Lineare Algebra I (WS 12/13) - math.uni

Lineare Algebra I (WS 12/13)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
13.11.2012
Bernhard Hanke
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Matrizen und Lineare Abbildungen
Beispiel
Die Matrix
cos t − sin t
sin t cos t
eine Drehung des R2 um den Winkel t gegen den Uhrzeigersinn.
Bernhard Hanke
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Lineare Abbildungen und Basen
Proposition
Es sei (vi )i∈I eine Basis des Vektorraumes V und W ein beliebiger
Vektorraum. Es sei (wi )i∈I eine ebenfalls durch I parametrisierte Familie
von Vektoren in W . Dann existiert genau eine lineare Abbildung
f : V → W mit f (vi ) = wi für alle i.
Mit anderen Worten:
I
Eine lineare Abbildung kann auf einer Basis beliebig definiert werden.
I
Jede solche Definition legt die lineare Abbildung eindeutig fest.
Bernhard Hanke
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Lineare Abbildungen und Basen (Fortsetzung)
Bemerkung
Es folgt aus der Proposition, dass jeder Vektorraum V der Dimension n
gilt Rn ∼
= V : Sei B = (v1 , . . . , vn ) eine Basis dann ist folgende Abbildung
ein Isomorphismus
n
X
ΦB (λ1 , . . . , λn ) =
λi vi .
i=1
Wir nennen ΦB das zur Basis B gehörende Koordinatensystem und die
Koeffizienten (λ1 , . . . , λn ) die Koordinaten von v bezüglich der Basis B.
Man beachte, dass die Koordinaten von v ∈ V von der Wahl der Basis B
abhängen!
Bernhard Hanke
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Lineare Abbildungen und Matrizen
Sei A ∈ Rm×n eine Matrix. Die dazugehörige lineare Abbildung fA ist wie
folgt definiert:


 Pn

x1
j=1 a1j xj
 .. 


..
 .  7→ 
.
.
Pn
xn
j=1 amj xj
Umgekehrt kann man jede lineare Abbildung f : Rn → Rm durch eine
(m × n)-Matrix A beschreiben durch die Merkregel:
Die j-te Spalte von A ist das Bild von ej .
Bernhard Hanke
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Lineare Abbildungen: Eigenschaften
Proposition
Es sei f : V → W eine lineare Abbildung.
I
Ist U ⊂ V ein Untervektorraum, so ist das Bild f [U] ⊂ W ebenfalls
ein Untervektorraum.
I
Das Urbild f −1 [0] ⊂ V des Nullvektorraumes 0 ⊂ W ist ein
Untervektorraum von V .
Wir nennen den Untervektorraum f −1 [0] ⊂ V den Kern von f .
Beispiel
Ist A ∈ Rm×n , so ist ker A ⊂ Rn genau die Lösungsmenge des durch A
bestimmten homogenen linearen Gleichungssystems (A|0).
Proposition
Es sei f : V → W linear. Dann ist f genau dann injektiv, wenn
ker f = 0 ⊂ V .
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Lineare Abbildungen: Eigenschaften (Fortsetzung)
Proposition
Es sei f : V → W eine lineare Abbildung und (vi )i∈I eine Familie von
Vektoren in V .
a) Ist (vi ) linear abhängig in V , so ist (f (vi )) linear abhängig in W .
b) Ist (vi ) ein Erzeugendensystem von V , so ist (f (vi )) ein
Erzeugendensystem von f [V ], insbesondere gilt dim f [V ] ≤ dim V
(hier benutzen wir die Konvention n ≤ ∞ für alle n ∈ N ∪ {∞}).
c) f ist genau dann injektiv, wenn f linear unabhängigen Familien von
Vektoren in V immer in linear unabhängige Familien von Vektoren in
W überführt.
d) Es sei (vi )i∈I eine Basis. Dann ist f genau dann ein Isomorphismus,
wenn (f (vi ))i∈I eine Basis von W ist.
a) und b) sind Übungsaufgaben!
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Lineare Abbildungen und die Dimension
Proposition
Es seien V und W endlichdimensionale Vektorräume. Dann sind V und W
genau dann isomorph, falls dim V = dim W .
Beispiel
Es sei ein homogenes lineares Gleichungssystems (A|0) mit A ∈ Rm×n
gegeben. Wir nehmen an, dass A in Zeilenstufenform mit Pivotspalten
j1 , . . . , jr gegeben ist. Dann gilt dim L = n − r .
Bernhard Hanke
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Definition
Es seien V und W reelle Vektorräume. Wir bezeichnen mit
Hom(V , W )
die Menge der linearen Abbildungen V → W .
Proposition
a) Sind m, n ∈ R, so ist die Menge Rm×n der (m × n)-Matrizen
zusammen mit den komponentenweisen Verknüpfungen ein
R-Vektorraum.
b) Sind V und W reelle Vektorräume, so ist die Menge Hom(V , W ) der
linearen Abbildungen V → W mit den punktweisen Verknüpfungen
ebenfalls ein R-Vektorraum.
Bernhard Hanke
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Sind A, B ∈ Rm×n und λ ∈ R, so entspricht
I
die Summe A + B ∈ Rm×n genau der Summe der linearen
Abbildungen A, B : Rn → Rm ,
I
das Produkt λ · A ∈ Rm×n der linearen Abbildung λ · A : Rn → Rm .
Dies zeigt:
Proposition
Die Vektorräume Rm×n und Hom(Rn , Rm ) sind kanonisch isomorph.
Folgerung
dim Hom(Rn , Rm ) = m · n.
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