
(2)
gilt. Wenn wir nun zeigen, dass der Nenner kleiner gleich 1 ist. Dies ist aber der Fall, da
1 − λ(2 − λ) ·
volS̄
≤ 1 − λ(2 − λ) · 1
|volG
{z }
∈[0,1]
= 1−
=
2λn−1
2λ1
·
λn−1 + λ1 λn−1 + λ1
(λ1 − λn−1 )2
≤ 1.
(λ1 + λn−1 )2
(3)
Somit folgt aus (2) und (3)
volδ(S)
volS̄
≥ λ (2 − λ)
volS
volG
d.h.
G
ist nach Denition 6.2.2 ein
Lemma 6.2.5.
Graph sei. Für
⇐⇒
S̄ |δ(S)|
≥ λ (2 − λ)
,
|S|
|G|
λ(2 − λ)-Expander.
Wir nehmen an, dass
S ⊆ V (G)
Bem. 6.2.3
G
ein regulärer Graph mit
erfüllt die Nachbarschaft
N (S)
n−Knoten
und ein unvollständiger
folgende Bedingung:
|N (S)|
1
1
>
=
S̄ ,
|S|
2
2
|S|
1 − (1 − λ̄2 ) vol
λ̄ + (1 − λ̄ ) n
volG
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wobei
λ̄ = maxi6=0 |1 − λi |
3
gilt.
Beweis. Wir betrachten die charakteristische Funktion
ψS
S ⊂ V (G):
für

1 f alls x ∈ S
ψS (x) =
0 f alls x ∈
/S
Daher erhalten wir nach der Koordinatendarstellung bezüglich einer Orthonormalbasis
ψS =
n
X
ai φi ,
(4)
i=1
wobei
ai
als Fourier-Koezient bezeichnet wird. Darüber hinaus bezeichen wir
1
L=I− A
k
als den normierten Laplace-Operator von
λi (L)
G,
da
⇔
⇔
λi (A2 ) = k 2 (1 − λi )2 ,
=
(L)
λi
der Eigenwert von
L
und
(A)
λi
ist. Daraus folgt
1
λi (I − A)
k
1
1 − λi (A)
k
λi (A) = k (1 − λi )
=
6.5.2
wobei
G k -regulär
der Eigenwert von
A
(5)
ist. Jetzt betrachten wir folgendes inneres
Produkt:
hψS A, AψS i /k 2
ψST A2 · ψS /k 2
!T
!
n−1
n−1
X
X
2
ai φi
A ·
ai φi /k 2
=
(4)
=
T heorem 4 (5)
=
φi ON B
=
i=1
n−1
X
i=1
!
ai φTi
i=1
n−1
X
n−1
X
!
2
ai k 2 (1 − λi ) φi
/k 2
i=1
a2i (1 − λi )2
i=1
φi ON B
=
a20 +
n
X
2



a2i maxi6=0 |1 − λi |
{z
}
|
i≥1
:=λ̄


n
X
= a20 + 
a2i  λ̄2 .
(6)
i≥1
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4
Darüber hinaus erhalten wir aus dem Beweis vom Theorem 3.1
a0 =
X
volX
volXvolX̄
und
a2i =
,
volG
volG
(7)
i>0
wobei
X ⊂ V (G)
ist. Danach setzen wir (7) in (6) ein und es ergibt sich


X
a2i  λ̄2
a20 + 
=
i≥1
|V |=n
=
n≥1
≤
⇔
volS
volG
|S|2
+
n2
2
volSvolS̄
+
volG
!
|S|2
λ̄2
|S| −
n
λ̄2
|S|2
|S|2
− λ̄2
+ λ̄2 |S|
n
n "
hψS A, AψS i <
#
|S|2
2
+ λ̄ |S| k 2
1 − λ̄
n
2
(8)
Andererseits gilt
ψST · A (A · ψS )
hψS A, AψS i =
 P
!
X
=
ψS (u)A(u, w1 ),
u∈V
=
n−1
X
i=1
=
n−1
X
X
u∈V
"
X
A(u, wi )
#"
X
u∈S
v∈V
ψS (v)A(w1 , v)


 P

ψS (u)A(u, w2 ), . . . 
v∈V ψS (v)A(w2 , v) 

.
.
.
#
A(wi , v)
v∈S
(|N (w) ∩ S| · |N (w) ∩ S|)
i=1
=
X
|N (w) ∩ S|2 .
w∈V
Nach der Anwendung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung erhalten wir
!
X
w∈V
|N (w) ∩ S|
2
!2
!
X
1
2
≥
w∈V
X
|N (w) ∩ S| · 1
w∈V
2 2
⇔
X
|S| k
≤
|N (w) ∩ S|2 .
|N (S)|
(9)
w∈V
Aus der Kombination von (8) und (9) ergibt sich, dass
hψS A, AψS i ≥
Li Ding
|S|2 k 2
|N (S)|
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⇔ |N (S)| ≥
|S|2 k 2
hψS A, AψS i
(8)
|S|2 k 2
>
=
h
1 − λ̄2
1−
|S|2
n
|S|
|S|
λ̄2
n
i
+ λ̄2 |S| k 2
+ λ̄2
6.3. Beispiel expliziter Konstruktionen
Denition 6.3.1.
Eine Zahl
fremd ist und es eine Zahl
x
a
ist ein quadratischer Rest bezüglich eines Moduls
p,
wenn sie zu
p
teiler-
gibt, für die die Kongruenz
x2 ≡ a (mod p)
gilt.
Denition 6.3.2.
p
Seien
ungerade Primzahl und
a∈Z
mit
(a, p) = 1.
Dann ist das Legendre-Symbol :


+1 a quadratischer Rest modulo p
a
=
−1 a kein quadratischer Rest modulo p
p
Konstruktion 6.3.3. Der Paley-Graph
denieren den Paley-Graph
Pp
mit
Es sei
p
eine Primzahl, die kongruent zu 1 modulo 4 ist. Wir
p-Knoten 0, 1, 2, . . . , p − 1
(der Ordnung
p)
durch
Pp (V, E),
wobei
V = Fp
und
benachbart, wenn
E =
i−j
(i, j) ∈ Fq × Fq : i − j ∈ (F∗q )2 .
Zwei Knoten
ein nicht-null-quadratisches-Rest modulo
Beispiel 6.3.4. Der Paley-Graph P13
p
ist, d.h.
i
und
i − j 6= 0
Wir konstruieren den Paley-Graphen
j
sind genau dann
und
i−j
p
= 1.
P13 .
Schritt 1:
Dazu ordnen wir zunächst die
13
Knoten entsprechend an.
Schritt 2:
Wir bestimmen zunächst die Dierenz
seinen Nachbarn
a = i−j
zwischen einem bestimmten Knoten
j ∈ [0, 12]
und allen
i ∈ [0, 12] .
• a = ±1:
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12 ≡ a (= i − j) mod 13 ⇔ 12 ≡ a mod 13 ⇔ a = 1.
52 ≡ a mod 13 ⇔ a = −1.
• a = ±3
42 ≡ a mod 13 ⇔ a = 3.
62 ≡ a mod 13 ⇔ a = −3.
• a = ±4
22 ≡ a mod 13 ⇔ a = +4.
32 ≡ a mod 13 ⇔ a = −4.
Schritt 3:
Daraufhin verbinden wir jeder Knoten
j
mit ihren sechs Nachbarn:
Abbildung 6.3.3. Der Paley-Graph
j+a
(mod 13).
P13
6.4. Anwendung der Expander-Graphen in den Kommunikationsnetzwerken
Denition 6.4.1.
X, Y ⊆ V (G),
wobei
Denition 6.4.2.
Ein non-blocking-network ist ein gerichteter Graph
X
die Eingangsmenge und
Y
G
mit zwei disjunkten Teilmengen
die Ausgangsmenge ist.
Für einen k-access Graphen gilt, dass für jede Teilmenge
und Ausgängen, deren Konten disjunkt sind, ein neuer Eingang mit
S
von Pfaden zwischen Ein-
k -verschiedenen Ausgängen verbunden
werden kann. Die dabei neu entstehenden Pfade enthalten keine Knoten von
S.
Ist
k≥
|Y |
2 , so nennt man
den k-access Graph major-access-network .
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Abbildung 6.4.2. Ein non-blocking-network
Beispiel 6.4.3.
Wir betrachten den Graphen
aus zwei Kopien eines major-access-network
bezeichnet als
R(12n, 5),
d.h. mit
M
M (n) mit n-Eingängen und 24n-Ausgängen. M (n) besteht
n
und zwei Kopien des bipartiten Ramanujan-Graphen,
2
12n-Eingängen
und Grad
p + 1 = 6.
Abbildung 6.4.3. Das Netzwerk
M (n)
6.5. Anhang
6.5.1. Lemma 3.4 (von Chung)
Es gilt für alle
X ⊆ V (G)
volδX
1 − (1 − λ)2
≥
,
volX
(1 − λ)2 + volX/volX̄
wobei
λ = 2λ1 / (λn−1 + λ1 )
ist.
Beweis. Wir betrachten die charakteristische Funktion
ψS
für
S ⊂ V (G):

1 f alls x ∈ X
ψX (x) =
0 f alls x ∈
/X
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Aus der Koordinatendarstellung der Orthonormalbasis erhalten wir auÿerdem
T 1/2 ψX =
n−1
X
ai φi ,
(10)
i=0
wobei
ai
als Fourier-Koezient und
T
als Diagonalmatrix bezeichnet werden. Bei dieser Diagonalmatrix
stehen auf der Hauptdiagonale lauter Knotengewichte. Wir wissen, dass
φ0 = T 1/2 1
(11)
1/2
T 1/2 1, T 1/2 1
gilt und ferner sei
*n−1
X
n−1
X
+
ai φi , φ0
=
i=0
!T
· φ0
ai φi
i=0
n−1
X
ai φTi φ0
=
i=0
= a0 .
(12)
Daraufhin resultiert aus (11) und (12)
*
a0 =
T 1/2 ψX , +
T 1/2 1
*
=
1/2
T 1/2 1, T 1/2 1
+
T 1/2 ψX , T 1/2 1
1/2
T 1/2 1, T 1/2 1
=
T ·T ·1
ψX
1/2
(1T · T · 1)
volX
=√
.
volG
(13)
Analog schreiben wir
T
wobei
Y ⊆ V (G)
und
1/2
n−1
X
T 1/2 ψY , T 1/2 1
volY
ψY =
bi φi und b0 = q
= √volG ,
T 1/2 1, T 1/2 1
i=0
Y = X̄\δX .
n−1
X
a2i
(14)
Auÿerdem müssen wir noch beachten, dass
=
i=0
n−1
X
a2i φTi φi a2i
i=0
| {z }
=1
=
n−1
X
!
a2i φTi
i=0
n−1
X
!
a2i φi
i=0
q
2
2 1/2
1/2
=
T ψY , T ψY
= T 1/2 ψX X p 2
=
dx = volX
(15)
x∈X
gilt. Daraus ergibt sich
n−1
X
i=1
Li Ding
a2i
=
n−1
X
i=0
!
a2i
(15)
(13)
− a20 = volX − a20 = volX −
(volX)2
volXvolX̄
=
.
volG
volG
(16)
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Analog erhalten wir
n−1
X
b2i =
i=1
volY volȲ
.
volG
Zunächst bezeichnen wir
p(z) = 1 −
als ein beliebiges Polynom bezüglich
(17)
2z
λ1 + λn−1
z , wobei 0 = λ0 ≤ λ1 ≤ . . . ≤ λn−1 . Daraufhin können wir abschätzen,
dass
|p(λi )| ≤ 1 − λ
für alle
i = 1, . . . , n − 1,
wobei
λ = 2λ1 / (λn−1 + λ1 ) .
D
E
T 1/2 ψY , p(L)T 1/2 ψX
=
T 1/2 ψY
n−1
X
(10,13)
=
Daher ergibt sich
T !T
bi φi
i=0
=
p(L)T 1/2 ψX
n−1
X
!
p(λi )ai φi
i=0
a0 b0 +
n−1
X
p(λi )ai bi
i=1
≥
v
un−1 n−1
uX X
a2i
b2i
a0 b0 − (1 − λ)t
i=1
(13,14)
=
(16,17)
volXvolY
− (1 − λ)
volG
√
i=1
volXvolX̄volY volȲ
.
volG
(18)
Zusätzlich konstruieren wir
f = T 1/2 ψX und g = T 1/2 ψY ,
wobei
f (x) = 0 | ∀x ∈ X̄\δX
D
und
{g(x) = 0 | ∀x ∈ X ∪ δX}
T 1/2 ψY , p(L)T 1/2 ψX
E
sind. Daraus folgt
= hg, p(L)f i
X
=
g(x) (p(L)f ) (x)
x∈V (G)
= 0
(19)
Aus der Kombination von (18) und (19) folgt
0
=
≥
⇔
Ȳ =X∪δX
Li Ding
D
E
T 1/2 ψY , p(L)T 1/2 ψX
√
volXvolY
volXvolX̄volY volȲ
− (1 − λ)
volG
volG
2
(1 − λ) volX̄volȲ ≥ volXvolY.
⇔
(1 − λ)2 (volG − volX) (volX + volδX)
≥
volX (volG − volX − volδX)
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⇔
6.5.2. Spektrum-Eigenschaften
der Eigenwerte von
A,
volδX
1 − (1 − λ)2
≥
.
volX
(1 − λ)2 + volX/volX̄
Seien
A
eine
(n × n)-Matrix
und
spek(A) = {λ1 , . . . , λn }
die Menge
sodass gelten
• spek(r · A) = {r · λ1 , . . . , r · λn } , ∀r ∈ R
• spek(A + r · I) = {λ1 + r, . . . , λn + r} , ∀r ∈ R
Li Ding
(Spektralverschiebung)
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