(Binomialverteilungen [Kompatibilitätsmodus])

Cusanus-Gymnasium Wittlich
Statistik
© W.Zimmer
Bernoulli-Versuche:
Daniel
Bernoulli
17001700-1782
Schweizer
Mathematiker
Ein Zufallsversuch mit nur zwei möglichen Ergebnissen heißt
einstufiger BernoulliBernoulli-Versuch.
Versuch
Wir nennen künftig die Ergebnisse meistens E ( ≙ Erfolg)
und E ( ≙ Misserfolg)
Beispiele:
Münzwurf
S = { W ; Z } E=W oder umgekehrt
Würfeln /
Augenzahl S = {p rim;p rim }
prim ?
E=prim
Cusanus-Gymnasium Wittlich
Statistik
© W.Zimmer
Bernoulli-Versuche:
Daniel
Bernoulli
17001700-1782
Schweizer
Mathematiker
Ein n-stufiger Bernoulli-Versuch ist die n-malige Durchführung
eines einstufigen Bernoulli-Versuchs.
Beispiel:
E≙W
3-maliger Münzwurf
S = {( w | w | w );.......( z | z | z )}
3 mal Erfolg
0 mal Erfolg
#S = 8
Cusanus-Gymnasium Wittlich
Statistik
Bernoulli-Versuch n=10 p=0,5
(Erfolg: Kugel nach rechts)
© W.Zimmer
http://www.learnhttp://www.learn-line.nrw.de/angebote/eda/medio/galton/galton.htm
Cusanus-Gymnasium Wittlich
Bernoulli-Versuch
n=10
Statistik
© W.Zimmer
p=0,5
http://www.uni-koeln.de/ew-fak/Mathe/Projekte/VisuPro/galton/galton.html
Galton.exe
Statistik
Cusanus-Gymnasium Wittlich
10-stufiger Bernoulli-Versuch
© W.Zimmer
Erfolg: Kugel nach rechts p=0,5
n=10
p=0,5
9
90
428
1137 2071 2498 2069 1105
465
117
11
Ergebnis nach 10000 Durchführungen (10000 Kugeln)
Galton.exe
Statistik
Cusanus-Gymnasium Wittlich
Bernoulli-Versuch n=10
© W.Zimmer
p=0,5 („rechts“)
Dieses 10 stufige Experiment
wird insgesamt n=300 mal
durchgeführt.
T0
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
T9
T10
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel den
eingezeichneten Weg einschlägt ?
P(rllrrlrrll) = 0,510
Statistik
Cusanus-Gymnasium Wittlich
Bernoulli-Versuch n=10
© W.Zimmer
p=0,5 („rechts“)
Dieses 10 stufige Experiment wird
insgesamt n=300 mal durchgeführt.
P(rllrrlrrll) = 0,510
T0
T1
T2
T3
T4
T5
T6 T7
T8
T9 T10
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel in dem
Topf T5 landet ?
Zu dem Topf führen alle Pfade bei denen 5 mal r und 5 mal l
vorkommen.
Da es
 10 
 
5
 10 
10
solcher Pfade gibt: P(T5 ) =   ⋅ 0,5 = 0,246 = 24,6%
5
Statistik
Cusanus-Gymnasium Wittlich
Bernoulli-Versuch n=10
© W.Zimmer
p=0,5 („rechts“)
Dieses 10 stufige Experiment wird
insgesamt n=300 mal durchgeführt.
T0
T1
T2
T3
T4
T5
T6 T7
T8
T9 T10
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel in dem
Topf Tk
0<=k<=10 landet ?
Zu dem Topf führen alle Pfade bei denen k mal r und (10-k) mal
l vorkommen.
Da es
 10 
 
k 
solcher Pfade gibt:
 10 
P(Tk ) =   ⋅ 0,510 = 0,246
k 
Statistik
Cusanus-Gymnasium Wittlich
Bernoulli-Versuch n=10
© W.Zimmer
p=0,5 („rechts“)
Dieses 10 stufige Experiment wird
insgesamt n=300 mal durchgeführt.
 10 
P(Tk ) =   ⋅ 0,510 = 0,246
k 
T0
T1
T2
T3
T4
T5
T6 T7
T8
T9 T10
Für das Ereignis „k-mal Erfolg“ schreiben wir in Zukunft X=k
Die Zufallsvariable X bezeichnet dabei die Anzahl der Erfolge
bei einem n-Stufigen Bernoulli-Experiment.
 10 
P( X = k ) =   ⋅ 0,510
k 
Statistik
Cusanus-Gymnasium Wittlich
Bernoulli-Versuch n=10
© W.Zimmer
p=0,5 („rechts“)
Dieses 10 stufige Experiment wird
insgesamt n=300 mal durchgeführt.
 10 
P( X = k ) =   ⋅ 0,510
k 
T0
T1
T2
T3
T4
T5
T6 T7
T8
T9 T10
Rechnet man alle Wahrscheinlichkeiten aus, so erhält man die
Wahrscheinlichkeitsverteilung dieses Versuchs.
Statistik
Cusanus-Gymnasium Wittlich
Bernoulli-Versuch n=10
© W.Zimmer
p=0,5 („rechts“)
 10 
P( X = k ) =   ⋅ 0,510
k 
BINOMIALVERTEILUNG n=10
T1
T2
T3
T4
T5
T6 T7
T8
p=0,5
T9 T10
0,300
0,250
0,200
P(X=k)
T0
0,150
0,100
0,050
0,000
0
1
2
3
4
5
K
6
7
8
9
10
Statistik
Cusanus-Gymnasium Wittlich
Bernoulli-Versuch n=10
© W.Zimmer
p=0,5 („rechts“)
BINOMIALVERTEILUNG n=10
p=0,5
0,300
 10 
P( X = k ) =   ⋅ 0,510
k 
0,250
P(X=k)
0,200
0,150
0,100
0,050
0,000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
K
Wie viele Kugeln erwarten wir damit in den einzelnen Töpfen?
10
100
440
1170
2050
2460
2050
Simulation mit
1170
Galton.exe
440
100
10
10
Statistik
Cusanus-Gymnasium Wittlich
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10 Stufiges Bernoulli-Experiment
p=0,4
q=(1-p)=0,6
 10 
P( X = k ) =   ⋅ 0,510 falls p = 0,5 und q = (1 − p ) = 0,5
k 
Wie ändert sich die
Wahrscheinlichkeitsverteilung
wenn p und q unterschiedlich
sind?
EXCEL
Galton.exe
10 k 10−k
P(X=k) = ⋅0,4 ⋅0,6
k
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n Stufiges Bernoulli-Experiment
Statistik
© W.Zimmer
Erfolgswahrscheinlichkeit p
Bei einem n stufigen Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p und der Misserfolgswahrscheinlichkeit
q=(1-p) hat man für das Ereignis X=k („k Erfolge“) die
Wahrscheinlichkeitsverteilung
n k
P( X = k ) =   ⋅ p ⋅ (1 − p)n−k
k 
EXCEL
Galton.exe
Statistik
Cusanus-Gymnasium Wittlich
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Binomialverteilungen bei gleichem n
Binomialverteilung n=100
p= 0,3 ; 0,4 ; 0,5
0,100
0,090
symmetrisch
0,080
0,070
0,060
0,050
0,040
0,030
0,020
0,010
64
62
60
58
56
54
52
50
48
46
44
42
40
38
36
34
32
30
28
26
24
22
0,000
Statistik
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Der Erwartungswert
© W.Zimmer
µ
Binomialverteilung n=100
p= 0,3 ; 0,4 ; 0,5
0,100
0,090
symmetrisch
0,080
0,070
E(X) = n ⋅ p
0,060
0,050
0,040
0,030
0,020
0,010
64
62
60
58
56
54
52
50
48
46
44
42
40
38
36
34
32
30
28
26
24
22
0,000
Cusanus-Gymnasium Wittlich
Binomialverteilungen bei gleichem p
n=100
Statistik
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(n variabel)
n=500
p=0,2
µ
µ
Start
Cusanus-Gymnasium Wittlich
Binomialverteilungen bei gleichem n
Statistik
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(p variabel)
Außer dem Erwartungswert E(X) benötigen wir noch ein Maß für
die Breite der Verteilung :
σ (x) = n ⋅ p ⋅ q
q = 1− p
http://www.learnhttp://www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/foyer/projekte/koelnproj4/grundlagen/grundline.nrw.de/angebote/selma/foyer/projekte/koelnproj4/grundlagen/grund-mumu-sigmasigma-b.htm
Cusanus-Gymnasium Wittlich
Statistik
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Faustregel 1 für 90%-Umgebungen
E(X) = µ = n ⋅ p
σ =
n ⋅p ⋅q
Wie muss ich k1 und k2 wählen, damit die
Anzahl der Erfolge mit 90%-iger
Wahrscheinlichkeit mindestens k1 und
höchstens k2 beträgt.
k1=?
µ
k2=?
Schätzen und mit
EXCEL überprüfen.
EXCEL
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Statistik
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Faustregel 1 für 90%-Umgebungen
n-stufiges
Bernoulli-Experiment
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p und dem
Erwartungswert
E(X) = µ = n ⋅ p
und der
Standardabweichung
σ =
n ⋅p ⋅q
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% liegt die Anzahl der
Erfolge in dem Intervall [ µ − 1,64σ ; µ + 1,64σ ]ℕ
Statistik
Cusanus-Gymnasium Wittlich
© W.Zimmer
Beispiel für die Faustregel 1
µ − 1,64 ⋅ σ
n = 100
σ =
p = 0,4 ⇒ µ = np = 40
npq =
4 0 ⋅ 0, 6 ≈ 4, 9
1, 6 4 ⋅ σ ≈ 8, 0 3
U 9 0 % = [3 2 ; 4 8 ]
µ
µ + 1,64 ⋅ σ
In 90% aller Fälle liegt das
Ergebnis dieses Zufallsversuchs im Bereich von
32 bis 48 Erfolgen!
Statistik
Cusanus-Gymnasium Wittlich
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Faustregeln
Die folgenden Faustregeln für Binomialverteilungen gelten umso genauer, je größer
n ist, insbesondere falls die Laplace-Bedingung σ =
Radius der
Umgebung
σ
Wahrscheinlichkeit
der Umgebung
n ⋅p ⋅q > 3
Wahrscheinlichkeit
der Umgebung
erfüllt ist.
Radius der
Umgebung
68%
90%
1, 6 4 ⋅ σ
2σ
95,5%
95%
1, 9 6 ⋅ σ
3σ
99,7%
99%
2, 5 6 ⋅ σ
Statistik
Cusanus-Gymnasium Wittlich
© W.Zimmer
Beispiel für die Faustregeln
µ − 1,96 ⋅ σ
µ − 1,96 ⋅ σ
µ − 2,56 ⋅ σ
n = 100
σ =
µ − 1,64 ⋅ σ
µ
µ + 1,64 ⋅ σ
µ + 2,56 ⋅ σ
p = 0,4 ⇒ µ = np = 40
npq =
4 0 ⋅ 0, 6 ≈ 4, 9
1, 6 4 ⋅ σ ≈ 8, 0 3
1, 9 6 ⋅ σ ≈ 9, 6
2, 5 6 ⋅ σ ≈ 1 2, 5 4
U 9 0 % = [3 2 ; 4 8 ]
U 9 5 % = [3 1; 4 9 ]
U 9 0 % = [2 8 ; 5 2 ]