Portfolio-Management mit technischen Handelsmodellen

Portfolio-Management mit technischen
Handelsmodellen
unter besonderer Berücksichtigung des BLACK-LITTERMAN-Verfahrens
Diplomarbeit
zur Erlangung des Grades Diplom-Volkswirt
an der
Technischen Universität Berlin
Fakultät IV - Elektrotechnik und Informatik
Lehrstuhl Statistik und Ökonometrie
Studiengang Volkswirtschaftslehre
Vorgelegt von:
Matr.-Nr.: 196925
Lorenzo Bertolini
aus:
Heilmannring 71
13627 Berlin
Tel.: 030-44319288
[email protected]
Referent:
Korreferent:
Prof. Dr. D. Friedrich
Dipl.Volksw. R. Franken
Erklärung
Ich versichere, die von mir vorgelegte Arbeit selbständig verfasst zu haben. Alle
Stellen, die wörtlich oder sinngemäß aus veröffentlichten oder nicht veröffentlichten
Arbeiten anderer entnommen sind, habe ich als entnommen kenntlich gemacht.
Sämtliche Quellen und Hilfsmittel, die ich für die Arbeit benutzt habe, sind angegeben. Die Arbeit hat mit gleichem Inhalt bzw. in wesentlichen Teilen noch keiner anderen Prüfungsbehörde vorgelegen.
Berlin, den 18 März 2005
Lorenzo Bertolini
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis ...............................................................V
Abkürzungsverzeichnis ............................................................ IX
1 Einleitung…………….. ............................................................ 1
2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle .......... 4
2.1 Grundlagen ...................................................................................................... 4
2.1.2 Rendite eines Wertpapiers…….................................................................. 4
2.1.2 Volatilität als Risikomaß eines Wertpapiers .............................................. 6
2.1.3 Zusammenhangsmaße zweier Wertpapiere................................................ 7
2.1.4 Rendite-Risikoverhalten von Investoren .................................................... 8
2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ .................................................... 10
2.2.1 Ursprüngliche Problemstellung und Annahmen des Modells.................. 10
2.2.2 Rendite und Risiko eines Portfolios ......................................................... 11
2.2.3 Ansatz der Portfolio Selection nach MARKOWITZ ............................... 13
2.2.3.1 Effiziente Portfolios....................................................................... 13
2.2.3.2 Optimale Portfolios........................................................................ 15
2.2.4 Ermittlung effizienter Portfolios im Mehr-Wertpapier-Fall..................... 16
2.2.5 Das Minimum-Varianz-Portfolio im Mehr-Wertpapier-Fall ................... 21
2.2.6 Das nutzenmaximierende Portfolio im Mehr-Wertpapier-Fall ................ 22
2.2.7 Modellkritik…………………………………………….......................... 25
2.3 Index-Modell von SHARPE ......................................................................... 26
2.3.1 Ansatz des Index-Modells von SHARPE................................................. 26
2.3.2 Modellkritik…………………………………………….......................... 28
2.4 TOBIN-Separation........................................................................................ 29
2.5 Kapitalmarktmodelle.................................................................................... 31
2.5.1 Capital Asset Pricing Model……. ........................................................... 32
2.5.1.1 Annahmen...................................................................................... 32
2.5.1.2 Die Kapitalmarktlinie .................................................................... 32
2.5.1.3 Die Wertpapierlinie ....................................................................... 33
2.4.1.4 Systematisches und unsystematisches Risiko................................ 35
2.5.1.5 Modellkritik ................................................................................... 36
2.5.2 Arbitrage Pricing Theory…………………… ......................................... 37
I
Inhaltsverzeichnis
2.6 Performance-Messung von Portfolios..........................................................37
2.7 Fazit.................................................................................................................40
3 Portfolio-Management nach BLACK und LITTERMAN ..... 42
3.1 Defizite der Portfoliooptimierung nach MARKOWITZ ...........................42
3.2 Der Ansatz des BLACK-LITTERMAN-Verfahrens..................................44
3.3 Referenzportfolios und implizite Renditen als Ausgangspunkt des
BLACK-LITTERMAN-Verfahrens ............................................................46
3.4 Die Verbindung des Referenzportfolios mit Renditeerwartungen............48
3.4.1 Spezifikation von Renditeerwartungen im BLACK-LITTERMANModell………………….. ...............................................................48
3.4.2 Die BLACK-LITTERMAN-Formel .........................................................51
3.4.3 Umsetzung der subjektiven Renditeerwartungen mit dem BLACKLITTERMAN-Verfahren ................................................................52
3.5 Sensitivitätsanalysen......................................................................................54
3.6 Fazit.................................................................................................................56
4 Technische Handelsmodelle ................................................... 58
4.1 Wertpapierprognosen....................................................................................58
4.2 Technische Indikatoranalyse ........................................................................59
4.2.1 Grundgedanke der technischen Analyse ...................................................59
4.2.2 Methoden der technischen Analyse ..........................................................61
4.2.3 Eingesetzte Indikatoren und Werkzeuge...................................................62
4.2.3.1 Gleitende Durchschnitte .................................................................63
4.2.3.2 Moving Average Convergence Divergence ...................................65
4.2.3.3 Relative Strength Index ..................................................................65
4.2.3.4 Bollinger Bänder ............................................................................66
4.2.3.5 Swings ............................................................................................67
4.2.3.6 Candlestick-Formationen ...............................................................67
4.3 Handelsmodelle ..............................................................................................69
4.3.1 Grundsätzliches über Handelsmodelle......................................................69
4.3.2 Komponenten und Segmentierung von Handelsmodellen........................70
4.3.3 Konstruktion von Handelsmodellen..........................................................73
4.3.4 Performanceanalyse von Handelsmodellen ..............................................74
4.4 Fazit.................................................................................................................78
II
Inhaltsverzeichnis
5 Empirischer Teil .................................................................... 80
5.1 Vorgehensweise ............................................................................................. 80
5.2 Entwicklung des Handelsmodells ................................................................ 81
5.2.1 Handelsregeln der einfachen Handelsmodelle ......................................... 81
5.2.2 Performance der einfachen Handelsmodelle im Testzeitraum................. 86
5.2.3 Weiterentwicklung der Handelsmodelle .................................................. 88
5.3 Systematische Portfolio-Management-Modelle.......................................... 93
5.3.1 Auswahl der Aktien für die Portfolios ..................................................... 93
5.3.2 Portfolio-Management-Modell nach BLACK und LITTERMAN auf
Basis der Gleichgewichtsrenditen und der Handelssignale............ 95
5.3.2.1 Festlegung der Inputfaktoren des Portfolio-ManagementModells .......................................................................................... 95
5.3.2.2 Performance des Portfolio-Management-Modells......................... 97
5.3.3 Portfolio-Management-Modell nach MARKOWITZ auf Basis der
historischen Renditen und der Handelssignale............................... 98
5.3.4 Performance-Messung der vorgestellten Portfolio-ManagementModelle………………………………........................................... 99
5.4 Fazit .............................................................................................................. 101
6 Schlussfolgerung ...................................................................103
7 Literaturverzeichnis .............................................................105
Anhangverzeichnis ..................................................................109
Anhang………………………. ...................................................111
III
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 2.1: Renditeplots für Wertpapiere mit unterschiedlichen
Korrelationskoeffizienten .................................................. 8
Abbildung 2.2: Iso-Nutzenkurven von Anlegern ........................................ 10
Abbildung 2.3: Kurven möglicher Portfolios im Zwei-Wertpapier-Fall ...... 14
Abbildung 2.4: Kurve effizienter Portfolios im Zwei-Wertpapier-Fall ........ 15
Abbildung 2.5: Ermittlung des optimalen Portfolios................................... 15
Abbildung 2.6: Effiziente Portfoliokurven für ein beispielhaftes VierWertpapier-Portfolio ....................................................... 20
Abbildung 2.7: Minimum Varianz Portfolios des Vier-WertpapierBeispielportfolios ............................................................ 22
Abbildung 2.8: Optimale Portfolios im Vier-Wertpapier-Beispiel .............. 24
Abbildung 2.9: Der Prozess der Portfolio-Optimierung nach
MARKOWITZ ................................................................ 25
Abbildung 2.10: Zusammenhang zwischen Indexrendite und
Aktienrendite .................................................................. 27
Abbildung 2.11: Der Prozess der Portfolio-Optimierung im IndexModell von SHARPE....................................................... 28
Abbildung 2.12: Die TOBIN-Separation .................................................... 30
Abbildung 2.13: Optimale Portfolios nach TOBIN und MARKOWITZ ...... 31
Abbildung 2.14: Die Wertpapierlinie ......................................................... 35
Abbildung 2.15: Systematisches und unsystematisches Portfoliorisiko
bei steigender Diversifikation .......................................... 36
Abbildung 3.1: Portfoliogewichte nach MARKOWITZ mit und ohne
Leerverkäufe ................................................................... 42
Abbildung 3.2: Sensitivität der MARKOWITZ-Portfolios ohne und mit
Leerverkaufsrestriktionen auf eine revidierte
Renditeprognose.............................................................. 43
Abbildung 3.3: Der BLACK-LITTERMAN-Ansatz .................................... 45
Abbildung 3.4: Portfoliogewichtungen auf Basis historischer und
impliziter Renditen.......................................................... 47
Abbildung 3.5: Implizite Renditen und BLACK-LITTERMANRenditeerwartungen......................................................... 53
Abbildung 3.6: Referenzgewichte und BLACK-LITTERMANPortfoliogewichte ............................................................ 53
V
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 3.7: Entwicklung der BLACK-LITTERMANPortfoliogewichte bei Variation des
Renditedifferentials V ..................................................... 54
Abbildung 3.8: Entwicklung der BLACK-LITTERMANPortfoliogewichte bei Variation der Prognosegüte Ω ........ 55
Abbildung 3.9: Entwicklung der BLACK-LITTERMANPortfoliogewichte bei Variation des Skalars τ .................. 56
Abbildung
Abbildung
Abbildung
Abbildung
Abbildung
Abbildung
4.1:
4.2:
4.3:
4.4:
4.5:
4.6:
Methoden der technischen Analyse .................................... 61
Segmentierung technischer Indikatoren.............................. 62
Swing-High und Swing-Low.............................................. 67
Hammer- und Shooting-Star-Formationen .......................... 68
Aufbau eines Handelsmodells ............................................ 71
Segmentierung von Handelsmodellen................................. 71
Abbildung 5.1: Aufbau des systematischen Portfolio-ManagementModells nach BLACK und LITTERMAN......................... 81
Abbildung 5.2: Performancekennzahlen der einfachen Handelsmodelle ...... 86
Abbildung 5.3: Prozentzahl profitabler Märkte der einfachen
Handelsmodelle ............................................................... 87
Abbildung 5.4: Performancekennzahlen der Handelsmodelle Nr. 5, Nr.
6 und Nr. 7 vor und nach der Filterung ............................ 89
Abbildung 5.5: Prozentzahl profitabler Märkte der Handelsmodelle Nr.
5, Nr. 6 und Nr. 7 vor und nach der Filterung................... 90
Abbildung 5.6: Performancekennzahlen der Handelsmodelle Nr. 5, Nr.
6 vor und nach der Filterung und mit zusätzlichen
Exit-Regeln ..................................................................... 92
Abbildung 5.7: Prozentzahl profitabler Märkte der Handelsmodelle Nr.
5, Nr. 6 vor und nach der Filterung und mit
zusätzlichen Exit-Regeln ................................................. 92
Abbildung 5.8: Lorenzkurve der prozentualen Marktkapitalisierungen
der DAX-Aktien .............................................................. 93
Abbildung 5.9: Aufteilung des marktkapitalisierungsgewichteten
Fünfzehn-Wertpapier-Portfolios über die
Wirtschaftssektoren ......................................................... 94
Abbildung 5.10: Empirische- und Normalverteilungen der Renditen der
DAX-Aktien im Testzeitraum bei Long- bzw. ShortSignalen .......................................................................... 96
Abbildung 5.11: Renditeentwicklung des Portfolio-ManagementModells nach BLACK und LITTERMAN [τ = 0.3]........... 97
VI
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 5.12: Renditeentwicklung des Portfolio-ManagementModells nach BLACK und LITTERMAN [τ = 2] ............. 98
Abbildung 5.13: Renditeentwicklung des Portfolio-ManagementModells nach MARKOWITZ [ohne Leerverkäufe] ........... 99
Abbildung 5.14: Performance-Maße der vorgestellten Portfolios .............. 100
VII
Abkürzungsverzeichnis
AG:
APT:
CAPM:
d.h.:
DAX:
Kap.:
MVP:
Portfolio-RAR:
Profit/maxDD:
u.d.N.:
vgl.:
z.B.:
Aktien Gesellschaft
Arbitrage Pricing Theory
Capital Asset Pricing Model
das heisst
Deutscher Aktien Index
Kapitel
Minimum Varianz Portfolio
Portfolio Risk-Adjusted-Return
Profit to Maximum Drawdown Ratio
unter der Nebenbedingung
vergleiche
zum Beispiel
Aktienkürzel
ALV:
BAS:
BAY:
BMW:
MEO:
MUV2:
DBK:
DCX:
DPW:
DTE:
EOA:
RWE:
SAP:
SIE:
VOW:
Allianz AG
BASF AG
Bayer AG
BMW AG
Metro AG
Münchener Rückversicherungen AG
Deutsche Bank AG
Daimler Chrysler AG
Deutsche Post AG
Deutsche Telekom AG
E.On AG
RWE AG
SAP AG
Siemens AG
Volkswagen AG
IX
1 Einleitung
Der klassische Ansatz der Portfoliotheorie basiert, ausgehend von den Arbeiten von
Harry Markowitz in den 50er Jahren, auf einer doppelseitigen Zielsetzung: Maximierung der erwarteten Portfoliorendite bei gleichzeitiger Minimierung des Portfoliorisikos. Obwohl die Grundsätze der Modernen Portfolio-Theorie in der wissenschaftlichen Literatur einen festen Platz einnehmen, ist deren Einfluss auf das praktische
Portfolio-Management immer noch relativ gering.1
Fischer Black und Robert Litterman haben mit der Zielsetzung, die Methoden der
quantitativen Portfoliooptimierung für den praktischen Einsatz im PortfolioManagement besser anwendbar zu machen, Anfang der 90er Jahre das innovative
Black-Litterman-Verfahren veröffentlicht. Dieses Verfahren erlaubt die flexible Spezifikation einer beliebigen Anzahl von Wertpapierprognosen und berechnet auf deren
Grundlage, ausgehend von strategischen Referenzportfolios, neue optimale Portfoliogewichte. Das Verfahren stellt eine gelungene Umsetzung des Vorschlages von
Markowitz, quantitativ berechnete erwartete Renditen mit subjektiven Prognosen zu
verbinden, dar.2
Die Bewegungen der Kurse an der Börse setzen sowohl private als auch professionelle Anleger starken Emotionen wie Gier und Angst aus. Diese Emotionen können
Portfolio-Manager zu irrationalen Markteinschätzungen verleiten und haben somit
negative Auswirkungen auf den Investmentprozess. Handelsmodelle, die nach bewährten Handelsregeln automatische Kauf- und Verkaufssignale generieren, unterliegen diesem psychologischen Druck hingegen nicht. Außerdem bieten sie den Vorteil schneller paralleler Auswertung einer Vielzahl von Märkten durch den Einsatz
von Rechnern und spezieller Software.
Ziel der Arbeit
Die Zielsetzung dieser Arbeit ist es ein taktisches Portfolio-Management-Modell für
ein Portfolio aus DAX-Aktien zu entwickeln, welches mit dem Black-LittermanVerfahren und den Prognosen technischer Handelsmodelle die Asset-Allocation systematisch steuert.
Das Aufgabenfeld eines Portfolio-Managers der nach diesem Konzept operiert, würde sich vom kurzfristigen subjektiven Handel deutlich entfernen. Die freigesetzten
1
2
vgl. Drobetz (2002), S.2
vgl. Markowitz (1952)
1
1 Einleitung
Zeit- und Energieressourcen sollten vermehrt in quantitativer Finanzmarktforschung
eingesetzt werden. Außerdem könnte ein größerer Fokus auf die Analyse komplexer
volkswirtschaftlicher Zusammenhänge und der Zusammenstellung mittel- bis langfristiger strategischer Portfolios gelegt werden.
Aufbau der Arbeit
Im zweiten Kapitel werden zunächst die Grundlagen der Modernen Portfolio-Theorie
und Kapitalmarktmodelle, allen voran die Portfolio-Selection-Theorie von Markowitz und das Capital Asset Pricing Model CAPM von Sharpe, behandelt. Das BlackLitterman-Verfahren baut sowohl auf der Portfolio Selection als auch auf dem aus
dem CAPM hervorgehendem Marktgleichgewicht auf. Somit bildet dieses Kapitel
die Grundlagen für das Verständnis des Black-Litterman-Verfahrens.
Der dritte Abschnitt der Arbeit befasst sich mit den Schwächen des MarkowitzAnsatzes bei dem praktischen Einsatz in der Asset Allocation und stellt das von
Black und Litterman entwickelte innovative Verfahren zum Portfolio-Management
dar. Dieses Verfahren ermöglicht die konsistente Verbindung von individuell festgelegten Referenzgewichtungen oder CAPM-Gewichtungen mit verschiedenen Arten
von Prognosen und eignet sich aus diversen Gründen besser für den Einsatz im Portfolio-Management als die reine Portfolio Selection nach Markowitz.
Im vierten Kapitel wird der Grundgedanke der technischen Analyse von Wertapapieren und der Aufbau von technischen Handelsmodellen dargestellt.
Das fünfte Kapitel vereint die behandelten Portfolio-Management-Techniken mit den
Handelssignalen eines für diesen Zweck entwickelten Handelsmodells zu einem systematischen Portfolio-Management-Modell, das ohne menschliches Zutun in der Lage sein soll, ein vom Anleger festgelegtes Wertpapierportfolio taktisch zu planen.
Die Schlussfolgerungen finden sich im sechsten Kapitel.
Software
In dieser Arbeit kommt außer herkömmlicher Textverarbeitungs- und Tabellenkalkulationssoftware folgende Software zum Einsatz:
Omega Research TradestationTM
Die Tradestation ist eines der führenden Programme zur technischen Chartanalyse,
zur Entwicklung technischer Indikatoren sowie zur Entwicklung und zum Test von
technischen Handelsmodellen. Mit diesem Programm werden im fünften Kapitel
2
1 Einleitung
Handelsmodelle erstellt und getestet. Ein besonderer Dank geht an dieser Stelle an
die J. R. C. Capital Management & Consultancy GmbH (www.jrconline.com) für die
Bereitstellung dieser Software.
R
R ist sowohl eine Programmiersprache als auch eine Arbeitsumgebung mit statistischem Schwerpunkt. Die R-Programmiersprache ist der Programmiersprache S, auf
der die kommerzielle Statistiksoftware S-Plus basiert, sehr ähnlich. R ist eine kostenlose und frei verfügbare Software, die unter der Internetadresse www.r-project.org
heruntergeladen werden kann. In dieser Arbeit wird R zur Optimierung der Portfolios, zur Programmierung der Portfolio-Management-Modelle und zur statistischen
Auswertung von Daten eingesetzt.
3
2 Moderne Portfolio-Theorie und
Kapitalmarktmodelle
2.1 Grundlagen
Im Folgenden werden die Grundlagen der Modernen Portfolio-Theorie erläutert. Es
werden Kennzahlen für die Rendite und das Risiko von Wertpapieren und Überlegungen über das Verhalten von Anlegern bezüglich dieser Kennzahlen dargestellt.
2.1.2 Rendite eines Wertpapiers
Um die relative Wertveränderung einer in Geldeinheiten bewerteten Position zu messen, wird in der Finanzwirtschaft und Kapitalmarkttheorie auf den Begriff der Rendite zurückgegriffen. Rendite kann man auf zwei verschiedene Arten definieren, einmal diskret, als den prozentualen Wertzuwachs von einem Zeitpunkt zum anderen,
zum anderen als den natürlichen Logarithmus des Zuwachsverhältnisses. Die letztere
Definition bezeichnet man auch als die stetige Rendite oder log-Rendite. Die stetige
Rendite ist für den Fall kontinuierlicher Verzinsung definiert. Die diskrete Rendite
lässt sich durch die Formel 2.1 berechnen, die stetige Rendite durch die Formel 2.2.
Pt − Pt −1
Pt −1
=
∆Pt
Pt −1
=
Pt
−1
Pt −1
[2.1]
Rd , t
=
mit
Rt:
Pt:
Pt-1:
Rendite des Wertpapiers in der Periode t
Preis des Wertpapiers am Ende der Periode t
Preis des Wertpapiers am Ende der Vorperiode t-1
[2.2]
Rs, t
⎛ P ⎞
= ln ⎜⎜ t ⎟⎟ = ln (Pt ) − ln (Pt −1 )
⎝ Pt −1 ⎠
Soll die Durchschnittsrendite µd,t über T Perioden bestimmt werden, so wird in dem
zeitdiskreten Fall das geometrische Mittel aus den Renditen gezogen3:
3
vgl. Franke/Härdle/Hafner (2003), S. 146
4
2.1 Grundlagen
1
[2.3]
µ d ,t
⎡ T −1
⎤T
= Rd ,t (k ) = ⎢∏ (1 + Rd ,t − n )⎥ − 1
⎣ n =0
⎦
Die Berechnung der Durchschnittsrendite über T Perioden für den Fall stetiger Verzinsung erfolgt gemäß der Formel 2.4.4
µ s ,t = Rs ,t (k ) = ln{1 + Rd ,t (k )} =
[2.4]
1 T −1
ln ∏ (1 + Rd ,t − n )
T n =0
=
1 T −1
∑ ln(1 + Rd ,t −n )
T n =0
=
1 T −1
∑ R s ,t − n
T n =0
Im späteren Verlauf der Arbeit werden unter anderem durchschnittliche Tagesrenditen zu Jahresrenditen annualisiert. Dies geschieht umgekehrt zu den Berechnungen
der Durchschnittsrenditen für den Fall diskreter Renditen nach der Formel 2.5 und
für den Fall stetiger Renditen gemäß der Formel 2.6.
[2.5]
µ Jahr , d = (1 + µTag , d )Tage
[2.6]
µ Jahr , s = [Tage Jahr ]* µTag , s
Jahr
−1
Bei kleinen Preisänderungen kann die stetige Rendite durch die diskrete Rendite approximiert werden und umgekehrt. Als Faustregel für die Eignung einer solchen Approximation werden Renditen unter zehn Prozent genannt. 5
Werden jedoch Annahmen über die Verteilung der Renditen getroffen, spielen auch
statistische Überlegungen eine Rolle. Bereits 1990 wurde von Bachelier6 angenommen, stetige Rendite seien normal verteilt. Die Kurse selbst wären dann log-normal
verteilt. Für die diskrete Rendite sei die Normalverteilungsannahme im strengen Sinn
nicht anwendbar. Empirisch wird in der Regel allerdings beobachtet, dass die Dichte
von Renditen im Vergleich zur Normalverteilung fat tailed ist, das heißt dass sich in
den Enden der Verteilung mehr Wahrscheinlichkeitsmasse konzentriert als dies bei
einer Normalverteilung der Fall ist.7 Diese Verteilung nennt man leptokurtische Verteilung.
4
vgl. Franke/Härdle/Hafner (2003), S. 147
vgl. Franke/Härdle/Hafner (2003), S. 147
6
In: Theorie de la speculation (1990)
7
vgl. Weber (2001), S. 27
5
5
2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle
2.1.2 Volatilität als Risikomaß eines Wertpapiers
Die zweite wichtige Größe der Modernen Portfolio-Theorie ist das Risiko, mit dem
die Rendite eines Wertpapiers behaftet ist. Risiko liegt dann vor, wenn aufgrund der
unsicheren Zukunft die Rendite einer Anlage nicht vorauszusagen ist, deren mögliche Renditen und die Eintrittswahrscheinlichkeiten dennoch bekannt sind.8 Das Risiko einer Anlage wird üblicherweise in der Form der Varianz oder der Standardabweichung der Renditen quantifiziert.9 Die zustandsabhängige Varianz σ2 eines
Wertpapiers i wird durch die Formel 2.7 berechnet:
[2.7]
mit
S
2
Var[ Ri ] = σ = ∑ (Ris − E [Ri ]) ⋅ q s
2
i
Ri:
S:
Ris:
qs :
E[Ri]:
s =1
Rendite des Wertpapiers i
Anzahl der möglichen Zustände
Rendite des Wertpapiers bei Eintreten des Zustands s
Eintrittswahrscheinlichkeit des Zustands s
Erwartete Rendite10
In der Praxis wird die zukünftige Volatilität häufig durch die historische Volatilität
geschätzt. Bei der Berechnung der historischen Volatilität ist die Streuung der vergangenen Renditen um die durchschnittliche historische Rendite von Relevanz. Die
Formel zur Berechnung der historischen Varianz über T Perioden eines Wertpapiers
lautet:
[2.8]
Var [Ri ] = σ i2 =
2
1 T −1
∑ (Ri,t −n − µ i )
T − 1 n =0
Die Annualisierung der Tagesvarianz zur Jahresvarianz vollzieht sich folgendermaßen:
[2.9]
2
σ Jahr
=
[Tage
2
Jahr ] * σ Tag
Aus der Varianz lässt sich ohne weiteres die Standardabweichung σ ableiten. Die
Standardabweichung ist anschaulicher als die Varianz, da sie informiert, wie stark
8
vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 99
vgl. Kruschwitz (2003), S. 341
10
E[Ri] = ΣqsRis
9
6
2.1 Grundlagen
die Renditen im Mittel um ihren Erwartungswert schwanken.11 Ihre Berechnung erfolgt gemäß der Formel 2.10.
[2.10]
σ [ri ] = σ 2 [ri ]
2.1.3 Zusammenhangsmaße zweier Wertpapiere
Kovarianz
Die Kovarianz σij misst die voneinander abhängige Bewegung der Erträge zweier
Wertpapiere. Ein positiver Wert der Kovarianz bedeutet, dass die Renditen der Anlagen zu gemeinsamen Schwankungen tendieren. Sollte die Kovarianz negativ sein,
impliziert dies, dass die Renditen der beiden Wertpapiere sich gegensätzlich zueinander verhalten. Ein sehr kleiner Wert der Kovarianz nahe null impliziert, dass die
Ausprägungen der Renditen der zwei betrachteten Investitionen unabhängig voneinander sind. Die Formel 2.11 stellt die Berechnung der zustandsabhängigen Kovarianz zwischen den Wertpapieren i und j dar.
[
Kov[ Ri , R j ] = σ ij = ∑ (Ris − µ i )(R js − µ j )q s
S
[2.11]
]
s =1
Die historische Kovarianz zweier Anlagen kann anhand der folgenden Formel 2.12
berechnet werden.
[2.12]
Kov[ Ri , R j ] = σ ij =
[
]
1 T −1
⋅ ∑ (Ri ,t − n − µ i )(R j ,t − n − µ j )
T − 1 n =0
Korrelationskoeffizient
Der Korrelationskoeffizient ρ ist ein viel anschaulicheres Maß für den Zusammenhang von Renditeverläufen zweier Wertpapiere. Er kann durch die Kovarianz der
beiden Anlagen und durch deren Standardabweichungen anhand der Formel 2.13
ermittelt werden.
[2.13]
11
ρ ij =
σ ij
σ iσ j
vgl. Kruschwitz (2003), S. 342
7
2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle
Sind sowohl der Korrelationskoeffizient als auch die Standardabweichungen von
zwei Anlagen bekannt, so kann durch Umstellung der Formel 2.13 ebenfalls die Kovarianz berechnet werden:
[2.14]
σ ij = ρ ij σ iσ j
Abbildung 2.1 zeigt beispielhaft die Entwicklung der Renditen von Wertpapieren mit
unterschiedlichen Korrelationskoeffizienten. Der Korrelationskoeffizient kann Werte
zwischen plus eins und minus eins annehmen, wobei ein Koeffizient von minus eins
für Wertpapiere mit vollkommen gegenläufigen Renditeentwicklungen steht und ein
Wert von plus eins vollkommen gleichläufige Renditeentwicklungen darstellt. Ein
Korrelationskoeffizient von null besagt, dass die Renditen der zwei Anlagen unabhängig voneinander sind.
Abbildung 2.1: Renditeplots für Wertpapiere mit unterschiedlichen Korrelationskoeffizienten
2.1.4 Rendite-Risikoverhalten von Investoren
Entscheidungen nach Erwartungswert und Streuung von Renditen spielen in der Investitionstheorie eine wichtige Rolle.12 Das Grundprinzip dieser Entscheidungen
wird als µ-σ-Prinzip bezeichnet. Ziel dieses Prinzips ist nicht ausschließlich die Maximierung der Rendite oder die Minimierung des eingegangenen Risikos, sondern die
Erhöhung des Nutzens des Investors.13
Der Nutzengröße eines Anleger in einer µ-σ-Kombination ist maßgeblich von seiner
Einstellung gegenüber dem Risiko abhängig. Es können drei verschiedene RenditeRisiko-Einstellungen von Anlegern unterschieden werden: Risikoaversion, Risiko12
8
vgl. Kruschwitz (2002), S. 142
2.1 Grundlagen
neutralität und Risikofreude. Risikoaverse Investoren empfinden Risiko als etwas
Schlechtes; sie wären bereit, zugunsten von mehr Sicherheit auf einen Teil ihrer erwarteten Rendite zu verzichten. Risikoneutrale Anleger sind gegenüber dem Risiko
indifferent, für ihre Entscheidungen ist lediglich die erwartete Rendite relevant. Risikofreudige Investoren sehen im Risiko eine Chance auf erhöhte Gewinne und wären
unter Umständen bereit, eine kleinere erwartete Rendite in Kauf zu nehmen, und
damit ihr Risiko zu erhöhen.
Der von der erwarteten Rendite und dem Risiko abhängige Nutzen eines Anlegers
kann durch seine Nutzenfunktion dargestellt werden. Die Formel 2.15 wird im empirischen Teil der Arbeit eingesetzt.14 Allerdings sind auch andere Formen von Nutzenfunktionen denkbar, wie zum Beispiel die in der Formel 2.16.15
[2.15]
U ( µ , σ ) = µ − 0 .5 ⋅ λ ⋅ σ 2
[2.16]
U (µ , σ ) = µ − λ ⋅ µ 2 + σ 2
(
)
λ stellt den Risikoaversionsparameter des Anlegers dar. Je höher der Parameter ausfällt, desto risikoaverser ist der Investor. Ein Nutzenmaximierer mit hohem λ wird
bereit sein, auf eine große Menge an erwartetem Gewinn µ zu verzichten, um die
Volatilität σ2 zu senken. Umgekehrt verliert das Risiko in den Überlegungen des Investors mit fallendem λ immer mehr an Relevanz. Ein λ-Wert von null stellt einen
risikoneutralen Anleger dar, ein negativer λ-Wert steht für Risikofreude.16
Abbildung 2.2 stellt den möglichen Verlauf der Iso-Nutzenkurven für die drei verschiedenen Risikopräferenzen dar. Jeder Punkt, der sich auf einer solchen Kurve befindet, stellt für den Anleger denselben Nutzen dar. Kurven, die höher liegen als andere, zeigen einen höheren Nutzen, und sind somit den unteren zu präferieren. Der
Anleger ist zwischen allen µ-σ-Kombinationen auf einer Iso-Nutzenkurve indifferent.
Er wird die mögliche Kombination präferieren, die sich auf der höchsten IsoNutzenkurve befindet, da ihm diese den maximalen Nutzen bringt.
13
vgl. Gast (1998), S. 87
Litterman (2003), Drobetz (2002) u. a. arbeiten mit dieser Nutzenfunktion
15
vgl. Kruschwitz (2003), S. 294
16
Le/Litterman (1999) operieren mit einem Rsiskoaversionsparameter von λ = 2.5. Ist einem Portfoliomanager λ nicht bekannt, so kann er mittels
14
λ imp=(E[RM]- Rf)/ σM2
den impliziten Risikoaversionsparameter schätzen. E[RM] stellt die erwartete Rendite des Marktes
oder der Benchmark dar, Rf stellt den risikofreien Zinssatz dar und σM2 ist die Renditevarianz des
Marktes oder der Benchmark. [vgl. Idzorek (2004), S. 30]
9
2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle
Abbildung 2.2: Iso-Nutzenkurven von Anlegern
µ
µ
Risikoaversion
σ
Risikoneutralität
µ
σ
Risikofreude
σ
[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Gast (1998), S. 89]
2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ
2.2.1 Ursprüngliche Problemstellung und Annahmen des Modells
Der Name von Markowitz ist untrennbar mit der theoretischen Erklärung des Phänomens der Portfoliodiversifikation, das heißt der gezielten Streuung von Vermögen
auf mehrere Anlagewerte, verbunden. Bereits vor der Entwicklung der PortfolioSelection-Theorie war empirisch Portfoliodiversifikation beobachtbar, allerdings
fehlte jegliche plausible theoretische Herleitung dieses Verhaltens.
Die auf Markowitz zurückgehenden Erkenntnisse erweitern im Kern das Denken
über die Allokation von Vermögen vom eindimensionalen Rendite Aspekt17 zum
zweidimensionalen Rendite-Risiko-Aspekt, dies war zuvor keinem gelungen. Hicks18
schlug beispielsweise 1939 vor, bei Investitionen einen, mit dem eingegangenen Risiko abdiskontierten, Renditeparameter als Entscheidungskriterium zu verwenden.
Die entscheidungstheoretische Folge wäre allerdings eine Maximierung des mit dem
Risiko abdiskontierten Renditeparameters und somit eine Konzentration des gesamten Kapitals auf die Investitionsalternative mit dem höchsten Parameterwert. Solche
Erklärungsversuche verwirft Markowitz aus dem einfachen Grund, dass solch konzentrierte Portfolios in der Praxis nicht beobachtbar sind.19
17
Die alleinige Betrachtung der Rendite in der Aufteilung des Vermögens auf Wertpapiere hätte die
Folge, dass das gesamte Kapital auf eine einzige, nämlich die voraussichtlich rentabelste, Anlage
konzentriert werden würde. [vgl. Markowitz (1952), S. 78]
18
Markowitz (1952), S. 77 verweist auf Hicks, J. R.(1939): Value and Capital, New York, Oxford
University Press, S. 126
19
vgl. Markowitz (1952), S. 77
10
2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ
Die Portfolio-Selection-Theorie erklärt mathematisch, dass es eine Möglichkeit gibt,
Anlagen so zu kombinieren, dass man unter Einschluss von Wertpapieren deren
Renditen niedrige, oder im Idealfall negative, Korrelationen aufweisen, ein Portfolio
erhält, welches bei gleicher Renditeerwartung ein geringeres Risiko mit sich führt.
Somit wurde den Investoren ein wissenschaftlicher Ansatz geliefert, wie die Portfoliodiversifikation rational gestaltet werden sollte. Im Folgenden werden die Annahmen des Modells erläutert, und die Portfoliorendite sowie das Portfoliorisiko als Basis jeglicher portfoliotheoretischen Überlegung, dargestellt.
Annahmen der Portfolio Selection Theorie
-
-
-
Die von Markowitz betrachtete Entscheidungssituation geht von einem Investor mit einem gegebenen Anfangsvermögen und einem einperiodigen Planungshorizont aus.
Der Investor kann sein Kapital auf ein bestimmtes Universum von Wertpapieren verteilen und sich somit ein Portfolio zusammenstellen.
Markowitz stellt die Annahme auf, Wertpapiere seien unendlich teilbar und es
gäbe weder Transaktionskosten noch Steuern.20
Markowitz berücksichtigt, dass sich die zukünftigen Renditen von Wertpapieren nicht mit Sicherheit voraussagen lassen. Vielmehr seien Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die künftige Entwicklung der Wertpapierpreise bekannt,
es handelt sich also um eine Entscheidungssituation unter Risiko.21
Das Modell geht von einem nutzenmaximierenden, risikoaversen Anleger
aus, der durchaus bedacht ist, sein eingegangenes Risiko zu kontrollieren.22
In dem Artikel Portfolio Selection schließt Markowitz Leerverkäufe aus.23
2.2.2 Rendite und Risiko eines Portfolios
Portfoliorendite
Die erwartete Rendite eines Portfolios µP entspricht der mit ihrem Portfolioanteil
gewichteten Summe der Rendite der einzelnen Wertpapiere. Formel 2.17 verdeutlicht die Berechnung der erwarteten Portfoliorendite:
N
[2.17]
E [RP ] = µ P = ∑ wi ⋅ µ i
i =1
20
vgl. Steiner/Bruns, S. 9
vgl. Kruschwitz (2003), S. 288 und 340
22
vgl. Sharpe/Alexander/Bailey (1995), S. 167
23
Im weiteren Verlauf der Arbeit wird der Fall erlaubter Leerverkäufe allerdings behandelt. Die mathematische Herleitung der Portfolio Selection in diesem Fall ist im Gegensatz zu dem Fall ohne
Leerverkäufe analytisch problemlos herzuleiten. Außerdem ist es in der Praxis durchaus möglich,
Leerverkäufe zu tätigen, was diesen Fall ebenfalls interessant macht.
21
11
2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle
mit
µp :
wi :
µi :
N:
Erwartete Portfoliorendite
Anteil des Wertpapiers i im Portfolio
Erwartungswert der Rendite des i´ten Wertpapiers
Anzahl der Wertpapiere im Portfolio
Die erwartete Portfoliorendite kann auch in Matrizenform dargestellt werden. Hierzu
sind die Matrix der Portfoliogewichte w, und die Matrix der erwarteten Wertpapierrenditen µ notwendig:
[2.18]
µ P = w' µ R
mit
w' = (w1 , w2 ,....., wn )
µ R ' = (µ1 , µ 2 ,....., µ n )
und
Portfoliovarianz und Standardabweichung eines Portfolios
Das Risiko eines gesamten Portfolios wird nicht nur aus den Varianzen der einzelnen
Wertpapiere im Portfolio berechnet, sondern auch aus den Kovarianzen aller Anlagen untereinander. Die Varianz des Portfolios σP2 wird wie folgt berechnet:
[2.19]
n n
Var [R P ] = σ P2 = ∑ ∑ wi ⋅ w j ⋅ σ ij
i =1 j =1
mit
σP2:
wi :
wj :
σij:
Varianz des Portfolios
Gewichtung der Anlage i im Portfolio
Gewichtung der Anlage j im Portfolio
Kovarianz zwischen den Renditen der Anlagen i
und j
Formel 2.20 stellt die Berechnung der Portfoliovarianz in Matrizenform dar. Dazu
sind der Gewichtungsvektor w sowie die Varianz-Kovarianz-Matrix ΣRR notwendig.
[2.20]
mit
12
σ P2 = w' Σ RR w
Σ RR
⎛ σ 12 = σ 11
σ 12
⎜
2
σ 2 = σ 22
⎜ σ 21
=⎜
M
M
⎜
⎜ σ
σ N2
N1
⎝
σ 1N
σ 2N
⎞
⎟
L
⎟
⎟
O
M
⎟
L σ N2 = σ NN ⎟⎠
L
2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ
Aus der Formel 2.19 wird bereits ersichtlich, dass Wertpapiere mit niedrigen Kovarianzen σij das Portfoliorisiko kaum erhöhen und dass Wertpapiere mit negativen Kovarianzen das Portfoliorisiko sogar senken können.
Zusammensetzung des Vektors der erwarteten Renditen und der VarianzKovarianz-Matrix
Der Zusammensetzung des Vektors der erwarteten Renditen µR ist ein kardinaler
Aspekt in der Markowitz’schen Portfolio Selection. In dieser Arbeit wird der Vorschlag von Markowitz, empirische Durchschnittsrenditen zur Bestimmung des Renditevektors und empirische Kovarianzen zur Bestimmung der Varianz-KovarianzMatrix heranzuziehen, aufgegriffen.24 Die Güte dieser Schätzer ist allerdings fragwürdig, insbesondere was den Vektor der erwarteten Rendite angeht. Die empirische
Varianz-Kovarianz-Matrix wird als stabiler erachtet und ist somit eher für diesen
Zweck geeignet.25
Markowitz hält die Kombination von subjektiven Anlegerprognosen mit den systematischen Prognosen komplexerer statistischer Methoden für eine potenziell bessere
Methode, um die Eingabefaktoren des Modells zu bestimmen. Nach der statistischen
Ermittlung der Prognosewerte sollen die Inputs mit den Erwartungen des Investors
kombiniert werden und somit neue, revidierte Eingabevektoren bilden.26 Prognoseverfahren, wie z. B. ARIMA,ARCH/GARCH, künstliche neuronale Netze u. a. wären zur Schätzung des Renditevektors und der Varianz-Kovarianz-Matrix denkbar.
2.2.3 Ansatz der Portfolio Selection nach MARKOWITZ
2.2.3.1 Effiziente Portfolios
Der Grundgedanke der Portfolio-Theorie von Markowitz ist die Reduzierung des
Portfoliorisikos durch Diversifikation. Für den einfachen Fall eines Portfolios mit
zwei Wertpapieren kann iterativ die Linie möglicher Portfolios in ein µ-σ-Diagramm
aufgetragen werden, indem die Parameter Portfoliorendite und Portfoliorisiko für
diverse unterschiedliche Gewichtungskombinationen [w1; w2] bestimmt werden.
Die Abbildung 2.3 stellt die Kurven möglicher µ-σ-Kombinationen für das in Kruschwitz (2003) dargestellte Zwei-Wertpapier-Portfolio dar.27 Die erste Anlage besitzt
eine erwartete Rendite von 0.083 und eine Renditestandardabweichung von 0.0424.
Die zweite Anlage hat eine erwartete Rendite von 0.112 mit einer Standard24
vgl. Markowitz (1952), S. 91
vgl. Kleeberg (1995)
26
vgl. Markowitz (1952), S. 91
27
vgl. Kruschwitz (2003), S. 343 ff.
25
13
2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle
abweichung von 0.0567. Die verschiedenen gewölbten Kurven bilden für verschiedene Korrelationen ρ12 zwischen den beiden Wertpapieren die durch Mischung der
beiden Wertpapiere realisierbaren µ-σ-Kombinationen ab.28
Abbildung 2.3: Kurven möglicher Portfolios im Zwei-Wertpapier-Fall
[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Kruschwitz (2003), S. 349]
Bereits in einem Zwei-Wertpapier-Fall ist es möglich, durch Diversifikation ein Portfolio zu erhalten, dessen erwartete Rendite größer als diejenige der sichersten Anlage
(Anlage 1), und dessen Risiko zugleich niedriger als das der sichersten Anlage ist. Es
wird auch ersichtlich, dass der Diversifikationseffekt umso größer ist, je kleiner die
Korrelation zwischen den beiden Anlagen ist.
Aufgrund der Annahmen, dass Rendite etwas Gutes und Risiko etwas Schlechtes
darstellt, können einige µ-σ–Kombinationen der Abbildung 3 von Beginn an als ineffizient klassifiziert werden. Die Definition eines effizienten Portfolios lautet:
Ein Portfolio gilt als effizient, wenn es kein anderes Portfolio gibt, das bei der gleichen erwarteten Rendite eine kleinere Volatilität besitzt oder bei gleicher Volatilität
eine höhere erwartete Rendite generiert.29
Die Portfolios auf der durchgezogenen Linie in der Abbildung 2.4 stellen die
effizienten Portfolios für das aufgeführte Beispiel dar. Die gestrichelte Linie
repräsentiert die ineffizienten Portfoliomischungen. So wird beispielsweise das
Portfolio A von dem Portfolio C dominiert, da C bei gleichem Risiko eine höhere
erwartete Rendite besitzt. Das Portfolio mit der kleinsten möglichen Varianz ist
durch Punkt B dargestellt. Die Portfoliogewichtungen, aus denen die µ-σ–
28
Es wird von einer vollständigen Investierung des vorhandenen Kapitals ausgegangen, d. h.
w1 + w2 = 1
29
vgl. Markowitz (1952), S. 82
14
2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ
dargestellt. Die Portfoliogewichtungen, aus denen die µ-σ–Kombination in Punkt B
resultiert, bezeichnet man als Minimum-Varianz-Portfolio.
Abbildung 2.4: Kurve effizienter Portfolios im Zwei-Wertpapier-Fall
[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Kruschwitz (2003), S. 350]
2.2.3.2 Optimale Portfolios
Ist die Kurve der effizienten Portfolios ermittelt, so stellt sich die Frage, welches
Portfolio auf dieser Kurve für den Investor optimal ist. Markowitz geht von einem
risikoaversen Anleger aus, der das für ihn nutzenmaximierende Portfolio wählen
wird.
Abbildung 2.5: Ermittlung des optimalen Portfolios
[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Kruschwitz (2003), S. 351]
Die Bestimmung des für einen Anleger optimalen Portfolios wird grafisch in der
Abbildung 2.5 dargestellt. Wie bereits im Abschnitt 2.1.3 diskutiert wurde, bedeuten
höhere Iso-Nutzenkurven für den Anleger auch einen höheren Nutzen. Dem Investor
15
2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle
können zwei verschiedene Portfolios den Nutzen U1 verschaffen. Diese Portfolios
sind allerdings nicht optimal, da der Nutzen U2, der durch das Portfolio OP erreicht
werden kann, höher ist. Der Nutzen U3 kann durch die vorhandenen Wertpapiere
nicht erreicht werden. Dies ist in der Abbildung ersichtlich: Die Iso-Nutzenkurve U3
schneidet kein effizientes Portfolio. Das Portfolio OP stellt in der Abbildung das
optimale Portfolio dar, da es von der höchstmöglichen Iso-Nurzenkurve tangiert
wird.
2.2.4 Ermittlung effizienter Portfolios im Mehr-Wertpapier-Fall
Das Zwei-Wertpapier-Beispiel liefert die Intuition hinter der Portfolio Selection von
Markowitz. Kurven effizienter Portfolios können auch für den realistischeren Fall
von mehr als zwei Anlagen bestimmt werden. Dies ist iterativ nicht mehr möglich,
kann aber, wie in diesem Abschnitt gezeigt wird, für den Fall erlaubter Leerverkäufe
mathematisch hergeleitet werden. Problematischer erweist sich die Bestimmung der
effizienten Portfolios für den Fall ohne Leerverkäufe. Die resultierende Kurve ist
nicht mit einer Funktion darzustellen und muss mit Methoden der quadratischen Programmierung bestimmt werden.30
Herleitung
Im Folgenden wird für den Fall erlaubter Leerverkäufe die Herleitung der varianzminimalen Portfoliogewichte bei gegebener Portfoliorendite aufgeführt.
Zu minimieren ist die Portfoliovarianz unter den Nebenbedingungen, dass der Erwartungswert vorgegeben ist (erste Nebenbedingung) und der Investor voll investiert ist
(zweite Nebenbedingung)31. Jeder Lösungsvektor hierzu ist ein Portfolio auf dem
effizienten Rand. Zur Vereinfachung der folgenden Terme wird unter denselben Nebenbedingungen die halbe Varianz minimiert. Dies ändert nichts an dem Endergebnis. Die Optimierungsaufgabe lautet:
[2.21]
min w
[2.22]
u.d.N.
1
w' Σ RR w
2
µP − µR 'w = 0
und
30
In R eignen sich besonders die Funktionen portfolio.optim( ) und solve.QP( ) für die Ermittlung
effizienter Portfoliokurven bzw. optimaler Portfolios.
31
1 ist eine N×N Einheitsmatrix.
16
2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ
N
∑ wi = w'1 = 1' w = 1
i =1
bzw.
1 − 1' w = 0
Die Lagrange-Funktion zu dem Minimierungsproblem lautet:
[2.23]
[2.24]
L(w, λ1 , λ 2 ) =
1
w' Σ RR w − λ1 (µ R ' w − µ P ) − λ 2 (1' w − 1)
2
Die notwendigen Bedingungen für ein Minimum sind:
[2.25]
[2.26]
[2.27]
∂L
= Σ RR w − λ1µ R − λ2 1
∂w
∂L
= µ p − µR 'w
∂λ1
∂L
= 1 − 1' w
∂λ2
!
=0
!
=0
!
=0
Hinreichend für ein Minimum ist, dass ΣRR positiv definit ist. Unter der Annahme,
dass Wertpapierrenditen linear unabhängig sind, ist dies der Fall.32 Ökonomisch bedeutet dies, dass man kein Portfolio zusammenstellen kann, das eine Varianz von
null besitzt.
Um dieses Gleichungssystem zu lösen, multipliziert man Formel 2.25 mit der Inversion der Varianz-Kovarianz-Matrix.
[2.28]
1
−1
w P = λ1 Σ −RR
µ R + λ2 Σ RR
1
Damit hat man eine Formel für den gesuchten Vektor w, allerdings sind die Lagrangemultiplikatoren λ1 und λ2 noch nicht bekannt. Um diese zu ermitteln, wird Formel 2.28 unter Beachtung von [2.26] und [2.27] jeweils mit µR und 1 multipliziert.
Dadurch ergibt sich:
[2.29]
1
1
µ R ' w p = λ1 µ R ' Σ −RR
µ R + λ2 µ R ' Σ −RR
1= µp
[2.30]
−1
1
1' w P = λ1 1' Σ RR
µ R + λ2 1' Σ −RR
1 =1
und
32
vgl. Lischka (1998), S. 55
17
2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle
Die Gleichungen [2.29] und [2.30] stellen ein lineares Gleichungssystem mit den
zwei Unbekannten λ1 und λ2 dar, da µR und ΣRR bekannt sind und µP ein Parameter
ist.
Im Folgenden werden die Skalare A, B, C und D definiert, um die weiteren Berechnungen zu vereinfachen.
1
1
[2.31]
A := 1' Σ −RR
µ R = µ R ' Σ −RR
1
[2.32]
1
B := µ R ' Σ −RR
µR
>0
[2.33]
−1
C := 1' Σ RR
1
>0
[2.34]
D := BC − A 2
>0
Damit kann man das lineare Gleichungssystem in [2.29] und [2.30] vereinfachen:
[2.35]
λ1 B + λ 2 A = µ P
[2.36]
λ1 A + λ2 C = 1
Jetzt können die beiden Lagrangemultiplikatoren durch Auflösung der Gleichungen
[2.35] und [2.36] in Abhängigkeit von µP dargestellt werden:
[2.37]
λ1 =
[2.38]
λ2 =
µ PC − A
D
und
B − µP A
D
Die zwei Parameter können nun in [2.28] eingesetzt werden. Die Portfolios, die für
die erwartete Portfoliorendite µP die minimale Varianz haben, können so ausgedrückt
werden:
[2.39]
λ2
λ1
647
48
647
48
⎛ µ C − A ⎞ −1
⎛ B − µ P A ⎞ −1
w P (µ P ) = ⎜ P
⎟ Σ RR µ R + ⎜
⎟ Σ RR 1
D ⎠
D
⎝
⎠
⎝
Durch Umformen dieser Gleichung erhält man:
18
2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ
[2.40]
w P (µ P ) =
[(
)]
) (
[(
) (
)]
1
1
1
1
1
1
B Σ −RR
1 − A Σ −RR
µ R + C Σ −RR
µ R − A Σ −RR
1 ⋅ µP
D
D
14444244443 14444244443
a
b
Wie schon angedeutet, werden jetzt die Vektoren a und b definiert, die konstant sind,
da sie ausschließlich von µR und ΣRR und abhängen.
[(
) (
)]
[2.41]
a :=
1
1
1
B Σ −RR
1 − A Σ −RR
µR
D
[2.42]
b :=
1
1
1
C Σ −RR
µ R − A Σ −RR
1
D
[(
) (
)]
Nachdem a und b definiert sind, kann man die Formel für die effizienten Portfoliogewichtungen als lineare Funktion der gewünschten Portfoliorendite so schreiben:
[2.43]
w P (µ P ) = a + b µ P
Varianz der effizienten Portfolios
Die Varianz eines beliebigen Portfolios auf dem effizienten Rand lässt sich wie die
Varianz eines jeden Portfolios berechnen:
[2.44]
σ P2 = w' Σ RR w
Durch Einsetzten von [2.43] erhält man:
[2.45]
σ P2 = (a + bµ P )' Σ RR (a + bµ P )
Weitere Berechnungen ergeben:
[2.46]
σ P2 =
B
A
C 2
+ 2 ⋅ µP + µP
D
D
D
Durch Umformung der Gleichung 2.46 ergibt sich:
2
[2.47]
C⎛
A⎞
1
σ = ⎜ µP − ⎟ +
D⎝
C⎠
C
2
P
19
2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle
Kurve effizienter Portfolios
Die Formel 2.47 kann auch nach der erwarteten Portfoliorendite aufgelöst werden.
Man erhält die Formel für die erwartete Rendite eines Portfolios in Abhängigkeit von
seiner Varianz:
[2.48]
µP =
A
D ⎛ 2 1⎞
±
⋅ ⎜σ P − ⎟
C
C ⎝
C⎠
Der effiziente Rand schließt den „minus“-Term aus, ein rationaler Investor würde bei
gegebenem Risiko immer die Alternative mit dem höchsten Erwartungsnutzen wählen. Die Formel für den effizienten Rand lautet demnach:
[2.49]
µP =
A
D ⎛ 2 1⎞
+
⋅ ⎜σ P − ⎟
C
C ⎝
C⎠
Beispiel
In der Abbildung 2.6 sind die Kurven effizienter Portfolios eines beispielhaften VierWertpapier-Portfolios33 für den Fall ohne Leerverkäufe und für den soeben hergeleiteten Fall mit Leerverkäufen mittels der durchgezogenen Linien aufgeführt. Es wird
ersichtlich, dass sich mit Leerverkäufen theoretisch bessere Portfolios erreichen lassen.
Abbildung 2.6: Effiziente Portfoliokurven für ein beispielhaftes Vier-Wertpapier-Portfolio
33
Die erwartete Renditen sowie die Varianz-Kovarianz-Matrix für die Wertpapiere A,B,C und D
dieses Vier-Wertpapier-Beispielportfolios sind im Anhang B.1 aufgeführt.
20
2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ
2.2.5 Das Minimum-Varianz-Portfolio im Mehr-Wertpapier-Fall
Das Portfolio mit der minimalen möglichen Varianz MVP ist in der Portfoliooptimierung von besonderem Interesse. Wie nachfolgend gezeigt werden kann, hängen die
Wertpapiergewichtungen bei diesem Portfolio nicht von den erwarteten Renditen,
sondern nur von der historischen Varianz-Kovarianz-Matrix der Renditen ab. Da
diese als stabiler gilt als der historische Renditevektor, sollten die varianzminimalen
Portfolios auch stabiler sein als jedes andere effiziente Portfolio.34
Herleitung
Die Varianz eines Portfolios in Abhängigkeit der erwarteten Rendite
2
C⎛
A⎞
1
σ = ⎜ µP − ⎟ +
D⎝
C⎠
C
2
P
besitzt ein offensichtliches Minimum für µP = A/C. Somit gilt für die erwartete Rendite und für das Risiko des Minimum-Varianz-Portfolios:
[2.50]
µ MVP =
1
1
A µ R ' Σ −RR
2
=
= Aσ MVP
−1
C
1' Σ RR 1
[2.51]
2
σ MVP
=
1
1
=
1
C 1' Σ −RR
1
und
Die Gewichtungen der Wertpapiere für das Minimum-Varianz-Portfolio sind nach
der Gleichung [2.39] gegeben durch:
1
1
w MVP = λ1 ⋅ Σ −RR
µ R + λ 2 ⋅ Σ −RR
1
[2.52]
A
⎞
⎛
⎛ A ⋅C − A⎞
⎟ Σ −1 µ + ⎜ B − C ⋅ A ⎟ Σ −1 1
= ⎜⎜ C
⎟⎟ RR
⎟⎟ RR R ⎜⎜
D
D
⎜
⎠
⎝
⎠
⎝
−1
Σ RR 1
=
1
1' Σ −RR
1
21
2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle
Beispiel
In der Abbildung 2.7 sind für das Beispielportfolio der Abbildung 2.6 die MinimumVarianz-Portfolios MVP gekennzeichnet.
Abbildung 2.7: Minimum Varianz Portfolios des Vier-Wertpapier-Beispielportfolios
2.2.6 Das nutzenmaximierende Portfolio im Mehr-Wertpapier-Fall
Gemäß der Darstellung im Abschnitt 2.2.3.2 wird hier das optimale, nutzenmaximierende Portfolio OP für den Fall mehrerer Wertpapiere untersucht.
Herleitung
Es wird unter der Nebenbedingung, dass der Investor vollständig investiert ist, nach
dem Portfolio auf der Kurve effizienter Portfolios gesucht, das den Nutzen des Investors maximiert. Das Optimierungsproblem lautet demnach:
max
U µ ,σ 2 (w' µ R , w' Σ RR w )
u.d .N .
w'1 = 1
[2.53]
Bevor dieses Problem angegangen wird, wird eine Kurzform für die Parameter der
Nutzenfunktion definiert:
[2.54]
34
vgl. Kleeberg (1995)
22
U (o ) := U µ ,σ 2 (w' µ R , w' Σ RR w )
2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ
Die Lagrangefunktion für das Optimierungsproblem lautet:
[2.55]
L(w, δ ) = U (w' µ R , w' Σ RR w ) − δ (w'1 − 1)
Die notwendigen Bedingungen für die Maxima sind:
[2.56]
∂U (o )
∂L ∂U (o )
=
µR +
Σ RR w − δ 1
∂w
∂µ
∂σ 2
[2.57]
∂L
= w'1 − 1
∂δ
!
=0
und
!
=0
Die Auflösung der Bedingung [2.57] nach w liefert die Formel:
[2.58]
w OP
1
Σ −RR
⎛
∂U (o ) ⎞
⋅ ⎜⎜ δ 1 −
=
µ R ⎟⎟
∂U (o ) ⎝
∂µ
⎠
2
∂σ
Multipliziert man diese Gleichung mit 1 unter der Berücksichtigung der Nebenbedingung [2.57], erhält man den Wert für δ:
δ=
[2.59]
=
=
1 ⎛ ∂U (o )
∂U (o ) ⎞
⎜⎜
⎟
+ 1' Σ RR µ R
2
∂µ ⎟⎠
1' Σ RR 1 ⎝ ∂σ
1 ⎛ ∂U (o )
∂U (o ) ⎞
⎜⎜
⎟
+A
2
C ⎝ ∂σ
∂µ ⎟⎠
∂U (o )
∂U (o ) 2
σ MVP +
µ MVP
2
∂µ
∂σ
Dabei bleibt die Definition der Skalare unverändert zu den Formeln 2.31-2.34. Setzt
man [2.59] in [2.58] ein, so ergibt sich:
[2.60]
w OP
∂U (o ) ⎞
⎛
⎜
⎟
1
∂µ A ⎟ −1
⎜
Σ 1−
=
+
⎜ C ∂U (o ) C ⎟ RR
⎜
⎟
∂σ 2
⎝
⎠
∂U (o )
∂µ
Σ −1 µ
∂U (o ) RR R
∂σ 2
23
2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle
bzw.
w OP
∂U (o )
Σ 1
A −1 ⎞
∂µ ⎛ −1
⋅ ⎜ Σ RR µ R − Σ RR
1⎟
=
+
∂U (o ) ⎝
C
C
⎠
∂σ 2
−
−1
RR
Wenn die Gleichungen für das Minimum-Varianz-Portfolio [2.52] und für den Vektor b [2.42] eingesetzt werden, erhält man des Ergebnis:
∂U (o )
∂µ C
⋅ b
+
∂U (o ) D
∂σ 2
−
[2.61]
w OP = w MVP
Der Term
∂U (o )
∂µ
∂U (o )
∂σ 2
−
stellt den Umkehrwert der Grenzrate der Substitution MRS35 des Investors dar, so
dass man auch schreiben kann:
[2.62]
w OP = w MVP +
C
D
MRS µ ,σ 2 (o )
⋅b
Beispiel
Abbildung 2.8: Optimale Portfolios im Vier-Wertpapier-Beispiel
35
vgl. Varian (2004), S. 47 f.
24
2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ
Die Abbildung 2.8 veranschaulicht die optimalen Portfolios in dem Vier-WertpapierBeispiel. Die zusätzlichen Linien entsprechen Iso-Nutzen-Linien des Typs in der
Formel 2.15. Der Risikoaversionsparameter λ wurde auf 2.5 gesetzt. Es wird ersichtlich, dass das optimale Portfolio in dem Fall erlaubter Leerverkäufe den Anleger auf
ein höheres Nutzenniveau bringt (U = 3.5), als das optimale Portfolio ohne Leerverkäufe (U = 2.7).
2.2.7 Modellkritik
Die Portfolio-Selection-Theorie nach Markowitz beschäftigt sich mit der
Portfoliooptimierung unter der simultanen Berücksichtigung der erwarteten
Portfoliorendite auf der einen Seite und des eingegangenen Risikos in Form der
Portfoliovarianz oder der Standardabweichung des Portfolios auf der anderen Seite.
Der gesamte Vorgang der Portfolio Selection ist in der Abbildung 2.9
veranschaulicht.
Abbildung 2.9: Der Prozess der Portfolio-Optimierung nach MARKOWITZ
Prognose der N erwarteten Renditen µR
Prognose der
(N(N - 1))/2 + N
Kovarianzen und Varianzen ΣRR
PORTFOLIOOPTIMIERUNG
Effiziente Portfolios
Restriktionen bezüglich des
Vektors der Portfoliogewichte w
Ziele des Anlegers,
z. B. Nutzenmaximierung
Optimales
Portfolio
[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Fabozzi/Gupta/Markowitz (2002), S. 8]
Die Gesamtzahl der zu schätzenden Inputs beläuft sich bei einem Portfolio mit N
Aktien allgemein auf N(N+3)/2. So sind zum Beispiel bei der Optimierung eines
Zehn-Wertpapier-Portfolios zehn erwartete Renditen, zehn Varianzen und 45 Kovarianzen zu prognostizieren. Insgesamt müssten in diesem Fall also 65 unbekannte
Parameter geschätzt werden.
Im Kern der Modernen Portfolio-Theorie nach Markowitz stehen die quantitative
Beschreibung des Portfoliorisikos, die Analyse der Porfoliodiversifikation und die
Ermittlung effizienter und optimaler Portfolios nach dem Grundsatz, für jede mögliche Portfoliorendite die Wertpapiermischung zu finden, welche die kleinste Rendite-
25
2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle
varianz verursacht. Dieser innovative Ansatz erlaubte es der Wissenschaft, die Analyse der Probleme der Geldanlage grundlegend voranzutreiben. Auf der Portfolio
Selection baut beispielsweise mit dem Capital Asset Pricing Model das wohl bekannteste Kapitalmarktmodell auf. Dieses wird im Abschnitt 2.5.1 vorgestellt.
Kritik an der Portfolio Selection wird vordergründig wegen des hohen Datenaufwandes geübt, welcher das in der Theorie elegante Modell für den praktischen Einsatz
stark in Frage stellt.
2.3 Index-Modell von SHARPE
2.3.1 Ansatz des Index-Modells von SHARPE
Die im Markowitz-Modell bestehende Datenproblematik hat 1963 zur Entwicklung
des Indexmodells36 durch Sharpe geführt.37 Der Grundgedanke des Index-Modells ist
die Reduzierung der zur Bestimmung der Effizienzkurve benötigten Inputgrößen.
Die Korrelation wird nicht zwischen sämtlichen Anlagen paarweise, sondern zwischen jeder Anlage und dem Index berechnet.
In der Praxis werden auf einem nationalen Markt häufig Korrelationswerte zwischen
0,3 und 0,9 beobachtet.38 Sharpe geht davon aus, dass fundamentale Ursachen die
Gründe für diese positiven Korrelationswerte seien.39 Aus diesem Grund sollte ein
repräsentativer Index die Renditeunsicherheit der Anlagewerte vollständig erklären
können. Die Renditeentstehung kann demnach folgendermaßen modelliert werden40:
[2.63]
Ri = ai + bi RI + ε i
mit:
Ri:
a i:
RI:
b i:
ε i:
36
Rendite der Aktie i
Konstante, unternehmensindividuelle Rendite
Rendite des Indexes, der die für alle Unternehmen bedeutsamen Ereignisse erfasst
Sensitivität der Aktie i auf Änderungen von RI
Titelspezifische Störkomponente41
Auch Single-Index-Modell oder Diagonalmodell genannt.
vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 15
38
vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 16
39
vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 16
40
vgl. Sharpe/Gordon/Alexander (1995), S. 206
41
Unternehmensspezifische Ereignisse wie z. B. ein Brand beeinflussen die Rendite eines Unternehmens ebenfalls. Solche Unsicherheiten werden in der Gleichung durch die Störkomponente wiedergegeben.
37
26
2.3 Index-Modell von SHARPE
Abbildung 2.10 stellt den Zusammenhang zwischen der Rendite eines Wertpapiers i
und der Entwicklung des Marktindexes dar. Die Werte ai und bi werden mit einer
linearen Regressionsgeraden geschätzt.
Abbildung 2.10: Zusammenhang zwischen Indexrendite und Aktienrendite
Aktienrendite Ri
εit2
y
x
bi=y/x
εit1
ai
Indexrendite RI
[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Steiner/Bruns (2000), S. 17]
Im Anhang A.1 befindet sich die Herleitung der Formeln für die erwartete Porfoliorendite und die Portfoliovarianz im Index-Modell von Sharpe. Die erwartete Portfoliorendite lautet:
[2.64]
N
E [RP ] = ∑ wi ai + bP E [RI ]
i =1
mit
N
bP = ∑ wi bi
i =1
Die Portfoliovarianz setzt sich aus dem indexspezifischen bzw. systematischen Risiko und dem titelspezifischen bzw. unsystematischen Risiko zusammen. Sie ergibt
sich im Index-Modell zu:
σ P2 = E [RP − E [RP ]]2
[2.65]
N
= bP2σ I2 + ∑ wi2σ ε2i
i =1
Diese Formeln sind nötig, um mit dem Index-Modell von Sharpe die Effizienzkurve
zu berechnen. Es ist auch hier die Portfoliovarianz, bei gegebenen Renditeerwartungen und der Bedingung der vollständigen Investition in die zur Verfügung stehenden
Anlagen, zu minimieren:
27
2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle
2
[2.66]
u.d.N.
N
⎞
⎛ N
min! ⎜ ∑ wi bi ⎟ σ I2 + ∑ wi2σ ε2i
⎟
⎜
i =1
⎝i = 1 ⎠
N
N
E [RP ] = ∑ wi ai + ∑ wi bi E [Ri ]
i =1
i =1
und
n
∑ wi = 1
i =1
Auf eine, wie im Modell von Markowitz dargestellte, ausführlichere Herleitung der
Lösung dieser Minimierungsaufgabe wird verzichtet, da das Single-Index-Modell
von Sharpe im empirischen Teil dieser Arbeit nicht weiter untersucht wird.
2.3.2 Modellkritik
In der Abbildung 2.11 ist der Prozess der Portfolio-Optimierung nach dem SingleIndex-Modell veranschaulicht.
Abbildung 2.11: Der Prozess der Portfolio-Optimierung im Index-Modell von SHARPE
Prognose der N Sensitivitäten bi
Restriktionen bezüglich des Vektors der
Portfoliogewichte w
Prognose der N titelspezifischen Renditen ai
Prognose der N Varianzen
σε12………σεN2
Effiziente Portfolios
PORTFOLIOOPTIMIERUNG
Prognose der Indexrendite
E[RI]
Prognose der Indexvarianz
σI2
Ziele des Anlegers,
z. B. Nutzenmaximierung
Optimales
Portfolio
[Quelle: Eigene Darstellung]
Es sind insgesamt 3N+2 Daten zu schätzen. Bei einem Portfolio von zehn Wertpapieren beträgt der Prognoseaufwand also 32 Daten.42
42
Im Markowitz-Modell wären es 65 gewesen, allerdings steigt die Parameterzahl dort exponentiell
mit der Aktienanzahl.
28
2.4 TOBIN-Separation
Das Index-Modell von Sharpe berücksichtigt die offensichtliche Abhängigkeit der
Wertentwicklung von Aktien auf einem Markt. Ein Aktienindex gibt in dem Modell
die Umweltbedingungen auf dem Markt wieder. Die Performance jeder Aktie des
Portfolios lässt sich durch die geschätzte Rendite des Indexes ableiten. Somit reduziert sich der Schätzaufwand im Vergleich zum Markowitz-Modell erheblich.
Diesem reduzierten Prognoseaufwand steht allerdings ein deutlicher
Informationsverlust gegenüber. Die Gültigkeit der Annahmen, die im Index-Modell
über die Störkomponenten getroffen werden43, ist außerdem fragwürdig. So ist es
vorstellbar, dass unternehmensindividuelle Renditeentwicklungen durchaus
Auswirkungen auf andere Unternehmen haben können. In dem Fall würden sich aber
im Index-Modell für die Varianzen und Kovarianzen nur approximative Werte
ergeben.44
2.4 TOBIN-Separation
James Tobin erweiterte 1958 die Theorie von Markowitz, indem er die Möglichkeit
berücksichtigte, ein risikoloses Wertpapier in das Portfolio zu integrieren. Eine weitere Annahme seines Modell war die Existenz eines vollkommen vollständigen Kapitalmarktes45, an dem jeder Anleger die Möglichkeit zu unbegrenzter Kreditaufnahme
hat.46
Die wichtigste neue Erkenntnis war, dass sich das Entscheidungsproblem des Anlegers in einer anderen Weise als bei dem von Markowitz behandelten Fall mit ausschließlich riskanten Investitionsmöglichkeiten in zwei Teile zerlegen oder separieren lässt. Im ersten Schritt wird die Zusammensetzung des risikobehafteten
Wertpapierportfolios bestimmt. Dies passiert unabhängig von der jeweiligen Risikoneigung des Investors. Im zweiten Schritt entscheidet sich der Anleger, wie sehr das
Risiko und der erwartete Gewinn dieses riskanten Portfolios durch Geldanlage oder
Kreditaufnahme zum sicheren Zinssatz Rf, gemindert oder erhöht werden.47
Die erwartete Rendite eines Mischportfolios aus einer risikolosen Anlage und einer
risikobehafteten Anlage hängt maßgeblich von dem Anteil α des Vermögens ab, das
in das sichere Wertpapier investiert wird. Die folgende Formel veranschaulicht die
erwartete Rendite, die ein Anleger mit einem solchen Mischportfolio erreichen kann:
43
siehe Anhang A.1
vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 259
45
In einem vollkommenen Kapitalmarkt gibt es keine Arbitragemöglichkeiten, keine Transaktionskosten und keine Einschränkungen beim Short-Selling. Soll- und Habenzinsen sind gleich, und alle
Wertpapiere sind beliebig teilbar. [siehe Franke/Härdle/Hafner (2003), S. 13]
46
vgl. Schmidt (1996), S. 331
47
vgl. Schmidt (1996), S. 332
44
29
2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle
[2.67]
E [RP ] = α ⋅ R f + (1 − α ) ⋅ E [Rr ]
mit
E[RP]:
α:
Rf:
Rr:
Erwartete Portfoliorendite
Anteil des Vermögens, das in die sichere Anlage
investiert wird
Risikoloser Zinssatz
Erwartete Rendite der risikobehafteten Anlage
Es ist mit einer risikolosen Anlage und einem gegebenen risikobehafteten Portfolio
durch Kreditaufnahme, das heißt ein negatives α, oder die Anlage zum sicheren Zinssatz möglich, ein Mischportfolio zu bilden, dessen erzielbare Parameter µ und σ auf
der Geraden liegen, welche die zwei Anlagen verbindet. Das beste riskante Portfolio
in diesem Sinne ist dasjenige, welches es ermöglicht, für ein gegebenes Risiko die
höchste erwartete Rendite zu erreichen. Die Abbildung 2.12 veranschaulicht, wie
eine risikolose Anlage Rf mit einem ineffizienten risikobehafteten Portfolio INEFF
und dem effizienten risikobehafteten Portfolio EFF kombiniert werden kann. Es wird
ersichtlich, dass das effiziente risikobehaftete Portfolio bei der Tobin-Separation das
Tangentialportfolio auf der Kurve effizienter Portfolios von Markowitz ist.
Abbildung 2.12: Die TOBIN-Separation
[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Kruschwitz (2003), S. 366]
Die Gerade effizienter Portfolios in der Tobin-Separation kann man demnach schreiben als:
[2.68]
30
E [RP ] = R f +
E [REFF ] − R f
σ EFF
⋅σ P
2.5 Kapitalmarktmodelle
Im nächsten Schritt sind die subjektiven Risikopräferenzen des Anlegers notwendig,
um das Verhältnis der risikolosen Anlage und des risikobehafteten Portfolios im neuen optimalen Mischportfolio zu bestimmen. Jeder Anleger wird das Mischportfolio
wählen, welches ihn auf das höchstmögliche Nutzenniveau bringt. Abbildung 2.13
verdeutlicht, welche µ-σ-Kombinationen der Anleger im Falle eines ausschließlich
aus riskanten Wertpapieren zusammengestellten Portfolios und im Falle der TobinSeparation mit einer risikolosen Anlage wählen würde.
Aus der Abbildung 2.13 wird ersichtlich, dass die Tobin-Separation dem Anleger
ermöglicht, ein höheres Nutzenniveau zu erreichen als bei der Portfolio Selection
von Markowitz mit ausschließlich risikobehafteten Wertpapieren.
Im Anhang A.2 sind die Herleitungen des effizienten Tangentialportfolios EFF und
der Geraden effizienter Portfolios nach Tobin aufgeführt.
Abbildung 2.13: Optimale Portfolios nach TOBIN und MARKOWITZ
[Quelle: Eigene Darstellung]
2.5 Kapitalmarktmodelle
In den Modellen von Markowitz und Tobin wird aus mehreren Wertpapieren die
Kurve effizienter Portfolios und das Tangentialportfolio ermittelt. Im Folgenden
Schritt wird ein für den Anleger optimales Portfolio ermittelt, indem seine Nutzenfunktion maximiert wird. Diese Ansätze sind normativ, da sie besagen, wie sich ein
individueller Investor verhalten soll. Die Kapitalmarktmodelle versuchen vorder-
31
2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle
gründig zu erklären wie Wertpapierpreise zustande kommen. Diese Theorien sind
explikativer Natur.48
Der klassische Ansatz der Kapitalmarkttheorie ist das 1964-1966 von Sharpe, Lintner
und Mossin49 entwickelte Capital Asset Pricing Model CAPM. Außerdem wird die,
auf einer anderen theoretischen Basis entwickelte Arbitrage Pricing Theory APT
behandelt.
2.5.1 Capital Asset Pricing Model
2.5.1.1 Annahmen
Die grundlegende Annahme des Modells besagt, dass sich Anleger dem Modell der
Modernen Portfolio-Theorie gemäß verhalten. Folgende Annahmen des CAPM wurden bereits im Rahmen der Portfolio-Theorie getroffen50:
-
Investoren bewerten Investitionen nach deren erwarteter Rendite und nach
dem Risiko über eine bestimmte Periode.
Investoren sind nie gesättigt.
Investoren verhalten sich risikoavers.
Wertpapiere sind unendlich teilbar.
Es existiert eine sichere Anlage.
Steuern und Transaktionskosten werden nicht berücksichtigt.
Außerdem werden im CAPM zusätzliche Annahmen aufgestellt:
-
Alle Investoren haben denselben einperiodigen Planungshorizont.
Der sichere Zinssatz ist für sämtliche Investoren identisch.
Informationen sind frei und sofort verfügbar.
Investoren haben homogene Erwartungen bezüglich µ, σ2 und σij.
2.5.1.2 Die Kapitalmarktlinie
Der erste Schritt zur Konstruktion des CAPM besteht in der Ermittlung der Kapitalmarktlinie. Der Aufbau der Kapitalmarktlinie erfolgt analog zur Tobin-Separation51,
allerdings stellt die Kapitalmarktlinie durch die zusätzlichen Annahmen des CAPM,
die Linie effizienter Portfolios für sämtliche Investoren dar. Die individuellen Portfolios unterscheiden sich nur noch durch die verschiedenen Mischverhältnisse zwi48
vgl. Sharpe/Alexander/Bailey (1995), S. 261
Perridon/Steiner (1999), S. 260 beziehen sich auf: Sharpe (1964), Lintner (1965) und Mossin (1966)
50
vgl. Sharpe/Alexander/Bailey (1995), S. 261
51
siehe Abschnitt 2.4 und Anhang A.2
49
32
2.5 Kapitalmarktmodelle
schen der sicheren Anlage und dem risikobehafteten Portfolio.52 Durch die getroffenen zusätzlichen Annahmen wird das risikobehaftete Portfolio jedes Anlegers dieselbe Struktur besitzen. Dieses Portfolio wird auch Marktportfolio genannt.53 Wenn von
der Gültigkeit des CAPM ausgegangen wird, so können die Wertpapiergewichtungen
des riskanten Portfolios aus den relativen Marktkapitalisierungen der in ihm vorhandenen Assets bestimmt werden; wenn jeder Investor die Wertpapiere zu einem identischen Verhältnis kauft, so wird das Verhältnis, zu dem die Gesamtheit der Investoren diese Anlagen besitzen, demjenigen jedes Anlegers entsprechen.
Ähnlich wie bei der Tobin-Separation ist die Formel der Kapitalmarktlinie:
[2.69]
E[ R P ] = R f +
mit:
E[RP]:
Rf:
E[RM]:
σ M:
σP:
E [RM ] − R f
σM
σP
Erwartete Rendite des Portfolios
Risikoloser Zinssatz
Erwartete Rendite des Marktportfolios
Standardabweichung des Marktportfolios
Standardabweichung des Portfolios
Die Steigung der Kapitalmarktlinie beträgt:
[2.70]
m KML =
E [RM ] − R f
σM
Sie stellt den Marktpreis für eine Änderung des Risikos um eine Einheit σ dar und
wird aus diesem Grund auch als Marktpreis des Risikos bezeichnet.54
Graphisch entspricht die Kapitalmarktlinie der Geraden effizienter Portfolios der
Tobin-Separation und ist in der Abbildung 2.12 veranschaulicht. Durch die Annahmen des CAPM kann das effiziente risikobehaftete Portfolio EFF als Marktportfolio
bezeichnet werden.
2.5.1.3 Die Wertpapierlinie
Die Wertpapierlinie ist die entscheidende Erweiterung der Portfolio-Theorie und
stellt das Grundmodell des CAPM dar. Sie veranschaulicht den Zusammenhang zwischen erwarteter Wertpapierrendite und Risiko des Wertpapiers, der im Marktgleich52
vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 264
vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 23
54
vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 265
53
33
2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle
gewicht immer gegeben sein muss. Eine ausführliche Herleitung der Wertpapierlinie
befindet sich im Anhang A.3. Die Wertpapierlinie lautet:
] σσ
[
[2.71]
E [Ri ] = R f + E [RM ] − R f ⋅
mit:
Rf:
E[Ri]:
iM
2
M
Risikoloser Zinssatz
Erwartete Rendite des Wertpapiers i im Marktgleichgewicht
Erwartete Rendite des Marktportfolios
Kovarianz des Wertpapiers mit dem Marktportfolio
Renditevarianz des Marktportfolios
E[RM]:
σiM2:
σM2:
Demnach kann für eine einzelne risikobehaftete Investition im Kapitalmarktgleichgewicht eine Rendite erwartet werden, die aus der risikolosen Rendite und einer Risikoprämie zusammensetzt ist. Die Risikoprämie ergibt sich aus dem Produkt des
Marktpreises des Risikos55 [E[RM]-Rf] mit der Höhe des Risikos der einzelnen Anlage, die durch den Ausdruck σiM/σM2 gemessen wird. Für dieses Risikomaß hat sich
der Ausdruck des Betafaktors β durchgesetzt. Es gilt:
[2.72]
βi =
σ iM
σ
= ρ iM i
2
σM
σM
Schließlich kann die Standardgleichung des CAPM aufgestellt werden:
[2.73]
[
]
E [Ri ] = R f + E [RM ] − R f ⋅ β i
Die Wertpapierlinie ist in der Abbildung 2.14 veranschaulicht. Basierend auf der Kapitalmarktlinie beantwortet sie die Fragestellung, wie ein einzelnes Wertpapier im
Marktgleichgewicht zu bewerten ist. Befindet sich ein Wertpapier oberhalb der
Wertpapierlinie, so gilt es als unterbewertet. Anleger werden diesen günstigen Preis
des Wertpapiers nutzen und es kaufen. Durch diese erhöhte Nachfrage wird allerdings der Preis der Anlage steigen und konsequenterweise die Rendite der Anlage
fallen. Für überteuerte Wertpapiere, die sich unter der Wertpapierlinie befinden, gilt
dieser Gedankengang umgekehrt. Das CAPM-Gleichgewicht geht demnach davon
aus, dass sich die Rendite eines Wertpapiers durch seinen Beta-Faktor vollständig
55
in der angelsächsischen Literatur: Market Risk Premium
34
2.5 Kapitalmarktmodelle
erklären lässt, sowie dass Ungleichgewichte auf dem Markt nur kurzfristig bestehen
können und schließlich wieder zum Gleichgewicht tendieren.
Abbildung 2.14: Die Wertpapierlinie
Aktienrendite Ri
Wertpapierlinie
E[RM]
Rf
Beta-Faktor βi der
Aktie i
βM=1
[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Steiner/Bruns (2000), S. 27]
2.4.1.4 Systematisches und unsystematisches Risiko
Im Anhang A.1 wurde die Formel zur Festlegung des Portfoliorisikos deriviert. Das
Portfoliorisiko im Index-Modell ergibt sich zu:
[2.74]
σ P2 =
bP2σ I2
123
+
SYSTEMATISCHES RISIKO
N 2 2
∑ wi σ ε i
i1=4124
3
UNSYSTEMATISCHES RISIKO
Das Portfoliorisiko lässt sich aus einem Term für das systematische, also vom Markt
abhängige, Risiko und einem Term für das unsystematische, wertpapierspezifische
Risiko bestimmen. Die Konvergenz des Portfoliorisikos gegen das systematische
Risiko wird mit steigender Anzahl an Wertpapieren im Portfolio deutlich:
SYSTEMATISCHES RISIKO
[2.75]
lim σ P2 =
N →∞
64748
lim bP2σ I2
N →∞
0
6447
44
8
N 2 2
+ lim ∑ wi σ ε i
N →∞
i =1
= bP2σ I2
bzw. im CAPM:
35
2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle
lim σ P2 = β P2σ I2
N →∞
[2.76]
mit
N
β P = ∑ wi ⋅ β i
i =1
Die Eliminierung des unsystematischen Risikos ist demnach umso effektiver, je diversifizierter das Portfolio ist. Die Abbildung 2.15 veranschaulicht die Entwicklung
des Portfoliorisikos bei steigender Diversifikation.
Abbildung 2.15: Systematisches und unsystematisches Portfoliorisiko bei steigender
Diversifikation
Portfoliorisiko σP2
UNSYSTEMATISCHES RISIKO
SYSTEMATISCHES RISIKO
Anzahl der Aktien
im Portfolio
[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Sharpe/Alexander/Bailey (1995)]
2.5.1.5 Modellkritik
Das CAPM stellt das wichtigste Modell zur Erklärung von Wertpapierrenditen in
Abhängigkeit von deren Risiko und zur Analyse der Risikoreduktion durch Diversifikation dar. Die Aussage, dass Investoren lediglich für die Aufnahme von systematischem Risiko vom Markt in Form von erwarteter Rendite belohnt werden und dass
unsystematisches, diversifizierbares Risiko keine Risikoprämie verursacht, ist eine
wichtige Erkenntnis in der Kapitalmarkttheorie.
Seit der Entwicklung durch Sharpe, Lintner und Mossin wurde das CAPM in zahlreichen Untersuchungen auf seine empirische Gültigkeit getestet. Das Modell konnte
bisher weder eindeutig verifiziert noch falsifiziert werden. Hervorzuheben sind die
vielen und zum Teil unrealistischen Annahmen, auf die sich das Modell stützt. Des
Weiteren ist die Stationarität der Modellparameter, vor allem des Beta-Faktors, im
Zeitablauf nicht gegeben.56 Die zentrale Aussage der Kapitalmarktlinie beschreibt
daher nicht das reale Anlegerverhalten, sondern verdeutlicht die Gleichgewichtsbe
56
vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 28 f.
36
2.6 Performance-Messung von Portfolios
dingungen für die Unabhängigkeit von Investitionsentscheidungen von persönlichen
Rendite-Risiko-Präferenzen.57
2.5.2 Arbitrage Pricing Theory
Die Basis der Arbitrage Pricing Theory APT ist nicht mehr die Portfolio-Theorie,
sondern ein in sich geschlossenes Arbitragegebäude.58 Eine ausführliche Behandlung
der APT gehört demnach nicht in diese Arbeit; da sie aber in der Literatur die geläufigste Alternative zum CAPM darstellt, wird deren Grundgedanke im Folgenden kurz
dargestellt.
Die von Ross 1976 entwickelte Arbitrage Pricing Theory basiert auf einem anderen
Ansatz als das CAPM, bei dem die Erklärung von Wertpapierrenditen lediglich auf
der Rendite und das Risiko des Marktportfolios zurückgeführt wird. Die APT erklärt
Wertpapierrenditen anhand mehrerer Faktoren, sie kann in folgender Form geschrieben werden:
[2.77]
E [Ri ] = R f + (E [F1 ] − R f )β i1 + (E [F2 ] − R f )β i 2 + K + (E [FK ] − R f )β iK
14444444444244444444443
Risikoprämie
= R f + ∑ (E [Fk ] − R f )β ik
K
k =1
E[Fk] entspricht der erwarteten Rendite eines Portfolios, welche vom k-ten Faktor
abhängt und von allen anderen Faktoren vollkommen unabhängig ist. Der Betafaktor
βik ist das Sensitivitätsmaß der Aktienrendite gegenüber dem k-ten Faktor. Der Vorteil, der durch die APT hervorgehen soll, ist die Erklärung der Risikoprämien von
Wertpapieren aus mehreren wirtschaftlichen Einflussgrößen.59
2.6 Performance-Messung von Portfolios
Unter Performance-Messung ist die Beurteilung und der Vergleich des relativen Anlageerfolgs von Portfolios zu verstehen. In der Praxis kann durch die PerformanceMessung die Leistung von Portfoliomanagern quantifiziert und verglichen werden.60
57
vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 264
vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 30
59
vgl. Kruschwitz (2003), S. 370
60
vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 567 f.
58
37
2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle
In der Entwicklung neuer Portfoliokonzepte können verschiedene Ansätze auf ihre
Güte getestet werden und gegebenenfalls verbessert oder ausgeschlossen werden.
Die Besonderheit der verschiedenen Methoden zur Performance-Messung liegt in der
zweidimensionalen Rendite-Risiko-Beurteilung der Portfolios. Eine im PortfolioManagement typische Aussage, ein bestimmtes Portfolio habe seine Benchmark geschlagen, ist aufgrund der alleinigen Betrachtung der Portfoliorendite, unbrauchbar:
Das gesamte Kapital würde in das Portfolio mit der höchsten Überperformance investiert werden.
Die Festlegung einer Benchmark, an der die Performance eines Portfolios gemessen
wird, ist von großer Bedeutung. Ein Vergleich der Portfolios mit einer Benchmark
erfolgt in sämtlichen der in diesem Abschnitt vorgestellten Performancemaße. Nach
Sharpe sollte eine Benchmark folgenden Anforderungen gerecht werden: 61
-
Bei der Benchmark sollte es sich um eine real erwerbbare Anlagealternative
handeln.
Die Benchmark sollte sehr gut diversifiziert und deshalb schwer risikoadjustiert zu schlagen sein.
Der reale Erwerb der Benchmark sollte kostengünstig durchzuführen sein.
Die Benchmark sollte vor dem Zustandekommen von Anlageentscheidungen
festgelegt sein.
-
Im Folgenden werden die gängigen Maße zur Quantifizierung der Performance von
Portfolios aufgeführt.
SHARPE-Ratio
Die Sharpe-Ratio, auch Reward to Variability Ratio genannt, diskontiert die Überrendite gegenüber dem risikolosen Zinssatz mit dem Risiko des Portfolios. Die Formel zur Festlegung der Sharpe-Ratio lautet:62
[2.78]
SR P =
RP − R f
σP
Verbal drückt die Sharpe-Ratio die erzielte Risikoprämie je Einheit des Gesamtrisikos aus. Die Portfolioperformance ist demnach umso besser einzustufen, je höher der
Wert der Sharpe-Ratio ist. Vergleicht man die Formel 2.77 mit der Formel 2.70, so
wird ersichtlich, dass der Wert der Sharpe-Ratio einem Ex-post-Anstieg der Kapi61
62
vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 574
vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 295
38
2.6 Performance-Messung von Portfolios
talmarktlinie entspricht. Portfolios lassen sich über die Sharpe-Ratio miteinander
vergleichen. Portfolios mit einer höheren Sharpe-Ratio gelten als risikoadjustiert
effizienter als Portfolios mit einer niedrigen Sharpe-Ratio.63
TREYNOR-Koeffizient
Der Treynor-Koeffizient ist auch unter der Bezeichnung Reward to Volatility Ratio
bekannt. Dieser Koeffizient stützt sich ebenfalls auf das CAPM, berücksichtigt jedoch statt der Volatilität des Portfolios dessen systematisches Risiko. Die Formel des
Treynor-Koeffizienten lautet:64
[2.79]
TK P =
RP − R f
βP
Je höher das Performancemaß von Treynor bei einem Portfolio ausfällt, desto besser
wurde die Übernahme systematischen Risikos belohnt. Portfolios mit einem höheren
Treynor-Koeffizienten werden in der Performance-Messung besser abschneiden als
Portfolios mit niedrigeren Werten.
JENSEN-Alpha
Das Jensen-Alpha, auch Differential Return genannt, bietet eine alternative Herangehensweise für die Performance-Messung von Portfolios. Auch dieser Ansatz stützt
sich auf das Modellgerüst des CAPM. Die verbuchte Überrendite eines Portfolios
wird mit der erwarteten Überrendite dieses Portfolios verglichen. Die Formel hierzu
lautet:65
[2.80]
JAP = (RP − R f ) − (R BM − R f ) ⋅ β P + ε PF
mit
E [ε PF ] = 0
Jensens Alpha misst die Performance eines Portfolios relativ zum Markt. Das Verfahren eignet sich jedoch nicht zu einem Vergleich von Portfolios mit unterschiedlchem systematischem Risiko und ist eher als absolutes Maß zur Beurteilung der
Leistung von Portfoliomanagern einzusetzen.66
Die Performance-Maße von Jensen und Treynor verwenden das systematische Risiko
bei der Risikoabdiskontierung. Ein gut diversifiziertes Portfolio, das denselben Beta63
vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 576
vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 295
65
vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 582
66
vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 294
64
39
2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle
Faktor besitzt wie ein zweites, schlechter diversifiziertes Portfolio, würde mit demselben Faktor abdiskontiert werden. Dies ist keine faire Beurteilung, da das Portfolio
mit dem kleineren unsystematischen Risiko ein kleineres Risikomaß besitzen sollte.
Sowohl dem Jensen-Alpha als auch dem Treynor-Koeffizienten können dieselben
Kritikpunkte wie dem CAPM angelastet werden.67
Eine relative Beurteilung unterschiedlicher Portfolios ist lediglich mit den Verfahren
von Sharpe und Treynor möglich.
In dem empirischen Teil dieser Arbeit werden die Portfolio-Management-Techniken
durch die Analyse ihrer Sharpe-Ratios miteinander verglichen.
2.7 Fazit
In diesem Kapitel wurden die Grundlagen der Modernen Portfolio- und Kapitalmarkt-Theorie dargestellt. Diese Theorien haben das Wertpapiermanagement revolutioniert und die akademische Untersuchung der Wertpapier- und Kapitalmärkte möglich gemacht. Der Ökonomie-Nobelpreis „for their pioneering work in the theory of
financial economics”, der 1990 an Markowitz68, Sharpe69 und Miller70 ging, unterstreicht die Relevanz der aufgeführten Theorien.
Bis zur Veröffentlichung des Artikels Portfolio Selection von Markowitz im Jahre
1952 gab es keine fundierte wissenschaftliche Erklärung für die in der Praxis betriebene Diversifikation von Wertpapierportfolios. Die Erkenntnis, dass Wertpapiere, die
besonders niedrige Korrelationen zueinander aufweisen das Portfoliorisiko erheblich
senken können, und die Ermittlung effizienter Wertpapiermischungen gehen auf
Markowitz zurück.
Die Portfolio Selection nach Markowitz war die Ausgangstheorie, nach der sich die
gesamte Moderne Portfolio-Theorie und das CAPM von Sharpe, Lintner und Mossin
entwickeln ließen. In der akademischen Welt gilt das CAPM als Grundgerüst der
Kapitalmarkttheorie. Die zentralen Aussagen des CAPM sind die Vergütung für die
Aufnahme von systematischem, das heißt marktabhängigem Risiko, und die Möglichkeit, unsystematisches Risiko vollständig wegzudiversifizieren.
67
vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 295
für “Foundations of Portfolio Theory”
69
für “Capital Asset Prices with and without Negative Holding”
70
für „Leverage“
68
40
2.7 Fazit
Andererseits bauen sowohl die Portfolio Selection als auch das CAPM auf vielen und
zum Teil unrealistischen Annahmen auf. Der erhebliche Datenaufwand, insbesondere
bei der Portfolio-Optimierung nach Markowitz, macht einen Einsatz des Modells in
der Praxis kompliziert. Lösungsansätze dieser Datenproblematik, wie das IndexModell von Sharpe, reduzieren zwar den Datenaufwand, führen jedoch zu einem
entsprechenden Informationsverlust. Ein weiterer Kritikpunkt, der an der MittelwertVarianz-Optimierung geübt wird, ist die Tatsache, dass sobald ein Wertpapier aufgrund der geschätzten Daten den anderen Anlagen des Portfolios im Rendite-RisikoKontext überlegen ist, die Optimierungsroutine dieses Wertpapier deutlich übergewichten wird. Fehler in den geschätzten Renditen haben somit einen starken Einfluss
auf die Gestaltung und Performance des Portfolios. Da aber Fehler in der Renditeeinschätzung im Wertpapiermanagement durchaus vorkommen, ist die Kurve effizienter
Portfolios ex ante nicht zu bestimmen.
41
3 Portfolio-Management nach BLACK
und LITTERMAN
3.1 Defizite der Portfoliooptimierung nach MARKOWITZ
Die im Kapitel 2 dargestellte Portfolio-Selection-Theorie von Markowitz stellt eine
quantitativ generell anerkannte Methode dar, um den Trade-off zwischen den zwei
Grundzielen der Renditemaximierung und der Risikominimierung bei Investitionen
zu erklären. Dieser Ansatz bildet nach wie vor das akademische Grundgerüst der
Portfoliotheorie. In der Praxis konnte sich der Markowitz’sche Ansatz aufgrund diverser schwerwiegender Probleme allerdings nur eingeschränkt durchsetzen. Die vier
Hauptprobleme bei der Anwendung des klassischen Ansatzes sind:71
Extreme Portfolioallokationen
Häufig beinhalten optimierte Portfolios sowohl auf der Long-Seite als auch auf der
Short-Seite extreme Portfoliogewichte. Diese Gewichte könnten in der Praxis bereits
aus institutionellen und rechtlichen Gründen nicht umgesetzt werden.72 Die Mittelwert-Varianz-Optimierung tendiert auch bei Portfolios mit Restriktionen, wie zum
Beispiel der Ausschluss von Leerverkäufen, zu extremen Portfoliogewichten.
Abbildung 3.1: Portfoliogewichte nach MARKOWITZ mit und ohne Leerverkäufe
Mit Leerverkäufen
Ohne Leerverkäufe
In der Abbildung 3.1 sind die Markowitz-Gewichte73 eines Sieben-WertpapierPortfolios aus den Aktien des DAX mit der höchsten Marktkapitalisierung darge
71
Vgl. He/Litterman (1999), S. 2 f. und Drobetz (2002), S. 4 ff.
vgl. Drobetz (2002), S. 6
73
Nutzenmaximierendes Portfolio mit U= µ - 0.5 λ σ2; Der Risikoaversionsparameter wurde auf
λ = 200 gesetzt, um das Beispiel anschaulicher zu machen.
72
42
3.1 Defizite der Portfoliooptimierung nach MARKOWITZ
stellt.74 In der ersten Tabelle wurden Leerverkäufe, in der zweiten nur Longpositionen erlaubt. Beide Portfolios weisen eine hohe Konzentration auf. Die SIE-Aktie
wird aufgrund ihrer sehr hohen historischen Rendite bei relativ niedriger Volatilität75
stark übergewichtet. In dem ersten Portfolio der Abbildung 3.1 werden einige Werte
stark geshortet, um eine erhöhte Beteiligung an den historisch stärkeren Aktien zu
ermöglichen.
Sensitivität der Portfoliogewichte
Ein weiteres Problem stellt die starke Sensitivität der Portfoliogewichte gegenüber
Veränderungen der Inputfaktoren dar. Besonders Veränderungen der erwarteten
Renditen führen zu unrealistisch großen Umschichtungen im Portfolio. Dies hat zum
einen die Folge hoher Transaktionskosten, zum anderen steht eine zu hohe Umschichtungsfrequenz für inkonsistentes Portfolio-Management und ist nach außen nur
schwer kommunizierbar.76 Die Abbildung 3.2 verdeutlicht diese Problematik.
Abbildung 3.2: Sensitivität der MARKOWITZ-Portfolios ohne und mit Leerverkaufsrestriktionen auf eine revidierte Renditeprognose
Die erwartete Rendite für das Jahr 2004 der SIE-Aktie wurde ceteris paribus um zehn
Prozent erhöht. Die grauen Balken stellen die Portfoliogewichte vor der Revision der
74
Es handelt sich dabei, geordnet nach der Marktkapitalisierung, um folgende Werte: Siemens AG
(SIE), Deutsche Telekom AG (DTE), Deutsche Bank AG (DBK), Allianz AG (ALV), E.ON AG
(EOA), Daimler Chrysler AG (DCX), SAP AG (SAP) [Stand: 30.12.2003]. Im Anhang B.3.3 sind die
Marktkapitalisierungen der 15 größten DAX-Aktien veranschaulicht.
Die historischen Renditen sowie die Varianz-Kovarianz-Matrix wurden über die letzten 100
Börsentage des Jahres 2003 ermittelt (08.08.03-30.12.03) und auf Jahresrenditen bzw. Jahresvolatilitäten hochgerechnet. Die zugehörigen Matrizen befinden sich im Anhang B.2. Die Gewichte dieses
Sieben-Wertpapier-Portfolios beziehen sich somit auf das Jahr 2004. Dieses Sieben-WertpapierPortfolio wird auch in den folgenden Abschnitten als Beispielportfolio zur Illustration verschiedener
Eigenschaften des Markowitz’schen Ansatzes sowie des Black-Litterman-Ansatzes herangezogen.
75
siehe Anhang B.2
76
vgl. Drobetz (2002), S. 7
43
3 Portfolio-Management nach BLACK und LITTERMAN
Renditeerwartung dar. Die schwarzen Balken zeigen die Gewichte unter der revidierten Renditeerwartung. Analog zur Abbildung 3.1 sind in dem ersten Portfolio Leerverkäufe erlaubt, in dem zweiten hingegen nicht. Die nach oben korrigierte Renditeerwartung für SIE bewirkt in beiden Portfolios starke Umschichtungen, welche die
Konzentration auf wenige Wertpapiere verstärken.
Informationsaggregation
Der Markowitz’sche Ansatz erfordert die Spezifikation der Renditeerwartungen
sämtlicher Wertpapiere sowie die dazugehörige Varianz-Kovarianz-Matrix. Die
Schwierigkeit, qualitativ gute Renditeprognosen zu erstellen, und die Tatsache, dass
Portfoliomanager in der Regel nur in ausgewählten Wertpapierklassen über verlässliche Renditeerwartungen verfügen, stellt die Portfoliomanager bei der Zusammenstellung der Eingabematrizen für die Mittelwert-Varianz-Optimierung vor eine große
Herausforderung.77
Keine Möglichkeit, Aussagen über die Prognosegüte zu treffen
Portfoliomanager haben durch den Einsatz verschiedener Analyseinstrumente bezüglich ihrer Prognosen häufig verschiedene Konfidenzen. Derartige Unterschiede in der
Güte der Prognosen können in dem Markowitz-Formalismus nicht berücksichtigt
werden.
Diese Probleme, die durch den praktischen Einsatz der klassischen Portfoliotheorie
aufkommen, führen dazu, dass das Modell in der Praxis nur bedingt umgesetzt werden kann. Der Versuch, das Modell durch verschiedene Restriktionen realistischer zu
machen, ist oft mit einem unverhältnismäßigen Aufwand verbunden. Für Black und
Litterman war dies der Anstoß, ein Portfolio-Management-Modell zu entwickeln, das
die oben angesprochenen Defizite des klassischen Ansatzes besser löst.78
3.2 Der Ansatz des BLACK-LITTERMAN-Verfahrens
In diesem Abschnitt wird die grundsätzliche Vorgehensweise des Black-LittermanVerfahrens beschrieben, in den folgenden Abschnitten kann dann die Vorgehensweise formalisiert werden.
Das Black-Litterman-Verfahren orientiert sich ständig an einem von dem Portfoliomanager a priori festgelegten Referenzportfolio. Dieses Portfolio soll dem langfristigen Anlegerverhalten des Investors entsprechen. Hat der Portfoliomanager keine
77
78
vgl. Drobetz (2002), S. 5
vgl. He/Litterman (1999), S. 3
44
3.2 Der Ansatz des BLACK-LITTERMAN-Verfahrens
Erwartung bezüglich künftiger Renditeentwicklungen von Wertpapieren in seinem
Portfolio, stimmt er indirekt den impliziten Renditeerwartungen zu. Dies führt dazu,
dass die Gewichtungen der Wertpapiere in dem Portfolio denen des Referenzportfolios entsprechen. Das Black-Litterman-Verfahren erlaubt, eine beliebige Anzahl von
Renditeprognosen unter Berücksichtigung der Prognosequalität in die Portfoliooptimierung zu integrieren. Es können sowohl absolute Prognosen über erwartete Renditeniveaus von einem Wertpapier als auch relative Prognosen über stärker und schwächer performende Wertpapiere in das Verfahren integriert werden.
Das Ergebnis des Prozesses ist ein revidierter Renditevektor, der von dem Vektor der
impliziten Renditen in Richtung der Renditeerwartungen abweicht. Dieser revidierte
Renditevektor kann schließlich einer Mittelwert-Varianz-Optimierungsroutine überführt werden. Als Ergebnis des Black-Litterman-Verfahrens erhält man intuitive
Veränderungen in den Portfoliogewichten, die konsistent mit den subjektiven Prognosen sind, und deshalb in der Praxis leichter umgesetzt werden können.
Festzuhalten bleibt, dass es sich bei dem Black-Litterman-Ansatz nicht um eine alternative Optimierungstechnik handelt. Das Black-Litterman-Verfahren ist eine Methode, um ausgehend von einem neutralen Referenzportfolio die Renditeprognosen
den eigenen Renditeerwartungen in einer sehr flexiblen Art anzupassen. Abbildung
3.3 fasst die Black-Litterman-Vorgehensweise zusammen:
Abbildung 3.3: Der BLACK-LITTERMAN-Ansatz
Marktgewichte oder
Strategische Referenzgewichte
Renditeprognosen der
Portfoliomanager
Referenz-oder Gleichgewichtsrenditen:
implizite Renditeerwartungen
Güte der
Renditeprognosen
Revidierte Black-Litterman-Renditeerwartungen
Mittelwert-Varianz-Optimierung
Black-Litterman-Portfoliogewichte
[Quelle:Eigene Darstellung in Anlehnung an Zimmermann/Drobetz/Oertmann (2002), Kap.10-S. 13]
45
3 Portfolio-Management nach BLACK und LITTERMAN
3.3 Referenzportfolios und implizite Renditen als Ausgangspunkt
des BLACK-LITTERMAN-Verfahrens
Der innovative Ansatz des Black-Litterman-Verfahrens (1992) hat die Zielsetzung,
die im Abschnitt 3.1 aufgeführten Schwächen der Portfoliooptimierung nach Markowitz zu verhindern, und somit ein Modell zu schaffen, das für den Einsatz in der Praxis besser geeignet ist. Die wichtigste Eigenschaft des Black-Litterman-Modells ist
die Möglichkeit, implizite Renditen, welche im Folgenden erklärt werden, mit subjektiven Erwartungen über Kursentwicklungen von Wertpapieren im Portfolio konsistent zu verbinden.79
Die impliziten Renditen, welche den Ausgangspunkt des Black-LittermanVerfahrens bilden, werden durch eine Umkehroptimierung deriviert. Im ersten
Schritt muss der Portfoliomanager die mittel- bis langfristigen Portfoliogewichte der
Wertpapiere seines Portfolios festlegen. Diese Referenzgewichte können den Gleichgewichtsgewichten, wie sie dem CAPM-Modell zugrunde liegen, entsprechen oder
aber auch Gegenstand strategischer Überlegungen des Portfoliomanagers sein.80
Black und Litterman schlagen vor, die aus den Marktkapitalisierungen resultierenden
impliziten Gleichgewichtsrenditen als Ausgangspunkt für das Black-LittermanVerfahren zu verwenden:
“Our model does not assume that the world is always at the CAPM equilibrium, but
rather that when expected returns move away from their equilibrium values, imbalances in markets will tend to push them back. Thus, we think it is reasonable to assume that expected returns are not likely to deviate too far from equilibrium values.
This intuitive idea suggests that the investor may profit by combining his views about
returns in different markets with the information contained in the equilibrium.”81
Ein nutzenmaximierender Portfoliomanager mit einer Nutzenfunktion gemäß der
Formel 2.15 erhöht in dem Markowitz-Verfahren seinen Nutzen durch die optimale
Aufteilung seines Budgets auf die Wertpapiere im Portfolio, bei gegebenen erwarteten Renditen µ und bei gegebener Varianz-Kovarianz-Matrix Σ der Renditen. Ohne
Restriktionen hat die Maximierungsaufgabe folgende Form:
[3.1]
max w
mit der Lösung:
79
vgl. Drobetz (2002), S. 11
vgl. Drobetz (2002), S. 11 f.
81
Black/Litterman (1991), S. 3
80
46
w' µ −
λw' Σw
2
3.3 Referenzportfolios und implizite Renditen als Ausgaangspunkt des BLACKLITTERMAN-Verfahrens
[3.2]
(
)
w* = λΣ −1 µ
Im Black-Litterman-Verfahren ist aber vorerst w* schon bekannt, sei es durch das
CAPM-Gleichgewicht, die marktkapitalisierungsgerechten Gewichte oder die strategisch festgelegten Gewichte. Die Umkehroptimierung legt die benötigten erwarteten
Renditen fest, um in dem Markowitz-Verfahren genau die Referenzgewichte wREF zu
erhalten. Diese Renditen werden durchweg in der Arbeit als implizite Renditen Π*
oder, im Fall des Marktportfolios als Referenzportfolio, Gleichgewichtsrenditen bezeichnet. Die Umkehroptimierung stellt eine Umformung der Formel 3.2 dar, und
lässt sich folgendermaßen darstellen:
[3.3]
Π* = λΣw REF
Die Abbildung 3.4 veranschaulicht den Unterschied zwischen den Markowitz- Gewichtungen mit Leerverkaufsrestriktion auf der Basis historischer Renditen und den
Referenzgewichtungen auf der Basis der impliziten Renditen.82 Es ist ersichtlich,
dass das Referenzportfolio (schwarze Balken) viel breiter gestreut ist als das Markowitz-Portfolio (graue Balken). Dieses Portfolio entspricht viel eher der gängigen Anlagepraxis.
Abbildung 3.4: Portfoliogewichtungen auf Basis historischer und impliziter Renditen
Black und Litterman stellen die Annahme auf, dass die Varianz-Kovarianz-Matrix
der impliziten Renditen proportional zu der Varianz-Kovarianz-Matrix der historischen Renditen ist und dass die impliziten Renditen stabiler als die historischen Ren82
Die impliziten Renditen für dieses Beispiel sind im Anhang B.2 bzw. in der Abbildung 3.5 veranschaulicht.
47
3 Portfolio-Management nach BLACK und LITTERMAN
diten sind.83 Durch diese Annahmen kann die Verteilung der erwarteten Renditen im
Gleichgewicht folgendermaßen beschrieben werden:
[3.4]
E[R] ~ N (Π, τΣ)
Wobei E[R] den Erwartungswertvektor und N(.) die Normalverteilungsfunktion bezeichnen. Die Dimensionen sind dabei wie folgt: E[R] und Π sind N×1 Vektoren und
die Varianz-Kovarianz-Matrix Σ ist eine N×N Matrix, wobei N die Anzahl der Wertpapiere ist. Der Skalar τ misst den Proportionalitätsfaktor der historischen Renditevolatilität zur erwarteten Renditevolatilität. Je größer das Vertrauen des Portfoliomanagers in das eigene Referenzportfolio ist, umso kleiner sollte der Parameter τ gewählt
werden. In der Literatur wird die Anwendung niedriger Werte für τ empfohlen.84
3.4 Die Verbindung des Referenzportfolios mit Renditeerwartungen
3.4.1 Spezifikation von Renditeerwartungen im BLACK-LITTERMANModell
Der entscheidende Schritt bei der Formalisierung des Black-Litterman-Verfahrens ist
die Spezifikation der subjektiven Renditeerwartungen. Dies erfolgt ebenfalls in Form
einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.
In der Regel werden Portfoliomanager Erwartungen über die Renditeentwicklung
einiger Werte in ihrem Portfolio haben, die von den impliziten Renditen abweichen.85 Das Black-Litterman-Modell ermöglicht es, sowohl absolute als auch relative
Renditeerwartungen in den Prozess der Asset Allocation einzubeziehen. Es ist nicht
zwingend, dass für jedes Wertpapier in dem Portfolio eine Renditeerwartung spezifiziert wird.
Die folgenden Beispiele verdeutlichen, wie absolute (A) und relative (B und C) Renditeerwartungen in dem Black-Litterman-Modell ausgedrückt werden können.
83
vgl. Zimmermann/Drobetz/Oertmann (2002), Kap. 10, S. 14
Drobetz (2002) setzt für seine Analysen τ = 0.3. Lee empfiehlt den Wert von τ zwischen 0.01 und
0.05 zu setzen, vgl. Idzorek (2004), S. 14
85
vgl. Idzorek (2004), S. 7
84
48
3.4 Die Verbindung des Referenzportfolios mit Renditeerwartungen
(A)
„ALV wird eine Rendite von 60 % erwirtschaften (ca. 15 % unter der
impliziten Rendite).“
„EOA wird eine um 5 % höhere Rendite erwirtschaften als DBK.“
„Die Wertpapiere DTE und DCX werden die Wertpapiere DBK und
ALV um 10 % outperformen.“
(B)
(C)
Nachdem der Investor sämtliche von den impliziten Renditen abweichenden Erwartungen in Form der obigen Beispiele verbal festgelegt hat, müssen diese Erwartungen
in eine Form umgewandelt werden, die es ermöglicht, sie in den Black-LittermanProzess zu integrieren.
In dem Modell wird angenommen, dass die Erwartungen bzw. Prognosen des Portfoliomanagers gemäß der Formel 3.5 als k unterschiedliche Linearkombinationen der N
Wertpapiere ausgedrückt werden können. k stellt die Anzahl der formulierten Prognosen dar.
[3.5]
P ⋅ E[R] = V + ε
Der Renditeerwartungsvektor V hat die Dimension k×1. Als k×1 Vektor mit den
Prognosefehlern wird ε verwendet. Die ermittelten Renditeerwartungen V werden
durch die Matrix P den jeweils richtigen Wertpapieren zugewiesen. Jede einzelne
Erwartung kann durch einen 1×N Vektor den Wertpapieren eindeutig zugeordnet
werden. Aus diesem Grund handelt es sich bei der Matrix P allgemein um eine k×N
Matrix. Das erste Element des Vektors V zeigt die Höhe der Renditeprognose an, das
erste Element des Vektors ε den damit verbundenen Schätzfehler.
Die Erwartungen werden mit einem Schätzfehler versehen, da sie in der Praxis nicht
mit Sicherheit geäußert werden können. Über den Vektor der Schätzfehler ε wird
angenommen, er sei unabhängig und normal verteilt.86 Das Maß für die Prognosegüte
ist in dem Black-Litterman-Verfahren die Varianz-Kovarianz-Matrix, der Schätzfehler Ω. Wegen der Annahme der Unabhängigkeit der Prognosen untereinander, reduziert sich die k×k Matrix Ω zu einer Diagonalmatrix, wobei die Varianzen der
Schätzfehler ε entlang der Diagonalen eingetragen werden. Im Black-LittermanModell gilt die Annahme der Normalverteilung der Prognosen gemäß87:
[3.6]
P ⋅ E[R] ~ N (V, Ω)
In dem Sieben-Wertpapier-Beispiel würden die Prognosen (A), (B) und (C) folgendermaßen formalisiert werden:
86
87
vgl. Idzorek (2004), S. 10
vgl. Idzorek (2004), S. 16
49
3 Portfolio-Management nach BLACK und LITTERMAN
[3.7]
⎛ E[ R ALV ] ⎞
⎟
⎜
⎜ E[ R DCX ] ⎟
⎟
⎜ E[ R
DBK ] ⎟ ⎛ 0.60 ⎞ ⎛⎜ ε ( A) ⎞⎟
⎜
⎟
⎜
P ⋅ ⎜ E[ R DTE ] ⎟ = ⎜ 0.05 ⎟ + ⎜ ε ( B ) ⎟
⎟⎟
⎟ ⎜
⎜ E[ R
⎟ ⎜⎜
EOA ] ⎟ ⎝ 0.10 ⎠ ⎝ ε (C ) ⎠
⎜
⎜ E[ RSAP ] ⎟
⎟
⎜
⎝ E[ RSIE ] ⎠
[3.8]
0
0
0
0 0 0⎞
⎛ 1
⎜
⎟
P=⎜ 0
0
−1
0
1 0 0⎟
⎜ − 0.49 0.45 − 0.51 0.55 0 0 0 ⎟
⎝
⎠
mit
Die erste Reihe der Matrix P stellt die absolute Erwartung (A) dar. Da ALV das erste
Wertpapier im Beispielportfolio darstellt und sich die Erwartung ausschließlich auf
dieses Wertpapier bezieht, ist der erste Wert der ersten Zeile eine eins. Sämtliche
anderen Elemente der ersten Reihe der Matrix P sind null.
Die zweite Reihe der Matrix stellt die relative Erwartung (B) dar. Es wird ein gewichtungsneutrales Portfolio gebildet, indem die stärkere Aktie der Prognose die
Longposition (Wert: 1), und die schwächere Aktie die Shortposition (Wert: –1) einnimmt. Die Höhe der Überperformance kommt in der zweiten Reihe der Matrix V
zum Tragen (Wert: 0.05).
Die dritte Reihe der Matrix P stellt den kompliziertesten Fall gleichzeitiger relativer
Renditeerwartungen für mehr als zwei Wertpapiere dar, in dem Beispiel durch die
Erwartung (C) dargestellt. Analog zu einer relativen Erwartung des Typs (B) müssen
sich die Werte der Aktien mit der stärkeren erwarteten Performance zu eins addieren,
die Werte der outperformten Wertpapiere müssen summiert minus eins ergeben. Die
Aufteilung der auf eins bzw. minus eins begrenzten Werte zwischen den beiden Aktienklassen erfolgt proportional zu deren Marktkapitalisierung.88 Die Berechnung der
Werte in der dritten Spalte der Matrix P erfolgte gemäß der Formel 3.9:
88
vgl. Idzorek (2004), S. 12
50
3.4 Die Verbindung des Referenzportfolios mit Renditeerwartungen
[3.9]
M .Cap ALV
⎛
⎜−
⎜ M .Cap ALV + DBK
⎜
M .Cap DCX
⎜ M .Cap
DCX + DTE
⎜
.
M
Cap
⎜−
DBK
P3. ' = ⎜ M .Cap ALV + DBK
⎜
M .Cap DTE
⎜
⎜ M .Cap DCX + DTE
⎜
0
⎜
0
⎜
⎜
0
⎝
mit:
M.Capi:
⎞
⎟
⎟
⎟ ⎛⎜ − 0.49 ⎞⎟
⎟ ⎜ 0.45 ⎟
⎟ ⎜
⎟
⎟ ⎜ − 0.51 ⎟
⎟ = ⎜ 0.55 ⎟
⎟ ⎜
⎟
⎟ ⎜ 0 ⎟
⎟ ⎜ 0 ⎟
⎟ ⎜
⎟
⎟ ⎝ 0 ⎠
⎟
⎟
⎠
Marktkapitalisierung der Aktie i
Ist dem Portfoliomanager der Grad an Unsicherheit bzw. die Varianz seiner Erwartungen ex ante nicht bekannt, so kann anstatt dieser die Varianz der Prognoseportfolios herangezogen werden:89
[3.10]
Ω kk = Pk . ΣPk . '
Da in diesem Beispiel die Güte der Prognosen unbekannt ist, wird die VarianzKovarianz-Matrix - der Schätzfehler Ω - gemäß Formel 3.10 approximiert. Es ergibt
sich:
0
0 ⎞
⎛ 0.0065
⎟
⎜
[3.11]
Ω=⎜ 0
0.0037
0 ⎟
⎜ 0
0
0.0016 ⎟⎠
⎝
3.4.2 Die BLACK-LITTERMAN-Formel
Im Black-Litterman-Modell wird angenommen, dass die unbekannte Verteilung der
erwarteten Renditen eine gemischte Verteilung ist, die aus den Verteilungen der impliziten Renditen Π und der Renditeprognosen V basiert. Die Verteilungen der impliziten Renditen des Referenzportfolios ist in der Formel 3.4 spezifiziert, die Verteilung der Renditeprognosen wird in der Formel 3.6 dargestellt.
Der optimale Schätzer für den Vektor der erwarteten Renditen entspricht dem Mittelwert der gemischten Verteilung der erwarteten Renditen.90 Dieser kann durch die
89
vgl. Idzorek (2004), S. 13
51
3 Portfolio-Management nach BLACK und LITTERMAN
Auflösung des folgenden Optimierungsproblems, das die Varianz der erwarteten
Renditen um die impliziten Renditen minimiert, hergeleitet werden: 91
[3.12]
min E[R]
[E[R] − Π ]T ⋅ (τ Σ )−1 ⋅ [E[R] − Π ]
Für den in der Praxis relevanten Fall unsicherer Renditeprognosen gilt folgende Nebenbedingung:
[3.13]
N .B. : P ⋅ E[R] = V + ε
wobei
P ⋅ E[R] ~ N (V, Ω )
Nach Black/Litterman(1992) lautet die Black-Litterman-Formel des revidierten erwarteten Renditevektors unter Berücksichtigung unsicherer Renditeprognosen: 92
[3.14]
[
E[R] = (τ Σ )−1 + P' Ω −1P
] [(τ Σ)
−1
−1
Π + P' Ω −1V
]
Die Verteilung der revidierten erwarteten Renditen ist wiederum eine Normalverteilung. Sie ist in der folgenden Formel 3.15 wiedergegeben.93
[3.15]
[
]
−1 ⎞
⎛
E[R] gemischt ~ N ⎜ E[R], (τ Σ )−1 + (P' ΩP ) ⎟
⎝
⎠
Bei der Formel 3.14 bildet die Basis des gesamten Black-Litterman-Verfahrens.
Durch diese Formel werden das impliziten Renditen und die subjektiven Prognosen
zu einem neuen, revidierten Vektor erwarteter Renditen zusammengefasst. Durch die
Weitergabe dieses Vektors an eine Mittelwert-Varianz-Optimierungsroutine, können
schließlich die Black-Litterman-Portfoliogewichte ermittelt werden.
3.4.3 Umsetzung der subjektiven Renditeerwartungen mit dem BLACKLITTERMAN-Verfahren
In der Abbildung 3.5 stellen die grauen Balken die impliziten Referenzrenditen dar.
Die schwarzen Balken bilden die auf Basis der geäußerten Prognosen revidierten
90
vgl. Zimmermann/Drobetz/Oertmann, Kap. 10, S. 18
vgl. Black/Litterman (1992), Anhang 8
92
vgl. Black/Litterman (1992), Anhang 8
93
Für die Herleitung der neuen, gemischten Verteilung der erwarteten Renditen verweisen
Black/Litterman (1991) auf das Verfahren der mixed estimation in Theil (1971).
91
52
3.4 Die Verbindung des Referenzportfolios mit Renditeerwartungen
Black-Litterman-Renditeerwartungen ab.94 Durch die Korrelation der Renditen ändern sich auch die Renditeerwartungen der Wertpapiere, für die keine Prognose aufgestellt wurde.95
Abbildung 3.5: Implizite Renditen und BLACK-LITTERMAN-Renditeerwartungen
In der folgenden Abbildung 3.6 werden sowohl die Portfoliogewichte des Referenzportfolios als auch die Black-Litterman-Portfoliogewichte, die durch Weitergabe der
revidierten Black-Litterman-Renditen an den Mittelwert-Varianz-Optimierer erhalten
wurden, veranschaulicht. Die Gewichtungen der Wertpapiere, für die keine Prognose
abgegeben wurde, haben sich kaum verändert. Die Abweichungen der BlackLitterman-Portfoliogewichte zu den Referenzgewichten der restlichen Aktien spiegeln in konsistenter Weise die Prognosen des Portfoliomanagers wider, eine extreme
Konzentration der Portfoliogewichte auf wenige Wertpapiere wird vermieden.
Abbildung 3.6: Referenzgewichte und BLACK-LITTERMAN-Portfoliogewichte
94
95
Für die Berechnung wurde der Wert des Skalars τ auf 0.05 gesetzt.
SAP und SIE
53
3 Portfolio-Management nach BLACK und LITTERMAN
3.5 Sensitivitätsanalysen
Um die Funktionsweise des Black-Litterman-Verfahrens besser darzustellen, werden
in diesem Abschnitt Sensitivitätsanalysen bezüglich des Verhaltens der BlackLitterman-Portfoliogewichte bei der Variation verschiedener Parameter des Modells
vorgestellt. In den folgenden Analysen wird von einer einzigen abgegebenen Prognose (C) ausgegangen, die Gewichtungen der in der Prognose vorkommenden Wertpapiere ALV, DCX, DBK und DTE sind Gegenstand der folgenden Untersuchungen.
Sensitivität der Portfoliogewichte bezüglich des Renditedifferentials V
In der ersten Sensitivitätsanalyse werden die Auswirkungen einer Variation des erwarteten Renditedifferentials V zwischen den zwei Wertpapiergruppen analysiert.
Das Renditedifferential der entsprechenden Aktien wird ceteris paribus zwischen
0 % und 20 % variiert. Abbildung 3.7 zeigt die jeweils resultierenden
Portfoliogewichte für die vier Wertpapiere.
Abbildung 3.7: Entwicklung der BLACK-LITTERMAN-Portfoliogewichte bei Variation des
Renditedifferentials V
Gewichtung im Black-Litterman
Portfolio
0.19
0.18
0.17
0.16
0.15
0.14
0.13
0.12
0.11
Prognostiziertes Renditedifferential in %
ALV
DCX
DBK
.5
19
18
.5
15
16
.5
12
13
.5
9
10
5
6
7.
3
5
4.
5
1.
0
0.1
DTE
Ausgehend von den Referenzgewichten werden die Long- bzw. Shortadjustierungen
mit dem Ansteigen des erwarteten Renditedifferentials immer größer. Die Veränderung der Portfoliogewichte erfolgt in einer stetigen, der Prognose gerechten Weise,
somit wird eine starke Portfoliokonzentration bei einer minimalen Erhöhung der erwarteten Überrendite vermieden.
54
3.5 Sensitivitätsanalysen
Sensitivität der Portfoliogewichte auf Veränderungen in der Güte der Renditeprognose Ω
Im Folgenden wird untersucht, wie sich das Black-Litterman-Modell verhält, wenn
die Prognosegüte verändert wird. Eine geringere Güte der Prognose spiegelt sich in
einer höheren Varianz der Erwartungen wider und umgekehrt. In der Sensivitätsanalyse wird die Volatilität der (C) Prognose zwischen 0.0001 und 0.0050 variiert. In
der folgenden Abbildung 3.8 sind die Auswirkungen der unterschiedlichen Unsicherheitsniveaus in den Prognosen dargestellt.
Die in der Abbildung 3.8 dargestellten Portfoliogewichte sind intuitiv einsichtig: Unsichere Prognosen mit einer hohen Schätzfehlervolatilität haben nahezu keinen Effekt auf die Referenzgewichte. Je sicherer die Prognosen werden, desto stärker werden die Portfoliogewichte in die Richtung der Prognosen adjustiert. Der Abbildung
kann entnommen werden, dass der Effekt einer veränderten Prognosegüte auf die
Portfoliogewichte insgesamt graduell verläuft, eine Ausnahme stellt der Bereich sehr
kleiner Volatilitäten dar. In diesem Bereich hat eine Verbesserung oder Verschlechterung der Prognosegüte sehr starke Auswirkungen auf die Gewichtungen der Wertpapiere im Portfolio.
Abbildung 3.8: Entwicklung der BLACK-LITTERMAN-Portfoliogewichte bei Variation der
Prognosegüte Ω
Gewichtung im Black-Litterman
Portfolio
0.3500
0.3000
0.2500
0.2000
0.1500
0.1000
0.0500
0.0000
0.0001
0.0050
Varianz der Prognose (C) [Ω]
ALV
DCX
DBK
DTE
55
3 Portfolio-Management nach BLACK und LITTERMAN
Sensivitivität der Portfoliogewichte bezüglich des Vertrauens in die impliziten
Renditen des Referenzportfolios τ
Die letzte Sensitivitätsanalyse widmet sich dem abstraktesten Parameter des BlackLitterman-Modells, dem Skalar τ. Dieser staucht die historische Varianz-KovarianzMatrix und kann entsprechend als Indikator für das Vertrauen interpretiert werden,
das der Portfoliomanager seinem Referenzportfolio entgegenbringt. Je kleiner bzw.
größer τ ist, umso stärker bzw. geringer ist das Vertrauen in die impliziten Renditen.
In der Analyse wird τ zwischen 0.01 und 1 variiert.
0.45000
0.35000
0.25000
0.15000
0.05000
0.99
0.92
0.85
0.78
0.71
0.64
0.57
0.5
0.43
0.36
0.29
0.22
0.15
0.08
-0.05000
0.01
Gewichtung im Black-Litterman Portfolio
Abbildung 3.9: Entwicklung der BLACK-LITTERMAN -Portfoliogewichte bei Variation des
Skalars τ
-0.15000
Vertrauensparameter für die Benchmark τ
ALV
DCX
DBK
DTE
Die Veränderungen der Portfoliogewichte, veranschaulicht in der Abbildung 3.9, sind
auch in diesem Fall intuitiv. Je mehr Vertrauen der Portfoliomanager seiner Benchmark entgegenbringt, desto näher werden sich die Gewichtungen ceteris paribus an
den Referenzgewichtungen orientieren. Werte für über 0.5 dürften wenig Sinn machen, da sich die Gewichtungen ab dem Bereich bereits sehr stark an den Prognosen
orientieren.
3.6 Fazit
Der klassische portfoliotheoretische Ansatz von Markowitz ist theoretisch elegant
und stellt in der akademischen Literatur das Gerüst der Portfoliotheorie dar. Es wurde allerdings anhand von Beispielen gezeigt, dass der Ansatz in der Praxis zu erheb
56
3.6 Fazit
lichen Problemen führen kann. Diese Defizite führen dazu, dass der traditionelle Ansatz von Portfoliomanagern kaum oder nur in stark veränderter Form eingesetzt wird.
Aus diesem Grund haben Black und Litterman 1990 ein innovatives Verfahren entwickelt, das Portfoliomanagern erlaubt, ausgehend von stabilen Gleichgewichtsrenditen oder impliziten Renditen, subjektive Renditeprognosen und einen Grad an Vertrauen in diese Prognosen im Asset-Allocation-Prozess zu berücksichtigen.
Letztendlich handelt es sich bei dem Black-Litterman-Modell um eine Methode, die
einen komplexen gewichteten Durchschnitt der impliziten Renditen und der erwarteten Renditen festlegt.
Die Portfoliogewichte sind durch den Einsatz des Black-Litterman-Verfahrens viel
realistischer, da Erwartungen der Portfoliomanager eindeutig widergespiegelt und
stark konzentrierte Portfolios vermieden werden. Aus diesen Gründen konnte sich
das Black-Litterman-Modell seit der Publikation im Jahr 1990 in zahlreichen Finanzunternehmen als Portfolio-Management-Modell durchsetzen.96
96
vgl. He/Litterman (1999), S. 2
57
4 Technische Handelsmodelle
4.1 Wertpapierprognosen
Die Prognose von Wertpapierkursen ist eine umstrittene Thematik. Es lassen sich
bezüglich Wertpapierprognosen drei verschiedene Lager unterscheiden. Dabei handelt es sich um die in der akademischen Welt verbreitete Random-Walk-Theorie und
die Hypothese effizienter Märkte, um die Fundamentalanalyse sowie um die technische Analyse.97 Nachfolgend werden die grundlegenden Gedankengänge hinter den
ersten beiden Ansätzen vorgestellt. Im nächsten Abschnitt wird die technische Analyse etwas ausführlicher behandelt, da sie die Grundlage der im empirischen Teil der
Arbeit eingesetzten Handelsmodelle bildet.
Random-Walk-Theorie und die Hypothese effizienter Märkte
Die Random-Walk-Theorie besagt, dass Preise auf den Finanzmärkten zufällig um
ihren inneren Wert fluktuieren. Diese Theorie basiert auf der Hypothese effizienter
Märkte, die besagt, dass sich Kurse auf jegliche neuen Informationen ohne Verzögerung anpassen.98
Die Standardform des Random-Walk-Modells geht davon aus, dass sich der künftige
Kurs Pi,t+1 einer Aktie i aus dem aktuellen Kurs Pi,t und der Realisierung einer Zufallsvariablen εi,t ergibt:
[4.1]
Pi ,t +1 = Pi ,t + ε i ,t
Dabei gelten folgende Bedingungen:
-
Die Kursänderungen εi gehorchen einer Normalverteilung.
Der Erwartungswert der Kursänderungen ist null, also E[εi] = 0.
Aufeinander folgende Kursänderungen sind unabhängig.
Diesen Theorien zufolge kann jegliche Wertpapieranalyse nicht zur Vorhersage von
künftigen Aktienkursen verwendet werden.99
Es besteht allerdings bezüglich der These effizienter Märkte ein Widerspruch, das so
genannte Informationsparadoxon. Wenn sich jede neue Information augenblicklich
97
vgl. Yao/Tan (1999), S. 222
vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 210
99
vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 210
98
58
4.2 Technische Indikatoranalyse
im Kurs niederschlägt, dann bedarf es dazu Investoren, die durch ihre informationsbedingte steigende oder fallende Nachfrage für diese Kursanpassung sorgen und daraus Profit ziehen. Demnach ist eine Informationsauswertung seitens der Marktteilnehmer unabdingbar, um der These effizienter Märkte Gültigkeit zu verschaffen. 100
Die Random-Walk-Theorie konnte trotz vieler wissenschaftlicher Untersuchungen
bisher weder eindeutig verifiziert noch falsifiziert werden.101
Fundamentalanalyse
Die Fundamentalanalyse stellt die älteste und meist verbreitete Analyseform von
Wertpapieren dar.102 Die grundlegende Hypothese der Fundamentalanalyse geht davon aus, dass der Kurs einer Aktie um ihren inneren Wert schwankt. Die Ermittlung
dieses wahren Wertes einer Aktie anhand von makroökonomischen, branchen- und
unternehmensspezifischen Analysen steht im Mittelpunkt der Fundamentalanalyse.
Liegt der aktuelle Kurs der untersuchten Aktie unter dem ermittelten inneren Wert,
dann gilt die Aktie als unterbewertet und kann gekauft werden.103
4.2 Technische Indikatoranalyse
4.2.1 Grundgedanke der technischen Analyse
Murphy (2004) definiert die technische Analyse von Wertpapieren folgendermaßen:
„Technische Analyse ist das Studium von Marktbewegungen, in erster Linie durch
den Einsatz von Charts, um zukünftige Kurstrends vorherzusagen. Der Begriff
‚Marktbewegung‘ beinhaltet die drei wesentlichen Informationsquellen, die dem
Techniker zur Verfügung stehen – Kurs, Umsatz und Open Interest104.“105
Die technische Analyse basiert auf drei Grundannahmen:106
-
Die Marktbewegung diskontiert alles.
Kurse bewegen sich in Trends.
Die Geschichte wiederholt sich.
100
vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 42 f.
vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 210 f.
102
vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 209
103
vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 209 ff.
104
Open Interest wird nur bei Futures und Optionen benutzt
105
Murphy (2004), S. 21
106
vgl. Murphy (2004), S. 21 ff.
101
59
4 Technische Handelsmodelle
Im Folgenden werden diese Grundannahmen kurz erläutert.
Die Marktbewegung diskontiert alles
Der technische Analyst glaubt, dass alle für den Börsenkurs relevanten Informationen, seien sie fundamentaler, psychologischer oder sonstiger Natur, durch den Kurs
widergespiegelt werden. Die Folge dieser Annahme ist, dass für Prognosen allein die
Untersuchung der Kurse in der Vergangenheit verlangt wird. Die Regel, dass Marktpreise steigen werden, wenn die Nachfrage das Angebot übertreffen wird und umgekehrt, gilt als Basis aller ökonomischer und fundamentaler Vorhersagen. Der Techniker benutzt den Umkehrschluss dieser Regel, der besagt, dass bei steigenden
Kursen die fundamentalen Daten des Wertes positiv und analog bei fallenden Kursen
die Fundamentaldaten negativ sein müssen. So ist es möglich, durch die Erkennung
von Kurstrends oder wichtigen Umkehrformationen grundlegende Änderungen der
fundamentalen Situation eines Wertpapiers auf den Charts zu erkennen, bevor die
Informationen öffentlich zugänglich sind. Die Charts werden also nicht als Grund für
steigende oder fallende Kurse gesehen, sondern als Indikator für die bullishe oder
bearishe Psychologie an den Märkten.107
Kurse bewegen sich in Trends
Die technische Analyse besagt, dass sich Kurse in Trends bewegen. Trends können
Aufwärtstrends oder Abwärtstrends sein. Die Aufgabe der technischen Analyse besteht im Großteil darin, Kurstrends möglichst früh zu erkennen und ihnen zu folgen,
bis sich Anzeichen einer Trendumkehr zeigen. Eine Prämisse der Charttechnik über
Kurstrends besagt:
„Ein Trend in Bewegung setzt sich mit größerer Wahrscheinlichkeit fort, als dass er
sich umkehrt.“108
Die Geschichte wiederholt sich
Diese Annahme basiert letztendlich auf psychologischen Verhaltensweisen von Anlegern beim Auftreten bestimmter Chartmuster. Da die menschliche Psyche nicht
dazu tendiert sich zu verändern109, werden vergangene Verhaltensweisen von Investoren genutzt, um Aussagen über künftige Entwicklungen zu treffen.
107
vgl. Murphy (2004), S. 22
vgl. Murphy (2004), S. 24
109
vgl. Murphy (2004), S. 24
108
60
4.2 Technische Indikatoranalyse
4.2.2 Methoden der technischen Analyse
Die technische Analyse benutzt gemäss der Abbildung 4.1 graphische, mathematische und psychologische Methoden. Diese Methoden werden im Folgenden erläutert.
Abbildung 4.1: Methoden der technischen Analyse
Technische Analyse
Graphische
Methoden
Mathematische
Methoden
Psychologische
Methoden
[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Wetzer (2003), S. 83]
Graphische Methoden
Die graphische Chartanalyse gilt als die älteste und meistverbreitete Form der
technischen Analyse.110 Der Analyst versucht durch verschiedene Werkzeuge
vorherrschende Trends zu bestätigen oder Trendwenden zu erkennen. Trendlinien,
Unterstützungen, Widerstände, Schulter-Kopf-Schulter-Formationen, FibonacciAnalyse, Dow-Theorie, Elliot-Wellen-Theorie und andere sind die Werkzeuge der
Chartanalytiker.111
Mathematische Methoden
Die mathematischen Verfahren versuchen durch mathematische Transformation der
Marktdaten zu technischen Indikatoren und statistischer Bearbeitung der Marktdaten
ebenfalls gewisse Muster in den Daten zu erkennen. Diese Erkenntnisse können dann
zur Generierung von Handelssignalen für den Investor zur Verfügung gestellt werden.112
Psychologische Methoden
Die dritte Hauptrichtung der technischen Analyse ist die Sentimentanalyse. Hier
werden Indikatoren gebildet, welche die aktuelle Marktstimmung wiedergeben. Das
aktuelle Massenverhalten kann unter anderem durch Umfragen über die Positionierung von Investoren, Indikatoren, wie zum Beispiel die Put-Call-Ratio, oder die im110
vgl. Wetzer (2003), S. 84
Diese Techniken werden im weiteren Verlauf der Arbeit nicht angewandt, da sie auf vornehmlich
subjektiven Kriterien basieren und somit für die Systematisierung und Programmierung in Computern
schlecht geeignet sind. An diesen Techniken interessierte Leser wird die Lektüre von Murphy (2004)
empfohlen.
112
vgl. Wetzer , S. 84
111
61
4 Technische Handelsmodelle
plizite Volatilität von Optionen - die Berechnung des Verhältnisses zwischen Gewinn-Aktien zu Verlustaktien - wiedergegeben werden. Die Hauptannahme der Sentimentanalyse besagt, dass die Masse immer irrt. Anhänger der Sentimentanalyse
versuchen daher, durch Aufbau von Positionen gegen das Massenverhalten erfolgreich zu handeln.113
Die Handelsmodelle114 in dieser Arbeit basieren auf Indikatoren der technischen Analyse. Die Berechnung und Interpretation der eingesetzten Indikatoren werden im
nächsten Abschnitt dargestellt.
4.2.3 Eingesetzte Indikatoren und Werkzeuge
Im Folgenden werden die im späteren Verlauf der Arbeit eingesetzten technischen
Indikatoren beschrieben. Florek (2000) unterteilt technische Indikatoren in vier verschiedene Gruppen.115 In der Abbildung 4.2 sind die Indikatorgruppen und einige zu
den Gruppen gehörende Indikatoren aufgelistet. Auf die fett gedruckten Indikatoren
wird in den folgenden Abschnitten näher eingegangen.
Abbildung 4.2: Segmentierung technischer Indikatoren
TECHNISCHE INDIKATOREN
TrendfolgeIndikatoren
Oszillatoren
Trendbestimmung
VolatilitätsIndikatoren
Gleitende
Durchschnitte
RSI
ADX
Bollinger
Bänder
Momentum
DMI
Stochastik
…
Ravi
…
MACD
…
Standardabweichung
Sonstige: Bänder, Volumen & Open Interest, Market Sentiment
Inputs: Kursdaten, Volumen, Open Interest, Statistiken, Ratios, Sentiments, Fundamentals, Volatilitäten,…
[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Florek (2000), S. 183]
113
vgl. Wetzer, S. 84 und Murphy (2004), S. 257
Handelsmodelle und deren Funktionsweise werden im Abschnitt 4.3 erläutert.
115
vgl. Florek (2000), S. 182
114
62
4.2 Technische Indikatoranalyse
Trendfolge-Indikatoren
Trendfolge-Indikatoren sind darauf ausgerichtet, die Richtung des vorherrschenden
Trends zu bestimmen. Der Trader geht von einer Fortführung des Trends aus, bis der
Trendfolge-Indikator eine Trendwende anzeigt.116 Die Erkennung der Trends erfolgt
stets etwas zeitverzögert. In Seitwärtstrends ergeben sich aufgrund der sehr kurzfristigen Auf- und Abwärtsbewegungen häufig Fehlsignale, während in Phasen anhaltender Trends recht erfolgreiche Aussagen getroffen werden.
Oszillatoren
Momentums-Oszillatoren schwingen in der Regel innerhalb einer bestimmten Bandbreite und eignen sich in Seitwärtsphasen zum Auffinden von Wendepunkten der
Kurse. Eine starke Aussagekraft besitzen Oszillatoren, wenn sie sich in ihren Extrembereichen befinden. Ein Wertpapier wird als überkauft bezeichnet, wenn der
Oszillator besonders hohe Werte aufweist. Wenn der Oszillator sehr niedrige Werte
annimmt, gilt dies als Signal für eine Überverkauft-Situation des Wertpapiers. Dies
sind Situationen, in denen von einer zumindest kurzfristigen Korrektur der vorherrschenden Kursbewegung ausgegangen werden kann. Divergenzen117 zwischen den
Kursen und dem Oszillator deuten ebenfalls auf eine Wende der Kurse hin.118
Volatilitätsindikatoren
Volatilitätsindikatoren messen die Schwankungsintensität der Kurszeitreihe. Mit
ihnen lässt sich zum Beispiel bestimmen, ab wann eine Kursbewegung als außergewöhnlich stark zu interpretieren ist.
Trendintensitätsindikatoren
Da Trendfolger nur in Trendmärkten und analog Oszillatoren nur in Seitwärtstrends
funktionieren, wird häufig versucht, mit Trendintensitätsindikatoren festzustellen,
wann ein Trend vorliegt und wie stark dessen Ausprägung ist.
4.2.3.1 Gleitende Durchschnitte
Gleitende Durchschnitte119 stellen, wie der Name schon sagt, Durchschnitte der
Kurszeitreihe dar. Sie bereinigen Kurszeitreihen von kurzfristigen Schwankungen
und erlauben somit die Feststellung lang-, mittel- oder kurzfristiger Trends.120
116
vgl. Florek (2000), S. 184
Eine Divergenz besteht, wenn die Kurse höhere Hochs bzw. tiefere Tiefs verzeichnen und der
Oszillator dies nicht bestätigt, indem er tiefere Hochs bzw. höhere Tiefs aufzeichnet.
118
vgl. Murphy (2004), S. 229
119
auch: Moving Averages.
120
vgl. Wetzer, S. 85
117
63
4 Technische Handelsmodelle
Die Formel für die Berechnung des aktuellen Wertes eines einfachen gleitenden
Durchschnitts ist:
[4.2]
MAx =
mit:
Ct:
MAx:
1 x
∑ C t − i +1
x i =1
Schlusskurs in t
Gleitender Durchschnitt der Länge x
Eine Standardeinstellung für x gibt es nicht, da es an dem Analysten liegt, welche
Glättung er vornehmen möchte.121
Es gibt mehrere Varianten gleitender Durchschnitte. Exponentiell gewichtete Durchschnitte lassen in ihrer Berechnung sämtliche Werte der Kurszeitreihe einfließen. Die
Gewichtung vergangener Daten nimmt durch den Glättungsparameter α mit ihrem
Alter exponentiell ab. Die Formel für die Berechnung eines exponentiellen Durchschnitts lautet:
[4.3]
EMAα =
mit:
α:
Ct:
Ct + αCt −1 + α 2 Ct − 2 + K + α n −1Ct − n +1
1 + α + α 2 + K + α n −1
Glättungsparameter
Schlusskurs in t
Auch bei dem exponentiell geglätteten Durchschnitt gibt es keine Standardeinstellung für α.122
Die geläufigste Interpretationsmöglichkeit von gleitenden Durchschnitten ist die
Crossover-Interpretation. Demnach wird das Schneiden der Kurse oder eines kürzeren gleitenden Durchschnitts über den längeren gleitenden Durchschnitt als Kaufsignal interpretiert. Kreuzt der kürzere gleitende Durchschnitt den längeren von oben
nach unten, gilt dies als ein Verkaufssignal.
121
In der Praxis werden für x häufig die Fibonacci-Zahlen 13, 21, 34, 55,… eingesetzt. [vgl. Murphy
(2004), S. 217]
122
Approximativ gilt folgender Zusammenhang zwischen dem x beim einfachen Durchschnitt und
dem α beim exponentiell geglätteten Durchschnitt: [vgl.Wetzer (2003), S. 86]
α = 2 / (x + 1)
64
4.2 Technische Indikatoranalyse
4.2.3.2 Moving Average Convergence Divergence
Der Moving Average Convergence Divergence MACD-Indikator wurde 1979 von
Gerald Appel vorgestellt und stellt eines der am meisten verbreiteten Instrumente der
technischen Analyse dar. Der MACD wird aus der Differenz zweier exponentiell
gewichteter gleitender Durchschnitte berechnet. Die so erhaltene MACD-Linie wird
ihrerseits durch die Ermittlung eines exponentiell geglätteten Durchschnitts geglättet,
so dass insgesamt zwei Linien den MACD-Indikator darstellen. Die Formel für die
Ermittlung der MACD-Linien sind:
[4.4]
mit:
MACD − Linie = EMAs ( Kurs ) − EMAl ( Kurs )
Signallinie = EMAx ( MACD − Linie)
EMAt:
Exponentiell gewichteter Durchschnitt mit einer
Länge des Zeitfensters t
Die Standardeinstellungen für die Berechnung des MACDs sind s = 12, l = 26 und
x = 9.123
Für den MACD besteht wie bei den gleitenden Durchschnitten die Crossover- Interpretationsmöglichkeit. Oftmals wird durch Subtraktion der Signallinie von der
MACD-Linie ein Oszillator gebildet, mit dem Überkauft-/Überverkauft-Situationen
und Divergenzen festgestellt werden können.124
4.2.3.3 Relative Strength Index
Der Relative Strength Index RSI ist ein von J. Welles Wilder entwickelter Momentums-Oszillator, den er 1978 in seinem Buch New Concepts in Technical Trading
Systems erstmalig vorgestellt hat. Der RSI bewegt sich zwischen den Werten null und
100. Üblicherweise werden Wertigkeiten unter 20 bzw. über 80 zum Generieren von
Handelssignalen genutzt. Das Verlassen dieser extremen Zonen ist ein allgemein
akzeptiertes Signal zum Ein- bzw. Ausstieg aus dem Markt.
Die Formel für die Berechnung des RSI lautet:
[4.7]
RSI = 100 − (
100
)
1 + RS
wobei:
123
124
vgl. Florek (2000), S. 192
vgl. Florek (2000), S. 192 und Wetzer (2003), S. 88
65
4 Technische Handelsmodelle
[4.8]
RS =
Durchschnitt der Schlusskurse von x Tagen mit steigenden Kursen
Durchschnitt der Schlusskurse von x Tagen mit fallenden Kursen
Die Standardeinstellung für x beträgt 14 Zeiteinheiten.125
Um den Durchschnittswert für Tage mit positiver Kurstendenz zu bestimmen, werden die gesamten Kursgewinne, die innerhalb der x Tage an Tagen mit steigenden
Kursen angefallen sind, addiert, und die Summe durch die gewählte Länge des RSI
geteilt126. Der RSI kann durch die Standardinterpretationsweisen für Oszillatoren
analysiert werden.
4.2.3.4 Bollinger Bänder
Die von John Bollinger entwickelten Bollinger Bänder basieren auf der Annahme
einer Normalverteilung der Renditen. Unter dieser Annahme lässt sich folgern, dass
Kurse stets eine Konzentration um ihren Mittelwert zeigen. Durch die Ermittlung der
Standardabweichungen σ der Kurse um deren gleitenden Durchschnitt lassen sich die
Bollinger Bänder festlegen, indem die mit einem Faktor λ multiplizierte Standardabweichung vom Durchschnitt subtrahiert bzw. addiert wird. Wählt man den Wert zwei
für den Faktor θ, kann geschlussfolgert werden, dass sich Kurse in ca. 95 % der Fälle
innerhalb der Bollinger Bänder bewegen. Die Formel zur Berechnung der Bollinger
Bänder lautet127:
σ=
[4.9]
1 n
(Ct −i +1 − MAn )2
∑
n i =1
unteres Bollinger Band = MAn − θ ⋅ σ
oberes Bollinger Band = MAn + θ ⋅ σ
mit:
σ:
θ:
Gleitender Durchschnitt der Länge n,
MAn:
Standardabweichung zwischen den letzten n Schlusskursursen
und MAn,
Multiplikationsfaktor für die Standardabweichung.
Die Standardeinstellungen sind n = 20 und θ = 2.128
125
vgl. Murphy (2004), S. 241
vgl. Murphy (2004), S. 241
127
vgl. Müller/Nietzer (2000), S. 45 f.
128
vgl. Omega Research User Manual, Suchbegriff: Bollinger Bands
126
66
4.2 Technische Indikatoranalyse
Bollinger Bänder werden in der Regel im Zusammenspiel mit anderen Indikatoren
eingesetzt, um Umkehrpunkte am Markt zu identifizieren. Wenn der Kurs das obere
Band erreicht, wird nach weiteren Anzeichen für eine Kurswende gesucht, um dann
mit hoher Wahrscheinlichkeit folgern zu können, dass sich der Kurs in die Richtung
des anderen Bandes bewegen wird.129
4.2.3.5 Swings
Ein Kurs wird als Swing-High bezeichnet, wenn der Höchstkurs höher als der
Höchstpreis der jeweils n-Zeiteinheiten links und rechts von der aktuellen Zeiteinheit
ist. Die Umkehrregel gilt für Swing-Lows.130
Abbildung 4.3: Swing-High und Swing-Low
Balkenchart
Swing
High
Höchstkurs
Schlusskurs
Swing
Low
Eröffnungskurs
Tiefstkurs
n
n
n
n
Die Abbildung 4.3 veranschaulicht jeweils ein Swing-High und ein Swing-Low für
den Fall n = 2. Im linken Teil der Abbildung wird kurz die Interpretationsweise von
Balkencharts dargestellt. Swings können als Widerstands- und Unterstützungspunkte
der Kurse interpretiert werden.131 Ein Ausbruch aus den Swing-Niveaus, kann den
Beginn eines Trends signalisieren.
4.2.3.6 Candlestick-Formationen
Die Analyse japanischer Candlestick Charts basiert im Gegensatz zu den bisher beschriebenen Indikatoren auf der visuellen Identifikation bestimmter Muster in den
Kursen. Diese Muster, auch Candlestick-Formationen genannt, wurden von japanischen Reishändlern in der Mitte des achtzehnten Jahrhunderts eingeführt.132 Einige
Formationen deuten auf die Fortsetzung eines bestehenden Trends hin, andere signalisieren Wendepunkte der Kurse.133 Es gibt inzwischen eine Fülle von Fachliteratur,
129
vgl. Müller/Nietzer (2000), S. 47 f.
vgl. Omega Research User Manual, Suchbegriff: Swing
131
vgl. Omega Research User Manual, Suchbegriff: Swing
132
vgl. Bigalow (2002), S. 2 f.
133
vgl. Bigalow (2002), S. 2 f.
130
67
4 Technische Handelsmodelle
die sich ausschließlich mit den Candlestick-Formationen und deren Anwendung beschäftigt. In dieser Arbeit werden die starken Umkehrformationen Hammer und
Shooting Star untersucht.
Der Hammer ist eine bullishe Umkehrformation, der Shooting Star eine bearishe
Umkehrformation. Die folgende Abbildung 4.4 veranschaulicht zwei HammerFormationen sowie zwei Shooting-Star-Formationen. Im linken Teil der Abbildung
wird die Interpretationsweise von Balkencharts kurz dargestellt.
Abbildung 4.4: Hammer- und Shooting-Star-Formationen
Candlestick-Chart
[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Murphy (2004), S. 305]
Die Kriterien für die Existenz eines Hammers sind134:
-
Die Lunte sollte mindestens doppelt so lang sein wie der Körper der Kerze.
Der Kerzenkörper befindet sich am oberen Ende der Kerze.
Die Kerze soll möglichst keinen oder einen sehr kleinen Docht haben.
Die Hammer-Formation muss sich am Tiefpunkt eines Abwärtstrends befinden.
Die folgende Kerze muss die Hammer-Formation bestätigen.
Eine Shooting-Star-Formation muss folgende Kriterien erfüllen135:
-
134
135
68
Der Docht sollte mindestens doppelt so lang sein wie der Körper der Kerze.
Der Kerzenkörper befindet sich am unteren Ende der Kerze.
Die Kerze soll möglichst keine oder eine sehr kleine Lunte haben.
Die Shooting-Star-Formation muss sich am Hochpunkt eines Abwärtstrends
befinden.
Die folgende Kerze muss die Shooting-Star-Formation bestätigen.
vgl. Bigalow (2002) , S. 38
vgl. Bigalow (2002), S. 58
4.3 Handelsmodelle
Ein Kurs am nächsten Tag über dem Kerzenkörper des Hammers bzw. unter dem
Kerzenkörper eines Shooting Stars wird in dieser Arbeit als Formationsbestätigung
interpretiert.
Die Effektivität der Candlestick-Muster kann verbessert werden, indem diese mit
technischen Indikatoren, wie dem Stochastik oder den Bollinger Bändern kombiniert
werden.136
4.3 Handelsmodelle
4.3.1 Grundsätzliches über Handelsmodelle
Die Möglichkeit, auf Wertpapiermärkten viel Geld zu verdienen, hat seit deren Existenz zu der Entwicklung einer Fülle unterschiedlicher Analysekonzeptionen geführt,
durch deren Einsatz sich Investoren erfolgreiches Handeln versprechen. Handelsmodelle stellen eine schriftliche Festlegung der Handelsstrategie dar, nach der man handeln möchte.137 Da die formulierte Handelsstrategie in einem Handelsmodell systematisch umgesetzt wird, unterliegt die Performance eines Handelssystems keinen
subjektiven Entscheidungen mehr. Die im vorherigen Abschnitt 4.2 behandelte technische Indikatorenanalyse ist als Analyseinstrument in Handelsmodellen besonders
geeignet, da man anhand der Indikatoren Handelsregeln sehr objektiv definieren und
in einem Computer eingeben kann.
Die Akzeptanz von automatischen Handelsmodellen ist sowohl in der Wissenschaft
als auch in der Praxis zum Teil problematisch. Kapitalmarkttheoretiker berufen sich
auf die Theorie effizienter Märkte und die Random-Walk-Theorie138, nach denen die
Möglichkeit, durch Handelsmodelle systematisch Gewinne zu erzielen, ausgeschlossen wird. Einwände aus der Praxis haben unterschiedliche Begründungen. Zum einen
existieren ideologische Schranken bezüglich der Analyseform. Institutionelle Investoren bevorzugen in der Regel die Fundamentalanalyse und lehnen somit technische
Modelle a priori ab. Analysten sehen ihre Arbeit durch einen extensiveren Einsatz
automatischer Handelssysteme gefährdet und treten ihnen deshalb negativ gegenüber. Dadurch werden vergangene Verluste der Modelle überbewertet, Gewinne
dennoch als normal angesehen und die Modelle als schlecht dargestellt.139
136
vgl. Bigalow (2002), S. 25
vgl. Wetzer (2003), S. 13
138
vgl. Abschnitt 4.1
139
vgl. Wetzer (2003), S. 21 ff.
137
69
4 Technische Handelsmodelle
Allerdings bieten Handelsmodelle gegenüber diskretionärem140 Handel diverse Vorteile: Der wohl wichtigste Vorteil besteht in der Eliminierung menschlicher Emotionen aus dem Handel, da Emotionen für viele Händler die entscheidende Barriere zu
profitablem Handeln darstellen.141 Die Möglichkeit, bestimmte Handelsansätze durch
Testläufe auf historischen Zeitreihen zu testen und analysieren, besteht nur bei systematischen Handelsmodellen und stellt einen weiteren Vorteil gegenüber dem subjektiven Handeln dar. Außerdem erlauben mechanische Strategien den Einsatz einer
systematischen Mengensteuerung, die das Handelsergebnis empfindlich beeinflussen
kann.142
4.3.2 Komponenten und Segmentierung von Handelsmodellen
Die zwei Hauptkomponenten eines Handelssystems sind das Signalmodell und das
Money-Management-Modell.143
Eine Signalmodell besteht aus Entry-Long- und Entry-Short-Signalen, sowie aus
Exit-Long- und Exit-Short-Signalen. Die Entry-Signale veranlassen das Eröffnen von
Positionen am Markt. Dabei wird bei Long-Signalen der Wert gekauft und bei ShortSignalen der Wert leerverkauft. Die Exit-Signale bestimmen, wann eingegangene
Positionen wieder geschlossen werden sollen. Oft werden Exit-Signale aufgrund von
Risikomanagement Überlegungen getroffen. Die gängigsten Exit-Signale werden als
Stop-Losse144 und Trailingstops145 bezeichnet.
Das Money-Management-Modell stellt eine Strategie dar, die beschreibt wie viel
Kapital bei dem Spielen der Signale einzusetzen ist. Wetzer (2003) zeigt, dass die
Auswahl des richtigen Money Managements bei einem Signalmodell, das einen positiven Erwartungswert liefert, die wichtigste Komponente eines Handelssystems sein
kann. Eine ausführliche Behandlung der verschiedenen Money-ManagementStrategien würde den Rahmen dieser Arbeit sprengen. Da im empirischen Teil die
Signale der Handelsmodelle von vorrangiger Bedeutung sind, liegt der Fokus auf
140
Unter diskretionärem Handel versteht man subjektiven Handel, der nicht durch strenge Handelsregeln beschränkt wird.
141
vgl. Wetzer (2003), S. 19
142
vgl. Wetzer (2003)
143
vgl. Wetzer (2003), S. 14
144
Ein Stop-Loss wird beim Eingehen einer Position gesetzt, und veranlasst eine automatische Schließung der Position bei dem Unterschreiten bzw. Überschreiten des gesetzten Stop-Loss-Kurses. Somit
kann der generierte Verlust einer Position von Anfang an begrenzt werden.
145
Trailing-Stops stellen Exit-Niveaus dar, die bei laufenden Positionen dynamisch angepassst werden. Durch Trailing-Stops wird sichergestellt, dass bei profitabel laufenden Positionen Gewinne mitgenommen werden.
70
4.3 Handelsmodelle
deren Entwicklung.146 Die Abbildung 4.5 veranschaulicht den Aufbau eines Handelsmodells.
Abbildung 4.5: Aufbau eines Handelsmodells
Marktdaten
Signalmodell
Trading Rules
Money Management Modell
Gewinn- und Verlustreihe
Strukturanalyse
Gesamtperformance
Mengenvariation
[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Wetzer (2003) , s. 15]
Handelsmodelle können auf verschiedenen Ideologien basieren. Die Abbildung 4.6
veranschaulicht Kriterien, nach denen die Handelsmodelle klassifiziert werden. Diese Kriterien werden im Folgenden kurz erläutert.147
Abbildung 4.6: Segmentierung von Handelsmodellen
Kriterium der Segmentierung
Zugrunde liegende
Strategie
Mögliche Ausprägungen
1. Trendfolge-Modelle
2. Breakout-Modelle
3. Gegentrend-Modelle
Zugelassene Aktionen 1. Immer am Markt (Reversal-Modell)
2. Mit neutraler Phase
Anzahl der Analysen
1. Bedingte Modelle
2. Unbedingte Modelle
Art der Analysen
1. Filtermodelle
2. Prognosemodelle
3. Graphische Modelle
Bedingungen für Long- 1. Symmetrische Modelle
/Short-Positionen
2. Asymmetrische Modelle
Umgang mit Parame1. Fixe Parameter
tern
2. Optimierung
Zeithorizont des
1. Kurzfristig
Marktengagements
2. Mittelfristig
3. Langfristig
[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Wetzer (2003), S. 16]
146
Stridsman (2003) und Wetzer (2003) behandeln Money Management, die Mengensteuerung bei
Signalen von Handelsmodellen, ausführlich.
147
vgl. Wetzer (2003), S. 16 ff.
71
4 Technische Handelsmodelle
Zugrunde liegende Strategie
Trendfolge-Modelle versuchen, lange Marktbewegungen in eine Richtung auszunutzen. In Seitwärtsphasen werden diese Modelle viele kleine Verluste generieren, um
diese dann mit wenigen großen Gewinnen zu übertreffen. Gegentrend-Modelle signalisieren in Seitwärtsmärkten Wendepunkte am Markt. Sie haben eine hohe Trefferquote, der Gewinn pro Trade ist allerdings verhältnismäßig gering. In Trendphasen
generieren diese Modelle häufig Fehlsignale. Breakout-Modelle warten, bis der Kurs
wichtige Marken durchbricht und handeln dann entweder in Richtung dieser Bewegung oder in die Gegenrichtung.
Zugelassene Aktionen
Reversal-Modelle sind immer am Markt investiert. Das bedeutet, dass Positionen
gleichzeitig zur Eröffnung einer Gegenposition geschlossen werden. Modelle mit
neutraler Phase hingegen lassen Phasen, in denen das Modell nicht am Markt ist, zu.
Anzahl der Analysen
Ein unbedingtes Modell besteht auf einer einzelnen Wenn-Dann-Bedingung. Ist diese
Bedingung erfüllt, so wird entsprechend gehandelt. Bedingte Modelle bestehen aus
mehreren verschachtelten Wenn-Dann-Bedingungen. Ist eine bestimmte Bedingung
erfüllt, so werden die Marktdaten nach weiteren Bedingungen untersucht. Es wird
erst gehandelt, nachdem alle hintereinander geschalteten Bedingungen erfüllt sind.
Art der Analysen
Prognosemodelle besitzen unter den verschiedenen Analysearten die größte wissenschaftliche Fundierung. Sie basieren auf Methoden der Statistik und Ökonometrie.
Filtermodelle transformieren den Kursdatensatz mathematisch in einen neuen Datensatz. Die Prognosen über die Kursentwicklung stammen aus der Interpretation der
neuen Datenreihen. Graphische Modelle gründen sich auf die Erkennung gewisser
graphischer Muster in den Kursen, die mit hoher Wahrscheinlichkeit positive Renditen erzeugen.
Bedingungen für Positionen
Sind die gleichen Handelsregeln für das Eingehen von Short-Positionen und LongPositionen verantwortlich, so spricht man von einem symmetrischen Modell. Geschehen Verkauf- und Kaufentscheidungen nach unterschiedlichen Kriterien, ist das
Modell asymmetrisch.
72
4.3 Handelsmodelle
Umgang mit Parametern
Modelle können danach unterschieden werden, ob sie ohne oder mit fixen Parametern agieren, oder ob die Parameter optimiert148 werden.
Zeithorizont der Marktaktionen
Modelle lassen sich auch nach der Dauer unterscheiden, die der Anleger aufgrund
eines Signals durchschnittlich am Markt investiert. Modelle können kurz-, mitteloder langfristiger Natur sein.
4.3.3 Konstruktion von Handelsmodellen
Ein Handelssystemprogrammierer hat bei dem Aufbau eines Handelsmodells unterschiedliche Arbeitsschritte zu vollbringen:149
Vorüberlegungen
Vor dem Programmierbeginn sollte sich der Investor seines Investment-Stils bewusst
werden. Er sollte sich mit den grundsätzlichen Eigenschaften wie die zugrunde liegende Strategie, die bevorzugte Analysemethode, die Signalhäufigkeit, die Trefferquote, den Zeithorizont etc. des zu programmierenden Handelsmodells auseinander
setzen.150 Dieser Schritt ist von außerordentlicher Relevanz, da ein Anleger nur in
der Lage sein wird, Handelssignale eines Modells umzusetzen, das seiner Anlegermentalität entspricht.
Schriftliche Formulierung der Handelsstrategie
Nachdem sich der Investor für einen Handelsansatz entschieden hat, wird dieser in
eine für ihn verständliche und vertretbare Handelsstrategie umformuliert, die anschließend als Programmcode in den Rechner eingegeben wird.
Test der Strategie
Die Strategie wird getestet, indem sie auf möglichst repräsentativen historischen Datenreihen angewandt wird. Die Performance sowie gewisse Kennzahlen werden dann
ausgewertet, um das Modell im Falle unzufriedenstellender Signale auszusondern.
148
siehe Abschnitt 4.3.3, Unterpunkt: Optimierung der Strategie
vgl. Wetzer (2003), S. 23 ff.
150
siehe Abbildung 4.6
149
73
4 Technische Handelsmodelle
Optimierung der Strategie
Enthält die Handelsstrategie Parameter, wie zum Beispiel die Länge des Zeitfensters
eines gleitenden Durchschnitts, so können diese ebenfalls anhand einer historischen
Datenreihe optimiert werden. Die Strategie wird mit Hilfe spezieller Computerprogramme mit verschiedenen Parameterwerten auf der Optimierungsdatenreihe angewandt. Die Auswahl der optimalen Parameter sollte sich nicht nur auf den erwirtschafteten Gewinn stützen, da dies häufig zu einem Curve Fitting führt: Das
Handelsmodell wurde der Datenreihe angepasst. Es soll aber nach einem robusten
Modell, das zuverlässig auf verschiedenen Datenreihen ähnlich gut funktioniert, gesucht werden. Deshalb muss ein Test des optimierten Modells auf einer anderen, dem
Modell unbekannten historischen Kurszeitreihe durchgeführt werden. Weichen die
Ergebnisse im Testzeitraum stark von denen im Optimierungszeitraum ab, so ist das
Modell nicht robust und für den Handel ungeeignet.
Handel
Strategien, die der Trader im Test als gut erachtet, können in den Handel gehen.
Überwachung und Verbesserung des Handelsmodells
Die Handelssignale des Modells sollten von dem Händler ständig beobachtet werden.
Läuft das Modell nicht nach Plan, kann dies auf veränderte Marktkonditionen zurückzuführen sein. Das Modell sollte nochmals überprüft und angepasst oder vorerst
aus dem Handel genommen werden.
4.3.4 Performanceanalyse von Handelsmodellen
In diesem Abschnitt werden ohne Anspruch auf Vollständigkeit Kennzahlen zur Performanceanalyse von Handelsmodellen vorgestellt. Diese Kennzahlen geben im Modelltest eine Unterstützung bei der Frage, ob ein bestimmtes Modell als gut befunden
wird oder ob es verworfen oder verbessert werden soll. Während der Optimierung
eines Handelssystems werden diese Kennzahlen herangezogen, um zu bestimmen, ob
das Modell robuste Ergebnisse liefert.151 Ein Modell ist umso robuster je stabiler sich
die Kennzahlen bei der Variation der Parameter und des Testzeitraumes erweisen.
Die Kennzahlen Nettogewinn, durchschnittliches Tradeergebnis und Erfolgswahrscheinlichkeit beschreiben die Performance eines Handelsmodells bezüglich der
Rendite. Der Maximum Drawdown und die Standardabweichung der Tradeergebnisse
sind Risikokennzahlen. Die interessantesten Kennzahlen bilden sich aus einer Kombination aus Rendite- und Risikomassen. Zu dieser Gruppe gehören der Profit Fac151
74
vgl. Pruitt/Hill (2003), S. 77
4.3 Handelsmodelle
tor, die Profit to Maximum Drawdown Ratio und der Risk-Adjusted-Return bzw. bei
Portfolios von Handelssystemen der Portfolio-Risk-Adjusted-Return.
Kennzahlen sind, wie alle empirisch abgeleiteten Daten, nicht stabil, sondern abhängig von der zugrunde liegenden Stichprobe.152 Durch die Wahl eines langen Testzeitraumes, der unterschiedliche Marktphasen umfasst, können die Kennzahlen dennoch
Aussagen über die Güte des Modells liefern. Im Folgenden werden die in dieser Arbeit eingesetzten Performancekennzahlen vorgestellt.
Nettogewinn bzw. Net Profit
Diese Kennzahl stellt den Nettogewinn des Handelssystems in dem getesteten Zeitraum dar. Der Nettogewinn besteht aus den Bruttogewinnen abzüglich der
Bruttoverluste:
[4.16]
Nettogewinn = Bruttogewinn − Bruttoverlust
Der Nettogewinn wird häufig in der Modellevaluierung überschätzt. Ein Modell, das
einen hohen Nettogewinn verbucht, kann den Investor trotzdem ruinieren, wenn der
Maximum Drawdown153 zu hoch ist. Der Nettogewinn sagt außerdem nichts über die
Verteilung der Gewinne und Verluste aus. Da das Ziel des Handels die Erwirtschaftung von Gewinnen ist, ist diese Kennzahl dennoch von kardinaler Bedeutung, sollte
aber stets in Kombination mit anderen Kennzahlen analysiert werden.154
Durchschnittliches Tradeergebnis bzw. Average Trade
Das durchschnittliche Ergebnis pro Trade wird folgendermaßen berechnet:
[4.17]
Durchschnittliches Tradeergebnis =
Nettogewinn
Anzahl der Trades
Auch diese Kennzahl darf nicht als alleinige Entscheidungsgrundlage eingesetzt
werden, da zum Beispiel ein System mit einem hohen durchschnittlichen Tradeergebnis bei einer ungleichmäßigen Verteilung der Gewinne und Verluste über die Zeit
als nicht robust einzustufen ist.155 Der Vorteil dieser Kennzahl liegt darin, dass durch
die Normierung des Gewinns auf die Signalanzahl verschiedene Systeme verglichen
werden können.156
152
vgl. Wetzer (2003), S. 33
siehe weiter unten
154
vgl. Pruitt/Hill (2003), S. 81 f.
155
vgl. Stridsman (2003), S. 16 ff.
156
vgl. Wetzer (2003), S. 33
153
75
4 Technische Handelsmodelle
Erfolgswahrscheinlichkeit bzw. Percent Winning Trades
Die Erfolgswahrscheinlichkeit eines Trades besteht aus dem Verhältnis zwischen der
Anzahl erfolgreicher Trades und aller Trades:
[4.18]
Erfolgswahrscheinlichkeit =
Anzahl erfolgreicher Trades
.
Anzahl aller Trades
Prozentzahl profitabler Märkte bzw. Percent Profitable Markets
Die Kennzahl Percent Profitable Markets besagt, auf wie vielen der getesteten Märkte das Handelsmodell Gewinne generieren konnte. Diese Kennzahl ist für die Stabilität des Handelsmodells von großer Relevanz, da viele verschiedene Märkte das Modell auch verschiedenen Marktphasen untersetzen, und sollte deutlich über 50 %
liegen.
Maximum Drawdown
Diese Kennzahl misst den durch das Handelsmodell temporär höchsten verursachten
Kapitalverlust. Dieser stellt den größten Abstand zwischen dem Hochpunkt und dem
darauf folgenden Tiefpunkt der Equitykurve aller Trades dar.157 Der Maximum Intraday Drawdown ist die gängigste Kennzahl für das Risiko eines Handelsmodells und
sollte, im Gegensatz zum Total Net Profit, minimiert werden.158 Anleger mit einem
verhältnismäßig niedrigen Handelskapital sollten keine Strategie handeln, die temporär einen hohen Kapitalrückgang verursachen könnte, da dieser ihren Einsatz vernichten könnte und weiteres Handeln der letztendlich profitablen Strategie unmöglich macht.
Standardabweichung um das durchschnittliche Tradeergebnis
Die Berechnung der Standardabweichung um das durchschnittliche Tradeergebnis
erfolgt nach der Formel [4.19]:
157
[4.19]
σ Trades =
mit:
Trades:
AvgTrade:
1 Trades
(Tradei − AvgTrade )2
∑
Trades i =1
Anzahl der Trades
Durchschnittliches Tradeergebnis
Bsp.: Beträgt das Kapital zu Beginn eines Trades 100 €, nach 2 Tagen 120 €, nach 6 Tagen 60 €
und beim Schlissen des Trades 90 €, so beträgt der Maximum Intraday Drawdown: 120 € - 60 € = 60
€, obwohl der Verlust des Trades nur 100 € - 90 € = 10 € beträgt.
158
vgl. Pruitt/Hill (2003), S. 82
76
4.3 Handelsmodelle
Ist die Differenz zwischen dem durchschnittlichen Tradeergebnis abzüglich 1,96
Standardabweichungen größer als null, so kann daraus geschlossen werden, dass das
Handelsmodell statistisch signifikante Gewinne erzielt.159
Portfolio-Standardabweichung
Wenn ein Handelsmodell auf ein großes Portfolio von Wertpapieren getestet wird, so
kann die Portfoliostandardabweichung wie folgt berechnet werden:
[4.20]
σ Portfolio =
mit:
Markets:
NetProfiti:
Markets
1
(NetProfit i − Avg NetProfit )2
∑
Markets i =1
Avg Net Profit:
Anzahl der Wertpapiere im Portfolio
Nettogewinn des Handelsmodells auf
dem i-ten Markt
Durchschnittlicher Nettogewinn des
Handelsmodells auf allen Wertpapieren
Je größer diese Kennzahl ausfällt, desto mehr Risiko ist mit dem Handel des Handelsmodells verbunden.
Profit Factor
Der Profit Factor setzt den erwirtschafteten Bruttogewinn mit dem Bruttoverlust ins
Verhältnis. Ein gutes Risikomanagement wird niedrige Verluste generieren, während
ein gutes Regelwerk hohe Gewinne zur Folge haben sollte. Ein Profit Factor, der
größer als eins ist, bedeutet höhere Gewinne als Verluste. Je höher dieses Verhältnis
ausfällt, desto besser für den Investor.160 Andererseits sollten unrealistisch hohe Werte des Profit Factors den Systemdesigner vor einem überoptimierten oder unrobusten
System warnen.
Profit to Maximum Drawdown Ratio
Die Profit to Maximum Drawdown Ratio P/MaxDD ist das Verhältnis des Nettogewinns zum größten absoluten Kapitalrückgang. In dem TradestationTM Performance
Report ist diese Kennzahl nicht aufgeführt, sie lässt sich aber schnell berechnen:
[4.21]
P / MaxDD =
Nettogewinn
.
Maximum Drawdown
159
Unter der Annahme normal verteilter Tradeergebnisse befinden sich 95 % der Tradeergebnisse in
dem Intervall Durchschnittsergebnis - 1,96 * Standardabweichung bis Durchschnittsergebnis + 1.96 *
Standardabweichung. [vgl.: Stridsman (2003), S. 24]
160
vgl. Wetzer (2003), S. 34
77
4 Technische Handelsmodelle
Diese Ratio besagt, um das wievielfache die Gewinne den größten absoluten Kapitalrückgang überschreiten. Im Idealfall liegt der Wert dieser Kennzahl weit über eins.161
Risk Adjusted Return
Eine weitere Vereinigung zwischen Rendite und Risikomasse stellt der Risk Adjusted
Return RAR dar, der folgendermaßen berechnet wird:
[4.22]
RAR =
Durchschnittliches Tradeergebnis
Standardabweichung
Auf der Basis der Überlegung, dass höhere Gewinne in der Regel durch höheres Risiko erwirtschaftet werden können, ist das Handelsmodell mit dem höchsten Risk
Adjusted Return das, was mit der größten Sicherheit gehandelt werden kann.162
Portfolio - Risk Adjusted Return
Beobachtet man das Handelsmodell gleichzeitig auf mehreren Märkten, so stellt das
Portfolio Risk Adjusted Return Portfolio-RAR eine gute Rendite-RisikoPerformancekennzahl dar.
Um das Portfolio-RAR zu berechnen, muss zuerst der durchschnittliche Gewinn des
Handelsmodells über alle Wertpapiere des Portfolios berechnet werden:
[4.23]
o/ Net Profit =
Markets
1
∑ Net Profit i
Markets i =1
wobei:
NetProfiti:
Nettogewinn des Handelsmodells auf dem i-ten
Markt
Anschließend wird auch hier der durchschnittliche Gewinn mit der PortfolioStandardabweichung ins Verhältnis gesetzt.
4.4 Fazit
In diesem vierten Kapitel wurden die gängigsten technischen Indikatoren und die
Bausteine systematischer Handelsmodelle vorgestellt. Im nächsten Kapitel können
dann nach diesen Grundsätzen Handelsmodelle entwickelt werden.
161
162
78
Vgl. Wetzer (2003), S. 35
vgl. Stridsman (2003), S. 24 f.
4.4 Fazit
Die Random-Walk-Theorie, nach der Aktienkursprognosen nicht erfolgreich zu
erstellen sind, basiert auf der Hypothese effizienter Märkte, die durch das Informationsparadoxon allerdings eine erhebliche Argumentationsschwäche beinhaltet. Die
Random-Walk-Theorie konnte trotz intensiver Untersuchungen bisher weder verifiziert noch falsifiziert werden. In der Anlagepraxis werden Wertpapierkurse sehr wohl
analysiert. Hierbei stellen die Fundamentalanalyse und die technische Analyse die
zwei Hauptanalyseformen dar.
Die Fundamentalanalyse besitzt die größere akademische Berechtigung, da beispielsweise auch die Random-Walk-Theorie besagt, dass Aktien um ihren inneren
Wert fluktuieren.
Die technische Analyse basiert nicht auf einem derartig soliden theoretischen Fundament. In der Praxis werden allerdings häufig Entscheidungen aufgrund technischer
Analyse der Märkte getroffen.163 Zuzüglich zu der Tatsache, dass täglich in der Welt
weit mehr Geld für Finanztransaktionen als für Güter- und Dienstleistungen umgesetzt wird,164 können folgende Überlegungen angestellt werden:
-
Erstens kann davon ausgegangen werden, dass die technische Analyse bereits
aus dem Grunde, dass so viele Marktteilnehmer sich an ihr orientieren, eine
gewisse Aussagekraft besitzt. Oft wird die technische Analyse als eine sich
selbst erfüllende Prophezeiung klassifiziert. Wenn dies zutreffen würde, so
hieße es, dass mit technischer Analyse durchaus Geld zu verdienen ist.
-
Zweitens basiert ein großer Teil der Fundamentalanalyse auf den Daten der
Transaktionen für Güter und Dienstleistungen, die jedoch vom Volumen her
im Vergleich zu den Finanztransaktionen relativ unbedeutend sind.
-
Drittens kann die Fundamentalanalyse, deren Eingabedaten relativ statisch
sind, nicht die kurzfristigen, von der Psychologie der Anleger getriebenen,
Schwankungen von Wertpapieren erklären. Ihr Anlagehorizont ist eher mittelbis langfristiger Natur.
Es lässt sich zusammenfassen, das die technische Analyse das bessere Instrument für
kurzfristige Timing-Entscheidungen sein dürfte. Langfristige Investitionen sollten
sich nicht ausschließlich auf die technische Analyse stützen.
163
Die technische Analyse wurde laut einem Report der Bank of England im Jahre 1989 von 90 % der
mit Devisen handelnden Institutionen in irgendeiner Weise zur Entscheidungsunterstützung eingesetzt. [vgl. Davidson (1995)]
164
Im Jahr 1995 wurden z. B. täglich 1,2 Trillionen U.S.Dollar gehandelt. Dies entsprach dem fünfzigfachen von dem, was weltweit täglich für Güter und Dienstleistungen ausgegeben wurde. [vgl.
Yao/Tan (1999), S. 222]
79
5 Empirischer Teil
5.1 Vorgehensweise
In diesem Teil der empirischen Arbeit kann das systematische PortfolioManagement-Modell entwickelt werden. Das Modell soll in der Lage sein, sowohl
den langfristigen Erwartungen des Portfoliomanagers zu entsprechen als auch kurzfristige Chancen am Markt systematisch auszunutzen.
In einem ersten Schritt muss sich der Portfoliomanager Gedanken über die langfristige Zusammensetzung seines Wertpapierportfolios machen. Dieser Prozess wird als
strategische Asset Allocation bezeichnet. In dieser Arbeit wird dem Vorschlag von
Black und Litterman gefolgt, die marktkapitalisierungsgerechten Gewichtungen als
Referenzgewichtungen zu verwenden. Die konkrete Auswahl der Aktien erfolgt im
Abschnitt 5.3.1. Allerdings ist es auch möglich, ein individuelles, den persönlichen
langfristigen Erwartungen entsprechendes, strategisches Portfolio zusammenzustellen.
Taktische Asset Allocation wird angewendet, um kurzfristige Chancen am Aktienmarkt wahrzunehmen. Mit der taktischen Asset Allocation wird eine aktive Investitionspolitik betrieben, welche versucht, im Vergleich zu einer rein passiven strategischen Asset Allocation eine bessere Performance zu erzielen. Diese Chancen am
Markt werden durch das entwickelte Handelsmodell identifiziert und dann als Prognosen dem Black-Litterman-Verfahren weitergegeben. Der Vergleichbarkeit halber
wird ein Portfolio mit denselben Aktien nach dem Markowitz-Verfahren organisiert.
Der Vektor erwarteter Renditen des Markowitz-Portfolios wird bei der Existenz eines Signals des Handelsmodells zu 50 % aus der historischen Durchschnittsrendite
und zu 50 % aus der erwarteten Signalrendite bestehen. Liegen für Aktien keine
Handelssignale vor, so besteht die erwartete Rendite vollständig aus der historischen
Durchschnittsrendite.
Die neuen Portfoliogewichtungen werden daraufhin in Richtung der geäußerten
Prognosen angepasst. Dazu wird in dem ersten Teil dieses Kapitels versucht, ein profitables und stabiles Handelsmodell für die Aktien des DAX zu entwickeln. Der
Testzeitraum bei der Entwicklung des Handelsmodells ist der Zeitraum vom
02.01.2002 bis zum 30.12.03.
Im Abschnitt 5.3.2 des Kapitels werden aus den Handelssignalen des entwickelten
Handelsmodells Prognosen spezifiziert, die dann als Renditeerwartungen an das
Black-Litterman-Verfahren und das Markowitz-Verfahren weitergegeben werden.
80
5.2 Entwicklung des Handelsmodellst
Diese systematischen Portfolio-Management-Ansätze werden über das Jahr 2004
angewandt und schließlich auf ihre Performance untersucht.
Der Aufbau des systematischen Black-Litterman-Portfolio-Management-Modells ist
in der Abbildung 5.1 veranschaulicht.
Abbildung 5.1: Aufbau des systematischen Portfolio-Management-Modells nach BLACK und
LITTERMAN
Strategische Asset Allocation Taktische Asset Allocation
Spezifikation von
strategischen Portfoliogewichten
Entwicklung eines
Handelsmodells
ODER
CAPM-Gewichte
Spezifikation der
Inputs des BlackLittermanVerfahrens und der
Risikoaversion
Subjektiv
Handelssignale
(Prognosen)
Black-Litterman-Verfahren
Systematisch
Black-Litterman-Portfoliogewichtungen
Es wird im Folgenden ausschließlich mit stetigen Renditen gearbeitet.
5.2 Entwicklung des Handelsmodells
Die im Folgenden getesteten Handelsmodelle basieren auf einer einfachen MoneyManagement-Strategie, bei der jedes Handelssignal mit einem Handelskapital von
100.000 € umgesetzt wird.
5.2.1 Handelsregeln der einfachen Handelsmodelle
In diesem Abschnitt werden Handelsmodelle getestet, die gemäß den Standardinterpretationsweisen der im Abschnitt 4.2.3 vorgestellten Indikatoren Signale generieren.
Es werden sieben Trendfolgemodelle und fünf Gegentrendmodelle durchgespielt. Im
Folgenden werden die Handelsregeln dieser Modelle beschrieben. Ziel ist es, einen
81
5 Empirischer Teil
Eindruck zu bekommen, welche Indikatoren während des Testzeitraumes auf den
DAX-Aktien gute Signale generieren konnten. Diese Informationen werden dann bei
der Entwicklung des Handelssystems, das im Portfoliomodell eingesetzt werden soll,
behilflich sein.
Handelsregeln der einfachen Trendfolgemodelle
Handelsmodell Nr. 1: Moving-Average-Crossover
Entry Long:
Exit Long:
Entry Short:
Exit Short:
Kaufe zum Schlusskurs, wenn zum Schlusskurs der kurze Durchschnitt über
dem langen Durchschnitt liegt und der kurze Durchschnitt den langen
Durchschnitt von unten nach oben schneidet.
Glattstellen zur Reversalbedingung.
Verkaufe zum Schlusskurs, wenn zum Schlusskurs der kurze Durchschnitt
unter dem langen Durchschnitt liegt und der kurze Durchschnitt den langen
Durchschnitt von oben nach unten schneidet.
Glattstellen zur Reversalbedingung.
Das Trendfolgesystem Nr. 1 benutzt zwei Parameter (Länge des kurzen Durchschnitts k = 5, Länge des Langen Durchschnitts l = 13). Es handelt sich um ein Reversalsystem, das zwei Aktionen ermöglicht (2 Entries = 2 Exits).
Handelsmodell Nr. 2: Moving-Average-Crossover
Dieses Modell funktioniert analog zu dem Handelsmodell Nr. 1, es ändern sich lediglich die Längen der Zeitfenster, über die die gleitenden Durchschnitte berechnet werden. Der kurze Durchschnitt hat die Länge k = 9, der längere Durchschnitt hat die
Länge l = 21.
Handelsmodell Nr. 3: MACD-Crossover
Entry Long:
Exit Long:
Entry Short:
Exit Short:
82
Kaufe zur nächsten Eröffnung, wenn zum Schlusskurs die MACD-Linie über
der Signallinie liegt und die MACD-Linie die Signallinie von unten nach oben schneidet.
Glattstellen zur Reversalbedingung.
Verkaufe zur nächsten Eröffnung, wenn zum Schlusskurs die MACD-Linie
unter der Signallinie liegt und die MACD-Linie die Signallinie von oben
nach unten schneidet.
Glattstellen zur Reversalbedingung.
5.2 Entwicklung des Handelsmodellst
Das Trendfolgemodell Nr. 3 benutzt drei Parameter (Länge des kurzen exponentiellen Durchschnitts = 12, Länge des langen exponentiellen Durchschnitts = 26, Länge
des exponentiellen Durchschnitts zur Berechnung der Signallinie = 9). Es handelt
sich um ein Reversalsystem, das zwei Aktionen ermöglicht (2 Entries = 2 Exits).
Handelsmodell Nr. 4: Swing-Breakout I
Entry Long:
Exit Long:
Entry Short:
Exit Short:
Kaufe zur nächsten Eröffnung, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell
gültige Swing-High übersteigt.
Glattstellen zur Reversalbedingung.
Verkaufe zur nächsten Eröffnung, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell
gültige Swing-Low unterschreitet.
Glattstellen zur Reversalbedingung.
Der einzige Parameter dieses Handelsmodells ist die Stärke des Swings,
Strength = 2. Es handelt sich um ein Reversalsystem das zwei Aktionen ermöglicht
(2 Entries = 2 Exits).
Handelsmodell Nr. 5: Swing-Breakout II
Dieses Modell funktioniert analog zu dem Modell Nr. 4, es ändert sich lediglich die
Stärke des Swings, nämlich Strength = 3. Dies führt dazu, dass relativ unstabile Unterstützungs- und Widerstandspunkte keine Signale generieren.
Handelsmodell Nr. 6: Swing-Breakout III
Dieses Modell funktioniert ebenfalls analog zu dem Modell Nr. 4; es ändert sich
auch hier die Stärke des Swings, Strength wird auf vier gesetzt. Die hier ermittelten
Swings sind die eindeutigeren Unterstützungs- bzw. Widerstandspunkte im Vergleich zu denen der Handelsmodelle Nr. 4 und Nr. 5.
Handelsmodell Nr. 7: Bollinger-Band-Breakout
Entry Long:
Exit Long:
Entry Short:
Kaufe zum Schlusskurs, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gültige
obere Bollinger Band übersteigt.
Glattstellen zur Reversalbedingung.
Verkaufe zum Schlusskurs, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gültige
untere Bollinger Band unterschreitet.
83
5 Empirischer Teil
Exit Short:
Glattstellen zur Reversalbedingung.
Das Ausbruchmodell benutzt zwei Parameter (Länge des gleitenden Durchschnitts = 9, Standardabweichungsfaktor zur Ermittlung der Lage der Bänder = 2). Es
handelt sich um ein Reversalsystem, das zwei Aktionen ermöglicht (2 Entries = 2
Exits).
Handelsregeln der einfachen Gegentrendmodelle
Handelsmodell Nr. 8: RSI-Reversalsystem
Entry Long:
Exit Long:
Entry Short:
Exit Short:
Kaufe zum Schlusskurs, wenn zum Schlusskurs der RSI über der Überverkauft-Grenze liegt und der RSI die Überverkauft-Grenze von unten nach oben schneidet.
Glattstellen zur Reversalbedingung, zum Stop-Loss oder zum Trailingstop.
Verkaufe zum Schlusskurs, wenn zum Schlusskurs der RSI unter der Überkauft-Grenze liegt und der RSI die Überkauft-Grenze von oben nach unten
schneidet.
Glattstellen zur Reversalbedingung, zum Stop-Loss oder zum Trailingstop.
Das Gegentrendmodell benutzt vier Parameter (Länge des Zeitfensters zur Berechnung des RSI = 14, Lage der Überkauftzone = 70, Lage der Überverkauftzone = 30
und Länge des Zeitfensters des Trailingstops = 3). Der Stop-Loss ist beim Eingehen
von Longpositionen der aktuelle Tiefstkurs, beim Eingehen von Shortpositionen der
aktuelle Höchstkurs. Der Trailingstop wird bei Longpositionen bei Kursen unter dem
tiefsten Tiefpunkt der letzten drei Tage aktiviert, bei Shortpositionen bei Kursen über
dem höchstem Höchstkurs der letzten drei Tage. Das System ermöglicht neutrale
Marktphasen, wenn die Stops zum Einsatz kommen. Es existieren demnach sechs
mögliche Aktionen (2 Entries = 2 Exits und 4 weitere Exits).
Handelsmodell Nr. 9: Bollinger-Band-Reversals
Entry Long:
Exit Long:
Entry Short:
Exit Short:
84
Kaufe zur nächsten Eröffnung über dem aktuellen unteren Bollinger Band,
wenn der aktuelle Schlusskurs unterhalb des aktuellen unteren Bollinger
Bands notiert.
Glattstellen zur Reversalbedingung.
Verkaufe zur nächsten Eröffnung unter dem aktuellen oberen Bollinger
Band, wenn der aktuelle Schlusskurs oberhalb des aktuellen oberen Bollinger Bands notiert.
Glattstellen zur Reversalbedingung.
5.2 Entwicklung des Handelsmodellst
Das Gegentrendsystem Nr. 8 benutzt zwei Parameter (Länge des gleitenden Durchschnitts = 9, Standardabweichungsfaktor zur Ermittlung der Lage der Bänder = 2). Es
existieren zwei mögliche Aktionen (2 Entries = 2 Exits).
Handelsmodell Nr. 10: Bollinger-Band-Reversals mit Stop-Loss
Entry Long:
Exit Long:
Entry Short:
Exit Short:
Kaufe zur nächsten Eröffnung über dem aktuellen unteren Bollinger Band,
wenn der aktuelle Schlusskurs unterhalb des aktuellen unteren Bollinger
Bands notiert.
Glattstellen zur Reversalbedingung oder zum Stop-Loss.
Verkaufe zur nächsten Eröffnung unter dem aktuellen oberen Bollinger
Band, wenn der aktuelle Schlusskurs oberhalb des aktuellen oberen Bollinger Bands notiert.
Glattstellen zur Reversalbedingung oder zum Stop-Loss.
Das Gegentrendsystem Nr. 8 benutzt zwei Parameter (Länge des gleitenden Durchschnitts = 9, Standardabweichungsfaktor zur Ermittlung der Lage der Bänder = 2).
Der Stop-Loss wird bei Shortpositionen auf dem Niveau des aktuellen Höchstkurses
gesetzt, bei Longpositionen auf dem aktuellen Tiefstkurs. Es existieren vier mögliche
Aktionen (2 Entries + 2 Exits).
Handelsmodell Nr. 11: Bollinger-Band-Reversal mit Stop-Loss und Trailingstop
Entry Long:
Exit Long:
Entry Short:
Exit Short:
Kaufe zur nächsten Eröffnung über dem aktuellen unteren Bollinger Band,
wenn der aktuelle Schlusskurs unterhalb des aktuellen unteren Bollinger
Bands notiert.
Glattstellen zur Reversalbedingung, zum Stop-Loss oder zum Trailingstop.
Verkaufe zur nächsten Eröffnung unter dem aktuellen oberen Bollinger
Band, wenn der aktuelle Schlusskurs oberhalb des aktuellen oberen Bollinger Bands notiert.
Glattstellen zur Reversalbedingung, zum Stop-Loss oder zum Trailingstop.
Das Gegentrendsystem Nr. 8 benutzt drei Parameter (Länge des gleitenden Durchschnitts = 9, Standardabweichungsfaktor zur Ermittlung der Lage der Bänder = 2,
Länge des Zeitfensters des Trailingstops = 3). Der Stop-Loss wird beim Eingehen
von Shortpositionen auf dem Niveau des aktuellen Höchstkurses gesetzt, beim Eingehen von Longpositionen auf dem aktuellen Tiefstkurs. Der Trailingstop wird bei
Longpositionen bei Kursen unter dem tiefsten Tiefpunkt der letzten drei Tage aktiviert, bei Shortpositionen bei Kursen über dem höchstem Höchstkurs der letzten drei
Tage. Es existieren vier mögliche Aktionen (2 Entries + 2 Exits).
85
5 Empirischer Teil
Handelsmodell Nr. 12: Candlestick-Reversals
Entry Long:
Exit Long:
Entry Short:
Exit Short:
Kaufe am nächsten Tag, wenn eine Hammer-Formation bestätigt wird, d.h.
der Kurs über dem Hochpunkt der Hammer-Kerze notiert.
Glattstellen zur Reversalbedingung, zum Stop-Loss oder zum Trailingstop.
Verkaufe am nächsten Tag, wenn eine Shooting-Star-Formation bestätigt
wird, d. h. der Kurs unter dem Tiefpunkt der Shooting-Star-Kerze notiert.
Glattstellen zur Reversalbedingung, zum Stop-Loss oder zum Trailingstop.
Das Gegentrendmodell Nr. 12 benutzt zwei Parameter (Länge des Zeitfensters zur
Trendbestätigung = 3, Länge des Zeitfensters des Trailingstops = 3). Der Stop-Loss
und der Trailingstop funktionieren analog zu dem Handelsmodell Nr. 11. Das System
ermöglicht neutrale Marktphasen und hat vier verschiedene Aktionen
(2 Entries = 2 Exits und weitere 4 Exits).
5.2.2 Performance der einfachen Handelsmodelle im Testzeitraum
Die Performance der Signalmodelle Nr. 1 bis Nr. 12 in dem Testzeitraum vom
01.01.2002 bis zum 31.12.2003 wird hier anhand der Performancekennzahlen Profit
Factor PF, Profit to maximum Drawdown Ratio P/MaxDD, Portfolio-Risk Adjusted
Return PF-RAR und Prozentzahl der profitablen Märkte PercProfitable, veranschaulicht.165 Im Anhang C.1 befinden sich die detaillierten Performancetabellen, in denen
für jedes Signalmodell die Performancekennzahlen für jede DAX-Aktie sowie die
zusammengefassten Performancekennzahlen über alle Aktien aufgelistet sind.
Abbildung 5.2: Performancekennzahlen der einfachen Handelsmodelle
Trendfolgemodelle
165
86
siehe Abschnitt 4.3.4
Gegentrendmodelle
5.2 Entwicklung des Handelsmodellst
Die Abbildung 5.2 veranschaulicht die, den Ertrag und das Risiko beinhaltenden Performancekennzahlen der zwölf einfachen Handelsmodelle. Offensichtlich besteht ein
Zusammenhang zwischen den drei Kennzahlen, deren Aussagen sich unter Ausnahme des Handelsmodells Nr. 12 gegenseitig bestätigen.166 In der Abbildung 5.3 ist mit
der Prozentzahl profitabler Märkte eine vierte, zur Evaluierung der Systemstabilität
äußerst wichtige Kennzahl aufgeführt.
Abbildung 5.3: Prozentzahl profitabler Märkte der einfachen Handelsmodelle
Die beiden Moving-Average-Crossover-Modelle (Nr. 1 und Nr. 2) besitzen eine gute
Performance, da der Profit Factor bei 1.70 bzw. 1.53 liegt. Das Modell Nr. 1 hat allerdings nur in 53.33 % der Märkte einen Profit erzielt. Robuster scheint mit 66.66 %
profitablen Märkten das Handelsmodell Nr. 2. Das MACD-Crossover-Modell (Nr. 3)
kommt aufgrund seines negativen durchschnittlichen Gewinns und den nur 33.33 %
profitablen Märkten nicht für eine Weiterentwicklung in Frage. Bei den SwingBreakout-Modellen (Nr. 4, 5 und 6) fällt auf, dass sich sowohl die Performance als
auch die Anzahl profitabler Märkte verbessert, je eindeutiger das Swing-Niveau definiert wird. Das Bollinger-Band-Breakout-Modell ist offensichtlich das im Testzeitraum am besten performende Modell. Allerdings ist es unwahrscheinlich, dass diese
sehr gute Performance durch ein derartig einfaches Regelwerk ohne weiteres auch in
der Zukunft systematisch zustande kommen kann.
Das RSI-Reversal-Modell (Nr. 8) ist auf den meisten Märkten profitabel, nämlich auf
66.66 %. Allerdings zeichnet es sich ebenfalls durch ein niedriges Portfolio-RiskAdjusted-Return aus, was darauf schließen lässt, dass die Ergebnisse sehr starken
Schwankungen unterworfen sind. Sowohl die Bollinger-Band-Reversal-Modelle
(Nr. 9, 10 und 11) als auch das Candlestick-Reversal-Modell Nr. 12 generieren auf
den meisten Märkten Verluste.
Insgesamt kann gesagt werden, dass die Moving-Average-Crossover, und die Breakout-Trendfolgemodelle im Testzeitraum profitabel agieren konnten. Sowohl das
166
Der Grund für den außergewöhnlich hohen Profit Factor im Handelsmodell Nr. 12 ist ein außeror-
87
5 Empirischer Teil
MACD-Trendfolgemodell als auch sämtliche Gegentrendmodelle erwirtschafteten
unbefriedigende Ergebnisse und werden aus diesem Grunde im nächsten Abschnitt
nicht weiterbehandelt.
5.2.3 Weiterentwicklung der Handelsmodelle
Filterung
Aufgrund der vorgenommenen Tests der einfachen Handelsmodelle gelten insbesondere die Breakout-Modelle Nr. 5, Nr. 6 und Nr. 7 als erfolgversprechend. Die Modelle Nr. 1 und Nr. 2 haben ebenfalls gute Ergebnisse geliefert, ihr Ansatz wird deshalb
zur Filterung der Signale der drei gewählten Breakout-Modelle eingesetzt.
Es wird also untersucht, inwiefern sich die Modellperformance verändert, wenn die
Signale zuzüglich des Breakouts auch einer Moving-Average-Bedingung zu Grunde
liegen. Die Handelsregeln der gefilterten Handelsmodelle für die einfachen Modelle
Nr. 5, Nr. 6 und Nr. 7 werden im Folgenden beschrieben. Die Bezeichnung „_Filter“
steht für den Moving-Average-Filter, die kursiv geschriebenen Teile der Handelsregel veranschaulichen die neue Komponente der Modelle.
Handelsmodell Nr. 5_Filter
Entry Long:
Exit Long:
Entry Short:
Exit Short:
Kaufe zum Schlusskurs, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gültige
Swing-High übersteigt und der 5-tägige gleitende Durchschnitt sowohl über
dem 13-tägigen gleitenden Durchschnitt als auch über dem 34-tägigen gleitenden Durchschnitt liegt.
Glattstellen zur Reversalbedingung.
Verkaufe zum Schlusskurs, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gültige Swing-Low unterschreitet und der 5-tägige gleitende Durchschnitt sowohl unter dem 13-tägigen gleitenden Durchschnitt als auch unter dem 34tägigen gleitenden Durchschnitt liegt.
Glattstellen zur Reversalbedingung.
Das gefilterte Ausbruchmodell benutzt vier Parameter (Kurse zur Bestimmung des
Swing-Niveaus = 3, Länge der drei gleitenden Durchschnitte= 5, 13 und 34). Es handelt sich um ein Reversalsystem, das zwei Aktionen ermöglicht (2 Entries = 2 Exits).
dentlich hoher verbuchter Gewinn mit der Aktie Fresenius Medical Care (FME).
88
5.2 Entwicklung des Handelsmodellst
Handelsmodell Nr. 6_Filter
Dieses Modell funktioniert analog zu dem Modell Nr. 5_Filter, es ändert sich die
Anzahl der erforderten Kurse, nämlich vier pro Seite, neben den Swing-Kursen, um
diese zu gültigen Swings zu machen.
Handelsmodell Nr. 7_Filter
Entry Long:
Exit Long:
Entry Short:
Exit Short:
Kaufe zum Schlusskurs, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gültige
obere Bollinger Band übersteigt und der 5-tägige gleitende Durchschnitt sowohl über dem 13-tägigen gleitenden Durchschnitt als auch über dem 34tägigen gleitenden Durchschnitt liegt.
Glattstellen zur Reversalbedingung.
Verkaufe zum Schlusskurs, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gültige
untere Bollinger Band unterschreitet und der 5-tägige gleitende Durchschnitt
sowohl unter dem 13-tägigen gleitenden Durchschnitt als auch unter dem
34-tägigen gleitenden Durchschnitt liegt.
Glattstellen zur Reversalbedingung.
Das gefilterte Ausbruchmodell benutzt fünf Parameter (Länge des gleitenden Durchschnitts = 9, Standardabweichungsfaktor zur Ermittlung der Lage der Bänder = 2,
Länge der drei gleitenden Durchschnitte = 5, 13 und 34). Es handelt sich um ein Reversalsystem das zwei Aktionen ermöglicht (2 Entries = 2 Exits).
Performance der gefilterten Handelsmodelle im Testzeitraum
Die Abbildung 5.4 veranschaulicht die Performancekennzahlen der drei Handelsmodelle sowohl vor als auch nach der Filterung. In der Abbildung 5.5 ist die Prozentzahl
profitabler Märkte aufgetragen.
Abbildung 5.4: Performancekennzahlen der Handelsmodelle Nr. 5, Nr. 6 und Nr. 7 vor und
nach der Filterung
89
5 Empirischer Teil
Die Filterung konnte vor allem die Performance des Swing-Breakout-Modells Nr. 5
verbessern. Die Performance des Bollinger-Band-Breakout-Modells Nr. 7 verschlechterte sich allerdings, da sowohl die Profit to maximum Drawdown Ratio als
auch das Portfolio-RAR deutlich gefallen sind. Die gleichzeitige Steigerung des Profit Factors von 2.1 auf 3.36 kommt vor allem durch den extrem hohen Gewinn, den
das Modell Nr. 7_Filter auf der Bayer-Aktie (BAY) verbuchen konnte, zustande.
Abbildung 5.5: Prozentzahl profitabler Märkte der Handelsmodelle Nr. 5, Nr. 6 und Nr. 7 vor
und nach der Filterung
Die deutlich niedrigere Anzahl profitabler Märkte und die soeben angesprochene
Inkohärenz der Performancemaße nach der Filterung des Handelsmodells Nr. 7 lässt
vermuten, dass die im Abschnitt 5.2.2 geäußerten Bedenken über die Stabilität des
Modells gerechtfertigt waren. Das Handelsmodell Nr. 5 konnte nach der Filterung
bei verbesserten Performancekennzahlen auf deutlich mehr Märkten (Steigerung von
50 % auf 60 %) profitabel agieren, das Handelsmodell Nr. 6 agierte durch die Filterung auf 63.33 % Märkten profitabel (vorher: 56.67 %). Im Folgenden werden die
zwei erfolgversprechenden Swing-Breakout-Modelle Nr. 5_Filter und Nr. 6_Filter
weiterentwickelt.
Zusätzliche Exit-Regeln
Die gefilterten Swing-Breakout-Handelsmodell Nr. 5_Filter und Nr. 6_Filter werden
in diesem Schritt um spezifische Exit-Regeln erweitert. Es handelt sich dabei sowohl
um Stopp-Loss-Regeln als auch um einen Trailingstop. Dies hat zur Folge, dass die
Handelsmodelle auch neutrale Marktphasen haben werden. Durch dieses schnellere
Schließen der Positionen können hoffentlich Verluste, die aus der Trägheit der Modelle beim Positionsschluss resultieren, gemindert werden.
Die Stops agieren folgendermaßen: Der Stop-Loss ist bei Longpositionen durch das
aktuelle Swing-Low gegeben. Fallen die Kurse unter dieses Niveau, wird die Longposition geschlossen. Bei Shortpositionen stellt das letzte Swing-High den Stopkurs
dar, ein Überschreiten dieser Marke führt zu einem Schließen der Position. Der Trai90
5.2 Entwicklung des Handelsmodellst
lingstop stellt bei Longpositionen den tiefsten Tiefstkurs der vergangenen 13 Tage
dar, bei Shortpositionen den höchsten Höchstkurs der vergangenen 13 Tage. Befinden sich das aktuelle Swing-Low über dem Long-Trailingstop bzw. das aktuelle
Swing-High unter dem Short-Trailingstop, so gelten diese als Trailingstopniveaus.
Die Handelsregeln der mit diesen Exits versehenen Handelsmodelle sehen folgendermaßen aus:
Handelsmodell Nr. 5_Filter_Stops
Entry Long:
Exit Long:
Entry Short:
Exit Short:
Kaufe zum Schlusskurs, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gültige
Swing-High übersteigt und der 5-tägige gleitende Durchschnitt über dem 13tägigen gleitenden Durchschnitt liegt.
Glattstellen, wenn der Schlusskurs das aktuelle Swing-Low unterschreitet
oder wenn der Schlusskurs unter den tiefsten Kurs der letzten 13 Tage fällt.
Verkaufe zum Schlusskurs, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gültige
Swing-Low unterschreitet und der 5-tägige gleitende Durchschnitt unter dem
13-tägigen gleitenden Durchschnitt liegt.
Glattstellen, wenn der Schlusskurs das aktuelle Swing-High übersteigt oder
wenn der Schlusskurs über den tiefsten Kurs der letzten 13 Tage steigt.
Das Handelsmodell benutzt fünf Parameter (Kurse zur Bestimmung des SwingNiveaus = 3, Länge der drei gleitenden Durchschnitte = 5, 13 und 34, Länge des
Zeitfensters des Trailingstops). Es handelt sich um ein Reversalsystem, das zwei Aktionen ermöglicht (2 Entries = 2 Exits).
Handelsmodell Nr. 6_Filter_Stops
Entry Long:
Exit Long:
Entry Short:
Exit Short:
Kaufe zum Schlusskurs, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gültige
Swing-High übersteigt und der 5-tägige gleitende Durchschnitt über dem 13tägigen gleitenden Durchschnitt liegt.
Glattstellen, wenn der Schlusskurs das aktuelle Swing-Low unterschreitet
oder wenn der Schlusskurs unter den tiefsten Kurs der letzten 13 Tage fällt.
Verkaufe zum Schlusskurs, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gültige Swing-Low unterschreitet und der 5-tägige gleitende Durchschnitt unter
dem 13-tägigen gleitenden Durchschnitt liegt.
Glattstellen, wenn der Schlusskurs das aktuelle Swing-High übersteigt oder
wenn der Schlusskurs über den tiefsten Kurs der letzten 13 Tage steigt.
.
Das Handelsmodell benutzt fünf Parameter (Kurse zur Bestimmung des SwingNiveaus = 4, Länge der drei gleitenden Durchschnitte= 5, 13 und 34, Länge des Zeitfensters des Trailingstops). Es handelt sich um ein Reversalsystem das zwei Aktionen ermöglicht (2 Entries = 2 Exits).
91
5 Empirischer Teil
Performance der mit Stops versehenen Handelsmodelle im Testzeitraum
Die Abbildung 5.6 veranschaulicht die Performancekennzahlen der Handelsmodelle
Nr. 5 und Nr. 6 mit den ursprünglichen Handelsregeln, den gefilterten Handelsregeln
und den mit Stops versehenen gefilterten Handelsregeln. Eine Verbesserung der
Kennzahlen konnte in diesem Schritt nicht erreicht werden.
Abbildung 5.6: Performancekennzahlen der Handelsmodelle Nr. 5, Nr. 6 vor und nach der
Filterung und mit zusätzlichen Exit-Regeln
Allerdings konnte, wie die Abbildung 5.7 zeigt, die Prozentzahl profitable Märkte für
das Handelsmodell Nr. 5_Filter_Stops ein weiteres Mal deutlich erhöht werden (von
60 % auf 70 %). Diese Kennzahl ist ein wichtiges Signal für die Stabilität des Handelsmodells, da die hohe Anzahl getesteter Märkte das Modell zwangsläufig unterschiedlichen Marktphasen aussetzt.
Abbildung 5.7: Prozentzahl profitabler Märkte der Handelsmodelle Nr. 5, Nr. 6 vor und nach
der Filterung und mit zusätzlichen Exit-Regeln
Wegen der hohen Anzahl profitabler Märkte und den immer noch guten Performancekennzahlen wird das Handelsmodell Nr.5_Filter_Stops für die kurzfristigen Timing-Prognosen zum Management eines Portfolios aus DAX-Aktien eingesetzt.
Festzuhalten bleibt, dass nicht das profitabelste Handelsmodell für den praktischen
Einsatz, sondern das als stabilste erachtete Modell ausgewählt wird.
92
5.3 Systematische Portfolio-Management-Modelle
5.3 Systematische Portfolio-Management-Modelle
5.3.1 Auswahl der Aktien für die Portfolios
In diesem Abschnitt werden die Aktien ausgewählt, die in die Portfolios kommen
sollen. Die Entscheidung fällt auf Aktien aus dem DAX-Index, da das technische
Handelsmodell für den Handel dieser Werte konzipiert wurde. Auf eine Aufnahme
sämtlicher DAX-Aktien in die Portfolios wird aus folgenden Gründen verzichtet:
-
Die Portfolio-Optimierung von sehr großen Portfolios kann sich je nach Güte
der Numerik des verwendeten Statistikprogrammes als problematisch erweisen. Die Varianz-Kovarianz-Matrix kann unter Umständen nicht invertiert
werden, da sie als singulär betrachtet wird. Einen möglichen Umweg bietet da
die Cholesky-Dekomposition.
Da im Black-Litterman-Verfahren je nach Prognose die marktkapitalisierungsgerechten Referenzgewichtungen der Aktien etwas erhöht oder gemindert werden, ändert die Aufnahme relativ kleiner Werte die Portfolioperformance nur in geringem Maße und würde in der Praxis vor allem zu erhöhten
Transaktionskosten führen.
-
Aus diesen Gründen fällt die Wahl der Aktien im Portfolio auf einige große Werte
im DAX. Zur Entscheidungsunterstützung wird die Lorenzkurve der prozentualen
Marktkapitalisierungen der DAX-Aktien zum 02. Januar 2004, veranschaulicht in der
Abbildung 5.8, herangezogen.167
Abbildung 5.8: Lorenzkurve der prozentualen Marktkapitalisierungen der DAX-Aktien
[Stand: 02.01.04; Quelle: Eigene Berechnung ausgehend von den Kursen und der Anzahl der Aktien
am Markt; Quellen YahooFinance,Deutsche Börse AG]
Die Wahl fällt auf ein Portfolio mit den fünfzehn am 02. Januar 2004 am stärksten
kapitalisierten Aktien, da diese Werte ca. 84 % des DAX-Volumens ausmachen, und
167
Eine Tabelle mit sämtlichen DAX-Aktien und ihre Kürzel und Wirtschaftssektoren sowie Kursdiagramme und Marktkapitalisierungen befinden sich im Anhang B.3.
93
5 Empirischer Teil
somit den Index sehr gut repräsentieren. Es handelt sich dabei geordnet nach deren
Marktkapitalisierung um folgende Aktien:
Deutsche Telekom (DTE), Siemens (SIE), SAP (SAP), Allianz (ALV), Deutsche
Bank (DBK), Daimler Chrysler (DCX), E.On (EOA), BASF (BAS), BMW (BMW),
Münchener Rückversicherungen (MUV2), Deutsche Post (DPW), Bayer (BAY), RWE
(RWE), Volkswagen (VOW), Metro (MEO).
Die Abbildung 5.9 veranschaulicht die Aufteilung über die Wirtschaftssektoren des
marktkapitalisierungsgerechten Portfolios am 02. Januar 2004.
Abbildung 5.9: Aufteilung des marktkapitalisierungsgewichteten Fünfzehn-WertpapierPortfolios über die Wirtschaftssektoren
4% 3%
8%
17%
Automobilindustrie
Telekommunikation
Versicherungen
9%
14%
Industrie
Versorger
Chemie
Software
9%
13%
11%
Banken
Logistik
Einzelhandel
12%
[Stand: 02.01.04, Quelle: Eigene Berechnung]
Die gute Streuung über die Wirtschaftssektoren des Fünfzehn-Wertpapier-Portfolios
und die hohe Anzahl an Aktien sollten das unsystematische Risiko des Portfolios zu
einem erheblichen Maße reduzieren.
Die Benchmark für die systematisch geplanten Portfolios wird das marktkapitalisierungsgewichtete Fünfzehn-Wertpapier-Portfolio sein. Der DAX-Index bietet sich
ebenfalls als Benchmark an, darauf wird allerdings aus Gründen der präziseren Beurteilung der Portfolio-Management-Modelle durch die gewählte Benchmark verzichtet.
94
5.3 Systematische Portfolio-Management-Modelle
5.3.2 Portfolio-Management-Modell nach BLACK und LITTERMAN auf
Basis der Gleichgewichtsrenditen und der Handelssignale
5.3.2.1 Festlegung der Inputfaktoren des Portfolio-Management-Modells
Zur Bestimmung der impliziten Gleichgewichtsrenditen sind die marktkapitalisierungsgerechten Gewichtungen der Aktien im Portfolio wGG, die Varianz-KovarianzMatrix Σ sowie der Risikoaversionsparameter λ des Portfolios notwendig. Die bereits
im Abschnitt 3.3 erläuterte Formel zur Berechnung der impliziten Renditen lautet:
Π* = λΣw REF
Die marktkapitalisierungsgerechten Gewichtungen wGG. Es liegen für sämtliche
Wertpapiere des Portfolios die Anzahl der Aktien auf dem Markt vor. Indem diese
mit dem aktuellen Kurs der Aktie multipliziert werden, erhält man die Marktkapitalisierungen der Werte.168 Die Marktkapitalisierung einer Aktie dividiert durch die
Summe der Marktkapitalisierungen aller Aktien des Portfolios ergibt dann die
marktkapitalisierungsgerechte Gewichtung dieser Aktie. Dieser Vorgang wird täglich, so dass sich die marktkapitalisierungsgerechten Gewichtungen der Marktentwicklung dynamisch anpassen.
Die Varianz-Kovarianz-Matrix Σ wird durch die empirische Varianz-KovarianzMatrix approximiert. Diese wird rollierend über ein Zeitfenster von hundert Börsentagen in die Vergangenheit berechnet.
Der Risikoaversionsparameter λ wird auf 2.5 gesetzt. Dieser Wert entspricht nach
He und Litterman (1999) dem globalen durchschnittlichen Risikoaversionsparameter.
Der Skalar τ ist ein weiterer wichtiger Eingabefaktor des Black-Litterman-Modells.
In den folgenden Portfolios wird der Skalar den Anwendungen von Drobetz (2002)
folgend auf 0.3 gesetzt.
Die Prognosematrix V. Zu der Bestimmung der Prognosematrix werden über den
gesamten Testzeitraum die Marktpositionen des Handelsmodells bestimmt. Wenn
das Modell an einem bestimmten Tag Long ist, dann wird dies als eine positive Prognose gewertet, ist das Handelsmodell Short, wird dies als eine negative Prognose
interpretiert. Anschließend werden die realisierten Renditen an den Tagen, an denen
das Handelsmodell die Long- bzw. Short-Signale generiert hat, festgehalten.
In der Abbildung 5.10 sind die empirischen Verteilungen der Renditen sämtlicher
DAX-Werte im Testzeitraum vom 02.01.2002 bis zum 30.12.2003 bei Long- und
168
siehe Anhang B.3.3
95
5 Empirischer Teil
Short-Signalen, sowie die Normalverteilungen basierend auf den zwei ersten Momenten der empirischen Verteilungen aufgeführt.
Abbildung 5.10: Empirische- und Normalverteilungen der Renditen der DAX-Aktien im
Testzeitraum bei Long- bzw. Short-Signalen
Anzahl Long-Signale: 5051
Mittelwert:
0.003221600
Varianz:
0.02830029
Jarque-Bera:
1979.962
(p-value <
2.2e-16)
t-Test:
8.0904
(p-value <
2.2e-16)
Anzahl Short-Signale: 5382
Mittelwert:
-0.004419361
Varianz:
0.02943300
Jarque-Bera:
696.2059
(p-value <
2.2e-16)
t-Test:
-11.0153
(p-value:
0.6401)
Der Jarque-Bera-Test verwirft sowohl bei der Verteilung der Renditen bei LongSignalen, als auch bei der Verteilung der Renditen bei Short-Signalen die Annahme
der Normalverteilung mit einem Signifikanzniveau von weit unter 1 %. Die Renditen
scheinen eher einer leptokurtischen Verteilung zu entsprechen. Die Annahme normal
verteilter Prognosen des Black-Litterman-Verfahrens wird dadurch leider verletzt.
Der t-Test unterstellt, dass die Renditen bei Long-Signalen signifikant größer als null
und die Renditen bei Short-Signalen signifikant kleiner als null sind. Allerdings ist
die Aussagekraft des t-Tests durch die Tatsache, dass die Daten nicht stochastisch
zustande gekommen, sondern das Ergebnis des Entwicklungsprozesses im Abschnitt
5.2. sind, sehr eingeschränkt. Im Falle eines Long-Signals wird die Renditeprognose
trotzdem für die entsprechende Aktie auf +0.32216 %, dem Mittelwert aller LongSignal-Renditen im Testzeitraum, gesetzt. Im Falle eines Short-Signals wird eine
Rendite von -0.44193611 % prognostiziert.
Die Prognosegütematrix Ω wird analog anhand der Varianzen der Handelssignalrenditen im Testzeitraum bestimmt. Jeder Long-Signal-Prognose wird eine Varianz
von 0.02830029 zugewiesen, jeder Short-Signal-Prognose eine Varianz von
0.02943300.
96
5.3 Systematische Portfolio-Management-Modelle
Die Prognosezuordnungsmatrix P ist eine k×15 Matrix, wobei k die Anzahl der
aktuell existierenden Handelssignale darstellt. In diesem Beispiel werden nur absolute Prognosen des Typs (A)169 erstellt, so dass in jeder Zeile der P-Matrix vierzehn
Nullen und eine Eins stehen, die das Handelssignal der richtigen Aktie zuordnen.
5.3.2.2 Performance des Portfolio-Management-Modells
Die Black-Litterman-Gewichte wurden für das Jahr 2004 jeden Tag auf Basis der
Gleichgewichtsrenditen und der Handelssignale berechnet.170 Abbildung 5.11 stellt
die Entwicklung der Rendite für das Black-Litterman-Portfolio und der Benchmark
dar.
Abbildung 5.11: Renditeentwicklung des Portfolio-Management-Modells nach BLACK und
LITTERMAN [τ = 0.3]
0.08
Renditeentwicklung
0.06
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
-0.1
Benchmark
12.04
11.04
10.04
09.04
08.04
07.04
06.04
05.04
04.04
03.04
02.04
01.04
-0.12
Black-Litterman-Portfolio
Aus der Abbildung wird ersichtlich, dass das Black-Litterman-Portfolio die meiste
Zeit über eine leichte Überrendite gegenüber der Benchmark verzeichnen konnte.
Lediglich in der ausgeprägten Seitwärtsbewegung des Marktes im Januar und Februar 2004 war die Performance des Black-Litterman-Portfolios schwächer als diejenige
der Benchmark. Dies liegt eindeutig an der Schwäche des trendfolgenden Handelsmodells in derartigen Marktphasen.
Die Überrendite ist jedoch über den ganzen Handelszeitraum gering. Ein aggressiveres Portfolio wird durch das Erhöhen des Skalars τ von 0.3 auf 2 erstellt. Bei diesem
169
vgl. Abschnitt 3.4.1
Im Anhang D.1 und D.2 befinden sich die R-Quellcodes der Funktionen der PortfolioManagement-Modelle.
170
97
5 Empirischer Teil
Portfolio gehen die Signale des Handelsmodells stärker in die Berechnung der BlackLitterman-Gewichtungen ein. Abbildung 5.12 stellt die Entwicklung der Renditen
dieses aggressiveren Black-Litterman-Portfolios dar.
Abbildung 5.12: Renditeentwicklung des Portfolio-Management-Modells nach BLACK und
LITTERMAN [τ = 2]
0.08
Renditeentwicklung
0.06
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
-0.1
Benchmark
12.04
11.04
10.04
09.04
08.04
07.04
06.04
05.04
04.04
03.04
02.04
01.04
-0.12
Aggressives Black-Litterman-Portfolio
Bei diesem aggressiveren Portfolio kann die Benchmark zeitweilig viel deutlicher
outperformt werden. Allerdings sind die Rückschläge in den Marktphasen, in denen
das Handelsmodell schlechte Signale generiert, ebenfalls ausgeprägter als in dem
ersten vorgestellten Black-Litterman-Portfolio.
5.3.3 Portfolio-Management-Modell nach MARKOWITZ auf Basis der
historischen Renditen und der Handelssignale
Im Folgenden wird ein Portfolio nach dem Markowitz-Verfahren auf Basis historischer Renditen und der Handelssignale untersucht. Der Vektor erwarteter Renditen
setzt sich hier im Falle eines vorhandenen Handelssignals zur Hälfte aus der Handelssignalprognose gemäß Abschnitt 5.3.3.1 und zur anderen Hälfte aus der mittleren
historischen Rendite über die letzten hundert Börsentage des Wertpapiers zusammen.
Wenn allerdings kein Handelssignal vorhanden ist, so besteht die erwartete Rendite
zu hundert Prozent aus der historischen Rendite. Die Varianz-Kovarianz-Matrix wird
auch hier rollierend über die letzten hundert Börsentage berechnet. Der Risikoaversionsparameter wird wie in den Black-Litterman-Portfoliomodellen auf 2.5 gesetzt.
98
5.3 Systematische Portfolio-Management-Modelle
Abbildung 5.13: Renditeentwicklung des Portfolio-Management-Modells nach MARKOWITZ
[ohne Leerverkäufe]
0.23
Renditeentwicklung
0.18
0.13
0.08
0.03
-0.02
-0.07
Benchmark
12.04
11.04
10.04
09.04
08.04
07.04
06.04
05.04
04.04
03.04
02.04
01.04
-0.12
Markowitz-Portfolio ohne Leerverk äufe
Die Abbildung 5.13 veranschaulicht die Renditeentwicklung des MarkowitzPortfolios. Die Benchmark wird mit dem Markowitz-Portfolio deutlich outperformt.
In den ersten drei Monaten des Jahres notierte das Portfolio allerdings auch klar unter
der Performance der Benchmark.
5.3.4 Performance-Messung der vorgestellten Portfolio-ManagementModelle
Die Eigenschaften der vorgestellten Portfolio-Management-Modelle und des Benchmarkportfolios werden in diesem Abschnitt gegenübergestellt. In der Abbildung 5.14
sind Kennzahlen zur Evaluierung der Portfolioperformance aufgeführt. Die Rendite
ist die im Handelszeitraum verbuchte Rendite. Die Jahresstandardabweichung entspricht der annualisierten Standardabweichung der Tagesrenditen. Die Sharpe-Ratio
wird gemäß den Erläuterungen im Abschnitt 2.6 berechnet und interpretiert. Die Umschichtungskennzahl gibt die relative Anzahl der Kapitalumschichtungen über das
Jahr 2004 an.
Der Herfindahl-Index ist ein Konzentrationsmaß. Er wird für ein Portfolio aus N Aktien folgendermaßen berechnet:
N
[4.1]
H = ∑ wi2
i =1
99
5 Empirischer Teil
Ein Herfindahl-Index von 1 steht für die höchstmögliche Konzentration eines Portfolios, hier wird das gesamte Vermögen auf eine einzige Anlage verteilt. Je kleiner der
Herfindahl-Index ausfällt, desto gleichmäßiger ist das Kapital auf die Anlagen verteilt. In einem Fünfzehn-Wertpapier-Portfolio ist der kleinstmögliche HerfindahlIndex 0.06666667. In der Abbildung ist der durchschnittliche Herfindahl-Index der
Portfolios über den gesamten Handelszeitraum angegeben.
Abbildung 5.14: Performance-Maße der vorgestellten Portfolios
(sicherer Zinssatz: Benchmark
171
0.02275)
Black-Litterman
Aggressives
Black-Litterman
Markowitz
Rendite im Jahr 2004
Standardabweichung
0.055493
0.162684
0.060003
0.158019
0.054171
0.158390
0.202748
0.206883
Sharpe-Ratio
0.201269
0.235751
0.198379
0.870048
Umschichtungen
0.882075
10.361000
24.118390
34.960080
Durchschnittlicher HerfindahlIndex
0.081956
0.101559
0.191789
0.750166
Das Black-Litterman-Modell verbucht 6 % Gewinn und liegt somit 0.45 % über der
Benchmark. Auffällig ist, dass das Black-Litterman-Modell die kleinste Standardabweichung der Gewinne besitzt. Aus diesen beiden Gründen lässt sich die höhere
Sharpe-Ratio des Black-Litterman-Modells gegenüber der Benchmark erklären.
Das aggressive Black-Litterman-Modell kann die Benchmark nicht outperformen.
Allerdings verdeutlicht die Abbildung 5.12, dass zeitweise eine deutliche Outperformance erreicht wurde. Die Standardabweichung ist bei diesem Portfolio ebenfalls
geringer als bei der Benchmark, dies führt zu einer höheren Sharpe-Ratio des aggressiven Black-Litterman-Portfolios im Gegensatz zur Benchmark.
Die Performance-Maße sowie die Abbildungen 5.11, 5.12 und 5.13 verdeutlichen,
dass die erwirtschaftete Rendite in dem Markowitz-Modell mit 20.27 % p. a. am
höchsten ist. Das Markowitz-Modell ist aufgrund dieser hohen Rendite auch dasjenige mit der höchsten Sharpe-Ratio, trotz der höchsten verbuchten Standardabweichung.
Eine reine Beurteilung nach der Sharpe-Ratio ist jedoch wegen der unterschiedlichen
Eigenschaften der Portfolios unangebracht. Das Markowitz-Portfolio schichtet das
Kapital im Jahr 2004 ca. 35 Mal um, dies verursacht deutlich höhere Transaktionskosten als das Benchmarkportfolio, bei dem das ganze Jahr über nur ca. 88 % des
100
5.4 Fazit
Vermögens umgeschichtet werden. Die Black-Litterman-Portfolios schichten das
Kapital 10 bzw. 24 Mal um, was in dem Fall des aggressiven Black-LittermanPortfolios angesichts der verbuchten Performance unangemessen oft ist.
Die Aufteilung des Vermögens auf die Aktien erfolgt sowohl bei dem Benchmarkportfolio als auch bei dem Black-Litterman-Portfolio sehr gleichmäßig, da der Herfindahl-Index für die beiden Portfolios sehr niedrig ist. Das aggressivere BlackLitterman-Portfolio weist eine leicht erhöhte Konzentration auf. Das MarkowitzPortfolio besitzt einen durchschnittlichen Herfindahl-Index von 0.75, was auf eine
extrem hohe Konzentration des Vermögens auf wenige Wertpapiere schließen lässt.
Zusammenfassend kann gesagt werden, dass das Markowitz-Portfolio zwar auf dem
ersten Blick die beste Performance vermuten lässt, allerdings sehr hohe Transaktionskosten verursachen würde. Die hohe Konzentration dieses Portfolios zeugt von
schlechter Diversifikation und führt dem Portfolio ein hohes Maß an unsystematischem Risiko bei. Aus diesen Gründen kommt die Anwendung des vorgestellten
Markowitz-Portfolios in der Praxis in dieser Form nicht in Frage.
Das erste Black-Litterman-Portfolio ist dem aggressiveren Black-Litterman-Portfolio
vorzuziehen, da es besser diversifiziert ist, weniger Transaktionskosten verursacht
und eine höhere Sharpe-Ratio besitzt. Trotz der höheren Sharpe-Ratio von 0.235 im
Gegensatz zu 0.201 kann das Black-Litterman-Portfolio nicht eindeutig der Benchmark präferiert werden, da diese etwas besser diversifiziert ist, und deutlich niedrigere Transaktionskosten verursacht.
5.4 Fazit
Die Handelssignale können offensichtlich die Performance des FünfzehnWertpapier-Portfolios die meiste Zeit über verbessern. Die Ergebnisse der BlackLitterman-Portfolios sind jedoch leider nicht eindeutig. Eine Berücksichtigung der
Transaktionskosten würde die erzielte Outperformance deutlich mindern. Ob das
Modell dann in der Praxis noch profitabel gewesen wäre, ist fraglich.
Andererseits muss gesagt werden, dass die Seitwärtsbewegungen der Märkte in den
ersten zwei Drittel des Jahres 2004 eine äußerst schwierige Umgebung für das trendfolgende Ausbruchsmodell darstellt. Die Tatsache, dass die absolute Performance der
Portfolio-Management-Modelle trotzdem relativ konstant über derjenigen der
171
Dieser Zinssatz entspricht dem 1-Jahres-EURIBOR zum 02.01.2004. [Quelle: www.euribor.org]
101
5 Empirischer Teil
Benchmark notieren konnte zeugt zum einen für eine gute Stabilität des Handelsmodells und lässt in volatileren Marktphasen signifikantere Ergebnisse erwarten.
Die Wirkung absoluter Prognosen ist außerdem durch den starken Gleichlauf der
DAX-Aktien eingeschränkt. So treten beispielsweise Handelssignale in dem vorgestellten Portfolio häufig gleichzeitig auf172, dies liefert keine eindeutigen Aussagen
über aktuell besonders starke bzw. schwache Werte.
Verbesserungen hält der Autor vor allem durch die Erweiterung des Modells um
relative Prognosen des Typs (B)173 und/oder um kurzfristigere und sicherere
Prognosen durchaus für möglich. Die Flexibilität des Black-Litterman-Verfahrens
sollte ausgenutzt werden indem man eine Vielzahl unterschiedlicher Prognosen aus
unterschiedlichen Verfahren in das Portfolio-Management-Modell integriert.
172
siehe Signalmatrix DAX15.Strat_5FilterStop_AktuelleMP_020102_301204 auf der Internetseite
www.DA-PortfolioModelle.de.vu
173
siehe Abschnitt 3.4.1
102
6 Schlussfolgerung
In dieser Arbeit wurden mit der Portfolio-Selection-Theorie von Markowitz und dem
Capital Asset Pricing Model von Sharpe die Grundlagen der Modernen PortfolioTheorie vorgestellt; die Probleme, welche die Anwendung der reinen Portfoliooptimierung nach Markowitz in der Praxis nach sich zieht, wurden erörtert. Das innovative Verfahren von Black und Litterman ermöglicht es dem Portfoliomanager, ausgehend von strategischen Referenzgewichtungen oder marktkapitalisierungsgerechten
CAPM-Gewichtungen, eine beliebige Anzahl von Prognosen unterschiedlicher Art in
den Optimierungsprozess einfließen zu lassen. Die Vorteile dieses Verfahrens gegenüber der reinen Portfoliooptimierung nach Markowitz wurden anhand von Beispielen demonstriert.
Technische Handelsmodelle stellen eine von vielen Möglichkeiten dar, Anlageentscheidungen zu treffen. Der Aufbau von Handelsmodellen wurde dargestellt und es
wurde ein Handelsmodell zum Handel der DAX-Aktien entwickelt. Zwei wesentliche Vorteile von Handelsmodellen sind die vollständige Eliminierung subjektiver
Entscheidungen, und somit menschlicher Emotionen, aus dem Investmentprozess
sowie die Möglichkeit, die Performance der Handelsregeln auf historischen Daten zu
testen.
Im empirischen Teil der Arbeit wurden die Signale des entwickelten Handelsmodells
als Renditeprognosen in das Black-Litterman-Verfahren integriert. Dieses automatische Portfolio-Management-Modell konnte die Benchmark die meiste Zeit über outperformen. Das Vergleichsmodell auf Basis der Markowitz’schen Portfoliooptimierung generierte zwar absolut gesehen die höchste Rendite, wird aber vor allem aus
Gründen zu hoher Konzentration und zu hoher Transaktionskosten als nicht handelbar eingestuft.
Abschließend kann gesagt werden, dass das Black-Litterman-Verfahren ein äußerst
flexibles Instrument für Portfolio-Management-Entscheidungen in der Praxis darstellt. Das Verfahren vereint den Portfoliooptimierungsansatz von Markowitz mit
kapitalmarkttheoretischen Überlegungen (CAPM-Gleichgewicht) und gibt dem Investor die Möglichkeit, eigene Prognosen konsistent in das Verfahren zu integrieren.
Ob eine Benchmark mit Black-Litterman-Portfolios geschlagen werden kann, hängt
primär von der Qualität der geäußerten Renditeprognosen ab. Handelsmodelle, die
sich durch eine hohe Robustheit auszeichnen, sind für diesen Zweck durchaus geeignet.
103
6 Schlussfolgerung
Weitere Verbesserungen des vorgestellten Ansatzes hält der Autor für möglich. Das
Black-Litterman Verfahren kann z.B. gleichzeitig mit mehreren Prognosen und unterschiedlichen Handelssignalen versorgt werden. Es sollten vermehrt auch relative
Prognosen spezifiziert werden. Dies kann z.B. durch ein Ranking der Aktien sowohl
mit dem stärksten Momentum als auch mit dem schwächstem Momentum erreicht
werden. Dadurch würden kurzfristige relative Stärken oder Schwächen von Wertpapieren verstärkt ausgenutzt. Der Einsatz verschiedener quantitativer Methoden wie
ARIMA, ARCH/GARCH oder künstlicher neuronaler Netze ist simultan möglich
und könnte ebenfalls die Ergebnisse verbessern.
Die trendfolgenden Signale, die in dieser Arbeit angewandt wurden, scheinen in einem Portfolio mit derartig hoch korrelierten Wertpapieren wie es die DAX-Aktien
sind, weniger leistungsfähig als sie es in einem Portfolio mit sehr niedrig korrelierten
Wertpapieren wären, da Handelssignale aufgrund des starken Gleichlaufs der DAXAktien häufig zum gleichen Zeitpunkt erscheinen174 und sich somit in der BlackLitterman-Portfoliooptimierung teilweise neutralisieren. Es wäre denkbar, dass durch
die Bildung eines Portfolios mit niedriger korrelierten Aktien die Handelssignale
vereinzelter auftreten würden und somit gezielter wirken könnten.
Die wesentlichen Vorteile des vorgestellten Portfolio-Management-Modells für den
Portfolio-Manager sind:
-
-
Die Bildung realistischer Portfoliogewichte basierend auf den Konzepten der
Modernen Portfolio-Theorie und Handelsmodellen
Ausschaltung von Emotionen aus dem Handel
Parallele Auswertung einer beliebigen Anzahl von Märkten durch Computerprogramme
Geringere Abhängigkeit von Marktphasen weniger Aktien, da Handelssignale
auf fünfzehn Wertpapiermärkten parallel ausgeführt werden und zuvor vor allem auf Robustheit getestet wurden
Die gewonnene Zeit kann vom Portfolio-Manager sinnvoll zu extensiverem
quantitativem Research und zur sorgfältigen Planung mittel- bis langfristiger
Portfolios genutzt werden
Wenn es gelänge durch einem derartigen Portfolio-Modell mit einer hohen Zuverlässigkeit konstant einige Prozentpunkte über dem Index oder der Benchmark zu performen, könnte diese Überperformance in Portfolioabsicherungen auf dem Terminmarkt investiert werden. Der Anleger hätte dann die Chance mit einem minimalen
Verlustrisiko an der positiven Entwicklung der Benchmark voll zu partizipieren.
174
siehe Datenmatrix DAX15.Strat_5FilterStop_AktuelleMP_020102_301204 auf der
Internetseite www.DA-PortfolioModelle.de.vu
104
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www.euribor.org
Omega Research TradestationTM User Manual (intergriert in der Software)
Yahoo.Finance:
http://de.finance.yahoo.com/
107
Anhangverzeichnis
Anhang A: Herleitungen .........................................................111
A.1 Herleitung der erwarteten Portfoliorendite und der
Portfoliovarianz im Single-Index-Modell von SHARPE ........................ 111
A.2 Herleitung des effizienten Portfolios risikobehafteter Wertpapiere
und der Geraden effizienter Portfolios bei der TOBIN-Separation ...... 115
A.3 Herleitung der Wertpapierlinie im CAPM.............................................. 118
Anhang B: Daten .....................................................................120
B.1 Daten des Vier-Wertpapier-Beispielportfolios ........................................ 120
B.2 Daten des Sieben-Wertpapier-Beispielportfolios .................................... 121
B.3 Daten des DAX-Index ................................................................................ 123
B.3.1 DAX-Aktien……………………………………. ................................. 123
B.3.2 Kurse der DAX-Aktien………….......................................................... 124
B.3.3 Marktkapitalisierungen der DAX-Aktien des Fünfzehn-WertpapierPortfolios…………………. ............................. …………………128
Anhang C: Handelsmodelle .....................................................129
C.1 Performance der getesteten Handelsmodelle........................................... 130
C.2 TradestationTM-Quellcodes der Handelsmodelle .................................... 147
Anhang D: Systematische Portfolio-Management-Modelle....154
D.1 R-Quellcode der Funktion des Portfolio-Management-Modells nach
BLACK-LITTERMAN.............................................................................. 158
D.2 R-Quellcode der Funktion des Portfolio-Management-Modells nach
MARKOWITZ ........................................................................................... 164
109
Anhang
Anhang A: Herleitungen
A.1 Herleitung der erwarteten Portfoliorendite und der Portfoliovarianz im Single-Index-Modell von SHARPE
Die Renditeentstehung im Index-Modell entspricht:
[A.1]
mit:
Ri = ai + bi RI + ε i
Ri:
a i:
RI:
Rendite der Aktie i
Konstante, unternehmensindividuelle Rendite
Rendite des Indexes, der die für alle Unternehmen bedeutsamen Ereignisse erfasst
Konstante Sensitivität der Aktie i auf Veränderungen der Indexrendite
Titelspezifische Störkomponente
b i:
ε i:
Des weiteren werden in dem Index-Modell von Sharpe hinsichtlich der Störkomponenten folgende Annahmen getroffen175:
1. Der Erwartungswert der Störkomponenten ist null:
[A.2]
E [ε i ] = 0
2. Die Störkomponenten des i-ten Wertpapiers sind normalverteilt und haben einen
Erwartungswert von null. Die Varianz der Störkomponenten beträgt:
[A.3]
σ ε2 = E [ε i − E [ε i ]]2
i
σ ε = E [ε i ]2
2
i
3. Die Störkomponente der i-ten Anlage ist nicht mit der Indexrendite korreliert.
Damit gilt:
175
Vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 17 f.
111
Anhang A: Herleitungen
[A.4]
E [ε i ⋅ RI ] = 0
4. Die Störkomponenten des Wertpapiers i sind zeitlich unkorreliert. Daraus folgt:
[A.5]
E [ε it1 ⋅ ε it 2 ] = 0
5. Die Störterme der Aktienrenditen sind untereinander unkorreliert, so dass gilt:
[A.6]
[
]
E εi ⋅ε j = 0
Wird jetzt die Renditeformel A.1 in Erwartungswerten ausgedrückt, so erhält man:
[A.7]
E [Ri ] = E [ai + bi RI + ε i ] .
Dieser Term wird kann durch die Berücksichtigung der ersten Annahme in der Formel A.2 vereinfacht werden:
[A.8]
E [Ri ] = ai + bi E [RI ]
Nachdem die erwartete Rendite für die Wertpapiere unter dem Index-Modell bekannt
ist, kann die Varianz der Wertpapiere hergeleitet werden:
[A.9]
σ i2 = E [Ri − E [Ri ]]2
σ i2 = E [(ai + bi RI + ε i ) − (ai + bi E [RI ])]2
Nachdem ai im Term wegfällt, gelangt man durch Auflösung der binomischen Formel zu:
[A.10]
[(
)
= b E ((R − E [R ]) ) + E (ε ) + 2b ⋅ E [(R
σ i2 = E bi2 (RI − E [R I ])2 + ε i2 + 2bi (RI − E [R I ])ε i
σ
2
i
2
i
2
I
I
2
i
i
I
]
− E [RI ])ε i ]
Unter der Berücksichtigung der oben getroffenen Annahmen erhält man für die Varianz der Rendite der i-ten Anlage folgenden Term:
[A.11]
112
σ i2 = bi2σ I2 + σ ε2
i
Anhang A: Herleitungen
Ähnlich wie bei dem Markowitz-Modell kommt neben der erwarteten Rendite und
deren Varianz der Berechnung der Kovarianz der Wertpapierrenditen untereinander
Bedeutung zu. Die Kovarianz zwischen zwei Wertpapieren i und j wird im Indexmodell von Sharpe anhand der Formel A.12 berechnet.
[A.12]
[
] [
[ ])]
= E {[(a + b R + ε ) − (a + b E [R ])] ⋅ [(a + b R
= E [(b (R − E [R ]) + ε ) ⋅ (b (R − E [R ]) + ε )]
Cov Ri , R j = E (Ri − E [Ri ]) ⋅ (R j − E R j
i
[
i
i
I
i
I
i
I
i
i
j
I
j
I
I
j
I
]
+ ε j ) − (a j + b j E [R I ]) }
j
= E bi b j (RI − E [RI ]) + ε i ε j + bi (RI − E [RI ])ε j + b j (RI − E [RI ])ε i
2
]
Unter den oben getroffenen Annahmen betragen die Erwartungswerte der letzten drei
Terme null, die Formel der Kovarianz ergibt sich demnach zu:
[A.13]
[
]
Cov Ri , R j = bi b j σ I2
Die Rendite und das Risiko eines Portfolio mit N Anlagen mit den Gewichtungen wi
werden anhand der folgenden Formeln ermittelt. Für die Portfoliorendite gelten die
Zusammenhänge:
[A.14]
(
)
N
N
N
N
N
RP = ∑ wi Ri = ∑ wi ai + bi RI + ε = ∑ wi ai + RI ∑ wi bi + ∑ wi ε i
i
i =1
i =1
i =1
i =1
i =1
[A.15]
N
E [RP ] = ∑ wi ai + bP E [RI ]
i =1
mit
N
bP = ∑ wi bi
i =1
Die Portfoliovarianz wird, nach wie vor unter den Annahmen eins bis vier, mit der
Formel A.16 berechnet.
113
Anhang A: Herleitungen
[A.16]
σ P2 = E (RP − E [RP ])2
⎛ N
N
N
⎛ N
⎞⎞
= E ⎜ ∑ wi ai + RI ∑ wi bi + ∑ wi ε i − ⎜ ∑ wi ai + bP E [RI ]⎟ ⎟
⎜
⎟⎟
⎜
i =1
i =1
⎝i = 1
⎠⎠
⎝i = 1
2
N
⎛
⎞
⎜
⎟
= E bP (RI − E [RI ]) + ∑ wi ε i
⎜
⎟
i =1 ⎠
⎝
N
= bP2σ I2 + ∑ wi2σ ε2i
i =1
2
Die Kurve effizienter Portfolios im Single-Index-Modell von Sharpe für den Fall
erlaubter Leerverkäufe entspricht der Lösung des folgenden Minimierungsproblems:
2
[A.17]
N
⎞
⎛ N
min! ⎜ ∑ wi bi ⎟ σ 2 + ∑ wi2σ ε2i
⎟ I
⎜
i =1
⎝i = 1 ⎠
Unter den Nebenbedingungen:
[A.18]
N
N
E [RP ] = ∑ wi ai + ∑ wi bi E [RI ]
i =1
i =1
und
N
[A.19]
∑w
i =1
114
i
= 1.
Anhang A: Herleitungen
A.2 Herleitung des effizienten Portfolios risikobehafteter Wertpapiere und der Geraden effizienter Portfolios bei der TOBINSeparation
Die erwartete Rendite eines Mischportfolios P lässt sich in Abhängigkeit vom relativen Anteil α , der zu dem sicheren Zinssatz angelegt wird, folgendermaßen beschreiben:
[A.20]
E [RP ] = α ⋅ R f + (1 − α ) ⋅ E [Rr ]
mit:
E[RP]:
α:
Erwartete Portfoliorendite
Anteil des Vermögens, das in die sichere Anlage
investiert wird
Risikoloser Zinssatz
Erwartete Rendite der risikobehafteten Anlage
Rf:
Rr:
und
[A.21]
E [RP ] = R f +
[A.22]
α = 1 − w'1
E [REFF ] − R f
2
σ EFF
⋅ σ P2
Die Gesamtrendite eines Portfolios beträgt dann:
[A.23]
µ P = w' µ R + (1 − w'1 )R f
Der Portfoliorand ist gegeben durch die Lösungen des folgenden Optimierungsproblems:
1
min!
w' Σ RR w
w
[A.24]
2
u.d .N .
w' µ R + (1 − w'1 )R f = µ P
Die Lagrange-Funktion dazu und die notwendigen und hinreichenden Bedingungen
für ein Minimum sind:
1
w' Σ RR w − ϑ (w' µ R + (1 − w'1)R f − µ P )
2
[A.25]
L(w,ϑ ) =
[A.26]
∂L
= Σ RR w − ϑ (µ R − 1R f
∂w
)
!
=0
115
Anhang A: Herleitungen
[A.27]
∂L
= w' µ R + (1 − w'1)R f − µ P
∂ϑ
!
=0
Um dieses Gleichungssystem zu lösen, wird [A.26] mit der Inversion der VarianzKovarianz-Matrix multipliziert:
[A.28]
1
(µ R − R f 1)
w = ϑ ⋅ Σ −RR
Zur Ermittlung des Lagrangemultiplikators wird diese Gleichung einmal mit 1 und
einmal mit µR multipliziert, wobei [A.22] und [2.23] beachtet, und die Definitionen
der Skalare [2.31] bis [2.34] einbezogen werden:
[A.29]
1' w = 1 − w0 = ϑ (A − R f C )
[A.30]
µ R ' w = µ P − w0 R f = ϑ (B − R f A)
Damit erhält man:
µP − R f
µP − Rf
[A.31]
ϑ=
[A.32]
1
(µ R − R f 1)
H := R 2f C − 2 R f A + B = (µ R − R f 1)' Σ −RR
mit
R 2f C − 2 R f A + B
=
H
Dann ergibt sich das Portfolio minimaler Varianz für die erwartete Portfoliorendite
µP zu:
[A.33]
wP =
µP − R f
H
−1
(µ R − R f 1)
⋅ Σ RR
Die Varianz dieses Portfolios ist:
σ P2 = w P ' Σ RR w P
µP − R f
=
[A.34]
=
=
116
H
µP − R f
H
(µ P − R f
H
−1
−1
(µ R − R f 1)
⋅ (µ R − R f 1)' Σ RR
' Σ RR Σ RR
⋅H ⋅
)
2
µP − R f
H
µP − Rf
H
Anhang A: Herleitungen
Löst man diesen Term nach µP auf, so ergibt sich:
[A.35]
µ P = R f ± H ⋅ σ P2
Der rationale Investor wird folgende Formel für die Gerade effizienter Portfolios in
dem Falle der Tobin-Separation wählen:
[A.36]
µ P = R f + H ⋅ σ P2 = R f + H ⋅ σ P
117
Anhang A: Herleitungen
A.3 Herleitung der Wertpapierlinie im CAPM
Steiner und Bruns176 leiten die Wertpapierlinie folgendermaßen her: Bildet man ein
Portfolio aus α Teilen des Wertpapiers i und (1 - α) Teilen des Marktportfolios M, so
beträgt die erwartete Rendite dieses Portfolios:
[A.37]
E [RP ] = α ⋅ E [Ri ] + (1 − α ) ⋅ E [RM ]
Das Risiko dieses Portfolios ergäbe sich dann zu:
[A.38]
[
]
σ P = α 2σ i2 + (1 − α )2 σ M2 + 2σ iM α (1 − α )
1
2
Um zu ermitteln, welchen Einfluss eine Änderung des Anteils des Wertpapiers i auf
die Rendite und das Risiko des Portfolios hat, leitet man die beiden Gleichungen
nach α, dem Portfolioanteil des Wertpapiers i, ab.
[A.39]
dE [RP ]
= E [Ri ] − E [RM ]
dα
[A.40]
−1
dσ P 1
2
= ⋅ α 2σ i2 + (1 − α ) σ M2 + 2σ iM α (1 − α ) 2
2
dα
⋅ 2ασ i2 − 2σ M2 + 2ασ M2 + 2σ iM − 4α 2σ iM
[
]
[
]
Die Preisbestimmung soll im Gleichgewicht vorgenommen werden. Da im Marktportfolio das Wertpapier i bereits enthalten ist, und eine weitere Erhöhung der Nachfrage nach i ein Ungleichgewicht bewirken würde, wird der Portfolioanteil des Wertpapiers i auf null gesetzt. Daraus folgt für die Ableitungen:
[A.41]
dE [RP ]
= E [Ri ] − E [RM ]
dα α =0
dσ P
dα
( ) (− 2σ
α =0
1
= σ M2
2
−1 2
2
M
σ iM − σ M2
+ 2σ iM ) =
σM
Die Division dieser beiden Ableitungen ergibt das Austauschverhältnis zwischen
Rendite und Risiko. Dieses gibt an, wie viel zusätzliches Risiko für eine Steigerung
des Erwartungswertes der Rendite in Kauf zu nehmen ist.
176
vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 24 ff.
118
Anhang A: Herleitungen
[A.42]
dE [RP ] dα
dσ P dα
=
α =0
dE [RP ] E [Ri ] − E [RM ]
=
dσ P
σ iM − σ M2 σ M
Die Formel zeigt, dass die Steigung des Austauschverhältnisses von Rendite und
Risiko im Tangentialpunkt zwischen Kapitalmarktlinie und Portfoliokurve der Steigung der Kapitalmarktlinie entspricht (Formel 2.70). Die beiden Terme lassen sich
also gleichsetzen:
[A.43]
E [RM ] − R f
σM
=
E [Ri ] − E [RM ]
σ iM − σ M2 σ M
(
)
Löst man diese Gleichung nach der erwarteten Rendite des Wertpapiers i auf, so erhält man die Wertpapierlinie:
[A.44]
[
] σσ
E [Ri ] = R f + E [RM ] − R f ⋅
iM
2
M
119
Anhang B: Daten
B.1 Daten des Vier-Wertpapier-Beispielportfolios
Die Daten des Vier-Wertpapier-Portfolios wurden vom Autor zur anschaulichen Darstellung der Kurven effizienter Portfolios im Kapitel 2 zusammengestellt.
Renditen in Prozent
µ 4 WP
⎛ µWP A ⎞ ⎛ 4.06 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ µWP B ⎟ ⎜ 5.2 ⎟
=⎜
=
µWP C ⎟ ⎜ − 0.16 ⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜µ
⎟ ⎜ 2.48 ⎟
WP
D
⎠
⎝
⎠ ⎝
Varianz-Kovarianz-Matrix
Σ 4WP
⎛ 6.07 − 3.43 2.28 − 0.45 ⎞
⎜
⎟
1.78 − 1.85 ⎟
⎜ − 3.43 9.75
=⎜
2.28
1.78
5.72 − 2.21⎟
⎜
⎟
⎜ − 0.45 − 1.85 − 2.21 5.17 ⎟
⎝
⎠
120
Anhang B: Daten
B.2 Daten des Sieben-Wertpapier-Beispielportfolios
Die durchschnittlichen Tagesrenditen sowie die Varianz-Kovarianz-Matrix der sieben am 30.12.2003 am stärksten kapitalisierten DAX-Aktien [Siemens AG (SIE),
Deutsche Telekom AG (DTE), Deutsche Bank AG (DBK), Allianz AG (ALV), E.ON
AG (EOA), Daimler Chrysler AG (DCX), SAP AG (SAP)] wurden über die letzten
100 Börsentage des Jahres 2003 berechnet und gemäss der Formel 2.5 und der Formel 2.9 (Börsentage im Jahr 2004 = 257) annualisiert.
Annualisierte Renditen
µ 7WP.ann.
⎛ µ ALV .ann ⎞ ⎛ 0.5453435 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ µ DCX .ann ⎟ ⎜ 0.6163026 ⎟
⎜µ
⎟ ⎜ 0.795517 ⎟
⎜ DBK .ann ⎟ ⎜
⎟
= ⎜ µ DTE .ann ⎟ = ⎜ 0.2485116 ⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ µ EOA.ann ⎟ ⎜ 0.4039265 ⎟
⎜ µ SAP.ann ⎟ ⎜ 1.356567 ⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝ µ SIE .ann ⎠ ⎝ 1.004767 ⎠
Annualisierte Varianz-Kovarianz-Matrix
ALV
DCX
DBK
DTE
EOA
SAP
SIE
ALV
DCX
DBK
0.0064 0.0034 0.0034
0.0034 0.0045 0.0027
0.0034 0.0027 0.0040
0.0021 0.0015 0.0018
0.0023 0.0021 0.0018
0.0040 0.0031 0.0034
0.0041 0.0032 0.0032
DTE
0.0021
0.0015
0.0018
0.0019
0.0015
0.0018
0.0019
EOA
0.0023
0.0021
0.0018
0.0015
0.0032
0.0019
0.0021
SAP
0.0040
0.0031
0.0034
0.0018
0.0019
0.0107
0.0043
SIE
0.0041
0.0032
0.0032
0.0019
0.0021
0.0043
0.0049
121
Anhang B: Daten
Die impliziten Renditen wurden, um eine gute Vergleichbarkeit mit den historischen
Renditen zu gewährleisten, mit einem hohen Risikoaversionsparameters λ von 200
bestimmt und ebenfalls annualisiert.
Annualisierte Implizite Renditen
Π 7WP.ann.
122
⎛ 0.7486 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0.5905 ⎟
⎜ 0.5902 ⎟
⎜
⎟
= ⎜ 0.3708 ⎟
⎜ 0.4349 ⎟
⎜
⎟
⎜ 0.8096 ⎟
⎜
⎟
⎝ 0.7013 ⎠
Anhang B: Daten
B.3 Daten des DAX-Index
B.3.1 DAX-Aktien
Die folgende Tabelle B.1 listet die 30 DAX-Aktien auf, deren Börsenkürzel, deren
Wertpapierkennnummer (ISIN) sowie deren Wirtschaftssektoren.
Abbildung B.1: Tabelle der 30 DAX-Aktien
Aktie
Kürzel
ISIN
Wirtschaftssektor
ADIDAS-SALOMON AG O.N.
ALLIANZ AG VNA O.N.
ALTANA AG O.N.
BASF AG O.N.
BAYER AG O.N.
BAY.HYPO-VEREINSBK.O.N.
BAY.MOTOREN WERKE AG ST
COMMERZBANK AG O.N.
CONTINENTAL AG O.N.
DAIMLERCHRYSLER AG NA O.N
DEUTSCHE BANK AG NA O.N.
DEUTSCHE BOERSE NA O.N.
LUFTHANSA AG VNA O.N.
DEUTSCHE POST AG NA O.N.
DT.TELEKOM AG NA
E.ON AG O.N.
FRESEN.MED.CARE AG O.N.
HENKEL KGAA VZO O.N.
INFINEON TECH.AG NA O.N.
LINDE AG O.N.
MAN AG ST O.N.
METRO AG ST O.N.
MUENCH.RUECKVERS.VNA O.N.
RWE AG ST O.N.
SAP AG ST O.N.
SCHERING AG O.N.
SIEMENS AG NA
THYSSENKRUPP AG O.N.
TUI AG O.N.
VOLKSWAGEN AG ST O.N.
ADS
ALV
ALT
BAS
BAY
HVM
BMW
CBK
CON
DCX
DBK
DB1
LHA
DPW
DTE
EOA
FME
HEN3
IFX
LIN
MAN
MEO
MUV2
RWE
SAP
SCH
SIE
TKA
TUI
VOW
DE0005003404
DE0008404005
DE0007600801
DE0005151005
DE0005752000
DE0008022005
DE0005190003
DE0008032004
DE0005439004
DE0007100000
DE0005140008
DE0005810055
DE0008232125
DE0005552004
DE0005557508
DE0007614406
DE0005785802
DE0006048432
DE0006231004
DE0006483001
DE0005937007
DE0007257503
DE0008430026
DE0007037129
DE0007164600
DE0007172009
DE0007236101
DE0007500001
DE0006952005
DE0007664005
Consumer
Insurance
Pharma + Healthcare
Chemicals
Chemicals
Banks
Automobile
Banks
Automobile
Automobile
Banks
Financial services
Transportation + Logistics
Transportation + Logistics
Telecommunication
Utilities
Pharma + Healthcare
Consumer
Technology
Chemicals
Industrial
Retail
Insurance
Utilities
Software
Pharma + Healthcare
Industrial
Industrial
Transportation + Logistics
Automobile
[Stand : 30.01.2004; Quelle : www.deutsche-boerse.de]
123
Anhang B: Daten
B.3.2 Kurse der DAX-Aktien
Die Quelle für die Tageskurse der DAX-Aktien ist die Finanzseite von Yahoo. Die
Internetadresse lautet: http://de.finance.yahoo.com/. Auf Basis dieser Kurse wurden
die Handelsmodelle im Abschnitt 5.2 getestet. In den Abbildungen B.2-B.31 sind die
Schlusskurse aller DAX-Aktien über den Testzeitraum [02.01.2002 bis 30.12.2003]
und dem Handelszeitraum [02.01.2004-30.12.2004] dargestellt.
Die Aktienrenditen zur Berechnung der Portfolioperformance der Portfoliomodelle
im Abschnitt 5.3 wurden allerdings aus den, ebenfalls von Yahoo.Finance bereitgestellten, adjustierten Schlusskurse berechnet, da diese auch Dividenden und Aktiensplits berücksichtigen. Diese Kurse sind hier nicht aufgeführt.
Abbildungen B.2 -B.31: Kurse der DAX-Aktien vom 02.01.02-30.12.04
ADS
ALV
ALT
10. 04
07. 04
04. 04
01. 04
10. 03
07. 03
04. 03
01. 03
10. 02
07. 02
04. 02
01. 02
10. 04
07. 04
04. 04
01. 04
10. 03
07. 03
04. 03
01. 03
10. 02
07. 02
04. 02
350
300
250
200
150
100
50
0
01. 02
140
120
100
80
60
40
20
0
BAS
124
10. 03
01. 04
04. 04
07. 04
10. 04
10. 03
01. 04
04. 04
07. 04
10. 04
07. 03
07. 03
04. 03
01. 03
10. 02
07. 02
10. 04
07. 04
04. 04
01. 04
10. 03
07. 03
0
04. 03
10
0
01. 03
20
10
10. 02
30
20
07. 02
40
30
04. 02
50
40
01. 02
50
04. 02
HVM
01. 02
BAY
04. 03
01. 03
10. 02
07. 02
04. 02
01. 02
10. 04
07. 04
04. 04
01. 04
10. 03
07. 03
04. 03
01. 03
10. 02
07. 02
04. 02
60
50
40
30
20
10
0
01. 02
70
60
50
40
30
20
10
0
DTE
25
20
15
10
5
0
07. 04
10. 04
10. 04
80
70
60
50
40
30
20
10
0
04. 04
EOA
07. 04
0
04. 04
5
0
01. 04
10
5
01. 04
15
10
10. 03
20
15
07. 03
LHA
10. 03
25
20
10. 04
07. 04
04. 04
01. 04
10. 03
07. 03
04. 03
01. 03
DBK
07. 03
25
10. 04
07. 04
04. 04
01. 04
10. 03
07. 03
04. 03
01. 03
10. 02
CON
04. 03
0
01. 03
20
07. 02
10. 04
07. 04
04. 04
01. 04
10. 03
07. 03
04. 03
01. 03
10. 02
07. 02
BMW
04. 03
40
01. 03
60
10. 02
80
07. 02
100
10. 02
0
07. 02
10
10. 02
0
07. 02
5
0
04. 02
10
10
04. 02
15
20
04. 02
20
30
04. 02
20
01. 02
10. 04
07. 04
04. 04
01. 04
10. 03
07. 03
04. 03
01. 03
10. 02
07. 02
04. 02
01. 02
25
40
04. 02
30
01. 02
10. 04
07. 04
04. 04
01. 04
10. 03
07. 03
04. 03
01. 03
10. 02
07. 02
04. 02
01. 02
40
01. 02
10. 04
07. 04
04. 04
01. 04
10. 03
07. 03
04. 03
01. 03
10. 02
07. 02
04. 02
01. 02
50
01. 02
10. 04
07. 04
04. 04
01. 04
10. 03
07. 03
04. 03
01. 03
10. 02
07. 02
04. 02
01. 02
50
01. 02
10. 04
07. 04
04. 04
01. 04
10. 03
07. 03
04. 03
01. 03
10. 02
07. 02
04. 02
01. 02
Anhang B: Daten
CBK
DCX
60
50
40
30
20
10
0
DB1
60
50
40
30
20
10
0
DPW
125
126
0
SAP
01. 04
04. 04
07. 04
10. 04
01. 04
04. 04
07. 04
10. 04
80
70
60
50
40
30
20
10
0
10. 03
SCH
10. 03
07. 03
MUV2
10. 04
07. 04
04. 04
01. 04
10. 03
07. 03
04. 03
01. 03
10. 02
07. 02
MAN
04. 03
01. 03
10. 02
07. 02
04. 02
10. 04
07. 04
04. 04
01. 04
10. 03
07. 03
04. 03
01. 03
10. 02
07. 02
04. 02
01. 02
IFX
07. 03
50
01. 02
10. 04
07. 04
04. 04
01. 04
10. 03
07. 03
04. 03
01. 03
10. 02
07. 02
04. 02
01. 02
10. 04
07. 04
04. 04
01. 04
10. 03
07. 03
04. 03
01. 03
10. 02
07. 02
04. 02
01. 02
10. 04
07. 04
04. 04
01. 04
10. 03
07. 03
04. 03
01. 03
10. 02
07. 02
04. 02
01. 02
FME
04. 03
100
01. 03
150
10. 02
200
07. 02
350
300
250
200
150
100
50
0
04. 02
35
30
25
20
15
10
5
0
01. 02
10. 04
07. 04
04. 04
01. 04
10. 03
07. 03
04. 03
01. 03
10. 02
07. 02
04. 02
01. 02
35
30
25
20
15
10
5
0
04. 02
10. 04
07. 04
04. 04
01. 04
10. 03
07. 03
04. 03
01. 03
10. 02
07. 02
04. 02
01. 02
80
70
60
50
40
30
20
10
0
01. 02
10. 04
07. 04
04. 04
01. 04
10. 03
07. 03
04. 03
01. 03
10. 02
07. 02
04. 02
01. 02
Anhang B: Daten
HEN3
100
80
60
40
20
0
LIN
70
60
50
40
30
20
10
0
MEO
50
40
30
20
10
0
RWE
50
40
30
20
10
0
01. 04
04. 04
07. 04
10. 04
01. 04
04. 04
07. 04
10. 04
70
60
50
40
30
20
10
0
10. 03
VOW
10. 03
07. 03
04. 03
01. 03
SIE
07. 03
TUI
04. 03
40
35
30
25
20
15
10
5
0
01. 03
0
10. 02
5
0
07. 02
20
10. 02
40
07. 02
15
04. 02
20
80
04. 02
60
01. 02
10. 04
07. 04
04. 04
01. 04
10. 03
07. 03
04. 03
01. 03
10. 02
07. 02
04. 02
01. 02
100
01. 02
10. 04
07. 04
04. 04
01. 04
10. 03
07. 03
04. 03
01. 03
10. 02
07. 02
04. 02
01. 02
Anhang B: Daten
TKA
10
127
Anhang B: Daten
B.3.3 Marktkapitalisierungen der DAX-Aktien des Fünfzehn-WertpapierPortfolios
In dem folgenden Diagramm sind die kumulierten prozentualen Marktkapitalisierungen des im Abschnitt 5.3 behandelten Fünfzehn-Wertpapier-Portfolios aufgetragen.
Die Marktkapitalisierungen wurden berechnet, indem der aktuelle Schlusskurs mit
der aktuellen Anzahl der Aktien am Markt multipliziert wurde. Quelle für die Anzahl
der Aktien am Markt ist die Internetseite der Deutschen Börse AG (www.deutscheboerse.de).177
Abbildung B.32: Kumulierte prozentuale Marktkapitalisierungen des Fünfzehn-WertpapierPortfolios im Jahr 2004
177
Die Aktienstückzahlen vom 02.01.04 bis zum 29.01.04 stehen nicht zur Verfügung. Da diese aber
relativ statisch sind, wurden sie durch die Aktienstückzahlen vom 30.01.04 approximiert.
128
Anhang C: Handelsmodelle
In dem Abschnitt C.1 des Anhangs C sind die Performancemaße der vorgestellten
Handelsmodelle für sämtliche DAX Aktien über dem Testzeitraum vom 02.01.2002
bis zum 30.12.2003 aufgelistet. Anzumerken ist, dass die Handelsmodelle erst nach
50 Börsentagen aktiv werden. Dadurch wird gewährleistet, dass sämtliche Indikatoren Berechnet werden können.
In dem Abschnitt C.2 des Anhangs befinden sich die TradestationTM-Quellcodes der
vorgestellten Handelsmodelle.
Die Bezeichnungen der Performancemaße der Handelsmodelle sind in den folgenden
Tabellen aus Platzgründen gekürzt worden. Die Interpretationen der Kennzahlen
wurden im Abschnitt 4.3.4 erläutert. Die Kürzel stehen für folgende Performancekennzahlen:
NetPr.:
Res.Gew.:
MaxDD:
Tr.Nr.:
Perc.Win:
AvgProfit:
StDevPr:
PFStDevProfit:
PF:
P/MaxDD:
RAR:
PF-RAR:
PercProfitable:
Nettogewinn
Residualgewinn
Maximum Drawdown
Anzahl der Trades
Anteil erfolgreicher Trades
Durchschnittliches Tradeergebnis
Standardabweichung um den durchschnittlichen Gewinn
Portfolio-Standardabweichung
Profit Factor
Profit to maximum Drawdown Ratio
Risk-Adjusted-Return
Portfolio-Risk-Adjusted-Return
Prozentzahl profitabler Märkte
129
Anhang C: Handelsmodelle
C.1 Performance der getesteten Handelsmodelle
Handelsmodell Nr.1
Market
ADS.T
ALV.T
ALT.T
BAS.T
BAY_5
HVM.T
BMW.T
CBK.T
CON_.
DCX.T
DBK.T
DB1.T
LHA.T
DPW.T
DTE.T
EOA.T
FME.T
HEN3.
IFX.T
LIN.T
MAN.T
MEO.T
MUV2.
RWE.T
SAP.T
SCH.T
SIE.T
TKA.T
TUI.T
VOW.T
NetPr.
-15120
100427
-30721
-29999
55522
27921
-13821
140096
108483
-4271.1
8056.4
-36470
-8415.9
-5753.6
34766
9609.2
119821
-36664
81275
23172
15803
73346
-41143
22169
4242
-14767
44966
-13221
-32880
-46491
Res.Gew.
-3986.61
168898
-32242.3
-29452.3
52357.7
-100196
-24981.8
136072
8688.48
-20292.8
-13211.3
-29008.9
-59220.5
-5753.62
23872.6
6355.86
137069
-44184.3
81274.9
14008.8
-7109.64
15286.8
-43310.1
6610.15
-27688.2
8941.92
35901.4
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MaxDD
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8
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16
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20
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20
24
16
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17
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11
14
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15
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17
18
19
12
19
18
24
PercWin
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25
29.17
31.25
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20
20.83
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27.27
43.75
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50
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20.83
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PercProfitable
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130
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Trades
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PF
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PF
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0.07
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-0.5
-1.2
Anhang C: Handelsmodelle
Handelsmodell Nr.2
Market
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ALT.T
BAS.T
BAY_5
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45.83
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33.33
35.71
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1972.32
-740.61
StDevPr
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2004.92
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PF
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-0.57
Kennzahlen
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RAR
0.22
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66.67
1.53
131
Anhang C: Handelsmodelle
Handelsmodell Nr.3
Market
ADS.T
ALV.T
ALT.T
BAS.T
BAY_5
HVM.T
BMW.T
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CON_.
DCX.T
DBK.T
DB1.T
LHA.T
DPW.T
DTE.T
EOA.T
FME.T
HEN3.
IFX.T
LIN.T
MAN.T
MEO.T
MUV2.
RWE.T
SAP.T
SCH.T
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VOW.T
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35.14
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StDevPr
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NetProfit
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RAR
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PF
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-0.1
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-0.41
Anhang C: Handelsmodelle
Handelsmodell Nr.4
Market
ADS.T
ALV.T
ALT.T
BAS.T
BAY_5
HVM.T
BMW.T
CBK.T
CON_.
DCX.T
DBK.T
DB1.T
LHA.T
DPW.T
DTE.T
EOA.T
FME.T
HEN3.
IFX.T
LIN.T
MAN.T
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MUV2.
RWE.T
SAP.T
SCH.T
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VOW.T
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Res.Gew.
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-3021.3
-31576
-68413
92475.4
-79552
-96343
-31556
-52238
-77965
-32462
-10613
-66704
81169.8
-45222
7683.88
-27408
18668.7
107738
-18702
65105.8
-61508
-46331
2755.66
-61382
30274.4
-21281
MaxDD
-52451.4
-31097.2
-53468.5
-47480.2
-55231.7
-54289.5
-72739.8
-28822
-48028.4
-112061
-44699.8
-63587
-127656
-43667.1
-38028
-81217.9
-21099.5
-51831.9
-83949.3
-34048.9
-24211.9
-30173.2
-51035.4
-8616.5
-55461.1
-48821.3
-35670.2
-57943.2
-36158.2
-46250.5
Tr.Nr
20
22
21
20
19
21
21
14
15
24
23
22
23
18
19
16
16
19
26
20
22
12
20
14
20
23
23
21
17
24
PercWin
35
50
33.33
45
36.84
33.33
42.86
35.71
26.67
37.5
39.13
22.73
34.78
38.89
52.63
37.5
56.25
21.05
38.46
40
31.82
58.33
45
57.14
30
34.78
39.13
28.57
35.29
20.83
AvgProfit
-2418.49
638.09
-1856.22
-792.81
577.34
1768.58
-1249.47
7136.71
3421.55
-3856.84
-1038.47
-2374.45
-3556.77
1335.19
-659.01
-3709.13
6094.72
-1878.43
226.91
-92.39
848.58
9774.25
606.88
4269.87
-413.14
-1677.43
356.33
-708.23
2942.58
-976.31
StDevPr
1499.97
2916.22
2395.34
1306.4
3434.04
3480.07
2000.89
7229.54
6806.28
1665.15
1985.6
1838.71
2597.23
2594.5
1947.58
2098.07
5037.47
1480.2
3206.8
2151.33
2430.76
6716.18
3278.55
2399.32
3354.6
1394.94
2215.74
2409.91
3803.89
1563.13
PF
0.4
1.13
0.62
0.72
1.1
1.34
0.7
2.49
1.79
0.31
0.74
0.47
0.49
1.4
0.82
0.31
3.07
0.46
1.04
0.98
1.24
4.51
1.12
5.52
0.92
0.53
1.09
0.84
1.82
0.71
P/MaxDD
-0.92
0.45
-0.73
-0.33
0.2
0.68
-0.36
3.47
1.07
-0.83
-0.53
-0.82
-0.64
0.55
-0.33
-0.73
4.62
-0.69
0.07
-0.05
0.77
3.89
0.24
6.94
-0.15
-0.79
0.23
-0.26
1.38
-0.51
RAR
-1.61
0.22
-0.77
-0.61
0.17
0.51
-0.62
0.99
0.5
-2.32
-0.52
-1.29
-1.37
0.51
-0.34
-1.77
1.21
-1.27
0.07
-0.04
0.35
1.46
0.19
1.78
-0.12
-1.2
0.16
-0.29
0.77
-0.62
Kennzahlen
NetProfit
1081.24
ResidualGew MaxDD
-18663.29
-51326.55
Trades
19.83
PercWin
37.31
AvgProfit
54.52
StDevProfit
2737.18
PFStDevProfit
3171.07
P/MaxDD
0.53
PF-RAR
0.02
RAR
-0.20
PercProfitable PF
46.67
1.29
133
Anhang C: Handelsmodelle
Handelsmodell Nr.5
Market
ADS.T
ALV.T
ALT.T
BAS.T
BAY_5
HVM.T
BMW.T
CBK.T
CON_.
DCX.T
DBK.T
DB1.T
LHA.T
DPW.T
DTE.T
EOA.T
FME.T
HEN3.
IFX.T
LIN.T
MAN.T
MEO.T
MUV2.
RWE.T
SAP.T
SCH.T
SIE.T
TKA.T
TUI.T
VOW.T
NetPr.
-22825
23284
-14533
-11340
25062
64218
-96232
121564
41216
-40889
-12899
-11815
-17675
39103
37581
-66851
100339
-31520
-28354
10024
2909.8
83354
716.14
32459
-32451
-21595
-1991.8
22220
33684
-10207
Res.Gew.
-33305
-14890
-8681.2
-21275
11071.4
37709.9
-108537
121828
-21733
-43091
-59030
-6555
-30786
28893.4
37736.6
-92262
131651
-42069
-86041
-303.28
-51840
91632.7
-7619.1
31618.8
-63273
-18830
-35364
2349.09
18871.9
-33729
MaxDD
-39128
-43951
-44111
-40210
-45937
-57957
-102913
-44507
-58077
-60314
-50175
-30541
-79312
-16160
-22506
-87573
-21445
-47977
-79579
-30152
-49395
-19440
-63617
-15922
-85575
-32633
-42933
-29294
-44822
-36286
Tr.Nr
18
16
15
14
17
17
20
13
10
12
17
16
14
12
14
14
10
17
18
14
16
10
16
12
16
18
17
13
13
16
PercWin
38.89
37.5
33.33
42.86
41.18
35.29
20
38.46
40
41.67
23.53
37.5
35.71
50
35.71
28.57
60
29.41
44.44
42.86
37.5
60
50
33.33
31.25
44.44
41.18
38.46
46.15
31.25
AvgProfit
-1268.1
1455.23
-968.84
-810.02
1474.24
3777.55
-4811.6
9351.07
4121.64
-3407.4
-758.79
-738.42
-1262.5
3258.59
1726.73
-4775.1
10033.9
-1854.1
-1575.2
715.99
181.86
8335.39
44.76
2704.95
-2028.2
-1199.7
-117.17
1709.26
2591.08
-637.91
StDevPr
1475.98
4592.68
3313.97
1577.56
3833.55
5399.22
1728.62
8740.11
10657.3
3219.71
3195.87
2548.38
4648.75
4025.96
2747.98
2463.94
8766.79
1599.33
3738.75
3155.58
3474.85
7482.77
4408.62
2811
4378.16
1823.75
2524.78
3732.85
5095.36
2143.63
PF
0.61
1.24
0.8
0.71
1.27
1.66
0.2
3.22
1.65
0.44
0.83
0.81
0.82
1.95
1.97
0.28
4.22
0.47
0.78
1.17
1.04
3.89
1.01
2.25
0.71
0.65
0.97
1.42
1.53
0.82
Kennzahlen
NetProfit
7218.59
ResidualGew MaxDD
-8861.64
-47414.70
Trades
14.83
PercWin
38.20
AvgProfit
456.52
StDevProfit
3729.35
PFStDevProfit
3611.95
P/MaxDD
0.53
PF-RAR
0.13
RAR
-0.08
PercProfitable PF
50.00
1.31
134
P/MaxDD
-0.58
0.53
-0.33
-0.28
0.55
1.11
-0.94
2.73
0.71
-0.68
-0.26
-0.39
-0.22
2.42
1.67
-0.76
4.68
-0.66
-0.36
0.33
0.06
4.29
0.01
2.04
-0.38
-0.66
-0.05
0.76
0.75
-0.28
RAR
-0.86
0.32
-0.29
-0.51
0.38
0.7
-2.78
1.07
0.39
-1.06
-0.24
-0.29
-0.27
0.81
0.63
-1.94
1.14
-1.16
-0.42
0.23
0.05
1.11
0.01
0.96
-0.46
-0.66
-0.05
0.46
0.51
-0.3
Anhang C: Handelsmodelle
Handelsmodell Nr.5_Filter
Market NetPr. ResGew MaxDD Tr.Nr PercWin AvgProfit StDevPr
ADS.T
-25929 -33815 -30064
12
41.67
-2160.8
1991.7
ALV.T
118282 186753 -18583
6
50 19713.6
12280
ALT.T
5150.7 5150.65 -38963
11
36.36
468.24
4215.4
BAS.T
-1180 14944.8 -19269
10
40
-118.02
2447.1
BAY.T
66582 115769 -27584
8
37.5 8322.76
8188.1
HVM.T
88088 88087.9 -47737
11
45.45 8007.99
8213.3
BMW.T -39481 -43900 -55889
12
33.33
-3290.1
2927
CBK.T
104129 104129 -34907
11
45.45 9466.29
9970.4
CON_.
76316 13366.5 -28244
8
37.5 9539.45
13428
DCX.T
-8352 25912.1 -41411
10
40
-835.2
3368
DBK.T
26005 24130.4 -23945
13
30.77 2000.36
3751.5
DB1.T
-20425 -14982 -34531
14
21.43
-1458.9
2966.4
LHA.T
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8
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12093
DPW.T
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12
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371.34
3975.7
DTE.T
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10
40 4542.72
4641.2
EOA.T
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10
40
-2328.9
3665.2
FME.T
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8
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11018
HEN3.
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13
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-2453.1
1892.8
IFX.T
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8
37.5 7063.63
12093
LIN.T
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10
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4246.1
MAN.T
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12
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-90.92
4466.5
MEO.T
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10
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7336.2
MUV2.
-29915 -36907 -68336
13
38.46
-2301.1
5327.6
RWE.T
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10
40 2460.81
3414.1
SAP.T
-45185 -67002 -90703
12
33.33
-3765.4
5999.5
SCH.T
10181 46858 -34948
10
40 1018.11
4159.4
SIE.T
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11
54.55 2345.28
3913.9
TKA.T
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11
54.55 1357.02
4395.6
TUI.T
-15116 -15116 -67523
11
27.27
-1374.2
6002.9
VOW.T -34546 -37657 -59946
13
15.38
-2657.4
3441.3
PF P/MaxDD RAR
0.46
-0.86 -1.08
10.8
6.37 1.61
1.1
0.13 0.11
0.96
-0.06 -0.05
2.92
2.41 1.02
2.29
1.85 0.97
0.44
-0.71 -1.12
2.82
2.98 0.95
3.34
2.7 0.71
0.8
-0.2 -0.25
1.53
1.09 0.53
0.7
-0.59 -0.49
1.83
1.2 0.58
1.08
0.12 0.09
2.44
2.36 0.98
0.6
-0.54 -0.64
3.81
4.68 1.01
0.42
-0.66 -1.3
1.83
1.2 0.58
1.29
0.44 0.31
0.98
-0.04 -0.02
2.83
3.47 0.92
0.74
-0.44 -0.43
1.83
1.91 0.72
0.62
-0.5 -0.63
1.26
0.29 0.24
1.58
0.99 0.6
1.26
0.46 0.31
0.81
-0.22 -0.23
0.57
-0.58 -0.77
Kennzahlen
PercProfitable
60.00
NetProfit
20542.74
ResidualGew
31421.35
PercWin
38.36
AvgProfit
1937.99
PF
1.80
P/MaxDD
0.98
MaxDD
-37736.80
Trades
10.60
StDevProfit PFStDevProfit
5427.88
5437.25
PF-RAR
0.36
RAR
0.17
135
Anhang C: Handelsmodelle
Handelsmodell Nr.5_Filter_Stops
Market
ADS.T
ALV.T
ALT.T
BAS.T
BAY.T
HVM.T
BMW.T
CBK.T
CON_.
DCX.T
DBK.T
DB1.T
LHA.T
DPW.T
DTE.T
EOA.T
FME.T
HEN3.
IFX.T
LIN.T
MAN.T
MEO.T
MUV2.
RWE.T
SAP.T
SCH.T
SIE.T
TKA.T
TUI.T
VOW.T
NetPr. Res.Gew. MaxDD Tr.Nr PercWin AvgProfit StDevPr PF P/MaxDD RAR
-24760
-30547 -27059
18
38.89
-1375.6
1243.4 0.5
-0.92 -1.1
75875 59783.7 -31098
13
53.85 5836.51
4069.4 3.5
2.44 1.4
9023 18436.5 -28209
14
35.71
644.5
3359.3 1.2
0.32 0.2
-14792
-14446 -23455
14
35.71
-1056.6
978.19 0.5
-0.63 -1.1
56582 56581.8 -23381
11
63.64
5143.8
4153.7 3.2
2.42 1.2
63806 36867.2 -37247
16
50 3987.88
3990.3
2
1.71
1
-54646 45354.2 -56951
19
21.05
-2876.1
1637.9 0.4
-0.96 -1.8
1E+05
130535 -37256
12
41.67 10227.5
9058.5 3.4
3.29 1.1
16849
-4905.9 -43008
13
38.46 1296.07
3565.3 1.4
0.39 0.4
-40339
-58530 -51520
16
43.75
-2521.2
2139.4 0.5
-0.78 -1.2
12399 5486.75 -23970
16
31.25
774.91
2177.1 1.3
0.52 0.4
-42362
-74110 -45605
19
36.84
-2229.6
1417.4 0.4
-0.93 -1.6
18461 17019.2 -57929
14
57.14 1318.65
4307.8 1.2
0.32 0.3
32439
132439 -21201
15
33.33 2162.61
3038.7 1.7
1.53 0.7
10581 3306.36 -20966
16
31.25
661.28
1996.4 1.3
0.5 0.3
-52851
-78262 -67926
15
20
-3523.4
1546.5 0.2
-0.78 -2.3
96911 96911.2 -11988
11
54.55 8810.11
6380.3 5.8
8.08 1.4
-56334
-60487 -60762
18
22.22
-3129.7
1026.8 0.1
-0.93 -3.1
18461 17019.2 -57929
14
57.14 1318.65
4307.8 1.2
0.32 0.3
20853 14792.1 -25540
14
28.57 1489.48
2758.4 1.5
0.82 0.5
16595
-8994.2 -24628
14
42.86 1185.33
3385.1 1.3
0.67 0.4
69959 73619.3 -18353
12
50 5829.95
4357.1
3
3.81 1.3
-30117 69882.9 -71212
17
41.18
-1771.6
3843.5 0.7
-0.42 -0.5
32382 38044.6
-9626
13
46.15 2490.92
1901.7 2.8
3.36 1.3
16379
116379 -35746
15
40
1091.9
4049.9 1.2
0.46 0.3
2700 1698.05 -23855
15
40
179.97
1660 1.1
0.11 0.1
25400
125399 -20590
16
43.75 1587.47
2261 1.6
1.23 0.7
3898
-51496 -50242
15
40
259.88
3118.7 1.1
0.08 0.1
24539
124539 -46948
14
42.86 1752.81
4500.4 1.4
0.52 0.4
-12836 87164.1 -42648
16
37.5
-802.25
2027.4 0.8
-0.3 -0.4
Kennzahlen
PercProfitable
70.00
136
NetProfit
13926.13
ResidualGew
29649.34
PercWin
39.77
AvgProfit
938.84
PF
1.54
P/MaxDD
0.88
MaxDD
-36561.55
Trades
14.83
StDevProfit PFStDevProfit
2989.02
3317.38
PF-RAR
0.28
RAR
0.03
Anhang C: Handelsmodelle
Handelsmodell Nr.6
Market NetPr.
Res.Gew. MaxDD
Tr.Nr. PercWin AvgProfit StDevPr PF
P/MaxD RAR
ADS.T
ALV.T
ALT.T
BAS.T
BAY_5
HVM.T
BMW.T
CBK.T
CON_.
DCX.T
DBK.T
DB1.T
LHA.T
DPW.T
DTE.T
EOA.T
FME.T
HEN3.
IFX.T
LIN.T
MAN.T
MEO.T
MUV2.
RWE.T
SAP.T
SCH.T
SIE.T
TKA.T
TUI.T
VOW.T
-9275.92
135625
5810.39
-40438.2
115874
159835
-80242.9
152512
-17247.2
54187.7
-58636.6
-29231
-15246.7
-21769.5
46715.4
-1813.71
141160
-44031.9
131760
-230.12
21297.1
70550.8
-937.95
97511.4
-138427
72061.8
71398.4
-25855.7
48439.6
-70023.6
12
8
13
14
10
10
16
9
8
8
13
14
11
12
9
10
8
15
10
12
12
10
12
6
16
10
10
13
9
14
-0.24
1.98
0.28
-0.51
1.88
2.93
-0.93
5.24
0.92
0.67
-0.26
-0.73
-0.19
-0.2
0.98
-0.52
4.65
-0.76
2.79
0.18
1.25
2.09
0.01
5.35
-0.74
1.94
3.31
-0.18
-0.09
-0.7
-4235
68430
8709.8
-30504
66535
104532
-47304
126463
45702
19924
-16300
-28889
-15247
-11560
29741
-28479
101515
-34217
79233
5379.9
29657
63638
400.16
53408
-1E+05
32713
50077
-5984
-4816
-43787
-17990.2
-34476.4
-30983.7
-59373.1
-35328.9
-35717.7
-50719.2
-24115.2
-49926.9
-29727
-62883
-39400.6
-78956.5
-57616.9
-30407.5
-54862.4
-21837.1
-44969
-28448.7
-30151.8
-23696
-30425.7
-42025.9
-9991.51
-146248
-16849.1
-15123
-33326.4
-55177.2
-62553.4
50
37.5
38.46
42.86
40
40
31.25
55.56
37.5
50
30.77
28.57
27.27
33.33
44.44
40
62.5
26.67
40
33.33
50
50
33.33
33.33
18.75
50
60
38.46
33.33
28.57
-352.88
8553.8
669.99
-2178.8
6653.53
10453.2
-2956.5
14051.5
5712.73
2490.45
-1253.8
-2063.5
-1386.1
-963.33
3304.58
-2847.9
12689.4
-2281.1
7923.34
448.32
2471.45
6363.77
33.35
8901.37
-6725.3
3271.33
5007.68
-460.34
-535.08
-3127.6
1705.6
10156.6
3395.38
1740.65
6573
8851.1
1902.41
13019.4
13538.1
5027.28
4275.78
2879.27
6224.95
4554.41
5165.72
2924.72
11018.6
1685.87
9257.73
3542.13
4579.72
7250.85
5240.89
9016.53
4372.15
3957.2
4455.71
3576.55
8030.1
2616.64
0.86
2.62
1.17
0.45
2.7
3.09
0.36
4.09
1.85
1.76
0.79
0.6
0.84
0.85
1.71
0.47
5.15
0.41
2.14
1.1
1.57
2.84
1.01
7.04
0.32
2.01
3.09
0.91
0.94
0.45
-0.2
0.84
0.2
-1.3
1.01
1.18
-1.6
1.08
0.42
0.5
-0.3
-0.7
-0.2
-0.2
0.64
-1
1.15
-1.4
0.86
0.13
0.54
0.88
0.01
0.99
-1.5
0.83
1.12
-0.1
-0.1
-1.2
Kennzahlen
NetProfit
16904.47
ResidualGew MaxDD
25711.02
-41776.93
Trades
11.13
PercWin
38.32
AvgProfit
1518.37
StDevProfit
5143.19
PFStDevProfit
5182.63
P/MaxDD
1.01
PF-RAR
0.29
RAR
0.09
PercProfitable PF
56.67
1.77
137
Anhang C: Handelsmodelle
Handelsmodell Nr.6_Filter
Market
ADS.T
ALV.T
ALT.T
BAS.T
BAY.T
HVM.T
BMW.
CBK.T
CON_.
DCX.T
DBK.T
DB1.T
LHA.T
DPW.T
DTE.T
EOA.T
FME.T
HEN3.
IFX.T
LIN.T
MAN.T
MEO.T
MUV2.
RWE.T
SAP.T
SCH.T
SIE.T
TKA.T
TUI.T
VOW.T
NetPr. Res.Gew. MaxDD Tr.Nr PercWin AvgProfit StDevPr
-7373 -687.57 -22197
10
50
-737.31 1957.53
64850
130996 -31993
8
37.5
8106.3 10344.5
3795 3795.29 -39564
11
36.36
345.03 4166.21
-8045 8079.56 -27436
10
40
-804.54 2262.73
84927
134114 -16298
6
50
14154.5 9530.83
79914
134400 -47737
10
40
7991.41 9125.91
-36799
-42155 -52271
12
33.33 -3066.59 2924.75
1E+05
127799 -27741
9
55.56
11305.6 12274.7
81475 18525.9 -23039
6
33.33
13579.2 18283.7
19218 53482.1 -29727
8
37.5
2402.26 5008.87
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9
44.44
3626.92 5358.21
-18337
-23299 -31319
12
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8
37.5
5694.52 12384.3
-44937
-61449 -77631
12
25 -3744.75 4431.12
23628 40805.8 -29535
9
44.44
2625.32 4970.75
2582 29247.3 -38133
8
50
322.71
3297.8
87189
125941 -21258
6
50
14531.5 15062.7
-38718
-43009 -56073
13
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8
37.5
5694.52 12384.3
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8
37.5
4311.18 5649.16
-10245
-21853 -31484
12
33.33
-853.77 4474.72
51860 58772.6 -30426
10
50
5185.95 7332.89
-12478
-12478 -45412
11
36.36 -1134.37 5704.35
46543 88864.5 -12277
6
33.33
7757.22
9177.4
-84770 -106587 -123311
12
25 -7064.13 6208.25
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6
50
7010.05 8446.83
20002 40983.1 -27692
10
40
2000.21 4655.84
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11
54.55
330.7 4508.47
-15381
38054 -56445
9
33.33 -1709.04 7934.84
-36046
-46293 -66581
12
16.67 -3003.83 3864.65
PF P/MaxD RAR
0.7
-0.33 -0.4
2.4
2.03 0.8
1.1
0.1 0.1
0.7
-0.29 -0.4
7.1
5.21 1.5
2.2
1.67 0.9
0.5
-0.7 -1.1
3
3.67 0.9
4.4
3.54 0.7
1.7
0.65 0.5
1.9
1.34 0.7
0.7
-0.59 -0.5
1.6
0.97 0.5
0.6
-0.58 -0.9
1.6
0.8 0.5
1.1
0.07 0.1
4
4.1
1
0.4
-0.69 -1.6
1.6
0.97 0.5
2.2
2.03 0.8
0.9
-0.33 -0.2
2.2
1.7 0.7
0.9
-0.27 -0.2
4.4
3.79 0.9
0.4
-0.69 -1.1
3.3
2.06 0.8
1.5
0.72 0.4
1.1
0.11 0.1
0.8
-0.27 -0.2
0.6
-0.54 -0.8
Kennzahlen
PercProfitable
63.33
138
NetProfit
18618.22
ResidualGew
35890.91
PercWin
37.94
AvgProfit
1980.66
PF
1.84
P/MaxDD
1.01
MaxDD
-38472.82
Trades
9.40
StDevProfit PFStDevProfit
6278.19
5665.02
PF-RAR
0.35
RAR
0.17
Anhang C: Handelsmodelle
Handelsmodell Nr.6_Filter_Stops
Market
ADS.T
ALV.T
ALT.T
BAS.T
BAY.T
HVM.T
BMW.T
CBK.T
CON_.
DCX.T
DBK.T
DB1.T
LHA.T
DPW.T
DTE.T
EOA.T
FME.T
HEN3.
IFX.T
LIN.T
MAN.T
MEO.T
MUV2.
RWE.T
SAP.T
SCH.T
SIE.T
TKA.T
TUI.T
VOW.T
NetPr. Res.Gew. MaxDD Tr.Nr PercWin AvgProfit StDevPr PF P/MaxDD RAR
-15562
-21349 -22415
16
43.75
-972.6 1009.9 0.6
-0.69
-1
67461 61856.1 -24918
12
50
5621.7 4589.7
3
2.71 1.2
19837 27375.7 -28810
12
41.67 1653.08 4000.4 1.4
0.69 0.4
-18879
-18532 -27541
14
35.71 -1348.5 1040.2 0.4
-0.69
-1
57779
106966 -16298
10
70 5777.86
4277 4.3
3.55 1.4
70291
170291 -30977
13
61.54 5407.02 4375.6 2.6
2.27 1.2
-35721 64278.6 -42844
17
23.53 -2101.3 1713.6 0.5
-0.83
-1
1E+05 1.#R
-26500
11
45.45 11040.9 9728.7 3.8
4.58 1.1
22507 22507.2 -35314
11
45.45 2046.11
4205 1.6
0.64 0.5
-23129
-24904 -37419
14
50 -1652.1 1823.8 0.5
-0.62
-1
14626 4974.72 -19061
14
35.71 1044.68 2376.8 1.4
0.77 0.4
-34915
-32747 -38158
17
41.18 -2053.8
1490 0.4
-0.92
-1
17822 24421.8 -47811
13
61.54 1370.92 4397.9 1.3
0.37 0.3
7790
107790 -35976
15
26.67
519.36 3039.8 1.1
0.22 0.2
10364 6968.98 -22099
14
28.57
740.27 2911.9 1.3
0.47 0.3
-31325
-26156 -46401
12
33.33 -2610.4 1930.1 0.3
-0.68
-1
95034
121332 -11988
10
60 9503.39
6440 6.8
7.93 1.5
-60663
-61600 -65755
18
22.22 -3370.2 995.06 0.1
-0.92
-3
17822 24421.8 -47811
13
61.54 1370.92 4397.9 1.3
0.37 0.3
29187 13643.7 -16612
13
38.46 2245.16 2896.4 1.9
1.76 0.8
9707
-15882 -29150
14
42.86
693.33 3291.5 1.2
0.33 0.2
62172 65832.1 -18353
12
50 5181.02 4146.9 2.8
3.39 1.3
-34297 65703.4 -66286
17
29.41 -2017.5 3755.3 0.7
-0.52
-1
33325 33324.5
-8658
11
54.55
3029.5 1590.4 5.6
3.85 1.9
-10204 89796.3 -51815
15
33.33 -680.25 3831.6 0.9
-0.2
-0
33884 33883.5 -14145
11
36.36 3080.31 2688.6 2.8
2.4 1.2
19119
119119 -21375
15
46.67 1274.63 1888.5 1.6
0.89 0.7
-2019
-57414 -50242
15
46.67 -134.63
2977
1
-0.04
-0
10550 3591.39 -56150
13
30.77
811.55 4925.6 1.2
0.19 0.2
-15371
-53692 -40314
15
33.33 -1024.8 2104.1 0.7
-0.38
-0
Kennzahlen
PercProfitable
63.33
NetProfit
14621.35
ResidualGew
29510.43
PercWin
41.52
AvgProfit
1077.74
PF
1.76
P/MaxDD
1.03
MaxDD
-33373.15
Trades
13.57
StDevProfit PFStDevProfit
3136.69
3446.10
PF-RAR
0.31
RAR
0.10
139
Anhang C: Handelsmodelle
Handelsmodell Nr.7
Market NetPr.
Res.Gew. MaxDD
Tr.Nr PercWin AvgProfit StDevPr PF
P/MaxD
RAR
ADS.T
ALV.T
ALT.T
BAS.T
BAY_5
HVM.T
BMW.T
CBK.T
CON_.
DCX.T
DBK.T
DB1.T
LHA.T
DPW.T
DTE.T
EOA.T
FME.T
HEN3.
IFX.T
LIN.T
MAN.T
MEO.T
MUV2.
RWE.T
SAP.T
SCH.T
SIE.T
TKA.T
TUI.T
VOW.T
1968.61
-20097
14465.9
-32767
100754
193892
4643.24
162475
6279.34
-40694
59838.7
11478.8
131970
43085.1
-71226
6210.12
73792.2
-86396
-96730
12263.2
26674.7
61131.4
19228.6
-23859
51794.2
13587.6
-31035
56926.7
149975
-2288.6
11
12
13
12
6
7
10
8
9
16
7
14
6
10
13
7
12
17
14
14
11
9
12
12
14
15
13
11
9
13
0.09
-0.14
0.3
-0.58
0.72
5.12
-0.62
4.82
5.32
-0.56
1.71
0.19
7.14
0.92
-0.67
-0.31
2.19
-0.94
-0.7
0.73
0.68
1.51
0.36
-0.74
1.7
0.29
-0.22
1.91
4.05
-0.17
0.08
-0.14
0.29
-1.31
0.49
1.38
-0.53
1.32
1.03
-0.76
0.85
0.12
1.71
0.56
-1.21
-0.36
0.86
-2.34
-1.36
0.57
0.36
0.66
0.27
-1.04
0.88
0.25
-0.18
1.13
1.54
-0.1
1968.6
-10519
12389
-32893
33765
138892
-17574
138987
76688
-30775
49074
3712.4
106970
34497
-69390
-9834
77505
-66488
-1E+05
20587
26675
62880
14094
-23859
82464
9192.5
-11888
56927
97439
-4318
-21728.9
-74547.1
-40795.4
-56967.4
-46966.7
-27112.5
-28446.1
-28822
-14409.6
-55313.1
-28664.8
-19249
-14992
-37700.6
-103388
-32125.9
-35351.5
-70983.8
-159516
-28109.4
-39490.9
-41628.5
-39650.5
-32431.1
-48590.9
-31844
-54176
-29729.3
-24048.3
-26056.5
45.45
33.33
53.85
41.67
50
57.14
30
50
44.44
43.75
42.86
57.14
66.67
50
23.08
42.86
50
35.29
21.43
42.86
27.27
44.44
58.33
41.67
42.86
46.67
46.15
45.45
44.44
38.46
178.96
-876.59
952.98
-2741.05
5627.43
19841.8
-1757.41
17373.3
8520.83
-1923.41
7010.54
265.17
17828.3
3449.68
-5337.68
-1404.86
6458.73
-3911.08
-7972.98
1470.52
2424.98
6986.62
1174.53
-1988.25
5890.25
612.83
-914.48
5175.15
10826.6
-332.19
2280.16
6483.75
3273.05
2092.33
11520.8
14424.7
3318.72
13148.5
8238.55
2522.28
8200.44
2134.31
10455.7
6184.3
4411.39
3930.85
7537.16
1672.02
5852.6
2597.48
6650.34
10512.3
4322.39
1915.47
6667.6
2442.65
4982.71
4586.73
7052.59
3310.3
Kennzahlen
NetProfit
21851.47
ResidualGew MaxDD
26578.08
-43094.53
Trades
11.23
PercWin
43.03
AvgProfit
1945.23
StDevProfit
5109.07
PFStDevProfit
6696.08
P/MaxDD
1.14
PF-RAR
0.29
RAR
0.17
PercProfitable PF
63.33
2.10
140
1.06
0.91
1.26
0.32
1.81
4.96
0.66
5.72
4.16
0.6
2.64
1.1
12.4
1.9
0.37
0.68
2.48
0.21
0.39
1.47
1.42
1.98
1.23
0.42
2.02
1.19
0.88
2.42
5.51
0.93
Anhang C: Handelsmodelle
Handelsmodell Nr.7_Filter
Market NetPr. Res.Gew MaxDD Tr.Nr PercWin AvgProfit StDevPr PF P/MaxDD RAR
ADS.T -1E+05 -122476 -118618
ALV.T
52549 120436 -27366
ALT.T
-16677
2675.6 -20698
BAS.T
-30225
-16204 -43008
BAY.T
71228 131813 -10146
HVM.T
38953
96153 -35795
BMW.T -49030
-19791 -85334
CBK.T 146348 168196 -33031
CON_. 6666.3
19749 -27082
DCX.T -18218
20106 -31036
DBK.T -12370
-12880 -41834
DB1.T
5929.7
16874 -12610
LHA.T
46660 101522 -47079
DPW.T
10745
19333 -30724
DTE.T
-11768
2911.9 -47812
EOA.T
16004
31853 -10293
FME.T -48832
-19386 -67228
HEN3.
-9179
9755.1 -26706
IFX.T
46660 101522 -47079
LIN.T
38206
87590 -10141
MAN.T
28399
79738 -21382
MEO.T
-6029 -7777.5 -52187
MUV2.
22300
91384 -50008
RWE.T
26676
68997 -12277
SAP.T
-44353 -8620.9 -80723
SCH.T 1863.2
42858 -28505
SIE.T
-3719
28477 -41244
TKA.T
47324
94651
0
TUI.T
-39293
12622 -95255
VOW.T
-6491
28344 -33293
7
6
7
6
3
6
5
4
2
8
5
5
6
6
5
3
8
5
6
2
2
5
5
6
6
6
3
1
7
7
0
50
42.86
16.67
66.67
50
20
75
50
50
40
40
33.33
33.33
40
66.67
25
20
33.33
50
50
40
20
33.33
33.33
66.67
33.33
100
28.57
28.57
-16769
8758.21
-2382.4
-5037.5
23742.5
6492.16
-9806.1
36587.1
3333.13
-2277.3
-2474.1
1185.94
7776.64
1790.77
-2353.5
5334.55
-6104
-1835.7
7776.64
19103.1
14199.4
-1205.9
4459.91
4445.93
-7392.2
310.54
-1239.6
47324.2
-5613.3
-927.28
2970.6
12831
3060.4
3401.3
16371
12122
12387
33428
9490.2
4880.1
7152.4
5172.6
18027
10210
10685
11406
5518.7
5718
18027
37229
40740
14164
16842
7955.4
12353
5285.8
16373
7654.4
8241.7
0
2.2
0.5
0.2
54
1.9
0.4
8.3
3
0.6
0.7
1.3
1.7
1.2
0.8
2.9
0.4
0.7
1.7
6.3
2.9
0.9
1.5
2.8
0.5
1.1
0.9
0
0.4
0.9
-0.99
1.92
-0.81
-0.7
7.02
1.09
-0.57
4.43
0.25
-0.59
-0.3
0.47
0.99
0.35
-0.25
1.55
-0.73
-0.34
0.99
3.77
1.33
-0.12
0.45
2.17
-0.55
0.07
-0.09
0
-0.41
-0.19
-5.7
0.68
-0.8
-1.5
1.45
0.54
-0.8
1.09
0.35
-0.5
-0.4
0.23
0.43
0.18
-0.2
0.47
-1.1
-0.3
0.43
0.51
0.35
-0.1
0.26
0.56
-0.6
0.06
-0.1
0
-0.7
-0.1
Kennzahlen
PercProfitable
53.33
NetProfit
6431.32
ResidualGew
39014.11
PercWin
37.25
AvgProfit
1261.05
PF
3.36
P/MaxDD
0.67
MaxDD
-39616.40
Trades
5.10
StDevProfit PFStDevProfit
10716.55
13194.49
PF-RAR
0.10
RAR
-0.17
141
Anhang C: Handelsmodelle
Handelsmodell Nr.8
Market NetPr.
Res.Gew. MaxDD Tr.Nr PercWin AvgProfit StDevPr PF
P/MaxDD RAR
ADS.T
ALV.T
ALT.T
BAS.T
BAY_5
HVM.T
BMW.
CBK.T
CON_.
DCX.T
DBK.T
DB1.T
LHA.T
DPW.T
DTE.T
EOA.T
FME.T
HEN3.
IFX.T
LIN.T
MAN.T
MEO.T
MUV2.
RWE.T
SAP.T
SCH.T
SIE.T
TKA.T
TUI.T
VOW.T
106258
112336
76334.9
112108
86800.2
100770
2.37
0.47
-0.81
2.54
-0.46
0.03
0.24
1.03
-0.95
3.25
0.66
0.06
0.8
0.51
-0.85
-1
-0.95
-0.57
0.81
0.58
0.1
0.4
1.25
-0.36
0.76
-0.55
0.55
0.87
0.59
-0.7
6257.9
12336
-23665
12108
-13200
769.73
2482.6
19251
-27054
15364
4390.3
587.18
12689
7759.5
-15905
-9526
-23727
-2461
16028
8560.4
1023.7
7057.3
37237
-5523
24823
-5836
5166.4
11013
20336
-14275
119251
115364
104390
100587
112689
107760
84094.9
90474.2
76273.4
97538.7
18918.2
108560
101024
107057
137237
94477.5
124823
94164.1
105166
111013
120336
-2640
-26522
-29108
-4772
-28605
-25127
-10326
-18642
-28611
-4732
-6649
-9548
-15897
-15171
-18698
-9526
-25061
-4339
-19788
-14640
-10285
-17844
-29762
-15253
-32829
-10695
-9396
-12656
-34706
-20386
7
17
17
9
18
21
11
18
22
9
15
16
18
15
7
5
21
10
15
13
14
13
12
13
18
10
15
18
17
11
28.57
29.41
17.65
33.33
16.67
28.57
36.36
33.33
9.09
55.56
33.33
25
38.89
26.67
28.57
0
23.81
20
20
23.08
14.29
15.38
41.67
30.77
27.78
40
33.33
33.33
23.53
18.18
893.99
725.67
-1392.1
1345.31
-733.32
36.65
225.69
1069.51
-1229.7
1707.15
292.69
36.7
704.95
517.3
-2272.2
-1905.2
-1129.8
-246.13
1068.5
658.49
73.12
542.87
3103.04
-424.81
-1532.2
-583.59
344.43
611.82
1196.25
-1297.7
1358.9
2185.9
357.04
2024.9
1618.8
1670
1359.9
1797.9
540.57
1230.4
939.72
987.22
1290.4
1243.9
1969.7
690.07
650.88
358.01
2933
1267
1330.2
2428.9
3630.2
907.6
731.36
1099.2
1519.2
1244.2
2374
826.12
2.29
1.31
0.1
2.83
0.67
1.01
1.17
1.55
0.21
4.01
1.35
1.03
1.54
1.44
0.32
0
0.32
0.57
1.43
1.65
1.06
1.32
2.31
0.65
1.66
0.59
1.24
1.55
1.51
0.28
Kennzahlen
NetProfit
2802.28
ResidualGew MaxDD
100955.74
-17073.75
Trades
14.17
PercWin
26.59
AvgProfit
74.51
StDevProfit
1403.61
PFStDevProfit
1174.48
P/MaxDD
0.36
PF-RAR
0.06
RAR
-0.31
PercProfitable PF
66.67
1.23
142
0.66
0.33
-3.9
0.66
-0.5
0.02
0.17
0.59
-2.3
1.39
0.31
0.04
0.55
0.42
-1.2
-2.8
-1.7
-0.7
0.36
0.52
0.05
0.22
0.85
-0.5
-2.1
-0.5
0.23
0.49
0.5
-1.6
Anhang C: Handelsmodelle
Handelsmodell Nr.9
Market
ADS.T
ALV.T
ALT.T
BAS.T
BAY_5
HVM.T
BMW.T
CBK.T
CON_.
DCX.T
DBK.T
DB1.T
LHA.T
DPW.T
DTE.T
EOA.T
FME.T
HEN3.
IFX.T
LIN.T
MAN.T
MEO.T
MUV2.
RWE.T
SAP.T
SCH.T
SIE.T
TKA.T
TUI.T
VOW.T
NetPr.
-43831
-11196
-7326.6
14814
-7585.5
-143405
-9255.9
-165412
-89353
19546
-43354
-30208
-90910
-26592
69499
-1960
36863
49008
105581
-20193
-55021
-88417
-35865
40325
-114501
16820
10554
-85432
-125424
6662.2
Res.Gew.
-48011
60994.8
-5962.1
15791.2
56495.3
-88906
18752.9
-142029
-132137
12158.9
-31103
-19962
-67833
-19462
67960.5
14558.6
62496.7
31116.9
119291
-27714
-55021
-88962
-28186
75854.1
-114501
19706.5
-762.87
-72715
-71209
8010.99
MaxDD
-57555
-53498
-61618
-33714
-82664
-174417
-42994
-181324
-112709
-32125
-86055
-56998
-103508
-68871
-54088
-33369
-24200
-16680
-55889
-52172
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-130093
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-30613
-146385
-45734
-60771
-102258
-148509
-45897
Tr.Nr.
9
8
13
12
6
7
9
6
5
13
7
10
6
8
13
7
10
17
14
14
11
9
12
10
11
15
13
9
5
13
PercWin
33.33
50
46.15
41.67
50
42.86
66.67
16.67
40
61.54
57.14
40
16.67
50
76.92
57.14
50
64.71
71.43
57.14
63.64
55.56
41.67
60
45.45
46.67
53.85
44.44
20
53.85
AvgProfit
-4870.2
-1399.4
-563.59
1234.5
-1264.3
-20487
-1028.4
-27569
-17871
1503.5
-6193.4
-3020.8
-15152
-3324
5346.1
-280
3686.3
2882.8
7541.5
-1442.4
-5002
-9824.1
-2988.7
4032.5
-10409
1121.3
811.85
-9492.4
-25085
512.47
StDevPr
2560.28
9512.11
3332.85
2047.94
12309.6
14881.2
3585.62
15930
15165.6
3300.13
8172.39
3926.46
8541.66
8790.89
4625.33
4073.56
3144.72
1537.35
5876.99
2523.22
6811.69
10717.4
4345.27
3180.74
8079.19
2732.74
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3338.72
PF
0.22
0.87
0.88
1.61
0.89
0.19
0.77
0.02
0.15
1.36
0.43
0.42
0.12
0.61
2.55
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3.17
2.47
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0.47
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0.59
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0.28
1.33
1.12
0.22
0.02
1.12
P/MaxDD
-0.76
-0.21
-0.12
0.44
-0.09
-0.82
-0.22
-0.91
-0.79
0.61
-0.5
-0.53
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1.28
-0.06
1.52
2.94
1.89
-0.39
-0.59
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-0.53
1.32
-0.78
0.37
0.17
-0.84
-0.84
0.15
RAR
-1.9
-0.2
-0.2
0.6
-0.1
-1.4
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-1.7
-1.2
0.46
-0.8
-0.8
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-0.4
1.16
-0.1
1.17
1.88
1.28
-0.6
-0.7
-0.9
-0.7
1.27
-1.3
0.41
0.16
-1.6
-2.1
0.15
Kennzahlen
NetProfit
-27519.04
ResidualGew MaxDD
-15042.90
-75225.35
Trades
10.07
PercWin
51.66
AvgProfit
-2733.68
StDevProfit
5566.84
PFStDevProfit
8838.56
P/MaxDD
-0.01
PF-RAR
-0.31
RAR
-0.33
PercProfitable PF
33.33
1.01
143
Anhang C: Handelsmodelle
Handelsmodell Nr.10
Market NetPr.
Res.Gew MaxDD Tr.Nr PercWin AvgProfit StDevPr PF
P/MaxDD RAR
ADS.T
ALV.T
ALT.T
BAS.T
BAY_5
HVM.T
BMW.T
CBK.T
CON_.
DCX.T
DBK.T
DB1.T
LHA.T
DPW.T
DTE.T
EOA.T
FME.T
HEN3.
IFX.T
LIN.T
MAN.T
MEO.T
MUV2.
RWE.T
SAP.T
SCH.T
SIE.T
TKA.T
TUI.T
VOW.T
-36084
31927.3
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44315.1
-13787
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60372.7
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-17994
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102419
116977
68508.6
135169
74448.8
120442
-30988
40335.8
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139010
94810.8
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-1
0.12
0.77
-0.98
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-13907
37903
-27899
11182
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-13787
-16795
-7678
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-31412
-21305
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2419.3
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35169
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20442
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3999.1
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-39527
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-17717
54426.3
-55130
117794
-23663
-14401
-43556
-13694
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-24762
-25550
-30531
-35498
-39627
-35068
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-63395
-16937
-12017
-32025
-26624
-25551
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-39849
-59664
-26885
-41016
-30768
-75481
-32760
-20136
-46332
-46930
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20
28
28
27
26
22
19
29
18
26
23
24
29
25
23
24
25
32
30
33
31
30
35
32
30
33
27
23
27
30
10
3.57
7.14
11.11
3.85
4.55
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16.67
0
4.35
4.17
3.45
20
13.04
4.17
12
9.38
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3.03
3.23
3.33
0
6.25
3.33
9.09
7.41
4.35
3.7
20
-828.47
-803.54
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-565.6
-2141.7
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-883.92
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-1354.8
-1654.8
-1365.7
-1115.7
-2186
-290.77
600
-1312.1
1406.8
-798.47
-1532
-1161
-1924.7
-984.25
-1879
-162.16
-2516
-580.63
-970.13
-2390.9
-1773.9
593.13
495.95
612.9
668.55
548.16
477.98
1257.6
869.73
1523.8
779.66
171.58
493.49
595.62
452.76
905
1385.1
215.07
2313.5
461.22
1371.7
313.08
282.23
866.46
247.37
1152.6
594.46
711.94
783.88
448.28
682.62
1121.4
0.47
2.02
0.48
1.32
0.11
0.75
0.45
0.89
0.36
0.08
0.21
0.42
0.11
1.05
1.46
0.02
1.86
0.42
1.24
0.33
0.03
1.08
1.59
0.89
0.09
1.08
1.31
0.24
0.37
1.38
Kennzahlen
NetProfit
-14153.59
ResidualGew MaxDD
53584.13
-34049.32
Trades
26.97
PercWin
6.80
AvgProfit
-1065.96
StDevProfit
751.00
PFStDevProfit
897.66
P/MaxDD
-0.17
PF-RAR
-1.19
RAR
-2.50
PercProfitable PF
36.67
0.74
144
-1.67
-1.31
-1.93
-1.03
-4.48
-1.16
-1.02
-0.29
-1.74
-9.64
-2.77
-1.87
-4.83
-0.32
0.43
-6.1
0.61
-1.73
-1.12
-3.71
-6.82
-1.14
-7.6
-0.14
-4.23
-0.82
-1.24
-5.33
-2.6
0.53
Anhang C: Handelsmodelle
Handelsmodell Nr.11
Market
ADS.T
ALV.T
ALT.T
BAS.T
BAY_5
HVM.T
BMW.T
CBK.T
CON_.
DCX.T
DBK.T
DB1.T
LHA.T
DPW.T
DTE.T
EOA.T
FME.T
HEN3.
IFX.T
LIN.T
MAN.T
MEO.T
MUV2.
RWE.T
SAP.T
SCH.T
SIE.T
TKA.T
TUI.T
VOW.T
NetPr.
55.5
10944
-20929
9369
-35821
-1227.3
-17828
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-7803.2
-38070
-6123
-22763
-40048
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-21077
23499
-13507
15146
-29887
-52914
4883.9
6916.4
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-56618
-10545
-4013.2
-31420
-14678
35189
Res.Gew.
-22122
4968.52
79070.9
109369
64179.1
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123499
115146
70113.2
47086.5
104884
106916
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43382.2
89455.1
95986.8
68580.4
85322.5
135189
MaxDD
-10063.5
-13991.2
-32422.7
-14695.7
-46257.1
-27215.3
-18658.3
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-28155.4
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-13788.3
Tr.Nr.
20
28
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27
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20
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29
26
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25
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34
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31
35
32
30
34
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25
31
31
PercWin
20
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20
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13.04
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13.79
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15.63
6.67
20.59
17.24
16
16.13
29.03
AvgProfit
-130.37
390.86
-970.64
-632.74
-1326.7
-53.36
-938.3
174.75
-390.16
-1464.2
-266.22
-910.52
-1381
-573.34
-902.66
-878.22
939.96
-409.29
-1708.6
-1035.3
-1706.9
-937.75
-498.83
-460.36
-1887.3
-746.03
-138.39
-1633.4
-473.47
1135.14
StDevPr
499.79
949.55
422.48
324.31
557.1
1399.9
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1092
1004.1
184.13
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442.29
336
1219.7
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548.1
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1063.4
994.4
PF
1
1.3
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P/MaxDD
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-0.97
-0.38
-0.98
-0.89
-0.24
-1
-0.81
1.95
-0.84
0.4
-0.8
-0.95
0.25
0.17
-0.57
-1
-0.37
-0.18
-0.92
-0.38
2.55
RAR
-0.26
0.41
-2.3
-1.95
-2.38
-0.04
-2.49
0.16
-0.39
-7.95
-0.36
-2.88
-2.05
-0.8
-2.04
-2.61
0.77
-0.9
-1.77
-3.32
-5.65
-2.67
-0.35
-0.85
-3.44
-1.69
-0.17
-3.14
-0.45
1.14
Kennzahlen
NetProfit
-11818.66
ResidualGew MaxDD
77067.26
-28139.73
Trades
27.73
PercWin
15.62
AvgProfit
-668.07
StDevProfit
669.69
PFStDevProfit
736.55
P/MaxDD
-0.24
PF-RAR
-0.91
RAR
-1.68
PercProfitable PF
30.00
0.75
145
Anhang C: Handelsmodelle
Handelsmodell Nr.12
Market NetPr.
Res.Gew. MaxDD
Tr.Nr. PercWin AvgProfit StDevPr PF
P/MaxDD RAR
ADS.T
ALV.T
ALT.T
BAS.T
BAY_5
HVM.T
BMW.
CBK.T
CON_.
DCX.T
DBK.T
DB1.T
LHA.T
DPW.T
DTE.T
EOA.T
FME.T
HEN3.
IFX.T
LIN.T
MAN.T
MEO.T
MUV2.
RWE.T
SAP.T
SCH.T
SIE.T
TKA.T
TUI.T
VOW.T
93290.1
64892
121194
86497.8
92013.7
123348
85082.6
86325.4
93098.4
66625.6
4
10
10
6
10
7
9
4
14
10
11
17
4
5
10
7
4
13
6
5
6
12
7
6
9
11
4
6
4
8
-0.94
0.03
3.45
-1
-0.45
1.4
-0.72
-0.85
-0.46
-0.98
1.64
-0.96
3.03
0.72
-1
-0.96
4.96
-1
-0.54
2.27
-0.91
-0.81
3.71
-1
1.4
1.34
2.49
-1
-0.79
-0.03
-6709.85
709.51
21193.5
-13502.2
-7986.29
23348.3
-14917.4
-13674.6
-6901.64
-33374.4
20544.3
-22516.3
8528.7
6203.48
-20696.7
-11865.5
13339.3
-21759.7
-11960.8
12622.6
-21106
-24260.4
27084.9
-11048
13912.6
19440
16718.9
-17494.3
-8759.5
-502.32
77483.7
108529
106203
79303.3
88134.5
113339
78240.3
88039.2
38241
-32999
-30143
127085
88952
113913
116719
82505.8
91240.5
99497.7
-7113.95
-24955.8
-6136.76
-13502.2
-17635
-16702.7
-20741.1
-16110.6
-15156.6
-33966
-12530.2
-23390
-2817.52
-8583.7
-20696.7
-12331.7
-2691
-21759.7
-22010.3
-5569.48
-23067.5
-30098.2
-7301.6
-11048
-9916.7
-14465.8
-6719.51
-17494.3
-11102.3
-19800.2
25
20
50
0
30
42.86
11.11
0
35.71
10
27.27
17.65
50
40
20
28.57
75
7.69
33.33
40
16.67
25
57.14
0
33.33
36.36
25
0
25
25
-1677.5
70.95
2119.4
-2250.4
-798.63
3335.5
-1657.5
-3418.7
-492.97
-3337.4
1867.7
-1620.2
2132.2
1240.7
-2069.7
-1695.1
3334.8
-1673.8
-1993.5
2524.5
-3517.7
-2021.7
3869.3
-1841.3
1545.8
1767.3
4179.7
-2915.7
-2189.9
-62.79
1145.1
3036.3
1399.9
572.94
1209.1
6184
1893.1
1599
774.66
660.44
2539.2
713.4
3111.5
3815.6
811.15
645.67
2584.5
483.26
2543.3
3380.3
1164.1
1147.2
3718.1
502.06
2731.3
2262.9
7456.3
510.2
2118.8
2842.5
Kennzahlen
NetProfit
-2846.33
ResidualGew MaxDD
83808.99
-15180.50
Trades
7.97
PercWin
25.94
AvgProfit
-378.31
StDevProfit
1861.94
PFStDevProfit
2370.33
P/MaxDD
0.40
PF-RAR
-0.16
RAR
-1.09
PercProfitable PF
40.00
2.13
146
0.06
1.03
3.66
0
0.55
2.12
0.43
0
0.63
0.02
2.15
0.37
3.59
1.72
0.15
0.05
30.8
0.07
0.46
3.51
0.02
0.27
3.47
0
1.98
2.19
3.49
0
0.04
0.97
-1.46
0.02
1.51
-3.93
-0.66
0.54
-0.88
-2.14
-0.64
-5.05
0.74
-2.27
0.69
0.33
-2.55
-2.63
1.29
-3.46
-0.78
0.75
-3.02
-1.76
1.04
-3.67
0.57
0.78
0.56
-5.71
-1.03
-0.02
Anhang C: Handelsmodelle
C.2 TradestationTM-Quellcodes der Handelsmodelle
Handelsmodell Nr.1
Inputs: FastLength(5), SlowLength(34), Price(C);
vars: FastMA(0), SlowMA(0);
FastMA = Average(Price,FastLength);
SlowMA = Average(Price,SlowLength);
Condition1 = FastMA crosses over SlowMA;
Condition2 = FastMA crosses under SlowMA;
If Condition1 then buy on close;
If Condition2 then sell on close;
Handelsmodell Nr.2
Analog zum Handelsmodell Nr.1, die Inputs FastLength und SlowLength werden auf
9 bzw. 21 gesetzt.
Handelsmodell Nr.3
Inputs: FastMovAvg(12), SlowMovAvg(26), MACDMovAvg(9);
If CurrentBar > 2 AND MACD(Close, FastMovAvg, SlowMovAvg) Crosses Above
XAverage(MACD(Close, FastMovAvg, SlowMovAvg), MACDMovAvg)[1] Then
Buy ("MACDlong") This Bar on Close;
If CurrentBar > 2 AND MACD(Close, FastMovAvg, SlowMovAvg) Crosses Below
XAverage(MACD(Close, FastMovAvg, SlowMovAvg), MACDMovAvg)[1] Then
Sell ("MACDshort") This Bar on Close;
Handelsmodell Nr.4
Inputs: Strength(3), Length(30);
Variables: SWH(0), SXPrice(0), SWLo(0), SLoPrice(0);
SWH = SwingHigh(1, High, Strength, Length);
If SWH <> -1 Then
SXPrice = SWH;
If SXPrice <> 0 then begin
if close > SXPrice then buy on close;
end;
147
Anhang C: Handelsmodelle
SWLo = SwingLow(1,Low,Strength, Length);
If SWLo <> -1 then
SLoPrice = SWLo;
If SLoPrice <> 0 then begin
if close < SLoPrice then sell on close;
end;
Handelsmodell Nr.5
Analog zum Handelsmodell Nr.4, der Input Strength wird auf 3 gesetzt.
Handelsmodell Nr.5_Filter
Inputs: Strength(3), Length(30), MAs(5), MAm(13), MAl(34);
Variables:
SWH(0), SXPrice(0), SWLo(0), SLoPrice(0),
longstoploss(0), shortstoploss(0);
SWH = SwingHigh(1, High, Strength, Length);
If SWH <> -1 Then
SXPrice = SWH;
if marketposition <=0 then begin
If SXPrice <> 0 then begin
if close > SXPrice
and average(C,MAs) > average(C,MAm) and average(C,MAs) > average(C,MAl)
then buy on close;
end;
end;
SWLo = SwingLow(1,Low,Strength, Length);
If SWLo <> -1 then
SLoPrice = SWLo;
if marketposition >=0 then begin
If SLoPrice <> 0 then begin
if close < SLoPrice
and average(c,MAs) < average(C,MAm) and average(c,MAs) < average(C,MAl)
then sell on close;
end;
end;
148
Anhang C: Handelsmodelle
Handelsmodell Nr.5_Filter_Stops
Inputs: Strength(3), Length(30), MAs(5), MAm(13), MAl(34);
Variables:
SWH(0), SXPrice(0), SWLo(0), SLoPrice(0),
longtrailing(0), shorttrailing(0),
longstoploss(0), shortstoploss(0);
SWH = SwingHigh(1, High, Strength, Length);
If SWH <> -1 Then
SXPrice = SWH;
if marketposition <=0 then begin
If SXPrice <> 0 then begin
if close > SXPrice
and average(C,MAs) > average(C,MAm) and average(C,MAs) > average(C,MAl)
then buy on close;
end;
end;
SWLo = SwingLow(1,Low,Strength, Length);
If SWLo <> -1 then
SLoPrice = SWLo;
if marketposition >=0 then begin
If SLoPrice <> 0 then begin
if close < SLoPrice
and average(c,MAs) < average(C,MAm) and average(c,MAs) < average(C,MAl)
then sell on close;
end;
end;
{Stops}
longtrailing = SLoPrice;
shorttrailing = SXPrice ;
if C < longtrailing then
exitlong ("SW_TR_L")on close stop ;
if C > shorttrailing then
exitshort ("SW_TR_S")on close stop ;
exitlong ("trailingL") on lowest(l,13) stop;
exitshort ("trailingS")on highest(h,13) stop;
Handelsmodell Nr.6
Analog zum Handelsmodell Nr.4, der Input Strength wird auf 4 gesetzt.
149
Anhang C: Handelsmodelle
Handelsmodell Nr.6_Filter
Analog zum Handelsmodell Nr.5_Filter, der Input Strength wird auf 4 gesetzt.
Handelsmodell Nr.6_Filter_Stops
Analog zum Handelsmodell Nr.5_Filter_Stops, der Input Strength wird auf 4 gesetzt.
Handelsmodell Nr.7
Inputs: Length(9), StdDevUp(2), BarsOver(1), BarsBlw(1), versch(0);
Variables: BBTop(0), BBBot(0);
BBTop = BollingerBand(Close, Length, StdDevUp)[versch];
If CountIF(close > BBTop, BarsOver) = BarsOver Then
buy("BBS") on close ;
BBBot = BollingerBand(Close, Length, -StdDevUp)[versch];
If CountIF(close < BBBot, BarsBlw) = BarsBlw
then sell("BBL") on close;
Handelsmodell Nr.7_Filter
Inputs: Length(9), StdDevUp(2), sMA(5), mMA(13), lMA(34);
Variables: BBTop(0), BBBot(0);
BBTop = BollingerBand(Close, Length, StdDevUp);
If C > BBTop and
average(c,sMA) > average(c,mMA) and average(c,sMA) > average(c,lMA)
Then
buy("BBS") on close ;
BBBot = BollingerBand(Close, Length, -StdDevUp);
If C < BBBot and
average(c,sMA) < average(c,mMA) and average(c,sMA) < average(c,lMA)
then
sell("BBL") on close;
Handelsmodell Nr.8
Inputs: lengthRSI(14), overbought(70), oversold(30), trailinglength(3) ;
vars: longstoploss(0), shortstoploss(0);
condition1 = rsi(c,lengthRSI) crosses over oversold ;
condition2 = rsi(c,lengthRSI) crosses under overbought ;
150
Anhang C: Handelsmodelle
if condition1 then begin
buy this bar on close;
longstoploss = L;
end;
if condition2 then begin
sell this bar on close;
shortstoploss= H;
end;
exitlong at longstoploss stop;
exitshort at shortstoploss stop;
exitlong at lowest((l),trailinglength) stop;
exitshort at highest((h),trailinglength) stop;
Handelsmodell Nr.9
Inputs: Length(9), StdDevUp(2), BarsOver(1), BarsBlw(1);
Variables: BBTop(0), BBBot(0);
BBTop = BollingerBand(Close, Length, StdDevUp);
If CountIF(close > BBTop, BarsOver) = BarsOver Then
Sell("BBS") next bar at bbtop stop ;
BBBot = BollingerBand(Close, Length, -StdDevUp);
If CountIF(close < BBBot, BarsBlw) = BarsBlw Then
Buy("BBL") next bar at BBBot stop;
Handelsmodell Nr.10
Inputs: Length(9), StdDevUp(2), BarsOver(1), BarsBlw(1) ;
Variables: BBTop(0), BBBot(0),LongStopLoss(0), ShortStopLoss(0);
BBTop = BollingerBand(Close, Length, StdDevUp);
If CountIF(close > BBTop, BarsOver) = BarsOver Then begin
Sell("BBS") next bar at bbtop stop ;
shortstoploss = H;
end;
BBBot = BollingerBand(Close, Length, -StdDevUp);
If CountIF(close < BBBot, BarsBlw) = BarsBlw Then begin
Buy("BBL") next bar at BBBot stop;
longstoploss = L;
end;
151
Anhang C: Handelsmodelle
exitlong at longstoploss stop;
exitshort at shortstoploss stop;
Handelsmodell Nr.11
Inputs: Length(9), StdDevUp(2), BarsOver(1), BarsBlw(1), trailingOnLo(L) , TrailingOnSh(H) ;
Variables: BBTop(0), BBBot(0),LongStopLoss(0), ShortStopLoss(0), trailing(0);
BBTop = BollingerBand(Close, Length, StdDevUp);
If CountIF(close > BBTop, BarsOver) = BarsOver Then begin
Sell("BBS") next bar at bbtop stop ;
shortstoploss = H;
end;
BBBot = BollingerBand(Close, Length, -StdDevUp);
If CountIF(close < BBBot, BarsBlw) = BarsBlw Then begin
Buy("BBL") next bar at BBBot stop;
longstoploss = L;
end;
exitlong at longstoploss stop;
exitshort at shortstoploss stop;
exitlong at lowest(trailingonlo,3) stop;
exitshort at highest(trailingonsh,3) stop;
Handelsmodell Nr.12
Inputs: trendbest(3), trailing(3);
vars: longstlo(0), shortstlo(0);
{hammer}
condition1 = lowest(l,trendbest)=L; {downtrend}
if o > c then begin
condition2 = 2*(o-c)<= c-l; {lunte}
condition3 = o-c >= 2*(h-o); {docht}
end;
if o<=c then begin
condition2 = 2*(C-o) <= o-l; {lunte}
condition3 = c-o >= 2*(h-c); {docht}
end;
{shooting star}
condition4 = highest(h,trendbest) = H;
if o>c then begin
152
Anhang C: Handelsmodelle
condition5 = 2*(o-c)<= H-O;
condition6 = o-c >= 2*(c-l);
end;
if o<=c then begin
condition5 = 2*(c-o)<= H-C;
condition6 = c-o >= 2*(o-L);
end;
condition7 = condition1 and condition2 and condition3; {hammer!!}
condition8 = condition4 and condition5 and condition6; {shooting star!!}
if condition7 then begin
buy next bar on maxlist(o,c) stop;
longstlo = L;
end;
if condition8 then begin
sell next bar on minlist(o,c) stop;
shortstlo = H;
end;
exitlong at longstlo stop;
exitshort at shortstlo stop;
exitlong at lowest(l, trailing) stop;
exitshort at highest(h, trailing) stop;
153
Anhang D: Systematische Portfolio-ManagementModelle
Es wurden zwei Funktionen in R programmiert, die ihrerseits mehrere Funktionen
beinhalten, um die täglichen Wertpapiergewichtungen der Portfolio-ManagementModelle zu berechnen. Jede der inneren Funktionen kann auch selbstständig in R
eingegeben werden, wenn die Betrachtung der Zwischenschritte erwünscht ist.
Die Funktion B.L._Portfolio_Modell ermittelt die Wertpapiergewichtungen des
Portfolio-Management-Modells nach Black und Litterman für jede der 15 Aktien an
jedem Tag des Jahres 2004. Die Funktion für das Vergleichsportfolio nach Markowitz trägt die Bezeichnung P.S._Portfolio_Modell . Anhand der ermittelten
Wertpapiergewichtungen und der Wertpapierrenditen kann dann die Performance des
Portfolios berechnet werden.
Die Inputs der Funktionen sind (siehe auch im Abschnitt 5.3.3.1):
from =
1
to =
257
Leerverkäufe =
FALSE
Risikoaversion =
2.5
TageCovBerechnung =
100
Skalar (nur für B.L.) = 0.3
2
LongSignalRendite =
0.0032216
ShortSignalRendite =
-0.00441936
[Erster Börsentag des Jahres 2004]
[Letzter Börsentag des Jahres 2004]
[Für das erste Black-Litterman-Portfolio]
[Für das aggressive B.-L.-Portfolio]
LongSignalVarianz
(nur für B.L.) =
ShortSignalVarianz
0.0283
(nur für B.L.) =
0.029433
Es liegen folgende Datenmatrizen vor, die für die Berechnungen der Portfoliogewichte herangezogen werden:
DAX15.CLOSE.020102_301204:
759×15 Matrix der Schlusskurse für die 15 Aktien des Portfolios über den Zeitraum
vom 02.01.02 bis zum 30.12.04.
154
Anhang D: Systematische Portfolio-Management-Modelle
DAX15.LOGRENDITEN.CLOSE.020102_301204:
759×15 Matrix der log-Renditen für die 15 Aktien des Portfolios über den Zeitraum
vom 02.01.02 bis zum 30.12.04.
DAX15.SHARESinMARKET_2004:
257×15 Matrix der aktuellen Anzahl der Aktien auf dem Markt für die 15 Aktien des
Portfolios über das Jahr 2004.
DAX15.Strat_5FilterStop_AktuelleMP_020102_301204:
759×15 Matrix der aktuellen Positionierung des Handelsmodells (wobei eins für eine
Long-Positionierung, minus eins für eine Short- Positionierung und null für keine
Position im Markt stehen).
In D.1 befindet sich der Quellcode der Funktion B.L._Portfolio_Modell. Der
Quellcode der Funktion P.S._Portfolio_Modell ist im Abschnitt D.2.
Die Datenmatrizen sowie die unter D.1 und D.2 aufgeführten Funktionen können
unter der Internetseite www.DA-PortfolioModelle.de.vu im ASCII-Format heruntergeladen werden.
Die Abbildung D.2 verdeutlicht den Aufbau und die Informationsflüsse der Funktion
B.L._Portfolio_Modell. Der Aufbau der Funktion P.S._Portfolio_Modell ist in
der Abbildung D.3 veranschaulicht. Die Informationsflüsse der Abbildungen D.1 und
D.2 sind folgendermaßen zu interpretieren:
Abbildung D.16: Legende zur Interpretation der Funktionsdiagramme
Inputweitergabe
Funktionen
Ergebnisweitergabe
Datenweitergabe
Datenmatrizen
155
Anhang D: Systematische Portfolio-Management-Modelle
Abbildung D.17: Aufbau der Funktion B.L._Portfolio_Modell( )
156
Anhang D: Systematische Portfolio-Management-Modelle
Abbildung 18: Aufbau der Funktion P.S._Portfolio_Modell( )
157
Anhang D: Systematische Portfolio-Management-Modelle
D.1 R-Quellcode der Funktion des Portfolio-Management-Modells
nach BLACK-LITTERMAN
B.L._Portfolio_Modell <- function(from,to,Leerverkäufe=FALSE,
Risikoaversion,TageCovBerechnung,Skalar,
LongSignalRendite, ShortSignalRendite,
LongSignalVarianz, ShortSignalVarianz)
{
B.L._Modul_Cov <- function(for_the_day,TageCovBerechnung){
B.L._letztexxRendite <- function(for_the_day,TageCovBerechnung){
##TEXT_XXREND
# tag von 2004 wird in datenumber umgewandelt
datenumber <- for_the_day + 502
lastRenditeDay <- datenumber - 1
firstRenditeDay <- lastRenditeDay - TageCovBerechnung + 1
RenditeMatrix <- matrix(ncol=15,
nrow=lastRenditeDay-firstRenditeDay+1)
i <- firstRenditeDay - 1
j <- 0
while(i<lastRenditeDay){
i <- i + 1
j <- j +1
k <- 0
while(k<15){
k <- k + 1
RenditeMatrix[j,k] <DAX15.LOGRENDITEN.CLOSE.020102_301204[i,k]
}
}
B.L._Modul_letzteXXRendite <- RenditeMatrix
}
## TEXT COV
rendmatrix <- B.L._Modul_letzteXXRendite(for_the_day,TageCovBerechnung)
covarianzmatrix <- cov(rendmatrix)
B.L._Modul_Cov <- covarianzmatrix
}
B.L._Modul_BlackLittermanFormel <- function(for_the_day,Risikoaversion,
TageCovBerechnung,
Skalar, LongSignalRendite, ShortSignalRendite,
158
Anhang D: Systematische Portfolio-Management-Modelle
LongSignalVarianz, ShortSignalVarianz){
B.L._Modul_Pmatrix <- function(for_the_day){
##TEXT_PMAT
# tag von 2004 wird in datenumber umgewandelt
datenumber <- for_the_day + 502
Signalvector <STRAT_5FilterStop_AktuelleMP_alleDatum_DAX15[datenumber,]
AnzahlSignale <- sum(abs(Signalvector))
# nun wird gesucht, für welche aktien signale vorliegen
SignalLocationMatrix <- matrix(nrow=1,ncol= AnzahlSignale)
i <- 0
j <- 0
while(i<15){
i <- i + 1
if(Signalvector[i]!=0){
j <- j + 1
SignalLocationMatrix[j] = i
}
}
# jetzt kann die Pmatrix zusammengestellt werden
Pmatrix <- matrix(0,ncol=15, nrow=AnzahlSignale)
i <- 0
while(i<AnzahlSignale){
i <- i + 1
Pmatrix[i,SignalLocationMatrix[i]] <Signalvector[1,SignalLocationMatrix[i]]
}
B.L._Modul_Pmatrix <- Pmatrix
}
B.L.OmegaMat <- function(for_the_day,LongSignalVarianz,
ShortSignalVarianz){
##TEXT_OMEGAMAT
# tag von 2004 wird in datenumber umgewandelt
datenumber <- for_the_day + 502
Signalvector <STRAT_5FilterStop_AktuelleMP_alleDatum_DAX15[datenumber,]
AnzahlSignale <- sum(abs(Signalvector))
Omegamatrix1 <- matrix(ncol=AnzahlSignale,nrow=AnzahlSignale)
Omegamatrix <- matrix(0,ncol=AnzahlSignale,nrow=AnzahlSignale)
i <- 0
j <- 0
while(i<15){
i <- i + 1
if(Signalvector[1,i] != 0){
j <- j + 1
159
Anhang D: Systematische Portfolio-Management-Modelle
Omegamatrix1[j,j] <- Signalvector[1,i]
}
}
i <- 0
while(i<AnzahlSignale){
i <- i + 1
if(Omegamatrix1[i,i]==1){
Omegamatrix[i,i] <- Omegamatrix1[i,i]*
LongSignalVarianz
}
else{
Omegamatrix[i,i] <- Omegamatrix1[i,i]*
(-ShortSignalVarianz)
}
}
B.L._Modul_Omegamatrix <- Omegamatrix
}
B.L._Vmat <- function(for_the_day,LongSignalRendite,
ShortSignalRendite){
##TEXT_VMAT
# tag von 2004 wird in datenumber umgewandelt
datenumber <- for_the_day + 502
Signalvector <STRAT_5FilterStop_AktuelleMP_alleDatum_DAX15[datenumber,]
AnzahlSignale <- sum(abs(Signalvector))
Vmatrix1 <- matrix(ncol=1,nrow=AnzahlSignale)
Vmatrix <- matrix(ncol=1,nrow=AnzahlSignale)
i <- 0
j <- 0
while(i<15){
i <- i + 1
if(Signalvector[1,i] != 0){
j <- j + 1
Vmatrix1[j,1] <- Signalvector[1,i]
}
}
i <- 0
while(i<AnzahlSignale){
i <- i + 1
if(Vmatrix1[i,1]==1){
Vmatrix[i,1] <- Vmatrix1[i,1]*
LongSignalRendite
}
160
Anhang D: Systematische Portfolio-Management-Modelle
else{
Vmatrix[i,1] <- Vmatrix1[i,1]*ShortSignalRendite
}
}
B.L._Modul_Vmatrix <- Vmatrix
}
B.L._ImpRend <- function(for_the_day,TageCovBerechnung,
Risikoaversion){
# zuerst wird die function der marktkap.gerechten
#Gewichte spezifiziert !!
B.L._Wgg <- function(for_the_day){
##TEXT_WGG
# die gewichte basieren auf die heutige sharenumber
#und die gestrigen schlkusskurse
# tag von 2004 wird in datenumber umgewandelt
datenumber <- for_the_day + 502
SharesInMarket <- DAX15.SHARESinMARKET_2004[for_the_day,]
relevantClosings <DAX15.CLOSE.020102_301204[datenumber-1,]
kapitalisierungen <- SharesInMarket*relevantClosings
gesamtkapitalisierung <- sum(kapitalisierungen)
weightsGG <- kapitalisierungen/gesamtkapitalisierung
B.L._Modul_Wgg <- weightsGG
}
##TEXT_IMPREND
# die impliziten Renditen basierend auf
#TageCovBerechnung-Tage CovarianzMatrix,
#FÜR den eingegebenen Tag,
# Risikoaversion muss hier eingegeben werden !!
ImpliziteRenditen <- Risikoaversion*
B.L._Modul_Cov(for_the_day,
TageCovBerechnung)
%*%t(B.L._Modul_Wgg(for_the_day))
B.L._Modul_ImpliziteRendite <- ImpliziteRenditen
}
##TEXT_B.L._FORMEL
A <- solve(Skalar * B.L._Modul_Cov(for_the_day,TageCovBerechnung))
B <- t(B.L._Modul_Pmatrix(for_the_day)) %*%
solve(B.L._Modul_Omegamatrix(for_the_day,
LongSignalVarianz,ShortSignalVarianz)) %*%
161
Anhang D: Systematische Portfolio-Management-Modelle
B.L._Modul_Pmatrix(for_the_day)
C <- solve(A+B)
D <- A %*% B.L._Modul_ImpliziteRendite(for_the_day,
TageCovBerechnung,Risikoaversion)
E <- t(B.L._Modul_Pmatrix(for_the_day)) %*%
solve(B.L._Modul_Omegamatrix(for_the_day,
LongSignalVarianz,ShortSignalVarianz)) %*%
B.L._Modul_Vmatrix(for_the_day,LongSignalRendite,
ShortSignalRendite)
F <- D+E
B.L._Modul_BlackLittermanFormel <- C %*% F
}
B.L.PortfolioOptim <- function(Leerverkäufe,for_the_day,Risikoaversion,
TageCovBerechnung,Skalar,
LongSignalRendite, ShortSignalRendite,
LongSignalVarianz, ShortSignalVarianz){
##TEXT_PORT.OPTIM
BlackLittermanRenditen <- B.L._Modul_BlackLittermanFormel(
for_the_day,
Risikoaversion,TageCovBerechnung,Skalar,
LongSignalRendite, ShortSignalRendite,
LongSignalVarianz, ShortSignalVarianz)
dvec <- t((1/Risikoaversion)*BlackLittermanRenditen)
Dmat <- B.L._Modul_Cov(for_the_day,TageCovBerechnung)
# zuerst der Fall erlaubter Leerverkäufe-----if(Leerverkäufe==TRUE){
Amat <- matrix(1,nrow=15,ncol=1)
bvec <- 1
}
# jetzt der Fall ohne Leerverkäufe-----------if(Leerverkäufe==FALSE){
Amat.a <- matrix(0,ncol=15,nrow=15)
diag(Amat.a) <- 1
Amat.b <- matrix(1,nrow=15,ncol=1)
Amat <- matrix(c(Amat.b,Amat.a),nrow=15)
bvec.a <- 1
bvec.b <- rep(0,15)
bvec <- c(bvec.a,bvec.b)
}
PortfolioOptimierung <- solve.QP(Dmat=Dmat,dvec=dvec,
Amat=Amat,bvec=bvec,meq=1)
B.L._Modul_PortfolioOptim <- PortfolioOptimierung
}
162
Anhang D: Systematische Portfolio-Management-Modelle
##TEXT_B.L._PORTFOLIO
# letzter berechnungstag!!
nrowPortfolio <- to
ncolPortfolio <- 15
PORTFOLIO.weights.matrix <- matrix(nrow=nrowPortfolio - from + 1,
ncol=ncolPortfolio)
# das ist ein tag vor berechnungsanfang!!!
i <- from - 1
k <- 0
while(i<nrowPortfolio){
k <- k + 1
i <- i + 1
for_the_day <- i
B.L.Gewichte <- B.L._Modul_PortfolioOptim(Leerverkäufe=FALSE,
for_the_day,
Risikoaversion,TageCovBerechnung,Skalar,
LongSignalRendite, ShortSignalRendite,
LongSignalVarianz, ShortSignalVarianz)
j <- 0
while(j<ncolPortfolio){
j <- j + 1
PORTFOLIO.weights.matrix[k,j] <B.L.Gewichte$solution[j]
}
}
B.L._Portfolio_Modell <- PORTFOLIO.weights.matrix
}
163
Anhang D: Systematische Portfolio-Management-Modelle
D.2 R-Quellcode der Funktion des Portfolio-Management-Modells
nach MARKOWITZ
P.S._Portfolio_Modell <- function(from,to,Leerverkäufe=FALSE,
Risikoaversion,TageCovBerechnung,
LongSignalRendite,ShortSignalRendite){
P.S._Modul_letztexxRendite <- function(for_the_day,TageCovBerechnung){
# TEXT LETZTE XX RENDITE
# die letzten TageCovBerechnung Renditen
# tag von 2004 wird in datenumber umgewandelt
datenumber <- for_the_day + 502
lastRenditeDay <- datenumber - 1
firstRenditeDay <- lastRenditeDay - TageCovBerechnung + 1
RenditeMatrix <- matrix(ncol=15,nrow=lastRenditeDay-firstRenditeDay+1)
i <- firstRenditeDay - 1
j <- 0
while(i<lastRenditeDay){
i <- i + 1
j <- j +1
k <- 0
while(k<15){
k <- k + 1
RenditeMatrix[j,k]<DAX15.LOGRENDITEN.CLOSE.020102_301204[i,k]
}
}
P.S._Modul_letzteXXRendite <- RenditeMatrix
}
P.S._Modul_Cov <- function(for_the_day,TageCovBerechnung){
#TEXT COV
# die cov-Matrix basiert auf die letzten
#TageCovBerechnung Renditen, berechnet im
#Modul B.L._Modul_letzteXXRendite
rendmatrix <- B.L._Modul_letzteXXRendite(for_the_day,TageCovBerechnung)
covarianzmatrix <- cov(rendmatrix)
P.S._Modul_Cov <- covarianzmatrix
}
P.S.PortfolioOptim_withSignals <- function(Leerverkäufe,
164
Anhang D: Systematische Portfolio-Management-Modelle
for_the_day,Risikoaversion,
TageCovBerechnung,LongSignalRendite,
ShortSignalRendite){
# TEXT POPTIM
RendMat <- P.S._Modul_letzteXXRendite(for_the_day,TageCovBerechnung)
HistorischeRenditen <- matrix(c(mean(RendMat[,1]),
mean(RendMat[,2]),mean(RendMat[,3]),mean(RendMat[,4]),
mean(RendMat[,5]),mean(RendMat[,6]),mean(RendMat[,7]),
mean(RendMat[,8]),mean(RendMat[,9]),mean(RendMat[,10]),
mean(RendMat[,11]),mean(RendMat[,12]),mean(RendMat[,13]),
mean(RendMat[,14]),mean(RendMat[,15])),ncol=15)
AlleSignale <- STRAT_5FilterStop_AktuelleMP_alleDatum_DAX15[for_the_day + 502,]
LongSignale <- MinusOneToNull(AlleSignale)
ShortSignale <- PlusOneToNull(AlleSignale)
LongSignalPrognosen <- LongSignale*LongSignalRendite
ShortSignalPrognosen <- ShortSignale*-ShortSignalRendite
SignalRenditen <- LongSignalPrognosen+ShortSignalPrognosen
# GemischteRenditen-Berechnung:
GemischteRenditen <- matrix(nrow=1,ncol=15)
i <- 0
while(i<15){
i <- i + 1
if(SignalRenditen[1,i]!=0){
GemischteRenditen[1,i] <(SignalRenditen[1,i]+HistorischeRenditen[1,i])/2
}
else{
GemischteRenditen[1,i] <- HistorischeRenditen[1,i]
}
}
dvec <- t((1/Risikoaversion)*GemischteRenditen)
Dmat <- P.S._Modul_Cov(for_the_day,TageCovBerechnung)
# zuerst der Fall erlaubter Leerverkäufe------if(Leerverkäufe==TRUE){
Amat <- matrix(1,nrow=15,ncol=1)
bvec <- 1
}
# jetzt der Fall ohne Leerverkäufe------if(Leerverkäufe==FALSE){
Amat.a <- matrix(0,ncol=15,nrow=15)
diag(Amat.a) <- 1
Amat.b <- matrix(1,nrow=15,ncol=1)
Amat <- matrix(c(Amat.b,Amat.a),nrow=15)
bvec.a <- 1
bvec.b <- rep(0,15)
bvec <- c(bvec.a,bvec.b)
}
165
Anhang D: Systematische Portfolio-Management-Modelle
PortfolioOptimierung <solve.QP(Dmat=Dmat,dvec=dvec,Amat=Amat,bvec=bvec,meq=1)
P.S._Modul_PortfolioOptim_withSignals <- PortfolioOptimierung
}
#TEXT PORTFOLIOMODELL
# letzter berechnungstag!!
nrowPortfolio <- to
ncolPortfolio <- 15
PORTFOLIO.weights.matrix <matrix(nrow=nrowPortfolio - from + 1, ncol=ncolPortfolio)
# das ist ein tag vor berechnungsanfang!!!
i <- from - 1
k <- 0
while(i<nrowPortfolio){
k <- k + 1
i <- i + 1
for_the_day <- i
P.S.Gewichte <P.S._Modul_PortfolioOptim_withSignals(Leerverkäufe=FALSE,
for_the_day,Risikoaversion,TageCovBerechnung,
LongSignalRendite,ShortSignalRendite)
j <- 0
while(j<ncolPortfolio){
j <- j + 1
PORTFOLIO.weights.matrix[k,j] <- P.S.Gewichte$solution[j]
}
}
P.S._Portfolio_Modell <- PORTFOLIO.weights.matrix
}
166