Kein Folientitel - Bildungsportal Sachsen

FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Technische Mechanik 3
Kinematik und Kinetik
Prof. Dr.-Ing. M. Fulland
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 1
Hochschule Zittau/Görlitz
Technische Mechanik 3 - Kinematik und Kinetik
Inhalt:
I.
Bewegungen, ihre Ursachen und Folgen
II.
Bewegungen eines Massenpunktes
III. Bewegungen eines Massenpunktsystems
IV. Bewegungen eines starren Körpers
V.
Schwingungen
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 2
Hochschule Zittau/Görlitz
Technische Mechanik 3 - Kinematik und Kinetik
Literatur:
(1) Richard, H. A.; Sander, M: Technische Mechanik. Statik. Vieweg-Verlag,
Wiesbaden 2005
(2) Richard, H. A.; Sander, M: Technische Mechanik. Festigkeitslehre.
Vieweg-Verlag, Wiesbaden 2006
(3) Richard, H. A.; Sander, M: Technische Mechanik. Dynamik. ViewegVerlag, Wiesbaden 2007
(4) Hauger,W.; Schnell, W.; Gross, D.: Technische Mechanik, Band 3:
Kinetik. Springer-Verlag, Berlin 2002
(5) Holzmann; Meyer; Schumpich: Technische Mechanik, Teil 2: Kinematik
und Kinetik. Teubner-Verlag, Stuttgart 2000
(6) Hahn, H. G.: Technische Mechanik fester Körper. Carl Hanser Verlag,
München, 1992
(7) …
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 3
Hochschule Zittau/Görlitz
I. Bewegungen, ihre Ursachen und Folgen
1. Bewegungen überall
Bewegungen in der Natur, in der Technik, im Verkehr, im Sport, ...
2. Ursachen für Bewegungen
Kräfte, Momente, …
3. Folgen von Bewegungen
Verschleiß, Lärm, Materialermüdung, Fitness, Unwohlsein, ...
4. Idealisierungen
Massenpunkt, Massenpunktsystem, starrer Körper
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 4
Hochschule Zittau/Görlitz
I. Bewegungen, ihre Ursachen und Folgen
5. Einteilung der Bewegungen
● geradlinige Bewegungen ● ebene Bewegungen
● räumliche Bewegungen
● Translationen
● Rotationen
● gleichförmige Bewegungen
● beschleunigte Bewegungen
● einmalige Bewegungen
● wiederkehrende Bewegungen
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 5
Hochschule Zittau/Görlitz
I. Bewegungen, ihre Ursachen und Folgen
6. Einordnung der Kinematik und Kinetik in die Technische Mechanik
Mechanik
Dynamik
Kinematik
Bewegungslehre
Geometrie der Bewegung wird
betrachtet
Grundgrößen: Länge und Zeit
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Lehre von den Kräften
Statik
Kinetik
-Statik starrer Körper:
Gleichgewichtslehre
-Statik verformbarer Körper:
Elastostatik, Festigkeitslehre
Lehre von den Beziehungen
zwischen Bewegungen
und Kräften
Bewegungsänderungen erfolgen
unter dem Einfluß von Kräften
Grundgrößen: Länge, Zeit, Kraft
Seite 6
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
1. Kinematik
1.1. Geschwindigkeit und Beschleunigung
Die Bewegung eines Punktes im Raum wird durch die Kinematik beschrieben.
Kinematik: Geometrie der Bewegungen (nach den Ursachen der Bewegung
wird nicht gefragt)
Bahn: Die Folge der Aufenthaltsorte eines Punktes zu verschiedenen Zeiten;

wird durch den Ortsvektor r beschrieben.
y
Bahn

ey

ez
P

 • r2
r1

ex
Bahngleichung:

r3
x
 
r  r (t)
Bahngleichung in kartesischen Koordinaten:
 


r  ex x(t)  ey y(t)  ez z(t)
  
ex , ey , ez Einheitsvektoren
z
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 7
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes

Im Zeitintervall Δt wird der Weg Δ r zurückgelegt
Geschwindigkeit:
Bahn
P1
•

r (t)

r
• P2



r(t  t)  r(t)  r

ey
mittlere Geschwindigkeit (zwischen P1 und P2)

Δ
r

vm 
Richtung ist Sehne der Kurve
Δt
momentane Geschwindigkeit (im Punkt P1):

Δt  0; Δr ebenfalls klein

ex


Δ r d r 

v  lim
 r
t 0 Δt
dt
Dimension:
Einheit:
Länge/ Zeit [l/t]
m/s, km/h

Geschwindigkeit v ̂ zeitliche Ableitung des Ortsvektors
Geschwindigkeit
stets tangential zur Bahn

(da für Δt  0
Sonderfälle:
Δr in Richtung der Tangente zeigt)

• Richtung von v konstant:  geradlinige Bahn

• Betrag von v konstant:  gleichförmige Bewegung

v  konstant : Geschwindigkeit ändert im Lauf der Zeit Betrag und Richtung
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 8
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
Beschleunigung:
Maß für die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit


v
(t  Δt)
v(t)
•


2
P
2
•P
Δv dv  d r 



1
a  lim

v 2 r
Δ
v
v(t)
t 0 Δt
dt
dt

v(t  Δt)



Beschleunigung a ̂ 1. Ableitung von v oder 2. Ableitung von r
Beschleunigungsvektor ist im allgemeinen nicht tangential zur Bahn.

v
P1

ey
•

r
Bahn

a
Dimension:
Einheit:
Länge/Zeit2 (l/t2)
m/s2

ex
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 9
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
1.2. Geschwindigkeit und Beschleunigung in kartesischen Koordinaten
y
s

ey

ez
z

r
Bahn
 

Ortsvektor r ; Bahngleichung r  r (t) :
 


r  ex x ( t)  e y y(t)  ez z(t)
 

ex

Die Basisvektoren ex , e y und ez hängen nicht von der Zeit ab!
x
Geschwindigkeit:


  
v  r  ex x ( t)  e y y ( t)  ez z (t)
Geschwindigkeitskomponenten:
v x  x ; v y  y ; vz  z
1
ds

Betrag : v  v  x 2  y 2  z 2 
dx 2  dy 2  dz 2   s
dt
dt
Beschleunigung:
   


a  v  r  ex x  e y y  ezz
Betrag: a  a  x 2  y2  z2
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
s: Bahnkoordinate
ds: Linienelement
Beschleunigungskomponenten:
a x  x ; a y  y ; a z  z
; im allg. a  s
Seite 10
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
1.3. Geradlinige Bewegung
Einfachste Form der Bewegung; aber große praktische Bedeutung:
z.B. Fahrt mit PKW auf gerader Straße, freier Fall, Kolben im Motor, ...
z.B. x-Koordinate fällt mit der geraden Bahn zusammen
•
P
Bahn
x
Geschwindigkeit: v  x

d.h. : r hat nur eine x-Komponente


v und a zeigen in x-Richtung
(wir können somit auf den Vektorcharakter


von v und a verzichten)
Beschleunigung: a  v  x
Falls v bzw. a negativ: Geschwindigkeit und Beschleunigung zeigen in negative x-Richtung
negative Beschleunigung  Verzögerung
Grundaufgaben der Kinematik: Bestimmung kinematischer Größen aus anderen gegebenen
kinematischen Größen.
1.3.1. Bestimmung von Geschwindigkeit und Beschleunigung aus gegebenem Weg
v und a erhält man durch Differenzieren:
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
v  x
Seite 11
a  v  x
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
1.3.2. Bestimmung von Geschwindigkeit und Weg aus
gegebener Beschleunigung
Es gibt 5 Grundaufgaben: a  0; a  konst.; a  a(t); a  a(v); a  a(x)
v, x erhält man durch Integration unter Berücksichtigung von Anfangsbedingungen
1.3.2.1. a  0 : Gleichförmige Bewegung
a  v 
dv
0
dt
Integration  v  konst.  v0 ,d.h. gleichförmige Bewegung
Geschwindigkeit:
Weg:
v  v0 
dx
dt
Trennung der Veränderlichen  dx = v0 dt
x erhält man durch Integration unter Berücksichtigung einer Anfangsbedingung
(Randbedingung)
Anfangsbedingung: Zur Zeit t = t0 ist x = x0
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Index 0 kennzeichnet die Anfangswerte
Seite 12
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
a)
unbestimmte Integration:
 dx   v0dt  x  v0 t  C
Integrationskonstante erhält man durch Einsetzen der Anfangswerte:
x 0  v0 t 0  C  C  x 0  v0 t 0
x  x 0  v0 (t  t 0 )
somit:
für x0 = 0 bei t0 = 0:
x  v0 t  vt
b) bestimmte Integration:
Untere Grenzen entsprechend den Anfangswerten t0, x0
x
t
x0
t0
x  x 0  v0 (t  t 0 )
 dx   v0dt  x  x 0  v0 (t  t 0 ) 
Integrationsvariable n x, t, damit keine Verwechslu ng mit oberen Grenzen möglich ist.
a-t-, v-t-, x-t-Diagramme:
a
t
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
v
x
v0
x0
t
t
Seite 13
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
1.3.2.2. a  a 0  konstant : gleichförmig beschleunigte Bewegung
dv
 a 0  konst.
dt
a  v 
Anfangsbed . :
t0  0  v  v0 , x  x 0
Geschwindigkeit:
dv
 a0
dt
 Trennung der Veränderlichen:
bestimmte Integration:

v
t
v0
t 0 0
 dv   a 0 dt
v - v0  a 0 t
Sonderfall :
v0  0

bei t 0
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
dv  a 0 dt

v
t
v v  a0 t 0
0
v  v0  a 0 t

v  a 0t
Seite 14
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
Weg:
dx
v
dt


dx  v dt

x
 dx 
x0
t
 (v0  a 0 t)dt
t 0 0
t2
x  x 0  v0 t  a 0
2
Sonderfall :
t 2 v2
x 0  0 und v0  0 bei t 0  0  x  a 0 
2 2a 0
a-t- ,v-t- x-t-Diagramme:
a
x
v
a0t
a0
x0
v0
v0
t
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
2
a0t
2
v0 t
x0
t
t
Seite 15
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
1.3.2.3. a  a(t) :
a  v 
dv
 a(t)
dt
a
Anfangsbed . : v(t 0 )  v 0 ; x(t 0 )  x 0
Geschwindigkeit:
dv
 a(t)  dv  a(t) dt
dt
a0
t

v
t
v0
t0
 dv   a(t)dt
t
v  v 0   a(t)dt
v
v0
t0
t
Weg:
dx
v
dt

dx  v(t) dt

x
t
x0
t0
x
 dx   v(t)dt
x0
t
x  x 0   v(t)dt
t0
t
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 16
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
1.3.2.4. a  a(v) :
a  v 
dv
 a(v)
dt
Anfangsbed . : v(t 0 )  v 0 ; x(t 0 )  x 0
Geschwindigkeit:
dv
 a(v)  Trennung
dt
Integratio n :
t
v dv
 dt  
t0
v0 a(v)
Umkehrung liefert:
Weg:
dx
v
dt


v  v(t)
dx  v dt 
t

der Veränderli chen
v dv
a(v)
dt 
dv
a(v)
v
dv
 t ( v)
v0 a ( v)
t  t0  
(Umkehrfunktion muss gefunden werden)
(mit dt 
dv
)
a(v)
v
v
dv
v0 a ( v)
 x  x 0   v( t )dt  x 0  
t0
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 17
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
1.3.2.5. a  a(x) :
Kettenrege l

dv
dv dx
dv
a


v Anfangsbed . : v(t 0 )  v 0 , x(t 0 )  x 0
dt
dx dt
dx

v
Geschwindigkeit:
dv
v  a ( x )  v dv  a(x) dx
dx
v
x
v0
x0
 v dv   a ( x ) dx

1 2 1 2 x
v  v 0   a ( x ) dx
2
2
x0
x
v  v  2  a ( x ) dx  v(x)
2
0
x0
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 18
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
Weg:
dx
 v  v( x )
dt

dx
dt 
v(x)
Umkehrung liefert:
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK

x
dx
x 0 v( x )
t  t0  
x  x(t)
Seite 19
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
1.4. Ebene Bewegung
1.4.1. Darstellung in kartesischen Koordinaten
Gegenüber der räumlichen Bewegung entfällt die Komponente  zur Ebene (Abs. II.1.2.)
y

ey

r
•
P
Bahn

ex
 

r  e x x(t)  e y y(t)



v  e x x (t)  e y y (t)



a  e x x(t)  e y y(t)
x
1.4.2. Darstellung in Polarkoordinaten
y

e
•
 r
er

•
•

r
P
Bahn
x
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Polarkoord inaten r, 


orthogonal e Basisvekto ren : e r  e 


( e r zeigt immer auf Punkt P, e  i.a. nicht in Richtung der Bewegung)
 
Ortsvektor, Bahngleichung: r  er r


Ermittlung von v und a durch Zeit ableitung.
Da sich die Lage von P mit der Zeit ändert, sind auch


e r und e  zeitabhäng ig, müssen also differenzi ert werden !
Seite 20
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes

Zeitableitung von er :

de 

de r
. e 
d
.

er
.
d


der  er d  1  d  d


d ist Betrag, e ist Richtung von der :
 
der  e d

 der  d 
er 
 e
 e
dt
dt

Zeitableitung von e :


de  er d

e  

de 
 d

 er
 er 
dt
dt
Geschwindigkeit:




  
v  r  (er r )  e r r  er r  er r  e r



Produktreg el: yuv  yuvuv
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 21
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
Komponente n : v r  r radiale Komponente (Radialgeschwindigke it)
v   r zirkulare Komponente (Quergeschwindigkeit )

Betrag :
v  v  v 2r  v 2  r 2  r 2  2

Beschleunigung: e 
-er 

  
  

 




a  v  (er r  e r )  er r  err  e  r  e r  e r

Produktreg el : y  uvw  y  uvw  uvw  uvw
 

  2r )
a  er (r  r 2 )  e (r
Komponente n : a r  r  r 2
radiale Komponente (Radialbeschleunigun g)
  2r zirkulare Komponente (Querbeschleunigung )
a   r
i.a. nicht tangential zur Bahn
Betrag :

a a
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
a 2r  a 2
Seite 22
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung
y
t+dt
In der Zeit dt überstreicht der Ortsvektor einen
Winkel d.
t
•

r
d
•
Bahn

•
Winkelgeschwindigkeit:
x
Dimension: 1/Zeit
Winkelbeschleunigung:
Dimension: 1/Zeit2
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 23
 
d

dt
Einheit: 1/s
d d 2

  

 2 
dt dt
Einheit: 1/s2
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
Sonderfall: Kreisbewegung

Punkt auf Kreisbahn : e stets in Richtung der Bahntangente ; r  konstant
 
Ortsvektor :
r  er r
 
Geschwindi gkeit : v  e  r




Beschleuni gung : a  e r r 2  e  r
y
P

e

er r •

•
x
v  r
Geschwindi gkeitskomp onenten :
vr  0
v   r  r  v
(v zeigt stets in Tangentenr ichtung)
P
•

a   r
•P
2
a r  r
Beschleuni gungskompo nenten :
a r  r 2  rω 2
(- bedeutet zum Zentrum hin geri chtet)
" Zentripeta lbeschleunigung"
  rω
  rε
a   r
" Tangential -, Umfangs-, Bahnbeschl eunigung"
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 24
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
Kreisbewegung mit konst. Winkelgeschwindigkeit:
 = konstant:
v  v   r
v2
a  a r  r   ;
r
2
a  0
Trotz konst. Winkel - bzw. Bahngeschw indigkeit tritt die
Zentripeta lbeschleunigung r2 auf!
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 25
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
1.4.3. Darstellung in natürlichen Koordinaten
y
Koordinatensystem, das sich mit Punkt P längs
seiner Bahn bewegt.

et
P
•

r
s

en
Bahn

0
x
M•

e t zeigt stets in Tangentenr ichtung   

 e t  en
e n stets in Normalenri chtung

(zeigt zum momentanen Krümmungsm ittelpunkt M )
s : Bahnkoordi nate, Bogenlänge
Ortsvektor:
ist als Funktion der Bogenlänge s=s(t) gegeben
 

r  r (s)  r (s(t ))
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 26
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
Geschwindigkeitsvektor:

et

dr
•

r

 
v  et s  et v



d r ds
dr
  d r
vr  
 s
dt
ds
dt
ds

s
Bahn
Kettenregel


d r zeigt in Richtung der Tangente; d r  ds

dr
 

d r  e t ds  e t 
ds
nur Komponente in Tangentenr ichtung : v  v t  s
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 27
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
Beschleunigungsvektor:


e t  de t

et
ds

de t


et
d


e t  de t
Bahn
d
   


a  v  r  (et s)  e t s  ets

Zeitableitung von e t :


de t  e t d  1  d  d


d ist Betrag , e n ist Richtung von de t
 
de t  en d

 de t  d 
et 
 en
 en 
dt
dt
 

a  ets  en s
mit s  v ,    , ds   d , v  s       
v

gilt auch :
 


 v2
a  e t v  e n v  e t v  e n

FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 28
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
Komponenten: a t  v  s
v2
a n  s  v 
  2

Bahnbeschl eunigung
(zeigt in Richtung der Tangente, ist für das
schneller und langsamer werden verantwortlich)
Normalbeschleunigung
(zeigt in Normalenrichtung,
ist auf M hin gerichtet)
Sonderfall: Kreisbewegung:
  r  konst .
y
r
•

•
s
x
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
s  r
v  s  r  r
  r
  r
a t  v  r
Geschwindi gkeit


2
2
Beschleuni gungskompo nenten
v
v
2
2
a n  v 
  
 r 

r

Seite 29
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
1.5. Räumliche Bewegung in Zylinderkoordinaten
Räumliche Bewegung kann in kartesischen Koordinate n (x, y, z; siehe Abschnitt II. 1.2.)
oder in Zylinder koordinate n (r, , z) beschrieben werden.
Zylinderko ordinaten sind eine räumliche Verallgeme inerung der Polarkoordinaten,

wobei sich e z nicht mit der Zeit ändert.
z
P
 •
r
Bahn
z

r
y
 

r  er r  ez z


 
v  e r r  e  r  e z z
 


  2r )  e zz
a  e r (r  r 2 )  e  (r

r ist hierbei nicht der Betrag von r , sondern dessen
Projektion auf die x - y - Ebene
x
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 30
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
2. Kinetik
2.1. Grundgesetze (Axiome)
Bisher wurden nur die kinematischen Größen einer Bewegung betrachtet:
Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung.
Aus Erfahrung wissen wir: Bewegungen bzw. Bewegungsänderungen erfolgen
unter dem Einfluss von Kräften.
Kinetik: Verknüpfung von Kräften mit kinematischen Größen
Grundlage sind die 3 NEWTONschen Grundgesetze (NEWTONschen Axiome)
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 31
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
2.1.1. Erstes NEWTONsches Gesetz (Trägheitsgesetz)
„Wenn auf einen Massenpunkt keine Kraft wirkt, so ist der Impuls konstant“
Impuls (Bewegungsgröße):


p  mv

p : Vektor in Richtung der Geschwindi gkeit
1. NEWTONsches Gesetz:


p  mv  kons tan t, bei Abwesenheit von Kräften
„ Satz von der Erhaltung des Impulses“
Ein Massenpunkt führt eine geradlinige, gleichförmige Bewegung aus,
solange keine resultierende Kraft wirkt;
d.h. Bewegungsänderungen erfordern Kräfte.
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 32
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
2.1.2. Zweites NEWTONsches Gesetz (Bewegungsgesetz)
„Die zeitliche Änderung des Impulses ist gleich der auf den
Massenpunkt wirkenden Kraft“
2. NEWTONsches Gesetz:
für m= konst.:
 

F  p  (mv)



F  mv  ma
„Impulssatz“
„Dynamische Grundgleichung oder
NEWTONsche Grundgleichung“
Kraft = Masse • Beschleunigung

Für F  0 folgt wiederum das 1. NEWTONsches Gesetz (dieses ist daher als
Sonderfall im 2. Gesetz enthalten).
Einschränkungen:
a)
b)
Das Gesetz gilt in der oben angegebenen Form nur für ein ruhendes Bezugssystem
(Inertialsystem). Die Erde gilt näherungsweise als ruhendes Bezugssystem.
Wenn die Geschwindigkeit in die Nähe der Lichtgeschwindigkeit kommt, müssen die Gesetze
der Relativitätstheorie beachtet werden.
Dieser Fall tritt im allgemeinen in der Technik nicht ein.
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 33
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
2.1.3. Drittes NEWTONsches (Wechselwirkungsgesetz)
„Zu jeder Kraft gibt es stets eine entgegengesetzt gerichtete,
gleich große Gegenkraft“
actio = reactio
Bereits aus der Statik bekannt!
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 34
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
2.2. NEWTONsche Grundgleichung in verschiedenen
Koordinatensystemen
NEWTONsche Grundgl. (2. Grundgesetz):


F  ma
oder
 
ma  F
Kartesische Koordinaten:
Vektorglei chung ˆ 3 Komponente ngleichung
Fx  ma x  mx
Fy  ma y  my
mx  Fx
oder
Fz  ma z  mz
my  Fy
Bei ebener Bewegung entfällt 3. Gleichung
mz  Fz
Natürliche Koordinaten (ebene Bewegung)

et

s

en
•
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Ft  ma t  ms
v2
Fn  ma n  m  m 2  m 2

Seite 35
ms  Ft
oder
m 2  Fn
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
2.3. Anwendungen der NEWTONschen Grundgleichung
Mittels der NEWTONschen Grundgleichung können 2 Fragen beantwortet werden:
a)
Wie groß sind die zur Bewegung notwendigen Kräfte, wenn der Verlauf
der Bewegung bekannt ist?
Koordinaten der Bewegung bekannt  daraus Beschleunigung
 daraus mittels NEWTONscher Grundgleichung: Kraft
b) Wie verläuft die Bewegung, wenn die Kräfte vorgegeben sind?
NEWTONsche Grundgleichung liefert Beschleunigung
 daraus erhält man durch Integration (unter Berücksichtigung von Randbedingungen)
Geschwindigkeit und Weg (Winkel); siehe Kinematik
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 36
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
2.3.1. Schiefer Wurf (ohne Luftwiderstand)
y
Bahn
v0
.
Massenpunkt (Masse m) wird zu einem Zeitpunkt t=t0=0
unter einem Winkel  (zur x-Achse) mit einer Geschwindigkeit
v=v0 abgeworfen: x(t0)=x0=0, y(t0)=y0=0
m

Gesucht: Wurfbahn, Wurfweite, Wurfhöhe
x
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 37
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
2.3.2. Freier Fall mit Luftwiderstand
Widerstandskräfte:
Reibungskräfte, Luftwiderstand
• entstehen erst durch die Bewegung
• sind der Bewegung entgegengerichtet
Luftwiderstand:
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Fw  kv 2
k: Widerstandskoeffizient (gemessen)
Seite 38
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
2.3.3. Geführte Bewegung
Geführte Bewegung: Ein Massenpunkt wird gezwungen, sich auf einer
vorgegebenen Fläche bzw. Kurve zu bewegen.
Zahl der Freiheitsgrade wird reduziert
- Bewegung auf Fläche:
- Bewegung auf Kurve:
2 Freiheitsgrade
1 Freiheitsgrad
 (e)
Neben eingeprägten
 ( z ) Kräften F (z.B. Gewicht) treten auch Führungs- oder
Zwangskräfte F (z.B. Reaktionskräfte) auf.
Zwangskräfte stehen  zur Bahn, sie können im Freischnitt sichtbar gemacht werden.
NEWTONsche Grundgleichung:
   (e)  ( z )
ma  F  F  F
(alternative Formulierung für geführte Bewegungen)
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 39
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
2.3.4. Bewegung mit Reibung
Eine Bewegung auf rauer Unterlage wird durch eine Gleitreibungskraft gebremst.
Gleitreibungskraft:
R  μG N
COULOMBsches Reibungsgesetz
G: Gleitreibungskoeffizient
N: Normalkraft
R wirkt der Bewegung entgegen!
Bewegungen mit Reibung sind ebenfalls geführte Bewegungen.
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 40
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
2.4. Impulssatz
 

F  p  (mv)
2. NEWTONsches Gesetz:
" Impulssatz "
alternative Formulierung (erhält man durch Integration):
d  
(mv)  F
dt
Integratio n :
t 


mv  mv 0   F dt
t0


„Die Änderung des Impulses p  mv zwischen dem Zeitpunkt t0 und einer
beliebigen Zeit t ist gleich dem Zeitintegral über die Kraft“
Häufig wird der Impulssatz bei Stoßvorgängen angewendet.
Stoß: große Kraft wirkt über einen sehr kurzen Zeitraum;
dabei erfährt die Masse eine plötzliche Geschwindigkeitsänderung
F
.
ts
F(t) meist unbekannt
Fmax
t
 ts 
Einführung einer „Stoßkraft“: Fs   F dt
0



mv  mv 0  Fs
somit:
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 41
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
2.5. Momentensatz, Drallsatz
Massenpunkt auf Bahn

v

F
m
•
Bahn

r
•0
Momentenvektor:
 ( 0)  
M  r F

Moment von F um Punkt 0


M  auf Ebene von r und F
NEWTONsche Grundgleic hung für Translatio n und Impulssatz :


 
F  ma  mv  p
 ( 0)   
  
M  r  F  r  (mv )  r  p
 ( 0)  
L  r p
" Impulsemoment, Drehimpuls , Drall (bezüglich 0)"



L steht  auf Ebene von r und v
 ( 0)  

  
 
  

L  ( r  p)  ( r  mv)  r  mv  r  mv  r  p


v

0, dav
und mv parallel
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 42
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
 ( 0)  ( 0)
M L
oder
 
ML
" Drallsatz, Momentensa tz"


(gilt für beliebigen Bezugspukt ; jedoch muß M und L
auf denselben Punkt bezogen we rden! )
„Die zeitliche Änderung des Dralls (Drehimpulses) ist gleich dem Moment der
am Massenpunkt angreifenden Kraft bezüglich desselben Bezugspunktes“


Für M  0 folgt L  0
  
L  r  p  konst . "Satz von der Erhaltung des Dralls"
bzw.
" Wenn kein Moment wirkt, ist der Drall konstant"
Ebene Bewegung:
Bewegung in x-y-Ebene: Drallvektor (Drehimpulsvektor) und Momentenvektor
haben nur z-Komponenten
 
ML
 
M  ez M z
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
 


L  e z L z  e z p r sin   e z m v r sin 

 ez m v l
Seite 43
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes

v
y
m
•
M z  L z
 
r

L

•
0
oder
M  L
,da nur eine Komponente
(gleicher Bezugspunkt; z.B. 0)
.
x
l
Komponentendarstellung des Dralls:


 Komponente n von v
: v x  v cos v y  v sin 
y
p  mv
vy


v
senkrechte r Abstand von v um 0 : l  x sin - y cos
(Hebelarm)
m 
vx
Drall (bezüglich 0) :
l
y
(0)
.
L
 pl  mvl  mv ( x sin - y cos)
. 

x m v
sin
-ymv
cos







0
x
x
vy
vx
.
L(0)  m vy x - m vx y  p y x  p x y
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 44
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
Sonderfall: Kreisbewegung:

p
l=r

v
m
r•


0
v = r
L(0)  pl  mvl  mr 2 
•
mr 2  Θ (0) : Massenträg heitsmomen t
(wird später ausführlic h besprochen)
somit ist:
L(0)  Θ (0)ω
 bzw. 
 
 folgt aus dem Drallsatz
und mit   

M (0)  Θ (0) 
oder
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK

M  Θ
„Dynamische oder NEWTONsche
Grundgleichung für Drehbewegung“
Seite 45
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
2.6. Arbeitssatz, Energiesatz
2.6.1. Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad

geradlinige Bewegung:
m
•
F
Bahn
x
Arbeit bei F=konst. :
W  Fx
„Arbeit = Kraft  Weg“
Dimension: Kraft  Länge
Leistung: P 
Einheit: Nm
dW
 Fx  Fv „Leistung = Arbeit pro Zeit = Kraft  Geschwindigkeit“
dt
Dimension :
Kraft  Länge
Zeit
Einheit :
Nm
 1W (Watt)
s
1 kW ˆ 1,36 P S
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 46
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes

allgemeine Bewegung:

F
•
0
 
Bahn r  r(t)
m  
dr
•

r0

r
•
1

r1
W  W0,1
1
 1
  F d r   F cos dr

r1 
0

oder : W   F d r

r0
in Komponente n :
(Skalarprodukt
zweier Vektoren)
in Komponente n :
dW  Fx dx  Fy dy  Fz dz
• 0*
Arbeit:
Arbeitsdifferential :
 
dW  F d r  F dr cosα
0
Arbeit zwischen den
Bahnpunkten 0 u. 1
; F cos  Kraft in Verschiebu ngsrichtun g
W   (Fx dx  Fy dy  Fz dz)
  Fx dx   Fy dy   Fz dz  Wx  Wy  Wz
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 47
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
Die an einem Massenpunkt
aus
 (e) angreifenden Kräfte setzen sich im allgemeinen
 (z)
eingeprägten Kräften F und Zwangskräften (Führungskräften) F zusammen.
Da die Zwangskräfte stets  zur Bahn stehen, verrichten sie keine Arbeit.
 (e) 
W   F dr
d.h.:
„Nur eingeprägte Kräfte leisten Arbeit“
Leistung:
 dr    (e) 
dW
 
PW
 F  Fv  F v
dt
dt
 (z)
Die Leistung von Zwangskräften F ist Null!

Spezialfall: Kreisbewegung:
y
d
m
•
F

r

d r  ds  rd
Ft
n
x
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Arbeit :
 
dW  F d r  F dr cosα
 Ft ds cos0  Fn ds cos90
 
Arbeit der
Tangential kraft
=0 : Arbeit der Zwangskraft Fn
(Normalkraft, Zentripetalkraft)
Seite 48
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
dW  Ft ds  Ft r d  M d
„Arbeit = Moment  Drehwinkel“

1
W   M d
0
Leistung:
P
dW M d

 M  Mω
dt
dt
bzw. P  M
πn
30
n: Drehzahl (Umdr./Min., 1/Min.)
 Wirkungsgrad:
Bei allen Maschinen treten Energieverluste infolge Reibung auf.
Wirkungsgrad  = Verhältnis von Nutzarbeit WN und aufgewendeter Arbeit WA
η
WN
WA
bzw.
η
PN
PA
PN: Nutzleistung
PA: aufgewendete Leistung
 < 1, bei allen reibungsbehafteten Vorgängen
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 49
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
2.6.2. Arbeitssatz
1 
W   F dr


dv

NEWTONsche Grundgleic hung : F  mv  m
dt
0
2
 1
2
2 1
m
v
m
v
d
r
v

 
0
1
  m dv   mv dv  m


dt 0
2 0
2
2
0

1

v

mv 2 mv 2
EK 

2
2
kinetische Energie :
W  EK  EK
1
„Arbeitssatz“
0
„Die Arbeit , welche Kräfte zwischen 2 Bahnpunkten verrichten, ist gleich der
Änderung der kinetischen Energie“
Arbeitssat z ˆ 1.Integral
der NEWTONschen Grundgleic hung
1
mv 2 mv 2

W   F dr 
0
1
2

0
2
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
(Geschwind igkeiten kommen vor ,
keine Beschleuni gungen)
Seite 50
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
2.6.3. Energiesatz
Energiesatz: spezielle (einfache) Form des Arbeitsatzes, wenn die Kräfte ein Potential
besitzen. Nur konservative Kräfte besitzen ein Potential.
Konservative Kräfte: alle eingeprägten Kräfte mit Ausnahme der Widerstandskräfte

F
• dr
Potentialänderung bei Bewegung von 0 nach 1:
1 
E p  E p    F dr  W
1
0
m
Bahn
0
•
y

r
1
0
0
E p : Kräftepotential oder potentiell e Energie in Punkt 1
1
E p : Kräftepotential oder potentiell e Energie in Punkt 0
x
z
0
somit folgt aus dem Arbeitsatz:
 E p1  E p 0  E K 1  E K 0
 EK  EP  EK  EP
0
0
1
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
1
bzw.
E K  E P  konst .
Seite 51
„Energiesatz“
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
„Bei reibungsfreier Bewegung ist die Summe aus kinetischer und
potentieller Energie konstant“
 potentielle Energie (Potential) der Gewichtskraft
in der Nähe der Erdoberfläche
y
Bahn
m
•

ey
G=mg

ex
x
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
 


 
E P   F dr
F  -mg e y d r  e y dy
  mg  dy  mgy  C
Festlegung: für y=0 ist EP=0  C=0
E P  mgy
gespeicherte Energie nimmt mit der Höhe zu
Seite 52
Hochschule Zittau/Görlitz
II. Bewegungen eines Massenpunktes
 potentielle Energie (Potential) einer Federkraft
c
Ruhelage:
m
reibungsfrei
c: Federkonstante
x
Masse schwingt
um Ruhlage:
 
E P   F dr
 
F  -e x cx
FF
FF = cx Federkraft
m
(von Feder auf Masse
ausgeübte Kraft)
 
d r  e x dx
FF
1 2 1
1
E P  c  x dx  cx  cx x  FF x
2
2
2
EP(Feder)
(gilt für lineare Federkennlinie)
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
x
Seite 53
Hochschule Zittau/Görlitz
III. Bewegungen eines Massenpunktsystems
1. Grundlagen
bisher wurde der einzelne Massenpunkt betrachtet;
bei vielen Bewegungsvorgängen in Natur und Technik sind jedoch mehrere Körper
beteiligt, die vielfach als Massenpunkte idealisiert werden können;
„Massenpunktsystem: endliche Zahl von Punktmassen, die untereinander in
Verbindung stehen“
Man unterscheidet:
a) kinematische Bindungen
b) physikalische Bindungen
1.1 Systeme mit kinematischen Bindungen
kinematische Bindungen:
zwischen den Koordinaten der Massenpunkte bestehen
geometrische Beziehungen  Bindungsgleichungen
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 54
Hochschule Zittau/Görlitz
III. Bewegungen eines Massenpunktsystems
1.2. Freiheitsgrade:
die Freiheitsgrade f eines Punktsystems sind durch die Zahl n der Massen
und die Zahl r der kinematischen Bindungen bestimmt:
einachsige Bewegung:
f  nr
ebene Bewegung:
f  2n  r
räumliche Bewegungen:
f  3n  r
z.B.:
1 Punkt im Raum hat 3 Freiheitsgrade.
n Punkte (ungebunden) haben 3n Freiheitsgrade; diese Zahl wird um die Anzahl der
Abstandsbindungen vermindert!
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 55
Hochschule Zittau/Görlitz
III. Bewegungen eines Massenpunktsystems
1.3. Systeme mit physikalischen Bindungen
physikalische Bindungen:
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Zwischen den Abständen der Massen und den
Kräften (Bindungskräften) bestehen physikalische
Zusammenhänge.
Seite 56
Hochschule Zittau/Görlitz
III. Bewegungen eines Massenpunktsystems
2. Kinetik des Massenpunktsystems
System aus n Massen im Raum; beliebige Bindungen

Fj
•
S

rS
y
z

ri

Fij
mi
m
 j
Fji
Massen mi

äußere Kräfte Fi

innere Kräfte Fij

Fi
x
Systemgrenze
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
i=1,....,n
Index i zeigt an, dass Fi
an der Masse mi angreift
Indizes zeigen an, dass
diese Kraft auf die Masse
mi in Richtung der Masse
mj wirkt


Fij  Fji , wegen actio  reactio
Seite 57
Hochschule Zittau/Görlitz
III. Bewegungen eines Massenpunktsystems
2.1. Bewegungszustände der Massen eines Systems
NEWTONsche Grundgleichung muss für jede einzelne Masse aufgestellt werden:


 

m i a i  m i ri  Fi   Fij
j

i= 1,....,n
Summation über j erfasst alle inneren Kräfte,
die auf m i wirken
in kartesischen Koordinaten:
m i x i   Fkx
k
m i y i   Fky
k
m izi   Fkz
F
kx
: Summe aller Kräfte (in x - Richtung)
welche auf den Massenpunkt m i
einwirken (äußere und innere Kräfte)
k
Hinzu kommen noch die kinematischen und physikalischen Bindungsgleichungen
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 58
Hochschule Zittau/Görlitz
III. Bewegungen eines Massenpunktsystems
2.2. Bewegungen des Gesamtsystems
NEWTONsche Grundgleichung für einzelne Masse:


 

m i a i  m i ri  Fi   Fij
j
Bewegungsgesetz für alle (n) Massen:





m a  m r  F  F
i
i i
i
i i
i
i
i j


i

Massenmitt elpunkt : rS 


 m i ri  mrS
i
i=1,...,n
Summe über alle
 inneren

Kräfte  0, da Fij   Fji



 m i ri   Fi
i
ij

 m i ri
i
 mi

1

 m i ri
m i
i



  m iri  mrS  ma S
i
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 59
Hochschule Zittau/Görlitz
III. Bewegungen eines Massenpunktsystems
Resultierende der äußeren Kräfte :
 
 Fi  F
i



ma S  F
„Dynamische Grundgleichung für den
Schwerpunkt des Massenpunktsystems“
oder Schwerpunktsatz
„Der Schwerpunkt eines Massenpunktsystems bewegt sich so,
als ob die Gesamtmasse in ihm vereinigt wäre und alle
äußeren Kräfte an ihm angriffen“
in kartesischen Koordinate n :
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
mxS  Fx
myS  Fy
Seite 60
mzS  Fz
Hochschule Zittau/Görlitz
III. Bewegungen eines Massenpunktsystems
Gesamtimpuls:




p   p i   m i v i  mvS
i
Impuls: Produkt aus Masse und
Schwerpunktgeschwindigkeit
i
Impulssatz:
 
F  p
„zeitliche Änderung des Gesamtimpulses ist gleich der
Resultierenden der äußeren Kräfte“
Impulserhaltungsatz:




p   p i   m i v i  kons tant
F0 
i
i
Gesamtdrall:
 ( 0)
 ( 0)
 


L   L i   ( ri  p i )   ( ri  m i v i )
i
Drallsatz:
 (0)  (0)
M L
i
i
 ( 0)
M : resultiere ndes Moment bezüglich eines festen
Bezugspunktes 0
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 61
Hochschule Zittau/Görlitz
III. Bewegungen eines Massenpunktsystems
3. Gerader zentrischer Stoß zweier Massenpunkte
Stoß: plötzliches Aufeinandertreffen zweier Massen ruft
Bewegungsänderungen hervor
vor dem Stoß:
Stoß:
nach dem Stoß:
 v1*  v*2
 v1  v 2
m1
m2
v1  v 2
m1
m2
v*2  v1*
F(t)
F
.
ts
Fmax
Beim Stoß wird große
Kraft (innere Kraft) übertragen
t
Bei der Betrachtung der Bewegungszustände vor und nach dem Stoß
kann die Stoßphase außerachtgelassen werden.
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 62
Hochschule Zittau/Görlitz
III. Bewegungen eines Massenpunktsystems
3.1. Stoß ohne Energieverlust (vollkommen elastischer Stoß)
Impulserhaltungssatz:

m1v1  m 2 v 2  m1v1*  m 2 v*2


 


Gesammtimpuls vor
dem Stoß



p   mi v i  konst .
Gesamtimpuls nach
dem Stoß
m1 ( v1  v1* )  m 2 ( v*2  v 2 )
Energiesat z :
(1)
m i v i2
EK  
2
i
E K  E p  konst .
E p  E *p
 E K  konst . bzw. E K  E *K
m1 2 m 2 2 m1 *2 m 2 *2
v1 
v2 
v1 
v2
2
2
2
2

m1 ( v12
*2
 v1 )

*2
m 2 (v 2
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
 v 22 )
(2)
Seite 63
Hochschule Zittau/Görlitz
III. Bewegungen eines Massenpunktsystems
aus (1) und (2) folgt:
 v*2  v1*  v1  v 2
(3)
„Stoßbedingung“
Geschwindigkeitsdifferenz vor dem
Stoß = Geschwindigkeitsdifferenz nach dem Stoß
Geschwindigkeiten nach dem Stoß:
aus (3) und (1):
v1* 
m1v1  m 2 (2v 2  v1 )
m1  m 2
v*2 
m 2 v 2  m1 (2v1  v 2 )
m1  m 2
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 64
Hochschule Zittau/Görlitz
III. Bewegungen eines Massenpunktsystems
3.2. Stoß mit Energieverlust
Impulserhaltung, Gleichung (1), gilt auch hier
„Stoßbedingung“
v*2  v1*  e( v1  v 2 ) (4)
für Stoß mit Energieverlust
e: Stoßzahl (abhängig vom Material), wird experimentell bestimmt
0  e 1
e = 0: vollkommen plastischer Stoß
e = 1: vollkommen elastischer Stoß
Geschwindigkeit nach dem Stoß:
aus (4) und (1):
m1v1  m 2 v 2  em2 ( v 2  v1 )
v 
m1  m 2
*
1
v*2
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
m1v1  m 2 v 2  em1 ( v1  v 2 )

m1  m 2
Seite 65
Hochschule Zittau/Görlitz
III. Bewegungen eines Massenpunktsystems
Energieverlust beim Stoß
 Plastifizierung, Wärme, Schall
E V  E K  E*K
EV 
= Differenz der kinetischen Energien vor und nach dem Stoß
m1 2 m 2 2 m1 *2 m 2 *2
v1 
v2 
v1 
v2
2
2
2
2
1  e 2 m1m 2
EV 
( v1  v 2 ) 2
2 m1  m 2
vollkommen elastischer Stoß :
e 1

EV  0
vollkommen plastischer Stoß :
e0

E V  E V max 
Geschwindi gkeiten nach dem Stoß :
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
v1*  v*2 
1 m1m 2
( v1  v 2 ) 2
2 m1  m 2
m1v1  m 2 v 2
 v*
m1  m 2
Seite 66
Hochschule Zittau/Görlitz
IV. Bewegungen eines starren Körpers
1. Kinematik
Ein starrer Körper kann als ein System von unendlich vielen Massenpunkten
aufgefasst werden, deren Abstände sich nicht ändern.
„Allgemeine Bewegung eines starren Körpers (SK) ist aus Translationen und
y
Rotationen zusammengesetzt“
vy
Freiheitsgrade:
 SK frei im Raum hat f=6 Freiheitsgrade
vx
3 Translationen + 3 Rotationen
vz
y
z
 SK an 1 Punkt festgehalten (1 Fixpunkt)
x
f=3  3 Rotationen
z
 SK an 2 Punkten festgehalten (2 Fixpunkte)
f=1  Rotation (Drehung) um 1 feste Achse
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 67
x
x
Hochschule Zittau/Görlitz
IV. Bewegungen eines starren Körpers

 = z
SK frei in der Ebene
f = 3  2 Translationen + 1 Rotation
vy
vx
1.1. Translation
Translation:
P

dr
A
A
y
z

r
x
Bewegung, bei der alle Punkte eines Körpers in der Zeit dt die

gleiche Verschiebung d r erfahren.
P
Damit sind die Geschwindigkeiten und
Beschleunigungen für alle Punkte des SK gleich:

 d r 
v
r
dt

 dv  
a
vr
dt
Bei der Translation ist die Bewegung eines beliebigen Körperpunktes
repräsentativ für die Bewegung des ganzen Körpers.
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 68
Hochschule Zittau/Görlitz
IV. Bewegungen eines starren Körpers
1.2. Rotation
Rotation: Alle Punkte eines Körpers bewegen sich um eine gemeinsame Drehachse
Man unterscheidet:
• Rotation um feste Achse: Lage der Achse im Raum ist unveränderlich
• Rotation um 1 raumfesten Punkt (Fixpunkt): Richtung der Achse verändert
sich mit der Zeit.
1.2.1. Rotation um feste Achse:

, 
Alle Punkte des SK bewegen sich auf Kreisbahnen, deren
Ebenen  zur Achse stehen.
d

r
P
e
P
er
feste Achse
In der Zeit dt erfahren alle Punkte eine Verdrehung um den
Winkel d; demnach sind auch Winkelgeschwindigkeit und
Winkelbeschleunigung für alle Punkte gleich:
d
d

 



dt
dt
(siehe Abschnitt II. 1.4.2. Ebene Bewegung)
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 69
Hochschule Zittau/Görlitz
IV. Bewegungen eines starren Körpers
Geschwindigkeit und Beschleunigung eines beliebigen Punktes P:


v P  e v 
v   r  r



a P  e r a r  ea 
a r  r2  r 2
  r

a   r
(siehe Abschnitt II. 1.4.2. Kreisbewegung)
1.2.2. Rotation um raumfesten Punkt
momentane
Drehachse

Momentane Drehachse dreht sich mit  ;


d=dt
y
z

rP
x


rAP
P

d rP
P
A 

v A  rA  0

rA  konst.
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
alle Punkte des SK bewegen sich auf momentanen
Kreisbahnen;
In der Zeit dt führt der Körper eine Drehung um d aus,

d.h. ein Punkt P verschiebt sich um d rP nach P`.

d rP  d rAP sin   
rAPsin

 dt
 
Betrag des Vektorproduktes  rAP

 
d rP    rAP dt
Seite 70
Hochschule Zittau/Görlitz
IV. Bewegungen eines starren Körpers
Geschwindigkeit:

d rP  

vP 
   rAP
dt
mit
  
rP  rA  rAP



v P  auf Ebene von

und
rAP ;

in Richtung von d rP

  


 
v P  rP  rA  rAP  v AP    rAP

 0, da rA  konst
Beschleunigung:

 
 
 

a P  v P  (  rAP )  
 rAP    rAP
 

 v AP  ω rAP

 
  
a P    rAP    (  rAP )



 
   
Re chenregel : A  (B  C)  B (CA) - C (AB)

 
    
aP  
 rAP  ( rAP )  rAP 2
P
 2
 rAP 
2
2
 
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
  
( rAP )
 

 rAP
A
Seite 71
Hochschule Zittau/Görlitz
IV. Bewegungen eines starren Körpers
1.3. Allgemeine Bewegung
Allgemeine Bewegung: zusammengesetzt aus Translation + Rotation


momentane

Punkt
A
bewegt
sich
auch,
d.h.
v

rA  0

A

Drehachse
Ortsvektor:
  
rP  rA  rAP
P
y
z

rP
x


rA
Verdeutlicht:

rAP
A
Geschwindigkeit:
  

 
v P  rP  rA  rAP  v  v AP

 
  rAP
 


v P  v A    rAP
„EULERsche Beziehung“
(Grundformel der Kinematik
des starren Körpers)
Allgemeine Bewegung des SK besteht aus Translation + Rotation; d.h.

Angabe der Geschwindigkeit vA eines Punktes A und der Winkelge
schwindigkeit ω um eine momentane Achse durch A beschreibt den
Bewegungszustand. 2 Vektoren  6 skalare Gleichungen
̂ den 6 Freiheitsgraden des SK im Raum.
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 72
Hochschule Zittau/Görlitz
IV. Bewegungen eines starren Körpers
Beschleunigung:


 
    

a P  v P  a A  
 rAP  ( rAP )  rAP 2

Bewegung mit Fixpunkt
1.3.1. Allgemeine ebene Bewegung
SK bewegt sich parallel zu einer Ebene,
d.h. :
• alle Geschwindigkeitsvektoren sind parallel zu dieser Ebene

•  -Vektor stets  zur Ebene
y
P

ey

ez

rAP

rP

rA

ex
A
x

rAP  konst .
( Bedingung für
starren Körper)
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
EULERsche Beziehung (gilt auch hier):
 


vP  vA    rAP


speziell bei ebener Bewegung :   ez
somit auch :
 


v P  v A  (e z  rAP )
Seite 73
Hochschule Zittau/Görlitz
IV. Bewegungen eines starren Körpers
Ein SK in der Ebene hat 3 Freiheitsgrade (2 Transl. + 1 Rotat.), die Bewegung
kann somit durch 3 Lagekoordinaten beschrieben werden:
y
Lagekoordinaten: xA, yA, 
P
l
A

AP  rAP  l ;

Koordinaten des Punktes P:
yA
xA
  t
x
x P  x A  l cos t (1)
y P  y A  l sin t (2)
Geschwindigkeitskomponenten des Punktes P:
v Px  x P  x A  l sint (3)
v Py  y P  y A  l cost (4)
EULER-Beziehung in
kart. Koordinaten
Beschleunigungskomponenten des Punktes P:
 sin t - l2 cos t ; a Py  y A  l
 cos t  l2 sin t
a Px  x A  l
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 74
Hochschule Zittau/Görlitz
IV. Bewegungen eines starren Körpers
1.3.2.Momentanpol oder Geschwindigkeitspol
Die allgemeine ebene Bewegung eines SK setzt sich aus Translation + Rotation
zusammen; sie lässt sich aber auch zu jedem Zeitpunkt als reine Drehbewegung
um einen momentanen (augenblicklichen) Drehpunkt (Momentanpol) auffassen.


Im Momentanpol G ist die Geschwindigkeit v P  v G  0 ;
d.h. v Px  v Py  0
Koordinaten des Momentanpols:
aus (3), (4): 0  x A  l sint 
0  y A  l cost 
x A
l sint 

- y
l cost  A

(5)
(6)
(6) in (1) und (5) in (2) liefert:
y
xG  xA  A
Für alle   0 existiert ein Momentanpol (Drehpol)

x
 = 0  reine Translation, Momentanpol im 
yG  yA  A

FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 75
Hochschule Zittau/Görlitz
IV. Bewegungen eines starren Körpers
Translation + Rotation um A = Rotation um G
resultierende
Geschwindigkeit
Rotat.
 
 rAP

vA
P

rAP
A
=
P
 


v P  v A    rAP
Momentane Geschwindigkeitsverteilung so, als ob der Drehpol
ein fester Punkt wäre, um den sich
die Scheibe dreht.

  auf Ebene
 

v P    rGP


v P stets  auf rGP
G

v1

v2
2
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
G

vP
Transl.
1

 
rGP
Die Geschwindigkeiten in den Punkten 1 und 2 stehen  auf
den Verbindungslinien zum Pol:
 
 


v1    rG 1
v 2    rG 2
 
v1   rG 1 u.s.w. da   rGP
Seite 76
Hochschule Zittau/Görlitz
IV. Bewegungen eines starren Körpers
Aufsuchen des Pols:
Kennt man die Richtung der momentanen Geschwindigkeit für 2 Punkte eines SK,
ergibt sich der Drehpol (Momentanpol) als Schnittpunkt der zu den
Geschwindigkeiten  Geraden:
v1
v2
G kann auch außerhalb des SK liegen
G
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 77
Hochschule Zittau/Görlitz
IV. Bewegungen eines starren Körpers
2. Kinetik
Zusammenhang zwischen den Kräften und Bewegungen der starren Körper
wird betrachtet.
2.1. Rotation um feste Achse
M

z.B. homogener
starrer
Kreiszylinder,
Masse m
Draufsicht:
0
v
r 
dm

M
Masseteilchen dm:
Geschwindigkeit:
v  r  r
  r

Tangentialbeschl.: a t  v  r
 dm
Dyn.Grundgl. (in tang. Richt.): dFt  dm a t  r
Moment um Drehachse:
 r 2 dm
dM  dFt r  
Starrer Körper:
r 2 dm  
  r 2 dm
M   dM   
  
 für alle Punkte

des SK gleich
2
 r dm  
m
" Massenträgheitsmomen t"
m

für Kreiszylinder:
mR
2
2
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 78
Hochschule Zittau/Görlitz
IV. Bewegungen eines starren Körpers
NEWTONsche Grundgleichung für Drehbewegung:

M  
(s.a. II. 2.5., Massenpunkt auf Kreisbahn)
M und  sind auf die Drehachse zu beziehen
Drall (Drehimpuls):
L       (s.a. II. 2.5.)
Drallsatz:
M  L
1
Arbeit:
W   M d
(s.a. II. 2.6.)
Leistung:
P  M
(s.a. II. 2.6.)
Kinetische Energie:
1
E K  2
2
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
0
Seite 79
Hochschule Zittau/Görlitz
IV. Bewegungen eines starren Körpers
Gegenüberstellung: Translation und Rotation um feste Achse
Translation
x (oder s)
v  x
a  v  x
m
F
p  mv
F  mx
1
E K  mv 2
2
W   F dx
P  Fv
Weg
Geschwindi gkeit
Beschleuni gung
Masse
Kraft
Impuls
dyn. Grundgleic hung
kinetische Energie
Arbeit
L eistung
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Rotation um feste Achse

  
 



M
L  

M  
1
E K  2
2
W   M d
P  M
Seite 80
W inkel
Winkelgeschwindigkeit
Winkelbeschleunig ung
Massenträg heitsmomen t
Moment
Drall (Drehimpul s)
dyn. Grundgleic hung
kinetische Energie
Arbeit
L eistung
Hochschule Zittau/Görlitz
IV. Bewegungen eines starren Körpers
2.2. Allgemeine ebene Bewegung
y
Eine allgemeine ebene Bewegung setzt sich aus
2 Translationen und 1 Rotation zusammen.
m

S
Lagekoordinaten z.B. xS, yS, 
S: Schwerpunkt
yS
xS
x
NEWTONsche Grundgleichungen für die allgemeine ebene Bewegung
Die Bewegung wird auf den Schwerpunkt des SK bezogen
mx  mx S  Fx
 beschreibt Bewegung in x - Richtung
my  my S  Fy
 beschreibt Bewegung in y - Richtung
  M S
S
 beschreibt Drehung um den Schwerpunkt S
S: Massenträgheitsmoment bezüglich der Schwerpunktachse.
M: Summe aller Momente bezüglich der Schwerpunktachse.
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 81
Hochschule Zittau/Görlitz
IV. Bewegungen eines starren Körpers
Kinetische Energie bei allgemeiner ebener Bewegung:
1
1
E K  mv S2  S2
2
2
 
Translatio ns - Rotations energie
energie
vS: Schwerpunktgeschwindigkeit
S: Massenträgheitsmoment bezüglich des
Schwerpunkts (der Schwerpunktachse)
Arbeitssatz:
E K1  E K 0  W
Gilt analog zu Arbeitssatz für Massenpunkt und
Massenpunktsystem.
Energiesatz:
E K 0  E P0  E K1  E P1
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
bzw.
E K  E P  konst .
Seite 82
Hochschule Zittau/Görlitz
IV. Bewegungen eines starren Körpers
2.3. Massenträgheitsmomente
2.3.1. Definitionen
Massenträgheitsmomente sind schon mehrfach im
Verlauf der Vorlesung aufgetaucht.
y
r
dm
Massenträgheitsmoment bezüglich einer Drehachse z:
y
 z   r 2 dm   (x 2  y 2 ) dm
x
z
x
m
dm: Masseteilchen
r: senkrechter Abstand von dm zur Drehachse
Massenträgheitsmomente bezüglich der x-, y-Achse
 x   ( y 2  z 2 ) dm
 y   (z 2  x 2 ) dm
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 83
Hochschule Zittau/Görlitz
IV. Bewegungen eines starren Körpers
2.3.2. Massenträgheitsmomente um parallel verschobene Achsen
y
m
Massenträgheitsmoment bezüglich der
Schwerpunktsachse z:
dm
rS
S
z
y
S   z   rS2 dm   (x 2  y 2 ) dm
rA
x
A
x
a
Massenträgheitsmoment bezüglich einer
Achse A parallel zur z-Achse im Abstand a:
 A   rA2 dm
y 2  rS2  x 2  rA2  (a  x ) 2
 rA2  rS2  x 2  a 2  2ax  x 2
 rS2  a 2  2ax
 A   (rS 2  a 2  2ax) dm   rS2 dm  a 2  dm  2a  x dm


 

S
A  S  a 2 m
a 2m
 0, da statisches Moment
bezüglich Schwerpunkt
Satz von STEINER
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 84
Hochschule Zittau/Görlitz
IV. Bewegungen eines starren Körpers
Massenträgheitsmomente einiger Körper
y
 ra2 l2 
 x   y  m  
 4 12 


ra2
z 
m
2
1. Zylinder
x
z
y
2. dickwandiger
Hohlzylinder
ri
x
 (ra2  ri 2 ) l 2 
 x   y  m
 
4
12 

(ra2  ri 2 )
z 
m
2
z
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 85
Hochschule Zittau/Görlitz
IV. Bewegungen eines starren Körpers
y
3. dünne
Kreisscheibe
x
z
y
4. dünner
Kreisring
x
z
y
5. Kreiskegel
x
ra2
x  y  m
4
ra2
z 
m
2
rm2
x   y  m
2
z 
m rm2
3  r2 2 
 x   y  m  l 
5 4

3
z 
mr 2
10
z
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 86
Hochschule Zittau/Görlitz
IV. Bewegungen eines starren Körpers
6. Quader
m( h 2  l 2 )
x 
12
m( b 2  l2 )
y 
12
m( b 2  h 2 )
z 
12
y
x
h
l
z
b
y
7. dünne
Rechteckplatte
h
x
z
b
8. dünner Stab
0
S
l
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
h2
x  m
12
b2
y  m
12
(h 2  b 2 )
z  m
12
l2
S  m
12
l2
0  m
3
Seite 87
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
1. Grundbegriffe
Schwingungen: mehr oder weniger regelmäßig erfolgende zeitliche
Schwankungen von Zustandsgrößen.
 Schwingungen mechanischer Systeme, Schwingungen im elektr. Stromkreis, usw.
mechanischer Schwinger:
xe= xe(t)
besteht z.B. aus Masse m,
Elastizität (Federkonstante) c,
Erregung xe= xe(t)
c
m
periodische Schwingung:
Verlauf x(t) wiederholt sich nach einer Zeit T
T
x
x(t)
t
x(t+T)
t+T
t
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
T : Periode der Schwingung ; Schwingung sdauer
1
f  : Frequenz der Schwingung
T
1
1
Dimension :
Zeit
Seite 88
Einheit :  1 Hz
s
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
harmonische Schwingung:
x
Größe x(t) ändert sich sinus- oder
kosinusförmig
z.B. x(t) = A sin 0t
oder x(t) = B cos 0t
0T = 2
A

2
3
x = A sin 0t
0t
A: Amplitude der Schwingung
0: Kreisfrequenz, Eigenfrequenz
2
0 
 2 f (wichtige Größe zur
T
rechnerischen Behandlung
von Schwingungsvorgängen)
Der reinen Sinus- bzw. Kosinusschwingung sind
spezielle Anfangsbedingungen zugeordnet, z.B.:
x(t) = A sin 0t
Anfangsbedingungen.: x ( t  0)  0 ; x (t  0)  A0
Für beliebige Anfangsbedingungen gilt:
x(t) = A sin 0t + B cos 0t
bzw.
x(t) = C sin (0t+ )
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 89
(beide Darstellungen
sind gleichwertig)
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
x
x = C sin (0t+)
B
A sin 0t
A


2
3
Überlagerung einer Sinus- und einer
Kosinusschwingung ergibt reine
Sinusschwingung mit verschobener Phase.
Phasenverschiebung: 
0t
B cos 0t
ungedämpfte Schwingung:
Schwingung mit konst. Amplitude s.o.
gedämpfte Schwingung:
Amplitude nimmt mit der Zeit ab
x
t
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 90
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
Freie Schwingung (Eigenschwingung):
Schwinger wird sich selbst überlassen. (Schwinger wird nicht von außen angeregt)
Erregte oder erzwungene Schwingung:
Schwinger wird von außen angeregt.
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 91
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
2. Freie Schwingungen
es werden lineare Schwingungen von Systemen mit einem Freiheitsgrad untersucht:
einfache Schwinger
2.1. Freie ungedämpfte Schwingungen (Eigenschwingungen)
2.1.1. Geradlinige Schwingungen eines Feder-Masse-Systems
Ruhelage:
c
Masse m gleitet auf
reibungsfreier Unterlage.
m
Schwingungsvorgang:
x
m
FF = cx
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Masse m
Federkonstante c
Beim Schwingungsvorgang erfährt die Masse eine Auslenkung
aus der Ruhelage: Koordinate x
Auf die Masse wirkt dann die Federkraft FF = cx
als rücktreibende Kraft.
Seite 92
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
Aufstellen der Schwingungsdifferentialgleichung mittels NEWTONscher Grundgl.
mx  F  cx

mx  cx  0
mit der Abkürzung 02 
c
folgt :
m
x  02 x  0
„Schwingungsdifferentialgleichung“
(lineare, homogene DGL 2. Ordnung)
Allgemeine Lösung der DGL:
x ( t )  A sin0 t  B cos 0 t
bzw.
x ( t )  C sin (0 t   )
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
A und B bzw. C und  folgen aus
Randbedingungen
Seite 93
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
Spezielle Lösung:
Randbed . : z.B. x(t  0)  x 0  0
x ( t )  A sin 0 t  B cos 0 t
x (t  0)  v 0

x ( t )  A 0 cos 0 t  B0 sin 0 t 
x(t) 
v0
sin 0 t
0
Sinusschwi ngung ;
x0  0  B
v 0  A0
bzw. B  x 0  0
v0
bzw. A 
0
v0
: Amplitude
0
v0
mit x(t)  C sin (0 t   ) und   0, ,... ; C 
erhält man die gleiche Beziehung
0
Geschwindigkeit:
Beschleunigung:
v  x ( t )  v 0 cos 0 t
a  x( t )  v 0 0 sin 0 t
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 94
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
x
x
v0


2 0t
v0
v = vmax, beim Durchgang durch die Ruhelage
0t
x
v0  
a = amax in den Umkehrpunkten
2 0t
andere Randbeding ungen : z.B. x(t  0)  x 0 x (t  0)  v 0  0
v
 B  x0
A 0 0
x ( t )  x 0 cos 0 t Kosinusschwingung;
0
Eigenfrequenz, Kreisfrequenz:
Schwingungsdauer:
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
0 
T
x0: Amplitude
c
m
2
m
 2
0
c
Seite 95
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
2.1.2. Drehschwingungen eines Feder-Masse-Systems
x = l

m
l
A
F = cx = cl
Masse an masseloser starrer Stange
Lösung:  Auslenkung aus der Ruhelage um den
Winkel 
 Federkraft ist rücktreibende Kraft
c
NEWTONsche Grundgl. für Drehbewegung
  M A
A
mit
 A  S  ma 2
, S  0 ; a  l
 A  ml 2
2
M A   FF l  cl 
  cl 2  
 ml 2 

  02   0

mit
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
  c  0
m
c
0  m

c 0
  m

Schwingungsdiff.gln. für Drehschwingung
(analog zur geradlinigen Schwingungsbewegung)
Seite 96
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
Allgemeine Lösung:
( t )  A* sin 0 t  B* cos 0 t
oder
( t )  C* sin(0 t   )
A*,B* bzw. C*, folgen aus Randbedingungen
2
m
Schwingung sdauer T    2 c
0
Drehschwingungen mit mehreren Federn (eine Masse)
c
Masse an starrer Stange
c2a

A
a
a
ca
c
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
a
  M

m
  caa  c2a2a
m(3a ) 2 
  5 c   0

9m
02
Seite 97
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
2.1.3 Schwerependel
Gewicht ist rücktreibende Kraft
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 98
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
2.1.4 Federkonstanten elastischer Systeme
2.1.4.1. Einzelsysteme
FF
c
FF = cx
F
oder : x  F
c
c
F
bzw. : c  F
x
x
m
FF
x
EA
l
Ein linearer Zusammenhang zwischen Kraft u. Verformung tritt auch
bei anderen elastischen Systemen auf:
a) masseloser elastischer Stab (Länge l, Dehnsteifigkeit EA)
l  x 
l=x
Fl
EA
cSt 
F EA

l
l
F
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 99
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
b) masseloser elastischer Balken (Länge l, Biegesteifigkeit EI)
EI
m
l
w=x
Fl 3
wx
3EI
cB 
F 3EI
 3
w l
Fl 3
wx
48EI
cB 
48EI
l3
F
oder:
m
l
2
l
2
F
w=x
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 100
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
c) Torsionsstab (Länge l, Torsionssteifigkeit GIT)
GIT
l



MT
MTl
G IT
cT 
M T GI T


l
  -MT  -c T  
DGL : 
  c T   0


FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 101
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
2.1.4.2. Kombinationen elastischer Systeme
Parallelschaltung:
Federkräfte:
c1
c2
m
x = x1=x2
c ges  c1  c 2
F1 = c1x
F2 = c 2 x
Fges=F1+F2=(c1+c2)x = cgesx
n
bzw. allgemein:
c ges   c k
k 1
Parallelschaltung: „Federsystem wird härter“
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 102
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
Reihenschaltung:
F
Federkraft : F  F1  F2
F
c2
1 1
F
Gesamtverlängerung : x  x1  x 2  F   
 c1 c 2  c ges
Verlängeru ngen der Federn : x1 
c1
c2
1
c ges
m
x
1 1
 
c1 c 2
F
c1
1
bzw. allgemein:
bei nur 2 Federn auch : c ges 
c ges
x2 
n
1
k 1c k
 
c1c 2
c1  c 2
Reihenschaltung: „Federsystem wird weicher“
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 103
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
2.2. Freie gedämpfte Schwingung
Amplitude nimmt mit der Zeit ab, Ursache hierfür sind Reibungs- und
Dämpfungskräfte.
Gleitreibung und Luftwiderstand wurden bereits besprochen.
(nicht im Zusammenhang mit Schwingungen)
viskose Dämpfung ist von großer praktischer Bedeutung
Flüssigkeitsreibung, z.B. Stossdämpfer eines Autos

v
x


FD  kv
bzw.
FD  kv  kx
Dämpfungskraft wirkt der
Geschwindigkeit entgegen
k: Dämpfungskonstante z.B. in Ns
m
Flüssigkeitstopf

FD
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 104
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
gedämpfter Feder-Masse-Schwinger
FF  cx
c
Feder und Dämpfer parallel
c
m
m
x
k
k
kleine Schwingungen um
x die statische Ruhelage
werden betrachtet.
m
FD  kx
x
Aufstellen der Schwingungsdifferentialgl. mittels NEWTONscher Grundgl.:
mx  F  cx  kx

mx  kx  cx  0

c
 0 Eigenfrequenz des ungedämpften Systems
m
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 105
x 
k
c
x  x  0
m
m
Schwingungsdiff.gl.
des gedämpften Systems
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
dimensionslose Darstellung der DGL:
dimensionslose Zeit: z  0 t
x ( t )  x (z)
;
x 
bezogen auf die Periode der
ungedämpften Schwingung
(Eigenzeit)
dx dx dz

 x 0
dz
dt
dt  
;
x  x 02
x 0
d.h.
02 x  
k  2
mω 0
k
0 x   02 x  0
m
d.h.
x  2x  x  0

bzw .
x  
k
x  x  0
m0
k
Dämpfungsfaktor (nach LEHR)
2m0
dimensionslose Form der DGL
gilt für alle freien gedämpften Schwingungen, nur eine Konstante 
ist abhängig vom jeweiligen Schwingungssystem;
bei Drehschwingungen x  
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 106
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
Lösung mittels Exponentialansatz: x = ez

x   λe λz
: Konstante
x   λ 2 e λz
Einsetzen in DGL :
2  2  1  0
Lösung :
1, 2      2  1
chrakteris tische Gleichung
Allgemeine Lösung der DGL:
x  C1e
λ1z
 C2e
λ 2z
 C1e
 κz  κ 2 1 z
 C2e
 κz  κ 2 1 z
je nach Größe von  werden 3 Fälle unterschieden
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 107
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
a)  > 1: aperiodische Bewegung
(große Dämpfung, keine Schwingung,
Wurzel im Exponenten ist reell)
allgemeine Lösung auch:
x  e  z A sinh (  2  1 z)  B cosh (  2  1 z)
 C e  z sinh (  2  1 z  )
spezielle Lösung:
Konstanten aus Randbedingungen z.B.: x(t  0)  x(z  0)  0  β  0
v
x (t  0)  v 0  x(z  0)  0  C 
0
x
v0
0  2  1
e  κz sinh ( κ 2  1 z)
v0
0  2  1
x
höchstens 1 Maximum
z
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 108
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
b)  = 1: aperiodischer Grenzfall (Grenzdämpfung)
x  (C1  C 2 z)e z
allgemeine Lösung:
spezielle Lösung:
x
für obige Randbed.
v 0 z
ze
0
c)  < 1: gedämpfte Schwingung (kleine Dämpfung, Wurzel im Exponenten negativ)
allgemeine Lösung:
xe
 z
Schwingungsbewegung mit exponentiell
A sin( 1   z)  B cos( 1   z) abnehmenden Amplituden.
2
2
 C e  z sin( 1   2 z  γ)
d.h. keine periodische Bewegung
aber: gewisse Ereignisse: Nulldurchgänge
Maximalausschläge folgen in zeitlich
konst. Abständen.
spezielle Lösung:
Randbed. wie oben
C
v0
0 1   2
; γ0
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
x
v0
0
e   z sin( 1   2 z)

1 2
z*
Seite 109
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
x
Hüllkurve konst. e-z

2
3
z*
1 Periode
Nulldurchg änge für z *  1   2 z  0, , 2,...
 3
Hüllkurven werden berührt für z *  , ,...
2 2
Maxima liegen etwas davor
Schwingungsdauer:
„Periode“: z *  1   2 z  2
z  0 t  0 TD

1   0 TD  2  TD 
2
2
0 1  
2

T
1  2
Dämpfung verlangsamt die Schwingung
TD: Schwingungsdauer für
gedämpfte Schwingung
T: Schwingungsdauer,
für die ungedämpfte
Schwingung
1 0 1   2
Frequenz : f D 

2
TD
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 110
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
3. Erzwungene Schwingungen
Schwinger wird von außen permanent angeregt
3.1. Arten der Erregung
Wegerregung (Federerregung):
Krafterregung:
Federende wird periodisch erregt
Periodische Kraft wirkt auf Massenpunkt
c
xe= r sin et
c
c
m
r
m
m
x
e: Erregerfrequenz
0: Eigenfrequenz des Schwingers

η  e : Frequenzverhältnis
0
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Fe  F sin e t
F  konst .
a) Krafterregung mit
konst. Amplitude
Seite 111
me
2
F  me re
b) Krafterregung mit
frequenzabhängiger
Amplitude
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
3.2. Ungedämpfte erzwungene Schwingungen
3.2.1. Wegerregung
Schwingungsdiff.gl.:
c
xe= r sin et
FF= c(x-xe)
m
x
Dyn . Grundgl . :
mx  F  FF  c( x  x e )
 mx  cx  cx e  cr sin e t
c x  c r sin  t
c  2
 x  m
e
0
m
m
lineare inhomogene
 x  02 x  02 r sin e t
DGL 2. Ordnung

Störglied
Allgemeine Lösung der DGL:
setzt sich zusammen aus der allg. Lösung der homogenen DGL und einer Partikularlösung
der inhomogenen DGL:
x ( t )  C sin(0 t  )  C1 sin e t


 

al lg emeine Lösung
der homogenen DGL
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Partikular 
lösung
Seite 112
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
C, : Integrationskonstanten  folgen aus Randbedingungen
Berechnung von C1:
Partikularlösung:
x p  C1sine t ; x p  C1e cose t ; x p  C1e2sine t
Einsetzen in DGL:  C1 e2 sin e t  02 C1 sin e t  02 r sin e t

C1 
02 r
02  e2
r
1
1  2

  e
0
Da bei realen Systemen wegen stets vorhandener Dämpfung die Eigenschwingung
(Lösung der homogenen Gl.) abklingt, bleibt nach hinreichender Zeit nur die erzwungene Schwingung (Partikularlösung):
x  x p  C1 sin e t
mit
C1 
r
1  2
x  x p  C1sin e t
x(t)
C1  C1 ( r , )
C1
Anregungsphase
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
t
stationäre Bewegung
Seite 113
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
Resonanzkurve:
C1
Änderung der Amplitude C1 in Abhängigkeit
von der Erregerfrequenz (Frequenzverhältnis)
 = 1 : Resonanz
 < 1 : unterkritischer Bereich
 > 1 : oberkritischer Bereich
r
=1
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK

Seite 114
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
3.2.2. Krafterregung mit konstanter Amplitude
Schwingungsdiff.gl.:
c
FF= cx
x
m
Fe  F sin e t
Dyn. Grundgl . : mx  F  cx  F sin e t
mx  cx  F sin e t
c x  F sin  t
x  m
e
m
F
x  02 x  m sin e t
Allg. Lösung: wie bei Wegerregung
x p  C1e2 sin e t
Partikularlösung:
x p  C1 sin e t
Einsetzen in DGL:
F sin t
 C1 e2sinω e t  02 C1 sine t  m
e
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 115
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
F
F
m02
F 1
m
C1  2


e2 c 1  2
0  e2
1 2
0
 Resonanzkurve wie bei
Wegerregung
3.2.3 Krafterregung mit frequenzabhängiger Amplitude
m: Gesamtmasse
me: umlaufende Masse
c
FF = cx
Schwingung sdiff .gl. :
mx  F  cx  m e re2 sin e t
m
x
r
 = et
me
Fe  F sin e t
2
F  me re
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
mx  cx  m e re2 sin e t
x  02 x 
me 2
r sin e t
m e
Seite 116
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
Allg. Lösung:
x ( t )  C sin(0 t  )  C1 sin e t
Partikularlösung:
x p  C1 sin e t
in DGL :
 C1e2 sin e t  02 C1 sin e t 
x p  C1e2 sin e t
me 2
r sin e t
m e
me 2
re m
2
m
e
C1  2

r
2
m 1  2
0  e
Resonanzkurve:
C1
me
r
m
=1
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK

Seite 117
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
3.3. Gedämpfte erzwungene Schwingungen
3.3.1. Wegerregung
Diff .gl. :
xe
FF  c( x  x e )
m
x
FD  kx
mx  F  c( x  x e )  kx
mx  kx  cx  cr sin e t
k
c
c
x  m x  m x  m r sin e t


Eigenzeit : z  0 t
02
x ( t )  x (z) x  x 0

 e t   e  0 t  z
0 

02
x  x 02
x 
dx
dz
z
k  x   2 x  2 r sin z
 02 x   m
0
0
0
 x   mk x   x  r sin z
0 2
 x   2x   x  r sin z
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 118
Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
Allgemeine Lösung:
x  Ce  z sin( 1   2 z   )  C1 sin(z  )




Eigenschwingungen
 0 für grosse t bzw . z
Phasenverschiebung infolge Dämpfung
(Nachhinken der Masse gegenüber der
Erregung)
x  x p  C1 sin(z  )
Resonanzkurve:
C1  r
1
(1  2 ) 2  4 2 2
C1
=0
2
tan  
1  2
r
>0
=1
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 119

Hochschule Zittau/Görlitz
V. Schwingungen
3.3.2. Krafterregung mit frequenzabhängiger Amplitude
c
DGL:
FF = cx
mx  kx  cx  m e re2 sin e t
m
r
x
k
me
=et
Lösung: x p  C1 sin(z  )
2
m e r e
FD  kx
m: Gesamtmasse
me: umlaufende Masse
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
me
2
C1 
r
m
(1  2 ) 2  4 2 2
2
tan  
1  2
Seite 120
Hochschule Zittau/Görlitz
A2. Lagrange‘sche Gleichungen
Anwendungsbeispiel: Schwingungstilger
Millenium- Bridge
Können diese Eigenschwingungen auf
einfache Art (z.B. durch Ankopplung
einer geeigneten weiteren Masse)
verhindert werden?
x2
x1
c2
c1
m2
m1
Eigenschwingungen:
Horizontal: 0,5Hz
Vertikal:
1,2-2,2Hz
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
=0
Seite 121
=0
Hochschule Zittau/Görlitz
A2. Lagrange‘sche Gleichungen
x2
x1
Aufstellen der Schwingungsdgl.:
c2
c1
m2
m1
=0
=0
kinetische Energie:
1
1
EK  mx12  mx22
2
2
L  EK  EP
Lagrange‘sche Gleichungen 2. Art
potentielle Energie:
1
1
EP  c1 x12  c2 ( x2  x1 ) 2
2
2
d  L  L

0


dt  q j  q j
m1x1  (c1  c2 ) x1  c2 x2  0
m2 x2  c2 x1  c2 x2  0
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Homogenes Differentialgleichungssystem 2. Ordnung
Hochschule Zittau/Görlitz
A2. Lagrange‘sche Gleichungen
•Betrachtung einer erzwungenen Schwingung mit der Erregerfrequenz e
•Lösen des Differentialgleichungssystems
 Schwingungsamplituden X1 und X2 der Massen m1 und m2

F0  c2
  e2 
m m
X1  2 1  2 2 2  2
(e  1 )(e  2 )
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
F0  c2 
 
m m
X 2  2 12 22 2
(e  1 )(e  1 )
Seite 123
Hochschule Zittau/Görlitz
A2. Lagrange‘sche Gleichungen
X2
X1
0
1
t
2
0
1
2
ωe
ωe
• Im Punkt t  c2 m2 wird die Amplitude X1 gleich Null  m1 ist in Ruhe =>
Schwingungstilgung. Nur m2 schwingt mit einer relativ kleinen Amplitude
• Nachteil: Es gibt 2 Resonanzfrequenzen – eine oberhalb und eine unterhalb der
Tilgungsfrequenz.
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Seite 124
Hochschule Zittau/Görlitz
A2. Lagrange‘sche Gleichungen
In hohen Gebäuden wird die
Schwingungsdämpfung
häufig als Tilgerpendel
ausgeführt.
Schwingungsanregung durch
• Wind
• Erdbeben
• menschliche Einflüsse
Schwingungstilger im Hochhaus Taipai 101
(Höhe 509m, 101 Stockwerke)
Gewicht: 660t
FACHGRUPPE ANGEWANDTE MECHANIK
Hochschule Zittau/Görlitz