Ohr-Modell zur Analyse der Pegeldynamik

AIA-DAGA 2013 Merano
Ohr-Modell zur Analyse der Pegeldynamik
O. Bschorr
Aeroakustik, Stuttgart
Zusammenfassung
Aufgabe ist die Akkommodation von Trommelfell TF,
Hammer/Amboss-Kupplung HA, Steigbügel ST und der auf
der Basilarmembran BM positionierten Resonanzstellen RS.
In dem zugrunde gelegten Ohr-Modell dient Scala vestibuli
SV als eindimensionaler Leiter von Deviationswellen. Die
Impedanzeinbrüche am ovalen Fenster OF und an den
spektralen Resonanzstellen RS wirken als akustische Spiegel
und fixieren in SV deviatorische Stehwellen; speziell λ/4Resonatoren mit hohem und λ/2-Resonatoren mit niedrigem
Eingangswiderstand. Je ausgeprägter die RS-Resonanzschärfe, desto größer ist die Energie und die Nachhallzeit der
Resonatoren. Deren Abklingverhalten liefert eine TFEmission und macht so die Modell-Annahmen nachprüfbar.
Figur 1: Ohr-Modell I mit Signaldrosselung. {p,f} =
Schallfeld mit Druckamplitude p und Frequenz f.- TF =
Trommelfell, HA = Hammer/Amboss-Kupplung, ST =
Steigbügel, OF = Ovales Fenster, BM = Basilarmembran,
SV = Scala vestibuli. FII = Stapes-Kraft, ZI = Resistanz bei
passiver Cochlea. Kraftübertragung γI = FI/P < 1
Ohr-Modell
Einleitung: Eine Pegeldynamik von L = 120 dB ist durch ein
Stellglied allein nicht aufzubringen. Auch wegen der
Redundanz sind möglichst viele und sich überlappende
Stellglieder vorteilhafter. Hier sollen die aktiven und
passiven Verstellpotentiale L# dB der einzelnen Komponenten # = {TF, HA, ST; RS} abgeschätzt werden. Ausdrücklich zugelassen sind degressive #-Nichtlinearitäten
zum immanenten Abbau von Pegelspitzen. Mangels einer
Verstellmöglichkeit wird der Ohrkanal ausgeklammert und
der Bestimmtheit wegen durch das akustische Freifeld ersetzt. [1, Gl. 6] Das Ohr-Modell I (Fig. 1) ist auf hohe und II
(Fig. 2) auf niedrige Schallpegel akkommodiert.
Figur 2: Ohr-Modell II mit Signalmaximierung. {p,f}, TF,
OF, SV = Fig. 1. U´ = Fluss-Resistanz der Umgebungsluft.
FII = Stapes-Kraft, ZII = Resistanz bei aktiver Cochlea.
Kraftübertragung γII= FII/P  1
II. Signalmaximierung. Fig. 2. An der Hörgrenze geht es
darum, durch Anpassung der SV-Impedanz ZII an die FlussImpedanz der Umgebungsluft U [kg/sm4] die Kollektorfläche Q [m2] und damit die in die SV übertragene Leistung
NII zu maximieren. Nach [1. Gl. 8] liefert die Anpassung ZII
= U´S2 die physikalisch größtmögliche Fläche QMax >> S.
(cL, ρL = Schallgeschwindigkeit, Dichte von Luft).
I: Signaldrosselung. Fig. 1. TF sei durch einen Kolben mit
der Fläche S [m2] und der Masse M [kg] nachgebildet. Dabei
sind S - und auch M - reflektorisch/degressiv verstellbare
Aktivwerte. HA sei durch die ebenfalls variable Resistanz K
[kg/s] wiedergegeben. Die ca 2 dB betragende Übersetzung
der ungleich langen Hammer- und Amboss-Hebel bleibt bei
der 120-dB-Spanne außer Betracht, ebenso die dadurch angeregten Kippschwingungen der HA-Masse. SB wirke als
Feder C [kg/s2] und SV funktioniere als deviatorischer
Wellenleiter mit der Resistanz Z = F/v = {ZI, ZII} [kg/s]. Der
Wert ZI bei passiver Cochlea CO reduziere sich bei aktiver
CO-Steuerung auf ZII. Bei einem an TF anliegenden
Schallfeld mit der Druckamplitude p [Pa] und der Frequenz f
[Hz] besteht die Kolbenkraft P = pS [N]. Die davon bei CO
ankommende Wechselkraft F = γP = {FI, FII} [N] hängt vom
„schwächsten“ Glied der Übertragerkette TF-HA-ST-CO ab.
Bei einer hohen Resistanz ZI, bei ZI >> 2πfM, K, C/2πf,
besteht die Kraftübertragung nach Fig. 1 und sorgt bei
aperiodischer Dämpfung mit γI < 1 für einen Überlastschutz.
Bei umgekehrtem Steifigkeitsverhältnis, bei ZII << 2πfM, K,
C/2πf besteht nach Fig. 2 eine „starre“ Übertragung FII = P.
γI = FI/P = [(1 – (2πf)2M/C)2 + (2πfM/K)2]-1/2 < 1
(1)
γII = FII/P → 1
(2)
Für ZII << 2πfM, K, C/2πf
U = U´ + iU´´ = πρLf2/cL + iρLf/2R [1. Gl. 3]
QMax = π (cL/2πf)
2
2
für U`= ZII/S
(3)
(4)
Cochlea I, II: Fig. 3. Es wird das Cochlea-Modell nach [2]
zugrunde gelegt. Die Wechselkraft F der Frequenz f [Hz]
induziert in dem SV-Fluid der Dichte ρ [kg/m3] eine in xRichtung laufende eindimensionale Deviationswelle. Deren
Geschwindigkeit c [m/s] wird durch die Elastizität der auf
BM angeordneten Resonanzstellen RS bestimmt; ist x- und
f-abhängig und liegt zwischen (0) und 100 m/s. (Analogie:
Moens/Korteweg-Wellen in fluidgefüllten, elastischen
Röhren). Die RS haben die Eigenfrequenz f0 = f0(x) [Hz] und
überdecken den Hörbereich von fMax bei x → 0 bis fMin am
Ende von BM. Bei Resonanz mit f = f0 erfährt die
Deviationswelle an der Stelle x = x0 einen Impedanzeinbruch
und eine Reflexion am sog. „weichen Ende“ mit dem Faktor
r [-]. Da auch OV einen „weichen“ Abschluss mit dem
Reflexionsfaktor r0 darstellt, bildet sich zwischen den beiden
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Spiegeln r und r0 eine stehende Welle. Speziell die λ/2Stehwelle mit x0 = λ/2 = c/2f0 hat die Eingangsimpedanz ZI
= zIA [kg/s] und überträgt die Wellenleistung NI [W].
(Vereinfachungen: r0 = 1 und [2, Gl. 21/22])
ZI ≈ 4hf0mA2/B
NI = ½ FI2α/ZI
Verstellpotential
Cochlea CO. Die Leistungen NI (6) und NII (8) bestimmen
die insgesamt von CO aufgebrachte Pegeldynamik LCO [dB].
Mit der Steuerung β → 1 ist LCO an sich unbegrenzt. Mit
zunehmender Näherung an die Stabilitätsgrenze β = 1 wächst
jedoch die Gefahr von Rückkopplung (Tinnitus).
(5) (6)
In diesem Modell sind ZI und NI durch die Massenbelegung
m = ρH [kg/m2], die Breite B [m] und die Frequenzdichte hf0
[Hz/m] der RS-Resonatoren bestimmt. Beim menschlichen
Ohr mit einem Frequenzumfang fMax/fMin ≈ 1000 ergibt h ≈
(-) 200 [1/m]. [2. Gl. 8]. Der Faktor α [-] berücksichtigt die
lokale Kraftübertragung bei OF. [2. Gl. 6].
LCO = 10 log NI/NII = - 10 log (1 – β) - 20 log γI dB
Resonanz – Antiresonanz R-A. Ein eindimensionaler Wellenleiter mit der Resistanz Z0 = ρcA hat bei den R- bzw. AModen die Resistanzen ZR ≈ Z0ηR bzw. ZA ≈ Z0/ηA. Im SVKanal entspricht dies den λ/2- und λ/4-Stehwellen. Eine
aktive Verstellung der SV-Geschwindigkeit c um den Faktor
2 ergibt so die Dynamik LR-A (ηR,A = Verlustfaktor).
Die äußeren Haarzellen regulieren via Servosteuerung das
Schwingverhalten der RS. Damit erklärt sich die bereits
1980 von Kim/Neely postulierte negative Dämpfung. Wird
nach [2, Gl. 14 -18] zusätzlich die RS-Masse und die RSFeder um den Faktor β [-] reduziert, so verringert sich die
Eingangs-Resistanz ZII und erhöht sich die brutto der Signalverarbeitung zur Verfügung stehende Wellenleistung NII.
ZII = (1 – β) ZI
NII = ½ FII2α/ZII
LR-A = 10 log ZA/ZR ≈ - 10 log ηR ηA
dB
(11)
Trommelfell TF. Beim Auge reguliert die Pupillenfläche den
Lichteinfall. Nachdem TF mit pars tensa und pars flaccida
aus einer losen und einer gespannten Teilfläche besteht und
darauf der Trommelfellspanner TS einwirkt, liegt es nahe,
auch beim Ohr eine Flächensteuerung zur Pegelanpassung
einzubeziehen. Neben der reflektorischen TS-Steuerung ist
über die nichtlinearen akustischen Kräfte auch eine
instantane Verstellung denkbar. Bei der Kollektorfläche Q
und der aktiven TF-Fläche S ist die realisierbare Dynamik:
(7) (8)
LTF = 10 log Q/S
dB
(12)
Hammer/Amboss-Kupplung HA. Ein Newton‘sches Fluid als
„Schmiermittel“ in der HA-Kupplung ergibt eine zur
Schubgeschwindigkeit proportionale Kraftübertragung. Ein
thixotropes Medium dagegen hat eine große Anfangsreibung, die mit zunehmender Geschwindigkeit immer
weiter abfällt. Eine solche Eigenschaft kappt automatisch
Schnelle-Spitzen. Denkbar ist auch eine reflektorische
Steuerung von K über die Pressung zwischen Hammer und
Amboss via Trommelfellspanner. Damit wird die durch HA
generierbare Pegeldynamik LHA
Figur 3: Cochlea-Modell nach [2]. OF = Ovales Fenster,
SV = Scala vestibuli, BM = Basilarmembran, HC = Heliocotrema, RS = Resonanzstelle der Frequenz f0. F = StapesKraft. Die akustischen Spiegel bei OF und RS mit den
Reflexionsfaktoren r0 und r fixieren in SV deviatorische
Stehwellen mit der Frequenz f = f0. Extreme sind die λ/2Welle SW und die – nicht dargestellte – λ/4-Welle.
Modellkontrolle: Das Ersatzmodell mit konstanter, reeller
Wellengeschwindigkeit c und konstantem SV-Querschnitt A
[m2] liefert den in Fig. 3 skizzierten Schwingungsverlauf
~ +/- cos πx/x0 mit maximalen Schnelle-Amplituden v [m/s]
bei x = 0 und bei x0. Tatsächlich ist c = c´ + ic´´ nach [2, Gl.
30] komplexwertig, mit einer in x-Richtung fallenden
Phasengeschwindigkeit c´ und liefert eine zum Resonanzpunkt x0 anwachsende und daran anschließende evaneszente
Mode; nachprüfbar über die bekannten BM-Messungen. Von
der Modenform unabhängig bestimmt der Verlustfaktor η [-]
die in der Stehwelle gespeicherte Schwingungsenergie E
[Ws] Im Gleichgewicht von der Energiezufuhr NI,II und der
Verlustleistung 2πηf0E ist:
E = NI,II/2πηf0
(10)
LHA = 10 log KMax/KMin
dB
(13)
Steigbügel ST. Beim bekannten Stapes-Reflex verkantet bei
Schallpegeln über ~ 80 dB der Musculus stapedius die Steigbügelplatte im ovalen Fenster. Hierdurch verändern sich die
ST-Einspannung und der Ankopplungsfaktor α. – Als Ersatzmodell für die Stapes-Federung C wird der klassische
Euler´sche Knickstab herangezogen. Der gerade Stab hat
eine hohe Anfangssteifigkeit, die sich beim Erreichen einer
bestimmten Knicklast schlagartig um mehrere Größenordnungen verringert. Der nicht-gerade Doppel-Stab, wie
diese bei ST vorliegt, hat eine vergleichbare Charakteristik.
Die Form und Einspannung von ST bestimmt letztlich
Druckpunkt und Degression von C und damit die Pegeldynamik LST.
(9)
Je kleiner der Verlustfaktor η, desto höher ist die Speicherenergie E ~ 1/η. Bei Unterbrechung von NI,II entlädt sich der
Resonator mit einer charakteristischen Nachhallzeit T ~ 1/η.
Von den Größenordnungen her ist ein solches Ausklingen
vergleichbar der otoakustischen Emission. Mit den eingangs
als Überlastschutz geforderten nichtlinearen TF-, HA- und
ST-Übertragern erfährt die f0-Emission eine Verzerrung,
nachprüfbar durch DPOAE-Messungen.
LST ~ 10 log C + 10 log α
dB
(14)
Vorarbeiten
[1], [2] O. Bschorr, H. Albrecht: DAGA-Fortschritte Akustik
Darmstadt 2012. [1] S. 857/8 [2] S. 553/4.
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