Magnetohydrodynamische Schmierspaltstr omung bei unendlich

Magnetohydrodynamische Schmierspaltstromung bei
unendlich schmaler Lagergeometrie
Zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktors der Ingenieurwissenschaften
von der Fakultat fur Maschinenbau
der Universitat Karlsruhe (TH)
genehmigte
Dissertation
von
Dipl.-Ing. Bernhard Schweizer
aus Sigmaringendorf
Tag der mundlichen Prufung: 6. Juni 2002
Hauptreferent:
Prof. Dr.-Ing. J. Wauer
Korreferent:
Prof. Dr.-Ing. U. Muller
1
Der Verfasser mochte Herrn Professor Dr.-Ing. J. Wauer fur die Anregung zu dieser
Arbeit und fur die verstandnisvolle Forderung seinen herzlichen Dank aussprechen.
Herrn Professor Dr.-Ing. U. Muller dankt der Verfasser fur die U bernahme des Korreferats und fur die freundliche Aufnahme der Arbeit.
2
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
5
1.1 Zur MHD Lagertheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Inhalt der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Literaturubersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Bilanz- und Konstitutivgleichungen
10
2.1 Magnetogasdynamische Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Vereinfachende Annahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Kompressible Stromung
19
3.1 Radiales eingepragtes Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.1 Strenge Losung in impliziter Form . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.2 Explizite Reihendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Axiales eingepragtes Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1 Strenge Losung in impliziter Form . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.2 Explizite Reihendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Toroidales eingepragtes Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3
3.3.1 Explizite Reihendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 Inkompressible Stromung
66
4.1 Radiales eingepragtes Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1.1 Sommerfeldzahl der Drehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1.2 Sommerfeldzahl der Verdrangung . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2 Axiales eingepragtes Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2.1 Sommerfeldzahl der Drehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2.2 Sommerfeldzahl der Verdrangung . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3 Toroidales eingepragtes Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3.1 Sommerfeldzahl der Drehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3.2 Sommerfeldzahl der Verdrangung . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5 Stabilitatsanalyse eines MHD gelagerten Laval-Rotors
79
5.1 Feder- und Dampferkonstanten des Schmierlms . . . . . . . . . . . . 79
5.2 Stabilitatskarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6 Auftrieb durch oszillierende elektrische Felder
85
6.1 Ebener Gleitschuh bei axialem harmonischen E -Feld . . . . . . . . . 86
6.2 Ebener Gleitschuh bei transversalem harmonischen E -Feld . . . . . . 88
6.3 Radiallager bei axialem harmonischen E -Feld . . . . . . . . . . . . . 94
6.4 Radiallager bei radialem harmonischen E -Feld . . . . . . . . . . . . . 99
7 Zusammenfassung
102
4
Kapitel 1
Einleitung
1.1 Zur MHD Lagertheorie
Klassische Schmierstoe versagen bei hohen Temperaturen, sie werden instabil und
verdampfen. Eine Alternative bietet die Verwendung von Flussigmetall als Schmiermittel. Aufgrund der geringen Viskositat ist beim Einsatz von Flussigmetall auf der
einen Seite mit einer Reduktion des Auftriebes zu rechnen. Auf der anderen Seite bieten Flussigmetalle wegen ihrer hohen Temperaturbestandigkeit und ihrer hohen Warmeleitfahigkeit ein breites Anwendungsspektrum. Der Nachteil verminderter Tragfahigkeit gegenuber Lagern mit konventionellem Schmiersto kann reduziert
werden, indem die Stromung im Spalt durch elektromagnetische Krafte beeinut
wird. Durch Anlegen eingepragter elektrischer und magnetischer Felder entstehen
zusatzliche Volumenkrafte.
In der Magnetohydrodynamik ist die dominierende elektromagetische Kraft die Lorentz-Kraft. Weitere Krafte wie die Coulomb-Kraft, Krafte durch Magnetostriktion
oder Krafte durch Inhomogenitaten der magnetischen Permeabilitat sind in der Regel vernachlassigbar [30]. Im Gegensatz zur Magnetohydrodynamik ist in der Elektrohydrodynamik die Coulomb-Kraft die entscheidende Volumenkraft. Da diese bei
Flussigmetallstromungen meist vernachlassigt werden kann, kommt der elektrohydrodynamischen Lagertheorie praktisch keine Bedeutung zu.
Die genannten Vorteile von Flussigmetall bzw. MHD Lagern lassen eine Anwendung
bei hohen Temperaturen und hohen Drehzahlen, beispielsweise in der Raketentechnik, erkennen. Mogliche Metalle wie Quecksilber, Natrium sowie Natriumlegierun5
gen, Gallium oder auch Woodsche Legierungen zeichnen sich durch einen verhaltnismaig niedrigen Schmelzpunkt aus, so da auch eine Anwendung bei niedrigeren
Temperaturen in Frage kommt. Weitere Vorteile von Flussigmetall gegenuber organischen Schmierstoen wie zum Beispiel Resistenz gegen Radioaktivitat, lassen
vereinzelte Anwendungsbereiche wie etwa einen Einsatz in der Nukleartechnik deutlich werden. Im Gegensatz zum konventionellen Lager kann bei MHD Lagern ein
Druckaufbau auch ohne Rotation der Welle allein durch Anlegen auerer magnetischer und elektrischer Felder erzeugt werden kann. Dieses Wirkungsprinzip konnte
in einigen Gebieten, eventuell auch in der Mikrotechnik, vorteilhaft angewendet werden.
1.2 Inhalt der Arbeit
Ein Schwerpunkt der Forschungsaktivitaten am Institut fur Technische Mechanik
stellen Mehrfeldprobleme dar. Neben klassischen Mehrfeldproblemen wie Thermomechanik und Fluid-Festkorper-Interaktion treten vermehrt elektromechanische Mehrfeldprobleme in den Vordergrund. Waren diesbezuglich in der Vergangenheit insbesondere piezoelektrische Probleme von Interesse, so bildet diese Arbeit uber Schmierspaltstromungen bei Verwendung elektrisch leitender Fluide einen ersten Beitrag
zur Magnetohydrodynamik. Im Gegensatz zu fruheren Arbeiten (siehe z.B. [43])
uber Spaltstromungen nichtleitender Fluide wird auf stromungsmechanische Instabilitaten nicht eingegangen.
Die Berechnung von Radiallagern endlicher Breite fuhrt schon im konventionellen
Fall auf partielle Dierentialgleichungen mit nichtkonstanten Koezienten, die in
aller Regel analytisch nicht losbar sind. Um analytische Ergebnisse zu erhalten,
werden meist zwei akademische Grenzfalle betrachtet, das unendlich breite Lager
und das unendlich schmale Lager. Numerische und experimentelle Untersuchungen
beim konventionellen Lager geben Aufschlu uber den Anwendungsbereich dieser
Grenzfalle. Wie in [13] gezeigt, liefert die unendlich breite Hypothese fur ein Breiten/Durchmesserverhaltnis DB > 4 gute Werte, wahrend die unendlich schmale Approximation fur Werte DB < 14 praktische Anwendung ndet.
Die existierenden Arbeiten auf dem Feld der magnetohydrodynamischen, also inkom6
pressiblen Lagertheorie beschranken sich nach Kenntnis des Autors auf analytische
Arbeiten zum unendlich breiten Lager sowie einige numerische und halbanalytische
Untersuchungen zum Lager endlicher axialer Breite. Zum magnetogasdynamischen,
also kompressiblen Radiallager ist nur eine Arbeit uber das unendlich breite Lager
bekannt.
Inhalt der vorliegenden Arbeit ist die Analyse unendlich schmaler magnetogasdynamischer und magnetohydrodynamischer Radiallager. Die Bereitstellung analytischer Ergebnisse steht dabei im Vordergrund. Es werden ausschlielich stationare
Stromungen betrachtet, da aufgrund der kleinen Reynoldszahlen selbst bei instationarer Wellenbewegung Tragheitskrafte vernachlassigt werden konnen. Der Berechnung liegen die bekannten hydrodynamischen Hypothesen der Schmiertheorie zugrunde. Induktionseekte werden vernachlassigt, d.h. die magnetische Reynoldszahl
Rm wird als klein angenommen. Ziel ist es, den Einu der Groe und der Orientierung der eingepragten B - und E -Felder auf die Druckentwicklung zu bestimmen.
Drei Grundfalle werden untersucht:
a) aueres eingepragtes radiales B-Feld,
b) aueres eingepragtes axiales B-Feld und
c) aueres eingepragtes toroidales B-Beld.
Im Fall a) werden Lagerzapfen und Lagerschale als perfekte Isolatoren und in den
Fallen b) und c) als ideale Leiter betrachtet.
Alle 3 Falle fuhren bei kompressibler Stromung auf ein nichtlineares Randwertproblem. In den Fallen a) und b) wird eine strenge implizite Losung hergeleitet. Diese
hat den Nachteil, da das Druckfeld uber zwei transzendente algebraische Gleichungen ausiteriert werden mu. Eine alternative explizite Losung in Form einer Funktionenreihe weist diesen Nachteil nicht auf. Die Konvergenz dieser Funktionenreihe
wird bewiesen, eine Restgliedabschatzung hergeleitet. Im Fall c) kann keine implizite
Losung, sondern nur eine explizite Reihenlosung angegeben werden. Auch hier wird
die Konvergenz nachgewiesen und eine Formel fur das Restglied hergeleitet.
Aus der Losung des kompressiblen Problems wird anschlieend die Losung des inkompressiblen Problems entwickelt. Analytische Formeln fur die Sommerfeldzahlen
7
der Drehung und der Verdrangung werden fur die 3 Grundfalle bereitgestellt. Ferner wird eine Stabilitatsanalyse eines in zwei schmalen MHD Lagern symmetrisch
gelagerten Laval-Rotors durchgefuhrt. Hierbei gilt es, den Einu der angelegten B und E -Felder auf das Stabilitatsverhalten zu untersuchen.
Wie bereits erwahnt, kann bei Verwendung elektrisch leitender Fluide als Schmiermittel ein Auftrieb auch ohne Rotation der Welle erzeugt werden. Dieses Wirkungsprinzip wird im 6. Kapitel fur zeitlich konstante B -Felder und zeitlich oszillierende
E -Felder untersucht.
1.3 Literaturubersicht
Die Arbeiten zur magnetohydrodynamischen Schmiertheorie lassen sich in Arbeiten
zum ebenen Gleitschuh, Untersuchungen zum Radiallager und Berechnungen zum
Axiallager gliedern.
Der unendlich breite Gleitschuh unter tangentialem und vertikalem eingepragten B Feld wird in [2, 19, 21, 29] fur unterschiedliche Konstellationen hinsichtlich des aueren elektrischen Feldes behandelt. In [3, 8, 9] wird zusatzlich der Einu des konvektiven Beschleunigungsterms untersucht. Der Einu der elektrischen Leitfahigkeit des
Gleischuhs wird in [7] diskutiert. In [3, 9, 54] wird der unendlich breite Gleischuh
fur ungleichformige, nichtkonstante Magnetfelder behandelt, wobei in [54] im speziellen auf den idealen Neigungswinkel des Gleitschuhes fur optimale Tragfahigkeit
eingegangen wird. Eine Analyse zum idealen Prol des Gleitschuhes bei tangentialem eingepragten B -Feld ndet sich in [48]. Berechnungen, die Induktionseekte
berucksichtigen, sind in [7, 62, 64, 65] enthalten, wobei in [64, 65] auch der Einu
des Magnetfeldes der Zuleitungen besprochen wird. Eine Untersuchung zum anisotropen, porosen MHD Gleitschuh ist in [12] zu nden. Das MHD Kippsegmentlager
wird in [6] diskutiert. Eine Reihendarstellung fur den Gleitschuh endlicher Breite
ndet sich in [28]. Fur den stufenformigen Gleitschuh bei kompressiblem Fluid unter tangentialem B -Feld wird in [17] eine analytische Losung angegeben.
Das unendlich breite Radiallager unter axialem und radialem eingepragten B -Feld
wird in [26, 33] abgehandelt. In [11, 41] wird ferner der Einu des konvektiven Beschleunigungsterms untersucht. Das Radiallager unter Verdrangungsbewegung wird
8
in [4] diskutiert. In [36, 68] werden Induktionseekte berucksichtigt und in [11] wird
ein mit der Welle umlaufendes Magnetfeld betrachtet. Halbanalytische und numerische Untersuchungen zum MHD Radiallager endlicher Breite sind in [18, 35, 37, 42]
enthalten. Experimentelle Untersuchungen nden sich in [11, 18, 58]. [35] enthalt
eine numerische Stabilitatsuntersuchung einer in MHD Lagern gelagerten Welle fur
den Fall eines axialen eingepragten B -Feldes. [67] behandelt die Frage der Reduzierung des Reibmomentes durch Einsatz elektrisch leitender Fluide. In [72] werden
thermische Eekte bei MHD Lagern diskutiert und in [73] wird die Deformation
des Schmierspaltes studiert. Die einzige Untersuchung zum magnetogasdynamischen
Radiallager ist in [17] zu nden. Hier wird eine Naherungslosung fur das unendlich
breite Lager bei eingepragtem radialen B -Feld vorgestellt.
Das Axiallager unter axialem, radialem und toroidalem eingepragten B -Feld wird in
[19, 27, 40] behandelt. In [47, 55] werden konvektive Beschleunigungsterme berucksichtigt. Das Axiallager unter rotierendem B -Feld wird in [15, 22] diskutiert. Das
Axiallager bei variabler Spaltbreite wird in [40, 56] behandelt. Der Einu ungleichformiger, nichtkonstanter B -Felder wird in [56] studiert. Untersuchungen zum
kompressiblen Axiallager sind in [17, 22, 39, 53, 57] zu nden.
9
Kapitel 2
Bilanz- und
Konstitutivgleichungen
2.1 Magnetogasdynamische Grundgleichungen
Grundlage der Berechnungen dieser Arbeit sind die magnetogasdynamischen Grundgleichungen [14, 30, 44] fur lineare, isotrope Fluide betrachtet. Es sind dies im einzelnen
die Kontinuitatsgleichung
die Impulsbilanz
x:
y:
z:
@ + @ (u) + @ (v) + @ (w) = 0 ,
@t @x
@y
@z
(2.1)
"
#
@u
@u
@u
@u
@p + f + j B ; j B
@t + u @x + v @y + w @z = ; @x
x
y z
z y
"
!#
"
!#
"
!#
@ 2 @u ; r v + @ @u + @v + @ @u + @w , (2.2)
@x
@x
3
@y
@y @x
@z
@z @x
"
#
@v
@v
@v
@v
@p + f + j B ; j B
@t + u @x + v @y + w @z = ; @y
y
z x
x z
"
!#
"
!#
"
!#
@
@
@
@v
@u
@v
r
v
@v
@w
+ @x @x + @y + @y 2 @y ; 3
+ @z @z + @y , (2.3)
"
#
@w
@w
@w
@w
@t + u @x + v @y + w @z = ; @p
@z + fz + jx By ; jy Bx
10
"
!#
"
!#
"
!#
@
@w
@u
@
@w
@v
@
@w
r
v
+ @x @x + @z + @y @y + @z + @z 2 @z ; 3
,(2.4)
die Energiebilanz
!
!
!
2
@T
@
@T
@
@T
j
@
De
Dt = q_ + + @x k @x + @y k @y + @z k @z
!
!2
@v
@w
2
@u
@v
@w
@u
;p @x + @y + @z ; 3 @x + @y + @z
"
!2
!2
!2
@u
@v
@w
+ 2 @x + 2 @y + 2 @z
!2
!2
!2 #
@u
@v
@u
@w
@v
@w
+ @y + @x + @z + @x + @z + @y
,
(2.5)
die Maxwellschen Gleichungen (Verschiebungsstrom vernachlassigt)
rD
rE
rH
rB
=
=
=
=
e ,
; @@tB ,
j,
0,
(2.6)
(2.7)
(2.8)
(2.9)
das verallgemeinerte Ohmsche Gesetz (Hall-Eekt vernachlassigt)
jx = (Ex + v Bz ; w By ) ,
jy = (Ey + w Bx ; u Bz ) ,
jz = (Ez + u By ; v Bx) ,
(2.10)
(2.11)
(2.12)
die Kontinuitatsgleichung fur die elektrische Ladung
rj = 0
(2.13)
und die Zustandsgleichung des idealen Gases
p0 = R T .
(2.14)
u, v und w sind die Koordinaten des Geschwindigkeitsfeldes v in x-, y- und zRichtung. f = (fx; fy ; fz ) ist die resultierende Volumenkraft ohne die Lorentz-Kraft,
j = (jx; jy ; jz ) das elektrische Stromungsfeld. e ist die spezische innere Energie
und T die Temperatur. Es bezeichnet die Viskositat des Fluids, die elektrische
11
y
j
R
w
e
x
r
h
Abbildung 2.1: Lagergeometrie
Leitfahigkeit, k die Warmeleitfahigkeit, 0 die dielektrische Konstante und die magnetische Permeabilitat. Zwischen der elektrischen Feldstarke E = (Ex; Ey ; Ez ) und
der dielektrischen Verschiebung D = (Dx; Dy ; Dz ) herrscht die Beziehung D = 0 E.
Zwischen der magnetischen Induktion B und der magnetischen Feldstarke H gilt der
Zusammenhang B = H. Ferner ist e die elektrische Ladungsdichte. bezeichnet die Dichte des Fluids und p0 = pa + p den Absolutdruck. pa kennzeichnet den
Umgebungsdruck und a die Referenzdichte bei Umgebungsdruck und Umgebungstemperatur.
2.2 Vereinfachende Annahmen
Abbildung 2.1 illustriert die Lagergeometrie. Der Lagerzapfen hat den aueren Radius r, die Lagerschale den inneren Radius R = D2 . B = 2a ist die axiale Breite des
Lagers. Die Exzentrizitat zwischen Lager- und Zapfenmittelpunkt ist e. Die Welle
rotiert mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit !. Zur Vereinfachung der Bilanzund Konstitutivgleichungen werden die nachstehend aufgefuhrten klassischen Hypothesen der hydrodynamischen Schmiertheorie verwendet [13, 38]:
1. Die Abhangigkeit der Viskositat von Druck und Temperatur wird vernachlassigt,
12
d.h. const:
2. Die Stromung verlauft isotherm.
3. Die Tragheitskrafte werden gegenuber den Reibungskraften vernachlassigt,
d.h. die Reynoldszahl Re = r R ! 1.
4. Das Lagerspiel r = R ; r zwischen Schale und Welle ist im Vergleich zum
Wellenradius r und Schalenradius R klein.
5. Die Krummung des Lagerspaltes wird vernachlassigt, d.h. man denkt sich
Wellen- und Schalenumfang in die Ebene abgewickelt.
6. Die Schmierspalthohe h sowie die A nderung der Schmierspalthohe in Umfangs@h sind klein.
richtung @'
7. Vernachlassigung der Geschwindigkeitskoordinate v in Richtung der Spalthohe
(y-Richtung) gegenuber den Geschwindigkeitskoordinaten u und w in x- und
z-Richtung.
8. Vernachlassigung der Geschwindigkeitsgradienten erster und hoherer Ordnung
in x- und z-Richtung gegenuber denen in y-Richtung, d.h.
@u @u @u ,
@ 2u @ 2u @ 2u ,
@x @y @z
@x2 @y2 @z2
@v @v @v ,
@ 2 v @ 2v @ 2v ,
@x @y @z
@x2 @y2 @z2
@ 2w @ 2w @ 2w .
@w @w @w ,
(2.15)
@x @y @z
@x2 @y2 @z2
9. Vernachlassigung der Druckanderung in y-Richtung gegenuber den Druckanderungen in x- und z-Richtung, d.h.
@p @p @p bzw. @p 0 .
(2.16)
@x @y @z
@y
10. Volumenkrafte mit Ausnahme der Lorentz-Kraft werden vernachlassigt.
Wie in Kapitel 1 erlautert, ist das eingepragte Magnetfeld a) radial, b) axial oder c)
toroidal orientiert. Durch die Lorentz-Kraft werden gema den Gln. (2.10)-(2.12) im
Fall a) Strome in axialer Richtung und in den Fallen b) und c) Strome in radialer
13
Richtung induziert. Es ist daher naheliegend, Lagerschale und Lagerzapfen bei eingepragtem radialen Magnetfeld als Isolatoren und in den beiden anderen Fallen als
Leiter auszubilden. Folgende elektrodynamische Annahmen werden getroen (vgl.
[30]):
1. Lagerschale und Lagerzapfen sind entweder beide ideale Leiter oder beide perfekte Isolatoren.
2. Die magnetische Permeabilitat , die dielektrische Konstante 0 und die elektrische Leitfahigkeit sind Konstanten.
3. Die induzierten Magnetfelder sind wesentlich kleiner als die aueren eingepragten Magnetfelder, d.h. die magnetische Reynoldszahl
Rm = R ! r 1.
Unter diesen Annahmen sind die y-Komponente der Impulsbilanz und die Energiebilanz hinfallig. Da induktionslos gerechnet wird, bleibt von den Maxwellschen
Gleichungen nur noch Gl. (2.7) relevant. Mit Gl. (2.6) kann nach Berechnung des
E -Feldes die Ladungsverteilung e bestimmt werden. Damit reduzieren sich die Bilanzgleichungen bei stationarer Stromung auf
die Kontinuitatsgleichung (der Term @@t wird trotz Stationaritat formal beibehal-
ten, da dieser in Kapitel 4 bei der Berechnung der Sommerfeldzahl der Verdrangung
relevant wird)
@ + @ (u) + @ (v) + @ (w) = 0 ,
(2.17)
@t @x
@y
@z
die Impulsbilanz
x:
@p + j B ; j B + @ 2u ,
0 = ; @x
y z
z y
@y2
(2.18)
z:
@p + j B ; j B + @ 2w ,
0 = ; @z
x y
y x
@y2
(2.19)
die Maxwellschen Gleichungen
@Dx + @Dy + @Dz = ,
e
@x @y @z
@Ez ; @Ey = 0 ,
@y @z
14
(2.20)
(2.21)
@Ex ; @Ez = 0 ,
@z @x
@Ey ; @Ex = 0 ,
@x @y
das verallgemeinerte Ohmsche Gesetz
jx = (Ex ; w By ) ,
jy = (Ey + w Bx ; u Bz ) ,
jz = (Ez + u By ) ,
(2.22)
(2.23)
(2.24)
(2.25)
(2.26)
die Kontinuitatsgleichung fur die elektrische Ladung
@jx + @jy + @jz = 0
(2.27)
@x @y @z
und die Zustandsgleichung des idealen Gases
p0 = pa = const .
(2.28)
a
Wie ublich in der hydrodynamischen Schmiertheorie wird die Kontinuitatsgleichung
in y-Richtung uber den Schmierspalt integriert:
Zh @
Zh @
Zh @
Zh @
(2.29)
@t dy + 0 @x (u) dy + 0 @y (v) dy + 0 @z (w) dy = 0 .
0
Unter Verwendung der Leibnitzschen Dierentiationsregel
b(x)
@f (x; y) dy = @ Z f (x; y) dy ; f (x; b) db + f (x; a) da ,
@x
@x a(x)
dx
dx
a(x)
bZ(x)
(2.30)
unter Beachtung der Randbedingungen u(y = h) = 0, w(y = h) = 0 und w(y =
0) = 0 und wegen der Voraussetzung (2.16) reduziert sich der erste Term in Gl.
(2.29) auf
Zh @
@ h ,
dy
=
(2.31)
@t
@t
0
der zweite Term auf
dh @ Zh
Zh @
Zh
@
(u) dy = @x (u) dy ; (u) dx = @x (u) dy ,
(2.32)
@x
y =h
0
0
0
15
der dritte Term auf
y=h
Zh @
= [v(h) ; v(0)] @h
(
v
)
dy
=
(
v
)
@y
@t
y=0
0
und der vierte Term auf
dh @ Zh
Zh
Zh @
@
(w) dy = @z (w) dy ; (w) dx = @z (w) dy .
@z
y =h
0
0
0
Damit lautet die Kontinuitatsgleichung in integrierter Form
@ Zh (u) dy + @ Zh (w) dy + @ (h) = 0 .
@x 0
@z 0
@t
(2.33)
(2.34)
(2.35)
Es werden folgende dimensionslosen Variablen und Parameter eingefuhrt:
e ,
= R R; r ,
= R;
h = h R ,
x='R ,
r
y = y R ,
z = z a ,
u = u R ! ,
w = w R p
!,
!
p = p !2 ,
= a ,
= !
Ex = E' p ,
2p ,
a
p
p!
p!
p
!
!
p
p
, jy = jy
,
Ey = Ey , Ez = Ez , jx = j'
p!
2
2
2
2 2 2
2 2 2
jz = jz
, M'2 = R Bx , My2 = R By , Mz2 = R Bz .
ist die dimensionslose Exzentrizitat, die sogenannte Kompressibilitatszahl [51,
38]. M', My , Mz sind die Hartmannzahlen der Magnetfelder Bx, By , Bz . Die dimensionslose Spalthohe ist h (') = 1 + cos ' (siehe [13, 38]) . Die dimensionslosen
Bilanzgleichungen sind
die Kontinuitatsgleichung in integrierter Form
2 h 3
2 h
3
Z
Z
@
@ 6 u dy7 + D @ 6 w dy7 + 1 h = 0 ,
5 B @ z 4
5 ! @t
@' 4
0
0
(2.36)
die Impulsbilanz
x:
z:
@ p + M j ; M j + @ 2u ,
0 = ; @'
z y
y z
@ y2
B @ p
2
0 = ; D @ z + My j' ; M' jy + @@ yw2 ,
16
(2.37)
(2.38)
die Maxwellschen Gleichungen
@ D ' + 1 @ D y + D @ D z
@'
@ y
B @ z
1 @ Ez ; D @ Ey
@ y
B @ z
D @ E' @ Ez
B @ z ; @'
@ Ey ; 1 @ E'
@'
@ y
das verallgemeinerte Ohmsche Gesetz
= e ,
(2.39)
= 0,
(2.40)
= 0,
(2.41)
= 0,
(2.42)
j' = E' ; My w ,
jy = Ey + M' w ; Mz u ,
jz = Ez + My u ,
(2.43)
(2.44)
(2.45)
die Kontinuitatsgleichung fur die elektrische Ladung
@j' + 1 @jy + D @jz = 0
@'
@ y B @ z
und die Zustandsgleichung des idealen Gases
= 1 + p .
(2.46)
(2.47)
Aufgrund der Haftbedingung lauten die Randbedingungen fur u und w bei Rotation
der Welle mit ! und stillstehender Lagerschale
u(y = 0) = 1 und u(y = h ) = 0
sowie
(2.48)
w(y = 0) = 0 und w(y = h) = 0 .
Die Randbedingungen fur den Druck sind (vgl. [38])
(2.49)
p(z = ;1) = 0 und p(z = 1) = 0 .
(2.50)
Sind Lagerschale und -zapfen ideale Leiter, gilt fur das elektrische Potential V (vgl.
[30])
V (y = 0) = const: und V (y = 1) = const:
(2.51)
17
und fur die Stromdichte
j'(y = 0) = jz (y = 0) = 0 und j' (y = h) = jz (y = h) = 0 .
(2.52)
Sind Lagerschale und -zapfen perfekte Isolatoren, gilt fur die elektrische Stromdichte
jy (y = 0) = 0 und jy (y = h) = 0 .
18
(2.53)
Kapitel 3
Kompressible Stromung
Erste analytische Arbeiten zum konventionellen unendlich breiten Gaslager stammen von Harrison [25], Katto und Soda [34] und Ausman [10], wobei im letzten
Aufsatz ein Storungsansatz mit der Exzentrizitat als Storparameter angewendet
wird. Eine zentrale numerische Arbeit zum konventionellen Gaslager endlicher Breite stammt von Raimondi [51]. Eine U bersicht uber neuere Arbeiten, insbesondere
auch zu stromungsmechanischen Instabilitaten bei konventionellen kompressiblen
Spaltstromungen ist in [43] zu nden.
Inhalt dieses Kapitels ist die bisher nicht durchgefuhrte Analyse magnetogasdynamischer Schmierspaltstromungen unter Verwendung der Hypothese fur das unendlich
schmale Lager. Untersucht werden die drei Grundfalle a) radiales, b) axiales und c)
toroidales eingepragtes Magnetfeld.
Die Untersuchung magnetogasdynamischer Schmierspaltstromungen ist - zumindest
in Hinblick auf eine Anwendung in der Lagertechnik - von akademischem Interesse.
Zum einen deshalb, weil die Kompressibilitat von Flussigmetallen vernachlassigbar
ist. Zum anderen aber, weil elektrisch leitende Gase (Plasmen) auf Grund der erforderlichen hohen Temperaturen als Schmiermittel kaum in Frage kommen.
Die nachstehend entwickelten Reihenlosungen und deren Konvergenznachweis lassen
sich durch geeignete Modikationen wahrscheinlich auf ahnlich geartete Randwertprobleme ubertragen.
19
B
Abbildung 3.1: Eingepragtes radiales Magnetfeld
3.1 Radiales eingepragtes Magnetfeld
In diesem Abschnitt wird zunachst eine strenge Losung fur das unendlich schmale
Lager bei eingepragtem radialen B -Feld hergeleitet. In dieser Darstellung mu die
Druckfunktion uber zwei transzendente algebraische Gleichungen ausiteriert werden.
Anschlieend wird basierend auf einem Storungsansatz eine alternative Losungsdarstellung in Form einer Funktionenreihe entwickelt. Die Konvergenz dieser Reihe wird
untersucht, eine Restgliedabschatzung wird hergeleitet.
3.1.1 Strenge Losung in impliziter Form
Ein konstantes externes Magnetfeld By sei radial orientiert (siehe Abb. 3.1). Auerdem
wird ein konstantes aueres elektrisches Feld Ez in axialer Richtung angelegt. Lagerschale und Lagerzapfen werden als perfekte Isolatoren betrachtet. Die Stromung sei
stationar. Aus der Kontinuitatsgleichung fur die elektrische Stromdichte r j = 0
z
folgt zunachst, da @j
@z 0. Damit reduziert sich die Impulsbilanz (2.37) in xRichtung auf
@ p ; M j + @ 2u ,
0 = ; @'
(3.1)
y z
@ y2
die Impulsbilanz (2.38) in z-Richtung auf
B @ p @ 2w
0 = ; D @ z + @ y2
und das Ohmsche Gesetz (2.45) in z-Richtung auf
jz = Ez + My u .
20
(3.2)
(3.3)
Kombiniert man Gl. (3.1) mit Gl. (3.3), ergibt sich
@ 2u ; M 2 u = @ p + M E .
(3.4)
y z
y
@ y2
@'
Mit den Randbedingungen u(y = 0) = 1 und u(y = h) = 0 liefert eine Integration
von Gl. (3.4)
#
"
z # "
@
p
E
sinh(
M
y
)
1
y
u = M 2 @' + M cosh (My y) ; sinh(My y) coth(My h ) + sinh(M h ) ; 1
y
y
hy
i
+ cosh(My y) ; coth(My h) sinh(My y) .
(3.5)
Der dimensionslose Durchu q' = ! q'R2 in Umfangsrichtung ergibt sich zu
3
"
# 2 cosh(My h) ; 1
Zh
@
p
1
q' = udy = M 3 @' + My Ez 42 sinh(M h) ; (My h )5
y
y
0
My h ) ; 1) .
+ M1 (cosh(
(3.6)
sinh(My h)
y
Aus Gl. (3.2) folgt unter Beachtung von w(y = 0) = 0 und w(y = h ) = 0
D @ p 1
w = 2 B @ z y2 ; hy
(3.7)
und aus Gl. (3.7) der dimensionslose Durchu qz = ! qzR2 in axialer Richtung
D @ p
1
qz = wd
y = ; 12 B @ z h 3 .
0
Zh
(3.8)
Die Kontinuitatsgleichung (2.36) lautet unter Beachtung der Konstitutivgleichung
(2.47)
B @
@ [(1 + p)q ] = 0 .
[(1
+
p
)
q
(3.9)
'] +
z
D @'
@ z
An dieser Stelle wird die Hypothese des unendlich schmalen Lagers benutzt (siehe
@ p = 0 gesetzt. Damit ergibt sich aus Gl. (3.9)
[13, 45, 46]), d.h. es wird @'
"
#
B 2 12 @ q'
@
@
p
(3.10)
D h 3 @ ' (1 + p) ; @ z (1 + p) @ z = 0 .
Gl. (3.10) mit den Randbedingungen p(z = ;1) = p(z = 1) = 0 bilden ein nichtlineares Randwertproblem zur Bestimmung von p('; z). Unter Verwendung der Kettenregel wird Gl. (3.10) umgeformt zu
2h
i
(') (1 + p) ; 21 @z2 (1 + p)2 = 0 ,
(3.11)
21
wobei sich fur (') mit Gl. (3.6)
B 2 12h 0 2 Ez ! 2Ez ! hcosh(My h ) ; 1i cosh(My h) 3
5
(') = D h3 4 M + 1 ; M 2 + 1
sin2(My h)
y
y
(3.12)
2
ergibt. Mit der Substitution g = (1 + p) geht Gl. (3.11) uber in
@ 2g ; 2 (') pg = 0 .
(3.13)
@ z2
Fur die spatere Rucktransformation ist zu beachten, da aus physikalischen Grunden
(vgl. Gl. (2.47)) (1 + p) 0. Separation und anschlieende Integration ergibt
@g = 8 (') g3=2 + c (')1=2
(3.14)
1
@ z
3
mit c1(') als Integrationsfunktion. Nochmalige Separation fuhrt schlielich auf
Z
dg
z = h 8
(3.15)
i + c2(') .
3=2 + c1(') 1=2
(
'
)
g
3
c2(') ist eine weitere Integrationsfunktion. Da der Integrand und somit das Integral
stets positiv sind und c2(') wie gleich gezeigt wird identisch null ist, gilt das +
Zeichen fur z > 0 und das ; Zeichen fur z < 0. Die Integrationsfunktion c2(') kann
uber die Randbedingungen direkt bestimmt werden. Der Druck p verschwindet an
den Stellen z = ;1 und z = 1, daher nimmt g dort den Wert 1 an. Also lauten die
Randbedingungen
Z
dg
+c2(') und
1 = + h
(3.16)
i
1
=
2
g=1
8 (') g 3=2 + c (')
1
3
Z
dg
+c2(') .
(3.17)
;1 = ; h 8
i
1
=
2
g=1
3=2 + c1 (')
(
'
)
g
3
Beide Gleichungen konnen nur fur c2(') = 0 erfullt sein. Die Integrationsfunktion
c1(') ist durch die transzendente Gleichung
Z
dg
(3.18)
1= h
i
1
=
2
g=1
8 (') g 3=2 + c (')
1
3
bestimmt und wird ausiteriert. Es ist zweckmaig, an dieser Stelle die Rucktransformation durchzufuhren. Es ergibt sich
Z
2 (1 + p) dp
z = h 8
.
(3.19)
3 + c (')i1=2
(
'
)
(1
+
p
)
1
3
22
Zur Losung des Integrals mu eine Fallunterscheidung vorgenommen werden. 3
Falle sind moglich: (') < 0 sowie c1(') > 0, (') > 0 sowie c1(') < 0 und
(') > 0 sowie c1(') > 0. Der letzte Fall kann aus physikalischen
U berlegungen
ausgeschlossen werden. Aus Symmetriegrunden ist @@pzz=0 = 0. Dies ist wegen Gl.
(3.14) fur (') > 0 sowie c1(') > 0 nicht realisierbar.
Fall 1:
Im Fall (') < 0 sowie c1(') > 0 wird Gl. (3.19) in die Form
Z
(1 + p) dp
2
q
z = h 8
i
c1(') ; 3 c1(') j(')j (1 + p)3 + 1 1=2
uberfuhrt. Dieses Integral wird uber die Substitution
!1=3
8
j
(
'
)
j
y = 3 c (')
(1 + p)
1
(3.20)
(3.21)
auf die Form
!2=3 Z
y dy
2
c
(
'
)
1
z = q
(3.22)
8 j(')j
[;y3 + 1]1=2
c1(') 3
gebracht. Dabei ist y < 1. Somit erhalt man
v
p
p
!2=3 " p
u
3
u
c
(
'
)
2
1
;
y
3
;
1
y
;
1
+
2
1
t
p ; 31=4 F ( 1 ;
p3 ; sin 512 )
z = q
8 j(')j
y;1; 3
1;y+ 3
c1(') 3
v
p
#
u
u
3
5
y
;
1
+
1
=
4
t
p ; sin )
+2 3 E ( 1 ;
(3.23)
1 ; y + 3 12
und nach Rucksubstitution schlielich
z('; p) =
r
!2=3 " 2 1 ; 8 3cj('('))j (1 + p)3
c1(')
1
q 2
8 j(')j 1=3
p
8 j(')j
c1(') 3
(1
+
p
)
;
1
;
3
3 c1 (')
v
8 j(')j 1=3
u
p
p
u
(1
+
p
)
;
1
+
3 5
u
3
;
1
; 31=4 F (u
t1 ; 3 c18(') j(')j 1=3
p ; sin 12 )
1 ; 3 c1 (')
(1 + p) + 3
v
u
8 j(')j 1=3
p
u
3 5 (1
+
p
)
;
1
+
u
3 c1 (')
+2 31=4 E (u
1
;
8 j(')j 1=3
t
p ; sin 12 ) . (3.24)
(1 + p) + 3
1;
3 c1 (')
23
Die Funktion c1(') mu uber die transzendente Gleichung
v
p
!2=3 " 2 q1 ; y3 p
u
u
y
;
1
+
2
c
(
'
)
3
;
1
1
1
1
t
p ; 31=4 F ( 1 ;
p3 ; sin 512 )
1 = q
8 j(')j
y1 ; 1 ; 3
1 ; y1 + 3
c1(') 3
v
p
#
u
u
y
5
1 ; 1 + p3
1
=
4
t
+2 3 E ( 1 ;
; sin )
(3.25)
1 ; y1 + 3 12
!1=3
8
j
(
'
)
j
mit y1 = 3 c (')
1
ausiteriert werden. Es bezeichnet F (p; q) das Elliptische Integral erster Art und
E (p; q) das Elliptische Integral zweiter Art [1].
Fall 2:
Im Fall (') > 0 sowie c1(') < 0 wird Gl. (3.19) in die Form
Z
(1 + p) dp
z = q 2
h 8
i
jc1(')j 3 jc1 (')j (') (1 + p)3 ; 1 1=2
umgeschrieben und uber die Substitution
y = 83 jc((''))j
1
!1=3
(1 + p)
auf die Form
(3.26)
(3.27)
!2=3 Z
y dy
2
j
c
(
'
)
j
1
z = q
(3.28)
8 (')
[y3 ; 1]1=2
jc1(')j 3
uberfuhrt, wobei jetzt y > 1. Es ergibt sich
v
p
p
!2=3 " p 3
u
u
y
;
1
3
+
1
2
j
c
(
'
)
j
2
1
;
y
+
1
p + 31=4 F (t1 ;
p3 ; sin 12 )
z = q
8 (')
y;1+ 3
y;1+ 3
jc1(')j 3
v
p
#
u
u
3
1
;
y
+
;2 31=4 E (t1 ; y ; 1 + p3 ; sin 12 )
(3.29)
und mit Gl. (3.27)
z('; p) =
q 2
jc1(')j
r
!2=3 " 2 83 jc ((''))j (1 + p)3 ; 1
jc1(')j
1
8 (') 1=3
p
8 (')
3
3
(1
+
p
)
;
1
+
3 jc1 (')j
24
v
8 (') 1=3
u
p
u
3
1
;
(1
+
p
)
+
u
3
+
1
+ 31=4 F (u
t1 ; 8 3('j)c1(1'=)3j
p ; sin 12 )
(1 + p) ; 1 + 3
3 jc1 (')j
v
8 (') 1=3
u
p
#
u
1
;
(1
+
p
)
+
3
u
3 jc1 (')j
1
=
4
u
;2 3 E (t1 ; 8 (') 1=3
p ; sin ) .
(1 + p) ; 1 + 3 12
p
3 jc1 (')j
(3.30)
Die Integrationsfunktion c1(') ist implizit durch die transzendente Gleichung
v
p
!2=3 " 2 qy3 ; 1 p
u
u
3
+
1
2
j
c
(
'
)
j
1
;
y
+
)
1
1
1
t
p + 31=4 F ( 1 ;
p3 ; sin 12
1 = q
8 (')
y1 ; 1 + 3
y1 ; 1 + 3
jc1(')j 3
v
p
#
u
u
1
;
y
1 + p3
1
=
4
t
;2 3 E ( 1 ; y ; 1 + 3 ; sin 12 )
(3.31)
1
!1=3
8
(
'
)
mit y1 = 3 jc (')j
1
bestimmt und wird iterativ berechnet.
In beiden Fallen mu das Druckfeld p('; z) uber zwei nichtlineare Gleichungen ausiteriert werden. Praktisch ist dies sehr zeitintensiv und das Aunden der Nullstellen
nicht unproblematisch, da je nach Wahl der Parameter, insbesondere bei Variation
des Winkel ', unter Umstanden unterschiedliche Losungsverfahren verwendet werden mussen. Bei der Erstellung von Kurven des Typs p(' = const; z) ist fur jeden
Punkt je Parametersatz eine nichtlineare Gleichung iterativ zu losen sowie einmalig
eine der Gleichungen (3.25) und (3.31). Bei der Erstellung von Kurven des Typs
p('; z = const) sind fur jeden Punkt je Parametersatz 2 nichtlineare Gleichungen
zu losen, was sich als besonders aufwendig erweist. Daher wurden nur Kurven vom
ersten Typ erstellt.
Die Abbildungen 3.2-3.4 zeigen Funktionsverlaufe z(p) fur DB = 18 , = 0:9 und
' = 0:93 . In Abbildung 3.2 sind Kurven z(p) fur verschiedene Hartmannzahlen
My dargestellt. Es zeigt sich, da fur Hartmannzahlen My < 2 eine Druckerhohung
eintritt, wahrend fur My > 2 der Druck abnimmt. Folglich existiert bei Fixierung
der ubrigen Paramtern eine denierte Hartmannzahl fur optimale Druckentwicklung.
Grund hierfur sind die induzierten Strome durch die Lorentz-Kraft. Bei kleinen BFeldern (Hartmannzahlen) ist der durch das E -Feld verursachte Anteil des Stromes
jz;E = Ez groer als der entgegengerichtete induzierte Anteil jz;B = My u, so da die
Lorentz-Kraft My jz zu einer Vergroerung des Durchusses q' und somit zu einer
25
Druckerhohung fuhrt. Bei groen B-Feldern dominiert der induzierte Strom jz;B ,
was zu einer Verkleinerung des Durchusses q' und damit zu einer Reduzierung
des Druckes fuhrt. Abbildung 3.3 zeigt Kurven z(p) fur verschiedene dimensionslose E -Felder Ez . Eine kontinuierliche Erhohung des E -Feldes fuhrt zu einer stetigen
Vergroerung des Stromes jz;E = Ez und daher bei fester Hartmannzahl zu einer
monotonen Erhohung des Durchusses q' sowie des Druckes. In Abbildung 3.4 sind
Funktionen z(p) in Abhangigkeit der Kompressibilitatszahl dargestellt. Wie man
sieht, steigt der Druck mit wachsendem . Bei groeren Werten von ist der Zuwachs allerdings gering.
3.1.2 Explizite Reihendarstellung
Ein Nachteil der im letzten Abschnitt entwickelten impliziten Losung ist der numerische Aufwand zur Ausiteration des Druckfeldes. Fur jeden Punkt mussen im allgemeinen zwei komplizierte nichtlineare Gleichungen ausiteriert werden. Zum Losen
dieser Gleichungen mussen bei festen Parametern fur verschiedene Punkte teilweise
unterschiedliche Iterationsverfahren verwendet werden. Es zeigt sich, da die Integrationsfunktion c1(') fur verschiedene Winkel ' sehr kleine und sehr groe Werte
annimmt, so da kommerzielle Gleichungsloser ohne Einschrankung des Losungsgebietes teilweise versagen. Ein weiterer Nachteil ist, da die Losung in der Form
z = z(p; ') und nicht in der Form p = p('; z) vorliegt, wodurch eine Integration
uber die Winkelkoordinate ' zur Berechnung des Auftriebs analytisch nicht moglich
ist.
Die genannten Nachteile gaben Anla, eine alternative Darstellung der Losung des
Randwertproblems (3.11) zu suchen. Auf der Grundlage eines Storungsansatzes mit
der Kompressibilitatszahl als Storparameter wird die Losung des Randwertproblems (3.11) in Form einer Funktionenreihe angegeben. Dabei wird der Reihenansatz
nicht wie ublich in die Dierentialgleichung eingesetzt und eine rekursive Folge von
Dierentialgleichungen erzeugt. Aus der Ausgangsdierentialgleichung wird durch
zweifache Integration zunachst eine Integralgleichung entwickelt, in die dann der Reihenansatz eingesetzt wird. Es entsteht ein rekursives Schema aus Integralgleichungen, das aufgrund seiner einfachen Struktur vollstandig algebraisiert werden kann,
so da als Ergebnis ein matrizieller Rekursionsalgorithmus entsteht. Eine rechner26
1
0.8
0.6
Z
0.4
My=0
My=2
My=8
My=10
0.2
0
2
4
6
8
P
Abbildung 3.2: z(p) fur verschiedene Hartmannzahlen My ; Parameter: DB = 18 , =
0:9, ' = 0:93 , Ez = ;2, = 1.
27
1
0.8
0.6
Z
Ez=0
Ez=–1
0.4
Ez=–5
Ez=–10
0.2
Ez=–20
0
2
4
6
8
10
P
Abbildung 3.3: z(p) fur verschiedene E -Felder Ez ; Parameter:
' = 0:93 , My = 2, = 1.
28
B
D
= 18 , = 0:9,
1
0.8
0.6
Z
λ=0.1
λ=0.5
0.4
λ=1
λ=5
0.2
λ=20
0
2
4
6
8
P
Abbildung 3.4: z(p) fur verschiedene Kompressibilitatszahlen ; Parameter: DB = 18 ,
= 0:9, ' = 0:93 , My = 2, Ez = ;2.
29
unterstutzte exakte Berechnung beispielsweise der ersten 1000 Storungsgleichungen
ist problemlos moglich. Die Konvergenz der Funktionenreihe wird gezeigt und eine
Restgliedabschatzung hergeleitet.
Ausgangspunkt der Betrachtungen ist die nichtlineare Dierentialgleichung (3.11)
"
#
@
@
p
(') (1 + p) ; @ z (1 + p) @ z = 0 .
(3.32)
Diese Gleichung formal uber z integriert ergibt
Z
(') (1 + p) dz + c1(') ; (1 + p) @@ zp = 0 .
(3.33)
Nochmalige Integration in z-Richtung liefert
ZZ
Z
(')
(1 + p) dz dz + c1(') z + c2(') ; (1 + p) @@ pz dz = 0 . (3.34)
|
{z 2 }
1
2
(1+p)
Der letzte Term wird mittels Produktintegration wie angedeutet direkt integriert.
Es ergibt sich schlielich
ZZ
2 (') ( + 2 p) dz dz + c1(') z + c2(') ; (1 + p)2 = 0 .
(3.35)
Die Druckfunktion p('; z) sowie die Integrationsfunktionen c1(') und c2(') werden
im Sinne eines Storungsansatzes nach dem Parameter entwickelt:
p = p0 + p1 + 2p2 + ,
c1 = c10 + c11 + 2c12 + ,
c2 = c20 + c21 + 2c22 + .
(3.36)
(3.37)
(3.38)
Eingesetzt in die Integralgleichung (3.35) folgt
ZZ
2 (') ( + 2p0 + 3p1 + 4p2 + ) dz dz + (c10 + c11 + 2 c12 + ) z
+(c20 + c21 + 2c22 + ) ; (1 + p0 + 2p1 + 3p2 + )2 = 0 .
(3.39)
Wegen der Symmetrie zur x-y-Ebene sind die Integrationsfunktionen c1i(') (i =
0; 1; 2; : : :) identisch null. Nach Potenzen von sortiert, ergibt sich das Rekursionsschema
0 :
c20 ; 1 = 0 ,
30
(3.40)
1:
2:
(3.41)
p0 dz dz + c22 ; (p1 + p20 + p1) = 0 ,
(3.42)
p1 dz dz + c23 ; (p2 + p0 p1 + p1 p0 + p2) = 0 ,
(3.43)
p2 dz dz + c24 ; (p3 + p0 p2 + p1 p1 + p2 p0 + p3) = 0
(3.44)
2(')
3:
2(')
4:
2(')
ZZ
und allgemein
i+2 :
2(')
ZZ
1 dz dz + c21 ; (p0 + p0) = 0 ,
2(')
ZZ
ZZ
ZZ
pi dz dz + c2(i+2) ; 21 (pi+1 + p0 pi + p1 pi;1 + +pi;1 p1 + pi p0 + pi+1) = 0 . (3.45)
Mit der Substitution pi = (')i+1 p~i vereinfachen sich die Rekursionsgleichungen
weiter. Es ergibt sich ein Rekursionsschema fur die Funktionen p~i , namlich
0:
c20 ; 1 = 0 ,
1:
ZZ
1 dz dz + c21 = p~0 ,
(3.47)
p~0 dz dz + c22 ; 21 p~20 = p~1 ,
(3.48)
p~1 dz dz + c23 ; 12 (~p0 p~1 + p~1 p~0) = p~2 ,
(3.49)
p~2 dz dz + c24 ; 21 (~p0 p~2 + p~1 p~1 + p~2 p~0 ) = p~3 ,
...
(3.50)
2:
ZZ
3:
4:
i+2 :
ZZ
ZZ
ZZ
(3.46)
p~i dz dz + c2(i+2) ; 12 (~p0 p~i + p~1 p~i;1 + + p~i;1 p~1 + p~i p~0) = p~i+1 . (3.51)
31
Vorteil der eingefuhrten Substitution ist, da jetzt nur noch Polynome p~i(z) berechnet werden mussen, die von den Systemparametern unabhangig sind. Somit mu
das Rekursionsschema nur einmal gelost werden. Die Losung des Randwertproblems
(3.11) kann in der Form
1
X
p('; z) = i (')i+1 p~i (z)
(3.52)
i=0
dargestellt werden. Die Losungsdarstellung (3.52) lat erkennen, da trotz des Storungsansatzes (3.36) fur die Konvergenz der Reihe nicht der Parameter , sondern
das Produkt (') mageblich ist. Konvergente Losungen lassen sich deshalb, wie
der Storungsansatz (3.36) vermuten lat, nicht ausschlielich fur < 1 generieren,
sondern auch fur > 1. Die Konvergenz der Funktionenreihe (3.52) wird nun untersucht.
Hilfssatz 1:
Sei h(z) 2 C 1(z 2 R) eine gerade Funktion mit h(z = ;1) = h(z = 1) = 0. Die
Funktion F (z), deniert uber
ZZ
F (z) =
h(z) dz dz + c1 z + c2 (c1; c2 = const) ,
(3.53)
erfulle die Randbedingungen F (z = 1) = F (z = ;1) = 0. Dann ist c1 = 0 und F (z)
eine gerade Funktion mit F 0(z = 0) = 0, und es gilt die Abschatzung
(3.54)
jF (z)j 21 maxfjh(z)jg , 8z 2 [;1; 1] .
Beweis:
Da jh(z)j maxfjh(z)jg und F 0(z = 0) = 0 ist, gilt
jF 0(z)j maxfjh(z)jg jzj .
(3.55)
Da F (z = 1) = F (z = ;1) = 0, folgt
jF (z)j max fjh(z)jg 21 jz2 ; 1j , 8z 2 [;1; 1]
(3.56)
und daher die Behauptung (3.54).
Satz 1:
p
i (')i+1 p~ (
Die Reihe P1
z
)
konvergiert
absolut,
falls
j
(
'
)
j
4
;
2
3. Bei
i
i=0
32
Abbruch der Reihe nach dem n-ten Glied gilt fur den Fehler y die Restgliedabschatzung
a n+1 n+1
j(')jn+2 1 a n+1 n+1
1
2
a
jyj 2
(3.57)
; 2 2 j(')jn+2
1 ; 2 j(')j
q
2 + (') ; 2 (')2 ; 8 (') + 4
mit a =
.
(3.58)
2 (')
Beweis:
Zum Beweis der Behauptung wird eine Majorante zur Funktionenreihe (3.52) konstruiert. Aufgrund der Dreiecksungleichung gilt die Abschatzung
Z Z
p~i+1 (z) = p~i(z) dz dz + c2(i+2) ; 1 hp~0(z) p~i(z) + p~1(z) p~i;1 (z) + 2
i
+~pi;1(z) p~1 (z) + p~i (z) p~0(z) Z Z
1 h
p~i(z) dz dz + c2(i+2)+ 2 jp~0(z)j jp~i (z)j + jp~1(z)j jp~i;1 (z)j + +jp~i;1(z)j jp~1(z)j + jp~i(z)j jp~0(z)j
(Z Z
1 z2max
p~i (z) dz dz + c2(i+2)+ 2 jp~0(z)j jp~i (z)j + jp~1 (z)j jp~i;1 (z)j
[;1;1] )
+ + jp~i;1(z)j jp~1(z)j + jp~i(z)j jp~0(z)j .
(3.59)
Mit den Abkurzungen p~i;max = maxz2[;1;1]fjp~i(z)jg sowie ~ = j(')j folgt mit der
Abschatzung (3.59) und Hilfssatz 1
1:
1 p~
(3.60)
2 0;max p~0(z) ,
2:
3:
1 ~p~
~
~
+
p
~
p
~
2 0;max 0;max 0;max p~1;max p~1(z) ,
1 ~2p~
~2
~2
+
p
~
p
~
+
p
~
p
~
2 1;max 0;max 1;max 1;max 0;max p~2;max p~2(z) ,
(3.61)
(3.62)
4:
1 ~3p~
~3 p~3;max ~3p~3 (z)
2;max + p~0;max p~2;max + p~1;max p~1;max + p~2;max p~0;max 2
(3.63)
33
...
und allgemein
i+2 :
1 ~i+1p~ + p~
i;max
0;max p~i;max + p~1;max p~i;1;max + 2
+~pi;1;max p~1;max + p~i;max p~0;max ~i+1p~i+1 ~i+1p~i+1 (z) .
(3.64)
Addiert man die ersten i + 2 Ungleichungen, ergibt sich nach Umsortieren
1 1 + ~ p~
2 p~
3 p~
4 p~
i+1 p~
~
~
~
~
+
+
+
+
+
0;max
1;max
2;max
3;max
i;max
2
+ 21 p~0;max ~ p~0;max + ~2 p~1;max + ~3 p~2;max + ~4 p~3;max + + ~i+1 p~i;max
1
2
3
4
i
~
~
~
~
~
~
+ 2 p~1;max p~0;max + p~1;max + p~2;max + p~3;max + + p~i;1;max
1
2
2
3
4
i
;
1
~
~
~
~
~
~
+ 2 p~2;max p~0;max + p~1;max + p~2;max + p~3;max + + p~i;2;max
1
3
2
3
4
i
;
2
~
~
~
~
~
~
+ p~3;max p~0;max + p~1;max + p~2;max + p~3;max + + p~i;3;max
2
+
1
i
;
2
2
3
~
~
~
~
+ 2 p~i;2;max p~0;max + p~1;max + p~2;max
1
i
;
1
2
~
~
~
+ 2 p~i;1;max p~0;max + p~1;max
+ 21 ~i p~i;max ~ p~0;max
p~0;max + ~1 p~1;max + ~2 p~2;max + ~3 p~3;max + + ~i p~i;max + ~i+1 p~i+1;max . (3.65)
Werden auf der linken Seite von Gl. (3.65) in den eckigen Klammern positive Terme
geeignet erganzt, so erhalt man
i
i
i
1 1 + X
~n p~n;max + 1 p~0;max ~ X ~n p~n;max + 1 ~ p~1;max ~ X ~n p~n;max
2
2
2
n=0
n=0
n=0
i
i
X
X
+ 1 ~2 p~2;max ~ ~n p~n;max + 1 ~3 p~3;max ~ ~n p~n;max
2
2
n=0
n=0
i
X
Xi
+ + 1 ~i;2 p~i;2;max ~ ~n p~n;max + 1 ~i;1 p~i;1;max ~ ~n p~n;max
2
2
n=0
n=0
i
i
+1
X
X
+ 21 ~i p~i;max ~ ~n p~n;max ~n p~n;max
(3.66)
n=0
n=0
34
oder nach Ausklammern
1 1 + ~ p~
2
3
4
i
+1
~
~
~
~
2 0;max + p~1;max + p~2;max + p~3;max + + p~i;max
2
+ 21 ~ p~0;max + ~ p~1;max + ~2 p~2;max + ~3 p~3;max + + ~i p~i;max
2
3
i
i
+1
~
~
~
~
~
p~0;max + p~1;max + p~2;max + p~3;max + + p~i;max + p~i+1;max . (3.67)
Gleichung (3.67) stellt eine Abschatzung fur das Maximum der (i + 1)-sten Partialsumme der Reihe (3.52) dar. Im weiteren wird die i-te Partialsumme mit
2
3
i
~
~
~
~
Pi;max = p~0;max + p~1;max + p~2;max + p~3;max + + p~i;max
(3.68)
abgekurzt. Damit schreibt sich Gl. (3.67) zu
1 1 + ~ P + ~ P 2 P
(3.69)
i;max
i+1;max .
i;max
2
Die durch
1 1 + ~ P^ + ~ P^ 2= P^ mit P^ = 1
(3.70)
i
i+1
0
i
2
2
rekursiv bestimmten Partialsummen P^i sind wegen ~ > 0 groer gleich den Partialsummen Pi;max. Die Fixpunkte der durch Gl. (3.70) bestimmten Folge sind uber die
Gleichung
1 1 + ~ P^ + ~ P^ 2= P^
(3.71)
2
bestimmt. Es ergeben sich die beiden Fixpunkte
q
~
(~ ; 2)2 ; 4~
;
2
.
(3.72)
P^a;b = ; ~ 2
2~
Reelle Fixpunkte existieren, falls (~ ; 2)2 ; 4~ 0, also fur
p
~1;2 4 2 3 .
(3.73)
p
p
Von den beiden Wurzeln ist nur ~1 = 4 ; 2 3 sinnvoll, da ~2 = 4 + 2 3 > 1.
p
Mit ~1 ergibt sich der reelle Fixpunkt P^1 = 12 + 12 3. Es ist oensichtlich,
da
p
p
2
~
fur ~ < 4 ; 2 3 zwei reelle Fixpunkte entstehen, wobei P^a = ; ~2;~2 ; (;22)~ ;4~
positiv und kleiner als P^1 ist. Es bleibt zu zeigen, da die Folge P^i nach Gl. (3.70)
fur ~ ~1 gegen den Fixpunkt P^a konvergiert. Dazu wird gezeigt, da die Folge
35
monoton wachst und nach oben beschrankt ist. Die Monotonie ist oensichtlich.
Zum Beweis der Beschranktheit wird die Folge (3.70) nach oben abgeschatzt:
P^i+1 = 21 1 + ~ P^i + ~ P^i2
1
~
^
2 1 + a Pi .
(3.74)
a ist eine reelle, noch unbekannte Konstante, die anschlieend so bestimmt wird,
da die Abschatzung (3.74) fur alle P^i (i = 0; 1; : : : ; 1) gultig ist. Aus Gl. (3.74)
folgt durch rekursives Einsetzen
^Pi+1 1 1 + a ~ P^i
2
2
12 + 21 a2 ~ + a2 ~2 P^i;1
a 1 a 2
a 3
1
1
2
~
~
2 + 2 2 + 2 2 + 2 ~3P^i;2
...
2
3
i 12 1 + a2 ~ + a2 ~2 + a2 ~3 + + a2 ~i
a i+1
(3.75)
+ 2 ~i+1 P^0 .
Fur n ! 1 folgt die Beziehung
1 a ~ .
(3.76)
P^a P^ = 21
1; 2 Damit ist die Beschranktheit der Folge (3.70) gezeigt, d.h. die Folge (3.70) konvergiert gegen den Fixpunkt P^a. Es verbleibt noch die Bestimmung der Konstanten a.
a wird so bestimmt, da
1 1 + ~ P^ + ~ P^ 2 1 1 + a ~ P^ (i = 0; 1; 2; : : : ; 1)
(3.77)
i
i
i
2
2
erfullt ist. Setzt man in Gl. (3.77) fur P^i den maximalen Wert P^ ein (ein noch
kleinerer Wert fur a wurde sich ergeben, wenn man statt dessen P^a einsetzte), fuhrt
dies auf die quadratische Gleichung
a 2 (a ; 1) 1 ; 2 ~ ; 1 = 0
(3.78)
zur Bestimmung von a. Diese Gleichung hat die relevante Losung
q
~2
~
~
(3.79)
a1 = 2 + ; ~ ; 8 + 4 .
2
36
p
p
Fur ~ = 4 ; 2 3 ergibt sich die doppelte Nullstelle a1 = 3+2 3 . Die Konvergenz der
p
Funktionenreihe (3.52) ist damit bewiesen. Denn fur ~ = j(')j 4 ; 2 3 gilt
1
1
X
X
j i (')ip~i (z)j i j(')ij jp~i(z)j
i=0
i=0
1
X
i j(')i j jp~ (
z2max
f
i z )jg
[;1;1] i=0
1
X
i j(')ij z2max
jp~ (z)j
[;1;1] i
i=0
p
(3.80)
P^a 12 + 23 .
Die Abschatzung (3.75) eignet sich fur eine Restgliedabschatzung der Reihe (3.52).
i
i
Bricht man die Reihe j P1
i=0 (') p~i j nach dem n-ten Glied ab, so gilt fur den
Fehler P
jP j P^ ; P^n+1
1 a ~
= 12
1; 2 a a 2
a 3
a n a n+1
1
2
3
~
~
~
; 2 1 + 2 + 2 + 2 + + 2 ~n ; 2 ~n+1 P^0
a n+1 ~n+1 n+1
~n+1 P^0 mit P^0 = 21 .
(3.81)
= 12 2 a ~ ; a2
1; 2 Eine Abschatzung fur das Restglied der Reihe (3.52) erhalt man einfach, indem P
mit j(')j multipliziert wird.
Das System (3.46) - (3.51) kann vollstandig algebraisiert werden, so da ein matrizielles Rekursionsschema zur Berechnung der Funktionen p~i(z) entsteht. Das Rekursionsschema (3.46) - (3.51) lat erkennen, da alle p~i(z) gerade Funktionen sind und
da p~i (z) Potenzen bis zum Grad 2i + 2 enthalt, d.h.
pi = ai;0 + ai;2z2 + ai;4z4 + + ai;2i+2z2i+2:
Die Produkte p~m p~n lassen sich mit dem ((n + 2) 1)-Vektor
0
1
a
n;
0
BB
C
BB an;2 CCC
pn = BBBB an;4 CCCC ,
BB ... CC
@
A
an;2n+2
37
(3.82)
(3.83)
dem ((m + n + 3) 1)-Vektor
0
BB
BB
z2m+2n+4 = BBBB
BB
@
1
z2
z4
...
z2m+2n+4
1
CC
CC
CC
CC ,
CC
A
und der ((m + n + 3) (n + 2))-Matrix
0
am;0
0
0
0
0 0 0
B
B
am;2
am;0
0
0
0 0 0
B
B
B
B
am;4
am;2
am;0
0
0 0 0
B
B
.
..
B
B
Pm = BB
am;2m+2 am;2m
:::
am;2 am;0 0 0
B
B
B
0
am;2m+2 am;2m : : : am;2 am;0 0
B
B
B
B
0
am;2m+2 am;2m : : : am;2 am;0
@ 0
...
formal als
darstellen. Das Integral
(3.84)
1
0 0 C
0 0 C
CC
CC
0 0 C
CC
CC (3.85)
0 0 C
CC
0 0 C
CC
0 0 C
CA
p~m p~n = (Pm pn)T z2m+2n+4
(3.86)
ZZ
p~i dz dz + c2(i+2)
kann mit der ((i + 3) (i + 2))-Matrix
0 1 1 1
1
1
BB 12 34 56 (2i+1)(2i+2) (2i+3)(2i+4)
BB 112 0 0 0
0
BB 0 1 0 0
0
34
Si = BBB
...
BB
BB 0 0 0
1
0
(2i+1)(2i+2)
@
1
0 0 0
0
(2i+3)(2i+4)
algebraisch auf die Form
ZZ
p~i dz dz = (Si pi)T z2i+4
(3.87)
1
CC
CC
CC
CC
CC
CC
CA
(3.88)
(3.89)
gebracht werden. Durch die erste Zeile der Matrix Si wird die Anpassung an die
Randbedingungen p~i(z = ;1) = p~i (z = 1) = 0 gewahrleistet. Damit lautet die
38
algebraisierte Rekursionsvorschrift gema Gl. (3.51)
ZZ
p~i+1 =
p~i dz dz + c2(i+2) ; 21 (~p0 p~i + p~1 p~i ; 1 + + p~i;1 p~1 + p~i p~0)
1
T
= (Si pi) z2i+4 ; 2 (P0 pi)T z2i+4 + (P1 pi;1)T z2i+4 + T
T
+ (Pi;1 p1) z2i+4 + (Pi p0) z2i+4 . (3.90)
Die Abbildungen 3.5-3.7 zeigen Funktionsverlaufe p('). Variiert wird die Hartmannzahl My , das dimensionslose E -Feld Ez und die Kompressibilitatszahl . Abbildung
3.8 zeigt das gesamte Druckfeld p('; z). Zur Diskussion der Kurven sei auf Abschnitt
3.1.1 verwiesen.
3.2 Axiales eingepragtes Magnetfeld
Nun wird der Fall betrachtet, da das auere eingepragte Magnetfeld axial, d.h. in zRichtung orientiert ist (Abb. 3.9). Vy ist das konstante elektrische Potential zwischen
Lagerschale und Zapfen. Beide werden aus den in Kapitel 2 genannten Grunden
als ideale Leiter angesehen. Eine Dimensionsanalyse der Maxwellschen Gleichung
r E = 0 unter Beachtung der Kontinuitatsgleichung r j = 0 zeigt, da j' jy ,
jz jy , @jy 0, E' Ey , Ez Ey , @ Ey @ Ey und @ Ey @ Ey . Daher
@ y
@'
@ y
@ z
@ y
@
E
@
E
@
j
werden j', jz , E', Ez , @'y , @ zy und @ yy im weiteren vernachlassigt. Mit den
ubrigen Annahmen aus Abschnitt 2.2 ergibt sich die Impulsbilanz in x-Richtung zu
@ p + M j + @ 2u ,
0 = ; @'
(3.91)
z y
@ y2
die Impulsbilanz in z-Richtung zu
B @ p @ 2w
0 = ; D @ z + @ y2
(3.92)
und das Ohmsche Gesetz in y-Richtung zu
jy = Ey ; Mz u .
(3.93)
Unter Beachtung der Randbedingungen u(y = 0) = 1 and u(y = h) = 0 erhalt man
durch eine Integration von Gl. (3.91)
"
#
1
@
p
(3.94)
u = 2 @' ; Mz jy y2 ; h y + (1 ; hy ) .
39
My=2
0.03
My=0.5
p 0.02
My=0
0.01
0
1
2
'
3
4
5
6
–0.01
–0.02
–0.03
Abbildung 3.5: p(') fur verschiedene Hartmannzahlen My ; Parameter: BD = 81 , =
0:3, z = 0, Ez = ;2, = 1.
Nochmalige Integration in y-Richtung gibt den dimensionslosen Durchu
# Zh
3 " @ p
h
q' = udy = ; 12 @' ; Mz jy + h2 .
(3.95)
0
Das Ohmsche Gesetz uber den Spalt integriert liefert
Zh
Zh
Zh
jy dy = Ey dy ; Mz udy ! jy h = ;Vy ; Mz q' .
(3.96)
0
0
0
Gl. (3.95) in Gl. (3.96) eingesetzt fuhrt auf
#
"
3
M
6h
@
p
h
z Vy
+
+
q' = ;
.
h
12 + (Mz h)2 @'
12 + (Mz h )2
40
(3.97)
0.04
Ez=–4
Ez=–2
p
Ez=–1
0.02
Ez=–0.5
0
1
2
'
3
4
5
6
–0.02
–0.04
Abbildung 3.6: p(') fur verschiedene Potentiale Ez ; Parameter:
z = 0, My = 1, = 1.
B
D
= 18 , = 0:3,
Aus Gl. (3.92) folgt durch zweimalige Integration wie in Abschnitt 3.1.1
D @ p
Zh
1
qz = wd
y = ; 12 B @ z h 3 .
0
(3.98)
Die Kontinuitatsgleichung (2.36) liefert unter Verwendung der Hypothese fur schma@ p 0) die Dierentialgleichung zur Bestimmung des Druckfeldes p('; z)
le Lager ( @'
"
#
B 2 12 @ q'
@
@
p
(3.99)
D h 3 @ ' (1 + p) ; @ z (1 + p) @ z = 0
41
0.03
λ=20
λ=5
p
λ=0
0.02
0.01
0
1
2
'
3
4
5
6
–0.01
–0.02
–0.03
Abbildung 3.7: p(') fur verschiedene Kompressibilitatszahlen ; Parameter: DB = 18 ,
= 0:3, z = 0, My = 1, Ez = ;1.
bzw. umgeschrieben
2h
i
(') (1 + p) ; 21 @z2 (1 + p)2 = 0 ,
(3.100)
wobei nach Gl. (3.97)
B 2 72 h12 ; Mz2h2 ; 4Mz Vy h i h 0
(') = D h 3
2
12 + Mz2h 2
folgt.
42
(3.101)
0.02
p
0
–0.02
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
z
0
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
2
3
4
5
'
6
1
Abbildung 3.8: Druckverteilung p('; z); Parameter: DB = 18 , = 0:3, My = 1, Ez =
;1, = 1.
B
Abbildung 3.9: Eingepragtes axiales Magnetfeld
43
3.2.1 Strenge Losung in impliziter Form
Die Dierentialgleichung (3.100) hat dieselbe Struktur wie die Dierentialgleichung
(3.11) in Abschnitt 3.1.1. Es ist in den Gleichungen in Abschnitt 3.1.1 nur (')
durch (') zu ersetzen. Die implizite Losung der Dierentialgleichung (3.100) ist
fur (') < 0 durch die Gleichungen (3.24) sowie (3.25) und fur (') > 0 durch die
Gleichungen (3.30) und (3.31) gegeben.
Die Abbildungen 3.10 - 3.12 zeigen Kurven vom Typ p('; z = const). In Abb. 3.10
sind Losungskurven fur verschiedene Hartmannzahlen Mz dargestellt. Fur Mz < 10
ist bei Erhohung des B -Feldes eine Druckerhohung zu beobachten. Fur Mz > 10
sinkt der Druck bei weiterer Vergroerung des B -Feldes ab. Folglich gibt es eine optimale Hartmannzahl Mz fur maximale Druckentwicklung. Ursache dafur ist wie im
Fall des eingepragten radialen B -Feldes (Abschnitt 3.1.1) die Zunahme der induzierten Strome bei steigender Hartmannzahl und die damit verbundene Richtungsumkehr der Lorentz-Kraft. Abb. 3.11 zeigt Kurven fur unterschiedliche Potentiale Vy .
Hier zeigt sich wie im Fall des eingepragten radialen Magnetfeldes, da eine stetige
Erhohung des E -Feldes zu einer stetigen Erhohung des Druckes fuhrt. In Abb. 3.12
sind Kurven fur verschiedene Kompressibilitatszahlen zu sehen. Es zeigt sich, da
der Druck mit wachsendem steigt. Der Zuwachs bei Werten von > 5 ist aber
gering. Die Drucksteigerung durch Anbringen externer B - und E -Felder ist im Falle
des axialen B -Feldes erkennbar groer als im Falle des radialen B -Feldes.
3.2.2 Explizite Reihendarstellung
Eine explizite Darstellung der Losung von Gl. (3.100) in Form einer Funktionenreihe
analog zu Abschnitt 3.1.2 kann wieder durch Ersetzen von (') durch (') in den
entsprechenden Gleichungen in Abschnitt 3.1.2 gewonnen werden. Die Abbildungen
3.13 - 3.15 zeigen Druckverlaufe p(') fur verschiedende Parameterkonstellationen.
3.3 Toroidales eingepragtes Magnetfeld
Das konstante auere Magnetfeld sei nun toroidal orientiert (Abb. 3.16). Lagerschale
44
1
0.8
0.6
Z
Mz=0
Mz=1
0.4
Mz=5
Mz=10
0.2
Mz=20
0
2
4
6
8
10
P
Abbildung 3.10: z(p) fur verschiedene Hartmannzahlen Mz ; Parameter:
= 0:9, ' = 0:93 , Vy = ;2, = 1.
45
B
D
= 18 ,
1
0.8
0.6
Z
Vy=0
0.4
Vy=–1
Vy=–5
0.2
Vy=–10
Vy=–20
0
5
10
15
20
P
Abbildung 3.11: z(p) fur verschiedene Potentiale Vy ; Parameter:
' = 0:93 , Mz = 2, = 1.
46
B
D
= 81 , = 0:9,
1
0.8
0.6
Z
λ=0.1
λ=0.5
0.4
λ=1
λ=5
0.2
λ=20
0
2
4
6
8
10
P
Abbildung 3.12: z(p) fur verschiedene Kompressibilitatszahlen ; Parameter: DB = 18 ,
= 0:9, ' = 0:93 , Mz = 2, Vy = ;2.
47
0.03
Mz=2
Mz=0.5
p
0.02
Mz=0
0.01
0
1
2
'
3
4
5
6
–0.01
–0.02
–0.03
Abbildung 3.13: p(') fur verschiedene Hartmannzahlen Mz ; Parameter:
= 0:3, z = 0, Vy = ;2, = 1.
B
D
= 18 ,
und -zapfen werden als ideale Leiter angesehen, zwischen denen das konstante Potential Vy angelegt wird (vgl. Abschnitt 2.2). Mit den Annahmen aus Abschnitt 2.2
und Abschnitt 3.2 lautet die Impulsbilanz in x-Richtung
@ p + @ 2u ,
(3.102)
0 = ; @'
@ y2
die Impulsbilanz in z-Richtung
B @ p
2
0 = ; D @ z ; M' jy + @@ yw2
(3.103)
und das Ohmsche Gesetz in y-Richtung
jy = Ey + M' w .
(3.104)
48
Vy=–4
0.04
Vy=–2
p
Vy=–1
0.02
Vy=–0.5
0
1
2
'
3
4
5
6
–0.02
–0.04
Abbildung 3.14: p(') fur verschiedene Potentiale Vy ; Parameter:
z = 0, Mz = 1, = 1.
B
D
= 18 , = 0:3,
Integriert man Gl. (3.102) unter Beachtung der entsprechenden Randbedingungen
in y-Richtung, erhalt man
@ p y2 ; h y + (1 ; y ) .
u = 21 @'
(3.105)
h
Gl. (3.103) integriert liefert
" #
D
@
p
1
(3.106)
w = 2 B @ z + M' jy y2 ; h y .
Der dimensionslose Durchu in Umfangsrichtung ist damit
Zh
h 3 @ p + h
q' = u dy = ; 12
(3.107)
@'
2
0
49
λ=20
λ=5
λ=0
0.02
p
0.01
0
1
2
'
3
4
5
6
–0.01
–0.02
Abbildung 3.15: p(') fur verschiedene Kompressibilitatszahlen ; Parameter: DB = 18 ,
= 0:3, z = 0, Mz = 1, Vy = ;1.
und in axialer Richtung
#
3 " D @ p
h
qz = w dy = ; 12 B @ z + M' jy .
0
Wird das Ohmsche Gesetz uber den Spalt integriert, ergibt sich
Zh
Zh
Zh
jy dy = Ey dy + M' wd
y ! jy h = ;Vy + M'qz .
0
0
Zh
0
Setzt man Gl. (3.109) in (3.108) ein, erhalt man
" #
3
D
h
@
p
M
' Vy
qz = ;
; h .
12 + (M' h)2 B @ z
50
(3.108)
(3.109)
(3.110)
B
Abbildung 3.16: Eingepragtes toroidales Magnetfeld
Mit q' aus Gl. (3.107) und qz aus Gl. (3.110) folgt aus der Kontinuitatsgleichung
@ p = 0 die Dierentialgleichung fur das Druckfeld
(2.36) mit @'
"
#
@
@
@
p
(') (1 + p) + (') @ z (1 + p) ; @ z (1 + p) @ z = 0
(3.111)
mit
B 2 h12 + (M'h )2i h0
B M'Vy
(') = D
und (') = D h .
2h3
Die Randbedingungen sind wieder p(z = ;1) = p(z = 1) = 0.
(3.112)
3.3.1 Explizite Reihendarstellung
Das nichtlineare Randwertproblem (3.111) ist streng nicht losbar. Wie in Abschnitt
3.1.2 wird eine Reihenlosung uber einen Storungsansatz entwickelt. Dazu wird (3.111)
durch zweimalige Integration zunachst in eine Integralgleichung uberfuhrt. Eine erste Integration von Gl. (3.111) liefert
Z
(3.113)
(') (1 + p) dz + (') (1 + p) + c1(') ; (1 + p) @@zp = 0 .
Nochmalige Integration fuhrt auf
ZZ
Z
(')
(1 + p) dz dz + (') (1 + p) dz + c1(') z + c2(')
Z
; (1 + p) @@ pz dz = 0 .
(3.114)
|
{z 2 }
1
2
(1+p)
51
Durch Produktintegration wird das letzte Integral direkt berechnet. Die Druckfunktion p('; z) sowie die Integrationsfunktionen c1(') und c2(') werden wieder im Sinne
eines Storungsansatzes nach Potenzen in entwickelt:
p = p0 + p1 + 2p2 + ,
c1 = c10 + c11 + 2c12 + ,
c2 = c20 + c21 + 2c22 + .
(3.115)
(3.116)
(3.117)
Dieser Reihenansatz in Gl. (3.114) eingesetzt liefert
ZZ
2 (') ( + 2p0 + 3p1 + 4 p2 + ) dz dz
Z
+2 (') ( + 2p0 + 3p1 + 4p2 + ) dz
+(c10 + c11 + 2c12 + ) z + (c20 + c21 + 2 c22 + )
;(1 + p0 + 2p1 + 3 p2 + )2 = 0 .
(3.118)
Die Integrationsfunktionen c1i(') (i = 1; 2; 3 : : :) sind im Gegensatz zu Abschnitt
3.1.2 nicht notwendigerweise null. Dadurch geht die Symmetrie des Problems verloren. Ordnen nach Potenzen von ergibt das rekursive Integralgleichungsschema
0:
c10 z + c20 ; 1 = 0 ,
1:
(')
2:
(')
3 :
(')
4 :
(')
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
Z
1 dz dz + (') 1 dz + c11 z + c21 = p0 ,
Z
p0 dz dz + (') p0 dz + c12 z + c22 ; 21 p20 = p1 ,
(3.119)
(3.120)
(3.121)
Z
p1 dz dz + (') p1 dz + c13 z + c23 ; 12 (p0 p1 + p1 p0 ) = p2 , (3.122)
Z
p2 dz dz + (') p2 dz + c14 z + c24 ; 21 (p0 p2 + p1 p1 + p2 p0) = p3 (3.123)
...
52
und allgemein
i+2 :
Z
pi dz dz + (') pi dz + c1(i+2) z + c2(i+2)
; 12 (p0 pi + p1 pi;1 + + pi;1 p1 + pi p0) = pi+1 . (3.124)
Das Randwertproblem (3.111) hat die Reihenlosung
1
X
p('; z) = i pi ('; z) .
(3.125)
(')
ZZ
i=0
Die Konvergenz dieser Funktionenreihe wird gezeigt, eine Restgliedabschatzung wird
durchgefuhrt.
Hilfssatz 2:
Sei h(z) 2 C 1(z 2 R) eine ungerade Funktion mit h(z = ;1) = h(z = 1) = 0. Die
Funktion F (z), deniert uber
ZZ
F (z) =
h(z) dz dz + c1 z + c2 (c1; c2 = const) ,
(3.126)
erfulle die Randbedingungen F (z = ;1) = F (z = 1) = 0. Dann ist c2 = 0 und F (z)
eine ungerade Funktion, und es gilt die Abschatzung
jF (z)j 21 maxfjh(z)jg , 8z 2 [;1; 1] .
(3.127)
Beweis:
Da F (z) ungerade ist und F (z = 0) = F (z = 1) = 0 existert eine Stelle z0 2 [0; 1]
mit @F@z(z) z=z0 = 0. Daher folgt
jF 0(z)j maxfjh(z)jg , 8z 2 [;1; 1] .
Da F (z = 1) = 0, gilt
(
1 1
jF (z)j maxfjh(z)jg jzj 8z 2 [; 2 ; 2 ] 1
maxfjh(z)jg (1 ; jzj) 8jzj 2 [ 2 ; 1]
(3.128)
(3.129)
und daher die Behauptung (3.127).
Hilfssatz 3:
Sei h(z) 2 C 1(z 2 R) eine ungerade Funktion mit h(z = ;1) = h(z = 1) = 0. Die
Funktion F (z), deniert uber
Z
F (z) = h(z) dz + c1 z + c2 (c1; c2 = const) ,
(3.130)
53
erfulle die Randbedingungen F (z = ;1) = F (z = 1) = 0. Dann ist c1 = 0 und F (z)
eine gerade Funktion, und es gilt die Abschatzung
jF (z)j maxfjh(z)jg , 8z 2 [;1; 1] .
(3.131)
Beweis:
Da jF 0(z)j maxfjh(z)jg und F (z = ;1) = F (z = 1) = 0 ist, gilt
jF (z)j maxfjh(z)jg (1 ; jzj) , 8z 2 [;1; 1]
(3.132)
und daher die Behauptung (3.131).
Hilfssatz 4:
Sei h(z) 2 C 1(z 2 R) eine gerade Funktion mit h(z = ;1) = h(z = 1) = 0. Die
Funktion F (z), deniert uber
Z
F (z) = h(z) dz + c1 z + c2 (c1; c2 = const) ,
(3.133)
erfulle die Randbedingungen F (z = ;1) = F (z = 1) = 0. Dann ist c2 = 0 und F (z)
eine ungerade Funktion, und es gilt die Abschatzung
(3.134)
jF (z)j 21 maxfjh(z)jg , 8z 2 [;1; 1] .
Beweis:
Da F (z = 0) = 0, ist
jF (z)j maxfjh(z)jg jzj .
(3.135)
Da auerdem F (z = 1) = 0 sein mu, gilt
(
maxfjh(z)jg jzj 8z 2 [; 12 ; 12 ]
(3.136)
jF (z)j maxfjh(z)jg (1 ; jzj) 8jzj 2 [ 21 ; 1]
und daher die Behauptung (3.134).
Satz 2:
i
Die Reihe P1
p i=0 pi ('; z) konvergiert absolut, falls ~ (') = (j(')j + 2 j (')j) 4 ; 2 3. Bei Abbruch der Reihe nach dem n-ten Glied gilt die Restgliedabschatzung
a n+1
~ (')n+1n+1 1 a n+1
~
(
'
)
2
a
(3.137)
jyj 2
; 2 2 ~ (')n+2n+1
1 ; 2 ~ (')
q
2 + ~ (') ; 2~(')2 ; 8 ~ (') + 4
mit a =
.
(3.138)
2 ~ (')
54
Beweis:
Analog zu Abschnitt 3.1.2 wird eine Majorante zur Reihe (3.125) gebildet. Die Dreiecksungleichung liefert zunachst
ZZ
Z
pi+1 (z) = (') pi (z) dz dz + (') pi(z) dz + c1(i+2) z + c2(i+2)
h
; 12 p0(z) pi(z) + p1(z) pi;1 (z) + i
+pi;1(z) p1 (z) + pi (z) p0(z) Z Z
Z
(') pi (z) dz dz + (') pi(z) dz + c1(i+2) z + c2(i+2)
h
+ 12 jp0 (z)j jpi (z)j + jp1(z)j jpi;1(z)j + +jpi;1(z)j jp1(z)j + jpi(z)j jp0(z)j
( Z Z
Z
(') pi (z) dz dz + (') pi(z) dz + c1(i+2) z + c2(i+2)
z2max
[;1;1]
+ 21 jp0(z)j jpi(z)j + jp1(z)j jpi;1 (z)j + )
+jpi;1(z)j jp1(z)j + jpi(z)j jp0(z)j
( Z Z
)
Z
(') pi (z) dz dz + (') pi(z) dz + c1(i+2) z + c2(i+2)
z2max
[;1;1] (
1
+ z2max
2 [;1;1] jp0(z)j jpi (z)j + jp1(z)j jpi;1 (z)j +) +jpi;1(z)j jp1(z)j + jpi(z)j jp0(z)j . (3.139)
Unter Verwendung der Abkurzung pi;max = maxz2[;1;1]fjpi (z)jg und mit den Hilfssatzen
1-4 folgt mit der Abschatzung (3.139)
1:
1 (j (')j + 2 j(')j) p
z) ,
(3.140)
0;max p0 (
2
2:
1 (j (')j + 2 j(')j) p
z) , (3.141)
0;max + p0;max p0;max p1;max p1 (
2
3:
1 2(j (')j + 2 j(')j) p
1;max + p0;max p1;max + p1;max p0;max
2
2p2;max 2p2(z) ,
(3.142)
55
4:
und
i+2 :
1 3(j (')j + 2 j(')j) p
2;max + p0;max p2;max + p1;max p1;max + p2;max p0;max
2
3p3;max 3p3(z) (3.143)
...
1 i+1(j (')j + 2 j(')j) p + p
i;max
0;max pi;max + p1;max pi;1;max + 2
+pi;1;max p1;max + pi;max p0;max i+1pi+1;max i+1 pi+1 (z) . (3.144)
Werden die ersten i + 2 Gleichungen aufaddiert, so folgt nach einer geeigneten Zusammenfassung von Termen die Ungleichung
1 (j (')j + 2 j(')j) 1 + p
2
3
i
+1
pi;max
0;max + p1;max + p2;max + + 2
1
2
3
4
i
+1
+ 2 p0;max p0;max + p1;max + p2;max + p3;max + + pi;max
+ 12 p1;max p0;max + 2 p1;max + 3 p2;max + 4 p3;max + + i pi;1;max
+ 12 2 p2;max p0;max + 2 p1;max + 3 p2;max + 4 p3;max + + i;1 pi;2;max
1
3
2
3
4
i
;
2
+ 2 p3;max p0;max + p1;max + p2;max + p3;max + + pi;3;max
+
+ 1 i;2 pi;2;max p0;max + 2 p1;max + 3 p2;max
2
1
i
;
1
2
+ 2 pi;1;max p0;max + p1;max
1
i
+ 2 pi;max p0;max
1
2
3
i
i
+1
p0;max + p1;max + p2;max + p3;max + + pi;max + pi+1;max .(3.145)
Wie in Abschnitt 3.1.2 werden nun in den eckigen Klammern auf der linken Seite von Gl. (3.145) positive Terme dazu addiert. Dadurch erhalt man nach einigen
Umformungen
1 (j (')j + 2 j(')j) 1 + p
2
3
i
+1
pi;max
0;max + p1;max + p2;max + + 2 2
+ 21 p0;max + p1;max + 2 p2;max + 3 p3;max + + i pi;max
1
2
3
i
i
+1
p0;max + p1;max + p2;max + p3;max + + pi;max pi+1;max .(3.146)
56
Diese Gleichung erlaubt die rekursive Abschatzung der Partialsummen der Reihe
(3.125). Zur Abkurzung wird
2
3
i
Pi;max = p0;max + p1;max + p2;max + p3;max + + pi;max
(3.147)
eingefuhrt. Gl. (3.146) lautet damit
1 (j (')j + 2 j(')j) (1 + P ) + P 2 P
(3.148)
i;max
i+1;max .
i;max
2
Wird das -Zeichen durch ein =-Zeichen ersetzt, dann sind die durch
1 (j (')j + 2 j(')j) 1 + P^ + P^ 2= P^ mit P^ = 1 (j (')j + 2 j(')j)
i
i+1
0
i
2
2
(3.149)
denierten Partialsummen P^i groer gleich den Partialsummen Pi;max. Konvergiert
die Folge (3.149), sind die Partialsummen Pi;max beschrankt und die Reihe (3.125)
konvergiert. Zum Konvergenzbeweis der Folge (3.149) werden deren Fixpunkte bestimmt. Anschlieend wird gezeigt, da die Folge gegen einen der Fixpunkte konvergiert. Nach Gl. (3.149) lautet die Bestimmungsgleichung fur die Fixpunkte
1 (j (')j + 2 j(')j) 1 + P^ + P^ 2= P^ .
(3.150)
2
Diese quadratische Gleichung liefert mit der Abkurzung ~(') = (j (')j + 2 j(')j)
die beiden Fixpunkte
q
(~(') ; 2)2 ; 4~ (')
~
(
'
)
;
2
.
(3.151)
P^a;b = ; 2 2
Diese sind reell, wenn (~ (') ; 2)2 ; 4~ (') 0, also falls
p
1;2 4 ~ (2') 3 .
(3.152)
p
4;2 3
Da 2 > 1, ist aus Konvergenzgr
1 pu3nden
nur 1 = ~(') < 1 pbrauchbar. 1 liefert
den reellen Fixpunkt P^1 = 2 + 2 ~ ('). Fur ~ (') < 4 ; 2 3 ergeben sich zwei
reelle Fixpunkte, von denen nur
q
(~ (') ; 2)2 ; 4~ (')
~
(
'
)
;
2
(3.153)
P^a = ; 2 ;
2
positiv und kleiner P^1 ist. Zum Beweis, da die Folge P^i gegen den Fixpunkt P^a
konvergiert, wird gezeigt, da die Folge monoton wachst und nach oben beschrankt
57
ist. Da ~ (') > 0, ist die Monotonie oensichtlich. Zum Beweis der Beschranktheit
wird die Folge nach oben abgeschatzt:
P^i+1 = 21 ~(') (1 + ) P^i + P^i2
1
^
2 ~(') 1 + a Pi .
(3.154)
Die reelle Konstante a wird so bestimmt, da Gl. (3.154) fur alle P^i (i = 0; 1; 2; : : : ; 1)
erfullt ist. Wiederholte Anwendung der Abschatzung (3.154) liefert die Ungleichung
(vgl. Gl. (3.75))
2
3
P^i+1 ~(2') 1 + a2 ~ (') + a2 ~(')22 + a2 ~(')33 + a i
a i+1
i
i
+ 2 ~ (') + 2 ~ (')i+1i+1 P^0 .
(3.155)
Der Grenzubergang n ! 1 ergibt
~a(')
P^a P^ = 12
.
(3.156)
1 ; 2 ~ (')
Schlielich wird noch die Konstante a berechnet. Nach Gl. (3.154) mu a so bestimmt
werden, da
1 ~ (') 1 + P^ + P^ 2 1 ~ (')1 + a P^ (i = 0; 1; 2; : : : ; 1) (3.157)
i
i
i
2
2
erfullt ist. Da P^i < P^a < P^ , ist die letzte Gleichung sicher erfullt, wenn P^i durch P^ ersetzt wird. Dies ergibt als Bestimmungsgleichung fur a die quadratische Gleichung
2 (a ; 1) 1 ; a2 ~(') ; 1 = 0 .
(3.158)
Es ist leicht einzusehen, da von den beiden Wurzeln dieser Gleichung nur
q
2 + ~ (') ; 2~ (')2 ; 8 ~ (') + 4
(3.159)
a1 =
2 ~ (')
p
p
sinnvoll ist. Fur ~(') = 4;2 3 erhalt man die doppelte Nullstelle a1 = a2 = 3+2 3 .
p
Fur ~ (') 4 ; 2 3 gilt nun die Abschatzung
1
1
X
X
j i pi(z)j i jpi(z)j
i=0
i=0
1
X
z2max
f
i jpi (z)jg
[;1;1] i=0
1
X
i z2max
jp (z)j
[;1;1] i
i=0
p!
1
P^a 2 + 23 ~(') .
(3.160)
58
Die Konvergenz der Reihe (3.125) ist damit gezeigt. Mit Gl. (3.155) kann leicht eine
Formel fur das Restglied der Reihe (3.125) konstruiert werden. Fur den Fehler y
bei Abbruch der Reihe (3.125) nach dem n-ten Glied gilt die Abschatzung
jyj P^ ; P^n+1
~a(')
= 1
2 1 ; 2 ~ (')
a
a 2
a 3
~
(
'
)
2
2
; 2 1 + 2 ~ (') + 2 ~(') + 2 ~(')33 + a i
a i+1
i
i
+ 2 ~ (') ; 2 ~ (')i+1i+1 P^0
a n+1
~ (')n+1n+1 a n+1
~
(
'
)
2
=
; 2 ~(')n+1 n+1 P^0 .
(3.161)
2
1 ; a2 ~ (')
Fur das Konvergenzverhalten der Reihe (3.125) ist ahnlich wie in Abschnitt 3.1.2
nicht der Storungsparameter entscheidend, sondern das Produkt (j(')j + 2 j (')j).
Das heit, es sind auch konvergente Losungen fur > 1 realisierbar.
Die Abbildungen 3.17-3.21 zeigen Funktionsverlaufe p(' = const; z) und p('; z =
const). Variiert werden wie zuvor die Hartmannzahl M', das dimensionslose Potential Vy und die Kompressibilitatszahl . Zu erkennen ist, da der Druck fur wachsende Hartmannzahlen M' kontinuierlich zunimmt. Fur M' = 4 steigt der Druck
gegenuber M' = 0 um ca. 100 %. Im Gegensatz zu den Fallen radiales und axiales
eingepragtes B -Feld fuhrt hier eine kontinuierliche Erhohung des B -Feldes zu einer
kontinuierlichen Erhohung des Druckes. Auerdem ist zu erkennen, da der Einu
der Kompressibilitatszahl sehr gering ist. Der quantitative Einu des Potentials
Vy auf den Druck ist im Gegensatz zu Abschnitt 3.1 und 3.2 ebenfalls gering. Das
Potential Vy bewirkt eine zusatzlich Stromung in axialer Richtung, die wenig Einu
aus den Druckverlauf hat. Aus den Abbildungen 3.17-3.19 wird ersichtlich, da durch
Anlegen eines Potentials die Symmetrie der Stromung zur x-y-Ebene verloren geht.
Es kommt zu einer leichten Schiefstellung der Kurven. In Abschnitt 4.3 wird gezeigt,
da Vy im inkompressiblen Fall (unter den getroenen Annahmen) uberhaupt keinen
Einu auf den Druckverlauf hat.
59
p
0.025
Mphi=3
0.02
Mphi=2
0.015
Mphi=1
Mphi=0
0.01
0.005
–1
–0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
z
Abbildung 3.17: Druckverteilung p(z) fur verschiedene Hartmannzahlen M'; Parameter: DB = 81 , = 0:3, ' = 2 , Vy = ;3 = 0:5.
60
0.02
p
0.018
0.016
Vy=0
Vy=–1
Vy=–4
0.014
0.012
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
–1
–0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
z
Abbildung 3.18: Druckverteilung p(z) fur verschiedene Potentiale Vy ; Parameter:
B
1
D = 8 , = 0:3, ' = 2 , M' = 2, = 0:5.
61
0.016
p
0.014
λ=0
0.012
λ=2
λ=3
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
–1
–0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
z
Abbildung 3.19: p(z) fur verschiedene Kompressibilitatszahlen ; Parameter: DB = 18 ,
= 0:3, ' = 2 , M' = 0:5, Vy = ;4.
62
Mphi=4
0.04
Mphi=2
p 0.02
Mphi=1
Mphi=0
0
1
2
'
3
4
5
6
–0.02
–0.04
Abbildung 3.20: p(') fur verschiedene Hartmannzahlen M' ; Parameter:
= 0:3, z = 0, Vy = ;2, = 1.
63
B
D
= 18 ,
λ=5
0.02
λ=0
p
0.01
0
1
2
'
3
4
5
6
–0.01
–0.02
Abbildung 3.21: p(') fur verschiedene Kompressibilitatszahlen ; Parameter: DB = 18 ,
= 0:3, z = 0, M' = 1, Vy = ;1.
64
0.02
p
0
–0.02
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
z
0
1
2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
3
4
'
5
1
6
Abbildung 3.22: Druckverteilung p('; z); Parameter:
Vy = ;1 = 1.
65
B
D
= 81 , = 0:3, M' = 1,
Kapitel 4
Inkompressible Stromung
In diesem Kapitel wird die inkompressible (magnetohydrodynamische) Stromung
im unendlich schmalen Lager untersucht. Im Vordergrund steht die Berechnung der
Sommerfeldzahlen der Drehung und der Verdrangung, die fur die Stabilitatsanalyse
eines in zwei schmalen MHD-Lagern gelagerten Laval-Rotors benotigt werden. Die
inkompressible Stromung kann als Grenzfall der kompressiblen Stromung aufgefat
werden. Der Druckverlauf der inkompressiblen Stromung ergibt sich aus den entsprechenden Gleichungen des vorangehenden Kapitels, indem der Grenzwert ! 0
gebildet bzw. = 0 gesetzt wird.
4.1 Radiales eingepragtes Magnetfeld
4.1.1 Sommerfeldzahl der Drehung
Fur = 0 folgt aus Gl. (3.52) und Gl. (3.47) unter Beachtung der Randbedingungen
p(z = 1) = p(z = ;1) = 0
ZZ
p = p0 = (')
1 dz dz + c21 = (')(z2 ; 1) .
(4.1)
66
Zur Berechnung der Sommerfeldzahl werden die radiale und die tangentiale Koordinate der resultierenden Auftriebskraft gema
Z Z1
Z Z1
1
1
S' = 4
p sin(') dz d' , Sr = 4
p cos(') dz d'
(4.2)
0 ;1
0 ;1
gebildet. Mit (') nach Gl. (3.12) entstehen Integrale, die analytisch nicht integriert werden konnen. Um dennoch geschlossene Losungen zu erhalten, werden
Naherungslosungen fur kleine und sehr groe Hartmannzahlen hergeleitet. Fur kleine Hartmannzahlen wird die Funktion (') bezuglich des Parameters My bis zum
kubischen Glied in eine Taylorreihe entwickelt. Es ergibt sich dann als Naherung
B 2 12 h0 1 1
1
1
2
2
2
3
4
(') D h 3 2 ; 4 My Ez h ; 8 My h + 24 My Ez h .
(4.3)
Fur groe Hartmannzahlen liefert eine Grenzwertbetrachtung mit Gl. (3.12)
B 2 12Ez h 0
(') ; D M h3 .
(4.4)
y
Die Koordinaten der dimensionslosen Auftriebskraft ergeben sich fur kleine Hartmannzahlen My zu
"
B 2
1
2 + (6M 2 + 12M E ) 1 ; 2 2
S' 24 D
12
y
z
3
y
(1 ; 2) 2
2 32 #
3
2
2
,
(4.5)
+(;12My Ez + My Ez ; 6My ) 1 ; "
B 2
1
1
;
723
Sr 36 D
2
2
(1 ; )
2 (1 ; )
+(18My Ez + 9My2) 1 ; 2 ln (1
+ ) #
2
+(2My3Ez 2 ; 18My2 ; 36My Ez ) 1 ; 2 . (4.6)
Fur groe Hartmannzahlen My folgt
B 2 Ez B 2 Ez 2
S' D M
Sr ; 4 D M
(4.7)
3 ,
2 .
y (1 ; 2 ) 2
y (1 ; 2 )
q
Somit sind die Sommerfeldzahl SD (; My ; Ez ;DB ) = S'2 + Sr2 und der Wellenverlagerungswinkel (; My; Ez ; DB ) = arctan SS'r als Funktion der Systemparameter
bestimmt. Die Abbildungen 4.1 und 4.2 zeigen den Verlauf der Sommerfeldzahl SD
67
0.4
SD
0.3
0.2
My=1
0.1
My=0.7
My=0.3
My=0
0
0.2
0.4
ε
0.6
0.8
Abbildung 4.1: Sommerfeldzahl SD fur kleine Hartmannzahlen My bei eingepragtem
radialen B -Feld mit Ez = ;2, DB = 14 .
uber der Exzentrizitat fur unterschiedliche Hartmannzahlen My mit Ez = ;2 und
B
1
D = 4 . Fur kleine Hartmannzahlen My ergibt sich nur eine geringe Erhohung der
Tragfahigkeit. Bei groen Hartmannzahlen tritt der gegenteilige Eekt ein, der resultierende Auftrieb wird reduziert und verschwindet fur My ! 1. Die physikalische
Ursache dieses Verhaltens wurde bereits in Abschnitt 3.1.1 fur den kompressiblen
Fall erlautert. Das Absenken des Auftriebes fur My ! 1 ist beim unendlich breiten
Lager nicht zu beobachten [19, 26, 29]. Fur My ! 0 ergeben sich im ubrigen die
Formeln der konventionellen Lagertheorie [13, 38].
68
20
SD
18
16
14
12
10
8
6
4
My=10
My=20
2
0 0.6 0.64 0.68 0.72 0.76
My=40
My=100
0.8 0.84 0.88 0.92 0.96
ε
Abbildung 4.2: Sommerfeldzahl SD fur groe Hartmannzahlen My bei eingepragtem
radialen B -Feld mit Ez = ;2, DB = 14 .
69
4.1.2 Sommerfeldzahl der Verdrangung
Die Dierentialgleichung fur die Verdrangungsbewegung ergibt sich aus Gl. (2.36)
zu
2
3
D @ 6Zh
75 + 1 @ h = 0 .
(4.8)
(
w
)
d
y
4
B @ z
! @t
Mit qz nach Gl. (3.8) folgt
0
@ 2p = 12 B 2 h_ .
(4.9)
@ z2 ! D h3
Mit @@th = _ cos ' liefert eine Integration unter Beachtung der Randbedingungen
p(z = 1) = p(z = ;1) = 0
B 2 cos '
_
p = 6 ! D h 3 (z2 ; 1) .
(4.10)
Fur _ > 0, also Verdrangung in den engen Spalt, ergibt sich die Sommerfeldzahl der
Verdrangung SV zu
Z 32 Z1
1
!
+
SV = 4 _ p cos(') dz d'
2 ;1
0
13
s
B 2 2 3 q
1
;
4
4 (1 ; 2) + (1 + 22) @ ; arctan
A5 , (4.11)
= ;
5
2
D
2
2
1
+
2
(1 ; )
und fur _ < 0, also Verdrangung in den weiten Spalt, folgt
Z 52 Z1
!
1
;
SV = 4 _ 3 p cos(') dz d'
2 ;1
3
s
B 2 2 ;3 q
1
;
4
4
=
(1 ; 2) + (1 + 22) arctan 1 + 5 . (4.12)
5
2
D
2
2
(1 ; )
Wie man sieht, hat weder My noch Ez Einu auf die Druckentwicklung. Durch
die Verdrangungsbewegung wird beim schmalen Lager nur ein Durchu in axialer
Richtung erzeugt. Durch das radiale B -Feld und das axiale E -Feld wirken aber keine
Lorentz-Krafte in axialer Richtung, so da die aueren Felder die Stromung in zRichtung und somit den Druckaufbau nicht beeinussen.
70
4.2 Axiales eingepragtes Magnetfeld
4.2.1 Sommerfeldzahl der Drehung
Fur = 0 folgt aus Gl. (3.52) nach Ersetzen von (') durch (') unter Beachtung
der Randbedingungen p(z = 1) = p(z = ;1) = 0
ZZ
p = p0 = (') 1 dz dz + c21 = (')(z2 ; 1) .
(4.13)
Mit (') nach Gl. (3.101) entstehen wie im letzten Abschnitt Integrale, die analytisch nicht berechnet werden konnen. Um geschlossene Losungen zu erhalten, wird
eine Naherungslosung fur kleine Hartmannzahlen hergeleitet. Fur kleine Hartmannzahlen wird die Funktion (') bezuglich des Parameters Mz bis zum quadratischen
Glied in eine Taylorreihe entwickelt. Es ergibt sich dann unter Beachtung von @@'Vy 0
(vgl. Abschnitt 3.2.1) als Naherung
B 2 12 h 0 1 1
1 M 2 h2 .
;
V
M
h
;
(4.14)
(') = D
h3 2 6 y z 8 z
Fur groe Hartmannzahlen zeigt eine Grenzwertbetrachtung, da limMz !1 (') =
0, was bedeutet, da der Auftrieb fur groe Hartmannzahlen verschwindet. Die Komponenten der dimensionslosen Auftriebskraft ergeben sich mit Gl. (4.14) fur kleine
Hartmannzahlen Mz zu
"
B 2
2
1
2
2
S' = 12 D
3 6 + (3Mz ; 4Vy Mz ) 1 ; (1 ; 2) 2
#
3
2
(4.15)
;(3Mz2 ; 4Vy Mz ) 1 ; 2 ,
"
B 2
1
1
3 + (3M 2 ; 4V M ) 1 ; 2 2 ln (1 ; )
Sr = ; 12 D
24
y
z
z
2
(1 + )
(1 ; 2)
#
2
+6Mz2 1 ; 2 ; 8Vy Mz 1 ; 2 .
(4.16)
q
Damit konnen die Sommerfeldzahl SD (; M z ; Vy ; BD ) = S'2 + Sr2 und der Wellenverlagerungswinkel (; Mz ; Vy ; DB ) = arctan SS'r berechnet werden. In Abbildung 4.3
ist die Sommerfeldzahl uber der Exzentrizitat fur unterschiedliche Hartmannzahlen
Mz mit Vy = ;4 und DB = 41 aufgetragen. Man sieht, da der Einu der Hartmannzahl auf die Tragfahigkeit gering ist. Das Verschwinden des Auftriebes fur Mz ! 1
ist beim unendlich breiten Lager nicht zu beobachten [19].
71
4
SD
3
2
Mz=3
1
Mz=2
Mz=1
Mz=0
0
0.2
0.4
ε
0.6
0.8
Abbildung 4.3: Sommerfeldzahl SD fur kleine Hartmannzahlen Mz bei eingepragtem
axialen B -Feld mit Vy = ;4, DB = 14 .
72
4.2.2 Sommerfeldzahl der Verdrangung
Es ergeben sich dieselben Gleichungen wie in Abschnitt 4.1.2.
4.3 Toroidales eingepragtes Magnetfeld
4.3.1 Sommerfeldzahl der Drehung
Mit Gl. (3.125) und Gl. (3.120) folgt fur = 0 unter Beachtung von p(z = 1) =
p(z = ;1) = 0 das Druckfeld
ZZ
Z
p = p0 = (')
1 dz dz + (') 1 dz + c11 z + c21 = (')(z2 ; 1) . (4.17)
Mit (') nach Gl. (3.112) lauten die Komponenten der dimensionslosen Auftriebskraft fur beliebige Hartmannzahlen M'
3 1 B 2
2 + M 2 1 ; 2 2 ; M 2 1 ; 2 2 , (4.18)
S' = ; 12
;
6
'
'
D (1 ; 2) 23
B 2 1 "
1
3 + 2M 2 1 ; 2 2
;
24
Sr = 12 D
'
(1 ; 2)2
2 (1 ; ) #
2
+M' 1 ; ln (1 + ) ,
(4.19)
q
so da die Sommerfeldzahl SD (; M'; DB ) = S'2 + Sr2 und der Wellenverlagerungswinkel (; M'; DB ) = arctan SS'r in Abhangigkeit der Systemparameter berechnet
werden konnen. Im inkompressiblen Fall hat das Potential Vy unter den gemachten Voraussetzungen keinen Einu auf den Druckverlauf. Die Abbildungen 4.4 und
4.5 zeigen den Verlauf der Sommerfeldzahl uber der Exzentrizitat fur unterschiedliche Hartmannzahlen M' mit DB = 14 . Beim unendlich breiten Lager hat ein toroidales B -Feld keinen Einu auf die Stromung, da beim unendlich breiten Spalt
die Geschwindigkeitskomponente in axialer Richtung verschwindet und daher keine
Lorentz-Kraft erzeugt wird.
73
10
SD
8
6
4
Mphi=20
2
Mphi=10
Mphi=5
Mphi=0
0
0.2
0.4
ε
0.6
0.8
Abbildung 4.4: Sommerfeldzahl SD fur verschiedene Hartmannzahlen M' bei eingepragtem toroidalen B -Feld mit DB = 14 .
74
200
SD
180
160
Mphi=200
140
120
100
80
60
Mphi=100
40
Mphi=50
20
Mphi=10
0
0.2
0.4
ε
0.6
0.8
Abbildung 4.5: Sommerfeldzahl SD fur verschiedene Hartmannzahlen M' bei eingepragtem toroidalen B -Feld mit DB = 14 .
75
4.3.2 Sommerfeldzahl der Verdrangung
Die Kontinuitatsgleichung (2.36) lautet fur die Verdrangungsbewegung
2
3
D @ 6Zh
75 + 1 @ h = 0 .
(
w
)
d
y
4
B @ z 0
! @t
(4.20)
Mit dem axialen Durchu qz nach Gl. (3.110) ergibt sich
@ 2p = _ B 2 12 + M'h2 cos ' .
(4.21)
@ z2 ! D
h 3
Unter Beachtung von @@th = _ cos ' wird Gl. (4.21) integriert. Man erhalt
2 cos '
2
12
+
M
h
B
(z2 ; 1) .
(4.22)
p = 21 !_ D
h3
Bei Verdrangung in den engen Spalt (_ > 0), ergibt sich
Z 32 Z1
1
!
+
SV = 4 _ p cos(') dz d'
2 ;1
v
" u
2
u
2
B
1
1
2
2
t (1 ; )
= 6 D 2
arctan
5 4M' 1 ; (1 + )
(1 ; 2) 2 v
u
5
5
u
2
2
+24 (1 + 2 ) arctan t (1 ; ) + M'2 1 ; 2 2 + 2M'2 1 ; 2 2
(1 + )
#
22
p 2
2
2
2
3
;2M' 1 ; ; 36 1 ; ; 12 (1 + 2 ) .
(4.23)
Bei Verdrangung in den weiten Spalt (_ < 0) folgt
Z 52 Z1
1
!
;
SV = 4 _ 3 p cos(') dz d'
2 ;1
v
"
u
B 2
u
2
1
1
2
2
t (1 ; )
= ;6 D 2
arctan
5 ;4M' 1 ; (1 + )
(1 ; 2) 2 v
u
5
5
u ; )
2
2
2 1 ; 2 2 ; 2M 2 1 ; 2 2
;24 (1 + 2 ) arctan t (1
+
M
'
'
(1 + )
p 2#
3
+36 1 ; .
(4.24)
Im Gegensatz zu den beiden anderen Fallen beeinut das externe B -Feld die
Stomung im unendlich schmalen Spalt.
76
20
SV
18
16
Mphi=20
14
12
10
Mphi=15
8
6
Mphi=10
4
2
0
Mphi=0
0.2
0.4
ε
0.6
0.8
Abbildung 4.6: Sommerfeldzahl SV+ (_ > 0) fur verschiedene Hartmannzahlen M'
bei eingepragten toroidalem B -Feld mit DB = 14 .
Fur M' ! 0 ergeben sich im ubrigen die Formeln der konventionellen Lagertheorie
[13, 38]. In den Abbildungen 4.6 - 4.7 sind Sommerfeldzahlen der Verdrangung fur
verschieden Hartmannzahlen dargestellt.
77
8
SV
7
6
Mphi=20
5
4
3
Mphi=15
2
Mphi=10
1
Mphi=0
0
0.2
0.4
ε
0.6
0.8
Abbildung 4.7: Sommerfeldzahl SV; (_ < 0) fur verschiedene Hartmannzahlen M'
bei eingepragten toroidalem B -Feld mit DB = 14 .
78
Kapitel 5
Stabilitatsanalyse eines MHD
gelagerten Laval-Rotors
5.1 Feder- und Dampferkonstanten des Schmierlms
Im Rahmen einer linearen Theorie, d.h. fur kleine A nderungen in , existiert naherungsweise ein linearer Zusammenhang zwischen dem Auftrieb und der Exzentrizitat
bzw. _. Dieser lineare Zusammenhang fuhrt zur Denition der Feder- und Dampferkonstanten des Schmierlms. Wie die Formeln fur die Sommerfeldzahlen in Kapitel
4 zeigen, fuhrt eine horizontale Auslenkung des Wellenmittelpunktes zu einer A nderung der horizontalen und vertikalen Komponente der Auftriebskraft. Entsprechend
entstehen durch Auslenkung in horizontaler Richtung geschwindigkeitsproportionale horizontale und vertikale Dampferkrafte. Auch eine Bewegung des Wellenmittelpunktes in vertikaler Richtung hat eine A nderung sowohl der horizontalen als auch
der vertikalen Komponente der Auftriebskraft zur Folge. Eine detaillierte Diskussion
dieses Sachverhaltes ist in [38, 63] zu nden. Die dimensionslosen Feder- und Dampr , S 0 = @S' und SV
ferkonstanten konnen als Funktionen von SD , Sr , S', Sr0 = @S
@ ' @
79
berechnet werden. Nach [38, 63] ergibt sich fur die dimensionslosen Federkonstanten
0 S0 S
0
0
r ' S , = ;S' + ;Sr S' + Sr S' S ,
11 = SSrD + ;Sr S'S+
'
12
r
3
3
SD
S
D
D
0
0
0
0
22 = Sr Sr S+3 S'S' Sr
21 = Sr Sr S+3 S'S' S' ,
D
D
und fur die dimensionslosen Dampferkonstanten
2
S
V S'
11 = S 3 ,
12 = SVSS3r S' ,
D
D
2
S
S
S
2
S
2
S
r
'
V
21 = SDr + S 3 , 22 = ; SD' + SSr S3 V .
D
D
Die Indizes 1 und 2 bezeichnen die horizontale und vertikale Richtung. ij und ij
geben die A nderung der Kraft in i-Richtung bei Auslenkung des Wellenmittelpunktes in j -Richtung an. In der Literatur werden die Feder- und Dampferkonstanten
in der Regel numerisch bestimmt. Mit den Formeln fur die Sommerfeldzahlen der
Drehung und Verdrangung aus Kapitel 4 konnen ij und ij als Funktionen der
Systemparameter hier analytisch ermittelt werden.
5.2 Stabilitatskarten
Mit Hilfe der Feder- und Dampferkonstanten des letzten Abschnitts wird nun eine Stabilitatsanalyse eines in zwei schmalen MHD Lagern symmetrisch gelagerten
Laval-Rotors durchgefuhrt [38, 63]. Die einzige in der Literatur bekannte Arbeit behandelt nur den Fall des eingepragten axialen B -Feldes [35].
Das Aufstellen der Bewegungsgleichungen fur den anisotrop gleitgelagerten Rotor
ist in [38, 63] enthalten. Die Stabilitatsuntersuchung der linearisierten Gleichungen
basiert auf einer Eigenwertanalyse unter Verwendung des Cremerschen Lagenkriteriums [74]. Fur die kritische Winkelgeschwindigkeit ! ergibt sich dabei [38, 63]
! = q mS!Dk
(5.1)
+
n
mit
m = n S S ;;S2SV 0 S+ 2+S'2S S 0 ,
r '
r '
r V
0
Sr SV ; 2Sr S' + 2Sr S'0 2Sr S' + 2Sr S'0 ; 2Sr0 SV 0
0 ,
n =
+
S
S
+
S
S
r r
' '
;2SV S' (SV ; 2S')2
80
q
!k = C=MW ,
= C (MRW;g r) .
!k ist die erste Biegeeigenkreisfrequenz der Welle, C die Federkonstante der Welle
und MW die Masse der Scheibe. ist die bezogene Wellendurchbiegung und g die
Gravitationskonstante. Die Abbildungen 5.1 - 5.4 zeigen das Verhaltnis = !!k fur
die drei Grundfalle a) radiales, b) axiales und c) toroidales B -Feld fur verschiedene
Hartmannzahlen. Samtliche Kurven wurden fur DB = 14 und = 0:1 erstellt. Im
2
1.8
1.6
1.4
λ1.2
1
My=0
0.8
My=0.5
0.6
My=1
0.4
0.2
0.4
ε
0.6
0.8
Abbildung 5.1: !!k bei eingepragtem radialen B -Beld fur kleine Hartmannzahlen My
mit BD = 14 , = 0:1 und Ez = ;2.
Falle des eingepragten radialen B -Feldes sinkt die kritische Winkelgeschwindigkeit
! fur kleine Hartmannzahlen My bei kleineren Werten von und steigt bei groeren
81
8
7
6
My=100
λ5
My=50
4
3
My=20
2
0.2
0.4
ε
0.6
0.8
Abbildung 5.2: !!k bei eingepragtem radialen B -Beld fur groe Hartmannzahlen My
mit DB = 14 , = 0:1 und Ez = ;2.
Werten von . Bei groen Hartmannzahlen My erhoht sich die kritische Winkelgeschwindigkeit !. Im Falle des eingepragten axialen und toroidalen B -Feldes sinkt
die kritische Winkelgeschwindigkeit ! bei kleineren Werten von und steigt bei
groeren Werten von .
Aufgrund der komplizierten Abhangigkeit der Feder- und Dampferkonstanten von
den Parametern (Exzentrizitat, Hartmannzahl und dimensionsloses E -Feld) ist eine
anschauliche Erklarung des Stabilitatsverhaltens nicht ohne weiteres moglich.
Eine Stabilitatsanalyse bei kompressibler Betrachtung ist nicht ohne weiteres moglich.
Da in diesem Fall keine geschlossenen Losungen fur den Druckverlauf p('; z) und
82
1.6
1.4
1.2
1
Mz=0
Mz=1.5
λ0.8
0.6
Mz=3
0.4
0.2
0
0.2
0.4
ε
0.6
0.8
Abbildung 5.3: !!k bei eingepragtem axialen B -Beld fur kleine Hartmannzahlen Mz
mit BD = 14 , = 0:1 und Vy = ;4.
damit fur die Sommerfeldzahlen SD und SV existieren, mussen die Feder- und Dampferkonstanten naherungsweise numerisch bestimmt werden. Da der Einu der Kompressibilitat auf die Druckentwicklung nicht sehr gro ist (vgl. Kapitel 3), werden sich
die Stabilitatskarten bei kompressibler Rechnung wohl nicht wesentlich von denen
bei inkompressibler Betrachtung unterscheiden.
83
1.6
1.4
1.2
λ1
Mphi=0
0.8
Mphi=2
Mphi=5
0.6
Mphi=10
0.4
0.2
0.4
ε
0.6
0.8
Abbildung 5.4: !!k bei eingepragtem toroidalen B -Beld fur beliebige Hartmannzahlen
M' mit DB = 14 , = 0:1.
84
Kapitel 6
Auftrieb durch oszillierende
elektrische Felder
Die Verwendung elektrisch leitender Fluide als Schmiermittel bietet die Moglichkeit,
Auftrieb ohne Rotation der Welle allein durch Anlegen externer E - und B -Felder zu
produzieren. Untersucht wird die Druckentwicklung bei zeitlich konstantem eingepragten B -Feld und zeitlich oszillierendem E -Feld bzw. zeitlich oszillierendem elektrischen Potential. Das Fluid sei inkompressibel. Da bei kompressibler Betrachtung
- wie im letzten Kapitel bereits erwahnt - keine geschlossenen Losungen fur den
Druckverlauf vorliegen, wurde dies die Rechnung wesentlich komplizieren. Die resultierenden Auftriebskrafte muten dann bei jedem Zeitschritt numerisch integriert
werden, was zu einer eklatanten Vergroerung der Rechenzeit fuhrte. Wieder wird
die Hypothese des schmalen Lagers verwendet. Betrachtet werden der ebene Gleitschuh und das Radiallager unter radialem (transversalem) und axialem B -Feld. Der
Fall des eingepragten toroidalen B -Feldes fuhrt im inkompressiblen Fall bei nicht
rotierender Welle zu keiner Druckentwicklung (siehe Abschnitt 4.3).
85
6.1 Ebener Gleitschuh bei axialem harmonischen
E -Feld
Betrachtet wird der ebene Gleitschuh nach Abbildung 6.1. Gleitschuh und Stator
seien perfekte Isolatoren (siehe Kapitel 2.2). Der Gleitschuh sei nur in y-Richtung
beweglich. Der Stator ist xiert. Das auere konstante Magnetfeld sei transversal,
y
Gleitschuh
r
r-e
Stator
r+e
x=2 R
x=R
Abbildung 6.1: Ebener Gleitschuh
d.h. in y-Richtung orientiert. Ein zeitlich harmonisches E -Feld Ez = E^z cos(
t)
ist axial in z-Richtung gerichtet. Durch das oszillierende E -Feld werden infolge der
Maxwellschen Gleichungen E - und B -Felder induziert. Diese sind, wie eine Untersuchung am Plattenkondensator zeigt, bei kleinen Frenquenzen vernachlassigbar.
Beim Plattenkondensator unter
2 Wechselspannung ist das induzierte E -Feld in erster
Naherung proportional zu c (c ist die Lichtgeschwindigkeit) und das induzierte
B -Feld proportional zu c
2 (siehe [20]).
In Anlehnung an das Radiallager wird als Spaltfunktion h = r + e cos ' benutzt, so
da teilweise auf Ergebnisse aus Kapitel 4 zuruckgegrien werden kann. Der Gleitschuh hat die Lange L = 2R und die axiale Breite B = 2a. Folgende dimensionslose
Variablen werden eingefuhrt:
= Re ,
r = er ,
h = h e,
x='R,
y = y R ,
z = z a p,
u = u R p ,
w = wpR ,
p = p 2 ,
Ey = Ey p , Ez = Ez p , jy = jy ,
p
2 2 2
2 2 2
t = t 1 .
jz = jz , My2 = R By , Mz2 = R Bz ,
86
Die Impulsbilanz in x- und z-Richtung sowie das Ohmsche Gesetz in z-Richtung
sind durch die Gleichungen (3.1)-(3.3) gegeben. Integration von Gl. (3.1) unter Beachtung, da sowohl Stator als auch Gleitschuh feststehen, d.h. u(y = 0) = 0 und
u(y = h) = 0, ergibt das Geschwindigkeitsfeld u. Dieses uber den Schmierspalt
integriert fuhrt auf den dimensionslosen Durchu
3
"
# 2 cosh(M h) ; 1
y
q
1
@
p
'
q' = R2 = M 3 @' + My Ez (t) 42 sinh(M h) ; (My h )5 . (6.1)
y
y
Eine Taylorentwicklung bezuglich My liefert fur kleine Hartmannzahlen unter Verwendung der Hypothese fur den schmalen Spalt die Naherung
@ q' M E (t) ; 1 h2 + 1 M 2h4 h0 .
(6.2)
y z
@ '
4
24 y
Der dimensionslose Durchu qz = qzR2 ist identisch mit Gl. (3.8). Integration der
Kontinuitatsgleichung (2.36) mit den Randbedingungen p(z = ;1) = p(z = 1) = 0
ergibt das Druckfeld
B 2 6 @ q'
2
p = D
(6.3)
h3 @' (z ; 1) .
Der dimensionslose Auftrieb Sy ist gegeben durch
" #
B 2
Z Z1
(
r
;
1)
1
2
Sy =
p dz d' = 2 D My Ez (t) ln ( r + 1) + 3 My r .
0 ;1
(6.4)
Da das Fluid als inkompressibel angenommen wird, kann kein negativer Druck entstehen (siehe [38]). Aufgrund der Symmetrie der Anordnung wird wegen des oszillierenden E -Feldes nach Gl. (6.3) entweder in der linken (x 2 [0; ]) oder in der
rechten Halfte (x 2 [; 2]) Druck erzeugt. Deshalb wird nicht uber den gesamten
Gleitschuh integriert, sondern nur uber die halbe Flache. Fur den Auftrieb durch
Verdrangung liefert eine Rechnung analog zu Abschnitt (4.1.2)
B 2 (2 r2 + 1)
Sy;V = 16 D r0 ( r2 ; 1)5=2 mit r0 = @@tr .
(6.5)
Die Formel (6.5) gilt nur fur r0 < 0, d.h. fur den Fall, da sich der Gleitschuh auf
den Stator zubewegt. Fur r0 > 0 wird Sy;V = 0 gesetzt. Die Bewegungsgleichung
fur den Gleitschuh lautet unter der Voraussetzung, da sich dieser nur translatorisch
in y-Richtung bewegt
"
0j ; 0) #
(
j
r
r
00
0
r ; jSy ( r ; t)j + jSy;V j 2 r0
; G = 0 .
(6.6)
87
Hierbei ist m die Masse des Gleitschuhs inklusive der mitbeschleunigten Last, =
Ra und G = g . Einen Naherungswert fur die dimensionslose auere Last G
2me
e
2
ergibt sich uber die statische Kraftebilanz
Z
1
(6.7)
G = 0 jSy ( r0; t)j dt
zu
#
"
2
G 4 B My E^z ln ( r ; 1) + 1 My2 r .
(6.8)
D
(r + 1) 3
Eine analytische Integration der nichtlinearen Dierentialgleichung (6.6) ist nicht
moglich. Da die Koezienten der Dierentialgleichung explizit die Zeit enthalten,
exisitert keine Ruhelage r = konst: Wie die numerische Untersuchung zeigt, besitzt die DGL einen Grenzzykel. Dieser kann analytisch nicht berechnet werden.
Eine Linearisierung der DGL um eine bekannte Losung zur Stabilitatsanalyse ist
demzufolge unmoglich. Stabilitatsaussagen lassen sich daher nur durch numerische
Berechnung der Lyapunov-Exponenten machen. Darauf wird hier aber verzichtet.
Zur numerischen Integration wird Gl. (6.6) auf Zustandsform gebracht und mittels
Runge-Kutta-Fehlberg-4(5)-Verfahren gelost [60]. Die Abbildungen 6.2 und 6.3 zeigen den Verlauf von r und r0 uber der Zeit sowie das Phasendiagramm r0 uber
r. Die Rechnungen wurden mit E^z = 2, My = 0:5, = 2 und DB = 81 erstellt.
Abbildung 6.2 zeigt Kurven fur G = 0:044 und Abbildung 6.3 fur G = 0:022. In
beiden Fallen stellen sich stabile Schwingungen mit ellipsenformigen Grenzzykeln
ein. Wie man sieht, liegt der Schwingungsmittelpunkt bei G = 0:044 deutlich unter dem bei G = 0:022. Die Amplituden sind in beiden Lastfallen verhaltnismaig
klein. Simulationen mit anderen Parametern liefern ahnliche Ergebnisse. Instabile
Grenzzykel wurden nicht festgestellt.
6.2 Ebener Gleitschuh bei transversalem harmonischen E -Feld
Das eingepragte B -Feld sei nun axial, also in z-Richtung orientiert. Zwischen xiertem Stator und Gleitschuh wird das harmonische Potential Vy (t) = V^y cos(
t)
angelegt. Gleitschuh und Stator werden als ideale Leiter behandelt (siehe Kapitel
2.2). Die Impulsbilanz in x- und z-Richtung ist durch Gl. (3.91) und Gl.(3.92) gege88
2.5
Ort
Geschw
r
2
1.5
1
0.5
r0
0
−0.5
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0.015
0.01
0.005
0
r0
−0.005
−0.01
−0.015
−0.02
−0.025
−0.03
−0.035
1.75
1.8
1.85
r
1.9
1.95
2
Abbildung 6.2: Gleitschuh unter transversalem B -Feld, Zeitschrieb und Phasendiagramm; Parameter: E^z = 2, My = 0:5, = 2, DB = 81 , G = 0:044.
89
3.5
Ort
Geschw
r
3
2.5
2
1.5
1
0.5
r0
0
−0.5
0
50
100
150
200
250
300
0.1
0.08
0.06
0.04
r0
0.02
0
−0.02
−0.04
−0.06
−0.08
1.8
2
2.2
2.4
2.6
r
2.8
3
3.2
3.4
Abbildung 6.3: Gleitschuh unter transversalem B -Feld, Zeitschrieb und Phasendiagramm; Parameter: E^z = 2, My = 0:5, = 2, DB = 81 , G = 0:022.
90
ben. Aus Gl. (3.91) folgt durch Integration unter Beachtung von u(y = 0) = 0 und
u(y = h ) = 0 das Geschwindigkeitsfeld u. Dieses uber den Schmierspalt integriert
liefert in Kombination mit dem uber den Spalt integrierten Ohmschen Gesetz (3.96)
den dimensionslosen Durchu
"
#
h3
M
@
p
z Vy
+ h
q' = ;
.
(6.9)
12 + (Mz h)2 @'
Eine Taylorentwicklung bezuglich Mz liefert fur kleine Hartmannzahlen unter Verwendung der Hypothese fur den schmalen Spalt die Naherung
@ q' M V (t) h;6 h + M h3i h 0 .
(6.10)
z y
z
@ '
36
Der dimensionslose Durchu qz = qzR2 ist wieder durch Gl. (3.8) gegeben. Wie im
vorigen Abschnitt fuhrt eine Auswertung der Kontinuitatsgleichung auf das Druckfeld (6.3). Die resultierende Auftriebskraft Sy ergibt sich zu
B 2 Mz Vy (t) h
Z Z1
i
4
(6.11)
Sy =
p dz d' = 9 D ( r2 ; 1) ;6 + Mz2( r2 ; 1) .
0 ;1
Der dimensionslose Auftrieb infolge Verdrangung ist identisch mit Gl. (6.5). Freischnitt des Gleitschuhes fuhrt formal auf die Bewegungsgleichung (6.6). Eine statische Kraftebilanz wie in Abschnitt 6.1 ergibt als Startwertwert fur die numerische
Integration den Naherungswert
B 2 Mz V^y h
i
2 (
2 ; 1) .
G 98 D
;
6
+
M
r
(6.12)
z
( r2 ; 1)
Die numerische Integration der nichtlinearen Schwingungsdierentialgleichung verlauft
wie im letzten Abschnitt. Die Abbildungen 6.4 und 6.5 zeigen Schwingungen des
Gleitschuhes fur V^y = 2, Mz = 0:5, = 2 und DB = 18 . Abb. 6.4 zeigt Kurven fur
die dimensionslose Last G = 0:088 und Abb. 6.5 fur G = 0:88. In beiden Lastfallen
stellen sich stabile Schwingungen ein. Fur G = 0:88 ist der Grenzzykel herzformig,
fur G = 0:088 ellipsenformig. Erwartungsgema liegt der Schwingungsmittelpunkt
bei groerer Last unter dem bei kleinerer Belastung. Auallend sind die deutlich
groeren Amplituden bei G = 0:88. Auch im Fall des transversalen E -Feldes zeigten
Simulationen mit veranderten Parametern nur stabile Grenzzykel.
91
2.5
Ort
Geschw
r
2
1.5
1
r0
0.5
0
−0.5
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0.3
0.2
0.1
r0
0
−0.1
−0.2
−0.3
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
r
1.8
1.9
2
Abbildung 6.4: Gleitschuh unter axialem B -Feld, Zeitschrieb und Phasendiagramm;
Parameter: V^y = 2, Mz = 0:5, = 2, DB = 18 , G = 0:88.
92
3
Ort
Geschw
r
2.5
2
1.5
1
0.5
r0
0
−0.5
0
50
100
150
200
250
300
0.2
0.15
0.1
r0
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.15
1.8
2
2.2
2.4
2.6
r
2.8
3
3.2
Abbildung 6.5: Gleitschuh unter axialem B -Feld, Zeitschrieb und Phasendiagramm;
Parameter: V^y = 2, Mz = 0:5, = 2, DB = 18 , G = 0:088.
93
6.3 Radiallager bei axialem harmonischen E -Feld
Als 2-dimensionale Erweiterung wird nun das schmale Radiallager bei konstantem
eingepragten radialen B -Feld By und harmonischem axialen E -Feld Ez = E^z cos(
t)
betrachtet. Lagerschale und Lagerzapfen seien perfekte Isolatoren. Im Unterschied
zu Kapitel 3 wird die Winkelgeschwindigkeit des Lagerzapfens ! = 0 gesetzt. Durch
das E -Feld wird im Spalt ein periodischer Strom generiert. Die durch das B -Feld
induzierte Lorentz-Kraft erzeugt im Spalt eine Stromung, wodurch der Zapfen in
Bewegung kommt. Aufgrund dieser Bewegung entstehen zwei geschwindigkeitsproportionale Auftriebskrafte (Dampfungskrafte). Infolge der tangentialen Bewegung
des Zapfens (Drehbewegung der Spaltlage mit der Winkelgeschwindigkeit _, siehe
Abb. 6.6) wird die hydrodynamische Auftriebskraft S_ erzeugt (vgl. [38]). Die radiaer
e
Abbildung 6.6: Spaltwinkel le Verdrangungsbewegung des Zapfens mit _ verursacht die Auftriebskraft SV (siehe
Abschnitt 4.1.2). Die durch die Schubspannungen verursachte Drehung der Zapfens
wird vernachlassigt.
Integration der Impulsbilanz (3.1) in x-Richtung unter Beachtung der Randbedingungen u(y = 0) = !_ und u(y = h) = !_ , ergibt
#
"
z # "
sinh(
M
y
)
@
p
1
E
y
u = M 2 @' + M cosh (My y) ; sinh(My y) coth(My h ) + sinh(M h ) ; 1
y
y
y
"
#
_
sinh(My y) .
+ ! cosh (My y) ; sinh(My y) coth(My h) + sinh(
(6.13)
My h)
94
Integration uber den Spalt, Dierentiation nach ' und Taylorentwicklung nach Po
tenzen in My , liefert fur die Anderung
des Durchusses in Umfangsrichtung fur
kleine Hartmannzahlen die Naherung
@ q' M E ; 1 h 2 + 1 M 2h 4 h 0 + 2 _ 1 ; 1 M 2h 2 h 0 .
(6.14)
y
@ ' | y z 4 {z 24 y
!
2
24
} |
{z
}
@ q';1
@ '
@ q';2
@ '
Mit qz nach Gl. (3.8) fuhrt eine Integration der Kontinuitatsgleichung schlielich auf
B 2 6 @ q';1
B 2 6 @ q';2
2
p = D h3 @ ' (z ; 1) + D h3 @ ' (z2 ; 1) .
(6.15)
|
{z
} |
{z
}
p1
p2
Die durch p1 erzeugte radiale und tangentiale Auftriebskomponente ergeben sich
durch Integration uber die Lagerache zu
Z Z1
1
SE; = 4
p1 sin(') dz d'
0 ;1
B 2 My Ez (t) "
2 2 32 #
2
,
(6.16)
= 2 D
1; ; 1;
3
(1 ; 2) 2
Z Z1
1
SE;r = 4
p1 cos(') dz d'
0 ;1
B 2 My Ez (t) "
1
3 ; 18 1 ; 2 2 ln (1 ; )
72
= 36 D
(1 + ) #
(1 ; 2)2
;36 1 ; 2 2 . (6.17)
Entsprechend erhalt man die durch p2, also durch die tangentiale Verdrangungsbewegung mit _ erzeugten Auftriebskomponenten als
Z Z1
1
S_; = 4
p2 sin(') dz d'
0 ;1
"
B 2
22
2 32 #
1
2
2
2
= 24 D
; 6My 1 ; , (6.18)
3 12 + 6My 1 ; (1 ; 2) 2
"
B 2
Z Z1
1
1
1
723
S_;r = 4
p2 cos(') dz d' = 36 D
2
2
(1 ; )
0 ;1
22 (1 ; )
22 #
2
2
;9My 1 ; ln (1 + ) ; 18My 1 ; .
(6.19)
95
Die dimensionslosen Auftriebskrafte SV durch die radiale Verdrangungsbewegung
mit _ sind durch Gl. (4.11) und Gl. (4.12) gegeben. Da sich je nach Vorzeichen von
_ verschiedene Funktionen ergeben, enthalten die Bewegungsgleichungen nichtkonstante Koezienten (Die Fallunterscheidung bezuglich des Vorzeichens von _ wird
durch die Signum-Funktion realisiert.).
Beim Aufstellen der Bewegungsgleichungen ist zu beachten, da die Radialkomponenten SE;r und S_;r fur beliebige Zapfenbewegung stets in negativer r-Richtung
wirken. Die Richtung der tangentialen Komponente SE; oszilliert entsprechend dem
Vorzeichen des aueren E -Feldes. Die tangentiale Auftriebskomponente S;
_ wirkt
der tangentialen Bewegung immer entgegen (Dampfungskraft). Die Bewegungsgleichungen der Welle (inklusive mitbeschleunigter Last) lauten somit in Polarkoordinaten
h
i
r : 00 ; 02 = ; jSE;r j + jSV j 0 + jS;r
(6.20)
_ j j 0j ; g sin h
i
: 00 + 20 0 = ; SE; + jS;
(6.21)
_ j 0 ; g cos g , wobei m die Masse der Welle samt aufgebrachter
mit = 2BD
und
g
=
2
m
r
r
Last ist.
Die Bewegungsgleichungen (6.20) und (6.21) sind nichtlineare, gekoppelte Dierentialgleichungen mit nichtkonstanten und unstetigen Koezienten. Zur Losung werden
diese auf Zustandsform gebracht und numerisch mittels Runge-Kutta-Fehlberg-4(5)Verfahren integriert. Ein Naherungswert (Startwert fur die numerische Integration)
fur die Tragfahigkeit bei vorgebenen Systemparametern liefert eine Mittelwertbildung. Dazu werden die Bewegungsgleichungen (6.20) und (6.21) uber eine Periode
integriert. Es ergibt sich dann
Z 2 q
1
2 + S 2 dt = g .
2 0 SE;r
(6.22)
E;
Die Abbildungen 6.7 und 6.8 zeigen Schwingungen des Zapfenmittelpunktes. Links
sind (t) und (t) aufgetragen, rechts die Bahnkurve des Zapfenmittelpunktes. Betrachtet werden die Lastfalle g = 0:013 und g = 0:0032. Beobachtet werden stabile
Schwingungen. Der Grenzzykel ahnelt in beiden Lastfallen einer liegenden Acht.
Die radiale Amplitude ist in beiden Fallen deutlich kleiner als die Winkelamplitude. Simulationen mit anderen Systemparametern zeigen ahnliche Ergebnisse. Wie
beim Gleitschuh wurden auch beim Radiallager nur stabile Grenzzykel festgestellt.
Instabile oder chaotische Attraktoren wurden nicht beobachtet.
96
1
ε
δ
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
−3
0
50
100
150
200
250
t
300
350
400
450
500
1
ε ⋅ sin δ
sin 0
−1
−1
0
ε ⋅ cos δ
cos 1
Abbildung 6.7: Radiallager unter radialem B -Feld; rechts Zeitschrieb, links Bahnkurve des Zapfenmittelpunktes; Parameter: E^z = 2, My = 0:5, DB = 18 , = 0:775,
g = 0:013.
97
1
ε
δ
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
−3
0
50
100
150
200
250
t
300
350
400
450
500
1
ε ⋅ sin δ
sin 0
−1
−1
0
ε ⋅ cos δ
cos 1
Abbildung 6.8: Radiallager unter radialem B -Feld; rechts Zeitschrieb, links Bahnkurve des Zapfenmittelpunktes; Parameter: E^z = 2, My = 0:5, DB = 18 , = 0:775,
g = 0:0032.
98
6.4 Radiallager bei radialem harmonischen E -Feld
Das konstante eingepragte B -Feld sei nun axial orientiert. Zwischen Lagerschale
und Lagerzapfen - beide werden als ideale Leiter betrachtet - wird das harmonische
Potential Vy (t) = V^y cos(
t) angelegt. Die Rechnung erfolgt analog zum letzten
Abschnitt. Einziger Unterschied sind die dimensionslosen Komponenten SE; und
SE;r sowie S;
_ und S;r
_ . Diese ergeben sich zu
#
"
B 2
3
1
2
2
2
1; + 1;
SE; = ; 3 D
,
(6.23)
3 Mz Vy (t)
(1 ; 2) 2
"
#
B 2
2
1
1
(1
;
)
2
2
SE;r = 3 D
M V (t) 1 ; ln (1 + ) + 2 1 ; , (6.24)
(1 ; 2)2 "z y
B 2
2
2 23 #
1
2
2
2
S;
,
(6.25)
_ =
12 D (1 ; 2) 23 6 + 3Mz 1 ; ; 3Mz 1 ; "
B 2
1
1
3 + 3M 2 1 ; 2 2 ln (1 ; )
24
S;r
=
;
_
z
12 D (1 ; 2)2
(1 + )
#
2
+6Mz2 1 ; 2 . (6.26)
Abbildung 6.9 und Abbildung 6.10 zeigen numerisch berechnete Schwingungen des
Zapfenmittelpunktes fur die Belastungsfalle g = 0:028 und g = 0:0056. Wie im
letzten Abschnitt stellen sich stabile Schwingungen ein. Die Winkelamplituden sind
verglichen mit den Ergebnissen des vorherigen Abschnittes deutlich kleiner.
99
1
ε
δ
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
0
50
100
150
t
200
250
300
1
ε ⋅ sin δ
sin 0
−1
−1
0
ε ⋅ cos δ
cos 1
Abbildung 6.9: Radiallager unter axialem B -Feld; rechts Zeitschrieb, links Bahnkurve des Zapfenmittelpunktes; Parameter: V^y = 2, Mz = 0:5, DB = 18 , = 0:775,
g = 0:028.
100
1
ε
δ
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
0
50
100
150
t
200
250
300
1
ε ⋅ sin δ
sin 0
−1
−1
0
ε ⋅ cos δ
cos 1
Abbildung 6.10: Radiallager unter axialem B -Feld; rechts Zeitschrieb, links Bahnkurve des Zapfenmittelpunktes; Parameter: V^y = 2, Mz = 0:5, DB = 18 , = 0:775,
g = 0:0056.
101
Kapitel 7
Zusammenfassung
Auf der Grundlage der magnetogasdynamischen Bilanzgleichungen wurde unter Anwendung der konventionellen Hypothesen der hydrodynamischen Schmiertheorie die
Stromung bei schmalen Lagern untersucht. Induktive Eekte wurden nicht berucksichtigt (Rm 0). Betrachtet wurden drei Basisfalle: das auere eingepragte B -Feld
ist a) radial, b) axial und c) toroidal orientiert. In allen drei Fallen entsteht ein
nichtlineares Randwertproblem zur Bestimmung des Druckfeldes.
Fur die ersten beiden Falle wurden zwei Losungsvarianten vorgestellt. Die erste, implizite Losungsdarstellung liefert zwei transzendente algebraische Gleichungen uber
die das Druckfeld ausiteriert werden mu. Das Ausiterieren gestaltet sich numerisch
aufwendig und nicht unproblematisch. Auerdem ist eine analytische Integration
des Druckes zur Bestimmung des Auftriebes nicht moglich. Die zweite Losungsdarstellung in Form einer Funktionenreihe, basiert auf einem Storungsansatz mit
der Kompressiblitatszahl als Storparameter und liefert das Druckfeld explizit in
Form einer Funktionenreihe. Die Konvergenz dieser Reihe wurde bewiesen. Eine
Abschatzung fur das Restglied wurde hergeleitet. Das Konvergenzkriterium zeigt,
da bei geeigneter Wahl der ubrigen Systemparameter konvergente Losungen selbst
fur > 1 existieren. Die Reihenglieder der Funktionenreihe sind rekursiv uber Integralgleichungen bestimmt. Diese Integralgleichungen konnen vollstandig algebraisiert werden. Ergebnis ist ein matrizielles Rekursionsschema, mit dem die Reihenglieder einfach programmiert werden konnen. Die Berechnung des Auftriebes ist in
dieser expliziten Darstellung unter Verwendung des Residuensatzen besonders ein102
fach. Auch im Fall c) wurde eine explizite Losung in Form einer Funktionenreihe
hergeleitet. Deren Konvergenz wurde gezeigt und eine Formel fur das Restglied hergeleitet. Eine strenge Losung in impliziter Form wie in den beiden anderen Fallen
existiert nicht.
Aus der Reihenlosung des kompressiblen Problems wurde die Losung des inkompressiblen Stromungsproblems bestimmt und Formeln fur die Sommerfeldzahlen der
Drehung und der Verdrangung entwickelt.
Eine Parameterstudie in den Fallen a) und b) zeigt, da der Druck bei kleinen
Hartmannzahlen durch Erhohen des B -Feldes gesteigert wird. Bei groeren Hartmannzahlen tritt der gegenteilige Eekt auf, d.h. der Druck wird reduziert. Bei
Fixierung der ubrigen Systemparameter existiert folglich eine denierte Hartmannzahl fur optimalen Auftrieb. Im Gegensatz dazu fuhrt eine stetige Erhohung eines
geeignet angelegten E -Feldes zu einer stetigen Druckerhohung. Im Fall c) fuhrt eine
Erhohung des B -Feldes zu einer stetigen Steigerung des Druckes. Das Anlegen eines elektrischen Potentials hat im Fall c) im Gegensatz zu den ersten beiden Fallen
im kompressiblen Fall nur einen geringen und im inkompressiblen Fall unter den
gemachten Voraussetzungen keinen Einu auf die Druckentwicklung. Bei kompressibler Rechnung geht die Symmetrie des Problems im Fall c) durch Anlegen eines
elektrischen Potentials verloren.
Im Fall a) und b) zeigt ein Vergleich mit den Untersuchungen zum unendlich breiten Spalt, da beim schmalen Spalt eine Erhohung der Hartmannzahl nicht zu einer
kontinuierlichen Erhohung des Druckes fuhrt. Wahrend sich beim unendlich breiten
Lager fur groe Hartmannzahlen ein nahezu linearer Anstieg des Druckes mit der
Hartmannzahl ergibt, sinkt der Druck beim schmalen Lager ab einer bestimmten
kritischen Hartmannzahl wieder ab und geht fur M ! 1 gegen null. Beide Modelle
zeigen aber eine stetige Erhohung des Druckes bei Erhohung des elektrischen Potentials. Das Anbringen eines toroidalen Magnetfeldes hat beim unendlich breiten Spalt
keinen Einu auf die Stromung, da beim Modell des unendlich breiten Lagers die
axiale Geschwindigkeitskomponente verschwindet und daher keine Lorentz-Kraft in
Umfangsrichtung induziert werden kann.
Anschlieend wurde das Stabilitatsverhalten eines in zwei schmalen MHD Lagern
symmetrisch gelagerten Laval-Rotors diskutiert. Die Stabilitatsanalyse zeigt, da im
Fall a) die kritische Winkelgeschwindigkeit fur kleine Hartmannzahlen bei kleineren
103
Exzentrizitaten sinkt und bei groeren Exzentrizitaten steigt. Bei groen Hartmannzahlen tritt eine Erhohung der kritischen Winkelgeschwindigkeit ein. Im Fall b) und
im Fall c) sinkt die kritische Winkelgeschwindigkeit bei Anbringen eines externen
Magnetfeldes bei kleinen Exzentrizitaten und steigt bei groeren Exzentrizitaten.
Die Arbeit schliet mit numerischen Berechnungen bei eingepragten harmonisch oszillierenden E -Feldern. Die durch die Lorentz-Kraft erzeugte Stromung fuhrt selbst
bei verschwindender Winkelgeschwindigkeit der Welle zu einem Druckaufbau. Durch
das oszillierende E -Feld wird der Zapfen zu Schwingungen angeregt, welche numerisch berechnet wurden. Bei den untersuchten Fallen wurden ausschlielich stabile Grenzzykel beobachtet. Instabilitaten oder chaotische Attraktoren wurden nicht
festgestellt.
104
Literaturverzeichnis
[1] Abramowitz, M.; Stegun, I.A.: Handbook of mathematical functions. Dover Publ., 9. Ed., 1972.
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