Nullstellen einer ganz rationalen Funktion

Michael Buhlmann
Mathematikaufgaben
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Aufgabe: Bestimme alle Nullstellen der ganz rationalen Funktion:
f ( x) =
x2
( x − 4)( x + 3) .
4
Lösung: I. Allgemein errechnen sich für eine ganz rationale Funktion (Polynomfunktion) n. Grades
mit:
f ( x) = a n x n + a n −1 x n −1 + ... + a 2 x 2 + a1 x + a 0
die Nullstellen durch Auflösen der Gleichung:
f ( x) = a n x n + a n −1 x n −1 + ... + a 2 x 2 + a1 x + a 0 = 0 (*)
nach der Variablen x (n als natürliche Zahl oder 0, reelle Zahlen a0, … an). Dies kann geschehen
durch Ausklammern (und Polynomdivision), durch Substitution und nicht zuletzt vermöge der Formeln für lineare und quadratische Gleichungen, also durch:
ax + b = 0 => x = −
b
a
(lineare Gleichung, a≠0)
und:
ax 2 + bx + c = 0
a ≠ 0, b = 0
a ≠ 0, c = 0
ax 2 + bx = 0
x(ax + b) = 0
ax 2 + c = 0
ax 2 = −c
x2 = −
x = 0 ∨ ax + b = 0
x = 0 ∨ ax = −b
c
a
x=± −
c
a
x = 0∨ x = −
Rein quadratische Gleichung:
c
a
0 Lösungen (bei − <0),
1 Lösung (bei c=0),
2 Lösungen (bei − c >0)
a
b
a
Gemischt quadratische
Gleichung (Ausklammern):
2 Lösungen
a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0
a =1, b = p, c = q
ax 2 + bx + c = 0
x 2 + px + q = 0
x1, 2
− b ± b 2 − 4ac
=
2a
2
x1, 2
p
 p
=− ±   −q
2
2
Gemischt quadratische Gleichung (abc-Formel):
Gemischt quadratische Gleichung (pq-Formel):
D = b 2 − 4 ac als Diskriminante ->
p
D =   − q als Diskrimi-
0 Lösungen (bei D<0)
1 Lösung (bei D=0)
2 Lösungen (bei D>0)
2
2
nante ->
0 Lösungen (bei D<0)
1 Lösung (bei D=0)
2 Lösungen (bei D>0)
(quadratische Gleichung)
Biquadratische Gleichungen werden auf Grund der Substitution z = x2 auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt:
ax4 + bx2 + c= 0 => az2 + bz + c= 0
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mit Lösungen: x = ±√z1, x = ±√z2, falls definiert. Für bikubische Gleichungen gilt dasselbe vermöge
der Substitution z = x3:
ax6 + bx3 + c= 0 => az2 + bz + c= 0
mit Lösungen: x = 3√z1, x = 3√z2. Enthält jeder Summand der ganz rationalen Funktion eine Potenz
von x, wobei xk die kleinste Potenz sei (k als natürliche Zahl), so lässt sich Letztere auf Grund von:
a n x n + a n−1 x n −1 + ... + a k x k = x k (a n x n − k + a n −1 x n −1− k + ... + a k ) = 0
in der Gleichung (*) ausklammern, so dass der Satz vom Nullprodukt greift und die zwei Gleichungen:
a n x n−k
x k = 0 => x = 0
+ a n −1 x n −1− k + ... + a k = 0
gelten. Hat die ganz rationale Funktion die Form eines Produktes, so dass etwa die Gleichung:
f ( x) = a n ( x − x1 )( x − x 2 ) ⋅ ... ⋅ ( x 2 + p1 x + q1 )( x 2 + p 2 x + q 2 ) ⋅ ... = 0 (**)
gültig ist, so ist ebenfalls für (**) der Satz vom Nullprodukt anzuwenden und jeder der Faktoren
gleich 0 zu setzen. Auftreten können auch Potenzgleichungen vom Typ
xn – a = 0 => xn = a => x = (± ) n a
(n ungerade bzw. gerade),
die durch Ziehen der n-ten Wurzel zu lösen sind.
x2
( x − 4)( x + 3) = 0 und erhalII. Wir setzen zur Bestimmung der Nullstellen die Funktion f ( x) =
4
ten die (umzuformende) Gleichung:
x2
( x − 4)( x + 3) = 0
4
x2
= 0, x−4 = 0, x+3= 0
4
(Satz vom Nullprodukt)
so dass sich drei einfache Gleichungen quadratische Gleichung, lineare Gleichungen) ergeben:
x2
=0
4
x2 = 0
x =0
und:
x–4 = 0
x=4
sowie:
x+3 = 0
x = -3
| ·4
|√
| +4
| -3
x2
Mit x = -3, x = 0 und x = 4 haben wir die drei Nullstellen der Funktion f ( x ) =
( x − 4)( x + 3) er4
halten, also: N1(-3|0), N2(0|0), N2(4|0).
III. Der nachstehende Graph der Funktion f ( x ) =
x2
( x − 4)( x + 3) weist die drei Nullstellen der
4
ganz rationalen Zuordnung aus:
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