A1.1 Die Matrix und elementare wirtschaftsrele - hellinger

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A1: Lineare Algebra I
Fachakademie für Wirtschaft der FHM
A1.1 Die Matrix und elementare wirtschaftsrelevante Anwendungen
Eine Matrix vom Typ M mxn (oder eine (m · x · n)-Matrix) ist ein rechteckiges Zahlenschema
mit m Zeilen und n Spalten.
Im folgenden Beispiel ist A eine 4 · x · 4-Matrix, B eine 2 · x · 3 Matrix und C eine 2 · x · 2
Matrix , d.h. A ∈ M4x4 , B ∈ M2x3 und C ∈ M2x2 :
1

3
A= 
2

3
-4
-2
-4
-12
2
1
3
6
-2 

3
-1 

-6 
1 2 -3 
B= 

 3 -3 4 
c c 
C =  11 12 
 c21 c 22 
 d1 
d =  d 2 
d 
 3
Ein Element oder eine Komponente einer Matrix wird mit der entsprechenden
Zeilennummer zuerst gefolgt von der Spaltennummer indiziert, so ist A 42 = -12 .
Wenn die Zeilen in Spalten umgewandelt werden entsteht die Transponierte Matrix, so z.B.
ist BT die Transponierte Matrix von B.
 1 3


B =  2 -3 
 -3 4 


T
Eine Matrix mit nur einer Spalte, wie z.B. d , oder nur mit einer Zeile, wird als Vektor
gedeutet und stets in dieser besonderen Notation, d.h. mit Pfeil oben, geführt.
Operationen mit Matrizen
̶ Die Addition erfolgt elementweise hier vorgestellt in einem Beispiel:
2
3

− 1   −1 4   1
+
=
5   2
3   5
3
8 
̶ Die Multiplikation mit einem Skalar:
1 − 3  2
2
=
4   4
2
− 6
8 
̶ Die Matrixmultiplikation:
 a11 a12   b11 b12   a11b11 + a12 b 21 a11b12 + a12 b 21 
⋅
=
(4.1)  a 21 a 22   b 21 b 21   a 21b11 + a 22 b 21 a 21b12 + a 22 b 21 
Erkenntnis: Die Matrixmultiplikation ist nicht (vertauschbar)kommutativ, d.h. A· B ≠ B · A .
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̶ Die Multiplikation mit der Inversen Matrix, d.h. die Matrixdivision:
Bei Zahlen ist das neutrale Element bezüglich der Multiplikation die Zahl 1, d.h. 4 · 1 =4
Analog gibt es auch für quadratische Matrizen die Einheitsmatrix E, d.h. A · E = A
Analog wie bei den Zahlen (Skalaren) ist die Division mit der Matrix A als die
Multiplikation mit ihrem Kehrwert A-1 und dieser wird als die Inverse Matrix bezeichnet.
A · A-1 = E
 a11
Sei die 2x2 Matrix A = 
 a 21
a12 
 a 22 − a12 
1
, dann ist A −1 =


 ,
a 22 
a11a 22 − a 21a12  −a 21 a11 
wenn a11a 22 − a 21a12 ≠ 0 ist.
Matrizen haben eine Große Vielfalt von Anwendungsbereiche.
Im wirtschaftlichen Bereich kommen insbesondere zunächst einstufige oder mehrstufige
gerichtete Prozesse mit verteiltem Output und Input in Betracht.
Im folgenden Beispiel wird im Rahmen der Aufgabenstellungen B.0 bis B.4 eine
Rohstoffmengen- und Kosten-Preis- Kalkulation durchgeführt und dabei als Kommentar
einige zusätzliche Begriffe erläutert.
B.0
Ein Betrieb erhält einen Auftrag für den 4 verschiedene Rohstoffe R1, R2, R3 und R4
zunächst zu 3 Zwischenprodukte Z1, Z2, und Z3 verarbeitet werden müssen um daraus
letztendlich zwei verschiedene Endprodukte E1 und E2 zu erzeugen.
Das Verflechtungsdiagramm (Gozintograph) aus der Abb. 1 liefert in
Mengeneinheiten (ME) die Mengen an Rohstoffen, die für jeweils eine ME der
Zwischenprodukte benötigt werden und anschließend wie viele ME an
Zwischenprodukte für eine ME der Endprodukte notwendig sind.
Abb. 1
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Kommentar:
Die Abb. 1 zeigt ein zweistufiges Verflechtungsdiagramm, das aus zwei einstufigen
Verflechtungsdiagrammen besteht, und zwar Rohstoff-Zwischenprodukt (RZ) und
Zwischenprodukt-Endprodukt (ZE). Einstufige Verflechtungsdiagramme sind stets
gerichtet und können auch mit Hilfe von Übergangstabellen (Output-Input-Tabellen)
dargestellt werden.
Merkregel:
In diesen Übergangstabellen wird der Output zeilenweise und der Input spaltenweise
gelesen. Es ist sinnvoll mit der Bezeichnung der Übergangstabellen die Konkordanz
zu der Matrixnotation herzustellen, denn Übergangstabellen sind eigentlich nicht
anderes als Matrizen.
Für das obige zweistufige Verflechtungsdiagramm ergeben sich dann folgende
Übergangstabellen:
RZ:
R1
R2
R3
R4
Z1
4
2
0
0
Z1
Z2
Z3
B.1
Z2
3
6
6
8
ZE:
E1
3
2
5
Z3
0
8
4
5
E2
4
1
5
Berechnen Sie die Rohstoffmengen, die für diesen Auftrag benötigt werden.
Mathematisch können die Menge an ME für den Übergang RohstoffZwischenprodukte in der Matrix RZ (Kurzfassung der Übergangstabelle RZ) und für
den Übergang Zwischenprodukte-Endprodukte in der Matrix ZE (Übergangstabelle
ZE) erfasst werden:
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4
2
RZ = 
0

0
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3 0
6 8
 ME
6 4

8 5
3 4
ZE =  2 1  ME
5 5


 18
 58
RE = 
 32

 31
19 
54 
 ME
26 

33 
Die Mengen für den direkten Übergang, wie in der Aufgabe gefordert, liefert die
Matrix RE, die sich als Produkt der beiden Matrizen berechnen lässt:
(4.2) RE = RZ · ZE
Aus RE ist abzulesen, dass für die Herstellung von E1 es 18 ME von R1, 58 ME von
E2, 32 ME von R3 und 31 ME von R4 benötigt werden.
B.2
Welche Mengen R an Rohstoffen und welche Mengen Z an Zwischenprodukten sind
notwendig, wenn 25 ME von E1 und 40 ME von E2 bestellt wurden?
 25 
Der Produktionsvektor lautet: x =   ME, dann ist
 40 
(4.3) R = RE · x bzw. Z = ZE · x ;
 1210 
 235 
 3610 
 ME bzw. Z =  90  ME
R =


 1840 
 275 




 2095 
Es werden 1210 ME von R1, 3610 ME von R2 usw. bzw. 235 ME vom
Zwischenprodukt Z1, 90 ME von Z2 usw.
B.3
Berechnen Sie die variablen Kosten für den Auftrag VAK, wenn die Kosten K R je
ME für Rohstoffe, die Kosten (Herstellungskosten) K Z je ME für die
Zwischenprodukte und die die Kosten (Herstellungskosten) K E je ME für die
Endprodukte festgelegt sind:
K R = (3 1 2 2) € ; K Z = (20 45 50) € ; K E = ( 280 200) €
Die Auftragskosten für Rohstoffe
AKR = K R · R = 15110 €
Die Auftragskosten für die Zwischenprodukte
AKZ = K Z · Z = 22500 €
Die Auftragskosten für die Endprodukte
AKE = K E · x = 15000 €
VAK = AKR + AKZ + AKE = 52610 €
B.4
Berechnen Sie die Gesamten Auftragkosten GAK, wenn die Fixkosten als 0,1 der
variablen Kosten anzusetzen sind. Berechnen Sie den resultieren Mengenpreis der
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Endprodukte, wenn der Mengenpreis P1 des erstes Endproduktes das 1,2 des zweiten
Endproduktes P2 sein soll.
GAK = VAK + 0,1 VAK = 1,1 VAK = 57871 €
GAK = 25 ·1,2 · P2 + 40 · P2 ;
P2 = 771,62 € ;
P1 = 925,94 €
A1.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS)
1 3 
Es sei A = 
 ;
2 − 4
x
x=   ;
y
 −2 
b=  
 5
Die Matrixgleichung
A⋅x = b
liefert ausgeschrieben folgendes LGS mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannte:
x + 3y = − 2
2x − 4y = 5
Die einzelnen Gleichungen des LGS können als Geraden in der Ebene Q x Q gedeutet werden
und die Lösung des LGS als die Koordinaten (x1 | y1) des Schnittpunktes der beiden Geraden.
Es gibt zwei Lösungsalgorithmen für LGS:
̶ Der Gauß-Algorithmus
̶ Die Cramer-Regel
̶ Der Gauß-Algorithmus
1
Die erweiterte Matrix Ab = 
2
3 | − 2
, bestehend aus der Koeffizienten Matrix A
− 4 | 5 
und die 1-Spaltenmatrix des freien Gliedes, wird mit Hilfe von Äquivalenzumformungen
in die Diagonalform, d.h. nur die Elemente auf der Diagonale sind ungleich Null, gebracht.
Äquivalenzumformung:
Wenn einer Zeile einer Erweiterungsmatrix eines LGS das Vielfache einer anderen Zeile
addiert wird, dann ändern sich die Lösungen des LGS nicht.
Die Ab Matrix wird in Diagonalform gebracht und danach gibt es einfach die Lösungen:
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3| − 2   1
1
Ab ≅ 
≅
 0 -10| 9   0
0| 0,7 
-10| 9 
⇒ x = 0, 7;
y = −0, 9
̶ Die Cramer-Regel
Einer quadratischen Matrix A wird mit Hilfe der entsprechenden Determinante Det(A)
eine Maßzahl zugeordnet. Wenn die Matrix eine 2x2 Matrix ist wie die Koeffizienten
Matrix A aus dem obigen Beispiel, dann ist Berechnung ihrer Determinante recht einfach:
Det(A) = Das Produkt auf der Hauptdiagonale ̶ das Produkt auf der Nebendiagonale
Det(A) =
1
3
2 −4
= 1 ⋅ ( −4) − 2 ⋅ 3 = −10
Mit der Cramer-Regel werden die Lösungen eines LGS sofort berechnet gemäß der
Formeln:
(4.4) x =
Det(x)
Det(A)
−2
x=
5
; y=
Det(y)
Det(A)
3
−4
8 − 15
=
= 0, 7
−10
−10
y=
1
−2
2
5
−10
=
9
= −0,9
−10
Allgemein gilt für die Cramer-Regel:
(4.4a) x i =
Det(x i )
Det(A)
i= {1;2;3;...}
A1 Übungen (ÜA1)
ÜA1.1.1 Wandeln Sie folgende Matrizen in ihre Transponierten um:
 2 4 5
A=

4 1 7
; B= ( 3 2 5 1)
ÜA1.2.1 Führen Sie folgende Operationen mit Matrizen bzw. Vektoren durch:
 −1 4 5   3 6 1 
2⋅
−
;
2 0   2 1 4 
3
 −4 
( 2 3 1) ⋅  2 
 5
 
ÜA1.3.1 Multiplizieren die Matrizen A und B zunächst A · B und danach B · A
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 2 3 5
A =  1 4 0 
2 1 3


 2 4 1
; B= 

 −3 2 3 
T
ÜA1.4.1 Berechnen Sie für folgende Matrizen jewils die Inverse Matrix:
ÜA1.5.1 Berechnen Sie folgende Determinanten:
2 2 1
2 1
Det(A) =
3 7
−1 3 4
Det(C)= 2
3
Det(B)= 3 0 4
2 1 5
1 2
0 2
ÜA1.6.0 R1 und R2 sind die wesentlichen Rohstoffe, die das Werk eines Unternehmens
wöchentlich für seine Produktion benötigt. Die Übergangstabelle WR lautet
(Angaben in ME) :
WR
R1
54
50
56
48
Woche 1
Woche 2
Woche 3
Woche 4
R2
8
10
10
7
Diese Rohstoffe werden direkt ans Werk von vier verschiedenen Lieferanten zu
annähernd gleichen Kosten geliefert. Die Übergangstabelle RK in GE lautet:
RK
R1
R2
K1
8,5
25,5
K2
8,7
25
K3
8,4
27
K4
8,6
26
ÜA1.6.1 Welcher Lieferant ist über ein ganzes Monat günstiger?
Hinweis: Multiplizieren Sie die Matrizen WR · RK
ÜA1.7.0 Aus zwei verschiedenen Rohstoffen R1 und R2 werden 3 verschiedene
Zwischenprodukte Z1, Z2 und Z3 erzeugt. Die benötigten Mengen an Rohstoffen pro
Mengeneinheit Zwischenprodukt werden in ME (Mengeneinheiten) angegeben. Die
entsprechende Übergangstabelle RZ lautet:
RZ
R1
R2
Z1
2
9
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Z2
4
10
Z3
5
8
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ÜA1.7.1 Berechnen Sie die benötigten Mengen an Rohstoffe R , die für die Produktion von
T
Z = (20
30
10) ME Zwischenprodukte geordert werden müssen.
T
Ergebnis: R = (210
560) ME
ÜA1.7.2 Aus den Zwischenprodukten Z1, Z2 und Z3 sollen 4 verschiedene Endprodukte E1,
E2, E3 und E4 hergestellt werden. Die Übergangstabelle ZE ist in ME angegeben.
ZE
E1
4
8
3
Z1
Z2
Z3
E2
6
10
2
E3
5
7
4
E4
3
8
2
Berechnen Sie die Mengen an Rohstoffen, die für die jeweilige ME an
Endprodukten notwendig sind. Welche Mengen an Rohstoffen R sind für eine
T
Produktion von E = ( 10 10
20 30 ) ME Endprodukten notwendig?
T
ÜA1.7.3 Berechnen Sie den Verkaufsertrag VE der obigen Produktion E , wenn der
T
Preisvektor je Endprodukteinheit lautet: P = (26,89
44,99
32,79
12,69 ) €
ÜA1.8.0 Eine Großkonditorei erreicht am Wochenende ein dringender Auftrag für Sonntag
drei verschiedene Torten E1, E2 und E3 zu Backen, und zwar 12 Stück der Sorte E1,
T
18 Stück vom Typ E2 und 25 Stück vom Typ E3. ( E =( 12
18
25)
Dafür ist es notwendig aus den vier Zutaten R1, R2, R3 und R4, d.h. Ei, Mehl,
Butter, und Zucker, zwei verschiedene Teige und zwei verschiedene Cremes
herzustellen, d.h. die Zwischenprodukte Z1, Z2, Z3und Z4. Die ME für Eier ist Stück
für Mehl, Butter und Zucker sind 100g.
Den Materialbedarf in Mengeneinheiten ME zeigen folgende Übergangstabellen:
R1
R2
R3
R4
Z1
1
5
4
1
RZ
Z2
1
8
5
2
Z3
2
0
7
5
Die ME für die Zwischenprodukte sind auch jeweils 100g.
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Z4
3
0
8
6
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ZE
E2
4
3
8
4
E1
6
2
6
5
Z1
Z2
Z3
Z4
E3
8
6
9
5
ÜA1.8.1 Berechnen Sie die Matrix RE, d.h. die Mengen an Eier, Mehl, Butter und Zucker,
die jeweils für jede der 3 Tortensorten benötigt werden.
ÜA1.8.2 Berechnen Sie die Mengen an Zutaten R , die benötigt werden.
ÜA1.8.3 Es wird der Lagervorrat an Zutaten mit folgendem Ergebnis überprüft, d.h. der
Lagervektor lautet:
T
L = (2000
5500
10000
7000)
ÜA1.8.4 Leider reicht der Lagervorrat an Eiern nicht aus. Es wird Entschieden mit dem
vorhandenen Eiern zu backen und nur die Anzahl an Torten vom Typ E3 zu
reduzieren. Berechnen Sie wie viele Torten E3 gebacken werden können.
ÜA1.9.1 Lösen Sie folgende LGS:
a) 2x + 3y = 4
3x − 5y = − 2
ÜA1.10.1
b) − 2x + y = 3
c) 1,5x − 3y = 2
4x + 3y = 1
2x + 4y = − 3
Eine zweiziffrige Zahl ist viermal so groß wie ihre Quersumme. Vertauscht
man ihre Ziffern und addiert die dadurch entstehende neue Zahl zu der
ursprünglichen Zahl, so erhält man 132. Wie heißt die ursprüngliche Zahl ?
ÜA1.11.1 Jemand stellt einen Arbeiter für 30 Tage an. Wenn er arbeitet, bekommt er 7
Pfennig am Tag; wenn er nicht arbeitet, muss er 5 Pfennig am Tag bezahlen. Nach
30 Tagen ist keiner dem anderen etwas schuldig. Wie viele Tage hat der Arbeiter
gearbeitet und wie viele frei gehabt? (Adam Ries, 16. Jh.)
Ergebnis: 12,5 Arbeitstage und 17,5 Freitage
ÜA1.12.1 Ein Hotel verfügt über 455 Betten in 290 Ein- bzw. Zweibettzimmern. Wie viele
Einzelzimmer und wie viele Doppelzimmer sind vorhanden ?
ÜA1.13.1 Lösen Sie folgende LGS:
a) x − y + 8z = 25
b) − 5x − y + 2z = − 20
6x + 7y + 8z = 4
− 2x + 6y + 2z = 2
− x + 7y − 9z = − 40
4x +2y − 8z = − 2
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